Elektrodynamik

Technische Universität Carolo Wilhelmina, Braunschweig SS 1996 W. Lücke

Vorwort

Die elektromagnetische Wechselwirkung ist wohl die wichtigste aller fundamentaler Wechselwirkungen, die – neben der Gravitation und Trägheit – den Aufbau aller Makromaterie bestimmt. Entsprechend vielfältig sind die Anwendungsbereiche ihrer klassischen Theorie, der Elektrodynamik.

Damit ist klar daß sich die Vorlesung auf die wesentliche Struktur der Theorie beschränken muß. Um diese möglichst klar herauszuarbeiten, wird in Kapitel 1 nur kurz auf die mikroskopische Elektrostatik eingegangen, d.h. (hypothetisch) exakte Kenntnis der Ladungsverteilung vorausgesetzt. Als Materialien werden zunächst nur ideale Leiter betrachtet. Die Behandlung allgemeinerer Materialien wird allerdings durch Abhandlung der allgemeinen Multipolentwicklung vorbereitet. In Kapitel 2 wird dann sofort die mikroskopische Maxwellsche Theorie der Strom-Ladungs-Verteilungen und ihrer Felder im Vakuum vorgestellt, die die eigentliche Grundlage der gesamten klassischen wie auch der quantisierten Elektrodynamik bildet. Wie sich die mikroskopische Theorie der Magnetostatik in diesen Rahmen einfügt, wird in Kapitel 3 gezeigt. In Kapitel 4 wird dann untersucht, wie sich die makroskopischen Maxwell schen Gleichungen elektrisierbarer und magnetisierbarer Materie aus den mikroskopischen Gleichungen mithilfe geeigneter Materialgrößen als Näherungsgleichungen ergeben. Kapitel 5 schließlich befaßt sich ganz kurz mit elektromagnetischen Wellen. Die Übungsaufgaben sind als ergänzender Teil dieser Vorlesung anzusehen.

Um den Vergleich mit Darstellungen in verschiedenen Bereichen zu erleichtern, wird die gesamte Theorie im Skript^{1} mithilfe von drei nicht spezifizierten Maßsystemkonstanten ϵ′_{0}, μ′_{0}, c′ dargestellt. Die Formeln für das jeweils gewünschte Maßsystem folgen dann einfach durch Einsetzen der systemspezifischen Werte dieser Parameter, wie im Anhang angegeben.

Die Vorlesung setzt u.a. Resultate der Vektoranalysis voraus, die im Anhang zusammengestellt sind. Eine ausführliche Abhandlung dazu ist z.B. in (Lücke, ein) gegeben.

Warnung: Das vorliegende Skript ist nicht zum Selbststudium gedacht.

Literaturempfehlungen: (Becker und Sauter, 1969; Jackson, 2001; Landau und Lifschitz, 1966; Schwartz, 1972)

Version vom 26. März 2009

1In der Vorlesung und den Übungen wird jedoch durchweg das MKSA-System benutzt, d.h. es

wird ϵ′_{0} = ϵ̂_{0} = ϵ_{0} ≈ 8, 85 · 10^{−12} \frac{(Ampere·Sekunden)^{2}}{Newton·Meter^{2}} , μ′_{0} = μ̂_{0} = μ_{0} =^{def} \frac{1}{ϵ_{0}cc′} und c′ = c ≈ 3 · 10^{8} \frac{Meter}{Sekunde} gesetzt. Ich danke Herrn G. Gerlich für die Anregung dazu.

Inhaltsverzeichnis

1 Elektrostatik 9

1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Idealisierte Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Grundproblem der Elektrostatik idealer Leiter . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Mathematisches Modell für ideale Leiter . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Das Grundproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Methode der Scheinladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 Allgemeine Theorie der Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Allgemeinere Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Dirichletsche und Neumannsche Randbedingungen . . . . . . . 19 1.3.2 Formale Lösung der Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 Äußeres Dirichlet-Problem der Kugel . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Entwicklung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Maxwellsche Gleichungen für das Vakuum 31

2.1 Die magnetische Kraftflußdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 Festlegung des B-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Lorentz-Kraft aus nichtrelativistischer Sicht . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Relativistischer Ursprung von des B-Feldes . . . . . . . . . . . 32

2.2 Aufstellung der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Grundgleichungen in Lorentz-invarianter Form . . . . . . . . . 34 2.2.2 Grundgleichungen in üblicher Form . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Anwendung des Satzes von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2 Elektromagnetische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Magnetostatik 45

3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Biot-Savartsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2 Das Magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.3 Amperesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Stationäre Stromverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Die Dipol-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.2 Feldwirkung auf magnetische Dipole . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Maxwellsche Gleichungen für Materie 57

4.1 Makroskopische Näherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.1 Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.2 Retardierte Dipol-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.3 Makroskopische Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Die makroskopischen Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.1 Definition und Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.2 Materialkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.3 Einfachste Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.4 Kompliziertere Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Elektromagnetische Wellen 73

5.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.1 Qualitative Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.2 Energiedichte des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . 74 5.1.3 Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . 76 5.1.4 Hertzscher Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A  81

A.1 Hilfsmittel aus der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 A.1.1 Integrale auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 A.1.2 Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.1.3 Reduktion der Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.1.4 Wichtige Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A.1.5 Der Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A.1.6 Weitere Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.2 Exkurs über Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.3 Verschiedene Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 A.3.2 Das Gaußsche Maßsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 A.3.3 Das MKSA-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 A.3.4 Weitere Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

A.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Literaturverzeichnis 107 Index 109 8

Kapitel 1

Elektrostatik

1.1 Grundlagen

1.1.1 Grundgleichungen

Gegenstand der Elektrostatik ist die Berechnung der Kräfte, die ruhende^{1} Ladungsverteilungen aufeinander ausüben. Wesentlich ist dabei die Additivität der Kräfte. Danach läßt sich die elektrostatische Kraft, die von einer vorgegebenen, ruhenden Ladungsverteilung ρ auf andere Ladungen ausgeübt wird, auf das zugehörige elektrostatische Feld

E_{ρ}(r) =^{def} \frac{Kraft auf Probeladung bei r}{P robeladung}  (1.1)

zurückführen.^{2} Die felderzeugenden Ladungen sind auch im mathematischen Sinne Quellen (bzw. Senken) der Feldlinien:

div E_{ρ}(r) = \frac{1}{ϵ′_{0}} ρ(r) ,  (1.2)

wobei ϵ′_{0} eine Maßsystemkonstante ist. Nach dem Gaußschen Satz und dem Mittelwertsatz für Volumenintegrale ist das äquivalent zum Gaußschen Gesetz

∫_{∂G} E_{ρ}(r) · dS_{r} = \frac{1}{ϵ′_{0}} ∫_{G} ρ(r) dV_{r}  (1.3)

für hinreichend gutartige Raumgebiete G.^{3}

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1Streng genommen existieren natürlich keine ruhenden Ladungsverteilungen.

2(1.1) macht natürlich nur Sinn, wenn die Probeladung durch ihre Kraftwirkung die Ladungsverteilung ρ nicht merklich verändert.

3Es sei daran erinnert, daß die Normale der Oberfläche ∂G von G konventionsgemäß aus G heraus zeigt.

Die experimentelle Erfahrung zeigt, daß elektrostatische Felder stets konservativ sind:

rot E_{ρ}(r) = 0 .  (1.4)

Nach dem Fundamentalsatz der Vektoranalysis sind sie daher – sofern sie im Unendlichen hinreichend schnell verschwinden – durch die Ladungsverteilung bereits eindeutig bestimmt:

E_{ρ}(r) = −grad Φ_{ρ}(r) = \frac{1}{4πϵ′_{0}} \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫_{ℝ^{3}} ρ(r′)\frac{r − r′}{|r − r′|^{3}} dV_{r′} , (1.5)

wobei

Φ_{ρ}(r) =^{def} \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫_{ℝ^{3}} \frac{ρ(r′)}{|r − r′|} dV_{r′} (1.6)

das sog. Coulomb-Potential der Ladungsverteilung ρ(r) bezeichnet. Entsprechend bezeichnet man das durch (1.5) gegebene elektrostatische Feld E_{ρ}(r) als das von der Ladungsverteilung ρ(r) erzeugte Coulomb-Feld.

Hieraus folgt insbesondere^{4}

\begin{matrix}ρ(r) = ρ(|r|) \\ ρ(r) = 0 für |r| > R \end{matrix} \} ⟹ E_{ρ}(r) = \frac{1}{4πϵ′_{0}} \frac{r}{|r|^{3}} ∫ ρ(r′) dV_{r′} für |r| > R (1.7)

und somit das sog. Coulombsche Gesetz :^{5}

\begin{matrix}Kraft, die eine Punktladung q_{1} bei r_{1} \\ auf eine Punktladung q_{2} bei r_{2} ausübt \end{matrix} \} = \frac{q_{1}q_{2}}{4πϵ′_{0}} \frac{r_{2} − r_{1}}{|r_{2} − r_{1}|^{3}} .

Umgekehrt folgt aus dem experimentell gesichterten Coulombschen Gesetz die Gleichung (1.5) und somit aufgrund der Poissonschen Gleichung die Grundbeziehung

ΔΦ_{ρ}(r) = −\frac{1}{ϵ′_{0}} ρ(r) ,  (1.8)

die gemäß (1.5) wiederum (1.2) impliziert.^{6}

Der wesentliche Unterschied zur Newtonschen Gravitationstheorie ruhender Massenverteilungen besteht – abgesehen davon, daß sich gleichartige Ladungen abstoßen anstatt sich anzuziehen – nur darin, daß die elektrischen Ladungen auch negatives Vorzeichen haben können.

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4Aus (1.5) und (1.6) folgt im Falle ρ(r) = ρ(|r|) die Kugelsymmetrie von E_{ρ}(r) und daraus mit dem Gaußschen Gesetz (1.3) die rechte Seite von (1.7). In Kugelkoordinaten läßt sich das Integral in (1.6) aber auch leicht direkt berechnen.

5Wenn man sich bei einer ruhenden, kugelsymmetrischen Ladungsverteilung nur für Ihre Kraftwirkung interessiert, so kann man sie sich modellmäßig als Punktladung am Ort des Ladungsschwerpunktes vorstellen.

6Es sei daran erinnert, daß der Laplace-Operator durch Δ =^{def} div grad definiert ist.

1.1.2 Idealisierte Ladungsverteilungen

Ladungsverteilungen sind grundsätzlich idealisiert zu beschreiben; schon allein deshalb, weil sie mikroskopisch diskret und stets bewegt sind (von quantenmechanischen Gesichtspunkten ganz abgesehen.) Die genaue Art der Idealisierung ist eine Frage der Zweckmäßigkeit.

Formale Definition: Eine Ladungsverteilung ρ(r) ist eine (hinreichend gutartige) Abbildung

f ⟶ q(f) =_{formal} ∫_{ℝ^{3}} ρ(r)f(r) dV_{r}  (1.9)

von stückweise stetigen Funktionen f auf Ladungswerte q(f) , die für hinreichend gutartige Gebiete G der Bedingung

∫_{ℝ^{3}} ρ(r)χ_{G}(r) dV_{r} ≈ Gesamtladung innerhalb G

genügen sollte.^{7} Dabei ist das Integral auf der rechten Seite von (1.9) vielfach nur als suggestive Schreibweise anzusehen. Z.B. für eine Punktladung q am Ort r_{0} gilt

ρ(f) = ∫_{ℝ^{3}} q δ(r − r_{0})f(r) dV_{r} =^{def} q f(r_{0}) , falls f stetig bei r = r_{0} ,

oder für eine Flächenladung auf ∂G

ρ(f) = ∫_{∂G} σ(r)f(r) |dS_{r}|

mit einer hinreichend gutartigen Flächenladungsdichte σ(r) . In diesen Fällen ist also ρ(r) keine gewöhnliche Raumladungsdichte, sondern eine verallgemeinerte Funktion . In Gebieten, in denen die rechte Seite von (1.6) definiert ist und stetig differenzierbar von r abhängt, gilt aber auch dann noch (1.5)/(1.6).

1.2 Grundproblem der Elektrostatik idealer Leiter

1.2.1 Mathematisches Modell für ideale Leiter

Beschreibung: Ein idealer Leiter läßt sich in Bezug auf die Elektrostatik durch folgende Bedingungen charakterisieren:

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7Wie allgemein üblich, bezeichnen wir mit χ_{G} die charakteristische Funktion des Gebietes G :

χ_{G}(r) = \{ \begin{matrix}1 & für r ∈ G, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

12 KAPITEL 1. ELEKTROSTATIK

(i) Er nimmt ein (vernünftiges) Gebiet G′ ein. (ii) Die Ladungsverteilung stellt sich (bei vernünftigen äußeren elektrostatischen

Bedingungen) so ein, daß:^{8} 1.) das Innere von G′ feld- und damit auch ladungsfrei wird, 2.) die Grenzwerte des Feldes von außerhalb G′ auf ∂G′ parallel (oder anti-

parallel) der Flächennormalen gerichtet sind.

(iii) Die Gesamtladung des Leiters kann im Prinzip jeden beliebigen Wert anneh-

men. Unmittelbare Folgerungen:

• Das elektrostische Potential ist über G′ konstant.

• Die Normalkomponente von E hat i.a. bei r ∈ ∂G′ einen Sprung.

• Die Tangentialkomponente von E um r ∈ ∂G′ bleibt stetig. Kritik am Modell: Es handelt sich um eine starke Idealisierung; denn für reale Leiter gilt u.a.:

• Die Austrittsarbeit ist endlich.

• Die mögliche Gesamtladung ist somit begrenzt.

• Die Zahl der (positiven und negativen) Elementarladungen bei vorgegebener

Gesamtladung ist stets endlich. Flächenladungsdichte: Die idealisierte Ladungsverteilung ist nach dem Gaußschen Gesetz durch die influenzierte Flächenladungsdichte

σ(r) = ϵ′_{0} lim_{ϵ→+0} n(r) · E (r + ϵn(r)) für r ∈ ∂G′  (1.10)

im Sinne von Abschn. 1.1.2 gegeben:

q(f) = ∫_{∂G′} σ(r)f(r) |dS_{r}| .

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8Die zweite der folgenden Bedingungen läßt sich – für hinreichend gutartige Flächenladungsdichte – mithilfe von (1.4) aus der ersten ableiten.

1.2.2 Das Grundproblem

\underline{Gegeben:}

(i) G′_{i} : von idealen Leitern eingenommene Gebiete,

V =^{def} ℝ^{3} \ ∪_{i}G′_{i}.

(ii) ρ(r) : innerhalb V bekannte, räumlich begrenzte Ladungsverteilung.

(iii) Für jedes i ist entweder das Potential Φ_{i} oder die Gesamtladung q_{i} in G′_{i} bekannt.

\underline{Gesucht:} Das Coulomb-Feld (1.5), das von der gesamten Ladungsverteilung ρ(r) (einschließlich der auf die Leiteroberflächen influenzierten Ladungen) erzeugt wird.

Existenz der Lösung: Physikalisch ist offensichtlich, daß eine Lösung existiert und ein Potential der Form

Φ_{ρ}(r) = \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫_{V} \overbrace{\frac{ρ(r′)}{|r − r′|}}^{vorgegeben} dV_{r′} + \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∑_{i} ∫_{∂G′_{i}} \overbrace{\frac{σ_{i}(r′)}{|r − r′|}}^{gesucht} d |S_{r′}|  (1.11)

besitzt.

Eindeutigkeit der Lösungen: Wir wollen zeigen, daß Φ_{ρ}(r) durch folgende Bedingungen eindeutig festgelegt ist:

• Φ_{ρ}(r) ist innerhalb V 2-mal stetig differenzierbar und erfüllt dort (1.8), d.h.

ΔΦ_{ρ}(r) = −\frac{ρ(r)}{ϵ′_{0}} .

• Falls Φ_{i} vorgegeben:

Φ_{ρ}(r) = Φ_{i} auf G′_{i} .

• Falls q_{i} vorgegeben:^{9}

∫_{∂G′_{i}} ∇Φ_{ρ}(r) · dS_{r} =_{(1.5),(1.10)} −\frac{q_{i}}{ϵ′_{0}} .

• Auf jeden Fall:

Φ_{ρ}(r) konstant auf G′_{i} .

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9Für die Integranden der Oberflächenintegrale sind hier stets die Grenzwerte von außerhalb des jeweiligen Leiters einzusetzen.

• Für r → ∞ konvergieren Φ_{ρ}(r) und grad Φ_{ρ}(r) (gleichmäßig) hinreichend schnell gegen Null.

Zum Beweis beachten wir zunächst, daß aus dem Gaußschen Satz unter Beachtung der Produktregel der Differentiation die sog. 1. Greensche Identität

∫_{∂G} f(x)∇g(x) · dS_{x} = ∫_{G} (f(x)△g(x) + ∇f(x) · ∇g(x)) dV_{x}  (1.12)

folgt. Setzt man f = g und G = V in (1.12) ein, so erhält man

∫_{V} (grad g)^{2} dV = − ∑_{i} ∫_{∂G′_{i}} g∇g · dS − ∫_{V} gΔg dV .  (1.13)

Seien nun Φ, Φ′ zwei mit den Vorgaben verträgliche Potentiale. Mit

g(r) =^{def} Φ(r) − Φ′(r)

gilt

\begin{matrix}g & = & Φ_{i} − Φ′_{i} \\ & = & 0 , falls Φ_{i} vorgegeben , \end{matrix} \} auf ∂G′_{i} ,

sowie

\begin{matrix}∫_{∂G′_{i}} ∇g · dS & =_{(1.5)} & ∫_{∂G′_{i}} (E′ − E) · dS \\ & =_{(1.10)} & \frac{q′_{i} − q_{i}}{ϵ′_{0}} \\ & = & 0 , falls q_{i} vorgegeben , \end{matrix} \} auf ∂G′_{i} .

Da die Potentiale auf den Leiterflächen konstant sein müssen, gilt also in jedem Falle

∫_{∂G′_{i}} g∇g · dS ∼ ∫_{∂G′_{i}} ∇g · dS = 0 .

Da außerdem g nach (1.8) der Laplace-Gleichung

Δg = 0 innerhalb V

genügt, folgt somit nach (1.13)

∫_{V} (grad g)^{2} dV = 0 .

Der Gradient von g muß also innerhalb V Null sein, d.h. g = Φ − Φ′ konstant. Mit g(∞) = 0 folgt also aufgrund der Konstanz der Potentiale innerhalb der Leiter:

Obwohl ρ(r) nicht vollständig explizit gegeben ist, ist Φ_{ρ}(r) und damit auch ρ(r) vollständig festgelegt. Das im Sinne von (1.11) zugeordnete Feld E_{ρ}(r) ist also eindeutig.

1.2. GRUNDPROBLEM DER ELEKTROSTATIK IDEALER LEITER 15

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+l

+q

−l

−q Abb. 1.1: Spiegelladung in der leitenden Halbebene

1.2.3 Methode der Scheinladungen

Punktladung außerhalb eines ideal leitenden Halbraumes:^{10} Es sei nur ein Leiter im Gebiet

G′ = {r ∈ ℝ^{3} : x ≤ 0}

vorhanden. Dann gilt insbesondere:

ρ(r) = qδ(r − le_{x}) für r ∈ V = {r ∈ ℝ^{3} : x > 0} ,
Φ_{ρ}(∞) = 0 ,
Φ_{ρ}(r) = 0 für r ∈ G′ .

Aus Abb. 1.1 erkennt man dann sofort als Lösung des Grundproblems:

Φ_{ρ}(r) = \{ \begin{matrix}0 & für x ≤ 0 , \\ \frac{q}{4πϵ′_{0}} (\frac{1}{|r − le_{x}|} − \frac{1}{|r + le_{x}|}) & für x ≥ 0 . \end{matrix}

Note Folgerungen:

1.) Das Feld der auf der Leiteroberfläche influenzierten Ladungsverteilung stimmt im Gebiet x ≥ mit dem (Coulomb-) Feld einer bei −le_{x} gedachten Punktladung −q (Spiegelladung) überein.

2.) Die Probeladung q bei le_{x} erfährt durch die Influenzladung die Anziehungs-

kraft (Bildkraft) \frac{q^{2}}{16πϵ′_{0}l^{2}} . Punktladung gegenüber einer ideal leitenden Kugel: Es sei nur ein Leiter im Gebiet

G′ = {r ∈ ℝ^{3} : |r| ≥ R}

Version vom 26. März 2009

10Streng genommen müßte man den Übergang von einer glatten Ladungsverteilung zu einer punktförmigen betrachten. Wie das geht, ist aber offensichtlich.

16 KAPITEL 1. ELEKTROSTATIK

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R

Schein-Ladung

r_{1}

r b

a für |r| = R :

|a| = |\frac{|r_{1}|}{R}r − \frac{R}{|r_{1}|}r_{1}|
= |b| = |r − r_{1}|

Abb. 1.2: Scheinladung in der leitenden Kugel

vorhanden. Sein Potential sei 0 . Dann lauten die Randbedingungen:

ρ(r) = qδ(r − r_{1}) für r ∉ G′ ,
Φ_{ρ}(∞) = 0 ,
Φ_{ρ}(r) = 0 für r ∈ G′ .

Aus Abb. 1.2 erkennt man dann sofort als Lösung des Grundproblems:

Φ_{ρ}(r) = \{ \begin{matrix}0 & für |r| ≤ R, \\ \frac{q}{4πϵ′_{0}} (\frac{1}{|r − r_{1}|} − \frac{R/ |r_{1}|}{|r − (R/ |r_{1}|)^{2}r_{1}|}) & für |r| ≥ R. \end{matrix}

Folgerung:

Das Feld der auf der Leiteroberfläche influenzierten Ladungsverteilung stimmt im Gebiet x ≥ R mit dem (Coulomb-) Feld einer bei (R/ |r_{1}|)^{2}r_{1} gedachten Punktladung Scheinladung qR/ |r_{1}| < q überein.^{11}

Um einen beliebigen Potentialwert auf der Kugel einzustellen, braucht man nur das Coulomb-Potential einer entsprechenden Scheinladung im Kugelmittelpunkt hinzuzufügen.

1.2.4 Allgemeine Theorie der Kapazität

Superpositionsprinzip: Es sei wieder das in 1.2.2 formulierte Grundproblem betrachtet, wobei jetzt speziell

ρ = 0 innerhalb V , Φ_{ρ}(∞) = 0  (1.14)

Version vom 26. März 2009

11Die Lösung für allgemeinere Ladungsverteilungen ergibt sich durch einfache Überlagerung; vgl. Abschn. 1.3.3.

angenommen sei. Dann gilt offensichtlich:

\{ \begin{matrix}Φ_{A}(r) Lösung zu Φ_{A}(r) = Φ_{A,i} auf G′_{i} für alle i , \\ Φ_{B}(r) Lösung zu Φ_{B}(r) = Φ_{B,i} auf G′_{i} für alle i \end{matrix}
⟹ \{ \begin{matrix}Φ_{C}(r) =^{def} Φ_{A}(r) + Φ_{B}(r) Lösung zu: \\ Φ_{C}(r) = Φ_{A,i} + Φ_{B,i} auf G′_{i} für alle i . \end{matrix}

Entsprechend gilt für die Überlagerung mehrerer Lösungen zu unterschiedlichen Leiterpotentialen.

Kapazitäten und Influenzkoeffizienten eines Leitersystems: Sei n die Zahl der Gebiete G′_{i}: i = 1, …, n. Dann seien – immer unter der Voraussetzung (1.14) – entsprechend n Fälle betrachtet:

Fall j : Φ_{ρ}(r) = \{ \begin{matrix}Φ_{j} & auf G′_{j}, \\ 0 & auf allen übrigen G′_{i}. \end{matrix}

Mit den Definitionen

Φ^{(j)}(r) =^{def} Lösung von Fall j ,
q_{ij}  =^{def} Gesamtladung auf ∂G′_{i} im Fall j

folgt dann

q_{ij} = C_{ij}Φ_{j} ,  (1.15)

wobei die C_{ij} von Φ_{j} unabhängige Konstanten sind.

Mehrfache Anwendung des Superpositionsprinzips zeigt, daß

Φ(r) = ∑_{i=1}^{n} Φ^{(i)}(r)

Lösung von

Fall 0 : Φ_{ρ}(r) = Φ_{i} auf G′_{i} für i = 1, …, n

ist. Mit

q_{i} =^{def} Gesamtladung auf ∂G′_{i} im Fall 0

folgt dann aus (1.10)

q_{i} = ∑_{j=1}^{n} q_{ij}

und daraus mit (1.15):

q_{i} = ∑_{j=1}^{n} C_{ij}Φ_{j}.  (1.16)

Die sog. Kapazitäten C_{ii} und Influenzkoeffizienten C_{ij} (i ≠ j) hängen nur von der Geometrie des Leitersystems ab! Ihre Berechnung ist i.a. schwer, ihre Messung dagegen leicht. Die Influenzkoeffizienten lassen sich z.B. folgendermaßen bestimmen:

1. Schritt: Potentiale Φδ_{νj} auf G′_{ν} (ν = 1, …, n) einstellen, ballistisches Galvanometer zwischen G′_{i} und Erde.

2. Schritt: G′_{j} erden und am Galvanometerausschlag q_{ij} ablesen.

3. Schritt: C_{ij} aus (1.15) entnehmen.

Wie wir sehen werden, sind diese Koeffizienten jedoch nicht unabhängig voneinander, müssen also nicht alle gemessen werden.

Greensches Reziprozitätstheorem:

Es sei wieder der o.a. Fall 0 betrachtet. Zusätzlich sei Φ′(r) eine Lösung von

Fall 0′ : Φ′(r) = Φ′_{i} auf G′_{i} für i = 1, …, n .

Mit der entsprechenden Definition

q′_{i} =^{def} Gesamtladung auf ∂G′_{i} im Fall 0′

folgt dann

q_{i}^{(′)} = ∫_{∂G′_{i}} σ_{i}^{(′)}(r) dσ(r)

und somit nach (1.11):

∑_{i} q′_{i}Φ_{i} = ∑_{i} ∫_{∂G′_{i}} σ′_{i}(r′) dS_{r′} ∑_{j} \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫_{∂G′_{j}} \frac{σ_{j}(r)}{|r_{i}−r|} dS_{r} ∀ r_{i} ∈ G′_{i}
= \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∑_{i,j} ∫_{∂G′_{i}} ∫_{∂G′_{j}} \frac{σ′_{i}(r′)σ_{j}(r)}{|r′−r|} dS_{r′}dS_{r} .

Damit ergibt sich unmittelbar das Greensche Reziprozitätstheorem:

∑_{i} q′_{i}Φ_{i} = ∑_{i} q_{i}Φ′_{i} .

Symmetrie der Influenzkoeffizienten: Sei jetzt ein Indexpaar i, j fest ausgewählt. Mit

\begin{matrix}Φ_{ν} & =^{def} & Φ_{0}δ_{iν} \\ Φ′_{ν} & =^{def} & Φ_{0}δ_{jν} \end{matrix} \} für ν = 1, …, n

folgt dann

Φ_{0}^{2}C_{ij} = ∑_{ν,μ} C_{νμ}Φ_{ν}Φ′_{μ}
=_{(1.16)} ∑_{ν} q′_{ν}Φ_{ν}
=_{Rezipr.} ∑_{ν} q_{ν}Φ′_{ν}
=_{(1.16)} ∑_{ν,μ} C_{νμ}Φ_{μ}Φ′_{ν}
= Φ_{0}^{2}C_{ji}

und somit:

C_{ij} = C_{ji}.  (1.17)

Spezialfall zweier Leiter: Im Falle n = 2 folgt aus (1.16)

q_{1} = \underbrace{C_{11} (Φ_{1} − Φ_{2})}_{=^{def}Δq_{1}} +(C_{11} + C_{12})Φ_{2} ,
q_{2} = \underbrace{C_{21} (Φ_{1} − Φ_{2})}_{=^{def}Δq_{2}} +(C_{21} + C_{22})Φ_{2} .

Im Falle vollständiger Influenz

C_{11} = −C_{21}

bei festem Φ_{2} folgt dann mit (1.17)

Δq_{1} = −Δq_{2} = C \underbrace{(Φ_{1} − Φ_{2})}_{=^{def}U_{12} Spannung} ,

wobei:

C =^{def} C_{11} = −C_{21} Kapazität
= −C_{12} ≠ +C_{22}
> 0 .

Beispiel für vollständige Influenz (Kondensator):

Wenn G′_{1} ganz von G′_{2} umschlossen ist, dann stimmt nach dem Gaußschen Gesetz die Ladung Δq_{2} auf dem inneren Teil von ∂G′_{2} mit dem −1-fachen der Ladung Δq_{1} auf ∂G′_{1} überein.

Ein Beispiel ohne vollständige Induktion (eigentlich die Regel) ist die in Abschn. 1.15 behandelte leitende Kugel gegenüber einem geladenen punktförmigen ‘Leiter’.

1.3 Allgemeinere Randwertprobleme^{12}

1.3.1 Dirichletsche und Neumannsche Randbedingungen

\underline{Gegeben:}

Version vom 26. März 2009

12Die Abschnitte 1.3 und 1.4 werden erst im Anschluß an Kapitel 2 besprochen.

20 KAPITEL 1. ELEKTROSTATIK

(i) ‘vernünftiges’, endliches, abgeschlossenes Gebiet G, (ii) disjunkte Oberflächen O_{1}, O_{2} mit O_{1} ∪ O_{2} = ∂G, (iii) Φ(r) auf O_{1} (Dirichletsche Bedingung), (iv) n(r) · grad Φ(r) auf^{13} O_{2} (Neumannsche Bedingung),

(v) ρ(r) , hinreichend gutartig, innerhalb G. \underline{Gesucht:} Fortsetzung von Φ(r) auf ganz G als Lösung von

ΔΦ(r) = −\frac{ρ(r)}{ϵ′_{0}}

(vgl. (1.8)).

Das so formulierte Randwertproblem bezeichnet man als

Dirichletsches Problem,  falls O_{2} = ∅ ,
Neumannsches Problem,  falls O_{1} = ∅ ,
Gemischtes Problem,  falls O_{2} ≠ ∅ ≠ O_{1} .

Version vom 26. März 2009

13Mit n(r) bezeichnent wir immer die Flächennormale am Punkt r .

1.3. ALLGEMEINERE RANDWERTPROBLEME 21

Beispiel: \underline{Gegeben:}

(i) Dünne, ideal leitende Scheibe mit Radius R um den Ursprung in der x-y-Ebene innerhalb einer ideal leitenden, geerdeten Hohlkugel um den Ursprung mit Innenradius I,

(ii) ρ(r) = 0 im Inneren des Hohlraums außerhalb der Scheibe,

(iii) Φ(r) = Φ_{0} auf der Scheibe,

\underline{Gesucht:} Das auf dem Mantel verschwindende elektrostatische Potential Φ(r) innerhalb

G = {r ∈ ℝ^{3} : z > 0 , |r| ≤ I} .

Erläuterung: Gemäß (ii) muß

ΔΦ(r) = 0 ∀ r ∈ G

gelten. (iii) und

Φ(r) = 0 , falls |r| = I ,

stellen Dirichletsche Bedingungen auf einem Teil von ∂G dar, während auf dem restlichen Teil von ∂G aus Symmetriegründen die spezielle Neumannschen Bedingung

\begin{matrix}z = 0 \\ x^{2} + y^{2} ∈ [R, I] \end{matrix} \} ⟹ n(r) · grad Φ(r) = 0

erfüllt sein muß. So betrachtet, liegt also ein gemischtes Problem vor.^{14}

Die Eindeutigkeit der Lösung – zumindest bis auf eine additive Konstante – folgt wie in Abschn. 1.2.2. Die Existenz der Lösung (vgl. (Morse und Feshbach, 1953)) kann i.a. gezeigt werden, sofern die Vorgaben konsistent sind.^{15}

Man beachte, daß in der allgemeinen Formulierung des Randwertproblems Konstanz von Φ auf O_{1} nicht vorausgesetzt wurde!

1.3.2 Formale Lösung der Randwertprobleme mithilfe von Greenschen Funktionen

Indem man von der 1. Greenschen Identität (1.12) die Gleichung subtrahiert, die sich daraus durch Vertauschung von f und g ergibt, erhält man die sog.

2. Greensche Identität

∫_{G}(f(r)△g(r) − g(r)△f(r)) dV_{r} = ∫_{∂G} (f(r)∇g(r) − g(r)∇f(r)) · dS_{r} . (1.18)

Version vom 26. März 2009

14Die Lösung für I → ∞ ist z.B. in (Landau und Lifschitz, 1967, Aufg. 1 zu §4) gegeben. 15Z.B. dürfen im Falle O_{2} = ∂G die Neumannschen Bedingungen nicht dem Gaußschen Gesetz

widersprechen.

Man löst daher das in 1.3.1 formulierte Randwertproblem i.a. mithilfe der entsprechenden Greenschen Funktion G(r, r′) , die durch folgende Bedingungen charakterisiert ist:^{16}

(i) G(r, r′) = \frac{1}{|r−r′|} + H(r, r′) , H beliebig differenzierbar für r ∈ \underline{G} , r′ ∈ G ,

(ii) Δ_{r′}H(r, r′) = 0 für r ∈ \underline{G} , r′ ∈ G ,

(iii) G(r, r′) = 0 für r ∈ \underline{G} , r′ ∈ O_{1} ,

(iv) n(r′) · ∇_{r′}G(r, r′) = const. für r ∈ \underline{G} , r′ ∈ O_{2} .

Da nämlich mit

Δ_{r} \frac{1}{|r − r′|} =^{def} −4πδ(r − r′)

(1.19)

die Greenschen Identitäten (für hinreichend gutartiges f) auch auf

g(r′) = G(r, r′)

für r ∈ \underline{G} anwendbar sind,^{17} folgt zusammen mit f = Φ aus (1.18) und (1.8):

−4πΦ(r) + \frac{1}{ϵ′_{0}} ∫_{G} G(r, r′)ρ(r′) dV_{r′}
= ∫_{∂G} Φ(r′)∇_{r′}G(r, r′) · dS_{r′} − ∫_{∂G} G(r, r′)∇_{r′}Φ(r′) · dS_{r′}

und daraus als allgemeine Lösung des Randwertproblems – falls überhaupt eine Lösung existiert:

Φ(r) = \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫_{G} G(r, r′)ρ(r′) dV_{r′} + \frac{1}{4π} ∫_{O_{2}} G(r, r′)∇_{r′}Φ(r′) · dS_{r′}

−\frac{1}{4π} ∫_{O_{1}} Φ(r′)∇_{r′}G(r, r′) · dS_{r′} − \frac{const.}{4π} ∫_{O_{2}} Φ(r′) |dS_{r′}| .

(1.20)

Die für O_{2} ≠ ∅ zunächst unbekannte Konstante ∫_{O_{2}} Φ(r′) |dS_{r′}| ist entsprechend anzupassen. Im Falle ∂G = O_{1} sieht man leicht, daß mit (1.20) durch die Greensche Funktion – die übrigens von der genaueren Spezifizierung der Randwerte unabhängig ist – tatsächlich eine Lösung des Randwertproblems gegeben ist.

Version vom 26. März 2009

16Wie allgemein üblich, bezeichnen wir mit \underline{G} das Innere von G :

\underline{G} =^{def} G \ ∂G .

Für 2-dimensionale Probleme (Translationsinvarianz in orthogonaler Richtung) ist \frac{1}{|r−r′|} durch ln |r − r′| zu ersetzen (Übungsaufgabe 21).

17Mithilfe von (1.8)/(1.5) sieht man das leicht, indem man zunächst \frac{1}{|r−r′|} durch ∫ \frac{δ_{ϵ}(r−r′′)}{|r′−r′′|} dV_{r′′} mit glattem δ_{ϵ} ersetzt und den Grenzübergang δ_{ϵ} → δ betrachtet.

1.3.3 Beispiel: Äußeres Dirichlet-Problem der Kugel

Speziell für den Fall

\begin{aligned}G & = & \{r ∈ ℝ^{3} : |r| ≥ R\} , \\ O_{2} & = & ∅ , d.h. O_{1} = ∂G \end{aligned}

lauten die Bedingungen an die Greensche Funktion:^{18}

G(r, r′) = \frac{1}{|r−r′|} + H(r, r′)
= 0 für |r| > R = |r′| ,
Δ_{r′}H(r, r′) = 0 für |r| > R ≤ |r′| .

Nach (1.2.3) – mit r statt r_{1} und r′ statt r – sind diese Bedingungen für

G(r, r′) = \frac{1}{|r′ − r|} − \frac{R/ |r|}{|r′ − (R/ |r|)^{2}r|}

erfüllt.^{19} Auswertung von (1.20): Übungsvorschlag; vgl. (Jackson, 1975, Sect. 2.7).

1.4 Reihenentwicklungen

1.4.1 Entwicklung in Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten r , ϑ , φ – deren (normierte, dimensionslose) Tangenten wie üblich mit e_{r} , e_{ϑ} , e_{φ} bezeichnet seien, erkennt man aus der Idendifizierung von e · grad Φ als Ableitung von Φ in Richtung e (siehe Anhang) leicht:^{20}

grad Φ = (\frac{∂}{∂r}Φ) e_{r} + \frac{1}{r} (\frac{∂}{∂ϑ}Φ) e_{ϑ} + \frac{1}{r sin ϑ} (\frac{∂}{∂φ}Φ) e_{φ} .

Version vom 26. März 2009

18Obwohl G hier nicht endlich ist, lassen sich alle vorhergehenden Überlegungen ohne weiteres auf den vorliegenden Fall übertragen.

19Man beachte die aus

\frac{R/ |r|}{|r′ − (R/ |r|)^{2}r|} = \frac{R}{\sqrt{|r|^{2} |r′|^{2} − 2R^{2}r′ · r + R^{4}}}

folgende Symmetrie G(r, r′) = G(r′, r) der Greenschen Funktion, die für das Dirichletsche Problem generell gegeben ist (vgl. (Gerlich, 1993, Seite 34 unten)).

20Die Kugelkoordinaten sind natürlich nicht global anwendbar. Das spiegelt sich in Scheinsingularitäten wieder, die in den nachfolgenden Formeln auftreten.

24 KAPITEL 1. ELEKTROSTATIK

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e_{φ}

e_{ϑ} e_{3}

e_{1} e_{2}

S

ϑ

x e_{r}

r =^{def} |x| = R , n = e_{r} .

Mithilfe der koordinatenunabhängigen Definition der Divergenz und mithilfe des Mittelwertsatzes für Oberflächenintegrale sowie des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung erkennt man außerdem für hinreichend gutartige Vektorfelder

ȷ = ȷ^{r}e_{r} + ȷ^{ϑ}e_{ϑ} + ȷ^{φ}e_{φ}

leicht:

div ȷ = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}ȷ^{r}) + \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ ȷ^{ϑ}) + \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}ȷ^{φ} .

Daraus folgt für denLaplace-Operator Δ = div grad in Kugelkoordinaten

ΔΦ = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r}Φ) + \frac{1}{r^{2} sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ \frac{∂}{∂ϑ}Φ) + \frac{1}{r^{2} sin^{2} ϑ} (\frac{∂}{∂φ})^{2} Φ ,

was sich auch in der Form

r^{2}Δ = \frac{∂}{∂r}r^{2} \frac{∂}{∂r} + \frac{∂}{∂ξ} (1 − ξ^{2})\frac{∂}{∂ξ} + \frac{1}{1 − ξ^{2}} \frac{∂^{2}}{∂φ^{2}} , ξ =^{def} cos ϑ  (1.21)

schreiben läßt.^{21}

Kugel- und Kugelflächenfunktionen (vgl. (Magnus und Oberhettinger, 1949)) Die sog. zugeordneten Legendre-Polynome (Kugelfunktionen 2.Art)^{22}

P_{l}^{m}(ξ) =^{def} \frac{(−1)^{m}}{l! 2^{l}} (1 − ξ^{2})^{m/2} \frac{d^{l+m}}{dξ^{l+m}} (ξ^{2} − 1)^{l} , l = 0, 1, …; m = −l, −l + 1, …, +l

Version vom 26. März 2009

21Wegen \frac{∂}{∂ϑ} = − sin ϑ \frac{∂}{∂ξ} , sin^{2} ϑ = 1 − ξ^{2} . 22Die P_{l} =^{def} P_{l}^{0} bezeichnet man als Legendre-Polynome (Kugelfunktionen 1. Art).

erfüllen die sog. verallgemeinerte Legendresche Differentialgleichung^{23}

\frac{d}{dξ} ((1 − ξ^{2})\frac{dP_{l}^{m}(ξ)}{dξ}) + (l(l + 1) − \frac{m^{2}}{1 − ξ^{2}} ) P_{l}^{m}(ξ) = 0 .

Nach (1.21) erfüllen daher die Kugelflächenfunktionen

Y_{lm}(ϑ, φ) =^{def} \sqrt{\frac{2l + 1}{4π} \frac{(l − m)!}{(l + m)!}}P_{l}^{m}(cos ϑ)e^{imφ}

die Differentialgleichung

r^{2}ΔY_{lm}(ϑ, φ) + l(l + 1)Y_{lm}(ϑ, φ) = 0 .  (1.22)

Außerdem gelten

Y_{l−m}(ϑ, φ) = (−1)^{m}Y_{lm}^{∗}(ϑ, φ) ,

die Orthonormalitätsrelation

∫_{0}^{2π} dφ ∫_{0}^{π} sin ϑ dϑ Y_{lm}^{∗}(ϑ, φ)Y_{l′m′}(ϑ, φ) = δ_{ll′}δ_{mm′}

und das Additionstheorem

P_{l} (cos ∠(ϑ′, φ′), (ϑ, φ)) = \frac{4π}{2l + 1} ∑_{m=−l}^{+l} Y_{lm}^{∗}(ϑ′, φ′)Y_{lm}(ϑ, φ) .

Entwicklungssatz: Sei g(ϑ, φ) eine hinsichtlich dΩ = sin ϑ dϑ dφ quadratintegrable Funktion. Dann gilt für geeignete Koeffizienten a_{lm} :

∑_{l=0}^{N} ∑_{m=−l}^{+l} a_{lm}Y_{lm}(ϑ, φ) ⟶_{N→∞} g(ϑ, φ) im L^{2}-Mittel (bzgl. dΩ).

Konvergenz im L^{2}-Mittel meint hier:

Zu jedem C > 0 existiert eine Nullfolge ϵ_{N} , die der Bedingung

|∫ dΩ h(ϑ, φ) (g(ϑ, φ) − ∑_{l=0}^{N} ∑_{m=−l}^{+l} a_{lm}Y_{lm}(ϑ, φ))| < ϵ_{N}

für alle stetigen h mit

∫ dΩ |h|^{2} < C

genügt.^{24}

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23Die Legendresche Differentialgleichung ergibt sich im Spezialfall m = 0 .

24Dies ist zwar nicht die übliche, aber eine zweckmäßige äquivalente Definition für Konvergenz im L^{2}-Mittel.

Lösungen der Laplace-Gleichung: Falls Φ(r, ϑ, φ) für festes r > 0 hinsichtlich dΩ quadratintegrabel ist, dann existieren a_{lm}(r) mit

∑_{l,m} a_{lm}(r)Y_{lm}(ϑ, φ) ⟶ Φ(r, ϑ, φ) im Mittel.

Aus der Orthonormalitätsrelation folgt dafür

a_{lm}(r) = ∫ dΩ Y_{lm}^{∗}(ϑ, φ)Φ(r, ϑ, φ) .

Falls Φ der Laplace-Gleichung ΔΦ = 0 genügt folgt daraus wegen

∫_{−1}^{+1} f(ξ)\frac{∂}{∂ξ} (1 − ξ^{2})\frac{∂}{∂ξ} g(ξ) dξ = ∫_{−1}^{+1} g(ξ)\frac{∂}{∂ξ} (1 − ξ^{2})\frac{∂}{∂ξ} f(ξ) dξ

mit (1.21)

\begin{aligned}0 & = & ∫ dΩ Y_{lm}^{∗}(ϑ, φ)\frac{∂}{∂r}r^{2} (\frac{∂}{∂r}Φ(r, ϑ, φ)) + ∫ dΩ Φ(r, ϑ, φ)r^{2}ΔY_{lm}^{∗}(ϑ, φ) \\ & =_{(1.22)} & (\frac{∂}{∂r}r^{2} \frac{∂}{∂r} − l(l + 1)) a_{lm}(r) \end{aligned}

und somit

a_{lm}(r) = A_{lm}r^{l} + B_{lm}r^{−l−1} .
\underline{Resultat:}^{25}
ΔΦ = 0 ⟹ Φ(r, ϑ, φ) = ∑_{l=0}^{∞} ∑_{m=−l}^{+l} (A_{lm}r^{l} + B_{lm}r^{−l−1}) Y_{lm}(ϑ, φ)

(Konvergenz im L^{2}-Mittel für festes r > 0),

wobei:  A_{lm}r^{l} + B_{lm}r^{−l−1} = ∫ dΩ Y_{lm}^{∗}(ϑ, φ)Φ(r, ϑ, φ) .

(1.23)

\underline{Vorteil:}

Die A_{lm}, B_{lm} lassen sich oft relativ leicht aus Randbedingungen bestimmen. Dabei genügt z.B. die Kenntnis von Φ(r, ϑ, φ) für einen festen r-Wert, wenn Φ im Unendlichen gleichmäßig (hins. ϑ, φ) gegen Null konvergiert, weil dann alle A_{lm} Null sein müssen. Entsprechend müssen alle B_{lm} Null sein, wenn Φ(ϵ, ϑ, φ) für ϵ → 0 im Mittel gegen eine (hins. dΩ) quadratintegrable Funktion konvergiert.^{26}

Oft sind die stetig von ϑ und φ abhängigen Entwicklungkoeffizienten der Entwicklung (1.23) von Φ(r, ϑ, φ) nach Potenzen von r an der Stelle ϑ = 0 bekannt. Dann ergeben sich daraus alle A_{lm} und B_{lm} durch Koeffizientenvergleich. Ein wichtiges Beispiel dafür behandelt der nächste Abschnitt.

Abschließende Bemerkung: Falls Φ nur in bestimmten r-Intervallen der Laplace-Gleichung genügt, gilt (1.23) natürlich immer noch für diese Bereiche.

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25Bzgl. einer Anwendung in der Magnetostatik magnetisierbarer Materie siehe Abschnitt 4.2.3. 26Damit ist noch einmal gezeigt, daß eine Lösung der Laplace-Gleichung nur dann im Unend-

lichen gleichförmig gegen Null konvergieren kann, wenn sie konstant Null ist.

1.4.2 Multipolentwicklung einer beliebig differenzierbaren endlich ausgedehnten Ladungsverteilung

Entwicklung von 1/ |r − r_{0}| : Für festes r_{0} verhält sich das Skalarfeld 1/ |r − r_{0}| in den disjunkten Bereichen r > r_{0} und 0 < r < r_{0} ‘vernünftig’ und erfüllt dort die Laplace-Gleichung. Somit gilt (1.23) für 0 < r ≠ r_{0} . Wenn wir die Polarachse in Richtung von r_{0} legen, folgt also aufgrund der Rotationssymmetrie bzgl. dieser Achse:

\frac{1}{|r − r_{0}|} = ∑_{l=0}^{∞} (A_{l}r^{l} + B_{l}r^{−l−1}) P_{l}(cos ϑ) .

Mit P_{l}(1) = 1 (n. Additivitätsth. u. Orthonormalitätsrel.)

folgt daraus offensichtlich

\frac{1}{|r − r_{0}|} = ∑_{l=0}^{∞} (A_{l}r^{l} + B_{l}r^{−l−1}) für ϑ = 0 .

Andererseits gilt für ϑ = 0 und r ≠ r_{0} :

\frac{1}{|r − r_{0}|} = \frac{1}{|r − r_{0}|} = \frac{1}{r_{>}} \frac{1}{1 − \frac{r_{<}}{r_{>}}} =_{geom. Reihe} \frac{1}{r_{>}} ∑_{l=0}^{∞} (\frac{r_{<}}{r_{>}} )^{l} .

Durch Koeffizientenvergleich folgt somit schließlich:

\begin{matrix}A_{l} = 0 \\ B_{l} = r_{<}^{l} \end{matrix} \} für r > r_{0} , \begin{matrix}A_{l} = r_{>}^{−l−1} \\ B_{l} = 0 \end{matrix} \} für r < r_{0} .

Aufgrund des Additionstheorems haben wir somit das \underline{Resultat:}^{27}

\begin{aligned}\frac{1}{|r − r′|} & = & \frac{1}{r_{>}} ∑_{l=0}^{∞} (\frac{r_{<}}{r_{>}} )^{l} P_{l}(cos \overline{ϑ}) \\ & = & \frac{4π}{r_{>}} ∑_{l=0}^{∞} ∑_{m=−l}^{+l} \frac{1}{2l + 1} (\frac{r_{<}}{r_{>}} )^{l} Y_{l,m}^{∗}(ϑ′, φ′)Y_{lm}(ϑ, φ) \end{aligned}

gilt (Konvergenz im L^{2}-Mittel als Funktion von ϑ′ , φ′) für r ≠ r′mit :

r_{<} =^{def} min \{r, r′\} , r_{>} =^{def} max \{r, r′\} , \overline{ϑ} =^{def} ∠r, r′ .

(1.24)

Multipolentwicklung: Sei nun ρ(r) eine beliebig differenzierbare Ladungsverteilung mit

ρ(r) = 0 für r > R .

Version vom 26. März 2009

27Es läßt sich sogar zeigen, daß die Konvergenz in (1.24) punktweise, absolut und gleichmäßig in jedem Gebiet mit \frac{r_{<}}{r_{>}} < 1 − ϵ gilt.

28 KAPITEL 1. ELEKTROSTATIK Dann gilt für das zugehörige Coulomb-Potential Φ_{ρ}(r) die Multipol-Entwicklung

Φ_{ρ}(r) = ∑_{l=0}^{∞} Φ_{l}(r) für r > R

(punktweise Konvergenz) mit den 2^{l}-Pol-Termen

Φ_{l}(r) =^{def} \frac{1}{4πϵ′_{0}} r^{−l−1} ∫ r^{′l} P_{j} (cos ∠r, r′) ρ(r′) dV_{r′}
= \frac{1}{ϵ′_{0}} \frac{r^{−l−1}}{2l+1} ∑_{m=−l}^{+l} q_{lm}Y_{lm}(ϑ, φ)

und den Multipol-Momenten

q_{lm} =^{def} ∫ Y_{lm}^{∗}(ϑ′, φ′) r^{′l} ρ(r′) dV_{r′} .

Speziell für l = 0 ergibt sich mit P_{0} = 1 der Monopol-Term Φ_{0}(r) = \frac{1}{4πϵ′_{0}r} \underbrace{∫ ρ(r′) dV_{r′}}_{Gesamtladung} .

Speziell für l = 1 ergibt sich mit P_{1}(ξ) = ξ der Dipol-Term

Φ_{1}(r) = \frac{1}{4πϵ′_{0}r^{2}} ∫ r′ cos(∠r, r′)ρ(r′) dV_{r′}

und damit das Dipol-Potential

Φ_{1}(r) = \frac{r · P}{4πϵ′_{0}r^{3}}

mit dem Dipol-Moment

P =^{def} ∫ r′ρ(r′) dV_{r′} .

Beispiel: Für die spezielle Ladungsverteilung^{28}ρ(r) = qδ(r − l/2) − qδ(r + l/2) gilt

Φ_{0}(r) = 0 , Φ_{1}(r) = \frac{(ql) · r}{4πϵ′_{0}r^{3}} ,

sowie

Φ_{ρ}(r) ⟶_{ql=const.} Φ_{1}(r) für l → 0 .

Speziell für l = 2 ergibt sich mit P_{2}(ξ) = \frac{3ξ^{2}−1}{2} der Quadrupol-Term

Φ_{2}(r) = \frac{1}{4πϵ′_{0}r^{3}} ∫ \frac{3 cos^{2}(∠r, r′) − 1}{2} r^{′2}ρ(r′) dV_{r′}
= \frac{1}{8πϵ′_{0} |r′|^{5}} Q(r, r)

mit dem Quadrupoltensor

Q(r_{1}, r_{2}) =^{def} ∫ (3(r_{1} · r′)(r_{2} · r′) − (r′ · r′)(r_{1} · r_{2})) ρ(r′) dV_{r′} .

Beispiel: Für die spezielle Ladungsverteilung ρ(r) = qδ(r − l/2) + qδ(r + l/2) − 2qδ(r)

(gestreckter Quadrupol ) gilt

Φ_{0}(r) = Φ_{1}(r) = 0 , Φ_{2}(r) = \frac{ql^{2}}{8πϵ′_{0}r^{3}} \frac{3 cos^{2}(∠r, l) − 1}{2} ,

sowie

Φ_{ρ}(r) ⟶_{qll=const.} Φ_{2}(r) für l → 0 .

1.4.3 Abschließende Bemerkungenx

Andere Reihenentwicklungen: Z.B. Entwicklung mit Zylinderfunktionen in Zylinderkoordinaten.

Hinlänglichkeit der Konvergenz im L^{2}-Mittel: Punktweise Konvergenz läßt sich notfalls durch makroskopische Glättung erreichen (vgl. Abschn. 2.2.2).

Version vom 26. März 2009

28Streng genommen müßte man die δ-Funktion durch geeignete Glockenfunktionen approximieren.

30 KAPITEL 1. ELEKTROSTATIK

Maxwellsche Gleichungen für das Vakuum

2.1 Die magnetische Kraftflußdichte

2.1.1 Festlegung von B

In der Regel geht es in der klassischen Elektrodynamik darum, das elektrische Feld ^{1} E(r, t) und die magnetische Kraftflußdichte B(r, t) zu vorgegebenen ρ(r, t), ȷ(r, t) zu bestimmen.^{2} Die Bedeutung der Felder E(r, t), B(r, t) liegt dabei in der als exakt angesehenen Gleichung

f(r, t) = ρ(r, t)E(r, t) + \frac{c′}{c} ȷ(r, t) × B(r, t)

(2.1)

für die sog. Lorentz-Kraftdichte:

\begin{matrix}Gesamtkraft auf die felderzeugenden \\ Ladungen innerhalb G zur Zeit t \end{matrix} \} = ∫_{G} f(r, t) dV_{r} .

Die willkürliche Konstante c′ in (2.1) hängt vom Maßsystem ab.^{3} In der Praxis testet man die elektromagnetischen Felder aus durch die Kraft F(r, t) , die sie auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegten Probeladung q_{Probe} ausüben. Sie ist gemäß (2.1) näherungsweise durch

F(r, t) ≈ q_{Probe}E(r, t) + q_{Probe} \frac{c′}{c} v × B(r, t)

(2.2)

gegeben.^{4} 32 KAPITEL 2. MAXWELLSCHE GLEICHUNGEN FÜR DAS VAKUUM

Version vom 26. März 2009 1Der elektrostatische Fall E(r, t) = E(r) wurde bereits in Kapitel 1.1 behandelt.

2Mitunter ist allerdings nur ein Teil der Strom-Ladungs-Verteilung explizit gegeben, der Rest nur implizit durch Material-‘Konstanten’ und Randbedingungen; vgl. Kap. 4.

3Z.B. wählt man c′ = c =^{def} Vakuumlichtgeschw. im praktischen Maßsystem, dagegen c′ = 1 im Gaußschen Maßsystem.

4Nur im (unrealisierbaren) Limes q_{Probe} → 0 liefert (2.2) den Quotienten F(r, t)/q_{Probe} exakt. Für endliches q_{Probe} läßt (2.2) die davon ausgehenden Zusatzfelder mit ihrer – bei starker

2.1.2 Unverständlichkeit der Lorentz-Kraft vom nichtrela-

tivistischen Standpunkt aus

Allgemein gilt:

(i) Kraft einer (für alle Zeiten) ruhenden Punktladung q_{2} am Ort r_{2} auf eine

Punktladung q_{1} am Ort r_{1} in gleichförmigem Bewegungszustand:

F = \frac{q_{1}q_{2}}{4πϵ′_{0}} \frac{r_{1} − r_{2}}{|r_{1} − r_{2}|^{3}} .

Vom nichtrelativistischen Standpunkt aus gesehen müßte auch gelten: (ii) Die Kraft aus (i) gilt auch für den Fall, daß sich die felderzeugende Ladung

(für alle Zeiten) im Zustand gleichförmiger Bewegung befindet. Aufgrund der Additivität von Kräften also:

Nach (i) und (ii) könnte ein elektrostatisch neutraler Strom keine Kraft auf eine bewegte Probeladung ausüben.

(ii) steht somit im Widerspruch zur experimentellen Erfahrung (Lorentz-Kraft)!

2.1.3 Relativistischer Ursprung von B

Hypothese:^{5} Stationäre Ladungs-Strom-Verteilungen üben auf eine ruhende Probeladung Kräfte aus, die sich nach den Gesetzen der Elektrostatik berechnen.

Problem: Gegeben seien

(i) eine stationäre Ladungs-Strom-Verteilung der Form ρ = 0 , ȷ(r) = \{ \begin{matrix}ȷe_{x} & für r ∈ R, \\ 0 & sonst \end{matrix}

wobei R =^{def} {r ∈ ℝ^{3} : y^{2} + z^{2} ≤ R^{2}} , und

(ii) eine Probeladung q am Ort r mit der Geschwindigkeit v = ve_{x} .

Version vom 26. März 2009

Beschleunigung durchaus erheblichen – sog. Strahlungsreaktion unberücksichtigt.

5Für die Maxwellsche Theorie ist diese Hypothese gültig.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; R; ΔL; ·; E′(r′); r′; ^{r′^{⊥}}]

Abb. 2.1: E-Feld eines ‘neutralen’ Stromes im bewegten Bezugssystem.

Man bestimme relativistisch die Kraft F , die die im Mittel als neutral angenommene Ladung der stromführenden Röhre R auf die Probeladung ausübt.

Anwendung der Hypothese: Die Vierer-Stromdichte (cρ, ȷ) transformiert sich gem. Relativitätstheorie wie (ct, r) (siehe Anhang A.2). Durch spezielle Lorentz-Transformation ergibt sich also nach Gleichung (A.2) für (cρ, ȷ) = (0, ȷ) :

ρ′ = −\frac{v}{c^{2}} ȷγ_{v}
= \{ \begin{matrix}Ladungsdichte innerhalb R, gesehen \\ im Ruhesystem der Probeladung , \end{matrix}

wobei

γ_{v} =^{def} 1/\sqrt{1 − (v/c)^{2}} .

Da nach dem Gaußschen Gesetz gemäß Abbildung 2.1

2π |r′_{⊥}| |E′(r′)| ΔL = \frac{1}{ϵ′_{0}} q_{ΔL} = \frac{1}{ϵ′_{0}} ρ′πR^{2}ΔL

gilt, folgt somit^{6}

|E′(r′)| = |\frac{1}{4πϵ′_{0}} \frac{v}{c^{2}} \frac{2J}{|r′_{⊥}|}γ_{v}| ,

wobei:

J =^{def} πR^{2}ȷ
= \{ \begin{matrix}Strom durch beliebigen Querschnitt von R \\ im ursprünglichen Koordinatensystem . \end{matrix}

Die Richtung von E′ stimmt mit derjenigen von v×(ȷ×r′) überein. Die Kraft F′(r′) auf die Probeladung q_{Probe} in ihrem Ruhesystem ist also

F′(r′) = F′_{⊥}(r′) = γ_{v}q \frac{c′}{c} v × \frac{1}{4πϵ′_{0}cc′} \frac{2J × r′}{|r′_{⊥}|^{2}} .

Version vom 26. März 2009

6Wir folgen der üblichen Gewohnheit, L-Vektoren mitunter als L′-Vektoren aufzufassen, indem wir die Komponenten des betr. L-Vektors auf die Basis von L′ beziehen. Entsprechendes gilt für die Interpretation von L′-vektoren als L-Vektoren. Das geht natürlich nur gut, solange die Koordinatensysteme von L und L′ entsprechend korreliert sind.

Aufgrund des Transformationsverhaltens der Kraft haben wir somit

F(r) = q \frac{c′}{c} v × B(r)

mit

B(r) =^{def} \frac{1}{4πϵ′_{0}cc′} \frac{2J × r}{|r_{⊥}|^{2}} = \frac{1}{4πϵ′_{0}cc′} \frac{2J × r′}{|r′_{⊥}|^{2}}

für den Spezialfall v ∼ ȷ bewiesen – im Einklang mit (2.2) und der Maxwellschen Gleichung

rot B = μ̂_{0} ȷ , μ̂_{0} =^{def} \frac{1}{ϵ′_{0}cc′} ,  (2.3)

der Magnetostatik im Vakuum (siehe Kapitel 3; insbes. Definition der Stromeinheit Ampere) .

Anschaulich ist dieser Effekt so zu verstehen, daß aufgrund der geschwindigkeitsabhängigen Lorentz-Kontraktion ein im Labor neutraler Strom im Ruhesystem der Probeladung nicht mehr neutral erscheint und daher eine elektrostatische Kraft ausübt.

2.2 Aufstellung der Gleichungen

2.2.1 Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes in Lorentz-invarianter Form

Faßt man die elektromagnetischen Felder zum sog. Feldstärke-Tensor

(F^{μν}) = ( \begin{matrix}F^{00} & ⋯ & F^{03} \\ ⋮ & & ⋮ \\ F^{30} & ⋯ & F^{33} \end{matrix} ) =^{def} ( \begin{matrix}0 & −\frac{1}{c′} E_{x} & −\frac{1}{c′} E_{y} & −\frac{1}{c′} E_{z} \\ +\frac{1}{c′} E_{x} & 0 & −B_{z} & +B_{y} \\ +\frac{1}{c′} E_{y} & +B_{z} & 0 & −B_{x} \\ +\frac{1}{c′} E_{z} & −B_{y} & +B_{x} & 0 \end{matrix} )  (2.4)

zusammen, dann läßt sich (2.1) zusammen mit der Gleichung

f^{0}(r, t) = \frac{1}{c}ȷ(r, t) · E(r, t) .

für die durch

\begin{matrix}Gesamtleistung an den felderzeugenden \\ Ladungen innerhalb G zur Zeit t \end{matrix} \} = ∫_{G} c f^{0}(r, t) dV_{r}

charakterisierte – von B unabhängige – Leistungsdichte c f^{0}(r, t) in der Form^{7}

f^{μ}(r, t) = \frac{c′}{c} F _{ν}^{μ}(r, t)ȷ^{ν}(r, t)  (2.5)

Version vom 26. März 2009

A_{ν} = \{ \begin{matrix}+A^{0} & falls ν = 0 \\ −A^{ν} & falls ν = 1, 2, 3 \end{matrix}

zu verstehen.

7Das Herauf- und Herunterziehen von Indizes ist stets im Sinne der Regel

schreiben, wobei

f^{0}(r, t) , f^{1}(r, t) =^{def} f_{x}(r, t) usw.

(2.6)

die sog. Vierer-Kraftdichte und

ȷ^{0}(r, t) =^{def} cρ(r, t) , ȷ^{1}(r, t) =^{def} j_{x}(r, t) usw.

(2.7)

die Vierer-Stromdichte bezeichnet. Hieraus erkennt man, daß (2.4) ein (antisymmetrischer) kontravarianter Lorentz-Tensor 2. Stufe sein muß, d.h. daß bei Bezugssystemwechsel

( \begin{matrix}ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}ct′ \\ x′ \\ y′ \\ z′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}Λ_{0}^{0′} & ⋯ & Λ_{3}^{0′} \\ ⋮ & & ⋮ \\ Λ_{0}^{3′} & ⋯ & Λ_{3}^{3′} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} )  (2.8)

gilt:^{8}

F^{μν}(r, t) ⟶ F^{μ′ν′}(r′, t′) = Λ_{α}^{μ′}Λ_{β}^{ν′}F^{αβ}(r, t) .  (2.9)

Dann ist aber auch^{9}

G^{μν} =^{def} \frac{1}{2}ϵ_{αβ}^{μν}F^{αβ} = ( \begin{matrix}0 & +B_{x} & +B_{y} & +B_{z} \\ −B_{x} & 0 & +\frac{1}{c′} E_{z} & −\frac{1}{c′} E_{y} \\ −B_{y} & −\frac{1}{c′} E_{z} & 0 & +\frac{1}{c′} E_{x} \\ −B_{z} & +\frac{1}{c′} E_{y} & −\frac{1}{c′} E_{x} & 0 \end{matrix} )  (2.10)

ein solcher Tensor. Wenn nun – wie wir im folgenden annehmen – die Gleichungen

div E_{ρ}(r) = \frac{1}{ϵ′_{0}} ρ(r) ; div B(r) = 0

in jedem Inertialsystem gelten, dann ist das äquivalent zur Gültigkeit der sog. Maxwellschen Gleichungen

∂_{μ}F^{μν}(r, t) = μ̂_{0} ȷ^{ν}(r, t)  (2.11)

und

∂_{μ}G^{μν}(r, t) = 0 ,  (2.12)

wobei

(∂_{0}, …, ∂_{3}) =^{def} (\frac{1}{c} \frac{∂}{∂t}, \frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y} , \frac{∂}{∂y} ) .

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8Wir benutzen die Einsteinsche Summenkonvention.

9Wie allgemein üblich, bezeichnen wir mit ϵ den total antisymmetrischen Tensor

ϵ_{μναβ} =^{def} \{ \begin{matrix}+1 & falls (μ, ν, α, β) gerade Permutation von (0, 1, 2, 3) , \\ −1 & falls (μ, ν, α, β) ungerade Permutation von (0, 1, 2, 3) , \\ 0 & sonst. \end{matrix} Man beachte die ‘Dualität’ (F^{μν} ⇌ G^{μν}) ˆ= (\frac{1}{c′} E ⇌ −B).

2.2.2 Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes in üblicher Form

Direkte Auswertung von (2.11) zeigt die Äquivalenz zu den beiden Gleichungen:

rot B = μ̂_{0} (ϵ′_{0} \frac{∂}{∂t}E + ȷ) ,  (2.13)

div E = \frac{1}{ϵ′_{0}} ρ .  (2.14)

Entsprechend ist (2.12) äquivalent zu den beiden Gleichungen:

rot E = −\frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}B ,  (2.15)
div B = 0 .  (2.16)

(2.13)–(2.16) sind die Maxwellschen Gleichungen ‘in üblicher Form’.

Da die Maxwellschen Gleichungen linear sind, kann man aus makroskopischer Sicht alle Felder als beliebig differenzierbar voraussetzen. Denn wenn E_{λ}, B_{λ} Lösung zu ρ_{λ}, ȷ_{λ} ist, dann ergibt sich – bei hinreichend gutartiger λ-Abhängigkeit – durch Wichtung mit einer reellwerigen Funktion g(λ) wieder eine Lösung ∫ g(λ)E_{λ} dλ , ∫ g(λ)B_{λ} dλ zu ∫ g(λ)ρ_{λ} dλ, ∫ g(λ)ȷ_{λ} dλ. Durch geeignete, makroskopisch unmerkliche, Mittelung^{10} läßt sich also stets beliebige Differenzierbarkeit einrichten.^{11} Mittelung über die Zeit begründet übrigens die physikalische Relevanz der Untersuchung zeitunabhängiger Strom-Ladungs-Verteilungen.

Transformationsverhalten der Felder: Der Übergang zu einem Bezugssystem, daß sich mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, wird durch eine spezielle Lorentz-Transformation, d.h. durch (2.8) mit der speziellen Matrix

( \begin{matrix}Λ_{0}^{0′} & ⋯ & Λ_{3}^{0′} \\ ⋮ & & ⋮ \\ Λ_{0}^{3′} & ⋯ & Λ_{3}^{3′} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}γ_{v} & −\frac{v}{c}γ_{v} & 0 & 0 \\ −\frac{v}{c}γ_{v} & γ_{v} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

beschrieben. Der gemäß (2.9) transformierte Feldstärke-Tensor wird analog (2.4)

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10Es scheint wohl grundsätzlich so zu sein, daß sich makroskopische Gesetze nur auf solche ‘mikroskopisch gültigen’ Gesetze in naheliegender Weise zurückführen lassen, die stabil bzgl. Mittelwertbildung und in diesem Sinne linear sind. Das mag wohl auch der Grund dafür sein, daß man für die Elementarteilchen bislang nur die lineare Quantenmechanik zur Verfügung hat.

11Die Maxwellschen Gleichungen machen aber auch für verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) Sinn.

interpretiert, wobei:

E′_{x′}(r′, t′) = E_{x}(r, t) ,  B′_{x′}(r′, t′) = B_{x}(r, t) ,
E′_{y′}(r′, t′) = γ_{v} (E_{y}(r, t) − \frac{c′}{c} vB_{z}(r, t)) , B′_{y′}(r′, t′) = γ_{v} (B_{y}(r, t) − \frac{v}{cc′} E_{z}(r, t)) ,
E′_{z′}(r′, t′) = γ_{v} (E_{z}(r, t) − \frac{c′}{c} vB_{y}(r, t)) , B′_{z′}(r′, t′) = γ_{v} (B_{z}(r, t) − \frac{v}{cc′} E_{y}(r, t)) .

Vom räumlichen Koordinatensystem unabhängig ausgedrückt, transformiert sich also das elektromagnetische Feld gemäß:

E′_{∥}(r′, t′) = E_{∥}(r, t) , B′_{∥}(r′, t′) = B_{∥}(r, t) ,
E′_{⊥}(r′, t′) = γ_{v} (E_{⊥}(r, t) + \frac{c′}{c} v × B_{⊥}(r, t)) ,
B′_{⊥}(r′, t′) = γ_{v} (B_{⊥}(r, t) − \frac{v}{cc′} × E_{⊥}(r, t)) .

(2.17)

Anmerkung: Hier bezeichnet _{∥} die Komponente des jeweiligen Vektors parallel zur Bewegungsrichtung und_{⊥} entsprechend die Komponente senkrecht dazu; vgl. Abschn. 2.1.2 von (Lücke, ein).

Daraus ergibt sich in nichtrelativistischer Näherung:

E′_{⊥}(r′, t′) ≈ E_{⊥}(r, t) + \frac{c′}{c} v × B_{⊥}(r, t) ,
B′_{⊥}(r′, t′) ≈ B_{⊥}(r, t) − \frac{v}{cc′} × E_{⊥}(r, t) .

(2.17) zeigt, daß E und B nur verschiedene Aspekte einunddesselben Phänomens sind, das man als elektromagnetisches Feld bezeichnet.

Einschränkungen an die Vierer-Stromdichte: j^{μ}(r, t) sei von nun ab in der Regel beliebig differenzierbar vorausgesetzt. Außerdem wird j^{μ}(r, t) in realistischen Fällen stets endliche räumliche Ausdehnung haben. Weiterhin muß gemäß^{12}

0 = cc′div rot B =_{(2.13)} \frac{∂}{∂t}div E + \frac{1}{ϵ′_{0}} div ȷ
=_{(2.14)} \frac{1}{ϵ′_{0}} (\frac{∂}{∂t}ρ + div ȷ)

die Kontinuitätsgleichung

\frac{∂}{∂t}ρ(r, t) + div ȷ(r, t) = 0  (2.18)

gelten. Es sei daran erinnert (vgl. Abschn. 4.4.4 von (Lücke, ein)), daß (2.18) nach dem Gaußschen Satz äquivalent zur Ladungserhaltung^{13}

\frac{d}{dt} \underbrace{∫_{G} ρ(r, t) dV_{r}}_{Gesamtladung in G} + \underbrace{∫_{∂G} ȷ(r, t) · dS_{r}}_{Ladungsstrom durch ∂G} = 0

ist.

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12In relativistischer Schreibweise lautet (2.18) ∂_{ν}ȷ^{ν} = 0 und folgt aufgrund der Antisymmetrie von F^{μν} direkt aus (2.11).

13Mit Paarerzeugung und -vernichtung ist (2.18) aber durchaus vereinbar.

2.3 Anwendung des Satzes von Stokes auf die Maxwellschen Gleichungen

2.3.1 Faradaysches Induktionsgesetz

Bereits in Abschnitt 4.3.4 von (Lücke, ein) wurde gezeigt, daß die (vektorielle) Maxwellsche Gleichung (2.15) aufgrund des Satzes von Stokes äquivalent zu dem Induktionsgesetz

\underbrace{∫_{∂S} E(r, t) · dr}_{induzierte Spannung} = −\frac{c′}{c} \frac{d}{dt} \underbrace{∫_{S} B(r, t) · dS_{r}}_{magn. Kraftfluß durch S}

für eine Leiterschleife längs des Randes ∂S eines jeden festen (orientierten) Flächenstücks S ist. Allgemeiner lautet das Faradaysche Induktionsgesetz^{14}

\underbrace{∫_{∂S_{t}} (E(r, t) + \frac{c′}{c} v(r, t) × B(r, t)) · dr}_{induzierte Spannung} = −\frac{c′}{c} \frac{d}{dt} \underbrace{∫_{S_{t}} B(r, t) · dS_{r}}_{magn. Kraftfluß durch S_{t}} ,  (2.19)

wobei jetzt das Flächenstück S_{t} zeitlich veränderlich sein darf und v(r, t) jeweils die Geschwindigkeit desjenigen Leiterpunktes bezeichnet, der sich zur Zeit t am Ort r befindet. Es läßt sich ableiten, indem man zusätzlich zu (2.15) noch (2.16) verwendet:

Offensichtlich ist nur noch^{15}

(\frac{d}{dt} ∫_{S_{t}} B(r, t_{0}) · dS_{r})_{|_{t=t_{0}}} = − ∫_{∂S_{t_{0}}} (v(r, t_{0}) × B(r, t_{0})) · dr

zu zeigen. Dazu wählen wir eine glatte, der Orientierung von ∂S_{t_{0}} entsprechende, Parametrisierung

∂S_{t_{0}} = {r(s) : s ∈ [0, 1)}

und bezeichnen jeweils mit r(s, t) die Bahnkurve des zum Parameter s gehörigen Leiterpunktes. Dann überstreicht die Leiterschleife während des Zeitintervalls [t_{0}, t_{0} + Δt] das orientierte Flächenstück

ΔS = {r(s, t) : s ∈ [0, 1), t ∈ [t_{0}, t_{0} + Δt]}

(siehe Abb. 2.2). Da B(r, t_{0}) nach Voraussetzung quellfrei ist, verschwindet das

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14Eine Änderung der Tangentialkomponente von v(r, t) (z.B. zur Angleichung an die Gewindigkeit der Leitungselektronen) hätte hier keinen Einfluß.

15Wegen

\frac{d}{dt} ∫_{S_{t}} B(r, t) · dS_{r} = (\frac{d}{dt} ∫_{S_{t_{0}}} B(r, t) · dS_{r})_{|_{t=t_{0}}} + (\frac{d}{dt} ∫_{S_{t}} B(r, t_{0}) · dS_{r})_{|_{t=t_{0}}} .

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; n; n; n; n; S(t_{0} + Δt); S(t_{0})]

Abb. 2.2: Zeitlich veränderliche Leiterschleife^{16} längs ∂S_{t}

Integral dieses Vektorfeldes über die geschlossene (orientierte) Oberfläche, die von ΔS, S_{t_{0}+Δt} und −S_{t_{0}} gebildet wird. Somit gilt tatsächlich:

lim_{Δt→+0} \frac{1}{Δt} (∫_{S_{t_{0}+Δt}} B(r, t_{0}) · dS_{r} − ∫_{S_{t_{0}}} B(r, t_{0}) · dS_{r})
= − lim_{Δt→+0} \frac{1}{Δt} ∫_{ΔS} B(r, t_{0}) · dS_{r}
= − lim_{Δt→+0} \frac{1}{Δt} ∫_{t_{0}}^{t_{0}+Δt} (∫_{0}^{1} B (r(s, t), t_{0}) · (\frac{∂}{∂s}r(s, t) × \frac{∂}{∂t}r(s, t)) ds) dt
= − ∫_{0}^{1} B (r(s, t_{0}), t_{0}) · (\frac{∂}{∂s}r(s, t_{0}) × \frac{∂}{∂t}r(s, t)_{|_{t=t_{0}}}) dt
= − ∫_{0}^{1} \frac{∂}{∂s}r(s) · (v (r(s, t_{0}), t_{0}) × B (r(s), t_{0})) dt
= − ∫_{∂S_{t_{0}}} (v(r, t_{0}) × B(r, t_{0})) · dr .

2.3.2 Elektromagnetische Potentiale

Sei E(r, t), B(r, t) ein stetig differenzierbares elektromagnetisches Feld. Dann ist B(r, t) gemäß (2.16) divergenzfrei und somit^{17}

A(r, t) = − ∫_{0}^{1} sr × B(sr, t) ds

gemäß Gl. (4.98) von (Lücke, ein) ein Vektorpotential von B(r, t) :

rot A(r, t) = B(r, t) .

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16Bei Bewegung in entgegengesetzter Richtung zeigen alle Flächennormalen ins Innere des Gebietes.

17Bzgl. der Vierer-Version

A_{μ}(x) = ∫_{0}^{1} sx^{ν}F_{νμ}(sx) ds

dieser sog. Poincaré-Konstruktion, die durch die Bedingung x^{μ}A_{μ}(x) = 0 (vollständig kovariante Eichung) eindeutig charakterisiert ist, siehe (Okabayashi, 1984).

Nach (2.15) ist somit

F(r, t) =^{def} E(r, t) + \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}A(r, t)

rotationsfrei und folglich (vgl. Abschn. 4.2.3 u. Gl. (4.35) von (Lücke, ein))

Φ(r, t) = − ∫_{r_{0}}^{r} F(r′, t) · dr′

(für bel. festes r_{0}) nach dem Satz von Stokes ein wohldefiniertes Skalarpotential von F(r, t) :

F(r, t) = −grad Φ(r, t) .

Damit gilt also:

B(r, t) = rot A(r, t) E(r, t) = −grad Φ(r, t) − \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}A(r, t)

(2.20)

Ganz allgemein bezeichnet man Felder Φ, A , für die (2.20) gilt, als elektromagnetische Potentiale.

Die elektromagnetischen Potentiale zu vorgegebenen E(r, t), B(r, t) sind durch (2.20) nicht eindeutig festgelegt, da eine Eichtransformation

\begin{matrix}Φ(r, t) \\ A(r, t) \end{matrix} \} ⟶ \{ \begin{matrix}Φ′(r, t) & =^{def} & Φ(r, t) − \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}f(r, t) \\ A′(r, t) & =^{def} & A(r, t) + grad f(r, t) \end{matrix} (2.21)

mit einem beliebigen (hinr. gutart.) Skalarfeld f(r, t) stets wieder auf Lösungen von (2.20) zu gleichen E(r, t), B(r, t) führt. Umgekehrt sieht man leicht, daß je zwei Lösungen von (2.20) durch eine Eichtransformation (2.21) ineinander übergeführt werden können.

Diese Vielfalt der elektromagnetischen Potentiale wird gewöhnlich durch geeignete Eichkonventionen eingeschränkt. Beliebte Eichbedingungen sind z.B. die Coulomb-Eichung

div A(r, t) = 0  (2.22)

oder die Lorentz-Eichung

\frac{1}{cc′} \frac{∂}{∂t}Φ(r, t) + div A(r, t) = 0 .  (2.23)

Durchführbarkeit der Eichungen: Von einer beliebigen Lösung Φ, A von (2.20) gelangt man genau dann zur Coulomb-Eichung durch eine Eichtransformation (2.21), wenn man für f eine Lösung der inhomogenen Laplace-Gleichung

Δf(r, t) = \underbrace{−div A(r, t)}_{Inhomogenität}

wählt.^{18} Die Bezeichnung Coulomb-Eichung hat ihren Grund darin, daß aus (2.22) und (2.20) mit der Maxwellschen Gleichung (2.14)

ΔΦ(r, t) = −\frac{1}{ϵ′_{0}} ρ(r, t)

folgt. Falls also die Normierung Φ(∞) = 0 möglich ist,^{19} stimmt Φ(r, t) (für räumlich begrenzte Ladungsverteilungen) mit dem zugehörigen Coulomb-Potential (1.6) überein. Falls B(r, t) im Unendlichen hinreichend schnell abfällt, dann wissen wir bereits (siehe Lemma 4.5.1 von (Lücke, ein)), daß

A(r, t) = \frac{1}{4π} ∫_{ℝ^{3}} \frac{rot B(r′, t)}{|r − r′|} dV_{r′}

ein Vektorpotential ist, das der Coulomb-Bedingung genügt, und zwar das einzige, das im Unendlichen verschwindet.

Ausgehend von beliebigen Φ, A erfüllen die gemäß (2.21) transformierten Potentiale Φ′, A′ die Lorentz-Bedingung, wenn f die inhomogene Wellengleichung

20

□ f(r, t) = \underbrace{\frac{1}{cc′} \frac{∂}{∂t}Φ(r, t) + div A(r, t)}_{Inhomogenität} , □ =^{def} \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} − Δ Wellenoperator

erfüllt. Mithilfe der retardierten (und der entsprechenden avancierten) Potentiale, die in Abschnitt 4.1.1 eingeführt werden, läßt sich leicht zeigen, daß ein solches f immer existiert.

Während die Coulomb-Eichung mit der Zusatzbedingung des Verschwindens im Unendlichen die elektromagenetischen Potentiale eindeutig festlegt, läßt die Lorentz-Eichung noch relativ viel Freiheit:

Die Eichtransformation (2.21) zerstört nicht die Lorentz-Bedingung (2.23), falls f die homogene Wellengleichung erfüllt. Wenn also bereits die Potentiale Φ, A die Lorentz-Bedingung erfüllen, so auch die mit solchem f eichtransformierten.^{21}

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18Eine solche Lösung existiert immer, wie in (Lücke, 1995) gezeigt wurde.

19Im Falle ρ = 0 spricht man dann von Strahlungseichung.

20Bzgl. der Konstruktion von Lösungen der inhomogenen Wellengleichung mit hinreichend gutartiger rechter Seite (Inhomogenität) siehe Abschn. 4.1.1.

21Eine einfache Lösung der homogenen Wellengleichung □ f = 0 ist z.B.

f(r, t) = ∫ e^{−r^{′2}}e^{−i(r′ct−r·r′)}dV_{r′} .

Maxwellsche Gleichungen in Potentialform: Wegen

∇ · (∇ × A) = 0 , ∇ × (∇Φ) = 0

(siehe Anhang) folgt umgekehrt unmittelbar, daß die Existenz elektromagnetischer Potentiale (2.20) bereits die Gültigkeit der homogenen^{22} Maxwellschen Gleichungen (2.15) und (2.16) garantiert. Also:^{23}

Maxwellsche Gleichungen ⟺ (2.20) + (2.13) + (2.14) .

Andererseits folgt mit

A^{0}(r, t) =^{def} \frac{1}{c′} Φ(r, t) , ( \begin{matrix}A^{1}(r, t) \\ A^{2}(r, t) \\ A^{3}(r, t) \end{matrix} ) =^{def} A(r, t) (2.24)

(2.20) ⟺ F^{μν} = ∂^{μ}A^{ν} − ∂^{ν}A^{μ} .

Mit

(2.13) + (2.14) ⟺ ∂_{μ}F^{μν} = μ̂_{0}j^{ν}

(siehe Anfang von Abschn. 2.2.2) ergibt sich damit insgesamt:

Maxwellsche Gleichungen ⟺ \{ \begin{matrix}∂_{μ}∂^{μ}A^{ν} − ∂^{ν}∂_{μ}A^{μ} = μ̂_{0} j^{ν} \\ +(2.20) \end{matrix}

(2.25)

Vorteile der Lorentz-Konvention: In Lorentz-Eichung vereinfacht sich die rechte Seite von (2.25) zu den inhomogenen Wellengleichungen

□ A^{μ}(r, t) = μ̂_{0} j^{μ}(r, t) .  (2.26)

Ein weiterer Vorteil der Lorentz-Eichung besteht in ihrer Lorentz-Kovarianz; d.h. wenn man bei Bezugssystemwechsel

x^{μ} ⟶ x^{μ′} = Λ_{ν}^{μ′}x^{ν}

A^{μ} wie einen kontravarianten Vierer-Vektor, also gemäß

A^{μ}(r, t) ⟶ A^{μ′}(r′, t′) = Λ_{ν}^{μ′}A^{ν}(r, t) ,

transformiert, dann bleibt dabei die Lorentz-Bedingung erhalten.

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22Die Vierer-Stromdichte (cρ, ȷ) wird als vorgegebene Inhomogenität des Maxwellschen Differentialgleichungssystems für E, B aufgefaßt.

23Streng genommen, haben wir die Existenz der elektromagnetischen Potentiale aus den Maxwellschen Gleichungen nur für hinreichend schnell im Unendlichen abfallende Felder gezeigt.

2.4. ZUSAMMENFASSUNG 43

2.4 Zusammenfassung

Lorentz-Kraftdichte:

f(r, t) = ρ(r, t)E(r, t) + \frac{c′}{c} ȷ(r, t) × B(r, t)

Lorentz-Boost zur Geschwindigkeit v :

r′^{∥} = γ_{v} (r_{∥} − \frac{v}{c}ct) E′_{∥}(r′, t′) = E_{∥}(r, t) , B′_{∥}(r′, t′) = B_{∥}(r, t)
r′^{⊥} = r_{⊥}  E′_{⊥}(r′, t′) = γ_{v} (E_{⊥}(r, t) + \frac{c′}{c} v × B(r, t))
ct′ = γ_{v} (ct − \frac{v}{c} · r) B′_{⊥}(r′, t′) = γ_{v} (B_{⊥}(r, t) − \frac{v}{cc′} × E(r, t))

Maxwellsche Gleichungen:

div E(r, t) = \frac{1}{ϵ′_{0}} ρ(r, t)  rot B(r, t) = μ̂_{0} (ϵ′_{0} \frac{∂}{∂t}E(r, t) + ȷ(r, t))
rot E(r, t) = −\frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}B(r, t) div B(r, t) = 0

Kontinuitätsgleichung:

\frac{∂}{∂t}ρ(r, t) + div ȷ(r, t) = 0

Induktionsgesetz:

U_{ind}(t) = −\frac{c′}{c} \frac{d}{dt} ∫_{S_{t}} B(r, t) · dS_{r}

Elektromagnetische Potentiale:

B(r, t) = rot A(r, t) E(r, t) = −grad Φ(r, t) − \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}A(r, t)

Coulomb-Eichung hinreichend schnell abfallender Felder:

Φ(r, t) = \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫ \frac{ρ(r′, t)}{|r − r′|}dV_{r′} , A(r, t) = \frac{1}{4π} ∫ \frac{rot B(r′, t)}{|r − r′|}dV_{r′}

Lorentz-Eichung

∂_{ν}A^{ν}(r, t) = 0

impliziert

Maxwellsche Gleichungen ⟺ □ A^{μ}(r, t) = μ̂_{0} j^{μ}(r, t) ,

44 KAPITEL 2. MAXWELLSCHE GLEICHUNGEN FÜR DAS VAKUUM wobei:

(∂_{ν}) =^{def} (\frac{1}{c} \frac{∂}{∂t}, ∇_{r}) , ∂^{ν} =^{def} \{ \begin{matrix}+∂_{0} & für ν = 0 \\ −∂_{ν} & sonst \end{matrix} , □ =^{def} ∂_{ν}∂^{ν} ,

(A^{μ}(r, t)) =^{def} (\frac{1}{c′} Φ(r, t), A(r, t)) , (j^{μ}(r, t)) =^{def} (cρ(r, t), ȷ(r, t)) ,

μ̂_{0} =^{def} \frac{1}{ϵ′_{0}cc′} .

Magnetostatik

3.1 Grundlagen

Wie bereits erwähnt, sind die Maxwellschen Gleichungen linear. Wenn man also eine partikuläre Lösung E_{part}, B_{part} von (2.13)–(2.16) bereits kennt, dann läßt sich jede andere Lösung E, B in der Form

E(r, t) = E_{part}(r, t) + E_{frei}(r, t) B(r, t) = B_{part}(r, t) + B_{frei}(r, t)

schreiben, wobei E_{frei}, B_{frei} eine Lösung der freien Maxwellschen Gleichungen, d.h. eine Lösung von (2.13)–(2.16) zu ρ = 0 , ȷ = 0 , ist. Im Falle zeitunabhängiger ρ, ȷ (statische Ladungs- und stationäre Strom-Verteilung) läßt sich E_{part}, B_{part} stets t-unabhängig (statisches elektromagnetische Feld) wählen:

E_{part}(r, t) = E(r) , B_{part}(r, t) = B(r) ,

wobei:

rot B(r) = μ̂_{0} ȷ(r) , div B(r) = 0  (3.1)
rot E(r) = 0  , div E(r) = \frac{1}{ϵ′_{0}} ρ(r) .  (3.2)

Die Gleichungen für das elektrische und das magnetische Feld entkoppeln auf diese Weise also vollständig.

Während sich die Elektrostatik mit (3.2) beschäftigt (vgl. Kap. 1), beschäftigt sich die Magnetostatik mit (3.1). Dabei ist die erste der Gleichungen (3.1) natürlich nur im Falle div ȷ = 0 lösbar, was aber durch die Kontinuitätsgleichung garantiert ist.

3.1.1 Biot-Savartsches Gesetz

B-Feld zu vorgegenem ȷ : Für realistische Stromdichten, also glatte Stromdichten endlicherAusdehnung, kann man verlangen, daß B(r) im Unendlichen (gleichmäßig in allen Richtungen) verschwindet. Nach dem Fundamentalsatz der Vektoranalysis (siehe Anhang) ist damit die physikalische Lösung von (3.1) eindeutig festgelegt zu:^{1}

B(r) = rot A(r) , A(r) =^{def} \frac{1}{4π} ∫ \frac{rot B(r′)}{|r − r′|} dV_{r′} =_{(3.1)} \frac{μ̂_{0}}{4π} ∫ \frac{ȷ(r′)}{|r − r′|} dV_{r′} . (3.3)

Gemäß

rot ∫ \frac{ȷ(r′)}{|r−r′|} dV_{r′} = ∫ ∇_{r} × \frac{ȷ(r′)}{|r−r′|}dV_{r′}
= − ∫ ȷ(r′) × ∇_{r} \frac{1}{|r−r′|} dV_{r′}
= ∫ \frac{ȷ(r′)×(r−r′)}{|r−r′|^{3}} dV_{r′}

ergibt sich daraus das Biot-Savartsche Gesetz :

B(r) = \frac{μ̂_{0}}{4π} ∫ \frac{ȷ(r′) × (r − r′)}{|r − r′|^{3}}dV_{r′}.

Laplacesches Gesetz: Gegeben sei ein dünner ‘Draht’ längs eines geschlossenen Weges C, der von dem stationären Strom I durchflossen werde (Vorzeichen von I entsprechend der Orientierung von C). Da dann (bei Fehlen weiterer Stromverteilungen)

∫ \frac{ȷ(r′) × (r − r′)}{|r − r′|^{3}}dV_{r′} ≈ −I ∫_{C} \frac{r − r′}{|r − r′|^{3}} × dr′

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B(r) ≈ ∫_{C} \underbrace{\frac{μ̂_{0}}{4π} I \frac{r′ − r}{|r′ − r|^{3}} × dr′}_{≈dB(r)_{r′}},

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B_{x} = B_{z} = 0 auf der z-Achse .

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Abb. 3.2: Querschnitt eines Solenoids

Es genügt also, B_{z} zu berechnen. Nach dem Laplaceschen Gesetz gilt dafür auf der x-Achse, d.h. für r = (0, 0, z) :

\frac{4π}{μ̂_{0}}dB_{z}(r)_{r′}  =_{Laplace} −\frac{I}{|r−r′|^{3}} e_{z} · ((r − r′) × dr′)

=

Zykl. Spatpr.

−\frac{I}{|r−r′|^{3}} (e_{z} × (r − r′)) · dr′
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=  (R^{2} + z^{2})^{−3/2}IR |dr′|

und somit:

\begin{aligned}B_{z}(0, 0, z) & = & ∫_{Kreis} dB_{z}(0, 0, z)_{r′} \\ & = & \underline{\underline{\frac{μ̂_{0}}{2} IR^{2}(R^{2} + z^{2})^{−3/2}}} . \end{aligned}

B-Feld im Zentrum eines Solenoids: Wir betrachten nun entsprechend eine gleichmäßig dicht gewickelte, zylindrische Spule (Solenoid) mit der Länge l, dem Radius R und N Windungen (siehe Abb. 3.2). Wir wollen uns dabei mit einer Näherungsrechnung für das B-Feld im Spulenmittelpunkt zufrieden geben:

Wir legen die Koordinaten so, daß die z-Achse mit der Symmetrieachse der Spule und der Koordinatenursprung mit dem Spulenmittelpunkt zusammenfällt. Dann rechnen wir so, als befände sich zwischen z und z + dz jeweils ein Ringstrom um die z-Achse mit Umlaufradius R und Umlaufstrom \frac{IN}{l} dz. Damit gilt dann nach obigem Ergebnis:

\frac{2}{μ̂_{0}} B_{z}(0) = \frac{INR^{2}}{l} ∫_{−l/2}^{+l/2}(R^{2} + z^{2})^{−3/2} dz .

Mit

R = \sqrt{R^{2} + z^{2}} sin ϑ , z = R cot ϑ , dz = −\frac{R}{sin^{2} ϑ} dϑ

folgt daraus^{2}

\frac{2}{μ̂_{0}} B_{z}(0) = −\frac{INR^{2}}{l} ∫\begin{matrix}arcctg & \frac{+l}{2R} \\ arcctg & \frac{−l}{2R} \end{matrix} \frac{sin^{3} ϑ}{R^{3}} \frac{R}{sin^{2} ϑ} dϑ
= \frac{IN}{l} (cos (arcctg \frac{+l}{2R}) − cos (arcctg \frac{−l}{2R}))
= \frac{IN}{l} (\frac{\frac{l}{2R}}{\sqrt{1+(\frac{l}{2R})^{2}}} + \frac{\frac{l}{2R}}{\sqrt{1+(\frac{l}{2R})^{2}}} )
= \frac{2IN}{\sqrt{4R^{2}+l^{2}}} ,

und somit das \underline{Resultat:}

|B(Zentrum)| = \frac{μ̂_{0} |I| N}{\sqrt{4R^{2} + l^{2}}} .

(3.4)

3.1.2 Das Magnetische Feld H

Für den (unrealistischen!) Fall, daß alle Ströme genau bekannt sind, wird das magnetische Feld H(r, t) als konstantes Vielfaches der Kraftflußdichte B(r, t) eingeführt:

H(r, t) =^{def} \frac{1}{μ′_{0}} B(r, t) .  (3.5)

Dabei ist μ′_{0} eine weitere Maßsystemkonstante.

Version vom 26. März 2009

2Man beachte, daß cos α = \frac{ctg α}{\sqrt{1+ctg^{2}α}} und somit arcctg x = arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} gilt.

Motivation Im praktischen Maßsystem möchte man (3.4) naheliegenderweise in der Form

|H(r)| = \frac{|I| N}{\sqrt{4R^{2} + l^{2}}}  (3.6)

schreiben, bzw. (3.1) zu

rot H(r) = ȷ(r) , div B(r) = 0

vereinfachen, was beides der Wahl

μ′_{0} = μ̂_{0}

entspricht.^{3} Im Gaußschen Maßsystem wählt man dagegen

μ′_{0} = 1 ,

so daß sich H(r, t) in diesem Falle noch nicht von B(r, t) unterscheidet.

Wirklich wesentlich wird die Unterscheidung zwischen H(r, t) und B(r, t) bei (genäherter) Beschreibung mikroskopischer Stromverteilungen mithilfe von Material-‘Konstanten’, wobei dann rot H(r, t) proportional zur Stromdichte ȷ_{ex} der sog. Überschußladungen gesetzt wird, die z.B. die inneratomaren Ströme unberücksichtigt läßt (vgl. Kap. 4). Im günstigsten Falle ist dann k′ durch ein Skalarfeld μ(r)μ_{0} zu ersetzen, das von der konkreten Materieverteilung abhängt.

3.1.3 Amperesches Gesetz

Nach dem Stokesschen Satz ist die (3.1)/(3.5) entsprechende Gleichung

rot H(r) = \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} ȷ(r)  (3.7)

äquivalent ist zum sog. Ampereschen Gesetz^{4}

∫_{∂S} H(r) · dr = \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} \underbrace{∫_{S} ȷ(r) · dS_{r}}_{Strom durch S}

(3.8)

für beliebige (jedoch hinreichend gutartige) Flächenstücke S.

Damit ergibt sich für das Magnetfeld außerhalb eines unendlich langen, zylindrischen Stromfadens mit dem Gesamtstrom I

H(r) = \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} \frac{I × r}{2π|r|^{2}} für r ⊥ I  (3.9)

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  I e_{x} B

Abb. 3.3: Magnetfeld eines zylindrischen Stromfadens

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 2; I_{1}; I_{2}; B_{2}; 1; F_{l}; .; .; D; |I_{1}| = |I_{2}| = I]

Abb. 3.4: Stromdurchflossene, parallele Drähte

(wenn die Symmetrieachse des Stromfadens durch r = 0 geht).

Definition der Stromeinheit Ampere

Zwei dünne, lange, gerade Drähte seien parallel zueinander im Abstand D voneinander aufgespannt und in entgegengesetzter Richtung von dem stationären Strom I durchflossen (vgl. Abb. 3.4). Dann gilt für abstoßende die Kraft F_{l}, die die Kraftflußdichte B_{2} des zweiten Drahtes auf ein Teilstück des ersten Drahtes der Länge l ausübt:

|F_{l}| =
(2.2)_{Symmetrie}

\frac{c′}{c} |I_{1} × B_{2}| l
=_{(3.9)}  \frac{c′}{c} \frac{μ̂_{0}}{2π} \frac{I^{2}}{D} l .

Diese Kraftwirkung erlaubt folgende Definition:

1Ampere =^{def} \{ \begin{matrix}der Strom I, der bei l = D = 1Meter \\ |F_{l}| = 2 · 10^{−7}Newton liefert . \end{matrix}

Mit (2.3) ergibt sich daraus für die in (1.2) eingeführte Maßsystemkonstante

ϵ′_{0} = ϵ_{0} ≈ 8, 85 · 10^{−12} \frac{Coulomb^{2}}{Newton · Meter^{2}} .

Dies sind die Konventionen im praktischen Maßsystem mit der Ladungseinheit

Coulomb =^{def} Ampere · Sekunde .

Version vom 26. März 2009

3Mit den im praktischen Maßsystem üblichen Konventionen μ_{0} =^{def} μ̂_{0} , ϵ_{0} =^{def} ϵ′_{0} , c′ = c folgt dann ϵ_{0}μ_{0} = c^{−2} .

4Im allgemeinen Fall ist, wie gesagt, ȷ durch die Stromdichte ȷ_{ex} der Überschußladungen zu ersetzen.

Im Gaußschen Maßsystem wird dagegen die Stromeinheit über die Ladungseinheit und letztere über das Coulombsche Gesetz mit k = 1 festgelegt.

3.2 Eng begrenzte stationäre Stromverteilungen

3.2.1 Die Dipol-Näherung

Im Hinblick auf (3.3) wollen wir jetzt für ein beliebiges (hinr. gutart.) Vektorfeld F(r) die Dipolnäherung^{5}

(∫ \frac{F(r′)}{|r − r′|} dV_{r′})_{Dipol-Näh.} =^{def} |r|^{−1} ∫ F(r′) dV_{r′} + |r|^{−3} ∫ (r · r′)F(r′) dV_{r′} (3.10)

von ∫ \frac{F(r′)}{|r−r′|}dV_{r′} (für |r| ≫ |r′|) untersuchen. Zunächst sieht man leicht:

∫ (r · r′)F(r′) dV_{r′}
=  ∫ (r · r′) (F(r′) · ∇_{r′}) r′ dV_{r′}
=_{part. Int.}  − ∫ r′∇_{r′} · ((r · r′)F(r′)) dV_{r′}
=  − ∫ r′(r · r′)div F(r′) dV_{r′} − ∫ r′(F(r′) · \underbrace{∇_{r′}(r · r′)}_{=r})dV_{r′} .

Nach dem Entwicklungssatz Gl. (2.23) von (Lücke, ein), angewandt auf r×(r′ × F(r′)), gilt andererseits

∫ (r · r′)F(r′) dV_{r′} = ∫ (r · F(r′)) r′ dV_{r′} − r × ∫ r′ × F(r′) dV_{r′} .

Durch Addition beider Gleichungen und Division durch 2 ergibt sich damit

∫ (r · r′)F(r′) dV_{r′} = −\frac{1}{2}r × ∫ r′ × F(r′) dV_{r′} − \frac{1}{2} ∫ r′(r · r′)div F(r′) dV_{r′} . (3.11)

Mit

∫ F(r′) dV_{r′} = ∫ (F(r′) · ∇_{r′}) r′ dV_{r′}
=_{part. Int.} − ∫ r′div F(r′)dV_{r′}

(3.12)

ergibt sich daraus gemäß (3.10)

(∫ \frac{F(r′)}{|r − r′|} dV_{r′})_{Dipol-Näh.}

= −\frac{1}{2} \frac{r}{|r|^{3}} × ∫ r′ × F(r′) dV_{r′} − ∫ div F(r′)r′ (\frac{1}{|r|} + \frac{r · r′}{2 |r|^{3}} ) dV_{r′} .

(3.13)

Version vom 26. März 2009

5Nach (1.24) ist

\frac{1}{|r − r′|} ≈_{|r|≫|r′|} \frac{1}{|r|} + \begin{matrix}| & r′ & | \\ |r| & 2 \end{matrix} cos (∠r, r′) = \frac{1}{|r|} + \frac{r · r′}{|r|^{3}} .

Wir wollen dieses Ergebnis nun auf den Fall^{6}

F(r′) = ȷ(r′ + r_{0})

anwenden, wobei ȷ eine räumlich beschränkte, divergenzfreie, stationäre Stromverteilung ist:

div ȷ = 0 und ȷ(r′ + r_{0}) = 0 für |r′| > R .  (3.14)

Für die dadurch erzeugte stationäre Kraftflußdichte gilt dann

\frac{4π}{μ̂_{0}}B(r + r_{0})

=_{(3.3)}  rot ∫ \frac{ȷ(r′+r_{0})}{|r−r′|}d V_{r′}
≈_{(3.13)_{div ȷ=0}}  −\frac{1}{2}∇_{r} × (\frac{r}{|r|^{3}} × ∫ r′ × ȷ(r′ + r_{0}) dV_{r′})
=_{Entw.-Satz}  \frac{1}{2} \underbrace{div \frac{r}{|r|^{3}}}_{=0} ∫ r′ × ȷ(r′ + r_{0}) dV_{r′} − \frac{1}{2} (∫ r′ × ȷ(r′ + r_{0}) dV_{r′}) · ∇_{r} \frac{r}{|r|^{3}} .

Indem man den Entwicklungssatz auf

(∫ r′ × ȷ(r′ + r_{0}) dV_{r′}) × \underbrace{(∇_{r} × \frac{r}{|r|^{3}} )}_{=0}

anwendet, erhält man also

\frac{4π}{μ̂_{0}} B(r + r_{0}) = −∇_{r} (\frac{1}{2} (∫ r′ × ȷ(r′ + r_{0}) dV_{r′}) · \frac{r}{|r|^{3}} ) ,

woraus sich mit (3.5)

(3.14) ⟹ H(r + r_{0}) ≈_{|r|≫R} −\frac{cμ̂_{0}}{c′μ′_{0}} \frac{1}{4πμ′_{0}} grad \frac{r · M}{|r|^{3}} , wobei:
M = magnetisches Dipolmoment  von ȷ
=^{def}  \frac{c′}{c} \frac{μ′_{0}}{2} ∫ (r′ − r_{0}) × ȷ(r′) dV_{r′}

(3.15)

ergibt. Man beachte, daß M gemäß (3.12) wegen div ȷ = 0 von r_{0} unabhängig ist.

Magnetisches Dipolmoment einer ebenen Stromschleife:

Sei S ein ebenes einfaches Flächenstück mit der Flächennormalen n, dessen Rand ∂S von einem dünnen Draht gebildet sei, durch den (im Sinne der Orientierung von ∂S) der stationäre Strom I fließe (siehe Abb. 3.5). Für die zugehörige

Version vom 26. März 2009

6Der Fall div F ≠ 0 tritt im Beweis von Gleichung (4.5) auf.

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folgt

□_{r,t} ∫ \frac{f(r′,t−|r−r′|/c)}{|r−r′|}dV_{r′}

= lim_{ϵ→+0} ∫_{|r′|>ϵ}(\underbrace{(□_{r′,t} \frac{f(r−r′′,t−|r′|/c)}{|r′|})_{|_{r′′=r′}}}_{=_{(4.3)} 0} +∇_{r′} · (∇_{r′} \frac{f(r−r′′,t−|r′|/c)}{|r′|})_{|_{r′′=r′}})dV_{r′}

=_{Gauß} − lim_{ϵ→+0} ∫_{∂U_{ϵ}(0)} (∇_{r′} \frac{f(r−r′′,t−|r′|/c)}{|r′|})_{|_{r′′=r′}} · dS_{r′}

= lim_{ϵ→+0}(\underbrace{∫_{∂U_{ϵ}(0)} f(r − r′, t − |r′| /c)\frac{r′}{|r′|^{3}} · dS_{r′}}_{→4πf(r,t)} − \underbrace{∫_{∂U_{ϵ}(0)} \frac{∇_{r′}f(r−r′′,t−|r′|/c)_{|_{r′′=r′}}}{|r′|} · dS_{r′}}_{→0}) .

Anmerkung: Mithilfe der Formel^{5}

∫_{ℝ^{3}} (∫_{−∞}^{+∞} f(r − r′, t − t′)θ(t′)δ ((ct′)^{2} − |r′|^{2}) dt′) dV_{r′} = ∫_{ℝ^{3}} \frac{f(r − r′, t − |r′| /c)}{2 |r′|} dV_{r′}

(Beweis als Übungsvorschlag), die üblicherweise formal durch

θ(ξ) δ (ξ^{2} − A^{2}) = \frac{δ(ξ − |A|)}{2 |A|}

Version vom 26. März 2009

3Letzteres erkennt man leicht aus

Δ =_{(1.21)} \underbrace{\frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} r^{2} \frac{∂}{∂r}}_{= \frac{1}{r} (\frac{∂}{∂r})^{2} r} +\frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂ξ} (1 − ξ^{2})\frac{∂}{∂ξ} + \frac{1}{r^{2}} \frac{1}{1 − ξ^{2}} \frac{∂^{2}}{∂φ^{2}} , ξ =^{def} cos ϑ .

und der Grenzübergang δ_{ϵ} → δ durchzuführen ist.

4Für zeitunabhängiges f ist damit natürlich noch einmal die Poissonsche Gleichung bewiesen.

5Gemeint ist hier, daß für δ zunächst eine δ-Folge δ_{ϵ} (z.B. entsprechend Aufgabe 9) einzusetzen

60 KAPITEL 4. MAXWELLSCHE GLEICHUNGEN FÜR MATERIE

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; (ct̂, r_{0}(t̂)); (ct̂, r)]

Abb. 4.1: Retardierte Wirkung mit Lichtgeschwindigkeit

mitgeteilt wird, erkennt man leicht, daß sich das retardierte Vierer-Potential (\frac{1}{c′} Φ_{ret}, A_{ret}) relativistisch wie die zugehörige Vierer-Stromdichte (cρ, ȷ) transformiert. Somit gilt

F_{ret}^{μν} = ∂^{μ}A_{ret}^{ν} − ∂^{ν}A_{ret}^{μ}

(entspreched (2.20) und (2.4)) in jedem Bezugssystem.

4.1.2 Retardierte Dipol-Näherung

Sei ρ_{mikro} , ȷ_{mikro} eine Ladungs- und Stromverteilung, die zum Zeitpunkt t jeweils eng um r_{0}(t) herum lokalisiert sei. Die Geschwindigkeit sämtlicher Ladungsanteile dieser Verteilung sei klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.

Dann existiert zu jedem Raum-Zeit-Punkt (ct, r) genau ein Zeitpunkt t̂= t̂(r, t) , für den (ct̂, r_{0}(t̂)) mit (ct, r) durch ein Lichtsignal verbindbar ist (siehe Abb. 4.1). Falls sich ρ(r, t) zeitlich nicht zu schnell ändert, gilt also nach (4.1)

Φ_{ret}(r, t) ≈ \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫ \frac{ρ (r′, t̂(r, t))}{|r − r′|} dV_{r′} ,

mit der Dipolnäherung^{6}

|r − r′|^{−1} = |\underbrace{(r − r_{0}(t̂)}_{‘groß’} − \underbrace{(r′ − r_{0}(t̂)}_{‘klein’}|^{−1} ≈_{Taylor} |r − r_{0}(t̂)|^{−1} + \frac{(r − r_{0}(t̂)) · (r′ − r_{0}(t̂))}{|r − r_{0}(t̂)|}

folglich

4πϵ′_{0}Φ_{ret}(r, t) ≈ \frac{q_{mikro}}{|r − r_{0} (t̂(r, t))|} + \frac{(r − r_{0} (t̂(r, t))) · P_{mikro} (t̂(r, t))}{|r − r_{0} (t̂(r, t))|^{3}} ,  (4.4)

6Vgl. auch (1.24) und Aufgabe 26.

Version vom 26. März 2009

wobei

q_{mikro} =^{def} ∫ ρ_{mikro}(r′, t̂) dV_{r′} (unabhängig von t̂)

die Gesamtladung und

P_{mikro}(t̂) =^{def} ∫ (r′ − r_{0}(t̂)) ρ_{mikro}(r′, t̂) dV_{r′}

das Dipolmoment bzgl. r_{0}(t̂) der vorgegebenen Ladungsverteilung zum Zeitpunkt t̂ ist.

Entsprechend ergibt sich für das retardierte Vektorpotential

\frac{4π}{μ̂_{0}}A_{ret}(r, t) =_{(4.1)} ∫ \frac{ȷ_{mikro}(r′+r_{0}(t̂),t−|r−(r′+r_{0}(t̂))|/c)}{|r−(r′+r_{0}(t̂))|} dV_{r′}
≈ ∫ ȷ_{mikro}(r′+r_{0}(t̂),t̂)_{|(r−r_{0}(t̂)−r′)|} dV_{r′}
≈_{(3.13)} −\frac{1}{2} \frac{r−r_{0}(t̂)}{|r−r_{0}(t̂)|^{3}} × ∫ r′ × ȷ_{mikro} (r′ + r_{0}(t̂), t̂) dV_{r′}

− ∫ \underbrace{div ȷ_{mikro} (r′ + r_{0}(t̂), t̂)}_{=_{(2.18)} − \frac{d}{dt̂}ρ_{mikro}(r′+r_{0}(t̂),t̂)} r′ (\frac{1}{|r−r_{0}(t̂)|} + \underbrace{\frac{(r − r_{0}(t̂)) · r′}{2 |r − r_{0}(t̂)|^{3}}}_{vernachlässigbar}) dV_{r′} .

und somit

4πA_{ret}(r, t) ≈ \frac{cμ̂_{0}}{c′μ′_{0}} M_{mikro} (t̂(r, t)) × \frac{r − r_{0} (t̂(r, t))}{|r − r_{0} (t̂(r, t))|^{3}}

+\frac{μ̂_{0}}{|r − r_{0} (t̂(r, t))|} \frac{d}{dt̂}(P_{mikro}(t̂) + q_{mikro}r_{0}(t̂))_{|_{t̂=t̂(r,t)}} ,

(4.5)

wobei

M_{mikro}(t̂) =^{def} \frac{c′}{c} \frac{μ′_{0}}{2} ∫ (r′ − r_{0}(t̂)) × ȷ_{mikro}(r′) dV_{r′}

das magnetische Dipolmoment bzgl. r_{0}(t̂) von ȷ_{mikro} gemäß (3.15) zum Zeitpunkt t̂ ist.

4.1.3 Makroskopische Mittelung

Wir setzen von nun ab voraus, daß stets Materie vorliegt, die sich – auch aus mikroskopischer Sicht – relativ zur Lichtgeschwindigkeit langsam bewegt.

Es liegt nun nahe, die mikroskopischen Ladungs- und Stromverteilungen angenähert als makroskopische Verteilungen^{7} von Monopolen q_{mikro} (Überschußladungen)

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7Man beachte die praktische Notwendigkeit, über makroskopisch kleine, mikroskopisch aber große, Gebiete zu mitteln.

und neutralen Dipolen P_{mikro} , M_{mikro} der in Abschn. 4.1.2 betrachteten Art zu beschreiben:

ρ_{ex}(r, t) =^{def} \{ \begin{matrix}Ladungsdichte der Überschußladungen \\ am Ort r zur Zeit t, \end{matrix}
ȷ_{ex}(r, t) =^{def} \{ \begin{matrix}Stromdichte der Überschußladungen \\ am Ort r zur Zeit t, \end{matrix}
P(r, t) =^{def} \{ \begin{matrix}Dichte der elektrischen Dipole \\ am Ort r zur Zeit t, \end{matrix}
M(r, t) =^{def} \{ \begin{matrix}Dichte der magnetischen Dipole \\ am Ort r zur Zeit t. \end{matrix}

Die zu gegebener Magnetisierung M, dielektrischer Polarisation P und zu gegebener Ladungs-Stromdichte ρ_{ex} , ȷ_{ex} der Überschußladungen gehörigen retardierten Potentiale sind dann nach (4.4)/(4.5):^{8}

Φ_{makr}(r, t) ≈ \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫ \frac{ρ_{ex}(r′,t−|r−r′|/c)}{|r−r′|} dV_{r′}
+ \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫ P(r′, t − |r − r′| /c) · ∇_{r′} \frac{1}{|r−r′|} dV_{r′}
A_{makr}(r, t) ≈ \frac{μ̂_{0}}{4π} ∫ \frac{ȷ_{ex}(r′,t−|r−r′|/c)}{|r−r′|} dV_{r′}
+ \frac{cμ̂_{0}}{c′μ′_{0}} \frac{1}{4π} ∫ M(r′, t − |r − r′| /c) × ∇_{r′} \frac{1}{|r−r′|} dV_{r′}
+ \frac{μ̂_{0}}{4π} ∫ \frac{\frac{∂}{∂t}P_{ex}(r′,t−|r−r′|/c)}{|r−r′|} dV_{r′}

Durch partielle Integration folgt daraus in guter makroskopischer Näherung:^{9}

Φ_{makro}(r, t) = \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫ \frac{ρ_{eff}(r′, t − |r − r′| /c)}{|r − r′|} dV_{r′} ,
A_{makro}(r, t) = \frac{μ̂_{0}}{4π} ∫ \frac{ȷ_{eff}(r′, t − |r − r′| /c)}{|r − r′|} dV_{r′} ,

(4.6)

wobei die effektive Ladungs- und Stromdichte ρ_{eff} , ȷ_{eff} durch

ρ_{eff}(r, t) =^{def} ρ_{ex}(r, t) − div P(r, t) ,
ȷ_{eff}(r, t) =^{def} ȷ_{ex}(r, t) + \frac{∂}{∂t}P(r, t) + \frac{c}{c′} \frac{1}{μ′_{0}} rot M(r, t)

(4.7)

definiert ist. Da bei makroskopisch konsistenter Definition für ρ_{ex} , ȷ_{ex} die Kontinuitätsggleichung erfüllt ist, gilt dasselbe damit für die effektive Ladungs-Stromver-teilung:

\frac{∂}{∂t}ρ_{eff}(r, t) + div ȷ_{eff}(r, t) = 0

(4.8)

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8Man beachte, daß in Abschn. 4.1.2 stets t̂(r, t) = t − |r − r_{0} (t̂(r, t))| /c galt (vgl. Abb. 4.1).

9Die zusätzliche Näherung besteht in der Vernachlässigung der Ableitungen der r′-abhängigen Zeitargumente von P und M.

4.2 Die makroskopischen Felder

4.2.1 Definition und Grundgleichungen

Das zu (4.6) gehörige, makroskopische, elektromagnetische Feld genügt (gemäß Abschn. 4.1.1) natürlich den Maxwellschen Gleichungen (2.13)–(2.16) für ρ = ρ_{eff} , ȷ = ȷ_{eff} . Daran ändert sich auch nichts, wenn man eine freie Lösung addiert. Unabhängig von der speziellen Wahl der Potentiale als retardierte in Abschn. 4.1.3 sollten daher die makroskopisch geeignet gemittelten Felder den Gleichungen

rot B_{makro} = μ̂_{0} (ϵ′_{0} \frac{∂}{∂t}E_{makro} + ȷ_{eff}) ,  (4.9)
div E_{makro} = \frac{1}{ϵ′_{0}} ρ_{eff} ,  (4.10)

rot E_{makro} = −\frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}B_{makro} ,

(4.11)

div B_{makro} = 0 .

(4.12)

genügen. Eine unmittelbare Folge davon ist, daß die Hilfsfelder^{10}

H_{makro}(r, t) =^{def} \frac{1}{μ′_{0}} (B_{makro}(r, t) − \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} M(r, t)) ,
D_{makro}(r, t) =^{def} ϵ̂_{0}E_{makro}(r, t) + \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} P(r, t) ,

(4.13)

wobei

ϵ̂_{0} =^{def} \frac{1}{μ′_{0} c′c′} ,  (4.14)

gemäß (4.7) den Gleichungen

rot H_{makro}(r, t) = \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} ȷ_{ex}(r, t) + \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}D_{makro}(r, t) ,

(4.15)

div D_{makro}(r, t) = \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} ρ_{ex}(r, t) .

(4.16)

genügen.

Auch in zweckmäßig idealisierten Situationen sollten E_{makro} , D_{makro} , B_{makro} und H_{makro} – solange ρ_{ex} keine Punktladungsanteile enthält – lokal beschränkte, gebietsweise stetig differenzierbare Vektorfelder sein, für die die Sätze von Stokes und Gauß in entsprechender Verallgemeinerung gelten sollten. Mit (4.11) resp. (4.15) erkennt man daher durch Anwendung des Satzes von Stokes:

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10Man beachte die Verträglichkeit mit der früheren Definition (3.5).

An Grenzflächen, längs derer sich die einseitigen Grenzwerte von E_{makro} resp. H_{makro} stetig ändern, ist auch die Tangentialkomponente von E_{makro} resp. H_{makro} stetig; d.h. es gilt

lim_{ϵ→+0} n(r) × (E_{makro}(r + ϵ n(r), t) − E_{makro}(r − ϵ n(r), t)) = 0

resp.

lim_{ϵ→+0} n(r) × (H_{makro}(r + ϵ n(r), t) − H_{makro}(r − ϵ n(r), t))

= lim_{ϵ→+0} \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} ∫_{−ϵ}^{+ϵ} ȷ_{ex}(r + λ n(r), t) dλ ,

(4.17)

wobei r einen beliebigen Punkt der Grenzfläche und n(r) den entspr.

Normalenvektor an dieser Stelle bezeichnet.

Frage zum Verständnis: Warum folgt aus (4.9) nicht entsprechendes für B_{makro}? Antwort: Wegen (4.7), weil rot M i.a. als verallgemeinerte Funktion zu interpretieren ist(analog zu einer Flächenladungsdichte, vgl. Abschn. 1.1.2).

Entsprechend folgt aus (4.12) resp. (4.16) mithilfe des Satzes von Gauß:^{11}

lim_{ϵ→+0} n(r) · (B_{makro}(r + ϵ n(r), t) − B_{makro}(r − ϵ n(r), t)) = 0

resp.

lim_{ϵ→+0} n(r) · (D_{makro}(r + ϵ n(r), t) − D_{makro}(r − ϵ n(r), t))

= lim_{ϵ→+0} \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} ∫_{−ϵ}^{+ϵ} \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} ρ_{ex}(r + λ n(r), t) dλ .

(4.18)

Bei Anwesenheit von Materie treten also die Gleichungen (4.11), (4.12), (4.15) und (4.16) – mit der leichter kontrollierbaren Ladungs- und Stromverteilung ρ_{ex} , ȷ_{ex} der Überschußladungen – an die Stelle der Gleichungen (2.13)–(2.16) für das Vakuum.

Dabei müssen allerdings noch die Zusammenhänge zwischen H_{makro} , D_{makro} einerseits und B_{makro} , E_{makro} andererseits empirisch erfaßt werden!

Es ist allgemein üblich, die Indizes _{makro} und _{ex} wegzulassen. Wir wollen uns dem im folgenden anschließen.

4.2.2 Materialkonstanten

Für viele Anwendungen kann man davon ausgehen, daß innerhalb homogener Materialien die dielektrische Polarisation P sowie^{12} die Stromdichte ȷ (der Überschußla-

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11Man beachte die Unabhängigkeit der Aussage (4.18) von der Orientierung der Flächennormalen.

12Man sagt dann auch, daß das Ohmsche Gesetz gelte.

dungen) proportional zum (makroskopischen) elektrischen Feld E und die Magnetisierung M proportional zum Magnetfeld^{13} H ist. Dann existieren also eine Konstante χ_{e} der elektrischen Suszeptibilität, eine Konstante σ der spezifischen Leitfähigkeit und eine Konstante χ_{m} der magnetischen Suszeptibilität mit:

P(r, t) = ϵ̂_{0}χ_{e}E(r, t) ȷ(r, t) = σE(r, t) M(r, t) = μ′_{0}χ_{m}H(r, t)

(4.19)

Mit den Definitionen

ϵ =^{def} 1 + \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} χ_{e}  Dielektrizitätskonstante
μ =^{def} 1 + \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} χ_{m}  Permeabilitätskonstante

gilt gemäß (4.13) dann auch

D(r, t) = ϵϵ̂_{0}E(r, t) B(r, t) = μμ′_{0}H(r, t)

(4.20)

Bei der dielektrischen Polarisation sind zwei Entstehungsmechanismen zu unterscheiden:

• Dielektrische Stoffe: Die atomaren bzw. molekularen Ladungsverteilungen ρ_{mikro} haben bei Abwesenheit eines äußeren elektrischen Feldes E_{äuß} kein elektrisches Dipolmoment P_{mikro} . Ein solches wird jedoch durch Anlegen eines äußeren Feldes E_{äuß} ≠ 0 in Feldrichtung influenziert. Die Stärke der dadurch hervorgerufenen Polarisierung P ist von Kollisionen der mikroskopischen Systeme und damit (bei konstanter Massendichte) von der Temperatur unabhängig. Dieser Effekt liegt mehr oder weniger bei aller Materie vor!

• Paraelektrische Stoffe: Hier liegen mikroskopische Systeme mit permanenten elektrischen Dipolmomenten P_{mikro} vor, die sich in Richtung von E_{äuß} auszurichten versuchen. Dieser Tendenz wirken die durch termische Bewegung hervorgerufenen Kollisionen der Mikrosysteme entgegen. Hier wird demnach ϵ mit wachsender Temperatur kleiner.

Für beide Fälle – sowie ihre Überlagerung – gilt die Folgerung:

Es ist stets ϵ ≥ 1 und die elektrisierbaren Stoffe erfahren durch ein inhomogenes elektrisches Feld eine (zusätzliche) Kraft in Richtung größter Feldliniendichte.

Entsprechend sind bei der Magnetisierung zwei Entstehungsmechanismen zu unterscheiden:

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13Eigentlich sollte man Proportionalität zum (makroskopischen) B-Feld ansetzen – was aber letztlich auf das gleiche hinausläuft.

• Diamagnetische Stoffe: Die atomaren bzw. molekularen Stromverteilungen ȷ_{mikro} haben bei Abwesenheit eines äußeren Kraftflußfeldes B_{äuß} kein magnetisches Dipolmoment M_{mikro} . Ein solches wird jedoch durch ‘Einschalten’ eines äußeren Kraftflußfeldes B_{äuß} ≠ 0 entgegengesetzt (Lenzsche Regel) zur Feldrichtung induziert.^{14} Dementsprechend gilt die Ungleichung

μ < 1

und die diamagnetischen Stoffe erfahren durch ein inhomogenes B-Feld eine (zusätzliche) Kraft in Richtung kleinster Feldliniendichte. Die Stärke der dadurch hervorgerufenen Magnetisierung P ist von Kollisionen der mikroskopischen Systeme und damit (bei konstanter Massendichte) von der Temperatur unabhängig. Dieser Effekt liegt mehr oder weniger bei aller Materie vor!

• Paramagnetische Stoffe: Hier liegen mikroskopische Systeme^{15} mit permanenten magnetischen Dipolmomenten M_{mikro} vor, die sich in Richtung von B_{äuß} auszurichten versuchen, weshalb also

μ > 1

gilt. Dieser Tendenz wirken die durch termische Bewegung hervorgerufenen Kollisionen der Mikrosysteme entgegen, μ wird demnach mit wachsender Temperatur kleiner.

Die Leitfähigkeit kommt dadurch zustande, daß Überschußladungen je nach Vorzeichen in Richtung von E_{äuß} oder entgegengesetzt dazu beschleunigt werden. Dieser Beschleunigungsvorgang wird immer wieder durch diffuse Streuung an anderen mikroskopischen Systemen unterbrochen, so daß dadurch im Mittel eine Gegendrift erzeugt wird. Durch die Lage des Gleichgewichts wird ȷ = ȷ_{ex} bestimmt. Falls das Ohmsche Gesetz

ȷ = σE

überhaupt gilt, bestimmen also zwei Faktoren die Temperaturabhängigkeit von σ :

(i) Verkürzung der mittleren freien Weglänge bei steigender Temperatur mit der Tendenz, die Leitfähigkeit σ abzusenken (z.B. bei Metallen).

(ii) Erhöhung der Überschußladungen bei steigender Temperatur mit der Tendenz, σ ansteigen zu lassen (Beispiele: Elektrolyte, Graphit).

Abschließende Bemerkung:

Eine gründliche, quantitativ genaue Untersuchung von Polarisation, Magnetisierung und Leitfähigkeit setzt solide Kenntnis der Quantenmechanik voraus!

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14Entsprechend dem Induktionsgesetz (2.19). 15Bei ferroelektrischen Stoffen überschreiten diese bereits mikroskopische Ausmaße.

4.2.3 Einfachste Randwertprobleme

Beispiel aus der Elektrostatik:

Das Gebiet x > 0 sei von einem Medium mit der Dielektrizitätskonstanten ϵ_{1} , das Gebiet x < 0 von einem Medium mit der Dielektrizitätskonstanten ϵ_{2} ≠ ϵ_{1} ausgefüllt. Als einzige Überschußladung ruhe eine Punktladung q an der Stelle r = de_{x}. Gesucht ist das (makroskopische) elektrische Feld E im gesamten ℝ^{3} .

Da der Satz von Stokes mit (4.11) auf E anwendbar ist, gilt (wegen \frac{∂}{∂t}B = 0)

∫_{∂S} E(r) · dr = 0

für alle (hinreichend gutartigen) Flächenstücke S, d.h. das Wegintegral von E hängt nur vom Anfangs- und vom Endpunkt des Weges ab. Da das physikalische E im Unendlichen hinreichend schnell verschwindet ist also die Definition

Φ(r) =^{def} ∫_{r}^{∞} E(r) · dr

erlaubt. Das elektrische Feld

E(r) = −grad Φ(r) für x ≠ 0 , r ≠ de_{x}

genügt gemäß (4.16) , (4.20) der Gleichung

div E(r) = \frac{q}{ϵ_{1}ϵ′_{0}} δ(r − de_{x}) für x ≠ 0 .

Gemäß (4.19) sind E_{y}(r) und E_{z}(r) im ganzen ℝ^{3} stetig. Für die z-Komponente gilt dagegen gemäß (4.20)

ϵ_{1} lim_{x→+0} E_{x}(r) = ϵ_{2} lim_{x→−0} E_{x}(r) für y, z ∈ ℝ .  (4.21)

Es läßt sich zeigen, daß das Potential damit eindeutig festgelegt ist. Daher genügt es, überhaupt eine Lösung des Randwertproblems zu finden. Dazu machen wir – in Anlehnung an die in Abschn. 1.2.3 besprochene Methode der Spiegelladungen – den Ansatz

Φ(r) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{4πϵ′_{0}ϵ_{1}} (\frac{q}{|r−de_{x}|} + \frac{q′}{|r+de_{x}|}) & für x > 0 \\ \frac{1}{4πϵ′_{0}ϵ_{2}} \frac{q′′}{|r−de_{x}|} & für x < 0 \end{matrix}  (4.22)

mit geeigneten Ladungswerten q′ , q′′. Mit

−\frac{∂}{∂x} \frac{1}{|r ∓ de_{x}|} = \frac{x ∓ d}{|r ∓ de_{x}|^{3}}

folgt daraus:

(ϵ_{1} lim_{x→+0} E_{x}(r) − ϵ_{2} lim_{x→−0} E_{x}(r)) = \frac{d}{4πϵ′} (\frac{−q + q′ + q′′}{|r − de_{x}|^{3}} )_{|_{x=0}}

(4.21) ist somit äquivalent zu

q′′ = q − q′ .

Entsprechend folgt aus

−\frac{∂}{∂y} \frac{1}{|r ∓ de_{x}|} = \frac{y}{|r ∓ de_{x}|^{3}} ; −\frac{∂}{∂z} \frac{1}{|r ∓ de_{x}|} = \frac{z}{|r ∓ de_{x}|^{3}} ,

daß die Stetigkeit von E_{x} und E_{y} äquivalent ist zu^{16}

q′′ = \frac{ϵ_{2}}{ϵ_{1}} (q + q′) .

Die Auflösung der beiden Beziehungen zwischen q , q′ und q′′ liefert:

q′ = − (\frac{ϵ_{2} − ϵ_{1}}{ϵ_{2} + ϵ_{1}} ) q , q′′ = (\frac{2ϵ_{2}}{ϵ_{2} + ϵ_{1}} ) q .  (4.23)

Dies sind also die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß (4.22) die Lösung des Randwertproblems ist – womit letztere bestimmt ist.

Beispiel aus der Magnetostatik:^{17}

Eine magnetisierbare Kugel vom Radius R mit der Permeabilität μ sei dem homogenen, äußeren, statischen Magnetfeld H_{äuß}(r) = H_{0} e_{z} ausgesetzt. Die Ladungsund Stromdichte der Überschußladungen sei (im Endlichen) überall Null. Außerhalb der Kugel befinde sich keine magnetisierbare Materie (μ = 1 , Vakuum). Gesucht ist das gesamte (makroskopische) magnetische Feld H , das im Unendlichen in das äußere Feld H_{äuß}(r) übergeht.

Da der Satz von Stokes mit (4.15) auch auf H anwendbar ist, gilt hier (wegen ȷ_{ex} = 0 und \frac{∂}{∂t}D = 0)

∫_{∂S} H(r) · dr = 0

für alle (hinreichend gutartigen) Flächenstücke S, d.h. das Wegintegral von H hängt nur vom Anfangs- und vom Endpunkt des Weges ab. Somit ist die Definition

Φ_{H}(r) =^{def} ∫_{r}^{0} H(r) · dr  (4.24)

erlaubt. Da die Divergenz des Magnetfeldes^{18}

H(r) = −grad Φ(r) für |r| ≠ R

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16Dies ist auch gleichzeitig die Bedingung für die Stetigkeit des Potentials für x = 0 .

17Die folgenden Überlegungen gelten entsprechend für eine dielektrische Kugel im homogenen, äußeren, elektrischen Feld.

18Wir wählen das Kugelzentrum als Koordinatenursprung.

nach (4.12) und (4.20) verschwindet, erfüllt H sowohl innerhalb als auch außerhalb der Kugel die Laplace-Gleichung. Somit gilt gemäß (1.23) sowie aufgrund der Rotationssymmetrie bzgl. der z-Achse (vgl. Abschn. 1.4.2) in Kugelkoordinaten die Entwicklung

Φ_{H}(r, ϑ, φ) = \{ \begin{matrix}∑_{l=0}^{∞} (A_{l}r^{l} + B_{l}r^{−l−1}) P_{l}(cos ϑ) & für r < R , \\ ∑_{l=0}^{∞} (A′_{l}r^{l} + B′_{l}r^{−l−1}) P_{l}(cos ϑ) & für r > R . \end{matrix}  (4.25)

Da Φ_{H} gemäß (4.24) überall stetig ist, müssen dabei aufgrund der funktionalen Unabhängigkeit der Legendre-Polynome P_{l} die Bedingungen^{19}

B_{l} = 0 und A_{l}R^{l} = A′_{l}R^{l} + B′_{l}R^{−l−1} für l = 0, 1, 2, …  (4.26)

erfüllt sein. Damit H im Unendlichen gegen das vorgegebene äußere Magnetfeld konvergiert, muß weiterhin

A′_{l} = \{ \begin{matrix}−H_{0} & für l = 1 \\ 0 & für l > 1 \end{matrix}  (4.27)

gelten. Damit die Normalkomponente von B auf der Kugeloberfläche stetig ist, muß gemäß (4.20) und (4.25) schließlich noch

μA_{1} = −H_{0} − 2\frac{B′_{1}}{R^{3}} , μlA_{l} = −(l + 1)\frac{B′_{l}}{R^{2l+1}} für l ≠ 1 .  (4.28)

gelten. Aus (4.26)–(4.28) und Φ_{H}(0) = 0 (letzteres folgt direkt aus (4.24)) folgt, daß nur A_{1} , A′_{1} und B′_{1} von Null verschieden sind und die Werte

A′_{l} = −H_{0} , A_{1} = \frac{−3}{2 + μ} H_{0} , B′_{1} = \frac{μ − 1}{μ + 2}R^{3}H_{0}

haben. Nach (4.25) lautet also das gesuchte Potential:

Φ_{H}(r) = \{ \begin{matrix}\frac{−3}{2+μ} H_{0} z & für |r| < R , \\ −H_{0}r cos ϑ + \frac{μ−1}{μ+2}H_{0} \frac{R^{3}}{r^{2}} cos ϑ & für |r| > R . \end{matrix}

Die Interpretation ist offensichtlich.

4.2.4 Kompliziertere Materialien

Im allgemeinen sind die Zusammenhänge zwischen D und E , H und B sowie ȷ und E hoffnungslos kompliziert. Das läßt schon das bekannte Beispiel der Hysterese ferromagnetischer Stoffe,^{20} d.h. der Abhängigkeit der Magnetisierung von der Vorgeschichte (siehe Abb. 4.2) erahnen.

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19Damit ist auch die Stetigkeit der Tangentialkomponente von H auf der Kugeloberfläche garantiert.

20Die entsprechende Erscheinung tritt übrigens bei ferroelektrischen Stoffen auf.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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± |H| ± |M|  ^{Erstmagn.-Kurve}

Abb. 4.2: Hystereseschleife ferromagnetischer Stoffe

Die harmloseste Verallgemeinerung besteht in der Ersetzung der Materialkonstanten durch Tensoren – für anisotrope Medien (insbesondere Kristalle):

D^{k}(r, t) = ϵ̂_{0} ∑_{l=1}^{3} ϵ_{l}^{k}(r)E^{l}(r, t) ,
B^{k}(r, t) = μ′_{0} ∑_{l=1}^{3} μ_{l}^{k}(r)H^{l}(r, t) ,
ȷ^{k}(r, t) = ∑_{l=1}^{3} σ_{l}^{k}(r)E^{l}(r, t) .

Aber auch das funktioniert in der Regel höchstens für zeitlich langsam veränderliche Lösungen der Maxwellschen Gleichungen. Bei streng periodischen Lösungen der Maxwellschen Gleichungen ist zu erwarten, daß Elektrisierung und Magnetisierung den Feldern E , B mit einer Phasenverschiebung folgen, die mit zunehmender Frequenz wächst. Darüber hinaus sollte die durch E hervorgerufene Elektrisierung ebenso wie die durch B hervorgerufene Magnetisierung mit wachsender Frequenz gegen Null konvergieren. Auf jeden Fall sind die entsprechenden Zusammenhänge frequenzabhängig (Dispersion) und gestalten die Verhältnisse im allgemeinen Fall, d.h. für die Überlagerung periodischer Lösungen verschiedener Frequenzen (vgl. Abschn. 1.3.3 von (Lücke, ftm)), recht kompliziert. Trotz struktureller Gleichheit von (2.13)/(2.14) und (4.15)/(4.16) lassen sich daher die Lösungsmethoden aus Abschn. 2.3.2 i.a. nicht mehr anwenden.

Dennoch können (4.15) und (4.16) auch bei bei unzulänglicher Kenntnis der erwähnten Zusammenhänge extrem nützlich sein.

4.3. ZUSAMMENFASSUNG 71

4.3 Zusammenfassung

Retardierte Potentiale:

Φ_{makro}(r, t) = \frac{1}{4πϵ′_{0}} ∫ \frac{ρ_{eff}(r′, t − |r − r′| /c)}{|r − r′|} dV_{r′} ,
A_{makro}(r, t) = \frac{μ̂_{0}}{4π} ∫ \frac{ȷ_{eff}(r′, t − |r − r′| /c)}{|r − r′|} dV_{r′} ,

wobei:

ρ_{eff}(r, t) =^{def} ρ_{ex}(r, t) − div P(r, t) ,
ȷ_{eff}(r, t) =^{def} ȷ_{ex}(r, t) + \frac{∂}{∂t}P(r, t) + \frac{c}{c′} \frac{1}{μ′_{0}} rot M(r, t) ,
ρ_{ex}  : Volumendichte der Überschußladungen ,
ȷ_{ex}  : Stromdichte der Überschußladungen ,
P(r, t) : elektrische Dipoldichte ,
M(r, t) : magnetische Dipoldichte .

Makroskopische Felder (nicht unbedingt retardiert):

B_{makro}(r, t) = rot A_{makro}(r, t) ,
H_{makro}(r, t) =^{def} \frac{1}{μ′_{0}} (B_{makro}(r, t) − \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} M(r, t)) ,
E_{makro}(r, t) = −grad Φ_{makro}(r, t) − \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}A_{makro}(r, t) ,
D_{makro}(r, t) =^{def} ϵ̂_{0}E_{makro}(r, t) + \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} P(r, t) .

Makroskopische Feldgleichungen:

div D_{makro}(r, t) = \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} ρ_{ex}(r, t) rot H_{makro}(r, t) = \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} ȷ_{ex}(r, t) + \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}D_{makro}(r, t)
div B_{makro}(r, t) = 0  rot E_{makro}(r, t) = −\frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}B_{makro}(r, t)

wobei

ϵ̂_{0} =^{def} \frac{1}{μ′_{0} c′c′} , μ̂_{0} =^{def} \frac{1}{ϵ′_{0} cc′} .

Kontinuitätsgleichung:

\frac{∂}{∂t}ρ_{ex}(r, t) + div ȷ_{ex}(r, t) = 0

Randbedingungen an Materialgrenzflächen:

72 KAPITEL 4. MAXWELLSCHE GLEICHUNGEN FÜR MATERIE

Tangentialkomponenten von E_{makro} und H_{makro} sowie Normalkomponenten von B_{makro} und D_{makro} stetig.^{21}

Im Falle einfacher Materialkonstanten:

P(r, t) = ϵ̂_{0}χ_{e}E_{makro}(r, t) ȷ(r, t) = σE_{makro}(r, t) M(r, t) = μ′_{0}χ_{m}H_{makro}(r, t)

wobei

χ_{e} : elektrische Suszeptibilität ,
σ : spezifische Leitfähigkeit ,
χ_{m} : magnetische Suszeptibilität ,

bzw.

D_{makro}(r, t) = ϵϵ̂_{0}E_{makro}(r, t) B_{makro}(r, t) = μμ′_{0}H_{makro}(r, t)

mit:

ϵ =^{def} 1 + \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} χ_{e}  Dielektrizitätskonstante
μ =^{def} 1 + \frac{ϵ̂_{0}}{ϵ′_{0}} χ_{m}  Permeabilitätskonstante

Allgemein üblich:

Indizes _{makro} und _{ex} weglassen!

Version vom 26. März 2009

21Letzteres setzt allerding voraus, daß die Punkt- und Flächenladungsanteile der Überschußladungen verschwinden.

Elektromagnetische Wellen

5.1 Grundlegendes

5.1.1 Qualitative Betrachtungen

Aus den Lösungen, die im Sinne von (2.20) durch die retardierten Potentiale (4.1) gegeben sind, läßt sich – zumindest für gesteuerte Ladungs-Stromverteilungen – bereits eine Reihe qualitativer Schlußfolgerungen ziehen:

• Die Wirkung (in Form von Feldänderungen) von raum-zeitlich lokalen Änderungen der Ladungs- und Stromverteilung breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit als elektromagnetische Welle aus.

• Daher entsteht durch Beschleunigung von Ladungen stets elektromagnetische Strahlung – sofern sich die Strahlungsanteile nicht ausnahmsweise zu einem stationären elektromagnetischen Feld überlagern.

• Die elektromagnetischen Felder, die sich auch dann noch im Raum-Zeit-Konti-nuum ausbreiten, wenn die erzeugenden Ladungs- und Stromanteile – makroskopisch gesehen – verschwunden sein sollten, können natürlich gemäß (2.2) immer noch spürbare Effekte hervorrufen.

• Dadurch erhält das elektromagnetische Feld selbst einen substanzartigen Charakter (Nahewirkungstheorie) und man wird ihm eine Energiedichte zuordnen müssen (siehe Abschn. 5.1.2).

• Während also der Betrag des Impulses einer Probeladung im homogenen Magnetfeld gemäß (2.2)/(A.3) konstant wäre, sendet sie tatsächlich ständig elektromagnetische Wellen (bei hoher Geschwindigkeit: Sychrotronstrahlung) aus, verliert also Energie. Das zeigt, daß in der ‘exakten’ relativistischen Bewegungsgleichung einer Punktladung im äußeren elektromagnetischen Feld – sofern eine solche überhaupt existiert (vgl. (Rohrlich, 1965)) – eine sog. Strahlungsreaktionskraft zu berücksichtigen ist. Nur so läßt sich der Energiesatz für das Gesamtsystem Teilchen+Feld wiederherstellen.

• Die Retardierungseffekte sind – streng genommen – bei jeder Formulierung eines Anfangswertproblems für elektromagnetisch wechselwirkende Teilchen zu berücksichtigen: Der weitere Bewegungsablauf hängt von der Vorgeschichte und den dadurch erzeugten elektromagnetischen Wellen ab.

• Daher kann für ein System von Punktladungen allein (ohne explizite Einbeziehung des elektromagnetischen Feldes) keine für große Beschleunigungen brauchbare Lagrange-Funktion exisitieren, die nur die Orte und Geschwindigkeiten der Punktladungen als Variable hat.

Anmerkung: Man kann zeigen, daß die retardierten Potentiale (Gln. (4.1) der Vorl.) für eine Punktladung q mit der Bahnkurve r_{0}(t) in der Bezeichnungsweise von Abschn. 4.1.2 der Vorlesung mit den sog. Liénard-Wiechert-Potentialen

Φ_{LW}(r, t) = \frac{1}{4πϵ′_{0}} (\frac{q}{|r − r_{0}(t̂)| − \frac{1}{c} (r − r_{0}(t̂)) · \frac{d}{dt̂}r_{0}(t̂)})_{|_{t̂=t̂(r,t)}} ,

A_{LW}(r, t) = \frac{μ̂_{0}}{4π} (\frac{q \frac{d}{dt̂}r_{0}(t̂)}{|r − r_{0}(t̂)| − \frac{1}{c} (r − r_{0}(t̂)) · \frac{d}{dt̂}r_{0}(t̂)})_{|_{t̂=t̂(r,t)}}

übereinstimmen.^{1} Berücksichtigt man die Retardierung nur in der Näherung

Φ_{LW}(r, t) ≈ \frac{1}{4πϵ′_{0}} (\frac{q}{|r − r_{0}(t)|} + \frac{q}{2c^{2}} (\frac{∂}{∂t})^{2} |r − r_{0}(t)|) ,
A_{LW}(r, t) ≈ \frac{μ̂_{0}}{4π} \frac{q}{|r − r_{0}(t)|} \frac{d}{dt}r_{0}(t)

und vernachlässigt die Strahlungsreaktion, dann läßt sich die daraus resultierende elektromagnetische Wechselwirkung von Punktladungen stets durch eine Lagrange-Funktion beschreiben, die nur die Orte und Geschwindigkeiten der Punktladungen als Variable hat (Landau und Lifschitz, 1966, §65). Bzgl. einer weiteren Vereinfachung siehe (Gerlich, 1993, S. 51).

5.1.2 Energiedichte des elektromagnetischen Feldes

Um zu einer brauchbaren Definition für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes zu gelangen, untersuchen wir die Leistung, die es an den Überschußladungen

Version vom 26. März 2009

1Man beachte die am Schluß von Abschnitt 4.1.2 erwähnte Lorentz-Kovarianz der retardierten Potentiale und berechne sie zunächst in dem Laborsystem, in dem die Punktladung zum Zeitpunkt t̂(r, t) ruht (siehe (Landau und Lifschitz, 1966, §63)).

innerhalb eines beliebigen Gebietes G verrichtet:

∫_{G} ȷ(r, t) · E(r, t) dV_{r}

=_{(4.15)} \frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} ∫_{G} (\frac{c}{c′} \underbrace{E(r, t) · (∇_{r} × H(r, t))}_{=H(r,t)·( ^{∇_{r} × E(r, t)}_{{= \atop (4.11)} − \frac{c′}{c} Ḃ(r,t)})−∇_{r}·(E(r,t)×H(r,t))} −E(r, t) · \frac{d}{dt}D(r, t)) dV_{r}

= −\frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} ∫_{G} (E(r, t) · \frac{∂}{∂t}D(r, t) + H(r, t) · \frac{∂}{∂t}B(r, t) + \frac{c}{c′} ∇_{r} · (E(r, t) × H(r, t))) dV_{r}

Unter der Annahme

D = ϵϵ̂_{0}E , B = μμ′_{0}H ,

ϵ und μ in einer Umgebung von G konstant

folgt daraus mit dem Gaußschen Satz das sog. Poyntingsche Theorem:

\frac{∂}{∂t} ∫_{G} \frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} \frac{1}{2} (E(r, t) · D(r, t) + H(r, t) · B(r, t)) dV_{r}
= − ∫_{G} ȷ(r, t) · E(r, t) dV_{r} − ∫_{∂G} \frac{μ′_{0}}{μ̂_{0}} (E(r, t) × H(r, t)) · dS_{r} .

(5.1)

Somit ist folgende Interpretation im Falle (4.20) mit konstanten ϵ , μ konsistent:^{2}

E(r, t) =^{def} \frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} \frac{1}{2} (E(r, t) · D(r, t) + H(r, t) · B(r, t))
= \{ \begin{matrix}Energiedichte des (makrosk.) \\ elektromagnetischen Feldes . \end{matrix}

(5.2)

S =^{def} \frac{μ′_{0}}{μ̂_{0}} E(r, t) × H(r, t)
= \{ \begin{matrix}Energiestromdichte des (makrosk.) \\ elektromagnetischen Feldes . \end{matrix}

(5.3)

Nach (5.1) ist die (als endlich vorausgesetzte) Gesamtenergie einer Lösung der freien Maxwellschen Gleichungen stets zeitlich konstant. Aus (5.2) und (4.20) ergibt sich damit als unmittelbare Folgerung:

Eine Lösung der freien Maxwellschen Gleichungen mit endlicher Gesamtenergie ist identisch Null, falls sie zu irgeneinem Zeitpunkt im ganzen ℝ^{3} verschwindet.

Version vom 26. März 2009

2Natürlich ändert sich die rechte Seite von (5.1) nicht, wenn man zum Integranden ein quellfreies Vektorfeld hinzufügt. Daher sind im Prinzip auch andere Ausdrücke für die Energiestromdichte verwendbar (siehe z.B. (Lai, 1981)).

Gesamtenergie des elektrostatischen Feldes (1.5)/(1.6) für ϵ = 1 :

∫ E(r, t)dV_{r}  =_{(4.13)}  \frac{1}{8π} ∫ (−∇_{r} ∫ \frac{ρ(r′)}{|r−r′|} dV_{r′}) · E_{ρ}(r) dV_{r}
=_{part. Int.} \frac{1}{8π} ∫ (∫ \frac{ρ(r′)}{|r−r′|} dV_{r′}) div E_{ρ}(r) dV_{r}
=_{(1.2)}  \frac{1}{2} ∫ ∫ \frac{ρ(r)ρ(r′)}{4πϵ′_{0}|r−r′|} dV_{r} dV_{r′}
= ∫_{ℝ^{3}} ρ(r) (∫_{|r′|<|r|} \frac{ρ(r′)}{4πϵ′_{0}|r−r′|} dV_{r′}) dV_{r} .

Die Gesamtenergie des elektrostatischen Feldes stimmt also gemäß (5.2) mit der Arbeit überein, die gegen die Kraftwirkung des jeweils bereits aufgebauten Teilfeldes^{3} geleistet werden muß, um die einzelnen Ladungsanteile nacheinander aus dem Unendlichen in die vorgesehene Position zu bringen. Daß dieser Ausdruck für eine Punktladung divergiert, ist nicht verwunderlich.

Gesamtenergie des magnetostatischen Feldes (3.3) für μ = 1 :

∫ E(r, t)dV_{r} =_{(3.5),(4.14)} \frac{1}{8π} \frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} ∫ (∇_{r} × ∫ \frac{ȷ(r′)}{|r−r′|} dV_{r′}) · B(r) dV_{r}

= Zykl. Spatpr. \frac{1}{8π} \frac{c′}{c} ∫ (B(r) × ∇_{r}) · (∫ \frac{ȷ(r′)}{|r−r′|} dV_{r′}) dV_{r}

=_{part. Int.}  \frac{1}{8π} \frac{c′}{c} ∫ rot B(r) · (∫ \frac{ȷ(r′)}{|r−r′|} dV_{r′}) dV_{r}
=_{(3.1)}  \frac{c′}{c} \frac{μ̂_{0}}{8π} ∫ ∫ \frac{ȷ(r)·ȷ(r′)}{|r−r′|} dV_{r′} dV_{r} .

Eine ähnliche Interpretation dieses Resultats ist wesentlich schwieriger, da bei successivem Aufbau der Stromverteilung die Arbeit zu berücksichtigen ist, die gegen das induzierte E-Feld zu leisten ist.

5.1.3 Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes

Um zu einer entsprechenden Definition für die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes zu gelangen, untersuchen wir die Gesamtkraft, die das (makroskopische) elektromagnetische Feld gemäß (2.1) auf die Überschußladungen innerhalb eines Gebie-

Version vom 26. März 2009

3Bei Beschleunigung der Ladungsanteile muß zusätzlich die Energie des entsprechenden Strahlungsfeldes aufgebracht werden.

5.1. GRUNDLEGENDES 77 tes G mit div H = 0 ausübt:

∫_{G} (ρ(r, t)E(r, t) + \frac{c′}{c} ȷ(r, t) × B(r, t)) dV_{r}

=_{(4.15),(4.16)} \frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} ∫_{G} (E div D − B × rot H + B × \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t}D) dV

= \frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} ∫_{G}(E div D − B × rot H + \frac{c′}{c} \frac{∂}{∂t} (B × D) + D × \underbrace{\frac{1}{c′} \frac{∂}{∂t}B}_{=_{(4.11)} −rot E}) dV

= −\frac{c′}{c} \frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} \frac{∂}{∂t} ∫_{G} D × B dV +\frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} ∫_{G}(E div D − D × rot E + B \underbrace{div H}_{=_{Vorauss.} 0} −B × rot H) dV .

Da für beliebige (hinr. gutartige) Vektorfelder F stets^{4}

F div F − F × rot F =_{Entw.-S.} F div F + (F · ∇) F − \frac{1}{2}∇ (F · F)
= ∑_{j,l=1}^{3} (F^{j}e_{j}∂_{l}F^{l} + F^{l}∂_{l}F^{j}e_{j} − \frac{1}{2}e_{j}∂_{j} (F · F))
= ∑_{j,l=1}^{3} e_{j}∂_{l} (F^{j}F^{l} − \frac{1}{2}δ_{l}^{j}F · F)
= ∑_{j=1}^{3} e_{j}div (∑_{l=1}^{3} (F^{j}F^{l} − \frac{1}{2}δ_{l}^{j}F · F) e_{l})

gilt, ergibt sich daraus mit (5.3), (4.14) und dem Gaußschen Satz, wieder unter der Voraussetzung

D = ϵϵ̂_{0}E , B = μμ′_{0}H ,

ϵ und μ in einer Umgebung von G konstant ,

das Resultat:

∫_{G} (ρ(r, t)E(r, t) + \frac{c′}{c} ȷ(r, t) × B(r, t)) dV_{r} + \frac{∂}{∂t} ∫_{G} \frac{ϵμ}{c^{2}}S(r, t) dV_{r}

= ∑_{j=1}^{3} e_{j} ∫_{∂G} (∑_{l=1}^{3} T^{jl}(r, t)e_{l}) · dS_{r} ,

(5.4)

wobei:

T^{jl} =^{def} \frac{ϵ′_{0}}{ϵ̂_{0}} (E^{j}D^{l} − \frac{1}{2}δ_{l}^{j} (E · D + H · B))  (5.5)

den sog. Maxwellschen Spannungstensor bezeichnet. Mit der Interpretation \frac{ϵμ}{c^{2}}S = Impulsdichte des elektromagn. Feldes ,

(5.6)

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4Wir benutzen die übliche Notation:

F^{1} =^{def} F_{x} , e_{1} =^{def} e_{x} , ∂_{1} =^{def} \frac{∂}{∂x} usw.

∑_{l=1}^{3} T^{jl}e_{l} = Stromdichte der j-Komponente des Feldinpulses .

(5.7)

gilt also – im Falle (4.20) mit konstanten ϵ , μ – das Prinzip Aktio = Reaktion auch für elektromagnetische Wechselwirkung, wenn man die zeitliche Änderung der Feldimpulse mit in die Bilanz einbezieht.

Abschließende Bemerkung:

Bei zeitlich konstantem Poynting-Vektor S genügt gemäß (5.4) bereits die Kenntnis des Maxwellschen Spannungstensors auf der Oberfläche von ∂G, um die Gesamtkraft des Feldes auf die in G befindlichen Überschußladungen zu bestimmen. Über die Überschußladungen selbst muß man dazu also dann nichts wissen.

5.1.4 Hertzscher Dipol

Sei ρ , ȷ eine Ladungs- und Stromverteilung im Vakuum (also ϵ = μ = 0), die folgenden Bedingungen genüge:

• Sie ist für alle Zeiten eng um den festen Raumpunkt r_{0} herum konzentriert.

• Die Gesamtladung ist Null.

• Das elektrische Dipolmoment ist nicht zeitlich konstant.

Einen sog. Hertzschen Dipol erhält man dann daraus, wenn man in den retardierten Potentialen (4.1) folgende Näherungen durchführt:

(i) Ersetzung von 1/ |r − r′| durch1/ |r − r_{0}| (im Hinblick auf den Grenzübergang r → ∞).

(ii) Taylor-Entwicklung hins. der Zeitargumente von ρ und ȷ nach r′ um r′ = r_{0} herum bis zum ersten Term, der zur Feldstärke beiträgt.^{5}

Wegen

|r − r′| ≈_{Taylor} |r − r_{0}| + (r′ − r_{0}) · \frac{r − r_{0}}{|r − r_{0}|}

und

\underbrace{∫ ρ(r′, t − |r − r_{0}| /c) dV_{r′}}_{=Gesamtladung} =_{Vorauss.} 0

Version vom 26. März 2009

5Die nächsten Terme liefern i.a. eine magnetische Dipol- und eine elektrische Quadrupolstrahlung.

lautet die entspr. Approximation des Skalarpotentials:

Φ_{Hertz}(r, t) = \frac{1}{4πϵ′_{0}c} \frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|^{2}} · ∫ (r′ − r_{0}) \frac{∂}{∂t}ρ(r′, t − |r − r_{0}| /c) dV_{r′}
= \frac{1}{4πϵ′_{0}c} \frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|^{2}} · \frac{∂}{∂t}P(t − |r − r_{0}| /c) . (5.8)

Von ȷ trägt dagegen bereits der erste Term der Taylor-Entwicklung (ii) zu B bei:^{6}

A_{Hertz}(r, t)  =  \frac{μ̂_{0}}{4π} \frac{1}{|r−r_{0}|} ∫ ȷ(r′, t − |r − r_{0}| /c) dV_{r′}
=_{(3.12)} −\frac{μ̂_{0}}{4π} \frac{1}{|r−r_{0}|} ∫ r′∇_{r′} · ȷ(r′, t − |r − r_{0}| /c) dV_{r′}
=_{Kontin.-Gl.} \frac{μ̂_{0}}{4π} \frac{1}{|r−r_{0}|} \frac{∂}{∂t}P(t − |r − r_{0}| /c) . (5.9)

Für das H-Feld ergibt sich gemäß (5.9), (3.5) und (2.20):

H(r, t) ≈ \frac{1}{μ′_{0}} rot (\frac{μ̂_{0}}{4π} \frac{1}{|r−r_{0}|} \frac{∂}{∂t}P(t − |r − r_{0}| /c))
≈ \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} \frac{1}{4π|r−r_{0}|}∇_{r} × \frac{∂}{∂t}P(t − |r − r_{0}| /c)
= −\frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} \frac{r−r_{0}}{4π|r−r_{0}|^{2}} × \frac{1}{c} (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t − |r − r_{0}| /c) . (5.10)

Mit der bekannten Formel

grad (F · G) = (F × (∇ × G) + (F · ∇) G) + (G × (∇ × F) + (G · ∇) F)

(siehe Gl. (4.93) von (Lücke, ein)) ergibt sich gemäß (5.8), (5.9) und (2.20) für das E-Feld:

E(r, t) ≈^{r→∞}  \frac{1}{4πϵ′_{0}c^{2}} \frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|^{2}} × (\frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|} × (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t − |r − r_{0}| /c))
+\frac{1}{4πϵ′_{0}c^{2}} (\frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|^{2}} · \frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|}) (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t − |r − r_{0}| /c)
−\frac{1}{4πϵ′_{0}c^{2}} \frac{1}{|r−r_{0}|} (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t − |r − r_{0}| /c)
=_{Entw.-S.} \frac{1}{4πϵ′_{0}c^{2}} \frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|^{3}} ((r − r_{0}) · (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t − |r − r_{0}| /c))
−\frac{1}{4πϵ′_{0}c^{2}} \frac{1}{|r−r_{0}|} (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t − |r − r_{0}| /c) .

(5.11)

Mit dem Entwicklungssatz folgt daraus gemäß (5.10) und (2.3) für die sog. Wellenzone:

E(r, t) ≈^{r→∞} c′μ′_{0}H(r, t) × \frac{r − r_{0}}{|r − r_{0}|} ,
H(r, t) ≈^{r→∞} −\frac{1}{c′μ′_{0}} E(r, t) × \frac{r − r_{0}}{|r − r_{0}|} .

(5.12)

Für den Poynting-Vektor ergibt sich damit

E(r, t) × H(r, t) ≈ |E(r, t)| |H(r, t)| \frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|}
= c′μ′_{0} |H(r, t)|^{2} \frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|}
=_{(5.10)} \frac{c′}{c} \frac{μ̂_{0}}{μ′_{0}} (4π)^{−2} \frac{μ̂_{0}}{c} |(r − r_{0}) × (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t − |r − r_{0}| /c)|^{2} \frac{r−r_{0}}{|r−r_{0}|^{5}} .

Version vom 26. März 2009

6Man beachte, daß auch die Näherung (5.8)/(5.9) der Lorentz-Eichbedingung (2.23) genügt.

Entsprechend den Definitionen (5.3) und (2.3) folgt schließlich für die Wellenzone:

S(r, t) ≈^{r→∞} \frac{1}{(4π)^{2}ϵ′_{0}c^{3}} |(r − r_{0}) × (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t − |r − r_{0}| /c)|^{2} \frac{r − r_{0}}{|r − r_{0}|^{5}} . (5.13)

Folgerung: Für gesamte Strahlungsleistung (= abgestrahlte Energie pro Zeitintervall) L_{Hertz}(t) , die zur Zeit t um r_{0} herum ausgestrahlt wird, ergibt sich^{7} – ausgehend von (5.8)/(5.9) – gemäß (5.2)

\underline{\underline{L_{Hertz}(t)}} = lim_{R→∞} ∫_{∂U_{R}(r_{0})} S(r, t + R/c) · dS_{r}
= \frac{1}{(4π)^{2}ϵ′_{0}c^{3}} |(\frac{∂}{∂t})^{2} P(t)|^{2} \underbrace{∫_{∂U_{R}(r_{0})} sin^{2} ϑ \frac{r − r_{0}}{|r − r_{0}|^{3}} · dS_{r}}_{=∫_{0}^{2π} \underbrace{(∫_{0}^{π} sin^{3} ϑ dϑ)}_{{= \atop ξ=cos ϑ} 2 ∫^{1}_{0}(1−ξ^{2}) dξ=4/3} dφ}

= \underline{\underline{\frac{1}{6πϵ′_{0}c^{3}} |(\frac{∂}{∂t})^{2} P(t)|^{2}}} .

Version vom 26. März 2009 7Man wähle e_{z} in Richtung von (\frac{∂}{∂t})^{2} P(t) .

Anhang A

A.1 Hilfsmittel aus der Vektoranalysis

A.1.1 Integrale auf Mannigfaltigkeiten

Das Wegintegral eines Vektorfeldes F(r) über das orientierte Wegstück C ist

∫_{C} F(r) · dr =^{def} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} F (r(t)) · \underbrace{ṙ(t) dt}_{=dr} ,

wobei (r(t), t_{1}, t_{2}) eine frei wählbare Parametrisierung von C ist:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; t_{1}; t_{2}; t; r(t); C; P_{0}]

t(r(t)) =^{def} \frac{ṙ(t)}{|ṙ(t)|} Bahntangenten-Vektor .

Typisches Anwendungsbeispiel:

F(r) = Kraft auf einen Massenpunkt m

⟹ ∫_{C} F(r) · dr = \{ \begin{matrix}Arbeit, die das Kraftfeld F an m \\ bei Verschiebung längs C verrichtet \end{matrix} (in Parameterform: zeitliche Integration der Leistung).

Das Oberflächenintegral des Vektorfeldes ȷ(r) über das orientierte Flächenstück S ist

∫_{S} ȷ(r) · dS_{r} =^{def} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(∫_{s_{1}}^{s_{2}} ȷ (r(s, t)) · \underbrace{((\frac{∂}{∂s}r(s, t)) × \frac{∂}{∂t}r(s, t)) ds)dt}_{=dS_{r}} ,

81 wobei (r(s, t), s_{1}, s_{2}, t_{1}, t_{2}) eine frei wählbare Parametrisierung von S ist:

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∫_{∂S} A(r) · dr = ∫_{S} rot A(r) · dS_{r} ,

wobei

rot A(r) =^{def} ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂y}A_{z}(r) − \frac{∂}{∂z}A_{x}(r) \\ \frac{∂}{∂z}A_{x}(r) − \frac{∂}{∂x}A_{z}(r) \\ \frac{∂}{∂x}A_{y}(r) − \frac{∂}{∂y}A_{x}(r) \end{matrix} ) in karthesischen Koordinaten .

Aus dem Satz von Stokes und dem Mittelwertsatz für Oberflächenintegrale ergibt sich folgende koorinatenunabhängige Darstellung für die Rotation rot A von A :

e · rot A(r_{0}) = lim_{ϵ→+0} \frac{1}{|S_{ϵ}|} ∫_{∂S_{ϵ}} A(r) · dr ,
falls: sup_{r∈S_{ϵ}} |r_{0} − r| , sup_{r∈S_{ϵ}} |e − n(r)| ⟶^{ϵ→+0} 0 .

Satz von Gauß:^{3}

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} G ∂G

∫_{∂G} ȷ(r) · dS_{r} = ∫_{G} divȷ(r) dV_{r} ,

wobei

div ȷ(r) =^{def} \frac{∂}{∂x}ȷ_{x}(r) + \frac{∂}{∂y} ȷ_{y}(r) + \frac{∂}{∂z} ȷ_{z}(r) in karthesischen Koordinaten .

Version vom 26. März 2009

Rand von S.

2Hier bezeichnet ∂S den im Rechtsschraubensinn relativ zur Flächennormalen orientierten

3Hier bezeichnet ∂G den Rand von G mit aus G heraus zeigenden Flächennormalen.

A.1. HILFSMITTEL AUS DER VEKTORANALYSIS 85

Aus dem Satz von Gauß und dem Mittelwertsatz für Volumenintegrale ergibt sich folgende koorinatenunabhängige Darstellung für die Divergenz div ȷ von ȷ :

div ȷ(r_{0}) = lim_{ϵ→0} \frac{1}{|G_{ϵ}|} ∫_{∂G_{ϵ}} ȷ(r) · dS_{r} ,

falls: sup_{r∈G_{ϵ}} |r_{0} − r| ⟶^{ϵ→+0} 0 .

A.1.4 Wichtige Äquivalenzen

Ein Vektorfeld F heißt wirbelfrei, oder auch konservativ, falls eine der folgenden drei äquivalenten Aussagen zutrifft:

1. ∫_{C} F(r) · dr = 0 für jeden geschlossenen Weg C .

2. rot F(r) = 0 für alle r ∈ ℝ^{3} .

3. F(r) = −grad Φ(r) für geeignetes Skalarpotential Φ(r) .

Ein Vektorfeld B heißt quellfrei, falls eine der folgenden drei äquivalenten Aussagen zutrifft:

1. ∫_{S} B(r) · dS_{r} = 0 für jedes geschlossene Flächenstück S.

2. div B(r) = 0 für alle r ∈ ℝ^{3} .

3. B(r) = rot A(r) für ein geeignetes Vektorpotential A(r) .

A.1.5 Der Nabla-Operator

Aus mnemotechnischen Gründen schreibt man gern

∇_{r}Φ(r) statt grad Φ(r)

mit dem formalen Nabla-Operator

∇_{r} =^{def} ( \frac{∂}{∂x} ; \frac{∂}{∂y} ; \frac{∂}{∂z} ) in karthesischen Koordinaten .

Entsprechend schreibt man dann auch

∇_{r} × A(r) statt rot A(r) ,
∇_{r} · ȷ(r) statt div ȷ(r) ,
∇_{r} · ∇_{r} Φ(r) statt Δ_{r} Φ(r) ,

wobei Δ_{r} , wie üblich, den Laplace-Operator bezeichnet:

Δ_{r} Φ(r) =^{def} div (grad Φ(r))
= ((\frac{∂}{∂x})^{2} + (\frac{∂}{∂y})^{2} + (\frac{∂}{∂z})^{2}) Φ(r) in karthesischen Koordinaten .

Damit lassen sich viele Regeln der Vektoranalysis auf solche der Vektoralgebra zurückführen. Z.B. entspricht die Formel

∇ × (∇ × A(r)) = ∇ (∇ · A(r)) − △A(r)

dem Entwicklungssatz

a × (b × c) = (a · c) b − (a · b) c .

Man beachte auch die Formeln

∇ · (∇ × A(r)) = 0 , ∇ × (∇Φ(r)) = 0 ,

die den algebraischen Gleichungen

a · (a × b) , a × a = 0

entssprechen.

Für analytische Skalarfelder schreibt sich mithilfe des Nabla-Operators die Taylor-Entwicklung:

Φ(r + r′) = e^{r′·∇_{r}} Φ(r + r′) .

A.1.6 Weitere Resultate

Falls μ(r) im Unendlichen hinreichend schnell abfällt, gilt die Poissonsche Gleichung:

△ ∫_{ℝ^{3}} \frac{μ(r′)}{|r − r′|} dV_{r′} = −4π μ(r) .

Satz von Earnshaw:

Gegeben: (i) einfaches Gebiet G, (ii) zweimal stetig differenzierbares^{4}Skalarfeld U(r), das der sog. Laplace-Gleichung △U(r) = 0 überall in G genügt.

Behauptung: Falls U(r), im Inneren G \ ∂G von G sein Maximum bzgl. G annimmt, dann ist U(r) über G konstant.

Fundamentalsatz der Vektoranalysis: Jedes stetig differenzierbare Vektorfeld F(r) erlaubt eine Zerlegung

F(r) = F_{1}(r) + F_{2}(r)

in ein wirbelfreies (d.h. konservatives) stetig differenzierbares Feld F_{1}(r) und ein quellfreies stetig differenzierbares Feld F_{2}(r) . Falls F(r) , div F(r) und rot F(r) im Unendlichen hinreichend schnell verschwinden, ist

F_{1}(r) = −grad ∫_{ℝ^{3}} \frac{div F(r′)}{4π|r − r′|} dV_{r′} , F_{2}(r) = rot ∫_{ℝ^{3}} \frac{rot F(r′)}{4π|r − r′|} dV_{r′}

die einzige solche Zerlegung, die eine der beiden Zusatzbedingungen

lim_{|r|→∞} |F_{1}(r)| = 0 oder lim_{|r|→∞} |F_{2}(r)| = 0

(und damit beide ) erfüllt.

A.2 Exkurs über Spezielle Relativitätstheorie

Die Spezielle Relativitätstheorie basiert auf drei Prinzipien, die in jedem Laborsystem^{5} L gelten:

1. Zeitsynchronisation: Die Uhren in L lassen sich so synchronisieren, daß der Betrag c der L-Lichtgeschwindigkeit des Lichtes (im Vakuum) von der Ausbreitungsrichtung unabhängig ist. Auf diese Weise wird die Gleichzeitigkeit von Ereignissen im Sinne der L-Meßvorschriften definiert, wenn diese an unterschiedlichen Labororten stattfinden.

2. Lorentz-Kontraktion: Die L-Länge eines mit der L-Geschwindigkeit v bewegten Standard-Maßstabes ist um den Faktor 1/γ_{v} kürzer als diejenige eines in L ruhenden,^{6} wobei:

γ_{v} =^{def} γ_{|r|} =^{def} (1 − (\frac{|v|}{c})^{2})^{−1/2} .  (A.1)

Version vom 26. März 2009

5Unter einem Laborsystem verstehen wir stets ein Inertialsystem mit den üblichen Meßvorschriften und einem karthesischen Koordinatensystem. Die gemäß diesen Vorschriften gemessenen Größen werden als L-Größen bezeichnet.

6Ob diese Verkürzung ‘echt’ oder nur ‘scheinbar’ ist, ließe sich nur dann entscheiden, wenn ‘absolute’ Zeitsynchronisation möglich wäre. Entsprechendes gilt für die Zeitdilatation.

3. Zeitdilatation Das Zeitintervall, das eine mit der L-Geschwindigkeit v bewegte Standard-Uhr anzeigt, ist um den Faktor 1/γ_{v} kürzer als das entsprechende L-Zeitintervall (das man an Standard-Uhren abliest, die in L ruhen und in o.a. Weise synchronisiert sind).

Aus Abb. A.1 enkennt man daraus unmittelbar, daß c von L unabhängig ist, sowie die Umrechnungsformeln für die Raum-Zeit-Koordinaten (ct, x, y, z) eines Ereignisses bzgl. L in die Raum-Zeit-Koordinaten (ct′, x′, y′, z′) desselben Ereignisses bzgl. eines Laborsystems L′, das sich dadurch ergibt, daß man L drehungsfrei in gleichförmige Bewegung mit der L-Geschwindigkeit ve_{x} versetzt (boostet):

\begin{aligned}x′ & = & γ_{v} (x − \frac{v}{c}ct) , \\ ct′ & = & γ_{v} (ct − \frac{v}{c}x) , \\ x & = & γ_{v} (x′ + \frac{v}{c}ct′) , \\ ct & = & γ_{v} (ct′ + \frac{v}{c}x′) . \end{aligned}  (A.2)

Transformationen gemäß (A.2) bezeichnet man als spezielle Lorentz-Transfor-mationen.

(Hinreichend gutartige) Bahnkurven (des Schwerpunktes) physikalischer Teilchen lassen sich auch mithilfe der \frac{1}{c}-fachen Minkowski-Bahnlänge

τ = τ(t) =^{def} τ_{0} + ∫_{0}^{t} \underbrace{\frac{1}{c}\sqrt{(\frac{d}{dt}x^{0}(t))^{2} − (\frac{d}{dt}r(t))^{2}}}_{1/γ_{\frac{d}{dt} r(t)}} dt , x^{0}(t) =^{def} ct

parametrisieren. Da τ und somit

\frac{d}{dτ} = (\frac{dτ}{dt} )^{−1} \frac{d}{dt} = γ_{\frac{d}{dt} r(t)} \frac{d}{dt}

von der speziellen Wahl des Laborsystems L unabhängig ist, transformiert sich die sog. Vierer-Geschwindigkeit

\underline{ṙ} =^{def} γ_{\frac{d}{dt} r(t)} (c, \frac{d}{dt}r(t))

genau so, wie der Vierer-Ereignisvektor (ct, r(t)) . Entsprechendes gilt – aufgrund der Geschwindigkeitsunabhängigkeit der Ladung (im Gegensatz zur Masse) – damit^{7} für die Vierer-Stromdichte (cρ(t), ȷ(t)) und für die Vierer-Beschleunigung

\underline{r̈} =^{def} (γ_{\frac{d}{dt} r(t)} \frac{d}{dt})^{2} (ct, r(t)) .

Version vom 26. März 2009

7Für den Spezialfall einer Gesamtheit gleichartiger Ladungen, die sich mit gleicher Geschwindigkeit v bewegen, gilt nämlich (cρ, ȷ) = ρ_{0} γ_{\frac{d}{dt} r(t)}(c, v) , wobei ρ_{0} die Ladungsdichte im Ruhesystem der Ladungsträger bezeichnet.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{\frac{v}{c} ct}^{x′/γ_{v}}^{Zeitdil.}^{ct′/γ_{v}}^{\frac{v}{c} x}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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132  1  2  3^{\frac{v}{c}} ^{\frac{1}{γ}}  2 1 1  2  ct′/Meter  x′/Meter  x/Meter ct/Meter γ

Abb. A.1: Vergleich zweier Laborsysteme L und L′.

Falls L′ das momentane Ruhesystem (eines Teilchens mit der L-Bahnkurve r(.) zum L-Zeitpunkt t) ist, gilt offensichtlich^{8}

γ_{\frac{d}{dt′} r′(t′)} = 1 , \frac{d}{dt′} γ_{\frac{d}{dt′} r′(t′)} = 0 für entspr. t′ = t′(t)

und somit

(γ_{\frac{d}{dt′} r′(t′)} \frac{d}{dt′} )^{2} (ct′, r′(t′)) = (0, \underbrace{(\frac{d}{dt′} )^{2} r′(t′)}_{gewöhnliche L′-Beschleunigung a′(t′)}) .

Bei entsprechender Ausrichtung der räumlichen Koordinatensysteme von L und L′, insbesondere also

\frac{d}{dt}r(t) = ve_{x} zum betr. L-Zeitpunkt t ,

folgt daraus durch spezielle Lorentz-Transformation (A.2):

\underline{r̈} = (γ_{v} \frac{v}{c} a′_{x′}(t′), γ_{v}a′_{x′}(t′)e′_{x′} + a′_{y′}(t′)e′_{y′} + a′_{z′}(t′)e′_{z′})

und somit

\frac{d}{dt} (γ_{v} \frac{d}{dt}r(t)) = a′_{∥}(t′) + \frac{1}{γ_{v}} a′_{⊥}(t′) .

(vgl. Fußnote auf Seite 33 und Anmerkung zu (2.17)). Da in der speziellen Relativitätstherie der Begriff der Gesamtkraft F , die auf ein Teilchen wirkt, so eingeführt wird, daß

F(t) = \frac{d}{dt} \underbrace{\overbrace{m_{0}}^{Ruhemasse} γ_{\frac{d}{dt} r(t)} \frac{d}{dt}r(t)}_{L-Impuls p(t)}  (A.3)

gilt, folgt also:

F(t) = F′_{∥}(t′) + \frac{1}{γ_{\frac{d}{dt} r(t)}} F′_{⊥}(t′) falls \frac{d}{dt}r(t) = L-Geschwindigkeit von L′ .

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8In L′ stimmt also die momentane Änderungsgeschwindigkeit von τ mit derjenigen der Zeit einer (momentan) in L′ ruhenden Standard-Uhr überein. Daher bezeichnet man τ auch als Ei-

genzeit.

A.3 Verschiedene Maßsysteme

A.3.1 Allgemeines

Maßsystemkonstanten: Grundsätzlich können die Maßsystemkonstanten

ϵ′_{0} , μ′_{0} , c′

willkürlich festgelegt werden. Allerdings ist dabei zu beachten, daß z.B. die “Ladung” q bei verschiedenen Festlegungen für ϵ′_{0} auch verschiedene physikalische Dimensionen annimmt – was unmittelbar aus dem Coulombschen Gesetz folgt.

Kohärente Maßsysteme: Ein Maßsystem heißt kohärent, falls alle Definitionsgleichungen bei Ersetzung der physikalischen Größen durch ihre Einheiten richtig bleiben. Aus dem Coulombschen Gesetz als Definitionsgleichung für die elektrische Ladung (z.B. im Gaußschen Maßsystem) würde also in einem kohärenten Maßsystem folgen:

Krafteinheit = \frac{1}{4πϵ′_{0}} (\frac{Ladungseinheit}{Längeneinheit})^{2} .

Rationale und nichtrationale Maßsysteme: Falls in einem Maßsystem alle Grundgleichungen rationale Beziehungen zwischen den physikalischen Größen darstellen, dann nennt man das betreffende Maßsystem rational. Alle anderen Maßsysteme nennt man nichtrational.

A.3.2 Das Gaußsche Maßsystem

Damit sich das Coulombsche Gesetz, das hier als Definitionsgleichung für die elektrische Ladung dient, so einfach wie möglich darstellt, setzt man

ϵ′_{0} = \frac{1}{4π} .

Um für die mikroskopischen Maxwellschen Gleichungen die dort unnötige Unterscheidung von H- und B-Feld zu vermeiden, setzt man

μ′_{0} = 1 .

Um außerdem das Transformationsverhalten (2.17) durchsichtiger zu machen, setzt man^{9}

c′ = 1 .

Gemäß (4.14) und (2.3) ist dann

ϵ̂_{0} = 1 ; μ̂_{0} = \frac{4π}{c} .

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9E und B erhalten damit gleiche physikalische Dimension!

Das Maßsystem ist also nichtrational, wie die Grundgleichung (4.16) zeigt. Im übrigen wird das Maßsystem als kohärent festgelegt, wobei als Basiseinheiten die drei mechanischen Einheiten cm, g, s gewählt werden. Damit folgt z.B. aus dem Coulombschen Gesetz (Definitionsgleichung der Ladung!)

Ladungseinheit = \sqrt{\frac{cm · g}{s^{2}}}cm = cm^{3/2}g^{1/2}s^{−1} .

A.3.3 Das MKSA-System (Teilsystem des SI)

Hier möchte man Einheiten haben, die für das Experiment zweckmäßig sind. Deshalb nimmt man – wie in Abschn. 3.1.3 beschrieben – zu den drei mechanischen Einheiten m, kg, s noch das Ampere als weitere Basiseinheit hinzu. Daher hat man

ϵ_{0} =^{def} ϵ′_{0} ≈ 8, 85 · 10^{−12} \frac{(Ampere · Sekunden)^{2}}{Newton · Meter^{2}} .

Das Coulombsche Gesetz ist dementsprechend nicht mehr als Definitionsgleichung für die Ladung anzusehen, sondern die Ladungseinheit ist jetzt die abgeleitete Größe

Coulomb = Ampere · Sekunde .

Zur Vereinfachung des experimentell so wichtigen Faradayschen Induktionsgesetzes legt man

c′ = c

fest. Das H-Feld möchte man durch die experimentell leicht zugänglichen Beziehungen (3.19)/(3.6) festlegen. Nach (3.4) und (3.5) ist dementsprechend

μ′_{0} = μ̂_{0} =_{(2.3)} μ_{0} =^{def} \frac{1}{ϵ_{0}c^{2}}

zu setzen. Hier gilt also gemäß (4.14):

ϵ̂_{0} = ϵ_{0} .

Dieses Maßsystem ist rational und kohärent.

A.3.4 Weitere Maßsysteme

Natürlich können auch andere Festlegungen von ϵ′_{0}, μ′_{0}, c′ nützlich sein. Beispiele:^{10}

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10Alle drei Maßsysteme sind nichtrational und kohärent. Das Heavisidesche System wird gewöhnlich in der Quantenelektrodynamik benutzt.

Elektrostatisches (cgs-) System:

ϵ′_{0} = \frac{1}{4π} , c′ = c , μ′_{0} = c^{−2} (und somit ϵ̂_{0} = 1 , μ̂_{0} = \frac{4π}{c} ) .

Elektromagnetisches (cgs-) System:

ϵ′_{0} = \frac{1}{4πc^{2}} , c′ = c , μ′_{0} = 1 (und somit ϵ̂_{0} = c^{−2} , μ̂_{0} = 4π) .

Heavisidesches System:

ϵ′_{0} = μ′_{0} = 1 , c′ = 1 (und somit ϵ̂_{0} = 1 , μ̂_{0} = \frac{1}{c}) .

A.4 Übungsaufgaben^{11}

Aufgabe 1 Es sei durch

p′ = 2p , q′ = q

eine Transformation der kanonischen Variablen für die Hamilton-Funktion

H = \frac{p^{2}}{2m} + V (q)

gegeben. Man berechne die Poisson-Klammern, die Lagange-Klammern und überprüfe, ob die Transformation kanonisch ist.

Aufgabe 2 Man löse für den dreidimensionalen harmonischen Oszillator

(V (r) = \frac{1}{2}k_{1}x^{2} + \frac{1}{2}k_{2}y^{2} + \frac{1}{2}k_{3}z^{2})

die Hamiltonsche partielle Differentialgleichung und bestimme daraus die Lösungen der Bewegungsgleichung.

Aufgabe 3 (Geschwindigkeitsfeld einer reinen Rotationsbewegung)

a) Man bestimme das Geschwindigkeitsfeld v(x), das einer Rotation mit konstanter Kreisfrequenz ω_{0} > 0 um die zu e parallele Achse durch P_{0} entspricht.

b) Man zeige, daß dieses Geschwindigkeitsfeld der Gleichung

|\frac{1}{|S|} ∫_{∂S} v(x) · dx| = 2 ω_{0}

für jedes einfache Flächenstück S mit |S| ≠ 0 und konstanter Flächennormalen e genügt.

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11Bei den ersten beiden Aufgaben handelt es sich um einen Nachtrag zur vorangegangenen Vorlesung Mechanik von Prof. G. Gerlich.

Aufgabe 4 (Konservative Zentralfelder) Man zeige, daß ein Zentralfeld der Form

F(x) = Ψ(x)\frac{x}{|x|}

genau dann konservativ ist, wenn^{12} eine stetige Funktion f existiert mit

Ψ(x) = f(|x|) .

Aufgabe 5 (Homogen geladene Kugelschale) Gegeben sei eine Ladungsverteilung der Form

ρ(r) = \{ \begin{matrix}ρ_{0} & für |r| ≤ R , \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Man bestimme und skizziere das zugehörige Coulomb-Potential und beschreibe die Bewegung, die ein geladener Massenpunkt innerhalb des Gebietes |r| ≤ R ausführen würde, wenn auf ihn nur die zugehörige elektrostatische Kraft wirken würde.

Aufgabe 6 (Feld eines idealen elektrischen Dipols) Das Feld eines im Koordinatenursprung ruhenden idealen elektrischen Dipols mit dem Dipolmoment P ist

E(r) = −grad (\frac{r · P}{4πϵ_{0} |r|^{3}} ) .

Man bestimme den zugehörigen Fluß

∫_{S} E(r) · dr

für den Fall

P ∼ e_{z} , S = (z > 0)-Anteil von ∂U_{R}(0) ,

wobei U_{R}(0) die Kugel mit dem Radius R um den Koordinatenursprung bezeichnet.

Aufgabe 7 (Kraft zwischen homogenen Kugelladungen) Gegeben seien die Ortsvektoren r_{1} , r_{2} und zwei Ladungsverteilungen ρ_{1} , ρ_{2} der Form

ρ_{j}(r) = \{ \begin{matrix}\frac{q_{1}}{\frac{4}{3} π(R_{j})^{3}} & für |r − r_{j}| ≤ R_{j}, \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Man zeige, daß die elektrostatische Kraft, die ρ_{1} auf ρ_{2} ausübt, weder von R_{1} noch von R_{2} abhängt, solange

U_{R_{1}}(r_{1}) ∩ U_{R_{1}}(r_{1}) = ∅

gilt.

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12 Zum Beweis der Notwendigkeit der angegebenen Bedingung untersuche man das Wegintegral von F(x) über geschlossene Wege, die sich jeweils aus zwei Wegen in radialer Richtung und zwei Wegen konstanten Abstandes zum Bezugspunkt P_{0} zusammensetzen. Dabei beachte man den Mittelwertsatz für Wegintegrale.

Aufgabe 8 (Dünner, homogen geladener Stab) Gegeben sei ein unendlich dünner, homogen geladener Stab der Gesamtladung q mit den Endpunkten bei −\frac{L}{2}e_{x} und +\frac{L}{2}e_{x}.

a) Man zeige, daß die Menge aller Flächen konstanten elektrostatischen Potentials mit der Menge aller Rotationsellipsoide, deren Brennpunkte in den Stabenden liegen, übereinstimmt.^{13}

b) Man bestimme das Potential auf der Stabachse explizit als Funktion des Abstandes vom Stabmittelpunkt.

c) Man bestimme das zugehörige elektrostatische Feld im Limes L → ∞ bei konstantem q/L.

Aufgabe 9 (δ-Folgen) Gegeben sei die Funktionenfolge

δ_{ϵ}(x) =^{def} \frac{1}{ϵ}g(x/ϵ)/ ∫_{ℝ} g(x) dx für ϵ > 0 , x ∈ ℝ ,

wobei

g(r) =^{def} \{ \begin{matrix}exp (−\frac{1}{1−|x|^{2}} ) & für |x| < 1 , \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Man zeige für beliebige stückweise stetige Funktionen f über ℝ :

lim_{ϵ→+0} ∫_{ℝ} δ_{ϵ}(x − x_{0})f(x) dx = \frac{1}{2} lim_{ϵ→+0}(f(x_{0} + ϵ) + f(x_{0} − ϵ)) .

Aufgabe 10 (Faraday-Effekt) Gegeben sei ein geerdeter idealer Leiter mit einem abgeschlossenen Hohlraum, in dessen Innereren sich eine Ladung q befinde.

a) Man bestimme die Gesamtladung auf dem Teil der Leiteroberfläche, der den Hohlraum bildet.

b) Man zeige, daß die Ladung im Hohlraum keinen Einfluß auf die elektrostatischen Verhältnisse außerhalb des Leiters hat.

c) Man zeige, daß die elektrostatischen Verhältnisse außerhalb des Leiters keinen Einfluß auf die elektrostatischen Verhältnisse im Hohlraum haben.

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13Dabei beachte man, daß die Flächennormale eines Rotationsellipsoids stets den Winkel zwischen den (verlängerten) Brennpunktstrahlen halbiert (siehe z.B. Lambacher-Schweizer, Analytische Geometrie, Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1968, Satz 3 auf Seite 55).

Aufgabe 11 (Punktladung zwischen planparallelen Leiterplatten) Zwei ideal leitende Platten seien im Vakuum einander parallel gegenübergestellt und geerdet, d.h. ihr elektrostatisches Potential konstant auf Null gesetzt. Die Ausdehnung der Platten sei groß im Vergleich zu ihrem Abstand L.

Man bestime das Potential (als unendliche Reihe), das sich einstellt, wenn man eine Punktladung q genau zwischen die Platten bringt. Außerdem bestimme man die auf die Platten influenzierte Gesamtladung.

Aufgabe 12 (Wechselwirkung leitender Kugeln) Gegeben seien zwei leitende Kugeln mit den Radien R_{1} = 2cm und R_{2} ≪ R_{1} . Der Abstand der Kugelmittelpunkte sei 4cm. Die größere Kugel sei geerdet, die Gesamtladung der nahezu punktförmigen Kugel sei eine Amperesekunde.^{14}

a) Man bestimme die Ladung auf der größeren Kugel im Limes R_{2} → 0 entspr. 1.2.3 der Vorlesung.

b) Man bestimme die Anziehungskraft beider Kugeln im Limes R_{2} → 0 .

c) Wie groß darf R_{2} in etwa sein, damit die Anziehungskraft bis auf 1% mit der in b) ermittelten übereinstimmt?

d) Man bestimme die in Abschn. 1.2.4 der Vorlesung behandelten Kapazitätsund Influenzkoeffizienten (in Einheiten des praktischen Maßsystems) für diese Leiteranordnung im Limes R_{2} → 0 .

e) Man überprüfe für diesen konreten Fall die Aussage des Greenschen Reziprozitätstheorems.

Aufgabe 13 (Relativistischer Bezugssystemwechsel) Eine Probeladung q_{Probe} werde mit konstanter Geschwindigkeit v im elektromagnetischen Feld E(r, t) = 0 , B(r, t) = B_{0} bewegt, wobei v senkrecht zu B_{0} sei.

Man bestimme die Kraft, die das elektromagnetische Feld im Ruhesystem der Probeladung auf diese ausübt, nach den Regeln der Speziellen Relativitätstheorie (siehe Exkurs dazu) und überprüfe die Konsistenz mit den Transformationsregeln gemäß Gln. (2.16) der Vorlesung.

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14Im praktischen Maßsystem ist definitionsgemäß k = 10^{−7} \frac{c^{2}·Newton}{Ampere^{2}} und somit ϵ_{0} =^{def} \frac{1}{4πk} ≈ 8, 85 · 10^{−12} \frac{Amperesekunde}{Newton·Meter^{2}} . Im übrigen ist 1Newtonmeter = 1Wattsekunde = 1Voltamperesekunde .

Aufgabe 14 (Relativistische Bewegungsgleichung) Die relativistische Bewegungsgleichung für ein Teilchen der Ruhemasse m_{0} > 0 , auf das die Gesamtkraft F(t) wirkt, ist

\frac{d}{dt} (γ_{\frac{d}{dt} r(t)}m_{0} \frac{d}{dt}r(t)) = F(t) ; γ_{v} =^{def} 1/\sqrt{1 − |v/c|^{2}}

(vgl. Exkurs über Spezielle Relativitätstheorie). Man zeige:

a) Der Betrag der Geschwindigkeit v(t) =^{def} \frac{d}{dt}r(t) ist immer kleiner als c (wenn das für wenigstens einen Zeitpunkt gilt).

b) Die Geschwindigkeit berechnet sich aus dem Impuls

p(t) =^{def} γ_{v(t)}m_{0}v(t)

gemäß

v(t)/c = p(t)/\sqrt{m_{0}^{2}c^{2} + |p(t)|^{2}} .

c) Die Richtung der Beschleunigung (\frac{d}{dt})^{2} r(t) stimmt dann und nur dann mit derjenigen von F(t) überein, wenn die Geschwindigkeit (zum betr. Zeitpunkt) entweder senkrecht oder parallel (bzw. antiparallel) zu F(t) ist.

d) Die Leistung, die F(t) am Teilchen verrichtet, ist

L(t) =^{def} v(t) · F(t) = \frac{d}{dt} (m_{v(t)}c^{2}) ,

wobei m_{v(t)} =^{def} γ_{v(t)}m_{0} .

e) Im Falle^{15}

F(t) = −q_{Probe} grad Φ (r(t))

kompensiert die Änderung der kinetischen Energie

E_{kin}(t) =^{def} m_{v(t)}c^{2} − m_{0}c^{2}

exakt die Änderung der potentiellen Energie q_{Probe}Φ (r(t)) ; d.h. die relativistische Gesamtenergie

E_{ges} =^{def} m_{v(t)}c^{2} + q_{Probe}Φ (r(t))

ist zeitunabhängig.

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15Geladenes Teilchen im statischen Elektrischen Feld mit Potential Φ , ohne Berücksichtigung der Strahlungsreaktion.

f) Der Betrag der Geschwindigkeit berechnet sich aus der kinetischen Energie E_{kin} und der Ruhemasse m_{0} gemäß

|v| /c = \frac{\sqrt{E_{kin} (E_{kin} + 2m_{0}c^{2})}}{(E_{kin} + m_{0}c^{2})} .

g) Im Falle^{16}

F(t) = q_{Probe} \frac{v(t)}{c′} × B (r(t))

ist die kinetische Energie, und damit auch der Betrag des Impulses, zeitlich konstant.

h) Für konstantes B sind dabei Kreisbahnen mit dem Radius

R = \frac{|p(t) c′|}{|q_{Probe}B|}

möglich, den man durch entsprechende Wahl von |p(0)| beliebig einstellen kann.

Aufgabe 15 (Elementarteilchen) In einem typischen Betatron für medizinische Bestrahlung erreichen Elektronen eine kinetische Energie von etwa 40 MeV ≈ 6, 4 · 10^{−12} Wattsekunden , während die Ruheenergie eines Elektrons nur 0, 511 MeV/c^{2} beträgt.

a) Wie groß ist die Elektronengeschwindigkeit im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit?

b) Wieviele Gauß (10^{−4} Voltsekunden) muß die Stärke eines homogenen B-Feldes betragen, um die Elektronen auf einer Kreisbahn vom Radius R = 50 cm zu halten?

c) Wie ändern sich die Verhältnisse für Protonen (Ruhemasse ≈ 938 MeV/c^{2}) gleicher kinetischer Energie?

Aufgabe 16 (Begrenztes elektrisches Querfeld) Gegeben sei ein auf den Bereich 0 ≤ x ≤ L beschränktes elektrostatisches Feld, das dort den konstanten Wert Ee_{z} annehme. Ein relativistisches Teilchen der Ladung q und Ruhemasse m_{0} werde mit der Geschwindigkeit v_{0} = v_{0}e_{x} in dieses Feld eingeschossen. Unter Verwendung der Bewegungsgleichung

\frac{d}{dt} (γ_{\frac{d}{dt} r(t)}m_{0} \frac{d}{dt}r(t)) = q_{Probe}E(r, t) + q_{Probe} (\frac{d}{dt}r(t)) × B(r, t)

(für B = 0) zeige man:

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16Geladenes Teilchen im statischen magnetischen Kraftflußfeld B , ohne Berücksichtigung der Strahlungsreaktion.

a) Für die Endgeschwindigkeit v gilt

\frac{v_{z}}{v_{x}} = \frac{qEΔt}{m_{0}γ_{v_{o}}v_{0}} ,

wobei Δt die Zeitdauer bezeichnet, die sich q im Feldbereich aufhält.

b) Dabei gilt die Ungleichung

(Δt)^{2} ≤ \frac{(m_{0}c)^{2} + (m_{v_{0}}v_{0})^{2}}{(m_{v_{0}}v_{0}c/L)^{2} − (qE)^{2}} .

c) Für |qEL| ≪ m_{v_{0}}v_{0}^{2} verändert sich daher die x-Komponente der Geschwindigkeit praktisch nicht und für den Winkel ϵ, um den die Richtung des Teilchens nach Durchlauf geändert ist, gilt (bei entspr. Vorzeichenkonv.) in sehr guter Näherung

ϵ = \frac{q}{m_{v_{0}}} \frac{EL}{v_{0}^{2}} .

Aufgabe 17 (Thomsonsche Parabelmethode) Man betrachte die gleiche Situation wie in der vorigen Aufgabe, füge nun aber in dem Bereich 0 ≤ x ≤ L noch das konstante Kraftflußfeld B = Be_{z} hinzu.

a) Man bestimme die Ablenkwinkel in entsprechender Näherung.

b) Man zeige, daß die entsprechenden Bahnpunkte mit x = λL (zu vorgeg. λ ≫ 1) für Teilchen unterschiedlicher Geschwindigkeit v_{0}, aber festem Verhältnis \frac{q}{m_{v_{0}}} auf Parabeln liegen müßten.

c) Man zeige, daß die entsprechenden Bahnpunkte mit x = λL (zu vorgeg. λ ≫ 1) für Teilchen gleicher Geschwindigkeit v_{0}, aber unterschiedlicher Verhältnisse \frac{q}{m_{v_{0}}} auf Geraden liegen müßten.

d) Man überlege, wie sich mit einer solchen Anordnung die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit überprüfen läßt.^{17}

Aufgabe 18 (B-Feld eines geraden Stromfadens) Gegeben seien eine Länge R, ein Stromwert J und eine hinreichend glatte Stromdichte ȷ(r) der Form

ȷ(r) = ȷ(\sqrt{y^{2} + z^{2}})e_{x} ,

die den Bedingungen

ρ > R ⟹ ȷ(ρ) = 0

Version vom 26. März 2009

17Von Kauffmann 1918 tatsächlich dazu benutzt.

und

2π ∫_{0}^{R} ȷ(ρ) dρ = J

genügt.

Man zeige, daß das in Abschnitt 2.1.3 der Vorlesung ermittelte Feld

B(r) = \frac{μ_{0}}{2π} \frac{Je_{x} × r}{|e_{x} × r|^{2}} für y^{2} + z^{2} > R

die einzige bzgl. der x-Achse rotationssymmetrische x-unabhängige Lösung der Grundgleichungen

rot B = μ_{0}ȷ , div B = 0

der Magnetostatik ist, die im Unendlichen verschwindet.

Man zeige auch, daß dieses Ergebnis im Einklang mit dem Laplaceschen Gesetz

B(r) ≈ \frac{μ_{0}}{4π} J ∫_{C} \frac{r′ − r′}{|r′ − r|^{3}} × dr′

steht,^{18} wobei C den orientierten Weg bezeichnet, längs dessen der konstante Stom J fließt (hier also die x-Achse).

Aufgabe 19 (Transformationsverhalten des elektromagnetischen Feldes)

Man zeige, daß das Transformationsverhalten

E′_{∥}(r′, t′) = E_{∥}(r, t) , B′_{∥}(r′, t′) = B_{∥}(r, t) , E′_{⊥}(r′, t′) = γ_{v} (E_{⊥}(r, t) + v × B_{⊥}(r, t)) ,

B′_{⊥}(r′, t′) = γ_{v} (B_{⊥}(r, t) − \frac{v}{c^{2}} × E_{⊥}(r, t)) .

(2.16)

der elektromagnetischen Felder E(r, t) , B(r, t) bei Bezugssystemwechsel

\begin{matrix}r′_{∥} = γ_{v} (r_{∥} − \frac{v}{c}ct) ; r′_{⊥} = r_{⊥} , \\ ct′ = γ_{v} (ct − \frac{v}{c} · r_{∥}) \end{matrix}  (A.2)

tatsächlich aus dem Lorentz-Tensor-Charakter von

(F^{μν}) = ( \begin{matrix}0 & −\frac{1}{c}E_{x} & −\frac{1}{c}E_{y} & −\frac{1}{c}E_{z} \\ + \frac{1}{c}E_{x} & 0 & −B_{z} & +B_{y} \\ + \frac{1}{c}E_{y} & +B_{z} & 0 & −B_{x} \\ + \frac{1}{c}E_{z} & −B_{y} & +B_{x} & 0 \end{matrix} )  (2.3)

folgt.

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18Man beachte: \frac{d}{dx} \frac{x}{d^{2}\sqrt{d^{2}+x^{2}}} = (d^{2} + x^{2})^{−3/2} .

Aufgabe 20 (Elektromotor) Eine starre, ebene Stromschleife werde mit der konstanten, vektoriellen Winkelgeschwindigkeit ω = ωe_{y} in einem konstanten, homogenen Kraftflußfeld B = Be_{x} gedreht. Der Flächenvektor des von der Stromschleife begrenzten ebenen Flächenstücks S_{t} zur Zeit t = 0 sei S = F e_{x}.

a) Man bestimme die in der Leiterschleife induzierte Umlaufspannung

U(t) =^{def} ∫_{∂S_{t}} (E(r, t) + v(r, t) × B(r, t)) · dr = −\frac{d}{dt} ∫_{S_{t}} B(r, t) · dS_{r} (2.18)

b) Man bestimme die Stromstärke I(t) , für die das vorgegebene B-Feld auf die Leiterschleife das konstante Drehmoment M_{mech} = −Me_{y} ausübt und vergleiche die elektrische Leistung U(t)I(t) mit der mechanischen, die solch ein ‘Elektromotor’ leistet.

c) Man diskutiere die Auswirkung des Ohmschen Leiterwiderstandes auf die tatsächlich zu erbringende elektrische Leistung und deren Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω.

Aufgabe 21 (Quasi-zweidimensionale Probleme) Gegeben sei eine hinreichend gutartige statische Ladungsverteilung der Form ρ(r) = ρ(x, y) in karthesischen Koordinaten x, y, z. Man zeige:

a) Obwohl das Coulomb-Potential

Φ_{ρ}(r) =^{def} lim_{R→∞} \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫_{U_{R}(0)} \frac{ρ(r′)}{|r − r′|} dV_{r′}

nicht existiert, existiert das Coulomb-Feld

E_{ρ}(r) = − lim_{R→∞} ∇_{r} \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫_{U_{R}(0)} \frac{ρ(r′)}{|r − r′|} dV_{r′}

und besitzt das Potential

Φ(r) = \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫_{−∞}^{+∞} (∫_{−∞}^{+∞} (−2 ln \sqrt{(x − x′)^{2} + (y − y′)^{2}}) ρ(x′, y′) dx′) dy′ .

b) Es gilt daher das zweidimensionale Analogon

\begin{matrix}((\frac{∂}{∂x})^{2} + (\frac{∂}{∂y})^{2}) ∫_{−∞}^{+∞} (∫_{−∞}^{+∞} ln \sqrt{(x − x′)^{2} + (y − y′)^{2}} ρ(x′, y′) dx′) dy′ \\ = 2πρ(x, y) \end{matrix}

zur Poissonschen Gleichung, was man üblicherweise formal durch

((\frac{∂}{∂x})^{2} + (\frac{∂}{∂y} )^{2}) ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 2πδ(x)δ(y)

mitteilt.

Aufgabe 22 (Inneres Dirichlet-Problem der Kugel) Man bestimme die Greensche Funktion

G(r, r′) = \frac{1}{|r − r′|} + H(r, r′)

für das innere Dirichlet-Problem der Kugel

G =^{def} {r ∈ ℝ^{3} : |r| < R} .

Entsprechend Abschnitt 1.3.2 der Vorlesung sind also folgende Bedingungen zu erfüllen:

(i) H(r, r′) ist beliebig oft differenzierbar für |r| < R ≥ |r′| ,

(ii) G(r, r′) = 0 für |r| < R = |r′| ,

(iii) Δ_{r′}H(r, r′) = 0 für |r| < R ≥ |r′| .

Man zeige, daß das elektrostatische Potential Φ(r) im Inneren einer – nicht unbedingt leitenden – Hohlkugel vom Radius R, in deren Innerem die Ladungsdichte ρ(r) vorgegegben ist, für r < R stets der Gleichung

Φ(r) = \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫_{G} (\frac{1}{|r−r′|} − \frac{R}{\sqrt{|r|^{2}|r′|^{2}−2R^{2}r′·r+R^{4}}} ) ρ(r′) dV_{r′}
−\frac{1}{4π} ∫_{∂G} Φ(r′)\frac{(|r|^{2}−R^{2})}{R(|r|^{2}+R^{2}−2r·r′)^{3/2}} · dS_{r′}

genügt.

Aufgabe 23 (Rotation eines Vektorfeldes in Kugelkoordinaten) Analog zu der in der Vorlesung gegebenen Herleitung des Ausdrucks für die Divergenz eines Skalarfeldes in Kugelkoordinaten bestimme man die Rotation eines allgemeinen (hinreichend gutartigen) Vektorfeldes ȷ in Kugelkoordinaten.

Man zeige also mithilfe der koordinatenunabhängigen Definition

e · rot ȷ(r_{0}) = lim_{ϵ→+0} \frac{1}{|S_{ϵ}|} ∫_{∂S_{ϵ}} ȷ(r) · dr

der Rotation und mithilfe des Mittelwertsatzes für Wegintegrale sowie des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung:

(rot ȷ)^{r} = \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ ȷ^{φ}) − \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}ȷ^{ϑ} ,
(rot ȷ)^{ϑ} = \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}ȷ^{r} − \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r ȷ^{φ}) ,
(rot ȷ)^{φ} = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r ȷ^{ϑ}) − \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ}ȷ^{r} .

Aufgabe 24 (Multipolmomente eines homogen geladenen Stabes) Gegeben sei ein homogen geladener, unendlich dünner Stab der Länge L mit der Gesamtladung q.

a) Man bestimme die in Abschnitt 1.4.2 der Vorlesung definierten Multipolmomente q_{lm} mit l ≤ 2 für den Fall, daß die Stabachse auf der Polarachse des Kugelkoordninatensystems und ein Stabende im Koordinatenursprung liegt.

b) Wie ändern sich die Verhältnisse, wenn man den Koordinatenursprung in den Stabmittelpunkt verlegt?

c) Man gebe das elektrostatische Potential in Quadrupolnäherung an und diskutiere den zugehörigen Feldverlauf.

Aufgabe 25 (Potential eines homogen geladenen Kreisringes) Gegeben sei ein homogen geladener, unendlich dünner Kreisring mit dem Radius R und der Gesamtladung q. Man bestimme zunächst das zugehörige elektrostatische Potential auf der Symmetrieachse und zeige damit analog Abschnitt 1.4.2 der Vorlesung, daß das Potential im gesamten Raum durch

Φ(r, ϑ, φ) = \frac{q}{4πϵ_{0} max \{r, R\}} (1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}} (\begin{matrix}min & \{r, R\} \\ max & \{r, R\} \end{matrix})^{2n} P_{2n}(cos ϑ))

gegeben ist, wenn man die Kugelkoordinaten r, ϑ, φ geeignet wählt.

Aufgabe 26 (Wechselwirkung elektrischer Dipole) Gegeben sei eine Folge von Ladungsverteilungen ρ_{ϵ} der Form

ρ_{ϵ}(r) =^{def} ϵ^{−4}ρ(r/ϵ) ,

wobei ρ(r) eine beliebig differenzierbare, räumlich begrenzte Ladungsverteilung bezeichne mit:

∫_{ℝ^{3}} ρ(r) dV_{r} = 0 .

a) Man zeige, daß (im Sinne von Gl. (1.6) der Vorlesung)

lim_{ϵ→+0} |Φ_{ρ_{ϵ}}(r) − \frac{r · P_{ρ_{ϵ}}}{4πϵ_{0} |r|^{3}} | = 0 für r ≠ 0

gilt, wobei P_{ρ_{ϵ}} =^{def} ∫_{ℝ^{3}} r ρ_{ϵ}(r) dV_{r} jeweils das elektrische Dipolmoment der Ladungsverteilung ρ_{ϵ} bezeichnet. b) Man zeige,^{19} daß die Kraft F, die ein inhomogenes äußeres elektrisches Feld

E_{äuß}(r) auf die Ladungsverteilung ρ_{ϵ}(r) ausübt, im Limes ϵ → +0 durch

F = (P · ∇_{r}) E_{äuß}(r)_{|_{r=0}}

gegeben ist, wobei:

P =^{def} P_{ρ_{ϵ}} unabhängig von ϵ .

c) Man zeige, daß das Drehmoment M_{mech}, das ein äußeres elektrisches Feld E_{äuß}(r) auf die Ladungsverteilung ρ_{ϵ}(r) ausübt, im Limes ϵ → +0 durch

M_{mech} = P × E_{äuß}(0)

gegeben ist.

d) Man zeige: Wenn man die Ladungsverteilung ρ_{ϵ} als in sich starr, aber insgesamt um jeweils r verschiebbar betrachtet, dann ist ihre potentielle Energie im äußeren elektrischen Feld E_{äuß}(r) für ϵ → +0 :

E_{pot}(r) = −P · E_{äuß}(r) .

e) Man diskutiere qualitativ die Kräfte und Drehmomente, die zwei ideale elektrische Dipole aufeinander ausüben.

Aufgabe 27 (Magnetfeld einer Spule) Durch eine Spule der Länge l mit N Wicklungen und Radius R fließe ein (stationärer) Strom der Stärke I. Die Symmetrieachse der Spule sei die z-Achse und das Spulenzentrum stimme mit dem Koordinatenursprung überein.

a) Man zeige, daß der Betrag H des Magnetfeldes auf der z-Achse (für bel. z) im Sinne von Abschnitt 3.1.1 der Vorlesung durch

H = \frac{NI}{2l} (\frac{z + l/2}{\sqrt{R^{2} + (z + l/2)^{2}}} − \frac{z − l/2}{\sqrt{R^{2} + (z − l/2)^{2}}} )

gegeben ist.

b) Mit welcher Potenz von z fällt das Magnetfeld (auf der Symmetrieachse) im Unendlichen ab?

Version vom 26. März 2009

entwicklung.

19Hierbei verwendet man zweckmäßig die in Abschnitt 1.4.2 der Vorlesung behandelte Multipol-

Aufgabe 28 (Selbstinduktion in quasistationärer Näherung) In quasistationärer Näherung berechnet man das magnetische Feld zeitabhängiger Stromverteilungen nach den Regeln der Magnetostatik.

a) Man zeige mithilfe des Biot-Savartschen (bzw. des Laplaceschen) Gesetzes, daß in dieser Näherungs die elektrische Induktionsspannung, die etwa eine Spule durch ihr eigenes Magnetfeld erzeugt, proportional zur Stromstärke^{20} ist, wobei die Proportionalitätskonstante L (Induktivität) nur von der Geometrie der Stromverteilung abhängt.

b) Man diskutiere die Auswirkung dieser Selbstinduktion auf den in Aufg. 20 betrachteten ‘Elektromotor’.

Aufgabe 29 (Selbstkraft und Selbstdrehmoment von Strömen) Gegeben sei eine stationäre Stromdichte ȷ mit div ȷ = 0 , die gemäß Biot-Savartschem Gesetz das magnetische Kraftflußfeld B(r) erzeugt.

a) Man zeige, daß die Gesamtkraft, die die Stromverteilung gemäß Gleichung (2.1) der Vorlesung auf sich selbst ausübt, Null ist:

∫_{ℝ^{3}} ȷ(r) × B(r) dV_{r} = 0 .

b) Man zeige, daß das Gesamdrehmoment, das die Stromverteilung gemäß Gleichung (2.1) auf sich selbst ausübt, bzgl. jeden Drehpunktes Null ist.^{21}

c) Gilt entsprechendes auch im Falle div ȷ ≠ 0?

Aufgabe 30 (Transformator) Mit I_{1} resp. U_{1} sei der Strom resp. die Spannung der Primärwicklung, mit I_{2} resp. U_{2} der Strom resp. die Spannung der Sekundärwicklung eines Transformators bezeichnet (siehe Skizze).

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; I_{1}; U_{1}; I_{2}; U_{2}]

Version vom 26. März 2009

20Dabei sei der Strom zeitlich veränderlich, aber an jeder Stelle der Spule von gleichem Betrage.

21Mithilfe des Entwicklungssatzes und partieller Integration läßt sich das leicht zeigen.

Die Primärspule bestehe aus n_{1} , die Sekundärspule aus n_{2} dichten Wicklungen. Die magnetische Permeabilität des Eisenkerns sei μ. S sei ein einfaches Flächenstück, dessen Rand ∂S (in der Skizze gestrichelt) sich durch folgende Eigenschaften auszeichne:

• ∂S verläuft innerhalb des Eisenkerns durch beide Spulen.

• ∂S stellt eine Feldlinie von H dar, längs derer H räumlich (nicht zeitlich) konstanten Betrag hat, der mit dem Mittelwert

\overline{H}(t) =^{def} \frac{1}{|S′|} ∫_{S′} H(r, t) · dS_{r}

über typische, zu H senkrechte (etwa durch eine innere Wicklung berandete), Querschnittsflächen S′ (entspr. Orientierung) übereinstimmt (streuungsfreier Transformator).

a) Man zeige, daß in quasistationärer Näherung (vgl. Aufg. 28) die Gleichung

∫_{∂S} H(r, t) · dr = (I_{1}n_{1} − I_{2}n_{2})

gilt, wenn man die Wirbelströme innerhalb des Eisenkerns vernachlässigen kann.

b) Man zeige, daß für typische Querschnittsflächen o.a. Art

∫_{∂S′} E(r, t) · dr = −μμ_{0} |S′| \frac{d}{dt}\overline{H}(t)

gilt, wenn man die Hysterese unberücksichtigt läßt.

c) Man zeige, daß aus a) und b) in guter Näherung die Gleichungen

U_{i} = μμ_{0} \frac{|S′|}{|∂S|}n_{i} (n_{1} \frac{d}{dt}I_{1} − n_{2} \frac{d}{dt}I_{2})

folgen, wenn man den Ohmschen Widerstand der Wicklungen vernachlässigen kann.^{22}

d) Wie verändern sich die Verhältnisse qualitativ bei Berücksichtigung der Hysterese?

e) Man erkläre, warum der Eisenkern eines Transformators gewöhnlich als Bündel dünner, fensterförmiger Eisenbleche konstruiert wird.

f) Man erkläre, wie der typische Brummton eines Transformators entsteht.

Version vom 26. März 2009

22Man beachte, daß dann die angelegte Spannung U_{i} durch die jeweilige Induktionsspannung kompensiert wird.

Literaturverzeichnis

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pany, Inc., Reading, Massachusetts. 73 Schwartz, M. (1972). Principles of Electrodynamics. McGraw-Hill, New York etc. 3

Index

Ampere

Stromeinheit, 34, 50 Ampere

-Gesetz, 49

Bahn

-Tangente, 81 Bewegungsgleichung

relativistische, 97 Biot-Savartsches Gesetz, 46, 56, 105 boosten, 88

Coulomb -Eichung, 40 -Feld, 10 -Gesetz, 10 -Potential, 10

δ-Folgen, 95 diamagnetische Stoffe, 66 dielektrische Stoffe, 65 Dielektrizitätskonstante, 65 Dipol

-näherung, 51 elektrischer, 103

Drehmoment, 104 Energie, 104 idealer, 94 Kraft, 104 Moment, 28 Potential, 28

Hertzscher, 78 magnetischer

Drehmoment, 55 Energie, 55 Kraft, 54

Moment elektrisches, 103 magnetisches, 52

Dirichlet

-Problem der Kugel inneres, 102

Dispersion, 70 Drehmoment

auf magnetischen Dipol, 55

Eichung Coulomb-, 40 Lorentz-, 40, 58 Kovarianz der, 42

Strahlungs-, 41 Transformation, 40 vollständig kovariante, 39

Eigenzeit, 90 Einstein

-Summenkonvention, 35 Elektromotor, 101

Faraday -Effekt, 95 -Induktionsgesetz, 38

Feld Coulomb-, 10 elektrisches, 31 äußeres, 104

elektromagnetisches, 37 Energiedichte, 75 Energiestromdichte, 75 Impulsdichte, 77 Impulsstromdichte, 77 makroskopisches, 63 statisches, 45 Transformationsverhalten, 37 elektrostatisches, 9

Gesamtenergie, 76 konservatives, 10 magnetisches, 48

einer Spule, 104 magnetostatisches

Gesamtenergie, 76 Feldstärke-Tensor, 34 ferroelektrische Stoffe, 66, 69 Funktion

charakteristische, 11 Greensche, 22 verallgemeinerte, 11

Gauß -Gesetz, 9 -Maßsystem, 49, 51, 91

Gesetz Amperesches, 49 Biot-Savartsches, 46, 56, 105 Coulombsches, 10 Gaußsches, 9 Laplacesches, 46, 105 Ohmsches, 64, 66

Green -Funktion, 22 -Reziprozitätstheorem, 96

1. Identität, 14

2. Identität, 21 Reziprozitätstheorem, 18

Grenzflächen Randbedingungen an, 64

Hertzscher Dipol , 78 Hysterese, 69

Induktionsgesetz, 38 Influenz

-koeffizienten, 18, 96 vollständige, 19

Inhomogenität, 41, 42 Integral

Oberflächen-, 81 Weg-, 81 Kapazität, 18, 19, 96 Kausalitätsforderung, 57 Kondensator, 19 Kontinuitätsgleichung, 37, 62 Konvergenz im L^{2}-Mittel, 25 Kraft

-Dichte, 31 -dichte

Vierer-, 35 -flußdichte, magnetische, 31 auf elektrischen Dipol, 104 auf magnetischen Dipol, 54 Bild-, 15

Kugelflächenfunktionen, 25 Additionstheorem, 25 Entwicklungssatz, 25 Orthonormalität, 25

Kugelfunktionen 1. Art, 24

2. Art, 24 Kugelwelle, 58

Laborsystem, 87

Ladung Überschuß-, 64 Dichte

effektive, 62 Erhaltungssatz, 37 Flächendichte, 11 influenzierte, 12

Probe-, 9, 31 Punkt-, 10 Schein-, 16 Spiegel-, 15 Verteilung, 11 statische, 45

Laplace -Gesetz, 46, 105 -Gleichung, 14 -Operator, 10, 24

Laplace

-Gleichung, 86 Legendre Differentialgleichung, 25 Polynome

zugeordnete, 24 Leistungsdichte, 34 Leiter

-system, 18 idealer, 11 realer, 12

Leitfähigkeit, spezifische, 65 Lenzsche Regel, 66 Liénard-Wiechert-Potentiale, 74 Lorentz

-Eichung, 40, 58

Kovarianz der, 42 -Kontraktion, 34, 87 -Kraftdichte, 31 -Transformation

spezielle, 33, 36, 88

Maßsystem elektromagnetisches cgs-, 93 elektrostatisches cgs-, 93 Gaußsches, 49, 51, 91 Heaviside-, 92 kohärentes, 91 MKSA-, 92 nichtrationales, 91 praktisches, 49, 50, 96 rationales, 91

Magnetisierung, 62, 65 Maxwell

-Gleichungen für das Vakuum, 35, 36, 42 freie, 45, 75 partikuläre Lösung der, 45

-Spannungstensor, 77 Minkowski

-Länge, 88 Multipol

Entwicklung, 28 Momente, 28, 103

Nahewirkungstheorie, 73 Oberflächenintegral, 81 Ohmscher Widerstand, 101, 106 Ohmsches Gesetz, 64, 66

Parabelmethode

Thomsonsche, 99 paraelektrische Stoffe, 65 paramagnetische Stoffe, 66 Permeabilitätskonstante, 65 Poincaré

-Konstruktion, 39 Poissonsche Gleichung, 86 Poissonsche Gleichung, 10, 59 2-dim. Analogon, 101

Polarisation

dielektrische, 62, 64 Potential

Coulomb-, 10 elektrostatisches Kreisring, 103

Skalar-, 40 Vektor-, 41

Potentiale

elektromagnetische, 40 Eichtransformation, 40 Liénard-Wiechert, 74 retardierte, 58

Poynting -Theorem, 75 -Vektor, 79

Quadrupol, 29

Näherung, 103 quasistationäre Näherung, 105, 106

Randwertproblem Dirichletsches, 20 Neumannsches, 20

Raum

-Inhalt, 83 relativistische

Bewegungsgleichung, 97 Energie

Gesamt-, 97 kinetische, 97 Ruhe-, 98

retardiert, 58 Ruhemasse, 90 Ruhesystem, 33, 88, 90

Selbst-Drehmoment von Strömen, 56, 105 Induktion, 105 Kraft von Strömen, 105

Skalar

Potential, 85 Solenoid, 47 Spannung, 19 Spannungstensor

Maxwellscher, 77 Strahlungs

-Eichung, 41 -Leistung, 80 -Reaktion, 32 -Reaktionskraft, 73

Strom

-dichte

Vierer-, 33, 35 Dichte

effektive, 62 Einheit, 34 Einheit Ampere, 50 stationärer, 32 Verteilung

stationäre, 45 Suszeptibilität

elektrische, 65 magnetische, 65

Sychrotronstrahlung, 73

Tensor

2. Stufe kontravarianter, 34

Feldstärke-, 34 Thomsonsche Parabelmethode], 99 Transformator, streuungsfreier, 106

Vektor -Potential, 85 Tangenten-, 81

Vierer-Beschleunigung, 88 Ereignisvektor, 88 Geschwindigkeit, 88 Kraftdichte, 35 Stromdichte, 33, 35, 88 Vektor

kontravarianter, 42 Volumen

-Integral, 82

Weg -Integral, 81 -Länge, 83

Welle

elektromagnetische, 73 Wellengleichung

homogene, 41, 58 inhomogene, 41, 58

Wellenzone, 79

Zeit -Dilatation, 88 -Synchronisation, 87 Eigen-, 90