Mathematische Methoden der Physik

Technische Universität Clausthal

WS 1979/80 – SS 2005 W. Lücke

Vorwort

Ziel dieser Vorlesung ist es, an einfachen physikalischen Systemen zu zeigen, wie mathematische Strukturen in der Natur in verschiedenster Gestalt näherungsweise realisiert sind und zu physikalischen Schlußfolgerungen herangezogen werden können. Dabei dient die Vorlesung gleichzeitig als Einführung in die elementaren mathematischen Methoden der Physik, soweit sie für die Vorlesungen Theoretische Mechanik und Elektrodynamik benötigt werden. Jedoch ist das eigentliche Anliegen nicht die Mathematik selbst, sondern der kreative Umgang damit – was sicherlich nicht bei jedem Studenten auf Gegenliebe stoßen wird. Dementsprechend wird auch bei Beweisen so weit wie möglich physikalisch-anschaulich argumentiert. Die Einübung in präzise formale Beweisführung soll den Mathematikvorlesungen vorbehalten bleiben. Wer einmal gelernt hat, wie ein strenger mathematischer Beweis zu führen ist, wird keine Schwierigkeiten haben, die hier gegebenen Beweisskizzen entsprechend umzusetzen.

Warnungen:

1. Das vorliegende Skript ist nicht zum Selbststudium gedacht.

2. Für Leute, die sich mit Halbwissen zufrieden geben, ist diese Vorlesung denkbar ungeeignet.

Der in der Vorlesung abgehandelte mathematische Stoff sollte als Pensum aufgefaßt werden, das es bis zum Vordiplom abzuarbeiten gilt.

Wichtig: Auch im zweiten Studienabschnitt sollte man sich den Stoff dieser Vorlesung immer wieder ins Gedächtnis rufen, da er auch in den höheren Vorlesungen stets benötigt wird.

Literaturempfehlung: (Zeidler, 2003; Grosche et al., 2003; Fischer und Kaul, 2001; Fischer und Kaul, 2004)

4

Inhaltsverzeichnis

I Vektor-Algebra-Methoden 9

1 Vektorraum-Strukturen 11

1.1 Physikalische Dreier-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Räumliche Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Vektorregeln für Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3 Überlagerung von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.4 Überlagerung von Federkräften . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.5 Natürliche Zuordnungen verschiedenartiger Vektoren . . . . . 16 1.1.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Mathematische Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Allgemeine reelle Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 Endlichdimensionale reelle Vektorräume . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Spalten-Schreibweise für Vektore . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Physikalische Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Schiefe ‘Ebene’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Landeanflug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.3 Seilspannungen (Spezialfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Euklidische reelle Vektorräume 25

2.1 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Mathematische Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Seilspannungen (allgemeiner Fall) . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Das Vektorprodukt im 3-dim. Euklid. Raum . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Motivation (Hebelgesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Bestimmung des Vektorproduktes . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3 Drehmomentbilanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.4 Anwendungsbeispiel (Dreibeiniger Tisch) . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Nützliche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Teilzusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Mehrfachprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.3 Reziproke Basis und Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . 41

2.3.4 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II Vektor-Analysis-Methoden 47

3 Raumkurven 49

3.1 Bahnkurve eines Körperpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.1 Beschreibung durch Vektorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.2 Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.3 Elliptische Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.4 Parabolische Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.5 Hyperbolische Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Geschwindigkeit eines Körperpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.1 Mittlere Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.2 Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.3 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.4 Anwendungsbeispiel (harmonische Schwingung) . . . . . . . . 63

3.3 Beschleunigung eines Körperpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 Definitionen und einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2 Eindeutige Bestimmtheit der Bahnkurve . . . . . . . . . . . . 67 3.3.3 Eigenschaften des Integrals und Konsequenzen . . . . . . . . . 71 3.3.4 Die Newtonsche Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . 72

3.4 Erhaltungssätze für Massenpunktsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.1 Impulssatz/Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.2 Drehimpulssatz/Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.3 Innere und äußere Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.4 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5 Zentralfeld-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5.2 Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5.3 Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5.4 Allgemeines Zentralpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4 Skalar- und Vektorfelder 93

4.1 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.2 Der Gradient eines Skalarfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.3 Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2 Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.2 Eigenschaften des Wegintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2.3 Wegintegrale über konservative Vektorfelder . . . . . . . . . . 108 4.2.4 Beispiel: Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.2 Beispiele geeigneter Flächenparametrisierungen . . . . . . . . 116 4.3.3 Eigenschaften des Oberflächenintegrals . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.4 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.4.2 Anwendungsbeispiel (Trägheitstensor) . . . . . . . . . . . . . 126 4.4.3 Eigenschaften des Volumenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.4.4 Der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.4.5 Die Poissonsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4.6 Der Satz von Earnshaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.5 Nützliche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.5.1 Teilzusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.5.2 Algebra des Nabla-Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.5.3 Konstruktion von Vektorpotentialen . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.5.4 Funktionentheoretische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . 146

III Differentialgleichungen 153

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen 155

5.1 Vektorielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 155 5.1.1 Motivation und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.1.2 Eindeutigkeit von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.1.3 Existenz der Flußlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2.1 2. Ordnung zur Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2.2 Allgemeine Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2.3 Rückführung auf Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . 161

5.3 Lineare vektorielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.1 Fundamentales Lösungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.2 Partikuläre Lösung des inhomogenen Problems . . . . . . . . . 163 5.3.3 Gedämpfter harmonischer Oszillator mit äußerer Kraft …. 164

6 Lineare partielle Differentialgleichungen 167

6.1 Kleine Schwingungen einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.1 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.2 Energiesatz und Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . 170 6.1.3 Lösungen für die fest eingespannte Saite . . . . . . . . . . . . 171

6.2 Fourier-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.2.1 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2.2 Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.3 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.3.1 Freie elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.3.2 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

A Tensoren 179

A.1 Der Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A.1.1 Linearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A.1.2 Die duale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 A.1.3 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

A.2 Allgemeine Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 A.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 A.2.2 Komponenten-Darstellung von Tensoren . . . . . . . . . . . . 184 A.2.3 Natürliche Zuordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 A.2.4 Physikalische Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

A.3 Antisymmetrische Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A.3.1 Volumenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A.3.2 Orientierung endlichdimensionaler Vektorräume . . . . . . . . 191 A.3.3 Allgemeine antisymmetrische Tensoren . . . . . . . . . . . . . 193

B Beweise zur Fourier-Theorie 197 B.1 Integral-Sinus und Folgen vom Typ Delta . . . . . . . . . . . . . . . . 197 B.2 Dirichletsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.3 Konvergenz der Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 B.4 Zum Fourier-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

C Übungsaufgaben 207

D Lösungsvorschläge 239

Literaturverzeichnis 317

Index 321

Teil I

Kapitel 1

Vektor-Algebra-Methoden Vektorraum-Strukturen

1.1 Physikalische Dreier-Vektoren

1.1.1 Räumliche Translationen

(i) v bezeichne die einfachste Vorschrift, von P_{1} nach P_{2} zu gelangen: In entsprechende Richtung eine Strecke entsprechender Länge zurücklegen.

Dieselbe Vorschrift (durch einen Pfeil entsprechender Richtung und Länge veranschaulicht) läßt sich natürlich auf jeden anderen Ausgangspunkt P′_{1} anwenden:

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} P_{2}  P′_{2} P_{1}  P′_{1}^{•}_{•}  ^{•}  ^{•} v  v

(ii) v_{1} ▷ v_{2} bezeichne die kompliziertere Vorschrift: Erst v_{1}, danach auch noch v_{2} ausführen.

(iii) v_{1} + v_{2} bezeichne die einfachste Vorschrift, von einem gegebenen Anfangspunkt P_{1} zum gleichen Ausgangspunkt P_{2} zu gelangen wie gemäß v_{1} ▷ v_{2}:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} P_{1}  P_{2}_{•}  ^{•} v_{1}  v_{2}v_{1} + v_{2}

(iv) Für λ ≥ 0 bezeichne λv die Vorschrift: In Richtung von v das λ-fache der v entsprechenden Strecke zurücklegen.

(v) −v bezeichne die Vorschrift: In zu v entgegengesetzter Richtung die v entsprechende Strecke zurücklegen:

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} v  −v

(vi) Statt −(λv) wird auch (−λ) v oder −λv und statt v_{1} + (−v_{2}) auch v_{1} − v_{2} geschrieben:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} v_{1}  v_{1} v^{2} −v_{2} v_{1} − v_{2}

1.1.2 Vektorregeln für Translationen

In der Praxis wird keine Abweichung von folgenden Regeln bemerkt:

(V1): v_{1} + v_{2} = v_{2} + v_{1} , anschaulich:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} v_{1}  v_{1} v_{2}v_{2} v_{2} + v_{1} v_{1} + v_{2}

Anmerkung: Es ist mehr als zweifelhaft, ob sich für die reale Welt die Begriffe ‘gleiche Richtung’ und ‘gleiche’ Strecke konkret so definieren lassen, daß (V1) streng gilt. Die Art der Schwierigkeit kann man sich verdeutlichen, indem man auf der Erdoberfläche die Gleichheit von Richtungen an verschiedenen Ausgangspunkten P_{1}, P′_{1} mit der Kompaßnadel überprüft:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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· • v_{1}

v_{2}
v_{1}

v_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Richtung von v_{1}: Westen , Richtung von v_{2}: Süden .

(V2): v_{1} + v_{2} + v_{3} =^{def} (v_{1} + v_{2}) + v_{3} = v_{1} + (v_{2} + v_{3}) , anschaulich:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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(V3): 0v_{1} = 0v_{2} (V4): 1v = v (V5): λ_{1}λ_{2}v =^{def} (λ_{1}λ_{2}) v = λ_{1} (λ_{2}v) für reelle λ_{1}, λ_{2} (V6): λ_{1}v + λ_{2}v =^{def} (λ_{1}v) + (λ_{2}v) = (λ_{1} + λ_{2}) v für reelle λ_{1}, λ_{2} (V7): λv_{1} + λv_{2} = λ (v_{1} + v_{2}) für reelle λ, anschaulich:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Strahlensatz!; v_{2}; v_{1}; λ(v_{1} + v_{2}); λv_{2}; λv_{1}]

Anmerkungen:

• Für Vektoren v und reelle Zahlen λ werden wir mitunter auch v λ für λ v oder (falls λ ≠ 0) \frac{v}{λ} bzw. v/λ für \frac{1}{λ} v schreiben.

• Im Folgenden werden wir, im Sinne von (V3) für 0 v i.a. nur 0 schreiben.

1.1.3 Überlagerung von Geschwindigkeiten

Auch eine (gleichförmige) Geschwindigkeit v läßt sich durch Angabe einer Richtung und einer Länge charakterisieren, wenn eine Zeiteinheit festgelegt ist:^{1}

Richtung von v: Bewegungsrichtung ,
Länge von v:  pro Zeiteinheit zurückgelegte Strecke .

Version vom 26. März 2009

1Vgl. auch Abschnitt 1.1.5

Bei der Erklärung der Addition von Geschwindigkeiten wird besonders deutlich, daß sich die Charakterisierung von Geschwindigkeiten (ebenso wie die räumlicher Translationen) stets auf ein vereinbartes starres Bezugssystem bezieht.^{2}

Seien also A, B vorgegebene starre Bezugssysteme, die sich relativ zueinander gleichförmig drehungsfrei bewegen (z.B. A =Hafen, B =Fähre), und sei C ein physikalisches Objekt:

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A

C

v_{1}

v_{2} v_{res}

B v_{1} : gleichf. Geschw. von B bzgl. A , v_{2} : gleichf. Geschw. von C bzgl. B , v_{res} : gleichf. Geschw. von C bzgl. A ,

v_{1} + v_{2} = v_{res} .

Mit v_{1} + v_{2} wird dann i.a. die Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich C bzgl. A bewegt.

Mit λv, wobei λ ≥ 0, wird die Geschwindigkeit bezeichnet, der die gleiche Richtung wie v, jedoch die λ-fache Länge zukommt.

Mit −v wird die Geschwindigkeit bezeichnet, der die gleiche Länge wie v, jedoch die entgegengesetzte Richtung zukommt.

Die Schreibweisen (vi) aus 1.1.1 finden auch für Geschwindigkeitsvektoren Anwendung.

Dann werden für Geschwindigkeiten, deren Betrag klein im Vergleich zu demjenigen der Vakuumlichtgeschwindigkeit (≈ 3 · 10^{10} \frac{cm}{s}) ist, in der Praxis keine Abweichungen von den Regeln (V1)–(V7) aus 1.1.2 festgestellt.^{3}

1.1.4 Überlagerung von Federkräften

Eine Feder sei zwischen zwei feste Punkte P_{1}, P_{2} eines starren Bezugssystems gespannt:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; P_{2}; P_{1}; −F; F]

Dann greift die Feder bei P_{1} mit einer Kraft F an, die durch Angabe von Richtung und Stärke^{4} zu charakterisieren ist, wobei:

Richtung von F : Richtung von P_{1} nach P_{2} .

Version vom 26. März 2009

2Aus der speziellen Relativitätstheorie muß man allerdings folgern, daß absolut starre Körper prinzipiell nicht existieren können.

3Für höhere Geschwindigkeiten bereiten dagegen die unterschiedlichen Bezugssysteme A, B Schwierigkeiten.

4Siehe weiter unten.

Mit −F bezeichnet man in diesem Falle die Kraft, mit der die Feder (vernachlässigbarer Masse) bei P_{2} angreift.

Wird die Kraftwirkung der betr. Feder bei P_{2} durch zwei weitere Federn kompensiert, die bei P_{2} mit den Kräften F_{1}, F_{2} angreifen, dann definiert man

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; P_{2}; P_{1}; F_{2}; F_{1}; F; F_{1} + F_{2} =^{def} F :]

Weiterhin definiert man induktiv

1 F =^{def} F ,
(n + 1)F =^{def} nF + F für n = 1, , 2, …

und schließlich \frac{n}{m}F als diejenige Kraft, deren m-faches mit nF übereinstimmt.

Man wählt nun eine Standard-Feder und legt die Stärke der Kraft, die diese Feder bei Standard-Auslenkung ausübt, als Krafteinheit fest. Dann definiert man:

Stärke von \frac{n}{m}F =^{def} \frac{n}{m} Krafteinheit , falls Stärke von F = Krafteinheit .

Damit läßt sich eine Federwaage herstellen, an der man die Federstärke ablesen kann.

λF kann man nun für bel. λ ≥ 0 als diejenige Federkraft definieren, der die gleiche Richtung wie F, jedoch die λ-fache Stärke zukommt. Mit −F bezeichnet man die Kraft der in entgegengesetzte Richtung mit gleicher Auslenkung gespannten Feder.

Schließlich seien wieder die Schreibweisen (vi) aus 1.1.1 vereinbart.

Dann bemerkt man wiederum in der Praxis keine Abweichung von den Regeln (V1)–(V7) aus 1.1.2.

Anmerkung: Auf den ersten Blick mögen die Regeln (V1)–(V7) für Federkräfte selbstverständlich erscheinen. Tatsächlich ist aber bereits der experimentell gefundene Sachverhalt, daß sich die gemeinsame Kraftwirkung zweier Federn stets durch die einer einzigen Feder (in hinreichend guter Näherung) kompensieren läßt, keinesfalls eine logische Notwendigkeit.

1.1.5 Natürliche Zuordnungen zwischen physikalischen Dreier-Vektoren^{5} unterschiedlicher Art

Für einen Kraftvektor F und einen Translationsvektor x schreibt man auch

F = x \frac{Krafteinheit}{Längeneinheit}

sowie x = F \frac{Längeneinheit}{Krafteinheit} ,

falls folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

1. Die x und F entspr. Richtungen stimmen überein.

2. Es existiert ein λ ≥ 0 mit:

Stärke von F = λ Krafteinheit

und x entspr. Strecke = λ Längeneinheit .

Dann stellt man in der Praxis keine Abweichungen von folgenden Regeln^{6} fest:

(x_{1} \frac{Krafteinh.}{Längeneinh.}) + (x_{2} \frac{Krafteinh.}{Längeneinh.}) = (x_{1} + x_{2}) \frac{Krafteinh.}{Längeneinh.} , (1.1)
(F_{1} \frac{Längeneinh.}{Krafteinh.}) + (F_{2} \frac{Längeneinh.}{Krafteinh.}) = (F_{1} + F_{2}) \frac{Längeneinh.}{Kraftein.} , (1.2)
(λx)\frac{Krafteinh.}{Längeneinh.} = λ (x \frac{Krafteinh.}{Längeneinh.}) ,  (1.3)
(λF)\frac{Längeneinh.}{Krafteinh.} = λ (F \frac{Längeneinh.}{Krafteinh.}) .  (1.4)

Aufgrund dieser Tatsache läßt sich die Überlagerung von Kräften mithilfe räumlicher Translationen richtungstreu und längentreu darstellen (Kräfteparallelogramm):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .....

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......

F_1 + F_2 F_1

F_2

Version vom 26. März 2009

5Der Übergang zum (physikalisch) dimensionslosen Einheitsvektor gleicher Richtung wird oft durch ein ˆ über dem Vektorsymbol mitgeteilt. Dann gilt also z.B. r̂ =^{def} \frac{r}{|r|} (im Sinne von 2.1.1). Wir werden jedoch das ˆ , wie vielfach in der Quantenoptik üblich, nur zur Kennzeichnung von Operatoren verwenden.

6Man kann zeigen, daß diese Regeln äquivalent sind zur Isotropie der Überlagerungsgesetze für Kräfte. Man beachte in diesem Zusammenhang auch Aufgabe 10.

Entsprechende Zusammenhänge — die die Grundlage für viele physikalische Anwendungen der Vektorrechnung bilden — gelten z.B. ^{7}auch zwischen Geschwindigkeiten v und räumlichen Translationen x.

1.1.6 Zusammenfassung

In der Physik treten vielfach gerichtete Größen (wie z.B. räuml. Translationen, Geschwindigkeiten, Federkräfte usw.) auf, für die sowohl Addition als auch Multiplikation mit reellen Zahlen in ‘natürlicher’ Weise so erklärt sind, daß die Regeln (V1) - (V7) aus 1.1.2 in weiten Bereichen bedenkenlos angewendet werden können. Dabei lassen sich natürliche Zuordnungen zwischen Vektoren unterschiedlicher physikalischer Natur vorteilhaft ausnutzen.

1.2 Mathematische Betrachtungen

1.2.1 Allgemeine reelle Vektorräume

Entspr. 1.1.6 ist es von Interesse, die durch die Regeln (V1)–(V7) aus 1.1.2 beschriebene Struktur allgemein zu untersuchen und dazu zunächst zu bezeichnen:

Definition 1.2.1 Unter einem reellen Vektorraum versteht man eine Menge V zusammen mit einer Additionsvorschrift und einer Vorschrift zur Multiplikation mit reellen Zahlen derart, daß

λv_{1}, v_{1} + v_{2} ∈ V für alle v_{1}, v_{2} ∈ V und bel. reelle λ

und

(V1)–(V7) aus 1.1.2

gelten. Die Elemente von V nennt man Vektoren^{8}.

Version vom 26. März 2009

sionslos. Vektoren.

7Vektoren wie z.B. \frac{x}{Längeneinheit} oder \frac{F}{Krafteinheit} bezeichnen wir als physikalisch dimen-

8Die Charakterisierung als gerichtete Größen betrifft höchstens eine kleine Unterkategorie von

1.2.2 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Definition 1.2.2 Sei V ein reeller Vektorraum und sei T eine Teilmenge von V. Als lineare Hülle von T bezeichnet man dann die Menge L(T) aller Vektoren v ∈ V, die sich in der Form^{9}

v = λ^{1}v_{1} + … + λ^{n}v_{n}

mit reellen λ^{1}, …, λ^{n} und v_{1}, …, v_{n} ∈ T darstellen lassen, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist.

Definition 1.2.3 Sei V ein reeller Vektorraum. Dann heißen die Vektoren einer Teilmenge T von V linear unabhängig voneinander, falls L(T′) ≠ L(T) für jede echte Teilmenge T′ von T gilt. Andernfalls heißen die Vektoren von T (insgesamt) linear abhängig (voneinander). Unter einer Basis von V versteht man eine Menge T ⊂ V linear unabhängiger Vektoren mit L(T) = V .

Anschaulich (für räumliche Translationen):

(i) Zwei Vektoren v_{1}, v_{2} sind genau dann linear unabhängig voneinander, wenn das ihnen entspr. Parallelogramm

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; v_{1}; v_{2}]

nicht entartet ist, d.h. von Null verschiedenen Flächeninhalt hat.

(ii) Drei Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} sind genau dann linear unabhängig voneinander, wenn der ihnen entsprechende Spat

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; v_{1}; v_{3}; v_{2}]

nicht entartet ist, d.h. von Null verschiedenes Volumen hat.

Version vom 26. März 2009

also z.B.: a^{3} ≠^{i.a.} a · a · a.

9Nach (V2) ist die Verwendung von Klammern zur Festlegung einer Additionsreihenfolge auf der rechten Seite überflüssig. Die hochgestellten Ziffern sind gewöhnlich als Indizes aufzufassen,

Lemma 1.2.4

Gegeben: (i) reeller Vektorraum V (ii) Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V

Behauptung: Die v_{1}, …, v_{n} sind genau dann linear unabhängig, wenn zu jedem a ∈ L ({v_{1}, …, v_{n}}) genau ein n-Tupel reeller Zahlen (a^{1}, … a^{n}) existiert mit:

a = a^{1}v_{1} + … + a^{n}v_{n} .

Beweis: Siehe z.B. (van der Waerden, 1966, § 19).

1.2.3 Endlichdimensionale reelle Vektorräume

Für die bisher betrachteten Anschauungsmodelle reeller Vektorräume ist intuitiv klar, daß jeweils eine endliche Basis von V existiert. Solche Vektorräume lassen sich besonders leicht allgemein abhandeln; daher:

Definition 1.2.5 Ein (reeller) Vektorraum V heißt endlichdimensional, falls eine endliche Zahl von Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V existiert, für die

L ({v_{1}, …, v_{n}}) = V

gilt. Falls mindestens ein Vektor v ∈ V existiert, für den v ≠ 0 v gilt,^{10} bezeichnet man das dabei kleinstmögliche n als die Dimension (dim V) von V .

Beispiele:

(i) dim V = 2 für V = {Translat. i.d. Ebene} (ii) dim V = 3 für V = {bel. gleichf. Geschwindigk.}

(iii) Für den Teilraum V′ =^{def} L({v}) von V gilt

dim V′ = \{ \begin{matrix}0 falls v = 0 (genauer: 0v) , \\ 1 sonst . \end{matrix}

Lemma 1.2.6

Gegeben: (i) endlichdim. (reeller) Vektorraum V (ii) linear unabhängige Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V

Behauptung: Dann sind folgende Aussagen zueinander äquivalent:

Version vom 26. März 2009

10Sonst setzt man dim V = 0 .

1. {v_{1}, …, v_{n}} ist eine Basis von V .

2. L({v_{1}, …, v_{n}}) = V.

3. dim V = n.

Beweis: Siehe z.B. (van der Waerden, 1966, § 20).

1.2.4 Spalten-Schreibweise für Vektoren

Sei V ein n-dim. reeller Vektorraum. Dann läßt sich nach Definition 1.2.5 und Lemma 1.2.6 eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} fest wählen. Nach Lemma 1.2.4 existiert dazu für jeden Vektor x ∈ V genau ein n-Tupel reeller Zahlen (x^{1}, …, x^{n}) mit:

x = x^{1}b_{1} + … + x^{n}b_{n} .

Vereinbart man unter diesen Voraussetzungen, auch

(x^{1} ; x^{2} ; ⋮ ; x^{n} ) für x

zu schreiben, so erkennt man aus (V1)–(V7) leicht:

(x^{1} ; x^{2} ; ⋮ ; x^{n} ) + (y^{1} ; y^{2} ; ⋮ ; y^{n} ) = ( x^{1} + y^{1} ; x^{2} + y^{2} ; ⋮ ; x^{n} + y^{n} )  (1.5)

λ (x^{1} ; x^{2} ; ⋮ ; x^{n} ) = (λx^{1} ; λx^{2} ; ⋮ ; λx^{n} )  (1.6)

(Beweis als Übungsvorschlag).

In dieser Darstellungsweise haben offensichtlich alle n-dim. Vektorräume zu festem n die gleiche Struktur!

Die natürliche Verallgemeinerung o.a. Spalten-Schreibweise mit physikalischen Größen x^{1}, …, x^{n} gleicher Art und beliebigen physikalischen Größen λ ist offensichtlich.

1.3. PHYSIKALISCHE ANWENDUNGSBEISPIELE 21

1.3 Physikalische Anwendungsbeispiele für die allgemeinen Vektorregeln

1.3.1 Schiefe ‘Ebene’

Aufgabe: Ein Rad werde folgendermaßen auf einer schrägen Schiene festgehalten:

...... ....... ........ ..............

...................

....... ........ .......... .................................

......

......

......

.......

........

.........

..............

..................................... ......... ........ ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ......... ..............

.....................................

.........

........

.......

......

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............... ........ .............

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...........................

...........................

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....................... ........................

........................ ........................

............

............ ..........................

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .....

....... ....... ..............

......

....

. . . . . . . . ...... ...... ...... .......

......

......

.

· e_1 e_2

β F

Man bestimme die Stärke der Federkraft aus dem Winkel β und der Schwerkraft F, die auf das Rad einwirkt.

Lösung: Mit den Bezeichnungen

F_{F} =^{def} Kraft, die die Feder auf das Rad ausübt ,
F_{Z} =^{def} Kraft, die die Schiene auf das Rad ausübt

gilt mit geeigneten Kraftstärken F , F_{F} , F_{Z} bzgl. der dimensionslosen Einheitsvektoren {e_{1} , e_{2}} :

F_{F} = −F_{F} e_{1} ,
F_{Z} = −F_{Z} e_{2} ,
F = F (cos β e_{1} + sin β e_{2}) .

Aus der Gleichgewichtsbedingung

F + F_{Z} + F_{F} = 0

folgt somit

(F cos β − F_{F}) e_{1} + (…)e_{2} = 0

und daraus mit Lemma 1.2.4 das Ergebnis:

Stärke von F_{F} = (cos β) Stärke von F .

Warnung: Dieses Ergebnis gilt i.a. nicht für den Fall, daß die Federkraft außerhalb des Radmittelpunktes angreift. Dann stimmt nämlich die Richtung von F_{Z} nicht mehr mit derjenigen von −e_{2} überein! Aus Gründen der Systematik vermiedene Schnell-Lösung:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} · β F_{Z} F_{F} −F cos β = \frac{Stärke von F_{F}}{Stärke von F}

1.3.2 Landeanflug

Aufgabe: Ein Flugzeug befinde sich in der letzten Phase des Landeanflugs:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; β; Landebahn; γ; Wind; e_{1}; e_{2}]

Der Geschwindigkeitsmesser an Bord des Flugzeugs zeige 80 \frac{km}{Stunde} an. Man bestimme die Windgeschwindigkeit in Abhängigkeit von den Winkeln β, γ.

Lösung: Mit den Bezeichnungen

v_{F} =^{def} Geschw. d. Flugzeugs relativ zur Luft ,
v_{L} =^{def} Windgeschwindigkeit ,
v =^{def} Geschw. d. Flugzeugs relativ zur Landebahn

gilt nach 1.1.3

v = v_{F} + v_{L} .  (1.7)

Bzgl. der dimensionslosen Einheitsvektoren e_{1}, e_{2} gilt

v = (\begin{matrix}v \\ 0 \end{matrix}) , v_{F} = 80 (\begin{matrix}cos β \\ sin β \end{matrix}) \frac{km}{Stunde} , v_{L} = v_{L} (\begin{matrix}− cos γ \\ − sin γ \end{matrix})  (1.8)

mit geeigneten Geschwindigkeitsbeträgen v, v_{L}, d.h. (1.7) nimmt die Form

(\begin{matrix}v \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}80 cos β \frac{km}{Stunde} − v_{L} cos γ \\ 80 sin β \frac{km}{Stunde} − v_{L} sin γ \end{matrix})

an. Daraus folgt v_{L} = 80\frac{sin β}{sin γ} \frac{km}{Stunde} und somit nach (1.8) das Ergebnis:

Windgeschwindigkeit = 80 \frac{sin β}{sin γ} \frac{km}{Stunde} .

Aus Gründen der Systematik vermiedene Schnell-Lösung:

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1.3. PHYSIKALISCHE ANWENDUNGSBEISPIELE 23

1.3.3 Seilspannungen (Spezialfall)

Aufgabe:^{11} Ein Gewicht G sei folgendermaßen an drei Seilen S_{1}, S_{2}, S_{3} aufgehängt:

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ϑ_{1} ϑ_{3}

45^{∘}

e_{3} e_{2} e_{1} S_{2}

S_{1}

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Man bestimme die Stärke der Kräfte F_{j}, die die Seile S_{j} auf G ausüben, also die Seilspannungen, aus den Winkeln ϑ_{j} und der Schwerkraft F, die auf G einwirkt.

Lösung: Die Seile S_{j} sind in Richtung der dimensionslosen Einheitsvektoren b_{j} gespannt, für die in der Spaltenschreibweise von 1.2.4 bzgl. der dimensionslosen Basis {e_{1}, e_{2}, e_{3}}

b_{1} = (\begin{matrix}sin ϑ_{1} \\ 0 \\ cos ϑ_{1} \end{matrix} ) , b_{2} = (\begin{matrix}0 \\ sin ϑ_{2} \\ cos ϑ_{2} \end{matrix} ) , b_{3} = (\begin{matrix}−\frac{1}{\sqrt{2}} sin ϑ_{3} \\ −\frac{1}{\sqrt{2}} sin ϑ_{3} \\ cos ϑ_{3} \end{matrix} )  (1.9)

gilt. Entsprechend 1.1.5 gilt

F = −F e_{3} , F_{j} = F_{j} b_{j}  (1.10)

mit:

Stärke von F_{(j)} = F_{(j)} .

Aufgrund der Definitionen von 1.1.4 gilt

F_{1} + F_{2} + F_{3} = −F .

Mit (1.10) und (1.1),(1.3) folgt hieraus

F_{1} b_{1} + F_{2} b_{2} + F_{3} b_{3} = F e_{3} .  (1.11)

Unsere Aufgabe besteht also darin, einen vorgegebenen Vektor, nämlich −F e_{3}, nach einer vorgegebenen schiefwinkligen Basis, hier {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, zu entwickeln! Durch die spezielle Wahl der Aufhängung ist die Lösung dieser Aufgabe hier besonders elementar:

Version vom 26. März 2009

11Wird in 2.1.3 verallgemeinert.

Mit (1.9) und (1.5),(1.6) folgt

F_{1} sin ϑ_{1} − F_{3} \frac{1}{2} \sqrt{2} sin ϑ_{3}  = 0 ,
F_{2} sin ϑ_{2} − F_{3} \frac{1}{2} \sqrt{2} sin ϑ_{3}  = 0 ,
F_{1} cos ϑ_{1} + F_{2} cos ϑ_{2} + F_{3} cos ϑ_{3} = F .

(1.12)

Man kann das Gleichungssystem natürlich mit dem Gaussschen Algorithmus oder der Cramerschen Regel^{12} lösen. Man sieht aber auch sofort, daß die ersten beiden Gleichungen für

F_{1} = \frac{1}{λ} (\frac{1}{2} \sqrt{2} F sin ϑ_{2} sin ϑ_{3}) ,
F_{2} = \frac{1}{λ} (\frac{1}{2} \sqrt{2} F sin ϑ_{1} sin ϑ_{3}) ,
F_{3} = \frac{1}{λ} (F sin ϑ_{1} sin ϑ_{2})

erfüllt sind und mit der Wahl

λ = sin ϑ_{1} sin ϑ_{2} cos ϑ_{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} (\underbrace{cos ϑ_{1} sin ϑ_{2} + sin ϑ_{1} cos ϑ_{2}}_{=sin(ϑ_{1}+ϑ_{2})}) sin ϑ_{3}

auch die dritte der Gleichungen (1.12) erfüllt ist. Nach Lemma 1.2.4 ist die Lösung eindeutig.

Eine anschauliche Schnell-Lösung ist hier schon nicht mehr so naheliegend.

Version vom 26. März 2009

12Siehe 2.3.3

Euklidische reelle Vektorräume

2.1 Das Skalarprodukt

2.1.1 Motivation

In den bisherigen Anschauungsmodellen für reelle Vektorräume war jedem Vektor in natürlicher Weise eine Maßzahl zugeordnet, die wir mit ∥v∥ (Norm von v) bezeichnen wollen, nämlich:

∥x∥ Längeneinheit  = entspr. d. räuml. Transl. x zurückgel. Strecke ,
∥v∥ Geschwindigkeitseinheit = \frac{pro Zeiteinh. zurückgel. Strecke}{Zeiteinheit} ,
∥F∥ Krafteinheit  = Stärke der Kraft F .

Für physikalische Anwendungen ist es oft vorteilhafter, die Beträge

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1Hier bezeichnet natürlich x eine räuml. Translation, v eine Geschwindigkeit und F eine Kraft. 2Gemäß Fußnote 7 von Kapitel 1. 3Entsprechend den Vereinbarungen von 1.1.5.

Für räumliche Translationen ist ‘anschaulich’ klar, daß der Satz von Pythagoras gilt:^{4}

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Anschauliche Folgerung: Für jedes der bisherigen Anschauungsmodelle für reelle Vektorräume existiert eine Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2}, e_{3}}, d.h. es gilt

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für alle (physikalisch dimensionslosen) reellen λ^{1}, λ^{2}, λ^{3} .

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; e_{1}; λ^{1}e_{1}; λ^{2}e_{2}; λ^{3}e_{3}; e_{2}; e_{3}]

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und somit (v, v) > 0 falls v ≠ 0 . (S3)

2.1.2 Mathematische Betrachtungen

Definition 2.1.1 Unter einem Euklidischen (reellen) Vektorraum V versteht man einen reellen Vektorraum V, in dem ein (reelles) Skalarprodukt (‘metrische Bilinearform’) erklärt ist, d.h. eine Zuordnung

\underbrace{p′, v}_{∈V} ⟶ \underbrace{(p′, v)}_{∈ℝ},

die den Bedingungen (S1) – (S3) aus 2.1.1 genügt (für alle e, v_{1}, v_{2}, v, v′ ∈ V und λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ).

Definition 2.1.2 Eine Basis {e_{1}, …, e_{n}} eines n-dimensionalen, Euklidischen (reellen) Vektorraumes V nennt man eine Orthonormalbasis, falls sie die Bedingung (ON) aus 2.1.1 erfüllt.

Definition 2.1.3 Zwei Vektoren v_{1}, v_{2} eines Euklidischen reellen Vektorraumes V nennt man senkrecht zueinander (in Zeichen: v_{1} ⊥ v_{2}), falls (v_{1}, v_{2}) = 0 gilt. Einen Vektor v ∈ V nennt man senkrecht zu einer Teilmenge T von V (in Zeichen: v ⊥ T), falls (v, p′) = 0 für alle p′ ∈ T gilt.

Lemma 2.1.4

Gegeben: (i) Euklidischer reeller Vektorraum V (ii) Teilmenge T von V (iii) Vektor v ≠ 0 aus V

Behauptung: v ⊥ T ⟹ v ⊥ L(T) ⟹ v ∉ L(T) .

Beweisskizze: Die erste Implikation folgt aus (S1), die zweite (indirekt) aus (S3).

2.1. DAS SKALARPRODUKT 29

Lemma 2.1.5

Gegeben: (i) Euklidischer (reeller) Vektorraum (ii) endlichdim. Teilraum V′ von V (iii) Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{m}} von V′

Behauptung: Zu jedem Vektor v ∈ V existiert genau ein Vektor v_{∥} ∈ V′, die sog. (Orthogonal-) Projektion von v auf V′, mit (v − v_{∥}) ⊥ V′. Dieser ist gegeben durch:

v_{∥} =^{def} ∑_{j=1}^{m} (e_{j}, v) e_{j} .

Beweis: Der angegebene Vektor v_{∥} besitzt offensichtlich nach (S1) und (S2) die gewünschten Eigenschaften. Sei v′_{∥} ein weiterer solcher Vektor. Dann ist einerseits v_{∥} − p′_{∥} ∈ V′, andererseits nach (S1)

((v − p′_{∥}) − (v − v_{∥})) = (v_{∥} − p′_{∥}) ⊥ V′ .

Nach Lemma 2.1.4 muß dann v_{∥} − p′_{∥} = 0, d.h. v = p′ sein.

Anmerkung: Anwendung von Lemma 2.1.5 auf den Spezialfall V′ = V zeigt:

{e_{1}, …, e_{n}} Orthonormalbasis von V

⟹ v = ∑_{ν=1}^{n} (e_{ν}, v) e_{ν} ∀ v ∈ V .

Folgerung 2.1.6 Jede Orthonormalbasis eines Teilraumes V′ eines n-dimensionalen Euklidischen (reellen) Vektorraumes V läßt sich zu einer Orthonormalbasis von V ergänzen.

Beweis: Der Fall V′ = V ist trivial. Sei also V′ ≠ V. Dann existiert ein v ∈ V \ V′ und dafür ist nach Lemma 2.1.5

e_{m+1} =^{def} \frac{v − v_{∥}}{∥v − v_{∥}∥} ⊥ V′ .

Falls also {e_{1}, …, e_{m}} Orthonormalbasis von V′ ist, so ist {e_{1}, …, e_{m+1}} Orthonormalbasis von

V′′ =^{def} L (V′ ∪ {e_{m+1}}) ⊂ V .

Falls V′′ ≠ V, dann existiert nach dem gleichen Argument ein e_{m+2}, für das {e_{1}, …, e_{m+2}} Orthonormalbasis von

V′′′ =^{def} L (V′ ∪ {e_{m+2}})

ist. Nach n − m solchen Schritten ergibt sich entspr. Lemma 1.2.6 die gesuchte Orthonormalbasis von V.

Lemma 2.1.7

Gegeben: (i) endlichdim., Euklid. (reeller) Vektorraum V (ii) Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V (iii) Vektoren v_{1}, v_{2} ∈ V

Behauptung: Mit

v_{j}^{k} =^{def} (e_{k}, v_{j}) für j = 1, 2 und k= 1, …,n

gilt in der Spalten-Schreibweise bzgl. (e_{1}, …, e_{n})

v_{j} = (v_{j}^{1} ; ⋮ ; v_{j}^{n} ) für j = 1, 2

und

(v_{1}, v_{2}) = v_{1}^{1}v_{2}^{1} + v_{1}^{2}v_{2}^{2} + … + v_{1}^{n}v_{2}^{n} .

In der Spalten-Schreibweise bzgl. einer Orthonormalbasis haben also alle Euklidischen (reellen) Vektorräume gleicher endlicher Dimension die gleiche Struktur!

Definition 2.1.8 Als (Euklidische) Norm des Vektors v eines Euklidischen (reellen) Vektorraumes bezeichnet man die reelle Zahl^{7}

∥v∥ =^{def} \sqrt{(v, v)} .

Lemma 2.1.9

Gegeben: (i) Euklid. reeller Vektorraum V (ii) v_{1}, v_{2} ∈ V

Version vom 26. März 2009

7Vgl. 2.1.1. Eine Euklidische Norm ∥.∥ erfüllt stets die sog. Parallelogrammgleichung

∥v_{1}∥^{2} + ∥v_{2}∥^{2} = \frac{1}{2} (∥v_{1} + v_{2}∥^{2} + ∥v_{1} − v_{2}∥^{2})

und bestimmt das zugehörige innere Produkt des reellen Vektorraumes V gemäß

(v_{1}, v_{2}) = \frac{1}{2} (∥v_{1} + v_{2}∥^{2} − ∥v_{1} − v_{2}∥^{2}) .

2.1. DAS SKALARPRODUKT 31

Behauptung: Es gelten der Satz von Pythagoras^{8}

v_{1} ⊥ v_{2} ⟹ ∥v_{1} + v_{2}∥^{2} = ∥v_{1}∥^{2} + ∥v_{2}∥^{2} ,

die Dreiecksungleichung

∥v_{1} + v_{2}∥ ≤ ∥v_{1}∥ + ∥v_{2}∥

und die Schwarzsche Ungleichung^{9}

|(v_{1}, v_{2})| ≤ ∥v_{1}∥ ∥v_{2}∥ .

In den beiden Ungleichungen gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn v_{1}, v_{2} linear abhängig sind.

Beweisskizze:

Zum Satz von Pythagoras:

∥v_{1} + v_{2}∥^{2} = ∥v_{1}∥^{2} + ∥v_{2}∥^{2} + (v_{1}, v_{2}) + (v_{2}, v_{1}) für bel. v_{1}, v_{2} ∈ V .

Zur Dreiecksungleichung:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} v_{1}  v_{2} v^{2∥} v_{1∥}

Zur Schwarzschen Ungleichung:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} e_{1}  |(e^{1}, v^{2})| v_{2}

Abschließende Bemerkung: Im Sinne von 1.1.5 verwendet man für beliebige räumliche Translationen x_{1}, x_{2} und bel. physikalische Einheiten E_{1}, E_{2} oft zweckmäßig das physikalische innere Produkt

(x_{1}E_{1}) · (x_{2}E_{2}) =^{def} (x_{1}, x_{2}) E_{1}E_{2}(Längeneinheit)^{2}

Version vom 26. März 2009

8Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras gilt zwar in reellen, nicht aber in komplexen Vektorräumen mit Skalararprodukt.

9Aus der Schwarzschen Ungleichung folgt, daß zu je zwei Vektoren v_{1}, v_{2} ∈ V jeweils genau ein Winkel α ∈ [0, π] existiert mit (v_{1}, v_{2}) = ∥v_{1}∥ ∥v_{2}∥ cos α. Aber nur für das natürliche Skalarprodukt physikalischer Dreier-Vektoren gilt α = ∠v_{1}, v_{2} .

anstelle des mathematischen (x_{1}, x_{2}). Dann hat z.B.^{10}

v · F = |v| · |F| cos ∠x, F

die physikalische Dimension ‘Leistung’, falls v eine Geschwindigkeit und F eine Kraft ist.

2.1.3 Seilspannungen (allgemeiner Fall)

Aufgabe: Ein Gewicht G hänge an drei Seilen, die in Richtung der linear unabhängigen (physikalisch dimensionslosen) Einheitsvektoren b_{1}, b_{2}, b_{3} gespannt seien:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; S_{3}; S_{1}; b_{3}; G; F; b_{1}; b_{2}; S_{2}]

Man bestimme die entspr. Seilspannungen in Abhängigkeit von der Schwerkraft F, die auf G wirkt.

Lösung: Wegen

F_{j} =^{def} |F_{j}| b_{j} = Kraft, die S_{j} auf G ausübt ,

lautet die Gleichgewichtsbedingung:

F + |F_{1}| b_{1} + |F_{2}| b_{2} + |F_{3}| b_{3} = 0 .

Insbesondere gilt also

e_{3} · F + |F_{1}| e_{3} · b_{1} + |F_{2}| e_{3} · b_{2} + |F_{3}| e_{3} · b_{3} = 0 ∀ e_{3}

und somit

|F_{3}| = −\frac{e_{3} · F}{e_{3} · b_{3}} , falls e_{3} · b_{1} = e_{3} · b_{2} = 0 ≠ e_{3} · b_{3} .  (2.1)

Version vom 26. März 2009

10Es ist also eigentlich das (gewählte) mathematische innere Produkt, das von der Wahl der physikalischen Einheiten abhängt.

2.2. DAS VEKTORPRODUKT IM 3-DIM. EUKLID. RAUM 33

Ein geeignetes e_{3} erhält man z.B., indem man zunächst eine Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2}} von L ({b_{1}, b_{2}}) wählt und diese dann zu einer Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2}, e_{3}} des ℝ^{3} erweitert:^{11}

e_{1} =^{def} b_{1} ,
e_{2} =^{def} \frac{b_{2} − (e_{1} · b_{2}) e_{1}}{|b_{2} − (e_{1} · b_{2}) e_{1}|} ,

e_{3} =^{def} \frac{b_{3} − (e_{1} · b_{3}) e_{1} − (e_{2} · b_{3}) e_{2}}{|b_{3} − (e_{1} · b_{3}) e_{1} − (e_{2} · b_{3}) e_{2}|} .

Die Spannung |F_{3}| von Seil S_{3} ergibt sich nun durch Einsetzen in (2.1). Die übrigen Seilspannungen ergeben sich schließlich aus der resultierenden Formel durch Permutation der Indizes 1,2,3.

Wir verzichten auf eine explizite Angabe der Lösung, da sich b^{3} =^{def} \frac{e_{3}}{e_{3} · b_{3}}

mithilfe des Vektorproduktes in vereinfachter Form ergeben wird.^{12}

2.2 Das Vektorprodukt im 3-dim. Euklid. Raum

2.2.1 Motivation (Hebelgesetz)

Aufgabe: Zwei starre masselose Stangen seien im Punkt P_{0} frei drehbar gelagert. Die anderen beiden Enden bei P_{1}, P_{2} seien durch eine unendlich starke masselose Feder verbunden:^{13}

. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

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P_{1} P_{2} F_{Z,1} F_{Z,2}

F_{2}

P_{0}

Welche ‘äußeren’ Kräfte F_{1}, F_{2} dürfen in den Punkten P_{1}, P_{2} angreifen, wenn das System in Ruhe bleiben soll?

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= e^{λ_{1}}e^{λ_{2}}(cos (φ_{1} + φ_{2}) + i sin (φ_{1} + φ_{2})) ∀ λ_{1}, λ_{2}, φ_{2}, φ_{2} ∈ ℝ .

(2.40)

Daraus erkennt man:

Die komplexe Multiplikation von z_{2} mit z_{1} = |z_{1}| e^{i φ_{1}} wirkt sich auf den z_{2} entsprechenden Vektor folgendermaßen aus:

1. Er wird um den Winkel

arg(z_{1}) =^{def} φ_{1} mod 2π  (2.41)

gedreht^{28} und

2. seine ‘Länge’ wird mit dem Faktor |z_{1}| multipliziert.

Version vom 26. März 2009

28Insbesondere die Multiplikation mit i bewirkt also eine Drehung um den Winkel π/2 im mathematisch positiven Sinne (entgegen dem Uhrzeigersinn).

Aus den üblichen Definitionen^{29}

\begin{matrix}e^{z} & =^{def} & ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} z^{ν} \\ cos z & =^{def} & ∑_{ν=0}^{∞} \frac{(−1)^{ν}}{(2ν)!} z^{2ν} \\ sin z & =^{def} & ∑_{ν=0}^{∞} \frac{(−1)^{ν}}{(2ν + 1)!} z^{2ν+1} \end{matrix} \} ∀ z ∈ ℂ  (2.42)

ergibt sich die sog. Eulersche Formel

e^{i z} = cos z + i sin z ∀ z ∈ ℂ  (2.43)

und daraus umgekehrt

cos z = \frac{e^{+i z} + e^{−i z}}{2} , sin z = \frac{e^{+i z} − e^{−i z}}{2i} ∀ z ∈ ℂ .  (2.44)

Aus der Definition der Exponentialfunktion exp(z) = e^{z} folgt außerdem

e^{z_{1}} e^{z_{2}} = e^{z_{1}+z_{2}} ∀ z ∈ ℂ  (2.45)

und daraus mit der Eulerschen Formel

e^{λ} (cos φ + i sin φ) = e^{λ+i φ} ∀ λ, φ ∈ ℝ .  (2.46)

Anmerkung: Man beachte, daß aus (2.40) auch unmittelbar aus (2.45) und (2.46) folgt. Mit (2.45) sind also bereits die Additionstheoreme (2.38) und (2.39) erfaßt.

Gemäß (2.46) ist anschaulich klar:

e^{i φ} = 1 ⟺ φ = 0 mod 2π ∀ φ ∈ ℝ .  (2.47)

lim_{n→+∞} sup_{n′>n} ∑_{ν=n}^{n′} |c_{ν} z^{ν}| = 0 .

Version vom 26. März 2009 29Die hier angegebenen Potenzreihen ∑_{ν=0}^{∞} c_{ν} z^{ν} sind für alle z ∈ ℂ absolut konvergent:

Oft werden die Bezeichnungen

ℜ(x + i y) =^{def} x  Realteil von x + i y ,
ℑ(x + i y) =^{def} y  Imaginärteil von x + i y ,
|x + i y| = |x e_{1} + y e_{2}| Betrag von x + i y ,
(x + i y)^{∗} =^{def} x − i y  zu x + i y konjugiert komplexe Zahl

(für x, y ∈ ℝ) und die einfachen Regeln

ℜ(z) = \frac{z + z^{∗}}{2} = +ℜ(z^{∗}) ,  (2.48)
ℑ(z) = \frac{z − z^{∗}}{2i} = −ℑ(z^{∗}) ,  (2.49)
(z^{∗})^{∗} = z ,  (2.50)
|z|^{2} = z^{∗}z ,  (2.51)
(z_{1} z_{2})^{∗} = z_{1}^{∗} z_{2}^{∗} ,  (2.52)
(z_{1}/z_{2})^{∗} = z_{1}^{∗}/z_{2}^{∗} = z_{1}^{∗} \frac{z_{2}}{|z_{2}|^{2}}  (2.53)

sowie

z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1} ,
z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} ,
|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}| ,
arg(z_{1} z_{2}) = arg z_{1} arg z_{2} mod 2π ,
|1/z| = 1/ |z| ,
arg(z^{∗}) = − arg z mod 2π = arg(1/z)

benuzt. Abschließend sei noch auf folgende Gleichungen hingewiesen:

ℜ((x_{1} + i y_{1})^{∗} (x_{2} + i y_{2})) = ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \end{matrix} ) ,  (2.54)

ℑ((x_{1} + i y_{1})^{∗} (x_{2} + i y_{2})) = 3. Komponente von ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \\ 0 \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \\ 0 \end{matrix} ) . (2.55)

Warnung: Man beachte, daß e^{z} mit z ∈ ℂ nur eine Kurzschreibweise für exp(z) , den Wert der Exponentialfunktion an der Stelle z ist. Dagegen hat λ^{z} mit λ ∈ ℂ \ [0, +∞) i.a. nur für ganzzahliges z eine eindeutige natürliche Definition!

Teil II

Vektor-Analysis-Methoden Raumkurven

3.1 Bahnkurve eines Körperpunktes

3.1.1 Beschreibung durch Vektorfunktionen

Problem: Die Position eines (etwa durch einen Farbtupfer) markierten Körperpunktes \underline{P} soll in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.

Beschreibungsverfahren: Man wählt ein festes Bezugssystem, in dem man die Vektorregeln für räumliche Translationen i.w. als gültig ansehen kann. In diesem Bezugssystem wählt man einen festen Bezugspunkt P_{0}. Dann beschreibt man den Aufenthaltsort P (t) von \underline{P} zur Zeit t durch Angabe des sog. Ortsvektors x(t), d.h. durch diejenige räumliche Translation, die von P_{0} aus zu diesem Ort führt:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Bahn; x(t); P (t); x(t′); P (t′); x(t′) − x(t); P_{0}]

Da ein noch so fein gekennzeichneter Körperpunkt ohnehin kein Punkt im mathematische strengen Sinne ist, wird man in der Praxis die Vektorfunktion x(t) stetig wählen können, d.h.:

P (t′) liegt nahe bei P (t), wenn t′ nahe genug bei t liegt.

Mathematisch formuliert:

x(t) heißt (überall) stetig, falls zu jedem t und zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert mit:^{1}

|t − t′| < δ ⟹ |x(t) − x(t′)| < ϵ .

3.1.2 Geradlinige Bewegung

Man sagt, \underline{P} führe eine geradlinige Bewegung (bzgl. des gewählten Bezugssystems) aus, falls die Positionen von \underline{P} nur mit Punkten einer festliegenden Geraden identifiziert werden:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; P (t); P_{0}; y; e; Bahn]

Das ist (per Def. ) genau dann der Fall, wenn x(t) von der Form

x(t) = y + f(t)e , e ≠ 0 ,  (3.1)

ist. Die zugehörige Funktion f(t) nennt man stetig, falls x(t) stetig ist. Äquivalente Formulierung:

Eine Funktion f(t) heißt (überall) stetig, falls zu jedem t und zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert mit:

|t − t′| < δ ⟹ |f(t) − f(t′)| < ϵ .

Anschauliche Konsequenz der Stetigkeit für die geradlinige Bewegung:

\underline{P} kann auf dem Wege von P (t) nach P (t′) keinen Punkt der Verbindungsstrecke überspringen.

Die exakte Formulierung dieses Sachverhaltes beinhaltet der

Satz 3.1.1 (Zwischenwertsatz)

Gegeben: (i) stetige Funktion f(t) (ii) Zeitpunkte t_{1}, t_{2} (ii) reelle Zahl f_{0} zwischen f(t_{1}) und f(t_{2})

Behauptung: Es existiert^{2}ein Zeitpunkt t′ zwischen t_{1} und t_{2} mit f(t′) = f_{0}.

Version vom 26. März 2009

1Für ϵ und δ wird stillschweigend jeweils die passende physikalische Dimension vorausgesetzt.

3.1. BAHNKURVE EINES KÖRPERPUNKTES 51

Beweisskizze: O.B.d.A. kann f(t_{1}) ≤ f(t_{2}) angenommen werden. Dafür sieht man leicht, daß

t′ =^{def} inf{t ∈ [t_{1}, t_{2}] : f(t) ≥ f(t′)}

das kleinste t′ mit der gewünschten Eigenschaft ist.

Ganz allgemein sieht man leicht:

Lemma 3.1.2

Gegeben: (i) Ortsvektorfunktion x(t) (ii) Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}}

Behauptung: x(t) ist genau dann stetig, wenn die drei Funktionen x^{j}(t) der Darstellung

x(t) = (\begin{matrix}x^{1}(t) \\ x^{2}(t) \\ x^{3}(t) \end{matrix}) bzgl. (b_{1}, b_{2}, b_{3})

stetig sind.

3.1.3 Elliptische Bewegung

Man sagt, \underline{P} führe eine elliptische Bewegung ^{3} (bzgl. des gewählten Bezugssystems) aus, falls die Positionen von \underline{P} nur mit Punkten einer festliegenden Ellipse identifiziert werden:

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b

a

P (t) φ(t)

P_{0}

y

Version vom 26. März 2009

2Im Falle t_{1} < t_{2} , f(t_{1}) < f(t_{2}) ist z.B. t′ =^{def} sup {t ∈ (t_{1}, t_{2}) : f(t) < f_{0}} ein solcher Zeitpunkt. 3Im Falle |a| = |b| nennt man die Bewegung von \underline{P} kreisförmig.

52 KAPITEL 3. RAUMKURVEN

Das ist genau dann der Fall, wenn räumliche Translationen a, b, y und eine reellwertige Funktion φ(t) existieren mit^{4}

x(t) = y + cos φ(t) a + sin φ(t) b , a ⊥ b , |a| ≥ |b| > 0 .  (3.2)

In diesem Falle ist die Stetigkeit der Bahnkurve äquivalent dazu, daß sich die—nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmte—Funktion φ(t) stetig wählen läßt.^{5}

Aus dem Zwischenwersatz folgt wieder im Falle der Stetigkeit, daß \underline{P} auf dem Wege von P (t) nach P (t′) keinen Punkt des verbindenden Ellipsenstücks auslassen kann.

Im Hinblick auf das Kepler-Problem ist es wichtig, die Ellipsengleichung auch in der Polarform

x(t) = y + ϵa + \overbrace{ρ(t) (cos φ′(t) \frac{a}{|a|} + sin φ′(t) \frac{b}{|b|})}^{ρ(t) =^{def}}  (3.3)

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b P (t)

p ρ(t)

φ′(t)

y

P_{0}

Brennpunkte

zu kennen, wobei

ϵ =^{def} \frac{\sqrt{|a|^{2} − |b|^{2}}}{|a|}  (3.4)

die sog. numerische Exzentrizität bezeichnet. Die Exzentrizität ist so definiert, daß aus (3.2)

ρ(t) + |2ϵa + ρ(t)| = 2 |a| ∀ t ∈ ℝ ,

Version vom 26. März 2009

4Mit x(t) − y = (\begin{matrix}ξ(t) \\ η(t) \end{matrix}) bzgl. \{\frac{a}{|a|}, \frac{b}{|b|}\} gilt also für die elliptische Bewegung:

(\frac{ξ(t)}{|a|})^{2} + (\frac{η(t)}{|b|})^{2} = 1 .

5Vgl. Lemma 3.1.

3.1. BAHNKURVE EINES KÖRPERPUNKTES 53 folgt.^{6}

Beweis: Mit den Definitionen

ρ_{−}(t) =^{def} ρ(t) , ρ_{+}(t) =^{def} ρ(t) + 2ϵ ρ(t)

folgt aus (3.2)

|ρ_{±}(t)|^{2} = |(cos φ(t) ± ϵ)a + sin φ b|^{2}
=_{2.1.3.b} (cos^{2}φ ± 2ϵ cos φ) |a|^{2} + |a|^{2} \underbrace{− |b|^{2} + sin^{2}φ |b|^{2}}_{=− cos^{2}φ|b|^{2}}
= cos^{2}φ (\underbrace{|a|^{2} − |b|^{2}}_{=_{2.1.3.b} ϵ^{2} |a|^{2}}) + (1 ± 2ϵ cos φ) |a|^{2}
= (1 ± ϵ cos φ)^{2} |a|^{2}

und somit

|ρ_{±}(t)| = (1 ± ϵ cos φ) |a| .

Daraus folgt die Behauptung.

Durch Vergleich von (3.3) und (3.2) ergibt sich die Bedingung

(ϵ + \frac{ρ(t)}{|a|} cos φ′(t))^{2} + (\frac{ρ(t)}{|b|} sin φ′(t))^{2} = 1 ,

die offensichtlich (mit ρ(t) > 0 nur) für

ρ(t) = \frac{p}{1 + ϵ cos φ′(t)} (ϵ <_{(3.4)} 1)  (3.5)

erfüllt ist,^{7} wenn

p = |b|^{2}/ |a| .  (3.6)

den sog. Halbparameter bezeichnet.

Setzt man |b|^{2} entspr. (3.6) in (3.4) ein und löst nach |a| auf, so ergibt sich

|a| = \frac{p}{1 − ϵ^{2}} .  (3.7)

Die Stetigkeit von (3.3) ist äquivalent dazu, daß sich φ′(t) stetig wählen läßt.

Version vom 26. März 2009

6Das entspricht der bekannten Darstellung der Ellipse als Kegelschnitt (vgl. z.B. Reidt-Wolff, Die Elemente der Mathematik, Kurzausgabe Oberstufe, S. 137, Schöningh, Paderborn 1962).

7Wegen ϵ^{2} = 1 − (|b| /|a|)^{2} ist die Bedingung nämlich äquivalent zu

1 = (\frac{|a| ρ}{|b|^{2}})^{2} (1 − (ϵ cos φ′)^{2}) + 2 \frac{|a| ρ}{|b|^{2}} ϵ cos φ′ .

Die irrelevante Lösung ist ρ(t) = \frac{−p}{1 − ϵ cos φ′(t)} .

3.1.4 Parabolische Bewegung

Indem man einen Brennpunkt sowie den Halbparameter p festhält und den Grenzübergang ϵ → 1 (d.h. |a| → ∞) betrachtet, erhält man die Polarform der allgemeinen Parabelgleichung (2. Ordnung)

x(t) = y′ + \overbrace{\frac{p}{1 + cos φ′(t)} (cos φ′(t) e + sin φ′(t) e′)}^{ρ(t) =^{def}} , −π < φ′(t) < +π , (3.8)

mit

ρ(t) = \frac{p}{1 + cos φ′(t)} , p > 0 ,  (3.9)

aus der sich

|ρ(t)| = p − ρ(t) · e  (3.10)

ergibt:

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e′

e y′

p

p

P_{0}

Brennpunkt

|ρ(t)|

ρ(t) φ′(t)

Leitlinie

Entsprechend sagt, man \underline{P} führe eine parabolische Bewegung aus, falls die zugehörige Ortsvektorfunktion von der Form (3.8)/(3.9) ist.

Eine vielleicht bekanntere Form der Parabelgleichung ist:^{8}

x(t) = y′′ − \frac{1}{2p}|f(t)|^{2}e + f(t)e′ .  (3.11)

Version vom 26. März 2009

8Die Äquivalenz zu (3.8) folgt aus \frac{p}{2} − \frac{p cos φ′(t)}{1 + cos φ′(t)} = \frac{p}{2} \frac{1 − cos φ′(t)}{1 + cos φ′(t)} = \frac{1}{2p} (\frac{p sin φ′(t)}{1 + cos φ′(t)})^{2} .

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Version vom 26. März 2009

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[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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Eine gewöhnliche Funktion f(t) nennt man (überall) differenzierbar, wenn die Vektorfunktion x(t) der geradlinigen Bewegung (3.1) mit bel. y, e differenzierbar ist. Äquivalente Formulierung:

Eine Funktion f(t) heißt (überall) differenzierbar, falls zu jedem t der Grenzwert

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Mit dieser Definition gilt:

Lemma 3.2.1

Gegeben: (i) Ortsvektorfunktion x(t) (ii) Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}}

Behauptung: x(t) ist genau dann differenzierbar, wenn die drei Funktionen x^{j}(t) der Darstellung

x(t) = (\begin{matrix}x^{1}(t) \\ x^{2}(t) \\ x^{3}(t) \end{matrix}) bzgl. \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\}

differenzierbar sind. Im Falle der Differenzierbarkeit gilt

ẋ(t) = \frac{d}{dt} (\begin{matrix}x^{1}(t) \\ x^{2}(t) \\ x^{3}(t) \end{matrix}) = (\begin{matrix}ẋ^{1}(t) \\ ẋ^{2}(t) \\ ẋ^{3}(t) \end{matrix}) bzgl. \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\} .

Anschauliche Konsequenz der Differenzierbarkeit für die geradlinige Bewegung (3.1):

In jedem Zeitintervall [t_{1}, t_{2}] muß mindestens ein Zeitpunkt t′ liegen, für den v(t′) = v_{mitt.}(t_{1}, t_{2}) gilt.

Exakte mathematische Formulierung:

Satz 3.2.2 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

Gegeben: (i) differenzierbare Funktion f(t) (ii) Zeitpunkte t_{1}, t_{2}

Behauptung: Es existiert mindestens ein Zeitpunkt t′ zwischen t_{1} und t_{2} mit

ḟ(t′) = \frac{f(t_{2}) − f(t_{1})}{t_{2} − t_{1}} .

Beweisskizze: Da

g(t) =^{def} f(t) − \frac{f(t_{2}) − f(t_{1})}{t_{2} − t_{1}} (t − t_{1})

die Eigenschaften g(t_{2}) = g(t_{1}) und

ġ(t′) = 0 ⟺ ḟ(t′) = \frac{f(t_{2}) − f(t_{1})}{t_{2} − t_{1}}

besitzt, genügt der Nachweis des Satzses von Rolle, d.h. der Beweis von Satz 3.2.2 für f(t_{2}) = f(t_{1}) :

Für konstantes f ist nichts zu beweisen. Wenn f nicht konstant ist, dann muß, weil f stetig ist, eine Stelle im Inneren des Intervalls zwischen t_{1} und t_{2} existieren, an der die Funktion entweder ihr Maximum oder ihr Minimum (bzgl. des abgeschlossenen Intervalls) annimmt. An einer solchen Stelle haben aber links- und rechtsseitige Ableitung unterschiedliches Vorzeichen, müssen also verschwinden, um entsprechend der Differenzierbarkeitsbedingung gleich zu sein.

Warnung: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt nicht für Vektorfunktionen.^{13}

3.2.3 Differentiationsregeln

Die wichtigsten Differentiationsregeln (unter offensichtlichen Voraussetzungen) sind:

1. Linearität der Zuordnung f(t) → ḟ(t), d.h.:

\frac{d}{dt}(α f(t) + β g(t)) = αḟ(t) + βġ(t) ,  (3.21)

2. Produktregel:

\frac{d}{dt}(f(t) g(t)) = ḟ(t) g(t) + f(t) ġ(t) ,  (3.22)

3. Quotientenregel:

\frac{d}{dt} \frac{f(t)}{g(t)} = \frac{ḟ(t) g(t) − f(t) ġ(t)}{(g(t))^{2}} ,  (3.23)

4. Kettenregel:^{14}

\frac{d}{dt}f(g(t)) = ġ(t) ḟ(t′)_{|_{t′=g(t)}} ,  (3.24)

Version vom 26. März 2009

13Z.B. ist bei der gleichförmigen Kreisbewegung der Betrag der mittleren Geschwindigkeit stets echt kleiner als der (konstante) Betrag der Momentangeschwindigkeit.

14Hier muß g(t) natürlich zeitwertig sein, wenn f eine Funktion der Zeit ist.

5. Ableitung der Umkehrfunktion:

\frac{d}{dt}f^{−1}(t) = \frac{1}{ḟ(f^{−1}(t))} .  (3.25)

Anmerkung: Für Variablen ξ beliebig festgelegter physikalischer Dimension und Funktionen f davon definiert man entsprechend:

f′(ξ) =^{def} \frac{d}{dξ} f(ξ) =^{def} lim ; \begin{matrix}ξ′ → ξ \\ ξ′ ≠ ξ \end{matrix} \frac{f(ξ′) − f(ξ)}{ξ′ − ξ} .

Dann gilt z.B. die entsprechende Kettenregel

\frac{d}{dt}f(g(t)) = ġ(t) f′(g(t))

für differenzierbares g entsprechender physikalischer Dimension.

Aus den Regeln (3.21)–(3.24) folgen mit Lemma 3.2.1 und (2.14), (2.15) folgende Regeln für die Differentiation von Vektorfunktionen:

\frac{d}{dt}(α x(t) + β y(t)) = α ẋ(t) + β ẏ(t) ,  (3.26)
\frac{d}{dt}(g(t) x(t)) = ġ(t) x(t) + g(t) ẋ(t) ,  (3.27)
\frac{d}{dt}(x(t) · y(t)) = ẋ(t) · y(t) + x(t) · ẏ(t) ,  (3.28)

\frac{d}{dt}(x(t) × y(t)) = ẋ(t) × y(t) + x(t) × ẏ(t) ,  (3.29)
\frac{d}{dt} (\frac{x(t)}{g(t)}) = \frac{g(t) ẋ(t) − ġ(t) x(t)}{(g(t))^{2}} ,  (3.30)

\frac{d}{dt}x(g(t)) = ġ(t) ẋ(t′)_{|_{t′=g(t)}} .  (3.31)

Spezielle Ableitungen:

(i) Aus^{15}

\begin{aligned}t_{2}^{j} − t_{1}^{j} & = & ∑_{ν=0}^{j−1} t_{2}^{j−ν}t_{1}^{ν} − \underbrace{∑_{ν=1}^{j} t_{2}^{j−ν}t_{1}^{ν}}_{=∑_{ν=1}^{j−1} t_{2}^{j−1−ν}t_{1}^{ν+1}} \\ & = & (t_{2} − t_{1}) ∑_{ν=0}^{j−1} t_{2}^{j−1−ν} t_{1}^{ν} \end{aligned}

folgt

\frac{d}{dt} t^{j} = j t^{j−1} ∀ t ∈ ℝ , j ∈ ℤ_{+} =^{def} \{0, 1, …\} .  (3.32)

(ii) Sei f(t) = ∑_{j=0}^{∞} c_{j} t^{j} mit Koeffizienten c_{j}, die für j → ∞ hinreichend schnell

gegen Null konvergieren. Dann folgt aus der Linearitätseigenschaft:

ḟ(t) = ∑_{j=0}^{∞} c_{j} \frac{d}{dt} t^{j} =_{(3.32)} ∑_{j=1}^{∞} j c_{j} t^{j−1} .

(iii) Angewandt auf f(λ) = e^{λ} liefert (ii) mit (2.42):

\frac{d}{dλ} e^{λ} = e^{λ}  (3.33)

für reelle, physikalisch dimensionslose λ. (iv) Entsprechend ergibt sich

\frac{d}{dλ} sin λ = cos λ ,  (3.34)
\frac{d}{dλ} cos λ = − sin λ .  (3.35)

(v) Für die durch

ln (e^{λ′}) =^{def} λ′ ∀ λ ∈ ℝ

implizit gegebene Umkehrfunktion der Exponentialfunktion folgt aus (3.33) und (3.25)

\frac{d}{dλ} ln λ = \frac{1}{λ} ∀ λ > 0 .  (3.36)

Version vom 26. März 2009

15Hier ist die hochgestellte Zahl jeweils ein Exponent, kein Index.

3.2. GESCHWINDIGKEIT EINES KÖRPERPUNKTES 63 (vi) Mit

λ^{α} =^{def} e^{α ln λ} ∀ α ∈ ℝ , λ > 0 ,

(für ganzzahliges α die übliche Potenz von λ) ergibt sich mit (3.33), (3.36) und (3.24) in (partieller) Verallgemeinerung von (3.32):

\frac{d}{dλ} λ^{α} = α λ^{α−1} ∀ α ∈ ℝ , λ > 0 .  (3.37)

3.2.4 Anwendungsbeispiel (harmonische Schwingung)

Eine Bewegung der Form^{16}

x(t) = y + cos (ω_{0} t + φ_{0}) a + sin (ω_{0} t + φ_{0}) b , a ⊥ b , 0 < |a| ≥ |b| ≥ 0 (3.38)

bezeichnet man als eine harmonische Schwingung . Nach (3.34), (3.35) und Kettenregel gilt

\frac{d}{dt} sin φ(t) = φ̇(t) sin(φ(t) + \frac{π}{2} ) , \frac{d}{dt} cos φ(t) = φ̇(t) cos(φ(t) + \frac{π}{2} ) . (3.39)

Die zu (3.38) gehörige Momentangeschwindigkeit ist also:

ẋ(t) = ω_{0}(cos (ω_{0} t + φ_{0} + \frac{π}{2} ) a + sin (ω_{0} t + φ_{0} + \frac{π}{2} ) b) .  (3.40)

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P (t) φ(t)

· a

b \frac{ẋ(t)}{ω_{0}} φ(t) = ω_{0} t + φ_{0}

Man erkennt sofort:

max_{t} |\frac{ẋ(t)}{ω_{0}} | = |a| , min_{t} |\frac{ẋ(t)}{ω_{0}} | = |b| .

Version vom 26. März 2009

16Die Bewegung ist also im Falle |b| > 0 elliptisch (evtl. sogar kreisförmig), im Falle |b| = 0 linear.

Im Falle |a| = |b| , a ⊥ b bezeichnet man die harmonische Schwingung als gleichförmige Kreisbewegung zur Kreisfre quenz ω_{0}:

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P (t) x(t) − y

\frac{ẋ(t)}{ω_{0}}

Hier werden die Differentiationsregeln (3.39) anschaulich!

Im Falle b = 0 nennt man die harmonische Schwingung linear, im Falle |a| > |b| elliptisch.

3.3 Beschleunigung eines Körperpunktes

3.3.1 Definitionen und einfache Beispiele

Sei \underline{P} wieder ein Körperpunkt, dessen Bahnkurve im Sinne von 3.1.1 durch die Ortsvektorfunktion x(t) beschrieben werde. Dabei sei jetzt x(t) 2-mal differenzierbar vorausgesetzt, d.h. zusätzlich zu x(t) sei auch ẋ(t) differenzierbar. Dann bezeichnet man

ẍ(t) =^{def} (\frac{d}{dt})^{2} x(t) =^{def} \frac{d}{dt}ẋ(t)

als die (Momentan-) Beschleunigung von \underline{P} zum Zeitpunkt t.

Die Projektion^{17} ẍ_{∥}(t) von ẍ(t) auf die Bahntangente zur Zeit t (=Gerade durch P (t) parallel ẋ(t)) bezeichnet man als die Bahnbeschleunigung von \underline{P} zum Zeitpunkt t. Die zu ẋ(t) senkrechte Komponente ẍ_{⊥}(t) =^{def} ẍ(t) − ẍ_{∥}(t) von ẍ(t) bezeichnet man als die Normalbeschleunigung von \underline{P} zum Zeitpunkt t. In Formeln:

ẍ(t) = \underbrace{ẍ_{∥}(t)}_{Bahnbeschl.} + \underbrace{ẍ_{⊥}(t)}_{Normalbeschl.} , ẍ_{∥}(t) ∝ ẋ(t) , ẍ_{⊥}(t) · ẋ(t) = 0  (3.41)

Version vom 26. März 2009

17Vgl. Lemma 2.1.5.

3.3. BESCHLEUNIGUNG EINES KÖRPERPUNKTES 65

Man sieht sofort (für ẋ(t) ≠ 0):^{18}

ẍ_{∥}(t) = (\frac{d}{dt}|ẋ(t)|) \frac{ẋ(t)}{|ẋ(t)|} ,  (3.42)
ẍ_{⊥}(t) = |ẋ(t)| \frac{d}{dt} \frac{ẋ(t)}{|ẋ(t)|} .  (3.43)

Beispiele

(i) Allgemeine Kreisbewegung:

Die Ortsvektorfunktion einer allgemeinen Kreisbewegung ist von der Form

x(t) = R (cos φ(t) e_{1} + sin φ(t) e_{2}) .

Durch Differentiation folgt

ẋ(t) = R φ̇(t) (sin(φ(t) + \frac{π}{2} ) e_{1} + cos(φ(t) + \frac{π}{2} )e_{2} )

und somit

|φ̇(t)| = \frac{|ẋ(t)|}{R} .

Erneute Differentiation liefert ẍ(t) = R φ̈(t) (sin(φ(t) + \frac{π}{2} ) e_{1} + cos(φ(t) + \frac{π}{2} ) e_{2})

ẍ_{∥}(t)

+ \underbrace{R (φ̇(t))^{2}(sin (φ(t) + π) e_{1} + cos (φ(t) + π) e_{2})}_{ẍ_{⊥}(t)}

und damit

ẍ_{⊥} = −\frac{|ẋ(t)|^{2}}{R} \frac{x(t)}{|x(t)|} .  (3.44)

Daher bezeichnet man allgemein

\frac{1}{ρ(t)} =^{def} \frac{|ẍ_{⊥}(t)|}{|ẋ(t)|^{2}} = |\frac{1}{|ẋ(t)|} \frac{d}{dt} \frac{ẋ(t)}{|ẋ(t)|}|

als (erste) Krümmung und ρ(t) als Krümmungsradius der Bahnkurve im Punkte P (t).

Version vom 26. März 2009

18Daß sich (3.42) und (3.43) zu ẍ(t) aufsummieren, erkennt man durch Anwendung der Produktregel auf \frac{d}{dt} (|ẋ(t)|\frac{ẋ(t)}{|ẋ(t)|}) = ẍ(t). Daß (3.43) senkrecht zu ẋ(t) ist, folgt entspr. durch Differentiation von (\frac{ẋ(t)}{|ẋ(t)|} · \frac{ẋ(t)}{|ẋ(t)|}) = 1.

(ii) Abrupter Krümmungswechsel:

Beim direkten Übergang von einer geraden in eine Kreisbahn ändert sich der Krümmungsradius abrupt (von ∞ auf den Kreisradius). Das ist der Grund für den Ruck den Spielzeugeisenbahen am Anfang (und Ende) jeder Schienenkurve erfahren.

(iii) Harmonische Schwingung um P_{0}:

Die Ortsvektorfunktion der harmonischen Schwingung ist von der Form

x(t) = cos (ω_{0}t + φ_{0}) a + sin (ω_{0}t + φ_{0}) b .

Nach (3.39) und (3.40) ist also die zugehörige Beschleunigung

ẍ(t) = −|ω_{0}|^{2}x(t) (≠^{i.a.} ẍ_{⊥}(t)) .  (3.45)

Die Hilfskreise der Ellipsenkonstruktion sind i.a. natürlich nicht geeignete Bahnapproximationen in den entsprechenden Berührungspunkten:

x(t) = ±a ⟹ ρ(t) = \frac{|b|^{2}}{|a|} ,

x(t) = ±b ⟹ ρ(t) = \frac{|a|^{2}}{|b|} .

Anmerkungen:

(i) Die Darstellungen (3.42), (3.43), (3.44) gelten natürlich nur für Zeiten t mit ẋ(t) ≠ 0.

(ii) Alle mathematischen Überlegungen übertragen sich ohne weiteres auf den Fall, daß die Bahnpunkte einem anderen Parameter s statt der Zeit t zugeordnet werden. Nimmt man für s die längs der Bahn (von einem Ausgangspunkt aus) zurückgelegte Wegstrecke, so spricht man vom Bahntangentenvektor statt von der Momentangeschwindigkeit.

(iii) Alle Überlegungen gelten natürlich auch bei Beschränkung auf ein endliches Zeitintervall I, wenn x(t) nur in einer Umgebung von I bekannt ist—man denke sich einfach x(t) außerhalb I für alle t fortgesetzt (gutartig, aber sonst beliebig).

3.3.2 Eindeutige Bestimmtheit der Bahnkurve durch Beschleunigung und Anfangsbedingungen

Mit dem Stichwort Anfangsbedingungen bezeichnen wir (wie in 3.2.4) stets die Vorgabe von Ortsvektor (bzgl. P_{0}) und Momentangeschwindigkeit zu einem gegebenen ‘Anfangs’-Zeitpunkt t_{0}:

x(t_{0}) = x_{0} , ẋ(t_{0}) = v_{0} .  (3.46)

Intuitiv ist klar, daß zwei verschiedene Bahnbewegungen, deren Momentangeschwindigkeiten zu jedem Zeitpunkt übereinstimmen, sich nur durch eine feste Translation unterscheiden können, d.h.:

ẋ_{1}(t) = ẋ_{2}(t) ∀t ⟹ x_{1}(t) − x_{2}(t) unabhängig von t .  (3.47)

Aus Lemma 3.2.1 erkennt man, daß (3.47) äquivalent ist zu:

Lemma 3.3.1 Für differenzierbare Funktionen f_{1}(t), f_{2}(t) mit

ḟ_{1}(t) = ḟ_{2}(t) ∀t

existiert stets eine Konstante C mit

f_{1}(t) = f_{2}(t) + C ∀t .

Beweisskizze: Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung und aufgrund der Linearität (3.21) der Differentiation gilt

(f_{1}(t) − f_{2}(t)) − \underbrace{(f_{1}(0) − f_{2}(0))}_{=^{def}C} =_{Mittelwertsatz} \underbrace{(ḟ_{1}(t′) − ḟ_{2}(t′))}_{=0} t

für geeignetes t′ ∈ [0, t].

Wendet man (3.47) auf ẍ anstelle von ẋ an, so ergibt sich

ẍ_{1}(t) = ẍ_{2}(t) ∀t ⟹ ẋ_{1}(t) − ẋ_{2}(t) unabhängig von t .  (3.48)

Folgerung: Zwei Bahnbewegungen stimmen überein, wenn sie gleiche Anfangsbedingungen erfüllen und ihre Beschleunigungen zu jedem Zeitpunkt übereinstimmen, d.h.:

\begin{matrix}ẍ_{1}(t) & = & ẍ_{2}(t) ∀t \\ ẋ_{1}(t_{0}) & = & ẋ_{2}(t_{0}) \\ x_{1}(t_{0}) & = & x_{2}(t_{0}) \end{matrix} \} ⟹ x_{1}(t) = x_{2}(t) ∀t .  (3.49)

In der Praxis ist es natürlich ebenso wichtig, zu vorgegebenen Anfangsbedingungen (3.46) und zu vorgeg. ẍ(t) die Bahnkurve konkret zu bestimmen. Dazu untersuchen wir zunächst das folgende vereinfachte

Problem: Von einer differenzierbaren Funktion f(t) sei die Ableitung ḟ(t) bekannt und stetig.^{19} Außerdem sei der Wert f(t_{0}) bekannt. Man bestimme f(t) für alle t > t_{0}.

Lösung: Für festes t > t_{0} und eine Unterteilung

t_{0} < t_{1} < … < t_{n} = t

des Intervalls [t_{0}, t] gilt

f(t) − f(t_{0}) = ∑_{ν=1}^{n} (f(t_{ν}) − f(t_{ν−1}))

und somit nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung

f(t) − f(t_{0}) = ∑_{ν=1}^{n} ḟ(t′_{ν})(t_{ν} − t_{ν−1})  (3.50)

mit geeigneten t′_{ν} ∈ [t_{ν−1}, t_{ν}]:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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f(t) f(t_{2}) f(t_{1}) ⋮ f(t_{0})  tn = t · · · · · · t2 t1 t0 t′1

Mit feiner werdender Intervallunterteilung wird es immer unwesentlicher, welche t′_{ν} ∈ [t_{ν−1}, t_{ν}] man in (3.50) einsetzt; denn:

Lemma 3.3.2

Gegeben: (i) stetige Funktion g(t) (ii) Zeitintervall [t_{0}, t̄]

Version vom 26. März 2009

19Die Stetigkeit von ḟ(t) ist nicht selbstverständlich, wie das Beispiel f(t) = t^{2} sin(t_{0}/t) zeigt.

Behauptung: g(t) ist gleichmäßig stetig auf [t_{0}, t̄], d.h. zu jedem ϵ > 0 existiert ein δ > 0 mit:

\begin{matrix}t′, t′′ ∈ [t_{0}, t̄] \\ |t′ − t′′| < δ \end{matrix}\} ⟹ |g(t′) − g(t′′)| < ϵ .

Folgerung 3.3.3

Gegeben: (i) g(t), t_{0}, t̄ wie in Lemma 3.3.2 (ii) ϵ > 0

Behauptung: Es existiert ein δ > 0 derart, daß für jede Intervalleinteilung t_{0} < t_{1} < … < t_{n} = t̄ mit

|t_{ν} − t_{ν−1}| < δ für ν = 1, …, n

(n beliebig) und für jede Auswahl t′_{ν}, t′′_{ν} ∈ [t_{ν−1}, t_{ν}]

ϵ|t_{0} − t| ≥ |∑_{ν=1}^{n} g(t′_{ν})(t_{ν} − t_{ν−1}) − ∑_{ν=1}^{n} g(t′′_{ν})(t_{ν} − t_{ν−1})|

gilt.

Zumindest für stetige g(t) = ḟ(t) gilt also:^{20}

∫_{t_{0}}^{t} g(t′) dt′ =^{def} lim_{δ→0} sup_{\begin{matrix}t_{0} < t_{1} < … < t_{n} = t \\ t_{ν} − t_{ν−1} < δ \end{matrix}} ∑_{ν=1}^{n} sup_{t′_{ν}∈[t_{ν−1},t_{ν}]} g(t′_{ν})(t_{ν} − t_{ν−1})

= lim_{δ→0} inf_{\begin{matrix}t_{0} < t_{1} < … < t_{n} = t \\ t_{ν} − t_{ν−1} < δ \end{matrix}} ∑_{ν=1}^{n} inf_{t′_{ν}∈[t_{ν−1},t_{ν}]} g(t′_{ν})(t_{ν} − t_{ν−1}) (3.51)

= f(t) − f(t_{0}) für g = ḟ .  (3.52)

Allgemein nennt man eine Funktion g(t) Riemann-integrabel (über [t_{0}, t]),

wenn in (3.51) beide Grenzwerte existieren und übereinstimmen. Den mit ∫_{t_{0}}^{t} g(t′) dt′

bezeichneten Grenzwert nennt man dann das bestimmte Riemann-Integral von g über [t_{0}, t].

Version vom 26. März 2009

20Für jede stetige Funktion g(t) ist das bestimmte Riemann-Integral f(t) =^{def} ∫_{t_{0}}^{t} g(t′) dt′ (zu

festem t_{0}) eine Stammfunktion von g(t) , d.h. es gilt g(t) = ḟ(t) — wie in der Hauptsatzkantate von Friedrich Wille (Wille, 1992) besungen.

Anmerkungen:

1. Das Integral ∫_{t_{0}}^{t} g(t′) dt′ läßt sich offensichtlich anschaulich als ‘Flächen-

inhalt’ deuten:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} g(t) t_{0}  t negativ zählen positiv zählen

2. Die (hier nicht in dieser Allgemeinheit begründete) Aussage

\frac{d}{dt} ∫_{t_{0}}^{t} g(t′) dt′ = g(t)

für Riemann-integrable Funktionen g, die an der betrachteten Stelle t stetig sind, wird als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bezeichnet.^{21}

3. Bzgl. anderer Integralbegriffe siehe Kapitel 2 von (Lücke, fuan).

Mit der üblichen Definition

∫_{t_{0}}^{t} g(t′) dt′ =^{def} \{ \begin{matrix}− ∫_{t}^{t_{0}} g(t′) dt′ & für t < t_{0} \\ 0 & für t = t_{0} \end{matrix}

bleibt der Hauptsatz auch für t ≤ t_{0} gültig!

Konsistent mit den bisherigen Ausführungen ist die — gemäß Lemma 3.3.1 erlaubte — Definition des sog. Newton-Integrals^{22}

∫_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt =^{def} F (t_{2}) − F (t_{2}) ,

falls Ḟ (t) = f(t) ∀ t ∈ [min {t_{1}, t_{2}} , max {t_{1}, t_{2}}] ,

(3.53)

auf die wir uns im Folgenden beschränken wollen.

Version vom 26. März 2009

21Aber selbst für stetige Funktionen läßt sich die Stammfunktion nicht immer mithilfe elementarer Funktionen ausdrücken. Das ist z.B. für die Funktion \frac{sin(λ)}{λ} der Fall, deren bei 0 verschwindende Stammfunktion man als Integralsinus bezeichnet.

22Bzgl. der Verallgemeinerung auf Mehrfachintegrale siehe (Mutze, 2004).

3.3. BESCHLEUNIGUNG EINES KÖRPERPUNKTES 71

3.3.3 Eigenschaften des Integrals und Konsequenzen für das

Anfangswertproblem

Das Integral besitzt offensichtlich die Linearitätseigenschaft

∫_{t_{0}}^{t}(αg_{1}(t′) + βg_{2}(t′))dt′ = α ∫_{t_{0}}^{t} g_{1}(t′) dt′ + β ∫_{t_{0}}^{t} g_{2}(t′) dt′  (3.54)

sowie die Additivitätseigenschaft

∫_{t_{1}}^{t_{3}} g(t′) dt′ = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} g(t′) dt′ + ∫_{t_{2}}^{t_{3}} g(t′) dt′ ∀ t_{1}, t_{2}, t_{3} ∈ ℝ  (3.55)

hinsichtlich der Integrationswege. Außerdem folgt aus (3.51) (für t_{1} < t_{2}) h(t) ≥ 0 ∀t ∈ [t_{1}, t_{2}]

⟹ inf_{t′∈[t_{1},t_{2}]} g(t) ∫_{t_{1}}^{t_{2}} h(t) dt ≤ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} g(t)h(t) dt ≤ sup_{t′∈[t_{1},t_{2}]} g(t′) ∫_{t_{1}}^{t_{2}} h(t) dt

(3.56)

und somit aufgrund des gewöhnlichen Mittelwertsatzes (für g(t)): Satz 3.3.4 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)

Gegeben: (i) Zeitpunkte t_{1} < t_{2} (ii) stetige Funktion g(t) (iii) nichtnegative Riemann-integrable Funktion h(t)

Behauptung: ∫_{t_{1}}^{t_{2}} g(t)h(t) dt = g(t′) ∫_{t_{1}}^{t_{2}} h(t) dt für geeign. t′ ∈ [t_{1}, t_{2}]

Hieraus erkennt man (mit (3.54), (3.55)) z.B. die stetige Abhängigkeit des Integrals ∫_{t_{1}}^{t_{2}} g(t) dt vom Integranden g(t) sowie von den Integrationsgrenzen t_{1}, t_{2}.

Für differenzierbares x(t) ergibt sich mit der (3.53) entsprechenden Definition

∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ(t′) dt =^{def} x(t_{2}) − x(t_{1})  (3.57)

für jede Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} gemäß (3.53) und Lemma 3.2.1:

∫_{t_{1}}^{t_{2}} (\begin{matrix}ẋ^{1}(t) \\ ẋ^{2}(t) \\ ẋ^{3}(t) \end{matrix}) dt = (\begin{matrix}∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ^{1}(t) dt \\ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ^{2}(t) dt \\ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ^{3}(t) dt \end{matrix}) bzgl. \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\} ,  (3.58)

wobei: ẋ(t) = (\begin{matrix}ẋ^{1}(t) \\ ẋ^{2}(t) \\ ẋ^{3}(t) \end{matrix}) bzgl. \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\} .

(3.57) auf ẋ anstelle von x angewandt liefert

ẋ(t) = ẋ(t_{1}) + ∫_{t_{1}}^{t} ẍ(t′) dt′ .

Setzt man das in (3.57) ein, so ergibt sich

x(t_{2}) − x(t_{1}) = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (ẋ(t_{1}) + ∫_{t_{1}}^{t} ẍ(t′) dt′) dt

und daraus schließlich:

x(t_{2}) = x(t_{1}) + (t_{2} − t_{1}) ẋ(t_{1}) + ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (∫_{t_{1}}^{t} ẍ(t′) dt′) dt .  (3.59)

Mit o.a. Stetigkeitseigenschaften des Integrals erkennt man hieraus:

Man muß x_{0}, v_{0} und ẍ(t′) für t ∈ [t_{0}, t] nicht genau kennen, um x(t) näherungsweise zu bestimmen.

Anmerkung: Analoge Definitionen und Resultate gelten natürlich auch für Integrationsvariable anderer physikalischer Dimension. Dementsprechend gilt z.B.

∫_{ξ_{1}}^{ξ_{2}} f′(ξ) dξ = f(ξ_{1}) − f(ξ_{2})

im Sinne der Anmerkung zu den Differentiationsregeln in 3.2.3.

3.3.4 Die Newtonsche Bewegungsgleichung

Idealisiertes Experiment (in Inertialsytemen): Ein starrer Körper K mit dem Schwerpunkt \underline{P_{s}} (vgl. 2.2.3) werde durch die äußeren Kräfte F_{1}, …, F_{n}, −F in Ruhe gehalten. Dann werde als einziger experimenteller Eingriff die Wirkung der Kraft −F ausgeschaltet.

Beispiel:

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P_{s}

trennen!

F

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Zwangskräfte

Hier müssen insbesondere folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

(i) Masse von G ≪ Wagenmasse (wenn man nicht G zum Wagen zählt), (ii) Rollwiderstand vernachlässigbar, (iii) Bahn waagerecht, (iv) Seile entlang der Waagerechten (durch den Wagenschwerpunkt) ge-

spannt,

(v) Radmassen vernachlässigbar.

Idealisiertes Beobachtungsresultat:

Die durch den experimentellen Eingriff bewirkte Momentanbeschleunigung von \underline{P_{s}} aus der Ruhelage ist für K stets proportional zu F.

Die entsprechende, für K charakteristische, Proportionalitätskonstante m bezeichnet man als träge (Ruhe-) Masse^{23} von K:^{24}

m ẍ(t_{0}) = F für ẋ(t_{0}) = 0 .

Der Begriff der Kraft auf einen Körper in beliebigem Bewegungszustand ist äußerst problematisch.^{25}

Für diese Vorlesung sei angenommen, dieser Begriff sei in befriedigender Weise geklärt und es gelte (in hinreichender Näherung) die Newtonsche Bewegungsgleichung:

m ẍ(t) = F(t) ,

wobei:

m = vom Inertialsystem unabhängige

träge (Ruhe-)Masse des Körpers ,

x(t) = Ortsvektorfunktion des Schwerpunktes ,
F(t) = Vektorsumme aller auf den Körper

zum Zeitpunkt t einwirkenden Kräfte .

(3.60)

Warnung: Man darf (3.60) nicht als Definition der (Gesamt-) Kraft auf einen beliebig bewegten Körper auffassen! Ein solcher Kraftbegriff wäre ziemlich nutzlos und auch prinzipiell mit der relativistischen Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse unvereinbar.

Nach (3.59) und (3.60) hängt die Bahnkurve von \underline{P_{s}} offensichtlich nur von (Gesamt- ) Masse, Gesamtkraft und Anfangsbedingungen ab. Die genaue Struktur von K ist unwesentlich. Interessiert man sich nur für die Bewegung von \underline{P_{s}}, nicht jedoch für die zusätzlich möglichen Rotationsbewegungen des Körpers, so ist es also natürlich, K idealisiert als Massenpunkt zu betrachten.

Version vom 26. März 2009

23Ursprünglich wurde die Masse als Menge der Materie aufgefaßt (Sommerfeld, 1964, Seiten 3 und 4).

24Hier bezeichnet natürlich x(t) die Ortsvektorfunktion von \underline{P}_{s} und t_{0} den Zeitpunkt des experimentellen Eingriffs.

25Das wird z.B. in der Speziellen Relativitätstheorie recht deutlich.

3.4 Erhaltungssätze für Massenpunktsysteme

3.4.1 Impulssatz/Schwerpunktsatz

Die Größe p(t) =^{def} m ẋ(t) für einen Massenpunkt m mit der Ortsvektorfunktion x(t) bezeichnet man als den Impuls^{26} von m zur Zeit t (bzgl. des betr. Bezugssystems). Damit läßt sich (3.60) auch folgendermaßen formulieren:

Die Ableitung des Impulses nach der Zeit stimmt mit der Vektorsumme aller auf m einwirkenden Kräfte überein.

Anmerkung: In dieser Form gilt die Bewegungsgleichung (mit geschwindigkeitsabhängiger Masse) auch in der Speziellen Relativitätstheorie (siehe z.B. Kap. 3 von (Lücke, rel)).

Für Systeme von Massenpunkten^{27} m_{1}, …, m_{n} mit den entspr. Ortsvektorfunktionen x_{1}(t), …, x_{n}(t), auf die entspr. Kräfte F_{1}(t), …, F_{n}(t) wirken, folgt hieraus aufgrund der Linearität der Ableitung:

Die zeitliche Ableitung des Gesamtimpulses

P(t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} p_{ν}(t)_{=m_{ν} ẋ_{ν}(t)}

des Massenpunkt-Systems stimmt mit der Vektorsumme

F_{ges.}(t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} F_{ν}(t)

aller auf die Massenpunkte einwirkenden Kräfte überein:

\frac{d}{dt}P(t) = F_{ges.}(t) .

Speziell ergibt sich daraus der

Impulssatz: Der Gesamtimpuls eines Systems von Massenpunkten ist zeitlich konstant, solange die Summe aller am System angreifenden Kräfte verschwindet.

Entspr. Lemma 2.2.2 definiert man den Schwerpunkt des Systems über seinen Ortsvektor

X(t) =^{def} \frac{m_{1} x_{1}(t) + … + m_{n} x_{n}(t)}{M} , M =^{def} m_{1} + … + m_{n} .

Version vom 26. März 2009 26Das Wort Impuls deutet auf den Kraftstoß hin, der zur Erzeugung des entsprechenden Bewegungszustands aus der Ruhelage heraus nötig ist. Dieser Zusammenhang bleibt auch in der Speziellen Relativitätstheorie erhalten.

27Wir identifizieren der Einfachheit halber die Massenpunkte mit ihren Massen.

Aus der Newtonschen Bewegungsgleichung für die einzelnen Massenpunkte ergibt sich damit konsistenterweise^{28} diejenige für das Gesamtsystem:

Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten bewegt sich so wie ein einzelner Massenpunkt, dessen Masse mit der Gesamtmasse des Systems übereinstimmt und auf den die Summe aller am System angreifenden Kräfte wirkt:

M Ẍ(t) = F_{ges}(t) .

3.4.2 Drehimpulssatz/Flächensatz

Die Größe l(t) =^{def} x(t) × p(t) für einen Massenpunkt mit der Ortsvektorfunktion x(t) (bzgl. P_{0}) und dem Impuls p(t) bezeichnet man als den Drehimpuls (bzgl. P_{0}) dieses Massenpunktes. Gemäß (3.60) gilt dafür

l̇(t) = x(t) × F(t) .

Entsprechend bezeichnet man für ein Massenpunktsystem der in 3.4.1 betrachteten Art

L_{ges.}(t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} \underbrace{l_{ν}(t)}_{=x_{ν}(t)×m_{ν} ẋ_{ν}(t)}

als den Gesamtdrehimpuls (bzgl. P_{0}). Dafür gilt (aufgrund der Linearität der Ableitung):

Die zeitliche Ableitung des Gesamtdrehimpulses (bzgl. P_{0}) stimmt für ein System von Massenpunkten mit der Vektorsumme

M_{ges}(t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} x_{ν}(t) × F_{ν}(t)

aller Drehmomente (bzgl. P_{0}) überein, die die an den Massenpunkten angreifenden Kräfte erzeugen:

\frac{d}{dt}L_{ges.}(t) = M_{ges}(t) .

Insbesondere ergibt sich daraus der sog.

Drehimpulssatz: Der Gesamtdrehimpuls (bzgl. P_{0}) eines Systems von Massenpunkten ist zeitlich konstant, solange die Summe aller Drehmomente (bzgl. P_{0}), die die an den Massenpunkten angreifenden Kräfte erzeugen, verschwindet.

Version vom 26. März 2009

28Vgl. dazu auch 3.4.3 .

Der Gesamtdrehimpuls stimmt i.a. nicht mit dem sog. Bahndrehimpuls (bzgl. P_{0})

L_{Bahn}(t) =^{def} X(t) × P(t) ,
wobei: P(t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} p_{ν}(t) = (m_{1} + … + m_{n}) Ẋ(t) ,

des Systems überein. Die Differenz

L_{eigen}(t) =^{def} L_{ges.}(t) − L_{Bahn}(t)

bezeichnet man als den Eigendrehimpuls des Systems. Für den Eigendrehimpuls ergibt sich somit^{29}

L_{eigen}(t) = ∑_{ν=1}^{n} (x_{ν}(t) − X(t)) × (m_{ν} ẋ_{ν}(t))
= ∑_{ν=1}^{n} (x_{ν}(t) − X(t)) × m_{ν} (ẋ_{ν}(t) − V) ∀ V ∈ ℝ^{3} .

(3.61)

Er stimmt also mit dem Gesamtdrehimpuls bzgl. des Schwerpunktes überein^{30} und ist von der Wahl des Inertialsystems unabhängig.

Konsistenterweise gilt für den Bahndrehimpuls

L̇_{Bahn}(t) = X(t) × F_{ges.}(t)

und für den Eigendrehimpuls

L̇_{eigen}(t) = ∑_{ν=1}^{n} (x_{ν}(t) − X(t)) × F_{ν}(t) .

Ein (starrer) Körper K läßt sich in beliebig guter Näherung als System von (starr zueinander angeordneten) Massenpunkten betrachten. Idealisiert man K als Massenpunkt, so ist dessen Drehimpuls l(t) also als Bahndrehimpuls des ausgedehnten Körpers anzusehen.

Für einen Massenpunkt m bezeichnet man

\frac{1}{2} x(t) × ẋ(t) = \frac{1}{2m} l(t)

als die Flächengeschwindigkeit bzgl. P_{0} ; denn:

|\frac{1}{2} x(t) × ẋ(t)| = \{ \begin{matrix}Betrag der zeitlichen Ableitung des Inhalts \\ der vom Ortsvektor überstrichenen Fläche . \end{matrix}  (3.62)

Version vom 26. März 2009

29Die zweite Gleichung folgt aus ∑_{ν=1}^{n} m_{ν} (x_{ν}(t) − X(t)) = 0.

30Diese Aussage entspricht dem sog. Steinerschen Satz für Trägheitsmomente.

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l(t)

Bahn

ẋ(t)

x(t)

x(t + Δt)

· ·

P_{0}

ΔS

Damit ergibt sich der sog.

Flächensatz (für Massenpunkte): Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. Die Flächengeschwindigkeit (bzgl. P_{0}) ist zeitlich konstant.

2. Der Drehimpuls (bzgl. P_{0}) ist zeitlich konstant.

3. Der Ortsvektor (bzgl. P_{0}) bewegt sich in der zum Drehimpuls senkrechten Ebene (die P_{0} enthält) und überstreicht in gleichen Zeiträumen Flächen gleichen Inhalts.

4. Die Gesamtkraft ist eine Zentralkraft bzgl. P_{0} , d.h. sie zeigt stets entweder zu P_{0} hin oder von P_{0} weg.

3.4.3 Innere und äußere Kräfte

Betrachtet sei wieder ein System von Massenpunkten m_{1}, …, m_{n} mit den Ortsvektorfunktionen x_{1}(t), …, x_{n}(t) . Mit F_{νμ}(t) sei jeweils die Kraft bezeichnet, die m_{μ} auf m_{ν} ausübt. Für die sog. inneren Kräfte

F_{νμ}^{inn}(t) =^{def} \frac{1}{2} (F_{νμ}(t) − F_{μν}(t)) ∀ ν, μ ∈ \{1, …, n\}

gilt dann

F_{νμ}(t) = −F_{μν}(t) ∀ ν, μ ∈ {1, …, n}  (3.63)

(Aktion = Reaktion^{31}) . Weiterhin definiert man die sog. äußeren Kräfte

F_{ν}^{äuß}(t) =^{def} F_{ν}(t) − ∑_{μ=1}^{n} F_{νμ}^{inn}(t) ∀ ν ∈ {1, …, n}

Version vom 26. März 2009

31In der Elektrodynamik gilt das Prinzip Aktion = Reaktion für geladene Teilchen i.a. nicht, da die Wechselwirkung zwischen geladenen Massenpunkten durch Felder endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit (retardiert) vermittelt wird. Letzteres ist auch die Ursache für Selbstwechselwirkungskräfte, die z.B. in der relativistischen Lorentz-Dirac-Gleichung des Elektrons berücksichtigt sind.

wobei jeweils F_{ν}(t) die Summe aller auf m_{ν} wirkenden Kräfte bezeichnet. Dafür gilt

∑_{ν=1}^{n} F_{ν}(t) = ∑_{ν=1}^{n} F_{ν}^{äuß}(t)  (3.64)

und

∑_{μ=1}^{n} x_{ν}(t) × F_{ν}(t) = ∑_{μ=1}^{n} x_{ν}(t) × F_{ν}^{äuß}(t) ,

falls F_{νμ}^{inn}(t) = f_{νμ}(t) (x_{ν}(t) − x_{μ}(t)) für ν, μ = 1, …, n .

(3.65)

Beweisskizze zu (3.65):

∑_{ν=1}^{n} x_{ν}(t) × ∑_{μ=1}^{n} F_{νμ}^{inn}(t) = \frac{1}{2} ∑_{ν,μ=1}^{n} (x_{ν}(t) × F_{νμ}^{inn}(t) + x_{μ}(t) × F_{μν}^{inn}(t))
=_{(3.63)} \frac{1}{2} ∑_{ν,μ=1}^{n} \underbrace{(x_{ν}(t) − x_{μ}(t)) × F_{νμ}^{inn}(t)}_{=0 n. Vorauss.} .

Gemäß (3.64) sind bei Anwendung des Impulssatzes und gemäß (3.65) gewöhnlich auch bei Anwendung des Drehimpulssatzes nur die äußeren Kräfte zu beachten, die in aller Regel der physikalischen Intuition entsprechen. In diesem Sinne erklärt sich die in 2.2.3 hervorgehobene Erfahrungstatsache bzgl. gleichförmiger Bewegung starrer Körper.

3.4.4 Energiesatz

Zunächst sei wieder ein Massenpunkt m mit der Ortsvektorfunktion x(t) betrachtet. Elementare Rechnung liefert dafür

\frac{d}{dt} \frac{m}{2} |ẋ(t)|^{2} =_{(3.28)} m ẋ(t) · ẍ(t) =_{(3.60)} ẋ(t) · F(t) .

Mit (3.57) folgt daraus unmittelbar:

(3.60) ⟹ \frac{m}{2} |ẋ(t)|^{2} − \frac{m}{2} |ẋ(t_{0})|^{2} = ∫_{t_{0}}^{t} ẋ(t′) · F(t′) dt′ .  (3.66)

Man bezeichnet \frac{m}{2} |ẋ(t)|^{2} als die kinetische Energie des Massenpunktes m zur Zeit t. Das Skalarprodukt ẋ(t) · F(t) bezeichnet man als die von der Gesamtkraft

F(t) zur Zeit t an m erbrachte Leistung, das Integral ∫_{t_{0}}^{t} ẋ(t′) · F(t′) dt′ als die

während des Zeitintervalls [t_{0}, t] an m verrichtete Arbeit. Damit besagt (3.66):

Die Änderung der kinetischen Energie eines Massenpunktes stimmt mit der an ihm verrichteten Arbeit überein.

Oft existiert eine sog. Potential-Funktion V (x) mit

\frac{d}{dt} V(x(t)) = −ẋ(t) · F(t) für jeden Bewegungsablauf .  (3.67)

Beispiele:^{32}

Kraftquelle  F(t)  V (x(t))
homogenes Schwerefeld  m g  −m g · x(t)
ideale Feder  −κ x(t)  +\frac{κ}{2} |x(t)|^{2}
Schwerefeld einer Punktmasse M −G \frac{mM}{|x(t)|^{3}} x(t) −G \frac{mM}{|x(t)|}

Daß die für die ideale Feder und das inhomogene Schwerefeld angegebenen F, V der Bedingung (3.67) genügen, folgt aus der allgemeinen Beziehung^{33}

\frac{d}{dt} U(|x(t)|) = ẋ(t) · \frac{x(t)}{|x(t)|} \frac{d}{dr}U(r)_{|_{r=|x(t)|}} .  (3.68)

Aus (3.67) und (3.66) folgt mit (3.57):

(3.60) ⟹ \frac{m}{2} |ẋ(t)|^{2} + V(x(t)) unabhängig von t .  (3.69)

Kräfte vom Typ (3.67) bezeichnet man dementsprechend als konservativ. V (x) bezeichnet man als die potentielle Energie des Massenpunktes am x(t) entprechenden Ort, da dieser Betrag gemäß (3.69) unter Umständen in kinetische Energie umgewandelt werden kann.

Unter der kinetischen Energie eines Systems von Massenpunkten m_{1}, …, m_{n} versteht man die Summe der kinetischen Energien der einzelnen Massenpunkte:

E_{ges}^{kin}(t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} \frac{m_{ν}}{2} |ẋ_{ν}(t)|^{2} .

Version vom 26. März 2009

32Vgl. 3.5.1 und 3.5.3 .

33Man beachte die Kettenregel und die daraus mit der Produktregel folgende Beziehung

\frac{d}{dt} |x(t)| = \frac{d}{dt} \sqrt{x(t) · x(t)} = ẋ(t) · \frac{x(t)}{|x(t)|} .

Existieren zu den entsprechend 3.4.3 bezeichneten Kräften Potentialfunktionen V_{ν}(x), V_{νμ}(x), die den Bedingungen

\frac{d}{dt}V_{ν}(x_{ν}(t)) = −ẋ_{ν}(t) · F_{ν}^{äuss}(t) ,
\frac{d}{dt}V_{νμ}(x_{ν}(t) − x_{μ}(t)) = − (ẋ_{ν}(t) − ẋ_{μ}(t)) · F_{νμ}^{inn}(t)

(3.70)

für jeden Bewegungsablauf genügen, dann bezeichnet man

E_{ges}^{pot}(t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} V_{ν}(x_{ν}(t)) + \frac{1}{2} ∑_{ν,μ=1}^{n} V_{νμ}(x_{ν}(t) − x_{μ}(t))

als die potentielle Energie des Massenpunktsystems zum Zeitpunkt t und erhält in Verallgemeinerung von (3.69) den

Energiesatz: Wirken auf ein System von Massenpunkten nur Kräfte vom Typ (3.70), also nur Potentialkräfte, so ist die Gesamtenergie

E_{ges}(t) = E_{ges}^{kin}(t) + E_{ges}^{pot}(t)

des Systems zeitlich konstant.

Beweis: Analog (3.66) ergibt sich

E_{ges}^{kin}(t_{2}) − E_{ges}^{kin}(t_{1}) = ∑_{ν=1}^{n} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ_{ν}(t) · F_{ν}(t) dt ∀ t_{1}, t_{2} ∈ ℝ .

Analog zum Beweis von (3.65) zeigt man:

∑_{ν=1}^{n} ẋ_{ν}(t) · ∑_{μ=1}^{n} F_{νμ}^{inn}(t) = \frac{1}{2} ∑_{ν,μ=1}^{n} (ẋ_{ν}(t) − ẋ_{μ}(t)) · F_{νμ}^{inn}(t) .

Mit (3.70) folgt somit

E_{ges}^{kin}(t_{2}) − E_{ges}^{kin}(t_{1})

= − ∑_{ν=1}^{n} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{dt}V_{ν}(x_{ν}(t)) dt − \frac{1}{2} ∑_{ν,μ=1}^{n} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{dt′} V_{νμ}(x_{ν}(t) − x_{μ}(t)) dt

=_{(3.57)} − (E_{ges}^{pot}(t_{2}) − E_{ges}^{pot}(t_{1}))

und daraus die Behauptung.

Die dem Massenpunktmodell entsprechende kinetische Energie

E_{kin}^{trans}(t) =^{def} \frac{M}{2} |Ẋ(t)|^{2}

stellt i.a. nur die kinetische Energie der Translationsbewegung dar; denn:

2(E_{kin}^{ges}(t) − E_{kin}^{trans}(t)) = ∑_{ν=1} 1nm_{ν} |ẋ_{ν}(t)|^{2} − ∑_{ν=1}^{n} m_{ν} |Ẋ(t)|^{2}
= ∑_{ν=1}^{n} m_{ν} |ẋ_{ν}(t)|^{2} − 2 \underbrace{∑_{ν=1}^{n} m_{ν} ẋ_{ν}}_{=∑_{ν=1}^{n} m_{ν} Ẋ(t)} ·Ẋ(t) + ∑_{ν=1}^{n} m_{ν} |Ẋ(t)|^{2}

= ∑_{ν=1}^{n} m_{ν} |ẋ_{ν} − Ẋ(t)|^{2}
= Energie der Bewegung relativ zum Schwerpunkt .

3.5 Zentralfeld-Probleme

3.5.1 Harmonischer Oszillator

Ein Massenpunkt m mit der Ortsvektorfunktion x(t) sei durch eine ideale Feder der Federstärke κ > 0 mit P_{0} verbunden, d.h. die Feder übe die Kraft

F(t) = −κ x(t)  (3.71)

auf den Massenpunkt aus. Falls dies die einzige Kraft ist, die auf m wirkt, nimmt die Newtonsche Bewegungsgleichung (3.60) also die Form

m ẍ(t) + κ x(t) = 0  (3.72)

an. Da F(t) im vorliegenden Falle konservativ ist, gilt entsprechend 3.4.4 der Energiesatz in der Form

(3.72) ⟹ \frac{m}{2} |ẋ(t)|^{2} + \frac{κ}{2} |x(t)|^{2} unabhängig von t .  (3.73)

Hieraus folgt:^{34}

Zu beliebig vorgegebenen Anfangswerten x(t_{0}), ẋ(t_{0}) existiert höchstens eine Lösung von (3.72).

Version vom 26. März 2009

34Die Differenz zweier Lösungen zu gleichen Anfangsbedingungen ist eine Lösung von (3.72) mit Anfangsenergie 0, nach (3.73) also für alle Zeiten 0.

Falls also auf einen Massenpunkt nur die Kraft (3.71) einer idealen Feder wirkt, führt dieser eine harmonische Schwingung^{35} um P_{0} mit der Kreisfrequenz

ω_{0} = \sqrt{\frac{κ}{m}}

aus:

x(t) = cos (\sqrt{\frac{κ}{m}}(t − t_{0})) x_{0} + \sqrt{\frac{m}{κ}} sin (\sqrt{\frac{κ}{m}}(t − t_{0}))v_{0}

ist die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems:

m ẍ(t) + κ x(t) = 0 für alle t ,
x(t_{0}) = x_{0} , ẋ(t_{0}) = v_{0} .

3.5.2 Gravitationsgesetz

Aus Beobachtungen der Planetenbewegung schloß Johannes Kepler (1571 - 1630), daß (näherungsweise) folgende drei (nach ihm benannte) Gesetze gelten:

1. Jeder Planet durchläuft eine Ellipsenbahn, in deren einem Brennpunkt die Sonne ‘steht’.

2. Die Flächengeschwindigkeit eines Planetenortsvektors bzgl. des Brennpunktes, in dem die Sonne steht, ist zeitlich konstant.

3. Das Verhältnis

\frac{(Länge der großen Halbachse)^{3}}{(Umlaufzeit)^{2}}

ist für alle Planetenbahnen gleich.

Das 1. Keplersche Gesetz besagt also, daß für einen Planeten die Ortsvektorfunktion x(t) bzgl. der Sonne von der Form (3.3) ist:

x(t) = \frac{p}{1 + ϵ cos φ(t)} (cos φ(t) e + sin φ(t) e′) .  (3.74)

Version vom 26. März 2009 35Siehe Übungsaufgabe 22.

3.5. ZENTRALFELD-PROBLEME 83

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p x(t)

φ(t)

Sonne Planet

e′ e

Die Ableitung von (3.74) ist

ẋ(t) = \frac{1}{p}φ̇(t)|x(t)|^{2} (− sin φ(t) e + (ϵ + cos φ(t)) e′)  (3.75)

(Beweis als Übungsvorschlag). Da allgemein

x(t) = |x(t)| (cos φ(t) e + sin φ(t) e′) ⟹ |x(t) × ẋ(t)| = |φ̇(t)|x(t)|^{2}| (3.76)

gilt (Beweis als Übungsvorschlag), besagt das 2. Keplersche Gesetz:

\frac{d}{dt} (φ̇(t)|x(t)|^{2}) = 0 .  (3.77)

Aus (3.75) folgt damit

ẍ(t) = −\frac{1}{p} (φ̇(t))^{2} |x(t)| x(t)
= − \underbrace{\frac{1}{p} (φ̇(t) |x(t)|^{2})^{2}}_{=^{def}λ} \frac{x(t)}{|x(t)|^{3}} .

Mit der Newtonschen Bewegungsgleichung (3.60) ergibt sich daraus die Folgerung 3.5.1 Gemäß den ersten beiden Keplerschen Gesetzen ist die Gesamtkraft, die auf einen Planeten wirkt, von der Form

F(t) = −mλ \frac{x(t)}{|x(t)|^{3}} ,

wobei:

m =^{def} Masse des Planeten ,
x(t) =^{def} Ortsvektorfunktion des Planeten bzgl. der Sonne ,
λ =^{def} \frac{1}{p}|x(t) × ẋ(t)|^{2} zeitunabhängig ,
p =^{def} Halbparameter der Bahnellipse .

Mit

T =^{def} Umlaufzeit des Planeten ,
a =^{def} Länge der großen Halbachse der Umlaufbahn

gilt^{36}

πa\sqrt{ap} = Ellipsenfläche
= T · Betrag der Flächengeschwindigkeit
= T · \frac{1}{2}|x(t) × ẋ(t)|

und somit:

λ = 4π^{2} \frac{a^{3}}{T^{2}} .

Nach dem 3. Keplerschen Gesetz ist also λ für alle Planeten gleich. Aus Symmetriegründen folgerte daraus Isaac Newton (1643-1727) das

Gravitationsgesetz: Ein Massenpunkt m_{1} mit der Ortsvektorfunktion x_{1}(t) übt auf einen weiteren Massenpunkt m_{2} mit der Ortsvektorfunktion x_{2}(t) die Anziehungskraft

F(t) = −G m_{1} m_{2} \frac{x_{2}(t) − x_{1}(t)}{|x_{2}(t) − x_{1}(t)|^{3}}

aus, wobei G eine positive universelle Gravitationskonstante ist.^{37}

3.5.3 Kepler-Problem

Problem:

Bestimme alle (hinreichend gutartigen) Ortsvektorfunktionen x(t), die die Gleichung

m ẍ(t) = −G m M \frac{x(t)}{|x(t)|^{3}}  (3.78)

erfüllen.

Version vom 26. März 2009

z.B. (Pohl, 1962, § 30).

36Als gestauchter Kreis hat die Ellipse mit den Halbachsen-Längen a, b die Fläche π a b =_{(3.6)} πa\sqrt{ap} (siehe auch Übungsaufgabe 39).

37Den Wert ≈ 6, 68 · 10^{−11} \frac{m^{3}}{kg s^{3}} für die Gravitationskonste G erhält man z.B. durch Eingabe von ‘G=’ in die Suchmaske von http://www.google.de . Bzgl. Präzisionsmessungen von G siehe

3.5. ZENTRALFELD-PROBLEME 85 Da die (3.78) entsprechende Kraft

F(t) = G m M \frac{x(t)}{|x(t)|^{3}}

eine konservative Zentralkraft bzgl. P_{0} ist, lassen sich Energie- und Flächensatz anwenden:

(3.78) ⟹ E =^{def} \frac{m}{2} |ẋ(t)|^{2} − \frac{G m M}{|x(t)|} zeitlich konstant ,  (3.79)
(3.78) ⟹ L =^{def} x(t) × m ẋ(t) zeitlich konstant .  (3.80)

Für eine Kegelschnittbewegung der Form (3.74) gilt

(\frac{x(t)}{|x(t)|} + ϵ e) · ẋ(t) =_{(3.75)} 0

und somit existiert eine Funktion α(t) mit:

\frac{x(t)}{|x(t)|} + ϵ e = α(t) (ẋ(t) × L) .  (3.81)

Wegen

p = |x(t)| (1 + ϵ cos (∠e, x(t)))
= (\frac{x(t)}{|x(t)|} + ϵ e) · x(t)
=_{(3.81)} α(t) (ẋ(t) × L) · x(t)
= α(t) |L|^{2} /m

muß α(t) gemäß (3.80) unabhängig von t sein. Damit ergibt sich

\frac{ẋ}{|x|} − (ẋ · \frac{x}{|x|^{3}} ) x

= \frac{d}{dt} (\frac{x}{|x|} + ϵ e) =_{(3.80),(3.81)} α ẍ × L (3.82)
=_{(3.78)} −α G M \frac{x}{|x|^{3}} × L

und durch Vergleich mit

\frac{x}{|x|^{3}} × L = \frac{m}{|x|^{3}} x × (x × ẋ) =_{(2.23)} m (ẋ · \frac{x}{|x|^{3}} − \frac{ẋ}{|x|})

schließlich α = \frac{1}{G m M} . Diese Überlegungen führen auf folgende Vermutung:^{38}

Version vom 26. März 2009

38Daß dies zunächst nur eine Vermutung ist, liegt daran, daß noch nicht gezeigt wurde, daß (3.78) nur Kegelschnittbewegungen zuläßt.

86 KAPITEL 3. RAUMKURVEN

Unter der Voraussetzung (3.78) ist der sog. Runge-Lenz-Vektor^{39}

Λ =^{def} \frac{ẋ(t) × L}{G m M} − \frac{x(t)}{|x(t)|} (3.83)

zeitlich konstant (eine Erhaltungsgröße) und mit den Definitionen

φ′(t) =^{def} \{ \begin{matrix}+∠Λ, x(t) & falls (Λ, x(t), L) Rechtssystem , \\ −∠Λ, x(t) & falls (Λ, x(t), L) Linkssystem \end{matrix}
ϵ =^{def} |Λ| ,
p =^{def} \frac{|L|^{2}}{G m^{2} M}

(3.84)

gilt für den Fall L ≠ 0 ≠ Λ:

x(t) = \frac{p}{1 + ϵ cos φ(t)} (cos φ(t)\frac{Λ}{|Λ|} + sin φ(t)\frac{L × Λ}{|L × Λ|}) mit: 1 + ϵ cos φ(t) > 0 .

(3.85)

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· ·

Perihel

x(t) L

Λ P_{0}

Bahn

Bestätigung: Die zeitliche Konstanz des Runge-Lenz-Vektors folgt mit dem Flächensatz gemäß

\frac{d}{dt}Λ = \underbrace{\frac{ẍ × L}{G m M}}_{=_{(3.78)} −\frac{x×(x×ẋ)}{|x|^{3}} =_{(2.23)} −\frac{(x·ẋ)x−(x·x)ẋ}{|x|^{3}}} − \underbrace{\frac{d}{dt} \frac{x}{|x|}}_{= \frac{d}{dt} \frac{ẋ}{|x|} − \frac{x·ẋ}{|x|^{3}} x}
= 0 .

Weiterhin gilt

|x| =_{(3.83)} \frac{ẋ × L}{G m M} · x − Λ · x =_{(3.84)} p − ϵ |x| cos φ ,

d.h.

|x| (1 + ϵ cos φ) = p > 0 ,

und damit auch (3.85).

Version vom 26. März 2009

39Siehe dazu auch (Argüeso und Sanz, 1984) und (Leach und Flessas, 2003).

3.5. ZENTRALFELD-PROBLEME 87

Für Λ ≠ 0 ≠ L gilt im Perihel (Bahnpunkt mit φ = 0)

|x| = \frac{p}{1 + ϵ}

und, da die Geschwindigkeit dort senkrecht zum Ortsvektor (bzgl. des Brennpunktes), also |L| = |x|m|ẋ| ist:^{40}

\frac{m}{2}|ẋ(t)|^{2} = \frac{|L|^{2}}{2m|x|^{2}} =_{(3.84)} \frac{G m M}{2|x|^{2}} p .

Gemäß (3.79) ergibt sich damit

E = \frac{G m M}{2p} (ϵ^{2} − 1) .  (3.86)

Nach den Darlegungen von 3.1.3–3.1.5 gilt also:

Für \underline{L ≠ 0 ≠ Λ} :

Bahnkurve = \{ \begin{matrix}Ellipse, & falls E < 0 , \\ Parabel, & falls E = 0 , \\ Hyperbel, & falls E > 0 . \end{matrix}

Beispiel für Bahnen gleichen Drehimpulses:^{41}

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Bahn 1, E < 0

Bahn 2, E > 0

ẋ_{2}

ẋ_{1}

p

Für den Betrag der großen Halbachse einer Ellipse folgt aus (3.4) und (3.6):

|a| = \frac{p}{1 − ϵ^{2}} =_{(3.86)} −\frac{G m M}{2 E}

Version vom 26. März 2009

40Vgl. auch (3.89). 41Vgl. (3.84). I.a. müssen natürlich weder die Bahnebenen noch die Perihelausrichtungen über-

einstimmen.

Damit ergibt sich als Beispiel für gebundene Zustände gleicher Energie (E < 0, Planeten):

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ẋ_{1}

ẋ_{2}

Bahn 2

\frac{G m M}{E}

\frac{G m M}{E}

Bahn 1

Für Streuzustände (E > 0) ergibt sich schließlich folgendes Bild:

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φ(t)

Stoßparameter

x(t)

P_{0}

ϑ

Wegen

(1 + ϵ cos φ) → 0 für φ → \frac{ϑ}{2} + \frac{π}{2}

gilt dabei für den Streuwinkel ϑ :

sin \frac{ϑ}{2} = \frac{1}{ϵ}

Abschließende Bemerkungen:

(i) Im Falle Λ = 0 gilt \frac{d}{dt}|x|^{2} = 2ẋ · x =_{(3.83)} 0, d.h. es liegt eine Kreisbahn vor.

(ii) Im Falle L = 0 ist \frac{x}{|x|} zeitlich konstant, d.h. die Bahn liegt auf einer Geraden

durch P_{0}. Nach dem Energiesatz kann die Ortsvektorfunktion dann nicht für alle Zeiten gutartig sein (divergierende Geschwindigkeit bei Annäherung an P_{0}).

(iii) Für L ≠ 0 läßt sich φ(t), vom Spezialfall der Kreisbahn abgesehen, nicht in geschlossener Form angeben, wohl aber implizit, indem man t als monoton wachsende Funktion von φ bestimmt:

\sqrt{\frac{G M}{p^{3}}} t =_{(3.84)}  \frac{|L|}{m p^{2}} t = ∫_{0}^{t} \frac{|x(t′) × ẋ(t′)|}{p^{2}}dt′
=_{(3.76),(3.85)} ∫_{0}^{t} \frac{φ̇(t′)dt′}{(1 + ϵ cos φ(t′))^{2}} = ∫_{φ(0)}^{φ(t)} \frac{dφ}{(1 + ϵ cos φ)^{2}}

Das Integral über φ läßt sich explizit angeben.^{42} Damit (jedenfalls für L ≠ 0) ist auch klar, daß die Lösung des Kepler-Problem durch die Anfangsbedingungen eindeutig festgelegt ist.

3.5.4 Allgemeines Zentralpotential

Sei nun F(t) eine konservative Kraft mit einer beliebigen bzgl. P_{0} zentralsymmetrischen Potentialfunktion (Zentralpotential):

V (x) = U(|x|)  (3.87)
\frac{d}{dt}V (x(t)) = −ẋ(t) · F(t) für jeden Bewegungsablauf  (3.88)

Es soll wieder der allgemeinste mit der Newtonschen Bewegungsgleichung (3.60) verträgliche Bewegungsablauf bestimmt werden:

Ganz allgemein^{43} gilt

\frac{m}{2}|ẋ(t)|^{2} = \frac{m}{2} (\frac{d}{dt} |x(t)|)^{2} + \frac{|L(t)|^{2}}{2m|x(t)|^{2}} .  (3.89)

Für einen Massenpunkt m unter dem Einfluß der Kraft F(t) lautet damit der Energiesatz:

\frac{m}{2} (\frac{d}{dt} |x(t)|)^{2} + \frac{|L (x(t)) |^{2}}{2m|r(t)|^{2}} + V (x(t)) = E zeitlich konstant

Unabhängig von (3.87) folgt daraus unmittelbar

1 = \begin{matrix}\frac{d}{dt} & |x(t)| \\ √ & \overline{\frac{2}{m} (E − V (x(t)) − \frac{|L (x(t)) |^{2}}{2m |x(t)|^{2}} )} \end{matrix} .  (3.90)

Version vom 26. März 2009 42Siehe (Zeidler, 2003, S. 175, Integral Nr. 340).

43Man beachte Fußnote 33 sowie die Regel (2.24).

Mit (3.87) ergibt sich aus (3.88) und (3.68)

F(t) = −\frac{d}{dr}U(r)_{|_{r=|x(t)|}} \frac{x(t)}{|x(t)|} .  (3.91)

F(t) ist also eine Zentralkraft bzgl. P_{0}. Nach dem Flächensatz liegt also eine mit (3.60) verträgliche Bahnkurve stets in einer Ebene, die P_{0} enthält und senkrecht zum zeitlich konstanten Bahndrehimpuls L steht. Der Bewegungsablauf läßt sich also durch ebene Polarkoordinaten φ(t), r(t) = |x(t)| beschreiben:

x(t) = r(t) (cos φ(t)e_{1} + sin φ(t)e_{2}) .

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; φ(t); L; x(t); r(t); Bahn; P_{0}]

Aus (3.90) folgt somit aufgrund der allgemeinen Formel^{44}

∫_{t_{0}}^{t} ṙ(t′)g (r(t′)) dt′ = ∫_{r(t_{0})}^{r(t)} g(r) dr  (3.92)

mit dem (3.53) und (3.87):

t − t_{0} = ∫_{|x(t_{0})|}^{|x(t_{t})|} \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m} (E − U(r) − \frac{|L|^{2}}{2mr^{2}} )}} ,

falls E − U(r) − \frac{|L|^{2}}{2mr^{2}} > 0 im Integrationsbereich .

(3.93)

Aufgrund der Drehimpulserhaltung kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit φ̇(t) ≥ 0 voraussetzen (entsprechende Orientierung der Polarkoordinaten). Falls der (zeitlich konstante) Drehimpuls und somit auch r(t) von Null verschieden ist, folgt aus (3.76):^{45}

φ̇(t) = \frac{|L|}{mr(t)^{2}} > 0 ;

Version vom 26. März 2009

44Nach (3.53) (wir setzen die Existenz einer Stammfunktion von G voraus) und der Kettenregel sind rechte und linke Seite von (3.92) beides Stammfunktionen von ṙ(t)g (r(t)). Da außerdem beide Stammfunktionen an der Stelle t = t_{0} verschwinden, müssen sie nach Lemma 3.3.1 übereinstimmen.

45Wir schreiben hier φ statt φ.

φ(t) ist dann also eine streng monoton wachsende Funktion der Zeit, so daß eine Funktion r̂ mit r(t) = r̂(φ(t)) existiert. Gemäß Kettenregel gilt damit

ṙ(t) = (\frac{|L|}{mr̂(φ)^{2}} \frac{d}{dφ}r̂(φ))_{|_{φ=φ(t)}} ,

woraus mit (3.90)

1 = (\frac{d}{dφ}r̂(φ)) \frac{|L|}{r̂(φ)^{2}\sqrt{2m (E − U (r̂(φ)) − \frac{|L|^{2}}{2m|r̂(φ)|^{2}} )}}  (3.94)

folgt. Mit der allgemeinen Substitutionsregel (3.92), auf φ statt t angewandt, ergibt sich daraus schließlich:

φ − φ_{0} = ∫_{r̂(φ_{0})}^{r̂(φ)} \frac{|L| dr̂}{r̂^{2}\sqrt{2m (E − U(r̂) − \frac{|L|^{2}}{2mr̂^{2}} )}} ,

falls E − U(r̂) − \frac{|L|^{2}}{2mr̂^{2}} > 0 im Integrationsbereich .

(3.95)

Aus (3.93) resp. (3.95) läßt sich t resp. φ als (i.a. mehrwertige) Funktion von r resp. r̂ bestimmen, wobei das Vorzeichen der Wurzel durch (3.90) resp. (3.94) festgelegt ist. φ(r̂) bestimmt r̂(φ), d.h. die Bahnkurve in Polarform. t(r) bestimmt r(t) und damit die Zeitabhängigkeit des Bahndurchlaufs (falls nicht ausgerechnet eine Kreisbahn vorliegt). Damit ist der gesamte Bewegungsablauf festgelegt.

Als Beispiel wollen wir (3.95) für das Potential

V (x) = −\frac{mλ}{|x|}

auswerten. Mit den Definitionen

ξ(r) =^{def} \frac{λm^{2}}{|L|} − \frac{|L|}{r} , α =^{def} \sqrt{2mE + \frac{λ^{2}m^{4}}{|L|^{2}}} > 0

ergibt sich gemäß (3.92) dafür

φ − φ_{0} = ∫_{ξ(φ_{0})}^{ξ(φ)} \frac{dξ}{\sqrt{α^{2} − ξ^{2}}} = arccos (\frac{ξ}{α})|_{ξ(φ_{0})}^{ξ(φ)}

und somit

arccos (\frac{ξ(φ)}{α}) = φ + const.

d.h.

ξ(φ) = −α cos(φ + φ̂_{0})

für geeignetes φ̂_{0} . Einsetzen der Definitionen für ξ und α liefert bei geeigneter Wahl des Ursprungs von φ

r(ϕ) = \frac{p}{1 + ϵ cos φ} ,

wobei

p =^{def} \frac{|L|^{2}}{λm^{2}} , ϵ =^{def} \frac{α p}{|L|} = \sqrt{1 + \frac{2m p^{2}}{|L|} E} .

Im Falle λ > 0 ist das offensichtlich im Einklang mit unseren Ergebnissen für das Kepler-Problem. Im Falle λ < 0 entspricht das Potential dem Coulomb-Potential zweier Ladungen gleichen Vorzeichens. Dann ist p < 0 und somit auch ϵ < 0 , d.h. nach den Ergebnissen von 3.1.5, daß die Bewegung hyperbolisch ist, jedoch auf dem vom Brennpunkt weiter entfernten Hyperbelzweig verläuft (Rutherford-Streuung).

Skalar- und Vektorfelder

4.1 Richtungsableitung

4.1.1 Grundlegendes

Definition 4.1.1 Sei V ein reeller Vektorraum. Dann versteht man unter einem Skalarfeld über V eine Abbildung Φ von V in einen 1-dimensionalen reellen Vektorraum:

V ∋ x ⟼ Φ(x) ∈ ℝ^{1} · phys. Einheit .

Unter einem Vektorfeld über V versteht man eine Abbildung F von V in sich:

V ∋ x ⟼ F(x) ∈ V .

Verabredung: Wenn in dieser Vorlesung von Skalar- oder Vektorfeldern die Rede ist, so sind damit stets solche über dem Raum der Ortsvektoren gemeint. Multiplikation mit physikalischen Einheiten sei wieder wie üblich erklärt!

Beispiele:

(i) Die in 3.4.4 angesprochenen Potentialfunktionen V (x) sind wichtige Beispiele für Skalarfelder.

(ii) Weitere Beispiele für Skalarfelder sind etwa Dichte-Verteilungen ρ(x), Temperaturverteilungen T (x), Druckverteilungen p(x) usw. zu einem festen Zeitpunkt.

(iii) Die in die Newtonsche Bewegungsgleichung (3.60) eingehenden Kräfte F(t) hängen oft nur indirekt von der Zeit ab, indem sie eigentlich durch Vektorfelder, sog. Kraftfelder F(x) gegeben sind:

F(t) = F(x(t)) ,

wobei z.B.^{1}

F(x) = \{ \begin{matrix}−κx & für die Kraft einer idealen Feder , \\ −γ \frac{mM}{|x|^{3}} x & für die Schwerkraft zwischen zwei Massenpunkten . \end{matrix}

(iv) Weitere wichtige Beispiele für Vektorfelder sind die elektromagnetischen Felder H(x), …, D(x) und Stromdichten ȷ(x) verschiedenster Art zu einem festen Zeitpunkt.

Definition 4.1.2 Seien v ein konstanter Vektor und Φ ein Skalarfeld. Dann definieren wir^{2}

(L_{v}Φ)(x) =^{def} \frac{d}{dt} Φ(x + t v)_{|_{t=0}} ,

falls die betreffende Ableitung existiert. Wenn e ein dimensionsloser Einheitsvektor (Richtung) ist, bezeichnet man (L_{e}Φ) (x) als die Richtungsableitung von Φ in Richtung von e an der Stelle x.

Analoge Definitionen gelten für Vektorfelder.

Man beachte:^{3}

(L_{λv} Φ)(x) = λ (L_{v} Φ)(x) .  (4.1)

Ein Skalarfeld Φ(x) heißt (überall) stetig, wenn zu jedem x und zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert mit:^{4}

|x − x′| < δ ⟹ |Φ(x) − Φ(x′)| < ϵ .

Analog ist die Stetigkeit eines Vektorfeldes definiert.

Eine Ortsvektorfunktion x(t) heißt stetig differenzierbar, wenn ẋ(t) existiert und stetig ist. Ein Skalar- resp. Vektorfeld heißt stetig differenzierbar , falls die Richtungsableitung für jede Richtung e existiert und ein stetiges Skalar- resp. Vektorfeld liefert.

Lemma 4.1.3

Gegeben: (i) stetig differenzierbares Skalarfeld Φ(x) , (ii) differenzierbare Ortsvektorfunktion x(t) , (iii) Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} .

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1Siehe Tabelle unter (3.67).

2Dabei ist die physikalische Dimension des Parameters t natürlich so zu wählen, daß t v ein Ortsvektor ist.

3Die eingeschränkte Linearitätseigenschaft (4.1) folgt unmittelbar aus der Kettenregel (3.24) für g(t) = λ t. Die volle lineare Abhängigkeit der Lie-Ableitung (L_{v} Φ)(x) von v — Gleichung (4.3) — werden wir anhand von Lemma 4.1.3 erkennen.

4Vgl. Abschnitt 3.1.1.

4.1. RICHTUNGSABLEITUNG 95

Behauptung: Für alle t gilt

\frac{d}{dt}Φ(x(t)) = ∑_{j=1}^{3} (ẋ(t) · b^{j}) (L_{b_{j}}Φ)(x(t)) ,

wobei {b^{1}, b^{2}, b^{3}} die in (2.29) definierte reziproke Basis bezeichnet.

Beweisskizze: Aus

x(t′) − x(t) =_{(3.18)}(t′ − t) v_{mitt}(t′, t) =_{(2.28)} ∑_{j=1}^{3} λ^{j}b_{j} ,

wobei: λ^{j} =^{def} (t′ − t)(v_{mitt}(t′, t) · b^{j}) ,

folgt für beliebige t, t′ mit t ≠ t′

Φ(x(t′)) − Φ(x(t)) = Φ(x(t) + λ^{1}b_{1} + λ^{2}b_{2} + λ^{3}b_{3}) − Φ(x(t) + λ^{1}b_{1} + λ^{2}b_{2})

+Φ(x(t) + λ^{1}b_{1} + λ^{2}b_{2}) − Φ(x(t) + λ^{1}b_{1})

+Φ(x(t) + λ^{1}b_{1}) − Φ(x(t))

und daraus nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung

\frac{Φ(x(t′)) − Φ(x(t))}{t′ − t} = \frac{λ^{3}}{t′ − t} (L_{b_{3}}Φ) (x(t) + λ^{1}b_{1} + λ^{2}b_{2} + ξ^{3}λ^{3}b_{3})

+\frac{λ^{2}}{t′ − t} (L_{b_{2}}Φ) (x(t) + λ^{1}b_{1} + ξ^{2}λ^{2}b_{2})

+\frac{λ^{1}}{t′ − t} (L_{b_{1}}Φ) (x(t) + ξ^{1}λ^{1}b_{1})

für geeignete ξ^{j} = ξ^{j}(t′, t) ∈ [0, 1]. Mit

λ^{j} → 0 , \frac{λ^{j}}{t′ − t} → (ẋ(t) · b^{j}) für t′ → t

folgt daraus die Behauptung.

4.1.2 Der Gradient eines Skalarfeldes

Aus Definition 4.1.2 und Lemma 4.1.3 folgt^{5}

(L_{v} Φ) (x) = v · ∑_{j=1}^{3} b^{j} (L_{b_{j}}Φ) (x)

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5Man setze x (t) = x + v t.

für beliebiges v und jede Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}}. Damit ist die Definition

grad Φ(x) =^{def} ∑_{j=1}^{3} b^{j} (L_{b_{j}}Φ) (x)  (4.2)

des Gradienten eines (hinreichend gutartigen) Skalarfeldes von der speziellen Wahl der Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} unabhängig und für dieses Vektorfeld gilt

v · grad Φ(x) = (L_{v} Φ) (x) .  (4.3)

Der Gradient von Φ(x) zeigt also in die Richtung, in der Φ(x) am schnellsten anwächst. Die zugehörige Richtungsableitung ist

max_{e} (L_{e} Φ) (x) = |grad Φ(x)| .  (4.4)

Außerdem steht grad Φ(x) senkrecht auf der Fläche durch x, auf der Φ konstant ist. Nach (4.2) besagt Lemma 4.1.3 also:^{6}

\frac{d}{dt}Φ(x(t)) = ẋ(t) · grad Φ(x(t)) .

(4.5)

Für Kräfte vom Typ

F(t) = −grad V(x(t)) , V stetig differenzierbar ,

gilt also (3.67). Dementsprechend bezeichnet man Vektorfelder vom Typ

F(x) = −grad V (x) , V stetig differenzierbar ,  (4.6)

als konservativ,^{7} das durch (4.6) bis auf eine additive Konstante eindeutig^{8} zugeordnete Skalarfeld V (x) als Potentialfeld von F(x).

Definition 4.1.4 Sei f eine Funktion der drei Veränderlichen x^{1}, x^{2}, x^{3}. Dann bezeichnet man zum Beispiel

\frac{∂}{∂x^{1}} f(x^{1}, x^{2}, x^{3}) =^{def} lim_{ξ≠x^{1}^{ξ→x^{1}}} \frac{f(ξ, x^{2}, x^{3}) − f(x^{1}, x^{2}, x^{3})}{ξ − x^{1}}

(im Falle der Existenz) als die partielle Ableitung von f nach der ersten Veränderlichen an der Stelle (x^{1}, x^{2}, x^{3}). Die partiellen Ableitungen nach den anderen Veränderlichen sind entsprechend definiert.

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6Man vergleiche (4.5) mit der Kettenregel (3.24).

7Eine Kraft vom Typ F(t) = ẋ(t) × C , die ein geladenes Teilchen im konstanten homogenen Magnetfeld erfährt (vgl. Aufgabe 29), ist zwar auch im Sinne von (3.67) konservativ (mit V = 0), jedoch nicht durch ein Kraftfeld gegeben.

8Seien V_{1}(x) und V_{2}(x) Potentialfelder des gleichen Kraftfeldes F(x). Dann folgt aus (4.5) \frac{d}{dt}(V_{1}(x(t)) − V_{2}(x(t))) = 0 und somit nach Lemma 3.3.1 die zeitliche Konstanz von V_{1}(x(t)) − V_{2}(x(t)) für jede Bahnbewegung x(t).

4.1. RICHTUNGSABLEITUNG 97

Mit den Definitionen 4.1.2 und 4.1.4 gilt für jede Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}}:

f(x^{1}, x^{2}, x^{3}) = Φ(x^{1}b_{1} + x^{2}b_{2} + x^{3}b_{3})

⟹ (\frac{∂}{∂x^{j}} f) (x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (L_{b_{j}}Φ) (x^{1}b_{1} + x^{2}b_{2} + x^{3}b_{3}) für j = 1, 2, 3 . (4.7)

Mithilfe partieller Ableitungen läßt sich der Gradient entsprechend (4.2) für eine beliebige Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} daher folgendermaßen ausdrücken:^{9}

grad Φ(x) = ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂x^{1}} Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \\ \frac{∂}{∂x^{2}} Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \\ \frac{∂}{∂x^{3}} Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \end{matrix} ) bzgl. \{b^{1}, b^{2}, b^{3}\} ,

wobei: Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) =^{def} Φ(x) für x = ( \begin{matrix}x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) bzgl. \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\} .

(4.8)

Beispiele:^{10}

(i) Potential eines homogenen Kraftfeldes:

V (x) = −mg · x
⟹ −grad V (x) = +m ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂x^{1}} (g^{1}x^{1} + g^{2}x^{2} + g^{3}x^{3}) \\ \frac{∂}{∂x^{2}} (g^{1}x^{1} + g^{2}x^{2} + g^{3}x^{3}) \\ \frac{∂}{∂x^{3}} (g^{1}x^{1} + g^{2}x^{2} + g^{3}x^{3}) \end{matrix} )

= +m (\begin{matrix}g^{1} \\ g^{2} \\ g^{3} \end{matrix} ) bzgl. Orthonormalbasis
= +mg .

Die Potentialebenen sind hier die zu g senkrechten Ebenen. (ii) Potential des Kraftfeldes einer idealen Feder:

V (x) = \frac{κ}{2}(x)^{2} ⟹_{analog} −grad V (x) = −κx .

Die Potentialflächen sind hier die Oberflächen der Kugeln mit Zentrum in P_{0}.

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9Man beachte den Bezug auf die reziproke Basis! Üblicherweise beschränkt man sich in (4.8) auf physikalisch dimensionslose Basen {b_{1}, b_{2}, b_{3}}.

(iii) Potential des Schwerkraftfeldes einer Punktmasse M in P_{0} auf eine Punktmasse m mit Ortsvektor x :

V (x) = −γ \frac{mM}{|x|} ⟹_{analog} −grad V (x) = −γmM \frac{x}{|x|^{3}} .

Auch hier sind die Potentialflächen die Oberflächen der Kugeln mit Zentrum in P_{0}.

Abschließend sei noch bemerkt, daß aus (4.5) und (4.7)

\frac{d}{dt}f(x^{1}(t), x^{2}(t), x^{3}(t)) = ∑_{j=1}^{3} ẋ^{j}(t) (\frac{∂}{∂x^{j}} f(x^{1}, x^{2}, x^{3}))_{|_{x^{k}=x^{k}(t) für k = 1, 2, 3}} (4.9)

folgt und somit die verallgemeinerte Kettenregel

\begin{matrix}f̂(q^{1}, q^{2}, q^{3}) = f(x^{1}(q^{1}, q^{2}, q^{3}), x^{2}(q^{1}, q^{2}, q^{3}), x^{3}(q^{1}, q^{2}, q^{3})) \\ ⟹ \frac{∂}{∂q^{k}} f̂(q^{1}, q^{2}, q^{3}) = ∑_{j=1}^{3} (\frac{∂}{∂q^{k}} x^{j}(q^{1}, q^{2}, q^{3})) (\frac{∂}{∂x^{j}} f(x^{1}, x^{2}, x^{3}))_{|_{x^{l}=x^{l}(q^{1},q^{2},q^{3})}} \end{matrix}

(4.10)

für stetig differenzierbare^{11} f und x^{ν} . Entsprechende Formeln gelten natürlich für Funktionen von mehr als drei Veränderlichen.

Anwendungsbeispiel zu (4.9): Sei S ein beliebiges thermodynamisches System (zum Beispiel ein geschlossenes Gas) mit den Zustandsgleichungen

V = V (P, T)

und (äquivalent)

P = P (V, T) ,

wobei:

V =^{def} Volumen von S ,
P =^{def} Druck von S ,
T =^{def} Temperatur von S .

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10Vgl. Tabelle unter (3.67). 11Man identifiziert in natürlicher Weise Funktionen f(x^{1}, x^{2}, x^{3}) mit Skalarfeldern Φ_{f}(x^{1} e_{1} +

x^{2} e_{2} +x^{3} e_{3}) =^{def} f(x^{1}, x^{2}, x^{3}) . Eigenschaften wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Φ_{f} hängen dabei nicht von der Wahl der Basis {e_{1}, e_{1}, e_{1}} ab und werden deshalb entsprechend f selbst zugeordnet.

Dann sind die Größen

α(P, T) =^{def} \frac{1}{V (P, T)} \frac{∂}{∂T} V (P, T) isobarer Ausdehnungkoeffizient  ,
β(V, T) =^{def} \frac{1}{P (V, T)} \frac{∂}{∂T} P (V, T) isochorer Spannungskoeffizient  ,
γ(P, T) =^{def} −\frac{1}{V (P, T)} \frac{∂}{∂p}V (P, T) isotherme Kompressibilität

nicht voneinander unabhängig:

Für beliebig vorgegebene P_{0}, T_{0} gilt mit P̂(T) =^{def} P (V (P_{0}, T_{0}), T) stets P̂(T_{0}) = P_{0}. Da andererseits V (P̂(T), T) = V (P_{0}, T_{0}) für alle T gilt, folgt somit

0 = \frac{d}{dT} V (P̂(T), T ) =_{(4.9)}(\underbrace{\frac{dP̂(T)}{dT}}_{P β} \underbrace{\frac{∂}{∂P} V (P, T)}_{−V γ} + \underbrace{\frac{∂}{∂T} V (P, T)}_{V α})_{|_{P =P̂(T)}}

und daraus schließlich:

α(P_{0}, T_{0}) = β(V_{0}, T_{0}) γ(P_{0}, T_{0}) P_{0} , wobei: V_{0} =^{def} V (P_{0}, T_{0}) .

4.1.3 Taylor-Entwicklung

Für stetig differenzierbare Funktionen f(t), g(t) und beliebige^{12} t_{1}, t_{2} ∈ ℝ gilt

f(t)g(t)|_{t=t_{1}}^{t=t_{2}}  =^{def} f(t_{2})g(t_{2}) − f(t_{1})g(t_{1})
=_{(3.53)} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{dt}(f(t)g(t)) dt
=_{Produktr.} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(ḟ(t) g(t) + f(t) ġ(t)) dt

und somit die Formel für partielle Integration :

∫_{t_{1}}^{t_{2}} ḟ(t)g(t) dt = f(t)g(t)|_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} − ∫_{t_{1}}^{t_{2}} f(t)ġ(t) dt .  (4.11)

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12Die physikalische Dimension der t_{1}, t_{2} ist hier ohne Belang.

Daraus ergibt sich für (n+1)-mal stetig differenzierbares F (t) , n ∈ ℤ_{+} , die Taylor-Entwicklung^{13}

\begin{aligned}F (t_{2}) & = & ∑_{ν=0}^{n} \frac{1}{ν!}(t_{2} − t_{1})^{j} F^{(ν)}(t)_{|_{t=t_{1}}} \\ & & +\frac{1}{n!} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(t_{2} − t)^{n}F^{(n+1)}(t) dt ∀ t_{1}, t_{2} ∈ ℝ . \end{aligned}  (4.12)

von F (t_{2}) um die Stelle t_{1} herum.

Beweis durch vollständige Induktion:

1. Für n = 0 folgt (4.12) direkt aus (3.53).

2. Wenn die Formel (4.12) bereits für n bewiesen ist, folgt sie daraus für n + 1 anstelle von n mit

\frac{1}{n!} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(t_{2} − t)^{n}F^{(n+1)}(t) dt

=  − ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{d}{dt} \frac{(t_{2} − t)^{n+1}}{(n + 1)!} ) F^{(n+1)}(t) dt
=_{part. Int.} −\frac{(t_{2} − t)^{n+1}}{(n + 1)!} F^{(n+1)}(t)|_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} + \frac{1}{(n + 1)!} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(t_{2} − t)^{n+1}F^{(n+1+1)}(t) dt .

Für beliebig oft stetig differenzierbares F (t) ergibt sich^{14} aus (4.12):

\frac{1}{n!} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(t_{2} − t)^{n}F^{(n+1)}(t) dt ⟶_{n→∞} 0

⟹ F (t + △t) = exp(△t \frac{d}{dt})F (t) (Taylor Reihe)
=^{def} ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (Δt \frac{d}{dt})^{ν} F (t) .

(4.13)

Warnungen:

1. Wenn F (t) beliebig oft stetig differenzierbar ist, folgt daraus noch nicht, daß exp(△t \frac{d}{dt})F (t) für hinreichend kleines |Δt| konvergiert!

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13Wir benutzen die übliche Schreibweise

F^{(ν)}(t) =^{def} (\frac{d}{dt})^{ν} F (t) .

14Setze t_{1} = t und t_{1} − t_{2} = △t.

2. Selbst wenn z.B. exp(△t \frac{d}{dt})F (0) für hinreichend kleines |Δt| konvergiert, kann es passieren, daß

F (Δt) ≠ exp(△t \frac{d}{dt})F (0) ∀ t > 0

(siehe dazu Lemma 9.1.7 von (Lücke, eine)).

Anmerkung: Funktionen F (t) mit

F (t + Δt) = exp(△t \frac{d}{dt})F (t) für hinr. kleine |Δt|

nennt man (an der Stelle t) analytisch.

Viele Differentialgleichungen lassen sich mithilfe der Taylor-Entwicklung systematisch lösen.

Beispiele:

(i) Lösungen von

t_{0} ḟ(t) = f(t)  (4.14)

sind offensichtlich beliebig oft differenzierbar, die Konvergenz der Taylor-Reihe ist offensichtlich und wegen

\frac{1}{n!} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(t_{2} − t)^{n} (\frac{d}{dt})^{n+1} f(t) dt

=_{Mittelwerts.} \frac{1}{n!} (\frac{d}{dt′} )^{n+1} f(t′) ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(t_{2} − t)^{n} dt

= \frac{1}{(n + 1)!} (\frac{t_{2} − t_{1}}{t_{0}} )^{n+1} (\frac{d}{dt′} )^{n+1} f(t′) für geeign. t′

konvergiert das Restglied (Integralausdruck) in (4.12) gegen Null. Es gilt also (4.13) und nimmt für t = 0 nach (4.14) die Form

f(△t) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{j!} (\frac{△t}{t_{0}})^{j} f(0)

an. Folglich ist f(t) = exp (\frac{t}{t_{0}} ) die eindeutige Lösung von (4.14)

zum Anfangswert f(0) = 1.

102 KAPITEL 4. SKALAR- UND VEKTORFELDER

(ii) Entsprechend^{15} erhält man f(t) = cos (ω_{0}t) resp. f(t) = sin (ω_{0}t)

als eindeutige Lösung der Oszillatorgleichung

f̈(t) + (ω_{0})^{2}f(t) = 0

zu den Anfangswerten

f(0) = 1 , ḟ(0) = 0

resp.

f(0) = 0 , ḟ(0) = ω_{0} .

Mit

\frac{d}{dt}Φ (x + \frac{t}{t_{0}} a) =_{Def. 4.2} (L_{\frac{a}{t_{0}}} Φ) (x + \frac{t}{t_{0}} a) =_{(4.1)} \frac{1}{t_{0}} (L_{a} Φ) (x + \frac{t}{t_{0}} a)

folgt aus (4.12) für t_{1} = 0

Φ (x + \frac{t_{2}}{t_{0}} a)

= ∑_{ν=0}^{n} \frac{1}{ν!} (\frac{t_{2}}{t_{0}} )^{ν} ((L_{a})^{ν} Φ)(x) + \frac{1}{n!} ∫_{0}^{t_{2}} \frac{1}{t_{0}} (\frac{t_{2} − t}{t_{0}})^{n} ((L_{a})^{n+1} Φ) (x + \frac{t}{t_{0}} a) dt

und somit nach Variablen-Substitution t ↦ λ(t) = t/t_{0} entspr. (3.92) für t_{2} = t_{0} :

Φ(x + a) = ∑_{ν=0}^{n} \frac{1}{ν!}((L_{a})^{ν} Φ)(x) + \frac{1}{n!} ∫_{0}^{1}(1 − λ)^{n} ((L_{a})^{n+1}Φ) (x + λa) dλ . (4.15)

Für beliebig oft stetig differenzierbares Φ(x) gilt also

\frac{1}{n!} ∫_{0}^{t_{2}} \frac{1}{t_{0}} (\frac{t_{2} − t}{t_{0}})^{n} ((L_{a})^{n+1} Φ) (x + \frac{t}{t_{0}} a) dt ⟶_{n→∞} 0

⟹ Φ (x + a) = (exp(L_{a}Φ))(x) =^{def} ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!}((L_{a})^{ν} Φ)(x) .

(4.16)

Aus (4.3) und

grad Φ(x^{1}b_{1} + x^{2}b_{2} + x^{3}b_{3}) =_{(4.3),(4.8)} ∑_{j=1}^{3} b^{j} \frac{∂}{∂x^{j}} Φ(x^{1}b_{1} + x^{2}b_{2} + x^{3}b_{3})

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15Beweis als Übungsvorschlag.

folgt (L_{a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}}Φ) (x^{1}b_{1} + x^{2}b_{2} + x^{3}b_{3})

= (a^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} + a^{2} \frac{∂}{∂x^{2}} + a^{3} \frac{∂}{∂x^{3}} ) Φ(x^{1}b_{1} + x^{2}b_{2} + x^{3}b_{3}) .

(4.17)

Daher ist (4.16) gleichbedeutend mit:

\begin{matrix}\frac{1}{n!} ∫_{0}^{t_{2}} \frac{1}{t_{0}} (\frac{t_{2} − t}{t_{0}})^{n}(a^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} + a^{2} \frac{∂}{∂x^{2}} + a^{3} \frac{∂}{∂x^{3}} )^{n+1}Φ(x^{1} + λa^{1}, x^{2} + λa^{2}, x^{3} + λa^{3}) dt ⟶_{n→∞} 0 \\ ⟹ Φ(x^{1} + a^{1}, x^{2} + a^{2}, x^{3} + a^{3}) = exp(a^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} + a^{2} \frac{∂}{∂x^{2}} + a^{3} \frac{∂}{∂x^{3}} )Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) . \end{matrix}

(4.18)

Eine entsprechende Formel gilt natürlich für die Taylor-Entwicklung von Funktionen von mehr als drei Veränderlichen.

Bei der Berechnung von (a^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} + a^{2} \frac{∂}{∂x^{2}} + a^{3} \frac{∂}{∂x^{3}} )^{ν} erhebt sich die Frage, wann

partielle Ableitungen miteinander vertauschbar sind. Dazu:

Lemma 4.1.5 Sei f(q_{1}, q_{2}) eine 2× stetig differenzierbare Funktion der Veränderlichen q_{1}, q_{2} . Dann gilt:

\frac{∂}{∂q_{1}} \frac{∂}{∂q_{2}} f(q_{1}, q_{2}) = \frac{∂}{∂q_{2}} \frac{∂}{∂q_{1}} f(q_{1}, q_{2})

für alle q_{1}, q_{2} .

Beweisskizze: Die Behauptung ergibt sich durch 2-fache Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf

\begin{matrix}(f(q_{1} + ϵ_{1}, q_{2} + ϵ_{2}) − f(q_{1}, q_{2} + ϵ_{2})) − (f(q_{1} + ϵ_{1}, q_{2}) − f(q_{1}, q_{2})) \\ = (f(q_{1} + ϵ_{1}, q_{2} + ϵ_{2}) − f(q_{1} + ϵ_{1}, q_{2})) − (f(q_{1}, q_{2} + ϵ_{2}) − f(q_{1}, q_{2})) \end{matrix}

in beiden möglichen Reihenfolgen.

Mit (4.7) (bzw. (4.1) im Falle a ∝ b) ergibt sich daraus die Folgerung 4.1.6

Gegeben: (i) 2× stetig differenzierbares Skalarfeld Φ , (ii) Vektoren a, b .

Behauptung: (L_{a} (L_{b}Φ)) (x) = (L_{b} (L_{a}Φ)) (x) .

4.2 Wegintegrale

4.2.1 Definitionen

Ein Massenpunkt m bewege sich unter dem Einfluß eines Kraftfeldes F(x) sowie weiterer Zusatzkräfte. Die resultierende Ortsvektorfunktion sei x(t).

Während des Zeitintervalls [t_{1}, t_{2}] verrichtet dann das Kraftfeld F(x) an m die Arbeit^{16}

∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ(t) · F(x(t)) dt .

Man erkennt leicht, daß diese Arbeit nur von dem Wegstück

C =^{def} {x(t) : t ∈ [t_{1}, t_{2}]}

sowie der Durchlaufrichtung, nicht dagegen vom genaueren Bewegungsablauf abhängt:^{17}

Lemma 4.2.1 Seien F(x) ein stetig differenzierbare Vektorfeld, y(t) eine stetig differenzierbare Vektorfunktion und t(t′) stetig differenzierbare Zeit-wertige Funktion der Zeit t′. Mit

y(t′) =^{def} x(t(t′)) , t_{1} =^{def} t(t′_{1}) , t_{2} =^{def} t(t′_{2})

gilt dann für beliebige Zeitpunkte t′_{1}, t′_{2} :

∫_{t′_{1}}^{t′_{2}} ẏ(t′) · F(y(t′)) dt′ = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ(t) · F(x(t)) dt .

Beweisskizze: Da die Funktion ẋ(t) · F(x(t)) von t voraussetzungsgemäß stetig ist,

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16Vergleiche Abschnitt 3.4.1.

17Man beachte Folgerung 4.2.3. besitzt sie eine Stammfunktion^{18} f(t) . Dafür gilt

∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ(t) · F(x(t)) dt =_{(3.53)} f(t_{2}) − f(t_{1})
=  f(t(t′_{2})) − f(t(t′_{1}))
=_{(3.53)} ∫_{t′_{1}}^{t′_{2}} (\frac{d}{dt′} f(t(t′))) dt′
=_{Kettenr.} ∫_{t′_{1}}^{t′_{2}} \underbrace{(\frac{d}{dt′} t(t′)) ẋ(t(t′))}_{=_{Kettenr.} ẏ(t′)} ·F(\underbrace{x(t(t′))}_{=y(t′)}) dt′ .

Diese Überlegungen führen auf die folgende Definition:

Definition 4.2.2 Als einfaches Wegstück bezeichnen wir eine streng geordnete^{19} Menge C von Ortsvektoren, für die eine einfache Parametrisierung existiert; d.h. eine stetig differenzierbare Ortsvektorfunktion x(t) sowie ein Zeitintervall [t_{1}, t_{2}] (t_{1} ≠ t_{2}) mit:

(i) C =^{def} {x(t) : t ∈ [t_{1}, t_{2}]} ,

(ii) ẋ(t) ≠ 0 für alle t,

(iii) t_{1} ≤ τ_{1} < τ_{2} ≤ t_{2} ⟹ x(τ_{1}) ≺ x(τ_{2}) .

Man bezeichnet x(t_{1}) als den Anfangspunkt und x(t) als den Endpunkt von C.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; t_{1}; t_{2}; t; x(t); C; P_{0}]

Folgerung 4.2.3

Gegeben: (i) einfaches Wegstück C, (ii) einfache Parametrisierungen (x(t), t_{1}, t_{2}) und (y(t′), t′_{1}, t′_{2}) von C.

Behauptung: Es existiert eine stetig differenzierbare, Zeit-wertige Funktion t(t′) mit

t_{1} = t(t′_{1}) , t_{2} = t(t′_{2})

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18Beachte Fußnote 20.

19Die Ordnungsrelation sei mit ≺ bezeichnet.

und

y(t′) = x(t(t′)) ∀ t′ .

Beweisskizze: Aus den Voraussetzungen (i) und (ii) folgt die Existenz einer über [t′_{1}, t′_{2}] streng monoton wachsenden, stetigen Funktion t(t′) mit

y(t′) = x(t(t′)) .

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existieren daher zu beliebigen Zeitpunkten τ_{1}, τ_{2} Zwischenzeitpunkte τ̂, τ̂′ mit^{20}

ẏ(τ_{1}) · ẏ(τ̂) = ẏ(τ_{1}) · \frac{y(τ_{2}) − y(τ_{1})}{τ_{2} − τ_{1}}

= ẏ(τ_{1}) · \frac{x(t(τ_{2})) − x(t(τ_{1}))}{τ_{1} − τ_{2}}
= \frac{t(τ_{2}) − t(τ_{1})}{τ_{2} − τ_{1}} ẏ(τ_{1}) · ẋ(t(τ̂′)) .

Durch Grenzbetrachtung τ_{2} → τ_{1} erkennt man daraus mit Bedingung (ii) von Definition 4.2.2, daß t(t′) über [t′_{1}, t′_{2}] stetig differenzierbar ist.

Definition 4.2.4 Seien F(x) ein stetiges Vektorfeld und C ein einfaches Wegstück. Dann bezeichnet man den nach Lemma 4.2.1 und Folgerung 4.2.3 von der speziellen Wahl der einfachen Parametrisierung (x(t), t_{1}, t_{2}) unabhängigen Ausdruck

∫_{C} F(x) · dx =^{def} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} F(x(t)) · ẋ(t) dt

als das Wegintegral von F(x) über C.

Anmerkungen:

(i) Anstelle des Begriffs Wegintegral werden oft auch die Begriffe Linienintegral oder Kurvenintegral benutzt.

(ii) Die Wahl der Zeit t als Integrationsparameter ist natürlich mathematisch belanglos und entspricht lediglich der physikalischen Motivation.

(iii) Als Wegintegral eines Skalarfeldes Φ(x) definiert man mitunter

∫_{C} Φ(x) dl_{x} =^{def} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} Φ(x(t)) \underbrace{|ẋ(t)|dt}_{=dl_{x}} = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{ẋ(t)}{|ẋ(t)|}Φ(x(t)))·ẋ(t) dt ,

(4.19)

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20Das innere Produkt mit ẏ(τ_{1}) ist notwendig, weil der Mittelwertsatz nicht für Vektor-wertige Funktionen gilt.

was natürlich wiederum von der speziellen Wahl der Parametrisierung unabhängig ist.

4.2.2 Eigenschaften des Wegintegrals

Aus Definition 4.2.4 und der Linearitätseigenschaft (3.54) für gewöhnliche Integrale erkennt man sofort folgende Linearitätseigenschaft des Wegintegrals:

∫_{C} (αF_{1}(x) + βF_{2}(x)) · dx = α ∫_{C} F_{1}(x) · dx + β ∫_{C} F_{2}(x) · dx .  (4.20)

Entsprechend ergibt sich aus dem Mittelwertsatz für gewöhnliche Integrale derjenige für Wegintegrale:

Lemma 4.2.5

Gegeben: (i) stetiges Vektorfeld F(x) , (ii) einfaches Wegstück C, (iii) einfache Parametrisierung (x(t), t_{1}, t_{2}) von C,

Behauptung: Für geeignetes x′ ∈ C gilt

∫_{C} F(x) · dx = |C| t(x′) · F(x′) ,

wobei

|C| =^{def} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |ẋ(t)| dt

die Weglänge von C und

t(x(t)) =^{def} \frac{ẋ(t)}{|ẋ(t)|}

den Bahntangenten-Vektor am Punkt x(t) bezeichnet.

Daraus ergibt sich unmittelbar die Abschätzung

|∫_{C} F(x) · dx| ≤ |C| sup_{x∈C} |F(x)| .  (4.21)

Anmerkungen:

(i) Nach (4.20) und (4.21) ändert sich das Wegintegral also wenig, wenn man das Vektorfeld F(x) ‘wenig’ verändert.

(ii) In Abschnitt 4.3.4 werden wir sehen, daß sich das Wegintegral eines Vektorfeldes auch dann nur wenig ändert, wenn man das Wegstück C ‘wenig’ deformiert.

(iii) Die Stetigkeitseigenschaften (i) und (ii) sollte das Wegintegral auch besitzen, um physikalisch brauchbar zu sein.

Wenn C_{1}, …, C_{n} einfache Wegstücke sind, für die der Endpunkt von C_{ν} jeweils mit dem Anfangspunkt von C_{ν+1} übereinstimmt, dann bezeichnet man mit C_{1} + …+C_{n} das aus C_{1}, …, C_{n} zusammengesetzte Wegstück entsprechender Orientierung (Durchlaufrichtung):

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; C_{n}; C_{2}; C_{1}; C_{1} + C_{2} + … + C_{n}]

Dabei kann der zusammengesetzte Weg durchaus geschlossen sein, d.h. der Anfangspunkt von C_{1} mit dem Endpunkt von C_{n} übereinstimmen. Dann macht es keinen Sinn mehr, C_{1} + … + C_{n} Anfangs- und Endpunkt zuzuordnen. Falls C_{1} + … + C_{n} wieder ein einfaches Wegstück ist (also ohne Knickstellen, ohne Überschneidungen und nicht geschlossen), dann gilt offensichtlich:

∫_{C_{1}+...+C_{n}} F(x) · dx = ∫_{C_{1}} F(x) · dx + … + ∫_{C_{n}} F(x) · dx .  (4.22)

Andernfalls nimmt man naheliegenderweise die rechte Seite von (4.22) als Definition für die linke.

Kehrt man bei einem (evtl. zusammengesetzten) Wegstück C die Orientierung um, so ergibt sich wiederum ein Wegstück, das man mit −C bezeichnet.^{21} Mit dieser Definition gilt:^{22}

∫_{−C} F(x) · dx = − ∫_{C} F(x) · dx .  (4.23)

4.2.3 Wegintegrale über konservative Vektorfelder

Das Wegintegral ∫_{C} F(x) · dx war so definiert, daß es für ein Kraftfeld F(x), das auf einen Massenpunkt m wirkt, der längs C bewegt wird, die Arbeit angibt, die

Version vom 26. März 2009

21Wenn (x(t), t_{1}, t_{2}) eine Parametrisierung von C ist, dann ist also (x′(t) = x(t_{2} − t), 0, t_{2} − t_{1}) eine Parametrisierung von −C.

22Aber: ∫_{C} Φ(x) dl_{x} = ∫_{−C} Φ(x) dl_{x} .

das Feld an m während dessen Bewegung vom Anfangs- zum Endpunkt von C verrichtet.^{23} Wenn F(x) konservativ ist, also von der Form

F(x) = −grad V (x) ,

ergibt sich entsprechend zur Ableitung des einfachen Energiesatzes (3.69):

− ∫_{C} F(x) · dx = V (x_{2}) − V (x_{1}) ,

wobei x_{1} den Ortsvektor des Anfangs- und x_{2} den des End-Punktes von C bezeichnet. Also:

Die Arbeit, die man gegen ein konservatives Kraftfeld bei Verschiebung (mit beliebigem Geschwindigkeitsverlauf) verrichten muß, stimmt mit der Änderung der zugehörigen potentiellen Energie überein.

Mathematisch formuliert:

Lemma 4.2.6

Gegeben: (i) stetig differenzierbares Skalarfeld Φ(x) , (ii) einfaches Wegstück C mit Anfangspunkt x_{1} und Endpunkt x_{2} .

Behauptung: ∫_{C}(grad Φ(x)) · dx = Φ (x_{2}) − Φ (x_{1}) .

Beweis: Nach Definition 4.2.2 existiert eine einfache Parametrisierung (x(t), t_{1}, t_{2}) von C mit

x_{1} = x(t_{1}) , x_{2} = x(t_{2}) .  (4.24)

Nach Definition 4.2.4 gilt damit

∫_{C}(grad Φ(x)) · dx = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ(t) · grad Φ(x(t)) dt
=_{(4.5)} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(\frac{d}{dt}Φ(x(t))) dt
=_{Haupts.} Φ(x(t_{2})) − Φ(x(t_{2})) ,

woraus mit (4.24) die Behauptung folgt.

Version vom 26. März 2009

23Natürlich können dabei zusätzliche Kräfte an m angreifen.

Da nach Lemma 4.2.6 der Wert des Wegintegrals über ein konservatives Vektorfeld (außer vom Feld) nur von Anfangs- und Endpunkt des (als einfach vorausgesetzten) Wegstücks abhängt, ist die Schreibweise

∫_{x_{1}}^{x_{2}} F(x) · dx =^{def} ∫_{von x_{1} nach x_{2}^{bel. einf. Weg}} F(x) · dx für konservative F(x)  (4.25)

sinnvoll. Es gilt sogar:

Lemma 4.2.7 Ein stetiges Vektorfeld F(x) ist genau dann konservativ, wenn für je zwei einfache Wegstücke C, C′ aus der Übereinstimmung der Anfangs- und Endpunkte stets

∫_{C} F(x) · dx = ∫_{C′} F(x) · dx

folgt.

Beweis: Es sei zunächst angenommen, daß für je zwei einfache Wegstücke C, C′ aus der Übereinstimmung der Anfangs- und Endpunkte stets

∫_{C} F(x) · dx = ∫_{C′} F(x) · dx

folgt. Dann ist die Definition

Φ(x) =^{def} − ∫_{0}^{x} F(x′) · dx′

im Sinne von (4.25) erlaubt und es gilt

− (L_{v}Φ) (x) =_{Def. 4.1.2} (\frac{d}{dξ} ∫_{0}^{x+ξv} F(x′) · dx′)_{|_{ξ=0}}
=_{(4.22)} (\frac{d}{dξ} ∫_{x}^{x+ξv} F(x′) · dx′)_{|_{ξ=0}}
=_{Def. 4.2.4} (\frac{d}{dξ} ∫_{0}^{ξ} v · F(x + ξ′v) dξ′)_{|_{ξ=0}}
=_{Haupts.} v · F(x)

für alle v. Nach (4.3) folgt daraus

F(x) = −grad Φ(x) ,

d.h. die Konservativität von F(x). Setzt man umgekehrt voraus, daß F(x) konservativ ist, so folgt die entsprechende Wegunabhängigkeit direkt aus Lemma 4.2.6.

Mit (4.22) und (4.23) ergibt sich aus Lemma 4.2.7 unmittelbar die

Folgerung 4.2.8 Ein stetiges Vektorfeld F(x) ist genau dann konservativ, wenn

∫_{C} F(x) · dx = 0 für jeden geschlossenen Weg C

(der betrachteten Klasse) gilt.

Eine anschauliche Konsequenz der Konservativität ergibt sich aus der folgenden

Definition 4.2.9 Unter einer Feldlinie eines Vektorfeldes F(x) versteht man eine glatte, orientierte Kurve maximaler Länge, auf der F(x) nirgends verschwindet und in Richtung der Kurventangente zeigt.

Da sich also eine Feldlinie von F(x) stets aus einfachen Wegstücken C zusammensetzt, für deren einfache Parametrisierungen (x(t), t_{1}, t_{2}) stets ẋ(t)·F (x(t)) > 0 gilt, ergibt sich aus Folgerung 4.2.8 und Definition 4.2.4 unmittelbar:

Folgerung 4.2.10 Ein konservatives Vektorfeld kann keine geschlossene Feldline besitzen.

Warnung: Aus dem Fehlen geschlossener Feldlinien folgt umgekehrt noch nicht^{24} die Konservativität des Vektorfeldes!

4.2.4 Beispiel: Entropie

Vorbemerkung: Für die Abschnitte 4.1 und 4.1 war der Bezug auf den 3-dimensionalen Raum der Ortsvektoren nicht wesentlich. Im folgenden verwenden wir die entsprechende Übertragung auf den 2-dimensionalen Fall. Dabei erlauben wir uns außerdem die Verwendung von Vektoren mit Komponenten unterschiedlicher physikalischer Dimension.^{25}

Sei S ein geschlossenes thermodynamisches System, dessen Gleichgewichtszustände eindeutig durch den Druck P und das Volumen V charakterisiert seien.

Version vom 26. März 2009

24Siehe Schluß von Abschnitt 4.2.4.

25Da die Addition unterschiedlicher physikalischer Größen grundsätzlich vermieden wird, entstehen dadurch keine Probleme.

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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ϑ_{2}; ϑ_{1}; φ_{1}; φ_{2}; G′; e_{1}; e_{3}; 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= μ \underbrace{∫_{0}^{R} r^{4} dr}_{= \frac{1}{5} R^{5}} \underbrace{∫_{0}^{π} sin^{3} ϑ dϑ}_{\begin{matrix}= & − cos ϑ + \frac{1}{3} cos^{3} ϑ|_{0}^{π} \\ = & \frac{4}{3} \end{matrix}} \underbrace{∫_{0}^{2π} dφ}_{=2π}

Resultat:

θ_{t}(e, e) = \frac{8}{15} πR^{5} μ
=_{Aufg. (57)} \frac{2}{5} R^{2} Gesamtmasse .

Aus (4.41), (4.42) folgt – bei gleicher physikalischer Dimension von ω_{1} und ω_{2} – allgemein:

θ_{t}(ω_{1}, ω_{2}) = \frac{1}{4} (θ_{t}(ω_{1} + ω_{2}, ω_{1} + ω_{2}) − θ_{t}(ω_{1} − ω_{2}, ω_{1} − ω_{2})) .  (4.44)

Version vom 26. März 2009

40Vgl. Übungsaufgabe 57.

Der Trägheitstensor ist also stets durch die Trägheitsmomente festgelegt. Für obiges Beispiel folgt aus (4.44) speziell:

θ_{t}(ω_{1}, ω_{2})  =  \frac{1}{4} (|ω_{1} + ω_{2}|^{2} θ_{\frac{ω_{1}+ω_{2}}{|ω_{1}+ω_{2}|}} − |ω_{1} − ω_{2}|^{2} θ_{\frac{ω_{1}−ω_{2}}{|ω_{1}−ω_{2}|}} )
=_{Kugelsymm.} \frac{1}{4} (|ω_{1} + ω_{2}|^{2} − |ω_{1} − ω_{2}|^{2}) θ_{e_{3}}
=  ω_{1} · ω_{2} θ_{e_{3}} .

4.4.3 Eigenschaften des Volumenintegrals

Aus Definition 4.4.3 und der Linearitätseigenschaft (3.54) für gewöhnliche Integrale erkennt man sofort folgende Linearitätseigenschaft des Volumenintegrals:

∫_{G} (αρ_{1}(x) + βρ_{2}(x)) dV_{x} = α ∫_{G} ρ_{1}(x) dV_{x} + β ∫_{G} ρ_{2}(x) dV_{x} .  (4.45)

Entsprechend ergibt sich durch 3-fache Anwendung des gewöhnlichen Mittelwertsatzes der Integralrechnung der Mittelwertsatz für Volumenintegrale:

Lemma 4.4.7

Gegeben: (i) stetiges Skalarfeld ρ(x) , (ii) einfaches Raumgebiet G.

Behauptung: Es existiert ein x′ ∈ G mit

∫_{G} ρ(x) dV_{x} = |G| ρ(x′) ,

wobei

|G| =^{def} ∫_{G} dV_{x}

der Rauminhalt von G ist.

Hieraus folgt direkt die Abschätzung:

|∫_{G} ρ(x) dV_{x}| ≤ |G| sup_{x∈G} |ρ(x)| .  (4.46)

Anmerkung: Die Anmerkungen (i)–(iii) von 4.2.2 bzgl. der Stetigkeitseigenschaften des Wegintegrals gelten für das Volumenintegral entsprechend.

Seien G_{1} und G_{2} einfache Raumgebiete mit folgenden Eigenschaften:

(i) Je zwei Raumgebiete G_{j}, G_{k} haben höchstens Randpunkte gemeinsam.

(ii) Die Vereinigung der Raumgebiete G_{1}, …, G_{n} ist eine ‘vernünftig’ zusammenhängende Menge.

Unter diesen Bedingungen bezeichnet man mit G_{1} + … + G_{n} das zusammengesetzte Raumgebiet:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.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Als Rand ∂ (G_{1} + … + G_{n}) bezeichnet man das (geschlossene) orientierte Flächenstück, das sich aus all den Randstücken zusammensetzt, die nicht in zwei verschiedenen Raumgebieten mengenmäßig enthalten sind. Falls G_{1} + … + G_{n} wieder ein einfaches Raumgebiet ist, ist die neue Definition des Randes äquivalent zur alten Definition 4.4.6. Außerdem gilt dann offensichtlich:

∫_{G_{1}+...+G_{n}} ρ(x) dV_{x} = ∫_{G_{1}} ρ(x) dV_{x} + … + ∫_{G_{n}} ρ(x) dV_{x} .  (4.47)

Andernfalls nimmt man naheliegenderweise die rechte Seite von (4.47) als Definition für die linke.

4.4.4 Der Satz von Gauß

Es gibt verschiedene physikalische Hinweise auf einen engen Zusammenhang zwischen Volumenintegralen über einfache Gebiete G und Flächenintegralen über deren Rand ∂G:

Erfahrungsgemäß ist z.B. die (bei einem abgeschlossenen System) erhaltene Gesamtladung eine Erhaltungsgröße: Es gibt kein Raumgebiet, in dem Ladung erzeugt oder vernichtet wird. Für eine Ladungsverteilung ρ(x, t) mit der Ladungs-Stromdichte ȷ(x, t) muß also für jedes einfache Raumgebiet G

\frac{d}{dt} \underbrace{∫_{G} ρ(x, t) dV_{x}}_{Gesamtladung in G} + \underbrace{∫_{∂G} ȷ(x, t) · dS_{x}}_{Ladungsstrom durch ∂G} = 0  (4.48)

gelten.^{41}

Version vom 26. März 2009

41Hinreichend schneller Abfall von ȷ im Unendlichen garantiert also \frac{d}{dt} ∫_{ℝ^{3}} ρ(x, t) dV_{x} = 0 .

Ein weiteres Beispiel ist das Gaußsche Gesetz

∫_{∂G} g(x) · dS_{x} = −4πγ ∫_{G} μ(x) dV_{x} ,  (4.49)

wobei γ wieder die Gravitationskonstante bezeichnet und g(x) das von der Massenverteilung (Massendichte) μ(x) erzeugte Gravitationsfeld, d.h.:

g(x) =^{def} \frac{1}{m} \{ \begin{matrix}Schwerkraft, die die gesamte Massenverteilung \\ auf einen bei x befindlichen Test-Massenpunkt m ausübt . \end{matrix}

Dementsprechend liegt der Versuch nahe, allgemein das Oberflächenintegral über den Rand ∂G eines einfachen Raumgebiets auf ein Volumenintegral über G zurückzuführen:

Seien also ȷ(x) ein stetig differenzierbares Vektorfeld, G ein einfaches Raumgebiet und (x(s, t, u), s_{1}, s_{2}, t_{1}, t_{2}, u_{1}, u_{2}) eine 2-mal stetig differenzierbare einfache Parametrisierung von G. Dann gilt:

∫_{∂G} ȷ(x) · dS_{x} = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (∫_{s_{1}}^{s_{2}} \{ȷ (x(s, t, u_{2})) · ((\frac{∂}{∂s}x(s, t, u_{2})) × \frac{∂}{∂t}x(s, t, u_{2}))

− ȷ (x(s, t, u_{1})) · ((\frac{∂}{∂s}x(s, t, u_{1})) × \frac{∂}{∂t}x(s, t, u_{1}))\} ds) dt

+ ∫_{u_{1}}^{u_{2}} (∫_{s_{1}}^{s_{2}} \{ȷ (x(s, t_{2}, u)) · ((\frac{∂}{∂u}x(s, t_{2}, u)) × \frac{∂}{∂s}x(s, t_{2}, u))

− ȷ (x(s, t_{1}, u)) · ((\frac{∂}{∂u}x(s, t_{1}, u)) × \frac{∂}{∂s}x(s, t_{1}, u))\} ds) du

+ ∫_{u_{1}}^{u_{2}} (∫_{t_{1}}^{t_{2}} \{ȷ (x(s_{2}, t, u)) · ((\frac{∂}{∂t}x(s_{2}, t, u)) × \frac{∂}{∂u}x(s_{2}, t, u))

− ȷ (x(s_{1}, t, u)) · ((\frac{∂}{∂t}x(s_{1}, t, u)) × \frac{∂}{∂u}x(s_{1}, t, u))\} dt) du .

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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Mit dem Fundamentalsatz folgt hieraus

∫_{∂G} ȷ(x) · dS_{x} = ∫_{u_{1}}^{u_{2}} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∫_{s_{1}}^{s_{2}} \frac{∂}{∂u} (ȷ · (\frac{∂}{∂s}x × \frac{∂}{∂t}x)) ds dt du
+zykl. Vert. v. s, t, u

und wegen

0 =_{Lemma 4.1.5} \frac{∂}{∂u} (\frac{∂}{∂s}x × \frac{∂}{∂t}x) + zykl. Vert. v. s, t, u

somit:

∫_{∂G} ȷ(x) · dS_{x} = ∫_{u_{1}}^{u_{2}} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∫_{s_{1}}^{s_{2}} (\frac{∂}{∂u}ȷ) · (\frac{∂}{∂s}x × \frac{∂}{∂t}x) ds dt du
+zykl. Vert. v. s, t, u .

(4.50)

Aus Lemma 4.1.3 folgert man leicht^{42}, daß allgemein

\frac{d}{dt}Φ (x(t)) = (L_{v}Φ) (x(t))_{|_{v=ẋ(t)}}

gilt. Mit den Definitionen

b_{1} = b_{1}(s, t, u) =^{def} \frac{∂}{∂u}x(s, t, u) ,
b_{2} = b_{2}(s, t, u) =^{def} \frac{∂}{∂s}x(s, t, u) ,
b_{3} = b_{3}(s, t, u) =^{def} \frac{∂}{∂t}x(s, t, u)

folgt daraus

\frac{∂}{∂u}ȷ(x) = (L_{b_{1}}ȷ) (x) ,
\frac{∂}{∂s}ȷ(x) = (L_{b_{2}}ȷ) (x) ,
\frac{∂}{∂t}ȷ(x) = (L_{b_{3}}ȷ) (x) ,

was zusammen mit (4.50) und (2.29)

∫_{∂G} ȷ(x) · dS_{x} = ∫_{u_{1}}^{u_{2}} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∫_{s_{1}}^{s_{2}} ∑_{k=1}^{3} [b^{k} · (L_{b_{k}}ȷ) (x)] \frac{∂}{∂s}x · (\frac{∂}{∂t}x × \frac{∂}{∂u}x) ds dt du

(4.51)

liefert.

Definition 4.4.8 Sei ȷ(x) ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann bezeichnet man das nach (4.2) von der speziellen Wahl der Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} unabhängige Skalarfeld

div ȷ(x) =^{def} ∑_{k=1}^{3} b^{k} · (L_{b_{k}}ȷ) (x)

als Divergenz von ȷ(x).

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42Man wähle dort eine Orthonormalbasis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} mit b_{1} ∝ ẋ(t) und beachte (4.1).

134 KAPITEL 4. SKALAR- UND VEKTORFELDER

Mit Definition 4.4.8 lautet also unser Resultat (4.51):^{43} Satz 4.4.9 (Satz von Gauß)

Gegeben: (i) stetig differenzierbares Vektorfeld ȷ(x) , (ii) einfaches Raumgebiet G, (iii) Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}}.

Behauptung: ∫_{∂G} ȷ(x) · dS_{x} = . ∫_{G} div ȷ(x) dV_{x}

Mit Lemma 4.4.7 ergibt sich aus dem Satz von Gauß unmittelbar die

Folgerung 4.4.10 Gegeben: (i) stetig differenzierbares Vektorfeld ȷ(x) , (ii) Ortsvektor x_{0} , (iii) Schar einfacher Raumgebiete G_{ϵ} mit lim_{ϵ→0} sup_{x∈G_{ϵ}} |x − x_{0}| = 0 , (iv) Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}}.

Behauptung: div ȷ(x_{0}) = lim_{ϵ→0} \frac{1}{|G_{ϵ}|} ∫_{∂G_{ϵ}} ȷ(x) · dS_{x} .

Die Divergenz läßt sich also als (Volumen-)Dichte der Feldquellen interpretieren.

Z.B. gilt für das Geschwindigkeitsfeld v(x) = ∑_{k=1}^{3} λ_{k} (e_{k} · x) e_{k} eines in die orthogonalen Richtungen e_{1}, e_{2}, e_{3} gleichförmig (rotations- und scherungsfrei) expandierenden Mediums:^{44}

div ∑_{k=1}^{3} λ_{k} (e_{k} · x) e_{k} = λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} .  (4.52)

Nach (4.7) und Definition 4.4.8 gilt für jede (physikalisch) dimensionslose Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2}, e_{3}}:

div ȷ(x) = ∑_{k=1}^{3} \frac{∂}{∂x^{k}} ȷ^{k}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) ,  (4.53)

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43Eigentlich haben wir den Theorem 4.4.9 nur für den Fall bewiesen, daß G eine zweimal stetig differenzierbare einfache Parametrisierung zuläßt (Verwendung von Lemma (4.1.5)). Aufgrund der Stetigkeitseigenschaften der Integrale gilt das Theorem dann aber auch ohne diese Einschränkung.

44Vgl. Übungsaufgabe 61.

falls

x = (\begin{matrix}x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) , ȷ(x) = (\begin{matrix}ȷ^{1}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \\ ȷ^{2}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \\ ȷ^{3}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \end{matrix}) bzgl. \{e_{1}, e_{2}, e_{3}\} .

Ein (stetiges) Vektorfeld ȷ(x) bezeichnet man als quellfrei, falls

∫_{∂G} ȷ(x) · dS_{x} = 0

für jedes einfache Raumgebiet G gilt. Das ist äquivalent^{45} dazu, daß das Oberflächenintegral von ȷ(x) nur vom Rand der Integrationsfläche abhängt (außer vom Feld ȷ selbst). Für stetig differenzierbare ȷ(x) gilt außerdem nach dem Gaußschen Satz und Folgerung 4.4.10:

ȷ(x) quellfrei ⟺ div ȷ(x) = 0 .

(4.54)

Nach dem Gaußschen Satz und Lemma 4.4.7 ist (4.48) äquivalent zur sog. Kontinuitätsgleichung:

\frac{∂}{∂t}ρ(x, t) + div ȷ(x, t) = 0 .  (4.55)

Entsprechend ist das Gaußsche Gesetz (4.49) äquivalent zu

div g(x) = − 4πγ μ(x) .  (4.56)

Die Massendichte stimmt also bis auf einen konstanten Faktor mit der Quelldichte des Gravitationsfeldes überein!

In einfachen Fällen (z.B. für die gewöhnliche Wärmeleitung) ist die Stromdichte eines diffundierenden Mediums proportional zum Dichte-Gefälle:

ȷ(x, t) = − D grad ρ(x, t) ,

D : Diffusionskonstante .

Dann wird die Kontinuitätsgleichung (4.55) zur homogenen Diffusionsgleichung:^{46}

\frac{∂}{∂t}ρ(x, t) = D△ρ(x, t) ,  (4.57)
wobei: △ =^{def} div grad Laplace-Operator .  (4.58)

Schließlich sei noch erwähnt, daß aus dem Satz von Gauß und Lemma 4.4.7 (im Zusammenhang mit (4.27) und (4.28)) die stetige Abhängigkeit des Oberflächenintegrals (für Vektorfelder) von der Oberfläche folgt.

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45Man beachte die Analogie zum Wegintegral konservativer Vektorfelder.

46Mit der rein imaginären ‘Diffusionskonstanten’ D = i\frac{ℏ}{2m} ergibt sich die freie Schrödinger-Gleichung eines Massenpunktes ohne innere Freiheitsgrade.

4.4.5 Die Poissonsche Gleichung

Mit dem Ergebnis von Übungsaufgabe 56 läßt sich für einfache Raumgebiete G leicht zeigen, daß

∫_{∂G} \frac{x − x′}{|x − x′|^{3}} · dS_{x} = \{ \begin{matrix}4π für x′ innerhalb G , \\ 0 für x′ außerhalb G \end{matrix}  (4.59)

gilt; denn wegen

F(x) = \frac{x − x′}{|x − x′|^{3}} für x ≠ x′ ⟹ div F(x) = 0 für x ≠ x′  (4.60)

gilt (4.59) nach dem Satz von Gauß auch dann, wenn G nicht ausgerechnet eine Kugel mit dem Mittelpunkts-Ortsvektor x′ ist. Für

g(x) =^{def} −γ ∫_{ℝ^{3}} μ(x′)\frac{x − x′}{|x − x′|^{3}} dV_{x′}
= \{ \begin{matrix}Gravitationsfeld, das von der \\ Massenverteilung μ(x′) erzeugt wird \end{matrix}

(4.61)

folgt^{47} aus (4.59):

∫_{∂G} g(x) · dS_{x} = −γ lim_{ϵ→0} ∫_{∂G} (∫_{ℝ^{3}\U_{ϵ}(∂G)} μ(x′)\frac{x − x′}{|x − x′|^{3}} dV_{x′}) · dS_{x}
= − γ lim_{ϵ→0} ∫_{ℝ^{3}\U_{ϵ}(∂G)} μ(x′) (∫_{∂G} \frac{x − x′}{|x − x′|^{3}} · dS_{x}) dV_{x′}
= −4πγ ∫_{G} μ(x) dV_{x} .

Das Gaußsche Gesetz (4.49) ist also tatsächlich eine Folge des Gravitationsgesetzes.^{48}

Anmerkung: Die Divergenz von (4.61) liefert gemäß (4.56) und (4.60) ein Beispiel für den Fall, daß sich Differentiation und Integration nicht vertauschen lassen!

Beachtet man andererseits^{49} (4.61) ⟺ g(x) = −grad ϕ(x) ,

wobei: ϕ(x) =^{def} −γ ∫_{ℝ^{3}} \frac{μ(x′)}{|x − x′|} dV_{x′} Gravitationspotential ,

(4.62)

Version vom 26. März 2009

47U_{ϵ}(∂G) bezeichnet—wie allgemein üblich—die ϵ-Umgebung von ∂G :

U_{ϵ}(∂G) =^{def} {x : ∥x − x′∥ < ϵ ∀x′ ∈ ∂G} .

48Vgl. 3.5.2.

49Bei der Berechnung von grad ϕ(x) ist die Vertauschung von Differentiation und Integration erlaubt, weil die Singularität des Integranden nicht so stark ist.

so ergibt sich aus (4.56) und (4.58) die sog. Poissonsche Gleichung

△ ∫_{ℝ^{3}} \frac{μ(x′)}{|x − x′|} dV_{x′} = −4π μ(x)  (4.63)

für räumlich begrenzte μ(x) , die insbesondere für die Elektrodynamik sehr wichtig ist.

4.4.6 Der Satz von Earnshaw

Das Potential Φ(x) gemäß (4.62) ist die einzige Lösung von^{50}

△Φ(x) = 4πγ μ(x)  (4.64)

zu vorgegebenem μ(x), die im Unendlichen verschwindet, d.h. die Bedingung

lim_{R→∞} sup_{|x|>R} |Φ(x)| = 0

erfüllt. Das folgt fast unmittelbar aus dem

Satz 4.4.11 (Satz von Earnshaw)

Gegeben: (i) einfaches Gebiet G, (ii) zweimal stetig differenzierbares Skalarfeld Φ(x), das der sog. Laplace-Gleichung △Φ(x) = 0 überall in G genügt.

Behauptung: Falls Φ(x), im Inneren G \ ∂G von G sein Maximum bzgl. G annimmt, dann ist Φ(x) über G konstant.

Wir beweisen zunächst den folgenden Mittelwertsatz:

Lemma 4.4.12

Gegeben: (i) G, Φ(x) wie im Satz von Earnshaw , (ii) Kugel G′ ⊂ G.

Behauptung: Der Mittelwert von Φ(x_{0}) über die Kugeloberfläche stimmt mit dem Wert im Kugelmittelpunkt überein:

Φ(x_{0}) = \frac{1}{|∂G′|} ∫_{∂G′} Φ(x) |dS_{x}| , wobei x_{0} =^{def} Mittelpunkt von G′ .

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50Vgl. (4.63).

Beweisskizze zu Lemma 4.4.12: Sei x_{0} ∈ G und G_{R} = G′ für geeignetes R > 0 , wobei

G_{r} =^{def} {x : ∥x − x_{0}∥ ≤ r} für r ≥ 0 .

Dann genügt offensichtlich der Nachweis von

f(r) =^{def} \frac{d}{dr} \frac{1}{|∂G_{r}|} ∫_{∂G_{r}} Φ(x) |dS_{x}| = 0 für r ∈ (0, R) .

Zum Beweis hierfür können wir o.B.d.A. x_{0} = 0 annehmen. In Kugelkoordinaten^{51} gilt dann

\frac{d}{dr}f(r)  =  \frac{d}{dr} (\frac{1}{4πr^{2}} ∫_{0}^{2π} (∫_{0}^{π} Φ(x(r, ϑ, φ) r^{2} sin ϑ dϑ) dφ)
=  \frac{1}{4πr^{2}} ∫_{∂G_{r}} grad Φ(x) · dS_{x}
=_{Gauß}  \frac{1}{4πr^{2}} ∫_{G_{r}} △Φ(x) dV_{x}
=_{n. Vorauss.} 0

Beweisskizze zum Satz von Earnshaw: Angenommen, Φ(x) sei im Punkte x_{0} ∈ G \ ∂G maximal. Nach Lemma 4.4.12 muß dann Φ(x) auf der Oberfläche und damit auch innerhalb jeder Kugel mit Zentrum x_{0} konstant sein, die ganz in G liegt. Indem man sich von x_{0} aus durch G bewegt, erkennt man dann, daß Φ(x) im Inneren von G und damit aufgrund der Stetigkeit auf ganz G konstant sein muß.

4.5 Nützliche Formeln

4.5.1 Teilzusammenfassung

Für stetig differenzierbare Skalarfelder Φ(x) gilt:^{52}

(L_{a}Φ) (x) = \frac{d}{dξ} Φ(x + ξa)_{|_{ξ=0}}  (4.65)
= Richtungsableitung , falls |a| = 1 ,

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51Vgl. Beispiel (ii) von 4.3.2. 52Entsprechende Formeln gelten natürlich für Vektorfelder.

L_{a} = ∑_{j=1}^{3} a · b^{j} L_{b_{j}} für jede Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} ,  (4.66)
grad Φ(x) = ∑_{j=1}^{3} b^{j} (L_{b_{j}}Φ) (x) für jede Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} , (4.67)
a · grad Φ(x) = (L_{a}Φ) (x) ,  (4.68)
\frac{d}{dt}Φ (x(t)) = ẋ(t) · grad Φ (x(t)) ,  (4.69)

f(x^{1}, x^{2}, x^{3}) = Φ(x^{1}b_{1} + x^{2}b_{2} + x^{3}b_{3}) , {b_{1}, b_{2}, b_{3}} dimensionslos

⟹ \frac{∂}{∂x^{j}} f(x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (L_{b_{j}}Φ) (x)(x^{1}b_{1} + x^{2}b_{2} + x^{3}b_{3}) für j = 1, 2, 3 .

(4.70)

Entsprechend (4.70) ergibt sich in Verallgemeinerung von (4.69) folgende wichtige Differentiationsregel (verallgemeinerte Kettenregel):

\begin{matrix}\frac{∂}{∂q^{k}} f (x^{1}(q^{1}, …, q^{n′}), …, x^{n}(q^{1}, …, q^{n′})) \\ = ∑_{j=1}^{n} (\frac{∂}{∂q^{k}} x^{j}(q^{1}, …, q^{n′})) \frac{∂}{∂x^{j}} f(x^{1}, …, x^{n})_{|_{x^{l}=x^{l}(q^{1},...,q^{n′})}} \\ für k = 1, …, n′ . \end{matrix}  (4.71)

In entsprechender Verallgemeinerung von (4.15) gilt die Taylor-Entwicklung: Φ(x^{1} + a^{1}, …, x^{n} + a^{n})

= Φ(x^{1}, …, x^{n}) + ∑_{j=1}^{N} \frac{1}{j!} (a^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} + … + a^{n} \frac{∂}{∂x^{n}} )^{j} Φ(x^{1}, …, x^{n})

+\frac{1}{N!} ∫_{0}^{1}(1 − λ)^{N} (a^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} + … + a^{n} \frac{∂}{∂x^{n}} )^{N+1} Φ(x^{1} + λa^{1}, …, x^{n} + λa^{n}) dλ

für N = 1, 2, 3, ….

Für stetig differenzierbare Skalar- und Vektorfelder gilt weiter:

∫_{C} grad Φ(x) · dx = Φ(x)|_{∂C} =^{def} Φ(C-Ende) − Φ(C-Anfang) ,  (4.72)
rot A(x) = ∑_{j=1}^{3} b^{j} × (L_{b_{j}}A) (x) für jede Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} ,(4.73)
∫_{S} rot A(x) · dS_{x} = ∫_{∂S} A(x) · dx ,  Satz von Stokes
div ȷ(x) = ∑_{k=1}^{3} b^{k} · (L_{b_{k}}ȷ) (x) für jede Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} , (4.74)

∫_{G} div ȷ(x) dV_{x} = ∫_{∂G} ȷ(x) · dS_{x} ,  Satz von Gauß
△ ∫_{ℝ^{3}} \frac{μ(x′)}{|x − x′|} dV_{x′} = −4π μ(x) ,  Poisson-Gleichung

F(x) konservativ

⟺ F(x) = −grad Φ(x) für geeignetes Skalarpotential Φ(x)

⟺ ∫_{C} F(x) · dx = 0 für jeden geschlossenen Weg C

⟺ rot F(x) = 0 für alle x ∈ ℝ^{3} ,

(4.75)

B(x) quellfrei

⟺ ∫_{S} B(x) · dS_{x} = 0 für jedes geschlossene Flächenstück S

⟺ div B(x) = 0 für alle x ∈ ℝ^{3}

⟺ B(x) = rot A(x) für geeignetes Vektorpotential A(x) .

(4.76)

Die letzte Äquivalenz in (4.76) folgt aus dem Ergebnis von Übungsaufgabe 65 (bzw. der Herleitung von (4.98)) zusammen mit (4.89).

4.5.2 Algebra des Nabla-Operators

Den nach (4.67) von der speziellen Wahl der Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} unabhängigen formalen Vektor^{53}

∇ =^{def} ∑_{j=1}^{3} b^{j}L_{b_{j}}  (4.77)

nennt man Nabla-Operator. Bei entspr. Interpretation der formalen Vektoroperationen mit ∇ gilt also:

grad Φ(x) = ∇Φ(x) ,  (4.78)
rot A(x) = ∇ × A(x) ,  (4.79)
div ȷ(x) = ∇ · A(x) ,  (4.80)
△ = ∇ · ∇ ,  Laplace-Operator .  (4.81)

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53Man faßt also die Ableitungen L_{b_{j}} als Entwicklungskoffizienten von ∇ bzgl. {b^{1}, b^{2}, b^{3}} auf.

Für Orthonormalbasen {e_{1}, e_{2}, e_{3}} gilt entsprechend (4.70)

∇ = ( \frac{∂}{∂x^{1}} ; \frac{∂}{∂x^{2}} ; \frac{∂}{∂x^{3}} ) bzgl. (e_{1}, e_{2}, e_{3})  (4.82)

und somit:

∇Φ(x) = ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂x^{1}} Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \\ \frac{∂}{∂x^{2}} Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \\ \frac{∂}{∂x^{3}} Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \end{matrix} ) ,  (4.83)

∇ × A(x) = ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂x^{2}} A^{3}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) − \frac{∂}{∂x^{3}} A^{2}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \\ \frac{∂}{∂x^{3}} A^{1}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) − \frac{∂}{∂x^{1}} A^{3}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \\ \frac{∂}{∂x^{1}} A^{2}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) − \frac{∂}{∂x^{2}} A^{1}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) \end{matrix} )  (4.84)

falls (e_{1}, e_{2}, e_{3}) rechtshändig
∇ · ȷ(x) = \frac{∂}{∂x^{1}} ȷ^{1}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) + \frac{∂}{∂x^{2}} ȷ^{2}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) + \frac{∂}{∂x^{3}} ȷ^{3}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) , (4.85)

△Φ(x) = ((\frac{∂}{∂x^{1}} )^{2} + (\frac{∂}{∂x^{2}} )^{2} + (\frac{∂}{∂x^{3}} )^{2}) Φ(x^{1}, x^{2}, x^{3}) .  (4.86)

Formeln der Vektor-Algebra behalten offensichtlich ihre Gültigkeit, wenn in ihnen einige Vektoren durch ∇ ersetzt werden und nur derjenige, der in allen Termen ganz rechts steht,^{54} durch ein (hinreichend gutartiges) Vektorfeld. So ergibt sich z.B. aus dem Entwicklungssatz (2.23) die Formel

∇ × (∇ × A(x)) = ∇ (∇ · A(x)) − △A(x) .  (4.87)

Aus der Antisymmetrie des Vektorproduktes ergibt sich entsprechend^{55}

∇ × (∇Φ(x)) ,  (4.88)

sowie unter zusätzlicher Berücksichtigung der Zyklizität des Spatproduktes:^{56}

∇ · (∇ × F(x)) = 0 .  (4.89)

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54Sofern ein solcher Vektor existiert.

55Strikte Anwendung der beschriebenen Regel würde auf (∇ × ∇) e · F(x) = 0 führen. (4.88) folgt natürlich auch direkt aus (4.75).

56Das Verschwinden von Volumenintegralen über die linke Seite von (4.89) folgt auch aus den Sätzen von Gauß und Stokes sowie (4.72).

Bei Formeln, in denen Produkte von Feldern auftreten, sind die Produktregeln (3.27– 3.29) der Differentiation zu beachten. Dementsprechend gilt:^{57}

∇ (Φ_{1}(x)Φ_{2}(x)) = Φ_{1}(x)∇Φ_{2}(x) + Φ_{2}(x)∇Φ_{1}(x) ,  (4.90)
∇ · (Φ(x)F(x)) = Φ(x)∇ · F(x) + F(x) · ∇Φ(x) ,  (4.91)
∇ × (Φ(x)F(x)) = Φ(x)∇ × F(x) − F(x) × ∇Φ(x) ,  (4.92)

∇ (F(x) · G(x))

=

(F(x) × (∇ × G(x)) + (F(x) · ∇) G(x))
+(G(x) × (∇ × F(x)) + (G(x) · ∇) F(x)) ,

(4.93)

∇ × (F(x) × G(x))

=

F(x) (∇ · G(x)) − (F(x) · ∇) G(x)
−(G(x) (∇ · F(x)) − (G(x) · ∇) F(x)) ,

(4.94)

∇ · (F(x) × G(x)) = G(x) · (∇ × F(x)) − F(x) · (∇ × G(x)) . (4.95)

Merkregel: In (4.90)–(4.95) stehen rechts jeweils zwei Ausdrücke, in denen ∇ stets nur auf eines der Felder wirkt, und die jeder für sich mit der linken Seite übereinstimmen würden, wenn ∇ ein gewöhnlicher Vektor wäre.

4.5.3 Konstruktion von Vektorpotentialen

Aufgabe: Sei B(x) ein quellfreies stetiges Vektorfeld. Man konstruiere dazu ein Vektorpotential, d.h. ein stetig differenzierbares Vektorfeld A(x) mit

rot A(x) = B(x) .  (4.96)

Poincaré-Konstruktion: Gemäß der Folgerung 4.3.9 zum Satz von Stokes ist (4.96) äquivalent dazu, daß

∫_{C} A(x) · dx = ∫_{S} B(x) · dS_{x} , C = ∂S  (4.97)

für jedes einfache Flächenstück S gilt. Da B(x) divergenzfrei vorausgesetzt ist, hängt das Flächenintegral über B(x) nach dem Satz von Gauß nur vom berandenden Weg C und nicht vom genaueren Verlauf der Fläche S ab. Somit ist (4.96) äquivalent dazu, daß zu jedem (hinreichend gutartigen) geschlossenen Weg C ein Flächenstück S existiert, für das (4.97) gilt. Zu gegebenem C wählen wir für S zweckmäßig diejenige

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57(4.93) und (4.94) entsprechen wieder dem Entwicklungssatz (2.23).

Fläche, die der Ortsvektor x beim Durchlaufen von C überstreicht:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; C; n; x; S; P_{0}]

Falls also (x(t); t_{1}, t_{2}) eine geeignete Parametrisierung von C ist, dann ist

(x(s, t) = sx(t); 0, 1, t_{1}, t_{2})

eine geeignete (wenn auch nicht im strengen Sinne ‘einfache’) Parametrisierung von S. Damit gilt:

∫_{S} B(x) · dS_{x} = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (∫_{0}^{1} B(sx(t)) · (x(t) × sẋ(t)) ds) dt
= − ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (∫_{0}^{1} sx(t) × B(sx(t)) ds) · ẋ(t) dt
= ∫_{C} (− ∫_{0}^{1} sx × B(sx) ds) · dx .

(4.97) ist also für

A(x) =^{def} − ∫_{0}^{1} sx × B(sx) ds  (4.98)

erfüllt. Da (4.98) von C unabhängig ist, ist dies eine^{58} Lösung von (4.96), wie man auch leicht direkt nachrechnen kann (Übungsaufgabe 65).

Sei B(x) 2-mal stetig differenzierbar^{59} und seien A(x), A′(x) quellfreie Vektorpotentiale von B(x). Dann gilt also

rot (A(x) − A′(x)) = 0 , div (A(x) − A′(x)) = 0

und somit nach (4.87)

△ (A(x) − A′(x)) = 0 .

Falls beide Vektorpotentiale im Unendlichen (in allen Richtungen gleichmäßig) verschwinden, müssen sie daher nach dem Satz von Earnshaw übereinstimmen. Mit

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58Man beachte den lokalen Charakter dieser Lösung.

59Andernfalls betrachte man im folgenden anstelle von (A(x) − A′(x)) das mithilfe eines geeigneten Skalarfeldes Φ(x) geglättete Vektorfeld ∫_{G} Φ(x − x′) (A(x′) − A′(x′)) dV_{x′} .

anderen Worten: Es gibt höchstens ein quellfreies Vektorpotential A(x) von B(x) mit lim_{|x|→∞} |A(x)| = 0 . Falls B(x) im Unendlichen hinreichend schnell verschwindet, existiert diese Lösung:

Lemma 4.5.1

Gegeben: (i) ϵ > 0 , (ii) stetig differenzierbares, quellfreies Vektorfeld B(x) mit: lim_{|x|→∞} |x|^{2+ϵ} (|B(x)| + |(L_{e}B) (x)|) = 0 für alle e .

Behauptung:

A(x) = ∫_{ℝ^{3}} \frac{rot B(x′)}{4π|x − x′|} dV_{x′}

ist das einzige quellfreie Vektorpotential von B(x) mit lim_{|x|→∞} |A(x)| = 0 .

Beweisskizze:

rot A(x)  =  ∇ × (∇ × ∫_{ℝ^{3}} \frac{B(x − x′)}{4π|x′|} dV_{x′})
=_{(4.87)} −△ ∫_{ℝ^{3}} \frac{B(x − x′)}{4π|x′|} dV_{x′}
=  −△ ∫_{ℝ^{3}} \frac{B(x′)}{4π|x − x′|} dV_{x′}
=_{Poisson−Gl.} B(x) .

Man kann zeigen,^{60} daß zu jedem stetigen Skalarfeld μ(x) eine 2-mal stetig differenzierbare Lösung Φ(x) der Poissonschen Differentialgleichung^{61}

ΔΦ = −4π μ

existiert. Damit ergibt sich der

Satz 4.5.2 (Fundamentalsatz der Vektoranalysis) Jedes stetig differenzierbare Vektorfeld F(x) erlaubt eine Zerlegung

F(x) = F_{1}(x) + F_{2}(x)

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60Siehe (Lücke, 1995).

61Für räumlich begrenzte μ war die Lösung durch (4.63) gegeben.

in ein wirbelfreies (d.h. konservatives) stetig differenzierbares Feld F_{1}(x) und ein quellfreies stetig differenzierbares Feld F_{2}(x) . Falls eine der Bedingungen

lim_{|x|→∞} |F_{1}(x)| = 0 oder lim_{|x|→∞} |F_{2}(x)| = 0

erfüllt werden kann, ist diese Zerlegung dadurch eindeutig festgelegt.

Beweisskizze: Man wähle eine Lösung von

ΔΦ = −divF

und setze

F_{1} = −gradΦ .

Damit ist eine Zerlegung der gewünschten Art gegeben. Sei nun

F(x) = F′_{1}(x) + F′_{2}(x)

eine weitere Zerlegung der gewünschten Art. Dann ist

F_{j}(x) − F′_{j}(x) = (F(x) − F′_{j}(x)) − (F(x) − F_{j}(x))

für j = 1, 2 sowohl wirbel- als auch quellfrei, genügt also nach (4.87) der Laplace-Gleichung. Falls also F_{1}(x) − F′_{1}(x) oder F_{2}(x) − F′_{2}(x) außerdem im Unendlichen verschwindet, müssen nach dem Satz von Earnshaw somit beide Zerlegungen übereinstimmen.

Falls F (zusammen mit seinen Ableitungen 1. Ordnung) im Unendlichen hinreichend schnell verschwindet, ist die Zerlegung im Sinne des Fundamentalsatzes nach (4.87) offensichtlich durch

F_{1}(x) = −grad ∫_{ℝ^{3}} \frac{div F(x′)}{4π|x − x′|} dV_{x′} , F_{2}(x) = rot ∫_{ℝ^{3}} \frac{rot F(x′)}{4π|x − x′|} dV_{x′}

gegeben. Das hat folgende direkte Konsequenz:

Jedes konservative Vektorfeld F(x), das im Unendlichen hinreichend schnell verschwindet, läßt sich — analog zum Gravitationsfeld einer Massenverteilung oder zum Coulomb-Feld einer elektrischen Ladungsverteilung — in der Form

F(x) = −grad ∫_{ℝ^{3}} κ \frac{ρ(x′)}{|x − x′|} dV_{x′}

mit der Ladungsdichte

ρ(x) =^{def} \frac{div F(x)}{4πκ}

darstellen!

4.5.4 Funktionentheoretische Hilfsmittel

Bzgl. der in diesem Abschnitt nicht angegebenen Beweise sei auf Kapitel 2 von (Lücke, ftm) verwiesen. Wann immer von einem Flächenstück S ⊂ ℂ die Rede ist, ist ℂ im Sinne von Abschnitt 2.3.4 als e_{1}, e_{2}-Ebene des ℝ^{3} mit rechtshändiger Orthonormalbasis (e_{1}, e_{2}, e_{3}) zu verstehen und die Flächennormale von S mit e_{3} zu identifizieren. Damit ist die Orientierung des Randes ∂S im Sinne von Definition 4.3.6 festgelegt.

Definition 4.5.3 Seien O eine offene^{62} Teilmenge von ℂ und f(z) eine komplexwertige Funktion über O. Dann heißt f(z) in O holomorph, wenn die komplexe Ableitung

\frac{d}{dz} f(z) =^{def} lim_{Δz→0_{Δz≠0}} \frac{f(z + Δz) − f(z)}{Δz}

von f(z) für alle z ∈ O existiert und (als Vektorfeld betrachtet) stetig^{63} ist.

Für Funktionen einer komplexen Variablen gelten — unter offensichtlichen Voraussetzungen — die entsprechenden Regeln wie für Funktionen einer reellen Variablen:^{64}

1. Linearität:

\frac{d}{dz} (z_{1}f(z) + z_{2} g(z)) = z_{1}f′(t) + z_{2} g′(t) ,

2. Produktregel:

\frac{d}{dz} (f(z) g(z)) = f′(z) g(z) + f(z) g′(z) ,

3. Quotientenregel:

\frac{d}{dz} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f′(z) g(z) − f(z) g(z)}{(g(z))^{2}} ,

4. Kettenregel:

\frac{d}{dz} f(g(z)) = g′(z) f′(g(z)) ,

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statt \frac{∂}{∂z} f(z) .

62Offen meint: Zu jedem Punkt in O gibt es eine ganze Umgebung, die in O liegt.

63Man kann zeigen, daß die Stetigkeit von f′(z) automatisch gegeben ist (Satz von Goursat).

64Für holomorphe Funktionen einer einzigen Variablen schreiben wir natürlich f′(z) bzw. \frac{d}{dz} f(z)

5. Ableitung der Umkehrfunktion:

\frac{d}{dz} f^{−1}(z) = \frac{1}{f′(f^{−1}(z))} ,

6. Ableitung von Potenzen:

\frac{d}{dz} z^{n} = n z^{n−1} ∀ n ∈ ℤ ,

7. Ableitung impliziter Funktionen:

\frac{d}{dt} f(z(t)) = ż(t) f′(z(t)) .

Lemma 4.5.4 Seien O eine offene Teilmenge von ℂ und f(z) eine komplexwertige Funktion über O. f(z) ist genau dann holomorph, wenn

u(x, y) =^{def} ℜ(f(x + iy)) ∀ x, y ∈ ℝ

und

v(x, y) =^{def} ℑ(f(x + iy)) ∀ x, y ∈ ℝ

in O stetig differenzierbar (im Sinne von Skalarfeldern) sind und dort den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

\frac{∂}{∂x}u(x, y) = \frac{∂}{∂y} v(x, y) , \frac{∂}{∂x}v(x, y) = −\frac{∂}{∂y} u(x, y) .

genügen.

Folgerung 4.5.5 Seien O eine offene Teilmenge von ℂ und f(z) eine in O holomorphe Funktion. Dann ist

f^{↕}(z) =^{def} (f(z^{∗}))^{∗} ∀ z ∈ O^{↕} =^{def} {z : z^{∗} ∈ O}

eine in O^{↕} holomorphe Funktion von z und es gilt

\frac{d}{dz} f^{↕}(z) = (f′(z^{∗}))^{∗} ∀ z ∈ O^{↕} .

Folgerung 4.5.6 Seien S ein einfaches Flächenstück in ℂ (als Ebene im ℝ^{3} aufgefaßt) und f(z) eine holomorphe Funktion über O =^{def} S \ S. Dann besitzt f(z) eine Stammfunktion F (z) , d.h. es gilt

F′(z) = f(z) ∀ z ∈ O .

Definition 4.5.7 Seien C ein Wegstück in ℂ mit einfacher Parametrisierung (z(t),

t_{1}, t_{2}) und f(z) eine auf C stetige Funktion. Dann bezeichnet man

∫_{C} f(z) dz =^{def} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} f(z(t))ż(t) dt

als das komplexe Wegintegral ^{65} von f(z) über C.

Lemma 4.5.8 Seien C ein einfaches Wegstück in ℂ mit Anfangspunkt z_{1} und Endpunkt z_{2} , O ⊂ ℂ eine offene Umgebung von C und F (z) eine in O holomorphe Funktion. Dann gilt

∫_{C} F′(z) dz = F (z_{2}) − F (z_{1}) .

Folgerung 4.5.9 (Cauchyscher Integralsatz) Seien O eine offene Teilmenge von ℂ, f(z) eine in O holomorphe Funktion und S ⊂ O ein einfaches Flächenstück. Dann gilt ∫_{∂S} f(z) dz = 0 .

Mithilfe des Cauchyschen Integralsatzes läßt sich leicht zeigen:

∫_{−∞}^{+∞} e^{−(Rx+z_{0})^{2}} dx = \frac{\sqrt[+]{π}}{R}

für alle R , z_{0} ∈ ℂ mit: ℜ (R^{2}) > 0 < ℜ(R)

(4.99)

(siehe z.B. Beweis von Gleichung 2.31 von (Lücke, ftm)).

Lemma 4.5.10 (Cauchysche Integralformel) Seien S ein einfaches Flächenstück in ℂ, z_{0} ein Punkt aus dem Inneren \underline{S} von S und f(z) eine auf ganz S stetige Funktion, die im Inneren von S \ {z_{0}} holomorph ist. Dann gilt

f(z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂S} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz .

Version vom 26. März 2009

65Das komplexe Wegintegral ist natürlich von der speziellen Wahl der Weg-Parametrisierung unabhängig.

Mithilfe der Cauchyschen Integralformel beweist man für holomorphe Funktionen leicht^{66} das sog. Maximum-Prinzip:

sup_{z∈S} |f(z)| = |f(ẑ)| für geeignetes ẑ ∈ ∂S ,

falls f(z) in einer Umgebung des einfachen Flächenstücks S holomorph ist .

Lemma 4.5.11 Seien S ein einfaches Flächenstück in ℂ und g(z) eine auf ∂S stetige Funktion. Dann gilt

(\frac{d}{dz_{0}} )^{ν} ∫_{∂S} \frac{g(z)}{z − z_{0}} dz = ν! ∫_{∂S} \frac{g(z)}{(z − z_{0})^{ν+1}} dz ∀ z_{0} ∈ \underline{S} , ν ∈ ℕ .

Folgerung 4.5.12 Seien O eine offene Teilmenge von ℂ und f(z) eine in O holomorphe Funktion. Dann ist f(z) in O beliebig oft komplex differenzierbar und für jedes einfache Flächenstück S ⊂ O gilt

f^{(ν)}(z_{0}) =^{def} (\frac{d}{dz} )^{ν} f(z)_{|_{z=z_{0}}} = \frac{ν!}{2πi} ∫_{∂S} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{ν+1}} dz ∀ z_{0} ∈ \underline{S} , ν ∈ ℕ .

Folgerung 4.5.13 Sei z_{0} ∈ ℂ, sei 0 < r_{1} < r_{2} und sei f(z) in einer Umgebung von

D_{r_{1},r_{2}} =^{def} {z ∈ ℂ : r_{1} ≤ |z − z_{0}| ≤ r_{2}}

holomorph. Dann ist die Laurent-Entwicklung

\begin{matrix}f(z) & = & ∑_{ν=−∞}^{+∞} c_{ν} (z′ − z_{0})^{ν} ∀ z ∈ D_{r_{1},r_{2}} \ ∂ D_{r_{1},r_{2}} , \\ c_{ν} & =^{def} & \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{r_{2}}(z_{0})} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{ν+1}} dz , \end{matrix}

absolut konvergent.

Folgerung 4.5.14 Seien z_{0} ∈ ℂ , R > 0 und f(z) eine in U_{R}(z_{0}) holomorphe

Version vom 26. März 2009

66Der Beweis ist analog demjenigen des Satzes von Earnshaw (Satz 4.4.11): Man zeigt zunächst, daß |f(z_{0})| für hinreichend kleines r > 0 nie größer sein kann als der Mittelwert von |f(z)| über ∂U_{r}(z_{0}) .

Funktion. Dann konvergiert die Taylor-Entwicklung

f(z) = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{f^{(ν)}(z_{0})}{ν!} (z − z_{0})^{ν} ∀ z ∈ U_{R}(z_{0})

absolut.

Definition 4.5.15 Wenn die Voraussetzungen von Folgerung 4.5.13 für alle r_{1} ∈ (0, r_{2}) erfüllt sind, bezeichnet man c_{−1} als das Residuum von f(z) an der Stelle z = z_{0} .

Folgerung 4.5.16 (Residuensatz) Sei S ein einfaches Flächenstück in ℂ und sei f(z) in einer Umgebung von S mit Ausnahme endlich vieler (voneinander verschiedener) Punkte z_{1}, …, z_{n} ∈ S \ ∂S holomorph. Dann gilt

∫_{∂S} f(z) dz = 2πi ∑_{ν=1}^{n} Res_{z_{ν}}(f) ,

wobei Res_{z_{ν}}(f) jeweils das Residuum von f(z) an der Stelle z = z_{ν} bezeichnet.

Folgerung 4.5.17 (Satz von Liouville) Sei f(z) eine ganze analytische Funktion, d.h. f(z) sei in ganz ℂ holomorph. Dann gilt:

f ist polynomial beschränkt ⟹ f ist ein Polynom .

Beweis: Siehe Übungsaufgabe 42 von (Lücke, ftm).

Folgerung 4.5.18 (Fundamentalsatz der Algebra) Zu jedem Polynom n-ten Grades Q(z) existieren komplexe Zahlen a, z_{1}, …, z_{n} mit

Q(z) = a ∏_{j=1}^{n}(z − z_{j}) ∀ z ∈ ℂ .

Beweis: Siehe Satz 3.1.2 von (Lücke, ftm).

4.5. NÜTZLICHE FORMELN 151 Lemma 4.5.19 Seien ϵ, R > 0 und sei {c_{ν}}_{ν∈ℤ_{+}} eine Folge komplexer Zahlen mit ∑_{ν=0}^{∞} c_{ν} R^{ν} < ∞. Dann konvergiert ∑_{ν=0}^{∞} c_{ν} z^{ν} absolut und gleichmäßig für alle z ∈ U_{R−ϵ}(0) gegen eine holomorphe Funktion mit:

\frac{d}{dz} ∑_{ν=0}^{∞} c_{ν} z^{ν} = ∑_{ν=1}^{∞} ν c_{ν} z^{ν−1} ∀ z ∈ U_{R−ϵ}(0) .

Beweisskizze: Aus der Konvergenz von ∑_{ν=0}^{∞} c_{ν} R^{ν} folgt

S =^{def} sup_{ν∈ℤ_{+}} |c_{ν} R^{ν}| < ∞

und somit

| ∑_{ν=N_{1}}^{N_{2}} c_{ν} z^{ν} | ≤ S ∑_{ν=N_{1}}^{N_{2}} (\frac{R − ϵ}{R})^{ν} ∀ z ∈ U_{R−ϵ}(0) ,

woraus die Behauptung leicht folgt.

152 KAPITEL 4. SKALAR- UND VEKTORFELDER

Teil III

Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen

5.1 Vektorielle Differentialgleichungen

1. Ordnung

5.1.1 Motivation und Definitionen

Sei v(x) das (stationäre) Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit. Die Bahnkurve (Stromfaden) eines ‘Flüssigkeitspartikel’ genügt dann der Gleichung

ẋ(t) = v (x(t))  (5.1)

Intuitiv ist klar, daß zu jedem Anfangswert x(0) genau eine Bahnkurve x(t) existiert:

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F_{t} P_{0}

x(t) x(0)

Wenn das richtig ist, kann man also definieren:

F_{t} (x_{0}) =^{def} x(t) , x(t) Lösung von (5.1) mit x(0) = x_{0}

(5.2)

Die Schar von Abbildungen F_{t} , t ∈ R^{1}, bezeichnet man dann als den Fluß des Vektorfeldes v(x), und dafür gilt:

F_{t}F_{t′} = F_{t+t′}  (5.3)

Beweis: Sei x(t) die Lösung zur Anfangsbedingung x(0) = x_{0}. Dann ist x′(t) =^{def} x(t + t′) die Lösung zur Anfangsbedingung x′(0) = x′_{0} =^{def} x(t′) und somit

F_{t+t′}(x_{0}) = x(t + t′) = x′(t) = F_{t}(x′_{0}) = F_{t} (F_{t′}(x_{0}))

Die Konsequenzen aus diesen Betrachtungen sollten sich auch auf den Fall übertragen lassen, daß die Vektoren x und v Räumen mit von 3 verschiedener Dimension angehören. In diesem Sinne ist (5.1) der Prototyp einer vektoriellen Differentialgleichung 1. Ordnung:

Definition 5.1.1 Unter einer (expliziten, gewöhnlichen^{1}) vektoriellen Differentialgleichung 1. Ordnung verstehen wir eine Gleichung der Form

ẋ(t) = v_{t}(x(t)) ,  (5.4)

wobei v_{t}(x(t)) ein t-abhängiges Vektorfeld über einem n-dimensionalen (euklidischen) Vektorraum V_{n} ist.

Als Lösung der Differentialgleichung bezeichnen wir jede stetig differenzierbare Vektorfunktion x(t) (mit Werten in V_{n}), für die (5.4) gilt.

Die Differentialgleichung heißt linear, falls eine Vektorfunktion v_{0}(t) (Inhomogenität) und ein lineares,^{2} t-abhängiges Vektorfeld T_{t}(x) existieren mit

v_{t}(x) = v_{0}(t) + T_{t}(x) .

Die lineare Differentialgleichung heißt homogen, falls v_{0} = 0 .

Anmerkungen:

(i) Bei Darstellung in Spaltenschreibweise bzgl. einer Basis bezeichnet man (5.4) auch als ein System von (i.a. gekoppelten) Differentialgleichungen 1. Ordnung.

(ii) Von der t-Abhängigkeit des Vektorfeldes v_{t}(x) kann man sich durch Erhöhung der Dimension des Vektorraumes befreien. Indem man nämlich bzgl. einer Basis {b_{1}, …, b_{n+1}}

V(X) =^{def} (v_{X^{n+1}/E}^{1}(X^{1}, …, X^{n}) ; ⋮ ; v_{X^{n+1}/E}^{n}(X^{1}, …, X^{n}) ; E) , E =^{def} phys. Einh. v. v_{t} ,

Version vom 26. März 2009

1Während die sog. gewöhnlichen Differentialgleichungen nur Funktionen einer einzigen Variablen behandeln, stellen die sog. partiellen Differentialgleichungen, wie etwa die Maxwellschen Gleichungen, Beziehungen zwischen partiellen Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher dar.

2Es gilt also T_{t}(α x + β y) = α T_{t}(x) + β T_{t}(y) .

wählt, ergibt sich

\begin{matrix}Ẋ(t) = V(X(t)) , \\ X^{n+1}(0) = 0 \end{matrix} \} ⟺ \{ \begin{matrix}ẋ(t) = v_{t}(x(t)) \\ für x(t) = (X^{1}(t), …, X^{n}(t))^{T} . \end{matrix}

Beispiel:^{3} Der Impuls p (t) eines Elektrons im homogenen zeitabhängigen elektromagnetischen Feld E(t), H(t) genügt der vektoriellen, inhomogenen, linearen Differentialgleichung 1. Ordnung

ṗ(t) = G(t) + T_{t}(p(t)) , G(t) =^{def} q_{e} E(t) , T_{t}(p) =^{def} \frac{q_{e}}{m_{e}} p × μ_{0}H(t)

(im S.I. in nichtrelativistischer Näherung).

5.1.2 Eindeutigkeit von Lösungen

Satz 5.1.2

Gegeben: (i) n-dimensionaler euklidischer Vektorraum V_{n} (ii) bzgl. t und x gleichzeitig stetig differenzierbares t-abhängiges Vektorfeld v_{t}(x) über V_{n} (iii) x_{0} ∈ V_{n} (iv) Zeitpunkt t_{0} (v) δ > 0 (vi) stetig differenzierbare Vektorfunktionen x_{1}(t), x_{2}(t) mit x_{j}(t_{0}) = x_{0} und ẋ_{j}(t) = v_{t}(x_{j}(t)) für ∥t − t_{0}∥ < δ , j ∈ {1, 2}

Behauptung: x_{1}(t) = x_{2}(t) für ∥t − t_{0}∥ < δ.

Beweisskizze: Für gegebenes t_{0} und δ′ > 0 bezeichne B_{t_{0},δ′} jeweils die Menge aller stetigen Vektorfunktionen ξ(t) über U_{δ′}(t_{0}) mit endlicher Norm

∥ξ∥_{t_{0},δ′} =^{def} sup_{t∈U_{δ′}(t_{0})} |ξ(t)| .

Für beliebig vorgegebene T, R ist dann die Einschränkung der Abbildung

ξ(t) ⟶ (N̂_{t_{0},x_{0}}ξ) (t) =^{def} x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} v_{t′} (ξ(t′)) dt′

auf^{4}

M_{t_{0},x_{0},R} =^{def} {ξ ∈ B_{t_{0},δ′} : ∥x_{0} − ξ∥_{t_{0},δ′} < R}

Version vom 26. März 2009

3Vgl. Übungsaufgabe 29.

4Hier identifizieren wir x_{0} mit der entspr. konstanten Funktion.

158 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

für hinreichend kleines δ′ ∈ (0, δ) kontrahierend bzgl. der Norm ∥.∥_{t_{0},δ′}; d.h. es existiert ein λ ∈ (0, 1) mit

∥N̂_{t_{0},x_{0}}ξ − N̂_{t_{0},x_{0}}η∥_{t_{0},δ′} ≤ λ ∥ξ − η∥_{t_{0},δ′} ∀ ξ, η ∈ M_{t_{0},x_{0},R} .

Da andererseits aus (vi) entsprechend dem Hauptsatz der Integralrechnung

N̂_{t_{0},x_{0}}x_{j}(t) = x_{j}(t) für t ∈ U_{δ′}(t_{0}), j ∈ {1, 2}

folgt, muß somit

∥x_{1} − x_{2}∥_{t_{0},δ′} = 0

gelten, wenn R hinreichend groß gewählt war. Da die entspr. Aussage offensichtlich auch für jeden anderen Zeitpunkt t′_{0} ∈ (t − δ, t + δ) anstelle von t_{0} gilt, folgt somit die Behauptung.

Nachweis der Kontraktionseigenschaft: Aus (ii) und dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt

v_{t′} (ξ) − v_{t′} (η) = v_{t′} (η + re)|_{r=0}^{r=|ξ−η|}
= |ξ − η| (L_{e}v_{t′}) (η + r′e) , e =^{def} \frac{ξ−η}{|ξ−η|}

für geeignetes r′ = r′ (t′, ξ, η) ∈ [0, |ξ − η|] . Für beliebige T, R genügt v_{.}(.) im Gebiet

|t| < T , |ξ| < R , |η| < R

daher der sog. Lipschitz-Bedingung

|v_{t} (ξ) − v_{t} (η)| ≤ C|ξ − η|

mit einer geeigneten Konstanten C = C(T, R) . Daraus ergibt sich die Kontraktionseigenschaft gemäß

∥ξ − η∥_{t_{0},δ′} = sup_{t∈U_{δ′} (t_{0})} |∫_{t_{0}}^{t} (v_{t′}(ξ(t′)) − v_{t′}(η(t′))) dt′|
≤ δ′ sup_{t′∈U_{δ′} (t_{0})} |v_{t′}(ξ(t′)) − v_{t′}(η(t′))| .

Offensichtlich lassen sich δ′ und λ sogar unabhängig von t_{0} ∈ T wählen!

5.1.3 Existenz der Flußlinien

Aus dem Beweis von Satz 5.1.2 erkennt man auch die Gültigkeit von 5.1. VEKTORIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 159

Satz 5.1.3

Gegeben: V_{n}, v_{t}(x), x_{0} wie in Satz 5.1.2 Behauptung: Es existieren ein maximales, offenes Zeitintervall I (i.d. Regel

I = ℝ) mit t_{0} ∈ I sowie eine stetig differenzierbare Vektorfunktion x(t) über I mit x(t_{0}) = x_{0} und

ẋ(t) = v_{t}(x(t)) ∀ t ∈ I .

Wenn sich t einer endlichen Intervallgrenze von I (sofern eine solche überhaupt existiert) nähert, strebt |x(t)| gegen Unendlich.

Beweisskizze [Picard-Lindelöf-Verfahren]: Wir definieren

η(t) =^{def} x_{0} ∀ t

und wählen R groß genug, daß

∥η − N̂_{t_{0},x_{0}}η∥_{t_{0},1} < \frac{R}{2}

gilt. Gemäß Beweis zu Satz 5.1.2 existiert ein δ′ ∈ (0, 1) , für das

∥N̂_{t_{0},x_{0}}ξ_{1} − N̂_{t_{0},x_{0}}ξ_{2}∥_{t_{0},δ′} ≤ \frac{1}{2} ∥ξ_{1} − ξ_{2}∥_{t_{0},δ′} ∀ ξ_{1} , ξ_{2} ∈ M_{t_{0},x_{0},R}

gilt. Mit der rekursiven Definition

N̂_{t_{0},x_{0}}^{0}ξ =^{def} ξ , N̂_{t_{0},x_{0}}^{ν+1}ξ =^{def} N_{t_{0},x_{0}} (N_{t_{0},x_{0}}^{ν}ξ) für ν = 1, 2, 3, …

gilt dann:

∥η − N̂_{t_{0},x_{0}}^{ν+1}η∥_{t_{0},δ′}

≤ \underbrace{∥η − N̂_{t_{0},x_{0}}η∥_{t_{0},δ′}}_{≤R/2} + \underbrace{∥N̂_{t_{0},x_{0}}η − N̂_{t_{0},x_{0}}^{2}η∥_{t_{0},δ′}}_{≤2^{−1}R/2} + … + \underbrace{∥N̂_{t_{0},x_{0}}^{ν}η − N̂_{t_{0},x_{0}}^{ν+1}η∥_{t_{0},δ′}}_{≤2^{−ν}R/2}

< R . Daraus erkennt man, daß

x(t) =^{def} lim_{ν→+∞} (N̂_{t_{0},x_{0}}^{ν}η) (t) für t ∈ U_{δ′}(t_{0})

als stetige^{5} Funktion über U_{δ′}(t_{0}) existiert und dort der Gleichung

x(t) = (N̂_{t_{0},x_{0}}x) (t) ;

d.h. der Integralgleichung

x(t) = x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} v_{t′}(x(t′)) dt′ ∀t ∈ U_{δ′}(t_{0})

Version vom 26. März 2009

5Ganz allgemein sind die Grenzwerte gleichmäßig konvergenter Folgen stetiger Funktionen auch stetige Funktionen, wie man leicht sieht.

160 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

genügt. Aus dieser Integralgleichung folgt

x(t_{0}) = x_{0}

sowie durch Differentiation:

ẋ(t) = v_{t}(x(t)) ∀ t ∈ U_{δ′}(t_{0}) .

Es existiert also die gesuchte Lösung in einer Umgebung von t = t_{0} . Wenn diese Lösung bei maximaler Fortsetzung z.B. in Richtung wachsender t beschränkt bleibt, ergibt sich durch ständige Wiederholung des beschriebenen Verfahrens für wachsende Anfangszeiten eine Fortsetzung auf [t_{0}, +∞) . Eine analoge Überlegung gilt für die linke Grenze von I.

5.2 Vektorielle Differentialgleichungen höherer Ordnung

5.2.1 2. Ordnung zur Orientierung

Als Prototyp einer (expliziten,^{6} gewöhnlichen) vektoriellen Differentialgleichung 2. Ordnung kann man die Bewegungsgleichung eines Massenpunktes m in einem Geschwindigkeits- und Zeit-abhängigem Kraftfeld^{7} F_{t} ansehen:

mẍ(t) = F_{t} (x(t), ẋ(t))  (5.5)

Das zugehörige Anfangswertproblem^{8} ist im Prinzip dasselbe, wie das in 5.1 behandelte. Mit den Definitionen^{9}

X(t) =^{def} (x(t), ẋ(t) Zeiteinh.) ∈ V_{2n}
V_{t} (X(t)) =^{def} (ẋ(t), \frac{1}{m}F_{t} (x(t), ẋ(t)) Zeiteinh.) ∈ V_{2n}

ist (5.5) nämlich äquivalent zu

Ẋ(t) = V_{t} (X(t))  (5.6)

und die Anfangsbedingungen

x(t_{0}) = x_{0} , ẋ(t_{0}) = v_{0}

sind äquivalent zu

X(t_{0}) = (x_{0}, v_{0} Zeiteinh.)

Version vom 26. März 2009

6Explizit heißt eine Differentialgleichung, wenn sie die höchste Ableitung durch die niedrigeren ausdrückt.

7Z.B. F_{t} (x(t), ẋ(t)) = q(E_{t}(x(t)) + ẋ(t) × B_{t}(x(t))) 8Vgl. 3.3.2. 9Hierbei sind x(t) und ẋ(t) formal als unabhängig zu betrachten. Siehe dazu 5.2.3.

5.2.2 Allgemeine Definition

Definition 5.2.1 Unter einer (expliziten, gewöhnlichen) vektoriellen Differentialgleichung N-ter Ordnung verstehen wir eine Gleichung der Form

(\frac{d}{dt})^{N} x(t) = F_{t} (x(t), ẋ(t) Zeiteinh., …, (\frac{d}{dt})^{N−1} x(t) (Zeiteinh.)^{N−1}) ,

wobei F_{t} (x_{1}, …, x_{N}) eine t-abhängige V_{n}-wertige^{10} Funktion der N Vektor-Variablen x_{1}, …, x_{N} ∈ V_{n} ist. Als Lösung der Differentialgleichung bezeichnen wir jede Nmal stetig differenzierbare Vektorfunktion x(t) (mit Werten in V_{n}), die der Differentialgleichung genügt. Die Differentialgleichung heißt linear, falls eine Vektorfunktion G(t) (Inhomogenität) und lineare t-abhängige Vektorfelder T_{1,t}(x), …, T_{N,t}(x) über V_{n} existieren mit

F_{t} (x_{1}, …, x_{N}) = G(t) + ∑_{ν=1}^{N} T_{ν,t} (x_{ν}) .

Die lineare Differentialgleichung heißt homogen, falls G(t) = 0 für alle t.

Anmerkungen:

(i) Bei Darstellung in Spaltenschreibweise bzgl. einer Basis spricht man von einem System von (i.a. gekoppelten) Differentialgleichungen N-ter Ordnung.

(ii) Eine skalare (d.h. n = 1) lineare Differentialgleichung N-ter Ordnung ist also stets von der Form

(\frac{d}{dt})^{N} x(t) = \underbrace{g(t)}_{Inhom.} + ∑_{ν=1}^{N} q_{ν}(t) (\frac{d}{dt})^{ν−1} x(t) .

5.2.3 Rückführung auf Differentialgleichungen 1. Ordnung

Nach 5.2.1 ist klar, wie sich eine vektorielle Differentialgleichung N-ter Ordnung auf eine solche der Form (5.6) zurückführen läßt:

Mit dem Vektorfeld

V_{t} (x_{1}, …, x_{N}) =^{def} (x_{2}, …, x_{N−1}, F_{t} (x_{1}, …, x_{N}) · (Zeiteinh.)^{N}) /Zeiteinh. (5.7)

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10V_{n} bezeichnet wieder den n-dimensionalen euklidischen Vektorraum.

gilt

X(t) = (x(t), …, (\frac{d}{dt})^{N−1} x(t) · (Zeiteinh.)^{N−1}) ,

(\frac{d}{dt})^{N} x(t) = F_{t} (X(t)) ,

((\frac{d}{dt})^{ν} x(t))_{|_{t=t_{0}}} = (Zeiteinh.)^{−ν} x_{ν} für ν = 0, …, N − 1

⟺ \{ \begin{matrix}Ẋ(t) = V_{t} (X(t)) , \\ X(t_{0}) = (x_{0}, …, x_{N−1}) . \end{matrix}

(5.8)

Auf diese Weise lassen sich die Sätze 5.1.2 und 5.1.3 auf (vektorielle) Differentialgleichungen beliebiger Ordnung anwenden!

5.3 Lineare vektorielle Differentialgleichungen

5.3.1 Rückführung des homogenen Problems auf ein fundamentales Lösungssystem

Das allgemeine (also für bel. X(t_{0})) Anfangswertproblem

X(t_{0}) = X_{0}  (5.9)

zur homogenen, linearen Differentialgleichung^{11}

Ẋ(t) = T_{t} (X(t))  (5.10)

ist praktisch gelöst, wenn ein fundamentales Lösungssystem gefunden ist,^{12} d.h. ein Satz von N′ Lösungen^{13} X_{1}(t), …, X_{N′}(t) von (5.10) mit

{X_{1}(t_{0}), …, X_{N′}(t_{0})} Basis von V_{N′}  (5.11)

Die gesuchte Lösung von (5.9)/(5.10) ist dann nämlich nach (2.28):

X(t) = ∑_{j=1}^{N′} (X_{0}, X^{j}) X_{j}(t)

wobei: {X^{1}, …, X^{N′}} =^{def} zu {X_{1}(t_{0}), …, X_{N′}(t_{0})} reziproke Basis

(5.12)

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11T_{t} (X(t)) ist also ein lineares Vektorfeld.

12Für zeitunabhängiges T_{t} ist die Lösung des Anfangswertproblems direkt durch X(t) =

∑_{ν=0}^{∞} \frac{t^{ν}}{ν!} \underbrace{T_{t}(T_{t} … T_{t}}_{ν-mal}(X_{0}) …) gegeben.

13N′ = N · n, vgl. (5.7).

In Verallgemeinerung von (2.34) läßt sich zeigen, daß (5.11) äquivalent dazu ist, daß die sog. Wronski-Determinante

det (X_{1}(t_{0}), …, X_{N′}(t_{0}))

des Fundamentalsystems zur Zeit t_{0} von Null verschieden ist (siehe (7.31) und Lemma 7.3.8 von (Lücke, eine)). Aufgrund der entsprechenden Verallgemeinerung der Cramerschen Regel (siehe Aufgabe E16e) von (Lücke, eine)) sind die Entwicklungskoeffizienten in (5.12) durch

(X_{0}, X^{j}) = det (X_{1}(t_{0}), …, X_{0}, …, X_{N′}(t_{0})) ; det (X_{1}(t_{0}), …, X_{j}(t_{0}), …, X_{N′}(t_{0}))  (5.13)

gegeben (Auswertung für den Fall (5.7) mit n = 1 als Übungsvorschlag).

5.3.2 Rückführung des inhomogenen Problems auf das homogene

Wie in Übungsaufgabe 32 überzeugt man sich leicht davon, daß sich das allgemeine Anfangswertproblem zur inhomogenen, linearen Differentialgleichung

Ẋ(t) = G(t) + T_{t} (X(t))  (5.14)

auf dasjenige (nämlich (5.9)/(5.10)) der zugehörigen homogenen Gleichung zurückführen läßt, wenn man irgendeine partikuläre Lösung X_{part}(t) um den Zeitpunkt t = t_{0} herum bereits kennt.^{14} Dann folgt nämlich aus der Linearität von T_{t}, daß

X_{hom}(t) =^{def} X(t) − X_{part}(t)  (5.15)

genau dann die—nach Satz 5.1.2 eindeutige—Lösung des Anfangswertproblems

X_{hom}(t_{0}) = X_{0} − X_{part}(t_{0})  (5.16)

zur homogenen Gleichung (5.10) ist, wenn X(t) die gesuchte Lösung von (5.9)/(5.14) ist.

Falls ein fundamentales Lösungssystem X_{1}(t), …, X_{N′}(t) der homogenen Gleichung (5.10) bekannt ist, so ergibt sich daraus eine partikuläre Lösung von (5.14) durch Variation der Konstanten (X_{0}, X^{j}) in (5.12) in Abhängigkeit von t:

X_{part}(t) =^{def} ∑_{j=1}^{N′} C_{j}(t)X_{j}(t)

wobei:^{15} C_{j}(t) =^{def} Zeiteinh.^{−1} ∫_{t_{0}}^{t} det (X_{1}(t′), …, G(t′) · Zeiteinh., …, X_{N′}(t′)) ; det (X_{1}(t′), …, X_{j}(t′), …, X_{N′}(t′)) dt′

(5.17)

Version vom 26. März 2009

14X_{part}(t) soll (5.14) erfüllen und in einer Umgebung von t = t_{0} erklärt sein. Die Anfangsbedingung (5.9) muß jedoch nicht erfüllt sein.

164 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Beweis: Ẋ_{part}(t)

= \underbrace{∑_{j=1}^{N′} C_{j}(t)Ẋ_{j}(t)}_{=_{(5.10)} ∑_{j=1}^{N′} C_{j}(t)T_{t} (X_{j}(t)) =_{Linear.} T_{t} (X_{part}(t))} + \underbrace{∑_{j=1}^{N′} Ċ_{j}(t)X_{j}(t)}_{=_{(5.17)} Zeiteinh.^{−1} ∑_{j=1}^{N′} det(X_{1}(t′),...,G(t′)·Zeiteinh.,...,X_{N′} (t′)) ; det(X_{1}(t′),...,X_{j} (t′),...,X_{N′} (t′)) X_{j}(t) =_{Cramer} G(t)}

Man beachte, daß (5.17) auch die (eindeutige) Lösung des sog Einschaltproblems

(G(t) = 0 für t < t_{0}) ⟹ (X_{part}(t) = 0 für t < t_{0})  (5.18)

darstellt!

Bzgl. weiterer spezieller Lösungsmethoden siehe (Kamke, 1961; Kamke, 1965)

5.3.3 Anwendungsbeispiel: Gedämpfter harmonischer

Oszillator mit äußerer Kraft

Die entsprechende Bewegungsgleichung ist von der Form

m ẍ(t) + 2ρ ẋ(t) + κ x(t) = f(t) .  (5.19)

Da dies mit

F_{t} (X^{1}, X^{2}) =^{def} \frac{1}{m} (f(t) − κ X^{1} − 2ρ X^{2}/Zeiteinh.)

die Form

ẍ(t) = F_{t} (x(t), ẋ(t) · Zeiteinh.)

annimmt, ist (5.19) mit der Identifizierung

X(t) ˆ= (\begin{matrix}x(t) \\ ẋ(t) · Zeiteinh. \end{matrix})

nach 5.2.3 äquivalent zur linearen Differentialgleichung 1. Ordnung

Ẋ(t) = G(t) + T (X(t)) ,  (5.20)

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15Nach Satz 5.1.2 muß (5.11) für ‘alle’ t gelten, wenn die Aussage für t = t_{0} gilt.

5.3. LINEARE VEKTORIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 165 wobei:^{16}

G(t) =^{def} ( \begin{matrix}0 \\ \frac{Zeiteinh.}{m} f(t) \end{matrix} ) , T (X) =^{def} ( \begin{matrix}X^{2}/Zeiteinh. \\ −\frac{Zeiteinh.}{m} κ X^{1} − \frac{2}{m}ρ X^{2} \end{matrix} ) .

Für kleine Dämpfung, d.h. für

m κ > ρ^{2} ≥ 0  (5.21)

ist ein fundamentales Lösungssystem von (5.20) durch

X_{1}(t) =^{def} (\begin{matrix}x_{1}(t) \\ ẋ_{1}(t) · Zeiteinh. \end{matrix}) , X_{2}(t) =^{def} (\begin{matrix}x_{2}(t) \\ ẋ_{2}(t) · Zeiteinh. \end{matrix})

und

x_{1}(t) =^{def} e^{−ρt} cos (ω_{0}t) , x_{2}(t) =^{def} e^{−ρt} sin (ω_{0}t) , mit ω_{0} =^{def} \frac{1}{m} \sqrt{m κ − ρ^{2}} (5.22)

gegeben.^{17} Die Entwicklungskoeffizienten der partikulären Lösung (5.17) von (5.20) sind also:

C_{1}(t)

= ∫_{t_{0}}^{t} det ( \begin{matrix}0 & e^{−ρt′} sin (ω_{0}t′) \\ \frac{1}{m} f(t′) & e^{−ρt′} (−ρ sin (ω_{0}t′) + ω_{0} cos (ω_{0}t′)) \end{matrix} ) ; det ( \begin{matrix}e^{−ρt′} cos (ω_{0}t′) & e^{−ρt′} sin (ω_{0}t′) \\ e^{−ρt′} (−ρ cos (ω_{0}t′) − ω_{0} sin (ω_{0}t′)) & e^{−ρt′} (−ρ sin (ω_{0}t′) + ω_{0} cos (ω_{0}t′)) \end{matrix} ) dt′

= \frac{−1}{m ω_{0}} ∫_{t_{0}}^{t} f(t′) sin (ω_{0}t′)e^{+ρt′} dt′ ,

C_{2}(t) = \frac{+1}{m ω_{0}} ∫_{t_{0}}^{t} f(t′) cos (ω_{0}t′)e^{+ρt′} dt′ . (analoge Rechnung)

Somit ist x_{part}(t)

= \frac{e^{−ρt}}{m ω_{0}} (sin (ω_{0}t) ∫_{t_{0}}^{t} f(t′) cos (ω_{0}t′)e^{+ρt′} dt′ − cos (ω_{0}t) ∫_{t_{0}}^{t} f(t′) sin (ω_{0}t′)e^{+ρt′} dt′)

die Lösung des Einschaltproblems

(f(t) = 0 für t < t_{0}) ⟹ (x_{part}(t) = 0 für t < t_{0})

zu (5.19) für den Fall (5.21).

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16V_{t} (X(t)) =^{def} G(t) + T (X(t)) = (\begin{matrix}ẋ(t) \\ F_{t} (X(t)) · Zeiteinh. \end{matrix}) im Einklang mit (5.7).

17Vgl. Übungsaufgabe 34.

166 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Lineare partielle Differentialgleichungen

6.1 Kleine Schwingungen einer Saite

6.1.1 Bewegungsgleichung

Es soll die Bewegungsgleichung für die Schwingungen einer gespannten Saite in folgender Näherung abgeleitet werden:^{1}

• Der Biegewiderstand wird vernachlässigt, weil die Saite hinreichend dünn ist.

• Für die Zugkraft wird das Hookesche Gesetz angenommen: Der Betrag der Zugkraft ist proportional zur relativen Längenänderung der Saite am jeweiligen Ort.

• Die ungespannte Saite ist homogen.

Im Gleichgewichtszustand ohne äußere Kraft befinde sich die Saite auf der Geraden parallel e_{1} durch den BezugspunktP_{0} der Ortsvektoren. x(l, t) bezeichne jeweils den Ortsvektor zur Zeit t desjenigen Saitenquerschnitts, dessen Ortsvektor im Ruhezustand (ohne äußere Kraft) le_{1} ist:

[figure: Saite; le_{1}; x(l, t); ξ(l, t); I_{x(.,.)}(l, t); P_{0}]

Die Auslenkung aus dem Gleichgewichtszustand wird also durch die Vektorfunktion

ξ(l, t) =^{def} x(l, t) − le_{1}  (6.1)

Version vom 26. März 2009

1Die Schwerkraft wird gegebenenfalls als äußere Kraft berücksichtigt.

167 gegeben. Die innere Kraft, mit der der Teil der Saite zu l > l_{0} an dem Teil zu l < l_{0} angreift,sei jeweils mit I_{x(.,.)}(l_{0}, t) bezeichnet. Die Vektorsumme aller äußeren Kräfte, die auf das Teilstück zu l_{1} < l < l_{2} wirken, sei jeweils mit F(l_{1}, l_{2}; t) bezeichnet. Dann gilt für jedes solche Teilstück mit l_{2} > l_{1}

μ ∫_{l_{1}}^{l_{2}} (\frac{∂}{∂t})^{2} x(l, t) dl = F(l_{1}, l_{2}; t) + I_{x(.,.)}(l_{2}, t) − I_{x(.,.)}(l_{1}, t)

wobei:

μ =^{def} \frac{Masse eines Saitenstücks der Länge L im Gleichgewichtszustand (ohne äußere Kräfte)}{L} .  (6.2)

Nach Division durch l_{2} − l_{1} und Grenzübergang l_{2} → l_{1} ergibt sich somit die Bewegungsgleichung

μ (\frac{∂}{∂t})^{2} x(l, t) = f(l, t) + \frac{∂}{∂l}I_{x(.,.)}(l, t) ,  (6.3)

wobei

f(l, t) =^{def} lim_{Δl→+0} \frac{F(l, l + Δl; t)}{Δl}

die äußere Kraft pro l-Intervall bezeichnet. Es ist also nur noch I_{x(.,.)}(l, t) zu bestimmen:

Die Länge des Saitenstücks zum Parameterbereich [l − Δl, l] ist

L_{1} = Δl

im Gleichgewichtszustand (ohne äußere Kräfte) und

L_{1} + ΔL = ∫_{l−Δl}^{l} |\frac{∂}{∂l′} x(l′, t)| dl′

im gemäß x(., t) ausgelenkten Zustand. Daher gilt^{2}

I_{x(.,.)}(l, t) = lim_{Δl→+0} ((E_{1} − E_{0}) + \frac{E_{1}}{Δl} (∫_{l−Δl}^{l} |\frac{∂}{∂l′} x(l′, t)| dl′ − Δl)) \frac{\frac{∂}{∂l}x(l, t)}{|\frac{∂}{∂l}x(l, t)|}

mit

E_{0} =^{def} Elastitätsmodul der entspannten Saite ,
E_{1} =^{def} Elastitätsmodul der Saite im (gespannten) Gleichgewichtszustand ,

und somit

I_{x(.,.)}(l, t) = ((E_{1} − E_{0}) + E_{1} (|\frac{∂}{∂l}x(l, t)| − 1)) \frac{\frac{∂}{∂l}x(l, t)}{|\frac{∂}{∂l}x(l, t)|} .  (6.4)

Version vom 26. März 2009

2Siehe Übungsaufgabe 81.

Wir wollen im folgenden die Schreibweise

f′(l, t) =^{def} \frac{∂}{∂l}f(l, t) , ḟ(l, t) =^{def} \frac{∂}{∂t}f(l, t)

sowie das entsprechende für höhere Ableitungen und vektorwertige Funktionen verwenden. Mit

|x′| = \sqrt{1 + 2e_{1} · ξ′ + (ξ′)^{2}}
≈_{lin. Näh.} 1 + e_{1} · ξ′ ,
\frac{1}{|x′|} ≈_{lin. Näh.} 1 − e_{1} · ξ′ ,

(\frac{x′}{|x′|})′ = \frac{\overbrace{x′′}^{=ξ′′} |x′| − \overbrace{x′}^{=e_{1}+ξ′} (x′ · x′′) / |x′|}{|x′|^{2}}
≈_{lin. Näh.} ξ_{⊥}′′ =^{def} ξ′′ − (ξ′′ · e_{1}) e_{1} ,
|x′|′ = x′′ · \frac{x′}{|x′|}
≈_{lin. Näh.} ξ′′ · e_{1}

gilt dann nach (6.4)

I′_{x(.,.)} ≈_{lin. Näh.} (E_{1} − E_{0}) ξ_{⊥}′′ + E_{1} (ξ′′ · e_{1}) e_{1}

und somit für (6.3)

in linearer Näherung:

(\frac{1}{c_{j}} \frac{∂}{∂t})^{2} ξ^{j}(l, t) − (\frac{∂}{∂l})^{2} ξ^{j}(l, t) = \frac{1}{E_{j}} f^{j}(l, t) für j = 1, 2, 3 (6.5)

mit den Definitionen

c_{j} =^{def} \sqrt{\frac{E_{j}}{μ}} , E_{2} =^{def} E_{3} =^{def} E_{1} − E_{0} .

und

ξ^{j} =^{def} e_{j} · ξ , f^{j} =^{def} e_{j} · f ,

wobei {e_{1}, e_{2}, e_{3}} eine beliebige Ergänzung von e_{1} zu einer Orthonormalbasis ist.

Die Gleichungen für die longitudinale Schwingung ξ^{1} und die transversalen Schwingungen ξ^{2}, ξ^{3} sind also in linearer Näherung entkoppelt^{3} und dementsprechend unabhängig voneinander zu lösen.

Version vom 26. März 2009

3Weil wir die äußere Kraft als vom Schwingungszustand unabhängig vorausgesetzt haben.

6.1.2 Energiesatz und Anfangswertproblem

Alle drei Gleichungen in (6.5) haben die Form der 1-dimensionalen inhomogenen Wellengleichung

ĉ^{−2} Ψ̈(l, t) − Ψ′′(l, t) = j(l, t) ,  (6.6)

deren allgemeine Lösung sich analog zum Vorgehen bei gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen^{4} nach Auffinden einer partiellen Lösung auf die Lösung der homogenen Wellengleichung

ĉ^{−2} Ψ̈(l, t) − Ψ′′(l, t) = 0  (6.7)

zurückführen läßt.

Der Einfachheit halber sei angenommen, daß die Saite bei l = l_{1} und l = l_{2} fest eingespannt sei, also die Randbedingungen^{5}

Ψ(l_{1}, t) = Ψ(l_{2}, t) = 0 ∀ t  (6.8)

erfüllt seien, was natürlich

j(l_{1}, t) = j(l_{2}, t) = 0 ∀ t

voraussetzt. Dann ergibt sich durch partielle Integration^{6}

∫_{l_{1}}^{l_{2}} Ψ̇(l, t)Ψ′′(l, t) dl = −\frac{1}{2} ∫_{l_{1}}^{l_{2}} \frac{∂}{∂t} (Ψ′(l, t))^{2} dl

und somit nach Multiplikation von (6.7) mit μ ĉ^{2} Ψ̇(l, t) sowie Integration über l der Erhaltungssatz

(6.7) ⟹ \frac{d}{dt} E_{Ψ}(t) = 0 ,  (6.9)

wobei

E_{Ψ}(t) =^{def} \underbrace{\frac{μ}{2} ∫_{l_{1}}^{l_{2}} (Ψ̇(l, t))^{2} dl}_{=E_{Ψ}^{kin}(t)} + \underbrace{\frac{μ ĉ^{2}}{2} ∫_{l_{1}}^{l_{2}} (Ψ′(l, t))^{2} dl}_{=E_{Ψ}^{pot}(t)}  (6.10)

als Energie (des betrachteten Schwingungsfreiheitsgrads) zur Zeit t zu interpretieren ist. Wie beim harmonischen Oszillator^{7} folgt aus dem Energiesatz (6.9) die Eindeutigkeit der Lösung von (6.7) zu vorgegebenen Anfangswerten

Ψ(l, 0) = g(l) , Ψ̇(l, 0) = h(l) .  (6.11)

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4Siehe 5.3.2

5Geeignete Randbedingungen sind in der Tat notwendig, um die Lösung des Anfangswertproblems (6.7)/(6.11) eindeutig festzulegen. Auf die allgemeinsten Randbedingungen, die in diesem Sinne geeignet sind, sei hier nicht eingegangen.

6Siehe Gleichung (4.11)

7Siehe 3.5.1 und Übungsaufgaben 31,32.

Für je zwei Lösungen Ψ_{1}, Ψ_{2} des Anfangswertproblems (6.7)/(6.11) mit den Randbedingungen (6.8) ist nämlich

Ψ(l, t) = Ψ_{1}(l, t) − Ψ_{2}(l, t)

eine Lösung von (6.7) zu den Anfangswerten

Ψ(l, 0) = Ψ̇(l, 0) = 0 ∀ l ,

und Randbedingungen (6.8), woraus mit (6.9)

E_{Ψ}(t) = 0 ∀ t

und somit gemäß (6.10)

Ψ(l, t) = 0 ∀ l, t

folgt.

6.1.3 Lösungen für die fest eingespannte Saite

Die Saite sei an den Punkten

l_{1} = 0 , l_{2} = L  (6.12)

eingespannt. Für natürliches n ist dann Ψ(l, t) = Φ_{n}(l, t) mit

Φ_{n}(l, t) =^{def} sin (n\frac{π}{L}l) cos (n ω_{0}t) , ω_{0} =^{def} \frac{π}{L}ĉ  (6.13)

jeweils Lösung^{8} von (6.7) zu den Randbedingungen (6.8) und den Anfangsbedingungen

\begin{aligned}Φ_{n}(l, 0) & = & sin (n\frac{π}{L}l) & ∀ l , \\ Φ̇_{n}(l, 0) & = & 0 & ∀ l . \end{aligned}  (6.14)

Entsprechend ist Ψ(l, t) = Ψ_{n}(l, t) mit

Ψ_{n}(l, t) =^{def} sin (n\frac{π}{L}l) sin (n ω_{0}t)  (6.15)

jeweils Lösung von (6.7) zu den Randbedingungen (6.8) und den Anfangsbedingungen

\begin{aligned}Ψ_{n}(l, 0) & = & 0 & ∀ l , \\ Ψ̇_{n}(l, 0) & = & n ω_{0} sin (n\frac{π}{L}l) & ∀ l . \end{aligned}  (6.16)

Hinsichtlich der üblichen Addition von Funktionen und Multiplikation mit reellen Zahlen bilden die Lösungen von (6.7)/(6.8)/(6.12) einen reellen Vektorraum V_{Saite} gemäß Definition 1.2.1. Man überzeugt sich leicht davon, daß die Vektoren Φ_{n} und

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8Auf solche Lösungen führt der Separationsansatz Ψ(l, t) = g(l)χ(t) .

Ψ_{n} für natürliche n in V_{Saite} insgesamt linear unabhängig voneinander sind.^{9} Nach Lemma 1.2.6 kann V_{Saite} also nicht endlichdimensional sein. Auch bilden die Φ_{n} und Ψ_{n} keine Basis von V_{Saite} in dem Sinne, daß sich jedes Element von V_{Saite} als Linearkombination endlich vieler Φ_{n} und Ψ_{n} darstellen läßt (Hamel-Basis). Dagegen werden wir mithilfe der Fourier-Theorie zeigen, daß sich jede Lösung von (6.7)/(6.8) als unendliche Linearkombination der Φ_{n} und Ψ_{n} schreiben läßt.

Dazu beachten wir zweckmäßigerweise, daß jede (2-mal stetig differenzierbare) Lösung von (6.7)/(6.8)/(6.12) eine eindeutige (2-mal stetig differenzierbare) Fortsetzung zu beliebigen l erlaubt, die den Bedingungen

Ψ(l, t) = −Ψ(−l, t) ∀ l . t  (6.17)

und

Ψ(l + 2L, t) = Ψ(l, t) ∀ l . t  (6.18)

genügt. Umgekehrt garantieren die Bedingungen (6.17)/(6.18) die Randbedingungen (6.8) für [l_{1}, l_{2}] = [0, L] . Statt (6.7) über [0, L] mit diesen Randbedingungen zu lösen, kann man also (6.7) über ℝ·Längeneinheit mit den Zusatzbedingungen (6.17)/(6.18) lösen. Die allgemeine Lösung dafür ist nach d’Alembert:

Ψ(l, t) = Ψ_{f}(l, t) =^{def} f(ĉt − l) − f(ĉt + l) ,

wobei f(l) = f(l + 2L) ∀ l . (6.19)

Mit

f(l) = −\frac{1}{2} (g(l) + \frac{1}{ĉ} ∫_{0}^{l} h(l′) dl′)

sind dazu die Anfangsbedingungen (6.11) für ungerade, periodische g(l) , h(l) erfüllt. Insbesondere gilt also

Ψ_{f} = \{ \begin{matrix}Φ_{n} & für f(l) = −\frac{1}{2} sin (n\frac{π}{L}l), \\ Ψ_{n} & für f(l) = +\frac{1}{2} cos (n\frac{π}{L}l). \end{matrix}

Außerdem erkennt man aus (6.19), daß ĉ der Betrag der Ausbreitungsgeschwindigkeit der fortschreitenden Saitenwellen ist.

6.2 Fourier-Theorie

Die Ausführungen von 6.1.3 führen auf die Frage, welche 2L-periodischen Funktionen von l sich als unendliche Linearkombinationen der speziellen Funktionen sin (n\frac{π}{L}l) und cos (n\frac{π}{L}l) schreiben lassen. Dabei ist es zweckmäßig, mit komplexen Zahlen zu arbeiten. Statt \frac{π}{L}l werden wir zunächst ωt schreiben.

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9Z.B. mithilfe des inneren Produktes ⟨f | g⟩ =^{def} \frac{1}{2L} ∫_{−L}^{L} f(l)g(l) dl.

6.2.1 Fourier-Reihen

Definition 6.2.1 Eine komplexwertige Funktion f(t) heißt stückweise stetig, wenn sich jedes endliche Intervall so in endlich viele Teilintervalle zerlegen läßt, daß für jedes dieser Teilintervalle I folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

(i) f(t) ist im Inneren von I stetig.

(ii) Es existieren die Grenzwerte von f (inf(I) + ϵ) und f (sup(I) − ϵ) für ϵ → +0 .

Definition 6.2.2 Eine komplexwertige Funktion f(t) heißt stückweise stetig differenzierbar, wenn sich jedes endliche Intervall so in endlich viele Teilintervalle zerlegen läßt, daß für jedes dieser Teilintervalle I folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

(i) Im Inneren von I existiert die Ableitung ḟ(t) von f(t) und ist stetig.

(ii) Es existieren die Grenzwerte von ḟ (inf(I) + ϵ) und ḟ (sup(I) − ϵ) für ϵ → +0 .

Eine komplexwertige Funktion f(t) heißt stückweise stetig differenzierbar, wenn sie stückweise stetig und stückweise stetig differenzierbar ist.

Definition 6.2.3 Eine komplexwertige Funktion f(t) heißt stückweise monoton, wenn sich jedes endliche Intervall so in endlich viele Teilintervalle zerlegen läßt, daß f(t) im Inneren jedes dieser Teilintervalle monoton ist.

Definition 6.2.4 Man sagt, eine komplexwertige Funktion f(t) erfülle die Dirichlet-Bedingungen zur Periode \frac{2π}{ω}, wenn folgende vier Aussagen gelten:

(i) Für alle t gilt f(t) = f (t + \frac{2π}{ω}) .

(ii) f ist stückweise stetig.

(iii) ℜ(f) und ℑ(f) sind stückweise monoton.

(iv) Für alle t gilt f(t) = \frac{1}{2} lim_{Δt→+0} (f(t + Δt) + f(t − Δt)) .

Satz 6.2.5 Die komplexwertige Funktion f(t) genüge den Dirichletschen Bedingungen zur Periode \frac{2π}{ω} . Mit den Fourierschen Entwicklungskoeffizienten ^{10}

c_{ν}(f) =^{def} \frac{ω}{2π} ∫_{−π/ω}^{+π/ω} f(t) e^{−iνωt} dt für ν ∈ ℤ  (6.20)

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10Wie allgemein üblich, bezeichnen wir mit ℤ die Menge aller ganzen Zahlen.

gilt dann die Fouriersche Reihenentwicklung

f(t) = lim_{n→+∞} ∑_{ν=−n}^{+n} c_{ν}(f) e^{iνωt} ∀ t ∈ ℝ · Zeiteinheit .  (6.21)

Die Konvergenz in (6.21) ist gleichmäßig über jedem abgeschlossenen Intervall I, über dem f stetig ist.^{11} Falls f überall stetig ist und stückweise stetig differenzierbar, dann konvergiert (6.21) absolut und es gilt

c_{ν}(f) = \frac{c_{ν}(ḟ)}{iνω} ∀ ν ∈ ℤ .  (6.22)

Beweis: Siehe Anhang B.

Indem wir nun wieder \frac{π}{L}l statt ωt schreiben, wird (6.21) zu

f (\frac{π}{ωL}l) = lim_{n→+∞} ∑_{ν=−n}^{+n} c_{ν}(f) e^{i \frac{νπ}{L} l} ∀ l ∈ ℝ · Längeneinheit

und (6.20) zu

c_{ν}(f) = \frac{1}{2L} ∫_{− \frac{π}{ω}}^{+ \frac{π}{ω}} f (\frac{π}{ωL}l) e^{−i \frac{νπ}{L} l}dl .

Damit ergibt sich für ω = π/L

für ungerade f :

f(l) = 2i ∑_{ν=1}^{∞} c_{ν}(f) sin (\frac{ν π}{L} l)  ∀ l ∈ [−L, +L]
mit  c_{ν}  = −c_{−ν}(f)
= \frac{1}{2iL} ∫_{−L}^{L} f(l) sin (\frac{ν π}{L} l) dl ∀ ν ∈ ℤ .

(6.23)

Entsprechend ergibt sich

für gerade f :

f(l) = c_{0}(f) + 2 ∑_{ν=1}^{∞} c_{ν}(f) cos (\frac{ν π}{L} l) ∀ l ∈ [−L, +L]
mit  c_{ν} = c_{−ν}(f)
= \frac{1}{2L} ∫_{−L}^{L} f(l) cos (\frac{ν π}{L} l) dl  ∀ ν ∈ ℤ .

(6.24)

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11Dank der Dirichlet-Bedingungen ist f dann für hinreichend kleines ϵ > 0 auch über U_{ϵ}(I) stetig.

Für stetig differenzierbare f ist die Konvergenz in (6.23) und (6.24) nach Satz 6.2.5 absolut und gleichmäßig über [−L, L] . Daher läßt sich die (nach 6.1.2 eindeutige) Lösung Ψ(l, t) der homogenen Wellengleichung (6.7) zu den Randbedingungen (6.8)/(6.12) und Anfangsbedingungen (6.11) für hinreichend gutartige g, h in der Form

Ψ(l, t) = 2i ∑_{n=1}^{∞} (c_{n}(g)Φ_{n}(l, t) + \frac{c_{n}(h)}{n ω_{0}}Ψ_{n}(l, t))

darstellen, wobei die Φ_{n}(l, t), Ψ_{n}(l, t) die speziellen Lösungen aus 6.1.3 sind und die Anfangswertfunktionen g und h als ungerade Funktionen fortgesetzt zu denken sind (Beweis als Übungsvorschlag).

6.2.2 Fourier-Integrale

Für L → +∞ bzw. ω → 0 geht die Fourier-Reihe in ein Fourier-Integral über:

Satz 6.2.6 Die komplexwertige Funktion f(t) genüge den Dirichletschen Bedingungen mit Ausnahme der Periodizitätsforderung (i) und sei absolut integrabel, d.h. es sei

lim_{T →+∞} ∫_{−T}^{T} |f(t)| dt < ∞ .

Dann existiert die sog. Fourier-Transformierte

f̃(ω) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{+∞} f(t) e^{−iωt} dt ∀ ω ∈ ℝ/Zeiteinheit  (6.25)

und genügt der Bedingung

f(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} lim_{Ω→+∞} ∫_{−Ω}^{+Ω} f̃(ω) e^{iωt} dω ∀ t ∈ ℝ · Zeiteinheit .  (6.26)

Beweis: Siehe Anhang B.

Anmerkung: Zur (approximativen) numerischen Bestimmung des Fourier-Integrals wird in der Praxis die sog. schnelle Fourier-Transformation (FFT) — siehe z.B. Anhang A.1 von (Lücke, musi) — benutzt.

Für hinreichend gutartige f erkennt man leicht^{12} die Gültigkeit des folgenden ‘Fourier-Vokabulars’:

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12Regel (F9) ist eine einfache Folgerung aus (4.99).

f(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ f̃(ω)e^{+iωt} dω f̃(ω) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ f(t)e^{−iωt} dt
c f(t)  c f̃(ω)  (F1)
f_{1}(t) + f_{2}(t)  f̃_{1}(ω) + f̃_{2}(ω)  (F2)
\frac{∂}{∂t}f(t)  iω f̃(ω)  (F3)
t f(t)  i\frac{∂}{∂ω} f̃(ω)  (F4)
f(t + τ)  e^{+iωτ} f̃(ω)  (F5)
e^{−iω_{0}t}f(t)  f̃(ω + ω_{0})  (F6)
(f(t))^{∗}  (f̃(−ω))^{∗}  (F7)
(f(−x))^{∗}  (f̃(ω))^{∗}  (F8)
f(t) = e^{−λt^{2}}  f̃(ω) = \frac{1}{\sqrt{2λ}}e^{− \frac{1}{4λ} ω^{2}}  (F9)
\sqrt{2π}f_{1}(t)f_{2}(t)  ∫ f̃_{1}(ω′)f̃_{2}(ω − ω′) dω′ (F10)
∫ f_{1}(t′)f_{2}(t − t′) dt′  \sqrt{2π}f̃_{1}(ω)f̃_{2}(ω)  (F11)
∫ f(t) dt = \sqrt{2π}f̃(0)  (F12)

6.3 Feldgleichungen

6.3.1 Freie elektromagnetische Wellen

In der Vorlesung über klassische Elektrodynamik wird gezeigt werden, daß die Komponenten sowohl der elektrischen Feldstärke als auch der magnetischen Kraftflußdichte elektromagnetischer Strahlung der homogenen Wellengleichung

(\frac{1}{c} \frac{∂}{∂t})^{2} Ψ(x, t) − ΔΨ(x, t) = 0  (6.27)

über dem ℝ^{3} genügen, wobei c nun den Betrag der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bezeichnet. Anstelle von (6.8) verlangt man nun, daß die Lösungen Ψ(x, t) zu jedem Zeitpunkt t für x → ∞ hinreichend schnell abfallen. Dann rechnet man mithilfe des Gaußschen Satzes und (4.91) leicht nach, daß die analog (6.10) definierte ‘Energie’

E_{Ψ} =^{def} ∫_{ℝ^{3}} ((\frac{1}{c} \frac{∂}{∂t}Ψ(x, t))^{2} + (∇Ψ(x, t))^{2}) dV_{x}  (6.28)

zeitlich konstant ist. Wie in 6.1.2 folgt daraus die Eindeutigkeit der Lösung des Anfangswertproblems

Ψ(x, 0) = g(x) , \frac{∂}{∂t}Ψ(x, 0) = h(x) .  (6.29)

Direkte Verallgemeinerung der d’Alembertsche Lösung (6.19) von (6.7) liefert die speziellen Lösungen^{13}

Ψ(x, t) = Ψ_{f,k}(x, t) =^{def} f(c |k| t − k · x) ,  (6.30)

von (6.27), die man als (nicht monochromatische) ebene Wellen bezeichnet. Dabei darf f natürlich nicht mehr periodisch sein, sondern sollte stattdessen im Unendlichen hinreichend schnell verschwinden. (6.27) stellt zwar nicht mehr die allgemeinste Lösung von (6.27) dar, aber die Resultate zum Fourier-Integral zeigen, daß sich jede Lösung von (6.27) als (kontinuierliche) Überlagerung von Lösungen der Form (6.30) darstellen läßt:

Ψ(x, t) = (2π)^{−3/2} ∫_{ℝ^{3}} (e^{+i|k|ct}Ψ̃_{+}(k) + e^{−i|k|ct}Ψ̃_{−}(k)) e^{ik·x} dV_{k}  (6.31)

mit

Ψ̃_{±}(k) =^{def} \frac{1}{2} (h̃(k) ± \frac{g̃(k)}{i |k| c}) ,

ist offensichtlich die Lösung von (6.27) zu den Anfangsbedingungen (6.29), wobei

f̃(k) =^{def} (2π)^{−3/2} ∫ f(x) e^{−ik·x} dV_{k}  (6.32)

die direkte 3-dimensionale Verallgemeinerung der Fourier-Transformierten (6.25) ist.

6.3.2 Wärmeleitung

Die Lösung (6.31) von (6.27) hätte man mithilfe der Fourierschen Integraltransformation auch systematisch ableiten können. Die Verfahren soll am Beispiel der Wärmeleitung erläutert werden:

Die Temperaturverteilung u(x, t) eines homogenen, isotropen Körpers genügt — solange keine Wärmequellen (oder -Senken) vorhanden sind —der Wärmeleitungsgleichung

\frac{∂}{∂t}u(x, t) = D Δ u(x, t) ,  (6.33)

also der Diffusionsgleichung (4.57) mit der ‘Diffusionskonstanten’

D = \frac{Wärmeleitfähigkeit}{(spezifische Wärme)·(Massendichte)} .

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gestellt sind.

13Antisymmetrie in x muß nicht mehr gefordert werden, da im Endlichen keine Randbedingungen

Anmerkung: (6.33) entspricht der Kontinuitätsgleichung

ρ̇(x, t) + div ȷ(x, t) = 0

für die Wärmestromdichte

ȷ(x, t) = −grad u(x, t) · Wärmeleitfähigkeit

und die räumliche Wärmemengendichte ρ(x, t) = u(x, t) · (spezifische Wärme) · Massendichte .

Offensichtlich ist (6.33) – für hinreichend gutartige u(x, t) – äquivalent zu der Gleichung

\frac{∂}{∂t}ũ(k, t) = −D |k|^{2} ũ(k, t)  (6.34)

für die Fourier-Transformierte

ũ(k, t) =^{def} (2π)^{−3/2} ∫ u(x, t) e^{−ik·x} dV_{k}

von u(x, t) bzgl. x . Die allgemeine Lösung von (6.34) ist

ũ(k, t) = e^{−D|k|^{2}t} ũ(k) ,

wobei u(k) beliebig ist. Die Lösung von (6.33) zu (hinreichend gutartig) vorgegebenem u(x, 0) ist also

u(x, t) = (2π)^{−3/2} ∫ e^{−D|k|^{2}t+ik·x} ũ(k) dV_{k} ,  (6.35)

mit

ũ(k) =^{def} (2π)^{−3/2} ∫ u(x, 0) e^{−ik·x} dV_{x} .

Mit den Regeln zur Fourier-Transformation folgt daraus für t ≥ 0 :

u(x, t) = (2π)^{− \frac{3}{2}} ∫ p_{t}(x′) u(x − x′, 0) dV_{x′} ,

wobei

p_{t}(x′) =^{def} (2π)^{− \frac{3}{2}} ∫ e^{−D|k|^{2} t} e^{i k·x} dV_{k}
= (D t)^{− \frac{3}{2}} e^{− \frac{|x|^{2}}{4 D t}} .

Im Einklang mit der physikalischen Interpretation gilt also

(u(x, 0) ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ^{3})  ⟹  (u(x, t) ≥ 0 ∀ xℝ^{3} , t > 0) .

Daß (6.35) für negative t i.a. nicht existiert, ist physikalisch durchaus plausibel (Irreversibilität des Wärmetransports).

Anhang A

Tensoren^{1}

A.1 Der Dualraum

A.1.1 Linearformen

Definition A.1.1 Unter einer Linearform über einem reellen Vektorraum V versteht man eine Zuordnung

\underbrace{v}_{∈V} ⟼ \underbrace{Φ(v)}_{reelle Zahl} ,

die die Bedingung

Φ(α v_{1} + β v_{2}) = α Φ(v_{1}) + β Φ(v_{2})

für alle v_{1}, v_{2} ∈ V und für alle reellen α, β erfüllt.

Definition A.1.2 Sein Φ_{1}, Φ_{2} Linearformen über einunddemselben reellen Vektorraum V und sei γ eine beliebige reelle Zahl. Dann definiert man die Linearformen γ Φ_{1} und Φ_{1} + Φ_{2} durch:

\begin{matrix}(γ Φ_{1}) (v) & =^{def} & γ(Φ_{1}(v)) , \\ (Φ_{1} + Φ_{2}) (v) & =^{def} & Φ_{1}(v) + Φ_{2}(v) \end{matrix} \} ∀ v ∈ V .

Lemma A.1.3 Sei V ein reeller Vektorraum. Dann ist die Menge V^{∗} aller Linearformen über V mit der in Definition A.1.2 erklärten Multiplikation und Addition ebenfalls ein reeller Vektorraum, der sog. zu V duale Vektorraum (der Kovektoren).

Beweis: Offensichtlich.

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1Siehe auch (Fischer und Kaul, 2003, Kap. II, § 8, Nr. 4)

A.1.2 Die duale Basis

Lemma A.1.4 Sei {b_{1}, …, b_{n}} eine Basis des n-dimensionalen reellen Vektorraumes V . Dann gibt es genau eine (Minimal-) Basis {Φ^{1}, …, Φ^{n}} von V^{∗}, die sog. zu {b_{1}, …, b_{n}} duale Basis, mit

Φ^{j}(b_{k}) = δ_{k}^{j} für j, k = 1, …, n .

Beweis: Jeder Vektor v ∈ V läßt sich eindeutig in der Form

v = λ^{1} b_{1} + … + λ^{n} b_{n}

darstellen, weshalb die Definition

Φ^{j}(v) =^{def} λ^{j}

erlaubt und notwendig ist. Man erkennt daraus auch unmittelbar, daß für beliebige Φ ∈ V^{∗} die Darstellung

Φ = μ_{1} Φ^{1} + … + μ_{n} Φ^{n}

gilt, wobei die μ_{j} eindeutig und durch

μ_{j} = Φ(b_{j})

gegeben sind.

Folgerung A.1.5 Sei {b_{1}, …, b_{n}} eine Basis des n-dimensionalen reellen Vektorraumes V . Dann gilt für die zu {b_{1}, …, b_{n}} reziproke Basis {b^{1}, …, b^{n}} in V und die zu {b_{1}, …, b_{n}} duale Basis {Φ^{1}, …, Φ^{n}} in V^{∗} der Zusammenhang

Φ^{j}(v) = (b^{j}, v) für alle v ∈ V und j = 1, …, n .

Beweis: Folgt direkt aus Lemma A.1.4 und (2.30).

A.1.3 Basiswechsel

Lemma A.1.6

Gegeben: (i) n-dimensionaler reeller Vektorraum V , (ii) reelle Zahlen λ_{j}^{k}, (iii) Basen {b_{1}, …, b_{n}} und {b′_{1}, …, b′_{n}} von V mit^{2} b′_{k} =^{def} λ_{k}^{l} b_{l} für k = 1, …, n.

Behauptung: Der Zusammenhang zwischen der zu {b′_{1}, …, b′_{n}} dualen Basis {Φ^{′1}, …, Φ^{′n}} und der zu {b_{1}, …, b_{n}} dualen Basis {Φ^{1}, …, Φ^{n}} ist durch

Φ^{j} = λ_{k}^{j} Φ^{′k}

und somit auch durch

Φ^{′j} = λ_{k}^{j} Φ^{k}

gegeben, wobei die λ_{k}^{j} eindeutig durch

λ_{j}^{l}λ_{k}^{j} = δ_{k}^{l} für j, k = 1, …, n  (K6)

charakterisiert sind.

Beweisskizze: Die Gleichung Φ^{j} = λ_{k}^{j} Φ^{′k} folgt aufgrund der Eindeutigkeit der Entwicklungskoeffizienten aus

Φ^{j}(b′_{r}) = λ_{r}^{l} Φ^{j}(b_{l})
= λ_{r}^{j}
= λ_{l}^{j} Φ^{′k}(b′_{r}) .

Entsprechend folgt (K6) durch Einsetzen von Φ^{′j} = λ_{k}^{j} Φ^{k} in Φ^{l} = λ_{j}^{l} Φ^{′j}.

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2Wir benutzen die Einsteinsche Summationskonvention: Wenn in einem Produkt einunddieselbe Variable einmal als oberer und einmal als unterer Index auftritt, dann ist darüber von 1 bis n zu summieren. Es gilt also z.B.

λ_{k}^{l} b_{l} = λ_{k}^{1} b_{1} + λ_{k}^{2} b_{2} + … + λ_{k}^{n} b_{n} .

A.2 Allgemeine Tensoren

A.2.1 Definitionen

Definition A.2.1 Seien V_{1}, …, V_{N} reelle Vektorräume. Dann versteht man unter einer Multilinearform über V_{1} × … × V_{N} eine Zuordnung

\underbrace{v_{1}}_{∈V_{1}} \underbrace{v_{2}}_{∈V_{2}}, …, \underbrace{v_{N}}_{∈V_{N}} ⟶ \underbrace{T (v_{1}, …, v_{N})}_{reelle Zahl} ,

die die Bedingung

T (v_{1}, …, α v_{j} + β v′_{j}, …, v_{n}) = α T (v_{1}, …, v_{N}) + β T (v_{1}, …, v′_{j}, …, v_{N})

für alle j ∈ {1, …, N}, alle v′_{j} ∈ V_{j}, alle v_{k} ∈ V_{k} (k = 1, …, N) und alle reellen α, β erfüllt.

Definition A.2.2 Sei V ein reeller Vektorraum. Unter einem p-stufig kontravarianten und q-stufig kovarianten Tensor über V versteht man^{3} dann eine Multilinearform über V_{1} × … × V_{p+q}, sofern genau p der Vektorräume V_{1}, …, V_{p+q} mit V^{∗}, die übrigen mit V übereinstimmen. Im Falle q = 0 spricht man auch von einem kontravarianten Tensor p-ter Stufe und im Falle p = 0 von einem kovarianten Tensor q-ter Stufe. Unter einem Tensor 0. Stufe, auch Skalar genannt, versteht man eine reelle Zahl. Tensoren 2. Stufe nennt man auch Dyaden.

Definition A.2.3 Sei T ein Tensor der Stufe (p, q) über dem reellen Vektorraum V . Dann nennt man T symmetrisch, falls

T (v_{1}, …, v_{p+q}) = T (v_{π(1)}, …, v_{π(p+q)})

für alle Permutationen π von 1, …, p + q gilt, die die Bedingung

V_{j} = V ⟺ V_{π(j)} = V für j = 1, …, p + q

erfüllen. Im Falle

T (v_{1}, …, v_{p+q}) = sign (π) T (v_{π(1)}, …, v_{π(p+q)})

nennt man T antisymmetrisch.

Beispiele:

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3Siehe z.B. (Naas und Schmid, 1967).

(i) Jedem Vektor v ∈ V entspricht (1-1-deutig) ein kontravarianter Tensor

T_{v}(Φ) =^{def} Φ(v) für Φ ∈ V^{∗}

1. Stufe über V .

(ii) jeder Kovektor Φ ∈ V^{∗} ist ein kovarianter Tensor 1. Stufe über V .

(iii) Das Skalarprodukt eines euklidischen reellen Vektorraumes V ist ein symmetrischer kovarianter Tensor 2. Stufe über V .

(iv) Das Spat-Produkt eines 3-dimensionalen euklidischen reellen Vektorraumes V ist ein antisymmetrischer kovarianter Tensor 3. Stufe über V .

(v) Jeder linearen Abbildung L eines reellen Vektorraumes V in sich entspricht (1-1-deutig) ein ‘gemischter’ Tensor

T_{L}(Φ, v) =^{def} Φ (L(v)) für Φ ∈ V^{∗} , v ∈ V

der Stufe (1,1) über V .

Definition A.2.4 Sei V ein reeller Vektorraum. Seien weiterhin T_{1}, T_{2} Tensoren über V der Stufe (p_{1}, q_{1}) bzw. (p_{2}, q_{2}) . Dann definiert man als Produkt (Tensorprodukt, im Falle p_{1} + q_{1} = p_{2} + q_{2} = 1 auch dyadisches Produkt genannt) die Multilinearform^{4}

(T_{1} ⊗ T_{2}) (v_{1}, …, v_{p_{1}+q_{1}}, v′_{1}, …, v′_{p_{2}+q_{2}}) =^{def} T_{1} (v_{1}, …, v_{p_{1}+q_{1}}) T_{2} (v′_{1}, …, v′_{p_{2}+q_{2}})

über V_{1} × ⋯ × V_{p_{1}+q_{1}} × V′_{1} × ⋯ × V′_{p_{2}+q_{2}} .

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4Somit ist T_{1} ⊗ T_{2} also ein Tensor der Stufe (p_{1} + p_{2}, q_{1} + q_{2}) über V .

184 ANHANG A. TENSOREN

A.2.2 Komponenten-Darstellung von Tensoren

Lemma A.2.5 Gegeben: (i) Ein n-dimensionaler reeller Vektorraum V , (ii) ein Tensor T über V der Stufe (p, q) mit V_{1}, …, V_{p} = V^{∗} und V_{p+1}, …, V_{p+q} = V , (ii) eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V .

Behauptung: Für alle reellen Zahlen μ_{k}^{r} , μ_{s}^{k} (r = 1, …, p , s = 1, …, q; k = 1, …, n) gilt T (μ_{k_{1}}^{1}Φ^{k_{1}}, …, μ_{k_{p}}^{p}Φ^{k_{p}}, μ_{1}^{j_{1}}v_{j_{1}}, …, μ_{q}^{j_{q}}v_{j_{q}}) = μ_{k_{1}}^{1} ⋯ μ_{k_{p}}^{p}μ_{1}^{j_{1}} ⋯ μ_{q}^{j_{q}}T _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}} , wobei die reellen Zahlen T _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}} , die sog. Komponenten von T bzgl. der Basis {b_{1}, …, b_{n}} eindeutig und durch

T _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}} =^{def} T (Φ^{k_{1}}, …, Φ^{k_{p}}, b_{j_{1}}, …, b_{j_{q}})

gegeben sind.^{5}

Beweis: Offensichtlich. Beispiele:

(i) Für v ∈ V gilt^{6}

(T_{v})^{k} = Φ^{k}(v) für k = 1, …, n .

(ii) Für Φ ∈ V^{∗} gilt

(T_{Φ})_{j} = Φ(b_{j}) für j = 1, …, n .

(iii) Falls die lineare Abbildung L von V in V durch

L(b_{j}) = λ_{j}^{k} b_{k} für j = 1, …, n

charakterisiert ist, gilt

(T_{L})_{j}^{k} = λ_{j}^{k} für j, k = 1, …, n .

Version vom 26. März 2009

5Wie in A.1.2 bezeichnet {Φ^{k_{1}}, …, Φ^{k_{p}}} die zu b_{1}, …, b_{n} duale Basis.

6Vgl. Beispiel (i) in A.2.1.

Für einen Tensor entsprechend Lemma A.2.5 gilt offensichtlich:

T = T _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}} T_{b_{k_{1}}} ⊗ … ⊗ T_{b_{kp}} ⊗ T_{Φ^{j_{1}}} ⊗ … ⊗ T_{Φ^{jq}} .

Die Gesamtheit dieser Vektoren (zu festen n, p, q) bildet einen reellen Vektorraum der Dimension n^{p+q}.

Lemma A.2.6

Gegeben: (i) ein n-dimensionaler reeller Vektorraum V , (ii) ein Tensor T über V der Stufe (p, q) mit V_{1} = … = V_{p} = V^{∗} und V_{p+1} = … = V_{p+q} = V , (iii) eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V . (iv) reelle Zahlen λ_{j}^{k} mit det (λ_{j}^{k}) ≠ 0 .

Behauptung: Der Zusammenhang zwischen den Komponenten T′ _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}} von T bzgl. der neuen Basis der

b′_{j} =^{def} λ_{j}^{k}b_{k} für j = 1, …, n

und den Komponenten T _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}} von T bzgl. der Basis {b_{1}, …, b_{n}} ist geben durch

T′ _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}} = λ_{l_{1}}^{k_{1}} ⋯ λ_{l_{p}}^{k_{p}}λ_{j_{1}}^{m_{1}} ⋯ λ_{j_{q}}^{m_{q}}T _{m_{1}...m_{q}}^{l_{1}...l_{p}} ,

wobei die λ_{j}^{k} wieder durch (K6) eindeutig charakterisiert sind.

Beweis: Direkte Folge von Lemma A.1.6 und Lemma A.2.5.

Anmerkung: Entsprechendes gilt für andere Anordnungen von V und V^{∗} in der Folge V_{1}, …, V_{p+q}. Z.B. definiert man für den Tensor T der Stufe (2,3) im Falle V_{1} = V_{4} = V^{∗} , V_{2} = V_{3} = V_{5} = V :

T _{j_{1}j_{2} j_{3}}^{k_{1} k_{2}} =^{def} T (Φ^{k_{1}}, b_{j_{1}}, b_{j_{2}}, Φ^{k_{2}}, b_{j_{3}})

für k_{1}, k_{2}, j_{1}, j_{2}, j_{3} ∈ {1, …, n}. Dann gilt entsprechend:
T′ _{j_{1}j_{2} j_{3}}^{k_{1} k_{2}} = λ_{l_{1}}^{k_{1}}λ_{j_{1}}^{m_{1}}λ_{j_{2}}^{m_{2}}λ_{l_{2}}^{k_{2}}λ_{j_{3}}^{m_{3}}T _{m_{1}m_{2} m_{3}}^{l_{1} l_{2}} .

Folgerung A.2.7 Im Falle p, q ≥ 1 gibt es unter den Voraussetzungen von Lemma A.2.6 einen Tensor T̂ der Stufe (p − 1, q − 1), dessen Komponenten T̂ _{j_{1}...j_{q−1}}^{k_{1}...k_{p−1}} bzgl. {b_{1}, …, b_{n}} aus denen von T durch sog. Kontraktion der Indizes k_{p} und j_{q} hervorgehen:

T̂ _{j_{1}...j_{q−1}}^{k_{1}...k_{p−1}} = T _{j_{1}...j_{q−1}k_{p}}^{k_{1}...k_{p}} .

Beweis: Direkte Folge von Lemma A.2.6 und (K6).

A.2.3 Natürliche Zuordnungen

Nach Beispiel (i) von A.2.1 lassen sich die Vektoren v ∈ V in natürlicher Weise eineindeutig den kovarianten Tensoren 1. Stufe über V zuordnen; weshalb vielfach beide Begriffe synonym benutzt werden. Entsprechendes gilt gemäß Beispiel (v) von A.2.1 für den Zusammenhang zwischen den linearen Abbildungen von V in V und den Tensoren der Stufe (1,1) über V .

Wenn V euklidisch ist, dann liefert das Skalarprodukt nach Folgerung A.1.5 auf natürliche Weise eine eineindeutige (strukturerhaltende) Zuordnung zwischen den Elementen von V^{∗} und V . Daraus folgt eine natürliche Zuordnung zwischen Tensoren über V zu gleichem p + q.

Lemma A.2.8

Gegeben: (i) ein n-dimensionaler, euklidischer (reeller) Vektorr. V , (ii) ein Tensor T über V der Stufe (p, q) , wobei V_{1} = … = V_{p} = V^{∗}, (iii) eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V .

1. Behauptung: Die Zuordnung^{7}

\underbrace{Ψ^{1}, …, Ψ^{p+1}}_{∈V^{∗}} , \underbrace{v_{2}, …, v_{q}}_{∈V} ⟼ T (Ψ^{1}, …, Ψ^{p}, Ψ^{p+1} (b^{j}) b_{j}, v_{2}, …, v_{q})

ist von der speziellen Wahl der Basis {b_{1}, …, b_{n}} unabhängig und stellt (im Falle q > 0) einen Tensor der Stufe (p + 1, q − 1) über V dar, dessen Komponenten bzgl. {b_{1}, …, b_{n}} konventionsgemäß mit

T _{j_{2}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p+1}}

bezeichnet werden, um den engen Zusammenhang mit T zu betonen.

2. Behauptung: Die Zuordnung^{8}

\underbrace{Ψ^{1}, …, Ψ^{p−1}}_{∈V^{∗}} , \underbrace{v_{q+1}, v_{1}, …, v_{q}}_{∈V} ⟼ T (Ψ^{1}, …, Ψ^{p−1}, (b_{j}, v_{q+1}) Φ^{j}, v_{1}, …, v_{q})

ist von der speziellen Wahl der Basis {b_{1}, …, b_{n}} unabhängig und stellt (im Falle p > 0) einen Tensor der Stufe (p − 1, q + 1) über V dar, dessen Komponenten bzgl. {b_{1}, …, b_{n}} konventionsgemäß mit

T _{j_{1}...j_{q+1}}^{k_{1}...k_{p−1}}

bezeichnet werden.^{9}

Version vom 26. März 2009

7Hier bezeichnet {b^{1}, …, b^{n}} wieder die zu {b_{1}, …, b_{n}} reziproke Basis.

8Hier bezeichnet {Φ^{1}, …, Φ^{m}} wieder die zu {b_{1}, …, b_{n}} duale Basis.

9Die Bezeichnungsweise ist konsistent: Herunterziehen eines zuvor heraufgezogen Indexes — bzw. umgekehrt — führt auf die ursprünglichen Komponenten zurück.

Beweis: Der Tensorcharakter der angegebenen Zuordnungen ist evident. Es ist also nur die Basisunabhängigkeit der Definitionen, d.h. von Ψ^{p+1} (b^{j}) b_{j} und (b_{j}, v_{q+1}) Φ^{j} zu zeigen. Das folgt aber aus

\begin{aligned}b′_{j} = λ_{j}^{k}b_{k} & ⟺ & b′^{j} = λ_{k}^{j}b^{k} \\ & ⟺ & Φ′^{j} = λ_{k}^{j}Φ^{k} , \end{aligned}

wobei der Zusammenhang zwischen den λ_{j}^{k} und den λ_{k}^{j} durch (K6) bzw. durch

λ_{j}^{k} λ_{l}^{j} = δ_{l}^{k}

gegeben ist.^{10}

Anmerkung: Durch Mehrfachanwendung der in Lemma A.2.8 angegebenen Vorschrift sind natürlich auch die Tensoren mit den Komponenten

T _{k_{p′+1}...k_{p}j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p′}}

(für beliebiges p ∈ {0, …, p − 2}) und

T _{j_{q′+1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}j_{1}...j_{q′}}

(für beliebiges q ∈ {0, …, q − 2})erklärt.

Folgerung A.2.9

Gegeben: (i) ein n-dimensionaler, euklidischer (reeller) Vektorr . V , (ii) eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V .

Behauptung: Für den sog. metrischen Tensor

g(v_{1}, v_{2}) =^{def} \underbrace{(v_{1}, v_{2})}_{Skalarprod.}

gilt

g_{kj} = (b_{k}, b_{j}) , g_{j}^{k} = (b^{k}, b^{l}) g_{lj} , g^{kj} = (b^{k}, b^{j}) .

Beweis: Die erste Beziehung folgt direkt aus der Definition der Komponenten eines Tensors. Die zweite Beziehung folgt daraus mit

g_{j}^{k}  =_{per Def.} g (Φ^{k} (b^{l}) b_{l}, b_{j})
=  Φ^{k} (b^{l}) g_{lj}
=_{Folg. (A.1.5)} (b^{k}, b^{l}) g_{lj}

Version vom 26. März 2009

10Vgl. Lemma A.1.6 und Folgerung A.1.5.

und

(b^{k}, b^{l}) (b_{l}, b_{j}) = (b^{k}, (b_{l}, b_{j}) b^{l})
=_{Folg. (2.1.6)} (b^{k}, b_{j})
=  δ_{j}^{k} .

Die letzte Beziehung folgt aus

g^{kj} = g (Φ^{k} (b^{l}) b_{l}, Φ^{j} (b^{m}) b_{m})

analog zur ersten mit Folgerung A.1.5.

Folgerung A.2.10 Unter den Voraussetzungen von Lemma A.2.8 gilt für die dort angesprochenen Tensorkomponenten (im Falle q > 0)

T _{j_{2}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p+1}} = g^{k_{p+1}j_{1}} T _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}}

und (im Falle p > 0)

T _{j_{1}...j_{q+1}}^{k_{1}...k_{p−1}} = g_{j_{1}k_{p}}T _{j_{1}...j_{q}}^{k_{1}...k_{p}}

(die g_{jk} und g^{kj} sind wie in Folgerung A.2.9 definiert).

Beweis: Analog Folgerung A.2.9.

Anmerkung: Entsprechendes gilt für andere Anordnungen von V^{∗} und V in der Folge V_{1}, …, V_{p+q}. Z.B. ist einem Tensor der Stufe (2,3) über V mit den Komponenten T _{j_{1}j_{2} j_{3}}^{k_{1} k_{2}} genau ein Tensor der Stufe (3,2) mit den Komponenten

T_{j_{1} j_{2}}^{k_{1} k_{2}k_{3}} = g_{j_{1}l}g^{k_{1}m}g^{k_{3}r}T _{mj_{2} r}^{l k_{2}}

bzgl. der Basis {b_{1}, …, b_{n}} zugeordnet.

A.2.4 Physikalische Tensoren

Im Zusammenhang mit physikalischen Betrachtungen ist es oft zweckmäßig, auch das Produkt eines Tensors über V mit einer physikalischen Größeneinheit als Tensor (gleicher Stufe) über V zu bezeichnen. Wir beschränken uns hier auf 3-dimensionales V . Als Komponenten des neuen Tensors bzgl. der Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} von V seien dann die mit der Größeneinheit multiplizierten Komponenten des ursprünglichen Tensors bezeichnet; z.B.

T̂_{jkl} = V (b_{1}, b_{2}, b_{3}) · Volumeneinheit

im Falle

T̂ (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =^{def} V (x_{1}, x_{2}, x_{3}) · Volumeneinheit für x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ V .

Unter Verwendung der in 1.1.5 besprochenen natürlichen Zuordnungen zwischen verschiedenen 3-dimensionalen physikalischen Vektorräumen lassen sich dann Tensoren auch in natürlicher Weise mit multilinearen Abbildungen über Sequenzen verschiedener 3-dimensionaler physikalischer Vektorräume identifizieren; z.B.:

T (v, F, x) = T (v \frac{Längeneinh.}{Geschw.-Einh.}, F \frac{Längeneinh.}{Krafteinh.}, x) · \frac{Geschw.-Einh.}{Längeneinh.} · \frac{Krafteinh.}{Längeneinh.} .

Die Regeln für das Herauf- und Herunterziehen von Tensorindizes entsprechend A.2.3 übertragen sich automatisch auf den so erweiterten Tensorbegriff.

A.3 Antisymmetrische Tensoren

A.3.1 Volumenformen

Definition A.3.1 Unter einer Volumenform über einem n-dimensionalen reellen Vektorraum V versteht man einen antisymmetrischen kovarianten Tensor n-ter Stufe über V .

Lemma A.3.2

Gegeben: (i) ein n-dimensionaler reeller Vektorraum V , (ii) eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V , (iii) eine reelle Zahl V_{0} .

Behauptung: Es existiert genau eine Volumenform V über V mit

V(b_{1}, …, b_{n}) = V_{0} ,

nämlich diejenige mit den Komponenten

V(b_{k_{1}}, …, b_{k_{n}}) = ϵ_{k_{1}...k_{n}}^{1 ... n} V_{0}

bzgl. {b_{1}, …, b_{n}}, wobei

ϵ_{k_{1}...k_{n}}^{j_{1}...j_{n}} =^{def} \{ \begin{matrix}+1 & falls (k_{1}, …, k_{n}) gerade Permutation von (j_{1}, …, j_{n}) , \\ −1 & falls (k_{1}, …, k_{n}) ungerade Permutation von (j_{1}, …, j_{n}) , \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Für beliebige

v_{j} = λ_{j}^{k}b_{k} ∈ V

gilt also

V(v_{1}, …, v_{n}) =^{def} det (λ_{j}^{k}) V_{0} ,

mit

det (λ_{j}^{k}) =^{def} λ_{1}^{k_{1}} ⋯ λ_{n}^{k_{n}}ϵ_{k_{1}...k_{n}}^{1 ... n} .

Beweis: Offensichtlich.

Lemma A.3.3

Gegeben: (i) ein n-dimensionaler reeller Vektorraum V , (ii) eine nichttriviale Volumenform V über V , (iii) Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V .

Behauptung: V(v_{1}, …, v_{n}) = 0 ⟺ {v_{1}, …, v_{n}} linear abhängig .

Beweis: Seien die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig. Dann ist {v_{1}, …, v_{n}} nach Lemma 1.2.6 eine Basis. Wenn V aber für eine Basis verschwindet, muß V nach Lemma A.3.2 für beliebige Argumente verschwinden. Nach Voraussetzungen (ii) müssen die v_{1}, …, v_{n} also linear abhängig sein, wenn V(v_{1}, …, v_{n}) = 0 gilt. Seien nun die v_{1}, …, v_{n} linear abhängig angenommen. Dann läßt sich einer der Vektoren, den wir o.B.d.A. mit v_{1} identifizieren können, als Linearkombination der übrigen schreiben:

v_{1} = λ^{2}v_{2} + … + λ^{n}v_{n} für geeignete λ^{2}, …, λ^{n} ∈ ℝ

(für n=1 ist das Lemma trivial). Dann gilt aber

V(v_{1}, …, v_{n}) = ∑_{j=2}^{n} λ^{j}V(v_{j}, …, v_{n})

= ∑_{j=2}^{n} λ^{j}(−1)^{j}V(v_{2}, …, v_{j}, v_{j}, …, v_{n})

und somit V(v_{1}, …, v_{n}) = 0 aufgrund der Antisymmetrie von V.

Folgerung A.3.4

Gegeben: (i) ein n-dimensionaler reeller Vektorraum V , (ii) nichttriviale Volumenformen V_{1}, V_{2} über V .

Behauptung: Entweder gilt für jede Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V

V_{1}(b_{1}, …, b_{n})V_{2}(b_{1}, …, b_{n}) > 0 ,

oder es gilt für jede Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V

V_{1}(b_{1}, …, b_{n})V_{2}(b_{1}, …, b_{n}) < 0 .

Beweis: Folgt direkt aus Lemmata Lemma 2.7 und 2.8.

A.3.2 Orientierung endlichdimensionaler Vektorräume

Definition A.3.5 Unter einer Orientierung eines n-dimensionalen reellen Vektorraumes versteht man die Einteilung aller Minimalbasen in Rechts- und Linkssysteme mithilfe einer nichttrivialen Volumenform V :

\{b_{1}, …, b_{n}\} \{ \begin{matrix}Rechtssystem & falls V(b_{1}, …, b_{n}) > 0 , \\ Linkssystem & falls V(b_{1}, …, b_{n}) < 0 \end{matrix}

(vgl. Folgerung von 2.2.1.)

Folgerung A.3.6 Die Orientierung eines n-dimensionalen reellen Vektorraumes ist bereits festgelegt, sobald für mindestens eine Minimalbasis gesagt ist, ob sie ein Rechts- oder ein Linkssystem ist.

Beweis: Folgt direkt aus Definition A.3.5 und Folgerung A.3.4.

Folgerung A.3.7 Für reelle Zahlen λ_{j}^{k} , μ_{k}^{j} (j, k = 1, …, n) gilt stets

det (λ_{j}^{l} μ_{l}^{k}) = det (λ_{j}^{k}) det (μ_{j}^{k})

(auf der rechten Seite ohne Summation über gleiche Indizes).

Beweis: Man wähle eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} eines n-dimensionalen reellen Vektorraumes, eine Volumenform V darüber mit V(b_{1}, …, b_{n}) = 1 (nach Lemma A.3.2 stets möglich) und definiere:

c_{j} =^{def} μ_{j}^{k}b_{k} : d_{j} =^{def} λ_{j}^{k}c_{k} = (λ_{j}^{l} μ_{l}^{k}) b_{k} .

Falls die c_{j} linear abhängig sind, dann sind natürlich auch die d_{j} linear abhängig und die Behauptung folgt direkt aus Lemmata A.3.2 und 2.1.7.

192 ANHANG A. TENSOREN Andernfalls, wenn die c_{j} linear unabhängig sind, also nach Lemma 1.2.6 eine Basis bilden, folgt gemäß Lemma A.3.2:

det (λ_{j}^{l} μ_{l}^{k}) = V(d_{1}, …, d_{n})
= det (λ_{j}^{k}) V(c_{1}, …, c_{n})
= det (λ_{j}^{k}) det (μ_{j}^{k}) .

Lemma A.3.8 Gegeben: (i) ein n-dimensionaler, reeller euklidischer Vektorraum V , (ii) eine Volumenform V über V , (iii) zwei Orthonormalbasen {e_{j}} , {e′_{j}} von V .

Behauptung: |V(e_{1}, …, e_{n})| = |V(e′_{1}, …, e′_{n})|.

Beweis: Zweifache Anwendung von Lemma 2.1.5 (für V′ = V) liefert

e′_{j} = λ_{j}^{l}e_{l}  (A.1)
= λ_{j}^{l}μ_{l}^{k}e′_{k}  (A.2)

mit

λ_{j}^{k} = (e_{k}, e′_{j}) =_{(S2)}(e′_{j}, e_{k}) = μ_{k}^{kj} .  (A.3)

Aus (A.2) folgt mit Lemma 1.3

λ_{j}^{l}μ_{l}^{k} = δ_{j}^{k} =^{def} \{ \begin{matrix}1 & für j = k, \\ 0 & sonst \end{matrix}

und somit

1 = det (λ_{j}^{l}μ_{l}^{k}) =_{F olg. (2.1.4)} det (λ_{j}^{k}) det (μ_{j}^{k})
=_{(A.3)} |det (λ_{j}^{k})|^{2} ,

insbesondere also

|det (λ_{j}^{k})| = 1 .

Mit (A.1) und Lemma A.3.2 folgt daraus die Behauptung.

Folgerung A.3.9

Gegeben: (i) ein n-dimensionaler, reeller euklidischer Vektorraum V , (ii) eine Orientierung von V .

Behauptung: Es gibt genau eine Volumenform V über V , die wir die natürliche nennen wollen, die die Bedingungen

V(e_{1}, …, e_{n}) = \{ \begin{matrix}+1 & falls \{e_{1}, …, e_{n}\} Rechtssystem , \\ −1 & falls \{e_{1}, …, e_{n}\} Linkssystem \end{matrix}

für jede Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V erfüllt.

Beweis: Folgt direkt aus Lemma A.3.2, Folgerung A.3.4 und Lemma A.3.8.

Anmerkung: Üblicherweise benutzt man die Schreibweise

det(v_{1}, …, v_{n}) =^{def} V(v_{1}, …, v_{n})

für die natürliche Volumenform V.

A.3.3 Allgemeine antisymmetrische Tensoren

Im Hinblick auf Abschnitt A.2.3 können wir uns hier auf kovariante Tensoren beschränken. Einen antisymmetrischen Tensor der Stufe (0, q) bezeichnet man auch als q-Form .

Definition A.3.10 Seien V ein n-dimensionaler ein reeller Vektorraum, A eine a-Form über V und B eine b-Form über V . Dann definiert man das äußere Produkt A ∧ B von A und B gemäß^{11}

(A ∧ B) (v_{1}, …, v_{a+b}) =^{def} \frac{1}{a!} \frac{1}{b!} ϵ_{1 ... a+b}^{j_{1}...j_{a+b}}A (v_{j_{1}}, …, v_{j_{a}}) B (v_{j_{a+1}}, …, v_{j_{a+b}})
für v_{1}, …, v_{a+b} ∈ V .

Für beliebige Ψ^{1}, …, Ψ^{q} ∈ V^{∗} gilt entsprechend Definition A.3.10 also:^{12}

Ψ^{1} ∧ … ∧ Ψ^{q} = ϵ_{j_{1}...j_{q}}^{1 ... q} Ψ^{j_{1}} ⊗ … ⊗ Ψ^{j_{q}} .

Als unmittelbare Folgerung hieraus ergibt sich:

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11Somit gilt hier: A ∧ B = (−1)^{ab}B ∧ A.

12Da die Produkte ⊗ und ∧ assoziativ sind, kann hier auf die Verwendung von Klammern verzichtet werden.

Lemma A.3.11

Gegeben: (i) ein n-dimensionaler reeller Vektorraum V , (ii) eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V , (iii) eine natürliche Zahl q, (iii) eine q-Form A über V .

Behauptung: Mit der zu {b_{1}, …, b_{n}} dualen Basis {Φ^{1}, …, Φ^{n}} gilt:

A = \frac{1}{q!} A(b_{j_{1}}, …, b_{j_{q}}) Φ^{j_{1}} ∧ … ∧ Φ^{j_{q}} .

Die Gesamtheit aller q-Formen über einem n-dimensionalen reellen Vektorraum V bilden also einen reellen Vektorraum der Dimension \binom{c}{q}. Für q > n stellt die Abbildung auf 0 die einzige q-Form über V dar.

Lemma A.3.12

Gegeben: (i) ein euklidischer reeller Vektorraum V , (ii) eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} von V , (iii) eine natürliche Volumenform V über V , (iv) eine q-Form A über V , q ≤ n.

Behauptung: Die durch

(∗A)(v_{q+1}, …, v_{n}) =^{def} \frac{1}{q!} A (b^{j_{1}}, …, b^{j_{q}}) V (b_{j_{1}}, …, b_{j_{q}}, v_{q+1}, …, v_{n})
für v_{q+1}, …, v_{n} ∈ V

gegebene n − q-Form ∗A ist von der Wahl der Basis {b_{1}, …, b_{n}} unabhängig.

Beweis: ∗A ist das \frac{1}{q!} fache der q-fachen Kontraktion des Tensorprodukts von A und V. Die Behauptung folgt also aus Folgerung A.2.7; bzw. direkt aus (K6).

Für (physikalisch) dimensionslose, rechtshändige Orthonormalbasen {e_{1}, …, e_{n}} gilt entsprechend Lemma A.3.12 für den sog. Hodge-Sternoperator ∗ offensichtlich

(∗A)(e_{q+1}, …, e_{n}) = A(e_{1}, …, e_{q}) .

Daraus erkennt man, daß der Hodge-Sternoperator bis auf ein eventuelles Vorzeichen idempotent ist, d.h.

∗(∗A) = (−1)^{q(n−q)} A ,

A.3. ANTISYMMETRISCHE TENSOREN 195 und daß für n = 3 in Analogie zum Vektorprodukt

∗(Φ^{1} ∧ Φ^{2}) = Φ^{3}

gilt.

196 ANHANG A. TENSOREN

Anhang B

Beweise zur Fourier-Theorie

B.1 Integral-Sinus und Folgen vom Typ δ

Der sog. Integral-Sinus

Si(λ) =^{def} ∫_{0}^{λ} \frac{sin(λ′)}{λ′} dλ′ = ∑_{ν=0}^{∞}(−1)^{ν} \frac{λ^{2ν+1}}{(2ν + 1) · (2ν + 1)!}

gehört zu den sog. ‘nicht elementaren Funktionen’, d.h. er läßt sich nicht durch eine Formel definieren, in der nur endlich viele algebraische oder trigonometrische Operationen mit der unabhängigen Variablen, der Funktion selbst und Konstanten ausgeführt werden. Der Grenzwert für λ → +∞ läßt sich dagegen exakt als Vielfaches von π angeben:

lim_{λ→+∞} ∫_{0}^{λ} \frac{sin(λ′)}{λ′} dλ′ = \frac{π}{2} .  (B.1)

Beweisskizze zu (B.1): Durch Unterteilung des Integrationsbereichs an den Nullstellen von sin(λ′) erkennt man leicht die Stetigkeit^{1} von

h(ϵ) =^{def} ∫_{0}^{∞} e^{−ϵλ′} \frac{sin(λ′)}{λ′} dλ′ für ϵ ≥ 0 .

Version vom 26. März 2009

1Man beachte, daß beschränkte, monotone Folgen stets konvergieren und daß auch (1 − e^{−λ})/λ für λ > 0 monoton fallend ist:

\frac{d}{dλ} \frac{1 − e^{−λ}}{λ} = −\frac{1 − (1 + λ)e^{−λ}}{λ^{2}} < 0 ∀ λ > 0 ; denn 1 + λ < e^{λ} = 1 + λ + \frac{1}{2}λ^{2} + …

Für ϵ > 0 gilt darüber hinaus

\frac{d}{dϵ}h(ϵ) = − ∫_{0}^{∞} e^{−ϵλ} sin λ dλ
= \frac{i}{2} ∫_{0}^{∞} (e^{−(ϵ−i)λ} − e^{−(ϵ+i)λ}) dλ
= \frac{−1}{1 + ϵ^{2}}

und somit

h(ϵ) = \frac{π}{2} − arctan ϵ ∀ ϵ > 0 ,

wegen lim_{ϵ→+∞} h(ϵ) = 0 . Für ϵ → +0 ergibt sich damit die Behauptung.

Definition B.1.1 Eine Folge stückweise stetiger, beschränkter Funktionen δ_{0}(λ) , δ_{1}(λ) , δ_{2}(λ) , … über ℝ bezeichnen wir als Folge vom Typ δ, wenn für jede stückweise stetige, beschränkte Funktion f(λ) über ℝ und für alle reellen a, b mit a < 0 < b

lim_{ν→+∞} ∫_{a}^{b} f(λ) δ_{ν}(λ) dλ = lim_{ϵ→+0} \frac{f(+ϵ) + f(−ϵ)}{2}

gilt.

Lemma B.1.2 Sei g(λ) eine komplexwertige, stückweise stetige, beschränkte Funktion über ℝ, die folgenden beiden Bedingungen genügt:

(i)

g(λ) ≥ 0 ∀ λ ∈ ℝ ,

(ii)

lim_{λ→+∞} ∫_{−λ}^{0} g(λ′) dλ′ = lim_{λ→+∞} ∫_{0}^{+λ} g(λ′) dλ′ = \frac{1}{2} .

Dann ist

δ_{n}(λ) =^{def} n g(nλ) für n ∈ ℤ_{+} , λ ∈ ℝ

eine Folge vom Typ δ.

Beweisskizze: Für beliebiges ϵ > 0 und natürliches n existieren nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung geeignete

λ_{ϵ,n}^{−} ∈ (−ϵ, 0) , λ_{ϵ,n}^{+} ∈ (0, +ϵ)

mit

∫_{−ϵ}^{+ϵ} f(λ) n g(nλ) dλ = f(λ_{ϵ,n}^{−}) ∫_{−ϵ}^{0} n g(nλ) dλ + f(λ_{ϵ,n}^{+}) ∫_{0}^{+ϵ} n g(nλ) dλ .

Wegen

\begin{matrix}|∫_{−∞}^{+∞} f(λ) n g(nλ) dλ − ∫_{−ϵ}^{+ϵ} f(λ) n g(nλ) dλ| \\ ≤ sup_{λ′∈ℝ}|f(λ′)| ((\frac{1}{2} − ∫_{−ϵ}^{0} n g(nλ) dλ) + (\frac{1}{2} − ∫_{0}^{+ϵ} n g(nλ) dλ)) \end{matrix}

und

lim_{n→∞} ∫_{−ϵ}^{0} n g(nλ) dλ = lim_{n→∞} ∫_{0}^{+ϵ} n g(nλ) dλ = \frac{1}{2}

folgt daraus die Behauptung.

Nach (B.1) genügt

g(λ) = \frac{sin λ}{πλ}

allen Anforderungen von Lemma B.1.2 mit Ausnahme der Positivitätsforderung (i). Daher^{2} ist der Beweis von Lemma B.1.2 nicht übertragbar, aber

δ_{n}(λ) = \frac{sin(nλ)}{πλ}

ist dennoch eine Folge vom Typ δ, wie wir im nächsten Abschnitt zeigen werden.

B.2 Dirichletsche Formel

Definition B.2.1 Man sagt von einer (komplexwertigen) Funktion f(t) , sie sei von endlicher Variation über [a, b] , falls eine Konstante C existiert mit:

a ≤ t_{0} < t_{1} < … t_{n} ≤ b ⟹ ∑_{ν=1}^{n} |f(t_{ν}) − f(t_{ν−1})| < C

(für alle natürlichen n). Das dabei kleinstmögliche C bezeichnet man als die Totalvariation T_{f}[a, b] von f über [a, b] .

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2Leider divergiert auch ∫_{−∞}^{+∞} |\frac{sin λ}{πλ}| dλ.

Lemma B.2.2 Sei f(t) eine stetige komplexwertige Funktion endlicher Variation^{3} über [0, t′] . Dann gilt für a, b, c ∈ [0, t′] stets

a ≤ b ≤ c ⟹ T_{f}[a, b] + T_{f}[b, c] = T_{f}[a, c]  (B.2)

und T_{f}[0, t] ist eine stetige Funktion von t über [0, t′] .

Beweisskizze: Die Additivitätseigenschaft (B.2) ist offensichtlich und bedingt, daß T_{f}[a, b] für jeweils festes a ∈ [0, t′) eine monoton wachsende Funktion von b ∈ [a, t′] ist. Daher existiert ihr Grenzwert für b → a , b > a. Da aufgrund der Stetigkeit von f zu jedem b_{ν} ∈ (a, t′) ein b_{ν+1} ∈ (a, b_{ν})

existiert mit T_{f}[b_{ν+1}, b_{ν}] > \frac{1}{2} lim_{ϵ→+0} T_{f}[a, a + ϵ] , muß wegen (B.2)

lim_{ϵ→+0} T_{f}[a, a + ϵ] = 0

gelten. Analog zeigt man

lim_{ϵ→+0} T_{f}[b − ϵ, b] = 0

für b ∈ (0, t′] .

Satz B.2.3 (Dirichletsche Formel) Zu gegebenen t′, ω > 0 (entspr. phys. Dim.) existiert stets eine Nullfolge {ϵ_{λ}}_{λ∈ℝ_{+}} ⊂ ℝ_{+} , mit folgender Eigenschaft:

Für jede komplexwertige, über [0, t′] stückweise stetige Funktion f(t) endlicher Variation und für jedes λ ∈ ℝ_{+} gilt:^{4}

|\frac{1}{2}f(+0) − ω ∫_{0}^{t′} f(t) \frac{sin(λωt)}{πωt} dt| ≤ T_{f}[0, ϵ_{λ} t′] + (|f(+0)| + T_{f}[0, t′]) ϵ_{λ} .

Beweis: Wir bezeichnen mit U die Menge aller Unstetigkeitsstellen von f innerhalb (0, t′) und mit n_{λ} die Anzahl der Elemente von

W_{λ} =^{def} U ∪ ([0, t′] ∩ \{\frac{ν π}{λ |ω|} : ν ∈ ℤ_{+}\}) .

Dann läßt sich W_{λ} in der Form

W_{λ} = {t_{λ,1}, …, t_{λ,n_{λ}}} , t_{λ,1} < t_{λ,2} < … < t_{λ,n_{λ}} ,

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3Beispiel einer stetigen Funktion unendlicher Variation: f(t) =^{def} \{ \begin{matrix}t sin \frac{1}{ωt} & für t > 0 , \\ 0 & für t = 0 . \end{matrix}

4Wir benutzen die Schreibweise f(+0) =^{def} lim_{t→+0} f(t) .

schreiben und es gilt

∫_{0}^{t′} f(t) \frac{sin(λωt)}{πωt} dt = ∑_{ν=1}^{n_{λ}−1} ∫_{t_{λ,ν}}^{t_{λ,ν+1}} f(t) \frac{sin(λωt)}{πωt} dt .

Weil f innerhalb (t_{λ,ν}, t_{λ,ν+1}) jeweils stetig ist und \frac{sin(λωt)}{πωt} innerhalb (t_{λ,ν}, t_{λ,ν+1}) jeweils das Vorzeichen nicht ändert, existieren also gemäß Mittelwertsatz der Integralrechnung Zeitpunkte

t′_{λ,ν} ∈ (t_{λ,ν}, t_{λ,ν+1})

mit

ω ∫_{0}^{t′} f(t) \frac{sin(λωt)}{πωt} dt = ∑_{ν=1}^{n_{λ}−1} f(t′_{λ,ν}) a_{ν} ,

wobei

a_{ν} =^{def} ω ∫_{t_{λ,ν}}^{t_{λ,ν+1}} \frac{sin(λωt)}{πωt} dt = ∫_{λ ω t_{λ,ν}}^{λ ω t_{λ,ν+1}} \frac{sin(τ)}{πτ} dτ für ν ∈ ℕ .

Somit genügt also der Nachweis einer von f unabhängigen Nullfolge {ϵ_{λ}}_{λ∈ℝ_{+}} ⊂ ℝ_{+} mit

|D_{λ}| ≤ T_{f}[0, ϵ_{λ} t′] + \frac{1}{2} |f(+0)| ϵ_{λ}  (B.3)

für

D_{λ} =^{def} ∑_{ν=1}^{n\sqrt{λ}} f(t′_{λ,ν}) a_{ν} − \frac{1}{2}f(+0)

und

|N_{λ}| ≤ \frac{1}{2} (|f(+0)| + T_{f}[0, t′]) ϵ_{λ}  (B.4)

für

N_{λ} =^{def} ∑_{ν=1+n\sqrt{λ}}^{n_{λ}} f(t′_{λ,ν}) a_{ν} .

Dazu verwenden wir das Verfahren der Abelschen partiellen Summation:^{5}

D_{λ} = ∑_{ν=1}^{n\sqrt{λ}}((f(t′_{λ,ν})−f(t′_{λ,ν+1}))∑_{μ=1}^{ν} a_{μ} + f(t′_{λ,ν+1})∑_{μ=1}^{ν} a_{μ} −f(t′_{λ,ν})∑_{μ=1}^{ν−1} a_{μ})− \frac{1}{2}f(+0)

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5Siehe z.B. (Knopp, 1947). Wir benutzen die übliche Konvention

∑_{ν=n_{1}}^{n_{2}} c_{ν} =^{def} 0 für n_{1} > n_{2}

und betrachten nur hinreichend große λ, für die n\sqrt{λ} < n_{λ} gilt.

= ∑_{ν=1}^{n\sqrt{λ}}(f(t′_{λ,ν}) − f(t′_{λ,ν+1}))∑_{μ=1}^{ν} a_{μ} + (f(t′_{λ,1+n\sqrt{λ}})∑_{μ=1}^{n\sqrt{λ}} a_{μ} − \frac{1}{2}f(+0)) ,  (B.5)

N_{λ} = ∑_{ν=1+n\sqrt{λ}}^{n_{λ}} ((f(t′_{λ,ν}) − f(t′_{λ,ν−1})) ∑_{μ=ν}^{n_{λ}} a_{μ} − f(t′_{λ,ν}) ∑_{μ=ν+1}^{n_{λ}} a_{μ} + f(t′_{λ,ν−1})∑_{μ=ν}^{n_{λ}} a_{μ})
= ∑_{ν=1+n\sqrt{λ}}^{n_{λ}} (f(t′_{λ,ν}) − f(t′_{λ,ν−1})) ∑_{μ=ν}^{n_{λ}} a_{μ} + f(t′_{λ,n\sqrt{λ}}) ∑_{μ=1+n\sqrt{λ}}^{n_{λ}} a_{μ} .  (B.6)

Da nach (B.1)

∑_{ν=1}^{∞} a_{ν} = \frac{1}{2}

gilt und sup_{0<ν≤1+n\sqrt{λ}} t_{λ,ν} eine Nullfolge ist, folgt für geeignete ϵ_{λ} (B.3) aus

(B.5) mit Lemma B.2.2 und (B.4) aus (B.6).

B.3 Konvergenz der Fourier-Reihen

Lemma B.3.1 Beschränkte monotone Funktionen über abgeschlossenen Intervallen sind von endlicher Variation.^{6}

Beweis: Offensichtlich.

Lemma B.3.2 Stetig differenzierbare Funktionen über abgeschlossenen Intervallen sind von endlicher Variation.

Beweis: Sei f(t) eine über [a, b] stetig differenzierbare, komplexwertige Funktion. Gemäß Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt dann für beliebige t_{ν} mit

a ≤ t_{0} < t_{1} < … t_{n} ≤ b

stets

\begin{aligned}∑_{ν=1}^{n} |f(t_{ν}) − f(t_{ν−1})| & = & ∑_{ν=1}^{n} |ḟ(t′_{ν})| |t_{ν} − t_{ν−1}| \\ & ≤ & (b − a) max_{t∈[a,b]} |ḟ(t)| \end{aligned}

für geeigenete t′_{ν} ∈ [t_{ν−1}, t_{ν}] und somit die Behauptung.

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6Umgekehrt läßt sich zeigen, daß eine reellwertige Funktion endlicher Variation stets die Differenz zweier beschränkter monotoner Funktionen ist (Satz von Camille Jordan, siehe z.B. (Riesz und Sz.-Nagy, 1982, S. 21)).

Lemma B.3.3 Produkte von Funktionen endlicher Variation sind ebenfalls von endlicher Variation.

Beweis: Da Funktionen endlicher Variation beschränkt sein müssen, folgt die Behauptung aus

\begin{matrix}∑_{ν=1}^{n} & |f(t_{ν})g(t_{ν}) − f(t_{ν−1})g(t_{ν−1})| \\ ≤ ∑_{ν=1}^{n}(|g(t_{ν})| |f(t_{ν}) − f(t_{ν−1})| + |f(t_{ν−1})| |g(t_{ν}) − g(t_{ν−1})|) . \end{matrix}

Beweisskizze zu Satz 6.2.5: Aus

∑_{n=−N}^{N−1} e^{−inωt} = e^{−iωt} ∑_{n=−N}^{N−1} e^{−inωt} + e^{+iNωt} − e^{−iNωt}

folgt

∑_{n=−N}^{N−1} e^{−inωt} = \frac{2i sin (Nωt)}{1 − e^{−iωt}}

und somit:

∑_{n=−N}^{N−1} ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} f(t)e^{−inω(t−t′)} dt = 2π ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} f(t)\frac{iω(t − t′)}{1 − e^{−iω(t−t′)}} \frac{sin (Nω(t − t′))}{πω(t − t′)} dt
=_{τ=t−t′} 2π ∫_{− \frac{π}{|ω|} −t′}^{+ \frac{π}{|ω|} −t′} f(τ + t′)\frac{iωτ}{1 − e^{−iωτ}} \frac{sin (Nωτ)}{πωτ} dτ .

Nach Lemma B.3.1 hat f(t+t′) für beliebiges t′ als Funktion von t endliche Variation

über [−\frac{π}{|ω|}, +\frac{π}{|ω|}] und nach Lemma B.3.2 auch \frac{iωt}{1 − e^{−iωt}} . Nach Lemma B.3.3 ist also

auch f(t + t′) \frac{iωt}{1 − e^{−iωt}} von endlicher Variation, so daß Satz B.2.3

lim_{N→+∞} ∑_{n=−N}^{N−1} ∫ \frac{+π}{|ω|} ; \frac{−π}{|ω|} f(t)e^{−inω(t−t′)} dt = \frac{2π}{|ω|} lim_{ϵ→+0} \frac{f(t′ + ϵ) + f(t′ − ϵ)}{2}

liefert. Gemäß (6.20) und wegen^{7}

lim_{N→∞} c_{N}(f) = 0 ,  (B.7)

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7Aus Satz B.2.3 folgt unmittelbar

lim_{N→∞} ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} f(t) sin (Nωt) dt = lim_{N→∞} ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} (πωtf(t)) \frac{sin (Nωt)}{πωt} dt = 0 .

ist das gleichbedeutend mit (6.21). Die gleichmäßige Konvergenz von (6.21) über jedem abgeschlossenen Interval, über dem f stetig ist, folgt entsprechend durch

gleichmäßige Abschätzung bzgl. t′ der Variation von f(t + t′) \frac{iωt}{1 − e^{−iωt}} .

Damit ist auch klar, daß zu jeder über [−\frac{π}{|ω|}, +\frac{π}{|ω|}] stückweise stetigen Funktion

ḟ und zu jedem ϵ > 0 eine natürliche Zahl N und komplexe Zahlen γ_{ν} existieren mit

ϵ > \frac{ω}{2π} ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} |ḟ(t) − ∑_{ν=−N}^{ν=+N} γ_{ν} e^{iωt}|^{2} dt

= ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} |ḟ(t)|^{2} dt + ∑_{ν=−N}^{ν=+N} |γ_{ν}|^{2} − 2 ∑_{ν=−N}^{ν=+N} ℜ (γ_{ν}^{∗} c_{ν}(ḟ))

= ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} |ḟ(t)|^{2} dt − ∑_{ν=−N}^{ν=+N} |c_{ν}(ḟ)|^{2} + ∑_{ν=−N}^{ν=+N} |γ_{ν} − c_{ν}(ḟ)|^{2}

und somit

ϵ > ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} |ḟ(t) − ∑_{ν=−N}^{ν=+N} c_{ν}(ḟ) e^{−iωt}|^{2} dt ,

d.h.

lim_{N→∞} ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} |ḟ(t) − ∑_{ν=−N}^{ν=+N} c_{ν}(ḟ) e^{−iωt}|^{2} dt = 0 .

Daraus folgt schließlich

∑_{ν∈ℤ} |c_{ν}(ḟ)|^{2} < ∞

und somit für stückweise stetig differenzierbares, stetiges f die absolute Konvergenz von (6.21) aufgrund der Beziehung (6.22), die dann durch partielle Integration folgt.

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Daß auch

lim_{N→∞} ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} f(t) cos (Nωt) dt = 0

gilt, läßt sich leicht mit der Methode zeigen, die im Beweis von Satz B.2.3 benutzt wurde. Für stetig differenzierbares f(t) ergäbe sich (B.7) einfacher aus

∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} f(t) e^{−iNωt} dt = ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} f(t) (\frac{d}{dt} \frac{i}{Nω} e^{−iNωt}) dt = −\frac{i}{Nω} ∫_{− \frac{π}{|ω|}}^{+ \frac{π}{|ω|}} ḟ(t) e^{−iNωt} dt

durch einfache Betragsabschätzung.

B.4. ZUM FOURIER-INTEGRAL 205

B.4 Zum Fourier-Integral

Für beliebige Kreisfrequenzen Ω gilt unter den Voraussetzungen von Satz 6.2.6

∫_{−Ω}^{+Ω} (∫_{−∞}^{+∞} f(t′) e^{−iωt′} dt′) e^{+iωt} dω

= lim_{T →+∞} ∫_{−Ω}^{+Ω} (∫_{−T}^{+T} f(t′) e^{−iωt′} dt′) e^{+iωt} dω

= lim_{T →+∞} ∫_{−T}^{+T} f(t′) \underbrace{∫_{−Ω}^{+Ω} e^{+iω(t−t′)} dω}_{\frac{2}{t−t′} sin(Ω(t−t′))} dt′

= 2π ∫_{−∞}^{+∞} f(t − t′) \frac{sin (Ωt′)}{πt′} dt′ ,

d.h.:

\frac{1}{\sqrt{2π}} lim_{Ω→+∞} ∫_{−Ω}^{+Ω} f̃(ω) e^{iωt} dω = ∫_{−∞}^{+∞} f(t − t′) \frac{sin (Ωt′)}{πt′} dt′ .

Da zu jedem ϵ > 0 ein T existiert mit

|∫_{−∞}^{+∞} f(t − t′) \frac{sin (Ωt′)}{πt′} dt′ − ∫_{−T}^{+T} f(t − t′) \frac{sin (Ωt′)}{πt′} dt′| < ϵ ,

folgt daraus mit Satz B.2.3 die Behauptung von Satz 6.2.6.

206 ANHANG B. BEWEISE ZUR FOURIER-THEORIE

Anhang C

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe 1 Für beliebig vorgegebene Winkel α, β zeige man:^{1}

a) Es gilt

n_{α+β} = cos β n_{α} + sin β n_{\frac{π}{2} +α} ,

wobei:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} φ n_{φ} e_{3}  e1  n_{φ} =^{def} cos φ e_{1} + sin φ e_{3} ∀ φ ∈ ℝ .

b) Es gelten folgende Gleichungen:

sin(\frac{π}{2} + α) = + cos α ,
cos(\frac{π}{2} + α) = − sin α ,
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α ,
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β ,
cos(2α) = 2 cos^{2} α − 1 ,
cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{1 + cos α}{2}} .

Übungsaufgabe 2 Man zeige:

sin(π/6) = 1/2 , cos(π/6) = \frac{1}{2} ^{+} \sqrt{3} ,
sin(π/4) = 1/ ^{+} \sqrt{2} , cos(π/4) = 1/ ^{+} \sqrt{2}

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1In den Aufgaben 1–3 soll zunächst weitgehend anschaulich argumentiert werden. Das liefert die Motivation für die später in der Vorlesung eingeführte mathematisch exakte Definition der trigonometrischen Funktionen.

und

3 cos^{2}(π/8) − cos^{2}(3π/8) = 1 + ^{+} \sqrt{2} > 2 .

Übungsaufgabe 3 a) Mithilfe des Satzes von Pythagoras zeige man, daß

0 ≤ 2 (1 − cos Δx) ≤ (Δx)^{2} ∀ Δx ∈ (0, π/2)

und somit

lim_{0≠Δx→0} \frac{1 − cos Δx}{Δx} = 0

gilt.

b) Mithilfe von a) und der anschaulich plausiblen Ungleichung

Δx ≤ \frac{sin Δx}{cos Δx} ∀ Δx ∈ (0, π/2)

zeige man, daß

lim_{0≠Δx→0} \frac{Δx − sin Δx}{Δx} = 0 .

c) Mithilfe der Ergebnisse von a) und b) zeige man für beliebiges Bogenmaß x :

lim_{0≠Δx→0} \frac{sin(x + Δx) − sin x}{Δx} = + cos x
lim_{0≠Δx→0} \frac{cos(x + Δx) − cos x}{Δx} = − sin x .

Übungsaufgabe 4

Ein Gewicht G hänge folgendermaßen an

zwei Seilen (ϑ_{1} ≠^{i.a.} ϑ_{2}):

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}GF ϑ_{1} ϑ_{2}

a) Man bestimme die Seilspannungen aus den Winkel ϑ_{1}, ϑ_{2} und der Stärke der auf G einwirkenden Schwerkraft F mithilfe der Regel

F^{1} e_{1} + F^{3} e_{3} = −S_{1} n_{α} − S_{2} n_{β} ⟹ \{ \begin{matrix}S_{1} & = & +\frac{F^{1} sin β − F^{3} cos β}{sin(α − β)} , \\ S_{2} & = & −\frac{F^{1} sin α − F^{3} cos α}{sin(α − β)} , \end{matrix}

wobei wieder:

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1. ϑ_{1} = ϑ_{2} .

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3. ϑ_{1} → 0 ≠ ϑ_{2} fest.

4. ϑ_{1} + ϑ_{2} → π.

Übungsaufgabe 5

Ein Jongleur balanciere einen Stab folgender-

maßen auf seiner Fingerspitze:

Dabei bewege sich der Stab, ohne sich zu drehen, in Richtung von e. Man bestimme die Kraft, die der Jongleur auf den Stab ausübt, aus den Winkeln α, β und der auf den Stab einwirkenden Schwerkraft F.

Übungsaufgabe 6 Eine Fähre, die auf ruhendem Wasser eine maximale Geschwindigkeit vom Betrag č erreicht, soll möglichst schnell auf mit der konstanten Geschwindigkeit v strömendem Wasser geradlinig von A nach B gelangen:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; v; A; B; α]

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Version vom 26. März 2009 2Hinweis: Man verwende die Regeln

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Übungsaufgabe 9 Zwei Fahrzeuge B_{1}, B_{2} bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit v. Zum Zeitpunkt t_{0} befinde sich B_{1} am Punkt P_{1}, B_{2} am Punkt P_{2}. Ein drittes Fahrzeug C bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit vom Betrage c von B_{1} nach B_{2} und ebenso wieder zurück von B_{2} nach B_{1}.

Man zeige, daß

Δt = 2 \frac{|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|}{c} \frac{\sqrt{1 − (\frac{|v|}{c} sin(∠ \overrightarrow{P_{1}P_{2}}, v))^{2}}}{1 − (\frac{|v|}{c})^{2}}

die Zeitdauer ist, die C benötigt, um von B_{1} zu B_{2} und wieder zurück zu B_{1} zu gelangen.

Übungsaufgabe 10 Sei V ein reeller Vektorraum und sei N eine rückeindeutige Abbildung von V in sich mit

N (λ v) = λ N (v) ∀ v ∈ V , λ ∈ ℝ .

Man zeige:

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Version vom 26. März 2009

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N_{e}(λ v) = λ N_{e}(v) ∀ v ∈ V , λ ∈ ℝ ,

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Man bestimme x(t) aus den Anfangsbedingungen x(0) = x_{0}, ẋ(0) = v_{0}.^{11}

Übungsaufgabe 30 Ein PKW-Fahrer fährt zunächst mit konstanter Geschwindigkeit. Zum Zeitpunkt T_{0} sieht er, daß ihm ein LKW die Vorfahrt nimmt. Bis zum Zeitpunkt T = T_{0} + s reagiert er nicht (‘Schrecksekunde’!), danach bremst er sein Fahrzeug endlich mit der konstanten (maximalen) Verzögerung b ab (0 > −b = ‘Beschleungigung’). Nach einer Bremsstrecke der Länge L (Bremsspur!) prallt sein Fahrzeug mit der Geschwindigkeit v_{c} (Unfallschaden!) auf den bereits zum Stehen gekommenen LKW auf.

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Übungsaufgabe 31 Ein Massenpunkt m mit der Ortsvektorfunktion x(t), der sich unter dem Einfluß einer idealen Federkraft −κ x(t) und einer zusätzlichen speziellen Reibungskraft −ρ ẋ(t) bewegt, genügt der Bewegungsgleichung

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Man zeige, daß die entsprechende Gesamtenergie

E(t) =^{def} \frac{m}{2} |ẋ(t)|^{2} + \frac{κ}{2} |x(t)|^{2}

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E(t_{2}) − E(t_{1}) = −ρ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |ẋ(t)|^{2} dt ∀ t_{1}, t_{2} ∈ ℝ

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11Man löse zunächst den Spezialfall x_{0} · C = v_{0} · C = 0 . Der allgemeine Fall läßt sich auf diesen Spezialfall zurückführen, indem man anstelle von x(t) die Ortsvektorfunktion x_{spez}(t) =^{def} x(t) − (x_{0} · e + t v_{0} · e)e , e =^{def} C/|C| betrachtet.

12Man beachte, daß bei niedrigerer Anfangsgeschwindigkeit der Bremsvorgang (nach Ablauf der ‘Schrecksekunde’) in einem größeren Abstand vom Unfallpartner eingeleitet worden wäre!

genügt. Damit beweise man (analog zu Abschnitt 3.5.1 der Vorlesung), daß x(t) wegen m, ρ, κ ≥ 0 für t > 0 durch (C.1) und die Anfangsbedingungen

x(0) = x_{0} , ẋ(0) = v_{0}

eindeutig bestimmt ist.

Übungsaufgabe 32

Ein Kondensator C, ein Ohmscher Widerstand R

und eine Induktivität L seien in Reihe an eine

äußere Spannungsquelle U(t) angeschlossen:

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Man zeige, daß die zeitabhängige Ladung Q(t) des Kondensators der Gleichung

L Q̈(t) + R Q̇(t) + \frac{1}{C} Q(t) = U(t)  (C.2)

genügt und somit für t > 0 durch die Anfangsbedingungen

Q(0) = Q_{0} , Q̇(0) = I_{0}  (C.3)

eindeutig bestimmt ist.^{13}

Übungsaufgabe 33 Sei

Q(t) = z_{+} e^{i λ_{+} t} + z_{−} e^{i λ_{−} t} , z_{±}, λ_{±} ∈ ℂ ,

und Q(t′) ≠ 0 für mindestens ein t′ ∈ ℝ. Man zeige:

a) Q(t) ist im Falle z_{+} ≠ 0 ≠ z_{−} genau dann eine (i.a. komplexwertige) Lösung von

L Q̈(t) + R Q̇(t) + \frac{1}{C} Q(t) = 0  (C.4)

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λ_{±} ∈ \{i \frac{R}{2 L} + \sqrt{\frac{1}{L C} − (\frac{R}{2 L})^{2}} , i \frac{R}{2 L} − \sqrt{\frac{1}{L C} − (\frac{R}{2 L})^{2}}\} .

b) Wenn Q(t) eine Lösung von (C.4), dann auch

Q(t) = ℜ(Q(t)) .

Version vom 26. März 2009

13Man untersuche die Differenz zweier Lösungen wie in Aufgabe 31.

c) Jede Anfangsbedingung

Q(0) = Q_{0} , Q̇(0) = I_{0}

läßt sich durch geeignet Wahl der z_{±} erfüllen, wenn λ_{+} ≠ λ_{−}. Übungsaufgabe 34 Q(t) sei eine Lösung von (C.4). Man zeige:

(i) Im Falle \frac{1}{LC} − (\frac{R}{2L})^{2} > 0 ist Q(t) von der Form

Q(t) = Q_{φ} e^{− \frac{R}{2L} t} cos (ω_{0} t + φ) , ω_{0} =^{def} \sqrt{\frac{1}{LC} − (\frac{R}{2L})^{2}} .

(ii) Im Falle \frac{1}{LC} − (\frac{R}{2L})^{2} < 0 ist Q(t) von der Form

Q(t) = Q_{+} e^{−ρ_{+} t} + Q_{−} e^{−ρ_{−} t} , ρ_{±} =^{def} \frac{R}{2L} ± \sqrt{(\frac{R}{2L})^{2} − \frac{1}{LC}} .

(iii) Im Falle \frac{1}{LC} − (\frac{R}{2L})^{2} = 0 ist die Lösung des Anfangswertproblems

Q(t) = e^{− \frac{R}{2L} t}(Q_{0} + t (I_{0} + \frac{R}{2 L} Q_{0})) .

Man diskutiere das Ergebnis ausführlich. Übungsaufgabe 35 Man löse das Anfangswertproblem

L Q̈(t) + \frac{1}{C} Q(t) = U(t) , Q(0) = Q_{0} , Q̇(0) = I_{0} ,

für zeitlich konstante äußere Spannung U(t) = U_{0} . Übungsaufgabe 36 Man zeige, daß die Gleichung

L Q̈(t) + R Q̇(t) + \frac{1}{C} Q(t) = U_{0} cos(ωt)

für R > 0 eine Lösung der Form Q(t) = Q_{part}(t) = A cos(ωt − φ) besitzt, und bestimme die Konstanten A, φ.

Man zeige außerdem, daß im Falle \frac{1}{LC} − \frac{1}{2} (\frac{R}{L})^{2} > 0 die Amplitude A von

Q_{part}(t) für die Resonanzkreisfrequenz

ω = ω_{r}^{Q} =^{def} \sqrt{\frac{1}{LC} − \frac{1}{2} (\frac{R}{L})^{2}} ,

die Amplitude von I_{part}(t) = Q̇_{part} dagegen für

ω = ω_{r}^{I} =^{def} \frac{1}{\sqrt{LC}}

maximal wird.

Übungsaufgabe 37 Seien m eine Masse, κ eine Federkonstante, ρ eine Dämpfungskonstante mit

ρ < ^{+} \sqrt{m κ}

und F (t) eine stetige von t abhängige Kraft mit

F (t) = 0 ∀ t ≤ 0 .

a) Man zeige, daß

x(t) = c_{1}(t) e^{− \frac{ρ}{m} t} sin(ω_{0} t) + c_{2}(t) e^{− \frac{ρ}{m} t} cos(ω_{0} t)

= \frac{1}{m ω_{0}} ∫_{0}^{t} e^{− \frac{ρ}{m} (t−t′)} sin(ω_{0}(t − t′)) F (t′) dt′ ,

mit

ω_{0} =^{def} ^{+} \sqrt{\frac{κ}{m} − (\frac{ρ}{m})^{2}} ,
c_{1}(t) =^{def} +\frac{1}{m ω_{0}} ∫_{0}^{t} e^{+ \frac{ρ}{m} t′} cos(ω_{0} t′) F (t′) dt′ ,

c_{2}(t) =^{def} −\frac{1}{m ω_{0}} ∫_{0}^{t} e^{+ \frac{ρ}{m} t′} sin(ω_{0} t′) F (t′) dt′ ,

eine Lösung der Gleichung

m ẍ(t) + 2 ρ ẋ(t) + κ x(t) = F (t)

des getriebenen, gedämpften, harmonischen Oszillators ist, für die

x(t) = 0 ∀ t ≤ 0

gilt.

b) Man bestimme x(t) für den Grenzfall

0 ≤ F (t) → f_{0} δ(t) .

Übungsaufgabe 38 Seien m, ρ, κ und ω_{0} wie in Aufgabe 37 vorgegeben und sei θ_{ϵ}(t) eine hinreichend gutartige Einschaltfunktion:

θ_{ϵ}(t) = \{ \begin{matrix}0 & für t ≤ 0 , \\ 1 & für t ≥ T . \end{matrix}

a) Man zeige, daß für

F (t) = F_{0} cos(ω t)

eine Amplitude A > 0 und eine Phase φ ∈ ℝ existieren mit

x_{∞}(t) =^{def} lim_{τ→+∞} \frac{1}{m ω_{0}} ∫_{−τ}^{t} e^{− \frac{ρ}{m} (t−t′)} sin(ω_{0}(t − t′)) θ_{ϵ}(t′ + τ) F (t′) dt′
= A cos(ω t − φ) ∀ t ∈ ℝ

und

m ẍ_{∞}(t) + 2 ρ ẋ_{∞}(t) + κ x_{∞}(t) = F (t) .

b) Mithilfe der Schwingungsgleichung zeige man, daß

A = \frac{F_{0}}{\sqrt[+]{(2 ρ ω)^{2} + (κ − m ω^{2})^{2}}} , φ = arctan \frac{2 ρ ω}{κ − m ω^{2}} mod 2π .

gilt und man φ ∈ (0, π) wählen kann.

c) Man zeige daß A für die Resonanzfrequenz

ω = ^{+} \sqrt{\frac{κ}{m} − 2 (\frac{ρ}{m})^{2}} < ω_{0}

maximal ist und dieser Maximalwert für ρ → 0 divergiert.

Übungsaufgabe 39 Man zeige durch Anwendung des Flächensatzes auf eine entsprechende harmonische Schwingung, daß der Flächeninhalt einer Ellipse mit den Halbachsen-Längen a und b durch π a b gegeben ist.

Übungsaufgabe 40 Gegeben seien ein offenes Zeitintervall J mit 0 ∈ J und eine stetig differenzierbare Ortsvektorfunktion x(t) , die den Bedingungen

x(t) ≠ 0 ∀ t ∈ J

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x(t) × ẋ(t) = 0 ∀ t ∈ J

genüge. Man zeige:

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Übungsaufgabe 41 Die Bewegungsgleichungen zweier Massenpunkte m_{1}, m_{2} mit den Ortsvektorfunktionen x_{1}(t), x_{2}(t) seien:

m_{1} ẍ_{1}(t) = F (|x_{1}(t) − x_{2}(t)|) \frac{x_{1}(t) − x_{2}(t)}{|x_{1}(t) − x_{2}(t)|} ,
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Man zeige, daß die Ortsvektorfunktionen

x_{s}(t) =^{def} \frac{m_{1} x_{1}(t) + m_{2} x_{2}(t)}{m_{1} + m_{2}} , x_{r}(t) =^{def} x_{1}(t) − x_{2}(t)

für Schwerpunkts- und Relativbewegung den Gleichungen

ẍ_{s}(t) = 0 , μ ẍ_{r}(t) = F (|x_{r}(t)|) \frac{x_{r}(t)}{|x_{r}(t)|}

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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; π−φ(t); ϑ; Stoßparameter; x(t); .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; P_{0}]

Man zeige:

a) Der Runge-Lenz-Vektor

Λ =^{def} \frac{ẋ(t) × L}{mλ_{−}} − \frac{x(t)}{|x(t)|}  (C.6)

ist zeitlich konstant.

b) Mit den Definitionen

φ(t) =^{def} ∠(−Λ, x(t)) , φ̇(t) ≥ 0 ,
ϵ =^{def} |Λ| ,
p =^{def} \frac{|L|^{2}}{m^{2} |λ_{−}|}

(C.7)

gilt

ϵ cos φ(t) > 1  (C.8)

und

x(t) = \frac{−p}{1 − ϵ cos φ(t)} (cos φ(t)\frac{Λ}{|Λ|} + sin φ(t)\frac{L × Λ}{|L × Λ|}) , falls L ≠ 0 ≠ Λ . (C.9)

c) Für den Streuwinkel ϑ gilt

sin \frac{ϑ}{2} = \frac{1}{ϵ} .

Übungsaufgabe 43 Ein Massenpunkt m mit der Ortsvektorfunktion x(t) bzgl. P_{0} bewege sich unter dem Einfluß der Schwerkraft, die ein in P_{0} ruhender Massenpunkt M auf m ausübt:

m ẍ(t) = −G m M \frac{x(t)}{|x(t)|^{3}} .

a) Man zeige, daß sich m genau dann auf einer Kreisbahn mit dem Radius r bewegt, wenn ẋ(t) ⊥ x(t) und

|ẋ(t)| = v_{kosm}(r) =^{def} \sqrt{\frac{GM}{r}} (1. kosmische Geschwindigkeit)

für mindestens einen Zeitpunkt (und damit für alle Zeitpunkte) gilt.^{14} b) Man zeige, daß sich m genau dann von M unendlich weit entfernt, wenn

|ẋ(t)| ≥ \sqrt{2} v_{kosm}(|x(t)|) (2. kosmische Geschwindigkeit)

für mindestens einen Zeitpunkt gilt (und damit für alle Zeitpunkte).

Version vom 26. März 2009

14Hinweis: In der Vorlesung wurde gezeigt, daß genau dann eine Kreisbahn vorliegt, wenn der Runge-Lenz-Vektor Null ist.

Übungsaufgabe 44 Man kann zeigen (siehe Abschnitt 4.4.2 der Vorlesung), daß der Eigendrehimpuls einer Kugel der Masse m mit dem Radius r, die sich um eine Achse in Richtung e mit der Winkelgeschwindigkeit φ̇(t) dreht, durch

L_{eigen}(t) = \frac{2}{5} m r^{2} ω(t) , ω(t) =^{def} φ̇(t) e

gegeben ist. Man bestimme daraus die Bewegungsgleichung eines ebenen Schwerependels im homogenen Schwerefeld, das aus einer masselosen starren Stange besteht, an deren Pendelende eine Kugel der Masse m mit dem Radius r befestigt ist.^{15} Der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Pendelaufhängung sei (konstant) l, die Schwerebeschleunigung g.

Übungsaufgabe 45 Gegeben seien ein stetig differenzierbares Skalarfeld g(x) und eine stetig differenzierbare Funktion F über dem Wertebereich von g.

Man zeige:

Φ(x) =^{def} F (g(x)) ⟹ grad Φ(x) = (\frac{d}{dξ} F (ξ))_{|ξ=g(x)} grad g(x) .

Übungsaufgabe 46 Man zeige, daß jedes Vektorfeld der Form

F(x) = f(x · e) e

mit stetigem f(ξ) konservativ ist und gebe ein Potential an.^{16}

Übungsaufgabe 47 Man zeige, daß jedes Vektorfeld der Form

F(x) = f(|x|)\frac{x}{|x|}

mit stetigem f(ξ) und f(0) = 0 konservativ ist und gebe ein Potential an.^{17}

Version vom 26. März 2009

15Hinweis: Man beachte Abschnitt 3.4.2 der Vorlesung.

16Hinweis: Man beachte, daß jede stetige Funktion über ℝ^{1} eine Stammfunktion besitzt.

17Hinweis: Man zeige zunächst

grad |x| = \frac{x}{|x|} ∀ x ≠ 0 .

Übungsaufgabe 48 Sei ω eine Kreisfrequenz.

Man zeige mithilfe der Taylor-Entwicklung, daß

F (t) = −i ∑_{ν=1_{ν ungerade}}^{∞} \frac{1}{ν!} (i ω t)^{ν}

die einzige Lösung des Anfangswertproblems

\begin{matrix}F̈(t) + ω^{2} F (t) = 0 , \\ F (0) = 0 , Ḟ (0) = ω \end{matrix}

ist.

Übungsaufgabe 49 Sei

F (λ) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{1−(λ)^{2}}} & für λ ∈ (−1, +1) \\ 0 & sonst . \end{matrix}

a) Man zeige induktiv, daß

F^{(ν)}(λ) = \frac{P_{ν}(λ)}{Q_{ν}(1 − (λ)^{2})} F (λ) ∀ λ ∈ ℝ \ \{−1, +1\}

für alle ν ∈ ℕ mit geeigneten Polynomen P_{ν} und Q_{ν} gilt.

b) Man zeige, daß F (λ) auch an den Stellen λ = ±1 beliebig oft differenzierbar ist.

c) Man zeige, daß F (λ) an der Stelle λ = 1 nicht Taylor-entwickelbar ist.

Übungsaufgabe 50 Man zeige, daß die Funktion f(λ) = λ^{2} sin(λ^{−2}) zwar (überall) differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist.

Übungsaufgabe 51 Ein Massenpunkt m bewege sich unter dem Einfluß einer idealen Federkraft F (x(t)) = −κ x(t) und einer zusätzlichen äußeren Kraft. Die resultierende Ortsvektorfunktion x(t) sei bekannt und erfülle die Anfangsbedingungen x(0), ẋ(0) = 0. Man bestimme die Arbeit, die

a) die Federkraft,

b) die äußere Kraft

am Massenpunkt während des Zeitintervalls [0, t′] verrichtet, als Funktion von x(t′) und ẋ(t′) .

Übungsaufgabe 52 Ein Experimentator bewege einen Massenpunkt m im Kraft-

feld F(x) = F_{0} − κ x so, daß sich für m die Ortsvektorfunktion x(t) = \frac{1}{2} b t^{2} ergibt.

Man bestimme die Arbeit, die der Experimentator am Massenpunkt während des Zeitintervalls [0, t′] verrichtet, als Funktion von F_{0} , κ und b .

Übungsaufgabe 53 Man zeige, daß ein stetiges Zentralfeld der Form

F(x) = Ψ(x)\frac{x}{|x|}

genau dann konservativ ist, wenn^{18} eine Funktion f existiert mit

Ψ(x) = f(|x|) .

Übungsaufgabe 54

a) Man bestimme das Geschwindigkeitsfeld v(x), das einer Rotation mit konstanter Kreisfrequenz ω_{0} > 0 um die x^{3}-Achse — bzgl. einer rechtshändigen Orthonormalbasis (e_{1}, e_{2}, e_{3}) — entspricht.

b) Man zeige, daß für dieses Geschwindigkeitsfeld

\frac{1}{πR^{2}} ∫_{C} v(x) · dx = 2 ω_{0}

gilt, wenn C der geschlossene Weg entsprechender Orientierung im Abstand R um den Koordinaten-Ursprung in der x^{1}, x^{2}-Ebene ist.

c) Ist v(x) stetig differenzierbar?

Übungsaufgabe 55 In der Ebene mit den orthogonalen Einheitsvektoren e_{1}, e_{2} seien folgende Wege betrachtet:

(i) der Weg C_{1}, der auf dem Kreis vom Radius R um P_{0} von R e_{1} nach R e_{2} führt,^{19}

(ii) der Weg C_{2} der zunächst von R e_{1} geradlinig zu P_{0} und von dort aus geradlinig zu R e_{2} führt.

Man bestimme die Wegintegrale des Vektorfeldes

F(x) = F_{0} − κ_{1} x + κ_{2} (e_{1} × e_{2}) × x

über die Wege C_{1} , C_{2} und diskutiere das Ergebnis.

Version vom 26. März 2009

18Man beachte Aufgabe 47. Zum Beweis der Notwendigkeit der angegebenen Bedingung untersuche man das Wegintegral von F(x) über geschlossene Wege, die sich jeweils aus zwei Wegen in radialer Richtung und zwei Wegen konstanten Abstandes zum Bezugspunkt P_{0} zusammensetzen. Dabei beachte man Lemma 4.2.5, Folgerung 4.2.8 und Gleichung (4.22) der Vorlesung.

19Wie üblich seien die Orte mit ihren Ortsvektoren bzgl. P_{0} identifiziert.

Übungsaufgabe 56 Man berechne das Oberflächenintegral des Gravitationsfeldes

g(x) = −G M \frac{x}{|x|^{3}}

eines Massenpunktes M über den Rand einer Kugel mit dem Radius R, in deren Mittelpunkt sich M befindet.

Übungsaufgabe 57 Man berechne das Volumenintegral, das den Rauminhalt einer Kugel vom Radius R darstellt.

Übungsaufgabe 58 Man bestimme den Schwerpunkt^{20}

\frac{1}{Gesamtmasse} ∫_{Halbkugel} μ x dV_{x}

einer homogenen Halbkugel mit dem Radius R und der Massendichte μ.

Übungsaufgabe 59 Man bestimme den Trägheitstensor (bzgl. des Schwerpunkts) eines homogenen Zylinders mit Gesamtmasse M , Radius R und Länge L.

Übungsaufgabe 60 Sei θ_{t} resp. L(t) der Trägheitstensor resp. Gesamtdrehimpuls eines starren Körpers K zur Zeit t (bzgl. P_{0}), der zu diesem Zeitpunkt im Rechtsschraubensinn um eine in Richtung e(t) orientierte Achse durch P_{0} rotiere. Man zeige:

L(t) = |L(t)| e(t)  ⟺  θ_{t}(e′, e(t)) = 0 ∀ e′ ⊥ e(t) .

Übungsaufgabe 61 Sei v(x) das (zu e parallele) Geschwindigkeitsfeld eines in P_{0} fixierten Mediums, das sich in e-Richtung gleichförmig ausdehne (rotations- und scherungsfrei). Die relative Längenänderung (für e-parallele Strecken) pro Zeit sei d.

a) Man bestimme v(x) und zeige ohne Verwendung des Satzes von Gauß, daß

\frac{1}{Kugelvolumen} ∫_{Kugeloberfl.} v(x) · dS_{x} = d

für jede Kugel mit Mittelpunkt P_{0} gilt, deren Oberfläche nach außen orientiert ist.

b) Man verallgemeinere das Ergebnis für den Fall gleichmäßiger Ausdehnung (mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten) in drei orthogonale Richtungen.

Version vom 26. März 2009

20Vgl. Abschnitt 3.4.1 der Vorlesung.

Übungsaufgabe 62 Man berechne und diskutiere das Gravitationspotential einer homogenen Massenkugel mit dem Radius R und der Gesamtmasse M mithilfe des Gaußschen Gesetzes.

Übungsaufgabe 63 Ein Körper K ruhe, an einem dünnen Seil hängend, ganz innerhalb einer Flüssigkeit konstanter Dichte μ und fülle dabei das einfache Raumgebiet G aus.

Man beweise das sog. Archimedische Prinzip : Die Summe aller Oberflächenkräfte, die die Flüssigkeit auf K ausübt, stimmt mit dem negativen Gewicht der von K verdrängten Flüssigkeitsmenge überein, wenn man das Schwerefeld g (näherungsweise) als konstant betrachtet.^{21}

Übungsaufgabe 64 Man bestimme das Magnetfeld H(x), das von der stationären Stromdichte eines unendlich langen zylindrischen Stromfadens erzeugt wird, aus den Maxwellschen Gleichungen

div \underbrace{B(x)}_{=μ_{0} H(x)} = 0 , rot H(x) = ȷ_{makr}(x) (im S.I.)

und den offensichtlichen physikalischen Nebenbedingungen.

Übungsaufgabe 65 Man zeige, daß aus der Poincaré-Konstruktion

A(x) =^{def} −x × ∫_{0}^{1} λ F(λx) dλ

die Gleichung

rot A(x) = F(x) − x ∫_{0}^{1} λ^{2} (div F) (λx) dλ

folgt, wenn das Vektorfeld F(x) stetig differenzierbar ist.

Übungsaufgabe 66 Sei Φ(x) ein stetig differenzierbares Skalarfeld.

Man zeige, daß in Kugelkoordinaten entspr. der Bezeichnungsweise von Abschnitt 4.3.2 der Vorlesung

(grad Φ)^{r} = \frac{∂}{∂r}Φ ,
(grad Φ)^{ϑ} = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ}Φ ,
(grad Φ)^{φ} = \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}Φ

Version vom 26. März 2009

21Man schreibe die senkrechte Komponente der Summe aller Oberflächenkräfte als Oberflächenintegral und wende darauf den Satz von Gauß an.

gilt.

Übungsaufgabe 67 Sei ȷ(x) ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

Man zeige, daß in Kugelkoordinaten entsprechend der Bezeichnungsweise von Abschnitt 4.3.2 der Vorlesung

(rot ȷ)^{r} = \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ ȷ^{φ}) − \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}ȷ^{ϑ} ,
(rot ȷ)^{ϑ} = \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}ȷ^{r} − \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r ȷ^{φ}) ,
(rot ȷ)^{φ} = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r ȷ^{ϑ}) − \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ}ȷ^{r}

gilt^{22} und diskutiere dieses Ergebnis speziell für Radialfelder im Zusammenhang mit Aufgabe 53.

Übungsaufgabe 68 Sei ȷ(x) ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

Man zeige, daß in Kugelkoodinaten

div ȷ = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}ȷ^{r}) + \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ ȷ^{ϑ}) + \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}ȷ^{φ}

gilt^{23} und bestimme daraus das allgemeinste Zentralfeld, das im Gebiet x ≠ 0 stetig differenzierbar und quellfrei ist.

Übungsaufgabe 69 Sei Φ(x) ein zweimal stetig differenzierbares Skalarfeld. Man zeige, daß in Kugelkoordinaten

△Φ = \frac{1}{r} (\frac{∂}{∂r})^{2} (r Φ) + \frac{1}{r^{2} sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ \frac{∂}{∂ϑ}Φ) + \frac{1}{r^{2} sin^{2} ϑ} (\frac{∂}{∂φ})^{2}Φ

gilt, wobei Φ = Φ(x(r, ϑ, φ)) natürlich als Funktion von r, ϑ, φ aufzufassen ist.^{24}

Übungsaufgabe 70

Version vom 26. März 2009

22Man verwende Folgerung 4.3.9 der Vorlesung und die Mittelwertsätze der Differential- und Integralrechnung.

23Man verwende Folgerung 4.4.10 der Vorlesung und die entsprechenden Mittelwertsätze der Integralrechnung.

24Man beachte die Ergebnisse der Aufgaben 66 und 68.

a) Man zeige, daß zu jedem (hinr. gutart.) Vektorfeld ȷ (x) genau ein lineares Vektorfeld der Form

ȷ_{lin}(x) = ( \begin{matrix}ȷ_{1}^{1} & ȷ_{2}^{1} & ȷ_{3}^{1} \\ ȷ_{1}^{2} & ȷ_{2}^{2} & ȷ_{3}^{2} \\ ȷ_{1}^{3} & ȷ_{2}^{3} & ȷ_{3}^{3} \end{matrix} ) (\begin{matrix}x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, e_{2}, e_{3})

existiert, das ȷ(x) für kleine x im Sinne von

sup_{0<∥x∥<1} \frac{|ȷ (x) − (ȷ (0) + ȷ_{lin}(x))|}{|x|^{2}} < ∞

approximiert.^{25} b) Man zeige, daß die Rotation von ȷ_{lin} genau dann verschwindet, wenn

ȷ_{l}^{k} = ȷ_{k}^{l} ∀ l, k ∈ {1, 2, 3} .

c) Man zeige:^{26}

ȷ_{l}^{k} = −ȷ_{k}^{l} ∀ l, k ∈ \{1, 2, 3\} ⟺ ȷ_{lin}(x) = \frac{1}{2} (rot ȷ)(0) × x .

Übungsaufgabe 71 Man zeige die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in ganz ℂ für f(z) = z und f(z) = e^{z} und bestimme die komplexen Ableitungen.

Übungsaufgabe 72 Für beliebiges ganzzahliges n bestimme man — unter Voraussetzung der elementaren komplexen Differentiationsregeln — das Holomorphiegebiet und die komplexe Ableitung von

1. f(z) = z^{n},

2. f(z) = exp (z^{n}) .

Übungsaufgabe 73 Für beliebig vorgegebene R , z_{0} ∈ ℂ zeige man:

a) Im Falle ℜ (R^{2}) > 0 gilt

lim_{N→∞} ∫_{C_{R,N}} e^{−z^{2}} dz = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}} dx − R ∫_{−∞}^{+∞} e^{−(Rx+z_{0})^{2}} dx  (C.10)

Version vom 26. März 2009

25Man wende die Taylor-Entwicklung auf ȷ (x) bei x = 0 an.

26Vgl. Gl. (4.33) der Vorlesung.

für die geschlossenen Wege C_{R,N} gemäß folgender Skizze:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; −N; N; x; C_{R,N}; z_{0} + R; z_{0}; y]

b) Daraus folgt mit dem Cauchyschen Integralsatz:^{27}

ℜ (R^{2}) > 0 < ℜ(R) ⟹ ∫_{−∞}^{+∞} e^{−(Rx+z_{0})^{2}} dx = \frac{\sqrt[+]{π}}{R} .

Übungsaufgabe 74 Man zeige, daß zu jedem ψ ∈ ℝ eine in ℤ \ S_{ψ} holomorphe Funktion sqrt_{ψ}(z) existiert, für die

(sqrt_{ψ}(z))^{2} = z ∀ z ∈ ℂ \ S_{ψ}

gilt, wobei S_{ψ} den Schnitt

S_{ψ} =^{def} {0} ∪ {z ∈ ℂ : arg(z) = ψ mod 2π}

bezeichnet.

Übungsaufgabe 75 Für z_{0} ∈ ℂ mit ℑ(z_{0}) ∉ {+1, −1} bestimme man mithilfe des Residuensatzes das (uneigentliche) Integral^{28}

∫_{−∞}^{+∞} \frac{e^{+i(x+z_{0})}}{1 + (x + z_{0})^{2}} dx =^{def} lim_{a→−∞} ∫_{a}^{0} \frac{e^{+i(x+z_{0})}}{1 + (x + z_{0})^{2}} dx + lim_{b→+∞} ∫_{0}^{b} \frac{e^{+i(x+z_{0})}}{1 + (x + z_{0})^{2}} dx .

Übungsaufgabe 76 Man diskutiere für reelles ψ jeweils die Umkehrfunktion ln_{ψ}(z) der auf

O_{ψ} =^{def} {x + iy : x ∈ ℝ , y ∈ (ψ − 2π, ψ)}

eingeschränkten Exponentialfunktion und die entsprechende Verallgemeinerung der üblichen Definition

a^{b} =^{def} e^{b ln(a)} ∀ b ∈ ℝ , a > 0 .

Version vom 26. März 2009

27Hinweis: Zunächst bestimme man das Integral für den Spezialfall R = 1 , z_{0} = 0 durch Umformung in die Quadratwurzel eines Flächenintegrals.

28Hinweis: Man beachte:

\frac{1}{(x + z_{0})^{2} + 1} = \frac{1}{2 i} (\frac{1}{x + z_{0} − i} − \frac{1}{x + z_{0} + i}) ∀ x ∈ ℝ .

Übungsaufgabe 77 Gegeben sei ein Polynom Q(z) n-ten Grades mit den paarweise verschiedenen (also einfachen) Nullstellen z_{1}, z_{2}, …, z_{n} und ein Polynom P (z) kleineren Grades.

a) Man zeige mithilfe des Fundamentalsatzes der Algebra, daß die durch

Q_{ν}(z) =^{def} \frac{Q(z)}{z − z_{ν}} ∀ z ∈ ℂ , ν ∈ \{1, …, n\}

definierten Funktionen Q_{1}, …, Q_{n} linear unabhängige Polynome (n − 1)-ten Grades sind.^{29}

b) Man zeige damit die Gültigkeit der Partialbruchzerlegung

\frac{P (z)}{Q(z)} = ∑_{ν=1}^{n} \frac{P (z_{ν})}{Q′(z_{ν})} \frac{1}{z − z_{ν}} ∀ z ∈ ℂ .

c) Man bestimme explizit die Partialbruchzerlegung von

\frac{z^{2} + z_{4}}{(z − z_{1}) (z − z_{2}) (z − z_{3})} .

Übungsaufgabe 78 Sei t_{0} > 0 . Man zeige, daß die Lösung der Differentialgleichung

ẋ(t) = \frac{|x(t)|^{2}}{t_{0} x_{0}}

zur Anfangsbedingung

x(0) = x_{0} > 0

eindeutig ist und sich nicht über das Zeitintervall −∞ < t < t_{0} hinaus stetig differenzierbar fortsetzen läßt.^{30}

Man gebe dafür eine ‘physikalische’ Erklärung.

Version vom 26. März 2009

29Linear unabhängig meint, daß

(∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} Q_{ν}(z) = 0 ∀ z ∈ ℂ) ⟹ λ_{1} = … = λ_{n} = 0

für alle λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ gilt.

30Hinweis: ẋ x^{−2} läßt sich leicht integrieren.

Übungsaufgabe 79 Seien t_{e} > 0 eine vorgegebene Zeiteinheit, ω > 0 eine Kreisfrequenz und

M̂ =^{def} ( \begin{matrix}0 & 1/t_{e} \\ −ω^{2} t_{e} & 0 \end{matrix} ) .

Man zeige:

a) Für jede Lösung x(t) der Differentialgleichung 2. Ordnung

ẍ(t) + ω^{2} x(t) = 0  (C.11)

(des 1-dimensionalen, freien, ungedämpften, harmonischen Oszillators) ist

X(t) = ( \begin{matrix}x(t) \\ t_{e} ẋ(t) \end{matrix} )

eine Lösung der vektoriellen Differentialgleichung 1. Ordnung

\frac{d}{dt} ( \begin{matrix}x(t) \\ t_{e} ẋ(t) \end{matrix} ) = M̂ ( \begin{matrix}x(t) \\ t_{e} ẋ(t) \end{matrix} ) .  (C.12)

b) Für jede Lösung X(t) von (C.12) ist x(t) = X^{1}(t) eine Lösung von (C.11).

c) Mit

e^{M̂ t} =^{def} ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} M̂^{ν} t^{ν} ∀ t ∈ ℝ

und

\begin{matrix}X_{1}(t) & =^{def} & e^{M̂ t} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) \\ X_{2}(t) & =^{def} & e^{M̂ t} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) \end{matrix} \} ∀ t ∈ ℝ

gilt

\begin{matrix}X_{1}(t) & = & ( \begin{matrix}cos & (ω t) \\ −ω t_{e} sin (ω t) \end{matrix} ) \\ X_{2}(t) & = & ( \frac{sin (ω t)}{ω t_{e}} ; cos (ω t) ) \end{matrix} \} ∀ t ∈ ℝ .

d) {X_{1}(t), X_{2}(t)} ist ein fundamentales Lösungssystem von (C.12).

e) Für jede 2-mal stetig differenzierbare Lösungen x(t) von (C.11) gilt

( \begin{matrix}x(t) \\ t_{e} ẋ(t) \end{matrix} ) = e^{M̂ t} ( \begin{matrix}x(0) \\ t_{e} ẋ(0) \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos (ω t) & \frac{sin (ω t)}{ω t_{e}} \\ −ω t_{e} sin (ω t) & cos (ω t) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x(0) \\ t_{e} ẋ(0) \end{matrix} ) ∀ t ∈ ℝ .

Übungsaufgabe 80 Man bestimme die potentielle Energie einer idealen Feder als Funktion der Federkonstanten und der Stärke der angreifenden Kraft. Man diskutiere den Grenzfall κ → ∞ im Hinblick auf den Energiesatz für (nahezu) starre Körper.

Übungsaufgabe 81 Gegeben sei ein elastischer Draht der Länge L_{0} im entspannten Zustand. Mit dem (konstanten) Elastizitätsmodul E_{0} gelte das Hookesche Gesetz:

F_{1} = E_{0} \frac{L_{1} − L_{0}}{L_{0}}

für die Kraft F_{1} , die jeweils nötig ist, um den Draht auf die Länge L_{1} zu dehnen. Man zeige, daß für die Kraft ΔF , die zusätzlich aufzuwenden ist, um den Draht auf die Gesamtlänge L_{1} + ΔL zu dehnen, das Hookesche Gesetz

ΔF = E_{1} \frac{ΔL}{L_{1}}

mit dem geänderten Elastizitätsmodul

E_{1} =^{def} E_{0} \frac{L_{1}}{L_{0}} = F_{1} + E_{0}

gilt.

Übungsaufgabe 82 An einer homogenen Feder der Masse m, der Länge L_{0} (im entspannten Zustand) und dem Elatizitätsmodul E_{0} (Hookesches Gesetz: △F = E_{0} \frac{△L}{L_{0}}) hänge eine Masse M. Die Auslenkung desjenigen Federpunktes, der im entspannten Zustand den Abstand l von der Aufhängung hat, sei ξ(l, t) (Abstand zur Zeit t also l + ξ(l, t)).

a) Man zeige, daß ξ(l, t) der inhomogenen Wellengleichung

ξ̈(l, t) − \frac{E_{0} L_{0}}{m} ξ′′(l, t) = g

mit den Randbedingungen

ξ(0, t) = 0 , (M ξ̈(l, t) + E_{0} ξ′(l, t))_{|_{l=L_{0}}} = Mg

genügt.

b) Man zeige, daß

ξ_{part}(l, t) =^{def} −\frac{mg}{2E_{0}L_{0}} l^{2} + \frac{m + M}{E_{0}} g l

eine (partikuläre) Lösung dieses Randwertproblems ist. c) Man zeige daß

ξ(l, t) = f(l) h(t) + ξ_{part}(l, t) .

genau dann eine zeitlich periodische Lösung des Randwertproblems von a) ist, wenn f(0) = 0 ist und eine Kreisfrequenz ω existiert mit

ḧ(t) = −ω^{2} h(t) , f′′(l) = −\frac{m}{E_{0}L_{0}} ω^{2}f(l)

und

−M ω^{2} f(L_{0}) + E_{0} f′(L_{0}) = 0 .

d) Man zeige, daß im Falle m ≪ M solche Lösungen tatsächlich existieren, wenn die entsprechende Kreisfrequenz ω der Bedingung

ω \sqrt{\frac{m}{κ}} tan (ω \sqrt{\frac{m}{κ}}) = \frac{m}{M}

genügt, wobei

κ =^{def} E_{0}/L_{0}

die Federkonstante bezeichnet.

e) Man zeige, daß

ω = \sqrt{\frac{κ}{M + m_{eff}}} , 0 < m_{eff} ≪ M ,

diese Bedingung erfüllt, wenn die effektive Federmasse m_{eff} einen ganz bestimmten Wert annimmt, der etwa^{31} m/3 beträgt.

Version vom 26. März 2009

31Man verwende die Näherung tan ϵ ≈ ϵ + ϵ^{3}/3 für |ϵ| ≪ 1 .

238 ANHANG C. ÜBUNGSAUFGABEN

Anhang D Lösungsvorschläge

Zu Aufgabe 1a): Die Gültigkeit von

n_{α+β} = cos β n_{α} + sin β n_{\frac{π}{2} +α}

erkennt man aus folgender Skizze:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  e_{1} n_{α} e_{3}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} n_{\frac{π}{2} +α}  n_{α+β} . βα

Zu Aufgabe 1b): Die Gültigkeit von

sin(\frac{π}{2} + α) = + cos α , cos(\frac{π}{2} + α) = − sin α

erkennt man aus folgender Skizze:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.} . α α

Aus

cos (α + β) e_{1} + sin (α + β) e_{3}
= n_{α+β}
=_{a)} cos β \underbrace{(cos α e_{1} + sin α e_{3})}_{=n_{α}} + sin β \underbrace{(− sin α e_{1} + cos α e_{3})}_{=n_{\frac{π}{2} +α}}
= (cos α cos β − sin α sin β) e_{1} + (sin α cos β + sin β cos α) e_{3}

240 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ergibt sich durch Koeffizientenvergleich cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β , sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α . Für α = β liefert die vorletzte Gleichung

cos (2 α) = cos^{2} α − \underbrace{sin^{2} α}_{= Pythagoras 1−cos^{2} α}

und somit

cos (2 α) = 2 cos^{2} α − 1

bzw.

cos α = \sqrt{\frac{1 + cos (2 α)}{2}} .

Ersetzt man in der letzten Gleichung α durch α/2 , so ergibt sich schließlich

cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{1 + cos α}{2}} .

Zu Aufgabe 2: Die Gleichung

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

erkennt man unmittelbar aus folgender Skizze:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  e_{1} e_{3}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} sin ^{\frac{π}{6}}  ^{π/3}^{π/3}

Mit

cos \frac{π}{6} = \sqrt{1 − sin^{2} \frac{π}{6}}

folgt daraus

cos \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \sqrt{3} .

Daß aus dem Satz von Pythagoras

2 sin^{2} \frac{π}{4} = 1

und somit

sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = cos \frac{π}{4}

folgt erkennt man leicht aus folgender Skizze:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} e_{1} e_{3}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{sin ^{\frac{π}{4}}} cos ^{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}  ^{\frac{π}{4}}

Gemäß Aufgabe 1b) folgt daraus

cos \frac{π}{8} = \sqrt{\frac{1 + 1/\sqrt{2}}{2}} .  (D.1)

Aus

cos^{2} \frac{3π}{8} = sin^{2} \frac{π}{8}
= 1 − cos^{2} \frac{π}{8}

folgt außerdem

3 cos^{2} \frac{π}{8} − cos^{2} \frac{3π}{8} = 4 cos^{2} \frac{π}{8} − 1

und daraus mit (D.1) schließlich:

3 cos^{2} \frac{π}{8} − cos^{2} \frac{3π}{8} = 1 + \sqrt{2} .

Zu Aufgabe 3a): Die Gültigkeit der Ungleichung

(Δx)^{2} ≥ sin^{2} (Δx) + (1 − cos (Δx))^{2}

erkennt man aufgrund des Satzes von Pythagoras leicht aus folgender Skizze:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} e_{3}  Δx^{sin (Δx)} cos (Δx)

242 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Mit

sin^{2} (Δx) + (1 − cos (Δx))^{2} = \underbrace{sin^{2} (Δx) + cos^{2} (Δx)}_{=1} −2 cos (Δx) + 1 folgt daraus

(Δx)^{2} ≥ 2 (1 − \underbrace{cos (Δx)}_{≤1}) ≥ 0 ,

also

\frac{1 − cos (Δx)}{Δx} ≤ \frac{Δx}{2} ∀ Δx ≠ 0

und somit

lim_{0≠Δx→0} \frac{1 − cos (Δx)}{Δx} = 0 .

Zu Aufgabe 3b): Die Ungleichung

Δx ≤ sin (Δx) ; cos (Δx)

wird durch polynomiale Approximation des Kreisbogens verständlich:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} e_{3}  ^{sin(Δx) ; cos(Δx)}

Daraus folgt

\frac{Δx − sin (Δx)}{Δx} ≤ sin (Δx) ; cos (Δx) \frac{1 − cos (Δx)}{Δx}

und somit gemäß a)

lim_{0≠Δx→0} \frac{Δx − sin (Δx)}{Δx} = 0

bzw.

lim_{0≠Δx→0} \frac{sin (Δx)}{Δx} = 1 .

Zu Aufgabe 3c): Die Aussage

lim_{0≠Δx→0} \frac{sin (x + Δx) − sin x}{Δx} = cos x ∀ x ∈ ℝ

folgt gemäß

lim_{0≠Δx→0} \frac{sin (x + Δx) − sin x}{Δx} =_{1b)} \frac{sin x cos (Δx) + sin (Δx) cos x − sin x}{Δx}
= \underbrace{\frac{sin (Δx)}{Δx}}_{→_{b)} 1} cos x + sin x \underbrace{\frac{cos (Δx) − 1}{Δx}}_{→_{a)} 0}

und die Aussage

lim_{0≠Δx→0} \frac{cos (x + Δx) − cos x}{Δx} = − sin x ∀ x ∈ ℝ

folgt gemäß

lim_{0≠Δx→0} \frac{cos (x + Δx) − cos x}{Δx} =_{1b)} \frac{cos x cos (Δx) − sin x sin (Δx) − cos x}{Δx}
= cos x \underbrace{\frac{cos (Δx) − 1}{Δx}}_{→_{a)} 0} − sin x \underbrace{\frac{sin (Δx)}{Δx}}_{→_{b)} 1} .

Zu Aufgabe 4a): Das physikalische Problem läßt sich wie folgt skizzieren:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ϑ_{1}; ϑ_{2}; .; F; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; e_{3}; e_{1}; F_{1}; F_{2}]

Dabei sind die Seilspannungen

S_{1} =^{def} |F_{1}| , S_{2} =^{def} |F_{2}|

aus der Gleichgewichtsbedingung

F + F_{1} + F_{2} = 0

zu bestimmen.

Offensichtlich gilt

F = −F e_{3} , F_{1} = S_{1} n_{α} , F_{2} = S_{2} n_{β}

mit

F =^{def} |F| , α =^{def} \frac{π}{2} + ϑ_{1} , β =^{def} \frac{π}{2} − ϑ_{2} .

Mit der Gleichgewichtsbedingung folgt daraus

F^{1} e_{1} + F^{3} e_{3} = −S_{1} n_{α} − S_{2} n_{β}

für

F^{1} = 0 F^{3} = −F , α − β = ϑ_{1} + ϑ_{2}

und somit gemäß der angegebenen Regel schließlich:^{1}

S_{1} = \frac{sin ϑ_{2}}{sin(ϑ_{1} + ϑ_{2})} F , S_{2} = \frac{sin ϑ_{1}}{sin(ϑ_{1} + ϑ_{2})} F . (D.2)

Zu Aufgabe 4b): Man sieht leicht:

ϑ_{1} = ϑ_{2} ⟹ S_{1} = S_{2} ,
ϑ_{1} + ϑ_{2} = \frac{π}{2} fest ⟹ S_{1} = F cos ϑ_{1} , S_{2} = F cos ϑ_{2} ,
ϑ_{1} → 0 ≠ ϑ_{2} ⟹ S_{1} → F , S_{2} → 0 ,
ϑ_{1} + ϑ_{2} → π ⟹ S_{1}, S_{2} → ∞ .

Zu Aufgabe 5: Wenn wir mit e_{Z} den dimensionslosen Einheitsvektor bezeichnen, der längs der Stabachse vom Finger des Jongleurs weg ‘ zeigt’, dann gilt gemäß Definition der Addition von Kräften

λ e = F + F_{Z} e_{Z} ,  (D.3)

wobei:^{2}

λ e = F_{ges} = \{ \begin{matrix}Summe aller (äußeren) Kräfte, \\ die auf den Stab wirken , \end{matrix}
F_{Z} e_{Z} = F_{Z} = \{ \begin{matrix}Kraft, die der Jongleur \\ auf den Stab ausübt , \end{matrix}

für geeignete Kraftstärken λ , F_{Z} . Das entsprechende mathematische Problem ist hier also folgendes:

Version vom 26. März 2009

1Denn:

cos (\frac{π}{2} ± φ) =_{1b)} ∓ sin φ ∀ φ ∈ ℝ .

2Eine Bewegung längs e ist nur für F ∝ e möglich. Damit sich der Stab nicht dreht, muß außerdem F_{Z} ∝ e_{Z} gelten.

Bestimme die Kraftstärke F_{Z} zu gegebenen α , β und F aus (D.3).

Das vorliegende mathematische Problem ergibt sich also — bis auf elementare vektorielle Umformung — aus demjenigen von Aufgabe 4a) durch die Ersetzung

\begin{matrix}S_{1} & ⟼ & F_{Z} , \\ S_{2} & ⟼ & λ , \\ ϑ_{1} & ⟼ & α , \\ ϑ_{2} & ⟼ & β . \end{matrix}

Dementsprechend ergibt sich aus (D.2) die Lösung

\underline{\underline{F_{Z} = \frac{sin β}{sin(α + β)} F}} , λ = \frac{sin α}{sin(α + β)} F .

Anmerkung: Der Fall F_{Z} < ist natürlich nur dann physikalisch realisierbar, wenn der Finger des Jongleurs am Stab ‘klebt’.

Zu Aufgabe 6a):^{3} Um möglichst schnell von A nach B zu gelangen, muß die Fähre natürlich geradlinig mit maximalem Geschwindigkeitsbetrag fahren. Daraus ergeben sich die Gleichungen

\underbrace{x}_{= |\overrightarrow{AB}|} sin α = t č sin β ,
x cos α = t č cos β + v t

(D.4)

gemäß folgender Skizze:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  α β čn_{β} t  \overrightarrow{AB} = (čn_{β} + v) t v t  č ≠ v .

Es gilt also

t^{2} č^{2} = (t č sin β)^{2} + (t č cos β)^{2}
=_{(D.4)} x^{2} sin^{2} α + (x cos α − v t)^{2}

und somit

t^{2} \underbrace{(č^{2} − v^{2})}_{ˆ=a} +t \underbrace{2 c v cos α}_{ˆ=p} \underbrace{−x^{2}}_{ˆ=q} = 0 .

Gemäß Lösungshinweis folgt daraus

t = \frac{1}{č^{2} − v^{2}} (−x v cos α ± \sqrt{(x v cos α)^{2} + x^{2} (č^{2} − v^{2})})

Version vom 26. März 2009

3Siehe auch Aufgabe 9.

246 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE

und somit schließlich

t = \{ \begin{matrix}−\frac{x v cos α}{č^{2} − v^{2}} + ^{+} \sqrt{\frac{x^{2}}{č^{2} − v^{2}} + (\frac{x v cos α}{č^{2} − v^{2}})^{2}} & für c > v , \\ −\frac{x v cos α}{č^{2} − v^{2}} − ^{+} \sqrt{\frac{x^{2}}{č^{2} − v^{2}} + (\frac{x v cos α}{č^{2} − v^{2}})^{2}} & für c < v. \end{matrix}

Zu Aufgabe 6b): Die Fahrzeit ist natürlich für β = π/2 minimal, d.h. nach (D.4) für

\begin{aligned}x sin α & = & t č, \\ x cos α & = & t v \end{aligned}

bzw.

v = c \frac{cos α}{sin α} .

Zu Aufgabe 7a): Das physikalische Problem läßt sich wie folgt skizzieren:

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F

. e_{1}

e_{3}

n_{\frac{3}{2} π−β} n_{α− \frac{π}{2}}

F_{β} F_{α}

F = −G e_{3}
F_{α} = −G_{α} n_{α− \frac{π}{2}}
F_{β} = −G_{β} n_{\frac{3}{2} π−β}
F = −F_{α} − F_{β}
α =? , β =?

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R_{α} R_{β} α β

G_{α} G G_{β}

Das entsprechende mathematische Problem ist:

Bestimme die Winkel α und β aus der Gleichung

− G e_{3} = G_{α} n_{α− \frac{π}{2}} + G_{β} n_{\frac{3}{2} π−β}  (D.5)

zu gegebenen G, G_{α}, G_{β}. Mit

n_{α− \frac{π}{2}} = sin α e_{1} − cos α e_{3} ,
n_{\frac{3}{2} π−β} = − sin β e_{1} − cos β e_{3}

folgt aus (D.5):

G_{α} sin α = G_{β} sin β ,  (D.6)
G = G_{α} cos α + G_{β} cos β .  (D.7)

Mit

x =^{def} cos α , y =^{def} cos β

und

sin^{2} γ + cos^{2} γ = 1 ∀ γ ∈ ℝ  (D.8)

geht das Gleichungssystem (D.6),(D.7) in

\begin{matrix}G_{α}^{2} (1 − x^{2}) = G_{β}^{2} (1 − y^{2}) , \\ G = G_{α} x + G_{β} y \end{matrix}

über. Daraus folgen z.B. die Gleichung

\begin{aligned}G_{β}^{2} y^{2} & = & (G_{β}^{2} − G_{α}^{2}) + G_{α}^{2} x^{2} , \\ G_{β}^{2} y^{2} & = & (G − G_{α} x)^{2} , \end{aligned}

die — voneinander subtrahiert —

cos α = \frac{G^{2} − (G_{β}^{2} − G_{α}^{2})}{2 G G_{α}}  (D.9)

ergeben. Aus Symmetriegründen muß entsprechend

cos β = \frac{G^{2} − (G_{α}^{2} − G_{β}^{2})}{2 G G_{β}}  (D.10)

gelten.

Zu Aufgabe 7b): Wegen

cos α , cos β ∈ [0, 1)

folgt aus (D.7) unmittelbar

G < G_{α} + G_{β} .  (D.11)

Da x und y nicht negativ sind, folgt aus (D.9) und (D.10) andererseits

G^{2} > |G_{α}^{2} − G_{β}^{2}| .  (D.12)

Umgekehrt sieht man leicht, daß im Falle der Gültigkeit von (D.11) und (D.12) die Gleichungen (D.9) und (D.10) mit Winkeln α , β ∈ [0, π/2) erfüllt sind, für die (D.5) gilt. Das gewünschte Gleichgewicht^{4} ist also genau dann möglich wenn die Gewichte die Ungleichungen (D.11) und (D.12) und erfüllen.

Version vom 26. März 2009

4Mit etwas mehr Aufwand ließe sich zeigen, daß das Gleichgewicht stabil ist.

Anmerkung: Mit geübtem Blick lassen sich die Ergebnisse zu Aufgabe 7b) auch direkt der folgenden Schnell-Lösungsskizze entnehmen:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; F_{β}; F_{α}; β; α; −F]

Zu Aufgabe 8: Wenn wir mit v_{S} die Geschwindigkeit des Schwimmers relativ zum Wasser und mit v_{W} resp. v_{F} die Geschwindigkeit des Wassers resp. des Fußgängers relativ zum Ufer bezeichnen, dann läßt sich die gewünschte physikalische Situation wie folgt skizzieren:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; β; α; B; C; e_{α}; e_{β}; v_{S}; v_{W}; (v_{S} + v_{W}) t; A; v_{F} t; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

Dabei gilt also

\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}

mit

\begin{aligned}\overrightarrow{BA} & = & l e_{α} , \\ \overrightarrow{AC} & = & v_{F} t e_{1} , \\ \overrightarrow{BC} & = & (v_{S} e_{β} + v_{W} e_{α}) t \end{aligned}

für geeignete t, l. Das mathematische Problem lautet also:

Bestimme den Zusammenhang zwischen α und β aus der Gleichung

l (\underbrace{− cos α e_{1} + sin α e_{3}}_{=e_{α}}) + v_{F}t e_{1} = (v_{S} (\underbrace{cos β e_{1} + sin β e_{3}}_{=e_{β}}) + v_{W} e_{1})t .

(D.13)

zu den vorgegeben v_{F}, v_{W}, v_{S} .

Aus (D.13) folgt mit den üblichen Umformungen

(−l cos α + v_{F} t − v_{S} cos β t − v_{W} t) e_{1} + (l sin α − v_{S} t sin β) e_{3} = 0

und somit

\frac{l}{t} cos α = v_{S} cos β + (v_{W} − v_{F}) ,
\frac{l}{t} = v_{S} \frac{sin β}{sin α} ,

also

cot α = cot β + \frac{v_{W} − v_{F}}{v_{S} sin β} .  (D.14)

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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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Anmerkung: Die Behauptung ist aber auch anschaulich leicht zu verstehen:

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|x^{+}|^{2} = ( \underbrace{A_{2}}_{=|x_{2}^{+}|} sin (φ_{2} − φ_{1}))^{2} + ( \underbrace{A_{1}}_{=|x_{1}^{+}|} +A_{2} cos (φ_{2} − φ_{1}))^{2}
= A_{2}^{2} (1 − cos^{2} (φ_{2} − φ_{1})) + A_{1}^{2} + 2 A_{1}A_{2} cos (φ_{2} − φ_{1}) + A_{2}^{2} cos^{2} (φ_{2} − φ_{1})
= A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1}A_{2} cos (φ_{2} − φ_{1}) ,

tan(φ^{+} − φ_{1}) = \frac{A_{2} sin(φ_{2} − φ_{1})}{A_{1} + A_{2} cos(φ_{2} − φ_{1})} .

260 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Zu Aufgabe 19: Für z^{±} = |z^{±}| e^{i φ^{±}} gilt

z^{+} e^{+i ω t} + z^{−} e^{−i ω t} ; \begin{matrix}= & |z^{+}| e^{+i(ω t+φ^{+})} + |z^{−}| e^{−i(ω t−φ^{−})} \\ = & e^{i δ} (|z^{+}| e^{+i(ω t+φ_{0})} + |z^{−}| e^{−i(ω t+φ_{0})}) \\ = & e^{i δ}((|z^{+}| + |z^{−}|) cos (ω t + φ_{0}) + (|z^{+}| − |z^{−}|) sin (ω t + φ_{0})) \end{matrix}

und somit die Behauptung. Zu Aufgabe 20: Aus

x^{±}(t) = A^{±} e^{±i(ω_{0} t+φ^{±})}

und

δ =^{def} \frac{φ^{+} − φ^{−}}{2} , φ_{0} =^{def} \frac{φ^{+} + φ^{−}}{2}

folgt gemäß Aufgabe 19

x^{+}(t) + x^{−}(t) = (A^{+} e^{+i (ω_{0} t+φ_{0})} + A^{−} e^{−i (ω_{0} t+φ_{0})}) e^{i δ}
= (A^{+} + A^{−}) cos (ω_{0} t + φ_{0}) e^{i δ} + (A^{+} − A^{−}) cos (ω_{0} t + φ_{0}) i e^{i δ} .

Mit

e^{i δ} = cos δ e_{1} + sin δ e_{2} , i e^{i δ} = − sin δ e_{1} + cos δ e_{2}

ergeben sich daraus die Behauptungen.

Anmerkungen:

1. Natürlich läßt sich die Aufgabe — etwas komplizierter — auch ohne Verwendung der komplexen Zahlen lösen: Aufgrund der Additionstheoreme (2.38) und (2.39) ergibt sich mit

\overbrace{ω_{0}t + \frac{φ^{+} + φ^{−}}{2}}^{ψ(t) =^{def}} ± \overbrace{\frac{φ^{+} − φ^{−}}{2}}^{δ =^{def}} = ω_{0}t + φ^{±}

für die Kreisbewegungen:

x^{±} = A^{±}((cos ψ(t) cos (±δ) − sin ψ(t) sin (±δ))e_{1}
± (sin ψ(t) cos (±δ) + cos ψ(t) sin (±δ))e_{2}) .

Daraus folgen die Behauptungen gemäß x^{+}(t) + x^{−}(t) = cos ψ(t) (A^{+} (cos δ e_{1} + sin δ e_{2}) + A^{−} (cos(−δ) e_{1} − sin(−δ) e_{2})) = cos ψ(t) (A^{+} + A^{−}) (\underbrace{cos δ e_{1} + sin δ e_{2}}_{=a/|a|})

+ sin ψ(t) (A^{+} − A^{−}) (\underbrace{− sin δ e_{1} + cos δ e_{2}}_{=b/|b|}) .

2. Die Lage der Hauptachsen a , b der Bahnellipse entspricht folgender Skizze für δ > 0 :

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Zu Aufgabe 21: Für

x^{±}(t) = \frac{A}{2} (cos (ω_{0}t + φ) e ± sin (ω_{0}t + φ) e_{⊥})

folgt offensichtlich

x^{+}(t) + x^{−}(t) = A cos (ω_{0}t + φ) e .  (D.28)

Im Falle e = e_{1} ist damit die Behauptung bereits bewiesen. Im allgemeinen Falle existiert ein δ ∈ ℝ mit

e = cos δ e_{1} + sin δ e_{2} .

Dann folgt (D.28) entsprechend Aufgabe für 20

x^{±} = A^{±} (cos (ω_{0}t + φ^{±}) e_{1} ± sin (ω_{0}t + φ^{±}) e_{2})

mit

A^{+} = A^{−} = \frac{A}{2} , φ^{±} =^{def} φ ± δ .

Das entspricht folgender Skizze:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; δ; δ; e; e_{2}; e_{⊥}; e_{1}; x^{+}; x^{−}]

Zu Aufgabe 22: Nach Aufgabe 21 existieren Kreisschwingungen

x_{j}^{±}(t) =^{def} A_{j}^{±}(cos(ω_{0}t + φ_{j}^{±}) e_{1} ± sin(ω_{0}t + φ_{j}^{±}) e_{2})

mit

x_{j}(t) = x_{j}^{+}(t) + x_{j}^{−}(t) ∀ j ∈ {1, 2} .

Nach Aufgabe 18 ist x(t) somit eine Überlagerung der in Aufgabe 20 angegebenen Form, also eine zweidimensionale harmonische Schwingung.

Im Falle b_{1} = b_{2} = e_{1} gilt

x(t) = (e_{1} · (x_{1}^{+}(t) + x_{2}^{+}(t))) e_{1}

mit

A_{j}^{+} = A_{j} , φ_{j}^{+} = φ_{j} .

Gemäß Aufgabe 18 folgt daraus dann

x(t) = A cos(ω_{0}t + φ) e_{1}

mit

A = \sqrt{(A_{1})^{2} + (A_{2})^{2} + 2A_{1}A_{2} cos (φ_{2} − φ_{1})} ,
φ = φ_{1} + arctan (\frac{A_{2} sin(φ_{2} − φ_{1})}{A_{1} + A_{2} cos(φ_{2} − φ_{1})}) .

Zu Aufgabe 23: Die geforderten Anfangsbedingungen für

x(t) =^{def} cos(ω_{0}(t − t_{0}) + χ_{c})c + cos(ω_{0}(t − t_{0}) + χ_{d})d

sind

( \begin{matrix}c cos χ_{c} \\ d cos χ_{d} \end{matrix} ) = \underline{x(t_{0}) = x_{0}} = ( \begin{matrix}x_{0}^{1} \\ x_{0}^{2} \end{matrix} ) bzgl. (b_{1}, b_{2})

und

( \begin{matrix}c ω_{0} sin χ_{c} \\ d ω_{0} sin χ_{d} \end{matrix} ) = \underline{ẋ(t_{0}) = v_{0}} = ( \begin{matrix}v_{0}^{1} \\ v_{0}^{2} \end{matrix} ) bzgl. (b_{1}, b_{2}) .

Zu vorgegebenen x_{0}^{j} , v_{0}^{j} sind also c, d, χ_{c}, χ_{d} so zu wählen, daß die Gleichungen

( \begin{matrix}c cos χ_{c} \\ d cos χ_{d} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{0}^{1} \\ x_{0}^{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}c ω_{0} sin χ_{c} \\ d ω_{0} sin χ_{d} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}v_{0}^{1} \\ v_{0}^{2} \end{matrix} )

gelten. Letztere sind aber äquivalent zu den Gleichungen

c ( \begin{matrix}cos χ_{c} \\ sin χ_{c} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{0}^{1} \\ v_{0}^{1}/ω_{0} \end{matrix} ) , d ( \begin{matrix}cos χ_{d} \\ sin χ_{d} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{0}^{2} \\ v_{0}^{2}/ω_{0} \end{matrix} ) ,

die sich offensichtlich erfüllen lassen.

Zu Aufgabe 24a): Die Abbildung

x(t) ⟼ x(t) × e_{3}

ist eine Drehung um den Winkel π/2 im Linksschraubensinn relativ zu der längs e_{3} gerichteten Drehachse. Das entspricht einer Drehung in der e_{1}-e_{2}-Ebene im Uhrzeigersinn um den Winkel π/2 . Die komplexe Schreibweise für diese Abbildung ist deshalb

z(t) ⟼ −i z(t)

und dementsprechend gilt

\frac{q}{m} ẋ(t) × (B e_{3}) = \frac{q B}{m} \frac{d}{dt} x(t) × e_{3}
ˆ= \frac{q B}{m} \frac{d}{dt}((−i z(t))
= −i \frac{q B}{m} ż(t) .

Mit ẍ(t) ˆ= z̈(t) folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe 24b): Mit

C =^{def} \frac{q B}{m}

folgt aus der komplex geschriebenen Bewegungsgleichung

\begin{aligned}\frac{d}{dt} (e^{+i C t} ż(t)) & = & \underbrace{i C e^{+i C t}}_{=(\frac{d}{dt} e^{+i C t})} ż(t) + e^{+i C t} \underbrace{\frac{d}{dt} ż(t)}_{=−i C ż(t)} \\ & = & 0 . \end{aligned}

Also muß e^{+i C t} ż(t) gemäß Lemma 3.3.1 zeitlich konstant sein und deshalb

ż(t) = e^{−i C t} ż(0)

gelten. Daraus folgt

\frac{d}{dt} (z(t) − \frac{i}{C} e^{−i C t} ż(0)) = 0

und dementsprechend die zeitliche Konstanz von

z(t) − \frac{i}{C} e^{−i C t} ż(0) ,

also

z(t) − \frac{i}{C} e^{−i C t} ż(0) = z(0) − \frac{i}{C} ż(0)

und somit

z(t) = \frac{i}{C} (e^{−i C t} ż(0) − ż(0)) + z(0)  (D.29)
= z(0) − \frac{i}{C} ż(0) + \frac{1}{C} (i cos (C t) + sin (C t))ż(0) .  (D.30)

Zu Aufgabe E24c): Da die Multiplikation mit i einer Drehung im entgegengesetzten Uhrzeigersinn um π/2 , also für Linearkombinationen a von e_{1} und e_{2} der Transformation

a ⟼ e_{3} × a

entspricht,^{5} bedeutet (D.30) in reller Schreibweise:

x(t) = x(0) − \frac{1}{C} e_{3} × ẋ(0) + \frac{|ẋ(0)|}{C}(cos (C t) e_{3} × \frac{ẋ(0)}{|ẋ(0)|} + sin (C t) \frac{ẋ(0)}{|ẋ(0)|}) .

x(t) ist also die Ortsvektorfunktion einer gleichförmigen Kreisbewegung mit der Kreisfrequenz |C| = \frac{|q| B}{m} , auf einem Kreis mit dem Radius \frac{|mẋ(0)|}{|q| B} in der e_{1}-e_{2}- Ebene, dessen Mittelpunkt den Ortsvektor x(0) − \frac{1}{C} e_{3} × ẋ(0) hat. Die Drehung erfolgt im Links- resp. Rechtssschraubensinne relativ zu e_{3} (ist also vom Typ x^{+} resp. x^{−} im Sinne von Aufgabe 20) wenn q > 0 resp. q < 0 ist.

Zu Aufgabe 25: Sei F = 0 , also

E = −v × B .  (D.31)

Dann folgt daraus

E · B = 0  (D.32)

und

E × B = B × (v × B)
= |B|^{2} v − (B · v) B ,

also

v − \frac{E × B}{|B|^{2}} ∝ B .  (D.33)

Umgekehrt folgt aus (D.33) und (D.32)

0 = B × (v − \frac{E × B}{|B|^{2}})
= B × v − \frac{B × (E × B)}{|B|^{2}}
= −v × B − E

und somit (D.31), d.h. F = 0 .

Zu Aufgabe 26: Sei e_{3} senkrecht zur Bahnebene. Wegen ẋ(t) ≠ 0 folgt damit aus

ẍ_{⊥}(t) ⊥ e_{3}, ẋ(t)

Version vom 26. März 2009

5Vgl. Lösung zu Aufgabe 24a).

die Existenz einer Funktion C(t) mit

ẍ_{⊥}(t) = ẋ(t) × (C(t) e_{3})

und somit

\underline{\underline{ẍ(t)}} =_{Vorauss.} ẍ_{⊥}(t)
= \underline{\underline{ẋ(t) × C(t)}}

sowie

0 =_{Vorauss.} \frac{d}{dt} |ẍ(t)|
= \frac{d}{dt} (|ẋ(t)| |C(t)|)
= (\frac{d}{dt} |ẋ(t)|) |C(t)| + |ẋ(t)| \frac{d}{dt} |C(t)|

für

C(t) =^{def} C(t) e_{3} .

Mit

ẍ_{∥}(t) = 0 ⟹ \frac{d}{dt} |ẋ(t)| = 0

und |ẋ(t)| ≠ 0 folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe 27: Jede andere Parametrisierung der vorgegebenen Bahnkurve entspricht gemäß Folgerung 4.2.3 einer Ortsvektorfunktion der Form

x′(t) = x(f(t)) .

Die Kettenregel liefert dafür

ẋ′(t) = ḟ(t) \underbrace{ẋ(t′)_{|_{t′=f(t)}}}_{=ẋ(f(t))}

sowie

\frac{d}{dt} \frac{ẋ(f(t))}{|ẋ(f(t))|} = ḟ(t) (\frac{d}{dt′} \frac{ẋ(t′)}{|ẋ(t′)|})_{|_{t′=f(t)}}

und somit

|\frac{1}{|ẋ′(t)|} \frac{d}{dt} \frac{ẋ′(t)}{|ẋ′(t)|}| = |\frac{1}{|ḟ(t)ẋ(t′)|} ḟ(t)\frac{d}{dt′} \frac{ẋ(t′)}{|ẋ(t′)|}|_{|_{t′=f(t)}}
= \underbrace{|\frac{ḟ(t)}{|ḟ(t)|}|}_{=1} |\frac{1}{|ẋ(t′)|} \frac{d}{dt′} \frac{ẋ(t′)}{|ẋ(t′)|}|_{|_{t′=f(t)}} .

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Zu Aufgabe 28: Daß eine Kreisbahn konstante Krümmung hat, wurde in der Vorlesung gezeigt.^{6} Es ist also nur noch zu zeigen, daß aus der Konstanz der Krümmung die Kreisförmigkeit der Bahn folgt:

Parametrisiert man C so, daß

|ẋ(t)| = konstant ,  (D.34)

dann ist die Konstanz der Krümmung äquivalent zu

|ẍ(t)| = konstant  (D.35)

und außerdem gilt

0 = \frac{d}{dt} |ẋ(t)|^{2} =_{Produktregel} 2 ẋ(t) · ẍ(t) .

Aus letzterem folgt

ẍ(t) = ẋ(t) × C(t)

mit geeignetem, zur Bahn senkrechtem C(t) . Mit (D.34), (D.35) und

|ẋ(t) × C(t)| =_{ẋ⊥C} |ẋ(t)| |C(t)|

folgt daraus

ẍ(t) = ẋ(t) × C , C senkrecht zur Bahn .  (D.36)

Die Bahn C ist im Falle (D.34) genau dann kreisförmig, wenn

x(t) = y − ρ_{C} \frac{ẍ(t)}{|ẍ(t)|}

gilt, d.h. wenn der Bahnpunkt stets den konstanten Abstand ρ_{C} vom Kreismittelpunkt mit dem Ortsvektor y hat. Für die Kreisförmigkeit ist also nur noch

\frac{d}{dt} (x(t) + ρ_{C} \frac{ẍ(t)}{|ẍ(t)|}) = 0

zu zeigen. Das folgt aber aus

\frac{d}{dt} ẍ(t) =_{(D.36)} ẍ(t) × C  (D.37)
=_{(D.36)} (ẋ(t) × C) × C  (D.38)
=_{(D.36)} − |C|^{2} ẋ(t)  (D.39)

Version vom 26. März 2009

6Siehe Beispiel (i) in 3.3.1.

und

\frac{ρ_{C}}{\left|{ \atop ẍ}\right|} =_{Def. ρ ,(D.34)} (\begin{matrix}| & ẋ & | \\ | & ẍ & | \end{matrix})^{2}
=_{(D.36)} |C|^{−2} .

Zu Aufgabe 29: Mit x(t) ist offensichtlich auch

x_{⊥}(t) =^{def} x(t) − t (e_{3} · ẋ(0)) e_{3} , e_{3} =^{def} \frac{C}{|C|} ,  (D.40)

Lösung von

ẍ(t) = ẋ(t) × C ,  (D.41)

wobei nun aber

C · ẋ_{⊥}(t) = 0 ∀ t ∈ ℝ

gilt, da C · ẋ(t) nach (D.41) zeitlich konstant ist. Gemäß Aufgabe 28 beschreibt x_{⊥}(t) also eine gleichförmige Kreisbewegung in einer zu C senkrechten Ebene, die im Linksschraubensinne relativ zu C abläuft. Wir interessieren uns nur für den nicht trivialen Fall

v_{⊥} =^{def} ẋ_{⊥}(0) ≠ 0 .

Dann ist x_{⊥}(t) also von der Form

x_{⊥}(t) = y − ρ (cos(\underbrace{ω_{0}}_{>0} t + φ_{0}) e_{1} − sin(ω_{0} t + φ_{0}) e_{2}) ,

wobei

e_{2} =^{def} \frac{v_{⊥}}{|v_{⊥}|} , e_{1} =^{def} e_{2} × e_{3} .

Mit

\frac{1}{ρ} = \frac{ẍ_{⊥}}{\left|{ \atop ẋ_{⊥}}\right|^{2}}

=_{(D.41)} \frac{|C|}{\left|{ \atop ẋ_{⊥}}\right|}

= \frac{|C|}{|v_{⊥}|}

und

ω_{0} = \frac{v_{⊥}}{ρ} = |C|

folgt dann, im Einklang mit dem Ergebnis von Aufgabe E24c),

x_{⊥}(t) = y − \frac{|v_{⊥}|}{|C|} (cos (|C| t + φ_{0}) \frac{v_{⊥} × C}{|v_{⊥} × C|} − sin (|C| t + φ_{0}) \frac{v_{⊥}}{|v_{⊥}|}) .

268 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Die Anfangsbedingung

ẋ(0) = v_{⊥}
= |v_{⊥}| sin φ_{0} \frac{v_{⊥} × C}{|v_{⊥} × C|} + cos φ_{0} v_{⊥}

ist offensichtlich nur für

sin φ_{0} = 0 , cos φ_{0} = 1

erfüllt. Mit (D.40) ergibt sich somit:

x(t) = t (\frac{C}{|C|} · ẋ(0)) \frac{C}{|C|} + y

−\frac{|ẋ_{⊥}(0)|}{|C|} (cos (|C| t) \frac{ẋ(0) × C}{|ẋ(0) × C|} − sin (|C| t) \frac{ẋ_{⊥}(0)}{|ẋ_{⊥}(0)|}) .

y ist dabei eindeutig durch die Anfangsbedingung festgelegt zu

y = x(0) + \frac{|ẋ_{⊥}(0)|}{|C|} \frac{ẋ(0) × C}{|ẋ(0) × C|} .

Anmerkung: In der komplexen Schreibweise läßt sich z(t) =^{def} x_{⊥}(t) leicht folgendermaßen bestimmen: Die Bewegungsgleichung für x(t) = x_{⊥}(t) ist äquivalent zu

z̈(t) = −i |C| ż(t) .

Daraus folgt^{7}

ż(t) = e^{−i|C|t} ż(0)

und somit

z(t) = \frac{i}{|C|} (e^{−i|C|t} ż(0) − ż(0)) + z(0)
= z(0) − \frac{i}{|C|} ż(0) + \frac{1}{|C|}(i cos (|C| t) + sin (|C| t))ż(0) .

In reeller Schreibweise bedeutet letzteres

x_{⊥}(t) = x_{⊥}(0) + \frac{ẋ_{⊥}(0) × e_{3}}{|C|} − \frac{1}{|C|}(cos (|C| t) ẋ_{⊥}(0) × e_{3} − sin (|C| t) ẋ_{⊥}(0))
= x_{⊥}(0) + \frac{|ẋ_{⊥}(0)|}{|C|} \frac{ẋ(0) × C}{|ẋ(0) × C|}

−\frac{|ẋ_{⊥}(0)|}{|C|} (cos (|C| t) \frac{ẋ(0) × C}{|ẋ(0) × C|} − sin (|C| t) \frac{ẋ_{⊥}(0)}{|ẋ_{⊥}(0)|}) .

Version vom 26. März 2009

7Denn mit der Produktregel ergibt sich aus der Bewegungsgleichung

\frac{d}{dt} (e^{+i|C|t} ż(t)) = 0 .

Zu Aufgabe 30: Wir benutzen folgende Bezeichnungen:

T_{0} : Zeitpunkt, zu dem Gefahr erkannt ,
T : Beginn Bremsvorgangs ,
T_{c} : Zeitpunkt des Aufpralls ,
v : tatsächliche Geschwindigkeit zur Zeit T_{0} ,
v_{c} : Aufprallgeschwindigkeit ,
L : Entfernung vom Unfallort zur Zeit T ,
L_{0} : Entfernung vom Unfallort zur Zeit T_{0} ,
v_{0} : maximale Geschwindigkeit, die ausgebremst werden könnte ,
b : Bremsverzögerung .

Aus

L = ∫_{T}^{T_{c}}(v − b(t − T))dt = v Δt − \frac{b}{2} (Δt)^{2}

und

v − v_{c} = b Δt , Δt =^{def} T_{c} − T  (D.42)

folgt zunächst

L = \frac{b}{2} (Δt)^{2} + v_{c} Δt

und somit

Δt = \sqrt{(\frac{v_{c}}{b} )^{2} + \frac{2L}{b}} − \frac{v_{c}}{b} .

Mit (D.42) ergibt sich somit

v = \sqrt{v_{c}^{2} + 2bL}  (D.43)

und daraus

L_{0} = L + s \sqrt{v_{c}^{2} + 2bL} , s =^{def} T − T_{0} .  (D.44)

Bei einer Geschwindigkeit v_{0} zur Zeit T_{0} würde der Bremsvorgang also, bei gleicher Reaktionszeit s, in einem Abstand

L′ = L_{0} − s v_{0} = L − s (v_{0} − \sqrt{v_{c}^{2} + 2bL})

eingeleitet. Bis zum Stillstand vergeht dann die Zeit Δt′ = v_{0}/b, während der die Strecke

L′′ = \frac{b}{2} (Δt′)^{2} = \frac{v_{0}^{2}}{2b}

zurückgelegt wird. Der Unfall wäre also nur im Falle L′′ < L′, also für

v_{0} < \sqrt{(bs)^{2} + 2b (L + s \sqrt{v_{c}^{2} + 2bL})} − bs  (D.45)

vermeidbar gewesen.

Zu Aufgabe 31: Multiplikation von (C.1) mit ẋ(t) liefert

−ρ |ẋ(t)|^{2}  =  m ẋ(t) · ẍ(t) + κ ẋ(t) · x(t)

=

Produktregel

\frac{d}{dt} E(t)

und somit

\begin{aligned}−ρ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |ẋ(t)|^{2} dt & = & ∫_{t_{1}}^{t_{2}} Ė(t) dt \\ & = & E(t_{2}) − E(t_{1}) . \end{aligned}

Im Falle E(0) = 0 folgt dann für t_{1} = 0 , t_{2} = t ≥ 0 wegen ρ ≥ 0

E(t) ≤ 0 ∀ t ≥ 0

und somit, da die Konstanten m, κ positiv sind,

x(t) = 0 ∀ t ≥ 0 .

Wenn aber x_{1}(t) und x_{2}(t) zwei (stetige) Lösungen von (C.1) zu gleichen Anfangsbedingungen zur Zeit 0 sind, dann ist

x(t) =^{def} x_{1}(t) − x_{2}(t)

eine Lösung von (C.1) mit E(0) = 0 , also

x_{1}(t) = x_{2}(t) ∀ t ≥ 0 .

Zu Aufgabe 32: Definitionsgemäß gelten die Gleichungen

I(t) = Q̇(t)  (D.46)

und

R I(t) = U_{R}(t) , C U_{C}(t) = Q(t) , L İ(t) = U_{L}(t) .

Das sich die Spannungen bei Serienschaltung addieren, gilt also

\begin{aligned}U(t) & = & U_{R}(t) + U_{C}(t) + U_{L}(t) \\ & = & R I(t) + Q(t)/C + L İ(t) , \end{aligned}

woraus durch Einsetzen von (D.46) die Gleichung (C.2) folgt.

Die eindeutige Bestimmtheit der Lösung durch die Anfangsbedingungen folgt wie in Aufgabe 31, da die Differenz zweier Lösungen von (C.2) zu gleichem U(t) eine Lösung von (C.2) zu U = 0 ist. (C.2) zu U = 0 ist aber vom gleichen Typ wie (C.1).

Zu Aufgabe 33a): Einsetzen von

Q(t) = z_{+} e^{i λ_{+} t} + z_{−} e^{i λ_{−} t}  (D.47)

in (C.4) liefert

(−λ_{+}^{2} L + i λ_{+} R + \frac{1}{C} ) z_{+} e^{i λ_{+} t} + (−λ_{−}^{2} L + i λ_{−} R + \frac{1}{C} ) z_{−} e^{i λ_{−} t} = 0 ∀ t ∈ ℝ ,

was im Falle z_{+} ≠ 0 ≠ z_{−} äquivalent ist zu

−λ_{±}^{2} L + i λ_{±} R + \frac{1}{C} = 0 ,

also zu

(λ_{±} − i \frac{R}{2 L})^{2} = \frac{1}{L C} − (\frac{R}{2 L})^{2} .

Zu Aufgabe 33b): Aus (C.4) folgt auch

L (Q̈(t))^{∗} + R (Q̇(t))^{∗} + \frac{1}{C} (Q(t))^{∗} = 0

und somit

\begin{aligned}L Q̈(t) + R Q̇(t) + \frac{1}{C} Q(t) & = & L \frac{Q̈(t) + Q̈(t)^{∗}}{2} + R \frac{Q̇(t) + Q̇(t)^{∗}}{2} + \frac{1}{C} \frac{Q(t) + Q(t)^{∗}}{2} \\ & = & 0 \end{aligned}

für

Q(t) =^{def} ℜ(Q(t)) .

Zu Aufgabe 33c): Für (D.47) sind die Anfangsbedingungen

Q(0) = Q_{0} , Q̇(0) = I_{0}

äquivalent zu

z_{+} + z_{−} = Q_{0} , i λ_{+} z_{+} + i λ_{−} z_{−} = I_{0} ,

im Falle λ_{+} ≠ λ_{−} also zu

z_{±} = \frac{λ_{∓}Q_{0} + i I_{0}}{λ_{∓} − λ_{±}} .

Zu Aufgabe 34: Im Falle

ω_{0} =^{def} \frac{1}{LC} − (\frac{R}{2L})^{2} > 0

ist gemäß Aufgabe E33a)

Q(t) = Q_{φ} \frac{1}{2} (e^{iφ} e^{+i λ_{+} t} + e^{−iφ} e^{i λ_{−} t})
= Q_{φ} \frac{1}{2} (e^{− \frac{R}{2L} t+i(ω_{0} t+φ)} + e^{− \frac{R}{2L} t−i(ω_{0} t+φ)})
= Q_{φ} e^{− \frac{R}{2L} t} cos(ω_{0} t + φ)

eine Lösung von (C.4). Diese Lösung beschreibt eine durch den Faktor e^{− \frac{R}{2L} t} gedämpfte harmonische Schwingung. Sie erfüllt die Anfangsbedingungen (C.3) genau dann, wenn die Gleichungen

Q_{φ} cos φ = Q_{0} , −\frac{R}{2L} Q_{φ} cos φ − ω_{0} Q_{φ} sin φ = I_{0}

gelten, die äquivalent zu der Vektorgleichung

Q_{φ} ( \begin{matrix}cos φ \\ sin φ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}Q_{0} \\ − \frac{I_{0}+ \frac{R}{2L} Q_{0}}{ω_{0}} \end{matrix} )

und sich somit durch geeignete Wahl von φ , Q_{φ} erfüllen lassen.

Im Falle

\frac{1}{LC} − (\frac{R}{2L})^{2} < 0

gilt λ_{±} = iρ_{±} mit reellen ρ_{±}, und deshalb ist

Q(t) = Q_{+} e^{−ρ_{+} t} + Q_{−} e^{−ρ_{−} t}

eine Lösung von (C.4). Im vorliegenden sog. Kriechfall beschreibt die Lösung keine Schwingung mehr, sondern fällt für große Zeiten wie e^{−ρ_{+} t} ab. Die Anfangsbedingungen (C.3) sind genau dann erfüllt, wenn die Gleichungen

Q_{+} + Q_{−} = Q_{0} , −ρ_{+} Q_{+} − ρ_{−} Q_{−} = I_{0}

gelten. Dank ρ_{+} ≠ ρ_{−} ist dieses Gleichungssystem für die Q_{±} lösbar.

Im Falle

\frac{1}{LC} − (\frac{R}{2L})^{2} = 0

gilt λ− = λ_{−} = i \frac{R}{2 L} . Deshalb müssen wir eine weitere Lösung finden, um alle Anfangsbedingungen erfüllen zu können. Man sieht leicht, daß in diesem Falle auch t e^{− \frac{R}{2 L} t} eine Lösung von (C.4) ist. Dementsprechend ist hier

Q(t) = e^{− \frac{R}{2L} t}(Q_{0} + t (I_{0} + \frac{R}{2 L} Q_{0})) .

Lösung des Anfangswertproblems. Diese Situation, die genau zwischen Schwing- und Kriechfall liegt, bezeichnet man als asymptotischen Grenzfall.

Gemäß Aufgabe (32) ist die Lösung von (C.3),(C.4) für alle drei Fälle bestimmt. Man sieht nun leicht, daß zu einem beliebigen anderen Anfangszeitpunkt t_{0} vorgegebene Anfangsbedingungen für t > t_{0} stets auf eindeutige Lösungen der gleichen Klasse führen. Deshalb sind die angegebenen Lösungen auch für t < 0 gültig.

Zu Aufgabe 35: Sei Q(t) die Lösung von

L Q̈(t) + \frac{1}{C} Q(t) = U_{0}  (D.48)

zu den Anfangsbedingungen

Q(0) = Q_{0} , Q̇(0) = I_{0} .  (D.49)

Da

Q_{part}(t) =^{def} C U_{0}

eine spezielle (zeitlich konstante) Lösung von (D.48) ist, ist dann

Q_{hom}(t) =^{def} Q(t) − Q_{part}(t)  (D.50)

eine Lösung von (D.48) zu U_{0} = 0 , gemäß Aufgabe 34 also von der Form

Q_{hom}(t) = Q̂_{0} cos(ω_{0} t + φ) , ω_{0} =^{def} \frac{1}{\sqrt{LC}} ,

was sich auch in der Form

Q_{hom}(t) = c_{1} cos(ω_{0} t) + c_{2} sin(ω_{0} t)

schreiben läßt. Die (D.49) entsprechende Anfangsbedingung

Q_{hom}(0) = Q_{0} − C U_{0} , Q̇_{hom}(0) = I_{0}

ist für

c_{1} = Q_{0} − C U_{0} , c_{2} = I_{0}/ω_{0}

erfüllt. Mit (D.50) folgt somit gemäß Aufgabe 32:

Q(t) = C U_{0} + (Q_{0} − C U_{0}) cos(ω_{0} t) + \frac{I_{0}}{ω_{0}} sin(ω_{0} t) .

Zu Aufgabe 36: Einsetzen von

Q_{part}(t) = A \underbrace{\frac{e^{i(ω t−φ)} + e^{−i(ω t−φ)}}{2}}_{=_{(2.44)} cos(ω t−φ)}

274 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE in

L Q̈_{part}(t) + R Q̇_{part}(t) + \frac{1}{C} Q_{part}(t) = U_{0} \frac{e^{+iω t} + e^{−iω t}}{2}

liefert

\begin{matrix}(−ω^{2} L + i ω R + \frac{1}{C} ) \frac{A}{2} e^{−i φ} e^{+iω t} + (−ω^{2} L − i ω R + \frac{1}{C} ) \frac{A}{2} e^{+i φ} e^{−iω t} \\ = \frac{U_{0}}{2} e^{+iω t} + \frac{U_{0}}{2} e^{−iω t} \end{matrix}

und somit:

(−ω^{2} L + i ω R + \frac{1}{C} ) \frac{A}{2} e^{−i φ} = \frac{U_{0}}{2} ,  (D.51)
(−ω^{2} L − i ω R + \frac{1}{C} ) \frac{A}{2} e^{+i φ} = \frac{U_{0}}{2} .  (D.52)

Wir betrachten nur den nichttrivialen Fall U_{0} ≠ 0 . Aus (D.51) folgt dann

e^{i φ} = \frac{A}{U_{0}} (−ω^{2} L + i ω R + \frac{1}{C} )  (D.53)

und daraus mit (D.52)

A = \frac{C U_{0}}{\sqrt{(ω R C)^{2} + (1 − ω^{2} L C)^{2}}} .  (D.54)

Andererseits folgt aus (D.53) mit der Eulerschen Formel (2.43)

tan φ = \frac{ω R C}{1 − ω^{2} L C} .

Die Amplitude

A_{I} =^{def} ω A =_{(D.54)} \frac{U_{0}}{\sqrt{R^{2} + (\frac{1}{ω C} − ω L)^{2}}}

von Q̇_{part}(t) ist offensichtlich für

ω = ω_{r}^{I} =^{def} \frac{1}{\sqrt{L C}}

maximal. (D.54) ist dagegen maximal, wenn (ω R C)^{2} + (1 − ω^{2} L C)^{2} minimal, also

\begin{aligned}0 & = & \frac{d}{dω} (ω R C)^{2} + (1 − ω^{2} L C)^{2} \\ & = & 2 ω (R C)^{2} − 4 ω L C (1 − ω^{2} L C) \end{aligned}

und somit

ω = ω_{r}^{Q} =^{def} \sqrt{\frac{1}{L C} − \frac{1}{2} (\frac{R}{L})^{2}}

ist. Zu Aufgabe 37a): Mit den Definitionen

\begin{matrix}x_{1}(t) & e^{− \frac{ρ}{m} t} sin(ω_{0}t) , \\ x_{2}(t) & e^{− \frac{ρ}{m} t} cos(ω_{0}t) \end{matrix}

gilt

\begin{aligned}ẋ(t) & = & ∑_{j=1} 2(ċ_{j}(t) x_{j}(t) + c_{j}(t) ẋ_{j}(t)) , \\ ẍ(t) & = & ∑_{j=1} 2(c̈_{j}(t) x_{j}(t) + 2 ċ_{j}(t) ẋ_{j}(t) + c_{j}(t) ẍ_{j}(t)) . \end{aligned}

Wegen

m ẍ_{j}(t) + 2 ρ ẋ_{j}(t) + κ x(t) =_{Aufg. 34a)} 0 ∀ j ∈ {1, 2}

ist also nur

m ∑_{j=1}^{2}(c̈_{j}(t) x_{j}(t) + 2 ċ_{j}(t) ẋ_{j}(t)) + 2 ρ ∑_{j=1} 2ċ_{j}(t) x_{j}(t) = −F (t)  (D.55)

zu zeigen:

Mit

ċ_{1}(t) = +\frac{1}{m ω_{0}} e^{\frac{ρ}{m} t} cos(ω_{0}t) F (t) ,
ċ_{2}(t) = −\frac{1}{m ω_{0}} e^{\frac{ρ}{m} t} sin(ω_{0}t) F (t) ,
c̈_{1}(t) = +\frac{ρ}{m^{2} ω_{0}} e^{\frac{ρ}{m} t} cos(ω_{0}t) F (t) − \frac{1}{m} e^{\frac{ρ}{m} t} sin(ω_{0}t) F (t)

+\frac{1}{m ω_{0}} e^{\frac{ρ}{m} t} cos(ω_{0}t) Ḟ (t) ,

c̈_{2}(t) = −\frac{ρ}{m^{2} ω_{0}} e^{\frac{ρ}{m} t} sin(ω_{0}t) F (t) − \frac{1}{m} e^{\frac{ρ}{m} t} cos(ω_{0}t) F (t)

−\frac{1}{m ω_{0}} e^{\frac{ρ}{m} t} sin(ω_{0}t) Ḟ (t)

ergibt sich

\begin{aligned}∑_{j=1}^{2} ċ_{j}(t) x_{j}(t) & = & 0 , \\ m ∑_{j=1}^{2} c̈_{j}(t) x_{j}(t) & = & −F (t) , \\ m ∑_{j=1}^{2} ċ_{j}(t) ẋ_{j}(t) & = & +F (t) \end{aligned}

und somit (D.55). Zu Aufgabe 37b): Im Grenzfall

0 ≤ F (t) ⟶ \underbrace{f_{0}}_{Kraftstoß} δ(t)

ergibt sich für

x(t) = \frac{1}{m ω_{0}} ∫_{0}^{t} e^{− \frac{ρ}{m} (t−t′)} sin(ω_{0}(t − t′)) F (t′) dt′

offensichtlich

x(t) ⟶ \frac{f_{0}}{m ω_{0}} e^{− \frac{ρ}{m} t} sin (ω_{0} t) ∀ t ≥ 0

(Impulsantwort). Zu Aufgabe 38a): Aus

|∫_{−τ}^{T −τ} e^{− \frac{ρ}{m} (t−t′)} sin(ω_{0}(t − t′)) θ_{ϵ}(t′ + τ) F (t′) dt′| ; \begin{matrix}≤ & e^{− \frac{ρ}{m} t} e^{+ \frac{ρ}{m} (T −τ)} |F_{0}| max_{t′∈ℝ}|θ_{ϵ}(t′)| \\ ⟶_{τ→+∞} & 0 \end{matrix}

und

∫_{T −τ}^{t} e^{− \frac{ρ}{m} (t−t′)} sin(ω_{0}(t − t′)) θ_{ϵ}(t′ + τ) F (t′) dt

= ∫_{T −τ}^{t} e^{− \frac{ρ}{m} (t−t′)} sin(ω_{0}(t − t′)) F_{0} cos(ω t′) dt
= \frac{F_{0}}{4 i} ∫_{T −τ}^{t} e^{− \frac{ρ}{m} (t−t′)} (e^{+i ω_{0}(t−t′)} − e^{−i ω_{0}(t−t′)})(e^{+i ω t′} + e^{+i ω t′}) dt′
⟶_{τ→+∞} ℜ (z e^{i ω t}) für geeignetes z ∈ ℂ

folgt die Behauptung mit

A = \frac{|z|}{m ω_{0}} , φ = − arg(z) mod 2π .

Zu Aufgabe 38b): Einsetzen von

x_{∞}(t) = \frac{A}{2} (e^{+i(ω t−φ)} + e^{−i(ω t−φ)})

und

F (t) = \frac{F_{0}}{2} (e^{+i ω t} + e^{−i ω t})

ergibt

+ (\frac{A}{2} (−m ω^{2} + 2 ρ i ω + κ) e^{−i φ} − \frac{F_{0}}{2} ) e^{+i ω t}

− (\frac{A}{2} (−m ω^{2} − 2 ρ i ω + κ) e^{−i φ} − \frac{F_{0}}{2} ) e^{−i ω t}

= 0

und somit

A (−m ω^{2} + 2 ρ i ω + κ) e^{−i φ} = F_{0}  (D.56)

sowie die dazu komplex konjugierte Gleichung

A (−m ω^{2} − 2 ρ i ω + κ) e^{−i φ} = F_{0} .  (D.57)

Aus (D.56) folgt

e^{+i φ} = \frac{A}{F_{0}} (−m ω^{2} + 2 ρ i ω + κ)  (D.58)

und daraus mit (D.57)

\begin{aligned}\underline{\underline{A}} & = & \frac{F_{0}}{|−m ω^{2} + 2 ρ i ω + κ|} \\ & = & \underline{\underline{\frac{F_{0}}{\sqrt[+]{(κ − m ω^{2})^{2} + (2 ρ ω)^{2}}}}} . \end{aligned}

Außerdem folgt aus (D.58)

φ = arctan \frac{2 ρ ω}{κ − m ω^{2}} mod π ,

wobei φ wegen ℑ (e^{+i φ}) > 0 aus (0, π) gewählt werden kann.

Zu Aufgabe 38c):

A = \frac{F_{0}}{\sqrt[+]{(2 ρ ω)^{2} + (κ − m ω^{2})^{2}}}

als Funktion von ω ist genau dort maximal, wo

(2 ρ ω)^{2} + (κ − m ω^{2})^{2} minimal

ist. Wegen

\begin{matrix}0 = \frac{d}{dx} (4 ρ^{2} x + (κ − m x)^{2}) \\ ⟺ x = \frac{κ}{m} − \frac{2 ρ^{2}}{m^{2}} \end{matrix}

ist A also an der Stelle

ω = ^{+} \sqrt{\frac{κ}{m} − \frac{2 ρ^{2}}{m^{2}}}

maximal. Dieser Maximalwert ist

A_{max} = \frac{F_{0}}{\sqrt[+]{4 ρ^{2} (\frac{κ}{m} − \frac{2 ρ^{2}}{m^{2}} ) + \frac{4 ρ^{4}}{m^{2}}}}

und divergiert offensichtlich für ρ → 0 .

Zu Aufgabe 39: Sei ω > 0 irgendeine Kreisfrequenz. Dann überstreicht der Ortsvektor

x(t) = cos(ω t) a e_{1} + sin(ω t) b e_{2}

während des Zeitintervalls [0.2π/ω] einmal die zu untersuchende Ellipsenfläche. Gemäß Flächensatz ist der Flächeninhalt deshalb

\underline{\underline{F}} = |∫_{0}^{2π/ω} \frac{1}{2} x(t) × ẋ(t) dt|

= |\frac{1}{2} x(0) × ẋ(0) ∫_{0}^{2π/ω} dt|
= |\frac{π}{ω} x(0) × ẋ(0)|
= |\frac{π}{ω} (a e_{1}) × (ω b e_{2})|
= \underline{\underline{π a b}} .

Anmerkung: Das Ergebnis entspricht natürlich der Vorstellung der Ellipse als gestauchtem Kreis:

F = \underbrace{\frac{b}{a}}_{Stauchung} \underbrace{π a^{2}}_{Kreisflächeninhalt}

(vgl. Fußnote 36 von Kapitel 3).

Zu Aufgabe 40: Aus der Voraussetzung

x(t) × ẋ(t) = 0 ∀ t ∈ J

folgt die Existenz einer Funktion g(t) mit

ẋ(t) = g(t) x(t) ∀ t ∈ J  (D.59)

und somit

\frac{d}{dt} |x(t)| = \frac{d}{dt} \sqrt{x(t) · x(t)}
= \frac{x(t) · ẋ(t)}{\sqrt{x(t) · x(t)}}
=_{(D.59)} g(t) |x(t)| .  (D.60)

Daraus folgt mit der Quotientenregel

\frac{d}{dt} \frac{x(t)}{|x(t)|} = \frac{ẋ(t) |x(t)| − x(t) \frac{d}{dt} |x(t)|}{|x(t)|^{2}}
=_{(D.59),(D.60)} 0 ,

also

\begin{aligned}x(t) & = & |x(t)| \frac{x(t)}{|x(t)|} \\ & = & |x(t)| \frac{x(0)}{|x(0)|} , \end{aligned}

wie behauptet. Zu Aufgabe 41: Zunächst sieht man leicht, daß

\begin{aligned}(m_{1} + m_{2}) ẍ_{s}(t) & = & m_{1} ẍ_{1}(t) + \underbrace{m_{2} ẍ_{2}(t)}_{=−m_{1} ẍ_{1}(t)} \\ & = & 0 \end{aligned}

und somit

\underline{\underline{ẍ_{s}(t) = 0}}

gilt.^{8} Andererseits gilt

μ ẍ_{1}(t) = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \underbrace{m_{1} ẍ_{1}(t)}_{=F(|x_{r}(t)|) \frac{xr(t)}{|xr(t)|}} ,

μ ẍ_{2}(t) = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \underbrace{m_{2} ẍ_{2}(t)}_{=−F(|x_{r}(t)|) \frac{xr(t)}{|xr(t)|}}

und somit

\underline{\underline{μ ẍ_{r}(t)}} = μ ẍ_{1}(t) − μ ẍ_{2}(t)
= \underbrace{(\frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} + \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} )}_{=1} \underline{\underline{F(|x_{r}(t)|) \frac{x_{r}(t)}{|x_{r}(t)|}}} .

Zu Aufgabe 42a): Die zeitliche Konstanz des Runge-Lenz Vektors folgt wie in Abschnitt 3.5.3 für das Kepler-Problem gezeigt:^{9}

\frac{d}{dt}Λ =_{(C.6)} \underbrace{\frac{ẍ × L}{mλ_{−}}}_{=_{(C.6)} −\frac{x×(x×ẋ)}{|x|^{3}} =_{(2.23)} −\frac{(x·ẋ)x−(x·x)ẋ}{|x|^{3}}} − \underbrace{\frac{d}{dt} \frac{x}{|x|}}_{= \frac{ẋ}{|x|} − \frac{x·ẋ}{|x|^{3}} x}

= 0 .

Zu Aufgabe 42b): Weil wir nun λ_{−} < 0 statt λ > 0 haben, gilt jetzt

|x| =_{(C.6)} \frac{ẋ × L}{mλ_{−}} · x − Λ · x =_{(C.7)} −p + ϵ |x| cos φ ,

d.h.

|x| (1 − ϵ cos φ) = −p <_{(C.7)} 0 ,

und damit (C.8)/(C.9). Bzgl. der Interpretation dieses Ergebnisses siehe Fußnote 11 von Kapitel 3.

Zu Aufgabe 42c): Mit

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Version vom 26. März 2009

8Es wirken nur innere Kräfte; siehe Abschnitt 3.4.3 der Vorlesung.

9Das Vorzeichen von λ_{−} spielt dabei ja keine Rolle.

folgt die Behauptung gemäß

sin \frac{ϑ}{2} = sin \frac{π − 2 ψ}{2}
= sin (\frac{π}{2} − ψ)
= cos ψ
= \frac{1}{ϵ} .

Zu Aufgabe 43a): Gemäß der ersten abschließenden Bemerkungen zu Abschnitt 3.5.3 der Vorlesung liegt genau dann eine Kreisbahn vor, wenn

0 = Λ =^{def} \frac{ẋ × L}{G m M} − \frac{x}{|x|}

zu irgendeinem (und damit zu jedem) Zeitpunkt gilt, d.h. wenn

ẋ × L ∝ x  (D.61)

und

|ẋ × L| = G m M .  (D.62)

Wegen

(D.61) ⟺ x ⊥ ẋ

folgt aus (D.61)

\begin{aligned}|L| & = & |x × m ẋ| \\ & = & m \underbrace{|x|}_{=r} \left|{ \atop ẋ}\right| , \end{aligned}  (D.63)

wegen ẋ ⊥ L also

|ẋ × L| = m r \left|{ \atop ẋ}\right|^{2} .

Unter Voraussetzung von (D.61) gilt deshalb

(D.62) ⟺ \left|{ \atop ẋ}\right| = \sqrt{\frac{G M}{r}} .

Zu Aufgabe 43b): Gemäß Abschnitt 3.5.3 der Vorlesung entfernt sich m genau dann unendlich weit von M , falls

0 > E =^{def} \frac{m}{2} \left|{ \atop ẋ}\right|^{2} − \frac{G m M}{|x|}

gilt.^{10} Daraus folgt die Behauptung.

Version vom 26. März 2009

10Aufgrund der Energieerhaltung ist der betrachtete Zeitpunkt irrelevant.

282 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Zu Aufgabe 44: Sei x(t) der Ortsvektor des Systemschwerpunkts, also des Kugelmittelpunkts bzgl. der Aufhängung:

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x(t)

P_{0} e_{2}

e_{1} φ(t)

r

g

|x(t)| = l ,
x(t) = l ( cos φ(t) e_{1} + sin φ(t) e_{2}) .

Gemäß Abschnitt 3.4.2 (und Abschnitt 3.4.3) der Vorlesung gilt dann bzgl. P_{0} :

L̇_{ges.}(t) = M_{ges.}^{äuß}(t)
= x(t) × m g + \underbrace{x_{Aufh.}}_{=0} ×F_{Aufh.}(t) ,  (D.64)
L_{ges.}(t) = \underbrace{L_{Bahn}(t)}_{=x(t)×m ẋ(t)} +L_{eigen} .  (D.65)

Geäß (3.76) gilt außerdem

L_{Bahn}(t) = m l^{2} φ̇(t) e_{3} .  (D.66)

Mit

L_{eigen}(t) = \frac{2}{5} m r^{2} φ̇(t) e_{3}

und

x(t) × m g = −l sin φ(t) m |g| e_{3}

folgt aus (D.64)–(D.66)

\frac{d}{dt} (m l^{2} φ̇(t) + \frac{2}{5} m r^{2} φ̇(t)) e_{3} = −l sin φ(t) m |g| e_{3}

und somit die Bewegungsgleichung

m (l^{2} + \frac{2}{5} r^{2}) φ̈(t) + m |g| l sin φ(t) = 0 .

Anmerkung: Üblicherweise benutzt man die Näherung sin φ(t) ≈ φ(t) für kleine Auslenkungen.

Zu Aufgabe 45: Bzgl. der (geordneten) ONB (e_{1}, e_{2}, e_{3}) gilt

\frac{∂}{∂x^{j}} F (g(x)) =_{Kettenregel} (\frac{∂}{∂x^{j}} g(x)) \underbrace{F′(g(x))}_{=(\frac{d}{dξ} F (ξ))_{|_{ξ=g(x)}}} für j = 1, 2, 3

und somit

grad Φ(x) = ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂x^{1}} F (g(x)) \\ \frac{∂}{∂x^{2}} F (g(x)) \\ \frac{∂}{∂x^{3}} F (g(x)) \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂x^{1}} g(x) \\ \frac{∂}{∂x^{2}} g(x) \\ \frac{∂}{∂x^{3}} g(x) \end{matrix} ) F′(g(x))
= F′(g(x)) grad g(x) .

Zu Aufgabe 46: Für jede Stammfunktion F von f gilt mit

V (x) =^{def} −F (x · e) ∀x ∈ ℝ^{3}

gemäß Aufgabe 45

−grad V (x) = f (x · e) grad (x · e)
= f (x · e) ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂x^{1}} & (x · e) \\ \frac{∂}{∂x^{2}} & (x · e) \\ \frac{∂}{∂x^{3}} & (x · e) \end{matrix} )
= f (x · e) e .

Zu Aufgabe 47: Für jede Stammfunktion F von f gilt mit

V (x) =^{def} −F (|x|) ∀x ∈ ℝ^{3}

gemäß Aufgabe 45

−grad V (x) = f (|x|) grad |x| .

Mit

\frac{∂}{∂x^{j}} |x| = \frac{∂}{∂x^{j}} \sqrt{(x^{1})^{2} + (x^{2})^{2} + (x^{3})^{2}}
=_{Kettenr.} \frac{x^{j}}{\sqrt{(x^{1})^{2} + (x^{2})^{2} + (x^{3})^{2}}}
= \frac{x^{j}}{|x|} ∀ j ∈ \{1, 2, 3\} ,

284 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE also

grad |x| = \frac{x}{|x|} ,

folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe 48: Aus

F̈(t) + ω^{2}F (t) = 0

folgt

F^{(2ν)}(t) = (−ω^{2})^{ν} F (t) ∀ ν ∈ ℕ  (D.67)

und

F^{(2ν+1)}(t) = (−ω^{2})^{ν} Ḟ (t) ∀ ν ∈ ℕ ,

aufgrund der Anfangsbedingungen also

F^{(2ν)}(0) = 0  ∀ ν ∈ ℤ_{+}
F^{(2ν+1)}(0) = ω (−ω^{2})^{ν}
= −i (i ω)^{2ν+1} ∀ ν ∈ ℕ .

F (t) ist also beliebig oft ableitbar und die Taylor-Entwicklung beliebiger Ordnung 2n + 1 ergibt sich zu

F (t) = −i ∑_{ν=1_{ν ungerade}}^{2n+1} \frac{1}{ν!} (i ω t)^{ν} + \frac{1}{(2n + 1)!} ∫_{0}^{t} (t − t′)^{2n+1} F^{(2n+2)}(t′) dt′ .

Es ist also nur noch zu zeigen, daß das Restglied

\frac{1}{(2n + 1)!} ∫_{0}^{t} (t − t′)^{2n+1} F^{(2n+2)}(t′) dt′ =_{(D.67)} \frac{(−ω^{2})^{ν+1}}{(2n + 1)!} ∫_{0}^{t} (t − t′)^{2n+1} F (t′) dt′

für n → ∞ gegen Null konvergiert. Das folgt aber aus

|∫_{0}^{t} (t − t′)^{2n+1} F (t′) dt′| ≤ max_{t′∈[0,t]} |F (t′)| \underbrace{∫_{0}^{t} (t − t′)^{2n+1} dt′}_{\begin{matrix}= & − \frac{(t − t′)^{2n+2}}{2n + 2} |_{t′=0}^{t′=t} \\ = & \frac{t^{2n+2}}{2n + 2} \end{matrix}}

und

lim_{n→∞} \frac{t^{2n+2}}{(2n + 2)!} = 0 ∀ t ∈ ℝ .

Zu Aufgabe 49a): Für ν = 1 gilt

F^{(ν)}(λ) = \frac{P_{ν}(λ)}{Q_{ν}(1 − (λ)^{2})} F (λ) ∀ λ ∈ ℝ \ \{−1, +1\}

offensichtlich mit

P_{1}(λ) = −2λ , Q_{1}(λ) = (1 − λ^{2})^{2} .

Angenommen, dies sei für ν ≤ n bereits beweisen, dann folgt daraus

F^{(n+1)}(λ) = \frac{d}{dλ} (\frac{P_{n}(λ)}{Q_{n}(1 − λ^{2})} F (λ))
= \frac{P_{n}^{(1)}(λ) Q_{n}(1 − λ^{2}) + P_{n}(λ) Q_{n}^{(1)}(1 − λ^{2})}{(Q_{n}(1 − λ^{2}))^{2}} F (λ)

+\frac{P_{n}(λ)}{Q_{n}(1 − λ^{2})} \frac{P_{1}(λ)}{Q_{1}(1 − λ^{2})} F (λ) ∀ λ ∈ ℝ \ \{−1, +1\} ,

also die Behauptung für ν = n + 1 mit

\begin{aligned}P_{n+1}(λ) & = & Q_{1}(1 − λ^{2}) (P_{n}^{(1)}(λ) Q_{n}(1 − λ^{2}) + P_{n}(λ) Q_{n}^{(1)}(1 − λ^{2})) \\ & & +Q_{n}(1 − λ^{2}) P_{n}(λ) P_{1}(λ) \end{aligned}

und

Q_{n+1}(1 − λ^{2}) = (Q_{n}(1 − λ^{2}))^{2} Q_{1}(1 − λ^{2}) .

Zu Aufgabe 49b): Offensichtlich gilt für beliebiges μ ∈ ℕ und x > 0

\begin{aligned}\frac{e^{x}}{x^{μ+1}} & > & \frac{∑_{ν=1}^{μ+2} \frac{1}{ν!} x^{ν}}{x^{μ+1}} \\ & ⟶_{x→+∞} & ∞ . \end{aligned}

Für x = \frac{1}{1−λ^{2}} ergibt sich daraus

\begin{aligned}|±1 − λ| (1 − λ^{2})^{μ} e^{+ \frac{1}{1−λ^{2}}} & ≤ & \frac{(1 − λ^{2})^{μ+1}}{|∓1 − λ|} e^{+ \frac{1}{1−λ^{2}}} \\ & ⟶ & ∞ für \underbrace{λ}_{∈(−1,+1)} → ±1 . \end{aligned}

und gemäß a) damit induktiv, daß alle Ableitungen von F (λ) sowohl bei λ = +1 als auch bei λ = +1 existieren und Null sind. Zu Aufgabe 49c): Taylor-Entwickelbarkeit von F (λ) an der Stelle λ = ±1 würde

\begin{aligned}F (±1 + Δλ) & = & (e^{Δλ \frac{d}{dλ}} F (λ))_{|_{λ=±1}} \\ & = & ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (Δλ)^{ν} F^{(ν)}(±1) \end{aligned}

für Δλ hinreichend nahe bei Null bedeuten. Da gemäß b)

F^{(ν)}(±1) = 0 ∀ ν ∈ ℤ_{+}

gilt, konvergiert zwar die rechte Seite, liefert aber Null. Die linke Seite ist dagegen für ∓Δλ ∈ (0, 2) positiv.

Zu Aufgabe 50: Man sieht leicht, daß die Ableitung von f(λ) für alle λ ∈ ℝ existiert:

f′(λ) = \{ \begin{matrix}0 & für λ = 0 , \\ 2(λ sin (λ^{−2}) − λ^{−1} cos (λ^{−2})) & sonst . \end{matrix}

Daß dieses f′(λ) an der Stelle λ = 0 nicht stetig ist, ist offensichtlich.

Zu Aufgabe 51: Mit den Definitionen

A_{Feder} =^{def} Arbeit der Feder während [0, t′] ,
A_{gesamt} =^{def} Arbeit der Gesamtkraft während [0, t′] ,
A_{äuß}  =^{def} Arbeit der zusätzlichen Kraft während [0, t′]

gilt

\underline{\underline{A_{Feder}}}  =  ∫_{0}^{t′} ẋ(t) · \underbrace{F_{Feder}(x(t))}_{=−κ x(t)} dt

=_{Anfangsbed.} \underline{\underline{−\frac{κ}{2} |x(t′)|^{2}}} ,

A_{gesamt}  =  ∫_{0}^{t′} ẋ(t) · \underbrace{F_{gesamt}(x(t))}_{=m ẍ(t)} dt

=_{Anfangsbed.} \frac{m}{2} |ẋ(t′)|^{2}

und somit

\underline{\underline{A_{äuß}}} = A_{gesamt} − A_{Feder}
= \underline{\underline{\frac{m}{2} |ẋ(t′)|^{2} + \frac{κ}{2} |x(t′)|^{2}}}

= \{ \begin{matrix}Gesamtenergie des Systems \\ Massenpunkt + masselose Feder \\ zum Zeitpunkt t′ . \end{matrix}

Zu Aufgabe 52: Für die Kraft F_{Exp}(t) , die der Experimentator zur Zeit t auf m ausübt, gilt

F_{0} − κ x(t) + F_{Exp}(t) =_{Newton} m ẍ(t)
=_{Vorgabe} m b .

Für die Arbeit A, die der Experimentator während des Zeitintervalls [0, t′] an m verrichtet ergibt sich somit

\underline{\underline{A}} = ∫_{0}^{t′} \underbrace{F_{Exp}(t)}_{=m b − F_{0} + κ^{x(t)}_{= \frac{1}{2} b t^{2}}} · \underbrace{ẋ(t)}_{=b t} dt

= b · (m b − F_{0}) ∫_{0}^{t′} t dt + \frac{κ}{2} |b|^{2} ∫_{0}^{t′} t^{3} dt
= \frac{m}{2} |b t′|^{2} − F_{0} · (\frac{1}{2} b t′^{2}) + \frac{κ}{2} |\frac{1}{2} b t′^{2}|^{2}
= \underline{\underline{\frac{m}{2} |ẋ(t′)|^{2} − F_{0} · x(t′) + \frac{κ}{2} |x(t′)|^{2}}}

= \{ \begin{matrix}Gesamtenergie des Systems \\ Massenpunkt + Kraftfeld \\ zum Zeitpunkt t′ . \end{matrix}

Zu Aufgabe 53: Nach Aufgabe 47 ist nur noch zu zeigen, daß

|x| = |y| ⟹ Ψ(x) = Ψ(y)

gilt, falls

F(x) = Ψ(x) \frac{x}{|x|}  (D.68)

konservativ (Ψ also auch stetig) ist.

Seien also x, y mit |x| = |y|, aber x ≠ y gegeben und sei F(x) konservativ. Nach Folgerung 4.2.8 muß dann

∫_{C_{ϵ}} F(x) · dx = 0

für jeden der geschlossenen Wege C_{ϵ} gemäß folgender Skizze gelten:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ϵ; B; A; A_{ϵ}; B_{ϵ}; C_{ϵ}; P_{0}; x = \overrightarrow{P_{0}A} , y = \overrightarrow{P_{0}B} .]

Wegen (D.68) verschwindet das Wegintegral längs der Kreissegmente. Die Anteile längs der Radialteile müssen sich also zu Null aufaddieren. Deshalb muß nach Lemma 4.2.5 (Mittelwertsatz für Wegintegrale) und (D.68)

ϵ Ψ (\overrightarrow{P_{0}A_{ϵ}}) − ϵ Ψ (\overrightarrow{P_{0}B_{ϵ}}) = 0 für geeignete A_{ϵ}, B_{ϵ}

gelten, woraus für ϵ → 0 schließlich Ψ (\overrightarrow{P_{0}A}) = Ψ (\overrightarrow{P_{0}B}) folgt.

Zu Aufgabe 54a): Das Geschwindigkeitsfeld ist

v(x) = ω_{0} × x , ω_{0} =^{def} ω_{0} e_{3} ,  (D.69)

weil das die richtige Richtung und den richtigen Betrag

|v(x)| = ω_{0} · Abstand von der Drehachse

hat.

Zu Aufgabe 54b): Bei Orientierung im Rechtsschraubensinne bzgl. e_{3} gilt

C = {x(φ) =^{def} R (cos φ e_{1} + sin φ e_{2}) : φ ∈ [0, 2π]}  (D.70)

und damit gemäß Definition des Wegintegrals:

∫_{C} v(x) · dx = ∫_{0}^{2π} v(x(φ)) · (\frac{d}{dφ}x(φ)) dφ .

Da (ω_{0}, x(φ), \frac{d}{dφ} x(φ)) für jedes φ ein rechtshändiges Orthogonalsystem ist, gilt

v(x(φ)) · (\frac{d}{dφ}x(φ)) =_{(D.69)} ω_{0} |x(φ)| |\frac{d}{dφ} x(φ)|
=_{(D.70)} ω_{0} R^{2}

und somit, auch direkt der Anschauung entsprechend:

∫_{C} v(x) · dx = ∫_{0}^{2π} \underbrace{ω_{0} R}_{=|v|} \underbrace{R dφ}_{=ds}

= ω_{0} R^{2} ∫_{0}^{2π} dφ
= ω_{0} R^{2} 2π .

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.

Zu Aufgabe 54c): Aus (D.69) folgt

v(x) = ω_{0} ( \begin{matrix}−x^{2} \\ +x^{1} \\ 0 \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, e_{2}, e_{3})

und daraus offensichtlich die stetige Differenzierbarkeit des Vektorfeldes v(x) . Zu Aufgabe 55: Die Wege C_{1} und C_{2} lassen sich wie folgt skizzieren:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; R; e_{2}; C_{2}; C_{1}; P_{1}; P_{0}; P_{2}; C_{2}; e_{1}]

Eine geeignete einfache Parametrisierung von C_{1} ist dementsprechend

C_{1} = {x(φ) =^{def} R (cos φ e_{1} + sin φ e_{2}) : φ ∈ [0, π/2]} .

Damit ergibt sich^{11}

∫_{C_{1}} F(x) · dx = ∫_{0}^{π/2} F(x(φ)) · (\frac{d}{dφ} x(φ)) dφ
= \underbrace{∫_{0}^{π/2} F_{0} · ( \underbrace{\frac{d}{dφ} x(φ)}_{=R(− sin φ e_{1}+cos φ e_{2})})dφ}_{=−R F_{0}^{1} ∫_{0}^{π/2} sin φ dφ+R F_{0}^{2} ∫_{0}^{π/2} cos φ dφ} + \underbrace{∫_{0}^{π/2} κ_{2} \underbrace{|x(φ)| |\frac{d}{dφ} x(φ)|}_{=R^{2}} dφ}_{= \frac{π}{2} R^{2} κ_{2}}

und somit

∫_{C_{1}} F(x) · dx = R (F_{0}^{2} − F_{0}^{1}) + κ_{2} \frac{π}{2} R^{2} .

Da (e_{1} × e_{2}) × x längs C_{2} stets senkrecht zur Wegtangente steht, gilt

∫_{C_{2}} F(x) · dx = ∫_{C_{2}} (F_{0} − κ_{1} x) · dx

und somit, da F_{0} − κ_{1} x konservativ ist

∫_{C_{2}} F(x) · dx = ∫_{C_{1}} (F_{0} − κ_{1} x) · dx
=_{s.o.} R (F_{0}^{2} − F_{0}^{1}) .

Version vom 26. März 2009

11Der Kraftanteil −κ_{1} x trägt längs C_{1} nicht bei, da die Wegtangente längs C_{1} stets senkrecht zu x ist.

290 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Es gilt also insbesondere

κ_{2} ≠ 0 ⟹ ∫_{C_{1}} F(x) · dx ≠ ∫_{C_{2}} F(x) · dx ,

weil (e_{1} × e_{2}) × x nicht^{12} konservativ ist Zu Aufgabe 56: In Kugelkoordinaten gilt

\begin{aligned}g^{r}(r, ϑ, φ) & =^{def} & g(x(r, ϑ, φ)) · e_{r}(r, ϑ, φ) \\ & = & −\frac{G M}{r^{2}} \end{aligned}

und somit

\underline{\underline{∫_{∂ U_{R}(0)} g(x) · dS_{x}}} = ∫_{φ=0}^{2π} ∫_{ϑ=0}^{π} \frac{−G M}{R^{2}} \underbrace{R^{2} sin ϑ dϑ dφ}_{=|dS_{x}|}
= −G M \underbrace{∫_{φ=0}^{2π} ∫_{ϑ=0}^{π} sin ϑ dϑ dφ}_{=4π}
= \underline{\underline{−4π G M}}

— im Einklang mit dem Gaußschen Gesetz (4.49). Zu Aufgabe 57: Gemäß Abschnitt 4.4.2 der Vorlesung gilt

∫_{U_{R}(0)} dV_{x} = ∫_{φ=0}^{2π} ∫_{ϑ=0}^{π} ∫_{r=0} Rr^{2} sin ϑ dr dϑ dφ
= \underbrace{∫_{0}^{R} r^{2} dr}_{= \frac{1}{3} r^{3}|_{0}^{R}} \underbrace{∫_{φ=0}^{2π} ∫_{ϑ=0}^{π} sin ϑ dϑ dφ}_{=_{4.3.2} 4π}

und somit:

\frac{4}{3} π R^{3} = Volumen einer Kugel vom Radius R .

Zu Aufgabe 58: Die Halbkugel sei gemäß folgender Skizze orientiert:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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P_{0} R  e_{3}

Version vom 26. März 2009

12Vgl. Aufgabe 54b).

Aus Symmetriegründen muß dann für den Ortsvektor X (bzgl. P_{0}) des Schwerpunktes der Halbkugel

X = X^{3} e_{3}

gelten, wobei

X^{3} = \frac{2}{M} ∫_{Halbkugel} \underbrace{μ}_{konst.} \underbrace{x^{3}}_{=R cos ϑ} dV_{x}

=_{s.o.} 2 \frac{μ}{M} \underbrace{∫_{0}^{R} r^{3} dr}_{= \frac{1}{4} r^{4}|_{0}^{R}} \underbrace{∫_{0}^{π/2} cos ϑ sin ϑ dϑ}_{= \frac{1}{2} sin^{2} ϑ|_{0}^{π/2}} \underbrace{∫_{0}^{2π} dφ}_{=2π}

= 2 \frac{3}{4πR^{3}} \frac{R^{4}}{4} \frac{1}{2} 2π

mit

M =^{def} μ\frac{4}{3} πR^{3}

gilt. Daraus folgt:

\underline{\underline{X = \frac{3}{8} R e_{3} .}}

Zu Aufgabe 59: Wir betrachten nur einen einzigen Zeitpunkt und wählen dafür die rechtshändige ONB (e_{1}, e_{2}, e_{3}) so, daß der Zylinder das Gebiet

G =^{def} \{x ∈ ℝ^{3} : |x^{3}| < \frac{L}{2} , |x^{1}|^{2} + |x^{2}|^{2} ≤ R\}

ausfüllt.

Dann gilt für den Trägheitstensor θ des Zylinders (zum betrachteten Zeitpunkt)

θ (e_{j}, e_{k}) = μ ∫_{G} (e_{j} × x) · (e_{k} × x) dV_{x} ∀ j, k ∈ {1, 2, 3}

mit

μ =^{def} Massendichte
= \frac{M}{π R^{2} L} .

Aus Symmetriegründen ist klar, daß

j ≠ k ⟹ θ (e_{j}, e_{k}) = 0

292 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE gilt.^{13} Daraus folgt

θ (ω_{1}, ω_{2}) = ∑_{j=1}^{3} (e_{j} · ω_{1})(e_{j} · ω_{2}) θ (e_{j}, e_{j}) .

Es sind also nur noch die Hauptträgheitsmomente

θ (e_{1}, e_{1}) = θ (e_{2}, e_{2}) und θ (e_{3}, e_{3})

zu bestimmen:

\underline{\underline{θ (e_{3}, e_{3})}} = \frac{M}{π R^{2} L} ∫_{h=− \frac{L}{2}}^{+ \frac{L}{2}} ∫_{φ=0}^{2π} ∫_{ρ=0}^{R} ρ^{2} \underbrace{ρ dρ dφ dh}_{=dV}
= \frac{2 M}{R^{2}} ∫_{ρ=0}^{R} ρ^{3} dρ
= \underline{\underline{\frac{M}{2} R^{2}}} ,
\underline{\underline{θ (e_{1}, e_{1})}} = \frac{M}{π R^{2} L} ∫_{h=− \frac{L}{2}}^{+ \frac{L}{2}} ∫_{φ=0}^{2π} ∫_{ρ=0}^{R} (ρ^{2} sin^{2} φ + h^{2}) ρ dρ dφ dh
= \frac{M}{π R^{2}} \underbrace{∫_{0}^{R} ρ^{3} dρ}_{= \frac{1}{4} R^{4}} \underbrace{∫_{0}^{2π} sin^{2} φ dφ}_{\begin{matrix}= & − \frac{1}{4} ∫_{0}^{2π} (e^{+i φ} − e^{−i φ})^{2} dφ \\ = & π \end{matrix}} + \underbrace{\frac{M}{L} ∫_{− \frac{L}{2}}^{+ \frac{L}{2}} h^{2} dh}_{= \frac{M}{12} L^{2}}
= \underline{\underline{\frac{M}{4} (R^{2} + \frac{L^{2}}{3} )}} .

Zu Aufgabe 60: Für einen beliebigen festen Zeitpunkt t wählen wir eine Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2}, e_{3}} des ℝ^{3} mit e_{3} = e(t) . Damit ergibt sich

L(t) = ∑_{j=1}^{3} (L(t) · e_{j}) e_{j}
=_{(4.40)} ∑_{j=1}^{3} θ_{t}(e_{j}, ω(t))e_{j}
= ∑_{j=1}^{3} \underbrace{ω}_{≠0} θ_{t}(e_{j}, e_{3})e_{j}

Version vom 26. März 2009

13Denn:

θ (e_{j}, e_{k}) =_{Symmetrie} θ (e_{j}, −e_{k})
=_{Linearität} −θ (e_{j}, e_{k}) für j ≠ k ≠ 3 .

und somit

L(t) ∝ e(t) ⟺ θ_{t}(e_{j}, e(t)) = 0 ∀ j ∈ {1, 2} .

Daraus folgt die Behauptung.

Anmerkung: Schon für Punktteilchen gilt L(t) ∝̸^{i.a.} e(t) .

Zu Aufgabe 61a): Wir wählen eine Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2}, e_{3}} des ℝ^{3} mit e_{3} = e . Voraussetzungsgemäß gilt dann

\frac{v(x)}{|v(x)|} = \frac{x^{3}}{|x^{3}|} e_{3}

und

d |x^{3}| = |v(x)| ∀ x ∈ ℝ^{3} .

Daraus folgt

\underline{\underline{v(x) = d x^{3} e_{3}}} ∀ x ∈ ℝ^{3}

und somit

∫_{∂ U_{R}(0)} v(x) · dS_{x} = ∫_{ϑ=0}^{π} ∫_{φ=0}^{2π} d \underbrace{R cos ϑ}_{=x^{3}} \underbrace{cos ϑ}_{=e_{3}·e_{r}} \underbrace{R^{2} sin ϑ dϑ dφ}_{=|dS|}

= r^{3} d \underbrace{∫_{φ=0}^{2π} dφ}_{=2π} \underbrace{∫_{ϑ=0}^{π} sin ϑ cos^{2} ϑ dϑ}_{\begin{matrix}= & −\frac{1}{3} cos^{3} ϑ|_{0}^{π} \\ = & 2/3 \end{matrix}}

= \frac{4}{3} π R^{3} d .

Mit |U_{R}(0)| = \frac{4}{3} π R^{3} folgt daraus

\frac{1}{|U_{R}(0)|} ∫_{∂ U_{R}(0)} v(x) · dS_{x} = d .

Zu Aufgabe 61b): Für die Ausdehnung in die Richtungen e_{1}, e_{2}, e_{3} mit den entsprechenden relativen Längenänderungen pro Zeiteinheit d_{1}, d_{2}, d_{3} gilt

v(x) = ∑_{j=1}^{3} d_{j} x^{j} e_{j}

und somit

∫_{∂ U_{R}(0)} v(x) · dS_{x} = \frac{4}{3} π R^{3} (d_{1} + d_{2} + d_{3}) ,

294 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE in Übereinstimmung mit

div v(x) = d_{1} + d_{2} + d_{3}

und

∫_{∂ U_{R}(0)} v(x) · dS_{x} =_{Gauß} ∫_{U_{R}(0)} div v(x) dV_{x}
= (d_{1} + d_{2} + d_{3}) |U_{R}(0)| .

Zu Aufgabe 62: Aus Symmetriegründen muß

g(x) = g(\underbrace{r}_{=|x|}) \underbrace{e_{r}}_{=x/|x|}

und somit

\underbrace{∫_{∂ U_{r}(0)} g(x) · dS_{x}}_{=g(r) ^{|∂ U_{r}(0)|}_{=4π r^{2}}} =_{Gaußsches Ges.} −4π G \underbrace{∫_{U_{r}(0)} μ(x) dV_{x}}_{=\{ \begin{matrix}\frac{4}{3} π r^{3} μ & für r ≤ R \\ \underbrace{\frac{4}{3} π R^{3} μ}_{=M} & für r ≥ R \end{matrix}}

gelten. Daraus folgt

g(r) = \{ \begin{matrix}−G \frac{4}{3} π μ r & für r ≤ R \\ −\frac{G M}{r^{2}} & für r ≥ R \end{matrix}

und somit gemäß Vorlesung g(x) = −grad V (x) mit:

\underbrace{V (x)}_{stetig differenzierbar} − \underbrace{V_{0}}_{Konvention} = \{ \begin{matrix}−\frac{G M}{|x|} & für |x| ≥ R, \\ \frac{2}{3} π G μ |x|^{2} − \underbrace{\frac{3 G M}{2 R}}_{zwecks Stetigkeit} & für |x| ≤ R. \end{matrix}

Zu Aufgabe 63: Die (e_{3} = −g/ |g|)-Komponente der gesamten Oberflächenkraft auf K ist

e_{3} · ∫_{∂ G}(−p(x) \underbrace{n(x)) |dS_{x}|}_{=dS_{x}} = ∫_{∂ G}(−p(x) e_{3}) · dS_{x}
=_{Gauß} ∫_{G} div (−p(x) e_{3}) dV_{x}
= − ∫_{G} \frac{∂}{∂x^{3}} p(x) dV_{x} ,

wobei p(x) die Druckverteilung innerhalb der Flüssigkeit bezeichnet. Mit

p(x) = μ x · g + const.
= −μ |g| x^{3} + const.

folgt daraus die Behauptung.

Anmerkung: Das Archimedische Prinzip ist physikalisch (auch ohne die verwendeten Näherungen) sehr plausibel:

Wenn man den Körper durch ruhende Flüssigkeit ersetzt, kompensieren sich Oberflächen- und Volumenkräfte. Die von außen auf ∂G wirkende — von den tatsächlichen Gleichgewichtsverhältnissen im Inneren von G unabhängige — gesamte Oberflächenkraft stimmt also bis auf Vorzeichen mit der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge überein.

Zu Aufgabe 64: Indem wir e_{h} in Richtung von ȷ wählen, ist in Zylinderkoordinaten^{14}

H^{φ}(ρ, φ, h) =^{def} H(ρ, φ, h) · e_{φ}(ρ, φ, h)

leicht zu bestimmen:

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ρ

2πρ H^{φ} =_{Rot.-Symm.} ∫_{∂S_{ρ}} H · dx

=_{Stokes} ∫_{S_{ρ}} rot H · dS

=_{Maxwell} ∫_{S_{ρ}} ȷ · dS .

S_{ρ} ȷ ∼ e_{h}

∂S_{ρ}

Das Ergebnis lautet

H^{φ}(ρ, φ, h) = \frac{J_{ρ}}{2πρ} ,

wobei J_{ρ} den Gesamtstrom durch die Röhre vom Radius ρ um die e_{h}-Achse in Richtung von e_{h} (≥ 0) bezeichnet. Es ist aber noch H^{ρ} = H^{h} = 0 zu zeigen:

Version vom 26. März 2009

14Siehe Abschnitt 4.3.2 der Vorlesung.

296 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE

Für einen unendlich langen Stromfaden sollte H unabhängig von h sein. Daher:

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ρ

ȷ

2πρ l \underline{\underline{H^{ρ}}}  = ∫_{∂G_{ρ,l}} H · dS
=_{Gauß} ∫_{G_{ρ,l}} div H dV
=_{Maxwell} \underline{\underline{0}} .

l G_{ρ,l}

Andererseits muß H^{h} =^{def} H · e_{h} wegen

rot H ∝_{Maxwell} ∝ e_{h}  (D.71)

konstant sein:

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ρ S_{ρ,Δρ,l}

l (H^{h}(ρ) − H^{h}(ρ + Δρ))
=  ∫_{∂S_{ρ,Δρ,l}} H · dx
=_{Stokes}  ∫_{S_{ρ,Δρ,l}} rot H · dS
=_{Maxwell}  0 .

l

Δρ

∂S_{ρ,Δρ,l}

Damit H^{h} in unendlichem Abstand vom Stromfaden verschwindet, muß H^{h} also überall verschwinden.

Zu Aufgabe 65: Für stetig differenzierbares F(x) gilt

∇ × (−x × ∫_{0}^{1} λ F(λ x) dλ)

=_{(4.94)} −(\underbrace{∇ · ∫_{0}^{1} λ F(λ x) dλ}_{=∫_{0}^{1} λ^{2} div F(λ x) dλ})x − \underbrace{(∫_{0}^{1} λ F(λ x) dλ · ∇) x}_{=∫_{0}^{1} λ F (λ x) dλ}

+ \underbrace{(∇ · x)}_{=3} ∫_{0}^{1} λ F(λ x) dλ + \underbrace{x · ∇ ∫_{0}^{1} λ F(λ x) dλ}_{=∫_{0}^{1} λ^{2} \frac{d}{dλ} F(λ x) dλ} .

Mit

∫_{0}^{1}(\underbrace{2λ F(λ x) + λ^{2} \frac{d}{dλ} F(λ x)}_{= \frac{d}{dλ}(λ^{2} F(λ x))})dλ = F(x)

folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe 66: Aus

\frac{d}{dt} Φ(x(t)) = ẋ(t) · grad Φ(x(t))  (4.5)

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\frac{∂}{∂r} x(r, ϑ, φ) = e_{r}(r, ϑ, φ) ,
\frac{∂}{∂ϑ} x(r, ϑ, φ) = r e_{ϑ}(r, ϑ, φ) ,
\frac{∂}{∂φ} x(r, ϑ, φ) = r sin ϑ e_{φ}(r, ϑ, φ)

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(grad Φ)^{r} =^{def} e_{r} · grad Φ = \frac{∂}{∂r}Φ ,
(grad Φ)^{ϑ} =^{def} e_{ϑ} · grad Φ = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ}Φ ,
(grad Φ)^{φ} =^{def} e_{φ} · grad Φ = \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}Φ .

Zu Aufgabe 67: Zur Bestimmung von (rot ȷ)^{φ} = (rot ȷ) · e_{φ} seien Flächenstücke S_{Δr,Δϑ} folgender Art betrachtet:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; r; Δr; Δϑ; ϑ; S_{Δr,Δϑ}; P_{0}; e_{3}]

298 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Dafür gilt

∫_{∂S_{Δr,Δϑ}} ȷ · dx
=  ∫_{r}^{r+Δr}(ȷ^{r}(r′, ϑ, φ) − ȷ^{r}(r′, ϑ + Δϑ, φ)) dr′

+ ∫_{ϑ}^{ϑ+Δϑ}((r + Δr) ȷ^{ϑ}(r + Δr, ϑ′, φ) − r ȷ^{ϑ}(r, ϑ′, φ)) dϑ′

=_{Satz 3.3.4} (ȷ^{r}(r_{1}, ϑ, φ) − ȷ^{r}(r_{1}, ϑ + Δϑ, φ)) Δr

+((r + Δr) ȷ^{ϑ}(r + Δr, ϑ_{1}, φ) − r ȷ^{ϑ}(r, ϑ_{1}, φ)) Δϑ

für geeignete r_{1} ∈ [r, r + Δr] , ϑ_{1} ∈ [ϑ, ϑ + Δϑ]
=_{Satz 3.2.2} − (\frac{∂}{∂ϑ} ȷ^{r}(r_{1}, ϑ, φ))_{|_{ϑ=ϑ_{2}}} Δϑ Δr

+ (\frac{∂}{∂r}(r ȷ^{r}(r_{1}, ϑ, φ)))_{|_{r=r_{2}}} Δr Δϑ

für geeignete r_{ν} ∈ [r, r + Δr] , ϑ_{ν} ∈ [ϑ, ϑ + Δϑ] .

Mit

|S_{Δr,Δϑ}| = ∫_{r′=r}^{r+Δr} ∫_{ϑ′=ϑ}^{ϑ+Δϑ} r dϑ′ dr′
=_{Satz 3.3.4} r_{3} Δr Δϑ für geeignetes r_{3} ∈ [r, r + Δr]

folgt daraus:

\underline{\underline{(rot ȷ)^{φ} (r, ϑ, φ)}}

=_{Folg. 4.3.9} lim_{Δr,Δϑ→+0} \frac{1}{|S_{Δr,Δϑ}|} ∫_{∂S_{Δr,Δϑ}} ȷ · dx
= lim_{r_{ν}→r_{ϑν →ϑ}} \frac{1}{r_{3}} ((\frac{∂}{∂r}(r ȷ^{r}(r_{1}, ϑ, φ)))_{|_{r=r_{2}}} − (\frac{∂}{∂ϑ} ȷ^{r}(r_{1}, ϑ, φ))_{|_{ϑ=ϑ_{2}}})
=  \underline{\underline{\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}(r ȷ^{ϑ}) − \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ ȷ^{r}}}} .

Analog lassen sich (rot ȷ)^{ϑ} und (rot ȷ)^{r} bestimmen:

Für die Flächenstücke

Ŝ_{Δr,Δφ} =^{def} \{x(φ′, r′) =^{def} x( \underbrace{r′, ϑ, φ′}_{Kugelkoord.}) : r′ ∈ [r, r + Δr] , φ′ ∈ [φ, φ + Δφ]\}

gilt

∫Ŝ_{Δr,Δφ} ȷ · dx
= ∫_{φ}^{φ+Δφ}(r ȷ^{φ}(r, ϑ, φ′) − (r + Δr) ȷ^{φ}(r + Δr, ϑ, φ′))dr′

+ ∫_{r}^{r+Δr}(ȷ^{r}(r′, ϑ, φ + Δφ) − ȷ^{r}(r′, ϑ, φ))dr′

= (r ȷ^{φ}(r, ϑ, φ_{1}) − (r + Δr) ȷ^{φ}(r + Δr, ϑ, φ_{1})) sin ϑ Δφ

(ȷ^{r}(r_{1}, ϑ, φ + Δφ) − ȷ^{r}(r_{1}, ϑ, φ)) Δr

= − (\frac{∂}{∂r}(r ȷ^{φ}(r, ϑ, φ_{1})))_{|_{r=r_{2}}} Δr sin ϑφ

+ (\frac{∂}{∂φ} ȷ^{r}(r_{1}, ϑ, φ))_{|_{φ=φ_{2}}} Δφ Δr .

mit geeigneten r_{ν} ∈ [r, r + Δr] und φ_{ν} ∈ [φ, φ + Δφ] . Mit

|Ŝ_{Δr,Δφ}| = ∫_{r′=r}^{r+Δr} ∫_{φ′}^{φ+Δφ} r′ sin ϑ dφ′ dr′
= r_{3} sin ϑ dφ′ dr′

folgt daraus

\underline{\underline{(rot ȷ)^{ϑ}}} = lim_{Δr,Δφ→+0} \frac{1}{|Ŝ_{Δr,Δφ}|} ∫_{∂Ŝ_{Δr,Δφ}} ȷ · dx
= \underline{\underline{\frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ} ȷ^{r} − \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r ȷ^{φ})}} .

Für die Flächenstücke

S_{Δϑ,Δφ} =^{def} {x(ϑ′, φ′) =^{def} x(r, ϑ′, φ′) : ϑ′ ∈ [ϑ, ϑ + Δϑ] , φ′ ∈ φ, φ + Δφ]}

300 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE gilt

∫_{∂S_{Δϑ,Δφ}} ȷ · dx
= ∫_{ϑ}^{ϑ+Δϑ}(ȷ^{ϑ}(r, ϑ′, φ) − ȷ^{ϑ}(r, ϑ′, φ + Δφ))r dϑ′

+ ∫_{φ}^{φ+Δφ}(sin(ϑ + Δϑ) ȷ^{φ}(r, ϑ + Δϑ, φ′) − sin ϑ ȷ^{φ}(r, ϑ, φ′))r dφ′

= (ȷ^{ϑ}(r, ϑ_{1}, φ) − ȷ^{ϑ}(r, ϑ_{1}, φ + Δφ))r Δϑ

(sin(ϑ + Δϑ) ȷ^{φ}(r, ϑ + Δϑ, φ_{1}) − sin ϑ ȷ^{φ}(r, ϑ, φ_{1}))r Δφ

= − (\frac{∂}{∂φ} ȷ^{ϑ}(r, ϑ_{1}, φ))_{|_{φ=φ_{2}}} Δφ r Δϑ

+ (\frac{∂}{∂ϑ}(sin ϑ ȷ^{φ}(r, ϑ, φ_{1})))_{|_{ϑ=ϑ_{2}}} Δϑ r Δφ

mit geeigneten ϑ_{ν} ∈ [θ, ϑ + Δϑ] und φ_{ν} ∈ [φ, φ + Δφ] . Mit

|S_{Δϑ,Δφ}| = ∫_{ϑ′=ϑ}^{ϑ+Δϑ} ∫_{φ′=φ}^{φ+Δφ} r^{2} sin ϑ′ dϑ′ dφ′
= r^{2} sin ϑ_{3} Δϑ Δφ

folgt daraus

\underline{\underline{(rot ȷ)^{r}}} = lim_{Δϑ,Δφ→+0} \frac{1}{|S_{Δϑ,Δφ}|} ∫_{∂S_{Δϑ,Δφ}} ȷ · dx
= \underline{\underline{\frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ ȷ^{φ}) − \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ} ȷ^{ϑ}}} .

Im Einklang mit dem Ergebnis von Aufgabe 53 gilt somit für Radialfelder : rot ȷ = 0 ⟺ \frac{∂}{∂φ} ȷ^{r} = \frac{∂}{∂ϑ} ȷ^{r} = 0 .

Zu Aufgabe 68: Für die Gebiete

G_{Δr,Δϑ,Δφ} =^{def} {x(r′, ϑ′, φ′) : r′ ∈ [r, r + Δr] , ϑ′ ∈ [ϑ, ϑ + Δϑ] , φ′ ∈ [φ, φ + Δφ]}

gilt ∫_{∂G_{Δr,Δϑ,Δφ}} ȷ · dS

= ∫_{r′=r}^{r+Δr} ∫_{ϑ′=ϑ}^{ϑ+Δϑ}(ȷ^{φ}(r′, ϑ′, φ + Δφ) − ȷ^{φ}(r′, ϑ′, φ))r′ dr′ dϑ′

∫_{ϑ′=ϑ}^{ϑ+Δϑ} ∫_{φ′=φ}^{φ+Δφ} ((r + Δr)^{2} ȷ^{r}(r + Δr, ϑ′, φ′) − r^{2} ȷ^{r}(r, ϑ′, φ′)) sin ϑ′ dϑ′ dφ′ ∫_{φ′=φ}^{φ+Δφ} ∫_{r′=r}^{r+Δr}(sin(ϑ + Δϑ) ȷ^{ϑ}(r′, ϑ + Δϑ, φ′) − sin ϑ ȷ^{ϑ}(r′, ϑ, φ′))r′ dr′ dφ

= (ȷ^{φ}(r_{1}, ϑ_{1}, φ + Δφ) − ȷ^{φ}(r_{1}, ϑ_{1}, φ))r_{1} Δr Δϑ

+ ((r + Δr)^{2} ȷ^{r}(r + Δr, ϑ_{2}, φ_{2}) − r^{2} ȷ^{r}(r, ϑ_{2}, φ_{2})) sin ϑ_{4} Δϑ Δφ +(sin(ϑ + Δϑ) ȷ^{ϑ}(r_{3}, ϑ + Δϑ, φ_{3}) − sin ϑ ȷ^{ϑ}(r_{3}, ϑ, φ_{3}))r_{4} Δr Δφ

= (\frac{∂}{∂φ} ȷ^{φ}(r_{1}, ϑ_{1}, φ))_{|_{φ=φ_{1}}} Δφ r_{1} Δr Δϑ

+ (\frac{∂}{∂r} (r^{2} ȷ^{r}(r, ϑ_{2}, φ_{2})))_{|_{r=r_{2}}} Δr sin ϑ_{4} Δϑ Δφ

+ (\frac{∂}{∂ϑ}(sin ϑ ȷ^{ϑ}(r_{3}, ϑ, φ_{3})))_{|_{ϑ=ϑ_{3}}} Δϑ r_{4} Δ_{r} Δφ

mit geeigneten r_{ν} ∈ [r, r + Δr] , ϑ_{ν} ∈ [θ, ϑ + Δϑ] und φ_{ν} ∈ [φ, φ + Δφ] . Mit

|G_{Δr,Δϑ,Δφ}| = ∫_{r′=r}^{r+Δr} ∫_{ϑ′=ϑ}^{ϑ+Δϑ} ∫_{φ′=φ}^{φ+Δφ} r′^{2} sin ϑ′ dr′ dϑ′ dφ′
= r_{5}^{2} sin ϑ_{5} Δr Δϑ Δφ

für geeignete r_{5} ∈ [r, r + Δr] und ϑ_{5} ∈ [θ, ϑ + Δϑ] folgt daraus

\underline{\underline{div ȷ}} =_{Folg. 4.4.10} lim_{Δr,Δϑ,Δφ→+0} \frac{1}{|G_{Δr,Δϑ,Δφ}|} ∫_{∂G_{Δr,Δϑ,Δφ}} ȷ · dS

= \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ} ȷ^{φ} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2} ȷ^{r}) + \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ ȷ^{ϑ})

und somit

für Zentralfelder : div ȷ (x) = 0 ∀ x ≠ 0

⟺ \frac{∂}{∂r} (r^{2} ȷ^{r}) = 0 ∀ r ≠ 0

⟺ ȷ^{r}(r, ϑ, φ) = \frac{f(ϑ, φ)}{r^{2}} ∀ r ≠ 0 .

302 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Zu Aufgabe 69: Die Behauptung folgt gemäß

ΔΦ =_{Def.} div grad Φ
=_{Aufg. 68} \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2} (grad Φ)^{r})

+\frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ (grad Φ)^{ϑ})

+\frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ} (grad Φ)^{φ}

=_{Aufg. 66} \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} Φ)

+\frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ} Φ)

+\frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}Φ)

= \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} Φ) + \frac{1}{r^{2} sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ \frac{∂}{∂ϑ} Φ) + \frac{1}{r^{2} sin^{2} ϑ} (\frac{∂}{∂φ})^{2} Φ

mit

\begin{aligned}\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} Φ) & = & \frac{∂}{∂r} (r \frac{∂}{∂r} (r Φ) − r Φ) \\ & = & r (\frac{∂}{∂r})^{2} (r Φ) . \end{aligned}

Zu Aufgabe 70a): Gemäß (4.15) und (4.3) gilt^{15} ȷ^{k}(x) − (ȷ^{k}(0) + ȷ_{lin}^{k}(x)) = ∫_{0}^{1}(1 − λ)((L_{x})^{2} ȷ^{k})(λ x) dλ ∀ k ∈ {1, 2, 3} , x ∈ ℝ^{3}

(D.72)

bzgl. (e_{1}, e_{2}, e_{3}) mit

ȷ_{lin}^{k}(x) =^{def} ((x · ∇) ȷ_{lin}^{k}(x))_{|_{x=0}}
= ∑_{l=1}^{3} x^{l} (\frac{∂}{∂x^{l}} ȷ^{k}(x))_{|_{x=0}} ∀ k ∈ \{1, 2, 3\} , x ∈ ℝ^{3} . (D.73)

Aus (D.73) folgt

ȷ_{lin}(x) = ( \begin{matrix}ȷ_{1}^{1} & ȷ_{2}^{1} & ȷ_{3}^{1} \\ ȷ_{1}^{2} & ȷ_{2}^{2} & ȷ_{3}^{2} \\ ȷ_{1}^{3} & ȷ_{2}^{3} & ȷ_{3}^{3} \end{matrix} ) (\begin{matrix}x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, e_{2}, e_{3})  (D.74)

Version vom 26. März 2009

15Warnung:

(L_{x} ȷ^{k})(λ x) = \frac{∂}{∂λ} ȷ^{k}(λ x) ≠^{i.a.} x · ∇_{x} ȷ^{k}(λ x) .

mit

ȷ_{l}^{k} =^{def} (\frac{∂}{∂x^{l}} ȷ^{k}(x))_{|_{x=0}} .

sup_{0<∥x∥<1} \frac{|ȷ (x) − (ȷ (0) + ȷ_{lin}(x))|}{|x|^{2}} < ∞

folgt aus (D.72) (mit der Dreiecksungleichung) wegen

sup_{0<∥x∥<1} |∫_{0}^{1}(1 − λ)((L_{x})^{2} ȷ^{k})(λ x) dλ| / |x|^{2}
= sup_{0<∥x∥<1} sup_{λ∈[0,1]} |∫_{0}^{1}(1 − λ) (x · ∇_{x′})^{2} ȷ^{k}(λ x + x′)_{|_{x′=0}} dλ| / |x|^{2}
= sup_{0<∥x∥<1} sup_{λ∈[0,1]} |∫_{0}^{1}(1 − λ) (\frac{x}{|x|} · ∇_{x′})^{2} ȷ^{k}(λ x + x′) dλ|_{|_{x′=0}}
< ∞ .

Zu Aufgabe 70b): Aus (D.74) folgt

rot ȷ_{lin}(x) =_{(4.34)} ( \begin{matrix}ȷ_{2}^{3} − ȷ_{3}^{2} \\ ȷ_{3}^{1} − ȷ_{1}^{3} \\ ȷ_{1}^{2} − ȷ_{2}^{1} \end{matrix} ) ∀ x ∈ ℝ^{3}  (D.75)

und daraus die Behauptung. Zu Aufgabe 70c): Aus (D.73) folgt

rot ȷ(0) = rot ȷ_{lin}(0)

und daraus mit (D.75)

\frac{1}{2} (rot ȷ) (0) × x = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}(ȷ_{3}^{1} − ȷ_{1}^{3}) x^{3} − (ȷ_{1}^{2} − ȷ_{2}^{1}) x^{2} \\ (ȷ_{1}^{2} − ȷ_{2}^{1}) x^{1} − (ȷ_{2}^{3} − ȷ_{3}^{2}) x^{3} \\ (ȷ_{2}^{3} − ȷ_{3}^{2}) x^{2} − (ȷ_{3}^{1} − ȷ_{1}^{3}) x^{1} \end{matrix} ) ∀ x ∈ ℝ^{3} .

Mit (D.74) ergibt sich daraus die Behauptung. Zu Aufgabe 71: Für f(z) = z lauten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

\begin{aligned}\frac{∂}{∂x} ℜ(f(x + i y)) & = & +\frac{∂}{∂y} ℑ(f(x + i y)) \\ \frac{∂}{∂x} ℑ(f(x + i y)) & = & −\frac{∂}{∂y} ℜ(f(x + i y)) \end{aligned}

explizit:

\begin{aligned}\frac{∂}{∂x} x & = & +\frac{d}{dy} y , \\ \frac{∂}{∂x} y & = & −\frac{d}{dy} x \end{aligned}

und sind offensichtlich für alle x, y ∈ ℝ erfüllt. Dementsprechend ist f(z) = z in ganz ℂ komplex differenzierbar und es gilt

\underline{\underline{\frac{d}{dz} z}} = \frac{∂}{∂x} (x + iy) \underline{\underline{= 1}} ∀ z = x + i y ∈ ℂ .

Für f(z) = e^{z} lauten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen explizit

\frac{∂}{∂x} (e^{x} cos y) = +\frac{∂}{∂y} (e^{x} sin y) ,
\frac{∂}{∂x} (e^{x} sin y) = −\frac{∂}{∂y} (e^{x} cos y)

und sind ebenfalls für alle x, y ∈ ℝ erfüllt. Dementsprechend gilt

\underline{\underline{\frac{d}{dz} e^{z}}} = \frac{∂}{∂x}(e^{x} (cos y + i sin y))
= \underline{\underline{e^{z}}} ∀ z ∈ ℂ .

Zu Aufgabe 72: Die Aussage

\frac{d}{dz} z^{n} = n z^{n−1} ∀ z ∈ ℂ , n ∈ ℤ_{+}  (D.76)

ist für n = 0 trivial, für n = 1 in Aufgabe 71 bewiesen und folgt damit für beliebiges n ∈ ℕ durch vollständige Induktion nach n :

\frac{d}{dz} z^{n+1} =_{Produktr.} \underbrace{(\frac{d}{dz} z)}_{=_{Aufg. 71} 1} z^{n} + \underbrace{(\frac{d}{dz} z^{n})}_{=_{Vorauss.} n z^{n−1}} z

= (1 + n) z^{n} .

Für z ≠ 0 und n ∈ ℕ folgt damit auch

\frac{d}{dz} z^{−n}  =  \frac{d}{dz} \frac{1}{z^{n}}

= Quotientenr. \frac{(\frac{d}{dz} 1) z^{n} − 1 (\frac{d}{dz} z^{n})}{(z^{n})^{1}}

=_{(D.76)} −n z^{−n−1} .

Also:

\underline{\underline{\frac{d}{dz} z^{n} = n z^{n−1}}} ∀ z ∈ ℂ \ \{0\} , n ∈ ℤ .

Dementsprechend ist f(z) = z^{n} für n ∈ ℤ_{+} in ganz ℂ, für −n ∈ ℕ in ℂ \ {0} holomorph.

Für n ∈ ℤ gilt nun

\underline{\underline{\frac{d}{dz} exp (z^{n})}} =_{Kettenr.} \underbrace{(\frac{d}{dz} z^{n})}_{=_{s.o.} n z^{n−1}}( \underbrace{\frac{d}{dz′} e^{z′}}_{=_{Aufg. D.76} e^{z′}})_{|_{z′=z^{n}}}

= \underline{\underline{n z^{n−1} exp (z^{n})}}

für z ∈ ℂ, falls n ∈ ℤ_{+} , für z ∈ ℂ \ {0}, falls −n ∈ ℕ.

Dementsprechend ist f(z) = exp (z^{n}) für n ∈ ℤ_{+} in ganz ℂ, für −n ∈ ℕ in ℂ \ {0} holomorph.

Zu Aufgabe 73a): O.B.d.A. sei ℜ (R) > 0 angenommen. Offensichtlich gilt

C_{R,N} = C_{1}(N) + … + C_{4}(N)  (D.77)

für die Wege C_{ν}(N) gemäß folgender Skizze:

[figure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{1}(N); C_{3}(N); C_{4}(N); l; y_{R}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; −N; N; x; C_{2}(N); z_{0} + R; z_{0}; y]

Dabei ist z.B.

(z(y) =^{def} N + i y, 0, y_{R})

eine einfache Parametrisierung von C_{2}(N) und dementsprechend gilt

|∫_{C_{2}(N)} e^{−z^{2}} dz| = |∫_{0}^{y_{R}} e^{−(N+i y)^{2}} \underbrace{\frac{dz(y)}{dy}}_{=i} dy|

≤ |y_{R}| max_{|y|≤|y_{R}|} |e^{−(N+i y)^{2}} |
≤ |y_{R}| e^{−N^{2}+N|y_{R}|} .  (D.78)

306 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Wegen

ℜ (R^{2}) , ℜ (R) > 0 ⟹ λ =^{def} \frac{|ℑ (R)|}{ℜ (R)} < 1

gilt

|y_{R}| ≤ (l + N) \underbrace{λ}_{<1} ,  (D.79)

also

N^{2} − N |y_{R}| ≥ \underbrace{(1 − λ)}_{>0} N^{2} − l λ N

und somit gemäß (D.78),(D.79)

∫_{C_{2}(N)} e^{−z^{2}} dz ⟶_{N→∞} 0 .  (D.80)

Analog zeigt man

∫_{C_{4}(N)} e^{−z^{2}} dz ⟶_{N→∞} 0 .  (D.81)

Andererseits gilt offensichtlich

∫_{C_{1}(N)} e^{−z^{2}} dz = ∫_{−N}^{+N} e^{−x^{2}} dx
⟶_{N→∞} ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}} dx .  (D.82)

Da

(z(x) =^{def} z_{0} + R x, −(N + ℜ(z_{0})), +(N − ℜ(z_{0})))

eine einfache Parametrisierung von −C_{3}(N) ist, gilt schließlich noch

\begin{aligned}∫_{C_{3}(N)} e^{−z^{2}} dz & = & − ∫_{−N−ℜ(z_{0})}^{+N−ℜ(z_{0})} e^{−(R x+z_{0})^{2}} \underbrace{\frac{dz(x)}{dx}}_{=R} dx \\ & ⟶_{N→∞} & −R ∫_{−∞}^{+∞} e^{−(R x+z_{0})^{2}} dx . \end{aligned}

Mit

∫_{C_{R,N}} e^{−z^{2}} dz =_{(D.77)} ∑_{ν=1}^{4} ∫_{C_{ν}(N)} e^{−z^{2}} dz

und (D.80)–(D.82) folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe 73b): Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt

∫_{C_{R,N}} e^{−z^{2}} dz = 0 ∀ N ∈ ℕ und daraus mit a):

∫_{−∞}^{+∞} e^{−(R x+z_{0})^{2}} dx = \frac{1}{R} ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}} dx .

Mit

∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}} dx = \sqrt{∫ ∫ e^{−x^{2}−y^{2}} dx dy}

= \sqrt{2π ∫_{0}^{∞} e^{−r^{2}} dr}
= \sqrt{π}

folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe 74: Jedes z ∈ ℂ \ S_{ψ} hat eine eindeutige Darstellung der Form

z = r e^{i φ} , r > 0 , φ ∈ (ψ − 2π, ψ) .

Deshalb ist

sqrt_{ψ}(z) =^{def} ^{+} \sqrt{r} e^{i \frac{φ}{2}} ∀ r > 0 , φ ∈ (ψ − 2π, ψ)

eine Definition von sqrt_{ψ} auf ℂ \ S_{ψ} mit dem Wertebereich

sqrt_{ψ} (S_{ψ}) = \{e^{i \frac{ψ−π}{2}} z : z ∈ ℂ , ℜ(z) > 0\} .

Diese Funktion ist die Umkehrfunktion der auf sqrt_{ψ} (S_{ψ}) eingeschränkten holomorphen Funktion f(z) = z^{2} und damit — gemäß komplexer Differentiationsregel für die Umkehrfunktion — ebenfalls holomorph:

\frac{d}{dz} sqrt_{ψ}(z) = \frac{1}{2 sqrt_{ψ}(z)} ∀ z ∈ ℂ \ S_{ψ} .

Zu Aufgabe 75: Wegen

\frac{1}{(x + z_{0})^{2} + 1} = \frac{1}{((x + z_{0}) + i)((x + z_{0}) − i)}

= \frac{1}{2i} (\frac{1}{x + z_{0} − i} − \frac{1}{x + z_{0} + i}) ∀ x ∈ ℝ  (D.83)

ist der Integrand stetig und für die Funktionen

f_{±}(z) =^{def} \frac{e^{i(z+z_{0})}}{z + z_{0} ± i}  (D.84)

308 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE gilt offensichtlich

Res_{∓i−z_{0}}(F_{±}) =_{D4.5.15} \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{r}(∓i−z_{0})} f_{±}(z′) dz′ für hinr. kleines r > 0
=_{L4.5.10} \{ \begin{matrix}e^{±1} & für z + z_{0} ± i = 0 , \\ 0 & sonst . \end{matrix}  (D.85)

Außerdem gilt

∫_{−∞}^{+∞} \frac{e^{i(x+z_{0})}}{1 + (x + z_{0})^{2}} dx = lim_{N→+∞} ∫_{C_{N}} \frac{e^{i(z+z_{0})}}{1 + (z + z_{0})^{2}} dz

für die wie folgt skizzierten geschlossenen Wege C_{N} :

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; x; y; +N; −N; C_{N}]

Mit

∫_{C_{N}} \frac{e^{i(z+z_{0})}}{1 + (z + z_{0})^{2}} dz =_{(D.84),(D.83)} \frac{1}{2i} ∫_{C_{N}} f_{−}(z) dz − \frac{1}{2i} ∫_{C_{N}} f_{+}(z) dz

und

∫_{C_{N}} f_{±}(z) dz =_{F4.5.16} \{ \begin{matrix}2πi Res_{∓i−z_{0}}(f_{±}) & falls ℑ(z_{0}) < ∓1 \\ 0 & sonst \end{matrix} für hinr. großes N ∈ ℕ

folgt daraus

\frac{1}{π} ∫_{−∞}^{+∞} \frac{e^{i(x+z_{0})}}{1 + (x + z_{0})^{2}} dx = \{ \begin{matrix}Res_{+i−z_{0}}(f_{−}) − Res_{−i−z_{0}}(f_{+}) & falls ℑ(z_{0}) < −1 , \\ Res_{+i−z_{0}}(f_{−}) & falls ℑ(z_{0}) ∈ (−1, +1) , \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Mit (D.85) folgt daraus schließlich:

∫_{−∞}^{+∞} \frac{e^{i(x+z_{0})}}{1 + (x + z_{0})^{2}} dx = \{ \begin{matrix}π (1/e − e) & falls ℑ(z_{0}) < 1 , \\ π/e & falls ℑ(z_{0}) ∈ (−1, +1) , \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Zu Aufgabe 76: Offensichtlich ist ln_{ψ}(z) für z ∈ ℂ \ S_{ψ} (S_{ψ} wie in Aufgabe 74 angegeben) definiert und durch

ln_{ψ} (r e^{i φ}) = ln(r) + i φ ∀ r > 0 , φ ∈ (ψ − 2π, ψ)

gegeben. Die komplexe Ableitung ist

\frac{d}{dz} ln_{ψ}(z) = \frac{1}{z} ∀ z ∈ ℂ \ S_{ψ} .

Mit der Definition

(z_{1})^{z_{2}} =^{def} e^{z_{2} ln_{ψ}(z_{1})} ∀ z_{1} ∈ ℂ \ S_{ψ} , z_{2} ∈ ℂ

gilt u.a.

((z_{1})^{z_{2}})^{z_{3}} = (z_{1})^{z_{2}z_{3}}  (∗_{1})

für alle z_{1} ∈ ℂ \ S_{ψ} und z_{2}, z_{3} ∈ ℂ mit z_{2} ln_{ψ}(z_{1}) ∈ ℂ \ S_{ψ}. Im Falle ψ ∈ (0, 2π) gilt auch

1^{z} = 1 ∀ z ∈ ℂ ,  (∗_{2})

aber Anwendung der Regeln (∗_{1}),(∗_{2}) ohne genaue Beachtung ihres Gültigkeitsbereichs führt auf \underline{unsinnige Schlußfolgerungen wie z.B.:}^{16}

e^{i x} = e^{(i 2π)^{\frac{x}{2π}}}
= (e^{i 2π})^{\frac{x}{2π}}
= 1^{\frac{x}{2π}}
= 1 ∀ x ∈ ℝ .

Zu Aufgabe 77a): O.B.d.A. können wir voraussetzen, daß Q(z) nicht für alle z ∈ ℂ Null ist. Gemäß Fundamentalsatz der Algebra existiert dann ein a ∈ ℂ \ {0} mit

Q(z) = a ∏_{ν=1}^{n} (z − z_{ν}) ∀ z ∈ ℂ  (D.86)

und somit

Q_{ν}(z) = a ∏_{μ=1_{μ≠ν}}^{n} (z − z_{μ}) ∀ z ∈ ℂ , ν ∈ {1, …, n} .  (D.87)

Die Q_{ν} sind also Polynome (n − 1)-ten Grades, die der Bedingung

Q_{ν}(z) ≠ 0 ⟺ ν ≠ μ  (D.88)

genügen und deshalb linear unabhängig sind:

∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} Q_{ν}(z) = 0 ∀ z ∈ ℂ  ⟹  \begin{aligned}λ_{μ} & =_{(D.88)} & ∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} Q_{ν}(z_{μ}) \\ & = & 0 ∀ μ ∈ \{1, …, n\} . \end{aligned}

Version vom 26. März 2009

16Hier ist zu beachten:

ψ < 2π ⟹ 2π ∉ (ψ − 2π, ψ) .

310 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Zu Aufgabe 77b): Da die Q_{ν} linear unabhängig sind, läßt sich jedes Polynom vom Grade < n, insbesondere also auch P , als Linearkombination der Q_{ν} darstellen:

P (z) = ∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} Q_{ν}(z) ∀ z ∈ ℂ .  (D.89)

Gemäß (D.88) gilt (D.89) mit

P (z_{μ}) = λ_{μ} \underbrace{Q_{μ}(z_{μ})}_{≠0} ,

d.h. es gilt

\begin{aligned}P (z) & = & ∑_{ν=1}^{n} \frac{P (z_{ν})}{Q_{ν}(z_{ν})} Q_{ν}(z) \\ & = & Q(z) ∑_{ν=1}^{n} \frac{P (z_{ν})}{Q_{ν}(z_{ν})} \frac{1}{z − z_{ν}} ∀ z ∈ ℂ . \end{aligned}

Mit

Q_{μ}(z_{μ}) =_{(D.86),(D.87)} Q′(z_{μ}) ∀ μ ∈ {1, …, n}

folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe 77c): Hier gilt

Q_{μ}(z_{μ}) = ∏_{ν=1_{ν≠μ}}^{3} (z_{μ} − z_{ν}) ∀ μ ∈ {1, 2, 3}

und somit gemäß b):

\frac{z^{2} + z_{4}}{(z − z_{1})(z − z_{2})(z − z_{3})} = \frac{z_{1}^{2} + z_{4}}{(z_{1} − z_{2})(z_{1} − z_{3})} \frac{1}{z − z_{1}}
= \frac{z_{2}^{2} + z_{4}}{(z_{2} − z_{3})(z_{2} − z_{1})} \frac{1}{z − z_{2}}
= \frac{z_{3}^{2} + z_{4}}{(z_{3} − z_{1})(z_{3} − z_{2})} \frac{1}{z − z_{3}} ∀ z ∈ ℂ .

Zu Aufgabe 78: Aus ẋ(t) = \frac{|x(t)|^{2}}{t_{0} x_{0}} folgt \frac{1}{t_{0} x_{0}} = \frac{ẋ(t)}{|x(t)|^{2}} und daraus durch Inte-

gration über das Zeitintervall [0, t]

\frac{t}{t_{0} x_{0}}  =  ∫_{t_{0}}^{t} \frac{ẋ(t′)}{|x(t′)|^{2}} dt′
=  − \frac{1}{x(t′)}|_{t′=0}^{t′=t}
=_{Anfangsbed.} \frac{1}{x_{0}} − \frac{1}{x(t)} .

Die Auflösung nach x(t) ergibt:

x(t) = \frac{t_{0}}{t_{0} − t} x_{0} ∀ t < t_{0} .

Die Beschleunigung ist also so groß, daß x(t) für t → t_{0} divergiert (ins Unendliche läuft). Deshalb ist eine stetige Fortsetzung der Lösung über das Zeitintervall −∞ < t < t_{0} hinaus natürlich nicht möglich.

Zu Aufgabe 79a): Die Behauptung folgt direkt aus

( \begin{matrix}0 & 1/t_{e} \\ −ω^{2} t_{e} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x(t) \\ ẋ(t) t_{e} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ẋ(t) \\ −ω^{2} t_{e} x(t) \end{matrix} ) .

Zu Aufgabe 79b): Aus (C.12) folgt

( \begin{matrix}Ẋ^{1}(t) \\ Ẋ^{2}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}X^{2}(t)/t_{e} \\ −ω^{2} t_{e} X^{1}(t) \end{matrix} ) ,

also

\begin{aligned}−ω^{2} t_{e} X^{1}(t) & = & Ẋ^{2}(t) \\ & = & t_{e} Ẍ^{1}(t) \end{aligned}

und somit die Behauptung.

Zu Aufgabe 79c): Aus

M̂^{2} = −ω^{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

folgt

\begin{matrix}M̂^{2ν} & = & (−1)^{ν} ω^{2ν} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) \\ M̂^{2ν+1} & = & (−1)^{ν} ω^{2ν} M̂ \end{matrix} \} ∀ ν ∈ ℤ_{+}

312 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE und somit

e^{M̂ t} = ∑_{ν=0}^{∞} (−1)^{ν} ω^{2ν} (\frac{t^{2ν}}{(2ν)!} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) + \frac{t^{2ν+1}}{(2ν + 1)!} M̂) .

Daraus folgt

e^{M̂ t} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{(−1)^{ν}}{(2ν)!} (ω t)^{2ν} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) + ∑_{ν=0}^{∞} \frac{(−1)^{ν}}{(2ν + 1)!} (ω t)^{2ν+1} ( \begin{matrix}0 \\ −ω t_{e} \end{matrix} )

sowie

e^{M̂ t} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{(−1)^{ν}}{(2ν)!} (ω t)^{2ν} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) + ∑_{ν=0}^{∞} \frac{(−1)^{ν}}{(2ν + 1)!} (ω t)^{2ν+1} ( 0^{\frac{1}{ω t_{e}}} )

und somit wegen

cos (ω t) = ∑_{ν=1}^{n} \frac{(−1)^{ν}}{(2ν)!} (ω t)^{2ν} , sin (ω t) = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{(−1)^{ν}}{(2ν + 1)!} (ω t)^{2ν+1}

die Behauptung. Zu Aufgabe 79d): Da offensichtlich

\frac{d}{dt} e^{M̂ t} = M̂ e^{M̂ t} ∀ t ∈ ℝ

gilt, sind X_{1}(t) und X_{2}(t) Lösungen von (C.12), die für t = 0 (und damit für alle t) unabhängig sind. Zu Aufgabe 79e): Die Behauptung folgt aus a)—d). Zu Aufgabe 80: Gemäß Abschnitt 3.4.4 der Vorlesung ist

U(x) = \frac{κ}{2} |x|^{2}

die potentielle Energie der Kraft

F(x) = −κ x

einer idealen Feder. Daraus folgt

U(x) = \frac{|F(x)|^{2}}{2κ} .

Die potentielle Energie verschwindet bei beschränkten Kräften also für κ → ∞ und deshalb können die inneren Kräfte bei Energiebilanzen für (nahezu) starre Körper vernachlässigt werden.

Zu Aufgabe 81: Aus

F_{1} + ΔF =_{Hooke} E_{0} \frac{(L_{1} + ΔL) − L_{0}}{L_{0}}
= \underbrace{E_{0} \frac{L_{1} − L_{0}}{L_{0}}}_{{= \atop Hooke} F_{1}} +E_{0} \frac{ΔL}{L_{0}}

folgt

\begin{aligned}\underline{\underline{ΔF}} & = & E_{0} \frac{ΔL}{L_{0}} \\ & = & \underline{\underline{E_{1} \frac{ΔL}{L_{1}}}} \end{aligned}

mit

E_{1} =^{def} E_{0} \frac{L_{1}}{L_{0}}
= \underbrace{E_{0} \frac{L_{1} − L_{0}}{L_{0}}}_{{= \atop Hooke} F_{1}} +E_{0} .

Anmerkung: E_{1} − E_{0} = stimmt also mit der Vorspannung F_{1} überein.

Zu Aufgabe 82a): Wie bei der schwingenden Saite (nur 1-dimensional und ohne Vorspannung) gilt

μ ∫_{l_{1}}^{l_{2}} ẍ(l, t) dt = F (l_{1}, l_{2}, t) + I_{x(.,.)}(l_{2}, t) − I_{x(.,.)}(l_{1}, t)  (D.90)

mit

F (l_{1}, l_{2}, t) = (l_{2} − l_{1}) μ g (Schwerkraft)

und

I_{x(.,.)}(l, t) = lim_{Δl→0} E_{0} \frac{(x(l + Δl, t) − x(l, t)) − Δl}{Δl}
= E_{0} ξ′(l, t) .  (D.91)

Einsetzen von (D.91) in (D.90) und Division durch l_{2} − l_{1} ergibt im Limes l_{2}, l_{1} → l

μ ẍ(l, t) = μ g + E_{0} ξ′′(l, t) .

Mit

μ ẍ = ξ̈ , m = μ L_{0}  (D.92)

folgt daraus die angegebene Wellengleichung.

Die Randbedingung

ξ(0, t) = 0 ∀ t ∈ ℝ

entspricht der festen Aufhängung der Feder bei l = 0 .

Die Newtonsche Bewegungsgleichung für M ist

\begin{aligned}M ẍ(L_{0}, t) & = & M g − I_{x(.,.)}(L_{0}, t) \\ & =_{(D.91)} & M g − E_{0} ξ′(L_{0}, t) . \end{aligned}

Mit (D.92) folgt daraus die Randbedingung

(M ξ̈(l, t) + E_{0} ξ′(l, t))_{|_{l=L_{0}}} = M g .  (D.93)

Zu Aufgabe 82b): Daß

ξ_{part}(l, t) =^{def} −\frac{mg}{2E_{0}L_{0}} l^{2} + \frac{m + M}{E_{0}} g l

eine Lösung obigen Randwertproblems ist, folgt unmittelbar aus

ξ_{part}(0, t) = 0 ∀ t ∈ ℝ ,
ξ′part(l, t) = −\frac{m g}{E_{0} L_{0}} l + \frac{m + M}{E_{0}} g ∀ l ∈ [0, L_{0}] , t ∈ ℝ

und

ξ′′part(l, t) = −\frac{m}{E_{0} L_{0}} g .

Zu Aufgabe 82c): Einsetzen von

ξ(l, t) = f(l) h(t) + ξ_{part}(l, t) .

in die inhomogene Wellengleichung liefert

f(l) ḧ(t) − \frac{E_{0} L_{0}}{m} f′′(l) h(t) = 0

und somit^{17}

\frac{ḧ(t)}{h(t)} = \frac{E_{0} L_{0}}{m} \frac{f′′(l)}{f(l)} .

Version vom 26. März 2009

17Eigentlich müßten mögliche Nullstellen diskutiert werden.

Da die linke Seite nicht von l und die rechte Seite nicht von t abhängt, aber beide Seiten gleich sind, sind beide Seiten konstant. Insbesondere gilt also

\frac{ḧ(t)}{h(t)} = C für geeignetes C ∈ ℝ .

Da h(t) nur für C ≤ 0 periodisch sein kann, folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe 82d): Die Bedingungen

f′′(l) = −\frac{m}{E_{0} L_{0}} ω^{2} f(l) , ξ(0, t) = 0 ∀ t ∈ ℝ

sind äquivalent zu

f(l) ∝ sin (ω \sqrt{\frac{m}{E_{0} L_{0}}} l) .  (D.94)

Andererseits ist die Bedingung (D.93) unter den Voraussetzungen

ḧ(t) = −ω^{2} h(t)

und (D.94) äquivalent zu

−M ω^{2} sin (ω \sqrt{\frac{m}{E_{0} L_{0}}} L_{0}) + E_{0} ω \sqrt{\frac{m}{E_{0} L_{0}}} cos (ω \sqrt{\frac{m}{E_{0} L_{0}}} L_{0}) = 0 ,

also zu

ω ^{+} \sqrt{\frac{m}{κ}} tan (ω ^{+} \sqrt{\frac{m}{κ}}) = \frac{m}{M} .  (D.95)

Zu Aufgabe 82e): Für

ω = ^{+} \sqrt{\frac{κ}{M + m_{eff}}}

ist (D.95)äquivalent zu

tan ^{+} \sqrt{\frac{m}{M + m_{eff}}} = \frac{m}{M} ^{+} \sqrt{\frac{M + m_{eff}}{m}} .  (D.96)

Für m_{eff} = 0 ist die linke Seite wegen m < M größer als die rechte. Da die linke Seite eine monoton fallende, die rechte dagegen monoton wachsende Funktion von m_{eff} > 0 ist und die rechte Seite beliebig große Werte annehmen kann, existiert genau eine positive Lösung m_{eff} von (D.96) und dafür gilt

+ \sqrt{\frac{m}{M + m_{eff}}} + \frac{1}{3} ( ^{+} \sqrt{\frac{m}{M + m_{eff}}} )^{3} ≈_{Taylor} tan ^{+} \sqrt{\frac{m}{M + m_{eff}}}
=_{(D.96)} \frac{m}{M} ^{+} \sqrt{\frac{M + m_{eff}}{m}} ,

316 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE also

1 + \frac{1}{3} \frac{m}{M + m_{eff}} ≈ \frac{M + m_{eff}}{M} .

Daraus folgt schließlich

\frac{m}{3} ≈ \frac{(M+m_{eff})^{2}}{M} − (M + m_{eff})
= m_{eff} (1 + \frac{m_{eff}}{M} )
≈ m_{eff} .

Anmerkung: Tatsächlich ist m_{eff} etwas größer als m/3 , aber bereits für \frac{M}{m} > 2 beträgt die Abweichung weniger al 4% .

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ner, Stuttgart · Leipzig · Wiesbaden, 2. Auflage. 3, 89 320 Literaturverzeichnis

Index

1. Hauptsatz der Thermodynamik, 112 2. Hauptsatz der Thermodynamik, 113

Abbildung

kontrahierende, 158 Abelsche partielle Summation, 201 Ableitung, 59

Lie-, 94 Lie-

Vertauschbarkeit, 104 partielle, 96

Vertauschbarkeit, 103 Richtungs-, 94

Amperesches Durchflutungsgesetz, 121 Anfangs

-bedingungen, 67 -punkt, 105

Arbeit, 78, 104 Archimedische Prinzip, 230

Bahn -Beschleunigung, 64 -Drehimpuls, 76 -Tangente, 64, 66, 107

Basis, 18–20 Orthonormal-, 26, 28 reziproke , 42

Beschleunigung, 64 Bahn-, 64 Normal-, 64

beschränkt

polynomial, 150 Betrag, 25 Bewegung

elliptische, 51 geradlinige , 50 gleichförmige Kreis-, 64 hyperbolische, 55 kreisförmige, 51 parabolische, 54

Bewegungsgleichung

Newtonsche, 73 Bilinearform, 27

metrische, 28

Cauchy Integralformel von, 148, 149 Integralsatz von, 148

Cauchy-Riemannschen Differential-

gleichungen, 147 Coulomb-Potential, 92 Cramersche Regel, 43

d’Alembertsche Lösung, 172 Determinante

Wronski-, 163 Differentialgleichung

Lösung einer

partikuläre, 163 explizite, 160 gewöhnliche, 156 homogene, 161 inhomogene, 156 Lösung einer, 156, 161 Lösungssystem einer

fundamentales, 162 lineare, 156, 161

homogene, 156 partielle, 156 Poissonsche, 144 skalare, 161 vektorielle N-ter Ordnung, 161

1. Ordnung, 156 Differentialgleichungen

Cauchy-Riemannsche, 147 System von, 156, 161

Differentiation der Umkehrfunktion, 61, 147 Kettenregel der, 60, 146 Produktregel der, 60, 146 Quotientenregel der, 60, 146 Regeln für holomorphe Funktionen,

146 differenzierbar, 58

2-mal, 64 stetig, 94

Diffusions -Gleichung, 135 -Konstante, 135

Dimension, 19 Dirichlet

-Bedingungen, 173 Divergenz, 133

eines Vektorfeldes

in Kugelkoordinaten, 231 Drehimpuls, 75

-Satz, 75 Bahn-, 76 Eigen-, 76 Gesamt-, 75

Drehmoment, 36 Dreiecksungleichung, 31, 40 Druck, 111

ebene Wellen, 177 Eigendrehimpuls, 76 einfache Parametrisierung, 124

einer Fläche, 113 eines Wegstücks, 105

einfaches Flächenstück, 113 Raumgebiet, 124

Einschaltproblem, 164 Elatizitätsmodul, 236 Ellipsengleichung

in Polarform, 52 elliptische

Schwingung

harmonische, 64 elliptische Bewegung, 51 endliche Variation, 199 Endpunkt, 105 Energie

-Satz, 80 innere, 112 kinetische, 78 potentielle, 79

Entropie, 113 Entwicklung

Laurent-, 149 Taylor-, 150

Entwicklungssatz, 41 Exzentrizität, 52

Feder -Konstante, 237 -Kraft, 14 -Masse

effektive, 237 -Stärke, 81 ideale, 81, 94 Standard-, 15

Federkonstante, 237 Feld

-Linie, 111 Kraft-, 93 Potential-, 96 Skalar-, 93 Vektor-, 93

Flächen

-Dichte

der Feldwirbel, 123 -Geschwindigkeit, 76 -Inhalt, 119 -Integral

eines Skalarfeldes, 115 -Normale, 114 -Satz, 77 -Stück, 113

geschlossenes, 120

zusammengesetztes, 120 -Vektor, 113, 213

Fluß

eines Vektorfeldes, 155 Folge vom Typ δ, 198 Form

q-, 193 Fourier

-Transformierte, 175 -Vokabular, 175 Entwicklungskoeffizienten, 173 Reihenentwicklung, 174

Funktion ganze analytische, 150 holomorphe, 146 polynomial beschränkte, 150

Gaußsches Gesetz, 132 gebundene Zustände, 88 geradlinige Bewegung, 50 Gesamtdrehimpuls, 127 geschlossen, 120 Geschwindigkeit

Flächen-, 76 gleichförmige, 13, 14 mittlere, 57 Momentan-, 58

Geschwindigkeitsverteilung, 127 Gesetz

Amperesches Durchflutungs, 121 Gaußsches, 132 Hookesches, 236 Hookesches, 167, 236 Induktions-, 121 vonGauss, 230

gleichförmige Kreisbewegung, 64 gleichmäßig stetig, 69 Gradient, 96

eines Skalarfeldes in Kugelkoordinaten, 230 Gravitations -Feld, 132 -Gesetz, 84 -Konstante, 84 -Potential, 136

Hülle

lineare, 18 Halbparameter, 53 harmonische Schwingung, 63 Hauptsatz der Differential- und Inte-

gralrechnung, 70 holomorph, 146 Hookesches Gesetz, 236 Hookesches Gesetz, 167, 236 Hyperbelkosinus, 55 Hyperbelsinus, 55 hyperbolische Bewegung, 55

ideale Feder, 81, 94

Impuls, 74

-Satz, 74 Induktionsgesetz, 121 Inhomogenität, 156 innere Energie, 112 innere Kräfte, 77 Integral

-Sinus, 197 Kurven-, 106 Linien-, 106 Oberflächen-, 113, 114 eines Skalarfeldes, 115

Projektions-

eines Flächenstücks, 116 Riemannsches bestimmtes, 69

Weg-, 106 eines Skalarfeldes, 106 konservativer Felder, 109

Integrand, 71 Integration

partielle, 99 isobarer Ausdehnungkoeffizient, 99 isochorer Spannungskoeffizient, 99 isotherme Kompressibilität, 99

Kepler-Problem, 92 Kettenregel, 60, 146

verallgemeinerte, 98 kinetische Energie, 78 komplexe

Ableitung, 146 Differentiationsregeln, 146 Konjugation

holomorpher Funktionen, 147 Wegintegration, 148

komplexe Zahlen, 43

Polardarstellung, 44 konservative Kraft, 79 Kontinuitätsgleichung, 135 kontrahierende Abbildung, 158 Kontraktion von Tensorindizes, 185 konvergent

absolut, 149, 151 gleichmäßig, 151

Konvergenz

absolute, 45 Koordinaten

Kugel-, 117 Polar-, 117 Zylinder-, 118

kovarianten Komponenten, 128 Kräfteparallelogramm, 16 Krümmung, 65 Krümmungsradius, 65 Kraft

-Einheit, 15 -Feld, 93 -Richtung, 14 äußere, 77 innere, 77 konservative, 79 Selbstwechselwirkungs-, 77 Zentral-, 77

kreisförmige Bewegung, 51 Kreisfrequenz, 64 Kugel -Koordinaten, 117 -Oberfläche, 118

Kurvenintegral, 106

Ladungsdichte, 145 Laplace

-Gleichung, 137 Laplace

-Operator, 140 Laplace-Operator, 135 Laurent-Entwicklung, 149 Leistung, 78 Lie-Ableitung, 94 Lie-Ableitung

Vertauschbarkeit, 104 linear

abhängig, 18

unabhängig, 18, 19 lineare

Hülle, 18 Schwingung

harmonische, 64 Linearität, 60 Linienintegral, 106 Linkssystem, 191 Lorentz-Dirac-Gleichung, 77

Masse

Ruhe-

träge, 73 Massendichte, 126 Massenpunkt, 73 Maximum-Prinzip, 149 Mittelwert-

für Flächenintegrale, 119 Mittelwertsatz

für Flächenintegrale, 119 für Wegintegrale, 107

mittlere Geschwindigkeit, 57 Momentangeschwindigkeit, 58

Nabla-Operator, 140 natürliche Zuordnung

physikalischer Vektoren, 16 Newtonsche Bewegungsgleichung, 73 Norm, 25, 30 Normalbeschleunigung, 64

Oberflächenintegral, 113, 114 Operator

Hodge-Stern-, 194 Orientierung

der Flächennormalen, 116 eines Wegstücks, 108

Orthogonalisierungsverfahren

Schmidtsches, 33 Orthonormalbasis, 26, 28

parabolische Bewegung, 54 Parallelogrammgleichung, 30 Parametrisierung

einfache einer Fläche, 113 eines Wegstücks, 105

partielle

Ableitung, 96

Vertauschbarkeit, 103 Integration, 99

Perihel, 87 Picard-Lindelöf-Verfahren, 159 Poincaré-Konstruktion, 142 Poissonsche Differentialgleichung, 144 Poissonsche Gleichung, 137 Polarkoordinaten, 117 Potential, 79

-Feld, 96 -Kraft, 80 homogener Kraftfelder, 97 idealer Federn, 97 Schwere-

von Punktmassen, 98 potentielle Energie, 79 Prinzip

Archimedisches, 230 Produkt

-Regel, 60, 146 äußere, 193 dyadisches, 183 Skalar-, 28 Vektor-

mathematisches, 34 physikalisches, 34

Projektion, 29 Pythagoras

Satz von, 26, 31

Quasistatische Prozesse, 112 quellfrei, 135 Quotientenregel, 60, 146

Rand, 120, 126, 131

eines Flächenstücks orientierter, 116

orientierter

zusammengesetzter Flächen, 120 Teil-

eines Flächenstücks, 115 Raum

-Gebiet

einfaches, 124 -Inhalt, 130 -Winkel, 118 Rechtssystem, 191 reduzierte Masse, 224 Residuensatz, 150 Residuum, 150 Resonanzkreisfrequenz, 222 retardiert, 77 reziproke Basis, 42 Richtung, 94 Richtungsableitung, 94, 138 Riemann

-Integral, 69 -integrabel, 69

Rotation, 123

eines Vektorfeldes

in Kugelkoordinaten, 231 Runge-Lenz-Vektor, 86, 224 Rutherford-Streuung, 92, 224

Saite Bewegungsgleichung, 168

lineare Näherung, 169 Randbedingungen, 170 Schwingung

longitudinale, 169 transversale, 169

Satz Drehimpuls-, 75 Energie-, 80 Entwicklungs-, 41 Flächen-, 77 Fundamental-

der Algebra, 150 Impuls-, 74 Integral-

von Cauchy, 148 von Liouville, 150 Mittelwert-

für Wegintegrale, 107 Residuen-, 150 von Earnshaw

von Earnshaw, 137 von Pythagoras, 26, 31, 40 von Steiner, 76 von Stokes, 122

schiefe Ebene, 21 Schwarzsche Ungleichung, 31, 40 Schwerkraft, 94 Schwerpunkt, 38, 74, 229 Schwerpunktsatz, 75 Schwingung

harmonische, 63 elliptische, 64 gedämpfte, 272 lineare, 64

Seilspannungen, 23 Selbstwechselwirkungskräfte, 77 senkrecht, 28 Skalar

-Feld, 93 Gradient eines, 96 stetiges, 94

-Produkt, 28 Potential, 140 Spat, 18

-Produkt, 35 Spatprodukt, 35 stückweise

glatt, 173 monoton, 173 stetig, 173 stetig differenzierbar, 173

Stammfunktion, 69

einer holomorphen Funktion, 147 Steinerscher Satz, 76 stetig, 50

differenzierbar, 94 gleichmäßig, 69

Stoßparameter, 88 Stokesscher Satz, 122 Streu

-Winkel, 88 -Zustände, 88

Streuwinkel, 225 Stromdichte, 213 Summationskonvention

Einsteinsche, 181 symmetrisch, 128 Systéme International d’Unités, 121

Taylor-Entwicklung, 150 Taylor-Entwicklung, 100, 103 Teilrand, 126 Tensor

metrischer, 187 Totalvariation, 199 Trägheits

-Moment, 128 -Tensor, 127

Translation räumliche, 11

Umgebung, 136 Ungleichung

Dreiecks-, 31, 40 Schwarzsche, 31, 40

Variation der Konstanten, 163 Vektor, 17

-Feld, 93 -Fluß, 155 konservatives, 96 Rotation, 123 stetiges, 94

-Potential, 140, 142 -Produkt

mathematisches, 34 physikalisches, 34

-Raum -Basis, 18–20 -Basis, schiefwinklige, 23 Dimension, 19 endlichdimensionaler, 19 Euklidischer, 28 Orientierung, 191 reeller, 17

Flächen-, 113, 213 Spalten-Schreibweise, 20 Tangenten-, 107

verallgemeinerte Kettenregel, 98 Volumen, 111

-Form, 189

natürliche, 193 -Integral, 125

Wärme -Menge, 112 -leitungsgleichung, 177

Weg

-Integral, 106 eines Skalarfeldes, 106 konservativer Felder, 109

-Länge, 107 -Stück

einfaches, 105 zusammengesetztes, 108

geschlossener, 108 Wegintegral

komplexes, 148 Wellengleichung

d’Alembertsche Lösung, 172

homogene, 170, 176 Wronski-Determinante, 163

Zentralkraft, 77

Zylinderkoordinaten, 118