Ergänzungen zu

”Mathematische Methoden der Physik“

Technische Universität Clausthal WS 2000/2001 – SS 2005

W. Lücke

Vorwort

Teil II dieser Vorlesung ist als Ergänzung — insbesondere im Hinblick auf die Quantenmechanik — für Fachhochschulabsolventen gedacht, die innerhalb von zwei bis drei Semestern zum Diplom geführt werden sollen.

Die eigentlichen mathematischen Schwierigkeiten der Quantentheorie liegen in der unendlichen Dimension des Zustandsraumes begründet, die durch die kanonischen Vertauschungsrelationen erzwungen wird. Viele Autoren setzen sich darüber hinweg, indem sie alle Operatoren formal wie endliche Matrizen behandeln. Das ist durchaus vertretbar, solange man die physikalischen Anwendungen in den Mittelpunkt stellt und sich klar zum heuristischen Charakter der mathematischen Betrachtungen bekennt.

Das vorliegende Skript kommt diesem Standpunkt entgegen, indem zunächst (in Kapitel 7) nur endlichdimensionale lineare Räume betrachtet werden. Das liefert durchaus schon einen gewissen Einblick in die logische Struktur der Quantentheorie, schließt aber natürlich wesentliche Aspekte — wie z.B. die Heisenbergschen Unschärferelationen und die Auswirkungen unterschiedlicher Randbedingungen — aus.

Um auch anspruchsvolleren Studenten gerecht zu werden, werden in Kapitel 8 dann auch unendlichdimensionale Hilbert-Räume mathematisch exakt behandelt. Kapitel 9 gibt dann noch eine kurze Einführung in die Theorie der verallgemeinerten Funktionen und ihre Anwendung auf partielle Differentialgleichungen der Physik .

Warnung: Das vorliegende Skript ist nicht zum Selbststudium gedacht.

Literaturempfehlungempfehlung: (Zeidler, 2003; Grosche et al., 2003; Fischer und Kaul, 2001; Fischer und Kaul, 2004; Fischer und Kaul, 2003)

4

Inhaltsverzeichnis

II Ergänzungen 7

7 Endlichdimensionale komplexe Vektorräume 9

7.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.1.1 Lineare Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.1.2 Komplexe innere Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3 Stetigkeit und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.2 Anwendungsbeispiel: Polarisation von Licht . . . . . . . . . . . . . . 14 7.2.1 Monochromatische ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.2.2 Jones-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.2.3 Einfache polarisationsoptische Komponenten . . . . . . . . . . 20

7.3 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.3.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7.3.2 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.3.3 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren . . . . . . . . . . . 32 7.3.4 Eigenvektoren und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.4 Multilineare Funktionale (komplexe Tensoren) . . . . . . . . . . . . . 44 7.4.1 Lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.4.2 Bilineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.4.3 Allgemeinere Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Unendlichdimensionale komplexe Vektorräume 55

8.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.1.1 Maximale Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.1.2 Schwache Konvergenz und Beschränktheit . . . . . . . . . . . 60 8.1.3 Hilbertsche Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.2 Beispiele für vollständige Funktionensysteme . . . . . . . . . . . . . . 66 8.2.1 Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.2.2 Hermitesche Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8.2.3 Laguerresche Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.3 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.3.1 Grundsätzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.3.2 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.3.3 Unbeschränkte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.3.4 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.4 Multilineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.4.1 Beschränkte lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.4.2 Beschränkte bilineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.4.3 Allgemeinere Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9 Verallgemeinerte Funktionen 99

9.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.1.2 Zerlegungen der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.1.3 Beispiele und einfache Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.2 Greensche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.2.1 Fundamentallösungen partieller Differentialgleichungen …. 109 9.2.2 Quantenmechanische Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.2.3 Das Sturm-Liouville-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 113

E Ergänzende Übungsaufgaben 115

F Lösungsvorschläge zu den Ergänzungen 149

Ergänzendes Literaturverzeichnis 233

Ergänzender Index 237

Kapitel 7

Teil II Ergänzungen Endlichdimensionale komplexe Vektorräume^{1}

7.1 Grundlegende Definitionen

7.1.1 Lineare Struktur

In den grundlegenden Definitionen für Vektorräume lassen sich die bisher verwendeten reellen Zahlen ohne weiteres durch komplexen Zahlen ersetzen:

Definition 7.1.1 Als komplexen Vektorraum^{2} bezeichnet man eine Menge V zusammen mit einer Additionsvorschrift und einer Vorschrift zur Multiplikation mit komplexen Zahlen derart, daß

z v_{1}, v_{1} + v_{2} ∈ V für alle v_{1}, v_{2} ∈ V und bel. komplexe z

und die Regeln

(V1)–(V7) aus 1.1.2 für beliebige komplexe λ , λ_{1} , λ_{2}

gelten. Die Elemente von V nennt man Vektoren.

Definition 7.1.2 Sei V ein komplexer Vektorraum und sei T eine Teilmenge von V . Als (komplexe) lineare Hülle von T bezeichnet man dann die Menge L(T) aller Vektoren v ∈ V, die sich in der Form

v = z^{1}v_{1} + … + z^{n}v_{n}

mit komplexen z^{1}, …, z^{n} und v_{1}, …, v_{n} ∈ T darstellen lassen, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist.

Version vom 26. März 2009

1Die Theorie der Quantencomputer beschränkt sich im wesentlichen auf endlichdimensionale komplexe Vektorräume.

2Ein komplexer Vektorraum wird allgemein auch als linearer Raum über dem Körper der komplexen Zahlen bezeichnet.

10 KAPITEL 7. ENDLICHDIMENSIONALE KOMPLEXE VEKTORRÄUME

Definition 7.1.3 Sei V ein komplexer Vektorraum. Dann heißen die Vektoren einer Teilmenge T von V (komplex) linear unabhängig voneinander, falls L(T′) ≠ L(T) für jede echte Teilmenge T′ von T gilt. Andernfalls heißen die Vektoren von T (insgesamt) linear abhängig (voneinander). Unter einer (Hamel-) Basis von V versteht man eine Menge T ⊂ V linear unabhängiger Vektoren mit L(T) = V .

Definition 7.1.4 Ein komplexer Vektorraum V heißt endlichdimensional, falls eine endliche Zahl von Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V existiert, für die

L ({v_{1}, …, v_{n}}) = V

gilt. Falls mindestens ein Vektor v ∈ V existiert, für den v ≠ 0 v gilt,^{3} bezeichnet man das dabei kleinstmögliche n als die Dimension (dim V) von V .

Auch das Kriterium für lineare Unabhängigkeit läßt sich entsprechend auf komplexe Vektoren anwenden:

Lemma 7.1.5

Gegeben: (i) komplexer Vektorraum V (ii) Teilmenge T von V

Behauptung: Die Vektoren von T sind genau dann linear unabhängig, wenn zu jeder endlichen Teilmenge {v_{1}, …, v_{n}} von T und zu jedem z ∈ L ({v_{1}, …, v_{n}}) genau ein n-Tupel komplexer Zahlen (z^{1}, … z^{n}) existiert mit:

z = z^{1}v_{1} + … + z^{n}v_{n} .

Lemma 7.1.6

Gegeben: (i) endlichdimensionaler komplexer Vektorraum V (ii) linear unabhängige Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V

Behauptung: Dann sind folgende Aussagen zueinander äquivalent:

1. L({v_{1}, …, v_{n}}) = V.

2. {v_{1}, …, v_{n}} ist eine Basis von V .

3. n = dim V .

Version vom 26. März 2009

3Sonst setzt man dim V = 0 .

Wie im reellen Falle läßt sich für einen n-dimensionalen komplexen Vektorraum V eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} fest wählen und damit jeder Vektor x ∈ V in der Form

z = z^{1}b_{1} + … + z^{n}b_{n}

mit eindeutigen komplexen Komponenten z^{1}, …, z^{n} schreiben, was entsprechend durch

z = (z^{1} ; z^{2} ; ⋮ ; z^{n} ) bzgl. {b_{1}, …, b_{n}}

mitgeteilt wird. In diesem Sinne folgt entsprechend aus (V1)–(V7):

(x^{1} ; x^{2} ; ⋮ ; x^{n} ) + (y^{1} ; y^{2} ; ⋮ ; y^{n} ) = ( x^{1} + y^{1} ; x^{2} + y^{2} ; ⋮ ; x^{n} + y^{n} )  (7.1)

λ (x^{1} ; x^{2} ; ⋮ ; x^{n} ) = ( λx^{1} ; λ x^{2} ; ⋮ ; λ x^{n} )  (7.2)

für beliebige komplexe λ, x^{1}, …, y^{n}. In dieser Darstellungsweise bezeichnet man den komplexen n-dimensionalen Vektorraum als ℂ^{n}. Offensichtlich gilt

ℂ^{n} = ℝ^{n} + i ℝ^{n} ,

wobei nun ℝ^{n} und i ℝ^{n} auf natürliche Weise als Teilmengen von ℂ^{n} aufzufassen sind.^{4}

7.1.2 Komplexe innere Produkte

Am einfachsten läßt sich ein inneres Produkt ⟨. | .⟩ in einem n-dimensionalen komplexen Vektorraum V dadurch einführen, daß man eine Basis {e_{1}, …, e_{n}} von V zur Orthonormalbasis erklärt und dementsprechend definiert:

⟨a | b⟩ =^{def} ∑_{ν=1}^{n} (a^{ν})^{∗} b^{ν} ,

falls: a = ∑_{ν=1}^{n} a^{ν} e_{ν} , b = ∑_{ν=1}^{n} b^{ν} e_{ν} .

(7.3)

Version vom 26. März 2009

4Die Einbettung von ℝ^{n} und i ℝ^{n} in ℂ^{n} hängt natürlich von der Basis {b_{1}, …, b_{n}} ab.

Die so eingeführten inneren Produkte ⟨. | .⟩ sind offensichtlich durch folgende Eigenschaften charakterisiert:^{5}

⟨v | v⟩ > 0 ∀ v ∈ V \ {0} ,  (7.4)
⟨v_{1} | v_{2}⟩ = (⟨v_{2} | v_{1}⟩)^{∗} ∀ v_{1}, v_{2} ∈ V ,  (7.5)
⟨a | z^{1} v_{1} + z^{2} v_{2}⟩ = z^{1} ⟨a | v_{1}⟩ + z^{2} ⟨a | v_{2}⟩ ∀ a, v_{1}, v_{2} ∈ V , z^{1}, z^{2} ∈ ℂ . (7.6)

Ein inneres Produkt ⟨. | .⟩ ist also antilinear (konjugiert linear ) im ersten Argument:

⟨z^{1} v_{1} + z^{2} v_{2} | a⟩ = (z^{1})^{∗} ⟨v_{1} | a⟩ + (z^{2})^{∗} ⟨v_{2} | a⟩ ∀ a, v_{1}, v_{2} ∈ V , z^{1}, z^{2} ∈ ℂ . (7.7)

Definition 7.1.7 Unter einem Euklidischen komplexen Vektorraum V versteht man einen komplexen Vektorraum V, in dem ein inneres Produkt ⟨. | .⟩ erklärt ist, d.h. eine Zuordnung

\underbrace{v′, v}_{∈V} ⟶ \underbrace{⟨v′ | v⟩}_{∈ℂ},

die den Bedingungen (7.4)–(7.6) genügt.

Definition 7.1.8 Sei V ein Euklidischer komplexer Vektorraum. Unter einem diskreten Orthonormalsystem von V versteht man dann eine diskrete Teilmenge {e_{1}, e_{2}, …} von V mit

⟨e_{j} | e_{k}⟩ = \{ \begin{matrix}1 & für j = k \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Ein Orthonormalsystem^{6} {e_{1}, e_{2}, …} bezeichnet man als maximal, falls

z ⊥ {e_{1}, e_{2}, …} ⟹ z = 0 ∀ z ∈ V

gilt. Für endlichdimensionales V bezeichnet man die maximalen Orthonormalsysteme auch als Orthonormalbasen.

Wie im reellen Falle läßt sich auch für komplexe endlichdimensionale Euklidische Vektorräume V zeigen, daß sich jede Orthonormalbasis eines Teilraumes von V zu einer Orthonormalbasis von ganz V ergänzen läßt. Dabei ist offensichtlich, daß

Version vom 26. März 2009

5In der mathematischen Literatur verlangt man i.a. Linearität im ersten Argument. Linearität im zweiten Argument (Forderung (7.6)) ist dagegen in der physikalischen Literatur üblich.

6Nicht diskrete Orthonormalsystem werden erst im nächsten Kapitel behandelt. Bis dahin seien unter Orthonormalsystemen stets diskrete Orthonormalsysteme verstanden.

(endliche) Orthonormalbasen tatsächlich (Hamel-) Basen sind. Jeder Vektors z ∈ V läßt sich dementsprechend nach einer beliebig vorgegebenen Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V entwickeln:

z = ∑_{ν=1}^{n} ⟨e_{ν} | z⟩ e_{ν} .  (7.8)

Anmerkung: In der Diracschen ”bra-ket-Schreibweise“

|a⟩⟨b| c =^{def} ⟨b | c⟩ a ∀ a, b, c ∈ V

wird (7.8) oft auch formal durch

ˆ1 = ∑_{ν=1}^{n} |e_{ν}⟩⟨e_{ν} |

mitgeteilt.^{7}

Auch der Begriff der Euklidischen Norm läßt sich direkt übertragen:

Definition 7.1.9 Als (Euklidische) Norm des Vektors v eines Euklidischen komplexen Vektorraumes bezeichnet man die nichtnegative reelle Zahl

∥v∥ =^{def} \sqrt{⟨v | v⟩} .

Auch die entsprechenden Ungleichungen bleiben gültig:

Lemma 7.1.10

Gegeben: (i) komplexer Euklidischer Vektorraum V (ii) v_{1}, v_{2} ∈ V

Behauptung: Es gelten der Satz von Pythagoras^{8}

⟨v_{1} | v_{2}⟩ = 0 ⟹ ∥v_{1} + v_{2}∥^{2} = ∥v_{1}∥^{2} + ∥v_{1}∥^{2} ,

die Dreiecksungleichung

∥v_{1} + v_{2}∥ ≤ ∥v_{1}∥ + ∥v_{2}∥

Version vom 26. März 2009

7Vgl. Definition 7.3.1.

8Man beachte aber, daß ∥v_{1} + v_{2}∥^{2} = ∥v_{1}∥^{2} + ∥v_{2}∥^{2} z.B. auch für v_{2} = i v_{1} gilt.

und die Schwarzsche Ungleichung

|⟨v_{1} | v_{2}⟩| ≤ ∥v_{1}∥ · ∥v_{2}∥ .

In den beiden Ungleichungen gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn v_{1}, v_{2} linear abhängig sind.

7.1.3 Stetigkeit und Konvergenz

Wie im reellen Falle dient die Norm zur Definition der Stetigkeit von Abbildungen zwischen komplexen Euklidischen Vektorräumen sowie zur Definition der Konvergenz von Folgen in solchen Räumen (auch im Hinblick auf Differentiation):

Definition 7.1.11 Seien V_{1} und V_{2} (reelle oder komplexe) Euklidische Vektorräume mit den Normen ∥.∥_{1} resp. ∥.∥_{2} und sei f eine Abbildung von V_{1} in V_{2} . Dann heißt f (stark) stetig, falls zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert mit

∥a − b∥_{1} < δ ⟹ ∥f(a) − f(b)∥_{2} < ϵ ∀ a, b ∈ V_{1} .

Definition 7.1.12 Sei V ein (reeller oder) komplexer Euklidischer Vektorraum mit der Norm ∥.∥ und seien v, v_{1}, v_{2}, … ∈ V . Dann sagt man, daß die Folge v_{1}, v_{2}, … in V (stark) gegen v konvergiert und teilt das durch

lim_{ν→∞} v_{ν} = v (genauer: s- lim_{ν→∞} v_{ν} = v)

mit, falls zu jedem ϵ > 0 eine natürliche Zahl n_{0} existiert mit

∥v − v_{ν}∥ < ϵ ∀ ν > n_{0} .

Genauer gehen wir auf diese Punkte aber zweckmäßiger erst in Kapitel 8 ein.

7.2 Anwendungsbeispiel: Polarisation von Licht

7.2.1 Monochromatische ebene Wellen

Das elektrische Feld E(x, t) einer ebenen monochromatischen elektromagnetischen Welle im Vakuum ist bekanntlich von der Form

E(x, t) = ℜ (E e^{−i(ωt− \frac{ω}{c} s·x)}) ,  (7.9)

wobei^{9} E ∈ ℂ^{3} und:

ω = Kreisfrequenz > 0 ,
c = Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ,
s = (reeller) Richtungsvektor .

Die Transversalität der elektromagnetischen Schwingung entspricht der Zusatzbedingung

⟨s | E⟩ = 0 .  (7.10)

Indem wir s = e_{2} für ein geeignetes rechtshändiges Orthonormalsystem {e_{1}, e_{2}, e_{3}} von ℝ^{3} ⊂ ℂ^{3} setzen, können wir E in der Form

E = ∑_{j∈{3,1}} (A^{j} + i B^{j}) e_{j}  (7.11)

mit geeigneten (reellen) elektrischen Feldstärken A^{1}, …, B^{2} schreiben. Mit (7.9) folgt daraus

E(t) =^{def} E(0, t) = ∑_{j∈{3,1}} (A^{j} cos(ω t) + B^{j} sin(ω t)) e_{j} .  (7.12)

Im Sinne der Aufgaben 20 –22 nennt man deshalb die Welle

rechtszirkular polarisiert , falls A^{3} = +B^{1} , B^{3} = A^{1} = 0 ,
linkszirkular polarisiert  , falls A^{3} = −B^{1} , B^{3} = A^{1} = 0 ,
linear ∥ e_{3} polarisiert  , falls A^{1} = B^{1} = 0

(7.13)

für jeweils geeignete Wahl der e_{3}, e_{1} gilt. In allen übrigen Fällen nennt man die Welle elliptisch polarisiert.^{10}

Anmerkungen:

1. Die Polarisation beschreibt den inneren Quantenzustand der entsprechenden Photonen.

2. Rechtszirkular ist hier — anders als z.B. in (Ebert, 1967, Abschn. 123.230) — so definiert, daß der Feldvektor im Rechtsschraubensinn relativ zu s = e_{2} umläuft. Rechtszirkulares Licht entspricht damit positiver Helizität (positiver

Version vom 26. März 2009

9Streng genommen müßte man für den jeweiligen Vektorraum auch die physikalische Dimension anzeigen.

10Bzgl. der experimentellen Bestimmung des Polarisationszustands siehe (Gjurchinovski, 2002) und Aufgabe E13.

16 KAPITEL 7. ENDLICHDIMENSIONALE KOMPLEXE VEKTORRÄUME

s-Komponente des Drehimpulses) bzw. rechtshändigen Photonen:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; A; ω > 0; e_{1}; ωt; e_{3}; A(sin (ω t) e_{1} + cos (ω t) e_{3})]

3. Die Stromdichte der Photonenzahl (nahezu) monochromatischen Lichts ist proportional zur Energiestromdichte.

Die zeitlich gemittelte Energiestromdichte an der Stelle x = 0 (Zur Zeit t = 0) ist

I = \frac{ω}{2π} ∫_{0}^{2π/ω} \underbrace{E(0, t) × \frac{1}{μ_{0}} B(0, t)}_{Poynting-Vektor} dt .

Mit

E = E^{1} e_{1} + E^{3} e_{3} , B(x, t) = \frac{1}{c} e_{2} × E(x, t)

(für ebene Wellen, die in Richtung von e_{2} laufen) und

e_{j} × (e_{2} × e_{k}) = −e_{2} δ_{jk} ∀ j, k ∈ {1, 3}

folgt daraus

\begin{aligned}I & = & −\frac{e_{2}}{μ_{0} c} \frac{ω}{2π} ∫_{0}^{2π/ω} ∑_{j∈\{1,3\}}(ℜ (E^{j} e^{−i ω t}))^{2} dt \\ & = & −\frac{|E|^{2}}{2 μ_{0} c} e_{2} \end{aligned}

und somit

Strahlungsintensität =^{def} |I|
= \frac{|E|^{2}}{2 μ_{0} c}

(im Sinne von 2.1.1 benutzen wir: |E| =^{def} ∥E∥ · Feldstärkeeinheit .)

7.2.2 Jones-Formalismus

Für fest vorgegebenes s = e_{2} und ω > 0 ist das Feld (7.9) also durch die (2μ_{0}c)-fache Strahlungsintensität |E|^{2} und den sog. Jones-Vektor

J =^{def} \frac{1}{|E|} ( \begin{matrix}e_{3} · E \\ e_{1} · E \end{matrix} ) bzgl. (e_{3}, e_{1})  (7.14)

gegeben:

E(0, t) = |E| ∑_{j∈{3,1}} (ℜ(J^{j}) cos(ω t) + ℑ(J^{j}) sin(ω t)) e_{j} .

Insbesondere ist die Welle

rechtszirkular polarisiert  , falls J ∝ ( \begin{matrix}1 \\ i \end{matrix} ) ,
linkszirkular polarisiert  , falls J ∝ ( \begin{matrix}1 \\ −i \end{matrix} ) ,
linear ∥ sin φ e_{1} + cos φ e_{3} polarisiert , falls J ∝ ( \begin{matrix}cos φ \\ sin φ \end{matrix} ) .

(7.15)

Anmerkungen:

1. Die Änderung

J ⟶ J′ = e^{iφ} J , φ ∈ ℝ ,

des Jones-Vektors (bei ungeänderter Strahlungsintensität) entspricht offensichtlich der Änderung

E(x, t) ⟶ E′(x, t) = E (x, t − \frac{1}{ω} φ)

des elektrischen Feldes, ändert also nicht den Polarisationszustand.

2. Je zwei Jones-Vektoren J_{1} und J_{2} beschreiben genau dann den gleichen Polarisationszustand, wenn sie zueinander proportional sind.

3. Eine Drehung D̂_{α e_{2}} des elektrischen Feldvektors um den Winkel α im Rechtsschraubensinn um e_{2} entspricht der Transformation

J ⟼ D̂(α) J , D̂(α) =^{def} ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ + sin α & cos α \end{matrix} )  (7.16)

des Jones-Vektors.

4. Die Raum-Zeit-Spiegelung des elektrischen Feldes entspricht der

Transformation

J ⟼ −J^{∗} .  (7.17)

wobei

( \begin{matrix}z^{3} \\ z^{1} \end{matrix} )^{∗} =^{def} ( \begin{matrix}(z^{3}) & ∗ \\ (z^{1}) & ∗ \end{matrix} ) ∀ z^{3}, z^{1} ∈ ℂ .  (7.18)

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; D_{1}; D_{2}; (Glan-Taylor-) Polarisationsstrahlteiler; E_{H} H; E = E_{H} H + E_{V} V; e_{3}; e_{2}; e^{−i φ} E_{V} V]

Abb. 7.1: Beispiel einer Polarisationsmessung.

Die Jones-Vektoren

R =^{def} \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ i \end{matrix} ) resp. L =^{def} \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ −i \end{matrix} )

für rechts- resp. linkszirkular polarisiertes Licht bilden offenbar eine Orthonormalbasis von ℂ^{2} . Entsprechendes gilt für die Jones-Vektoren

H =^{def} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) resp. V =^{def} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )

für linear ∥ e_{1} resp. ∥ e_{3} polarisiertes Licht.

Anmerkung: Für das in Abbildung 7.1 skizzierte einfache quantenoptische Experiment gilt z.B.:

Mit polarisationsunabhängige Photodetektoren D_{1}, D_{2} gleicher Bauart ergibt sich für die entsprechenden Zählraten R_{1}, R_{2}

R_{1} |E_{V}|^{2} = R_{2} |E_{H}|^{2}

und die beiden Detektoren sprechen (bei nicht zu großer Strahlintensität so gut wie) niemals gleichzeitig an. Dementsprechend interpretiert man für die dem Strahl entsprechende Gesamtheit von Photonen:

Wahrscheinlichkeit für horizontale Polarisation = \begin{matrix}| & E & 2 H & | \\ |E| & 2 \end{matrix}
= |⟨H | J⟩|^{2} ,

Wahrscheinlichkeit für vertikale Polarisation = \begin{matrix}| & E & 2 V & | \\ |E| & 2 \end{matrix}
= |⟨V | J⟩|^{2} .

Dank Ĥ ⊥ V̂ ist die Summe beider Wahrscheinlichkeiten 1, was der (naiven) Vorstellung entspricht, daß jedes Photon entweder horizontal oder vertikal polarisiert ist.

Allgemein entsprechen die Jones-Vektoren J_{1}, J_{2} komplementären (im Teilchenbild einander ausschließenden) Eigenschaften, wenn sie zueinander orthogonal sind, d.h. falls

⟨J_{1} | J_{2}⟩ = 0

gilt, was auch durch J_{1} ⊥ J_{2} mitgeteilt wird. Die physikalisch anschauliche Interpretation dieser Komplementarität ergibt sich aus

J_{1} ⊥ J_{2} ⟺ J_{1} ∝ \underbrace{( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )}_{=D̂(π/2)} J_{2}^{∗}

mit der Interpretation von (7.17) und (7.16).

Sei A ein optisches Gerät, das das elektrische Feld E(x, t) (der Form (7.9)) in das elektrische Feld E′(x, t) = Â E(x, t) umwandelt. Dann sagt man, A genüge (für vorgegebene ω > 0 und s ∈ ℝ^{3} ⊂ ℂ^{3}) dem Superpositionsprinzip, falls

Â (E_{1}(x, t) + E_{2}(x, t)) = Â E_{1}(x, t) + Â E_{2}(x, t)

für alle E_{1}(x, t), E_{2}(x, t) der Form (7.9) gilt. Setzt man außerdem voraus, daß Â stetig ist, so folgt, daß Â auf dem zu s orthogonalen Teilraum von ℂ^{3} linear ist:

Â(λ_{1} E_{1} + λ_{2} E_{2}) = λ_{1}Â E_{1}+λ_{2}Â E_{2} ∀ λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ , E_{1}, E_{2} ∈{E ∈ ℂ^{3} : ⟨s | E⟩ = 0} .

Die Wirkung eines solchen Gerätes läßt sich also durch eine lineare Transformation des nicht normierten Jones-Vektors

E ⟼ Â E

beschreiben. Das läßt sich auch mithilfe der sog. Jones-Matrix

⟨e_{3} | Â e_{3}⟩ ⟨e_{3} | Â e_{1}⟩
⟨e_{1} | Â e_{3}⟩ ⟨e_{1} | Â e_{1}⟩

von A ausdrücken:

Â E = ( \begin{matrix}⟨e_{3} | Â e_{3}⟩ & ⟨e_{3} | Â e_{1}⟩ \\ ⟨e_{1} | Â e_{3}⟩ & ⟨e_{1} | Â e_{1}⟩ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}E^{3} \\ E^{1} \end{matrix} ) =^{def} ( \begin{matrix}∑_{j=3,1} ⟨e_{3} | Â e_{j}⟩ E^{j} \\ ∑_{j=3,1} ⟨e_{1} | Â e_{j}⟩ E^{j} \end{matrix} ) bzgl. \{e_{3}, e_{1}\} .

Es ist klar, daß sich jede Jones-Matrix als (komplexe) Linearkombination der Pauli-Matrizen^{11}

τ̂^{0} =^{def} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , τ̂^{1} =^{def} ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , τ̂^{2} =^{def} ( \begin{matrix}0 & −i \\ +i & 0 \end{matrix} ) , τ̂^{3} =^{def} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

(7.19)

Version vom 26. März 2009

11Oft wird σ̂_{ν} statt τ̂^{ν} geschrieben.

schreiben läßt (Bloch-Darstellung), die u.a. folgenden Relationen genügen:^{12}

\begin{aligned}τ̂^{ν}τ̂^{ν} & = & ˆ1  ∀ ν ∈ \{0, 1, 2, 3\} , \\ τ̂^{j}τ̂^{k} & = & − τ̂^{k}τ̂^{j} ∀ j, k ∈ \{1, 2, 3\} , j ≠ k , \\ τ̂^{1}τ̂^{2} & = & i τ̂^{3} , \\ τ̂^{2}τ̂^{3} & = & i τ̂^{1} , \\ τ̂^{3}τ̂^{1} & = & i τ̂^{2} . \end{aligned}  (7.20)

7.2.3 Einfache polarisationsoptische Komponenten

Die (Jones)-Matrizen^{13}

D̂(α) = e^{−iατ̂^{2}} = cos α τ̂^{0} − i sin α τ̂^{2} = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ + sin α & cos α \end{matrix} )  (7.21)

mit der Wirkung

R ⟼ e^{−i α} R , L ⟼ e^{+i α} L

beschreiben die Änderung des Lichtes bei Durchlaufen optisch aktiver Medien^{14} entsprechender Dicke:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; e_{1}; e_{3}; e; D̂_{α} e]

Bei geeigneter Verwendung doppelbrechender Medien kann man z.B. eine Phasenverzögerung der e_{1}-Komponente von E(x, t) gemäß der Jones-Matrix

Ŝ_{φ} =^{def} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & e^{iφ} \end{matrix} )

erzielen oder eine Filterwirkungen entsprechend Tabelle 7.1.

Anmerkungen:

1. Besonders nützliche^{15} Phasenverzögerer sind die λ/4-Blättchen, deren Jones-

Matrix

Ŝ\frac{π}{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix} )

Version vom 26. März 2009

12Mit ˆ1 (mitunter auch einfach nur durch 1) wird stets die Einheitsmatrix bzw. der Einsoperator bezeichnet. Hier gilt also τ̂^{0} = ˆ1 .

13Zum Beweis von (7.21) siehe Aufgabe E25b).

14In optisch aktiv en Medien haben links- und rechtszirkulares Licht unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Gemäß Gleichung (7.43) entspricht das der Wirkung von D̂(α) .

15Siehe dazu Aufgaben E13 und E11.

Filter für:  Jones-Matrix bzgl. (e_{3}, e_{1}) :
rechtszirkulares Licht^{16}  P̂_{R} =^{def} \frac{1}{2} (τ̂^{0} + τ̂^{2}) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & −i \\ i & 1 \end{matrix} )
linkszirkulares Licht  P̂_{L} =^{def} \frac{1}{2} (τ̂^{0} − τ̂^{2}) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & i \\ −i & 1 \end{matrix} )

linear ∥ e_{3} polarisiertes Licht P̂_{V} =^{def} \frac{1}{2} (τ̂^{0} + τ̂^{3}) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )
linear ∥ e_{1} polarisiertes Licht P̂_{H} =^{def} \frac{1}{2} (τ̂^{0} − τ̂^{3}) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

Tabelle 7.1: Einfachste Polaristionsfilter

(bei entsprechender Orientierung des Blättchens), die gemäß

( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}1 \\ +i \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}1 \\ −i \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )

wirkt.

2. Durch Kombination zweier λ/4-Blättchen ergibt sich auch ein λ/2-Blättchen mit der Jones-Matrix (bei entsprechender Orientierung der Blättchen)

Ŝ_{π} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) (= τ̂^{3})

ist, die gemäß

( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) ⇌ ( \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ) , R ⇌ L

wirkt.

Die Jones-Matrizen D̂(α) und Ŝ_{φ} sind isometrisch, d.h. die entsprechenden Abbildungen lassen die Norm für alle Vektoren ungeändert. Aufgrund der sog. Polarisationsidentität^{17}

⟨z_{1} | z_{2}⟩ = \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{−k} ⟨z_{1} + i^{k}z_{2} | z_{1} + i^{k}z_{2}⟩  (7.22)

bilden sie also Orthonormalbasen stets auf Orthonormalbasen ab.

Die Jones-Matrizen P̂ der Polarisations-Filter sind idempotent, d.h. es gilt

P̂^{2} = P̂ ,  (7.23)

Version vom 26. März 2009

16Tatsächlich hängen P̂_{R} und P̂_{L} nicht von der speziellen Wahl der rechtshändigen Orthonormalbasis {e_{3}, e_{1}, s} ab (siehe Aufgabe E9).

17Zum Beweis von (7.22) siehe Aufgabe E57.

und genügen der Bedingung

⟨P̂ z_{1} | (ˆ1 − P̂) z_{2}⟩ = 0 ∀ z_{1}, z_{2} ∈ ℂ^{2} .  (7.24)

Man sieht leicht, daß (7.24) unter der Voraussetzung von (7.23) äquivalent ist zu

P̂^{†} = P̂ ,  (7.25)

wobei die zu Â adjungierte Matrix Â^{†} jeweils eindeutig durch

⟨Â^{†} z_{1} | z_{2}⟩ = ⟨z_{1} | Â z_{2}⟩ ∀ , z_{1}, z_{2} ∈ ℂ^{2}  (7.26)

charakterisiert ist.

Beweisskizze: Die Behauptung folgt aus

(7.24) ⟹ ⟨P̂ z_{1} | z_{2}⟩ = ⟨P̂ z_{1} | P̂ z_{2}⟩ + \underbrace{⟨P̂ z_{1} | (ˆ1 − P̂) z_{2}⟩}_{=0}
= ⟨P̂ z_{1} | P̂ z_{2}⟩ + \underbrace{⟨(ˆ1 − P̂) z_{1} | P̂ z_{2}⟩}_{=0}
= ⟨z_{1} | P̂ z_{2}⟩

und

(7.23), (7.25) ⟹ ⟨P̂ z_{1} | (ˆ1 − P̂) z_{2}⟩ = ⟨P̂ z_{1} | z_{2}⟩ − \underbrace{⟨P̂ z_{1} | P̂ z_{2}⟩}_{=⟨z_{1}|P̂^{2} z_{2}⟩}
= 0 .

Matrizen mit den Eigenschaften (7.23) und (7.25) bezeichnet man auch als Projektoren.^{18} Speziell die Projektoren P̂_{R} und P̂_{L} sind zueinander komplementär:

P̂_{R} P̂_{L} = 0 , P̂_{R} + P̂_{L} = ˆ1 .

Entsprechendes gilt natürlich für das Paar P̂_{V} , P̂_{H} .

Im Gegensatz zu den etwa durch D̂(α) oder Ŝ_{φ} beschriebenen Wirkungen,^{19} lassen sich die Filterwirkungen i.a. nicht mithilfe linearer optischer Komponenten rückgängig machen.

7.3 Lineare Operatoren

Der Einfachheit halber betrachten wir hier nur lineare Abbildungen eines komplexen Vektorraumes V in sich und in Abschnitt 7.4.1 lineare Abbildungen von V in ℂ, also (lineare) komplexwertige Funktionen (Funktionale) auf V .

Version vom 26. März 2009

18Siehe Definition 7.3.14.

19Man beachte: D̂(−α) D̂(α) = Û_{−φ} Ŝ_{φ} = ˆ1 .

7.3. LINEARE OPERATOREN 23

7.3.1 Grundlegendes

Quantenmechanische Motivation: Wenn man einen (7.9) entsprechenden Lichtstrahl durch geeignete Strahlteiler n-fach auffächert, dann sind die (reinen) inneren Quantenzustände der entsprechenden (Einzel-) Photonen durch Elemente des ℂ^{2n} beschreibbar; vgl. Abschnitt 3.1.2 von (Lücke, qip). 2n × 2n-Matrizen beschreiben dann die Wirkung linear optischer Komponenten, die keine weitere Strahlaufteilung produzieren. Insbesondere beschreibt |J⟩⟨J| für normiertes J ∈ ℂ^{2n} jeweils die Wirkung eines Filters, der den J entsprechenden n-fach-Teilstrahl passieren läßt und den (orthogonalen) Rest absorbiert. Das ‘Sortieren’ nach normierten J_{1}, …, J_{2n} entsprechenden inneren Zuständen ist genau dann möglich, wenn die J_{1}, …, J_{2n} eine ONB bilden:

|⟨J_{ν} | J⟩|^{2} = \{ \begin{matrix}Übergangswahrscheinlichkeit für J → J_{ν} \\ im Zustand J beim ‘Sortieren’ nach J_{1}, …, J_{2n} . \end{matrix}

Wenn man jeweils dem Vektor J_{ν} einer ONB von ℂ^{2n} den Werte a_{ν} einer physikalischen Größe A zuordnet, dann ist

\left⟨{ \atop Â}\right⟩ =^{def} ⟨J | Â J⟩ ,

wobei

Â =^{def} ∑_{ν=1}^{2n} a_{ν} |J_{ν}⟩⟨J_{ν}| (Observable von A) ,  (7.27)

jeweils der Erwartungswert für A im Quantenzustand ˆ= J ; denn

⟨J | Â J⟩ =_{(7.27)} ∑_{ν=1}^{2n} a_{ν} |⟨J_{ν} | J⟩|^{2}

und

|⟨J_{ν} | J⟩|^{2} = \{ \begin{matrix}Wahrscheinlichkeit für den Übergang \\ J → J_{ν} bei ‘Messung’ von A . \end{matrix}

Meistens sind i.d. Quantenmechanik zunächst nur die Observablen Â der Physikalischen Größen A gegeben und ihre Spektraldarstellung (7.27) muß erst bestimmt werden. Damit ergibt sich:

Zentrales Problem der Quantenmechanik: Finde zu gegebenem (selbstadjungiertem) Â eine ONB {J_{1}, …, J_{2n}} und Werte a_{1}, …, a_{2n} für A so, daß (7.27) gilt.

Für jedes ν ∈ {1, …, 2n} folgt aus (7.27)

Â J_{ν} = a_{ν} J_{ν} ,

d.h.:^{20} J_{ν} ist jeweils Eigenvektor von Â zum Eigenwert a_{ν} .

Will man die Abbildung J ⟼ Â J Basis-unabhängig beschreiben, die J also nicht als Spalten-Vektoren darstellen, dann muß man die Matrix Â durch einen entsprechenden linearen Operator ersetzen.

Version vom 26. März 2009

20Siehe Definition 7.3.16.

Definition 7.3.1 Sei V ein komplexer Vektorraum. Ein linearer Operator auf V ist dann eine Abbildung Â von V in V mit

Â(a z_{1} + b z_{2}) = a Â(z_{1}) + b Â(z_{2}) ∀ a, b ∈ ℂ , z_{1}, z_{2} ∈ V .

Die Bezeichnung ”Operator“ bezieht sich auf die Schreibweise

Â z =^{def} Â(z) , Â B̂ z =^{def} Â(B̂(z)) .

Definition 7.3.2 Seien V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum und Â ein linearer Operator auf V . Dann heißt Â invertierbar, falls ein linearer Operator Â^{−1} auf V existiert mit

Â Â^{−1} = Â^{−1} Â = ˆ1 .

Man bezeichnet Â^{−1} als den zu Â inversen Operator.^{21}

Lemma 7.3.3 Seien V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum und Â ein linearer Operator auf V . Dann sind folgende Aussagen zueinander äquivalent:

1. Â ist invertierbar.

2. Â z = 0 ⟹ z = 0 ∀ z ∈ V .

3. Â bildet jede Basis von V auf eine (i.a. andere) Basis von V ab.

4. Es existiert eine eine Basis von V , deren Bild unter Â ebenfalls eine Basis von Â ist.

Beweisskizze:

\underline{Zu ‘1. ⟹ 2.’:} Wenn Â invertierbar ist, gilt

Â z = 0 ⟹ z = Â^{−1} Â z = Â^{−1} 0 = 0 ∀ z ∈ V .
⟹_{2. Auss.} z^{1} b_{1} + … + z^{n} b_{n} = 0
⟹_{Lemma 7.1.5} z^{1} = … = z^{n} = 0 .

\underline{Zu ‘2. ⟹ 3.’:} Wenn die 2. Aussage gilt, ist mit jeder Basis \{b_{1}, …, b_{n}\} von V

gemäß Lemma 7.1.6 und Lemma 7.1.5 {b′_{1} =^{def} Â b_{1}, …, b′_{n} =^{def} Â b_{n}} eine Basis von

V ; denn:

z^{1} Â b_{1} + … + z^{n} Â b_{n} = 0  ⟹  Â (z^{1} b_{1} + … + z^{n} b_{n}) = 0 Version vom 26. März 2009 21Man sieht leicht, daß Â^{−1} eindeutig durch Â bestimmt ist. Im Unendlichdimensionalen wird nicht mehr D_{Â^{−1}} = V vorausgesetzt!

\underline{Zu ‘3. ⟹ 4.’:} Voraussetzungsgemäß existiert eine Basis \{b_{1}, …, b_{n}\} von V und wenn die 3. Aussage gilt, bildet Â diese Basis auf eine (i.a. andere) Basis von V ab.

\underline{Zu ‘4. ⟹ 1.’:} Wenn die 4. Aussage gilt, können wir eine Basis \{b_{1}, …, b_{n}\} von V wählen, die von Â auf eine Basis von V abgebildet wird. Damit ergibt sich gemäß

Â^{−1} ∑_{ν=1}^{n} z^{ν} Â b_{ν} =^{def} ∑_{ν=1}^{n} z^{ν} b_{ν} ∀ z^{1}, …, z^{n} ∈ ℂ

der zu Â inverse Operator Â^{−1} ´ .

7.3.2 Matrizen und Determinanten

Zur Bestimmung von Eigenwerten a eines linearen Operators Â ist ein einfaches Kriterium für die Invertierbarkeit von Â − a ˆ1 erwünscht. Für endlichdimensionales V dient dazu die Determinante.

Oft nehmen wir stillschweigend an, daß V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit einer ausgewählten (geordneten) Basis (b_{1}, …, b_{n}) ist.^{22} Dann ist jeder lineare Operator Â auf V durch seine Matrix

( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{n} & … & A_{n}^{n} \end{matrix} )

bzgl. dieser Basis eindeutig charakterisiert, deren Komponenten die Wirkung auf die b_{ν} beschreiben:^{23}

Â b_{ν} = ( A_{ν}^{1} ; ⋮ ; A_{ν}^{n} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) ∀ ν ∈ {1, …, n} .  (7.28)

Damit gilt nämlich

Â z = ( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{n} & … & A_{n}^{n} \end{matrix} ) ( z^{1} ; ⋮ ; z^{n} ) =^{def} ( A_{1}^{1} z^{1} + … A_{n}^{1} z^{n} ; ⋮ ; A_{1}^{n} z^{1} + … A_{n}^{n} z^{n} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) ,

(7.29)

Version vom 26. März 2009

22Es sei daran erinnert daß man auf einem endlichdimensionalen komplexen Raum V zur jeder vorgegebenen Basis ein inneres Produkt einführen kann, bzgl. dessen diese Basis orthonormal ist (siehe Anfang von 7.1.2).

23Im Sinne der Anmerkung zu (7.8) gilt also

Â = ∑_{μ,ν=1}^{n} \underbrace{A_{ν}^{μ}}_{=⟨e_{μ}|Â e_{ν}⟩} |e_{μ}⟩ ⟨e_{ν}| ,

wenn (b_{1}, …, b_{n}) mit der geordneten Orthonormalbasis (e_{1}, …, e_{n}) übereinstimmt.

wobei die z^{ν} natürlich die Komponenten von z bezeichnen:

z = ( z^{1} ; ⋮ ; z^{n} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) .

In diesem Sinne werden wir oft — sofern dadurch keine Mißverständnisse zu befürchten sind — einen linearen Operator mit seiner Matrix bzgl. der ausgewählten Orthonormalbasis identifizieren^{24} und damit gilt dann

Ĉ = Â B̂  ⟺  C_{ν}^{μ} = ∑_{λ=1}^{n} A_{λ}^{μ} B_{ν}^{λ} ∀ μ, ν ∈ {1, …, n} .  (7.30)

Lemma 7.3.4 Gegeben seien V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum, eine Basis (b_{1}, …, b_{n}) von V und ein invertierbarer linearer Operator

B̂ = ( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n})

auf V . Dann gilt für alle z ∈ V :

z = ( z^{1} ; ⋮ ; z^{n} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n})

⟺ z = ( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} )^{−1} ( z^{1} ; ⋮ ; z^{n} ) bzgl. (B̂ b_{1}, …, B̂ b_{n}) .

Beweisskizze: Für

∑_{ν=1}^{ν} z^{ν} b_{ν} = ∑_{ν=1}^{ν} z′ ^{ν} B̂ b_{ν}

folgt aus der Invertierbarkeit von B̂

B̂^{−1} ∑_{ν=1}^{ν} z^{ν} b_{ν} = ∑_{ν=1}^{ν} z′ ^{ν} b_{ν}

Version vom 26. März 2009

24Tatsächlich haben wir das bereits in 7.2.3 getan. und somit^{25}

( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} )^{−1}( z^{1} ; ⋮ ; z^{n} ) = ( z′^{1} ; ⋮ ; z′^{n} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) .

Folgerung 7.3.5 Seien V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum, (b_{1}, …, b_{n}) eine Basis von V und Â , B̂ lineare Operatoren auf V . Wenn B̂ invertierbar ist, dann stimmt die Matrix von Â bzgl. (B̂ b_{1}, …, B̂ b_{n}) mit der Matrix von B̂^{−1}Â B̂ bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) überein.

Beweisskizze: Für

z = ( z^{1} ; ⋮ ; z^{n} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n})

= ( z′^{1} ; ⋮ ; z′^{n} ) bzgl. (B̂ b_{1}, …, B̂ b_{n})

gilt

Â z = ( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{n} & … & A_{n}^{n} \end{matrix} ) ( z^{1} ; ⋮ ; z^{n} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n})

und somit gemäß Lemma 7.3.4 bzgl. (B̂ b_{1}, …, B̂ b_{n}) :

Â z = ( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} )^{−1} ( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{n} & … & A_{n}^{n} \end{matrix} ) ( z^{1} ; ⋮ ; z^{n} )

= \underbrace{( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} )^{−1} ( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{n} & … & A_{n}^{n} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} )}_{=Matrix von B̂^{−1}Â B̂ bzgl. (B̂ b_{1},...,B̂ b_{n})} ( z′^{1} ; ⋮ ; z′^{n} ) .

Version vom 26. März 2009

25Wir kennzeichnen mit ^{−1} natürlich die durch

( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} )^{−1}( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{n} & … & B_{n}^{n} \end{matrix} )^{−1} = ˆ1

charakterisierte inverse Matrix. Siehe dazu auch Aufgabe E17.

Eine wichtige Kenngröße linearer Operatoren auf endlichdimensionalen komplexen Euklidischen Räumen ist ihre Determinante (vgl. (2.34) und Lemma A.3.2)

det(Â) =^{def} ∑_{π∈S_{n}} sign (π) ∏_{ν=1}^{n} A_{π(ν)}^{ν} ,

(7.31)

wobei S_{n} die Menge aller rückeindeutigen^{26} Abbildungen von {1, …, n} auf {1, …, n} bezeichnet^{27} und die sog. Signatur sign (π) von π ∈ S_{n} so definiert ist daß

∏_{ν,μ∈{1,...,n}_{ν<μ}} (x_{π(ν)} − x_{π(μ)}) = sign (π) ∏_{ν,μ∈{1,...,n}_{ν<μ}} (x_{ν} − x_{μ}) ∀ x_{1}, …, x_{n} ∈ ℝ

und somit^{28}

sign (π) =^{def} \{ \begin{matrix}+1 & falls π = Produkt einer geraden Zahl von Transpositionen , \\ −1 & falls π = Produkt einer ungeraden Zahl von Transpositionen \end{matrix}

(7.32)

gilt. In der Schreibweise

Â = (A_{1}, …, A_{n}) , A_{ν} = ( A_{ν}^{1} ; ⋮ ; A_{ν}^{n} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n})

gilt dafür offensichtlich

det (A_{π(1)}, …, A_{π(n)}) = sign (π) det (A_{1}, …, A_{n}) ∀ π ∈ S_{n} ,  (7.33)

woraus mit

det (A_{1} + λ B, A_{2}, …, A_{n})

= det (A_{1}, …, A_{n}) + λ det (B, A_{2}, …, A_{n}) ∀ λ ∈ ℂ , B ∈ ℂ^{n} (7.34)

auch

det (A_{1} + λ A_{μ}, A_{2}, …, A_{n}) = det (A_{1}, …, A_{n}) ∀ λ ∈ ℂ , μ ∈ {2, …, n} (7.35)

folgt.

Anmerkung: Mithilfe von (7.33) und (7.35) lassen sich die Determinanten von n×n-Matrizen auch für n > 3 leicht bestimmen.

Version vom 26. März 2009

26Rückeindeutige Abbildungen nennt man auch injektiv.

27Diese Abbildungen nennt man auch Permutationen.

28Als Transposition bezeichnet man eine Permutation π ∈ S_{n}, die genau zwei der Zahlen 1, …, n ändert (miteinander vertauscht).

7.3. LINEARE OPERATOREN 29 Außerdem gilt

det \binom{}{Â^{T}} = det(Â) ,  (7.36)

wobei Â^{T} die zu Â transponierten Matrix^{29}

( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{n}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{n} & … & A_{n}^{n} \end{matrix} )^{T} =^{def} ( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{1}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{n}^{1} & … & A_{n}^{n} \end{matrix} )

bezeichnet.

Verallgemeinerungen:

1. Für beliebige komplexe n × m-Matrizen definiert man

( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{m}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{n} & … & A_{m}^{n} \end{matrix} )^{T} =^{def} ( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{1}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{m}^{1} & … & A_{m}^{n} \end{matrix} )  (7.37)

und

( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{m}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{n} & … & A_{m}^{n} \end{matrix} )^{†} =^{def} ( \begin{matrix}(A_{1}^{1})^{∗} & … & (A_{1}^{n})^{∗} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (A_{m}^{1})^{∗} & … & (A_{m}^{n})^{∗} \end{matrix} ) .  (7.38)

2. Für beliebige komplexe j × m- und m × k-Matrizen Definiert man

\begin{matrix}( \begin{matrix}A_{1}^{1} & … & A_{m}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1}^{j} & … & A_{m}^{j} \end{matrix} ) & ( \begin{matrix}B_{1}^{1} & … & B_{k}^{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{1}^{m} & … & B_{k}^{m} \end{matrix} ) \\ =^{def} & ( \begin{matrix}∑_{μ=1}^{m} A_{μ}^{1} B_{1}^{μ} & … & ∑_{μ=1}^{m} A_{μ}^{1} B_{k}^{μ} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ∑_{μ=1}^{m} A_{μ}^{j} B_{1}^{μ} & … & ∑_{μ=1}^{m} A_{μ}^{j} B_{k}^{μ} \end{matrix} ) \end{matrix}  (7.39)

3. Aus

a = ( a^{1} ; ⋮ ; a^{n} ) , b = ( b^{1} ; ⋮ ; b^{n} ) bzgl. der ONB (e_{1}, …, e_{n})

folgt damit stets

⟨a | b⟩ = ( a^{1} ; ⋮ ; a^{n} )^{†} ( b^{1} ; ⋮ ; b^{n} ) = ∑_{ν=1}^{n} (a^{ν})^{∗} b^{ν}

und

|a⟩⟨b| = ( a^{1} ; ⋮ ; a^{n} ) ( b^{1} ; ⋮ ; b^{n} )^{†} = ( \begin{matrix}a^{1} (b^{1})^{∗} & … & a^{1} (b^{n})^{∗} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a^{n} (b^{1})^{∗} & … & a^{n} (b^{n})^{∗} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, …, e_{n}) .

Lemma 7.3.6 Version vom 26. März 2009

29Warnung: Welchem Operator die transponierte Matrix entspricht, hängt i.a. von der Basis ab, auf die sich die Matrix bezieht!

30 KAPITEL 7. ENDLICHDIMENSIONALE KOMPLEXE VEKTORRÄUME

Seien V ein komplexer Vektorraum und (b_{1}, …, b_{n}) eine Basis von V . Dann gilt bzgl. dieser Basis

det (Â B̂) = det(Â) det(B̂) .

für alle linearen Operatoren Â, B̂ auf V .

Beweisskizze:^{30}

det (Â B̂) = ∑_{π∈S_{n}} sign (π) ∏_{ν=1}^{n} ∑_{μ=1} A_{μ}^{ν}B_{π(ν)}^{μ}
= ∑_{π∈S_{n}} sign (π) ∑_{μ_{1},...,μ_{n}=1}^{n} ∏_{ν=1}^{n} A_{μ_{ν}}^{ν} B_{π(ν)}^{μ_{ν}}
= ∑_{π∈S_{n}} sign (π) ∑_{μ_{1},...,μ_{n}∈{1,...,n}_{μ_{j} ≠μ_{k} for j≠k}} ∏_{ν=1}^{n} A_{μ_{ν}}^{ν} B_{π(ν)}^{μ_{ν}}
= ∑_{π∈S_{n}} sign (π) ∑_{π_{1}∈S_{n}} ∏_{ν=1}^{n} A_{π_{1}(ν)}^{ν}B_{π(ν)}^{π_{1}(ν)}
= ∑_{π,π_{1}∈S_{n}} sign (π) ∏_{ν=1}^{n} A_{π_{1}(ν)}^{ν} ∏_{μ=1}^{n} B_{π(μ)}^{π_{1}(μ)}
= ∑_{π,π_{1}∈S_{n}} \underbrace{sign (π ∘ π_{1})}_{=sign (π) sign (π_{1})} ∏_{ν=1}^{n} A_{π_{1}(ν)}^{ν} \underbrace{∏_{μ=1}^{n} B_{π(π_{1}(μ))}^{π_{1}(μ)}}_{=∏_{μ=1}^{n} B_{π(μ)}^{μ}}
= ( ∑_{π_{1}∈S_{n}} sign (π_{1}) ∏_{ν=1}^{n} A_{π_{1}(ν)}^{ν}) ( ∑_{π∈S_{n}} sign (π) ∏_{μ=1}^{n} B_{π(μ)}^{μ})
= det \binom{}{Â} det \binom{}{B̂} .

Anmerkung: Für invertierbares Â folgt aus Lemma 7.3.6

det \binom{}{Â^{−1}} = 1/ det(Â) ,

insbesondere für Â = ˆ1 also

det(ˆ1) = 1 .

Version vom 26. März 2009

30Üblicherweise bezeichnet man mit f ∘ g die Komposition der Abbildungen f und g :

(f ∘ g) (x) =^{def} f(g(x)) .

Folgerung 7.3.7 Die Definition (7.31) hängt nicht von der Wahl der Basis ab.

Beweisskizze: Nach Lemma 7.3.5 stimmt die Matrix von Â bzgl. (b′_{1}, …, b′_{n}) mit der Matrix von B̂^{−1} Â B̂ bzgl. {b_{1}, …, b_{n}} überein, wobei B̂ den durch

B̂ b_{ν} = b′_{ν} ∀ ν ∈ {1, …, n}

charakterisierten linearen Operator auf V bezeichnet. Der Wert der Determinante von Â bzgl. (b′_{1}, …, b′_{n}) stimmt also mit dem Wert der Determinante von B̂^{−1} Â B̂ bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) überein. Die Behauptung folgt damit gemäß

det (B̂^{−1} Â B̂) =_{Lemma 7.3.6} det \binom{}{B̂^{−1}} det (Â B̂)
=  det \binom{}{B̂^{−1}} det \binom{}{Â} det \binom{}{B̂}
=_{Lemma 7.3.6} det (B̂^{−1} B̂) det \binom{}{Â}
=  det \binom{}{ˆ1} det \binom{}{Â}
=  det \binom{}{Â} .

Lemma 7.3.8 Seien V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum und Â ein linearer Operator auf V . Dann gilt:

Â invertierbar ⟺ det Â ≠ 0 .

Beweisskizze: Falls Â invertierbar ist, folgt aus

1 = det(ˆ1) = det (Â^{−1} Â) =_{Lemma 7.3.6} det \binom{}{Â^{−1}} det \binom{}{Â}

unmittelbar det \binom{}{Â} ≠ 0 . Falls Â nicht invertierbar ist, existiert ein z ∈ V mit

0 = Â z = ∑_{ν=1}^{n} z^{ν} ( A_{ν}^{1} ; ⋮ ; A_{ν}^{n} ) .

Die Spalten-Vektoren der Matrix von Â sind also linear abhängig. Mit (7.33) und (7.35) folgt daraus, daß die Determinante verschwindet.

Anmerkung: det(A_{1}, …, A_{n}) ist also genau dann von Null verschieden, wenn die A_{1}, …, A_{n} linear unabhängig sind.

7.3.3 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren

Definition 7.3.9 Seien V ein komplexer Vektorraum mit Euklidischer Norm ∥.∥ und Â ein linearer Operator \underline{auf} V . Dann nennt man Â isometrisch, falls

∥Â z∥ = ∥z∥ ∀ z ∈ V

gilt. Falls zusätzlich^{31}

RÂ =^{def} Â V = V

gilt, nennt man Â unitär.

Folgerung 7.3.10 Seien V ein (nicht notwendig endlichdimensionaler) Euklidischer komplexer Vektorraum und Â ein linearer Operator auf V . Dann sind folgende drei Aussagen äquivalent:

1. Â ist isometrisch.

2. Es gilt

⟨Â z_{1} | Â z_{2}⟩ = ⟨z_{1} | z_{2}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V .

3. Für jedes (nicht notwendige endliche) Orthonormalsystem {e_{1}, e_{2}, …} von V ist auch {Â e_{1}, Â e_{2}, …} ein Orthonormalsystem von V .

Beweis: Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus der Polarisationsidentität (7.22).

Definition 7.3.11 Sei V ein komplexer Vektorraum mit innerem Produkt ⟨. | .⟩ und Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}}. Sei weiterhin Â ein linearer Operator auf V . Dann bezeichnet man den durch

Â^{†} z =^{def} ∑_{ν=1}^{n} ⟨Â e_{ν} | z⟩ e_{ν} ∀ z ∈ V

charakterisierten linearen Operator Â^{†} als den zu Â adjungierten Operator. Im Falle Â = Â^{†} nennt man Â selbstadjungiert.

Version vom 26. März 2009

31Wir benutzen die übliche Schreibweise

Â M =^{def} {Â z : z ∈ M}

für Operatoren Â auf und Teilmengen M von V .

Folgerung 7.3.12 Unter den Voraussetzungen von Definition 7.3.11 ist der adjungierte Operator der einzige Operator Â^{†}, für den

⟨z_{1} | Â z_{2}⟩ = ⟨Â^{†} z_{1} | z_{2}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V

gilt, also von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis unabhängig.

Anmerkung: Gemäß den Folgerungen 7.3.10 (2. Aussage) und 7.3.12 gilt

Â isometrisch ⟺ Â^{†}Â = ˆ1 .

Lemma 7.3.13 Seien V ein endlichdimensionaler^{32} komplexer Vektorraum und Û ein linearer Operator auf V . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Û ist unitär.

2. Für jede diskrete Teilmenge {e_{1}, e_{2}, …} von V gilt

{e_{1}, e_{2}, …} maximales Orthonormalsystem von V
⟹ {Ûe_{1}, Ûe_{2}, …} maximales Orthonormalsystem von V .

3. Es gilt

Û Û^{†} = Û^{†} Û = ˆ1 .

Beweisskizze: Sei Û unitär und sei {e_{1}, e_{2}, …} ein Orthonormalsystem von V . Nach Folgerung 7.3.10 ist dann auch {Û e_{1}, Û e_{2}, …} ein Orthonormalsystem von V . Da

voraussetzungsgemäß RÛ = V gilt, muß auch {Û e_{1}, Û e_{2}, …} maximal sein, wenn {e_{1}, e_{2}, …} maximal ist.^{33} Damit ist ”1. ⟹ 2.“ bewiesen.

Version vom 26. März 2009

32Das Lemma ist so formuliert, daß es auch für separable Hilbert-Räume gilt (siehe Kapitel 8). 33Während das für endlichdimensionales V evident ist, läßt sich für unendlichdimensionales V

wie folgt argumentieren: Wäre {Û e_{1}, Û e_{2}, …} nicht maximal, gäbe es ein z′ ∈ V mit

∥z′∥ = 1 z′ ⊥ Û e_{ν} ∀ ν

Wegen RÛ = V würde dazu ein z ∈ V existieren mit Û z = z′ und somit, gemäß Folgerung 7.3.10,

∥z∥ = 1 z ⊥ e_{ν} ∀ ν ,

Dann wäre {e_{1}, e_{2}, …} aber nicht maximal.

Wenn Û maximale Orthonormalsysteme von V wieder auf solche abbildet, dann existiert Û^{−1} und dafür gilt

⟨Û^{−1} \underbrace{e′_{ν}}_{=^{def}Û e_{ν}} | e_{μ}⟩ = ⟨e_{ν} | e_{μ}⟩

= δ_{νμ}
= ⟨Û e_{ν} | Û e_{μ}⟩
= ⟨e′_{ν} | Û e_{μ}⟩ ∀ ν, μ ,

wenn {e_{1}, e_{2}, …} und damit auch {e′_{1}, e′_{2}, …} ein maximales Orthonormalsystem von V ist. Daraus folgt

⟨Û^{−1} z_{1} | z_{2}⟩ = ⟨z_{1} | Û z_{2}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V

und somit, gemäß Lemma 7.3.12, Û^{†} = Û^{−1} , also Û Û^{†} = Û^{†} Û = ˆ1 . Damit ist auch ”2. ⟹ 3.“ bewiesen.

Wenn Û Û^{†} = Û^{†} Û = ˆ1 und somit Û^{†} = Û^{−1} gilt, dann folgt daraus

⟨Û z_{1} | Û z_{2}⟩ = ⟨z_{1} | Û^{†} Û z_{2}⟩
= ⟨z_{1} | Û^{−1} Û z_{2}⟩
= ⟨z_{1} | z_{2}⟩ z_{1}, z_{2} ∈ V

und somit die Isometrie von Û . Da Û^{−1} auf ganz V definiert ist, gilt auch RÛ = V . Û ist also unitär. Damit ist schließlich auch ”3. ⟹ 1.“ gezeigt und die Beweiskette geschlossen.

Anmerkungen:

1. Für isometrische Operatoren Â auf endlichdimensionalen euklischen Räumen gilt stets RÂ = V, sie sind also stets auch unitär.

2. Für isometrische Operatoren Â auf unendlichdimensionalen euklischen Räumen gilt RÂ = V jedoch nicht immer, wie etwa das Beispiel^{34}

Â e_{ν} =^{def} e_{ν+1} ∀ ν ∈ ℕ

mit einem maximalen Orthonormalsystem {e_{ν} : ν ∈ ℕ} zeigt.

Die einfachsten selbstadjungierten Operatoren sind Orthogonalprojektoren, wie z.B. P̂_{R} , P̂_{L} , P̂_{V} und P̂_{H} aus 7.2.3.

Version vom 26. März 2009

34Die Definition für Â ist natürlich linear und stetig fortzusetzen.

Definition 7.3.14 Sei ein en V ein endlichdimensionaler^{35} Euklidischer komplexer Vektorraum und P̂ ein linearer Operator auf V . Dann nennt man P̂ einen (Orthogonal-) Projektionsoperator (kurz: Projektor), wenn^{36}

P̂^{2} = P̂ = P̂^{†}

gilt.

Folgerung 7.3.15 Seien V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum und P̂ ein linearer Operator auf V . Dann ist P̂ genau dann ein Projektor, wenn ein Teilraum T von V existiert mit

P̂ z = \{ \begin{matrix}z & für z ∈ T , \\ 0 & für z ⊥ T . \end{matrix}  (7.40)

Wenn P̂ ein Projektor ist, dann stimmt der Teilraum T von (7.40) mit P̂ V überein und für jede Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{m}} von P̂ V gilt:

P̂ z = ∑_{μ=1}^{m} ⟨e_{μ} | z⟩ e_{μ} ∀ z ∈ V .  (7.41)

Beweisskizze: Sei P̂ ein Projektor. Dann folgt (7.40) für z ∈ T = P̂ V aus P̂^{2} = P̂ und für z ⊥ T = P̂ V aus

⟨z′ | P̂ z⟩ =_{P̂=P̂^{†}} ⟨P̂ z′ | z⟩ = 0 ∀ z′ ∈ V .

Umgekehrt, falls (7.40) gilt, dann folgt daraus^{37} T = P̂ V und (7.41). Aus letzterem folgt aber P̂^{2} = P̂ = P̂^{†}.

Anmerkung: Nach Folgerung 7.3.15 existiert eine eineindeutige Zuordnung zwischen Projektoren P̂ und Teilräumen T . Dementsprechend bezeichnet man mit P̂_{T} jeweils den Projektor mit P̂ V = T . Im Falle T = {λ z : λ ∈ C} schreibt man dafür auch kürzer P̂_{z} . Damit gilt

P̂_{z} z′ = ⟨\frac{z}{∥z∥}|z′⟩ \frac{z}{∥z∥} ∀ z, z′ ∈ V \ \{0\} ,

was man — im Sinne der Anmerkung zu Gleichung (7.8) — auch formal durch

P̂_{z} = |\frac{z}{∥z∥}⟩ ⟨\frac{z}{∥z∥}|

mitteilt.

Version vom 26. März 2009

35Definition 7.3.14 gilt mit Definition 8.3.7 auch für Hilbert-Räume; siehe Definition 8.3.13. 36Man sieht leicht: P̂^{2} = P̂ = P̂^{†} ⟺ P̂^{†}P̂ = P̂. 37Man ergänze {e_{1}, …, e_{m}} zu einer Orthonormalbasis von V (falls T ≠ V).

Reelle Linearkombinationen von Projektoren auf einem endlichdimensionalen Euklidischen komplexen Raum sind offensichtlich ebenfalls selbstadjungiert. Wir werden sehen, daß damit bereits alle selbstadjungierten Operatoren auf solchen Räumen erfaßt sind.

7.3.4 Eigenvektoren und Eigenwerte

Definition 7.3.16 Seien V ein komplexer Vektorraum und Â ein linearer Operator auf V . Dann versteht man unter einem Eigenvektor von Â einen Vektor z ∈ V mit

Â z ∝ z ≠ 0 .

Unter einem Eigenwert von Â versteht man eine komplexe Zahl E, für die Â−E ˆ1 nicht invertierbar ist.

Lemma 7.3.17 Seien V ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum, Â ein linearer Operator auf V und E ∈ ℂ. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. E ist ein Eigenwert von Â.

2. det (Â − E ˆ1) = 0 .

3. Es existiert^{38} ein Eigenvektor z_{E} von Â mit Â z_{E} = E z_{E} .

Beweis: Siehe Lemma 7.3.3 resp. Lemma 7.3.8.

\underline{Beispiel Â = τ̂^{2} :} Hier gilt

det (Â − E ˆ1) =_{bzgl. \{e_{3},e_{1}\}} det ( \begin{matrix}−E & −i \\ +i & −E \end{matrix} ) = E^{2} − 1 .

Die Menge der Eigenwerte besteht also aus allen reellen Zahlen E mit E^{2} = 1 ; d.h. die Eigenwerte von τ̂^{2} sind +1 und −1 . Die zugehörigen Eigenräume werden offensichtlich von den Jones-Vektoren für rechtsund linkszirkulares Licht aufgespannt:

τ̂^{2} J_{R} = +J_{R} , τ̂^{2} J_{L} = −J_{L} .

Dementsprechend gilt

τ̂^{2} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix} ) = P̂_{R} − P̂_{L}  (7.42)

Version vom 26. März 2009

38Es können durchaus mehrere Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert existieren.

(vgl. Tabelle 7.1) und somit

τ̂^{2} P̂_{R} = +P̂_{R} , τ̂^{2} P̂_{L} = −P̂_{L} .

Daraus ergibt sich für D̂(α) = e^{−i α τ̂^{2}} die Zerlegung

D̂(α) = e^{−iα}P̂_{R} + e^{+iα}P̂_{L} ,

also

D̂(α) ˆ= ( \begin{matrix}e^{−i α} & 0 \\ 0 & e^{+i α} \end{matrix} ) bzgl. \{J_{R}, J_{L}\} ,

und damit die physikalisch gut interpretierbare Wirkungsweise

D̂(α) J_{R} = e^{−i α} J_{R} , D̂(α) J_{L} = e^{+i α} J_{L} .  (7.43)

Lemma 7.3.18 (Schur-Zerlegung) Seien V ein n-dimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum und Â ein linearer Operator auf V . Dann eine Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V mit

ν > μ ⟹ ⟨e_{ν} | Â e_{μ}⟩ = 0 ∀ ν, μ ∈ {1, …, n} .  (7.44)

Beweisskizze: Für n = 1 ist die Aussage des Lemmas trivial.

Sei nun n > 1 und das Lemma bereits für n − 1 anstelle von n bereits bewiesen. Dann können wir jeden normierten Vektor e_{1} ∈ V so zu einem Orthonormalsystem {e_{1}, …, e_{n}} von V ergänzen, daß

ν > μ ⟹ ⟨e_{ν} | Â e_{μ}⟩ = 0 ∀ ν, μ ∈ {2, …, n}

gilt.^{39} Wir müssen also nur noch zeigen, daß Â mindestens einen (normierten) Eigenvektor e_{1} besitzt:

det (Â − E ˆ1) ist ein Polynom n-ten Grades in E. Gemäß Fundamentalsatz der Algebra (siehe Folgerung 4.5.18) gilt deshalb

det (Â − E ˆ1) ∝ ∏_{ν=1}^{n} (E − E_{ν})

für geeignete E_{1}, …, E_{n} ∈ ℂ. Diese E_{ν} (von denen u.U. einige gleich sein können) sind gemäß Lemma 7.3.17 Eigenwerte von Â. Zu jedem Eigenwert von A gehört aber definitionsgemäß mindestens ein Eigenvektor.

Version vom 26. März 2009

39Man wende das Lemma einfach auf

Â′ = P̂_{V_{⊥}} Â/^{\}V_{⊥} , V_{⊥} = {z ∈ V : z ⊥ e_{1}} ,

an.

Anmerkungen:

1. Gemäß (7.44) hat die Matrix von Â bzgl. (e_{1}, …, e_{n}) obere Dreiecksform, d.h. die Elemente links unterhalb der Diagonalen sind alle Null.

2. e_{1} ist dementsprechend ein Eigenvektor von Â zum Eigenwert A_{1}^{1} .

Folgerung 7.3.19 (Spektralsatz für endlichdimensionale Räume) Seien V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Euklidischer Vektorraum und Â ein normaler Operator auf V , d.h. es gelte Â^{†}Â = Â Â^{†}. Dann existieren eine Orthonormalbasis^{40} {a_{1}, …, a_{n}} von V und Eigenwerte E_{1}, …, E_{n} ∈ ℂ mit

Â ˆ= ( \begin{matrix}E_{1} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & E_{2} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & E_{3} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & E_{n} \end{matrix} ) bzgl. (a_{1}, …, a_{n}) .  (7.45)

Die E_{ν} sind reell (resp. haben den Betrag 1), wenn Â selbstadjungiert (resp. unitär) ist.

Beweisskizze: Nach Lemma 7.3.18 genügen die Matrix-Elemente A_{μ}^{ν} = ⟨a_{ν} | Â a_{μ}⟩ von Â bzgl. einer geeigneten Orthonormalbasis {a_{1}, …, a_{n}} von V der Bedingung

ν > μ ⟹ A_{μ}^{ν} = 0 ∀ ν, μ ∈ {1, …, n} .  (7.46)

Da Â normal ist, folgt daraus

∑_{λ∈{1,...,n′}_{λ≥ν,μ}} A_{λ}^{ν} (A_{λ}^{μ})^{∗} = ∑_{λ∈{1,...,n′}_{λ≤ν,μ}} (A_{ν}^{λ})^{∗} A_{μ}^{λ} ∀ ν, μ ∈ {1, …, n′}  (7.47)

für n = n′. Speziell für ν = μ = n bedeutet das

|A_{n}^{n}|^{2} = ∑_{λ∈{1,...,n}_{λ≤n}} |A_{n}^{λ}|^{2}

und somit

A_{n}^{λ} = 0 ∀ λ < n .

Aus (7.47) für n′ = n folgt damit (7.47) für n′ = n − 1 und durch Iteration dieser Argumentation

ν < μ ⟹ A_{μ}^{ν} = 0 ∀ ν, μ ∈ {1, …, n} .

Version vom 26. März 2009

40Die Menge der zugehörigen 1-dimensionalen Teilräume {z a_{ν} : z ∈ ℂ} ist natürlich nur dann eindeutig, wenn alle Eigenwerte E_{ν} voneinander verschieden sind. Für n = 2 lassen sich a_{1} und a_{2} entsprechend Aufgabe E20 leicht bestimmen.

Zusammen mit (7.46) und

E_{ν} =^{def} ⟨a_{ν} | Â a_{ν}⟩ ∀ ν ∈ {1, …, n}

folgt daraus (7.45).

Anmerkung:

1. Die selbstadjungierten Operatoren Â auf V sind natürlich schon aufgrund ihrer Definition alle normal.

2. Daß auch die unitären Operatoren Â auf V alle normal sind, folgt aus der dritten Behauptung von Lemma 7.3.13.

3. Man sieht auch sofort, daß ein Operator Â auf V normal ist, wenn eine Orthonormalbasis {a_{1}, …, a_{n}} von V existiert, bezüglich derer er die Diagonalform (7.45) mit geeigneten E_{1}, …, E_{n} ∈ ℂ annimmt.

4. Die den Pauli-Matrizen als Jones-Matrizen entsprechenden Operatoren sind selbstadjungiert und zu sich selbst invers. Solche Operatoren auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind nach Lemma 7.3.13 stets unitär und als Wert ihrer Determinante resp. Eigenwerte kommen gemäß Spektralsatz resp. 7.3.19 nur +1 und −1 in Frage.

5. (7.45) ist äquivalent zu

Â = ∑_{ν=1}^{n} E_{ν} P̂_{a_{ν}} .

6. (7.45) erlaubt die Definition von f(Â) für beliebige komplexwertige Funktionen f über ℂ :

f(Â) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} f (E_{ν}) P̂_{a_{ν}} .

7. Dafür gilt

f(x) = ∑_{μ=0}^{∞} \frac{1}{ν!} f^{(ν)}(0) x^{ν} ∀ x ∈ ℝ ⟹ f(Â) = ∑_{μ=0}^{∞} \frac{1}{ν!} f^{(ν)}(0) Â^{ν} .

8. Nicht jeder lineare Operator Â auf einem n-dimensionalen komplexen Vektorraum besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren (siehe Aufgabe E15).

Lemma 7.3.20 Sei V ein endlichdimensionaler komplexer Euklidischer Vektorraum. Dann erlaubt jeder lineare Operator Â auf V eine Polarzerlegung ^{41}

Â = \underbrace{Û}_{unitär} \underbrace{B̂}_{≥0} .

Dabei ist B̂ = ^{+} \sqrt{Â^{†} Â}. Falls Â invertierbar ist, ist auch Û eindeutig.

Beweisskizze: Weil

∥Â z∥^{2} = ⟨Â z | Â z⟩
= ⟨z | Â^{†} Â z⟩
= ⟨z | ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} z⟩
= ⟨ ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} z | ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} z⟩
= ∥ ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} z∥^{2}

für alle z ∈ V gilt, ist

ˆÛ ( ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} z) =^{def} Â z ∀ z ∈ V

eine konsistente Definition für eine lineare Abbildung ˆ Û des Teilraumes T = ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} V auf Â V . Da ˆ Û die Norm nicht ändert, gilt dim(T) = dim(Â V) und somit — da V endlichdimensional ist — dim(V ⊖ T) = dim(V ⊖ Â V) , wobei

V ⊖ T′ =^{def} {z ∈ V : z ⊥ T′} ∀ T′ ⊂ V .  (7.48)

Deshalb existieren lineare Abbildungen Ŵ von V ⊖ T auf V ⊖ ÂV , die die Norm nicht ändern und für jede solche Abbildung ergibt sich mit den Definitionen

B̂ =^{def} ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} , Û =^{def} ˆ ÛP̂_{T} + Ŵ P̂_{V ⊖T}

eine Polarzerlegung von Â, denn

z ∈ V ⊖ T ⟹ ⟨ ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} z | z′⟩ = 0 ∀ z′ ∈ V
⟹ ^{+} \sqrt{Â^{†} Â} z = 0
⟹_{s.o.} Â z = 0 .

Für jede Polarzerlegung gilt

Â^{†}Â = B̂^{†}Û^{†}ÛB̂ = B̂^{2}

und somit B̂ = ^{+} \sqrt{Â^{†} Â}. Falls Â und somit auch ( ^{+} \sqrt{Â^{†} Â}) invertierbar ist, folgt

daraus Û = Â ( ^{+} \sqrt{Â^{†} Â})^{−1} .

Version vom 26. März 2009

41B̂ ≥ 0 meint, daß B̂ ein selbstadjungierter Operator auf V ist, der nur nichtnegative Eigenwerte hat. Üblicherweise benutzt man in der Polarzerlegung den i.a. nur partiell isometrischen, dafür aber eindeutigen, Operator ˆ ÛP̂_{T} anstelle des unitären Operators Û . Daß die Polarzerlegung mit unitärem Û funktioniert, ist nämlich nur für endlichdimensionales V garantiert.

Lemma 7.3.21 Seien V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum, Â ein normaler Operator auf V und e ein Eigenvektor von Â zum Eigenwert E ∈ ℂ. Dann ist e Eigenvektor von Â^{†} zum Eigenwert E^{∗}.

Beweis: Die Behauptung folgt fast unmittelbar aus dem Spektralsatz.

Lemma 7.3.22 Seien V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum und Â, B̂ normale Operatoren auf V . Dann existiert genau dann eine Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V mit

Â e_{ν} ∝ e_{ν} , B̂ e_{ν} ∝ e_{ν} ∀ ν ∈ {1, …, n}

(gemeinsame Diagonalisierbarkeit von Â und B̂), wenn Â und B̂ miteinander vertauschen, d.h. wenn Â B̂ = B̂ Â.

Beweisskizze: Sei {Ě_{1}, …, Ě_{m}} die Menge der Eigenwerte von Â und seien T_{1}, …, T_{m} die zugehörigen Eigenräume. Im Falle Â B̂ = B̂Â gilt dann

\begin{aligned}z ∈ T_{μ} & ⟹ & Â (B̂ z) = B̂ (Â z) = B̂ (Ě_{μ} z) = Ě_{μ} B̂ z \\ & ⟹ & B̂ z ∈ T_{μ} . \end{aligned}

Gemäß Lemma 7.3.21 folgt mit Â^{†} statt Â wegen

Â B̂ = B̂ Â ⟹ Â^{†} B̂^{†} = B̂^{†} Â^{†} .

analog

z ∈ T_{μ} ⟹ B̂^{†} z ∈ T_{μ}

Folglich ist die Einschränkung von B̂ auf T_{μ} auch jeweils normal und besitzt eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren. Da die Eigenräume zueinander orthogonal sind, folgt daraus die Existenz einer Orthonormalbasis, deren Elemente Eigenvektoren sowohl von Â als auch von B̂ sind. Daß umgekehrt aus letzterem die Vertauschbarkeit von Â und B̂ folgt, ist offensichtlich.

Anmerkung: Unter den Voraussetzungen von Lemma 7.3.22 gilt^{42}

Â B̂ = B̂ Â ⟹ f(Â) g(B̂) = g(B̂) f(Â)

für alle komplexwertigen Funktionen f und g über ℂ.

Gemäß Anmerkung 1 zu Lemma 7.3.13 ist der einer polarisationsoptischen Komponenten im Sinne von 7.2.2 entsprechende Operator Â stets unitär, wenn sich die

Version vom 26. März 2009

42Bzgl. der Definition von f(Â) und g(B̂) siehe Anmerkungen 6 und 7 zum Spektralsatz.

Intensität von Lichtstrahlen durch diese Komponente nicht ändert. Insbesondere sind also die Operatoren D̂(α) und Ŝ_{φ} aus 7.2.3 unitär. Die Familien {D̂(α)}_{|_{α∈ℝ}}

und \left\{{ \atop Ŝ_{φ}}\right\}_{|_{φ∈ℝ}} sind Beispiele für stetige 1-parametrige Gruppen unitärer Operatoren:

Definition 7.3.23 Sei V ein Euklidischer komplexer Vektorraum. Dann bezeichnet man eine Familie {Û(t)}_{|_{t∈ℝ}} von Operatoren auf V als stetige 1-parametrige Gruppe unitärer Operatoren, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: 1.) Û(t) unitär ∀ t ∈ ℝ.

2.) Û(t_{1} + t_{2}) = Û(t_{1}) Û(t_{2}) ∀ t_{1}, t_{2} ∈ ℝ.

3.) ⟨z_{1} | Û(t) z_{2}⟩ stetig in t (an der Stelle t = 0) ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V .

Stetige 1-parametrige Gruppen unitärer Operatoren sind eineindeutig selbstadjungierten Operatoren zugeordnet:

Lemma 7.3.24 (Satz von Stone für endlichdimensionale Räume) Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum. Dann ist eine Familie {Û(t)}_{|_{t∈ℝ}} von Operatoren auf V genau dann eine stetige 1-parametrige Gruppe unitärer Operatoren auf V , wenn sie einen selbstadjungierten Generator besitzt, d.h. einen selbstadjungierter Operator Â mit

Û(t) = e^{−i Â t} ∀ t ∈ ℝ .  (7.49)

Ein solcher Generator ist, falls er existiert, durch die Bedingung

⟨z_{1} | Â z_{2}⟩ = i (\frac{d}{dt} ⟨z_{1} | Û(t) z_{2}⟩)_{|_{t=0}} ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V  (7.50)

eindeutig festgelegt.

Beweisskizze: Sei {Û(t)}_{|_{t∈ℝ}} eine stetige 1-parametrige Gruppe unitärer Operatoren auf V . Dann folgt aus der zweiten Bedingung von Definition 7.3.23

Û(t_{1}) Û(t_{2}) = Û(t_{2}) Û(t_{1}) ∀ t_{1}, t_{2} ∈ ℝ , und mithilfe der Beweistechnik zu Lemma 7.3.22 erkennt man daraus leicht, daß eine Orthonormalbasis existiert, bzgl. der alle Û(t) diagonal, aufgrund ihrer Unitarität also von der Form

Û(t) = ( \begin{matrix}e^{iφ_{1}(t)} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & e^{iφ_{2}(t)} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & e^{iφ_{3}(t)} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & e^{iφ_{n}(t)} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, …, e_{n})

mit reell-wertigen φ_{ν}(t) sind. Aufgrund der zweiten Bedingung in Definition 7.3.23 gilt dabei

φ_{ν}(t_{1} + t_{2}) = φ_{ν}(t_{1}) + φ_{ν}(t_{2}) mod 2π ∀ t_{1}, t_{2} ∈ ℝ , ν ∈ {1, …, n} .

Deshalb und dank der dritten Bedingung in Definition 7.3.23 existieren φ_{1}, …, φ_{n} ∈ ℝ mit

φ_{ν}(t) = φ_{ν} t mod 2π ∀ t ∈ ℝ , ν ∈ {1, …, n} .

Damit gilt also

Û(t) = ( \begin{matrix}e^{iφ_{1}t} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & e^{iφ_{2}t} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & e^{iφ_{3}t} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & e^{iφ_{n}t} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, …, e_{n}) ,

d.h. (7.49) mit

Â = ( \begin{matrix}−φ_{1} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & −φ_{2} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & −φ_{3} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & −φ_{n} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, …, e_{n}) .

Umgekehrt folgt aus (7.49) mithilfe des Spektralsatzes fast unmittelbar, daß die Û(t) eine stetige 1-parametrige Gruppe unitärer Operatoren auf V bilden.

\underline{Beispiel D̂(α):} Der Generator der 1-parametrigen Gruppe \{D̂(α) = e^{−iατ̂^{2}}\}_{|_{α∈ℝ}} aus

7.2.3 ist offensichtlich τ̂^{2} . Sein Erwartungswert

E_{J}(τ̂^{2}) =^{def} ⟨J | τ̂^{2} J⟩

in dem durch den Jones-Vektor J charakterisierten Polarisationszustand hat folgende Interpretation:

|E_{J}(τ̂^{2})| = \frac{2 \sqrt{1 − ϵ^{2}}}{2 − ϵ^{2}} , ϵ =^{def} Exzentrizität der Polarisationsellipse ,

E_{J}(τ̂^{2}) > 0 ⟹ rechtshändige (elliptische) Polarisation ,

E_{J}(τ̂^{2}) < 0 ⟹ linkshändige (elliptische) Polarisation

(vgl. Aufgabe E7). Kontinuierliche Zustandstransformationen dieser Art, i.a. allerdings mit komplizierteren Generatoren (z.B. Hamilton-Operatoren), sind besonders typisch für die allgemeine Quantentheorie.

7.4 Multilineare Funktionale (komplexe Tensoren)

7.4.1 Lineare Funktionale

Für jeden Vektor z_{0} eines Euklidischen komplexen Raumes definiert

L(z) =^{def} ⟨z_{0} | z⟩ ∀ z ∈ V  (7.51)

ein lineares Funktional ^{43} L auf V :

Definition 7.4.1 Sei V ein komplexer Vektorraum. Als lineares Funktional auf V bezeichnet man dann eine Abbildung L von V in ℂ, die der Bedingung

L(λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2}) = λ_{1} L(z_{1}) + λ_{2} L(z_{2})

für alle z_{1}, z_{2} ∈ V und alle λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ genügt.

Lemma 7.4.2 (Satz von Riesz für endlichdimensionale Räume) Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum. Dann sind alle linearen Funktionale L auf V vom Typ (7.51).

Beweisskizze: Man wähle eine Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V und beachte, daß

L(z) =_{(7.8)} L(∑_{ν=1}^{n} ⟨e_{ν} | z⟩ e_{ν})
= ∑_{ν=1}^{n} ⟨e_{ν} | z⟩ L(e_{ν})
= ⟨\underbrace{∑_{ν=1}^{n}(L(e_{ν}))^{∗} e_{ν}}_{=z_{0}} |z⟩ .

Für jeden komplexen Vektorraum V hat die Menge

L(V, V) =^{def} {lineare Operatoren Â auf V )

eine natürliche Vektorraumstruktur, die durch die üblichen Addition und Multiplikation mit komplexen Zahlen gegeben ist. Ein wichtiges lineares Funktional auf L(V, V) ist jeweils die Spur:

Version vom 26. März 2009

43Für diese Funktional wird im Sinne der Anmerkung zu Gleichung (7.8) oft auch ⟨z_{0}| statt L (gleichzeitig mit |z⟩ statt z .) geschrieben (Diracsche bra-ket-Schreibweise).

Definition 7.4.3 Seinen V ein Euklidischer komplexer Vektorraum, {e_{1}, …, e_{n}} eine Orthonormalbasis von V und Â ein linearer Operator auf V . Dann bezeichnet man

Spur (Â) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} ⟨e_{ν} | Â e_{ν}⟩

als die Spur von Â.

Lemma 7.4.4 Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum. Dann ist die Definition der Spur auf L(V, V) unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis für V und stellt ein lineares Funktional auf L(V, V) dar, das außerdem positiv ist, d.h. der Bedingung

Spur (Â^{†}Â) ≥ 0 ∀ Â ∈ L(V, V)

genügt. Dabei gilt sogar

Spur (Â^{†}Â) = 0 ⟹ Â = 0

für alle Â ∈ L(V, V) .

Beweisskizze: Seien {e_{1}, …, e_{n}} und {e′_{1}, …, e′_{n}} Orthonormalbasen von V . Dann gilt für alle Â ∈ L(V, V)

∑_{ν=1}^{n} ⟨e′_{ν} | Â e′_{ν}⟩ = ∑_{ν,μ,ρ=1}^{n} ⟨e′_{ν} | e_{μ}⟩ ⟨e_{μ} | Â e_{ρ}⟩ ⟨e_{ρ} | e′_{ν}⟩
= ∑_{ν,μ,ρ=1}^{n} \underbrace{⟨e_{ρ} | e′_{ν}⟩ ⟨e′_{ν} | e_{μ}⟩}_{=⟨e_{ρ}|e_{μ}⟩=δ_{ρμ}} ⟨e_{μ} | Â e_{ρ}⟩

= ∑_{μ=1}^{n} ⟨e_{μ} | Â e_{μ}⟩

und somit die Unabhängigkeit der Spur von der Wahl der Orthonormalbasis. Der Rest folgt aus

\begin{aligned}Spur (Â^{†}Â) & = & ∑_{μ=1}^{n} ⟨e_{μ} | Â^{†}Â e_{μ}⟩ \\ & = & ∑_{μ=1}^{n} ∥Â e_{μ}∥^{2} . \end{aligned}

Folgerung 7.4.5 Sei V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum. Dann ist durch

⟨Â | B̂⟩ =^{def} Spur (Â^{†}B̂) ∀ Â, B̂ ∈ L(V, V)  (7.52)

ein inneres Produkt auf L(V, V) gegeben und zu jedem linearen Funktional L auf L(V, V) existiert ein Operator ρ̂ auf V mit L = ωρ̂, wobei

ωρ̂(Â) =^{def} Spur (ρ̂Â) ∀ Â ∈ L(V, V) .  (7.53)

Beweisskizze: Die (7.4) entsprechende Bedingung folgt unmittelbar aus Lemma 7.4.4. Die (7.5) entsprechende Bedingung folgt gemäß

⟨B̂ | Â⟩ = Spur (B̂^{†} Â)
= ∑_{ν=1}^{n} ⟨e_{ν} | B̂^{†}Â e_{ν}⟩
= ∑_{ν=1}^{n} (⟨B̂^{†}Â e_{ν} | e_{ν}⟩)^{∗}
= ∑_{ν=1}^{n} (⟨Â e_{ν} | B̂ e_{ν}⟩)^{∗}
= (Spur (Â^{†} B̂))^{∗}
= (⟨Â | B̂⟩)^{∗} .

Daß die (7.6) entsprechende Bedingung erfüllt ist, ist offensichtlich. Also definiert (7.52) tatsächlich ein inneres Produkt ⟨. | .⟩ auf L(V, V) . Aus Lemma 7.4.2 folgt damit, daß lineare Funktionale auf L(V, V) von Typ (7.53) sind.

Anmerkungen:

1. Für jedes z ∈ V \ {0} gilt

ωP̂_{z}(Â) = ⟨\frac{z}{∥z∥}|Â \frac{z}{∥z∥}⟩ ∀ Â ∈ L(V, V) .

Dementsprechend ist ωP̂_{z} positiv und normiert:

ωP̂_{z}(ˆ1) = 1 .

2. Mithilfe des Spektralsatzes zeigt man leicht, daß zu jedem positiven, normierten, linearen Funktional L eine Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2} …} von V und nichtnegative Zahlen c_{1}, c_{2}, … existieren mit

L = ∑_{ν} c_{ν} ωP̂_{eν} , ∑_{ν} \underbrace{c_{ν}}_{≥0} = 1 .

3. Positive, normierte, lineare Funktionale bezeichnet man auch als Zustände. Einen Zustand L bezeichnet man als rein, wenn er von der Form

L = ωP̂_{z} , z ∈ V ,

ist, sonst als gemischt.^{44}

Lemma 7.4.6 Seien V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum und Â, B̂ ∈ L(V, V) . Dann gilt

Spur (Â B̂) = Spur (B̂Â) .  (7.54)

Beweis: Für Orthonormalbasen {e_{1}, …, e_{n}} von V gilt

Spur (Â B̂) = ∑_{ν=1}^{n} ⟨e_{ν} | Â B̂ e_{ν}⟩
= ∑_{μ,ν=1}^{n} ⟨e_{ν} | Â e_{μ}⟩ ⟨e_{μ} | B̂ e_{ν}⟩
= ∑_{μ,ν=1}^{n} ⟨e_{μ} | B̂ e_{ν}⟩ ⟨e_{ν} | Â e_{μ}⟩
= ∑_{μ=1}^{n} ⟨e_{μ} | B̂Â e_{μ}⟩
= Spur (B̂Â) .

Die in 7.2.2 angegebene Transformation (7.17) der Jones-Vektoren, die der Raum-Zeit-Spiegelung des zugehörigen elektrischen Feldes entspricht, hat alle Eigenschaften einer Konjugation:

Definition 7.4.7 Sei V ein Euklidischer komplexer Vektorraum. Dann versteht man unter einer Konjugation auf V eine Abbildung K von V in V , die den Bedingungen

⟨K(z_{1}) | K(z_{2})⟩ = (⟨z_{1} | z_{2}⟩)^{∗} ∀ z_{1}z_{2} ∈ V .  (7.55)

und

K^{2} = ˆ1 .  (7.56)

genügt.^{45}

Lemma 7.4.8 Seien V ein Euklidischer komplexer Vektorraum und K eine Konjugation auf V . Dann gilt

∥K(z)∥ = ∥z∥ ∀ z ∈ V

Version vom 26. März 2009

44Man beachte in diesem Zusammenhang Aufgabe E75.

45Abbildungen K von V auf V mit (7.55) bezeichnet man auch als antiunitär (vgl. Lemma 7.4.10).

und K ist konjugiert linear,^{46} d.h.:

K (λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2}) = λ_{1}^{∗} K(z_{1}) + λ_{2}^{∗} K(z_{2}) ∀ λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ , z_{1}, z_{2} ∈ V .  (7.57)

Beweisskizze: Für z ∈ V gilt

∥K(z)∥^{2} = ⟨K(z) | K(z)⟩
= (⟨z | z⟩)^{∗}
= ∥z∥^{2}

und somit tatsächlich ∥K(z)∥ = ∥z∥. Andererseits gilt

⟨z | K (λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2})⟩ = ⟨K(K(z)) | K (λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2})⟩
= (⟨K(z) | λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2}⟩)^{∗}
= (λ_{1} ⟨K(z) | z_{1}⟩ + λ_{2} ⟨K(z) | z_{2}⟩)^{∗}
= λ_{1}^{∗} ⟨z | K(z_{1})⟩ + λ_{2}^{∗} ⟨z | K(z_{2})⟩
= ⟨z | λ_{1}^{∗} K(z_{1}) + λ_{2}^{∗} K(z_{2})⟩

für alle z, z_{1}, z_{2} ∈ V und alle λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ. Also gilt auch (7.57).

Lemma 7.4.9 Seien V ein n-dimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum und K eine Konjugation auf V . Dann existiert eine Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V mit

K (∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} e_{ν}) = ∑_{ν=1}^{n} λ_{ν}^{∗} e_{ν} ∀ λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ .  (7.58)

Beweisskizze: Die Menge

F =^{def} {z ∈ V : K(z) = z}

aller Fixpunkte von K hat eine natürliche Struktur als reeller Euklidischer Vektorraum.^{47} Wegen

z = \frac{1}{2}(\underbrace{z + K(z)}_{∈F} +i(\underbrace{i K(z) − i z}_{∈F}))

ist jede Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} dieses Raumes auch Orthonormalbasis von V , für die (7.58) gilt.

Für jeden Euklidischen komplexen Vektorraum V hat die Menge

L(V, ℂ) =^{def} {⟨z| : z ∈ V }

Version vom 26. März 2009

46Konjugationen sind also rückeindeutige Abbildungen. 47Man lasse bei der Multiplikation einfach nur reelle Zahlen zu.

(beachte Fußnote 43) eine natürliche Euklidische Vektorraumstruktur^{48}

⟨z_{1}| + ⟨z_{2}| = ⟨z_{1} + z_{2}| ,
λ ⟨z| = ⟨λ^{∗}z| ,
∥⟨z|∥ =^{def} ∥z∥ .

Dafür gilt:

Lemma 7.4.10 Seien V ein endlichdimensionaler Euklidischer Vektorraum und K eine Konjugation auf V . Dann definiert

Û(z) =^{def} ⟨K(z)| ∀ z ∈ V

eine unitäre Abbildung von V auf L(V, ℂ) ; d.h. eine lineare Abbildung Û von V \underline{auf} L(V, ℂ) mit

∥Ûz∥ = ∥z∥ ∀ z ∈ V .

Beweisskizze: Daß Û eine lineare, normerhaltende Abbildung ist, ist offensichtlich. Daß Û den Vektorraum V auf seinen Dualraum L(V, ℂ) abbildet, folgt aus Lemma 7.4.2.

7.4.2 Bilineare Funktionale

Definition 7.4.11 Sei V ein komplexer Vektorraum. Eine Bilinearform (=komplexer kovarianter Tensor 2. Stufe) auf V ist dann eine Abbildung B von V × V in ℂ mit

\begin{matrix}B (z, λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2}) = λ_{1} B(z, z_{1}) + λ_{2} B(z, z_{2}) \\ B (λ_{1} z_{1} + λ_{2} z_{2}, z) = λ_{1} B(z_{1}, z) + λ_{2} B(z_{2}, z) \end{matrix} \} ∀ z, z_{1}, z_{2} ∈ V , λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ .

Eine Bilinearform B auf V heißt symmetrisch, falls

B(z_{1}, z_{2}) = + B(z_{2}, z_{1}) ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V .

Sie heißt antisymmetrisch, falls

B(z_{1}, z_{2}) = − B(z_{2}, z_{1}) ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V .

Version vom 26. März 2009

48Erinnerung: Das innere Produkt mit der Euklidischen Norm ∥.∥ ist durch die Polarisationsidentität (7.22) gegeben. Dementsprechend gilt

⟨⟨z_{1}| | ⟨z_{2}|⟩ = ⟨z_{2} | z_{1}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V .

Lemma 7.4.12 Seien V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum, B eine Bilinearform auf V und K eine Konjugation auf V . Dann existiert ein linearer Operator B̂ auf V mit^{49}

B(z_{1}, z_{2}) = ⟨K(z_{1}) | B̂ z_{2}⟩ , ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V .

Beweisskizze: Gemäß Lemma 7.4.9 existiert eine eine Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V mit

K(e_{ν}) = e_{ν} ∀ ν ∈ {1, …, n} .  (7.59)

Damit gilt für alle z_{1}, z_{2} ∈ V

B(z_{1}, z_{2}) = ∑_{μ,ν=1}^{n} \underbrace{⟨e_{ν} | z_{1}⟩}_{\begin{matrix}= & ⟨K(z_{1}) | K(e_{ν})⟩ \\ =_{(7.59)} & ⟨K(z_{1}) | e_{ν}⟩ \end{matrix}} ⟨e_{μ} | z_{2}⟩ B(e_{ν}, e_{μ})

= ⟨K(z_{1}) | B̂ z_{2}⟩

mit

B̂ z =^{def} ∑_{ν,μ=1}^{n}(B(e_{ν}, e_{μ}) ⟨e_{μ} | z⟩)e_{ν} ∀ z ∈ V .

Anmerkung: Bzgl. jeder Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V mit (7.59) stimmen die (kovarianten) Komponenten

B_{νμ} =^{def} B(e_{ν}, e_{μ})

von B mit den Matrixelementen von B̂ bzgl. {e_{1}, …, e_{n}} überein:

(7.59)  ⟹  B_{νμ} = ⟨e_{ν} | B̂ e_{μ}⟩ ∀ ν, μ ∈ {1, …, n} .

Lemma 7.4.13 Seien V ein n-dimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum, B̂ ∈ L(V.V) und K eine Konjugation auf V . Falls die B̂ entsprechende Bilinearform

B(z_{1}, z_{2}) =^{def} ⟨K(z_{1}) | B̂ z_{2}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V

Version vom 26. März 2009

49Innere Produkte sind dagegen Semibilinearformen (englisch: sesquilinear forms), d.h. in einem Argument linear, im anderen aber konjugiert linear. Semibilinearformen S, für die außerdem

S(z_{1}, z_{2}) = (S(z_{2}, z_{1}))^{∗} ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V

gilt (wie für innere Produkte), nennt man Hermitesch.

7.4. MULTILINEARE FUNKTIONALE (KOMPLEXE TENSOREN) 51

symmetrisch oder antisymmetrisch ist und^{50}

⟨K(z_{0}) | z_{0}⟩ ≠ 0 für alle Eigenvektoren z_{0} von B̂  (7.60)

gilt,^{51} dann existieren Vektoren b_{1}, …, b_{n} ∈ V mit folgenden Eigenschaften:

1. {b_{1}, …, b_{n}} ist eine Basis von V .

2. ⟨K(b_{ν}) | b_{μ}⟩ = \{ \begin{matrix}1 & für ν = μ, \\ 0 & sonst . \end{matrix}

3. Alle b_{ν} sind Eigenvektoren von B̂.

4. Die Komponenten der Bilinearform B bzgl. {b_{1}, …, b_{n}} stimmen mit den Komponenten der Matrix des Operators B̂ bzgl. {b_{1}, …, b_{n}} überein.

Beweisskizze: Gemäß Lemma 7.3.18 besitzt jeder lineare Operator auf einem endlichdimensionalen komplexen Vektorraum mindestens einen Eigenvektor. Wir können also einen Eigenvektor b_{1} von B̂ wählen und (voraussetzungsgemäß) so normieren, daß b_{1} · b_{1} = 1 gilt, wobei:

z_{1} · z_{2} =^{def} ⟨K(z_{1}) | z_{2}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V .

Sei nun m ∈ {1, …, n − 1} und seien b_{1}, …, b_{m} Eigenvektoren von B̂ mit

b_{ν} · b_{μ} = \{ \begin{matrix}1 & für ν = μ \\ 0 & sonst \end{matrix}

für ν, μ ∈ {1, …, m}. Dann gilt

z · b_{ν} ⟹ (B̂ z) · b_{ν} = ⟨K (B̂ z) | b_{ν}⟩
= ⟨K (b_{ν}) | B̂ z⟩
= B(b_{ν}, z)
= \{ \begin{matrix}+B(z, b_{ν}) & für symmetrisches B \\ −B(z, b_{ν}) & für antisymmetrisches B \end{matrix}
∝ z · b_{ν} = 0

für ν ∈ {1, …, m}. B̂ läßt also den (n − m)-dimensionalen Teilraum

{z ∈ V : z · b_{ν} = 0 für ν = 1, …, m}

von V invariant. Deshalb enthält dieser Teilraum mindestens einen Eigenvektor b_{m+1} von B̂, der sich (voraussetzungsgemäß) so normieren läßt, daß

b_{ν} · b_{μ} = \{ \begin{matrix}1 & für ν = μ \\ 0 & sonst \end{matrix}

für ν, μ ∈ {1, …, m + 1} gilt. Ausgehend von m = 1 ergibt sich auf diese Weise nach n − 1 Schritten die gewünschte Basis.

Version vom 26. März 2009

50Ohne die Voraussetzung (7.60) läßt sich zeigen, daß zu jeder Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V ein unitärer Operator Û auf V existiert, für den die Matrix von Û B̂ Û^{T} bzgl. dieser Basis diagonal ist (Eckert et al., 2002, Equation (9)).

51Bzgl. der Notwendigkeit dieser Zusatzbedingung siehe Aufgabe E15.

Gemäß Lemma 7.4.2 (Satz von Riesz) existiert für endlichdimensionales V zu jedem komplexen kontravarianten Tensor L′ erster Stufe über V , d.h. zu jedem linearen Funktional L′ über L(V, ℂ) genau ein z_{0} mit L′ = |z_{0}⟩, wobei

|z_{0}⟩(⟨z|) =^{def} ⟨⟨z_{0}| | ⟨z|⟩ = ⟨z | z_{0}⟩ ∀ z ∈ V .  (7.61)

In diesem Sinne lassen sich also die z_{0} ∈ V mit den |z_{0}⟩ ∈ L(L(V, ℂ), ℂ) identifizieren. Das dyadische Produkt, d.h. das Tensorprodukt z_{1} ⊗ z_{2} von |z_{1}⟩ und |z_{2}⟩ ist durch

(z_{1} ⊗ z_{2}) (⟨a| , ⟨b|) =^{def} ⟨a | z_{1}⟩ ⟨b | z_{2}⟩ ∀ a, b ∈ V  (7.62)

als kontravarianter Tensor 2. Stufe über V , d.h. als Bilinearform auf L(V, ℂ) definiert. Auch die Bilinearformen auf L(V, ℂ) haben eine natürliche komplexe Vektorraumstruktur. Dafür gilt:

Lemma 7.4.14 Seien V ein Euklidischer komplexer Vektorraum und {e_{1}, …, e_{n}} eine Orthonormalbasis von V . Dann gilt für jede Bilinearform B′ auf L(V, ℂ)

B′ = ∑_{ν,μ=1}^{n} B′(⟨e_{ν}| , ⟨e_{μ}|) e_{ν} ⊗ e_{μ}  (7.63)

und

∥B′∥ =^{def} \sqrt{∑_{ν,μ=1}^{n} |B′(⟨e_{ν}| , ⟨e_{μ}|)|^{2}}

definiert eine Euklidische Norm auf dem Tensorprodukt V ⊗ V von V mit sich selbst, d.h. auf dem Vektorraum aller Bilinearformen B′ auf L(V, ℂ) . Für das dieser Norm entsprechende innere Produkt gilt:

{e′_{1}, …, e′_{n}} Orthonormalbasis von V

⟹ {e′_{ν} ⊗ e′_{μ} : ν, μ ∈ {1, …, n}} Orthonormalbasis von V ⊗ V .

Beweisskizze: (7.63) folgt gemäß

B′(⟨z_{1}| , ⟨z_{2}|) = B′ (⟨∑_{ν=1}^{n} ⟨e_{ν} | z_{1}⟩ e_{ν} | , ⟨∑_{μ=1}^{n} ⟨e_{μ} | z_{2}⟩ e_{μ}|)
= B′ (∑_{ν=1}^{n} (⟨e_{ν} | z_{1}⟩)^{∗} |e_{ν}⟩ , ∑_{μ=1}^{n} (⟨e_{ν} | z_{2}⟩)^{∗} |e_{μ}⟩)
= ∑_{ν,μ=1}^{n} B′(⟨e_{ν}| , ⟨e_{μ}|) ⟨z_{1} | e_{ν}⟩ ⟨z_{2} | e_{μ}⟩
= ∑_{ν,μ=1}^{n} B′(⟨e_{ν}| , ⟨e_{μ}|) (e_{ν} ⊗ e_{μ}) (⟨z_{1}| , ⟨z_{2}|) .

Daß die auf V ⊗ V eingeführte Norm Euklidisch ist, ist offensichtlich. Sei schließlich {e′_{1}, …, e′_{n}} eine weitere Orthonormalbasis von V . Dann gilt:

e′_{ν} ⊗ e′_{μ} = ∑_{α,β=1}^{n} ⟨e_{α} | e′_{ν}⟩ ⟨e_{β} | e′_{μ}⟩ e_{α} ⊗ e_{β}

und somit:

⟨e′_{ν} ⊗ e′_{μ} | e′_{ρ} ⊗ e′_{τ} ⟩

= ∑_{α,β,γ,δ=1}^{n} (⟨e_{α} | e′_{ν}⟩ ⟨e_{β} | e′_{μ}⟩)^{∗} ⟨e_{γ} | e′_{ρ}⟩ ⟨e_{δ} | e′_{τ} ⟩ \underbrace{⟨e_{α} ⊗ e_{β} | e_{γ} ⊗ e_{δ}⟩}_{=δ_{αγ} δ_{βδ}}

= ∑_{α,β=1}^{n} (⟨e_{α} | e′_{ν}⟩ ⟨e_{β} | e′_{μ}⟩)^{∗} ⟨e_{α} | e′_{ρ}⟩ ⟨e_{β} | e′_{τ} ⟩

= ∑_{α,β=1}^{n} (⟨e′_{ν} | e_{α}⟩ ⟨e_{α} | e′_{ρ}⟩) (⟨e′_{μ} | e_{β}⟩ ⟨e_{β} | e′_{τ} ⟩)

= ⟨e′_{ν} | e′_{ρ}⟩ ⟨e′_{μ} | e′_{τ} ⟩

= δ_{νρ} δ_{μτ} .

Lemma 7.4.15 Sei V ein n-dimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum. Dann existiert zu jeder Bilinearform B auf L(V, ℂ) eine Schmidt-Zerlegung, d.h. eine Darstellung der Form

B = ∑_{ν=1}^{n} \underbrace{w_{ν}}_{≥0} e_{ν} ⊗ e′_{ν}

mit geeigneten (von B abhängigen) Orthonormalbasen {e_{1}, …, e_{n}} und {e′_{1}, …, e′_{n}} von V . Dabei hängt die Anzahl der von Null verschiedenen w_{ν} , die sog. Schmidt-Zahl, nur von B ab.

Beweis: Siehe z.B. (Nielsen, 2000, Anhang A).

7.4.3 Allgemeinere Tensorprodukte

Definition 7.4.16 Seien V_{1}, …, V_{N} komplexe Vektorräume. Dann bezeichnet man den natürlichen komplexen Vektorraum aller Abbildungen T′ von L(V_{1}, ℂ) × … × L(V_{N}, ℂ) in ℂ, die in jedem Argument linear sind, als das algebraische Tensorprodukt V_{1} ⊗_{alg} … ⊗_{alg} V_{N} der Räume V_{1}, …, V_{N} .

Lemma 7.4.17 Seien V_{1}, …, V_{N} endlichdimensionale Euklidische komplexe Vektorräume und sei für j ∈ {1, …, N} jeweils {e_{j,1}, …, e_{j,n_{j}}} eine Orthonormalbasis von V_{j}. Dann gilt für jedes T′ ∈ V_{1} ⊗_{alg} … ⊗_{alg} V_{N}

T′ = ∑_{ν_{1}=1}^{n_{1}} … ∑_{ν_{N} =1}^{n_{N}} T′(⟨e_{1,ν_{1}}| , …, ⟨e_{N,ν_{N}} |) e_{1,ν_{1}} ⊗ … ⊗ e_{N,ν_{N}} ,

wobei:

(e_{1,ν_{1}} ⊗ … ⊗ e_{N,ν_{N}})(⟨z_{1}| , …, ⟨z_{N}|) =^{def} ∏_{j=1}^{N} ⟨z_{j} | e_{j,ν_{j}}⟩ ∀ (z_{1}, …, z_{N}) ∈ V_{1} × … V_{N} .

Dabei ist durch

∥T′∥ =^{def} \sqrt{∑_{ν_{1}=1}^{n_{1}} … ∑_{ν_{N} =1}^{n_{N}} |T′(⟨e_{1,ν_{1}}| , …, ⟨e_{N,ν_{N}} |)|^{2}}  (7.64)

eine Euklidische Norm auf V_{1} ⊗_{alg} … ⊗_{alg} V_{N} gegeben, die nicht von der speziellen Wahl der Orthonormalbasen abhängt.

Beweis: Direkte Verallgemeinerung des Beweises von Lemma 7.4.14.

Anmerkungen:

1. Das algebraische Tensorprodukt von V_{1}, …, V_{N} mit dem (7.64) entsprechenden inneren Produkt wird als Euklidisches Tensorprodukt V_{1} ⊗ … ⊗ V_{N} bezeichnet.

2. Unter den Voraussetzungen von Lemma 7.4.17 ist

{e_{1,ν_{1}} ⊗ … ⊗ e_{N,ν_{N}} : ν_{j} ∈ {1, …, n_{j}} ∀ j ∈ {1, …, N}}

eine Orthonormalbasis von V_{1} ⊗ … ⊗ V_{N} .

Definition 7.4.18 Seien V_{1}, …, V_{N} endlichdimensionale komplexe Vektorräume und sei für j ∈ {1, …, N} jeweils Â_{j} ∈ L(V_{j}, V_{j}) . Dann versteht man unter dem Â_{1} ⊗ … Â_{N} der Operatoren Â_{1}, …, Â_{N} den durch

(Â_{1}⊗…⊗Â_{N})(z_{1}⊗…⊗z_{N}) =^{def} (Â_{1} z_{1})⊗…⊗(Â_{N} z_{N}) ∀ (z_{1}, …, z_{n}) ∈ V_{1}×…×V_{N}

(gemäß Lemma 7.4.17) eindeutig charakterisierten linearen Operator auf V_{1} ⊗_{alg} … ⊗_{alg} V_{N} .

Unendlichdimensionale komplexe Vektorräume

8.1 Grundlegende Definitionen

8.1.1 Maximale Orthonormalsysteme

Für viele Betrachtungen im Zusammenhang mit Euklidischen Vektorräumen kann man sich auf dichte Teilmengen beschränken.

Definition 8.1.1 Seien H ein Euklidischer komplexer Vektorraum und T eine Teilmenge von H. Dann sagt man, T liege in H dicht, falls

d(Φ, T) =^{def} inf_{Ψ∈T} ∥Φ − Ψ∥ = 0 ∀ Φ ∈ H .

Zum Nachweis dichter Teilmengen ist vielfach folgender Sachverhalt nützlich:

Satz 8.1.2 (Weierstraßscher Approximationssatz) Seien n ∈ ℕ, G eine beschränkte Teilmenge von ℝ^{n} und F (x) eine stetige Funktion über ℝ^{n}. Dann existiert eine Folge {P_{μ}(x)}_{μ∈ℕ} von Polynomen P_{μ}(x) über ℝ, die für x ∈ G gleichmäßig gegen F (x) konvergiert.

Beweisskizze:^{1} Wählt man N groß genug, daß

x ∈ G ⟹ |x^{ν}| < N ∀ ν ∈ {1, …, n}

gilt, dann sind die

P_{μ}(x) =^{def} (∫_{−N}^{+N} (1 − (\frac{y}{2 N} )^{2})^{μ} dy)^{−n} ∫_{y∈[−N,+N]^{n}} F (y) ∏_{ν=1}^{n} (1 − (\frac{x^{ν} − y^{ν}}{2 N} )^{2})^{μ} dV_{y}

geeignete Polynome.

Version vom 26. März 2009

1Vgl. (Courant und Hilbert, 1968, Kap. II, § 4).

56KAPITEL 8. UNENDLICHDIMENSIONALE KOMPLEXE VEKTORRÄUME

Als Beispiel betrachten wir den Raum^{2} C(S^{1}) der stetigen Funktionen f(φ) über ℝ mit der Periode 2 π,

f(φ + 2 π) = f(φ) ∀ φ ∈ ℝ

mit der natürlichen linearen Struktur und dem inneren Produkt

⟨f | g⟩ =^{def} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(f(φ))^{∗} g(φ) dφ ∀ f, g ∈ C(S^{1}) .

Offensichtlich ist dies ein unendlichdimensionaler komplexer Euklidischer Raum. Für ν ∈ ℤ bezeichne jeweils e_{ν} die durch

e_{ν}(φ) =^{def} e^{i ν φ} ∀ φ ∈ ℝ

definierte Funktion. Dann ist {e_{ν} : ν ∈ ℤ} ein Orthonormalsystem (ONS), d.h. es gilt

⟨e_{ν} | e_{μ}⟩ = \{ \begin{matrix}1 & für ν = μ, \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Dieses ONS ist zwar keine Basis von C(S^{1}) im Sinne der Definition 7.1.3, aber der Weierstraßsche Approximationssatz zeigt, daß die lineare Hülle dieses ONS in C(S^{1}) dicht liegt; man muß dazu also nicht die Theorie der Fourier-Reihen (siehe z.B. 6.2.1 bereits entwickelt haben.

Begründung:^{3} Zu gegebenem g(φ) ∈ C(S^{1}) wähle man eine beliebige stetige Funktion χ(r) über ℝ mit χ(1) = 1 und

χ(r) = 0 ∀ r ∈ (−\frac{1}{2}, +\frac{1}{2}) .

Dann ist die Definition

F (e^{ρ+i φ}) =^{def} χ (e^{ρ}) g(φ) ∀ ρ, φ ∈ ℝ

erlaubt und liefert (mit F (0) =^{def} 0) eine stetige Funktion F (z) über ℂ mit

F (e^{iφ}) = g(φ) ∀ φ ∈ ℝ .

Da sich F (z) gemäß Satz 8.1.2 gleichmäßig für |z| < 2 durch Polynome in z und z^{∗} approximieren läßt, folgt daraus die Behauptung.

Daraus ergibt sich, daß das ONS maximal im Sinne von Definition 7.1.8 ist, d.h. für alle f ∈ C(S^{1}) gilt

(⟨e_{ν} | f⟩ = 0 ∀ ν ∈ ℤ) ⟹ f = 0 .

Eine naheliegende Verallgemeinerung ist die folgende:

Version vom 26. März 2009

2Hier bezeichnet S^{1} den durch das Bogenmaß modulo 2π parametrisierten Einheitskreis im ℝ^{2} . 3Vgl. (Courant und Hilbert, 1968, Kap. II, § 4, Nr. 4).

Definition 8.1.3 Sei H ein Euklidischer komplexer Vektorraum. Als Orthonormalsystem (ONS) von H bezeichnet man dann eine Familie {Φ_{ι}}_{ι∈I} ⊂ H mit

⟨Φ_{ι} | Φ_{ι′}⟩ = \{ \begin{matrix}1 & für ι = ι′, \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Als maximales Orthonormalsystem (MONS) von H bezeichnet man ein ONS, daß sich nicht in ein echt größeres ONS einbetten läßt. Wir nennen H separabel, wenn ein endliches oder abzählbares MONS von H existiert, dessen lineare Hülle in H dicht liegt.^{4}

Anmerkung: Jedes endliche MONS ist natürlich eine (Hamel-) Basis.

Die Gültigkeit des folgenden Lemmas ist für unendlichdimensionales H — im Gegensatz zu Folgerung 2.1.6 — nicht so selbstverständlich, wie es vielleicht scheinen mag, sondern beruht auf dem sog. Zornschen Lemma.^{5}

Lemma 8.1.4 Sei H ein (komplexer) Euklidischer Vektorraum. Dann läßt sich jedes ONS {Φ_{ι}}_{ι∈I′} von H zu einem MONS {Φ_{ι}}_{ι∈I} von H ergänzen (I ⊃ I′).

Lemma 8.1.5 Seien H ein Euklidischer komplexer Vektorraum und {Φ_{1}, …, Φ_{N}} ein ONS von H. Dann gilt die Besselsche Ungleichung

∥Ψ∥^{2} ≥ ∑_{ν=1}^{N} |⟨Φ_{ν} | Ψ⟩|^{2} ∀ Ψ ∈ H .

Beweisskizze: Mit

Ψ_{∥} =^{def} ∑_{ν=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν} , Ψ_{⊥} =^{def} Ψ − Ψ_{∥}

gilt

∥Ψ∥^{2} = ∥Ψ_{∥} + Ψ_{⊥}∥
= ∥Ψ_{∥}∥^{2} + ∥Ψ_{⊥}∥
≥ ∥Ψ_{∥}∥^{2}
= ∑_{ν=1}^{N} |⟨Φ_{ν} | Ψ⟩|^{2} .

Version vom 26. März 2009

4Man beachte in diesem Zusammenhang Lemma 8.1.8.

5Bzgl. dieses ‘Lemmas’ siehe z.B. (Rédei, 1959, Kap I §11). Man beachte allerdings die 3. Anmerkung zu Folgerung 8.3.14.

Lemma 8.1.6 Seien H ein Euklidischer komplexer Vektorraum, {Φ_{ι}}_{ι∈I} ein ONS von H und Ψ ein Vektor aus H. Dann existiert eine endliche oder abzählbare Teilmenge I_{Ψ} von I mit

⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ ≠ 0 ⟺ ι ∈ I_{Ψ} .

Beweisskizze: Sei I_{n} jeweils die Menge aller ι ∈ I mit |⟨Φ_{ι} | Ψ⟩|^{2} > 1/n. Da gemäß Lemma 8.1.5 die Ungleichung

∥Ψ∥^{2} ≥ ∑_{ι′∈I′} |⟨Φ_{ι′} | Ψ⟩|^{2}

für jede endliche Teilmenge I′ von I gilt, muß I_{n} jeweils endlich sein. Daraus folgt aber, daß I_{Ψ} = ∪_{n∈ℕ}I_{n} höchstens abzählbar ist.

Folgerung 8.1.7 Sei H ein unendlichdimensionaler separabler Euklidischer komplexer Vektorraum. Dann ist jedes unendliche ONS von H abzählbar.

Beweisskizze: Da H separabel ist, existiert ein MONS {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} von H. Sei nun {Φ_{ι}}_{ι∈I} ein beliebiges unendlichdimensionales ONS von H. Dann existieren gemäß Lemma 8.1.6 zu jedem ν ∈ ℕ nur abzählbar viele Φ_{ι} mit ⟨Φ_{ι} | Ψ_{ν}⟩ ≠ 0 . Da aber {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} maximal ist, kann kein Φ_{ι} existieren mit

⟨Φ_{ι} | Ψ_{ν}⟩ = 0 ∀ ν ∈ ℕ .

Also ist I die Vereinigung abzählbar vieler höchstens abzählbarer Mengen und somit abzählbar unendlich.

Anmerkung: Auch wenn H nicht separabel ist, hat jedes MONS von H die gleiche Mächtigkeit; vgl. Aufgabe 18 von (Lücke, fuan).

Lemma 8.1.8 Seien H ein Euklidischer komplexer Vektorraum und {Φ_{ι}}_{ι∈I} ein ONS von H, dessen lineare Hülle in H dicht liegt. Dann ist {Φ_{ι}}_{ι∈I} ein MONS von H und es gilt^{6}

Ψ = ∑_{ι∈I} ⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ Φ_{ι} ∀ Ψ ∈ H  (8.1)

sowie

∥Ψ∥^{2} = ∑_{ι∈I} |⟨Φ_{ι} | Ψ⟩|^{2} ∀ Ψ ∈ H .  (8.2)

Version vom 26. März 2009

6Man beachte, daß nach Lemma 8.1.6 nur über höchstens abzählbar viele ι ∈ I zu summieren ist. Für abzählbare Mengen I_{Ψ} meint Ψ = ∑_{ι∈I_{Ψ}} ⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ Φ_{ι} stets:

I_{Ψ} = {ι_{ν} : ν ∈ ℕ} ⟹ lim_{N→+∞} ∑_{ν=1}^{N} ⟨Φ_{ι_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι_{ν}} = Ψ

(vgl. Definition 7.1.12).

8.1. GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN 59

Beweisskizze: Sei Ψ ∈ H. Da die lineare Hülle von {Φ_{ι}}_{ι∈I} in H dicht liegt, existiert dann zu jedem ϵ > 0 ein Vektor der Form^{7}

Ψ_{ϵ} = λ_{1} Φ_{ι_{1}} + … + λ_{n} Φ_{ι_{n}} , {ι_{1}, …, ι_{n}} ⊂ I ,

mit

ϵ > ∥Ψ − Ψ_{ϵ}∥^{2}
= ∥Ψ − ∑_{ν=1}^{n} ⟨Φ_{ι_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι_{ν}} ∥^{2} + ∥∑_{ν=1}^{n}(⟨Φ_{ι_{ν}} | Ψ⟩ − λ_{ν})Φ_{ι_{ν}} ∥^{2}

und somit

∥Ψ − ∑_{ν=1}^{n} ⟨Φ_{ι_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι_{ν}} ∥^{2} < ϵ .

Da außerdem

∥Ψ − ∑_{ν=1}^{n} ⟨Φ_{ι_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι_{ν}} ∥^{2} = ∥Ψ − ∑_{ν=1}^{n+n′} ⟨Φ_{ι_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι_{ν}} ∥^{2} + ∥ ∑_{ν=n+1}^{n+n′} ⟨Φ_{ι_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι_{ν}} ∥^{2}

≥ ∥Ψ − ∑_{ν=1}^{n+n′} ⟨Φ_{ι_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι_{ν}} ∥^{2}

für alle n′ ∈ ℕ und ι_{n+1}, …, ι_{n+n′} ∈ I gilt, folgt daraus (8.1) und damit auch

(⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ = 0 ∀ ι ∈ I) ⟹ Ψ = 0 .

Da das für alle Ψ ∈ H gilt, ist {Φ_{ι}}_{ι∈I} also ein MONS von H. Da weiterhin

∥Ψ∥^{2} = ∥\underbrace{Ψ − ∑_{ν=1}^{n′} ⟨Φ_{ι′_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι′_{ν}}}_{⟶_{n′→∞} 0}∥^{2} + \underbrace{∥∑_{ν=1}^{n′} ⟨Φ_{ι′_{ν}} | Ψ⟩ Φ_{ι′_{ν}} ∥^{2}}_{=∑_{ν=1}^{n′}|⟨Φ_{ι′_{ν}} | Ψ⟩|^{2}}

für alle n′ ∈ ℕ und ι′_{1}, …, ι′_{n′} ∈ I gilt, ist nach Lemma 8.1.6 klar, daß (8.2) aus (8.1) folgt.

Anmerkungen:

1. Anwendung von Lemma 8.1.8 auf den Fall

H = C(S^{1}) , {Φ_{ι}}_{ι∈I} = {e_{ν}}_{ν∈ℤ}

liefert mit (8.1) die Fourier-Reihenentwicklung

f(φ) = ∑_{ν∈ℤ}⟨e_{ν} | f⟩ e^{i ν φ} ∀ f ∈ C(S^{1})  (8.3)

(starke Konvergenz in C(S^{1}) , auch Konvergenz im Mittel genannt), wobei

⟨e_{ν} | f⟩ = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(φ) e^{−i ν φ} dφ ∀ ν ∈ ℤ .

Version vom 26. März 2009

7Die ι_{1} + … + ι_{n} sollen alle voneinander verschieden sein.

2. Man sieht leicht (Aufgabe E51), daß die unendliche Reihe in (8.3) sogar absolut und gleichmäßig konvergiert, wenn f(φ) stetig differenzierbar ist.

8.1.2 Schwache Konvergenz und Beschränktheit

Der Begriff der starken Konvergenz wurde bereits in Definition Definition 7.1.12 eingeführt. Wenn der Zusatz ‘stark’ weggelassen wird ist, stets starke Konvergenz gemeint. Oft jedoch sind auch andere Konvergenzbegriffe nützlich.

Definition 8.1.9 Seien H ein Euklidischer Vektorraum und {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} eine Folge in H. Falls ein Ψ ∈ H existiert mit

lim_{ν→∞} ⟨Φ | Ψ_{ν}⟩ = ⟨Φ | Ψ⟩ ∀ Φ ∈ H ,

dann sagt man, daß die Folge schwach gegen Ψ konvergiert und teilt das durch

w- lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ

mit.

Anmerkungen:

1. Die Grenzwerte s- lim_{ν→∞} Ψ_{ν} und w- lim_{ν→∞} Ψ_{ν} sind natürlich stets eindeutig, sofern sie existieren. Wenn beide Grenzwerte existieren, stimmen sie überein.

2. Für jedes ONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} von H gilt: w- lim_{ν→∞} Φ_{ν} = 0 .

Folgerung 8.1.10 Für jede Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} in einem Euklidischen Vektorraum gilt

s- lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ ⟺ \{ \begin{matrix}w- lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ , \\ lim_{ν→∞} ∥Ψ_{ν}∥ = ∥Ψ∥ . \end{matrix}

Beweisskizze: Aus

|⟨Φ | Ψ⟩ − ⟨Φ | Ψ_{ν}⟩| = |⟨Ψ | Ψ − Ψ_{ν}⟩|
≤_{Schwarz} ∥Φ∥ ∥Ψ − Ψ_{ν}∥

erkennt man sofort, daß aus der starken Konvergenz stets die schwache folgt. Mit

∥Ψ − Ψ_{ν}∥^{2} = ∥Ψ∥^{2} − 2 ℜ ⟨Ψ | Ψ_{ν}⟩ + ∥Ψ_{ν}∥^{2}  (8.4)

folgt daraus auch

lim_{ν→∞} ∥Ψ_{ν}∥ = ∥Ψ∥ .

Umgekehrt folgt aus der schwachen Konvergenz und der Konvergenz der Normen mit (8.4) unmittelbar die starke Konvergenz.

Definition 8.1.11 Seien H ein Euklidischer Vektorraum und T eine Teilmenge von H. Dann heißt T beschränkt, falls

sup_{Ψ∈T} ∥Ψ∥ < ∞ .

Entsprechend nennt man eine Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ H beschränkt, falls die Menge {Ψ_{ν} : ν ∈ ℕ} beschränkt ist.

Lemma 8.1.12 Sei H ein Euklidischer Vektorraum. Dann ist jede schwach konvergente Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ H beschränkt.

Beweisskizze: Angenommen, {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ H sei schwach konvergent aber nicht beschränkt. O.B.d.A. können wir annehmen, daß {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} schwach gegen 0 konvergiert. Dann lassen sich iterativ eine Teilfolge {Ψ′_{ν}}_{ν∈ℕ} von {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} und ein ONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} von H konstruieren mit

⟨Ψ′_{ν} | Φ_{ν}⟩ > ν^{2} ∀ ν ∈ ℕ

und

μ < ν ⟹ |⟨Ψ′_{μ} | Φ_{ν}⟩| < ν^{−1} ∀μ, ν ∈ ℕ .

Bei geeigneter Wahl der Vorzeichen σ_{ν} ∈ {−1, +1} gilt damit

|⟨Ψ′_{ν} | Φ⟩| > ν − 2 ∀ ν ∈ ℕ ,

für

Φ =^{def} ∑_{ν=1}^{∞} \frac{σ_{ν}}{ν} Φ_{ν} ∈ H .

Das steht aber im Widerspruch zur schwachen Konvergenz von {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ}.

Definition 8.1.13 Seien H ein Euklidischer Vektorraum und Ψ(t) eine Abbildung von ℝ in H. Dann heißt diese Abbildung (stark) differenzierbar, falls

Ψ̇(t) =^{def} \frac{d}{dt}Ψ(t) =^{def} s- lim_{t_{1},t_{2}→t_{t_{1}≠t_{2}}} \frac{Ψ(t_{1}) − Ψ(t_{2})}{t_{1} − t_{2}}

existiert.^{8} Falls ⟨Φ | Ψ(t)⟩ für alle Φ ∈ H nach t differenzierbar ist, nennt man Ψ(t) schwach differenzierbar.

Version vom 26. März 2009

8Eigentlich haben wir die starke Konvergenz nur für diskrete Folgen definiert. Trotzdem sollte klar sein, was hier gemeint ist.

Anmerkung: Falls Ψ(t) stark differenzierbar ist, dann ist Ψ(t) gemäß Folgerung 8.1.10 auch schwach differenzierbar und es gilt

\frac{d}{dt} ⟨Φ | Ψ(t)⟩ = ⟨Φ | Ψ̇(t)⟩ ∀ Φ ∈ H .

8.1.3 Hilbertsche Räume

Definition 8.1.14 Als Hilbert-Raum bezeichnet man einen Euklidischen komplexen Vektorraum H, in dem jede Cauchy-Folge, d.h. jede Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ H mit

lim_{N→+∞} sup_{ν,μ>N} ∥Ψ_{ν} − Ψ_{μ}∥ = 0 ,

eine starken Grenzwert besitzt:

s − lim_{ν→+∞} Ψ_{ν} = Ψ für geeignetes Ψ ∈ H .

Unter Hilbert-Raum-Basis^{9} versteht man ein MONS eines Hilbert-Raumes.

Folgerung 8.1.15 Seien H ein Hilbert-Raum und {Φ_{ι}}_{ι∈I} ein MONS von H. Dann^{10} gelten die Gleichungen (8.1) und (8.2).

Beweisskizze: Dank der Besselschen Ungleichung existiert

∑_{ι∈I_{Ψ}} ⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ Φ_{ι}

für jedes Ψ ∈ H und dafür gilt

Ψ − ∑_{ι∈I_{Ψ}} ⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ Φ_{ι} ⊥ Φ_{ι′} ∀ ι′ ∈ I .

Da {Φ_{ι}}_{ι∈I} maximal ist, folgt daraus (8.1). Daraus folgt auch, daß die lineare Hülle von {Φ_{ι}}_{ι∈I} in H dicht liegt und gemäß Lemma 8.1.8 somit (8.2) gilt.

Lemma 8.1.16 Die Menge

ℓ^{2} =^{def} {z = {z^{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ ℂ : ∥z∥^{2} =^{def} ∑_{ν=1}^{∞} |z^{n}|^{2} < ∞}  (8.5)

Version vom 26. März 2009

9Warnung: Nur für endlichdimensionale Hilbertsche Räume sind die Hilbert-Raum-Basen auch Basen im Sinne der Definition 7.1.3. 10Bzgl. der Notwendigkeit der Vollständigkeit von H siehe Aufgabe E56.

aller quadratsummierbaren Folgen komplexer Zahlen mit ihrer natürlichen linearen Struktur und dem inneren Produkt

⟨z_{1} | z_{2}⟩ =^{def} ∑_{ν=1}^{∞} (z_{1}^{ν})^{∗} z_{2}^{ν} ∀ z_{1}, z_{2} ∈ ℓ^{2}  (8.6)

ist ein Hilbert-Raum.

Beweisskizze: Offensichtlich gilt

λ z = {λ z^{1}, λ z^{2}, …} ∈ ℓ^{2} ∀ λ ∈ ℂ , z ∈ ℓ^{2}

gilt, ist offensichtlich. Daß auch

z_{1} + z_{2} = {z_{1}^{1} + z_{2}^{1}, z_{1}^{2} + z_{2}^{2}, …} ∈ ℓ^{2} ∀ z_{1}, z_{2} ∈ ℓ^{2}

gilt folgt aus

\sqrt{∑_{ν=1}^{N} |z_{1}^{ν} + z_{2}^{ν}|^{2}} ≤ Dreiecksungl. \sqrt{∑_{ν=1}^{N} |z_{1}^{ν}|^{2}} + \sqrt{∑_{ν=1}^{N} |z_{2}^{ν}|^{2}}

≤  ∥z_{1}∥ + ∥z_{2}∥ ∀ N ∈ ℕ .

ℓ^{2} ist also sicherlich ein komplexer Vektorraum. Daß die rechte Seite von (8.6) endlich ist, folgt aus

∑_{ν=1}^{N} |(z_{1}^{ν})^{∗} z_{2}^{ν} |  =  |∑_{ν=1}^{N} |z_{1}^{ν}|^{∗} |z_{2}^{ν}||

≤_{Schwarz} \sqrt{∑_{ν=1}^{N} |z_{1}^{ν}|^{2}} \sqrt{∑_{ν=1}^{N} |z_{2}^{ν}|^{2}}
≤  ∥z_{1}∥ ∥z_{2}∥ ∀ N ∈ ℕ .

Der komplexe Vektorraum ℓ^{2} ist damit Euklidisch. Sei nun {z_{ν}}_{ν∈ℕ} eine Cauchy-Folge in ℓ^{2} . Wenn dazu überhaupt ein Grenzwert z ∈ ℓ^{2} existiert, muß dafür

z^{ν} = ⟨e_{ν} | z⟩
= lim_{μ→∞} ⟨e_{ν} | z_{μ}⟩
= lim_{μ→∞} z_{μ}^{ν}

gelten, wobei

e_{ν} =^{def} {δ_{ν,1}, δ_{ν,2}, …} ∀ ν ∈ ℕ .

Für

z^{ν} =^{def} lim_{μ→∞} z_{μ}^{ν} ∀ ν ∈ ℕ  (8.7)

ist also zu zeigen:

1. z = {z^{1}, z^{2}, …} ∈ ℓ^{2} und

2. lim_{μ→∞} ∥z − z_{μ}∥ = 0 .

\underline{Zu 1.:} Da \{z_{ν}\}_{ν∈ℕ} eine Cauchy-Folge ist, existiert zu jedem ϵ > 0 ein N_{ϵ} ∈ ℕ mit

ϵ > ∥z_{μ} − z_{ν}∥^{2}
= ∑_{λ=1}^{∞} |z_{μ}^{λ} − z_{ν}^{λ}|^{2}

= ∑_{λ=1}^{L} |z_{μ}^{λ} − z_{ν}^{λ}|^{2} ∀ μ, ν ≥ N_{ϵ} , L ∈ ℕ .

Mit (8.7) folgt daraus

∑_{λ=1}^{L} |z^{λ} − z_{ν}^{λ}|^{2} ≤ ϵ ∀ ν ≥ N_{ϵ} , L ∈ ℕ

und somit

∑_{λ=1}^{∞} |z^{λ} − z_{ν}^{λ}|^{2} ≤ ϵ ∀ ν ≥ N_{ϵ} .  (8.8)

Daraus folgt insbesondere

{z^{1} − z_{N_{ϵ}}^{1}, z^{2} − z_{N_{ϵ}}^{2}, …} ∈ ℓ^{2}

und wegen z_{N_{ϵ}} ∈ ℓ^{2} somit

z = {z^{1}, z^{2}, …} ∈ ℓ^{2} .

\underline{Zu 2.:} Da (8.8) für beliebes ϵ > 0 mit geeignetem N_{ϵ} ∈ ℕ gilt, folgt daraus

\begin{aligned}∥z − z_{ν}∥^{2} & = & ∑_{λ=1}^{∞} |z^{λ} − z_{ν}^{λ}|^{2} \\ & ⟶_{ν→∞} & 0 . \end{aligned}

Lemma 8.1.17 Seien H ein Euklidischer komplexer Raum und {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} ein ONS von H, dessen lineare Hülle in H dicht liegt. Dann ist H genau dann ein Hilbert-Raum, wenn zu jeder Folge z ∈ ℓ^{2} ein Ψ ∈ H existiert mit Ψ = ∑_{ν∈ℕ}z^{ν} Φ_{ν} .

Beweisskizze: Wenn man die Elemente Ψ ∈ H gemäß Lemma 8.1.8 mit den entsprechenden Folgen z = {z^{ν}}_{ν∈ℕ} der Entwicklungskoeffizienten z^{ν} = ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ identifiziert, dann stellt sich H als Euklidischer Teilraum von ℓ^{2} dar. Da ℓ^{2} gemäß Lemma 8.1.16 ein Hilbert-Raum ist, ist also nur zu zeigen, daß jeder vollständige Teilraum von ℓ^{2} , der alle abbrechenden Folgen

{z^{1}, …, z^{N}, 0, 0, …} , N ∈ ℕ ,

enthält, mit ℓ^{2} übereinstimmt:

Sei also Ȟ ein solcher Teilraum und sei z = {z^{ν}}_{ν∈ℕ} ein beliebiges Element von ℓ^{2} . Dann bilden die

z_{μ} =^{def} {z^{1}, …, z^{μ}, 0, 0, …}

wegen

∥z_{ν} − z_{μ}∥^{2} = ∑_{λ=μ+1}^{ν} |z^{λ}|^{2} für μ < ν

eine Cauchy-Folge in Ȟ. Gemäß Definition 8.1.14 muß also ein ž = {ž^{ν}}_{ν∈ℕ} ∈ Ȟ existieren mit

\begin{aligned}0 & = & lim_{μ→∞} ∥ž − z_{μ}∥^{2} \\ & = & lim_{μ→∞} (∑_{λ=0}^{μ} |ž^{λ} − z^{λ}|^{2} + ∑_{λ=μ+1}^{∞} |ž^{λ}|^{2}) . \end{aligned}

Daraus folgt ž = z und somit, da z ∈ ℓ^{2} beliebig vorgegeben war, ℓ^{2} ⊂ Ȟ.

Folgerung 8.1.18 Seien H und {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} wie in Lemma 8.1.17 vorgegeben. Dann ist^{11}

\overline{H} =^{def} \{∑_{ν=1}^{∞} z^{ν} Φ_{ν} : z ∈ ℓ^{2}\}

mit seiner natürlichen linearen Struktur und dem inneren Produkt

⟨∑_{ν=1}^{∞} z_{2}^{ν} Φ_{ν} | ∑_{μ=1}^{∞} z_{2}^{μ} Φ_{μ}⟩ =^{def} ⟨z_{1} | z_{2}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ ℓ^{2}

ein separabler Hilbert-Raum, der H als dichten Euklidischen Teilraum enthält und für den {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} ein MONS ist. Falls H ein Hilbert-Raum ist, dann gilt H = \overline{H}.

Anmerkungen:

1. Alle separablen unendlichdimensionalen Hilbert-Räume stimmen also i.w. mit ℓ^{2} überein.

2. Alle endlichdimensionalen Euklidischen Vektorräume sind vollständig, also Hilbert-Räume.

Version vom 26. März 2009

11Diejenigen Reihen von \overline{H}, die nicht in H konvergieren, stehen einfach für sich selbst.

8.2 Beispiele für vollständige Funktionensysteme

In physikalischen Anwendungen wird oft der Funktionenraum L^{2}(G) benutzt, wobei G ein hinreichend gutartiges Gebiet des ℝ^{n}, n ∈ ℕ, bezeichnet. Um nicht auf die maßtheoretische Formulierung eingehen zu müssen, fassen wir hier den L^{2}(G) im Sinne von Folgerung 8.1.18 als Hilbert-Raum-Vervollständigung des Euklidischen komplexen Vektorraumes C(G, d|G|) aller stetigen komplexwertigen Funktionen f(x) über G auf, für die die Euklidische Norm

∥f∥ =^{def} ∫_{G} |f(x)|^{2} d|G|_{x}

als gewöhnliches (Riemannsches) Integral existiert. Das innere Produkt stetiger Funktionen f, g ∈ L^{2}(G) ist also durch

⟨f | g⟩ = ∫_{G}(f(x))^{∗} g(x) d|G|_{x}  (8.9)

gegeben. Wendet man das im Beweis von Folgerung 2.1.6 und in 2.1.3 beschriebene Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf eine abzählbare Menge von Vektoren an, deren lineare Hülle in C(G, d|G|) dicht liegt, dann^{12} erhält man stets ein MONS von L^{2}(G) .

8.2.1 Legendre-Polynome

Lemma 8.2.1 Durch Anwendung des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens auf

{m_{ν}(x) =^{def} x^{ν}}_{ν∈ℤ_{+}} ⊂ C([−1, +1], dx)

ergibt sich das aus den sog. Legendre-Polynomen^{13}

P_{ν}(x) =^{def} \frac{1}{2^{ν} ν!} (\frac{d}{dx})^{ν} (x^{2} − 1)^{ν} ∀ x ∈ [−1, +1] , ν ∈ ℤ_{+} ;  (8.10)

durch Normierung gebildete MONS

\{v_{ν}(x) =^{def} \sqrt{ν + \frac{1}{2}} P_{ν}(x)\}_{ν∈ℤ_{+}}

von L^{2}([−1, +1]).

Version vom 26. März 2009

12Reihen, die nicht in C(G, d|G|) konvergieren, aber deren Differenz in C(G, d|G|) gegen Null konvergiert, werden identifiziert.

8.2. BEISPIELE FÜR VOLLSTÄNDIGE FUNKTIONENSYSTEME 67

Beweisskizze: Aus dem Weierstraßschen Approximationssatz folgt, daß die lineare Hülle der m_{ν}(x) in C([−1, +1], dx) dicht ist. Das gleiche gilt deshalb für die lineare Hülle der Legendre-Polynome, denn wegen

Rang ((x^{2} − 1)^{ν} − x^{2ν}) < 2ν

gilt

Rang (P_{ν}(x) − \frac{(2ν)!}{2^{ν} (ν!)^{2}} x^{ν}) < ν ,  (8.11)

woraus übrigens^{14}

P_{ν}^{(ν)}(x) = \frac{(2ν)!}{2^{ν} ν!} ∀ x ∈ [−1, +1]  (8.12)

folgt. Gemäß Folgerung 8.1.18 ist also nur noch zu zeigen, daß die v_{ν}(x) ein ONS von C([−1, +1], dx) bilden:

Aus (8.11) erkennt man mithilfe (ν + 1)-facher partieller Integration leicht:

⟨P_{ν} | P_{μ}⟩ = ∫_{−1}^{+1} P_{ν}(x) P_{μ}(x) dx = 0 für ν < μ .

Außerdem ergibt sich durch wiederholte partielle Integration:^{15}

⟨P_{ν} | P_{ν}⟩ =_{(8.10)} \frac{(−1)^{ν}}{2^{ν} ν!} ∫_{−1}^{+1}(x^{2} − 1)^{ν} P_{ν}^{(ν)}(x) dx

=_{(8.12)} \frac{(2ν)!}{(2^{ν} ν!)^{2}} ∫_{−1}^{+1}(1 + x)^{ν}(1 − x)^{ν} dx

= 2^{−2ν} ∫_{−1}^{+1}(1 + x)^{2ν} dx
= (ν + \frac{1}{2})^{−1} .

Anmerkung: Bzgl. der Bedeutung der Legendre-Polynome für die Multipolentwicklung siehe Aufgabe E47 und Abschnitt 1.4.2 von (Lücke, edyn). Zur Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen siehe (Fischer und Kaul, 2004, § 15, Nr. 3.5).

8.2.2 Hermitesche Polynome

Lemma 8.2.2 Die lineare Hülle von

\{ψ_{ν}(x) =^{def} (ix)^{ν} e^{− \frac{x^{2}}{2}} : ν ∈ ℤ_{+}\}

ist dicht in L^{2}(ℝ) .

Version vom 26. März 2009

13Siehe (Jahnke et al., 1960, Kap. VIII). 14Wir verwenden die übliche Notation f^{(ν)}(x) =^{def} (\frac{d}{dx})^{ν} f(x) . 15Die vorletzte Gleichung ergibt sich durch wiederholte Anwendung von

∫_{−1}^{+1}(1 + x)^{α}(1 − x)^{β} dx =_{part. Int.} \frac{β}{α + 1} ∫_{−1}^{+1}(1 + x)^{α+1}(1 − x)^{β−1} dx ∀ α, β ∈ ℕ .

Beweisskizze: Sei

Ψ_{z}(x) =^{def} e^{− \frac{x^{2}}{2}} e^{ixz} ∀ x, z ∈ ℝ .

Mithilfe der Schwarzschen Ungleichung und der Formel

∫ x^{n} e^{−x^{2}} dx = \{ \begin{matrix}\sqrt{π} & für n = 0 \\ (1 − \frac{1}{2}) ⋯ (k − \frac{1}{2})\sqrt{π} & für n = 2k , k ∈ ℕ \end{matrix}  (8.13)

sieht man leicht, daß die Taylor-Entwicklung von

f_{Ψ}(z) =^{def} ⟨Ψ | Ψ_{z}⟩ ∀ z ∈ ℝ

für jedes Ψ ∈ L^{2}(ℝ) an der Stelle z = 0 existiert und einen unendlichen Konvergenzradius hat. Wegen

f_{Ψ}^{(ν)}(0) = ⟨Ψ | ψ_{ν}⟩

folgt daraus

Ψ ⊥ {ψ_{ν} : ν ∈ ℤ_{+}}  ⟹  ⟨Ψ | Ψ_{z}⟩ = 0 ∀ z ∈ ℝ

⟹

Fourier-Theorie

Ψ = 0

für alle Ψ ∈ L^{2}(ℝ) . Deshalb enthält die lineare Hülle der Menge aller ψ_{ν} ein MONS von L^{2}(ℝ) und liegt somit gemäß Folgerung 8.1.15 in diesem Hilbert-Raum dicht.

Folgerung 8.2.3 Die aus den Hermiteschen Polynomen ^{16}

H_{ν}(x) =^{def} (−1)^{ν} e^{x^{2}} (\frac{d}{dx})^{ν} e^{−x^{2}} ∀ x ∈ ℝ , ν ∈ ℤ_{+}

gebildeten Funktionen

φ_{ν}(x) =^{def} \frac{H_{ν}(x)}{\sqrt{ν! 2^{ν} \sqrt{π}}} e^{− \frac{x^{2}}{2}} ∀ x ∈ ℝ , ν ∈ ℤ_{+}

bilden ein MONS von L^{2}(ℝ) .

Beweisskizze: Aus

Rang(H_{ν}(x) − (2 x)^{ν}) < ν

folgt mit Lemma 8.2.2, daß die lineare Hülle der φ_{ν} gemäß Lemma 8.2.2 in L^{2}(ℝ) dicht liegt. Mit

⟨φ_{ν} | φ_{μ}⟩ = \frac{1}{\sqrt{ν! μ! 2^{ν+μ} π}} ∫ H_{ν}(x) (−1)^{μ} (\frac{d}{dx})^{μ} e^{−x^{2}} dx

Version vom 26. März 2009

16Siehe (Jahnke et al., 1960, Abschn. VII.C). Bzgl. der Bedeutung der Hermiteschen Polynome für den quantisierten harmonischen Oszillator siehe Aufgabe E62.

8.2. BEISPIELE FÜR VOLLSTÄNDIGE FUNKTIONENSYSTEME 69

ergibt sich außerdem durch μ-fache partielle Integration

⟨φ_{ν} | φ_{μ}⟩ = 0 für ν < μ

und

⟨φ_{ν} | φ_{ν}⟩ = \frac{1}{ν! 2^{ν} \sqrt{π}} ∫ H_{ν}(x) (−1)^{ν} (\frac{d}{dx})^{ν} e^{−x^{2}} dx
= \frac{1}{ν! 2^{ν} \sqrt{π}} ∫ H_{ν}^{(ν)}(x) e^{−x^{2}} dx
= \frac{1}{\sqrt{π}} ∫ e^{−x^{2}} dx
= 1 .

{φ_{ν}}_{ν∈ℤ_{+}} ist also tatsächlich ein MONS von L^{2}(ℝ) .

Es sei angemerkt, daß alle φ_{ν} zum Schwartz-Raum S(ℝ) der temperierten Funktionen über ℝ gehören:^{17}

S(ℝ) =^{def} {φ ∈ C^{∞}(ℝ) : ∥φ∥_{N} < ∞ ∀ N ∈ ℕ} ,
∥φ∥_{N} =^{def} sup_{x∈ℝ}(1 + |x|)^{N} sup_{ν∈\{0,...,N\}} |(\frac{d}{dx})^{ν} φ(x)| .

(8.14)

8.2.3 Laguerresche Polynome

Folgerung 8.2.4 Die lineare Hülle von

\{Ψ′_{ν}(x) =^{def} x^{ν} e^{− \frac{x}{2}} : ν ∈ ℤ_{+}\}

ist dicht in L^{2}([0, ∞)).

Beweisskizze: Sei f eine stetige Funktion über [0, ∞) , die bei x = 0 sowie für hinreichend großes x verschwindet, und sei ϵ > 0 . Dann genügt es zu zeigen, daß ein Polynom P̌(x) über [0, ∞) existiert mit

∫_{0}^{+∞} |f(x) − P̌(x + 1) e^{− \frac{x}{2}} |^{2} dx < ϵ .  (8.15)

Version vom 26. März 2009

17Mit C^{∞}(ℝ) wird i.a. der Raum aller beliebig oft ableitbaren komplexwertigen Funktionen über ℝ bezeichnet.

70KAPITEL 8. UNENDLICHDIMENSIONALE KOMPLEXE VEKTORRÄUME

Gemäß Lemma 8.2.2 existiert ein Polynom P (x) über ℝ mit^{18}

ϵ ≥ ∫ |x f(x^{2} − 1) − P (x) e^{− \frac{x^{2}}{2}} | dx
≥ ∫ |x f(x^{2} − 1) − \frac{P (x) − P (−x)}{2} e^{− \frac{x^{2}}{2}} |^{2} dx
= 2 ∫_{0}^{+∞} |x f(x^{2} − 1) − \frac{P (x) − P (−x)}{2} e^{− \frac{x^{2}}{2}} |^{2} dx
=_{x′=x^{2}} ∫_{0}^{+∞} |f(x′ − 1) − \frac{P ( ^{+} \sqrt{x′}) − P ( ^{+} \sqrt{x′})}{2 ^{+} \sqrt{x′}} e^{− \frac{x′}{2}} |^{2} ^{+} \sqrt{x′} dx′
≥ ∫_{1}^{+∞} |f(x′ − 1) − \frac{P ( ^{+} \sqrt{x′}) − P ( ^{+} \sqrt{x′})}{2 ^{+} \sqrt{x′}} e^{− \frac{x′}{2}} |^{2} dx′
= ∫_{1}^{+∞} |f(x′ − 1) − P̌(x′) e^{− \frac{x′−1}{2}} |^{2} dx′ ,

wobei

P̌(x′) =^{def} e^{− \frac{1}{2}} \frac{P ( ^{+} \sqrt{x′}) − P ( ^{+} \sqrt{x′})}{2 x′}

ein Polynom in x′ ist. Daraus folgt (8.15) durch Variablensubstitution x′ ↦ x = x′−1 .

Folgerung 8.2.5 Die aus den Laguerreschen Polynomen ^{19}

L_{ν}(x) =^{def} e^{x} (\frac{d}{dx})^{ν} (x^{ν}e^{−x}) ∀ x ∈ ℝ , ν ∈ ℤ_{+}

gebildeten Funktionen

φ̌_{ν}(x) =^{def} \frac{1}{ν!} e^{− \frac{x}{2}} L_{ν}(x) ∀ x ≥ 0 , ν ∈ ℤ_{+}

bilden ein MONS von L^{2}([0, ∞)).

Beweisskizze: Analog^{20} demjenigen von Folgerung 8.2.3 .

Version vom 26. März 2009

18Man beachte für die zweite Ungleichung:

\begin{matrix}L^{2}(ℝ) ∩ C(ℝ) ∋ u(x) ungerade \\ L^{2}(ℝ) ∩ C(ℝ) ∋ g(x) gerade \end{matrix} \} ⟹ ∫ g(x) u(x) dx = 0 .

19Siehe (Jahnke et al., 1960, Abschn. VII.B). 20Dabei ist allerdings zu beachten, daß

∫_{0}^{+∞} x^{ν} e^{−x} dx = ν! ∀ ν ∈ ℤ_{+} .

8.3 Lineare Operatoren

8.3.1 Grundsätzliches

Die in der Quantenmechanik benutzten Operatoren sind vielfach nur auf linearen (nicht Hilbertschen) Teilräumen des Hilbertschen Zustandsraumes H definiert.

Definition 8.3.1 Sei H ein (komplexer) Hilbert-Raum. Ein linearer Operator in H ist dann eine lineare Abbildung Â eines linearen Teilraumes D_{Â} von H in H. Dabei bezeichnet man D_{Â} als den Definitionsbereich von Â.

Den linearen Operator B̂ in H nennt man eine Erweiterung des linearen Operators Â in H und dementsprechend Â die Einschränkung von B̂ auf D = D_{Â}, wenn

Â Ψ = B̂ Ψ ∀ Ψ ∈ D_{Â} ⊂ DB̂

gilt. Dann schreibt man für Â auch B̂/^{\}D.

Den Operator Â nennt man Hermitesch, falls^{21}

⟨Ψ_{1} | Â Ψ_{2}⟩ = ⟨Â Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ D_{Â} .

Das Operatorprodukt Â B̂ linearer Operatoren Â, B̂ in H ist die durch

D_{Â B̂} =^{def} {Ψ ∈ DB̂ : B̂ Ψ ∈ D_{Â}} ,
Â B̂ Ψ =^{def} Â (B̂ Ψ) ∀ Ψ ∈ D_{Â B̂}

gegebene Abbildung von D_{Â B̂} in H.

Die Operatorsumme Â + B̂ linearer Operatoren Â, B̂ in H ist die durch

D_{Â+B̂} =^{def} D_{Â} ∩ DB̂ ,
(Â + B̂) Ψ =^{def} Â Ψ + B̂ Ψ ∀ Ψ ∈ D_{Â+B̂}

gegebene Abbildung von D_{Â+B̂} in H.

Mit ˆ1 bezeichnet man den durch Dˆ1 = H und

ˆ1 Ψ =^{def} Ψ ∀ Ψ ∈ H

gegebenen Einsoperator.

Für komplexe Zahlen λ und lineare Operatoren Â in H definiert man außerdem

D_{λÂ} =^{def} DÂ ,
(λÂ) Ψ =^{def} λ (Â Ψ) ∀ Ψ ∈ D_{λÂ} .

Version vom 26. März 2009

21Wenn außerdem noch D_{Â} in H dicht liegt, nennt man Â symmetrisch.

Statt λ ˆ1 schreibt man oft einfach nur λ.

Unter einem Eigenwert des linearen Operators Â versteht man eine komplexe Zahl, zu der ein Vektor Ψ ∈ DÂ \ {0} existiert mit

Â Ψ = λ Ψ.

Solche Vektoren bezeichnet man als Eigenvektoren von Â.

Lemma 8.3.2 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ein linearer Operator in H. Dann gilt:

1. Wenn Â Hermitesch ist, dann sind alle Eigenwerte von Â reell.

2. Wenn Â isometrisch ist, dann haben alle Eigenwerte von Â den Betrag 1.

3. Wenn Â Hermitesch oder/und isometrisch ist, dann sind Eigenvektoren von Â zu ungleichen Eigenwerten zueinander orthogonal.

Beweisskizze: Für je zwei Eigenvektoren Ψ_{1}, Ψ_{2} von Â folgen die Behauptung durch Anwendung von Folgerung 7.3.19 auf Â/^{\}L({Ψ_{1}, Ψ_{2}}).

Viele Sätze über lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Euklidischen Vektorräumen gelten auch für beschränkte lineare Operatoren auf unendlichdimensionalen Hilbert-Räumen.

Definition 8.3.3 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ein linearer Operator in H. Dann nennt man Â beschränkt, falls

T beschränkt ⟹ Â T beschränkt

für alle Teilmengen T von D_{Â} gilt. Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren auf H wird mit B (H) bezeichnet. Die Operatornorm eines Operators Â ∈ B (H) ist

∥Â∥ =^{def} sup_{Ψ∈H_{∥Ψ∥=1}} ∥ÂΨ∥ .

Anmerkung: Man überzeugt sich leicht davon, daß ∥.∥ tatsächlich alle Eigenschaften einer Norm hat:^{22}

∥Â∥ = 0 ⟹ Â = 0 ,  (8.16)

Version vom 26. März 2009

22Man beachte allerdings Aufgabe E68c).

∥z Â∥ = |z| ∥Â∥ ≥ 0 ∀ z ∈ ℂ , Â ∈ B (H) , (8.17)
∥Â + B̂∥ ≤ ∥Â∥ + ∥B̂∥ ∀ Â, B̂ ∈ B (H) .  (8.18)

Leider sind aber z.B. die quantenmechanischen Orts- und Impulsoperatoren nicht beschränkt.

Lemma 8.3.4 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ein linearer Operator auf H (also D_{Â} = H), der alle schwach konvergenten Folgen in H auf schwach konvergente Folgen in H abbildet. Dann ist Â beschränkt.

Beweisskizze: Wäre Â unbeschränkt, so müßte ein Orthonormalsystem {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} in H existieren mit

∥Â Φ_{ν} ∥ > ν ∀ ν ∈ ℕ .

Gemäß Lemma 8.1.12 und Anmerkung 2 zu Definition 8.1.9 stünde das aber im Widerspruch zur Voraussetzung an Â.

Folgerung 8.3.5 (Satz von Hellinger und Toeplitz) Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ein linearer Operator in H. Dann gilt:

\begin{matrix}Â & Hermitesch \\ DÂ = H \end{matrix} \} ⟹ Â beschränkt .

Beweisskizze: Aus den Implikationsvoraussetzungen ergibt sich gemäß

w- lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ ⟹ ⟨Ψ′ | Â Ψ_{ν}⟩ = ⟨Â Ψ′ | Ψ_{ν}⟩
⟶_{ν→∞} ⟨Â Ψ′ | Ψ⟩ = ⟨Ψ′ | Â Ψ⟩ ∀ Ψ′ ∈ H ,

daß Â die Voraussetzungen von Lemma 8.3.4 erfüllt.

Unbeschränkte quantenmechanische Observable können also nicht auf dem ganzen Zustandsraum definiert sein!

Ganz offensichtlich gilt das folgende Lemma:

Lemma 8.3.6 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum, Φ ∈ H und Â ein linearer Operator in H, dessen Definitionsbereich D_{Â} in H dicht liegt. Dann existiert höchstens ein Φ^{†} ∈ H mit

⟨Φ^{†} | Ψ⟩ = ⟨Φ | Â Ψ⟩ ∀ Ψ ∈ D_{Â} .

Das ermöglicht folgende Definition:^{23}

Definition 8.3.7 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ein linearer Operator in H, dessen Definitionsbereich D_{Â} in H dicht liegt. Dann bezeichnet man den durch

DÂ^{†} =^{def} {Φ : Φ^{†} entspr. Lemma 8.3.6 exist.} ,

und

Â^{†} Φ =^{def} Φ^{†} (entspr. Lemma 8.3.6) ∀ Φ ∈ DÂ^{†}

gegebenen — offensichtlich linearen — Operator Â^{†} als den zu Â adjungierten Operator. Im Falle Â = Â^{†} nennt man Â selbstadjungiert.

Definition 8.3.8 Seien H ein komplexer Euklidischer Vektorraum und L ein lineares Funktional^{24} auf H. Dann heißt L beschränkt,^{25} falls

T beschränkt ⟹ L(T) beschränkt

für alle Teilmengen T von H gilt.

Lemma 8.3.9 (Satz von Riesz) Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und L ein beschränktes lineares Funktional auf H. Dann existiert ein Ψ ∈ H mit L = ⟨Ψ|.

Beweisskizze: Zu je zwei linear unabhängigen Vektoren Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H mit L(Ψ_{1}) ≠ 0 ≠ L(Ψ_{2}) gibt es ein Ψ_{3} ∈ L({Ψ_{1}, Ψ_{2}}) \ {0} mit L(Ψ_{3}) = 0 . Folglich existiert ein Ψ′ ∈ H \ {0} mit

H ⊖ {Ψ ∈ H : L(Ψ) = 0} = {λ Ψ′ : λ ∈ ℂ} .

Dafür gilt offensichtlich L ∝ ⟨Ψ′|.

Anmerkung: Aus dem Satz von Riesz — zusammen mit Lemma 8.1.12 und der Schwarzschen Ungleichung — erkennt man leicht, daß jeder HilbertRaum auch bzgl. der schwachen Konvergenz vollständig ist.

Version vom 26. März 2009

23Man beachte die Konsistenz mit Definition 7.3.11.

24Siehe Definition 7.4.1.

25Die Begriffe ‘stetig’ und ‘beschränkt’ sind für lineare Abbildungen äquivalent; siehe Aufgabe E48a).

Folgerung 8.3.10 Seien H ein Hilbert-Raum und Â ein linearer Operator in H, dessen Definitionsbereich D_{Â} in H dicht liegt. Dann stimmt DÂ^{†} mit der Menge all derjenigen Ψ ∈ H überein, für die

D_{Â} ∋ Φ ↦ ⟨Ψ | Â Φ⟩

ein beschränktes, lineares Funktional auf D_{Â} ist.

Beweis: Die Behauptung folgt mit Aufgabe E79 unmittelbar aus dem Satz von Riesz.

Folgerung 8.3.11 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ∈ B(H) . Dann ist der adjungierte Operator der einzige Operator Â^{†} ∈ B(H) , für den

⟨Ψ_{1} | Â Ψ_{2}⟩ = ⟨Â^{†} Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H  (8.19)

gilt. Dementsprechend gilt u.a.

ˆ1^{†} = ˆ1 ,  (8.20)
(z Â)^{†} = z^{∗}Â^{†} ∀ z ∈ ℂ ,  (8.21)
\binom{}{Â^{†}}^{†} = Â ,  (8.22)
∥Â^{†}∥ = ∥Â∥ ,  (8.23)
(Â + B̂)^{†} = Â^{†} + B̂^{†} ∀ B̂ ∈ B(H) ,  (8.24)
(Â B̂)^{†} = B̂^{†} Â^{†} ∀ B̂ ∈ B(H)  (8.25)

und

Â^{†} Ψ = ∑_{ι∈I} ⟨Â Φ_{ι} | Ψ⟩ Φ_{ι} ∀ Ψ ∈ H .  (8.26)

für jedes MONS {Φ_{ι}}_{ι∈I} von H.

Beweisskizze: Aus Folgerung 8.3.10 ergibt sich DÂ^{†} = H und damit

∥Â^{†} Ψ∥ =_{Schwarz} sup_{Ψ′∈H_{∥Ψ′∥=1}} |⟨Â^{†} Ψ | Ψ′⟩|
=  sup_{Ψ′∈H_{∥Ψ′∥=1}} |⟨Ψ | Â Ψ′⟩|
≤_{Schwarz} ∥Ψ∥ sup_{Ψ′∈H_{∥Ψ′∥=1}} ∥Â Ψ′∥
=  ∥Â∥ ∥Ψ∥ ,

also Â^{†} ∈ B (H) . Definitionsgemäß gilt damit (8.19). Die übrigen Behauptungen folgen fast unmittelbar.

Folgerung 8.3.12 Seien H ein separabler (komplexer) Hilbert-Raum und Û ein linearer Operator auf H. Dann gilt^{26}

Û isometrisch ⟺ \{ \begin{matrix}Û ∈ B(H) , \\ Û^{†}Û = ˆ1 \end{matrix}

und^{27}

Û unitär ⟺ \{ \begin{matrix}Û & isometrisch \\ ÛÛ^{†} = ˆ1 . \end{matrix}
⟺ \{ \begin{matrix}Û bildet mindestens ein MONS von H \\ auf ein MONS von H ab \end{matrix}
⟺ \{ \begin{matrix}Û bildet jedes MONS von H \\ auf ein MONS von H ab . \end{matrix}

Definition 8.3.13 Sei H ein Hilbert-Raum. Unter einem (Orthogonal-) Projektionsoperator (kurz: Projektor) in H versteht man dann einen linearen Operator P̂ \underline{auf} H mit

P̂^{2} = P̂ = P̂^{†} .

Anmerkungen:

1. Definition 8.3.13 ist eine konsistenten Verallgemeinerung von Definition 7.3.14.

2. Gemäß Lemma 8.3.4 sind alle Projektoren beschränkt.

Folgerung 8.3.14 Seien H ein Hilbert-Raum und P̂ ein linearer Operator \underline{auf} H. Dann ist P̂ genau dann ein Projektor, wenn ein Hilbertscher Teilraum T von H existiert mit

P̂ Ψ = \{ \begin{matrix}Ψ & für Ψ ∈ T , \\ 0 & für Ψ ⊥ T . \end{matrix}  (8.27)

Version vom 26. März 2009

26Siehe Definition 7.3.9 und Lösungsvorschlag zu Aufgabe E58a).

27Denn:

\begin{matrix}Û^{†}Û = ˆ1 \\ DÛ^{−1} = H \end{matrix} \} ⟹ \begin{aligned}(Û Û^{†}) Ψ & = & Û Û^{†}Û Û^{−1}Ψ \\ & = & Ψ ∀ Ψ ∈ H . \end{aligned}

Wenn P̂ ein Projektor ist, dann stimmt der Teilraum T von (8.27) mit P̂ H überein und für jedes MONS {Φ_{ι}}_{ι∈I′} von T gilt

P̂ Ψ = ∑_{ι∈I′} ⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ Φ_{ι} ∀ Ψ ∈ H .  (8.28)

Beweisskizze: Sei P̂ ein Projektor. Dann folgt (8.27) — wie im Beweis zu Folgerung 7.3.15 — für Ψ ∈ T = P̂ H aus P̂^{2} = P̂ und für Ψ ⊥ T = P̂ H aus

⟨Ψ′ | P̂ Ψ⟩ =_{P̂=P̂^{†}} ⟨P̂ Ψ′ | Ψ⟩ = 0 ∀ Ψ′ ∈ H .

Wir müssen nun aber noch zusätzlich zeigen, daß P̂ H vollständig ist. Sei also {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} eine Cauchy-Folge in P̂ H ⊂ H. Da H voraussetzungsgemäß vollständig ist, existiert dann ein Ψ ∈ H mit

s- lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ .

Da P̂ beschränkt ist, folgt daraus

P̂ Ψ = s- lim_{ν→∞} \underbrace{P̂ Ψ_{ν}}_{=Ψ_{ν}}
= Ψ

und somit Ψ ∈ P̂ H. Damit ist die Vollständigkeit von P̂ H gezeigt.

Umgekehrt, falls (8.27) für einen geeigneten Hilbertschen Teilraum T ⊂ H gilt, dann folgt mit Lemma 8.1.4 daraus^{28} T = P̂ H und (8.28). Aus letzterem folgt aber P̂^{2} = P̂ = P̂^{†}.

Anmerkungen:

1. Nach Folgerung 8.3.14 existiert eine eineindeutige Zuordnung zwischen Projektoren P̂ und Hilbertschen Teilräumen T von H. Dementsprechend bezeichnet man mit P̂_{T} jeweils den Projektor mit P̂ H = T . Im Falle T = {λ Ψ : λ ∈ C} schreibt man dafür — wie für endlichdimensionales H bereits eingeführt — auch kürzer P̂_{Ψ} .

2. Aus (8.27) folgt für alle Projektoren P̂ :

∥P̂∥ = \{ \begin{matrix}0 & falls P̂ = 0 , \\ 1 & sonst . \end{matrix}

3. Für separable Hilbert-Räume läßt sich Lemma 8.1.4 auch ohne Berufung auf das Zornsche Lemma beweisen:

Version vom 26. März 2009

28Man ergänze {Φ_{ι}}_{ι∈I′} zu einem MONS {Φ_{ι}}_{ι∈I} von H (falls T ≠ H).

Sei {Φ′_{ι}}_{ι∈I} ein ONS von H. Da H separabel (und O.B.d.A. unendlichdimensional) ist, können wir ein MONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} wählen und

S_{0} =^{def} {Φ′_{ι} : ι ∈ I} ,

sowie iterativ

S_{μ+1} =^{def} \{ \begin{matrix}S_{μ} & falls Φ_{μ+1} ∈ \overline{L(S_{μ})} , \\ S_{μ} ∪ \{\frac{Φ_{μ+1}−P̂\overline{L(Sμ)} Φ_{μ+1}}{∥Φ_{μ+1}−P̂\overline{L(Sμ)} Φ_{μ+1}∥}\} & sonst \end{matrix}

für μ = 0, 1, 2, … definieren. Gemäß Lemma 8.1.8 ist dann ∪_{μ=0}^{∞}S_{μ} ein MONS des gewünschten Typs.

8.3.2 Kompakte Operatoren

Definition 8.3.15 Seien H ein Hilbert-Raum und Â ∈ L (H, H) . Dann heißt Â kompakt (=vollstetig), falls zu jeder beschränkten Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ H eine (stark) konvergente \underline{Teil}folge^{29} von \{Â Ψ_{ν}\}_{ν∈ℕ} existiert.

Anmerkung: Wenn H endlichdimensional ist, dann sind alle Â ∈ L (H, H) kompakt.

Lemma 8.3.16 Seien H ein Hilbert-Raum und Â ein kompakter Operator auf H. Dann ist Â beschränkt.

Beweis: Wäre Â unbeschränkt, gäbe es eine Folge {Ψ′_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ H mit

∥Ψ′_{ν}∥ = 1 , ∥Â Ψ′_{ν} ∥ > ν ∀ ν ∈ ℕ ,

also eine beschränkte Folge, deren Bildfolge keine konvergente Teilfolge besitzt.

Lemma 8.3.17 Seien H ein Hilbert-Raum und Â ein kompakter Hermitescher Operator auf H. Dann ist mindestens ∥A∥ oder − ∥A∥ ein Eigenwert von Â.

Version vom 26. März 2009

29Man bezeichnet {Ψ′_{ν}}_{ν∈ℕ} als eine Teilfolge von {Â Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ}, wenn eine streng monoton wachsende Abbildung j von ℕ in ℕ existiert mit

Ψ′_{ν} = Â Ψ_{j(ν)} ∀ ν ∈ ℕ .

8.3. LINEARE OPERATOREN 79

Beweisskizze: Wir betrachten nur den nichttrivialen Fall Â ≠ 0 : Wir wählen eine Folge {ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ H mit

lim_{ν→∞} ∥Â ψ_{ν} ∥ = ∥Â∥ ≠ 0 , ∥ψ_{ν}∥ = 1 ∀ ν ∈ ℕ .

Aufgrund der Kompaktheit von Â existiert dann eine Teilfolge {ψ′_{ν}}_{ν∈ℕ} von {ψ_{ν}}_{ν∈ℕ}, für die

ϕ =^{def} lim_{ν→∞} Â ψ′_{ν}

konvergiert. Dabei gilt natürlich

∥ϕ∥ = ∥Â∥ .  (8.29)

Aus

∥Â∥^{2} ≥ ∥Â \frac{Âϕ}{∥Âϕ∥}∥ ∥ϕ∥
≥_{Schwarz} ⟨Â \frac{Âϕ}{∥Âϕ∥}|ϕ⟩
=  ⟨\frac{Âϕ}{∥Âϕ∥}|Âϕ⟩
=  ∥Â ϕ∥
=  sup_{Ψ∈H_{∥Ψ∥=1}} |⟨Ψ | Âϕ⟩|
=  sup_{Ψ∈H_{∥Ψ∥=1}} |⟨Â Ψ | ϕ⟩|
≥  lim_{ν→∞} ⟨Â ψ′_{ν} | ϕ⟩
=  ⟨ϕ | ϕ⟩
=_{(8.29)} ∥Â∥^{2}

folgt

⟨Â \frac{Âϕ}{∥Âϕ∥}|ϕ⟩ = ∥Â \frac{Âϕ}{∥Âϕ∥}∥ ∥ϕ∥ = ∥ϕ∥^{2}

sowie

∥Â ϕ∥ = ∥Â∥^{2}

und somit

Â^{2} ϕ = ∥Â∥^{2} ϕ .

Da letzteres äquivalent ist zu

Â (Â ϕ + ∥Â∥ ϕ) = ∥Â∥ (Â ϕ + ∥Â∥ ϕ) ,

ist also entweder Â ϕ ein Eigenvektor von Â zum Eigenwert − ∥Â∥, oder Â ϕ+∥Â∥ ϕ ein Eigenvektor von Â zum Eigenwert + ∥Â∥.

Folgerung 8.3.18 (Hilbert-Schmidt-Theorem) Seien H ein Hilbert-Raum und Â ein kompakter Hermitescher Operator auf H. Dann gilt:

1. Es existiert ein MONS {Φ_{ι}}_{ι∈I} von H mit

Â Φ_{ι} ∝ Φ_{ι} ∀ ι ∈ I .

2. Für jedes ν ∈ ℕ gilt

dim L({Ψ ∈ H : Â Ψ = a Ψ für geeignetes a ∈ ℂ mit |a| > 1/ν}) < ∞ .

Beweisskizze: Wir bezeichnen mit σ(Â) die Menge aller Eigenwerte von Â. Gemäß Lemma 8.1.4 existiert dann zu jedem Eigenwert a ∈ σ(Â) ein MONS {Φ_{ν}^{(a)}}_{ν∈I_{a}} von

T_{a} =^{def} {Ψ ∈ H : Â Ψ = aΨ} .

Die Einschränkung von Â auf den Hilbertschen TeilraumH ⊖ ( ⋃_{0≠a∈σ(Â)} T_{a}) ist

ein kompakter Hermitescher Operator, der jedoch keinen von Null verschiedenen Eigenwert hat und deshalb nach Lemma 8.3.17 mit dem Nulloperator übereinstimmen muß:

(Ψ ⊥ T_{a} ∀ a ∈ σ(Â) \ {0}) ⟹ Â Ψ = 0 .  (8.30)

Gemäß Lemma 8.3.2 ist ⋃_{0≠a∈σ(Â)} {Φ_{ν}^{(a)} : ν ∈ I_{a}} ein ONS von H, läßt sich also

gemäß Lemma 8.1.4 zu einem MONS von H erweitern. Gemäß (8.30) müssen aber alle Zusatzelemente Eigenvektoren von Â zum Eigenwert 0 sein. Damit ist die erste Behauptung bewiesen. Die zweite folgt fast unmittelbar aus der Definition der Kompaktheit.

Anmerkungen:

1. Zu jedem kompakten Hermiteschen Operator Â auf einem unendlichdimensionalen Hilbert-Raum H existieren also ein ein MONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} von H und eine Folge {a_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ ℝ mit:

Â Ψ = ∑_{ν∈ℕ}a_{ν} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν} ∀ Ψ ∈ H , lim_{ν→∞} a_{ν} = 0 .

2. Umgekehrt sieht man leicht,^{30} daß jeder Operator mit solchen Eigenwerten und Eigenvektoren kompakt und Hermitesch ist.

Version vom 26. März 2009

30Siehe auch Aufgabe E68b).

3. Mithilfe der Zerlegung

Â = Â_{+} + i Â_{−} ,

wobei

Â_{+} =^{def} \frac{Â + Â^{†}}{2} , Â_{−} =^{def} \frac{Â − Â^{†}}{2 i} ,

sieht man leicht, daß die Behauptungen von Folgerung 8.3.18 für alle normalen kompakten Operatoren Â gelten.^{31}

Definition 8.3.19 Sei H ein (komplexer) Hilbert-Raum. Die Menge T_{1}(L) aller Spurklasse-Operatoren auf H ist dann die Menge aller kompakten Hermiteschen Operatoren Â auf H, für die

Spur (Â ± Â^{†}) =^{def} ∑_{λ∈ℝ}λ dim {Ψ ∈ H : (Â ± Â^{†}) Ψ = λ Ψ}

absolut konvergiert. Dafür definiert man die Spur ^{32}

Spur \binom{}{Â} =^{def} \frac{1}{2} Spur (Â ± Â^{†}) + \frac{1}{2} Spur (Â ± Â^{†}) ∀ Â ∈ T_{1}(L) .

Unter einem statistischen Operator (Dichteoperator) versteht man einen Operator T̂ ∈ T_{1} (L) mit Spur \binom{}{T̂} = 1 , der keinen negativen Eigenwert besitzt.

Anmerkung: Z.B. ist

T̂_{U}^{mik} =^{def} ρ̂_{U}^{mik}/ \underbrace{Spur(ρ_{U}^{mik})}_{”Zustandssumme“} ,

wobei

ρ_{U}^{mik} =^{def} ∑_{ν∈ℕ_{Eν ≤U}} |Ψ_{E_{ν}} ⟩⟨Ψ_{E_{ν}} | ,

der statistische Operator der sog. mikrokanonischen Gesamtheit zur inneren Energie U , wenn {Ψ_{E_{ν}} }_{ν∈ℕ} ein (i.a. nicht eindeutiges) MONS von Eigenvektoren der Energie-Observablen Ĥ ist, wobei Ψ_{E_{ν}} jeweils zum Eigenwert E_{ν} gehört:

Ĥ Ψ_{E_{ν}} = E_{ν} Ψ_{E_{ν}} ∀ ν ∈ ℕ .

Version vom 26. März 2009

31Für normales Â sind nämlich Â_{+}, Â_{−} vertauschbare Hermitesche Operatoren.

32Man beachte die Konsistenz mit Definition 7.4.3.

Lemma 8.3.20 Seien H ein separabler Hilbert-Raum, B̂ ∈ L (H) und T̂ ∈ T_{1} (L) . Dann gilt T̂ B̂ , B̂ T̂ ∈ T_{1} (L) und

Spur (T̂B̂) = ∑_{ν∈ℕ}⟨Φ_{ν} | T̂B̂ Φ_{ν}⟩ für jedes MONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} von H.

sowie

Spur (T̂B̂) = Spur (B̂ T̂) .

Beweis: Siehe Abschnitt 3.1.3 von (Lücke, fuan).

Lemma 8.3.21 Seien H ein separabler Hilbert-Raum und T̂_{1} , T̂_{2} ∈ T_{1} (H) . Dann gilt

Spur (T̂_{1} B̂) = Spur (T̂_{2} B̂) ∀ B̂ ∈ B (H)  ⟹  T̂_{1} = T̂_{2} .

Beweisskizze: Sei {Φ_{ν}}_{ν∈H} ein MONS von H. Dann gilt

Spur((T̂_{1} − T̂_{2}) B̂) = 0 ∀ B̂ ∈ B (H)
⟹  Spur((T̂_{1} − T̂_{2})^{†} (T̂_{1} − T̂_{2})) = 0
⟹_{Lemma8.3.20} ∑_{ν=1}^{∞} \underbrace{⟨Φ_{ν} | (T̂_{1} − T̂_{2})^{†} (T̂_{1} − T̂_{2}) Φ_{ν}⟩}_{=∥(T̂_{1}−T̂_{2})Φ_{ν}∥^{2}} = 0

⟹  (T̂_{1} − T̂_{2}) Φ_{ν} = 0 ∀ ν ∈ ℕ

und somit die Behauptung.

Folgerung 8.3.22 Seien H ein separabler Hilbert-Raum und T̂ ein statistischer Operator auf H. Dann gilt für normiertes Ψ ∈ H :

\begin{matrix}Spur (T̂B̂) = ⟨Ψ | B̂ Ψ⟩ ∀ B̂ ∈ B (H) \\ ⟺ T̂ = P̂_{Ψ} . \end{matrix}  (8.31)

Beweisskizze: Gemäß Lemma 8.1.4 können wir Ψ_{1} = Ψ zu einem MONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} von H ergänzen. Gemäß Lemma 8.3.20 gilt dafür

Spur (T̂ B̂) = ⟨Ψ | T̂ B̂ Ψ⟩ + ∑_{ν=2}^{∞} ⟨Φ_{ν} | T̂ B̂ Φ_{ν}⟩ ∀ B̂ ∈ B (H) ,

wegen

Φ_{n}u ⊥ Ψ ∀ ν > 1

also

T̂ = P̂_{ψ} ⟹ Spur (T̂ B̂) = ⟨Ψ | T̂ B̂ Ψ⟩ ∀ B̂ ∈ B (H) .

Mit Lemma 8.3.21 folgt daraus die Behauptung.

Gemäß den Regeln der Quantenmechanik gilt:

• Der Zustandsraum eines quantenmechanischen Systems ist stets ein Hilbert-Raum H.

• Der Zustand eines quantenmechanischen Systems ist stets durch einen statistischen Operator T̂ auf seinem Zustandsraum gegeben.

• Jeder möglichen Eigenschaft E eines quantenmechanischen Systems entspricht genau ein Projektionsoperator P̂_{E} seines Zustandsraumes.

• Die Wahrscheinlichkeit für den positiven Ausgang eines optimalen Tests^{33} der Eigenschaft E eines quantenmechanischen Systems im T̂ entsprechenden Zustand ist^{34}

ωT̂(P̂_{E}) =^{def} Spur (T̂P̂_{E}) .

Alle grundsätzlichen Strukturen der Quantenmechanik lassen sich daraus ableiten.

Anmerkungen:

1. Gemäß dem Hilbert-Schmidt-Theorem existieren zu jedem statistischen Operator T̂ ein MONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} von H und eine Zahlenfolge {p_{ν}}_{ν∈ℕ} mit

T̂ = ∑_{ν=1}^{∞} p_{ν} |Φ_{ν}⟩⟨Φ_{ν}| , ∑_{ν=1}^{∞} \underbrace{p_{ν}}_{≥0} = 1 ,

und somit

ωT̂(P̂_{E}) = ∑_{ν=1}^{∞} p_{ν} ⟨Φ_{ν} | P̂_{E} Φ_{ν}⟩ .

2. Eine einfache — in der Regel aber unangemessene — Beschreibung der durch T̂ entsprechenden Situation ist folgende:

(a) ‘Tatsächlich’ liegt ein reiner Zustand ˆ= Ψ ∈ {Φ_{ν} : ν ∈ ℕ} vor.

(b) Die Wahrscheinlichkeit für Ψ ∝ Φ_{ν} ist jeweils p_{ν} .

Version vom 26. März 2009

33Man beachte jedoch, daß die gefundene Eigenschaft u.U. erst das Resultat des Tests ist, was in der klassischen Physik nicht beachtet wird.

34In diesem Zusammenhang sei an Folgerung 7.4.5, insbesondere Gleichung (7.53), erinnert.

3. Für normierte Ψ ∈ H gilt

ω{|Ψ⟩ \atop ⟨Ψ|}\binom{}{P̂_{E}} = ⟨Ψ | P̂_{E} Ψ⟩
= |  \underbrace{⟨Ψ | \frac{P̂ Ψ}{∥P̂ Ψ∥}⟩}_{”Wahrscheinlichkeitsamplitude“}|^{2}

= \{ \begin{matrix}Wahrscheinlichkeit für Ψ → P̂ Ψ/ ∥P̂ Ψ∥ \\ bei optimaler Überprüfung von E . \end{matrix}

4. Für nicht notwendig normierte ψ ∈ H gilt

\begin{aligned}ωP̂_{Ψ}\binom{}{P̂_{E}} & = & ⟨\frac{Ψ}{∥Ψ∥} | P̂_{E} \frac{Ψ}{∥Ψ∥}⟩ \\ & = & \begin{matrix}∥P̂_{E} Ψ∥ & 2 \\ ∥Ψ∥ & 2 \end{matrix} . \end{aligned}

Satz 8.3.23 (Gleason) Seien H ein separabler Hilbert-Raum der Dimension > 2 und ω eine Abbildung von der Menge aller Projektoren P̂ ∈ B (H) in das abgeschlossene Intervall [0, 1] mit folgender Eigenschaft:

Für jede Folge von Projektionsoperatoren P̂_{1}, P̂_{2}, … ∈ L (H) gilt

P̂_{ν}P̂_{μ} = 0 für ν ≠ μ ⟹ ω (∑_{ν=1}^{∞} P̂_{ν}) = ∑_{ν=1}^{∞} ω \binom{}{P̂_{ν}} .

Dann existiert ein statistischer Operator T̂ auf H mit ω = ωT̂.

Beweis: Siehe z.B. (Gleason, 1957), (Cooke et al., 1985), oder (Fuchs, 2002, pp. 17/18).

8.3.3 Unbeschränkte Operatoren

Satz 8.3.24 (Spektralsatz) Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ein linearer Operator in H, dessen Definitionsbereich D_{Â} in H dicht liegt. Dann ist Â genau dann selbstadjungiert, wenn dafür eine Spektralschar existiert, d.h. eine Schar \left\{{ \atop ÊÂ ; λ}\right\}_{λ∈ℝ} von Projektionsoperatoren mit folgenden Eigenschaften:^{35}

1.

(λ_{1} ≤ λ_{2} ⟹ ⟨Ψ | ÊÂ ; λ_{1}Ψ⟩ ≤ ⟨Ψ | ÊÂ ; λ_{2}Ψ⟩) ∀ Ψ ∈ H , λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ .

2.

lim_{λ→−∞} ⟨Ψ | ÊÂ ; λΨ⟩ = 0 ∀ Ψ ∈ H .

3.

lim_{λ→+∞} ⟨Ψ | ÊÂ ; λΨ⟩ = ⟨Ψ | Ψ⟩ ∀ Ψ ∈ H .

4.

lim_{ϵ→+0} ⟨Ψ | ÊÂ ; λ+ϵΨ⟩ = ⟨Ψ | ÊÂ ; λΨ⟩ ∀ Ψ ∈ H , λ ∈ ℝ .

5.

D_{Â} = {Ψ ∈ H : ∫ |λ|^{2} d⟨Ψ | ÊÂ ; λ Ψ⟩ < ∞} .

6.

⟨Ψ | Â Ψ⟩ = ∫ λ d⟨Ψ | ÊÂ ; λ Ψ⟩ ∀ Ψ ∈ D_{Â} .

Wenn Â selbstadjungiert ist, dann ist die zugehörige Spektralschar \left\{{ \atop ÊÂ ; λ}\right\}_{λ∈ℝ} eindeu-

tig.^{36}

Beweis: Siehe z.B. Sätze 3.1.2 und 3.2.7 von (Lücke, fuan).

Anmerkung: In der Quantenmechanik interpretiert man — im Sinne der vor Satz 8.3.23 angegebenen Regeln — selbstadjungierte Operatoren Â folgendermaßen als Observable physikalischer Größen A :

E ˆ= ”Wert von A ∈ (λ_{1}, λ_{2}]“ ⟺ P̂_{E} = ÊÂ ; λ_{2} − ÊÂ ; λ_{1} .

Dementsprechend gilt \underline{für Ψ ∈ D_{Â} :}

⟨\frac{Ψ}{∥Ψ∥}|Â \frac{Ψ}{∥Ψ∥}⟩ = \{Erwartungswert für A in dem dem statistischen Operator P̂_{Ψ} entsprechenden Zustand.

Daß dieser Ausdruck i.a. nicht für alle Ψ ∈ H existiert, ist physikalisch verständlich.

Folgerung 8.3.25 Version vom 26. März 2009

35Wenn g eine monotone und f eine stetige (komplexwertige) Funktion über ℝ ist, dann ist für beliebige λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ mit λ_{1} < λ_{2} :

\begin{matrix}∫_{(λ_{1},λ_{2}]} f(λ) dg(λ) \\ = lim_{n→∞} ∑_{ν=2}^{n+1} f (λ_{1} + ν \frac{λ_{2} − λ_{1}}{n} ) (g (λ_{1} + ν \frac{λ_{2} − λ_{1}}{n} ) − g (λ_{1} + (ν − 1) \frac{λ_{2} − λ_{1}}{n} )) \end{matrix}

(Riemann-Stieltjes-Integral).

36Das (i.a. nicht diskrete) Komplement der Vereinigung aller offenen Intervalle, über denen ÊÂ ; λ (als Funktion von λ) konstant ist, bezeichnet man als das Spektrum von Â.

Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum, {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} ein MONS von H und {a_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ ℝ. Dann ist der durch

D_{Â} =^{def} {Ψ ∈ H : ∑_{ν∈ℕ}|a_{ν} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩|^{2} < ∞}

und

Â Ψ =^{def} ∑_{ν∈ℕ}a_{ν} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν} ∀ Ψ ∈ D_{Â}

gegebene Operator selbstadjungiert und seine Spektralschar ist

{ÊÂ ; λ = ∑_{ν∈ℕ_{aν ≤λ}} P̂_{Φ_{ν}}}_{λ∈ℝ} .

Definition 8.3.26 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ein linearer Operator in H. Dann nennt man Â sei im wesentlichen selbstadjungiert, wenn genau eine selbstadjungierte Erweiterung von Â existiert.

Anmerkung: In der Quantenmechanik werden die Observablen üblicherweise mithilfe Hermitescher Operatoren identifiziert, die nur im wesentlichen selbstadjungiert sind.

Folgerung 8.3.27 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â ein beschränkter linearer Operatoren in H, dessen Definitionsbereich D_{Â} in H dicht liegt. Dann existiert genau ein \overline{Â} ∈ B(H) , das eine Erweiterung von Â ist.

Beweisskizze: Da Â beschränkt ist, existiert gemäß den Definitionen 8.3.3 und 8.1.11 ein C > 0 mit

∥Ψ∥ = 1 ⟹ ∥Â Ψ∥ ≤ C ∀ Ψ ∈ D_{Â} .

Aufgrund der Linearität von Â folgt daraus

∥Â Ψ∥ ≤ C ∥Ψ∥ ∀ Ψ ∈ D_{Â} .

Seien nun Ψ ∈ H beliebig vorgegeben. Da D_{Â} in H dicht liegt, existiert dazu eine Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ D_{Â} mit

Ψ = lim_{ν→∞} Ψ_{ν} .

Die Definition

\overline{Â} Ψ =^{def} lim_{ν→∞} Â Ψ_{ν}

ist aber offensichtlich von der Wahl der Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} unabhängig und liefert somit den gesuchten Operator \overline{Â} ∈ B(H) , dessen Eindeutigkeit offensichtlich ist.

Satz 8.3.28 Seien H ein Hilbert-Raum und Â ein symmetrischer Operator Â in H, also ein Hermitescher Operator, dessen Definitionsbereich in H dicht liegt. Dann besitzt Â genau dann eine selbstadjungierte Erweiterung, wenn seine Defektindizes

n_{±}(Â) =^{def} dim({Ψ ∈ DÂ^{†} : Â^{†} Ψ = ±i Ψ})

übereinstimmen (also n_{−}(Â) = n_{+}(Â)). Â ist genau dann im wesentlichen selbstadjungiert, wenn n_{−}(Â) = n_{+}(Â) = 0 gilt.

Beweis: Siehe (Reed und Simon, 1975, Th. X.2).

Definition 8.3.29 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â, B̂ selbstadjungierte Operatoren in H. Dann nennt man Â und B̂ (miteinander) vertauschbar, falls ihre Spektraloperatoren im naiven Sinne vertauschbar sind; d.h. falls

ÊÂ ; λ_{1} ÊB̂ ; λ_{2} = ÊB̂ ; λ_{2} ÊÂ ; λ_{1} ∀ λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ

gilt.

Anmerkung: In der Quantenmechanik nennt man vertauschbare Observable auch kommensurabel, da sie physikalischen Größen entsprechen, die gemeinsam ”meßbar“ sind.^{37}

Definition 8.3.30 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum, Â ein selbstadjungierter Operator in H und f eine stetige (komplexwertige) Funktion auf ℝ. Dann ist die entsprechende Funktion von Â durch

D_{f(Â)} =^{def} {Ψ ∈ H : ∫ |f(λ)|^{2} d ⟨Ψ | ÊÂ ; λ Ψ⟩ < ∞}

und

⟨Ψ | f(Â) Ψ⟩ =^{def} ∫ f(λ) d ⟨Ψ | ÊÂ ; λ Ψ⟩ ∀ Ψ ∈ D_{f(Â)}

gegeben.

Lemma 8.3.31 Unter den Voraussetzungen von Definition 8.3.30 gelten folgende Aussagen:

f(λ) ∈ ℝ ∀ λ ∈ ℝ ⟹ f(Â) selbstadjungiert ,
f beschränkt ⟹ f(Â) beschränkt ,
|f(λ)| = 1 ∀ λ ∈ ℝ ⟹ f(Â) unitär .

Version vom 26. März 2009

37Vgl. Aufgabe E65.

Beweisskizze zur 1. Behauptung: Für jedes λ ∈ ℝ existiert eine höchstens abzählbare Menge Z_{λ} paarweise disjunkter, links offener, rechts abgeschlossener Intervalle mit

f^{−1}((−∞, λ)) = ⋃_{I∈Z_{λ}} I .

Damit ergibt sich der entsprechende Spektraloperator von f(Â) gemäß

Ê_{λ}^{f(Â)} Ψ = s- lim_{ϵ→+0} ∑_{(λ_{1},λ_{2}]∈Z_{λ+ϵ}} (ÊÂ ; λ_{2} − ÊÂ ; λ_{1}) Ψ ∀ λ ∈ ℝ , Ψ ∈ H .

Anmerkungen:

1. In der Quantenmechanik \underline{abgeschlossener} Systeme ist die Zeitentwicklung (im Schrödinger-Bild) stets mithilfe eines selbstadjungierten Hamilton-Operators Ĥ, der Observablen der Energie, durch

T̂(t) = e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥ t} T̂(0) e^{+ \frac{i}{ℏ} Ĥ t}

gegeben, wobei T̂(t) jeweils den statistischen Operator zum Zeitpunkt t beschreibt.^{38} Das entspricht formal der sog. Liouville-Gleichung

iℏ \frac{d}{dt} T̂(t) = [Ĥ , T̂(t)]_{−} ∀ t ∈ ℝ .

Insbesondere für Vektorzustände gilt also

T̂(0) = |Ψ_{0}⟩⟨Ψ_{0}| ⟹ T̂(t) = |Ψ_{t}⟩⟨Ψ_{t}| ,

wobei

Ψ_{t} =^{def} e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥ t} Ψ_{0} ∀ t ∈ ℝ

der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

iℏ \frac{∂}{∂t} Ψ_{t} = Ĥ Ψ_{t}

genügt, die — ohne distributionstheoretische Interpretation^{39} — allerdings bestenfalls für Ψ_{0} ∈ DĤ Sinn macht.

2. Wenn man ein solches System (mit geeigneten Randbedingungen) auf ein endliches Volumen V beschränkt, dann gehört der Operator

ρ̂_{T,V}^{kan} =^{def} e^{− \frac{Ĥ}{kT}}

(k =Boltzmann-Konstante, T =absolute Temperatur) i.d. Regel zu Spurklasse und damit ist der statistische Operator

T̂_{T,V}^{kan} =^{def} e^{− \frac{Ĥ}{kT}} /Spur (e^{− \frac{Ĥ}{kT}} )

der sog. kanonischen Gesamtheit^{40} wohldefiniert. Der damit

Version vom 26. März 2009

38Ein eventueller Meßeingriff würde die Abgeschlossenheit natürlich stören. 39Siehe dazu Abschnitt 9.1.1. 40Siehe z.B. (Lücke, tdst, Abschn. 3.2).

gegebenen Zustand entspricht — makroskopisch betrachtet — dem thermodynamischen Gleichgewicht des Systems bei der absoluten Temperatur T . Die freie Energie in diesem Zustand ist

F^{kan}(T, V) =^{def} −kT ln Z^{kan}(T, V) ,

wobei

Z^{kan}(T, V) =^{def} Spur (e^{− \frac{Ĥ}{kT}} )

die sog. kanonische Zustandssumme bezeichnet. Die zugehörige Entropie ist

S^{kan}(T, V) =^{def} −\frac{∂}{∂T} F^{kan}(T, V)
= −k Spur (T̂_{T,V}^{kan} ln T̂_{T,V}^{kan}) .

stimmt also in diesem Falle^{41} bis auf den Faktor k ln(2) mit der sog. von Neumann-Entropie

S_{1}(T̂_{T,V}^{kan}) =^{def} −Spur(T̂_{T,V}^{kan} log_{2} \binom{}{T̂_{T,V}^{kan}})

überein, die ihrerseits für

T̂_{T,V}^{kan} = ∑_{ν=1} p_{ν} Φ_{ν} , {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} MONS von H ,

mit der sog. Shannon-Entropie

H({p_{ν}}_{ν∈ℕ}) =^{def} − ∑_{ν=1}^{∞} p_{ν} log_{2}(p_{ν})

der klassischen Informationstheorie^{42} übereinstimmt.

Lemma 8.3.32 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum, Â selbstadjungierter Operator in H und f, g stetige Funktionen auf ℝ. Dann gilt^{43}

\begin{aligned}f(Â) + g(Â) & ⊂ & (f + g)(Â) , \\ f(Â) g(Â) & ⊂ & (f g)(Â) , \end{aligned}

Version vom 26. März 2009

41Man beachte aber, daß die thermodynamische Entropie — im Gegensatz zur von Neumann-Entropie — für abgeschlossene Systeme wachsen, kann solange das thermodynamische Gleichgewicht noch nicht erreicht ist! Siehe dazu z.B. (Adami, 2004, Sect. 1.4).

42Siehe (Shannon, 1949b). 43Wenn B̂ eine Erweiterung von Â ist, wird das üblicherweise durch Â ⊂ B̂ mitgeteilt. Mit f ∘ g

bezeichnet man üblicherweise die Komposition der Funktionen g und f :

(f ∘ g)(λ) =^{def} f(g(λ)) ∀ λ ∈ ℝ .

und^{44}

f(g(Â)) ⊂ (f ∘ g)(Â) .

Beweis: Übungsvorschlag.

8.3.4 Symmetrien

Eine konkrete Quantentheorie mit dem Zustandsraum H verlangt eine Zuordnung der Observablen Â zu den physikalischen Größen, für die man sich interessiert. Erst dadurch bekommt ein Zustandsvektor — im Sinne der vor Satz 8.3.23 angegebenen Regeln — seine physikalische Bedeutung. Dabei spielt es aber aus rein physikalischer Sicht keine Rolle, welche der beiden in Tabelle 8.1 angegebenen Zuordnungen man wählt, wenn Û ein unitärer Operator auf H ist.

Zuordnung 1 Zuordnung 2
Zustandsvektor  Ψ  Û Ψ
Observable von A  Â  Û Â Û^{−1}

Tabelle 8.1: Wirkung eines unitären Symmetrieoperators Û

In diesem Sinne entspricht jedem unitären Operator auf H eine Symmetrieoperation (Wigner-Symmetrie). Das wird z.B. bei dem in Tabelle 8.2 beschriebenen Wechsel zwischen Schrödinger- und Heisenberg-Bild ausgenutzt. Dabei ist jedem Zeitpunkt t ein Symmetrieoperator Û(t) = e^{\frac{i}{ℏ} Ĥ t} zugeordnet. Die gesamte Schar bildet offensichtlich eine stetige 1-parametrige Gruppe unitärer Operatoren,^{45} obwohl Ĥ i.a. unbeschränkt ist.

Version vom 26. März 2009

44Die linke Seite ist bisher, streng genommen, allerdings nur für reell-wertiges g erklärt.

45Siehe Definition 7.3.23.

Schrödinger-Bild Heisenberg-Bild
Zustandsvektor  Ψ(t)  Ψ(0) = e^{\frac{i}{ℏ} Ĥ t} Ψ(t)
Observable von A  Â(0)  Â(t) = e^{\frac{i}{ℏ} Ĥ t}Â e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥ t}

Tabelle 8.2: Schrödinger- und Heisenberg-Bild zum Zeitpunkt t

Anmerkung: Aus

∥Û(t′) Ψ − Û(t) Ψ∥^{2} = ⟨Û(t′) Ψ | Û(t′) Ψ⟩ + ⟨Û(t) Ψ | Û(t) Ψ⟩
− ⟨Û(t′) Ψ | Û(t) Ψ⟩ − ⟨Û(t) Ψ | Û(t′) Ψ⟩
= 2 ∥Ψ∥^{2} − 2 ℜ⟨Ψ | \underbrace{Û(t′)^{−1}}_{Û(−t′)} Û(t) Ψ⟩

erkennt man leicht, daß die in Definition 7.3.23 geforderte schwache Stetigkeit (Bedingung 3) starke Stetigkeit impliziert:

s- lim_{t′→t} Û(t′) Ψ = Û(t) Ψ ∀ t ∈ ℝ , Ψ ∈ H .

Satz 8.3.33 (Satz von Stone) Sei H ein Hilbert-Raum. Dann ist eine Familie {Û(t)}_{|_{t∈ℝ}} von Operatoren auf H genau dann eine stetige 1-parametrige Gruppe

unitärer Operatoren auf H, wenn sie einen selbstadjungierten Generator besitzt, d.h. einen selbstadjungierter Operator Â mit

Û(t) = e^{i Â t} ∀ t ∈ ℝ .  (8.32)

Falls ein solcher Generator existiert, ist er durch

D_{Â} = {Ψ ∈ H : Û(t) Ψ (stark) differenzierbar}  (8.33)

und

Â Ψ = (\frac{d}{dt}Û(t) Ψ)_{|t=0} ∀ Ψ ∈ D_{Â}  (8.34)

gegeben.

Beweis: Siehe z.B. (Reed und Simon, 1972, Theorem VIII,8).

8.4 Multilineare Funktionale

8.4.1 Beschränkte lineare Funktionale

Lemma 8.4.1 Sei H ein Hilbert-Raum. Dann ist auch L(H, ℂ) ein Hilbert-Raum,^{46} denn für jede Konjugation^{47} K auf H definiert

Û(Ψ) =^{def} ⟨K(Ψ)| ∀ Ψ ∈ H

Version vom 26. März 2009

46Der Euklidische Vektorraum L(H, ℂ) wurde direkt im Anschluß an Lemma 7.4.9 eingeführt. 47Der Begriff der ”Konjugation“ wurde in Definition 7.4.7 eingeführt.

eine lineare Abbildung Û von H auf L(H, ℂ) mit

∥Û(Ψ)∥ = ∥Ψ∥ ∀ Ψ ∈ H .

Als Menge stimmt L(H, ℂ) mit der Gesamtheit aller beschränkten linearen Funktionale auf H überein.

Beweis: Die Behauptungen folgen unmittelbar aus Lemma 7.4.8 und dem Satz von Riesz.

Anmerkungen:

1. Den Hilbert-Raum L (H, ℂ) nennt man auch den (topologischen) Dualraum von H.

2. Die Elemente des Dualraums nennt man auch Kovektoren.

Folgerung 8.4.2 Seien H ein Hilbert-Raum und L′ ein beschränktes lineares Funktional auf L(H, ℂ) . Dann existiert genau Ψ_{0} ∈ H mit L′ = |Ψ_{0}⟩, wobei^{48}

|Ψ_{0}⟩ (⟨Ψ|) =^{def} ⟨Ψ | Ψ_{0}⟩ ∀ Ψ ∈ H .  (8.35)

Beweis: Nach Lemma 8.4.1 ist L(H, ℂ) ein Hilbert-Raum. Deshalb gilt auch für L(H, ℂ) der Satz von Riesz, d.h. es existiert ein L_{0} ∈ L(H, ℂ) mit

L′(L_{0}) = ⟨L_{0} | L⟩ ∀ L ∈ L(H, ℂ) .

Da nach dem Satz von Riesz andererseits zu je zwei beschränkten linearen Funktionalen L, L_{0} auf H eindeutige Vektoren Ψ, Ψ_{0} ∈ H existieren mit^{49}

L = ⟨Ψ| , L_{0} = ⟨Ψ_{0}| , ⟨L_{0} | L⟩ = ⟨Ψ | Ψ_{0}⟩ ,

folgt daraus die Behauptung.

Version vom 26. März 2009

48Gleichung (8.35) ist die direkte Verallgemeinerung von (7.61). 49Es sei daran erinnert, daß

λ_{1} ⟨Ψ_{1}| + λ_{2} ⟨Ψ_{2}| = ⟨λ_{1}^{∗} Ψ_{1} + λ_{2}^{∗} Ψ_{2}| ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H , λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ .

Lemma 8.4.3 Seien H ein separabler Hilbert-Raum und K eine Konjugation auf H. Dann existiert ein MONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} von H mit^{50}

K(∑_{ν∈ℕ}z_{ν} Φ_{ν}) = ∑_{ν∈ℕ}z_{ν}^{∗} Φ_{ν} ∀ z ∈ ℓ^{2} .  (8.36)

Beweis: Analog demjenigen von Lemma 7.4.9.

Definition 8.4.4 Seien H ein Hilbert-Raum und ω ein lineares Funktional auf B(H) . Man nennt ω positiv, wenn

ω(Â^{†}Â) ≥ 0 ∀ Â ∈ B(H)

gilt. Man nennt ω normiert, wenn ω(ˆ1) = 1 gilt. Unter einem Zustand versteht man normiertes, positives, lineares Funktional ω auf B(H) . Einen Zustand ω nennt man normal, wenn ein statistischer Operator T̂ ∈ T_{1}(H) existiert mit

ω(Â) = Spur(T̂Â) ∀ Â ∈ L(H).

Lemma 8.4.5 Seien H ein Hilbert-Raum und ω ein positives, lineares Funktional auf B(H) . Dann gelten folgende Aussagen:

(i)  ω(Â^{†}) = (ω(Â))^{∗} ∀ Â ∈ B(H)  (Hermitezität ) .
(ii)  |ω(Â^{†}B̂)|^{2} ≤ ω(Â^{†}Â) ω(B̂^{†}B̂) ∀ Â, B̂ ∈ B(H)

(Schwarzsche Ungleichung ) .

(iii)  ω(Â) ≤ ∥Â∥ ω(ˆ1) ∀ Â ∈ B(H)  (⇝ Beschränktheit) .

Beweisskizze zu (i): Aus

0 ≤ ω((ˆ1 + Â^{†})(ˆ1 + Â)) = \underbrace{ω(ˆ1)}_{≥0} + \underbrace{ω(Â^{†}Â)}_{≥0} + \underbrace{ω(Â) + ω(Â^{†})}_{also reell}

folgt

Â = Â^{†} ⟹ ω(Â) = ω(Â)^{∗}

und daraus mit

Â = \underbrace{\frac{Â + Â^{†}}{2}}_{selbstadj.} −i \underbrace{(i \frac{Â − Â^{†}}{2} )}_{selbstadj.} ∀ Â ∈ B (H)

Version vom 26. März 2009

50Der Folgenraum ℓ^{2} wurde in Lemma 8.1.17 eingeführt. die Behauptung.

Beweisskizze zu (ii): Im Falle ω(Â^{†}Â) ≠ 0 läßt sich die Behauptung wie die gewöhnliche Schwarzsche Ungleichung beweisen:Mit den Definitionen

B̂_{∥} =^{def} \frac{ω(Â^{†}B̂)}{ω(Â^{†}Â)} Â , B̂_{⊥} =^{def} B̂ − B̂_{∥}

gilt

ω(B̂_{∥}^{†}B̂_{⊥}) = ω(B̂_{⊥}^{†}B̂_{∥}) = 0

und somit

ω(B̂^{†}B̂) = ω(B̂_{∥}^{†} B̂_{∥}) + ω(B̂_{⊥}^{†} B̂_{⊥})
≥ ω(B̂_{∥}^{†} B̂_{∥})
= |ω(Â^{†} B̂)| /ω(Â^{†}Â) .

Aufgrund der Hermitezität von ω folgt damit (ii) auch für ω(B̂^{†} B̂) ≠ 0 . Im Falle ω(Â^{†}Â) = ω(B̂^{†} B̂) = 0 gilt andererseits

0 ≤ ω((Â ± B̂)^{†}(Â ± B̂))
= \underbrace{ω(Â^{†}Â) + ω(B̂^{†} B̂)}_{=0} ±(ω(B̂^{†}Â) + ω(Â^{†} B̂))
=_{(i)} ±2 ℜ(ω(Â^{†} B̂))

sowie

0 ≤ ω((Â ± i B̂)^{†}(Â ± i B̂))
= \underbrace{ω(Â^{†}Â) + ω(B̂^{†} B̂)}_{=0} ±i(ω(B̂^{†}Â) − ω(Â^{†} B̂))
=_{(i)} ±2 ℑ(ω(Â^{†} B̂))

und somit ω(Â^{†} B̂) = 0 .

Beweisskizze zu (iii): Wegen

⟨Ψ | (∥Â∥ ˆ1 − Â) Ψ⟩ ≥ 0 ∀ Ψ ∈ H

ist Ĉ =^{def} ∥Â∥ ˆ1 − Â selbstadjungiert^{51} und für die zugehörige Spektralschar muß

ÊĈ ; λ = 0 ∀ λ < 0

gelten. Daraus folgt

0 ≤ ω ( \sqrt[+]{Ĉ}^{†} ^{+} \sqrt{Ĉ})
= ω(Ĉ)
= ∥Â∥ \underbrace{ω(ˆ1)}_{=1} −ω(Â) .

Version vom 26. März 2009

51Man beachte Aufgabe E57.2.

8.4.2 Beschränkte bilineare Funktionale

Definition 8.4.6 Seien H ein Euklidischer Raum und B eine Bilinearform auf H. Dann nennt man B beschränkt, falls

T beschränkt ⟹ B(T × T) beschränkt

für jede Teilmenge T von H gilt.

Lemma 8.4.7 Seien H ein Hilbert-Raum, B eine beschränkte Bilinearform auf H und K eine Konjugation auf H. Dann gilt:

1. Es existiert genau ein B̂ ∈ B(H) mit

B(Ψ_{1}, Ψ_{2}) = ⟨K(Ψ_{1}) | B̂ Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H .

2. Genau dann, wenn B̂ = B̂^{†} gilt, definiert

Q(Ψ_{1}, Ψ_{2}) =^{def} B(K(Ψ_{1}), Ψ_{2}) ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H

eine Hermitesche Semibilinearform^{52} auf H.

Beweisskizze: Für jedes feste Ψ_{2} ∈ H ist

H ∋ Ψ_{1} ⟼ B(Ψ_{1}, Ψ_{2}) ∈ ℂ

ein beschränktes lineares Funktional auf H. Nach dem Satz von Riesz existiert deshalb zu jedem Ψ_{2} ∈ H genau ein Ψ_{2}^{B} ∈ H mit

\begin{aligned}B(Ψ_{1}, Ψ_{2}) & = & ⟨Ψ_{2}^{B} | Ψ_{1}⟩ \\ & = & ⟨K(Ψ_{1}) | K(Ψ_{2}^{B})⟩ ∀ Ψ_{1} ∈ H . \end{aligned}

Mit

B̂ Ψ_{2} =^{def} K(Ψ_{2}^{B}) ∀ Ψ_{2} ∈ H

und der Antilinearitär der Abbildung Ψ_{2} ↦ Ψ_{2}^{B} folgt daraus die erste Behauptung. Die zweite Behauptung ergibt sich mit Folgerung 8.3.11 aus

Q(Ψ_{1}, Ψ_{2}) = ⟨K(K(Ψ_{1})) | B̂ Ψ_{2}⟩
=_{(7.56)} ⟨Ψ_{1} | B̂ Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H .

Lemma 8.4.8 Seien H ein Hilbert-Raum und {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} ein MONS von H. Dann ist durch

∥B′∥ =^{def} \sqrt{∑_{ν,μ∈ℕ} |B′(⟨Φ_{ν}| , ⟨Φ_{μ}|)|^{2}}

eine Euklidische Norm auf dem Vektorraum H ⊗H aller beschränkten Bilinearformen B′ auf L(H, ℂ) gegeben, die nicht von der Wahl des MONS {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} abhängt. Bzgl. dieser Norm ist H ⊗ H ein Hilbert-Raum, das sog. (topologische) Tensorprodukt von H mit sich selbst, und^{53}

{Φ_{ν} ⊗ Φ_{μ}}_{ν,μ∈ℕ} ist ein MONS von H ⊗ H .

Beweis: Analog demjenigen von Lemma 7.4.14.

8.4.3 Allgemeinere Tensorprodukte

Definition 8.4.9 Seien H_{1}, …, H_{N} (komplexe) Hilbert-Räume. Dann bezeichnen wir mit L(L(H_{1}, ℂ), …, L(H_{N}, ℂ), ℂ) den komplexen Vektorraum aller Abbil-

dungen von H_{1} × … × H_{N} in ℂ, die in jedem Argument linear sind. Ein M̌_{0} ∈ L(L(H_{1}, ℂ), …, L(H_{N}, ℂ), ℂ) nennt man beschränkt, wenn

L_{1}, …, L_{N} beschränkt ⟹ M̌_{0}(L_{1}, …, L_{N}) beschränkt

für alle L_{1} ⊂L(H_{1}, ℂ), …, Ť_{N} ⊂L(H_{N}, ℂ) gilt. Mit H_{1} ⊗…⊗H_{N} wird der Teilraum aller beschränkten M̌ ∈ L(L(H_{1}, ℂ), …, L(H_{N}, ℂ), ℂ) bezeichnet.

Lemma 8.4.10 Seien H_{1}, …, H_{N} (komplexe) Hilbert-Räume und sei für j ∈ {1, …, N} jeweils {Φ_{j,ν}}_{ν∈ℕ} ein MONS von H_{j}. Dann ist durch

∥M̌∥ =^{def} \sqrt{∑_{ν_{1},...,ν_{N} ∈ℕ} |M̌(⟨Φ_{1,ν_{1}}| , …, ⟨Φ_{N,ν_{N}} |)|^{2}} ∀ M̌ ∈ H_{1} ⊗ … ⊗ H_{N} (8.37)

eine Euklidische Norm auf H_{1}⊗…⊗H_{N} gegeben, die nicht von der speziellen Wahl der MONS {Φ_{j,ν}}_{ν∈ℕ} abhängt. Bzgl. dieser Norm ist H_{1} ⊗ … ⊗ H_{N} ein Hilbert-Raum und^{54}

{Φ_{1,ν_{1}} ⊗ … Φ_{N,ν_{N}} }_{ν_{1},...,ν_{N} ∈ℕ} ein MONS von H_{1} ⊗ … ⊗ H_{N} .

Version vom 26. März 2009

53Das Tensorprodukt von Vektoren wurde in Gleichung (7.62) eingeführt.

54Das Tensorprodukt mehrerer Vektoren wurde in Lemma 7.4.17 eingeführt.

Beweis: Direkte Verallgemeinerung des Beweises von Lemma 8.4.8.

Anmerkungen:

1. Den Hilbert-Raum H_{1} ⊗ … ⊗ H_{N} mit dem (8.37) entsprechenden inneren Produkt bezeichnet man als das (topologische) Tensorprodukt der Hilbert-Räume H_{1}, …, H_{N} .

2. Den linearen Teilraum^{55}

H_{1}⊗_{alg}…⊗_{alg}H_{N} =^{def} L({Ψ_{1} ⊗ … ⊗ Ψ_{N} : Ψ_{j} ∈ H_{j} für j = 1, …, N})

davon bezeichnet man (in Verallgemeinerung von Definition 7.4.16) als das algebraische Tensorprodukt der linearen Räume H_{j}.

3. Offensichtlich gilt

⟨Ψ_{1} ⊗ … ⊗ Ψ_{N} | Ψ′_{1} ⊗ … ⊗ Ψ′_{N}⟩ = ∏_{ν=1}^{N} ⟨Ψ_{ν} | Ψ′_{ν}⟩  (8.38)

für beliebige Ψ_{1}, Ψ_{1} ∈ H_{1} , …, Ψ_{N}, Ψ_{N} ∈ H_{N} .

Definition 8.4.11 Seien H_{1}, …, H_{N} (komplexe) Hilbert-Räume und seien Â_{j} für j = 1, …, N jeweils ein linearer Operator in H_{j}. Dann bezeichnen wir den durch

D_{Â_{1}⊗...⊗Â_{N}} =^{def} L({Ψ_{1} ⊗ … ⊗ Ψ_{N} : Ψ_{j} ∈ DÂ_{j} für j = 1, …, N})

und

(Â_{1} ⊗ … ⊗ Â_{N}) (Ψ_{1} ⊗ … ⊗ Ψ_{N}) =^{def} (Â_{1}Ψ_{1}) ⊗ … ⊗ (Â_{N}Ψ_{N})

∀ (Ψ_{1}, …, Ψ_{N}) ∈ DÂ_{1} × … × DÂ_{N}

festgelegten linearen Operator Â_{1} ⊗…⊗Â_{N} in H_{1}, …, H_{N} als das Tensorprodukt der Operatoren Â_{1}, …, Â_{N} .

Quantenmechanische Bedeutung:

• Wenn jeweils H_{ν} der Zustandsraum des quantenmechanischen Systems S_{ν} ist und die S_{ν} unterscheidbar sind, dann ist H_{1} ⊗ … ⊗ H_{n} der Zustandsraum des aus S_{1}, …, S_{n} bestehenden (Gesamt-) Systems S.

Version vom 26. März 2009

55Es sei daran erinnert, daß L(T) die lineare Hülle von T bezeichnet.

98KAPITEL 8. UNENDLICHDIMENSIONALE KOMPLEXE VEKTORRÄUME

• Wenn außerdem Â_{ν} jeweils die Observable der physikalischen Größe A_{ν} von S_{ν} ist , dann ist \overline{Â_{1} ⊗ … ⊗ Â_{n}} die Observable der Größe A_{1} ⋯ A_{n} von S.

• Dementsprechend gilt dann z.B.

⟨Ψ | (P̂_{E_{1}} ⊗ P̂_{E_{n}}) Ψ⟩ = \{ \begin{matrix}Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei optimaler Überprüfung \\ im Zustand ˆ= Ψ ∈ H_{1} ⊗ … ⊗ H_{n} für jedes ν ∈ \{1, …, n\} \\ jeweils die Eigenschaft E_{ν} an S_{ν} festgestellt wird . \end{matrix}

• Speziell für Zustandsvektoren der Form

Ψ = Ψ_{1} ⊗ … ⊗ ψ_{n}

gilt dabei die Beziehung

⟨Ψ | (P̂_{E_{1}} ⊗ P̂_{E_{n}}) Ψ⟩ = ∏_{ν=1}^{n} ⟨Ψ_{ν} | P̂_{E_{1}} Ψ_{ν}⟩ ,

also die statistische Unabhängigkeit der Teilsysteme S_{1}, …, S_{n}.

Verallgemeinerte Funktionen

9.1 Grundlegendes

9.1.1 Definitionen

Die elementare SchrödingerGleichung

iℏ \frac{∂}{∂t} Ψ_{t}(x) = (−\frac{ℏ^{2}}{2m} Δ_{x} + V (x)) Ψ_{t}(x)  (9.1)

macht nicht für alle Anfangsbedingungen

Ψ_{0} ∈ L^{2}(ℝ^{3})

Sinn, wenn man die partiellen Ableitungen im üblichen Sinne als Grenzwerte entsprechender Differenzenquotienten interpretiert. Man kann die Elemente Ψ von L^{2}(ℝ^{3}) aber auch als temperierte Schwartz-Distributionen interpretieren.

Definition 9.1.1 Sei n ∈ ℕ. Dann versteht man unter einer temperierten Distribution über ℝ^{n} eine lineares Funktional F auf dem Schwartz-Raum^{1}

S(ℝ^{n}) =^{def} {φ ∈ C^{∞}(ℝ^{n}) : ∥φ∥_{N} < ∞ ∀ N ∈ ℕ} ,

wobei: ∥φ∥_{N} =^{def} sup_{x∈ℝ^{n}} (1 + ∥x∥)^{N} sup_{α^{1},...,α^{n}∈ℤ_{+}_{α^{1}+...+α^{n}≤N}} |(\frac{∂}{∂x^{1}} )^{α^{1}} … (\frac{∂}{∂x^{n}} )^{α^{n}} φ(x)| ,

(9.2)

das stetig in folgendem Sinne ist:

∥φ_{ν}∥_{N} ⟶_{ν→∞} 0 ∀ N ∈ ℕ  ⟹  F (φ_{ν}) ⟶_{ν→∞} 0 .  (9.3)

Version vom 26. März 2009

1Für n = 1 wurde S(ℝ^{n}) bereits in (8.14) definiert. C^{∞}(ℝ^{n}) bezeichnet die Menge aller beliebig oft differenzierbaren komplexwertigen Funktionen über ℝ^{n}.

Für Distributionen F benutzt man aus mnemotechnischen Gründen die (i.a. nur) formale Schreibweise^{2}

∫ F (x) φ(x) dV_{x} =^{def} F (φ) ∀ φ ∈ S(ℝ^{n}) .  (9.4)

Wenn F (x) eine gewöhnliche Funktion ist, für die dieses Integral im üblichen Sinne existiert, dann identifiziert man F (x) mit dem im Sinne von (9.4) zugeordneten linearen Funktion F auf ℝ^{n}. Temperierte Distributionen dieses Typs nennt man regulär. Die Elemente von S(ℝ^{n}) nennt man temperierte (Test-) Funktionen über ℝ^{n}.

Im Sinne von (9.4) identifiziert man jedes Ψ ∈ L^{2}(ℝ^{n}) gemäß

Ψ(φ) =^{def} ⟨Ψ^{∗} | φ⟩ ∀ φ ∈ S(ℝ^{n}) ⊂ L^{2}(ℝ^{n})  (9.5)

mit einer temperierten Funktion über ℝ^{n}.

Für polynomial beschränkte^{3} differenzierbare Funktionen F (x) über ℝ^{n} gilt

∫ (\frac{∂}{∂x^{j}} F (x)) φ(x) dV_{x} = ∫ F (x) (−\frac{∂}{∂x^{j}} ) φ(x) dV_{x} .  (9.6)

Im Sinne von (9.4) liegt es deshalb nahe, (9.6) als Definition für die partielle Ablei-

tung \frac{∂}{∂x^{j}} F von Distributionen F zu verwenden. Damit bekommt Δ_{x} Ψ_{t}(x) in (9.1) auch für (im gewöhnlichen Sinne) nicht differenzierbare Ψ ∈ L^{2}(ℝ^{3}) die richtige Bedeutung.

Erläuterung: Die eigentliche Aufgabe der Schrödinger-Gleichung (9.1) ist die Festlegung der Zeitabhängigkeit^{4}

Ψ_{t}(x) = e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥ t} Ψ_{0}(x)  (9.7)

für beliebige L^{2}(ℝ)-Anfangsbedingungen durch i.w. selbstadjungierte Hamilton-Operatoren Ĥ mit

DĤ = S(ℝ^{3})

und

Ĥ φ(x) = (−\frac{ℏ^{2}}{2m} Δ_{x} + V (x)) φ(x) ∀ φ ∈ DĤ .

Version vom 26. März 2009

2Für x ∈ ℝ^{n} meint dV_{x} stets dx^{1} … dx^{n} in karthesischen Koordinaten.

3Polynomial beschränkt meint:

sup_{x∈ℝ^{n}} (1 + ∥x∥)^{N} |F (x)| < ∞ ∀ N ∈ ℕ .

4In (9.7) müßte, streng genommen, eigentlich die eindeutige selbstadjungierte Erweiterung von Ĥ eingesetzt werden.

Für solche Ĥ gilt

iℏ \frac{d}{dt} Ψ_{t}(φ) = iℏ \frac{d}{dt} ⟨Ψ_{t}^{∗} | φ⟩
=_{(9.7)} iℏ \frac{d}{dt} ⟨e^{+ \frac{i}{ℏ} Ĥ t} Ψ^{∗} | φ⟩
= iℏ \frac{d}{dt} ⟨Ψ^{∗} | e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥ t} φ⟩
= ⟨Ψ^{∗} | e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥ t} Ĥ φ⟩
= ⟨Ψ_{t}^{∗} | Ĥ φ⟩
= (V Ψ_{t})(φ) − \frac{ℏ^{2}}{2m} Ψ_{t}(Δφ) ∀ φ ∈ S(ℝ^{3}) , Ψ_{0} ∈ L^{2}(ℝ^{3}) ,

d.h. aus (9.7) folgt (9.1) im distributionstheoretischen Sinne. Umgekehrt folgt (9.7) aus der so interpretierten Schrödinger-Gleichung, wenn Ψ_{t}(φ) — wie normalerweise der Fall — für eine in L^{2}(ℝ) dichte Teilmenge von Elementen φ ∈ S(ℝ^{3}) als Funktion von t an jeder Stelle Taylor-entwickelbar ist.

Die Definition der partiellen Ableitung von Distributionen ist nur ein Spezialfall der folgenden allgemeinen Regel:

Definition 9.1.2 Seien n ∈ ℕ, F eine temperierte Distribution über ℝ^{n} und T̂ , T̂′ stetige^{5} lineare Abbildungen von S(ℝ^{n}) in S(ℝ^{n}) mit

∫ (T̂ψ)(x)φ(x) dV_{x} = ∫ ψ(x) (T̂′φ)(x) dV_{x} ∀ ψ, φ ∈ S(ℝ^{n}) .

Dann definiert man:

(T̂F)(φ) =^{def} F (T̂′φ) ∀ φ ∈ S(ℝ^{n}) .

Anmerkungen:

1. Die formale Schreibweise (9.4) ist in folgendem Sinne konsistent: Wenn F (x) eine reguläre temperierte Distribution ist, für

die das Integral ∫ (T̂ψ(x))φ(x) dV_{x} auch im gewöhnlichen

Sinne existiert, dann stimmt der Wert des gewöhnlichen Integrals stets mit dem des formalen distributionstheoretischen Integrals überein.

Version vom 26. März 2009

5Im Sinne von Definition 9.1.1 heißt eine lineare Abbildung T̂ von S(ℝ^{n}) in S(ℝ^{n}) stetig, wenn

∥φ_{ν}∥_{N} ⟶_{ν→∞} 0 ∀ N ∈ ℕ  ⟹  ∥T̂φ_{ν} ∥_{N} ⟶_{ν→∞} 0 ∀ N ∈ ℕ .

für alle Folgen {φ}_{ν∈ℕ} ⊂ S(ℝ^{n}) gilt.

2. Die Definition der partiellen Ableitung einer Distribution entspricht offensichtlich dem Fall

T̂ = \frac{∂}{∂x^{ν}} , T̂′ = −\frac{∂}{∂x^{ν}}

von Definition 9.1.2.

3. Man sieht leicht, daß temperierte Distribution F beliebig oft partiell differenzierbar und ihre partiellen Ableitungen vertauschbar sind:

\frac{∂}{∂x^{ν}} \frac{∂}{∂x^{μ}} F (x) = \frac{∂}{∂x^{μ}} \frac{∂}{∂x^{ν}} F (x) ∀ ν, μ ∈ \{1, …, n\} .

4. Die in Definition 9.1.2 eingeführten Operationen T̂ sind in folgendem Sinne stetig:

Für jede Folge {F_{ν}}_{ν∈ℕ} temperierter Distributionen über ℝ^{n} gilt

\begin{matrix}F_{ν}(φ) ⟶_{ν→∞} F_{1}(φ) ∀ φ ∈ S(ℝ^{n}) \\ ⟹ (T̂ F_{ν}) (φ) ⟶_{ν→∞} (T̂ F_{1}) (φ) ∀ φ ∈ S(ℝ^{n}) . \end{matrix}

Natürlich sind die Ψ ∈ L^{2}(ℝ^{3}) nicht die einzigen temperierten Distributionen über ℝ^{3} . Ein besonders wichtiges einfaches Gegenbeispiel ist die δ-Funktion (in diesem Falle über ℝ^{3}):

Definition 9.1.3 Sei n ∈ ℕ. Dann versteht man unter der δ-Funktion über ℝ^{n} die durch

δ(φ) ≡ ∫ δ(x) φ(x) dV_{x} =^{def} φ(0) ∀ φ ∈ S(ℝ^{n}) .

gegebene temperierte Distribution (‘verallgemeinerte Funktion’) δ. Unter einer δ-Folge versteht man eine Folge {δ_{ι}}_{ι∈I} regulärer temperierter Distributionen δ_{ι} mit

δ_{ι}(φ) ⟶_{ι→∞} φ(0) ∀ φ ∈ S(ℝ^{n})

(die Anforderungen sind also schwächer als die in Definition B.1.1 an Folgen vom Typ δ gestellten), wobei I eine geordnete, unendliche Indexmenge ist.

Man sieht leicht, daß^{6}

δ(x) = \frac{d}{dx} θ(x)  (9.8)

Version vom 26. März 2009

6Auch für Distributionen schreiben wir im Falle n = 1 natürlich \frac{d}{dx} statt \frac{∂}{∂x} .

im distributionstheoretischen Sinne gilt, wobei θ die sog. Heaviside-Funktion

θ(x) =^{def} \{ \begin{matrix}1 & falls x > 0 \\ 1/2 & falls x = 0 \\ 0 & sonst \end{matrix} ∀ x ∈ ℝ  (9.9)

bezeichnet.

Definition 9.1.4 Seien n ∈ ℕ, F eine temperierte Distribution über ℝ und O ein offenes^{7} Teilgebiet von ℝ^{3} . Dann sagt man, F sei Null in O und teilt dies durch

F (x) = 0 ∀ x ∈ O

mit, wenn F (φ) = 0 für alle φ ∈ S gilt, die außerhalb einer abgeschlossenen Teilmenge von O Null sind. Die Vereinigung aller y ∈ ℝ^{n}, zu denen kein ϵ > 0 mit

F (x) = 0 ∀ x ∈ U_{ϵ}(y)

existiert, bezeichnet man als den Träger supp F von F .

Anmerkung: Der Träger der δ-Funktion ist offensichtlich die einelementige Menge {0}.

Es seien noch zwei weitere Definitionen angefügt:

Definition 9.1.5 Seien n ∈ ℕ und F eine temperierte Distribution über ℝ^{n}. Dann ist die komplexe Konjugation F^{∗} von F durch

F^{∗}(φ) =^{def} (F (φ^{∗}))^{∗} ∀ φ ∈ S(ℝ^{n})

gegeben.

Definition 9.1.6 Seien n ∈ ℕ, F eine reguläre temperierte Distribution über ℝ^{n} und φ ∈ S(ℝ^{n}) . Dann bezeichnet man die durch

(F ∗ φ)(x) =^{def} ∫ F (x′) φ(x − x′) dV_{x′}

gegebene Funktion F ∗ φ als die Faltung von F mit φ.

Anmerkung: Durch die Definitionen 9.1.6 (für F (x) ∈ S(ℝ^{n})) und 9.1.2 ist natürlich auch die Faltung F ∗φ = φ∗F für nicht reguläre temperierte Distributionen F und ‘Testfunktionen’ φ ∈ S(ℝ^{n}) festgelegt.

Version vom 26. März 2009

7Offen meint: Zu jedem Punkt in O gibt es eine ganze Umgebung, die in O liegt.

104 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN

9.1.2 Zerlegungen der Eins^{8}

Lemma 9.1.7 Zu jedem abgeschlossenen endlichen Intervall I und zu jedem ϵ > 0 existiert ein φ ∈ S(ℝ) mit^{9}

φ(x) \{ \begin{matrix}= 1 & für x ∈ I , \\ > 0 & für x ∈ U_{ϵ}(I) , \\ = 0 & für x ∉ U_{ϵ}(I) . \end{matrix}

Beweisskizze: Man sieht leicht, daß die Funktion

s_{ϵ}(x) =^{def} \{ \begin{matrix}exp(−\frac{x^{2}}{ϵ^{2}−4 x^{2}} ) & für |x| < \frac{ϵ}{2} \\ 0 & sonst \end{matrix} ∀ x ∈ ℝ

temperiert ist und den Bedingungen

s_{ϵ}(x) \{ \begin{matrix}> 0 & für |x| < \frac{ϵ}{2} \\ 0 & sonst \end{matrix}

genügt. Deshalb ist

φ(x) =^{def} \frac{∫_{x′∈U_{ϵ/2}(I)} s_{ϵ}(x − x′) dx′}{∫ s_{ϵ}(x′) dx′} ∀ x ∈ ℝ

eine Funktion der gewünschten Art.

Folgerung 9.1.8 Seien {I_{ν}}_{ν∈ℕ} eine Folge abgeschlossener endlicher Intervalle in ℝ und {ϵ_{ν}}_{ν∈ℕ} eine Folge positiver Zahlen mit

⋃_{ν∈ℕ}U_{ϵ_{ν}}(I_{ν}) = ℝ

und

{ν ∈ ℕ : x ∈ U_{ϵ_{ν}}(I_{ν})} endlich ∀ x ∈ ℝ .

Dann existiert eine den U_{ϵ_{ν}}(I_{ν}) angepaßte Zerlegung der Eins, d.h. eine Folge {χ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ S(ℝ) , die folgenden drei Bedingungen genügt:

1.

∑_{ν∈ℕ}χ_{ν}(x) = 1 ∀ x ∈ ℝ.

Version vom 26. März 2009

8Der Einfachheit wegen betrachten wir in diesem Abschnitt nur temperierte Distributionen über ℝ. Die Verallgemeinerungen für temperierte Distributionen über ℝ^{n} mit beliebigem n ∈ ℕ sind offensichtlich.

9Wir benutzen die übliche Notation

U_{ϵ}(I) =^{def} {x ∈ ℝ : |x − x′| < ϵ für geeignetes x′ ∈ I} .

9.1. GRUNDLEGENDES 105

2.

χ_{ν}(x) = 0 ∀ x ∈ ℝ \ U_{ϵ_{ν}}(I_{ν}) , ν ∈ ℕ .

3.

χ_{ν}(x) ∈ [0, 1] ∀ x ∈ ℝ , ν ∈ ℕ .

Beweisskizze: Gemäß Lemma 9.1.7 existiert zu jedem ν ∈ ℕ ein φ_{ν} ∈ S(ℝ) mit

φ_{ν}(x) \{ \begin{matrix}> 0 & für x ∈ U_{ϵ_{ν}} (I_{ν}) , \\ = 0 & für x ∉ U_{ϵ_{ν}} (I_{ν}) . \end{matrix}

Die Definition

χ_{ν}(x) =^{def} \{ \begin{matrix}\frac{φ_{ν}(x)}{∑_{μ∈ℕ} φ_{μ}(x)} & für x ∈ U_{ϵ_{ν}} (I_{ν}) , \\ 0 & sonst \end{matrix} ∀ ν ∈ ℕ , x ∈ ℝ

liefert dann eine Folge {χ_{ν}}_{ν∈ℕ} der gewünschten Art.

Lemma 9.1.9 Zu jeder Funktion φ ∈ S(ℝ) existiert eine Folge {ϕ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ S(ℝ) , die folgenden beiden Bedingungen genügt:^{10}

1.

∥φ − φ_{ν}∥_{N} ⟶_{ν→∞} 0 ∀ N ∈ ℕ .

2.

|x| > ν + 1 ⟹ φ_{ν}(x) = 0 ∀ x ∈ ℝ , ν ∈ ℕ .

Beweisskizze: Man sieht leicht, daß die durch

φ_{ν}(x) =^{def} \frac{∫_{|x|≤ν} s_{1}(x − x′) dx′}{∫ s_{1}(x′) dx′} φ(x) ∀ ν ∈ ℕ , x ∈ ℝ

gegebene Folge {φ_{ν}}_{ν∈ℕ} die gewünschten Eigenschaften besitzt, wenn s_{1}(x) die im Beweis von Lemma 9.1.7 eingeführte Funktion bezeichnet.

Aus Folgerung 9.1.8 und Lemma (9.1.9) ergibt sich unmittelbar: Folgerung 9.1.10 Sei F eine temperierte Distribution über ℝ. Dann ℝ \ suppF die größte offene Teilmenge von ℝ, in der F verschwindet.

Version vom 26. März 2009

10Der Einfachheit halber setzen wir x physikalisch dimensionslos voraus.

9.1.3 Beispiele und einfache Resultate

Lemma 9.1.11 Seien n ∈ ℕ und F eine temperierte Schwartz-Distribution über ℝ^{n}. Dann existieren eine polynomial beschränkte, stetige Funktion G(x) über ℝ^{n} und α^{1}, …, α^{n} ∈ ℤ_{+} mit

F (x) = (\frac{∂}{∂x^{1}} )^{α^{1}} … (\frac{∂}{∂x^{n}} )^{α^{n}} G(x)

(im distributionstheoretischen Sinne) .

Beweis: Siehe (Gelfand und Schilow, 1962, Kap. II § 4 Nr. 3).

Anmerkung: Als Spezialfall von Lemma 9.1.11 bestätigt man leicht:

δ(x) = (\frac{d}{dx})^{2} ∫_{−∞}^{x} θ(x′) dx′ .

Lemma 9.1.12 Gemäß Definition 9.1.2 gelten u.a. folgende Beziehungen für temperierte Distributionen F über ℝ^{3} und φ ∈ S(ℝ^{3}) :

1. Für jedes x ∈ ℝ :

∫ F (x − x_{0}) φ(x) dV_{x} = ∫ F (x) φ(x + x_{0}) dV_{x} .

2. Für jede invertierbare 3 × 3-Matrix M̂ :

∫ F (M̂ x) φ(x) dV_{x} = |det M̂^{−1}| ∫ F (x) φ(M̂^{−1}x) dV_{x} .

3. Für die 3-dimensionale Fourier-Transformation:^{11}

∫ F (x) φ(x) dV_{p} = ∫ F̃(p) \underbrace{φ̃(−p)}_{=^{def} (2πℏ)^{−3/2} ∫ φ(x) e^{+ \frac{i}{ℏ} p·x}dV_{x}} dV_{p}

und

δ̃(p) = (2πℏ)^{−3/2} .

4. Für jedes k(x) ∈ C^{∞}(ℝ^{3}) , dessen Ableitungen alle polynomial beschränkt sind:

∫ (k(x) F (x))φ(x) dV_{x} = ∫ F (x) (k(x) φ(x))dV_{x} .

Version vom 26. März 2009

11Siehe Aufgabe E1.

5. Für jedes h̃(p) ∈ C^{∞}(ℝ^{3}) , dessen Ableitungen alle polynomial beschränkt sind:

∫ (h ∗ F)(x) φ(x) dV_{x} = ∫ F (x) (h ∗ φ)(x) dV_{x} .

Beweis: Aufgabe E81.

Lemma 9.1.13 Durch

δ_{n}(x) =^{def} \frac{sin (n x)}{π x} ∀ x ∈ ℝ , n ∈ ℕ

ist eine δ-Folge {δ_{n}}_{n∈ℕ} über ℝ gegeben.

Beweisskizze (siehe auch Satz B.2.3): Für φ ∈ S(ℝ) gilt

∫ \frac{sin (n x)}{π x} φ(x) dx = ∫ (\frac{1}{2π} ∫_{−n}^{+n} e^{−i p x} dp) φ(x) dx
= \frac{1}{2π} ∫_{−n}^{+n} (∫ e^{−i p x} φ(x) dx) dp
= \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−n}^{+n} φ̃(p) dp
⟶_{n→∞} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ φ̃(p) e^{+i p x} dp)_{|_{x=0}} = φ(0) .

Lemma 9.1.14 Seien O ein offenes (nicht unbedingt endliches) Intervall in ℝ und F eine temperierte Distribution über ℝ mit^{12}

\frac{d}{dx} F (x) = 0 ∀ x ∈ O .

Dann existiert ein c ∈ ℂ mit^{13}

F (x) − c = 0 ∀ x ∈ O .

Version vom 26. März 2009

12Übrigens folgt aus Lemma 9.1.11, daß jede temperierte Distribution eine Stammfunktion besitzt.

13Hierbei ist die Konstante c natürlich als reguläre Distribution (siehe Definition 9.1.1) aufzufassen.

Beweisskizze: Man wähle ein^{14} φ_{0} ∈ S(O) mit ∫ φ_{0}(x) dx = 1 . Für beliebiges

φ ∈ S(O) gilt dann:

0 = ∫ F′(x)(∫_{−∞}^{x}(φ(x′) − φ_{0}(x′) ∫_{−∞}^{+∞} φ(y) dy)dx′)dx

= ∫ F (x) (φ_{0}(x) ∫_{−∞}^{+∞} φ(y) dy − φ(x)) dx

= F (φ_{0}) ∫_{−∞}^{+∞} φ(y) dy − F (φ) .

Lemma 9.1.15 Seien O ein offenes (nicht unbedingt endliches) Intervall in ℝ und M̂(x) eine komplexe, stetig von x-abhängige N × N-Matrix, N ∈ ℕ. Zu jeder Nkomponentigen temperierten Distribution F(x) über ℝ mit

\frac{d}{dx} F(x) − M̂(x) F(x) = 0 ∀ x ∈ O  (9.10)

existiert dann eine gewöhnliche Lösung F_{reg}(x) von (9.10) mit

F(x) − F_{reg}(x) = 0 ∀ x ∈ O .

Beweisskizze: Man wähle ein gewöhnliches fundamentales Lösungssystem

{F_{1}(x), …, F_{N}(x)}  (9.11)

von (9.10), d.h. gewöhnliche Lösungen F_{j}(x) derart, daß (9.11) für jedes feste x ∈ O eine (nicht notwendig orthonormierte) Basis von ℂ^{N} ist (vgl. 5.3.1). Dann ist die komplexe N × N-Matrix

Û(x) = ( \begin{matrix}F_{1}^{1}(x) & ⋯ & F_{N}^{1}(x) \\ ⋮ & & ⋮ \\ F_{1}^{N}(x) & ⋯ & F_{N}^{N}(x) \end{matrix} )

für jedes x ∈ O invertierbar. Sei nun F(x) eine temperierte Distribution über ℝ, für die (9.10) gilt. Dann gilt im distributionstheoretischen Sinne

M̂(x) F(x) = \frac{d}{dx} (Û(x) (Û(x)^{−1}F(x)))
= \underbrace{(\frac{d}{dx} Û(x))}_{=M̂(x) Û(x)} Û(x)^{−1}F(x) + Û(x) \frac{d}{dx} (Û(x)^{−1}F(x))

= M̂(x) F(x) + Û(x) \frac{d}{dx} (Û(x)^{−1}F(x)) ∀ x ∈ O

und somit

\frac{d}{dx} (Û(x)^{−1}F(x)) = 0 ∀ x ∈ O .

Mit Lemma 9.1.14 folgt daraus die Behauptung.

Version vom 26. März 2009

14Mit S(O) bezeichen wir die Menge aller temperierten Funktionen über ℝ, die außerhalb einer abgeschlossenen Teilmenge von O verschwinden.

Aus Lemma 9.1.15 und Satz 8.3.28 erkennt man z.B. sofort, daß der durch

DĤ_{0} =^{def} S(ℝ)

und

(Ĥ_{0} φ) (x) =^{def} −\frac{ℏ^{2}}{2m} (\frac{d}{dx})^{2} φ(x) ∀ φ ∈ S(ℝ) , x ∈ ℝ

gegebene Hamilton-Operator Ĥ_{0} in L^{2}(ℝ) im wesentlichen selbstadjungiert ist.

Erläuterung: Sei Ψ ∈ DĤ_{0}^{†} und gelte Ĥ_{0}^{†} Ψ = ±i Ψ . Dann gilt gemäß Definition 8.3.7

⟨Ψ | Ĥ_{0} φ⟩ = ∓i ⟨Ψ | φ⟩ ,

d.h. es gilt

−\frac{ℏ^{2}}{2m} (\frac{d}{dx})^{2} Ψ(x) = ∓i Ψ(x)

im distributionstheoretischen und somit nach Lemma 9.1.15 auch im gewöhnlichen Sinne. Da keine der nichttrivialen klassichen Lösungen dieser beiden Differentialgleichungen zu L^{2}(ℝ) gehört,^{15} muß also Ψ = 0 sein. Nach Satz 8.3.28 ist Ĥ_{0} somit im wesentlichen selbstadjungiert, da n_{±}(Ĥ_{0}) = 0 .

9.2 Greensche Funktionen

9.2.1 Fundamentallösungen partieller Differentialgleichungen

Sei D̂_{x} ein linearer partieller Differentialoperator über ℝ^{n}, d.h. eine endliche Summe von Ausdrücken der Form

a_{α}(x) (\frac{∂}{∂x^{1}} )^{α^{1}} … (\frac{∂}{∂x^{n}} )^{α^{n}} , α ∈ ℤ_{+}^{n} ,

mit (hinreichend gutartigen) Funktionen a_{α}(x) über ℝ^{n}. Statt die entsprechende partielle Differentialgleichung

D̂_{x} Φ(x) = ρ(x)  (9.12)

Version vom 26. März 2009

15Die allgemeinsten Lösungen sind ja

Ψ(x) = c_{+} e^{+\sqrt{±2mi} x/ℏ} + c_{−} e^{−\sqrt{±2mi} x/ℏ} .

direkt zu lösen, sucht man i.a. eine zugehörige Greensche Funktion, d.h. eine (hinreichend gutartig) von x′ abhängige temperierte Distribution G_{x′}(x) = G(x; x′) über ℝ^{n} mit

D̂_{x} G(x; x′) = δ(x − x′) .  (9.13)

Denn mit (9.13) ist

Φ_{ρ} =^{def} ∫ G(x; x′) ρ(x′) dV_{x′}  (9.14)

für jedes ρ ∈ S(ℝ^{n}) eine Lösung von (9.12).

Wenn zusätzlich zu (9.12) gewisse Randbedingungen zu erfüllen sind, müssen diese natürlich bei der Wahl der Greenschen Funktione entsprechend berücksichtigt werden. In typischen Anwendungfällen legen die geforderten Randbedingungen die Lösungen von (9.12) eindeutig (in Abhängigkeit von ρ(x)) fest.

Beispiele:

(i) Das elektrostatische Potential Φ_{ρ}(x) einer Ladungsverteilung ρ(x) ∈ S(ℝ^{3}) ist durch die inhomogene Laplace-Gleichung

Δ_{x}Φ_{ρ}(x) = −\frac{1}{ϵ_{0}} ρ(x)

und die Randbedingung

lim_{|x|→∞} Φ_{ρ}(x) = 0

eindeutig festgelegt, wie der Satz von Earnshaw zeigt. Gemäß Aufgabe E82 ist

G(x; x′) = \frac{1}{4π ϵ_{0} |x − x′|}

die diesem Problem entsprechende Greensche Funktion:^{16}

Φ_{ρ}(x) = ∫ \frac{ρ(x′)}{4π ϵ_{0} |x − x′|} dV_{x′} (Coulomb-Potential ) .

(ii) Die sog. retardierten Lösungen Ψ_{ȷ}^{ret}(x, t) der inhomogenen Wellengleichung

□_{x,t}Ψ(x, t) = ȷ(x, t) , □_{x,t} =^{def} (\frac{1}{c} \frac{∂}{∂t})^{2} − Δ_{x} ,

zu ȷ(x, t) ∈ S(ℝ^{4}) mit

t < 0  ⟹  ȷ(x, t) = 0 ∀x ∈ ℝ^{3}

Version vom 26. März 2009

16Entsprechendes gilt natürlich für das Gravitationspotential Φ_{μ} einer Massenverteilung μ(x) ∈ S(ℝ^{3}) mit −\frac{1}{4π γ} statt ϵ_{0} .

sind durch die Randbedingung

t < 0  ⟹  Ψ(x, t) = 0 ∀x ∈ ℝ^{3}

(no output before input) eindeutig festgelegt, wie die Betrachtungen in 6.3.1 zeigen. Hier ist

G(x, t; x′, t′) = \frac{1}{2π} θ(t − t′) δ(c^{2}(t − t′)^{2} − |x − x′|^{2})

die entsprechende Greensche Funktion:

Ψ_{ȷ}^{ret}(x, t)  =  ∫ G(x, t; x′, t′) ȷ(x′, t′) dV_{x′} dt′
=_{Aufgabe E83} ∫ \frac{ȷ(x′, t − |x − x′| /c)}{4π |x − x′|} dV_{x′}

(vgl. Abschnitt 4.1.1 von (Lücke, edyn)).

9.2.2 Quantenmechanische Propagatoren

Statt die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung

(iℏ\frac{∂}{∂t} − Ĥ(x, t)) Ψ(x, t) = 0  (9.15)

direkt zu lösen, ist es vielfach zweckmäßiger die zugehörige retardierte Greensche Funktion G(x, t; x′, t′) zu bestimmen, d.h. die durch folgende Bedingungen eindeutig^{17} charakterisierte, (hinreichend gutartig) von (x′, t′)-abhängige temperierte Distribution über ℝ :

1. Für alle (x′, t′) ∈ ℝ^{4} genügt G(x, t; x′, t′) der patiellen Differentialgleichung

(iℏ\frac{∂}{∂t} − Ĥ(x, t)) G(x, t; x′, t′) = δ(x − x′) δ(t − t′)  (9.16)

2. Für alle (x′, t′) ∈ ℝ^{4} erfüllt G(x, t; x′, t′) die Randbedingung

G(x, t; x′, t′) verschwindet in {(x, t) ∈ ℝ^{4} : t < t′} .  (9.17)

3.

F_{Ψ,t′}(x, t) =^{def} ∫ G(x, t; x′, t′) Ψ(x′) dV_{x′}

ist eine hinreichend gutartig von Ψ ∈ L^{2}(ℝ^{3}) und t′ ∈ ℝ abhängige temperierte Distribution über ℝ^{4} , die einer (hinreichend gutartig) von t abhängigen Schar von L^{2}(ℝ^{3})-Elementen entspricht.

Version vom 26. März 2009

17Die Eindeutigkeit läßt sich auch hier auf die Energieerhaltung der Lösungen der homogenen Gleichung (9.15) zurückführen.

Damit ist nämlich die Lösung des Anfangswertproblems

Ψ(x, t_{0}) = Ψ_{0}(x) ∈ L^{2}(ℝ^{3})  (9.18)

zu (9.15) für t > t_{0} durch

θ(t − t_{0}) Ψ(x, t) = iℏ ∫ G(x, t; x′, t_{0}) Ψ(x′, t_{0}) dV_{x′}

(9.19)

gegeben, weshalb man G(x, t; x′, t_{0}) auch als Propagator bezeichnet.

Beweisskizze zu (9.19): Für die Lösung Ψ(x, t) von (9.15)/(9.18) gilt offensichtlich

(iℏ\frac{∂}{∂t} − Ĥ(x, t)) θ(t − t_{0})Ψ(x, t) = iℏ δ(t − t_{0}) Ψ(x, t) = iℏ δ(t − t_{0}) Ψ(x, t_{0}) .

Da andererseits auch

(iℏ\frac{∂}{∂t} − Ĥ(x, t)) iℏ ∫ G(x, t; x′, t_{0}) Ψ(x′, t_{0}) dV_{x′} =_{(9.16)} iℏ δ(t − t_{0}) Ψ(x, t_{0})

gilt, ist

Ψ_{diff}(x, t) =^{def} θ(t − t_{0})Ψ(x, t) − iℏ ∫ G(x, t; x′, t_{0}) Ψ(x′, t_{0}) dV_{x′}

eine Lösung von (9.15). Da Ψ_{diff}(x, t) für t < t_{0} verschwindet, muß Ψ_{diff}(x, t) für alle t ∈ ℝ verschwinden,^{18} d.h. es gilt (9.19).

Für die freie Schrödinger-Gleichung, also für

Ĥ(x, t) = Ĥ_{0} = −\frac{ℏ^{2}}{2m} Δ_{x} auf S(ℝ^{3}) ⊂ L^{2}(ℝ^{3})  (9.20)

ergibt sich der der Propagator zu^{19}

G(x, t; x′, t′)

= G_{0}(x, t; x′, t′) =^{def} −\frac{i}{ℏ} θ(t − t′) ( ^{+} \sqrt{\frac{m}{2πℏ i (t − t′)}})^{3} exp (\frac{i}{ℏ} \frac{m |x − x′|^{2}}{2 (t − t′)} ) .

(9.21)

Beweisskizze: Für Lösungen Ψ(x, t) von (9.15) gilt

Ψ(x, t) = (2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ̃(p, t_{0}) e^{− \frac{i}{ℏ} \frac{|p|^{2}}{2m} (t−t_{0})} e^{+ \frac{i}{ℏ} p·x} dV_{p} ∀ x ∈ ℝ^{3} , t, t_{0} ∈ ℝ

mit

Ψ̃(p, t_{0}) =^{def} (2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ(x, t_{0})e^{− \frac{i}{ℏ} p·x} dV_{x} ∀ p ∈ ℝ^{3} , t_{0} ∈ ℝ ,

Version vom 26. März 2009

18Durch Verschmieren in t_{0} mit einer temperierten Funktion mit beschränktem Träger ergibt sich (für hinreichend gutartiges Ψ_{0}(x)) eine eine Lösung von (9.15) im gewöhnlichen Sinne.

19Mit ^{+} \sqrt{z} bezeichnen wir die Wurzel aus z ∈ ℂ mit positivem Realteil.

9.2. GREENSCHE FUNKTIONEN 113

gemäß (9.19) und Regel 11 zur Fourier-Transformation (vgl. Aufgabe E1) also

G(x, t; x′, t_{0}) = −\frac{i}{ℏ} (2πℏ)^{−3} θ(t − t_{0}) lim_{ϵ→+0} ∫ e^{− \frac{ϵ+i(t−t_{0})}{2mℏ} |p|^{2}}e^{+ \frac{i}{ℏ} p·(x−x′)} dV_{p} .

Mit ∫ e^{− \frac{ϵ+i(t−t_{0})}{2mℏ} |p|^{2}}e^{+ \frac{i}{ℏ} p·(x−x′)} dV_{p}

= e^{− \frac{m|x−x′|^{2}}{2ℏ(ϵ+i (t−t_{0}))}} \underbrace{∫ e^{−( ^{+} \sqrt{\frac{ϵ+i(t−t_{0})}{2mℏ}} p − \frac{i}{2ℏ} ^{+} \sqrt{\frac{2mℏ}{ϵ+i(t−t_{0})}}(x−x′))^{2}}dV_{p}}_{=_{(4.99)}( ^{+} \sqrt{\frac{2πℏm}{ϵ+i(t−t_{0})}} )^{3}}

folgt daraus (9.21).

Für

Ĥ(x, t) = Ĥ_{0} + V (x)

folgt aus (9.16)

(iℏ\frac{∂}{∂t} − Ĥ_{0}) G(x, t; x′, t′)

= δ(x − x′)δ(t − t′) + V (x) G(x, t; x′, t′)

= ∫ δ(x −x′′)δ(t − t′′) (δ(x′′ − x′)δ(t′′ − t′) + V (x′′) G(x′′, t′′; x′, t′)) dV_{x′′} dt′′

= (iℏ\frac{∂}{∂t} − Ĥ_{0}) ∫ G_{0}(x, t;x′′, t′′)(δ(x′′ − x′)δ(t′′ − t′)

+V (x′′) G(x′′, t′′; x′, t′))dV_{x′′} dt′′

und somit

G(x, t; x′, t′) = G_{0}(x, t; x′, t′) + ∫ G_{0}(x, t;x′′, t′′)V (x′′) G(x′′, t′′; x′, t′) dV_{x′′} dt′′ , da beide Seiten für t < t′ verschwinden. Oft ist die sog. Bornsche Näherung

G(x, t; x′, t′) ≈ G_{0}(x, t; x′, t′) + ∫ G_{0}(x, t; x_{1}, t_{1})V (x_{1}) G_{0}(x_{1}, t_{1}; x′, t′) dV_{x_{1}} dt_{1} ausreichend.

9.2.3 Das Sturm-Liouville-Problem

Siehe (Kemble, 1937, Abschn. 23–25) und (Fischer und Kaul, 2004, §4.2).

114 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN

Anhang E

Ergänzende Übungsaufgaben

Übungsaufgabe E1 Man zeige für hinreichend gutartige (komplexwertige) Funktionen Ψ, Ψ_{1}, Ψ_{2} über ℝ^{3} die Gültigkeit folgenden (der Quantenmechanik angepaßten) ‘Fourier-Vokabulars’:

Ψ(x) = (2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ̃(p)e^{+ \frac{i}{ℏ}p·x} dV_{p} Ψ̃(p) = (2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ(x)e^{− \frac{i}{ℏ}p·x} dV_{x}
c Ψ(x)  c Ψ̃(p)  (F1)
Ψ_{1}(x) + Ψ_{2}(x)  Ψ̃_{1}(p) + Ψ̃_{2}(p)  (F2)
\frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂x_{ν}} Ψ(x)  p_{ν} Ψ̃(p)  (F3)
x_{ν} Ψ(x)  −\frac{ℏ}{i} \frac{∂}{∂p_{ν}} Ψ̃(p)  (F4)
Ψ(x + a)  e^{+ \frac{i}{ℏ}p·a} Ψ̃(p)  (F5)
e^{− \frac{i}{ℏ}a·x} Ψ(x)  Ψ̃(p + a)  (F6)
(Ψ(x))^{∗}  (Ψ̃(−p))^{∗}  (F7)
(Ψ(−x))^{∗}  (Ψ̃(p))^{∗}  (F8)
Ψ(x) = e^{−λ|x|^{2}}  Ψ̃(p) = (2λℏ)^{− \frac{3}{2}} e^{− \frac{1}{4λℏ^{2}} |p|^{2}}  (F9)
(2πℏ)^{\frac{3}{2}} Ψ_{1}(x) Ψ_{2}(x)  ∫ Ψ̃_{1}(p′) Ψ̃_{2}(p − p′) dV_{p′}  (F10)
∫ Ψ_{1}(x′) Ψ_{2}(x − x′) dV_{x′}  (2πℏ)^{\frac{3}{2}} Ψ̃_{1}(p) Ψ̃_{2}(p)  (F11)
∫ Ψ_{1}(x) Ψ_{2}(x) dV_{x} =_{Parseval} ∫ Ψ̃_{1}(p) Ψ̃_{2}(−p) dV_{p}  (F12)
∫ |Ψ(x)|^{2} dV_{x} =_{Plancherel} ∫ |Ψ̃(p)|^{2} dV_{p}  (F13)

Hinweis: Man verwende Gleichung (4.99) der Vorlesung.

Übungsaufgabe E2 Auf der Menge X aller komplexwertigen Funktionen von x ∈ [−1, +1] seien in natürliche Weise die Multiplikation mit komplexen Zahlen und die Addition eingeführt:

\begin{matrix}(λ f) (x) & =^{def} & λ f(x) ∀ λ ∈ ℂ , f ∈ X , x ∈ [−1, +1] , \\ (f + g) (x) & =^{def} & f(x) + g(x) ∀ f, g ∈ X , x ∈ [−1, +1] . \end{matrix}

Man zeige, daß X mit dieser linearen Struktur ein komplexer Vektorraum ist.

Übungsaufgabe E3 Für den in Aufgabe E2 eingeführten Vektorraum X zeige man:

a) Die Menge aller Monome x^{ν} , ν ∈ ℤ_{+} , ist linear unabhängig.

b) Für jedes n ∈ ℤ_{+} bildet die Menge X_{n}^{pol} aller Polynome vom Grad^{1} ≤ n (mit der induzierten linearen Struktur) einen Teilraum der Dimension n + 1 .

Übungsaufgabe E4 Seien n ∈ ℤ_{+} und X_{n}^{pol} der in Aufgabe E3b) eingeführte komplexe Vektorraum.

a) Man zeige, daß

⟨p_{1} | p_{2}⟩ =^{def} ∫_{−1}^{+1}(p_{1}(x))^{∗}p_{2}(x) dx ∀ p_{1}, p_{2} ∈ X_{n}^{pol}

ein inneres Produkt ⟨. | .⟩ auf X_{n}^{pol} definiert.

b) Man zeige für n ≥ 2 , daß die Legendre-Polynome

P_{0}(x) =^{def} 1 ,
P_{1}(x) =^{def} x ,
P_{2}(x) =^{def} −\frac{1}{2} + \frac{3}{2} x^{2}

(nach Normierung) ein Orthonormalsystem \{\sqrt{\frac{1}{2}} P_{0} , \sqrt{\frac{3}{2}} P_{1}, \sqrt{\frac{5}{2}} P_{2}\} ⊂ X_{n}^{pol} bzgl. dieses inneren Produkts bilden.

Übungsaufgabe E5 Man zeige, daß der Polarisationszustand des elektrischen Feldes

E(x, t) = ℜ (E e^{−i(ωt− \frac{ω}{c} s·x)}) , E ∈ ℂ^{3} , ω > 0 ,

durch seinen Jones-Vektor

J =^{def} E/ |E|

Version vom 26. März 2009

1Der Grad eines Polynoms λ_{0}+λ_{1} x^{1}+…+λ_{n} x^{n} ist die größte Zahl ν ∈ {0, …, n} mit λ_{ν} ≠ 0 .

(bzgl. x = 0) für eine feste rechtshändige Orthonormalbasis {e_{1}, s, e_{3}} von ℝ^{3} ⊂ ℂ^{3} stets entsprechend folgender Tabelle charakterisiert wird:

Polarisation  J bzgl. (e_{3}, e_{1})
linear ∥ (cos α e_{3} + sin α e_{1}) e^{iφ} ( \begin{matrix}cos α \\ sin α \end{matrix} )
rechtszirkular  \frac{e^{iφ}}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ i \end{matrix} )
linkszirkular  \frac{e^{iφ}}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ −i \end{matrix} )
elliptisch  sonst

Übungsaufgabe E6 Sei J ein Jones Vektor. Man zeige:

a) Es existieren ϑ, φ, ψ ∈ ℝ mit

J = e^{iψ} ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ}{2}} cos \frac{ϑ}{2} \\ e^{+i \frac{φ}{2}} sin \frac{ϑ}{2} \end{matrix} ) , ϑ ∈ [0, π].

b) Damit gilt

(sin ϑ cos φ τ̂^{1} + sin ϑ sin φ τ̂^{2} + cos ϑ τ̂^{3}) J = J ,

wobei die τ̂^{j} die Pauli-Matrizen

τ̂^{1} =^{def} ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , τ̂^{2} =^{def} ( \begin{matrix}0 & −i \\ +i & 0 \end{matrix} ) , τ̂^{3} =^{def} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

bezeichnen.

c) Es existieren eindeutige ρ, λ ∈ ℂ mit

J = ρ R + λ L ,

wobei

R =^{def} \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ i \end{matrix} ) , L =^{def} \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ −i \end{matrix} ) .

d) Dabei sind ρ und λ durch |ρ| + |λ|, |ρ| − |λ| und arg(ρ^{∗}λ) bis auf einen gemeinsamen Phasenfaktor eindeutig festgelegt.

Übungsaufgabe E7 Für die Polarisationsschwingung der monochromatischen ebenen Welle

E(x, t) = ℜ (E e^{−i(ωt− \frac{ω}{c} e_{2}·x)})

mit

E = \underbrace{E_{0}}_{>0} (ρ R + λ L) |ρ|^{2} + |λ|^{2} = 1 ,

an der Stelle x = 0 zeige man: a) Für die Schwingungsellipse gilt:

Länge der großen Halbachse = (|ρ| + |λ|) E_{0} ,
Länge der kleinen Halbachse = ||ρ| − |λ|| E_{0} .

b) Die Schwingung ist (relativ zu e_{2}):

rechtshändig für |ρ| > |λ| ,
linksshändig für |ρ| < |λ| .

c) Die große Halbachse der Schwingungsellipse ist parallel zu

± (cos δ e_{3} + sin δ e_{1}) , wobei δ =^{def} \frac{arg λ − arg ρ}{2} .

Übungsaufgabe E8 Gegeben seien die Jones-Vektoren

J_{1} = ρ_{1} R + λ_{1} L , J_{2} = ρ_{2} R + λ_{2} L .

a) Man zeige, daß ⟨J_{1} | J_{2}⟩ = 0 genau gilt, wenn die drei Bedingungen

|ρ_{1}| + |λ_{1}| = |ρ_{2}| + |λ_{2}| , |ρ_{1}| − |λ_{1}| = − |ρ_{2}| + |λ_{2}| , δ_{1} − δ_{2} = \frac{π}{2} mod π

erfüllt sind, wobei

δ_{j} =^{def} \frac{arg λ_{j} − arg ρ_{j}}{2} ∀ j ∈ \{1, 2\} .

b) Man diskutiere die Bedeutung dieser drei Orthogonalitätsbedingungen für die entsprechenden Polarisationsschwingungen.

Übungsaufgabe E9 Man zeige, daß die Jones-Matrizen der Filter für rechtsund linkszirkulares Licht nicht von der Wahl der rechtshändigen Basis (e_{3}, e_{1}, s) abhängen.

Übungsaufgabe E10 Man zeige, daß

R̂_{n_{φ}} n_{φ} = +n_{φ} , R̂_{n_{φ}} n_{\frac{π}{2} +φ} = −n_{\frac{π}{2} +φ}

und

R̂_{n_{\frac{φ}{2}}} R̂_{e_{1}} = D̂_{−φ}

für alle φ ∈ ℝ gilt, wobei:

R̂_{n_{φ}} =^{def} − D̂_{−φ} Ŝ_{π} D̂_{φ}
n_{φ} =^{def} cos φ e_{1} + sin φ e_{3} ,
D̂_{±φ} =^{def} ( \begin{matrix}cos φ & ∓ sin φ \\ ± sin φ & cos φ \end{matrix} ) ,
Ŝ_{ψ} =^{def} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & e^{i ψ} \end{matrix} ) ∀ψ ∈ ℝ .

Übungsaufgabe E11 Man zeige, daß sich zu jedem φ ∈ ℝ zwei \frac{λ}{2}-Blättchen stets so kombinieren lassen daß sich eine optische Komponente mit der Jones-Matrix D̂_{−φ} ergibt.

Übungsaufgabe E12 Für beliebig vorgegebene α, φ_{R}, φ_{L} ∈ ℝ zeige man:

1.

Ŝ\frac{π}{2} D̂_{\frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} (cos α e^{i φ_{R}} R + sin α e^{i φ_{L}} L) = e^{i \frac{φ_{R}+φ_{L}}{2}} n_{\frac{3}{4} π−α} .

2.

D̂_{\frac{φ_{L}−φ_{R}}{2}} \binom{}{Ŝ\frac{π}{2}}^{3} n_{\frac{3}{4} π−α} = e^{−i \frac{φ_{R}+φ_{L}}{2}} (cos α e^{i φ_{R}} R + sin α e^{i φ_{L}} L) .

3. Für alle Jones-Vektoren J_{1}, J_{2} gilt

⟨J_{1} | J_{2}⟩ = 0 ⟹ ⟨Ŝ\frac{π}{2} D̂_{\frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} J_{1} | Ŝ\frac{π}{2} D̂_{\frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} J_{2}⟩ = 0 .

Übungsaufgabe E13 Man zeige, daß sich zu jedem Jones-Vektor aus \frac{λ}{4}-Blätt-chen und einem Linearpolarisationsfilter eine optische Komponente kombinieren läßt, deren Jones Matrix der Projektor |J⟩⟨J| ist.

Übungsaufgabe E14 Für

D̂ = ( \begin{matrix}1 & z \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , z ∈ ℂ ,

bestimme man D̂^{−1} , D̂^{2} , (D̂ − ˆ1)^{2} und zeige:

D̂ = exp (D̂ − ˆ1) =^{def} ˆ1 + ∑_{ν=1}^{∞} \frac{1}{ν!} (D̂ − ˆ1)^{ν} .

120 ANHANG E. ERGÄNZENDE ÜBUNGSAUFGABEN

Übungsaufgabe E15 Für

M̂ = ( \begin{matrix}2 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} ) , Û = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}i & 1 \\ 1 & i \end{matrix} )

zeige man:

a)

Û^{−1}M̂ Û = ( \begin{matrix}1 & 2/i \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

b)

M̂^{−1} = ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 2 \end{matrix} ) .

c) v ≠ 0 ist genau dann Eigenvektor von M̂ , wenn v ∝ ( \begin{matrix}i \\ 1 \end{matrix} ).

d) Es existiert eine komplexe 2 × 2-Matrix Â mit M̂ = Â^{2} .

e) Es existiert eine komplexe 2 × 2-Matrix B̂ mit M̂ = exp \binom{}{B̂}.

Übungsaufgabe E16 Seien 1 < n ∈ ℕ, sei V ein komplexer Vektorraum und {e_{1}, …, e_{n}} eine Basis von V bzgl. der die Vektoren von V in Spaltenschreibweise dargestellt werden sollen. Man zeige:

a) Die Abbildung

(z_{1} , z_{2}) ⟼ z_{1} · z_{2}

von V × V in ℂ, wobei

( z_{1}^{1} ; ⋮ ; z_{1}^{n} ) · ( z_{2}^{1} ; ⋮ ; z_{2}^{n} ) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} z_{1}^{ν} z_{2}^{ν} ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V ,

ist eine symmetrische Bilinearform, d.h.^{2} sie besitzt die Eigenschaften

z_{1} · z_{2} = z_{2} · z_{1} ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V

und

z_{1} · (λ_{2}z_{2} + λ_{3}z_{3}) = λ_{2} (z_{1} · z_{2}) + λ_{3} (z_{1} · z_{3}) ∀ z_{1}, z_{2}, z_{3} ∈ V , λ_{2}, λ_{3} ∈ ℂ .

Version vom 26. März 2009

2Siehe Definition 7.4.11.

b) Das Vektorprodukt

[z_{1}, …, z_{n−1}] =^{def} ∑_{ν=1}^{n} det (z_{1}, …, z_{n−1}, e_{ν}) e_{ν} ∀ z_{1}, …, z_{n−1} ∈ V

ist genau dann von Null verschieden, wenn die z_{1}, …, z_{n−1} linear unabhängig sind.

c) Es gilt

[z_{1}, …, z_{n−1}] · z_{n} = det (z_{1}, …, z_{n}) ∀ z_{1}, …, z_{n} ∈ V .

d) Wenn {b_{1}, …, b_{n}} eine Basis von V ist, dann bilden die

b^{ν} =^{def} \frac{(−1)^{n−ν} [b_{1}, …, b_{ν} \ , … b_{n}]}{det (b_{1}, …, b_{n})} ∀ ν ∈ \{1, …, n\}

die dazu reziproke Basis, d.h. es gilt

b^{ν} · b_{μ} = δ_{νμ} ∀ ν, μ ∈ {1, …, n}

e) Damit gilt die Cramersche Regel:

b_{1}^{ν} x^{1} + … + b_{n}^{ν} x^{n} = y^{ν} ∀ ν ∈ {1, …, n}

⟹ x^{ν} = \frac{det(b_{1}, …, \overbrace{y}^{ν-te Stelle}, …, b_{n})}{det (b_{1}, …, b_{n})} ∀ ν ∈ \{1, …, n\} .

Übungsaufgabe E17 Man zeige, daß \underline{aus der Cramerschen Regel} tatsächlich

det ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ≠ 0 ⟹ ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}δ & −β \\ −γ & α \end{matrix} ) / det ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} )

für alle α, β, γ, δ ∈ ℂ folgt.

Übungsaufgabe E18 Sei D̂ eine reelle isometrische n × n-Matrix. Man zeige: a) D̂^{T} = D̂^{−1} .

b) det\binom{}{D̂^{T}} = det(D̂) .

c) det(D̂) ∈ {+1, −1}.

d) Für ungerades n gilt:

det(D̂) = +1 ⟹ det(D̂ − ˆ1) = 0 .

Übungsaufgabe E19 Man zeige, daß jede (reelle) 3×3-Drehmatrix einen (reellen) Eigenvektor zum Eigenwert 1 besitzt und interpretiere diesen Sachverhalt geometrisch.

Übungsaufgabe E20 Man zeige für beliebiges

Â = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ∈ L(ℂ^{2}, ℂ^{2})

mit Eigenwert E :

a)

Â ( \begin{matrix}δ − E \\ −γ \end{matrix} ) = E ( \begin{matrix}δ − E \\ −γ \end{matrix} ) , Â ( \begin{matrix}−β \\ α − E \end{matrix} ) = E ( \begin{matrix}−β \\ α − E \end{matrix} ) .

b) Im Falle Spur(Â − E) ≠ 0 ist mindestens einer der beiden Vektoren

( \begin{matrix}δ − E \\ −γ \end{matrix} ) oder ( \begin{matrix}−β \\ α − E \end{matrix} )

von Null verschieden und somit (gemäß a)) Eigenvektor von Â zum Eigenwert E.

Übungsaufgabe E21 Man bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der

Hadamard-Matrix ℍ = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) ,

interpretiere die normierten Eigenvektoren als Jones-Vektoren und diskutiere die entsprechenden Polarisationszustände.^{3}

Übungsaufgabe E22 Seien V ein endlichdimensionaler Euklidischer komplexer Vektorraum und B̂ ein linearer Operator auf V . Man zeige:

a) Wenn B̂ unitär ist, dann existiert ein selbstadjungierter Operator Â auf V mit B̂ = e^{iÂ}.

b) Es gilt:^{4}

B̂ ≥ 0  ⟺  ⟨z | B̂ z⟩ ≥ 0 ∀ z ∈ V .

c) Wenn B̂ positiv ist, d.h. wenn B̂ ≥ 0 gilt, und wenn B̂ außerdem invertierbar ist, dann existiert genau ein selbstadjungierter Operator Â auf V mit B̂ = eÂ.

Version vom 26. März 2009

3Hinweis: ℍ = τ̂^{1} D(π/4) .

4Es sei daran erinnert, daß B̂ ≥ 0 definitionsgemäß genau dann gilt, wenn B̂ selbstadjungiert ist und nur nichtnegative Eigenwerte besitzt (siehe Fußnote 41 von Kapitel 7).

d) Für jeden linearen Operator Â auf V gilt Â = Â^{†} ⟹ det (e^{z Â}) = e^{z Spur(Â)} ∀ z ∈ ℂ .

Übungsaufgabe E23 Man zeige:

a) Jede der Mengen

GL(2, ℂ) =^{def} {Â ∈ L (ℂ^{2}, ℂ^{2}) : Â invertierbar} ,
U(2)  =^{def} {Û ∈ L (ℂ^{2}, ℂ^{2}) : Û unitär} ,
SU(2)  =^{def} \{Û ∈ U(2) : det \binom{}{Û} = 1\} ,
SL(2, ℂ) =^{def} \{Â ∈ L (ℂ^{2}, ℂ^{2}) : det \binom{}{Â} = 1\}

ist eine Gruppe^{5} bzgl. der Matrizen-Multiplikation. b)

U(2) = {e^{iφ} Û : φ ∈ ℝ , Û ∈ SU(2)} .

c)

SU(2) = \{σ e^{−i τ^{}ˆ · \frac{φ}{2}} : φ ∈ ℝ^{3} , σ ∈ \{−1, +1\}\} .

d)

{B̂ ∈ GL(2, ℂ) : B̂ ≥ 0} = {λ e^{−χ·τ^{}}ˆ : λ > 0 , χ ∈ ℝ^{3}} .

e)

SL(2, ℂ) = \{Û e^{− \frac{χ}{2} τ^{}ˆ ·e} : Û ∈ SU(2) , χ ∈ ℝ , e ∈ ℝ^{3} , ∥e∥ = 1\} .

Übungsaufgabe E24 Man zeige^{6} für alle x_{0}, …, x_{3} ∈ ℂ und jede 2 × 2-Matrix x̂ :

x̂ = ∑_{ν=0}^{3} x_{ν} τ̂^{ν}  ⟺  x_{μ} = \frac{1}{2} Spur (x̂ τ̂^{μ}) ∀ μ ∈ \{0, …, 3\} .

Übungsaufgabe E25 Man zeige für alle e ∈ ℝ^{3} mit |e| = 1 :

Version vom 26. März 2009

5Eine Menge G ist eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung ·, wenn folgende vier Bedingungen erfüllt sind:

\begin{matrix}1. : & g_{1} · g_{2} ∈ G ∀ g_{1}, g_{2} ∈ G . \\ 2. : & g_{1} · (g_{2} · g_{3}) = (g_{1} · g_{2}) · g_{3} ∀ g_{1}, g_{2}, g_{3} ∈ G . \\ 3. : & ∃ e ∈ G : e · g = g · e ∀ g ∈ G . \\ 4. : & ∀ g ∈ G ∃ g^{−1} ∈ G : g^{−1} · g = g · g^{−1} . \end{matrix}

6Die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.

a) (e · τ̂)^{2} = ˆ1 .

b) e^{−i φ e·τ^{}}ˆ = cos φ ˆ1 − i sin φ e · τ̂ ∀ φ ∈ ℂ.

c) e^{−χ e·τ^{}}ˆ = cosh χ ˆ1 − sinh χ e · τ̂ ∀ χ ∈ ℂ.

Hinweis zu b) und c): Allgemein zeige man mithilfe von a) für Potenzreihen f(z) = ∑_{ν=1}^{∞} c_{ν} z^{ν} mit unendlichem Konvergenzradius:

f(θ e · τ̂) = \frac{f(θ) + f(−θ)}{2} ˆ1 + \frac{f(θ) − f(−θ)}{2} e · τ̂ .

Zur Erinnerung (siehe Fußnote 9 von Kapitel 3):

sinh λ =^{def} \frac{exp (λ) − exp (−λ)}{2} , cosh λ =^{def} \frac{exp (λ) + exp (−λ)}{2} .

Übungsaufgabe E26 Man zeige für alle α ∈ ℝ :

D̂_{− \frac{α}{2}} τ̂^{j}D̂_{+ \frac{α}{2}} = \{ \begin{matrix}sin α τ̂^{3} + cos α τ̂^{1} & für j = 1 , \\ τ̂^{2} & für j = 2 , \\ cos α τ̂^{3} − sin α τ̂^{1} & für j = 3 . \end{matrix}

Übungsaufgabe E27 Man zeige für alle φ ∈ ℝ :

e^{+i \frac{φ}{2} τ̂^{3}} τ̂^{j}e^{−i \frac{φ}{2} τ̂^{3}} = \{ \begin{matrix}cos φ τ̂^{1} − sin φ τ̂^{2} & für j = 1 , \\ sin φ τ̂^{1} + cos φ τ̂^{2} & für j = 2 , \\ τ̂^{3} & für j = 3 . \end{matrix}

Übungsaufgabe E28 Sei Û ∈ SU(2) und sei {e_{1}, e_{2}} eine Orthonormalbasis von ℂ^{2} . Man zeige:

a) Es existieren α, ψ_{1}, ψ_{2} ∈ ℝ mit^{7}

Û = ( \begin{matrix}e^{+iψ_{1}} cos \frac{α}{2} & −e^{−iψ_{2}} sin \frac{α}{2} \\ e^{+iψ_{2}} sin \frac{α}{2} & e^{−iψ_{1}} cos \frac{α}{2} \end{matrix} ) bzgl. \{e_{1}, e_{2}\} .

b) Es existieren Eulersche Winkel φ_{1}, φ_{2}, α ∈ ℝ mit^{8}

Û = e^{−i \frac{φ_{1}+φ_{2}}{2}} Ŝ_{φ_{1}} D̂\frac{α}{2} Ŝ_{φ_{2}} .

Version vom 26. März 2009

7Hinweis: Man beachte, daß isometrische Matrizen Orthonormalsysteme auf Orthonormalsysteme abbilden und überlege, was das für die Spalten solcher Matrizen bedeutet.

8Siehe auch (Tilma und Sudarshan, 2002).

Übungsaufgabe E29 Seien V ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und Â , B̂ lineare Operatoren auf V mit

[[Â, B̂]_{−} , Â]_{−} = [[Â, B̂]_{−} , B̂]_{−} = 0 .

Man zeige für alle N ∈ ℕ:

a)

[B̂^{N}, Â]_{−} = − [Â, B̂]_{−} (\frac{d}{dx}x^{N})_{|_{x=B̂}} .

b)

:(Â + B̂)^{N}: (Â + B̂) = :(Â + B̂)^{N+1} : −N [Â, B̂]_{−} :(Â + B̂)^{N−1} : ,

wobei:

:(Â + B̂)^{n}: =^{def} ∑_{ν=0}^{n} \binom{n}{ν} Â^{ν} B̂^{n−ν} ∀ n ∈ ℕ .

c)

(Â + B̂)^{N} = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :((\frac{d}{dx})^{2ν} x^{N})_{|_{x=Â+B̂}} : .

d) Es gilt die Baker-Hausdorff-Formel:

e^{Â+B̂} = e^{− \frac{1}{2} [Â,B̂]_{−}} eÂ eB̂

(siehe auch Gleichung 3.55 von (Lücke, qip)).

Übungsaufgabe E30 Sei Â ∈ GL(2, ℂ) . Man zeige, daß mindestens vier verschiedene selbstadjungierte B̂ ∈ GL(2, ℂ) mit B̂^{2} = Â^{†}Â existieren.

Übungsaufgabe E31 Man bestimme die Polarzerlegung von ( \begin{matrix}2 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} ).

Übungsaufgabe E32 Man bestimme alle Polarzerlegungen von ( \begin{matrix}2 & −i & 0 \\ −i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ).

Übungsaufgabe E33 Man zeige^{9} für alle a, b, c, d ∈ ℂ :

( \begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix} ) ∈ SU(2) ⟺ \{ \begin{matrix}a & = & +d^{∗} , \\ b & = & −c^{∗} , \\ 1 & = & |a|^{2} + |b|^{2} . \end{matrix}

Version vom 26. März 2009

9Hinweis: Man beachte Aufgabe E28a).

Übungsaufgabe E34 Man denke sich die Wirkung eines einfachen (linearen, verlustfreien, polarisationsunabhängigen) Strahlteilers mithilfe der unitären Matrix

Ŝ = ( \begin{matrix}r & t′ \\ t & r′ \end{matrix} )

durch

( \begin{matrix}z_{in}^{1} \\ z_{in}^{2} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}z_{out}^{1} \\ z_{out}^{2} \end{matrix} ) = Ŝ ( \begin{matrix}z_{in}^{1} \\ z_{in}^{2} \end{matrix} )

beschrieben, wobei sich das vom Strahlteiler transformierte System im ‘Zustand’

( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) oberhalb, im ‘Zustand’ ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) dagegen unterhalb des Strahlteiler befindet:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{( \begin{matrix}z_{out}^{1} \\ 0 \end{matrix} )}^{( \begin{matrix}0 \\ z_{out}^{2} \end{matrix} )}^{( \begin{matrix}z_{in}^{1} \\ 0 \end{matrix} )}^{( \begin{matrix}0 \\ z_{in}^{2} \end{matrix} )}

a) Man zeige, daß für

δ =^{def} arg (r) − arg (t) , δ′ =^{def} arg (r′) − arg (t′)

stets

δ + δ′ = π mod 2π

gilt.

b) Man bestimme die allgemeine Form von Ŝ für symmetrische Strahlteiler, d.h. für r′ = r und t = t′.

c) Man bestimme die allgemeine Form von Ŝ für symmetrische 50/50-Strahlteiler, d.h. für symmetrische Strahlteiler mit |r| = |t|.

Übungsaufgabe E35 Sei Ŝ die Matrix eines 50/50-Strahlteilers (|r| = |t|) im Sinne von Aufgabe E34.

a) Man zeige

r r′ + t t′ = 0 .

b) Man zeige, daß φ_{0}, φ_{1}, φ_{2} ∈ ℝ existieren mit

Ŝ = e^{iφ_{0}} Ŝ_{φ_{1}} Ĥ Ŝ_{φ_{2}} ,

wobei

Ŝ_{φ} =^{def} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & e^{iφ} \end{matrix} ) , Ĥ =^{def} \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) .

c) Welche Werte können φ_{1} und φ_{2} für symmetrische 50/50-Strahlteiler annehmen?

Übungsaufgabe E36 Seien n ∈ ℕ, {e_{1}, …, e_{n}} eine Orthonormalbasis des komplexen Euklidischen Vektorraumes V und Â ein normaler Operator auf V .

Man zeige mithilfe des Spektralsatzes, daß ein — i.a. nicht eindeutiger — unitärer Operator Û auf V existiert mit

(ÛÂ Û^{†}) e_{ν} ∝ e_{ν} ∀ ν ∈ {1, …, n} .

Übungsaufgabe E37 Sei Â eine normale, d.h. der Bedingung

Â^{†}Â = Â Â^{†}

genügende n × n-Matrix.

Man zeige, daß eine unitäre, also der Bedingung

Û^{†} Û = Û Û^{†} = ˆ1

genügende, n × n-Matrix Û existiert, die Â diagonalisiert, d.h. mit der

ÛÂ Û^{−1} = ( \begin{matrix}E_{1} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & E_{2} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & E_{3} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & E_{n} \end{matrix} ) .

für geeignete E_{1}, …, , E_{n} ∈ ℂ gilt.

Übungsaufgabe E38 Seien V ein n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit dem inneren Produkt ⟨. | .⟩ und Â ein normaler Operator auf V . Man zeige:

a) Folgende drei Aussagen sind zueinander äquivalent:

1. Â hat nur positive Eigenwerte.

2. Es existiert ein invertierbarer linearer Operator B̂ auf V mit Â = B̂^{†}B̂.

3. Es gilt

⟨z | Â z⟩ > 0 ∀ z ∈ V \ {0} .

b) Falls Â ≥ 0 , dann gilt bzgl. jeder Basis von V

A_{1}^{1} = 0  ⟹  A_{ν}^{1} = A_{1}^{ν} = 0 ∀ ν ∈ {1, …, n} .

Übungsaufgabe E39 Seien V ein endlichdimensionaler, komplexer, Euklidischer Vektorraum und Â ein linearer Operator auf V .

Man zeige, daß folgende beiden Aussagen zueinander äquivalent sind:

1. Â ist selbstadjungiert und zu sich selbst invers.

2. Â ist unitär und seine Eigenwerte können nur +1 und/oder -1 sein.

Übungsaufgabe E40 Man zeige: Die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus einer m-elementigen Menge auszuwählen, entspricht folgender Tabelle:^{10}

Anzahl Beachtung der Reihenfolge

Wiederholungen

m^{k}  mit  mit
\binom{m}{k}k! = ∏_{j=0}^{k−1}(m − j)  mit  ohne

\binom{m}{k} = \binom{m}{m − k}  ohne  ohne
\binom{m + k − 1}{m − 1} = \binom{m + k − 1}{k}  ohne  mit

Übungsaufgabe E41

Die Wahrscheinlichkeitstheorie bezieht sich stets auf eine ausgewählte Menge Ω von Elementarereignissen ω, deren (”meßbare“) Teilmengen E als Ereignisse bezeichnet werden. Die Wahrscheinlichkeit p_{μ}(E) dafür, daß ω ∈ E für ein zufällig ausgewähltes Elementarereignis ω gilt, ist für endliches Ω ≠ ∅ definitionsgemäß

p_{μ}(E) = ∑_{ω∈E} μ(ω) ∀ E ⊂ Ω ,

Version vom 26. März 2009

10Man beachte die Definition der Binomialkoeffizienten:

\binom{m}{k} =^{def} \frac{m!}{k! (m − k)!} ∀ m ∈ ℤ , k ∈ \{0, …, m\} .

Z.B. die Anzahl aller möglichen Lottotipps (6 aus 49) ist dementsprechend \binom{49}{6} = 13983816 .

wobei μ eine (dem statistischen Modell entsprechend^{11}) vorgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, d.h.^{12} eine Abbildung von Ω in die nichtnegativen Zahlen mit

∑_{ω∈Ω} μ(ω) = 1 .

Dafür zeige man:

a) Für alle ω ∈ Ω gilt

p_{μ}(∅) = 0 , p_{μ}(Ω) = 1

und

E_{1} ∩ E_{2} = ∅ ⟹ p_{μ}(E_{1} ∪ E_{2}) = p_{μ}(E_{1}) + p_{μ}(E_{2}) ∀ E_{1}, E_{2} ⊂ Ω .

b) Es gilt

p_{μ}({ω}) = μ(ω) ∈ [0, 1] ∀ ω ∈ Ω

und

μ konstant ⟹ p_{μ}(E) =^{def} \frac{|E|}{|Ω|} ∀ E ⊂ Ω ,

wobei |E| jeweils die Anzahl der Elemente von E bezeichnet.

Übungsaufgabe E42 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Lottotipp (6 aus 49) genau 5 der Ergebniszahlen einer Lottoziehung enthält?

Übungsaufgabe E43 Das sog. Monty-Hall-Problem besteht darin, sich für eine von zwei Strategien A oder B für folgende Variante eines Spiels der amerikanischen TV-Show ”Let’s Make A Deal“ zu entscheiden:

• Der Spielleiter Monty Hall wählt rein zufällig eine von drei Türen aus, hinter der er unbeobachtet einen Preis deponiert, den ein Spieler erhält, wenn er die richtige Tür errät.

• Der Spieler wird aufgefordert, sich für eine Tür zu entscheiden.

• Nachdem der Spieler sich für eine Tür entschieden hat, öffnet Monty eine der beiden anderen Türen, hinter der der Preis nicht deponiert ist, und gibt dem Spieler die Chance, sich eventuell noch umzuentscheiden.

Version vom 26. März 2009

11Bei N-facher Wiederholung der Zufallsauswahl sollte die relative Anzahl der Fälle, in denen ein vorgegebenes ω ∈ Ω resultiert, für N → ∞ gegen μ(ω) konvergieren.

12Für unendliche Wahrscheinlichkeitsräume sind die Wahrscheinlichkeitsmaße i.a. nicht mehr für einzelne Elementarereignisse definiert.

Für welche der folgenden beiden Strategien^{13} ist die Wahrscheinlichkeit größer, den Preis zu gewinnen?

\underline{Strategie A:} Der Spieler entscheidet sich für Tür 1 und bleibt dabei, ganz gleich, welche der beiden anderen Türen Monty öffnet.

\underline{Strategie B:} Der Spieler entscheidet sich zunächst für Tür 1, entscheidet sich danach aber auf jeden Fall um für diejenige der Türen 2 oder 3, die Monty nicht öffnet.

Übungsaufgabe E44 Seien Ω und μ wie in Aufgabe E41 und E_{1}, E_{2} ⊂ Ω . Man nennt die (Zufalls-)Ereignisse E_{1}, E_{2} (statistisch) unabhängig voneinander, wenn p_{μ}(E_{1} ∩ E_{2}) = p_{μ}(E_{1}) p_{μ}(E_{2}) gilt. Im Falle p_{μ}(E_{2}) ≠ 0 bezeichnet man

p_{μ}(E_{1}|E_{2}) =^{def} \frac{p_{μ}(E_{1} ∩ E_{2})}{p_{μ}(E_{2})}

als die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß auch E_{1} eintritt, wenn E_{2} eintritt.

Man zeige:^{14}

a)

p_{μ}(E_{1} ∩ E_{2}) = \{ \begin{matrix}p_{μ}(E_{1}|E_{2}) p_{μ}(E_{2}) , & falls p_{μ}(E_{2}) ≠ 0 , \\ p_{μ}(E_{2}|E_{1}) p_{μ}(E_{1}) , & falls p_{μ}(E_{1}) ≠ 0 . \end{matrix}

b)

\begin{matrix}p_{μ}(E_{1}) = p_{μ}(E_{1}|E_{2}) p_{μ}(E_{2}) + p_{μ}(E_{1}|Ω \E_{2}) p_{μ}(Ω \E_{2}) , \\ falls p_{μ}(E_{2}) ∈ (0, 1) . \end{matrix}

c)

E_{1}, E_{2} unabhängig ⟺ \{ \begin{matrix}p_{μ}(E_{1}|E_{2}) = p_{μ}(E_{1}) , & falls p_{μ}(E_{2}) ≠ 0 , \\ p_{μ}(E_{2}|E_{1}) = p_{μ}(E_{2}) , & falls p_{μ}(E_{1}) ≠ 0 . \end{matrix}

d)

E_{1} , E_{2} unabhängig ⟹ E_{1} , Ω \E_{2} unabhängig .

e)

\begin{matrix}Ω = Ω_{A} × Ω_{B} \\ E_{A} ∈ Ω_{A} \\ E_{B} ∈ Ω_{B} \\ μ konstant \end{matrix} \} ⟹ E_{A} × Ω_{B}, Ω_{A} × E_{B} unabhängig .

Version vom 26. März 2009

13Hinweis: Man beachte, daß hier das Wahrscheinlichkeitsmodell in der Bezeichnungsweise von Aufgabe E41 durch Ω = {Tür 1,Tür 2,Tür 3} mit konstantem μ gegeben ist und überlege sich, auf welche Ereignisse E_{A}, E_{B} die beiden Strategien abzielen. Sie können das Ergebnis testen unter

http://people.hofstra.edu/staff/steven r costenoble/MontyHall/MontyHallSim.html

14Die Aussage p_{μ}(E_{1}|E_{2}) p_{μ}(E_{2}) = p_{μ}(E_{2}|E_{1}) p_{μ}(E_{1}) wird auch als Satz von Bayes bezeichnet.

Übungsaufgabe E45 Wenn jedem ω ∈ Ω der Wert a(ω) einer physikalischen Größe A zugeordnet ist, dann bezeichnet man — unter den Voraussetzungen von Aufgabe E41 — a als Zufallsvariable,^{15}

⟨A ⟩ =^{def} ∑_{ω∈Ω} a(ω) μ(ω)

als Erwartungswert von A (für die Wahrscheinlichkeitsverteilung μ) und

(ΔA)^{2} =^{def} ∑_{ω∈Ω}(a(ω) − ⟨A ⟩)^{2}μ(ω)

als mittlere quadratische Abweichung der Größe A von ihrem Erwartungswert. Man zeige:

a)

(ΔA)^{2} = ⟨A^{2}⟩ − (⟨A⟩)^{2} .

b)

ΔA = 0  ⟺  (μ(ω) ≠ 0 ⟹ a(ω) = ⟨A ⟩) ∀ ω ∈ Ω .

c) Im Grenzfall N → ∞ sollte der Mittelwert von A für die Zufallsauswahl ω_{1}, …, ω_{N} ∈ Ω in den Erwartungswert übergehen:

\frac{1}{N} ∑_{n=1}^{N} a(ω_{n}) ⟶_{N→∞} ⟨A ⟩ .

d) Wenn a_{1}, a_{2} Zufallsvariable der Größen A_{1}, A_{2} gleicher physikalischer Dimension sind (z.B. kinetische und potentielle Energie), dann ist a = a_{1} + a_{2} die Zufallsvariable von A = A_{1} + A_{2} und dafür gilt

⟨A_{1} + A_{2}⟩ = ⟨A_{1}⟩ + ⟨A_{2}⟩ .

Übungsaufgabe E46 Seien N ∈ ℕ, \overline{n} ∈ [0, N] , Ω = \{b = (b_{1}, …, b_{N}) ∈ \{0, 1\}^{N}\} und es gelte

p_{μ}(E_{ν}) = \frac{\overline{n}}{N} ∀ ν ∈ \{1, …, N\} ,

Version vom 26. März 2009

15Zwei solche Zufallsvariable nennt man in dem durch μ charakterisierten Zustand unkorreliert (miteinander), falls

p_{μ}({ω ∈ Ω : a_{j}(ω) = λ_{j} für j = 1, 2}) = ∏_{j=1}^{2} p_{μ}({ω ∈ Ω : a_{j}(ω) = λ_{j}}) ∀ λ_{1}, λ_{2} .

132 ANHANG E. ERGÄNZENDE ÜBUNGSAUFGABEN wobei

E_{ν} =^{def} {b ∈ Ω : b_{ν} = 1} ∀ ν ∈ {1, …, N} .

Für jedes ν ∈ {1, …, N} sowie für jedes E ⊂ Ω mit^{16}

b ∈ E ⟹ (b_{1}, …, b_{ν} ⊕ 1, …, b_{N}) ∈ E ∀ b ∈ Ω

seien die Ereignisse E_{ν}, E statistisch unabhängig.

Man zeige:

a)

μ(b) = ∏_{ν=1}^{N} (\frac{\overline{n}}{N} δ_{1 b_{ν}} + (1 − \frac{\overline{n}}{N} ) δ_{0 b_{ν}}) ∀ b ∈ Ω .

b)

\begin{aligned}μ′_{N}(n) & =^{def} & p_{μ}(\{b ∈ Ω : b_{1} + … + b_{N} = n\}) \\ & = & \binom{N}{n} (\frac{\overline{n}}{N} )^{n} (1 − \frac{\overline{n}}{N} )^{N−n} ∀ n ∈ \{0, …, N\} . \end{aligned}

c) Es gilt tatsächlich

∑_{b∈Ω} μ(b) = 1 .

d)

F (ξ) =^{def} ∑_{n=0}^{N} (1 + ξ)^{n} μ′_{N}(n) = (1 + ξ \frac{\overline{n}}{N} )^{N} ∀ ξ ∈ ℝ .

e) Für die Zufallsvariable

n(b) =^{def} b_{1} + … + b_{N} ∀ b ∈ Ω

gilt^{17}

⟨n⟩ =^{def} ∑_{b∈Ω} n(b) μ(b) = ∑_{n=0}^{N} n μ′_{N}(n) = \overline{n} .

Version vom 26. März 2009

16Mit b_{ν} ⊕ 1 bezeichnet man i.a. die Modulo-2-Addition:

b_{ν} ⊕ 1 =^{def} \{ \begin{matrix}1 & für b_{ν} = 0 , \\ 0 & für b_{ν} = 1 . \end{matrix}

17Hinweis: Man untersuche die Ableitung von F (ξ) an der Stelle ξ = 0 .

f) Die Binomialverteilung (Bernoulli-Verteilung) μ′_{N}(n) auf {1, …, N} geht für N → ∞ bei festem ⟨n⟩ in eine Poisson-Verteilung über:^{18}

μ′_{N}(n) ⟶_{N→∞} \frac{⟨n⟩ e^{−⟨n⟩}}{n!} ∀ n ∈ ℤ_{+} .

Übungsaufgabe E47 Gegeben sei eine Massendichte-Verteilung μ(x) mit

μ(x) = 0 für |x| > R.

Das zugehörige Gravitationspotential ist dann

Φ(x′) = −G ∫_{0}^{2π} (∫_{0}^{π} (∫_{0}^{R} \frac{μ(x(r, ϑ, φ))}{|x′ − x(r, ϑ, φ)|}r^{2} sin ϑ dr) dϑ) dφ ,

wobei r, ϑ, φ die Polarkoordinaten von x bezeichnen.

a) Man zeige, daß für r′ ≫ R die Reihenentwicklung

Φ (r′e_{3}) = −\frac{G}{r′} ∑_{l=0}^{∞} \frac{Q_{l}}{(r′)^{l}} ,

Q_{l} =^{def} ∫_{0}^{2π} (∫_{0}^{π} (∫_{0}^{R} r^{2+l} sin ϑ P_{l}(cos ϑ) μ(x(r, ϑ, φ)) dr) dϑ) dφ ,

(Multipolentwicklung) mit geeigneten Polynomen P_{l} gilt.^{19} Man bestimme P_{0}, P_{1}, P_{2} und diskutiere das Ergebnis.

b) Man zeige, daß für kugelsymmetrisches μ nur Q_{0} von Null verschieden ist:^{20}

μ(x) = μ̌(|x|) ⟹ Q_{l} = 0 ∀ l ∈ ℕ .

Übungsaufgabe E48 Seien H_{1} resp. H_{2} (komplexe) Euklidische Vektorräume mit den Normen ∥.∥_{1} resp. ∥.∥_{2} und sei f eine lineare Abbildung von H_{1} in H_{2} . Man zeige:

Version vom 26. März 2009

18Hinweis: Man beachte, daß

lim_{N→∞} (1 + \frac{ξ}{N} )^{N} = e^{ξ} ∀ ξ ∈ ℝ .

19Hinweis: Man untersuche die Taylor-Entwicklung von \frac{r′}{|r′ e_{3} − x(r, ϑ, φ)|} nach \frac{r}{r′}.

20Hinweis: Man berechne zunächst ∫_{0}^{π} \frac{sin ϑ}{\sqrt{(r′)^{2} − 2 r r′ cos ϑ + r^{2}}} dϑ für r′ > r.

a) Die Abbildung f ist genau dann stetig (im Sinne von Definition 7.1.11), wenn sie beschränkt ist, d.h. wenn zu jedem A > 0 ein C > 0 existiert mit

∥Ψ∥_{1} < A ⟹ ∥f(Ψ)∥_{2} < C ∀ Ψ ∈ H_{1} .

b) Wenn H_{1} endlichdimensional ist, dann ist f beschränkt.

Übungsaufgabe E49 Seien H ein endlichdimensionaler Euklidischer Vektorraum und B eine Bilinearform auf H. Man zeige, daß B beschränkt ist, d.h. daß zu jedem A > 0 ein C > 0 existiert mit

∥Ψ_{1}∥ < A > ∥Ψ_{2}∥ ⟹ |B(Ψ_{1}, Ψ_{2})| < C ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ V .

Übungsaufgabe E50 Seien N eine natürliche Zahl und φ > 0 .

a) Man bestimme die Fourier-Reihenentwicklung

f = ∑_{ν∈ℤ}⟨e_{ν} | f⟩ e_{ν}

der Funktion

f(φ) =^{def} cos(φ) cos(Nφ) ∀ φ ∈ ℝ ,

wobei definitionsgemäß

⟨e_{ν} | f⟩ = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(e_{ν}(φ))^{∗}f(φ) dφ

und

e_{ν}(φ) = e^{+i ν φ}

gilt (siehe Abschnitt 8.1.1 der Vorlesung).

b) Man gebe eine physikalische Interpretation des Ergebnisses für den Fall, daß φ linear von der Zeit abhängt.

Übungsaufgabe E51 Sei f(φ) eine 2π-periodische stetige Funktion über ℝ^{1} . Gemäß Abschnitt der 8.1.1 Vorlesung gilt dafür

\begin{aligned}∥f − ∑_{ν=−N}^{+N} ⟨e_{ν} | f⟩ e_{ν}∥^{2} & = & \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(φ) − ∑_{ν=−N}^{+N} ⟨e_{ν} | f⟩ e^{iνφ}|^{2} dφ \\ & ⟶_{N→∞} & 0 . \end{aligned}

Sei weiterhin g(φ) eine beschränkte 2π-periodische Funktion g(φ) über ℝ^{1} , die in

dem offenen Intervall (−π, π) stetig ist und dort mit \frac{d}{dφ} f(φ) übereinstimmt. Man

zeige: a) Für alle ν ∈ ℤ \ {0} gilt^{21}

⟨e_{ν} | f⟩ = \frac{1}{i ν} ⟨e_{ν} | g⟩ .

b) Für jede endliche Teilmenge M von ℤ \ {0} gilt

∑_{ν∈M} |⟨e_{ν} | f⟩| ≤ ^{+} \sqrt{∑_{ν∈M} (\frac{1}{ν})^{2}} _{+} \sqrt{∑_{ν∈M} |⟨e_{ν} | g⟩|^{2}} .

und

∑_{ν∈M} |⟨e_{ν} | g⟩|^{2} ≤ ∑_{ν∈ℤ}|⟨e_{ν} | g⟩|^{2} < ∞ .

c) Es gilt die punktweise Fourier-Reihenentwicklung

f(φ) = ∑_{ν∈ℤ}⟨e_{ν} | f⟩ e^{iνφ} ∀ φ ∈ ℝ ,

wobei die Reihe absolut (und somit auch gleichmäßig) konvergiert.

Übungsaufgabe E52 Mithilfe der punktweisen Fourier-Reihenentwicklung zeige man:

a)

φ^{2} = \frac{π^{2}}{3} + 4 ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} cos(nφ) ∀ φ ∈ [−π, +π] .

b)

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

c)

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} = −\frac{π^{2}}{12} .

Version vom 26. März 2009

21Wir verwenden die Schreibweise

⟨f | g⟩ =^{def} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f^{∗}(φ) g(φ) dφ

für alle hinreichend gutartigen Funktionen f(φ), g(φ) .

Übungsaufgabe E53 Seien H ein endlichdimensionaler Euklidischer Vektorraum, {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} und ψ ∈ H. Man zeige:

w − lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ ⟺ s − lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ .

Übungsaufgabe E54 Man zeige, daß jeder endlichdimensionale Euklidische Vektorraum vollständig, also ein Hilbert-Raum ist.

Übungsaufgabe E55 Seien H ein endlichdimensionaler Euklidischer Vektorraum und Ψ(t) eine Abbildung von ℝ in H. Man zeige:

Ψ(t) schwach differenzierbar ⟺ Ψ(t) stark differenzierbar .

Übungsaufgabe E56 Seien H ein separabler Hilbert-Raum und {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} ein MONS von H. Man zeige:

a) Es existiert genau ein ψ ∈ H mit

Ψ = s − lim_{n→∞} ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν} .

b) Damit ist {Φ_{ν}}_{ν≥2} ein MONS des Euklidischen Teilraums

Ȟ =^{def} L({Ψ, Φ_{2}, Φ_{3}, …})

von H.

c) Trotzdem ist

Ψ ≠ ∑_{ν≥2} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν} .

Übungsaufgabe E57 Seien H ein Hilbert-Raum und Â ein (eventuell unbeschränkter) Operator in H. Man zeige:

a) Es gilt die Verallgemeinerung

\begin{matrix}⟨Ψ_{1} | Â Ψ_{2}⟩ = \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{−k} ⟨Ψ_{1} + i^{k}Ψ_{2} | Â (Ψ_{1} + i^{k}Ψ_{2})⟩ \\ ⟨Â Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ = \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{−k} ⟨Â (Ψ_{1} + i^{k}Ψ_{2}) | Ψ_{1} + i^{k}Ψ_{2}⟩ \end{matrix} \} ∀ Ψ_{j} ∈ DÂ

der Polarisationsidentität (Gleichung (7.22) der Vorlesung). b) Â ist genau dann Hermitesch, wenn

ℝ ∋ ⟨Ψ | Â Ψ⟩ ∀ Ψ ∈ DÂ

gilt.

Übungsaufgabe E58 Seien H ein separabler Hilbert-Raum und {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} ein MONS von H. Für den durch

DÂ =^{def} H

und

Â Ψ =^{def} ∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν+1} ∀ Ψ ∈ DÂ

gegebenen Operator zeige man:

a) Â ist isometrisch und genügt somit der Bedingung

Â^{†}Â = ˆ1 .

b) Â ist invertierbar, d.h. es existiert genau ein Operator Â^{−1} in H mit DÂ^{−1} = RÂ =^{def} {Â Φ : Φ ∈ DÂ} und:

\begin{aligned}Â^{−1}Â Ψ & = & Ψ ∀ Ψ ∈ DÂ , \\ Â Â^{−1}Ψ & = & Ψ ∀ Ψ ∈ RÂ . \end{aligned}

c) Â ist aber nicht unitär, denn es gilt RÂ ≠ H = DÂ^{†} und somit

Â^{†} ≠ Â^{−1} ∉ B(H) .

Übungsaufgabe E59 Seien m eine Masse, L eine Länge und C_{0}^{∞} ([0, L]) die Menge aller auf [0, L] beliebig oft ableitbaren komplexwertigen Funktionen Ψ , die in einer (jeweils von Ψ abhängigen) Umgebung von 0 und 1 verschwinden. Man zeige für den durch

DĤ =^{def} C_{0}^{∞} ([0, L]) ⊂ L^{2} ([0, L])

und

(Ĥ Ψ) (x) =^{def} −\frac{ℏ^{2}}{2m} (\frac{d}{dx})^{2} Ψ(x) ∀ Ψ ∈ DĤ , x ∈ [0, L]

gegebenen Hamilton-Operator Ĥ : a) Ĥ läßt sich nicht zu einem auf ganz L^{2} ([0, L]) definierten Hermiteschen

Operator fortsetzen.^{22}

b) Es existiert eine eindeutige Hermitesche Erweiterung Ĥ_{per} von Ĥ auf den Teilraum C_{per}^{∞} ([0, L]) all derjenigen Funktionen über [0, L] , die sich durch Einschränkung beliebig oft differenzierbarer Funktionen über ℝ der Periode L ergeben.

c) Es existiert eine eindeutige Hermitesche Erweiterung Ĥ_{ref} von Ĥ auf den Teilraum C_{ref}^{∞} ([0, L]) all derjenigen beliebig oft differenzierbarer Funktionen über [0, L] , die bei 0 und L verschwinden.

d) Es existiert ein MONS von L^{2} ([0, L]) , das nur aus Eigenfunktionen von Ĥ_{per} besteht.

e) Es existiert ein MONS von L^{2} ([0, L]) , das nur aus Eigenfunktionen von Ĥ_{ref} besteht .

f) Ĥ_{per} und Ĥ_{ref} besitzen keine gemeinsame Eigenfunktion.

Übungsaufgabe E60 Man zeige, daß der in Aufgabe E59 definierte Operator Ĥ zwar Hermitesch aber nicht im wesentlichen selbstadjungiert ist.

Übungsaufgabe E61 Für H = \overline{C(S^{1})} und den durch

DL̂ =^{def} {f ∈ C(S^{1}) : f stetig differenzierbar} ,
(L̂ f) (φ) =^{def} \frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} f(φ) ∀ f ∈ DL̂ , φ ∈ ℝ

gegebenen linearen Operator L̂ in H zeige man:

a) L̂ ist Hermitesch.

b) Es existiert ein MONS von H, das nur aus Eigenvektoren von L̂ besteht.

c) Die Menge aller Eigenwerte von L̂ ist {ℏm : m ∈ ℤ}.

d) L̂ ist unbeschränkt.

e) DL̂ und D_{L̂L̂} liegen dicht in H.

Version vom 26. März 2009

22Hinweis: Man untersuche

lim_{λ→+∞} ⟨Ψ_{λ} | Ĥ Ψ_{λ}⟩ , Ψ_{λ}(x) =^{def} \sqrt{λ} Ψ(λ x) ,

für 0 ≠ Ψ ∈ DĤ .

f)

D_{L̂L̂} ⊂ DL̂ ⊄ D_{L̂L̂} .

g)

DL̂^{†} = {∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m} : ∑_{m∈ℤ}|ℏm λ^{m}|^{2} < ∞} .

h)

∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m} ∈ DL̂^{†} ⟹ L̂^{†} ∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m} = ∑_{m∈ℤ}ℏm λ^{m} e_{m} .

i)

DL̂ ⊂ DL̂^{†} ⊄ DL̂ .

j) L̂^{†} ist selbstadjungiert.

k)

L̂^{†} = ∑_{m∈ℤ}ℏm |e_{m}⟩⟨e_{m}| (Spektralzerlegung).

l)

\begin{aligned}⟨f | L̂^{†} f⟩ & = & ∑_{m∈ℤ}ℏm ⟨f | P̂_{e_{m}} f⟩ \\ & = & ∑_{m∈ℤ}ℏm |⟨e_{m} | f⟩|^{2} ∀ f ∈ DL̂^{†} . \end{aligned}

Übungsaufgabe E62 Seien m eine Masse und ω eine Kreisfrequenz. Man zeige für

Ω(x) =^{def} (\frac{m ω}{π ℏ} ) e^{− \frac{m ω}{2 ℏ}x^{2}} ∀ x ∈ ℝ

und die durch

DĤ_{osc} =^{def} DÂ =^{def} DÂ^{†} =^{def} S(ℝ) ⊂ L^{2}(ℝ)

und

\begin{matrix}(Ĥ_{osc} Ψ) (x) & =^{def} & (\frac{1}{2m} (\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dx})^{2} + \frac{m}{2} ω^{2} x^{2}) Ψ(x) , \\ (Â Ψ) (x) & =^{def} & \frac{\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dx} − i m ω x}{\sqrt{2 m ℏ ω}} Ψ(x) , \\ (Â^{†} Ψ) (x) & =^{def} & \frac{\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dx} + i m ω x}{\sqrt{2 m ℏ ω}} Ψ(x) \end{matrix} \} ∀ Ψ ∈ S(ℝ)

gegebenen Operatoren Ĥ_{osc} , Â und Â^{†} in L^{2}(ℝ) : a)

Ĥ_{osc} = ℏ ω (Â^{†}Â + \frac{1}{2}) .

b)

Ĥ_{osc} Ω = \frac{ℏ ω}{2} Ω .

c)

[Ĥ_{osc} , \binom{}{Â^{†}}^{n}]_{−} = n ℏ ω \binom{}{Â^{†}}^{n} ∀ n ∈ ℤ_{+} .

d) Mit den in Folgerung 8.2.3 eingeführten Hermiteschen Polynomen

H_{ν}(z) =^{def} (−1)^{ν} e^{z^{2}} (\frac{d}{dz} )^{ν} e^{−z^{2}} ∀ z ∈ ℝ , ν ∈ ℤ_{+}

gilt

H_{n}(x \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} ) Ω(x) ∝ (\binom{}{Â^{†}}^{n} Ω)(x) ∀ n ∈ ℤ_{+} .

e) Es existiert ein MONS von L^{2}(ℝ) , das nur aus Eigenfunktionen des Hamilton-Operators Ĥ_{osc} besteht.

Übungsaufgabe E63 Für beliebige Vektoren Ψ, Φ des (komplexen) Hilbert-Raums H bezeichnet jeweils |Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{2}| den durch

D{|Ψ_{1}⟩ \atop ⟨Ψ_{2}|} =^{def} H

und

|Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{2}| Φ =^{def} ⟨Ψ_{2} | Φ⟩ Ψ_{1} ∀ Φ ∈ D{|Ψ_{1}⟩ \atop ⟨Ψ_{2}|}

definierten Operator. Man zeige:

(|Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{2}|)^{†} = |Ψ_{2}⟩⟨Ψ_{1}| ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H .

Übungsaufgabe E64 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum, B̂ ∈ B(H) und {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} ein MONS von H. Man zeige:

B̂ Ψ = lim_{N→∞} ( ∑_{ν,μ=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | B̂ Φ_{μ}⟩ |Φ_{ν}⟩⟨Φ_{μ}|) Ψ ∀ Ψ ∈ H .

Übungsaufgabe E65 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und P̂_{1}, P̂_{2} ∈ B(H) Projektionsoperatoren. Man zeige: a)

P̂_{1}P̂_{2} Projektionsoperator ⟺ P̂_{1}P̂_{2} = P̂_{2}P̂_{1} .

b)

P̂_{1} + P̂_{2} Projektionsoperator ⟺ P̂_{1}P̂_{2} = 0 .

Übungsaufgabe E66 Seien H ein Hilbert-Raum und Φ, Φ′ ∈ H \ {0}.

Man zeige, daß R̂ = (2 P̂_{Φ′} − ˆ1) (2 P̂_{Φ} − ˆ1) in dem von Φ und Φ′ aufgespannten reellen Vektorraum entsprechend folgender Skizze wirkt:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; θ; 2 θ; R̂ Ψ; Ψ; Φ; Φ′]

Übungsaufgabe E67 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum und Â, B̂ ∈ B(H) . Man zeige:

a) ÂB̂ ∈ B(H) und es gilt die Produkt-Ungleichung ∥ÂB̂∥ ≤ ∥Â∥ · ∥B̂∥ .

b) Es gilt

∥Â∥ = sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} |⟨Φ | Â Ψ⟩|

und somit auch

∥Â∥ = ∥Â^{†}∥ .

c) Es gilt^{23}

Ĉ^{†} = Ĉ ⟹ ∥Ĉ∥ = sup_{Ψ∈H_{Ψ=1}} |⟨Ψ | Ĉ Ψ⟩| ∀ Ĉ ∈ B (H)

Version vom 26. März 2009

23Hinweis: Man zeige zunächst für beliebige Φ, Ψ ∈ H :

Ĉ^{†} = Ĉ ⟹ ℜ ⟨Φ | Ĉ Ψ⟩ = \frac{1}{4} (⟨(Φ + Ψ) | Ĉ (Φ + Ψ)⟩ − ⟨(Φ − Ψ) | Ĉ (Φ − Ψ)⟩) .

Außerdem beachte man die sog. Parallelogramm-Gleichung:

∥Φ + Ψ∥^{2} + ∥Φ − Ψ∥^{2} = 2 (∥Φ∥^{2} + ∥Ψ∥^{2}) ∀ Φ, Ψ ∈ H .

und somit die C^{∗}-Identität

∥Â^{†}Â∥ = ∥Â∥^{2}

sowie

∥ÂÂ^{†}∥ = ∥Â∥^{2} .

Übungsaufgabe E68 Sei H (komplexer) Hilbert-Raum. Dann nennt man einen Teilraum A von B(H) bzgl. der Operator-Norm vollständig, wenn zu jeder Folge

\left\{{ \atop Â_{ν}}\right\}_{ν∈ℕ} ⊂ A mit

lim_{N→∞} sup_{ν,μ≥N} ∥Â_{ν} − Â_{μ}∥ = 0

ein Â ∈ A existiert mit

lim_{ν→∞} ∥Â − Â_{ν}∥ = 0 .

Man zeige:

a) B(H) ist vollständig bzgl. der Operator-Norm.

b) Der Teilraum C(H) von B(H) aller kompakten Operatoren ist vollständig bzgl. der Operator-Norm.

c) Die Operator-Norm ist im Falle dim(H) > 1 nicht^{24} Euklidisch.

Übungsaufgabe E69 Seien H ein Hilbert-Raum und λ_{0} ∈ ℝ. Man bestimme die Spektralschar für λ_{0} ˆ1 ∈ B(H) .

Übungsaufgabe E70 Seien H ein (komplexer) Hilbert-Raum, P̂_{1}, P̂_{2} (nicht notwendig miteinander vertauschbare) Projektionsoperatoren auf H und Ψ ∈ H. Man zeige:^{25}

a)

lim_{ν→∞} ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ∥ existiert .

Version vom 26. März 2009

24Hinweis: Man zeige, daß Projektionsoperatoren P̂_{1}, P̂_{2} existieren mit

∥P̂_{1} + P̂_{2}∥^{2} + ∥P̂_{1} − P̂_{2}∥^{2} ≠ 2 (∥P̂_{1}∥^{2} + ∥P̂_{2}∥^{2}) .

25Hinweis zu d)–f): Man zeige zunächst:

∥P̂_{1}P̂_{2}Φ∥ = ∥Φ∥ ⟹ Φ = P̂_{2}Φ = P̂_{1}P̂_{2}Φ ∀ Φ ∈ H .

b)

⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{μ+1} Ψ⟩ = ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν+1} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{μ} Ψ⟩ ∀ ν, μ ∈ ℕ .

c)

s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ existiert .

d)

s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ existiert .

e)

s- lim_{ν→∞} P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ = s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ .

f)

s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ = (P̂_{1} ∧ P̂_{2}) Ψ ,

wobei P̂_{1} ∧ P̂_{2} den Projektionsoperator mit

(P̂_{1} ∧ P̂_{2}) H = (P̂_{1} H) ∩ (P̂_{2} H)

bezeichnet.

Übungsaufgabe E71 Seien H ein Hilbert-Raum und Â, B̂ Hermitesche Operatoren in H. Man beweise mithilfe der Schwarzschen Ungleichung^{26} die verschärfte Heisenbergsche Unschärferelation

∥(Â − a)Ψ∥^{2} ∥(B̂ − b)Ψ∥^{2}

≥ \frac{1}{4} |⟨Ψ | [Â, B̂]_{−} Ψ⟩|^{2} + \frac{1}{4} |⟨Ψ | [Â − a, B̂ − b]_{+} Ψ⟩|^{2}

∀ Ψ ∈ D_{B̂Â} ∩ D_{ÂB̂} , a, b ∈ ℝ .

Übungsaufgabe E72 Sei r > 0 eine beliebig vorgegebene Länge. Man zeige, daß die durch

DF̂ =^{def} S(ℝ^{3})

Version vom 26. März 2009

26Man beachte ℑ(⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩) = \frac{1}{2i} ⟨Ψ | [Â − a, B̂ − b]_{−} Ψ⟩ und die entsprechen-

de Beziehung für ℜ(⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩).

und

(F̂ Ψ) (x′) =^{def} (2π r^{2})^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ(x) e^{−i \frac{x′·x}{r^{2}}} dV_{x} ∀ Ψ ∈ DF̂ , x′ ∈ ℝ^{3}

gegebene (zur Angleichung der physikalischen Dimensionen) modifizierte Fourier-Transformation F̂ eine eindeutige Erweiterung zu einem unitären Operator \overline{F̂} auf L^{2}(ℝ^{3}) besitzt.^{27}

Übungsaufgabe E73 Man bestimme für den durch^{28}

Dp̂_{+} =^{def} D((0, +∞))

und

(p̂_{+} Ψ) (x) =^{def} \frac{ℏ}{i} \frac{d}{dx}Ψ(x) ∀ Ψ ∈ Dp̂_{+} , x > 0

gegebenen Operator p̂_{+} in L^{2}((0, +∞)) die Defektindizes^{29}

n_{±}(p̂_{+}) =^{def} dim({Ψ ∈ D_{}_{p̂_{+}^{†}} : p̂_{+}^{†} Ψ = ±i Ψ}) .

Übungsaufgabe E74 Seien H und H′ Hilbert-Räume, {Ψ_{1}, Ψ_{2}} ein ONS in H und {Ψ′_{1}, Ψ′_{2}} ein ONS in H′. Man zeige:

a) Für

Ψ̌_{sep} =^{def} Ψ_{1} ⊗ Ψ′_{1}

und alle Â ∈ B (H) , Â′ ∈ B (H′) gilt

⟨Ψ̌_{sep} | (Â ⊗ Â′) Ψ̌_{sep}⟩ = ⟨Ψ̌_{sep} | (Â ⊗ ˆ1) Ψ̌_{sep}⟩⟨Ψ̌_{sep} | (ˆ1 ⊗ Â′) Ψ̌_{sep}⟩ .

b) Für

Ψ̌_{Bell} =^{def} \frac{1}{\sqrt{2}} (Ψ_{1} ⊗ Ψ′_{2} − Ψ_{2} ⊗ Ψ′_{1})

existieren Â ∈ B (H) , Â′ ∈ B (H′) mit

⟨Ψ̌_{Bell} | (Â ⊗ Â′) Ψ̌_{Bell}⟩ ≠ ⟨Ψ̌_{Bell} | (Â ⊗ ˆ1) Ψ̌_{Bell}⟩⟨Ψ̌_{Bell} | (ˆ1 ⊗ Â′) Ψ̌_{Bell}⟩ .

Version vom 26. März 2009

27Der Schwartz-Raum S(ℝ^{n}) wurde für n = 1 bereits in (8.14), für beliebiges n ∈ ℕ in Definition 9.1.1 eingeführt. Der Hilbert-Raum L^{2}(ℝ^{3}) wurde zu Beginn von 8.2 definiert.

28Mit D((0, +∞)) bezeichnen wir, wie allgemeine üblich, die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen über (0, +∞) , die außerhalb eines endlichen abgeschlossenen Teilintervalls von (0, +∞) verschwinden.

29Hinweis: Man beachte die Erläuterung am Schluß von 9.1.3.

Übungsaufgabe E75 Gegeben seien zwei endlichdimensionale Hilbert-Räume H und H′, ein normierter Vektor Ψ ∈ H und ein normierter Vektor Ψ̌ ∈ H ⊗ H′. Man zeige, daß

⟨Ψ̌ | Â ⊗ ˆ1 Ψ̌⟩ = ⟨Ψ | Â Ψ⟩ ∀ Â ∈ B(H)

genau dann gilt, wenn ein normierter Vektor Ψ′ ∈ H′ existiert mit

Ψ̌ = Ψ ⊗ Ψ′ .

Man diskutiere die Bedeutung dieses Sachverhalts für quantenmechanische Zustände.

Übungsaufgabe E76 Sei C^{1}(S^{1}) der Teilraum von L^{2}((0, 2π)) der stetig differenzierbar mit der Periode 2π auf ganz ℝ fortsetzbaren Funktionen. Man zeige für die durch

DP̂ =^{def} DQ̂ =^{def} C^{1}(S^{1})

und

\begin{matrix}(P̂ Ψ) (φ) & =^{def} & \frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} Ψ(φ) \\ (Q̂ Ψ) (φ) & =^{def} & φ Ψ(φ) \end{matrix} \} ∀ Ψ ∈ C^{1}(S^{1})

gegebenen Operatoren in L^{2}((0, 2π)) :

a) P̂ und Q̂ sind Hermitesch.

b) Es gelten die Vertauschungsrelationen

[P̂, Q̂]_{−} Ψ = \frac{ℏ}{i} Ψ ∀ Ψ ∈ D_{P̂Q̂} ∩ D_{Q̂P̂} .

c) Trotzdem gilt:

min_{Ψ∈C^{1}(S^{1})_{∥Ψ∥=1}} ∥(P̂ − ⟨Ψ | P̂ Ψ⟩)Ψ∥ = 0 ,

sup_{Ψ∈C^{1}(S^{1})_{∥Ψ∥=1}} ∥(Q̂ − ⟨Ψ | Q̂ Ψ⟩)Ψ∥ ≤ 2π .

Übungsaufgabe E77 Seien H ein Hilbert-Raum und Â, B̂ Hermitesche Operatoren auf H (also DÂ = DB̂ = H). a) Man zeige,^{30}

[Â, B̂]_{−} ≠ \frac{ℏ}{i} ˆ1 .

b) Man bestimme die Eigenwerte und Eigenzustände von i [Â, B̂]_{−} für den Fall

Â = |Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{1}| , B̂ = |Ψ_{2}⟩⟨Ψ_{2}| ,

mit normierten Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H.

Übungsaufgabe E78 Durch formale Anwendung der Baker-Hausdorff-Formel^{31} zeige man, daß die Weylschen Vertauschungsrelationen

e^{τ \frac{∂}{∂x^{j}}} e^{is x^{k}} = e^{iτs δ_{jk}} e^{is x^{k}} e^{τ \frac{∂}{∂x^{j}}}

auf dem Hilbert-Raum der quadratintegrablen Funktionen über ℝ^{3} gelten.

Man überprüfe die Formel durch Anwendung auf Taylor-entwickelbare Funktionen.

Übungsaufgabe E79 Seien H ein Hilbert-Raum, T ein Euklidischer Teilraum von H und Ľ ein beschränktes lineares Funktional auf T . Man zeige:

a) Es existiert ein beschränktes lineares Funktional L auf H, für das

L(Ψ) = Ľ(Ψ) ∀ Ψ ∈ T

gilt.

b) Wenn T in H dicht liegt, ist L eindeutig.

Übungsaufgabe E80 Seien H ein Hilbert-Raum und {Φ_{ν}}_{ν∈ℕ} ein MONS von H. T_{Φ} bezeichne die Menge aller Â ∈ B(H) für die

ω(Â) =^{def} lim_{N→∞} \frac{1}{N} ∑_{ν=1}^{N} Spur (P̂_{Φ_{ν}} Â)

existiert. Man zeige:

Version vom 26. März 2009

30Hinweis: Man untersuche die Konsequenzen, die sich für Funktionen vom Typ

f(λ) = ⟨e^{−i λ B̂} Ψ | Â e^{−i λ B̂} Ψ⟩

aus [Â, B̂]_{−} = \frac{ℏ}{i} ˆ1 ergeben würden.

31Siehe Aufgabe E29d).

a) T_{Φ} ist ein echter linearer Teilraum von B (H) und ω ein lineares Funktional auf T_{Φ} .

b) ˆ1 ∈ T_{Φ} und ω(ˆ1) = 1 .

c) Für alle Â ∈ B(H) mit Â^{†}Â ∈ H_{Φ} gilt ω(Â^{†}Â) ≥ 0 .

d) Es existiert kein statistischer Operator T̂ mit

ω(Â) = Spur (T̂ Â) ∀ Â ∈ T_{Φ} .

Übungsaufgabe E81 Man beweise Lemma 9.1.12 der Vorlesung.

Übungsaufgabe E82 Man zeige mithilfe der Poissonschen Gleichung (4.63) der Vorlesung, daß

Δ \frac{1}{|x|} = −4π δ(x)

als Gleichung für temperierte Distributionen über ℝ^{3} gilt.

Übungsaufgabe E83 Man zeige für beliebig vorgegebenes R > 0 , daß gemäß Definition 9.1.2 der Vorlesung

\begin{matrix}χ ∈ S(ℝ) , χ(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x = 0 \\ 0 & für |x| ≥ R^{2} \end{matrix} \\ ⟹ χ(x^{2} − R^{2}) \underline{\underline{δ(x^{2} − R^{2}) = \frac{1}{2R}(δ(x − R) + δ(x + R))}} \end{matrix}

gilt.^{32}

Version vom 26. März 2009

32Wegen χ(x) δ(x) = δ(x) identifiziert man i.a. χ(x^{2} − R^{2}) δ(x^{2} − R^{2}) mit δ(x^{2} − R^{2}) .

148 ANHANG E. ERGÄNZENDE ÜBUNGSAUFGABEN

Anhang F Lösungsvorschläge zu den ergänzenden Übungsaufgaben

Zu Aufgabe E1: Daß aus

Ψ̃(p) = (2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ(x)e^{− \frac{i}{ℏ}p·x} dV_{x}  (F.1)

für beliebiges Ψ(x) ∈ S(ℝ^{3})

Ψ(x) = (2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ̃(p)e^{+ \frac{i}{ℏ}p·x} dV_{p}  (F.2)

folgt, läßt sich z.B. folgendermaßen zeigen (siehe auch B.4):

(2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ̃(p)e^{+ \frac{i}{ℏ}p·x′} dV_{p}

=_{(F.1)} (2πℏ)^{−3} ∫ (∫ Ψ(x)e^{− \frac{i}{ℏ}p·x} dV_{x}) e^{+ \frac{i}{ℏ}p·x′} dV_{p}
= (2πℏ)^{−3} lim_{ϵ→+0} ∫ e^{−ϵ|p|^{2}} (∫ Ψ(x)e^{− \frac{i}{ℏ}p·x} dV_{x}) e^{+ \frac{i}{ℏ}p·x′} dV_{p}
= (2πℏ)^{−3} lim_{ϵ→+0} ∫ Ψ(x)(\underbrace{∫ e^{−(\sqrt{ϵ} p +i \frac{x−x′}{2ℏ\sqrt{ϵ}} )^{2}} dV_{p}}_{=_{(4.99)}(\frac{π}{ϵ})^{\frac{3}{2}}})e^{−| \frac{x−x′}{2ℏ\sqrt{ϵ}} |^{2}} dV_{x}
=_{λ=2ℏ\sqrt{ϵ}} lim_{λ→+0} ∫ Ψ(x) (λ\sqrt{π})^{−3} e^{−| \frac{x−x′}{λ} |^{2}} dV_{x}
= lim_{δ→+0} lim_{λ→+0} ∫_{|x−x′|<δ} Ψ(x) (λ\sqrt{π})^{−3} e^{−| \frac{x−x′}{λ} |^{2}} dV_{x}
=_{Mittelw.−S.} lim_{δ→+0} Ψ(x_{δ}) lim_{λ→+0} ∫_{|x−x′|<δ} (λ\sqrt{π})^{−3} e^{−| \frac{x−x′}{λ} |^{2}} dV_{x}

für geeignete x_{δ} mit |x_{δ} − x′| ≤ δ

=_{(4.99)} lim_{δ→+0} Ψ(x_{δ})
=  Ψ(x′) .

Diese Ableitung zeigt gleichzeitig:

(λ\sqrt{π})^{−3} e^{−| \frac{x−x′}{λ} |^{2}}  ⟶_{λ→+0} δ(x − x′) .  (F.3)

Die Regeln (F1) und (F2) folgen direkt aus der linearen Abhängigkeit des Integrals vom Integranden. Die Regeln (F2)–(F8) folgen alle direkt aus (F.1) bzw. (F.2). Die Regel (F9) folgt mit (F.1) für λ > 0 aus

(2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ e^{−λ |x|^{2}} e^{− \frac{i}{ℏ}p·x} dV_{x} = (2πℏ)^{− \frac{3}{2}} e^{− \frac{|p|^{2}}{4λℏ^{2}}} \underbrace{∫ e^{−|\sqrt{λ} x+i \frac{p}{2ℏ\sqrt{λ}} |^{2}} dV_{x}}_{=_{(4.99)}(\frac{π}{λ})^{\frac{3}{2}}} .

Die Regel (F10) folgt mit (F.1) gemäß

∫ Ψ_{1}(x) Ψ_{2}(x) e^{− \frac{i}{ℏ} p·x} dV_{x}

= lim_{ϵ→+0} ∫ Ψ_{1}(x) Ψ_{2}(x) e^{−ϵ|x|^{2}} e^{− \frac{i}{ℏ} p·x} dV_{x}
=_{(F.2)}  lim_{ϵ→+0} (2πℏ)^{−3} ∫ Ψ̃_{1}(p_{1}) Ψ̃_{2}(p_{2}) (∫ e^{− \frac{i}{ℏ} x·(p−p_{1}−p_{2})} e^{−ϵ|x|^{2}} dV_{x}) dV_{p_{1}}dV_{p_{2}}
= lim_{ϵ→+0} (2πℏ)^{−3} ∫ Ψ̃_{1}(p_{1}) Ψ̃_{2}(p_{2}) e^{^{|^{\frac{p−p_{1}−p_{2}}{2ℏ\sqrt{ϵ}}} |}^{2}}(\underbrace{∫ e^{−|\sqrt{ϵ} x+i \frac{p−p_{1}−p_{2}}{2ℏ\sqrt{ϵ}} |^{2}} dV_{x}}_{=_{(4.99)}(\frac{π}{ϵ})^{\frac{3}{2}}})dV_{p_{1}}dV_{p_{2}}

=_{λ=2ℏ\sqrt{ϵ}} lim_{λ→+0} ∫ Ψ̃_{1}(p_{1}) Ψ̃_{2}(p_{2}) (λ\sqrt{π})^{−3} e^{^{|^{\frac{p_{2}−(p−p_{1})}{2ℏ\sqrt{ϵ}}} |}^{2}}dV_{p_{1}}dV_{p_{2}}
=_{(F.3)} ∫ Ψ̃_{1}(p_{1}) Ψ̃_{2}(p − p_{1}) dV_{p_{1}} .

Die Regel (F11) folgt entsprechend mit (F.2). Dank

Ψ(0) =_{(F.2)}(2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ Ψ̃(p) dV_{p} ∀ Ψ(x) ∈ S(ℝ^{3})  (F.4)

folgt damit (F12) und daraus mit (F7) schließlich auch (F13).

Zu Aufgabe E2: Die Vektorregeln (V1)–(V7) (siehe 1.1.2) folgen direkt aus den entsprechenden Regeln für komplexe Zahlen.

Zu Aufgabe E3a): Wären die Monome x^{ν} nicht linear unabhängig, müßten ein n ∈ ℤ_{+} und ein nichttrivialer Satz λ_{1}, …, λ_{n} komplexer Zahlen existieren mit

λ_{0} + λ_{1} x^{1} + … + λ_{n} x^{n} = 0 ∀ x ∈ [−1, +1] .

Für x → 0 folgt daraus λ_{0} = 0 und somit

x ≠ 0  ⟹  λ_{1} + λ_{2} x^{2−1} + … + λ_{n−1} x^{n} = 0 ∀ x ∈ [−1, +1] .

Daraus wiederum folgt für x → 0 , daß auch λ_{1} = 0 gilt. So fortfahrend erkennt man, daß λ_{ν} = 0 für ν = 0, …, n gilt — im Widerspruch zur Annahme.

Zu Aufgabe E3b): Daß X_{n}^{pol} = L (X_{n}^{pol}) gilt, ist offensichtlich. Also ist X_{n}^{pol} ein linearer Teilraum von X. Da die Monome x^{0}, …, x^{n} gemäß a) linear unabhängig sind, folgt daraus mit Lemma 7.1.6 die Behauptung.

Zu Aufgabe E4a): Gemäß Definition 7.1.7 ist zu zeigen:

1. ⟨p | p⟩ > 0 ∀ p ∈ X_{n}^{pol} \ {0}.

2. ⟨p_{1} | p_{2}⟩ = (⟨p_{2} | p_{1}⟩)^{∗} ∀ p_{1}, p_{2} ∈ X_{n}^{pol} .

3. ⟨p | λ_{1} p_{1} + λ_{2} p_{2}⟩ = λ_{1} ⟨p | p_{1}⟩ + λ_{2} ⟨p | p_{2}⟩ ∀ p, p_{1}, p_{2} ∈ X_{n}^{pol} , λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ.

Zu 1.:

⟨p | p⟩ =_{Def.} ∫_{−1}^{+1} |p(x)|^{2} dx
> 0 , falls ein x ∈ [−1, +1] existiert mit p(x) ≠ 0 .

Zu 2.:

⟨p_{1} | p_{2}⟩ =_{Def.} ∫_{−1}^{+1} \underbrace{(p_{1}(x))^{∗} p_{2}(x)}_{=(p_{1}(x)(p_{2}(x))^{∗})^{∗}} dx

= (\underbrace{∫_{−1}^{+1}(p_{1}(x))^{∗} p_{2}(x) dx}_{=_{Def.}⟨p_{2}|p_{1}⟩})^{∗} .

Zu3.:

⟨p | λ_{1} p_{1} + λ_{2} p_{2}⟩ =_{Def.} ∫_{−1}^{+1}(p(x))^{∗} (λ_{1} p_{1}(x) + λ_{2} p_{2}(x)) dx
= λ_{1} ∫_{−1}^{+1}(p(x))^{∗} p_{1}(x) dx + λ_{2} ∫_{−1}^{+1}(p(x))^{∗} p_{2}(x) dx
=_{Def.} λ_{1} ⟨p | p_{1}⟩ + λ_{2} ⟨p | p_{2}⟩ .

Zu Aufgabe E4b): Zu zeigen ist:

1. ⟨\sqrt{\frac{1}{2}} P_{0} | \sqrt{\frac{1}{2}} P_{0}⟩ = 1 .

152 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN

2. ⟨\sqrt{\frac{3}{2}} P_{1} | \sqrt{\frac{3}{2}} P_{1}⟩ = 1 .

3. ⟨\sqrt{\frac{5}{2}} P_{2} | \sqrt{\frac{5}{2}} P_{2}⟩ = 1 .

4. ⟨P_{0} | P_{1}⟩ = 0 .

5. ⟨P_{0} | P_{2}⟩ = 0 .

6. ⟨P_{1} | P_{2}⟩ = 0 . Zu 1.:

\begin{aligned}⟨\sqrt{\frac{1}{2}} P_{0} | \sqrt{\frac{1}{2}} P_{0}⟩ & = & \frac{1}{2} ∫_{−1}^{+1} dx \\ & = & 1 . \end{aligned}

Zu 2.:

⟨\sqrt{\frac{3}{2}} P_{1} | \sqrt{\frac{3}{2}} P_{1}⟩ = \frac{3}{2} ∫_{−1}^{+1} x^{2} dx
= \frac{x^{3}}{2} |_{−1}^{+1}
= 1 .

Zu 3.:

⟨\sqrt{\frac{5}{2}} P_{2} | \sqrt{\frac{5}{2}} P_{2}⟩ = \frac{5}{2} ∫_{−1}^{+1} (−\frac{1}{2} + \frac{3}{2} x^{2}) dx
= \frac{5}{2} ∫_{−1}^{+1} (−\frac{1}{4} − \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{4} x^{4}) dx
= \frac{5}{2} (−\frac{1}{4} x − \frac{1}{2} x^{3} + \frac{9}{20} x^{5}) |_{−1}^{+1}
= 5 (\frac{1}{4} − \frac{1}{2} + \frac{9}{20})
= 1 .

Zu 4.:

\begin{aligned}⟨P_{0} | P_{1}⟩ & = & ∫_{−1}^{+1} x dx \\ & = & 0 . \end{aligned}

Zu 5.:

⟨P_{0} | P_{2}⟩ = ∫_{−1}^{+1} (−\frac{1}{2} + \frac{3}{2} x^{2}) dx
= (−\frac{x}{2} − \frac{1}{2} x^{3}) |_{−1}^{+1}
= 0 .

Zu 6.:

⟨P_{1} | P_{2}⟩ = ∫_{−1}^{+1} \underbrace{x (−\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{3})}_{ungerade} dx

= 0 .

Zu Aufgabe E5: \underline{Linear ∥ e′_{3} polarisiert} meint gemäß 7.2.2

J = ( \begin{matrix}e^{iφ} \\ 0 \end{matrix} ) bzgl. (e′_{3}, e′_{1}) ,

also

J = e^{iφ} e′_{3}

für geeignetes φ ∈ ℝ und eine geeignete rechtshändige Orthonormalbasis (e′_{3}, e′_{1}, s) von ℂ^{3} . Für

e′_{3} = cos α e_{3} + sin α e_{1}

bedeutet das

J = e^{iφ} cos α e_{3} + e^{iφ} sin α e_{1} ,

d.h.:

J = ( \begin{matrix}e^{iφ} cos α \\ e^{iφ} sin α \end{matrix} ) = e^{iφ} ( \begin{matrix}cos α \\ sin α \end{matrix} ) bzgl. (e_{3}, e_{1}) .

\underline{Rechtszirkular polarisiert} meint gemäß 7.2.2, daß

J = \frac{e^{i φ′}}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ i \end{matrix} ) bzgl. (e′_{3}, e′_{1})

für eine geeignete rechtshändige Orthonormalbasis (e′_{3}, e′_{1}, s) von ℂ^{3} und geeignetes φ′ ∈ ℝ gilt. Mit

\begin{matrix}e′_{3} & = & cos (φ − φ′) e_{3} − sin (φ − φ′) e_{1} \\ e′_{1} & = & sin (φ − φ′) e_{3} + cos (φ − φ′) e_{1} \end{matrix} \} für geeignetes φ ∈ ℝ  (F.5)

folgt daraus

\sqrt{2} J = (\underbrace{cos (φ − φ′) + i sin (φ − φ′)}_{=e^{i(φ−φ′)}}) e_{3} + (\underbrace{− sin (φ − φ′) + i cos (φ − φ′)}_{=i e^{i(φ−φ′)}}) e_{1}
= e^{iφ} (e_{3} + i e_{1}) ,

d.h.:

J = \frac{e^{iφ}}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ i \end{matrix} ) bzgl. (e_{3}, e_{1}) .

154 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Entsprechend zeigt man für \underline{linkszirkular polarisiert}es E(x, t) , daß

J = \frac{e^{iφ}}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ −i \end{matrix} ) bzgl. (e_{3}, e_{1})

für geeignetes φ ∈ ℝ gilt. Daß E(0, t) in allen übrigen Fällen eine \underline{elliptisch}e Schwingung ausführt, folgt gemäß Übungsaufgaben 18 –22. Zu Aufgabe E6a): Da

J = ( \begin{matrix}J^{1} \\ J^{2} \end{matrix} )

definitionsgemäß normiert ist, muß

|J^{1}|^{2} + |J^{2}|^{2} = 1

und somit

|J^{1}| = cos \frac{ϑ}{2} , |J^{2}| = sin \frac{ϑ}{2}

für geeignetes ϑ ∈ [0, π] gelten. Mit

ψ − \frac{φ}{2} = arg (J^{1}) , ψ + \frac{φ}{2} = arg (J^{2}) ,

d.h. mit

ψ =^{def} arg (J^{1}) + arg (J^{2}) , φ =^{def} arg (J^{1}) − arg (J^{2}) ,

folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe E6b): Die Behauptung folgt aus

(sin ϑ cos φ τ̂^{1} + sin ϑ sin φ τ̂^{2} + cos ϑ τ̂^{3}) ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ}{2}} cos \frac{ϑ}{2} \\ e^{+i \frac{φ}{2}} sin \frac{ϑ}{2} \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos ϑ & sin ϑ e^{−i φ} \\ sin ϑ e^{+i φ} & − cos ϑ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ}{2}} cos \frac{ϑ}{2} \\ e^{+i \frac{φ}{2}} sin \frac{ϑ}{2} \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ}{2}} (cos ϑ cos \frac{ϑ}{2} + sin ϑ sin \frac{ϑ}{2}) \\ e^{+i \frac{φ}{2}} (sin ϑ cos \frac{ϑ}{2} − cos ϑ sin \frac{ϑ}{2}) \end{matrix} )
=_{Aufg. 1b)} ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ}{2}} cos \frac{ϑ}{2} \\ e^{+i \frac{φ}{2}} sin \frac{ϑ}{2} \end{matrix} ) .

Zu Aufgabe E6c): Die Behauptung folgt unmittelbar daraus, daß {R, L} ein ONS und somit eine ONB von ℂ^{2} ist.

Zu Aufgabe E6d): Die Behauptung folgt aus

ρ = e^{i arg ρ} |ρ|
= e^{i arg ρ} \frac{(|ρ| + |λ|) + (|ρ| − |λ|)}{2} ,
λ = e^{i arg ρ} e^{i arg(ρ^{∗}λ)} |λ|
= e^{i arg ρ} e^{i arg(ρ^{∗}λ)} \frac{(|ρ| + |λ|) − (|ρ| − |λ|)}{2} .

Zu Aufgabe E7a): Gemäß Vorlesung gilt

ℜ (R e^{−i ω t}) = cos (ω t) e_{1} + sin (ω t) e_{3}

und ℜ (L e^{−i ω t}) = cos (ω t) e_{1} − sin (ω t) e_{3} .

Daraus folgt

E(0, t)/E_{0} = |ρ| (cos (ω t − arg ρ) e_{3} + sin (ω t − arg ρ) e_{1})

+ |λ| (cos (ω t − arg λ) e_{3} − sin (ω t − arg λ) e_{1}) .

Also ist E(0, t)/E_{0} die Überlagerung einer (relativ zu e_{2}) rechtshändigen Kreisschwingung (vgl. Aufgabe 18) mit dem ‘Radius’ |ρ| und einer linkshändigen Kreisschwingung mit dem ‘Radius’ |λ| zu gleicher Kreisfrequenz ω. Daraus folgt die Behauptung.

Zu Aufgabe E7b): Anschaulich ist die Behauptung sofort einleuchtend:^{1}

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P \frac{π}{2} − δ

e_{3}
e_{1}

Bzgl. der mathematischen Begründung siehe Aufgabe 20.

Zu Aufgabe E7c): Gemäß a) ist |E(0, t)| für

ω t − arg ρ = − (ω t − arg λ) ,

Version vom 26. März 2009

1Horizontale Spiegelung liefert eine Situation mit |ρ| > |λ|.

d.h. für

t = \frac{arg ρ + arg λ}{2 ω}

maximal. Dann zeigt E(0, t) in Richtung von cos δ e_{3} + sin δ e_{1} .

Zu Aufgabe E8a): Man sieht sofort, daß λ_{1}^{∗} R − ρ_{1}^{∗} L zu J_{1} orthogonal ist. Daraus folgt

⟨J_{1} | J_{2}⟩ = 0
⟺ J_{2} = e^{i ψ} (λ_{1}^{∗} R − ρ_{1}^{∗} L) für geeignetes ψ ∈ ℝ

und daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe E8b): Gemäß Aufgabe E7 gilt:

1. Im Falle

|ρ_{1}| + |λ_{1}| = |ρ_{2}| + |λ_{2}| , |ρ_{1}| − |λ_{1}| = − |ρ_{2}| + |λ_{2}|

stimmen die ‘Längen’ der Hauptachsen für beide Schwingungen (zu J_{1} und J_{2}) überein, der Umlaufsinn ist aber entgegengesetzt.

2. Im Falle elliptischer Schwingungen mit

δ_{1} − δ_{2} = \frac{π}{2} mod π

sind die großen (und damit auch die kleinen) Halbachsen beider Schwingungen zueinander orthogonal.

Zu Aufgabe E9: Man rechnet leicht nach, daß die Wirkung

( \begin{matrix}λ^{3} \\ λ^{1} \end{matrix} ) ⟼ \frac{1}{2} (τ̂^{0} + τ̂^{2}) ( \begin{matrix}λ^{3} \\ λ^{1} \end{matrix} ) = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & −i \\ i & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}λ^{3} \\ λ^{1} \end{matrix} ) ∀ λ^{3}, λ^{1} ∈ ℂ

der Jones-Matrix P̂_{R} für \underline{rechts}zirkulares Licht bzgl. (e_{3}, e_{1}) äquivalent ist zu

λ_{R} (e_{3} + i e_{1}) + λ_{L} (e_{3} − i e_{1}) ⟼ λ_{R} (e_{3} + i e_{1}) ∀ λ_{R}, λ_{L} ∈ ℂ .  (F.6)

Für jede andere rechtshändige Orthonormalbasis (e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}) mit e′_{2} = e_{2} existiert ein (Dreh-) Winkel φ mit

e′_{3} = cos φ e_{3} − sin φ e_{1} ,
e′_{1} = sin φ e_{3} + cos φ e_{1} .

Daraus folgt

e′_{3} ± i e′_{1} = e^{±i φ} (e_{3} ± i e_{1})

und somit die Unabhängigkeit der Wirkung (F.6) von der Wahl der e_{3}, e_{1} (zu vorgegebenem e_{2}). Für linkszirkulares Licht folgt die Behauptung analog. Zu Aufgabe E10: Die ersten beiden Gleichungen folgen gemäß

R̂_{n_{φ}} n_{φ} = D̂_{−φ} \underbrace{(−Ŝ_{π}) \underbrace{D̂_{+φ} n_{φ}}_{=e_{1}}}_{=e_{1}} = n_{φ}

und

R̂_{n_{φ}} n_{\frac{π}{2} +φ} = D̂_{−φ} \underbrace{(−Ŝ_{π}) \underbrace{D̂_{+φ} n_{\frac{π}{2} +φ}}_{=e_{3}}}_{=−e_{3}} = −n_{\frac{π}{2} +φ} .

Die dritte Gleichung folgt gemäß

R̂_{n_{\frac{φ}{2}}} R̂_{e_{1}} = R̂_{n_{\frac{φ}{2}}} R̂_{n_{0}}
= −R̂_{n_{\frac{φ}{2}}} Ŝ_{π}
= D̂_{− \frac{φ}{2}} Ŝ_{π} D̂_{+ \frac{φ}{2}} Ŝ_{π}
= D̂_{−φ} ,

wobei im letzten Schritt

Ŝ_{π} ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) Ŝ_{π} = ( \begin{matrix}a & −b \\ −c & d \end{matrix} )

benutzt wurde. Zu Aufgabe E11: Die Behauptung folgt unmittelbar aus Aufgabe E10, da R̂_{n_{φ}} jeweils die Jones-Matrix eine \frac{λ}{2}-Blättchens ist, das die n_{\frac{π}{2} +φ}-Komponente verzögert. Zu Aufgabe E12: Die 1. Behauptung folgt gemäß

Ŝ\frac{π}{2} D̂_{\frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} (cos α e^{i φ_{R}} R + sin α e^{i φ_{L}} L)
= Ŝ\frac{π}{2} (cos α e^{i φ_{R}} e^{−i \frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} R + sin α e^{i φ_{L}} e^{+i \frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} L)
= e^{+i \frac{φ_{R}+φ_{L}}{2}} (cos α \underbrace{Ŝ\frac{π}{2} R}_{= ( \begin{matrix}+1 \\ −1 \end{matrix} )} + sin α \underbrace{Ŝ\frac{π}{2} L}_{= ( \begin{matrix}+1 \\ +1 \end{matrix} )})
= e^{+i \frac{φ_{R}+φ_{L}}{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}+ cos α + sin α \\ − cos α + sin α \end{matrix} )
= e^{+i \frac{φ_{R}+φ_{L}}{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} (n_{\frac{π}{2} −α} + n_{π−α})
= e^{+i \frac{φ_{R}+φ_{L}}{2}} n_{\frac{3}{4} π−α} .

158 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Die 2. Behauptung folgt mit der 1. aus

D̂_{\frac{φ_{l}−φr}{2}} \underbrace{\binom{}{Ŝ\frac{π}{2}}^{3} Ŝ\frac{π}{2}}_{=Ŝ_{2π}=ˆ1} D̂_{\frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} = ˆ1 .

Die 3. Behauptung folgt aus der Unitarität von Ŝ_{2π} und D̂_{\frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} . Zu Aufgabe E13: Da sich jeder Jones-Vektor J in der Form

J = cos α e^{i φ_{R}} R + sin α e^{i φ_{R}} L

mit geeigneten α, φ_{R}, φ_{L} ∈ ℝ schreiben läßt, folgt die Behauptung aus den Aufgaben E11 und E12 mit

|J⟩⟨J| = D̂_{\frac{φ_{L}−φ_{R}}{2}} \binom{}{Ŝ\frac{π}{2}}^{3} \underbrace{|n_{\frac{3}{4} π−α}⟩⟨n_{\frac{3}{4} π−α}|}_{Jones-Matrix eines Filters für lineare Polarisation} Ŝ\frac{π}{2} D̂_{\frac{φ_{R}−φ_{L}}{2}} .

Anmerkung: Durch entsprechende Ausrichtung läßt sich die benötigte Anzahl von \frac{λ}{4}-Blättchen natürlich reduzieren.

Zu Aufgabe E14: Man rechnet leicht nach, daß

( \begin{matrix}1 & −z \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & z \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & z \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −z \\ 0 & 1 \end{matrix} )

und somit

D̂^{−1} = ( \begin{matrix}1 & −z \\ 0 & 1 \end{matrix} )

gilt. Weiterhin zeigt einfaches Nachrechnen, daß

D̂^{2} = ( \begin{matrix}1 & 2z \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , (D̂ − ˆ1)^{2} = ( \begin{matrix}0 & z \\ 0 & 0 \end{matrix} )^{2} = 0 .

Aus letzterem folgt

∑_{ν=1}^{∞} \frac{1}{ν!} (D̂ − ˆ1)^{ν} = ( \begin{matrix}0 & z \\ 0 & 0 \end{matrix} )

und somit

D̂ = exp (D̂ − ˆ1) .  (F.7)

Zu Aufgabe E15a): Man rechnet leicht nach, daß

Û^{−1} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}−i & 1 \\ 1 & −i \end{matrix} )

und somit tatsächlich

Û^{−1}M̂ Û = ( \begin{matrix}1 & 2/i \\ 0 & 1 \end{matrix} )  (F.8)

gilt. Zu Aufgabe E15b): Die Behauptung folgt durch einfaches Nachrechnen. Zu Aufgabe E15c): v ist genau dann Eigenvektor von M̂ , wenn Û^{−1} v Eigenvektor von Û^{−1}M̂ Û ist. Nach (F.8) muß also

Û^{−1} v ∝ ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )

und somit

v ∝ Û ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}i \\ 1 \end{matrix} )

gelten. Zu Aufgabe E15d): Für

Â =^{def} Û ( \begin{matrix}1 & 1/i \\ 0 & 1 \end{matrix} ) Û^{−1}

gilt

Â^{2} = Û ( \begin{matrix}1 & 1/i \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{2} Û^{−1}
= Û ( \begin{matrix}1 & 2/i \\ 0 & 1 \end{matrix} ) Û^{−1}
=_{(F.8)} M̂ .

Zu Aufgabe E15e): Für

B̂ =^{def} Û ( \begin{matrix}0 & 2/i \\ 0 & 0 \end{matrix} ) Û^{−1}

gilt

exp \binom{}{B̂} = Û exp ( \begin{matrix}0 & 2/i \\ 0 & 0 \end{matrix} ) Û^{−1}
=_{(F.7)} Û (ˆ1 + ( \begin{matrix}0 & 2/i \\ 0 & 0 \end{matrix} )) Û^{−1}
=_{(F.8)} M̂ .

Zu Aufgabe E16a): Die angegebenen Eigenschaften folgen aufgrund der Rechenregeln für komplexe Zahlen direkt aus der Definition von z_{1} · z_{2} .

Zu Aufgabe E16b): Entsprechende der Argumentation zu Lemma 7.3.8 gilt für beliebige y_{1}, …, y_{n} ∈ V :

det (y_{1}, …, y_{n}) ≠ 0 ⟺ y_{1}, …, y_{n} linear unabhängig .  (F.9)

Wenn die z_{1}, …, z_{n−1} linear abhängig sind, dann folgt also aus (F.9)

det (z_{1}, …, z_{n−1}, e_{ν}) = 0 ∀ ν ∈ {1, …, n}

und somit [z_{1}, …, z_{n−1}] = 0 . Wenn die z_{1}, …, z_{n−1} dagegen linear unabhängig sind, müssen die z_{1}, …, z_{n−1}, e_{ν} für mindestens ein ν ∈ {1, …, n} linear unabhängig sein.^{2} Aus (F.9) (und Lemma 7.1.5) folgt dann aber [z_{1}, …, z_{n−1}] ≠ 0 .

Zu Aufgabe E16c): Für beliebiges

z_{n} = ∑_{ν=1}^{n} z_{n}^{ν} e_{ν} ∈ V

gilt offensichtlich

[z_{1}, …, z_{n−1}] · z_{n} = (∑_{ν=1}^{n} det (z_{1}, …, z_{n−1}, e_{ν}) e_{ν}) · z_{n}
=_{a)} ∑_{ν=1}^{n} det (z_{1}, …, z_{n−1}, e_{ν}) \underbrace{e_{ν} · z_{n}}_{=z_{n}^{ν}}

= det(z_{1}, …, z_{n−1}, \underbrace{∑_{ν=1}^{n} z_{n}^{ν} e_{ν}}_{=z_{n}}) .

Zu Aufgabe E16d): Die Behauptung folgt gemäß

b^{ν} · b_{μ} = \frac{(−1)^{n−ν} [b_{1}, …, b_{ν} \ , … b_{n}] · b_{μ}}{det (b_{1}, …, b_{n})}

=_{c)} (−1)^{n−ν} det (b_{1}, …, b_{ν} \ , … b_{n}, b_{μ}) ; det (b_{1}, …, b_{n})

wegen

det (b_{1}, …, b_{ν} \ , … b_{n}, b_{μ}) =_{b)} (−1)^{n−ν} δ_{νμ} det (b_{1}, … b_{n}) .

Version vom 26. März 2009

2Sonst wäre {z_{1}, …, z_{n−1}}, im Widerspruch zu Lemma 7.1.6, eine Basis von V .

Zu Aufgabe E16e): Das vorausgesetzte Gleichungssystem ist äquivalent zur Vektorgleichung

y = x^{1} b_{1} + … + x^{n} b_{n} .

Da {b_{1}, …, b_{n}} voraussetzungsgemäß eine Basis von V ist, folgt daraus

x^{ν} =_{d)} b^{ν} · y

= \frac{(−1)^{n−ν} [b_{1}, …, b_{ν} \ , … b_{n}] · y}{det (b_{1}, …, b_{n})}

=_{c)} (−1)^{n−ν} det (b_{1}, …, b_{ν} \ , … b_{n}, y) ; det (b_{1}, …, b_{n})

für alle ν ∈ {1, …, n} und somit die Behauptung, da die Determinante bei Vertauschung zweier benachbarter Vektor-Argumente nur das Vorzeichen ändert.

Zu Aufgabe E17: Die inverse Matrix

( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}α′ & β′ \\ γ′ & δ′ \end{matrix} )

ist durch

( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α′ & β′ \\ γ′ & δ′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

d.h. durch

( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α′ \\ γ′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )

und

( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}β′ \\ δ′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )

charakterisiert. Gemäß Cramerscher Regel folgt daraus

α′ det ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) = det ( \begin{matrix}1 & β \\ 0 & δ \end{matrix} )
= δ ,
β′ det ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) = det ( \begin{matrix}0 & β \\ 1 & δ \end{matrix} )
= −β ,
γ′ det ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) = det ( \begin{matrix}α & 1 \\ γ & 0 \end{matrix} )
= −γ ,
δ′ det ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) = det ( \begin{matrix}α & 0 \\ γ & 1 \end{matrix} )
= α

162 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN und somit die Behauptung. Zu Aufgabe E18a): D̂ ist gemäß Lemma 7.3.3 invertierbar, da isometrische Operatoren nur den Nullvektor auf Null abbilden können. Wegen

Â D̂ = ˆ1 ⟹ \underline{\underline{Â =}}Â D̂ D̂^{−1} = ˆ1 D̂^{−1}\underline{\underline{= D̂^{−1}}}

ist also nur

D̂^{T} D̂ = ˆ1 ,

bzw.

⟨z_{1} | D̂^{T}D̂ z_{2}⟩ = ⟨z_{1} | z_{2}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ ℂ^{n}

zu zeigen. Das ergibt sich aber mit Folgerung 7.3.10 aus der Isometrie von D̂ und

⟨D̂ z_{1} | D̂ z_{2}⟩ =_{Folg. 7.3.12} ⟨z_{1} | D̂^{†} D̂ z_{2}⟩
=  ⟨z_{1} | \binom{}{D̂^{∗}}^{T} D̂ z_{2}⟩
=_{D̂ reell} ⟨z_{1} | D̂^{T}D̂ z_{2}⟩ .

Zu Aufgabe E18b): Allgemein gilt für n × n-Matrizen

\underline{\underline{det \binom{}{Â^{T}}}} = ∑_{π∈S_{n}} sign (π) A_{1}^{π(1)} … A_{n}^{π(1)}
= ∑_{π∈S_{n}} \underbrace{sign (π)}_{sign (π^{−1})} \underbrace{A_{π^{−1}(1)}^{π(π^{−1}(1))} … A_{π^{−1}(n)}^{π(π^{−1}(n))}}_{A_{π^{−1}(1)}^{1}...A_{π^{−1}(n)}^{n}}
=_{π′=π^{−1}} ∑_{π′∈S_{n}} sign (π′) Â_{π′(1)}^{1} … Â_{π′(n)}^{n}
= \underline{\underline{det \binom{}{Â}}} .

Zu Aufgabe E18c): Die Behauptung folgt aus

(det(D̂))^{2} =_{b)} det(D̂) det \binom{}{D̂^{−1}}
=_{Lemma 7.3.6} det (D̂ D̂^{−1})
=_{a)}  det(ˆ1)
=  1 .

Zu Aufgabe E18d): Aus det(D̂) = 1 folgt

det \binom{}{D̂^{T}} =_{b)} 1

und somit

det(D̂ − ˆ1) = det (D̂^{T}(D̂ − ˆ1))
=_{a)} det(ˆ1 − D̂) ,

für ungerades n also

det(D̂ − ˆ1) = − det(D̂ − ˆ1) ,

d.h.

det(D̂ − ˆ1) = 0 .

Zu Aufgabe E19: Drehmatrizen sind definitionsgemäß isometrisch. Für reelle 3×3-Drehmatrizen D̂ gilt also entsprechend Aufgabe E18

det(D̂ − ˆ1) = 0 .

Jedes solche D̂ besitzt deshalb einen Eigenvektor z zum Eigenwert 1; d.h.:

D̂ z = z ≠ 0 .

Da D̂ reell ist, folgt daraus

D̂ n = n ∈ ℝ^{3} , |n| = 1 ,

für

n =^{def} \{ \begin{matrix}\frac{ℜ(z)}{|ℜ(z)|} & falls ℜ(z) ≠ 0 , \\ \frac{ℑ(z)}{|ℑ(z)|} & sonst . \end{matrix}

det D bewirkt also eine Rotation um die n-Achse. Zu Aufgabe E20a): Da E Eigenwert von Â ist, gilt entsprechend Lemma 7.3.17

\begin{aligned}0 & = & det (Â − E ˆ1) \\ & = & (A_{1}^{1} − E) (A_{2}^{2} − E) − A_{2}^{1}A_{1}^{2} \end{aligned}

und somit

\begin{aligned}Â ( \begin{matrix}A_{2}^{2} − E \\ − A_{1}^{2} \end{matrix} ) & = & ( \begin{matrix}A_{1}^{1} (A_{2}^{2} − E) − A_{2}^{1}A_{1}^{2} \\ A_{1}^{2} (A_{2}^{2} − E) − A_{2}^{2}A_{1}^{2} \end{matrix} ) \\ & = & E ( \begin{matrix}A_{2}^{2} − E \\ − A_{1}^{2} \end{matrix} ) \end{aligned}

sowie

\begin{aligned}Â ( \begin{matrix}−A_{2}^{1} \\ A_{1}^{1} − E \end{matrix} ) & = & ( \begin{matrix}−A_{1}^{1}A_{2}^{1} + A_{2}^{1} (A_{1}^{1} − E) \\ − A_{1}^{2}A_{2}^{1} + A_{2}^{2} (A_{1}^{1} − E) \end{matrix} ) \\ & = & E ( \begin{matrix}−A_{2}^{1} \\ A_{1}^{1} − E \end{matrix} ) . \end{aligned}

Zu Aufgabe E20b): Wenn beide Vektoren Null wären, dann müßte insbesondere

A_{2}^{2} − E = 0 = A_{1}^{1} − E

und somit

Spur (Â − E ˆ1) = (A_{1}^{1} − E) + (A_{2}^{2} − E) = 0

gelten — im Widerspruch zur Voraussetzung.

Anmerkung: Z.B. für Â = ℍ und E = ±1 gilt

\begin{aligned}( \begin{matrix}A_{2}^{2} − E \\ − A_{1}^{2} \end{matrix} ) & = & − ( 1 ± \frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}} ) & ∝ & ( \begin{matrix}1 ± \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix} ) , \\ ( \begin{matrix}−A_{2}^{1} \\ A_{1}^{1} − E \end{matrix} ) & = & + ( \begin{matrix}−\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} ∓ 1 \end{matrix} ) & ∝ & ( \begin{matrix}1 ± \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix} ) , \end{aligned}

im Einklang mit dem Ergebnis von Aufgabe E21.

Zu Aufgabe E21: Da ℍ unitär und selbstadjungiert ist, kann ℍ gemäß Spektralsatz (Folgerung 7.3.19) nur die Eigenwerte +1 und −1 besitzen.^{3} Eigenvektoren zum Eigenwert +1 sind invariant unter ℍ = τ̂^{1} D̂(π/4) und daher Vielfache von z_{1} entsprechend folgender Skizze:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; D̂(π/4)z_{1}; z_{1} = τ̂^{1}D̂(π/4)z_{1}; e_{3}; e_{1}]

Wegen^{4}

cos(π/8) = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} = , sin(π/8) = \sqrt{\frac{1 − \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}

Version vom 26. März 2009

3Das folgt natürlich gemäß Lemma 7.3.17 auch aus: det (ℍ − E ˆ1) = E^{2} − 1 .

4Man beachte, daß cos (2 α) = cos^{2} α − sin^{2} α und somit cos α = \sqrt{\frac{1 + cos (2 α)}{2}} gilt.

ist offensichtlich

z_{1} = ( \begin{matrix}√ & \overline{\frac{1+ \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} \\ √ & \overline{\frac{1− \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} \end{matrix} ) ∝ ( \begin{matrix}1 + \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix} ) bzgl. (e_{3}, e_{1}) .

Da Eigenvektoren z_{2} zum Eigenwert −1 gemäß Spektralsatz senkrecht auf z_{1} stehen, muß dafür

z_{2} ∝ ( \begin{matrix}1 − \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix} ) bzgl. (e_{3}, e_{1})

gelten. Als Jones-Vektoren beschreiben die normierten Eigenzustände von ℍ offensichtlich lineare Polarisation in entsprechender Richtung.

Anmerkung: Die Hadamard-Matrix ist ein Spezialfall der in Aufgabe E6b) behandelten Linearkombinationen von Pauli-Matrizen:

ℍ = \frac{1}{\sqrt{2}} τ̂^{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} τ̂^{3} .

Zu Aufgabe E22a): Gemäß Spektralsatz existieren reelle Zahlen φ_{1}, …, φ_{n} und eine Orthonormalbasis {b_{1}, …, b_{n}} von V mit

\begin{matrix}B̂ & = & ( \begin{matrix}e^{i φ_{1}} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & e^{i φ_{2}} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & e^{i φ_{3}} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & e^{i φ_{n}} \end{matrix} ) \\ & = & exp (i ( \begin{matrix}φ_{1} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & φ_{2} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & φ_{3} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & φ_{n} \end{matrix} )) \end{matrix} \} bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) .

Ein Operator der gesuchten Art ist also

Â = ( \begin{matrix}φ_{1} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & φ_{2} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & φ_{3} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & φ_{n} \end{matrix} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) .  (F.10)

Zu Aufgabe E22b): Gemäß Fußnote 41 von Kapitel 7 ist B̂ ≥ 0 äquivalent zur Gültigkeit von

B̂ = ( \begin{matrix}E_{1} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & E_{2} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & E_{3} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & E_{n} \end{matrix} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) , E_{1}, …, E_{n} ≥ 0 (F.11)

für eine geeignete Orthonormalbasis (b_{1}, …, b_{n}) von V und entsprechende Numerierung der Eigenwerte E_{1}, …, E_{n}. Aus (F.11) folgt offensichtlich

⟨z | B̂ z⟩ ≥ 0 ∀ z ∈ V .  (F.12)

Umgekehrt folgt aus (F.12)

⟨z_{1} | B̂ z_{2}⟩ = \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{−k} ⟨z_{1} + i^{k}z_{2} | B̂ (z_{1} + i^{k}z_{2})⟩

=_{(F.12)} \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{−k} (⟨z_{1} + i^{k}z_{2} | B̂ (z_{1} + i^{k}z_{2})⟩)^{∗}

=_{(7.5)} \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{−k} ⟨B̂ (z_{1} + i^{k}z_{2}) | z_{1} + i^{k}z_{2}⟩
= ⟨B̂ z_{1} | z_{2}⟩ ∀ z_{1}, z_{2} ∈ V

(vgl. Aufgabe E57) und somit gemäß Folgerung 7.3.12 (und Definition 7.3.11) die Selbstadjungiertheit von B̂. Daß B̂ im Falle (F.12) keinen negativen Eigenwert besitzen kann, ist offensichtlich.

Zu Aufgabe E22c): Wenn B̂ positiv und invertierbar ist, gilt (F.11) mit

E_{1}, …, E_{n} > 0 .

Der gesuchte Operator ist hier also

Â = ( \begin{matrix}ln(E_{1}) & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & ln(E_{2}) & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & ln(E_{3}) & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & ln(E_{n}) \end{matrix} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n}) .

Zu Aufgabe E22d): Sei Â = Â^{†}. Gemäß Spektralsatz ist gilt dann (F.10) für geeignete φ_{ν} und b_{ν} und somit

det (e^{z Â})

=_{(F.10)} det ( \begin{matrix}e^{z φ_{1}} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & e^{z φ_{2}} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & e^{z φ_{3}} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & e^{z φ_{n}} \end{matrix} ) bzgl. (b_{1}, …, b_{n})

=_{(7.31)} ∏_{ν=1}^{n} e^{z φ_{ν}}
= e^{z ∑_{ν=1}^{n} φ_{ν}}
=_{(F.10)} e^{z Spur(Â)} ∀ z ∈ ℂ .

Zu Aufgabe E23a): Die Gültigkeit der Gruppeneigenschaften läßt sich mithilfe der Lemmata 7.3.6 und 7.3.8 leicht nachweisen.

Zu Aufgabe E23b): Für Û ∈U(2) gilt gemäß Spektralsatz |det Û| = 1 und somit

Û = e^{iφ} \underbrace{Û/\sqrt{det Û}}_{∈SU(2)} für geeignetes φ ∈ ℝ .

Zu Aufgabe E23c): Sei B̂ ∈SU(2). Gemäß Aufgabe E22a) existiert dann ein selbstadjungierter Operator Â mit

B̂ = e^{iÂ} .  (F.13)

Wegen

1  =  det B̂
=_{Aufg. E22d)} e^{i SpurÂ}

muß außerdem SpurÂ = 0 mod 2π gelten. Da sich jede selbstadjungierte 2×2-Matrix Â mit Spur 0 mod 2π gem. (7.19) in der Form

Â = τ̂ · ψ + n π τ̂^{0} für geeigentes ψ ∈ ℝ^{3} und n ∈ ℤ_{+}

schreiben läßt, folgt daraus mit (F.13) die Behauptung.

Anmerkung: Mit Aufgabe 23b) folgt daraus SU(2) = \{e^{−i τ^{}ˆ · \frac{φ}{2}} : φ ∈ ℝ^{3}\}.

Zu Aufgabe E23d): Gemäß Aufgabe E22c) existiert zu jedem λ > 0 ein selbstadjungierter Operator Â auf ℂ^{2} mit

\frac{1}{λ} B̂ = eÂ .  (F.14)

Speziell für λ = ^{+} \sqrt{det B̂} folgt daraus mit

det (\frac{1}{λ} B̂) = λ^{−2} det \binom{}{B̂} = 1

gemäß Aufgabe E22d):

Spur \binom{}{Â} = 0 , Â = Â^{†} .  (F.15)

Da, wie bereits in b) festgestellt, jeder Operator auf ℂ^{2} der Form (F.15) eine reelle Linearkombinationen der Pauli-Matrizen τ̂^{1} , τ̂^{2} , τ̂^{3} ist, folgt daraus mit (F.14) die Behauptung.

Zu Aufgabe E23e): Sei Ĉ ∈ SL(2, ℂ) . Gemäß Lemma 7.3.20 und Lemma 7.3.6 existieren dann Operatoren Û , B̂ mit^{5}

Ĉ = \underbrace{Û}_{∈SU(2)} \underbrace{B̂}_{≥0} , det B̂ = 1 .

Analog zu d) folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe E24: Gemäß

Spur ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) =^{def} α + δ ∀ α, β, γ, δ ∈ ℂ

gilt

Spur (τ̂^{j}) = 0 ∀ j ∈ {1, 2, 3}

und

Spur (τ̂^{j} τ̂^{j}) = Spur (τ̂^{0}) = 2 ∀ j ∈ {1, 2, 3} .

Mit

τ̂^{π(1)} τ̂^{π(2)} = ±i τ̂^{π(3)} ∀ π ∈ S_{3}^{±}

folgt daraus

Spur (τ̂^{ν} τ̂^{μ}) = 2 δ_{νμ} ∀ ν, μ ∈ {0, …, 3}

Version vom 26. März 2009

5Man beachte, daß gemäß Spektralsatz für Matrizen Û , B̂ stets

Û unitär ⟹ |det \binom{}{Û}| = 1 , B̂ ≥ 0 ⟹ det \binom{}{B̂} ≥ 0

gilt.

und somit

Spur (∑_{ν=0}^{3} x_{ν} τ̂^{ν} τ̂^{μ}) = 2 x_{μ} ∀ ν, μ ∈ {0, …, 3} .

Da sich jede komplexe 2 × 2-Matrix x̂ offensichtlich in der Form

\begin{aligned}x̂ & = & ( \begin{matrix}x_{0} + x^{3} & x_{1} − i x_{2} \\ x_{1} + i x_{2} & x_{0} − x_{3} \end{matrix} ) \\ & = & ∑_{ν=0}^{3} x_{ν} τ̂^{ν} \end{aligned}

schreiben läßt, folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe E25a): Die Behauptung folgt gemäß

(e · τ̂)^{2} = (∑_{j=1}^{3} e^{j} τ̂^{j})^{2}
= ∑_{j,k=1}^{3} e^{j} e^{k} τ̂^{j} τ̂^{k}
= ∑_{j=1}^{3} e^{j} e^{j} \underbrace{τ̂^{j} τ̂^{j}}_{=_{(7.20)} ˆ1} + ∑_{j<k} e^{j} e^{k}(\underbrace{τ̂^{j} τ̂^{k} + τ̂^{k} τ̂^{j}}_{=_{(7.20)} 0})
= ∑_{j=1}^{3} (e^{j})^{2}
= 1 .

Zu Aufgabe E25b): Für Potenzreihen

f(z) = ∑_{ν=1}^{∞} c_{ν} z^{ν}

mit unendlichem Konvergenzradius gilt:

f(θ e · τ̂) = ∑_{ν=0}^{∞} c_{2ν} θ_{2ν} \underbrace{(e · τ̂)^{2ν}}_{=_{a)} ˆ1} + ∑_{ν=0}^{∞} c_{2ν+1} θ_{2ν+1} \underbrace{(e · τ̂)^{2ν} + 1}_{=_{a)} e·τ^{}}ˆ
= \underbrace{∑_{ν=0}^{∞} c_{2ν} θ_{2ν}}_{= ∑_{ν=1}^{∞} c_{ν} \frac{z^{ν} + (−z)^{ν}}{2}} ˆ1 + \underbrace{∑_{ν=0}^{∞} c_{2ν+1} θ_{2ν+1}}_{= ∑_{ν=1}^{∞} c_{ν} \frac{z^{ν} − (−z)^{ν}}{2}} e · τ̂

= \frac{f(θ) + f(−θ)}{2} ˆ1 + \frac{f(θ) − f(−θ)}{2} e · τ̂ .  (F.16)

Anwendung von (F.16) auf f(z) = e^{−iz} unter Beachtung von (2.42) und (2.44) liefert die Behauptung.

Zu Aufgabe E25c): Die Behauptung folgt durch Anwendung von (F.16) auf f(z) = e^{−z} unter Beachtung der Fußnote 9 von Kapitel 3.

Zu Aufgabe E26: Die Behauptung für j = 1 folgt gemäß

D̂_{− \frac{α}{2}} τ̂^{1}D̂_{+ \frac{α}{2}}
= (cos \frac{α}{2} + i sin \frac{α}{2} τ̂^{2}) τ̂^{1} (cos \frac{α}{2} − i sin \frac{α}{2} τ̂^{2})
= cos^{2} \frac{α}{2} τ̂^{1} + i sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} \underbrace{τ̂^{2} τ̂^{1}}_{=−i τ̂^{3}} −i cos \frac{α}{2} sin \frac{α}{2} \underbrace{τ̂^{1} τ̂^{2}}_{=+i τ̂^{3}} + sin^{2} \frac{α}{2} \underbrace{τ̂^{1} \underbrace{τ̂^{1} τ̂^{2}}_{=−τ̂^{2} τ̂^{1}}}_{=−τ̂^{1}}

= (\underbrace{cos^{2} \frac{α}{2} − sin^{2} \frac{α}{2}}_{=cos α})τ̂^{1} + \underbrace{2 cos \frac{α}{2} sin \frac{α}{2}}_{=sin α} τ̂^{3} .

Die Behauptung für j = 3 folgt analog und die Behauptung für j = 2 folgt gemäß

\begin{aligned}D̂_{− \frac{α}{2}} τ̂^{2}D̂_{+ \frac{α}{2}} & = & D̂_{− \frac{α}{2}} D̂_{+ \frac{α}{2}} τ̂^{2} \\ & = & τ̂^{2} . \end{aligned}

Zu Aufgabe E27: Die Behauptung für j = 1 folgt gemäß

e^{+i \frac{φ}{2} τ̂^{3}} τ̂^{1}e^{−i \frac{φ}{2} τ̂^{3}}

=_{Aufg. E25b)} (cos \frac{φ}{2} + i sin \frac{φ}{2} τ̂^{3}) τ̂^{1} (cos \frac{φ}{2} − i sin \frac{φ}{2} τ̂^{3})
=  cos^{2} \frac{φ}{2} τ̂^{1} + i sin \frac{φ}{2} cos \frac{φ}{2} \underbrace{τ̂^{3} τ̂^{1}}_{=+i τ̂^{2}} −i cos \frac{φ}{2} sin \frac{φ}{2} \underbrace{τ̂^{1} τ̂^{3}}_{=−i τ̂^{2}} + sin^{2} \frac{φ}{2} \underbrace{τ̂^{3} \underbrace{τ̂^{1} τ̂^{3}}_{=−τ̂^{3} τ̂^{1}}}_{=−τ̂^{1}}

=  cos φ τ̂^{1} − sin φ τ̂^{2} .

Die Behauptung für j = 2 folgt analog und die Behauptung für j = 3 folgt gemäß

\begin{aligned}e^{+i \frac{φ}{2} τ̂^{3}} τ̂^{3}e^{−i \frac{φ}{2} τ̂^{3}} & = & e^{+i \frac{φ}{2} τ̂^{3}} e^{−i \frac{φ}{2} τ̂^{3}} τ̂^{3} \\ & = & τ̂^{3} . \end{aligned}

Zu Aufgabe E28a): Da

Û = ( \begin{matrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, e_{2})

unitär ist, bilden wie e_{1} und e_{2} auch die Bildvektoren

Û e_{1} = ( \begin{matrix}U_{11} \\ U_{21} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, e_{2})

und

Û e_{2} = ( \begin{matrix}U_{12} \\ U_{22} \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, e_{2})

eine Orthonormalbasis von ℂ^{2} . Aus ⟨Û e_{1} | Û e_{1}⟩ = 1 folgt insbesondere

|U_{11}|^{2} + |U_{12}|^{2} = 1

und somit die Existenz eines Winkels α mit

|U_{11}| = cos α , |U_{12}| = sin α .

Es muß also

( \begin{matrix}U_{11} \\ U_{21} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}e^{+iψ_{1}} cos α \\ e^{+iψ_{2}} sin α \end{matrix} )

für geeignete ψ_{1} , ψ_{2} ∈ ℝ gelten. Da Û e_{2} durch Û e_{1} und die Orthonormalitätsbedingungen bis auf einen Phasenfaktor eindeutig festgelegt ist, muß weiterhin

( \begin{matrix}U_{12} \\ U_{22} \end{matrix} ) = e^{iφ} ( \begin{matrix}−e^{−iψ_{2}} sin α \\ e^{−iψ_{1}} cos α \end{matrix} )

für ein geeignetes φ ∈ ℝ. gelten. Wegen det Û = 1 kommt dafür aber nur φ = 0 mod 2π in Frage.

Zu Aufgabe E28b): Gemäß Aufgabe E25b) und (7.19) gilt (7.21). Mit

e^{−i \frac{φ}{2}} Ŝ_{φ} = e^{−i \frac{φ}{2} τ̂^{3}} =_{(7.19)} ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ}{2}} & 0 \\ 0 & e^{+i \frac{φ}{2}} \end{matrix} ) ∀ φ ∈ ℝ

folgt daraus

e^{−i \frac{φ_{1}+φ_{2}}{2}} Ŝ_{φ_{1}} \underbrace{e^{−iατ̂^{2}}}_{=D̂_{\frac{α}{2}}} Ŝ_{φ_{2}} = ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ_{2}}{2}} & 0 \\ 0 & e^{+i \frac{φ_{2}}{2}} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ_{1}}{2}} cos \frac{α}{2} & −e^{+i \frac{φ_{1}}{2}} sin \frac{α}{2} \\ e^{−i \frac{φ_{1}}{2}} sin \frac{α}{2} & e^{+i \frac{φ_{1}}{2}} cos \frac{α}{2} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}e^{−i \frac{φ_{1}+φ_{2}}{2}} cos \frac{α}{2} & −e^{+i \frac{φ_{1}−φ_{2}}{2}} sin \frac{α}{2} \\ e^{−i \frac{φ_{1}−φ_{2}}{2}} sin \frac{α}{2} & e^{+i \frac{φ_{1}+φ_{2}}{2}} cos \frac{α}{2} \end{matrix} ) ,

für

φ_{1} = −ψ_{1} − ψ_{2} , φ_{2} = −ψ_{1} + ψ_{2}

also die Behauptung.

172 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Zu Aufgabe E29a): Die Behauptung gilt offensichtlich für n = 1 und folgt deshalb durch vollständige Induktion unter Verwendung von

[B̂^{n+1}, Â]_{−} = B̂ [B̂^{n}, Â]_{−} − [Â, B̂]_{−} B̂^{n} .

Zu Aufgabe E29b): Die Behauptung folgt gemäß

:(Â + B̂)^{N}: (Â + B̂) − :(Â + B̂)^{N+1} : ; \begin{matrix}= & [:(Â + B̂)^{N}: , Â]_{−} \\ = & ∑_{ν=0}^{N} \binom{N}{ν} Â^{ν} [B̂^{N−ν} , Â]_{−} \\ =_{a)} & − ∑_{ν=0}^{N} \binom{N}{ν} Â^{ν}[Â, B̂]_{−} (N − ν) B̂^{N−ν−1} \\ = & −[Â, B̂]_{−} ∑_{ν=0}^{N−1} N \binom{N − 1}{ν} Â^{ν} B̂^{(N−1)−ν} \\ = & −N [Â, B̂]_{−} :(Â + B̂)^{N−1} : . \end{matrix}

Zu Aufgabe E29c): Für N = 1 ist

(Â + B̂)^{N} = ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :((\frac{d}{dx})^{2ν} x^{N})_{|_{x=Â+B̂}} :  (F.17)

offensichtlich erfüllt. Aus (F.17) folgt andererseits^{6}

(Â + B̂)^{N+1} ; \begin{aligned}= & ∑_{ν=0}^{⌈N/2⌉} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :((\frac{d}{dx})^{2ν} x^{N})_{|_{x=Â+B̂}} : (Â + B̂) \\ = & ∑_{ν=0}^{⌈N/2⌉} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} \frac{N!}{(N − 2ν)!} : (Â + B̂)^{N−2ν} : (Â + B̂) \\ =_{b)} & ∑_{ν=0}^{⌈N/2⌉} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} \frac{N!}{(N − 2ν)!} : (Â + B̂)^{(N+1)−2ν} : \\ & + ∑_{ν=0}^{⌈N/2⌉} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν+1} \frac{2 (N − 2ν) N!}{(N − 2ν)!} : \underbrace{(Â + B̂)^{N−2ν−1}}_{=(Â+B̂)^{(N+1)−2(ν+1)}} : \\ = & ∑_{ν=0}^{⌈N/2⌉} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} \frac{N!}{(N − 2ν)!} : (Â + B̂)^{(N+1)−2ν} : \\ & + ∑_{ν=1}^{⌈(N+1)/2⌉} \frac{1}{(ν − 1)!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} \frac{2 N!}{(N − 2 (ν − 1) − 1)!} : (Â + B̂)^{(N+1)−2ν} : \end{aligned}

und daraus mit

\frac{1}{ν!} \frac{N!}{(N − 2ν)!} + \frac{1}{(ν − 1)!} \frac{2 N!}{(N − 2 (ν − 1) − 1)!} = \frac{1}{ν!} \frac{(N + 1)!}{((N + 1) − 2ν)!}

schließlich

\begin{aligned}(Â + B̂)^{N+1} & = & ∑_{ν=0}^{⌈(N+1)/2⌉} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :((\frac{d}{dx})^{2ν} x^{N+1})_{|_{x=Â+B̂}} : \\ & = & ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :((\frac{d}{dx})^{2ν} x^{N+1})_{|_{x=Â+B̂}} : . \end{aligned}

Damit folgt die Behauptung durch vollständige Induktion.

Version vom 26. März 2009

⌈N/2⌉ =^{def} max {ν ∈ ℤ_{+} : ν ≤ N/2} .

6Wir benutzen die übliche Bezeichnungsweise

Zu Aufgabe E29d): Die Baker-Hausdorff-Formel folgt gemäß

e^{Â+B̂} =_{c)} ∑_{N=0}^{∞} \frac{1}{N!} ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :((\frac{d}{dx})^{2ν} x^{N})_{|_{x=Â+B̂}} :

= ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :((\frac{d}{dx})^{2ν} ∑_{N=0}^{∞} \frac{1}{N!} x^{N})_{|_{x=Â+B̂}} :

= ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :((\frac{d}{dx})^{2ν} e^{x})_{|_{x=Â+B̂}} :

= ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (−\frac{1}{2} [Â, B̂]_{−})^{ν} :e^{Â+B̂}:

= e^{− \frac{1}{2} [Â,B̂]_{−}} eÂ eB̂ .

Anmerkung: Streng genommen müßte man natürlich die Konvergenz (siehe 7.1.3) und Vertauschbarkeit der unendlichen Reihen beweisen. Bzgl. eines einfacheren, aber weniger instruktiven, Beweises siehe Fußnote 33 von Kapitel 1 in (Lücke, nlqo).

Zu Aufgabe E30: Gemäß Spektralsatz gilt

Â^{†}Â = ( \begin{matrix}E & 0 \\ 0 & E′ \end{matrix} ) bzgl. (e′_{1} , e′_{2})

mit

E , E′ > 0

für eine geeignete Orthonormalbasis {e′_{1} , e′_{2}} von ℂ. Damit sind

( \begin{matrix}± ^{+} \sqrt{E} & 0 \\ 0 & ± ^{+} \sqrt{E′} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}± ^{+} \sqrt{E} & 0 \\ 0 & ∓ ^{+} \sqrt{E′} \end{matrix} )

bzgl. (e′_{1} , e′_{2}) Operatoren B̂ der gewünschten Art.

Anmerkung: Aufgabe E25a) zeigt, daß für Â = ˆ1 eine nicht abzählbare Menge selbstadjungierter B̂ mit B̂ = Â^{†}Â existiert.

Zu Aufgabe E31: Aus

\begin{aligned}Â^{†}Â & = & ( \begin{matrix}2 & i \\ i & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}2 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} ) \\ & = & ( \begin{matrix}5 & −2i \\ 2i & 1 \end{matrix} ) \end{aligned}

folgt

\begin{aligned}det (Â^{†}Â − E ˆ1) & = & (5 − E) (1 − E) − 4 \\ & = & (E − 3)^{2} − 8 . \end{aligned}

Nach Aufgabe E20b) ist somit

( \begin{matrix}−C_{2}^{1} \\ C_{1}^{1} − E \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2i \\ 2 ∓ 2\sqrt{2} \end{matrix} ) ∝ e_{±} =^{def} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{4 ∓ 2\sqrt{2}}} ( \begin{matrix}i \\ 1 ∓ \sqrt{2} \end{matrix} )}_{normiert}

Eigenvektor von Ĉ =^{def} Â^{†}Â zum Eigenwert

E_{±} =^{def} 3 ± 2\sqrt{2} .

Für

B̂ =^{def} ^{+} \sqrt{Â^{†} Â}

folgt mit

|( \begin{matrix}i \\ 1 ∓ \sqrt{2} \end{matrix} )⟩⟨( \begin{matrix}i \\ 1 ∓ \sqrt{2} \end{matrix} )| = ( \begin{matrix}1 & i (1 ∓ \sqrt{2}) \\ −i (1 ∓ \sqrt{2}) & 3 ∓ \sqrt{8} \end{matrix} )

daraus^{7}

B̂ = ^{+} \sqrt{E_{+}} |e_{+}⟩⟨e_{+}| + ^{+} \sqrt{E_{−}} |e_{−}⟩⟨e_{−}|

= ( \begin{matrix}^{\frac{\sqrt{3+\sqrt{8}}}{4−\sqrt{8}}} + ^{\frac{\sqrt{3−\sqrt{8}}}{4+\sqrt{8}}} & i^{\frac{\sqrt{3+\sqrt{8}}}{4−\sqrt{8}}} (1 − \sqrt{2}) + i^{\frac{\sqrt{3−\sqrt{8}}}{4+\sqrt{8}}} (1 + \sqrt{2}) \\ − i^{\frac{\sqrt{3+\sqrt{8}}}{4−\sqrt{8}}} (1 − \sqrt{2}) − i^{\frac{\sqrt{3−\sqrt{8}}}{4+\sqrt{8}}} (1 + \sqrt{2}) & ^{\frac{\sqrt{3+\sqrt{8}}(3−\sqrt{8})}{4−\sqrt{8}}} + ^{\frac{\sqrt{3−\sqrt{8}}(3+\sqrt{8})}{4+\sqrt{8}}} \end{matrix} )

= \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}3 & −i \\ +i & 1 \end{matrix} ) .

und entsprechend^{8}

\begin{aligned}B̂^{−1} & = & \frac{1}{\sqrt[+]{E_{+}}} |e_{+}⟩⟨e_{+}| + \frac{1}{\sqrt[+]{E_{−}}} |e_{−}⟩⟨e_{−}| \\ & = & \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & +i \\ −i & 3 \end{matrix} ) . \end{aligned}

Mit

\begin{aligned}Û & =^{def} & Â B̂^{−1} \\ & = & \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & −i \\ −i & 1 \end{matrix} ) \end{aligned}

Version vom 26. März 2009

brachten Matrixelemente.

7Zur Auswertung der zweiten Zeile betrachte man die Quadrate der auf den Hauptnenner ge-

8In diesem Zusammenhang sei an Aufgabe E17 erinnert.

176 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN ergibt sich somit gemäß Lemma 7.3.20 die Polarzerlegung:

\underbrace{( \begin{matrix}2 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} )}_{=Â∈GL(2,ℂ)} = \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & −i \\ −i & 1 \end{matrix} )}_{=Û∈U(2)} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}3 & −i \\ +i & 1 \end{matrix} )}_{=B̂≥0} .

Zu Aufgabe E32: Sei

( \begin{matrix}2 & −i & 0 \\ −i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = Û B̂

eine Polarzerlegung. Gemäß Aufgabe E31 ist dann

B̂ = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}3 & −i & 0 \\ +i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

und Û kann ein beliebiger unitäre Operator auf ℂ^{3} sein, der den Bedingungen

Û ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 \\ −i \\ 0 \end{matrix} ) , Û ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}−i \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

genügt. Da unitäre Operatoren Orthonormalbasen wieder auf Orthonormalbasen abbilden, muß außerdem

Û ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ∝ ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )

gelten. Die allgemeinste Polarzerlegung der vorgegebenen Matrix ist also

( \begin{matrix}2 & −i & 0 \\ −i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & −i & 0 \\ −i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} e^{iφ} \end{matrix} )}_{=Û} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}3 & −i & 0 \\ +i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )}_{=B̂} , φ ∈ ℝ .

Zu Aufgabe E33: Die Behauptung folgt unmittelbar aus Aufgabe E28a). Zu Aufgabe E34a): Gemäß Aufgabe E23b) und Aufgabe E33 muß

( \begin{matrix}r & t′ \\ t & r′ \end{matrix} ) = e^{iφ} ( \begin{matrix}a & −b^{∗} \\ b & a^{∗} \end{matrix} )

für geeignetes φ ∈ ℝ und geeignete a, b ∈ ℂ gelten. Daraus folgt

δ = arg(a) − arg(b) ,
δ′ = arg(a^{∗}) − arg(−b^{∗})
= − arg(a) − \underbrace{arg(−1)}_{=π} + arg(b) mod 2π

und somit

δ + δ′ = π mod 2π .  (F.18)

Zu Aufgabe E34b): Speziell für symmetrische Strahlteiler gilt

( \begin{matrix}r & t′ \\ t & r′ \end{matrix} ) = e^{iφ} ( \begin{matrix}a & −b^{∗} \\ b & a^{∗} \end{matrix} )

mit a = a^{∗} und b = −b^{∗}, also:

( \begin{matrix}r & t′ \\ t & r′ \end{matrix} ) = e^{iφ} ( \begin{matrix}a & i b \\ i b & a \end{matrix} ) φ, a, b ∈ ℝ , a^{2} + b^{2} = 1 .

Zu Aufgabe E34c): Für symmetrische 50/50-Strahlteiler muß zusätzlich noch |a| = |b|, also |a| = |b| = 1/\sqrt{2} , gelten und somit entweder

Ŝ = \frac{e^{iψ}}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & +i \\ +i & 1 \end{matrix} )

oder

Ŝ = \frac{e^{iψ}}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & −i \\ −i & 1 \end{matrix} )

für geeignetes ψ ∈ ℝ.

Zu Aufgabe E35a): Die Behauptung folgt gemäß

|r| = |t|  ⟹  r r′ + t t′ = |r|^{2} (e^{i(arg(r)+arg(r′))} + e^{i(arg(l)+arg(l′))}) = |r|^{2} e^{i(arg(l)+arg(l′))} (e^{i(δ+δ′)} + 1) =_{E34a)} 0 .

Zu Aufgabe E35b): Für 50/50-Strahlteiler existieren gemäß Aufgabe E23b) und Aufgabe E33 reelle ψ_{0}, ψ_{1}, ψ_{2} mit

Ŝ = \frac{e^{iψ_{0}}}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}e^{iψ_{1}} & −e^{−iψ_{2}} \\ e^{iψ_{2}} & +e^{−iψ_{1}} \end{matrix} ) .

Aus

Û_{φ_{1}}ℍ Û_{φ_{2}} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & e^{iφ_{1}} \end{matrix} ) \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & +1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & e^{iφ_{2}} \end{matrix} )

= \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & e^{iφ_{1}} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & +e^{iφ_{2}} \\ 1 & −e^{iφ_{2}} \end{matrix} )

= \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & e^{iφ_{2}} \\ e^{iφ_{1}} & −e^{i(φ_{1}+φ_{2})} \end{matrix} )

folgt damit

Ŝ = e^{iφ_{0}} Û_{φ_{1}}ℍ Û_{φ_{2}}

für

φ_{0} = ψ_{0} + ψ_{1} , φ_{1} = ψ_{2} − ψ_{1} , φ_{2} = −ψ_{2} − ψ_{1} + π .

Zu Aufgabe E35c): Speziell für symmetrische 50/50-Strahlteiler muß gemäß Aufgabe E34b)

φ_{1} = \frac{π}{2} mod π , φ_{2} = φ_{1} mod 2π

gelten.

Zu Aufgabe E36: Gemäß Spektralsatz existieren eine ONB {a_{1}, …, a_{n}} von V und E_{1}, …, E_{n} ∈ ℂ mit

Â a_{ν} = E_{ν} a_{ν} ∀ ν ∈ {1, …, n} .

Mit

Û (∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} a_{ν}) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} e_{ν} ∀ λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ

und

Û^{†} = Û^{−1}

folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe E37: Wenn man eine ONB {e_{1}, …, e_{n}} von ℂ^{n} wählt und Â als Matrix des entsprechenden linearen Operators Â bzgl. dieser Basis auffaßt, dann folgt die Behauptung gemäß Aufgabe E36.

Zu Aufgabe E38a): Mit a_{ν} und E_{ν} seien — wie in Aufgabe E36 — die Eigenvektoren und Eigenwerte von Â bezeichnet.

Wenn die E_{ν} alle positiv sind, dann definiert

B̂ (∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} a_{ν}) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} λ_{ν} \sqrt{E_{ν}} a_{ν}

einen (selbstadjungierten) invertierbaren Operator B̂ mit

Â = B̂^{†} B̂ .

Aus der 1. Aussage folgt also die 2. Aus der 2. Aussage folgt aber

\begin{matrix}⟨z | Â z⟩ = |B̂ z|^{2} \\ B̂ z = 0 ⟹ z = 0 \end{matrix} \} ∀ z ∈ V

und somit die 3. Aus der 3. Aussage folgt schließlich

0 < ⟨a_{ν} | Â a_{ν}⟩ = E_{ν} ∀ ν ∈ {1, …, n}

und somit die 1. Zu Aufgabe E38b): Für B̂ = ^{+} \sqrt{Â} folgt aus der Implikationsvoraussetzung

0 = A_{1}^{1}
= ∑_{ν=1}^{n} B_{ν}^{1} B_{1}^{ν}
= ∑_{ν=1}^{n} |B_{ν}^{1}|^{2} ,

also

B_{ν}^{1} = 0 ∀ ν ∈ {1, …, n}

und somit

\begin{aligned}A_{1}^{ν} = A_{ν}^{1} & = & ∑_{μ=1}^{n} B_{μ}^{1} B_{ν}^{μ} \\ & = & 0 ∀ ν ∈ \{1, …, n\} . \end{aligned}

Zu Aufgabe E39: Mit den entsprechenden a_{ν} , E_{ν} folgt aus der 1. Behauptung

\underline{Â^{†} Â = Â Â^{†}} = Â^{2}\underline{= ˆ1}

sowie

\underline{(E_{ν})^{2}} a_{ν} = Â^{2} a_{ν} \underline{= 1} a_{ν}

und somit die 2. Aussage. Aus der 2. Aussage folgt umgekehrt mit den entsprechenden Bezeichnungen fast unmittelbar die 1. Zu Aufgabe E40: Sei Ω die m-elementige Menge, aus der Elemente ausgewählt werden.

Im Falle ‘mit/mit’ entspricht dann jede Auswahl einem k-Tupel

(ω′_{1}, …, ω′_{k}) ∈ Ω^{k} = Ω × … × Ω .

Dafür gibt es offensichtlich m^{k} Möglichkeiten.

Im Falle ‘mit/ohne’ entspricht jede Auswahl einem (ω′_{1}, …, ω′_{k}) ∈ Ω^{k} mit paarweise verschiedenen ω′_{ν} . Wenn ω′_{1}, …, ω′_{j} festgelegt sind, gibt es für ω′_{j+1} (falls j < k) nur noch m − j Möglichkeiten. Die Anzahl aller Auswahlen ist also

\underline{\underline{∏_{j=0}^{k−1} (m − j)}} = \frac{m!}{(m − k)!} \underline{\underline{= \binom{m}{k}k!}} .

Im Falle ‘ohne/mit’ sind alle k-Tupel zu identifizieren, die sich jeweils durch die Anordnung der ω′_{ν} unterscheiden. Da das für jeweils k! der in Frage kommenden k-Tupel der Fall ist, ergibt sich für die Anzahl der Auswahlen

\frac{1}{k!} ∏_{j=0}^{k−1} (m − j) =_{s.o.} \underline{\underline{\binom{m}{k}}} = \frac{m!}{k! (m − k)!} \underline{\underline{= \binom{m}{m − k}}} .

Im Falle ‘ohne/mit’ lassen sich die möglichen Auswahlen z.B. wie folgt darstellen: Man numeriere

Ω = {ω_{1}, …, ω_{n}}

und verteile auf m−1 von m+k −1 festgelegten Plätzen Kommata und identifiziere

die Zahl der freien Plätze \underline{vor} dem j-ten Komma jeweils mit der Vielfachheit von ω_{j} in der Auswahl

sowie

die Zahl der freien Plätze \underline{nach} dem (m − 1)-ten Komma mit der Vielfachheit von ω_{m} in der Auswahl.

Die Anzahl der möglichen Auswahlen stimmt also mit der Anzahl der ‘ohne/ohne’- Auswahlen von m − 1 aus m + k − 1 Plätzen überein und ist dementsprechend

\underline{\underline{\binom{m + k − 1}{m − 1}}} = \binom{m + k − 1}{m + k − 1 − (m − 1)} \underline{\underline{= \binom{m + k − 1}{k}}} .

Zu Aufgabe E41a): \underline{\underline{p_{μ}(∅) = 0}} folgt aus

∑_{ω∈∅} … =_{Def.} 0

und \underline{\underline{p_{μ}(Ω) = 1}} aus

p_{μ}(Ω) =_{Def.} ∑_{ω∈Ω} μ(ω) =_{Vorauss.} 1 .

Für E_{1} ∩ E_{2} = ∅ folgt außerdem

\underline{\underline{p_{μ} (E_{1} ∪ E_{2})}} =_{Def.} ∑_{ω∈E_{1}∪E_{2}} μ(ω)
= ∑_{ω∈E_{1}} μ(ω) + ∑_{ω∈E_{2}} μ(ω)
=_{Def.} \underline{\underline{p_{μ}(E_{1}) + p_{μ}(E_{2})}} .

Zu Aufgabe E41b): Aus

∑_{ω∈Ω} \underbrace{μ(ω)}_{≥0} =_{Vorauss.} 1  (F.19)

folgt μ(ω) ∈ [0, 1] und somit

\underline{\underline{p_{μ} (\{ω\})}} = ∑_{ω′∈\{ω\}} μ(ω′) = \underline{\underline{μ(ω) ∈ [0, 1]}} .

Für konstantes μ folgt aus (F.19)

μ(ω) = \frac{1}{|Ω|} ∀ ω ∈ Ω

und damit

\underline{\underline{p_{μ}(E)}} =_{Def.} ∑_{ω∈E} μ(ω)
= ∑_{ω∈E} \frac{1}{|Ω|}
= \underline{\underline{\frac{|E|}{|Ω|}}} .

Zu Aufgabe E42: Die Elemente von Ω sind hier die \binom{49}{6} Ziehungen von jeweils 6 Zahlen aus 49.

Die Zahl der Ziehungen, in denen jeweils nur genau eine bestimmte der getippten Zahlen nicht vorkommt, ist 49-6=43. Da der Tipp 6 verschiedene Zahlen enthält, gibt es also 6 × 43 = 258 Ziehungen, für die jeweils genau 5 Zahlen mit denen des Tipps übereinstimmen. Nach Aufgabe 40 ist die Wahrscheinlichkeit für ‘5 richtige’ also

\frac{258}{\binom{49}{6}} ≈ 1, 85 × 10^{−5} .

182 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Zu Aufgabe E43: Hier ist

Ω = {Tür 1, Tür 2, Tür 3} .

Strategie A führt genau dann zum Erfolg, wenn das ‘Ereignis’

E_{A} =^{def} {Tür 1}

eintritt, gemäß Aufgabe E41 also mit der Wahrscheinlichkeit

\frac{|E_{A}|}{|Ω|} = \underline{\underline{\frac{1}{3}}} .

Strategie B führt dagegen genau dann zum Erfolg, wenn

E_{B} =^{def} {Tür 2, Tür 3}

eintritt, führt also mit der \underline{größeren} Wahrscheinlichkeit

\frac{|E_{B}|}{|Ω|} = \underline{\underline{\frac{2}{3}}}

zum Erfolg. Zu Aufgabe E44a): Die Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition von p_{μ}(E_{1}|E_{2}) . Zu Aufgabe E44b): Gemäß Aufgabe E41a) gilt

p_{μ}(\underbrace{(E_{1} ∩ E_{2}) ∪ (E_{1} ∩ (Ω \ E_{2}))}_{=E_{1}}) = p_{μ} (E_{1} ∩ E_{2}) + p_{μ}(E_{1} ∩ (Ω \ E_{2}))

und

1 = p_{μ}(Ω) = p_{μ}(E_{2}) + p_{μ}(Ω \ E_{2}) ,

also

p_{μ}(Ω \ E_{2}) = 1 − p_{μ}(E_{2}) ≠ 0 .

Mit a) folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe E44c): Die Behauptung folgt gemäß

E_{1}, E_{2} unabhängig ⟹_{Def.} p_{μ} (E_{1} ∩ E_{2}) = p_{μ} (E_{1}) + p_{μ} (E_{2})
⟹_{a)} \{ \begin{matrix}p_{μ}(E_{1}|E_{2}) = p_{μ}(E_{1}) & falls p_{μ}(E_{2}) ≠ 0 \\ p_{μ}(E_{2}|E_{1}) = p_{μ}(E_{2}) & falls p_{μ}(E_{1}) ≠ 0 \end{matrix}
⟹ \{ \begin{matrix}p_{μ}(E_{1}|E_{2}) p_{μ}(E_{2}) = p_{μ}(E_{1}) p_{μ}(E_{2}) \\ oder/und p_{μ}(E_{2}|E_{1}) p_{μ}(E_{1}) = p_{μ}(E_{1}) p_{μ}(E_{2}) \end{matrix}
⟹_{a)} p_{μ} (E_{1} ∩ E_{2}) = p_{μ} (E_{1}) + p_{μ} (E_{2})
⟹_{Def.} E_{1}, E_{2} unabhängig .

Zu Aufgabe E44d): Aus

(E_{1} ∩ E_{2}) ∩ (E_{1} ∩ (Ω \ E_{2})) = ∅

und

(E_{1} ∩ E_{2}) ∪ (E_{1} ∩ (Ω \ E_{2})) = E_{1}

folgt gemäß Aufgabe E41a)

p_{μ}(E_{1}) = p_{μ} (E_{1} ∩ E_{2}) + p_{μ}(E_{1} ∩ (Ω \ E_{2})) ,

für statistisch unabhängige E_{1}, E_{2} also

p_{μ}(E_{1} ∩ (Ω \ E_{2})) = p_{μ}(E_{1}) − p_{μ}(E_{1}) p_{μ}(E_{2})
=  p_{μ}(E_{1})(1 − p_{μ}(E_{2}))
=_{Aufg. E41a)} p_{μ}(E_{1}) p_{μ} (Ω \ E_{2}) .

Zu Aufgabe E44e): Aus den Implikationsvoraussetzungen folgt

p_{μ}((E_{A} × Ω_{B}) ∩ (Ω_{A} × E_{B})) = p_{μ}(E_{A} × E_{B})
=_{Aufg. 41b)} \frac{|E_{A} × E_{B}|}{|Ω|}
=  \frac{|E_{A}| |E_{B}|}{|Ω|}
=  \frac{|E_{A}| |Ω_{B}|}{|Ω|} \frac{|Ω_{A}| |E_{B}|}{|Ω|}
=  \frac{|E_{A} × Ω_{B}|}{|Ω|} \frac{|Ω_{A} × E_{B}|}{|Ω|}
=_{Aufg. 41b)} p_{μ}(E_{A} × Ω_{B}) p_{μ}(Ω_{A} × E_{B}) .

Zu Aufgabe E45a): Die Behauptung folgt gemäß

(ΔA)^{2} =_{Def.} ∑_{ω∈Ω}(a(Ω) − ⟨A⟩)^{2} μ(ω)
= \underbrace{∑_{ω∈Ω}(a(ω))^{2} μ(ω)}_{⟨A^{2}⟩} −2 ⟨A⟩ \underbrace{∑_{ω∈Ω} a(ω) μ(ω)}_{⟨A⟩} + ⟨A⟩^{2} \underbrace{∑_{ω∈Ω} μ(ω)}_{=1} .

184 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Zu Aufgabe E45b): Die Behauptung folgt gemäß

ΔA = 0 ⟺ (ΔA)^{2} = 0
⟺ ∑_{ω∈Ω} \underbrace{(a(Ω) − ⟨A⟩)^{2}}_{≥0} \underbrace{μ(ω)}_{≥0}
⟺ (μ(ω) ≠ 0 ⟹ a(ω) = ⟨A ⟩) ∀ ω ∈ Ω .

Zu Aufgabe E45c): Gemäß Fußnote 11 zu Aufgabe E41 sollte

\underbrace{\frac{1}{N} ∑_{n=1_{ωn=ω}}^{N} 1}_{rel. Häufigk. von ω} ⟶_{N→∞} μ(ω) ∀ ω ∈ Ω

und somit

\frac{1}{N} ∑_{n=1}^{N} a(ω_{n}) = \frac{1}{N} ∑_{ω∈Ω} ∑_{n=1_{ωn=ω}}^{N} a(ω_{n})
= ∑_{ω∈Ω} a(ω)\frac{1}{N} ∑_{n=1_{ωn=ω}}^{N} 1
⟶ \underbrace{∑_{ω∈Ω} a(ω) μ(ω)}_{=⟨A⟩}

gelten. Zu Aufgabe E45d): Die Behauptung folgt gemäß

⟨A_{1} + A_{2}⟩ =_{Def.} ∑_{ω∈Ω}(a_{1}(ω) + a_{2}(ω)) μ(ω)
= ∑_{ω∈Ω} a_{1}(ω) μ(ω) + ∑_{ω∈Ω} a_{2}(ω) μ(ω)
= ⟨A_{1}⟩ ⟨A_{2}⟩ .

Zu Aufgabe E46a): Gemäß Aufgabe E41a) gilt μ(b) = p_{μ}({b}) ∀ b ∈ Ω und somit

μ(b)  =  p_{μ} (( ⋂_{ν=1_{bν =1}}^{N} E_{ν}) ∩ ( ⋂_{ν′=1_{b_{ν′} =1}}^{N} (Ω \ E_{ν′})))

= E_{ν},E unabh.

Aufg. E44d)

(∏_{ν=1_{bν =1}}^{N} \underbrace{p_{μ}(E_{ν})}_{n̄/N}) ∏_{ν′=1_{b_{ν′} =1}}^{N} \underbrace{p_{μ}(Ω \ E_{ν′})}_{1−n̄/N}
=  ∏_{ν=1}^{N} (\frac{n̄}{N} δ_{1,b_{ν}} + (1 − \frac{n̄}{N} ) δ_{0,b_{ν}}) ∀ b ∈ Ω .

Zu Aufgabe E46b): Aus

b_{1} + … + b_{N} = n ⟹_{a)} μ(b) = (\frac{n̄}{N} )^{n} (1 − \frac{n̄}{N} )^{N−n}

folgt

μ′_{N}(n) =_{Aufg. E41a)} ∑_{b∈Ω_{b_{1}+...+n_{N} =n}} \underbrace{p_{μ}(\{b\})}_{=_{Aufg. E41b)μ(b)}}
=_{Aufg. E40} \binom{N}{n} (\frac{\overline{n}}{N} )^{n} (1 − \frac{\overline{n}}{N} )^{N−n} ∀ n ∈ \{0, …, N\} .

Zu Aufgabe E46c): Die Behauptung folgt gemäß

∑_{b∈Ω} μ(b)  =  ∑_{n=0}^{N} ∑_{b∈Ω_{b_{1}+...+b_{N} =n}} μ(b)
=_{Aufg. E41a)} ∑_{n=0}^{N} μ′_{N}(n)
=_{b)} ∑_{n=0}^{N} \binom{N}{n} (\frac{\overline{n}}{N} )^{n} (1 − \frac{\overline{n}}{N} )^{N−n}
=_{Binom.−Satz} (\frac{n̄}{N} − (1 − \frac{n̄}{N} ))^{N}
=  1 .

186 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Zu Aufgabe E46d): Die Behauptung folgt gemäß

F (ξ) =_{b)} ∑_{n=0}^{N} \binom{N}{n} ((1 + ξ) \frac{\overline{n}}{N} )^{n} (1 − \frac{\overline{n}}{N} )^{N−n}
=_{Binom.−Satz} ((1 + ξ) \frac{n̄}{N} − (1 − \frac{n̄}{N} ))^{N}
=  (1 + ξ \frac{n̄}{N} )^{N} .

Zu Aufgabe E46e): Die Behauptung folgt aus

∑_{n=0}^{N} n μ′(n) = F′(0) =_{d)} n̄ .

Zu Aufgabe E46f): Die Behauptung folgt aus

\begin{matrix}\binom{N}{n} & (\frac{⟨n⟩}{N}) & n & (1 − \frac{⟨n⟩}{N}) & N−n \\ = \frac{⟨n⟩^{n}}{n!} \underbrace{\frac{n (N − 1) … (N − (n − 1))}{N^{n}} (1 − \frac{⟨n⟩}{N})^{n}}_{⟶_{N→∞} 1} \underbrace{(1 − \frac{⟨n⟩}{N})^{N}}_{⟶_{N→∞} e^{−⟨n⟩}} . \end{matrix}

Zu Aufgabe E47a): Durch vollständige Induktion zeigt man leicht, daß^{9}

(\frac{d}{dx})^{n} \frac{1}{\sqrt[+]{1 + x}} = (1 + x)^{− \frac{1}{2} −n} ∏_{ν=1}^{n} (\frac{1}{2} − ν) ∀ x ∈ (−1, +1) , n ∈ ℤ_{+}

gilt. Die Taylor-Entwicklung von 1/ ^{+} \sqrt{1 + x} um x = 0 herum ist folglich

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt[+]{1 + x}} & = & ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} x^{n} ∏_{ν=1}^{n} (\frac{1}{2} − ν) \\ & = & 1 − \frac{1}{2} \frac{x}{1!} + \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{x^{2}}{2!} − \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{5}{2} \frac{x^{3}}{3!} + … ∀ x ∈ (−1, +1) \end{aligned}

Version vom 26. März 2009

9Allgemein definiert man

∏_{ν=n_{1}}^{n_{2}} a_{ν} =^{def} 1 falls n_{2} < n_{1} .

Nebenbei sei angemerkt, daß

2^{n} n! = ∏_{ν=1}^{n} (2 ν) ∀ n ∈ ℕ .

(man sieht leicht, daß das Restglied \frac{1}{n!} ∫_{0}^{x}(x − ξ) (\frac{d}{dξ} )^{n+1} \frac{1}{\sqrt[+]{1 + ξ}} dξ der (4.12)

entsprechenden Taylor-Entwicklung für n → ∞ tatsächlich gegen Null konvergiert). Für \underline{r ≪ r′} folgt daraus

\frac{r′}{|r′ e_{3} − x(r, ϑ, φ)|} = \frac{r′}{\sqrt{(r′ e_{3} − x(r, ϑ, φ)) · (r′ e_{3} − x(r, ϑ, φ))}}

= \frac{r′}{\sqrt{(r′)^{2} − 2 r′ e_{3} · x(r, ϑ, φ) + r^{2}}}

= \frac{1}{\sqrt{1 − 2 \frac{r}{r′} cos ϑ + (\frac{r}{r′} )^{2}}}

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} ((\frac{r}{r′} )^{2} − 2 \frac{r}{r′} cos ϑ)^{n} ∏_{ν=1}^{n} (\frac{1}{2} − ν)

und somit

\frac{r′}{|r′ e_{3} − x(r, ϑ, φ)|} = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{r}{r′} )^{n} P_{n}(cos ϑ) für 0 ≤ r ≪ r′ , (F.20)

für geeignete Polynome P_{n}, die man als Legendre-Polynome bezeichnet. Daß es sich dabei wirklich um die in 8.2.1 abgehandelten Legendre-Polynome handelt, wird in Abschnitt 1.4.1 von (Lücke, edyn) gezeigt. Die ersten drei dieser Polynome sind offensichtlich: (Legendre-Polynome, Kugelfunktionen 1. Art)

P_{0}(cos ϑ) = 1 ,
P_{1}(cos ϑ) = cos ϑ ,
P_{2}(cos ϑ) = −\frac{1}{2} + \frac{3}{2} cos^{2} ϑ .

(F.21)

Aus (F.20) folgt

Φ (r′e_{3}) = −\frac{G}{r′} ∑_{l=0}^{∞} \frac{Q_{l}}{(r′)^{l}} ∀ r′ > R ,  (F.22)

unmittelbar mit

Q_{l} =^{def} ∫_{0}^{2π} (∫_{0}^{π} (∫_{0}^{R} r^{2+l} sin ϑ P_{l}(cos ϑ) μ(x(r, ϑ, φ)) dr) dϑ) dφ ∀ l ∈ ℤ_{+} .

(F.23)

188 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN

Aus (F.23) und (F.22) folgt

Q_{0} = ∫_{0}^{2π} (∫_{0}^{π} (∫_{0}^{R} μ(x(r, ϑ, φ)) r^{2} sin ϑ dr) dϑ) dφ
= ∫ μ(x) dV_{x} ,
Q_{1} = ∫_{0}^{2π}(∫_{0}^{π}(∫_{0}^{R} μ(x(r, ϑ, φ)) \underbrace{r cos ϑ}_{=e_{3}·x(r,ϑ,φ)} r^{2} sin ϑ dr)dϑ)dφ
= e_{3} · ∫ x μ(x) dV_{x} ,
Q_{2} = ∫ |x|^{2} (\frac{3}{2} cos^{2}(∠e_{3}, x) − \frac{1}{2})μ(x) dV_{x} .

Die ersten drei Beiträge zu (F.22) sind also

1. das Monopol-Potential

−G \frac{M}{r′} , M =^{def} \underbrace{∫ μ(x) dV_{x}}_{=Gesamtmasse} ,

2. das Dipol-Potential

−G \frac{e_{3} · P}{(r′)^{2}} , P =^{def} \underbrace{∫ x μ(x) dV_{x}}_{=Dipolmoment} ,

und

3. das Quadrupol-Potential

−\frac{G}{2} \frac{Q(e_{3}, e_{3})}{(r′)^{3}}

mit dem (symmetrischen) Quadrupoltensor

Q(x_{1}, x_{2}) =^{def} ∫ 3((x_{1} · x)(x_{2} · x) − |x|^{2} (x_{1} · x_{2}))μ(x) dV_{x} ∀ x_{1}, x_{2} ∈ ℝ^{3} .

Anmerkung: Man beachte, daß M , P und Q(., .) nicht von der Wahl von e_{3} abhängen.

Zu Aufgabe E47b): Zu Aufgabe 62 wurde gezeigt, daß μ(x) = μ̌ (|x|) ∀x ∈ ℝ^{3}

⟹ Φ(x) = −G \frac{M}{|x|} ∀x ∈ ℝ^{3} .

Für kugelsymmetrisches (räumlich begrenztes) μ gilt also gemäß (F.22)

\begin{aligned}0 & = & Φ(r′ e_{3}) − (−G \frac{M}{r′} ) \\ & = & −\frac{G}{r′} ∑_{l=1}^{∞} \frac{Q_{l}}{(r′)^{l}} ∀ r′ > R . \end{aligned}

Aufgrund der Eindeutigkeit der Potenzreihenentwicklung^{10} folgt daraus die Behauptung.

Anmerkung: Man beachte, daß die Behauptung wegen

μ(x) = μ̌(|x|) ⟹_{(F.23)} Q_{l} ∝ ∫_{0}^{π} sin ϑ P_{l}(cos ϑ) dϑ ∀ l ∈ ℕ

äquivalent ist zu

∫_{−1}^{+1} \underbrace{(P_{0}(x))^{∗}}_{=1} P_{l}(x) dx = 0 ∀ l ∈ ℕ .

Zu Aufgabe E48a): Falls f stetig ist, existiert ein δ > 0 mit

(∥Ψ∥_{1} < δ ⟹ ∥f(Ψ) − f(0)∥_{2} < 1) ∀ Ψ ∈ H_{1} .

Da f linear ist, folgt daraus

\begin{aligned}∥Ψ∥_{1} < A  ⟹  ∥f(Ψ)∥_{2} & = & \frac{A}{δ} ∥f (\frac{δ}{A} Ψ)∥_{2} \\ & < & \frac{A}{δ} ∀ Ψ ∈ H_{1} \end{aligned}

für alle A > 0 und somit die Beschränktheit von f .

Umgekehrt, wenn f beschränkt ist, existiert ein C > 0 mit

(∥Ψ∥_{1} < 1 ⟹ ∥f(Ψ)∥_{2} < C) ∀ Ψ ∈ H_{1} .

Version vom 26. März 2009

10Wir verzichten hier auf detaillierte Konvergenzbetrachtungen.

190 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Aufgrund der Linearität von f folgt daraus

∥Ψ_{1} − Ψ_{2}∥_{1} < \frac{ϵ}{C} ⟹ ∥f(Ψ_{1}) − f(Ψ_{2})∥_{2} = \frac{ϵ}{C} ∥f (\frac{C}{ϵ} (Ψ_{1} − Ψ_{2}))∥_{2}
< ϵ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H_{1}

für alle ϵ > 0 und somit die Stetigkeit von f . Zu Aufgabe E48b): Wenn H_{1} endlichdimensional ist, dann existiert eine ONB {Φ_{1}, …, Φ_{n}} von H_{1} und damit gilt

∥f(Ψ)∥_{2} = ∥f (∑_{ν=1}^{n} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν})∥_{2}
= ∥∑_{ν=1}^{n} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ f (Φ_{ν})∥_{2}
≤ ∑_{ν=1}^{n} ∥⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ f (Φ_{ν})∥_{2}
≤ ∥Ψ∥_{1} \underbrace{∑_{ν=1}^{n} ∥f (Φ_{ν})∥_{2}}_{unabh. von Ψ} ∀ Ψ ∈ H_{1} ,

woraus offensichtlich die Beschränktheit von f folgt. Zu Aufgabe E49: Für jede ONB {Φ_{1}, …, Φ_{n}} von H gilt

|B (Ψ_{1}, Ψ_{2})| = |B (∑_{ν=1}^{n} ⟨Φ_{ν} | Ψ_{1}⟩ Φ_{ν}, ∑_{μ=1}^{n} ⟨Φ_{μ} | Ψ_{2}⟩ Φ_{μ})|
= | ∑_{ν,μ=1}^{n} ⟨Φ_{ν} | Ψ_{1}⟩⟨Φ_{μ} | Ψ_{2}⟩ B (Φ_{ν}, Φ_{μ})|
≤ ∑_{ν,μ=1}^{n} |⟨Φ_{ν} | Ψ_{1}⟩⟨Φ_{μ} | Ψ_{2}⟩ B (Φ_{ν}, Φ_{μ})|
≤ ∥Ψ_{1}∥ ∥Ψ_{2}∥ \underbrace{∑_{ν,μ=1}^{n} B (Φ_{ν}, Φ_{μ})}_{unabh. von Ψ_{1},Ψ_{2}} ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H .

Daraus folgt offensichtlich die Beschränktheit von B.

Zu Aufgabe E50a): Aus

e^{−i νφ} cos (φ) cos(Nφ) ; \begin{matrix}= & \frac{1}{4} e^{−i ν φ} (e^{+i φ} + e^{−i φ})(e^{+i N φ} + e^{−i N φ}) \\ = & \frac{1}{4} (e^{+i (N+1−ν) φ} + e^{+i (N−1−ν) φ} + e^{−i (N−1+ν) φ} + e^{−i (N+1+ν) φ}) \end{matrix}

und

\frac{1}{2π} ∫ e^{+i n φ} dφ = δ_{0,n}

folgt

⟨e_{ν} | f⟩ = \frac{1}{4} (δ_{|ν|,N+1} + δ_{|ν|,N−1})

und somit

f = \frac{1}{4} (e_{N+1} + e_{−N−1} + e_{N−1} + e_{−(N−1)}) .

Also gilt

f(φ) = \frac{1}{2} cos((N + 1) φ) + \frac{1}{2} cos((N − 1) φ) ∀ φ ∈ ℝ ,

was sich auch mithilfe des entsprechenden Additionstheorems leicht nachprüfen läßt. Zu Aufgabe E50b): Für φ(t) = ω t stellt A(t) = 2 f(φ(t)) eine Schwebung der harmonischen Schwingung cos (N ω t) dar, die sich durch Überlagerung der ‘nahezu’ gleichen Schwingungen cos((N + 1) ω t) und cos((N − 1) ω t) ergibt. Zu Aufgabe E51a): Für ν ≠ 0 gilt

i ν ⟨e_{ν} | f⟩ =  \frac{i ν}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{−i ν φ} f(φ) dφ
= −\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} (\frac{d}{dφ} e^{−i ν φ}) f(φ) dφ
=_{part. Int.} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{−i ν φ} g(φ) dφ
= ⟨e_{ν} | g⟩ .

Zu Aufgabe E51b): Sei M = {ν_{1}, …, ν_{n}} . Dann ergibt sich durch Anwendung der Schwarzschen Ungleichung

|∑_{μ=1}^{n} a_{μ}^{∗} b_{μ}| ≤ ^{+} \sqrt{∑_{μ=1}^{n} |a_{μ}|^{2}} ^{+} \sqrt{∑_{μ=1}^{n} |b_{μ}|^{2}}

192 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN auf

a_{μ} = \frac{1}{ν}

und

\begin{aligned}b_{μ} & = & |ν_{μ} ⟨e_{ν_{μ}} | f⟩| \\ & =_{a)} & |⟨e_{ν_{μ}} | g⟩| \end{aligned}

direkt die Ungleichung

∑_{ν∈M} |⟨e_{ν} | f⟩| ≤ ^{+} \sqrt{∑_{ν∈M} (\frac{1}{ν})^{2}} _{+} \sqrt{∑_{ν∈M} |⟨e_{ν} | g⟩|^{2}} .

Zu g läßt sich leicht eine Cauchy-Folge {g_{n}}_{n∈ℕ} in C(S^{1}) konstruieren mit

lim_{n→∞} ⟨e_{ν} | g_{n}⟩ = ⟨e_{ν} | g⟩ ∀ ν ∈ ℤ .

Da \{e_{ν}\}_{ν∈ℤ} ein MONS des Hilbert-Raums \overline{C(S^{1})} ist, existiert ein z ∈ ℓ^{2} mit

lim_{n→∞} g_{n} = ∑_{ν∈ℤ}z_{ν} e_{ν} ,

woraus natürlich

\begin{aligned}z_{ν} & = & lim_{n→∞} ⟨e_{ν} | g_{n}⟩ \\ & = & ⟨e_{ν} | g⟩ ∀ν ∈ ℤ \end{aligned}

und somit

∑_{ν∈ℤ}|⟨e_{ν} | g⟩|^{2} < ∞

folgt. Zu Aufgabe E51c): Die absolute Konvergenz, d.h.

∑_{ν∈ℤ} |⟨e_{ν} | f⟩ e^{i ν φ}| < ∞ ,

folgt direct aus b). Zu Aufgabe E52a): Für die durch

f(φ + 2π n) = φ^{2} ∀ [−π, +π] , n ∈ ℤ eindeutig charakterisierte Funktion f ∈ C(S^{1}) gilt

−ν^{2} 2π ⟨e_{ν} | f⟩ = ∫_{0}^{2π} ((\frac{d}{dφ})^{2} e^{−i ν φ}) φ^{2} dφ
= ∫_{−π}^{+π} ((\frac{d}{dφ})^{2} e^{−i ν φ}) φ^{2} dφ
=_{part. Int.} \underbrace{(\frac{d}{dφ} e^{−i νφ}) φ^{2}|_{−π}^{+π}}_{=0} − ∫_{−π}^{+π} (\frac{d}{dφ} e^{−i ν φ}) \frac{d}{dφ} φ^{2} dφ
=_{part. Int.} −e^{−i νφ} 2φ|_{−π}^{+π} + 2 \underbrace{∫_{−π}^{+π} e^{−i νφ} dφ}_{=0 für ν≠0}

und somit

⟨e_{ν} | f⟩ = 2 \frac{(−1)^{ν}}{ν^{2}} ∀ ν ∈ ℤ \ \{0\} .

Mit

⟨e_{0} | f⟩ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{+π} φ^{2} dφ
= \frac{1}{6π} φ^{3}|_{−π}^{+π}
= \frac{π^{2}}{3}

folgt daraus

\begin{aligned}φ^{2} & = & \frac{π^{2}}{3} + 2 ∑_{ν∈ℤ_{ν≠0}} \frac{(−1)^{ν}}{ν^{2}} e^{i νφ} \\ & = & \frac{π^{2}}{3} + 4 ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} cos(nφ) ∀ φ ∈ [−π, +π] . \end{aligned}

Zu Aufgabe E52b): Für φ = π folgt aus a)

π^{2} = \frac{π^{2}}{3} + 4 ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} \underbrace{cos (nπ)}_{=(−1)^{n}}

und daraus die Behauptung. Zu Aufgabe E52c): Für φ = 0 folgt aus a)

0 = \frac{π^{2}}{3} + 4 ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}}

194 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN und daraus die Behauptung. Zu Aufgabe E53: Wir wählen eine ONB {Φ_{1}, …, Φ_{n}} von H. Damit gilt

\underline{\underline{w − lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ}} ⟹ lim_{ν→∞} ⟨Φ_{κ} | Ψ_{ν}⟩ = ⟨Φ_{κ} | Ψ⟩ ∀ κ ∈ \{1, …, n\}
⟹ \begin{aligned}∥Ψ − Ψ_{ν}∥^{2} & = & ∑_{κ=1}^{n} |⟨Φ_{κ} | Ψ⟩ − ⟨Φ_{κ} | Ψ_{ν}⟩|^{2} \\ & ⟶_{ν→∞} & = 0 \end{aligned}
⟹ \underline{\underline{s − lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ}}

⟹ |⟨Φ | Ψ_{ν}⟩ − ⟨Φ | Ψ⟩| = |⟨Φ | Ψ_{ν} − Ψ⟩|

≤_{Schwarz} ∥Φ∥ ∥Ψ_{ν} − Ψ∥
⟶_{ν→∞} 0 ∀ Φ ∈ H
⟹ \underline{\underline{w − lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ}} .

Zu Aufgabe E54: Seien H ein Euklidischer Vektorraum und {Φ_{1}, …, Φ_{n}} eine ONB von H. Für jede Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} in H gilt dann

∥Ψ_{ν} − ψ_{μ}∥^{2} = ∥∑_{κ=1}^{n} (⟨Φ_{κ} | Ψ_{ν}⟩ − ⟨Φ_{κ} | Ψ_{μ}⟩) Φ_{κ}∥^{2}
= ∑_{κ=1}^{n} |⟨Φ_{κ} | Ψ_{ν}⟩ − ⟨Φ_{κ} | Ψ_{μ}⟩|^{2} .

Wenn {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} eine Cauchy-Folge in H ist, dann ist für jedes κ ∈ {1, …, n} also {⟨Φ_{κ} | Ψ_{ν}⟩}_{ν∈ℕ} eine Cauchy-Folge in ℂ, d.h. es existieren komplexe Zahlen λ_{κ} mit

λ_{κ} = lim_{ν→∞} ⟨Φ_{κ} | Ψ_{ν}⟩ ∀ κ ∈ {1, …, n} .

Damit gilt offensichtlich

w − lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ =^{def} ∑_{κ=1}^{n} λ_{κ} Φ_{κ} ,

gemäß Aufgabe E53 also auch

s − lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ .

Zu Aufgabe E55: Die Behauptung folgt analog zu Aufgabe E53 mit

Ψ_{Δt} = \frac{Ψ (t + Δt) − Ψ(t)}{Δt} statt Ψ_{ν} .

Zu Aufgabe E56a): Die

Ψ_{n} =^{def} ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν} ∀ n ∈ ℕ

bilden offensichtlich eine Cauchy-Folge:^{11}

N < ν < μ ⟹ ∥Ψ_{ν} − Ψ_{μ}∥^{2} = ∥ ∑_{κ=ν+1}^{μ} \frac{1}{κ} Φ_{κ}∥^{2}
= ∑_{κ=ν+1}^{μ} κ^{−2}
= ∑_{κ=N}^{μ} κ^{−2}
⟶_{N→+∞} 0 .

Gemäß Definition 8.1.14 existiert also ein Ψ ∈ H mit

Ψ = lim_{n→∞} ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν}  (F.24)

und dies ist natürlich eindeutig.

Denn:

Ψ = lim_{n→∞} ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν} , Ψ′ = lim_{n→∞} ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν}

⟹ ∥Ψ − Ψ′∥ = ∥(Ψ − ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν}) − (Ψ′ − ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν})∥

≤ Dreiecksungl. ∥Ψ − ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν} ∥ ∥Ψ′ − ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{ν} Φ_{ν} ∥

⟶_{n→∞}  0 .

Zu Aufgabe E56b): Jedes Ψ̌ ∈ Ȟ ist von der Form

Ψ̌ = λ_{1} Ψ + ∑_{ν=2}^{N} λ_{ν} Φ_{ν} ,

Version vom 26. März 2009

11Man beachte, daß κ^{−2} ≤ ∫_{κ−1}^{κ} \frac{1}{x^{2}} dx und somit:

∑_{κ=N}^{∞} κ^{−2} ≤ ∫_{N−1}^{∞} \frac{1}{x^{2}} dx = \frac{1}{N − 1} .

196 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN woraus

⟨Φ_{N+1} | Ψ̌⟩ = \frac{λ_{1}}{N + 1}

und somit

Ψ̌ ⊥ Φ_{ν} ∀ ν ≥ 2 ⟹ λ_{1} = 0

folgt. Nur für Ψ̌ = 0 gilt deshalb Ψ̌ ⊥ Φ_{ν} ∀ ν ≥ 2 , d.h. {Φ_{ν}}_{ν≥2} ist ein MONS von Ȟ. Zu Aufgabe E56c): Offensichtlich gilt

⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ = \frac{1}{ν} ∀ ν ∈ N

und somit

Ψ − ∑_{ν≥2} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν} = Φ_{1} ≠ 0 .

Zu Aufgabe E57a): Seien Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ DÂ und entweder

S(Ψ_{1}, Ψ_{2}) = ⟨Ψ_{1} | Â Ψ_{2}⟩

oder

S(Ψ_{1}, Ψ_{2}) = ⟨Â Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ .

Dann gilt

S(Ψ_{1} ± Ψ_{2}, Ψ_{1} ± Ψ_{2}) = S(Ψ_{1}, Ψ_{1} ± Ψ_{2}) ± S(Ψ_{2}, Ψ_{1} ± Ψ_{2})
= S(Ψ_{1}, Ψ_{1}) ± S(Ψ_{1}, Ψ_{2}) ± S(Ψ_{2}, Ψ_{1}) + S(Ψ_{2}, Ψ_{2})

sowie

S(Ψ_{1} ± iΨ_{2}, Ψ_{1} ± iΨ_{2}) = S(Ψ_{1}, Ψ_{1} ± iΨ_{2}) ∓ iS(Ψ_{2}, Ψ_{1} ± iΨ_{2})
= S(Ψ_{1}, Ψ_{1}) ± i S(Ψ_{1}, Ψ_{2}) ∓ i S(Ψ_{2}, Ψ_{1}) − i S(Ψ_{2}, Ψ_{2}) .

und somit

S(Ψ_{1} + Ψ_{2}, Ψ_{1} + Ψ_{2}) − S(Ψ_{1} − Ψ_{2}, Ψ_{1} − Ψ_{2}) = 2 (S(Ψ_{1}, Ψ_{2}) + S(Ψ_{2}, Ψ_{1})) sowie

S(Ψ_{1} + iΨ_{2}, Ψ_{1} + iΨ_{2}) − S(Ψ_{1} − iΨ_{2}, Ψ_{1} − iΨ_{2}) = 2i (S(Ψ_{1}, Ψ_{2}) − S(Ψ_{2}, Ψ_{1})) . Aus den letzten beiden Gleichungen folgt

\begin{matrix}S(Ψ_{1} + Ψ_{2}, Ψ_{1} + Ψ_{2}) − S(Ψ_{1} − Ψ_{2}, Ψ_{1} − Ψ_{2}) \\ −i (S(Ψ_{1} + iΨ_{2}, Ψ_{1} + iΨ_{2}) − S(Ψ_{1} − iΨ_{2}, Ψ_{1} − iΨ_{2})) \end{matrix} \} = 4 S(Ψ_{1}, Ψ_{2})

und damit wegen

(i^{−0}, i^{−1}, i^{−2}, i^{−3}) = (1, −i, −1, +i) , (i^{+0}, i^{+1}, i^{+2}, i^{+3}) = (1, +i, −1, −i) die Behauptung:

S(Ψ_{1}, Ψ_{2}) = \frac{1}{4} ∑_{k=0}^{3} i^{−k}S(Ψ_{1} + i^{k}Ψ_{2}, Ψ_{1} + i^{k}Ψ_{2}) .

Zu Aufgabe E57b): Wenn Â Hermitesch ist, muß insbesondere

⟨Ψ | Â Ψ⟩ =_{Def. 8.3.1} ⟨Â Ψ | Ψ⟩ =_{(7.5)} (⟨Ψ | Â Ψ⟩)^{∗}  ∀ Ψ ∈ DÂ  (F.25)

gelten und somit

ℝ ∋ ⟨Ψ | Â Ψ⟩ ∀ Ψ ∈ DÂ .  (F.26)

Aus (F.26) folgt umgekehrt (F.25) und daraus gemäß a)

⟨Ψ_{1} | Â Ψ_{2}⟩ = ⟨Â Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ DÂ ,

d.h., entsprechend Definition 8.3.1, die Hermitezität von Â. Zu Aufgabe E58a): Die Isometrie von Â folgt gemäß

∥Â Ψ∥^{2}  =_{Def.}  ∥∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν+1}∥^{2}
=_{Folg. 8.1.15} ∑_{ν=1}^{∞} |⟨Φ_{ν} | Ψ⟩|^{2}
=_{Folg. 8.1.15} ∥∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | Ψ⟩ Φ_{ν}∥^{2}
=_{Folg. 8.1.15} ∥Ψ∥^{2} ∀ Ψ ∈ H .

Gemäß Folgerung 8.3.12 gilt damit Â^{†}Â = ˆ1 . Zu Aufgabe E58b): Der inverse Operator ist offensichtlich durch

\begin{aligned}DÂ^{−1} & =^{def} & \{Â Φ : Φ ∈ DÂ\} \\ & = & L(\{Φ_{ν} : ν > 1\}) \end{aligned}

198 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN und

Â^{−1} Ψ =^{def} ∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν+1} | Ψ⟩ Φ_{ν} ∀ Ψ ∈ DÂ^{−1}

gegeben. Die Beziehungen

\begin{aligned}Â^{−1}Â Ψ & = & Ψ ∀ Ψ ∈ DÂ , \\ Â Â^{−1}Ψ & = & Ψ ∀ Ψ ∈ RÂ \end{aligned}

sind nach Folgerung 8.1.15 offensichtlich. Zu Aufgabe E58c): Aus

⟨Ψ_{1} | Â Ψ_{2}⟩ =_{Folg. 8.1.15} ⟨Ψ_{1} | Â ∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | Ψ_{2}⟩ Φ_{ν}⟩
=_{Def. Â} ⟨Ψ_{1} | ∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | Ψ_{2}⟩ Φ_{ν+1}⟩
= ∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | Ψ_{2}⟩ ⟨Ψ_{1} | Φ_{ν+1}⟩
=  ⟨∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν+1} | Ψ_{1}⟩ Φ_{ν} | Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H

folgt^{12}

Â^{†} Ψ = ∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν+1} | Ψ⟩ Φ_{ν} ∀ Ψ ∈ DÂ^{†} = H ≠ DÂ^{−1}

und damit die Behauptung. Zu Aufgabe E59a): Für beliebig oft differenzierbares Ψ ≠ 0 , das außerhalb eines abgeschlossenen Teilintervalls von (0, L) verschwindet, gilt mit Ψ_{λ}(x) =^{def} \sqrt{λ} Ψ(λ x) für λ ≥ 1 :

∥Ψ_{λ}∥^{2} = λ ∫_{0}^{L} |Ψ(λ x)|^{2} dx
= ∫_{0}^{L} |Ψ(x)|^{2} dx
= ∥Ψ∥^{2}

Version vom 26. März 2009

12Insbesondere gilt also ÂÂ^{†} Φ_{ν} = \{ \begin{matrix}0 & für ν = 1 , \\ Φ_{ν} & sonst . \end{matrix}

und

⟨Ψ_{λ} | Ĥ Ψ_{λ}⟩ = −\frac{ℏ^{2} λ}{2 m} ∫_{0}^{L}(Ψ(λ x))^{∗} (\frac{d}{dx})^{2} Ψ(λ x) dx
= −\frac{ℏ^{2} λ^{3}}{2 m} ∫_{0}^{L}(Ψ(λ x))^{∗} Ψ′′(λ x) dx
= −\frac{ℏ^{2} λ^{2}}{2 m} \underbrace{∫_{0}^{L}(Ψ(x))^{∗} Ψ′′(x) dx}_{≠0} .

Daraus folgt

lim_{λ→+∞} ⟨Ψ_{λ} | Ĥ Ψ_{λ}⟩ → ∞

für Ψ ∈ DĤ und somit wegen ∥Ψ_{λ}∥ = ∥Ψ∥ die Unbeschränktheit von Ĥ. Mit Lemma 8.3.4 folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe E59b): Aus

∫_{0}^{L}(Ψ(x))^{∗} Ψ′′(x) dx
=_{part. Int.} \underbrace{(Ψ(x))^{∗} Ψ′(x)|_{x=0}^{x=L}}_{=_{Period} 0} − ∫_{0}^{L}(Ψ′(x))^{∗} Ψ′(x) dx

=_{part. Int.} \underbrace{−(Ψ′(x))^{∗} Ψ(x)|_{x=0}^{x=L}}_{=_{Period} 0} + ∫_{0}^{L}(Ψ′′(x))^{∗} Ψ(x) dx ∀ Ψ ∈ C_{per}^{∞} ([0, L])

folgt, daß der durch

DĤ_{per} =^{def} C_{per}^{∞} ([0, L])

und

(Ĥ_{per} Ψ) (x) =^{def} −\frac{ℏ^{2}}{2m} Ψ′′(x) ∀ Ψ ∈ DĤ_{per}

gegebene Operator Ĥ_{per} Hermitesch ist. Daß dies die einzige Hermitesche Fortsetzung von Ĥ auf C_{per}^{∞} ([0, L]) ist, ist offensichtlich, da DĤ in L^{2} ([0, L]) dicht liegt, wie man leicht sieht.

Zu Aufgabe E59c): Analog zu b) folgt, daß durch

DĤ_{ref} =^{def} C_{ref}^{∞} ([0, L])

und

(Ĥ_{per} Ψ) (x) =^{def} −\frac{ℏ^{2}}{2m} Ψ′′(x) ∀ Ψ ∈ DĤ_{ref}

die eindeutige Hermitesche Fortsetzung von Ĥ auf C_{ref}^{∞} ([0, L]) gegeben ist.

Zu Aufgabe E59d): Die Funktionen

e_{μ}(φ) =^{def} e^{i μ φ} ∀ φ ∈ ℝ , μ ∈ ℤ ,

(siehe 8.1.1) bilden gemäß Theorie der Fourier-Reihen ein ONS von C(S^{1}) , dessen lineare Hülle in C(S^{1}) dicht liegt. Dementsprechend bilden die

e_{μ}^{(L)}(x) =^{def} \frac{1}{\sqrt{L}} e^{2πi μ \frac{x}{L}} , μ ∈ ℤ ,

ein ONS von C_{per}^{∞} ([0, L]) , das in C_{per}^{∞} ([0, L]) und damit auch in L^{2} ([0, L]) dicht

liegt. Gemäß Lemma 8.1.8 ist also {e_{μ}^{(L)} : μ ∈ ℤ} ein MONS von L^{2} ([0, L]) . Daß

die e_{μ}^{(L)}(x) alle Eigenfunktionen von Ĥ_{per} sind, folgt gemäß

(Ĥ_{per} e_{μ}^{(L)}) (x) =_{b)} −\frac{ℏ^{2}}{2m} (\frac{d}{dx})^{2} e_{μ}^{(L)}(x)
= \frac{1}{2 m} (\frac{2πμ ℏ}{L})^{2} e_{μ}^{(L)}(x) .  (F.27)

Zu Aufgabe E59e): Offensichtlich bilden die

ě_{μ}^{(L)}(x) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2L}} e^{2πi μ \frac{x}{2L}} , μ ∈ ℤ ,

ein ONS von C_{per}^{∞} ([−L, L]) , das in C_{per}^{∞} ([−L, L]) dicht liegt. Dementsprechend bilden die

\begin{aligned}u_{μ}^{(L)}(x) & =^{def} & −\frac{i}{\sqrt{2}} (ě_{μ}^{(L)}(x) − ě_{μ}^{(L)}(−x)) \\ & = & \frac{1}{\sqrt{L}} sin(μπ \frac{x}{L}) \end{aligned}

mit μ ∈ ℕ ein ONS des Teilraumes aller ungeraden Funktionen von C_{per}^{∞} ([−L, L]) , das in diesem Teilraum dicht liegt. Da sich jede Funktion aus C_{ref}^{∞} ([0, L]) eindeutig zu einer ungeraden Funktion aus C_{per}^{∞} ([−L, L]) fortsetzen läßt, folgt daraus, daß die

s_{μ}^{(L)}(x) =^{def} \sqrt{\frac{2}{L}} sin(μπ \frac{x}{L}) ∀ x ∈ [0, L] , μ ∈ ℕ ,

ein ONS von C_{ref}^{∞} ([0, L]) bilden, daß in C_{ref}^{∞} ([0, L]) dicht liegt. Somit ist {s_{μ}^{(L)} : μ ∈ ℕ}

ein MONS von L^{2} ([0, L]) . Daß die s_{μ}^{(L)}(x) alle Eigenfunktionen von Ĥ_{ref} sind, folgt gemäß

\begin{aligned}(Ĥ_{ref} s_{μ}^{(L)}) (x) & =_{b)} & −\frac{ℏ^{2}}{2m} (\frac{d}{dx})^{2} s_{μ}^{(L)}(x) \\ & = & \frac{1}{2 m} (\frac{πμ ℏ}{L})^{2} s_{μ}^{(L)}(x) . \end{aligned}

Zu Aufgabe E59f): Sei Ψ_{per}(x) eine Eigenfunktion von Ĥ_{per} zum Eigenwert E. Dann gilt

⟨Φ | E Ψ_{per}⟩ = ⟨Φ | Ĥ_{per} Ψ_{per}⟩
= ⟨Ĥ_{per} Φ | Ψ_{per}⟩
= ⟨Ĥ_{per} Φ | ∑_{μ∈ℤ}⟨e_{μ}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ e_{μ}^{(L)}⟩
= ∑_{μ∈ℤ}⟨e_{μ}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ ⟨Ĥ_{per} Φ | e_{μ}^{(L)}⟩
= ∑_{μ∈ℤ}⟨e_{μ}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ ⟨Φ | Ĥ_{per} e_{μ}^{(L)}⟩

=_{(F.27)} ∑_{μ∈ℤ}⟨e_{μ}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ \frac{1}{2 m} (\frac{2πμ ℏ}{L})^{2} ⟨Φ | e_{μ}^{(L)}⟩

=_{(F.27)} ⟨Φ | ∑_{μ∈ℤ} \frac{1}{2 m} (\frac{2πμ ℏ}{L})^{2} ⟨e_{μ}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ e_{μ}^{(L)}⟩ ∀ Φ ∈ DĤ_{per}

und somit

∑_{μ∈ℤ}E ⟨e_{μ}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ e_{μ}^{(L)} = E Ψ_{per}

= ∑_{μ∈ℤ} \frac{1}{2 m} (\frac{2πμ ℏ}{L})^{2} ⟨e_{μ}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ e_{μ}^{(L)} .

Aufgrund der Eindeutigkeit der Entwicklungskoeffizienten muß deshalb entweder Ψ_{per} ∝ e_{0}^{(L)} gelten oder ein μ_{0} ∈ ℕ existieren mit

Ψ_{per} = ⟨e_{μ_{0}}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ e_{μ_{0}}^{(L)} + ⟨e_{−μ_{0}}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ e_{−μ_{0}}^{(L)} .

Entsprechend sieht man, daß für jede Eigenfunktionen Ψ_{ref} von Ĥ_{ref} ein μ′_{0} ∈ ℕ existiert mit

Ψ_{ref} = ⟨s_{μ′_{0}}^{(L)} | Ψ_{per}⟩ e_{μ′_{0}}^{(L)} .

Damit ist klar, daß Ĥ_{per} und Ĥ_{ref} keine gemeinsame Eigenfunktion haben können.

Anmerkung: Für (hinreichend gutartige) Lösungen Ψ_{t}^{per}(x) von

iℏ \frac{∂}{∂t} Ψ_{t}(x) = (Ĥ_{per} Ψ_{t}) (x)

gilt gemäß d)

Ψ_{t}^{per}(x) = ∑_{μ∈ℤ} e^{− \frac{i}{ℏ} \frac{1}{2 m}(\frac{2πμ ℏ}{L})^{2} t} ⟨e_{μ}^{(L)} | Ψ_{0}^{per}⟩ e_{μ}^{(L)}(x) .  (F.28)

Entsprechend gilt für (hinreichend gutartige) Lösungen Ψ_{t}^{ref}(x) von

iℏ \frac{∂}{∂t} Ψ_{t}(x) = (Ĥ_{ref} Ψ_{t}) (x)

gilt gemäß e)

Ψ_{t}^{ref}(x) = ∑_{μ∈ℕ} e^{− \frac{i}{ℏ} \frac{1}{2 m}(\frac{πμ ℏ}{L})^{2} t} ⟨s_{μ}^{(L)} | Ψ_{0}^{per}⟩ s_{μ}^{(L)}(x) .  (F.29)

Zu Aufgabe E60: Gemäß Aufgabe E59b) ist Ĥ eine Einschränkung des Hermiteschen Operators Ĥ_{per} und damit natürlich selbst Hermitesch.

Gemäß Aufgabe E59d) existiert ein MONS {Φ_{ν}^{per}}_{ν∈ℕ} von L^{2}([0, L]) , das nur aus Eigenfunktionen von Ĥ_{per} besteht. Es existiert also eine Folge {E_{ν}^{per}}_{ν∈ℕ} von Energiewerten mit

Ĥ_{per} Φ_{ν}^{per} = E_{ν}^{per} Φ_{ν}^{per} ∈ DĤ_{per} ∀ ν ∈ ℕ .

Daraus folgt

Ĥ_{per} Ψ = ∑_{ν∈ℕ}⟨Φ_{ν} | Ĥ_{per} Ψ⟩ Φ_{ν}
= ∑_{ν∈ℕ}⟨Ĥ_{per} Φ_{ν} | Ψ⟩
= ∑_{ν∈ℕ}⟨E_{ν}^{per} Φ_{ν} | Ψ⟩
= ∑_{ν∈ℕ}E_{ν}^{per} ⟨Φ_{ν}^{per} | Ψ⟩ Φ_{ν}^{per} ∀ Ψ ∈ DĤ_{per} .

Ĥ_{per} ist also eine Einschränkung des durch

D\overline{Ĥ_{per}} =^{def} \{Ψ ∈ H : ∑_{ν∈ℕ}|E_{ν}^{per} ⟨Φ_{ν}^{per} | Ψ⟩|^{2} < ∞\}

und

\overline{Ĥ_{per}} Ψ =^{def} ∑_{ν∈ℕ}E_{ν}^{per} ⟨Φ_{ν}^{per} | Ψ⟩ Φ_{ν}^{per} ∀ Ψ ∈ D\overline{Ĥ_{per}}

gegebenen Operators \overline{Ĥ_{per}} , der gemäß Folgerung 8.3.25 selbstadjungiert ist. Analog zeigt man, daß Ĥ_{ref} eine Einschränkung des — mit entsprechenden Bezeichnungen — durch

D\overline{Ĥ_{ref}} =^{def} \{Ψ ∈ H : ∑_{ν∈ℕ}|E_{ν}^{ref} ⟨Φ_{ν}^{ref} | Ψ⟩|^{2} < ∞\}

und

\overline{Ĥ_{ref}} Ψ =^{def} ∑_{ν∈ℕ}E_{ν}^{ref} ⟨Φ_{ν}^{ref} | Ψ⟩ Φ_{ν}^{ref} ∀ Ψ ∈ D\overline{Ĥ_{ref}}

gegebenen selbstadjungierten Operators \overline{Ĥ_{ref}} ist. Da Ĥ_{per} und Ĥ_{ref} also selbstadjungierte Erweiterungen von Ĥ sind, die gemäß Aufgabe E59d) nicht gleich sein können, ist Ĥ nicht im wesentlichen selbstadjungiert.

Remark: Man sieht aber leicht, daß Ĥ_{per} ebenso wie Ĥ_{ref} im wesentlichen selbstadjungiert ist.

Zu Aufgabe E61a): Die Behauptung folgt durch partielle Integration:

2π ⟨f | L̂ g⟩ =_{Def.} ∫_{0}^{2π} f^{∗}(φ) \frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} g(φ) dφ
= \underbrace{f^{∗}(φ) \frac{ℏ}{i} g(φ)|_{φ=0}^{φ=2π}}_{=0 , da f, g periodisch} − ∫_{0}^{2π} (\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} f^{∗}(φ)) g(φ) dφ

= ∫_{0}^{2π} (\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} f(φ))^{∗} g(φ) dφ
=_{Def.} 2π ⟨L̂ f | g⟩ ∀ f, g ∈ DL̂ .

Zu Aufgabe E61b): Offensichtlich ist^{13} {e_{m}}_{m∈ℤ} ein MONS von H mit

L̂ e_{m} = ℏ m e_{m} ∀ m ∈ ℤ .  (∗_{1})

Zu Aufgabe E61c): Die Eigenwertgleichung L̂ f = E f lautet explizit

\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} f(φ) = E f(φ) ∀ φ ∈ ℝ

Version vom 26. März 2009

13Zur Erinnerung:

e_{m}(φ) =^{def} e^{i m φ} ∀ φ ∈ ℝ , m ∈ ℤ .

und hat die allgemeine Lösung

f(φ = λ e^{\frac{i}{ℏ} E φ} , λ ∈ ℂ ,

die für λ ≠ 0 nur im Falle \frac{E}{ℏ} ∈ ℤ die Periode 2π hat. Mit (∗_{1}) folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe E61d): Offensichtlich bildet L̂ die beschränkte Teilmenge {e_{m} : m ∈ ℤ} von H auf die unbeschränkte Teilmenge {ℏ m e_{m} : m ∈ ℤ} von H ab und ist damit ein unbeschränkter Operator.

Zu Aufgabe E61e): Offensichtlich liegt die lineare Hülle von {e_{m} : m ∈ ℤ} in H dicht und ist sowohl in DL̂ als auch in D_{L̂L̂} enthalten. Also liegen auch DL̂ und D_{L̂L̂} in H dicht.

Zu Aufgabe E61f): Defininitionsgemäß gilt D_{L̂L̂} ⊂ DL̂. Sei andererseits z.B. f eine Stammfunktion der durch

g_{S}(φ) =^{def} \{ \begin{matrix}\frac{π}{2} − φ & für φ ∈ [0, +π] mod 2π \\ φ + \frac{π}{2}i & für φ ∈ [−π, 0] mod 2π \end{matrix}

gegebenen Sägezahnfunktion g_{S} . Dann folgt dafür dank ∫_{−π}^{+π} g(φ) dφ = 0 zwar f ∈ DL̂, aber f ist offensichtlich nur 1-mal stetig differenzierbar, also f ∉ D_{L̂L̂}. Daraus folgt D_{L̂L̂} ⊄ DL̂.

Zu Aufgabe E61g): Sei g ∈ DL̂^{†}. Dann existiert definitionsgemäß ein g^{†} ∈ H mit

⟨g | L̂ f⟩ = ⟨g† | f⟩ ∀ f ∈ DL̂ .

Damit gilt

\left∥{ \atop ǧ}\right∥^{2} = ∑_{m∈ℤ} |⟨e_{m} | g^{†}⟩|^{2}
= ∑_{m∈ℤ} |⟨g | L̂ e_{m}⟩|^{2}
= ∑_{m∈ℤ}|ℏm ⟨e_{m} | g⟩|^{2} .

Mit

g = ∑_{m∈ℤ}⟨e_{m} | g⟩ e_{m}

folgt daraus

g ∈ {∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m} : ∑_{m∈ℤ}|ℏm λ^{m}|^{2} < ∞} .

Da letzteres für alle g ∈ DL̂^{†} gilt, haben wir also

DL̂^{†} ⊂ {∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m} : ∑_{m∈ℤ}|ℏm λ^{m}|^{2} < ∞} .  (∗_{2})

Unter der Voraussetzung

∑_{m∈ℤ}|ℏm λ^{m}|^{2} < ∞

gilt für das Element

g = ∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m}

von H andererseits

⟨g | L̂ f⟩ = ∑_{m∈ℤ}λ^{m} ⟨e_{m} | L̂ f⟩
=_{a)} ∑_{m∈ℤ}λ^{m}⟨ \underbrace{L̂ e_{m}}_{=ℏm e_{m}} | f⟩
= ⟨ \underbrace{∑_{m∈ℤ}ℏm (λ^{m})^{∗} e_{m}}_{∈H} | f⟩ ∀ f ∈ DL̂

und somit

∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m} ∈ DL̂^{†}

sowie

L̂^{†} ∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m} = ∑_{m∈ℤ}ℏm λ^{m} e_{m} .

Daraus folgt zusätzlich zu (∗_{2})

{∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m} : ∑_{m∈ℤ}|ℏm λ^{m}|^{2} < ∞} ⊂ DL̂^{†}

sowie die Behauptung von h).

Zu Aufgabe E61i): Wir betrachten ein g ∈ C(S^{1}) , für das folgende Bedingungen erfüllt seien:

1. g ist über dem Intervall [−π, +π] mit Ausnahme nur endlich vieler Stellen differenzierbar.

2. Es existiert eine stückweise stetige (beschränkte) Funktion ǧ über ℝ, die überall dort mit \frac{d}{dφ} g(φ) übereinstimmt, wo diese Ableitung existiert.

206 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Dafür sieht man analog a), daß

⟨g | L̂ f⟩ = ⟨ǧ | f⟩ ∀ f ∈ DL̂

und somit

g ∈ DL̂^{†}

gilt. Da o.a. Bedingungen für alle g ∈ DL̂ mit ǧ = g′ trivial erfüllt sind, folgt daraus

DL̂ ⊂ DL̂^{†} .

Die Bedingungen sind aber auch für^{14} g = g_{S} mit entsprechendem (stückweise konstantem) ǧ erfüllt. Also gilt

DL̂^{†} ⊃ g_{S} ∉ DL̂

und somit

DL̂^{†} ⊄ DL̂ .

Zu Aufgabe E61j): Sei g ∈ D_{(L̂^{†})^{†}}. Dann existiert gemäß g) ein ǧ ∈ H mit

∑_{m∈ℤ}|ℏm λ^{m}|^{2} < ∞ ⟹ ⟨g | L̂^{†} ∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m}⟩ = ⟨ǧ | ∑_{m∈ℤ}λ^{m} e_{m}⟩

und daraus folgt analog g):

D_{(L̂^{†})^{†}} = DL̂^{†} .

Mit

\begin{aligned}⟨e_{m} | (L̂^{†})^{†} f⟩ & = & ⟨L̂^{†}e_{m} | f⟩ \\ & =_{h)} & ℏm ⟨e_{m} | f⟩ ∀ f ∈ D_{(L̂^{†})^{†}} \end{aligned}

und h) folgt daraus

(L̂^{†})^{†} = L̂^{†} .

Zu Aufgabe E61k): Aus h) folgt direkt die Behauptung

L̂^{†} f = ∑_{m∈ℤ}ℏm \underbrace{|e_{m}⟩⟨e_{m}| f}_{=⟨e_{m}|f⟩e_{m}} ∀ f ∈ DL̂^{†} .

Zu Aufgabe E61l): Die Behauptung folgt direkt aus k).

Version vom 26. März 2009

14Die Sägezahnfunktion g_{S} wurde unter f) definiert.

Zu Aufgabe E62a): Die Behauptung folgt durch einfaches Nachrechnen:

2 m ℏ ω Â^{†} Â = (\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dx} + i m ω x)(\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dx} − i m ω x)
= −ℏ^{2} (\frac{d}{dx})^{2} + m^{2} ω^{2} x^{2} − ℏ ω m \underbrace{[\frac{d}{dx} , x]_{−}}_{=1} .

Zu Aufgabe E62b): Die Behauptung folgt aus a) mit (Â Ω)(x) = 0 .

Zu Aufgabe E62c): Die Behauptung ist für n = 0 trivial und folgt für n = 1 aus a) mit^{15}

[Â^{†} Â , Â^{†}]_{−} = Â^{†} \underbrace{[Â , Â^{†}]_{−}}_{=1} + \underbrace{[Â^{†} , Â^{†}]_{−}}_{=0} Â .

Für n > 1 folgt die Behauptung daraus durch vollständige Induktion:

[Ĥ_{osc} , \binom{}{Â^{†}}^{n}]_{−} = \binom{}{Â^{†}}^{n−1} \underbrace{[Ĥ_{osc} , Â^{†}]_{−}}_{{= \atop Ind.-Vor.} ℏ ω Â^{†}}+ \underbrace{[Ĥ_{osc} , \binom{}{Â^{†}}^{n−1}]_{−}}_{{= \atop Ind.-Vor.}(n−1) ℏ ω \binom{}{Â^{†}}^{n−1}} Â^{†} .

Zu Aufgabe E62d): Durch vollständige Induktion zeigt man leicht

\begin{aligned}Ω(x) e^{+ \frac{m ω}{ℏ} x^{2}} (\frac{d}{dx})^{n} e^{− \frac{m ω}{ℏ} x^{2}} & ∝ & (\frac{d}{dx} − \frac{m ω}{ℏ} x)^{n} Ω(x) \\ & ∝ & (\binom{}{Â^{†}}^{n} Ω)(x) ∀ n ∈ ℤ_{+} . \end{aligned}

Mit

\begin{aligned}H_{n}(x \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} ) Ω(x) & ∝ & e^{+ \frac{m ω}{2 ℏ} x^{2}} ((\frac{d}{dz} )^{n} e^{−z^{2}})_{|_{z=x \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}}}} \\ & ∝ & e^{+ \frac{m ω}{2 ℏ} x^{2}} (\frac{d}{dx})^{n} e^{− \frac{m ω}{ℏ} x^{2}} ∀ n ∈ ℤ_{+} \end{aligned}

folgt daraus die Behauptung.

Version vom 26. März 2009

15Allgemein gilt

\begin{aligned}[ÂB̂ , Ĉ]_{−} & = & Â [B̂ , Ĉ]_{−} + [Â , Ĉ]_{−} B̂ , \\ [Â , B̂Ĉ]_{−} & = & B̂ [Â , Ĉ]_{−} + [Â , B̂]_{−} Ĉ . \end{aligned}

208 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Zu Aufgabe E62e): Aus b)–d) folgt

Ĥ_{osc} H_{n}(x \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} ) Ω(x) = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω H_{n}(x \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} ) Ω(x) ∀ n ∈ ℤ_{+}

und daraus mit Folgerung 8.2.3 die Behauptung. Zu Aufgabe E63: Offensichtlich ist^{16}

Â =^{def} |Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{2}| ∈ B (H)

und somit gemäß Folgerung 8.3.11 Â^{†} ∈ B (H) eindeutig durch

⟨Ψ′_{1} | Â Ψ′_{2}⟩ = ⟨Â^{†} Ψ′_{1} | Ψ′_{2}⟩ ∀ Ψ′_{1}, Ψ′_{2} ∈ H

charakterisiert. Mit

⟨Ψ′_{1}| |Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{2}| |Ψ′_{2}⟩ = ⟨Ψ_{2} | Ψ′_{2}⟩⟨Ψ′_{1} | Ψ_{1}⟩
= ⟨⟨Ψ_{1} | Ψ′_{1}⟩ Ψ_{2} | Ψ′_{2}⟩
= ⟨|Ψ_{2}⟩⟨Ψ_{1}| Ψ′_{1} | Ψ′_{2}⟩

folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe E64: Offensichtlich gilt

B̂ Ψ = ∑_{ν=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | B̂ Ψ⟩ Φ_{ν} + ∑_{ν=N+1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | B̂ Ψ⟩ Φ_{ν}
= ∑_{ν=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | B̂ ∑_{μ=1}^{N} ⟨Φ_{μ} | Ψ⟩ Φ_{μ}⟩ Φ_{ν} + ∑_{ν=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | B̂ ∑_{μ=N+1}^{∞} ⟨Φ_{μ} | Ψ⟩ Φ_{μ}⟩ Φ_{ν}

+ ∑_{ν=N+1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | B̂ Ψ⟩ Φ_{ν}

und somit

B̂ Ψ = ( ∑_{ν,μ=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | B̂ Φ_{μ}⟩ |Φ_{ν}⟩⟨Φ_{μ}|) Ψ + ∑_{ν=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | B̂ ∑_{μ=N+1}^{∞} ⟨Φ_{μ} | Ψ⟩ Φ_{μ}⟩ Φ_{ν}

+ ∑_{ν=N+1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | B̂ Ψ⟩ Φ_{ν} ∀ Ψ ∈ H .

Version vom 26. März 2009

16Denn:

∥Â Φ∥ = ∥⟨Ψ_{2} | Φ⟩ Ψ_{1}∥ ≤ |⟨Ψ_{2} | Φ⟩| ∥Ψ_{1}∥ ≤_{Schwarz} (∥Ψ_{1}∥ ∥Ψ_{2}∥) ∥Φ∥ .

Mit

∑_{ν=N+1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | B̂ Ψ⟩ Φ_{ν} ⟶_{N→∞} 0 ∀ Ψ ∈ H

und

∥∑_{ν=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | B̂ ∑_{μ=N+1}^{∞} ⟨Φ_{μ} | Ψ⟩ Φ_{μ}⟩ Φ_{ν}∥^{2} ≤ ∥∑_{ν=1}^{∞} ⟨Φ_{ν} | B̂ ∑_{μ=N+1}^{∞} ⟨Φ_{μ} | Ψ⟩ Φ_{μ}⟩ Φ_{ν}∥^{2}
= ∥B̂ ∑_{μ=N+1}^{∞} ⟨Φ_{μ} | Ψ⟩ Φ_{μ}∥^{2}
≤ ∥B̂∥ ∥ ∑_{μ=N+1}^{∞} ⟨Φ_{μ} | Ψ⟩ Φ_{μ}∥^{2}
⟶_{N→∞} 0 ∀ Ψ ∈ H

folgt daraus die Behauptung. Zu Aufgabe E65a): Sei P̂_{1}P̂_{2} ein Projektionsoperator. Dann gilt

P̂_{1}P̂_{2} =_{Def. 8.3.13} (P̂_{1}P̂_{2})^{†}
=_{(8.25)}  P̂_{2}^{†}P̂_{1}^{†}
=_{Def. 8.3.13} P̂_{2}P̂_{1} .

Sei umgekehrt P̂_{1}P̂_{2} = P̂_{2}P̂_{1} vorausgesetzt. Dann gilt

(P̂_{1}P̂_{2})^{2}  =  P̂_{1}P̂_{2}P̂_{1}P̂_{2}
=  P̂_{1}P̂_{1}P̂_{2}P̂_{2}
=_{Def. 8.3.13} P̂_{1}P̂_{2}

und

(P̂_{1}P̂_{2})^{†} =_{(8.25)} P̂_{2}^{†}P̂_{1}^{†}
=_{Def. 8.3.13} P̂_{2}P̂_{1}
= P̂_{1}P̂_{2} .

Gemäß Definition 8.3.13 ist dann also P̂_{1}P̂_{2} ein Projektor.

Anmerkung: Es ist klar, daß

(P̂_{1}P̂_{2}) H = (P̂_{1}H) ∩ (P̂_{2}H)

gilt, wenn P̂_{1}, P̂_{2} und P̂_{1}P̂_{2} Projektoren sind.

210 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Zu Aufgabe E65b): Sei P̂_{1} + P̂_{2} ein Projektionsoperator. Dann gilt

P̂_{1} + P̂_{2} =_{Def. 8.3.13} (P̂_{1} + P̂_{2})^{2}
= P̂_{1}P̂_{1} + P̂_{1}P̂_{2} + P̂_{2}P̂_{1} + P̂_{2}P̂_{2}
=_{Def. 8.3.13} P̂_{1} + P̂_{2} + P̂_{1}P̂_{2} + P̂_{2}P̂_{1}

und somit

P̂_{1}P̂_{2} = −P̂_{2}P̂_{1} .  (F.30)

Daraus folgt

P̂_{1}P̂_{2} = P̂_{1} \underbrace{P̂_{1}P̂_{2}}_{{= \atop (F.30)} −P̂_{2}P̂_{1}}
= − \underbrace{P̂_{1}P̂_{2}}_{{= \atop (F.30)} −P̂_{2}P̂_{1}} P̂_{1}
= +P̂_{2}P̂_{1}
=_{(F.30)} −P̂_{1}P̂_{2}

und folglich P̂_{1}P̂_{2} = 0 .

Sei umgekehrt P̂_{1}P̂_{2} = 0 vorausgesetzt. Dann gilt auch

P̂_{2}P̂_{1} =_{Def. 8.3.13} P̂_{2}^{†}P̂_{1}^{†}
=_{(8.25)} (P̂_{1}P̂_{2})^{†}
=_{(8.21)} 0

und somit

\begin{aligned}(P̂_{1} + P̂_{2})^{2} & = & P̂_{1}P̂_{1} + P̂_{2}P̂_{2} \\ & =_{Def. 8.3.13} & P̂_{1} + P̂_{2} . \end{aligned}

mit

\begin{aligned}(P̂_{1} + P̂_{2})^{†} & =_{(8.24)} & P̂_{1}^{†} + P̂_{2}^{†} \\ & =_{Def. 8.3.13} & P̂_{1} + P̂_{2} \end{aligned}

folgt daraus gemäß Definition 8.3.13, daß P̂_{1} + P̂_{2} ein Projektionsoperator ist.

Anmerkung: Es ist klar, daß

(P̂_{1} + P̂_{2}) H = \overline{L((P̂_{1}H) ∪ (P̂_{2}H))}

im Sinne^{17} von Folgerung 8.1.18 gilt, wenn P̂_{1}, P̂_{2} und P̂_{1} + P̂_{2} Projektoren sind.

Zu Aufgabe E66: Seien Φ, Φ′ ∈ H. O.B.d.A. können wir

∥Φ∥ = ∥Φ′∥ = 1

annehmen. Dann ist

{Φ_{1} =^{def} Φ , Φ_{2} =^{def} Φ′ − ⟨Φ_{1} | Φ′⟩ Φ_{1}}

eine ONB von L({Φ, Φ′}) und läßt sich gemäß Lemma 8.1.4 zu einem MONS {Φ_{ι}}_{ι∈I} von H erweitern (1, 2 ∈ I). Damit gilt

(2P̂_{Φ} − ˆ1) Ψ =_{(8.1)} 2 ⟨Φ_{1} | Ψ⟩ Φ_{1} − ∑_{ι∈I} ⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ Φ_{ι}
= ⟨Φ_{1} | Ψ⟩ Φ_{1} − ∑_{ι∈I_{ι≠1}} ⟨Φ_{ι} | Ψ⟩ Φ_{ι} .

Die Wirkung von (2P̂_{Φ} − ˆ1) auf einen beliebigen Vektor Ψ ∈ H ist also folgende: • Die Komponente von Ψ ‘ längs’ Φ bleibt unverändert.

• Die zu Φ senkrechte Komponente von Ψ wird mit −1 multipliziert. Entsprechendes gilt natürlich für Φ′ anstelle von Φ . Daraus folgt:

(2P̂_{Φ′} − ˆ1) (2P̂_{Φ} − ˆ1) wirkt nur auf dem Teilraum L({Φ, Φ′}) nichttrivial und wirkt darauf wie

1. eine Spiegelung in zu Φ senkrechte Richtung (mit 0 als Fixpunkt) und

2. eine anschließende Spiegelung in zu Φ′ senkrechte Richtung (mit 0

als Fixpunkt).

Anhand der folgenden Skizze erkennt man daraus, daß die resultierende Wirkung in L({Φ, Φ′}) eine Drehung um den Winkel |arccos ⟨Φ | Φ′⟩| (mit 0 als Fixpunkt) von

Version vom 26. März 2009

17Wir bezeichnen also mit \overline{L((P̂_{1}H) ∪ (P̂_{2}H))} den kleinsten Hilbertschen Teilraum von H, der sowohl P̂_{1}H als auch P̂_{2}H enthält.

212 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN

Φ in ‘Richtung’ nach Φ′ ist:^{18}

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; θ; 2 θ; R̂ Ψ; Ψ; Φ; Ψ′; Φ′]

∠ (Ψ, R̂ Ψ) = 2 \underbrace{∠ (Ψ′, Φ′)}_{=θ+∠(Ψ′,Φ)}−2 \underbrace{∠ (Φ, Ψ)}_{=∠(Ψ′,Φ)}

= 2 θ .

Anmerkung: Auf diesem Ergebnis basiert auch der sog. Groversche Datenbank-Suchalgorithmus für Quantencomputer; siehe Abschnitt 2.1.1 von (Lücke, qip).

Zu Aufgabe E67a): Mit Definition 8.3.3 folgt die Produkt-Ungleichung gemäß

∥ÂB̂ Ψ∥ ≤_{Def. 8.3.3} ∥Â∥ ∥B̂ Ψ∥
≤_{Def. 8.3.3} ∥Â∥ ∥B̂∥ ∥Ψ∥ ∀ Ψ ∈ H .

Zu Aufgabe E67b): Aus

sup_{Φ∈H_{∥Φ∥=1}} |⟨Φ | χ⟩| ≤_{Schwarz} ∥χ∥ ∀ χ ∈ H

und

∥χ∥ = ⟨\frac{χ}{∥χ∥} | χ⟩ ∀ χ ∈ H \ \{0\}

folgt

∥χ∥ = sup_{Φ∈H_{∥Φ∥=1}} |⟨Φ | χ⟩| ∀ χ ∈ H

und somit

DĈ = H ⟹ sup_{Ψ∈H_{∥Ψ∥=1}} ∥Ĉ Ψ∥ = sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} |⟨Φ | Ĉ Ψ⟩|  (F.31)

für alle linearen Operatoren Ĉ in H. Die Behauptungen folgen damit aus Folgerung

Version vom 26. März 2009

18Es genügt, die Wirkung auf zwei unabhängige Vektoren Ψ im Teilraum aller reellen Linearkombinationen von Φ und Φ′ zu betrachten.

8.3.11 und

\underline{\underline{∥Â∥}} =_{Def. 8.3.3} 0 sup_{Ψ∈H_{∥Ψ∥=1}} ∥Â Ψ∥

=_{(F.31)} sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} |⟨Φ | Â Ψ⟩|

=  sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} |⟨Ψ | Â^{†} Φ⟩|
=_{(F.31)}  sup_{Ψ∈H_{∥Φ∥=1}} ∥Â^{†} Φ∥
=_{Def. 8.3.3} \underline{\underline{∥Â^{†}∥}} .

Zu Aufgabe E67c): Da sich jede komplexe Zahl durch Multiplikation mit einem geeigneten Phasenfaktor in eine reelle Zahl überführen läßt, gilt

sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} |⟨Φ | Ĉ Ψ⟩| = sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} |ℜ ⟨Φ | Ĉ Ψ⟩|

und damit für selbstadjungierte Ĉ ∈ B(H) :

∥Ĉ∥ =_{b)} sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} |ℜ ⟨Φ | Ĉ Ψ⟩|
= sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} \frac{1}{2} |⟨Φ | Ĉ Ψ⟩ + ⟨Ψ | Ĉ Φ⟩|
= sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} \frac{1}{4} |⟨(Φ + Ψ) | Ĉ (Φ + Ψ)⟩ − ⟨(Φ − Ψ) | Ĉ (Φ − Ψ)⟩|
= sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} \frac{1}{4}|∥Φ + Ψ∥^{2} ⟨\frac{Φ + Ψ}{∥Φ + Ψ∥} | Ĉ \frac{Φ + Ψ}{∥Φ + Ψ∥}⟩

− ∥Φ − Ψ∥^{2} ⟨\frac{Φ − Ψ}{∥Φ − Ψ∥} | Ĉ \frac{Φ − Ψ}{∥Φ − Ψ∥}⟩|

≤ sup_{χ∈H_{∥χ∥=1}} |⟨χ | Ĉ χ⟩| sup_{Φ,Ψ∈H_{∥Φ∥=∥Ψ∥=1}} \frac{1}{4}(\underbrace{∥Φ + Ψ∥^{2} + ∥Φ − Ψ∥^{2}}_{=2(∥Φ∥^{2}+∥Ψ∥^{2})})
= sup_{χ∈H_{∥χ∥=1}} |⟨χ | Ĉ χ⟩| .

214 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN und somit

∥Ĉ∥ = sup_{χ∈H_{∥χ∥=1}} |⟨χ | Ĉ χ⟩| .

Anwendung auf Ĉ = Â^{†}Â liefert

∥Â^{†}Â∥ = sup_{χ∈H_{∥χ∥=1}} |⟨χ | Â^{†}Â χ⟩|
= sup_{χ∈H_{∥χ∥=1}} ∥Â χ∥^{2}
= ( sup_{χ∈H_{∥χ∥=1}} ∥Â χ∥)^{2}
= ∥Â∥^{2} .

Setzt man hier Â^{†} anstelle von Â ein, so ergibt sich

∥(Â^{†})^{†}Â^{†}∥ = ∥Â^{†}∥^{2}

und daraus mit (Â^{†})^{†} =_{(8.22)} Â und ∥Â^{†}∥ =_{b)} ∥Â∥ auch

∥ÂÂ^{†}∥ = ∥Â∥^{2} .

Zu Aufgabe E68a): Sei \left\{{ \atop Â_{ν}}\right\}_{ν∈ℕ} ⊂ B(H) eine Cauchy-Folge, also

lim_{N→∞} sup_{ν,μ≥N} ∥Â_{ν} − Â_{μ}∥ = 0 .  (F.32)

Dann ist {Â_{ν}Ψ}_{ν∈ℕ} für jedes Ψ ∈ H wegen

\begin{aligned}∥Â_{ν}Ψ − Â_{μ}Ψ∥ & = & ∥(Â_{ν} − Â_{μ}) Ψ∥ \\ & ≤_{Def. 8.3.3} & ∥Â_{ν} − Â_{μ}∥ ∥Ψ∥ \end{aligned}

eine Cauchy-Folge in H und somit

ÂΨ =^{def} lim_{ν→∞} Â_{ν}Ψ ∀ Ψ ∈ H  (F.33)

erlaubte Definition eines linearen Operators Â auf H. Damit gilt

sup_{ν≥N} ∥(Â − Â_{ν}) Ψ∥ = sup_{ν≥N} ( lim_{μ→∞} ∥(Â_{μ} − Â_{ν}) Ψ∥)
≤ sup_{ν,μ≥N} ∥(Â_{μ} − Â_{ν}) Ψ∥
≤ ∥Ψ∥ sup_{ν,μ≥N} ∥(Â_{μ} − Â_{ν})∥ ∀ Ψ ∈ H , N ∈ ℕ .

Mit (F.32) folgt daraus

lim_{N→∞} sup_{ν≥N} ∥Â − Â_{μ}∥ = 0 ,

also Â ∈ B(H) und

lim_{ν→∞} ∥Â − Â_{ν}∥ = 0 .

Damit ist die Vollständigkeit von B(H) bzgl. der Operatornorm bewiesen.

Zu Aufgabe E68b): Seien \left\{{ \atop Â_{ν}}\right\}_{ν∈ℕ} eine Cauchy-Folge kompakter Operatoren in B(H) und {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} eine beschränkte Folge in H. Gemäß a) und Definition 8.3.15 ist dann nur zu zeigen, daß eine Teilfolge {Ψ′_{ν}}_{ν∈ℕ} von {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} existiert, für die {Â Ψ′_{ν}}_{ν∈ℕ} eine Cauchy-Folge in H ist, wenn man Â gemäß (F.33) definiert. Eine solche Folge läßt sich folgendermaßen iterativ auswählen:

O.B.d.A. können wir

∥Ψ_{ν}∥ < \frac{1}{\sqrt{2}} > ∥Â_{ν}∥ ∀ ν ∈ ℕ  (F.34)

voraussetzen. Dank der Schwarzschen Ungleichung und gemäß Definition 8.3.3 gilt dann

sup_{ν,μ,α∈ℕ} ∥Â_{α}Ψ_{ν} − Â_{α}Ψ_{μ}∥ < 1 .  (F.35)

Sei nun zu jedem n′ ∈ {1, …, n} bereits eine Teilfolge {Ψ_{ν}^{(n′)}}_{ν∈ℕ} von {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} und ein N_{n′} > n′ so ausgewählt, daß die Bedingungen

sup_{ν,μ,α≥N_{n′}} ∥Â_{α}Ψ_{ν}^{(n′)} − Â_{α}Ψ_{μ}^{(n′)}∥ < \frac{1}{n′} ∀ n′ ∈ \{1, …, n\}  (F.36)

und

n_{2} > n_{1} ⟹ {Ψ_{ν}^{(n_{2})}}_{ν∈ℕ} Teilfolge von {Ψ_{ν}^{(n_{1})}}_{ν∈ℕ} ∀ n_{1}, n_{2} ∈ {1, …, n} (F.37)

216 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN erfüllt sind.^{19} Dann wählen wir ein N′_{n+1} ∈ ℕ mit

∥Â_{α} − Â_{N′_{n+1}} ∥ < \frac{1}{2 (n + 1) \sqrt{2}} ∀ α > N′_{n+1} .  (F.38)

Dank der Kompaktheit von Â_{N′_{n+1}} existieren dazu eine Teilfolge {Ψ_{ν}^{(n+1)}}_{ν∈ℕ} von {Ψ_{ν}^{(n)}}_{ν∈ℕ} und ein N_{n+1} > N′_{n+1} mit

sup_{ν,μ≥N_{n+1}} ∥Â_{N′_{n+1}}Ψ_{ν}^{(n+1)} − Â_{N′_{n+1}}Ψ_{μ}^{(n+1)}∥ < \frac{1}{2 (n + 1)} .  (F.39)

Wegen ∥Â_{α}Ψ_{ν}^{(n+1)} − Â_{α}Ψ_{μ}^{(n+1)}∥

= ∥Â_{N′_{n+1}}Ψ_{ν}^{(n+1)} − Â_{N′_{n+1}}Ψ_{μ}^{(n+1)} + (Â_{α} − Â_{N′_{n+1}})(Ψ_{ν}^{(n+1)} − Ψ_{μ}^{(n+1)})∥

≤ Dreiecksungl. ∥Â_{N′_{n+1}}Ψ_{ν}^{(n+1)} − Â_{N′_{n+1}}Ψ_{μ}^{(n+1)}∥ + ∥(Â_{α} − Â_{N′_{n+1}})(Ψ_{ν}^{(n+1)} − Ψ_{μ}^{(n+1)})∥

≤_{Def. 8.3.3} ∥Â_{N′_{n+1}}Ψ_{ν}^{(n+1)} − Â_{N′_{n+1}}Ψ_{μ}^{(n+1)}∥ + ∥Â_{α} − Â_{N′_{n+1}} ∥ ∥Ψ_{ν}^{(n+1)} − Ψ_{μ}^{(n+1)}∥

≤ Dreiecksungl. ∥Â_{N′_{n+1}}Ψ_{ν}^{(n+1)} − Â_{N′_{n+1}}Ψ_{μ}^{(n+1)}∥ + ∥Â_{α} − Â_{N′_{n+1}} ∥ (∥Ψ_{ν}^{(n+1)}∥ + ∥Ψ_{μ}^{(n+1)}∥)

folgt daraus mit (F.34), (F.38) und (F.39)

sup_{ν,μ,α≥N_{n+1}} ∥Â_{α}Ψ_{ν}^{(n+1)} − Â_{α}Ψ_{μ}^{(n+1)}∥ < \frac{1}{n + 1}

und damit (F.36)/(F.37) für n + 1 anstelle von n. Wir können also zu jedem n′ ∈ ℕ ein N_{n′} ∈ ℕ und eine Teilfolge {Ψ_{ν}^{(n′)}}_{ν∈ℕ} von {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} so auswählen, daß (F.36)/(F.37) für n = ∞ gilt. Aus (F.37) folgt dann, daß zu jedem n′ ∈ ℕ und zu jedem ν > n′ ein ν_{n′} ∈ ℕ existiert mit

Ψ′_{ν} =^{def} Ψ_{ν}^{(ν)} = Ψ_{ν_{n′}}^{(n′)} , ν_{n′} > ν.

Mit (F.36) folgt daraus

lim_{N→∞} sup_{ν,μ,α≥N} ∥Â_{α}Ψ′_{ν} − Â_{α}Ψ′_{μ}∥ = 0

Version vom 26. März 2009

19Gemäß (F.35) sind (F.36) und (F.37) für n = 1 mit N_{1} =^{def} 1 und Ψ_{ν}^{(1)} =^{def} Ψ_{ν} trivial erfüllt.

und daraus schließlich, wie gewünscht,

lim_{N→∞} sup_{ν,μ≥N} ∥ÂΨ′_{ν} − ÂΨ′_{μ}∥ =_{(F.33)} lim_{N→∞} sup_{ν,μ≥N} ( lim_{α→∞} ∥Â_{α}Ψ′_{ν} − Â_{α}Ψ′_{μ}∥)
≤ lim_{N→∞} sup_{ν,μ,α≥N} ∥Â_{α}Ψ′_{ν} − Â_{α}Ψ′_{μ}∥
= 0 .

Zu Aufgabe E68c): Sei Ψ ∈ H \ {0}. Mit

P̂_{1} =^{def} P̂_{Ψ} , P̂_{2} =^{def} ˆ1 − P̂_{Ψ}

sind dann

P̂_{1} + P̂_{2} = ˆ1

und auch

P̂_{1} − P̂_{2} = 2 P̂_{Ψ} − ˆ1

unitär. Es gilt also

∥P̂_{1} + P̂_{2}∥ = ∥P̂_{1} − P̂_{2}∥ = ∥P̂_{1}∥ = 1 .

Im Falle dim(H) > 1 gilt auch

∥P̂_{2}∥ = 1

und somit

∥P̂_{1} + P̂_{2}∥^{2} + ∥P̂_{1} − P̂_{2}∥^{2} ≠ 2 (∥P̂_{1}∥^{2} + ∥P̂_{2}∥^{2}) .

Die Operatornorm genügt im Falle dim(H) > 1 also nicht der Parallelogrammgleichung und ist deshalb nicht Euklidisch.

Zu Aufgabe E69: Mit

Ê_{λ}^{λ_{0}ˆ1} Ψ =^{def} \{ \begin{matrix}0 & für λ < λ_{0} \\ Ψ & für λ ≥ λ_{0} \end{matrix} ∀ Ψ ∈ H , λ ∈ ℝ

sind die Bedingungen 1–4 des Spektralsatzes (Satz 8.3.24) offensichtlich erfüllt und gemäß Fußnote 35 von Kapitel 8 gilt

∫ |λ|^{2} d⟨Ψ | Ê_{λ}^{λ_{0}ˆ1} Ψ⟩ = ∥λ_{0} Ψ∥^{2} ∀ Ψ ∈ H

sowie

∫ λ d⟨Ψ′ | Ê_{λ}^{λ_{0}ˆ1} Ψ⟩ = ⟨Ψ′ | λ_{0} Ψ⟩ ∀ Ψ, Ψ′ ∈ H .

\left\{{ \atop Ê_{λ}^{λ_{0}ˆ1}}\right\}_{λ∈ℝ} ist also die gemäß Spektralsatz eindeutige Spektralschar von λ_{0} ˆ1 .

218 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN

Anmerkung: Die Behauptung folgt auch aus Folgerung 8.3.25 für den Spezialfall a_{ν} = 1 ∀ν ∈ ℕ .

Zu Aufgabe E70a): Da Projektionsoperatoren die Norm von Vektoren höchstens verkleinern können, gilt

∥P̂_{1}P̂_{2} Ψ′∥ ≤ ∥P̂_{2} Ψ′∥ ≤ ∥Ψ′∥ ∀ Ψ′ ∈ H

und somit

ν ≥ μ ⟹ ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ∥ ≤ ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{μ} Ψ∥ ∀ ν, μ ∈ ℕ .

Daraus folgt

lim_{ν→∞} ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ∥ = inf_{ν∈ℕ} ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ∥ .

Zu Aufgabe E70b): Die Behauptung folgt mit P̂_{1}P̂_{1} = P̂_{1} gemäß

⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{μ+1} Ψ⟩ = ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ | P̂_{1} P̂_{2} P̂_{1} (P̂_{1} P̂_{2})^{μ} Ψ⟩
= ⟨P̂_{1} P̂_{2} P̂_{1} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{μ} Ψ⟩
= ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν+1} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{μ} Ψ⟩ ∀ ν, μ ∈ ℕ .

Zu Aufgabe E70c): Die Behauptung folgt gemäß

∥(P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ − (P̂_{1} P̂_{2})^{2μ} Ψ∥^{2}
= ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ∥^{2} − 2 ℜ ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{2μ} Ψ⟩ + ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{2μ} Ψ∥^{2}
=_{b)} ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ∥^{2} − 2 ℜ ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν+μ} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{ν+μ} Ψ⟩ + ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{2μ} Ψ∥^{2}
= ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ∥^{2} − 2 ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{ν+μ} Ψ∥^{2} + ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{2μ} Ψ∥^{2}
→_{ν,μ→∞} 0 .

Zu Aufgabe E70d): Gemäß c) existiert

Ψ_{+} =^{def} s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ

und — weil Ψ beliebig ist — auch

Ψ_{−} =^{def} s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{2ν+1} Ψ
= s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} (P̂_{1} P̂_{2} Ψ)
= P̂_{1} P̂_{2} Ψ_{+} .

Gemäß a) gilt dabei gilt offensichtlich

∥Ψ_{+}∥ = ∥Ψ_{−}∥ = ∥P̂_{1} P̂_{2} Ψ_{+}∥ ≥ ∥P̂_{2} Ψ_{+}∥ ≥ ∥Ψ_{+}∥ ,

also

∥Ψ_{+}∥ = ∥P̂_{2} Ψ_{+}∥ = ∥P̂_{1} P̂_{2} Ψ_{+}∥ .

Da für Projektoren P̂ und Vektoren Ψ′ in H grundsätzlich

∥P̂ Ψ′∥ = ∥Ψ′∥ ⟹ P̂ Ψ′ = Ψ′

gilt, folgt daraus

Ψ_{+} = Ψ_{−}

und damit die Behauptung. Zu Aufgabe E70e): Die Behauptung folgt mit

∥(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ − P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ∥^{2}
= ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ∥^{2} − 2 ℜ ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ | P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ⟩
+ ⟨P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{μ} Ψ | P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ⟩
= ∥(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ∥^{2} − 2 ℜ ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{ν+1} Ψ⟩
+ ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ | (P̂_{1} P̂_{2})^{ν+1} Ψ⟩

aus d). Zu Aufgabe E70f): Aus e) folgt

s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ ∈ (P̂_{1} ∧ P̂_{2}) H

und offensichtlich gilt

Ψ ∈ (P̂_{1} ∧ P̂_{2}) H ⟹ s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ = Ψ .

Da Ψ beliebig ist, folgt daraus

P̂ H = (P̂_{1} ∧ P̂_{2}) H

Für den durch

P̂ Ψ′ =^{def} s- lim_{ν→∞} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ′ ∀ Ψ′ ∈ H

gegebenen Operator auf H. Entsprechend der Anmerkung zu Folgerung 8.3.14 müssen wir also nur noch zeigen, daß P̂ ein Projektor ist:

Die Selbstadjungiertheit von P̂ folgt gemäß^{20}

⟨Ψ_{1} | P̂ Ψ_{2}⟩ = lim_{ν→∞} ⟨Ψ_{1} | (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ_{2}⟩
=_{e)} lim_{ν→∞} ⟨Ψ_{1} | P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ_{2}⟩
= lim_{ν→∞} ⟨P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩
=_{e)} lim_{ν→∞} ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩
= ⟨P̂ Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H .

Die Idempotenz (P̂^{2} = P̂) von P̂ folgt gemäß

⟨Ψ_{1} | P̂ P̂ Ψ_{2}⟩ = ⟨P̂ Ψ_{1} | P̂ Ψ_{2}⟩
= lim_{ν→∞} ⟨(P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ_{1} | (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ_{2}⟩
=_{e)} lim_{ν→∞} ⟨P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ_{1} | (P̂_{1} P̂_{2})^{ν} Ψ_{2}⟩
= lim_{ν→∞} ⟨Ψ_{1} | P̂_{2} (P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ_{2}⟩
=_{e)} lim_{ν→∞} ⟨Ψ_{1} | (P̂_{1} P̂_{2})^{2ν} Ψ_{2}⟩
= ⟨Ψ_{1} | P̂ Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ H .

Entsprechend Definition 8.3.13 ist P̂ also tatsächlich ein Projektor.

Anmerkung: Das Ergebnis zeigt, daß sich im Prinzip mit Filtern für P̂_{1} und P̂_{2} auch ein Filter für P̂_{1} ∧ P̂_{2} beliebig genau realisieren läßt.

Version vom 26. März 2009

20Man beachte immer wieder daß in den bisherigen Überlegungen Ψ beliebig war.

Zu Aufgabe E71: Die Behauptung folgt aus

∥(Â − a)Ψ∥^{2} ∥(B̂ − b)Ψ∥^{2}
≥_{Schwarz} |⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩|^{2}
= (ℜ ⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩)^{2} + (ℑ ⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩)^{2}

mit ℜ ⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩

\begin{matrix}= & \frac{1}{2}(⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩ + ⟨(B̂ − b)Ψ | (Â − a)Ψ⟩) \\ = & \frac{1}{2} ⟨Ψ | [Â − a, B̂ − b]_{+} Ψ⟩ \end{matrix}

und ℑ ⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩

\begin{matrix}= & \frac{1}{2 i}(⟨(Â − a)Ψ | (B̂ − b)Ψ⟩ − ⟨(B̂ − b)Ψ | (Â − a)Ψ⟩) \\ = & \frac{1}{2 i}⟨Ψ | \underbrace{[Â − a, B̂ − b]_{−}}_{=[Â,B̂]_{−}} Ψ⟩ . \end{matrix}

Zu Aufgabe E72: Aus Regel (F13) zur Fourier-Transformation folgt

∥F̂Ψ∥^{2} = ∫ |( ˇF̂Ψ)(x′)|^{2} dV_{x′}
=_{(F13)} ∫ |Ψ(x)|^{2} dV_{x}
= ∥Ψ∥^{2} ∀ Ψ ∈ DF̂  (F.40)

und damit die Beschränktheit von F̂. Gemäß Folgerung 8.3.27 existiert also genau eine Erweiterung \overline{F̂} ∈ L^{2}(ℝ^{3}) von F̂. Zu jedem Ψ ∈ L^{2}(ℝ^{3}) existiert eine Folge {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} ⊂ DF̂ mit lim_{ν→∞} Ψ_{ν} = Ψ und dafür gilt

\begin{aligned}∥\overline{F̂}Ψ∥ & = & lim_{ν→∞} ∥\overline{F̂}Ψ_{ν}∥ \\ & =_{(F.40)} & ∥Ψ∥ . \end{aligned}

\overline{F̂} ist also isometrisch. Aus

Ψ(x) =_{(F.2)}(F̂(\underbrace{F̂Ψ}_{∈DF̂}))(−x) ∀ x ∈ ℝ^{3} , Ψ ∈ DF̂ dicht in L^{2}(ℝ^{3})

222 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN folgt außerdem, daß der Wertebereich von \overline{F̂} in L^{2}(ℝ^{2}) dicht liegt und somit aufgrund der Isometrie von \overline{F̂} mit ganz L^{2}(ℝ^{2}) übereinstimmt.^{21} \overline{F̂} ist also sogar unitär. Zu Aufgabe E73: Sei Ψ_{±} ∈ D_{}_{p̂_{+}^{†}} und gelte p̂_{+}^{†}Ψ_{±} = ±i Ψ_{±}. Dann gilt gemäß Definition 8.3.7

⟨Ψ_{±} | p̂_{+} φ⟩ = ∓i ⟨Ψ_{±} | φ⟩ ,

d.h. es gilt

−\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dx} Ψ_{±}(x) = ∓i Ψ_{±}(x)

im distributionstheoretischen und somit nach Lemma 9.1.15 auch im gewöhnlichen Sinne. Die klassischen Lösungen sind

Ψ_{±}(x) ∝ e^{∓ \frac{x}{ℏ}} .

Mit

e^{− \frac{x}{ℏ}} ∈ Dp̂_{+} , e^{+ \frac{x}{ℏ}} ∉ L^{2}((0, ∞))

folgt daraus

n_{+}(p̂_{+}) = 1 , n_{−}(p̂_{+}) = 0 .

Gemäß Theorem 8.3.28 besitzt p̂_{+} also keine selbstadjungierte Erweiterung! Zu Aufgabe E74a): Die Behauptung folgt gemäß

⟨Ψ̌_{sep} | (Â ⊗ Â′) Ψ̌_{sep}⟩

=  ⟨Ψ_{1} ⊗ Ψ′_{1} | (Â ⊗ Â′)(Ψ_{1} ⊗ Ψ′_{1})⟩
=_{Def. (8.4.11)} ⟨Ψ_{1} ⊗ Ψ′_{1} | (Â Ψ_{1}) ⊗ (Â′ Ψ′_{1})⟩
=_{(8.38)} ⟨Ψ_{1} | Â Ψ_{1}⟩⟨Ψ′_{1} | Â′ Ψ′_{1}⟩
=  (⟨Ψ_{1} | Â Ψ_{1}⟩⟨Ψ′_{1} | Ψ′_{1}⟩)(⟨Ψ_{1} | Ψ_{1}⟩⟨Ψ′_{1} | Â′ Ψ′_{1}⟩)
=_{(8.38)} ⟨Ψ_{1} ⊗ Ψ′_{1} | (Â Ψ_{1}) ⊗ Ψ′_{1}⟩⟨Ψ_{1} ⊗ Ψ′_{1} | Ψ_{1} ⊗ (Â′ Ψ′_{1})⟩
=_{Def. (8.4.11)} ⟨Ψ̌_{sep} | (Â ⊗ ˆ1) Ψ̌_{sep}⟩⟨Ψ̌_{sep} | (ˆ1 ⊗ Â′) Ψ̌_{sep}⟩ .

Zu Aufgabe E74b): Die Behauptung folgt z.B. für

Â = P̂_{Ψ_{1}} , Â′ = P̂_{Ψ′_{1}}

Version vom 26. März 2009

21Da isometrische Operatoren Orthonormalsysteme wieder auf Orthonormalsysteme abbilden, sieht man leicht, daß der Wertebereich eines isometrischen Operators stets vollständig ist.

aus

(P̂_{Ψ_{1}} ⊗ P̂_{Ψ′_{1}}) Ψ̌_{Bell} = 0

und

⟨Ψ̌_{Bell} | \underbrace{(P̂_{Ψ_{1}} ⊗ ˆ1) Ψ̌_{Bell}}_{= \frac{1}{\sqrt{2}} Ψ_{1} ⊗ Ψ′_{2}}⟩ = \frac{1}{2} = −⟨Ψ̌_{Bell} | \underbrace{(ˆ1 ⊗ P̂_{Ψ′_{1}}) Ψ̌_{Bell}}_{= −\frac{1}{\sqrt{2}} Ψ_{2} ⊗ Ψ′_{1}}⟩.

Zu Aufgabe E75: Sei

⟨Ψ̌ | Â ⊗ ˆ1 Ψ̌⟩ = ⟨Ψ | Â Ψ⟩ ∀ Â ∈ B(H)  (F.41)

als gültig vorausgesetzt. Wir wählen ein ONS {Ψ_{1}, …, Ψ_{n}} von H mit Ψ_{1} = Ψ und ein ONS {Ψ′_{1}, …, Ψ′_{n′}} von H′ wählen und schreiben damit Ψ̌ in der Form

Ψ̌ = ∑_{ν=1}^{n} ∑_{ν′=1}^{n′} c_{νν′} Ψ_{ν} ⊗ Ψ′_{ν′} .  (F.42)

Damit ergibt sich

⟨Ψ̌ | Â ⊗ ˆ1 Ψ̌⟩ = ∑_{ν,μ=1}^{n} ∑_{ν′,μ′=1}^{n′} c_{ν,ν′}^{∗} c_{μμ′} ⟨Ψ_{ν} ⊗ Ψ′_{ν′} | (Â ⊗ ˆ1)(Ψ_{μ} ⊗ Ψ′_{μ′})⟩
= ∑_{ν,μ=1}^{n} ∑_{ν′,μ′=1}^{n′} δ_{ν′μ′} c_{ν,ν′}^{∗} c_{μμ′} ⟨Ψ_{ν} | Â Ψ_{μ}⟩

und somit aus (F.41)

⟨Ψ | Â Ψ⟩ = ∑_{ν,μ=1}^{n} ∑_{ν′=1}^{n′} c_{ν,ν′}^{∗} c_{μν′} ⟨Ψ_{ν} | Â Ψ_{μ}⟩ ∀ Â ∈ B(H)

für geeignete d_{νμ} ∈ ℂ. Einsetzen von

Â = |Ψ_{α}⟩⟨Ψ_{α}|

liefert

δ_{α1} = ∑_{ν′=1}^{n′} c_{α,ν′}^{∗} c_{αν′} ∀α ∈ {1, …, n}

und somit

∑_{ν′=1}^{n′} |c_{1ν′}|^{2} = 1

sowie

c_{αν′} = 0 ∀α ∈ {2, …, n} , ν′ ∈ {1, …, n′} .

Mit (F.42) folgt daraus

Ψ̌ = Ψ ⊗ Ψ′ , ∥Ψ′∥ = 1 ,  (F.43)

für

Ψ′ = ∑_{ν′=1}^{n′} c_{1ν′} Ψ′_{ν′} .

Umgekehrt folgt aus (F.43) natürlich unmittelbar (F.41).

Anmerkung: Tatsächlich wurde in der Herleitung von (F.43) die Voraussetzung (F.41) nur für Projektoren Â benutzt. benutzt.

Das Ergebnis zeigt:

Selbst wenn der Gesamtzustand eines zusammengesetzten Systems rein^{22} ist, sind die partiellen Zustände der Teilsysteme i.a. gemischt.

Es ist also keineswegs so, daß gemischte Zustände nur aufgrund mangelnder Information des Experimentators auftreten!

Zu Aufgabe E76a: Die Hermitezität von Q̂ ist offensichtlich. Die Hermitezität von P̂ folgt gemäß

⟨Ψ_{1} | P̂ Ψ_{2}⟩ = ∫_{0}^{2π}(Ψ_{1}(φ))^{∗} \frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} Ψ_{2}(φ) dφ
=_{part. Int.} ∫_{0}^{2π} (\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} Ψ_{1}(φ))^{∗} Ψ_{2}(φ) dφ + \underbrace{(Ψ_{1}(φ))^{∗} \frac{ℏ}{i} Ψ_{2}(φ)|_{φ=0}^{φ=2π}}_{=_{Period.} 0}

= ⟨P̂ Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ ∀ Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ DP̂ .

Zu Aufgabe E76b): Für Ψ ∈ D_{P̂Q̂} ∩ D_{Q̂P̂} gilt offensichtlich

(\underline{\underline{[P̂, Q̂]_{−}}}Ψ)(φ) = \underbrace{\frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ}(φ Ψ(φ))}_{= \frac{ℏ}{i} Ψ(φ)+φ \frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} Ψ(φ)} −φ \frac{ℏ}{i} \frac{d}{dφ} Ψ(φ)

= \underline{\underline{\frac{ℏ}{i}}} Ψ(φ)

und damit die Behauptung.

Version vom 26. März 2009

22Bzgl. reiner und gemischter Zustände siehe Anmerkung 3 zu Folgerung 7.4.5.

Zu Aufgabe E76c): Mit

Y_{0}(φ) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{+i φ} ∀ φ ∈ (0, 2π)

gilt offensichtlich

Y_{0} ∈ DP̂ , ∥Y_{0}∥ = 1

und

P̂ Y_{0} = ℏ Y_{0} .

Daraus folgt

(P̂ − \underbrace{⟨Y_{0} | P̂ Y_{0}⟩}_{=ℏ})Y_{0} = 0

und somit auch

min_{Ψ∈C^{1}(S^{1})_{∥Ψ∥=1}} ∥(P̂ − ⟨Ψ | P̂ Ψ⟩)Ψ∥ = 0 .

Die Ungleichung^{23}

sup_{Ψ∈C^{1}(S^{1})_{∥Ψ∥=1}} ∥(Q̂ − ⟨Ψ | Q̂ Ψ⟩)Ψ∥ ≤ 2π .

folgt aus

\begin{aligned}⟨Ψ | Q̂ Ψ⟩ & = & ∫_{0}^{2π} φ |Ψ(φ)|^{2} dφ \\ & ∈ & [0, 2π ∥Ψ∥^{2}] \end{aligned}

gemäß

∥(Q̂ − ⟨Ψ | Q̂ Ψ⟩)Ψ∥^{2} = ⟨Ψ | (Q̂ − ⟨Ψ | Q̂ Ψ⟩)^{2}Ψ⟩
= ∫_{0}^{2π}(\underbrace{φ − ⟨Ψ | Q̂ Ψ⟩}_{∈[0,2π]})^{2} |Ψ(φ)|^{2} dφ
≤ (2π)^{2} für alle normierten Ψ ∈ C^{1}(S^{1}) .

Anmerkung: Die Heisenbergsche Unschärferelation

∥(P̂ − ⟨Ψ | P̂ Ψ⟩)Ψ∥ ∥(Q̂ − ⟨Ψ | Q̂ Ψ⟩)Ψ∥ ≥ \frac{ℏ}{2}

kann hier also nicht für alle normierten Ψ ∈ DQ̂ ∩ DP̂ erfüllt sein.

Version vom 26. März 2009

23Tatsächlich gilt sogar Gleichheit.

226 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN Zu Aufgabe E77a): Angenommen, es gelte

[Â, B̂]_{−} = \frac{ℏ}{i} ˆ1 .  (F.44)

Dann folgt daraus

\begin{aligned}[Â, B̂^{ν}]_{−} & = & \frac{ℏ}{i} ν B̂^{ν−1} \\ & = & \frac{ℏ}{i} (\frac{d}{dx} x^{ν})_{|_{x=B̂}} ∀ ν ∈ ℕ . \end{aligned}

Da Â und B̂ gemäß Lemma 8.3.4 beschränkt sind, gilt damit auch

\begin{aligned}[Â , e^{−i λ B̂}]_{−} & = & \frac{ℏ}{i} (\frac{d}{dx} e^{−i λ x})_{|_{x=B̂}} \\ & = & −ℏ λ e^{−i λ B̂} ∀ λ ∈ ℝ \end{aligned}

und somit^{24}

⟨e^{−i λ B̂} Ψ | Â e^{−i λ B̂} Ψ⟩
= ⟨e^{−i λ B̂} Ψ | [Â , e^{−i λ B̂}]_{−} Ψ⟩ + ⟨e^{−i λ B̂} Ψ | e^{−i λ B̂} Â Ψ⟩
= ⟨Ψ | (Â − ℏ λ) Ψ⟩ ∀ λ ∈ ℝ , Ψ ∈ H  (F.45)

Da e^{−i λ B̂} für alle λ ∈ ℝ unitär ist, steht das im Widerspruch zur Beschränktheit von Â. Also kann (F.44) nicht gelten. Zu Aufgabe E77b): Wir betrachten nur den nichttrivialen Fall

[|Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{1}| , |Ψ_{2}⟩⟨Ψ_{2}|]_{−} ≠ 0 ,

also

⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ ≠ 0 , Ψ_{1} ∝̸ Ψ_{2} .

Aus [|Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{1}| , |Ψ_{2}⟩⟨Ψ_{2}|]_{−} (Ψ_{1} + λ Ψ_{2}) = (λ ⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ + |⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩|^{2}) Ψ_{1} − (⟨Ψ_{2} | Ψ_{1}⟩ + λ |⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩|^{2}) Ψ_{2}

Version vom 26. März 2009

24Wenn B̂ unbeschränkt ist, folgt (F.45) u.U. für kein einziges Ψ ∈ H \ {0} aus der Gültigkeit von (F.44) auf D_{B̂Â} ∩ D_{ÂB̂} , wie Aufgabe E76b) zeigt; siehe auch (Galapon, 2002).

folgt dann

i[|Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{1}| , |Ψ_{2}⟩⟨Ψ_{2}|]_{−} (λ_{1} Ψ_{1} + λ_{2} Ψ_{2}) = E (λ_{1} Ψ_{1} + λ_{2} Ψ_{2})
⟺ \{ \begin{matrix}λ ⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩ + |⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩|^{2} = −i E , \\ ⟨Ψ_{2} | Ψ_{1}⟩ + λ |⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩|^{2} = i λ E \end{matrix}
⟺ \{ \begin{matrix}λ & = & ∓ i λ_{1} \frac{|⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩|}{⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩} − \frac{|⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩|^{2}}{⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩} , \\ E & = & ± |⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩| . \end{matrix}

Die Eigenvektoren des selbstadjungierten Operators i[|Ψ_{1}⟩⟨Ψ_{1}| , |Ψ_{2}⟩⟨Ψ_{2}|]_{−} sind also die Vielfachen von

Ψ_{1} − (± i λ_{1} \frac{|⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩|}{⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩} + \frac{|⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩|^{2}}{⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩} ) Ψ_{2}

und alle Vektoren (≠ 0), die orthogonal zu Ψ_{1} und zu Ψ_{2} sind. Die möglichen Eigenwerte sind dementsprechend

0 , + |⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩| und − |⟨Ψ_{1} | Ψ_{2}⟩| .

Zu Aufgabe E78: Aus der Baker-Hausdorff-Formel

e^{Â+B̂} = e^{− \frac{1}{2} [Â,B̂]_{−}} eÂ eB̂ .

folgt

\begin{aligned}eÂ eB̂ & = & e^{+ \frac{1}{2} [Â,B̂]_{−}} \underbrace{e^{Â+B̂}}_{=e^{+ \frac{1}{2} [Â,B̂]_{−}} eB̂ eÂ} \\ & = & e^{+[Â,B̂]_{−}} eB̂ eÂ \end{aligned}

Daraus ergeben sich durch formales Einsetzen von

Â = τ \frac{∂}{∂x^{j}} , B̂ = is x^{k}

und

\begin{aligned}[Â, B̂]_{−} & = & τ is [\frac{∂}{∂x^{j}} , x^{k}]_{−} \\ & = & i τs δ_{jk} \end{aligned}

direkt die Weylschen Vertauschungsrelationen

e^{τ \frac{∂}{∂x^{j}}} e^{is x^{k}} = e^{iτs δ_{jk}} e^{is x^{k}} e^{τ \frac{∂}{∂x^{j}}} .  (F.46)

Gemäß Theorem 8.3.33 (Satz von Stone) und (4.18) gilt

e^{τ \frac{∂}{∂x^{j}}} Φ(x) = Φ(x + τ e_{j})

für hinreichend gutartige Φ(x) und somit

\begin{aligned}\underline{\underline{e^{τ \frac{∂}{∂x^{j}}} e^{is x^{k}}}} Ψ(x) & = & e^{is(x^{k}+τ δ_{jk})} Ψ(x + τ e_{j}) \\ & = & \underline{\underline{e^{iτs δ_{jk}} e^{is x^{k}} e^{τ \frac{∂}{∂x^{j}}}}} Ψ(x) \end{aligned}

für hinreichend gutartige Ψ(x) — im Einklang mit (F.46).

Zu Aufgabe E79: Da Ľ beschränkt ist, ist die Definition

\overline{Ľ}( lim_{ν→∞} Ψ_{ν}) =^{def} lim_{ν→∞} Ľ(Ψ_{ν})

für alle Cauchy-Folgen {Ψ_{ν}}_{ν∈ℕ} in T erlaubt und liefert die eindeutige beschränkte lineare Fortsetzung \overline{Ľ} von Ľ auf die Hilber-Raum-Vervollständigung \overline{T} ⊂ H (vgl. Folgerung 8.3.27). Falls T in H dicht liegt, also \overline{T} mit H übereinstimmt, ist damit die Eindeutigkeit der beschränkten linearen Fortsetzung L von Ľ auf ganz H gezeigt. Andernfalls ist eine einfache Möglichkeit durch

L(Ψ) =^{def} \overline{Ľ}(P̂\overline{T} Ψ) ∀ Ψ ∈ H

gegeben.

Zu Aufgabe E80a): Daß ω als Grenzwert linearer Funktionale linear ist, ist klar. Aber T_{Φ} kann nicht mit B (H) übereinstimmen. Es läßt sich nämlich leicht eine Folge von Zahlen λ_{ν} ∈ \{1, 0\} so konstruieren, daß die Teilfolgen \frac{1}{N} ∑_{ν=1}^{N} λ_{ν} für N → ∞ nicht konvergieren. Dann gilt zwar

Â_{0} =^{def} ∑_{ν=1}^{∞} λ_{ν} |Φ_{ν}⟩⟨Φ_{ν}| ∈ B (H) ,

aber auch

\frac{1}{N} ∑_{ν=1}^{N} Spur (P̂_{Φ_{ν}} Â_{0}) = \frac{1}{N} ∑_{ν=1}^{N} λ_{ν} ∀ N ∈ ℕ ,

so daß ω(Â_{0}) nicht definiert ist.

Zu Aufgabe E80b): Die Behauptung folgt direkt aus

\frac{1}{N} ∑_{ν=1}^{N} \underbrace{Spur (P̂_{Φ_{ν}} ˆ1)}_{=1} = 1 ∀ N ∈ ℕ .

Zu Aufgabe E80c): Die Behauptung folgt direkt aus

Spur (P̂_{Φ_{ν}} Â^{†}Â) = ∥Â Φ_{ν}∥^{2} ∀ ν ∈ ℕ .

Zu Aufgabe E80d): Angenommen es gebe einen statistischen Operator T̂ mit

ω(Â) = Spur (T̂ Â) ∀ Â ∈ T_{Φ} .

Dann müßte insbesondere

ω (∑_{ν=1}^{N} |Φ_{ν}⟩⟨Φ_{ν}|) = Spur (T̂ ∑_{ν=1}^{N} |Φ_{ν}⟩⟨Φ_{ν}|)

= ∑_{ν=1}^{N} ⟨Φ_{ν} | T̂ Φ_{ν}⟩ ∀ N ∈ ℕ

gelten, was aber nicht sein kann, weil die linke Seite stets Null ist während die rechte Seite für N → ∞ gegen Spur(T̂) = 1 konvergiert.

Zu Aufgabe E81: Gemäß Definition 9.1.2 ist zu zeigen, daß die Behauptungen von Lemma 9.1.12 gelten, wenn man statt der Distribution F (x) jeweils eine gewöhnliche Funktion ψ(x) ∈ S(ℝ^{3}) einsetzt:

Die erste Behauptung folgt dann unmittelbar durch Variablensubstitution x ↦ x − x_{0} , die zweite durch Anwendung der klassischen Formel

det M̂ ≠ 0 ⟹ ∫ χ(x) dV_{x} = |det M̂| ∫ χ(M̂ x) dV_{x} ∀ χ ∈ S(ℝ) (F.47)

auf

χ(x) = ψ(x) φ(M̂^{−1}x) .

Beweisskizze zu (F.47): Zu jedem L > 0 sei eine einfache Parametrisierung (x_{L}(s, t, u), s_{1}(L), …, u_{2}(L)) des Würfels

G_{L} =^{def} {x = x^{1} e_{1} + x^{2} e_{2} + x^{3} e_{3} : |x^{j}| ≤ L ∀ j ∈ {1, 2, 3}}

gewählt. Dann ist (M̂x_{L}(s, t, u), s_{1}(L), …, u_{2}(L)) — von einer eventuell falschen Reihenfolge der Parameter s, t, u abgesehen — eine einfache Parametrisierung von M̂G und mit

(M̂a) · ((M̂b) × (M̂c)) =_{(2.34)} det((M̂a)(M̂b)(M̂c))
= det(M̂ (a b c))
=_{L 7.3.6} det(M̂) det(a b c)
=_{(2.34)} det(M̂) a · (b × c) ∀ a, b, c ∈ ℝ (F.48)

folgt für jedes L > 0

∫_{M̂G_{L}} χ(x) dV_{x}

= ∫_{u_{1}(L)}^{u_{2}(L)} ∫_{t_{1}(L)}^{t_{2}(L)} ∫_{s_{1}(L)}^{s_{2}(L)} χ(M̂x_{L}(s, t, u))|(\frac{∂}{∂s}M̂x_{l}(s, t, u)) ·

· ((\frac{∂}{∂t}M̂x_{l}(s, t, u)) × (\frac{∂}{∂u}M̂x_{l}(s, t, u)))|ds dt du

=_{(F.48)} |det(M̂)| ∫_{u_{1}(L)}^{u_{2}(L)} ∫_{t_{1}(L)}^{t_{2}(L)} ∫_{s_{1}(L)}^{s_{2}(L)} χ(M̂x_{L}(s, t, u))(\frac{∂}{∂s}x_{l}(s, t, u)) ·

· ((\frac{∂}{∂t}x_{l}(s, t, u)) × (\frac{∂}{∂u}x_{l}(s, t, u)))|ds dt du

= |det(M̂)| ∫_{G_{L}} χ(M̂x) dV_{x} .

Mit

lim_{L→∞} ∫_{M̂G_{L}} χ̌(x) dV_{x} = lim_{L→∞} ∫_{G_{L}} χ̌(x) dV_{x} ∀χ̌ ∈ S(ℝ^{3})

folgt daraus (F.47).

Der erste Teil der 3. Behauptung entspricht der Parsevalschen Gleichung, Regel (F12). Daraus folgt

(2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ ψ̃(−p) dV_{p}  =_{(F.2)} ψ(0)
= ∫ δ(x) ψ(x) dV_{x}
=_{Parseval} ∫ δ̃(p) ψ̃(−p) dV_{p} ∀ ψ ∈ S(ℝ^{3})

und somit der zweite Teil der dritten Behauptung, was übrigens die formale Schreibweise

δ̃(p) = (2πℏ)^{− \frac{3}{2}} ∫ δ(x) e^{− \frac{i}{ℏ} p·x} dV_{x}

rechtfertigt.

Die 4. Behauptung ist für gewöhnliche Funktionen F (x) = ψ(x) trivial.

Die 5. Behauptung folgt für ψ_{1}(x) ∈ S(ℝ^{3}) statt F (x) schließlich mit

∫ (∫ ψ_{2}(x′) ψ_{1}(x − x′) dx′) φ(x)dx
= ∫ ψ_{2}(x′) (∫ φ(x′) ψ_{1}(x − x′) dx′) dx ∀ ψ_{2} ∈ S(ℝ^{3})

aus den Definitionen 9.1.6 und 9.1.2, angewandt auf F = h.

Zu Aufgabe E82: Die Behauptung folgt gemäß

∫ (Δ \frac{1}{|x|}) φ(x) dV_{x} =_{Def. 9.1.2} ∫ \frac{Δ φ(x)}{|x|} dV_{x}

= (∫ \frac{Δ_{x} φ(x − x′)}{|x′|} dV_{x′})_{|_{x=0}}

= (Δ_{x} ∫ \frac{φ(x − x′)}{|x′|} dV_{x′})_{|_{x=0}}

= (Δ_{x} ∫ \frac{φ(x′)}{|x − x′|} dV_{x′})_{|_{x=0}}

=_{(4.63)} −4π φ(0) ∀ φ ∈ S(ℝ^{3}) .

Anmerkung: Rein formal folgt die Behauptung natürlich aus (4.63) durch den Grenzübergang φ(x′) → δ(x′) vor (anstatt nach) Anwendung des Laplace-Operators. Eine seriöse Rechtfertigung dieser Schlußweise ist aber keineswegs einfacher, als der angegebene direkte Beweis.

Zu Aufgabe E83: Die Behauptung folgt gemäß

χ ∈ S(ℝ) , χ(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x = 0 \\ 0 & für |x| ≥ R^{2} \end{matrix}

⟹ ∫ χ(x^{2} − R^{2}) ψ(x^{2} − R^{2}) φ(x) dx = ∫_{0}^{∞} χ(x^{2} − R^{2}) ψ(x^{2} − R^{2})(φ(x) + φ(−x))dx =_{ξ=x^{2}} ∫_{0}^{∞} ψ(ξ − R^{2}) \underbrace{χ(ξ − R^{2})}_{=0 ∀ ξ≤0} \frac{φ( ^{+} \sqrt{ξ}) + φ(− ^{+} \sqrt{ξ})}{2 ^{+} \sqrt{ξ}} dξ = ∫ \underbrace{ψ(ξ − R^{2})}_{statt δ(ξ−R^{2})} \underbrace{χ(ξ − R^{2}) \frac{φ( ^{+} \sqrt{ξ}) + φ(− ^{+} \sqrt{ξ})}{2 ^{+} \sqrt{ξ}}}_{∈S(ℝ)} dξ ∀ ψ ∈ S(ℝ) .

232 ANHANG F. LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU DEN ERGÄNZUNGEN

Ergänzendes Literaturverzeichnis

Adami, C. (2004). The physics of information. quant-ph/0405005, Seiten 1–28. 89

Bhatia, R. (1997). Matrix analysis. Springer-Verlag, New York.

Cooke, R., Keane, M., und Moran, W. (1985). An elementary proof of Gleason’s theorem. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 98:117–128. 84

Courant, R. und Hilbert, D. (1968). Methoden der Mathematischen Physik I. Springer-Verlag. 55, 56

Ebert, H. (1967). Physikalisches Taschenbuch. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig. 15

Eckert, K., Schliemann, J., Bruß, D., und Lewenstein, M. (2002). Quantum correlations in systems of indistinguishable particles. Annals of Physics, 299:88–127. quant-ph/0203060. 51

Fischer, H. und Kaul, H. (2001). Mathematik für Physiker, Band 1. B.G. Teubner, Stuttgart, 4. Auflage. Grundkurs. 3

Fischer, H. und Kaul, H. (2003). Mathematik für Physiker, Band 3. B.G. Teubner, Stuttgart. 3

Fischer, H. und Kaul, H. (2004). Mathematik für Physiker, Band 2. B.G. Teubner, Stuttgart, 2. Auflage. Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 3, 67, 113

Fuchs, C. A. (2002). Quantum mechanics as quantum information (and only a little more). quant-ph/0205039, Seiten 1–59. 84

Galapon, E. A. (2002). Pauli’s theorem and quantum canonical pairs: the consistency of a bounded, self-adjoint time operator canonically conjugate to a Hamiltonian with non-empty point spectrum. Proc. Roy. Soc. London A, 458:451–472. 226

Gelfand, I. und Schilow, G. (1962). Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen), Band II. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin. 106 Gjurchinovski, A. (2002). Polarization measurements - a numerical approach. Phy-

sica Macedonica, 52:69–76. physics/0401105. 15

Gleason, A. M. (1957). Measures on the closed subspaces of a hilbert space. J. Math. Mech., 6:885–893. 84

Grosche, G., Ziegler, V., Ziegler, D., und Zeidler, E., Herausgeber (2003). Teubner-Taschenbuch der Mathematik Teil II. B. G. Teubner, Stuttgart · Leipzig · Wiesbaden, 8. Auflage. 3

Jahnke, E., Emde, F., und Lösch, F. (1960). Tafeln höherer Funktionen. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart. 67, 68, 70

Kemble, E. C. (1937). The Fundamental Principles of Quantum Mechanics with Elementary Applications. Dover Publications, Inc., New York. 113

Lücke, W. (edyn). Elektrodynamik .

http://www.wolfgang-luecke.de/skripten/edyn.pdf. 67, 111, 187

Lücke, W. (fuan). Mathematische Methoden der Physik: Funktionalanalytische Methoden.

http://www.wolfgang-luecke.de/skripten/fuan.pdf. 58, 82, 85

Lücke, W. (nlqo). Introduction to photonics.

http://www.wolfgang-luecke.de/skripten/nlqo.pdf. 174

Lücke, W. (qip). Introduction to quantum information processing.

http://www.wolfgang-luecke.de/skripten/qip.pdf. 23, 125, 212

Lücke, W. (tdst). Thermodynamik und Statistik .

http://www.wolfgang-luecke.de/skripten/tdst.pdf. 88

Nielsen, M. A. (2000). Quantum information theory. quant-ph/0011036. PhD Dissertation, The University of New Mexico (1998). 53

Rédei, L. (1959). ALGEBRA. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig. Erster Teil. 57

Reed, M. und Simon, B. (1972). Methods in Modern Mathematical Physics, Band I: Functional Analysis. Academic Press. 91

Reed, M. und Simon, B. (1975). Methods in Modern Mathematical Physics, Band II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press. 87

Shannon, C. E. (1949). The mathematical theory of communication. University of Illinois Press. 89 Simon, B. (1971). Quantum mechanics for Hamiltonians defined as quadratic forms.

Princeton series in physics. Princeton University Press.

Tilma, T. und Sudarshan, E. (2002). Generalized Euler angle paramterization for SU(n). J. Phys. A: Math. Gen., 35:10467–10501. math-ph/0205016. 124

Zeidler, E., Herausgeber (2003). Teubner-Taschenbuch der Mathematik. B. G. Teubner, Stuttgart · Leipzig · Wiesbaden, 2. Auflage. 3 236 Ergänzendes Literaturverzeichnis

Ergänzender Index

Abbildung antiunitäre, 47 beschränkte, 74 differenzierbare

schwach, 61

stark, 61 en, Komposition von, 30 injektive, 28 konjugiert lineare, 48 lineare, 40, 92 multilineare

beschränkte, 96 rückeindeutige, 28 stark stetige, 14 stetige, 74 unitäre, 49

Anfangsbedingung, 99, 100 antilinear, 12 antiunitär, 47, 49

Baker-Hausdorff-Formel, 125, 146 Basis, 10, 56

Hilbert

-Raum-, 62 Hilbert

-Raum-, 62 Orthonormal-, 12 reziproke, 121

beschränkt

Abbildung, 74

multilineare, 96 Bilinearform, 95 Folge, 61, 78 Funktional, 74, 75, 92, 93, 95 Menge, 61, 72 Operator, 72, 73, 78, 87

polynomial, 100, 106 Besselsche Ungleichung, 57 Bilinearform, 49, 50, 52

antisymmetrische, 49, 51 beschränkte, 95, 96 Komponenten, 50, 51 Schmidt-Zerlegung, 53 symmetrische, 49, 51 Bloch-Darstellung, 20 Boltzmann-Konstante, 88 Bornsche Näherung, 113 bra-ket-Schreibweise, 44

C^{∗}-Identität, 142

Cauchy

-Folge, 62, 65 Coulomb-Potential, 110 Cramersche Regel, 121

Defektindizes, 87, 144 Definitionsbereich, 71

dichter, 73, 74, 84, 87 δ-Funktion, 102, 106, 110 δ-Folge, 102, 107 Determinante, 28, 30, 31, 39, 123 Diagonalisierbarkeit von Operatoren gemeinsame, 41 dicht, 55, 58, 67, 69, 71, 73, 74 Differentialgleichung

fundamentales Lösungssystem, 108 partielle, 109, 111 Differentialgleichungen

für Distributionen, 108, 109 Differentialoperator, 109 Dimension, 10 Distribution

Differentialgleichung für eine, 108 Differentiation einer, 100 Operationen mit einer, 101 partielle Ableitungen, 102

Vertauschbarkeit, 102 reguläre, 100–103 Schreibweise, 100 temperierte, 99, 106, 110, 111, 147 Träger einer, 103

Dreiecksungleichung, 13 Dualraum, 49 dyadisches Produkt, 52

Eigen -Funktion, 138, 140 -Raum, 41, 80 -Vektor, 36, 39, 51, 79, 80, 120, 122 -Wert, 36–38, 40, 41, 79–81, 122

Eigenschaften

komplementäre, 19 Entropie, 89

von Neumann-, 89 Entwicklung

Multipol-, 133 Taylor-, 146 Taylor-, 68, 101, 133

Erwartungswert, 43, 85 Eulersche Winkel, 124

Faltung, 103 Folge

beschränkte, 78 Cauchy-, 62, 65 δ-, 102, 107

Form

Bilinear-, 49, 50, 52, 53

beschränkte, 95 Semibilinear-, 50, 95

Hermitesche, 50, 95 Fourier

-Reihen, 56 -Transformation, 106, 144

freie Energie, 89 Funktion

δ-, 102, 106 Eigen-, 138, 140 en, Kugel-1. Art, 187

Greensche, 110, 111 retardierte, 111 Heaviside-, 103 polynomial beschränkte, 100, 106 quadratintegrable, 146 temperierte, 100 verallgemeinerte, 102

Funktional

beschränktes, 74, 75, 92, 93, 95,

146 Hermitesches, 93 lineares, 44, 52, 74, 147 beschränktes, 146 normiertes, 46 positives, 45 normiertes, 93 positives, 93 stetiges, 99

Funktionen -Raum, 66 Komposition von, 89 von Operatoren, 87, 89

Generator einer 1-parametrigen Grup-

pe, 42, 43, 91 Greensche Funktion, 110, 111

retardierte, 111 Gruppe

1-parametrige

unitärer Operatoren, 42, 43, 90,

91 Matrix-, 123

GL(2, ℂ), 123, 125 SL(2, ℂ), 123 SU(2), 123, 125 U(2), 123

Hülle lineare, 9, 58, 59, 64, 66–69, 97 Hamilton

-Operator, 43, 88, 100, 109, 137,

140 Heaviside

-Funktion, 103 Heisenberg

-Bild, 90 Hermitesch

Funktional, 93 Operator, 71, 78, 80, 81, 137, 138,

143, 145 Polynome, 68, 140 Semibilinearform, 50, 95

Hilbert

-Raum, 62, 64, 71–73, 75, 76, 78,

146 -Vervollständigung, 66 separabler, 65, 137

im wesentlichen selbstadjungiert, 86 injektive Abbildung, 28 inneres Produkt, 11, 52 Intensität

elektromagnetischer Wellen, 17 invers

Operator, 24 isometrisch, 32, 76

Jones -Matrix, 19–21, 39, 118 -Vektor, 17–19, 36, 43, 47, 116, 122

kanonische Gesamtheit, 88 Zustandssumme, 89

kommensurabel, 87 komplementär, 19, 22 komplexe

Konjugation

einer Distribution, 103 Komponenten

Vektor-, 11 Komposition

von Abbildungen, 30

von Funktionen, 89 Konjugation, 47–50, 91, 93, 95

komplexe

einer Distribution, 103 konjugiert linear, 48, 50 Konvergenz

schwache, 60, 73 starke, 14, 60, 61

Kugel

-Funktionen 1. Art, 187

Laguerre

Polynome, 70 Laplace-Gleichung

inhomogene, 110 Legendre

-Polynome, 66 linear

Abbildung, 40, 92 abhängig, 10 anti-, 12 Differentialgleichung

für Distributionen, 108 Funktional, 44, 52, 74, 147

beschränktes, 146

normiertes, 46

positives, 45 Hülle, 9, 58, 59, 64, 66–69, 97 konjugiert, 48, 50 Operator, 24, 71, 122, 123, 125 polarisiert, 15, 17, 117, 118 unabhängig, 10

Matrix -Elemente, 50 -Gruppe, 123 eines Operators, 25–27, 31, 51 Hadamard-, 122 Jones-, 19–21, 39, 118 Komponenten, 51 Pauli-, 19, 39 transponierte, 29 unitäre, 126 Multipolentwicklung, 133

Norm, 13 Euklidische, 53, 96 nicht Euklidische, 142 Operator-, 142

vollständig bzgl. der, 142 normal

Zustand, 93

Observable, 85, 86, 90

kommensurable, 87 Operator

-Funktionenkalkül, 87, 89 -Norm, 142 -Produkt, 71 -Schreibweise, 24 -Summe, 71 adjungierter, 32, 33, 74, 75 beschränkter, 72, 73, 78, 87 Definitionsbereich, 71 Dichte-, 81 Differential-, 109 Einschränkung, 71 en, Tensorprodukt von, 97 en, vertauschbare, 87 Erweiterung, 71, 89

Hermitesche, 138

selbstadjungierte, 87, 100 Hamilton-, 43, 88, 100, 109, 137,

140 Hermitescher, 78 Hermitescher, 71 Hermitescher, 80, 81, 86, 87, 137,

138, 143, 145 Impuls-, 73 inverser, 24 invertierbarer, 31, 40, 122, 123, 137 isometrischer, 32, 76, 137 kompakter, 78, 80, 81, 142 linearer, 24, 71, 122, 125

invertierbarer, 24 Matrix, 25–27, 31, 51 normaler, 38 Orts-, 73 Polarzerlegung, 40, 125 positiver, 122 Projektions-, 22, 83, 84, 142 komplementärer, 22

selbstadjungiert

im wesentlichen, 109 selbstadjungierter, 32, 36, 39, 40, 42, 74, 84–87, 89, 109, 122, 125

im wesentlichen, 86, 100 nicht im wesentlichen, 138 Spektrum, 85 Spektral-, 88 Spur, 44, 45, 47, 81 Spurklasse-, 81, 88 statistischer, 81, 83–85, 88, 147 symmetrischer, 71, 87 unbeschränkter, 73, 78, 90 unitärer, 32, 33, 39, 40, 42, 76, 87,

90, 122, 123, 144 vollstetiger, 78

orthogonal, 19

-Projektoren, 34 Orthonormal -System

diskretes, 12 Orthonormal -Basis, 12 -System

maximales, 12 Orthonormalbasis

rechtshändige, 117 Orthonormalisierung, 66 Orthonormalsystem, 57

maximales, 56, 57, 138

Parallelogramm-Gleichung, 141

Pauli-Matrizen, 19, 39

Permutation, 28

Signatur einer, 28 Poisson

-Gleichung, 147 Polarisationsidentität, 21, 32, 49, 136 polarisiert

elliptisch, 15, 117, 118 linkshändig, 43 rechtshändig, 43

linear, 15, 17, 117, 118 zirkular, 15, 17, 117, 118

links-, 15, 36, 117, 118 rechts-, 15, 36, 117, 118

Polarzerlegung, 40, 125 Polynome

Hermitesche, 68, 140 Laguerresche, 70 Legendre, 187 Llegendre-, 66

Potential Coulomb-, 110 elektrostatisches, 110 Gravitations-, 110, 133

Produkt -Ungleichung, 141 dyadisches, 52 inneres, 11, 50, 52, 97

komplexes, 12 Operator-, 71 Tensor-, 52–54, 96

algebraisches, 97 von, 97 topologisches, 97 von Vektoren, 96

Projektionsoperator

en, nicht vertauschbare, 142 Projektor, 35, 36, 76, 77, 83, 84 Propagator, 112

quantenmechanischer, 112 Pythagoras

Satz von, 13

Randbedingungen, 110, 111 Raum

Dual-, 49 Eigen-, 41, 80 Euklidischer

separabler, 57 Folgen-, 93 Hilbert-

Basis, 62 Hilbert-, 62, 64, 71–73, 75, 76,

78, 146 Basis, 62 separabler, 65, 82, 84, 137 Vervollständigung, 66

Schwartz-, 69, 99 Zustands-, 83

Regel

Cramersche, 121 retardiert, 110 reziproke Basis, 121

Satz

Fundamental-

der Algebra, 37 von Gleason, 84 Riesz

von Riesz, 92 von Riesz, 44, 52, 74, 95 Spektral-, 38, 84 von Stone, 42, 91 von Pythagoras, 13

Schmidt -Zahl, 53 -Zerlegung, 53

Schrödinger -Bild, 88, 90 -Gleichung, 88, 100 Gleichung, 99, 101, 111

freie, 112 schwach

differenzierbar, 61, 62 konvergent, 60, 73 stetig, 91

Schwartz

-Distribution

temperierte, 99, 106, 111, 147 -Raum, 69, 99

Schwarzsche Ungleichung, 14, 68, 93, 143 separabel, 57, 82 sesquilinear, 50 Signatur, 28 Spektral

-Operatoren, 87 -Satz, 38, 84 -Schar, 84–86, 142

Spektrum, 85 Spiegelung

Raum-Zeit-, 17, 47 Spur

-Klasse, 81 einer Operators, 123 eines Operators, 44, 45, 47, 81 Operator-, 82

Stammfunktion

einer Distribution, 107 stark

differenzierbar, 61, 62 konvergent, 14, 60, 61 stetig, 14, 91

statistischer Operator, 81, 83, 84, 147 stetig

Abbildung, 74 Funktional, 99 schwach, 91 stark, 14, 91 voll-, 78

Strahlteiler, 126

symmetrischer, 126, 127 Symmetrie

Wigner-, 90 symmetrisch

Operator, 71 Strahlteiler, 126

Taylor-Entwicklung, 68, 101, 133, 146 temperierte

Funktion, 69, 100 Schwartz-Distribution, 99, 106,

110, 111, 147 Tensor, 49, 52

-Produkt, 52–54, 96 algebraisches, 53, 54, 97 Euklidisches, 54 topologisches, 97 von Operatoren, 54, 97

Testfunktion, 103

temperierte, 100 Träger, 103 Transposition, 28 transversal, 15

Ungleichung Besselsche, 57 Dreiecks-, 13 Produkt-, 141 Schwarzsche, 93 Schwarzsche, 14, 68, 143

unitär, 32, 76, 87 Unschärferelation

Heisenbergsche, 143

Vektor, 9 -Raum

-Basis, 10 Dimension, 10 endlichdimensionaler, 10 Euklidischer, 12 komplexer, 9

Eigen-, 36, 39, 51, 79, 80, 120, 122 Jones-, 17–19, 36, 43, 47, 116, 122 Komponenten, 11 Norm, 13 orthogonal, 19

verallgemeinerte Funktion, 102

Vertauschbarkeit

von Operatoren, 41 Vertauschungsrelationen, 145

Weylsche, 146

Wellengleichung

inhomogene, 110

retardierte Lösung, 110 Weylschen Vertauschungsrelationen, 146 Wigner-Symmetrie, 90

Zerlegung der Eins, 104 Zustand, 46, 83, 85, 90, 126, 145

gemischter, 47 Gleichgewichts-, 89 normaler, 93 Polarisations-, 17, 43, 116, 122 reiner, 46