Mathematische Methoden der Physik: Funktionentheoretische Methoden

Technische Universität Clausthal SS 1994 – WS 1997/98

W. Lücke

Vorwort

Der bis jetzt nur abgehandelte ‘Teil I’ beinhaltet Anwendungen der Theorie der analytischen Funktionen einer einzigen komplexen Veränderlichen auf folgende Gebiete:

Ebene Elektrostatik ,

Lineare elektrische Netzwerke ,

Dispersionsrelationen in klassischer Elektrodynamik und Quantentheorie .

Obwohl dies keinesfalls als Ersatz für eine Mathematikvorlesung über Funktionentheorie gedacht ist, werden alle notwendigen mathematischen Hilfsmittel im physikalischen Zusammenhang erarbeitet.

Literaturempfehlung: (Kyrala, 1972)

4

Inhaltsverzeichnis

1 Schwingungsvorgänge 7

1.1 Lineare harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Wechselstromwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Leistungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Überlagerung mit gleicher Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Gleichorientierte Kreisschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Entgegengesetzt orientierte Kreisschwingungen . . . . . . . . . 14 1.2.3 Orthogonale lineare Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Überlagerung mit unterschiedlichen Frequenzen . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Zwei beliebige Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Beliebiges Frequenzspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Grundzüge der Funktionentheorie 19

2.1 Holomorphe Funktionen und konforme Abbildungen . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Konforme Abbildungen und ihre Bedeutung . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Komplexe Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.4 Potenzreihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Randwertprobleme der ebenen Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Das Grundproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Bestimmung der Greenschen Funktion durch konforme Abbil-

dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Die Heaviside-Methode 47

3.1 Lineare 2-Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1 Distributionstheoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.2 Grundgleichungen und Kausalitätsprinzip . . . . . . . . . . . 53 3.1.3 Heaviside-Formel und charakteristische Funktion . . . . . . . . 58

3.2 Vierpolketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.1 Kettenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.2 Anwendung der Heaviside-Methode . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.3 Einschalten eines belasteten Transformators . . . . . . . . . . 66

4 Dispersionsrelationen 69

4.1 Dispersion elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.1 Materialkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.2 Analytizitätseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.3 Kramers-Kronig-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.4 Subtraktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Quantenmechanische Streuamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.1 Grundbeziehungen der 1-Teilchen-Streuung . . . . . . . . . . . 82 4.2.2 Analytizitätseigenschaften der Streuamplitude . . . . . . . . . 86 4.2.3 Dispersionsrelationen für festen Impulsübertrag . . . . . . . . 90

Literaturverzeichnis 93

Kapitel 1

Behandlung von Schwingungsvorgängen mithilfe komplexer Zahlen

1.1 Lineare harmonische Schwingungen

1.1.1 Der Körper der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen z = x + iy ∈ ℂ entsprechen bekanntlich 2-er Vektoren (Zahlenpaare) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2} . In Polarkoordinaten (siehe Abb. 1.1) ist diese Zuordnung durch

z = e^{r+iφ} =^{def} e^{r} cos φ + ie^{r} sin φ

gegeben, wobei ϱ natürlich nur mod2π bestimmt ist. Die Addition entspricht derjenigen für Vektoren:

(x_{1} + iy_{1}) + (x_{2} + iy_{2}) =^{def} (x_{1} + x_{2}) + i(y_{1} + y_{2}) .

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} y  z φρ x

\begin{matrix}x = ϱ cos φ \\ y = ϱ sin φ \end{matrix} ; ϱ = e^{r} für geeignetes r ∈ ℝ^{1} . Abb. 1.1: 2-dim. Polarkoordinaten

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; z_{1} + z_{2}; z_{2}; φ_{1}; φ_{2}; ρ_{2}; ρ_{1} + ρ_{2}; y; x; hier: φ_{1} , φ_{2} > 0]

Abb. 1.2: Komplexe Multiplikation

Zusätzlich führt man jedoch die Multiplikation

e^{r_{1}+iφ_{1}} · e^{r_{2}+iφ_{2}} =^{def} e^{(r_{1}+r_{2})+i(φ_{1}+φ_{2})}  (1.1)

ein, mit der die komplexen Zahlen zu einem Körper werden. Wie in Abb. 1.2 veranschaulicht, wird bei Multiplikation von z_{2} mit z_{1} der z_{2} entsprechende Vektor um den Polarwinkel des z_{1} entsprechenden Vektors dem Urzeigersinn entgegengesetzt gedreht und mit dem Betrag des z_{1} entsprechenden Vektors multipliziert:^{1}

( \begin{matrix}e^{r_{1}+r_{2}} cos(φ_{1} + φ_{2}) \\ e^{r_{1}+r_{2}} sin(φ_{1} + φ_{2}) \end{matrix} ) = e^{r_{1}} ( \begin{matrix}cos φ_{1} & − sin φ_{1} \\ sin φ_{1} & cos φ_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}e^{r_{2}} cos φ_{2} \\ e^{r_{2}} sin φ_{2} \end{matrix} ) .

Daraus folgen die bekannten Additionstheoreme:

cos(φ_{1} + φ_{2}) = cos φ_{1} cos φ_{2} − sin φ_{1} sin φ_{2} ,
sin(φ_{1} + φ_{2}) = sin φ_{1} cos φ_{2} + cos φ_{1} sin φ_{2} .

Die Multiplikation ist somit äquivalent zu

(x_{1} + iy_{1}) · (x_{1} + iy_{1}) = x_{1}x_{2} − y_{1}y_{2} + i(y_{1}x_{2} + x_{1}y_{2}) ,  (1.2)

also zur üblichen Multiplikation unter Beachtung von

i^{2} =^{def} i · i = −1 .

Übliche Bezeichnungen für z = x + iy :

ℜ(z) =^{def} x  Realteil von z ,
ℑ(z) =^{def} y  Imaginärteil von z ,
|z| =^{def} ϱ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}  Betrag von z ,
arg z =^{def} φ = arctan \frac{y}{x} Argument von z ,
\overline{z} =^{def} x − iy  zu z konjugiert komplexe Zahl .

Version vom 26. März 2009

1Der Körper der komplexen Zahlen ist also isomorph zum Körper der reellen orthogonalen 2 × 2-Matrizen beliebiger Determinante.

Einfache Folgerungen:

ℜ(z) = \frac{z + \overline{z}}{2} ,  (1.3)

ℑ(z) = \frac{z − \overline{z}}{2i} ,  (1.4)
\overline{z} · z = |z|^{2} ,  (1.5)
\overline{z_{1} z_{2}} = \overline{z_{1}} · \overline{z_{2}} ,  (1.6)
ℜ (\overline{z_{1}} z_{2}) = ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \end{matrix} ),  (1.7)

ℑ (\overline{z_{1}} z_{2}) =3. Komp. von ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \\ 0 \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \\ 0 \end{matrix} ).  (1.8)

Übungsaufgabe 1 Man behandle die Bewegungsgleichung für die ebene Bewegung eines Elektrons im konstanten homogenen Magnetfeld als Differentialgleichung einer komplexwertigen Funktion.

1.1.2 Wechselstromwiderstände

Die komplexe Funktion der Zeit

z(t) = \underbrace{A}_{>0} e^{i(ωt+φ)} , ω , φ reell  (1.9)

beschreibt eine gleichförmige Kreisbewegung (Abb. 1.3).

Die Projektion von z(t) auf die x-Achse liefert die harmonische Schwingung

ℜ (z(t)) = A cos(ωt + φ) .

Multiplikation von z(t) mit einer komplexen Zahl R ändert die Amplitude A um das |R|-fache und verschiebt die Phase um arg(R) , läßt aber die Kreisfrequenz ω unverändert:

Rz(t) = |R| Ae^{i(ωt+φ+arg(R))} .  (1.10)

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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y  z(t) x A^{ωt + φ} A cos(ωt + φ) hier: ωt + φ > 0

Abb. 1.3: Gleichförmige Kreisbewegung

Daher läßt sich die Wirkungsweise aus Kondensatoren, Spulen und ohmschen Widerständen aufgebauter 2-Pole auf Wechselströme 1. Art (rein sinusförmig) nach Abklingen des Einschaltvorganges als komplexes Ohmsches Gesetz

U(t) = R I(t)  (1.11)

schreiben, wobei:^{2}

U(t) = \underbrace{U}_{>0} e^{i(ωt+φ_{U})} : komplexe Spannung ,
I(t) = \underbrace{I}_{>0} e^{i(ωt+φ_{I})} : komplexer Strom ,
R :  komplexer Widerstand (Impedanz) .

Man beachte:

U_{1→2}(t) = ∫_{1}^{2} E(x, t) · dx = Φ_{1} − Φ_{2}

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} E  U_{1→2} > 0 2 1  + −  + − I > 0 R

Übliche Bezeichnungen:

ℜ(R) : Wirkwiderstand (Resistanz) ,
ℑ(R) : Blindwiderstand (Reaktanz) ,
|R| : Scheinwiderstand .

Version vom 26. März 2009

2Physikalisch relevant sind natürlich nur die Realteile von U und I.

1.1. LINEARE HARMONISCHE SCHWINGUNGEN 11 Übungsaufgabe 2 Man zeige:

1.

R = \{ \begin{matrix}R & für ideale Ohmsche Widerstände , \\ \frac{1}{iωC} & für ideale Kondensatoren (C > 0) , \\ iωL & für ideale Spulen (L > 0) . \end{matrix}

2. R = R_{1} + R_{2} bei Serienschaltung:

R R_{1}  R_{2}

3. \frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} bei Parallelschaltung:

R_{1} R_{2} R

Beispiel Schwingkreis:

3

........................ .................. ........................ ..................

........................ ..................

..................... ............ .................... ............ .................... ........... . R

L C I I

U

hier ist

R = R + i (ωL − \frac{1}{ωC} ) ,

und das komplexe Ohmsche Gesetz beschreibt die Zeitableitung I(t) = Q̇(t) der asymptotischen Lösung der Differentialgleichung

RQ̇(t) + LQ̈(t) + \frac{1}{C} Q(t) = U e^{i(ωt+φ_{U})}

für die (komplexe) Kondensatorladung Q(t) , die dem Lösungsansatz

Q(t) = Q e^{i(ωt+φ_{Q})}

entspricht und somit die Bedingungen

iωLI(t) = L Q̈(t) , \frac{1}{iωC} I(t) = \frac{1}{C} Q(t)

Version vom 26. März 2009

3Vgl. (Sommerfeld, 1964, §18.A).

erfüllt. Aus dem Ohmschen Gesetz folgt unmittelbar:

|I(t)| = \frac{|U(t)|}{|R|} = \frac{U}{\sqrt{R^{2} + (ωL − \frac{1}{ωC} )^{2}}} maximal für ω^{2} = \frac{1}{LC} . (1.12)

Warnung: Das Fehlen eines Kondensators entspricht nicht dem Limes C → 0 , sondern dem Limes C → ∞.

Übungsaufgabe 3 Man zeige, daß dagegen

|Q(t)| maximal für ω^{2} = max \{0, \frac{1}{LC} − (\frac{R}{2L})^{2}\}

(1.13)

ist^{4} und diskutiere die Phasenverschiebung der erzwungenen Schwingung.

1.1.3 Leistungsanpassung

Die Wirkleistung \overline{N} , d.h. der zeitliche Mittelwert der Leistung, ist für die Kreisfrequenz ω

\overline{N} = \frac{ω}{2π} ∫_{0}^{2π/ω} ℜ (U(t)) ℜ (I(t)) dt
=_{(1.3)} \frac{UI}{4} \frac{ω}{2π} ∫_{0}^{2π/ω} (e^{i(ωt+φ_{U})} + e^{−i(ωt+φ_{U})}) (e^{i(ωt+φ_{I})} + e^{−i(ωt+φ_{I})}) dt
= \frac{UI}{2} cos( \underbrace{φ_{U} − φ_{I})}_{Verlustwinkel} .

Also:

\overline{N} = \frac{1}{2}ℜ (U(t)\overline{I(t)}) =_{(1.11)} \frac{1}{2} |I(t)|^{2} \underbrace{ℜ(R)}_{Wirkwiderst.}. (1.14)

Übungsaufgabe 4 Man zeige, daß ein Verbraucherwiderstand R einem Wechselstromgenerator mit Innenwiderstand R_{i} genau dann die maximale Wirkleistung (bei gegebenem ω) entzieht, wenn R = \overline{R_{i}} .

Version vom 26. März 2009

4Man bestimme das Minimum von (1/ |Q|)^{2} als Funktion von ω^{2} durch Differentiation.

1.2 Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz

1.2.1 Gleichorientierte Kreisschwingungen

Anschaulich ist klar, daß die überlagerung gleichförmiger Kreisbewegungen gleicher Kreisfrequenz ω wieder eine solche ist:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} y  x Δφ z_{1}(t) z_{1}(t) + z_{2}(t)

mathematisch ist das im komplexen Formalismus ebenso klar, da gemäß (1.9)/(1.10) eine komplexe Zahl R existieren muß, für die

z_{2}(t) = R z_{1}(t)

und somit

z_{1}(t) + z_{2}(t) = (1 + R)z_{1}(t)

gilt. Durch Projektion auf die x-Achse erkennt man daraus mit (1.10):

A_{1} cos(ωt + φ_{1}) + A_{2} cos(ωt + φ_{2}) = |1 + R| A_{1} cos (ωt + φ_{1} + arg(1 + R))

mit: R =^{def} \frac{A_{2}}{A_{1}} e^{i(φ_{2}−φ_{1})} .

(1.15)

Die Menge der linearen harmonischen Schwingungen fester Frequenz und Schwingungsrichtung ist also invariant bzgl. Überlagerung (Addition) von Schwingungen.

Übungsaufgabe 5 Man zeige:

|1 + R| = \sqrt{1 + 2 |R| cos arg(R) + |R|^{2}} ,  (1.16)

arg(1 + R) = arctan \frac{|R| sin (arg(R))}{1 + |R| cos (arg(R))} .

(1.17)

1.2.2 Entgegengesetzt orientierte Kreisschwingungen

Elliptische harmonische Schwingungen sind solche der Form

z(t) = e^{iδ} (a cos(ωt + φ) + i b sin(ωt + φ)) .  (1.18)

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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4Die Stetigkeit von f′(z) ist automatische gegeben (Satz von Goursat).

Übungsaufgabe 13 a) Man zeige die Gültigkeit der üblichen Differentiationsregeln:

Linearität:

\frac{d}{dz} (R_{1}f_{1}(z) + R_{2}f_{2}(z)) = R_{1}f′_{1}(z) + R_{2}f′_{2}(z) , (2.11)

Produktregel:

\frac{d}{dz} (f_{1}(z)f_{2}(z)) = f′_{1}(z)f_{2}(z) + f_{1}(z)f′_{2}(z) , (2.12)

(z^{n})′ = n z^{n−1} ∀ n ∈ ℤ,  (2.13)

Kettenregel:

\frac{d}{dz} f (g(z)) = g′(z)f′ (g(z)) , (2.14)

Quotientenregel:

\frac{d}{dz} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f′(z)g(z) − f(z)g′(z)}{(g(z))^{2}} , (2.15)

\frac{d}{dz} f^{−1}(z) = \frac{1}{f′ (f^{−1}(z))} ,  (2.16)
\frac{d}{dt}f (z(t)) = ż(t) f′ (z(t)) ,  (2.17)
\frac{d}{dz} \overline{f (\overline{z})} = \overline{f′ (\overline{z})} .  (2.18)

Dabei werden die Ausdrücke, die rechts auftauchen, jeweils als existent vorausgesetzt. Die Existenz der Ableitung links wird jeweils behauptet.

b) Man interpretiere (2.14), (2.16) und (2.17) geometrisch für den Fall, daß f und g konformen Abbildungen entsprechen.

Übungsaufgabe 14 Man zeige, daß die spezielle Möbius-Abbildung^{5}

z ⟼ \frac{1 − z}{1 + z}

von {z ∈ ℂ : z ≠ −1} in ℂ konform und zu sich selbst invers ist und bestimme die Bilder der Kurven mit

Version vom 26. März 2009

5Diese Abbildung entspricht (1.21) mit z = iR.

a) ℜ(z) = konst. > 0

b) ℑ(z) = konst. und ℜ(z) > 0

unter dieser Abbildung.

Die Existenz der komplexen Ableitung (2.10) von

f(x + iy) = \underbrace{u(x, y)}_{reell} +i \underbrace{v(x, y)}_{reell}

verlangt insbesondere

lim_{Δx→0_{Δx≠0}} \frac{f(z + Δx) − f(z)}{Δx} = f′(z) = lim_{Δy→0_{Δy≠0}} \frac{f(z + iΔy) − f(z)}{iΔy} ,

d.h.:

\frac{∂}{∂x}f(x + iy) = −i\frac{∂}{∂y} f(x + iy) .

Letzteres ist äquivalent zur Gültigkeit der sog. Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

\frac{∂}{∂x}u(x, y) = \frac{∂}{∂y} v(x, y) , \frac{∂}{∂x}v(x, y) = −\frac{∂}{∂y} u(x, y) .  (2.19)

Umgekehrt folgt aus (2.19), sofern die partiellen Ableitungen nach x und y stetig sind, für glatte Bahnkurven z(t)

\frac{d}{dt}f (z(t)) ˆ= ( \begin{matrix}\frac{d}{dt}u (x(t), y(t)) \\ \frac{d}{dt}v (x(t), y(t)) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ẋ\frac{∂}{∂x}u + ẏ \frac{∂}{∂y}u \\ ẋ\frac{∂}{∂x}v + ẏ \frac{∂}{∂y}v \end{matrix} )
=_{(2.19)} ( \begin{matrix}ẋ\frac{∂}{∂x}u − ẏ \frac{∂}{∂x}v \\ ẋ\frac{∂}{∂x}v + ẏ \frac{∂}{∂x}u \end{matrix} )
= \underbrace{(\frac{∂}{∂x}u + i\frac{∂}{∂x}v)}_{=R(z)} \underbrace{(ẋ + iẏ)}_{=ż}

(vgl. (2.9)) und somit die Existenz der komplexen Ableitung (2.10).

|||||| f(z) ist also genau dann holomorph in dem offenen Gebiet O, wenn f(x + iy) dort stetige partielle Ableitungen nach x und y besitzt, die den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (2.19) genügen.

Übungsaufgabe 15 Man zeige: a) (2.19) ist äquivalent dazu, daß das Vektorfeld

E(x) = ( \begin{matrix}−ℜ (f(x + iy)) \\ +ℑ (f(x + iy)) \end{matrix} ) ˆ= −\overline{f(z)}  (2.20)

rotations- und divergenzfrei ist.

b) Jede Stammfunktion F (z) von f(z) ist ein komplexes Potential von E(x) , d.h.:

F′(z) = f(z) ⟹ E(x) = −grad ℜ (F (x + iy)) .  (2.21)

Man sieht z.B. leicht (Beweis als Übungsvorschlag):

−2 ln z = komplexes Potential des ebenen Einheits-Monopols

(eigentl. Linienladung) im Ursprung .

(2.22)

Anmerkung: ln z ist als Umkehrfunktion von exp(z) natürlich nur lokal für z ≠ 0 definiert.

Übungsaufgabe 16 Man zeige, daß der Grenzübergang zum idealen ebenen Einheits-Dipol in positiver x-Richtung genau der komplexen Ableitung des komplexen Monopol-Potentials entspricht, und diskutiere den Feldlinienverlauf entsprechend Übungsaufgabe 11.

Sei f(z) holomorph in dem offenen Gebiet O ⊂ ℂ = ℝ^{2} . Wegen

(2.19) ⟺ rot ( \begin{matrix}u(x, y) \\ −v(x, y) \\ 0 \end{matrix} ) = rot ( \begin{matrix}v(x, y) \\ u(x, y) \\ 0 \end{matrix} ) = 0  (2.23)

existieren dann für jedes einfache ebene Flächenstück S ⊂ O eine offene Umgebung N von S sowie Potentialfunktionen Φ(x, y) , Ψ(x, y) mit:

grad Φ(x) = ( \begin{matrix}u(x, y) \\ −v(x, y) \\ 0 \end{matrix} ) , grad Ψ(x) = ( \begin{matrix}v(x, y) \\ u(x, y) \\ 0 \end{matrix} ) ∀ x + iy ∈ N .

Somit erfüllt

F (x + iy) =^{def} Φ(x, y) + iΨ(x, y)

in dieser Umgebung die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und ist eine Stammfunktion von f :

F′(z) = f(z) ∀ z ∈ N .

\underline{Resultat:} ||||| Wenn f(z) in einer Umgebung des einfachen Flächenstücks S holomorph ist, dann besitzt f(z) in S eine Stammfunktion .

(2.24)

2.1.3 Komplexe Wegintegrale

Sei F (z) in einer Umgebung des einfachen Wegstücks C = \{( \begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix} ) : t_{1} ≤ t ≤ t_{2}\}

holomorph. Dann folgt aus dem Integralsatz der geöhnlichen Integralrechnung (auf ℜ(F) und ℑ(F) getrennt angewandt):

\begin{aligned}F (z(t_{2})) − F (z(t_{1})) & = & ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{dt}F (x(t) + iy(t)) dt \\ & =_{(2.17)} & ∫_{t_{1}}^{t_{2}} F′(\underbrace{x(t) + iy(t)}_{=z(t)})(\underbrace{ẋ(t) + iẏ(t)}_{=ż(t)}) dt . \end{aligned}

Mit der üblichen (von der Wahl der speziellen Parametrisierung unabhängigen) Definition

∫_{C} f(z) dz =^{def} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} f (z(t)) ż(t) dt

folgt daraus der entsprechende Fundamentalsatz der komplexen Integration:

∫_{C} F′(z) dz = F (z_{2}) − F (z_{1}) ,

falls F (z) in einer Umgebung des stückweise glatten, stetigen Weges C mit Anfangspunkt z_{1} und Endpunkt z_{2} holomorph ist .

(2.25)

Warnung:

∫_{C} f(z) dz stimmt i.a. nicht mit ∫_{C} ( \begin{matrix}ℜ (f(x, y)) \\ ℑ (f(x, y)) \end{matrix} ) · d ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) überein!

Übungsaufgabe 17 Man zeige, daß für das Feld (2.20) gilt:

∫_{C} E(x) · dx = −ℜ ∫_{C} f(z) dz.  (2.26)

∫_{C} E(x) · (i^{−1}dx) = −ℑ ∫_{C} f(z) dz.  (2.27)

Sei f(z) in einer Umgebung des einfachen Flächenstücks S holomorph. Aufgrund der nachgewiesenen Existenz der komplexen Stammfunktion folgt dann aus (2.25) unmittelbar der sog. Cauchysche Integralsatz:^{6}

∫_{C} f(z) dz = 0 für jeden geschlossenen, stückweise glatten, stetigen

Weg C ⊂ S.

(2.28)

Übungsaufgabe 18 Man beweise (2.28) im reellen Vektorfeldformalismus – ohne Verwendung der komplexen Stammfunktion – mithilfe der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (beachte (2.23)) und des Satzes von Stokes.

(2.28) spielt häufig eine wichtige Rolle bei der Berechnung bestimmter Integrale.

Beispiel (Gausssches Wellenpaket):

Die Lösung der 1-dim. freien Schrödinger-Gleichung (1.27) zum Anfangswert

Ψ(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2πa}}e^{− \frac{x^{2}}{2a}} , a > 0 ,

ist nach (1.30)/(1.28) gegeben durch

Ψ(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2πℏ}} ∫ Ψ̂(p)e^{− \frac{i}{ℏ}( \frac{p^{2}}{2m} t−px)} dp  (2.29)

mit

\begin{aligned}Ψ̂(p) & = & \frac{1}{\sqrt{2πℏ}} ∫ (\frac{1}{\sqrt{2πa}}e^{− \frac{x^{2}}{2a}} ) e^{− \frac{i}{ℏ}px} dx \\ & = & \frac{1}{2π\sqrt{ℏa}} ∫ e^{−( \frac{x}{\sqrt{2a}} +i^{\frac{p\sqrt{2a}}{2ℏ}})^{2}}e^{−2a(\frac{p}{2ℏ})^{2}} dx . \end{aligned}  (2.30)

Mithilfe des Cauchyschen Integralsatzes läßt sich die Berechnung dieser Integrale zurückführen auf das sog. Landau-Integral

∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}} dx = \sqrt{(∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}} dx) (∫_{−∞}^{+∞} e^{−y^{2}} dy)} = \sqrt{∫_{r=0}^{∞} ∫_{φ=0}^{2π} r e^{−r^{2}} dr dφ} = \sqrt{π} .

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; −N; N; x; C_{R,N}; z_{0} + R; z_{0}; y]

Abb. 2.1: Die geschlossenen Wege C_{R,N} (für ℜ(R) > 0 < ℑ(R))

Denn für die geschlossenen Wege C_{R,N} gemäß Abb. 2.1 sieht man leicht, daß

0 = lim_{N→∞} ∫_{C_{R,N}} e^{−z^{2}} dz = ∫_{−∞}^{+∞} e^{−x^{2}} dx − R ∫_{−∞}^{+∞} e^{−(Rx+z_{0})^{2}} dx

und folglich

∫_{−∞}^{+∞} e^{−(Rx+z_{0})^{2}} dx = \frac{\sqrt{π}}{R}

für alle R , z_{o} ∈ ℂ mit: ℜ (R^{2}) > 0 < ℜ(R) .

(2.31)

gilt. Mit (2.30) folgt hieraus

Ψ̂(p) = \frac{1}{\sqrt{2πℏ}}e^{−2a(\frac{p}{2ℏ})^{2}}

und somit schließlich

\underline{\underline{Ψ(x, t)}} =_{(2.29)} \frac{1}{2πℏ} ∫ e^{−2a(\frac{p}{2ℏ})^{2}}e^{− \frac{i}{ℏ}( \frac{p^{2}}{2m} t−px)} dp
= \frac{1}{2πℏ} ∫ e^{−(^{\frac{\sqrt{2a+i2ℏt/m}}{2ℏ}}p− \frac{ix}{\sqrt{2a+i2ℏt/m}})^{2}}e^{− \frac{x^{2}}{2a+i2ℏt/m}} dp
=_{(2.31)} \underline{\underline{\frac{1}{\sqrt{2a + i2ℏt/m}} exp (−\frac{x^{2}}{2a + i2ℏt/m})}} ,

wobei nach (2.31) die Wurzel mit positivem Realteil zu nehmen ist. Übungsaufgabe 19 Man diskutiere das Ergebnis für Lösungen von (1.27) der Form

Φ(x, t) = ∫ f(x′)Ψ(x − x′, t) dx′

im Grenzfall a → 0 .

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6Eine Umkehrung dazu ist durch den Satz von Morera gegeben (Kyrala, 1972, Kap. 4 §2).

Nach Übungsaufgabe 17 gilt

− ∫_{C} f(z) dz = ∫_{C} E(x) · dx + i ∫_{C} E(x) · (i^{−1}dx)

für

E(x) =^{def} ( \begin{matrix}−ℜ (f(x + iy)) \\ +ℑ (f(x + iy)) \end{matrix} ) ,

sowie nach (2.21)

F′(z) = f(z) ⟹ E(x) = −grad ℜ (F (x + iy)) .

Da F (z) = −2 ln z nach (2.22) ein komplexes Potential des ebenen Einheits-Monopols ist, folgt somit für ein positiv orientiertes einfaches Flächenstück S, das eine Umgebung des Ursprungs enthält:^{7}

\frac{1}{2πi} ∫_{∂S} \frac{1}{z} dz = \frac{−1}{4πi} ∫_{∂S} \frac{d}{dz} (−2 ln z) dz
= \frac{+1}{4πi} \underbrace{∫_{∂S} E_{Monop.}(x) · dx}_{=Umlaufspannung=0} + \underbrace{\frac{1}{4π} ∫_{∂S} E_{Monop.}(x) · i^{−1}dx}_{Gesamtladung innerhalb S (pro Längeneinheit)}

= 1 .

Das ist kein Widerspruch zu (2.25), da ln z = ln |z| + i arg(z) keine einwertige Stammfunktion von 1/z ist, sondern bei einem Umlauf um den Ursprung den Wert um i2π ändert. Dagegen besitzt z^{−2} die für z ≠ 0 holomorphe (insbesondere also einwertige) Stammfunktion −z^{−1} , weshalb nach (2.25)

∫_{∂S} \frac{1}{z^{2}} dz = 0

gilt ((2.28) ist dagegen nicht anwendbar).

Übungsaufgabe 20

a) Man überzeuge sich von

\frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{1}(z_{0})}(z − z_{0})^{−n} dz = \{ \begin{matrix}1 & für n = 1 \\ 0 & sonst \end{matrix}

für beliebiges n ∈ ℤ_{+} durch explizite Berechnung des Wegintegrals – ohne Verwendung der Stammfunktion – in Polarkoordinaten (siehe auch (2.34)).

b) Man gebe eine entsprechende elektrostatische Interpretation für den Fall n = 2 gemäß Übungsaufgabe 16.

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7Im Gaußschen Maßsystem gilt div E = 4πρ.

Seien S ein positiv orientiertes, einfaches Flächenstück, z_{0} ∈ \underline{S} und f(z) eine auf ganz S stetige Funktion, die im Inneren von S \ {z_{0}} holomorph ist. Dann gilt für hinreichend kleines r > 0 :

∫_{∂S} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz =_{(2.28)} ∫_{∂U_{r}(z_{0})} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz
=  ∫_{0}^{2π/ω} \frac{f (z(t))}{z(t) − z_{0}} ż(t) dt ,
wobei z(t) =^{def} z_{0} + r e^{iωt} mit 0 < ω bel. ,
=_{ω=1} i ∫_{0}^{2π} f (z_{0} + r e^{it}) dt
=_{Mittelw.-S.} 2πi f (z_{0} + r e^{it′}) für geeign. t′ ∈ [0, 2π] .

Für r → 0 ergibt sich daraus die sog. Cauchysche Integralformel:^{8}

f(z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂S} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz ∀ z_{0} ∈ \underline{S}, falls S positiv orientiert ist .

(2.32)

Aufgrund der Differenzierbarkeit von (z − z_{0})^{−n} für z ≠ z_{0} (siehe (2.13)) erkennt man fast unmittelbar:

Es existiert

(\frac{d}{dz_{0}} )^{n} ∫_{∂S} \frac{g(z)}{z − z_{0}} dz = n! ∫_{∂S} \frac{g(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz ∀ z_{0} ∈ \underline{S} ,

falls g(z) auf ∂S stetig ist .

(2.33)

Mit (2.32) folgt daraus für obiges f(z) die Existenz der komplexen Ableitung beliebiger Ordnung:

f^{(n)}(z_{0}) =^{def} (\frac{d}{dz} )^{n} f(z)_{|_{z=z_{0}}} = \frac{n!}{2πi} ∫_{∂S} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz ∀ z_{0} ∈ \underline{S} , n ∈ ℕ. (2.34)

Insbesondere gilt also:

f(z) holomorph in \underline{S} ⟹ f(z) beliebig oft differenzierbar in \underline{S}.

(2.35)

Übungsaufgabe 21 Man zeige, daß jedes stetig differenzierbare elektrostatische Feld E(x, y) eines ebenen elektrostatischen Problems im ladungsfreien Gebiet beliebig oft differenzierbar ist.

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8Bzgl. einer Verallgemeinerung für nicht holonome Funktionen siehe (Hörmander, 1967, Theorem 1.2.1).

Übungsaufgabe 22 Man beweise mithilfe der Cauchyschen Integralformel (2.28) das sog. Maximumsprinzip^{9}

sup_{z∈S} |f(z)| = |f(ẑ)| für geeignetes ẑ ∈ ∂S ,

falls f(z) in einer Umgebung des einfachen Flächenstücks S holomorph ist .

(2.36)

(Vgl. mit der 2. Aussage von Übungsaufgabe 8.)

2.1.4 Potenzreihenentwicklungen

Sei f(z) holomorph in einer Umgebung von

S = \overline{U_{r_{2}}(z_{0})} \ U_{r_{1}}(z_{0}) ,

und sei z′ ∈ \underline{S}. Dann folgt mit (2.32):

\begin{matrix}f(z′) = \frac{1}{2πi} (∫_{∂U_{r_{2}}(z_{0})} \frac{f(z)}{z − z′} dz − ∫_{∂U_{r_{1}}(z_{0})} \frac{f(z)}{z − z′} dz) . \\ & & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & ^{.} & 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Mit

\begin{aligned}\frac{1}{z−z′} & = & \frac{1}{z − z_{0}} \frac{1}{1 − \frac{z′−z_{0}}{z−z_{0}}} \\ & = & \frac{1}{z − z_{0}} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{z′ − z_{0}}{z − z_{0}} )^{n} ∀ z ∈ ∂U_{r_{2}}(z_{0}) \end{aligned}

und, entsprechend,

\frac{1}{z − z′} = \frac{−1}{z′ − z_{0}} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{z − z_{0}}{z′ − z_{0}} )^{n} ∀ z ∈ ∂U_{r_{1}}(z_{0})

Version vom 26. März 2009

9Hinweis: Man zeige zunächst, daß

(|f(z)| ≤ |f(z_{0})| ∀ z ∈ ∂U_{r}(z_{0})) ⟹ (|f(z)| = |f(z_{0})| ∀ z ∈ ∂U_{r}(z_{0}))

für \overline{U_{r}(z_{0})} ⊂ \underline{S} gilt.

folgt daraus mit (2.28) sofort die sog. Laurent-Entwicklung^{10} von f(z) an der Stelle z_{0} :

f(z′) = ∑_{n=−∞}^{+∞} c_{n} (z′ − z_{0})^{n} absolut konvergent ,

falls f(z) in einer Umgebung von \overline{U_{|z′|}(z_{0})} \ U_{r}(z_{0}) bzw. \overline{U_{r}(z_{0})} \ U_{|z′|}(z_{0})

holomorph ist, wobei:^{11}

c_{n} =^{def} \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{r}(z_{0})} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz .

(2.37)

Für den Fall, daß f(z) auch in U_{|z′|}(z_{0}) holomorph ist, ergibt sich hieraus mit (2.28), (2.32) und (2.34) die sog. Taylor-Entwicklung von f(z) an der Stelle z_{0} :

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!} (z − z_{0})^{n} absolut konvergent ,

falls f(z) in einer Umgebung von \overline{U_{|z|}(z_{0})} holomorph ist.

(2.38)

Anmerkung: Für holomorphe Funktionen ist also die Nullkonvergenz der Restgliedfolge der Taylor-Entwicklung automatisch gegeben.

Z.B. erfüllt e^{x+iy} = e^{x} cos y + i e^{x} sin y überall die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (2.19), ist also eine ganze analytische Funktion, d.h. in ganz ℂ holomorph. Daher ist die Taylor-Entwicklung von e^{z} an der Stelle z = 0

e^{z} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}z^{n} für alle z ∈ ℂ absolut konvergent ,

(2.39)

denn es existiert

((\frac{d}{dz} )^{n} e^{z})_{|_{z=0}} = ((\frac{∂}{∂x})^{n} e^{x+iy})_{|_{x=y=0}} = 1

für alle n ∈ ℤ_{+} .

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10Man beachte, daß die (2.37) für z_{0} = 0 und |z′| = const. einer Fourierschen Reihenentwicklung in arg(z′) entspricht.

11Zunächst wäre über ∂U_{r_{1}}(z_{0}) bzw. ∂U_{r_{2}}(z_{0}) zu integrieren. Nach (2.28) liefert das aber das gleiche Ergebnis wie die Integration über ∂U_{r}(z_{0}) .

Übungsaufgabe 23 man zeige, daß

ln z = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} (z − 1)^{n} für |z − 1| < 1 absolut konvergent

ist.

Übungsaufgabe 24 Man beweise den Residuensatz :

Seien a_{1}, …, a_{N} innere Punkte des einfachen Flächenstücks S und sei f(z) in einer Umgebung von S \ {a_{1}, …, a_{N}} holomorph. Dann gilt

∫_{∂S} f(z) dz = 2πi ∑_{ν=1}^{N} Res (f(z))_{|z=a_{ν}} ,

wobei

Res (f(z))_{|z=a_{ν}} =^{def} lim_{r→+0} \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{r}(a_{ν})} f(z) dz

jeweils das Residuum von f an der Stelle z = a_{ν} bezeichnet und mit dem Koeffizienten c_{−1} der Laurent-Entwicklung von f an dieser Stelle übereinstimmt.

Aus der Taylor-Entwicklung folgt das Prinzip der analytischen Fortsetzung:

Seien f_{1}(z) und f_{2}(z) in einer Umgebung des einfachen Wegstücks C holomorph. Dann gilt

(f_{1}(z) = f_{2}(z) ∀ z ∈ O ∩ C ≠ ∅) ⟹ (f_{1}(z) = f_{2}(z) ∀ z ∈ C)

für jedes offene Gebiet O ⊂ ℂ.

Beweisskizze: Es existiert eine Überdeckung von C durch eine Folge von Kreisflächen, die folgende Bedingung erfüllen:

(i) Der Mittelpunkt jedes Kreises liegt innerhalb des nächsten Nachbarkreises. (ii) f_{1}(z) und f_{2}(z) sind im Inneren jedes Kreises holomorph. (iii) Einer der Kreise liegt in O und hat seinen Mittelpunkt auf C.

innerhalb des durch (iii) charakterisierten Kreises besitzen f_{1}(z) und f_{2}(z) die gleiche Taylor-Entwicklung und daher nach (i) und (ii) auch innerhalb aller übrigen Kreise.

Übungsaufgabe 25 Man beweise den sog. Monodromiesatz:

Sei S ein einfaches Flächenstück und sei f(z) in einer Umgebung von z_{0} ∈ \underline{S} holomorph. Zu jedem einfachen Wegstück C ⊂ \underline{S} mit Anfangspunkt z_{0} existiere eine in einer Umgebung von C holomorphe Funktion, die in einer Umgebung von z_{0} mit f(z) übereinstimme. Dann existiert genau eine in ganz \underline{S} holomorphe Funktion, die in einer Umgebung von z_{0} mit f(z) übereinstimmt.

Übungsaufgabe 26 Man zeige, daß eine (nichttriviale, gutartige) positiv frequente Lösung

f(x, t) = ∫ f̂(p) e^{− \frac{i}{ℏ}(c\sqrt{p^{2}+m^{2}c^{2}}t−px)} dp

der 1-dimensionalen Klein-Gordon-Gleichung

(\frac{1}{c^{2}} (\frac{∂}{∂t})^{2} − (\frac{∂}{∂x})^{2} + (\frac{mc}{ℏ})^{2}) f(x, t) = 0

die Bedingung

|x| > 1 + c |t| ⟹ f(x, t) = 0

zwar für t = 0, aber nicht für alle t erfüllen kann.^{12}

2.2 Randwertprobleme der ebenen Elektrostatik

2.2.1 Das Grundproblem

Gegeben sei ein in 3-Richtung translationsinvariantes Gebiet, dessen orthogonaler Querschnitt (in der x-y-Ebene) das (positiv orientierte) ‘gutartige’ Flächenstück S sei. Im Inneren befinde sich (außer dem elektrostatischen Feld) lediglich eine bekannte, beliebig differenzierbare Ladungsverteilung ρ(x, y) . Den Rand des Gebietes

Version vom 26. März 2009

12Hinweis; Man zeige, daß nicht

f(x, 0) = (\frac{∂}{∂t}f(x, t))_{|_{t=0}} = 0 ∀ x ∈ ℝ \ [−1, +1]

gelten kann.

bilde die Oberfläche eines idealen Leiters.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; S; ρ ≠ 0; y; x]

Gesucht ist das elektrostatische Potential Φ(x, y) , das (Normierung!) auf der Leiteroberfläche verschwindet. Mathematisch entspricht dem folgendes Randwertproblem:

∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ Gesucht ist das stetige Skalarfeld Φ(x, y) über \overline{S}, das in \underline{S} 2-mal stetig differenzierbar ist, der Poisson-Gleichung

ΔΦ(x) = −4πρ(x) ∀ x ∈ \underline{S}

(Gaußsches Maßsystem) genügt und die Dirichletschen Randbedingungen

Φ(x) = 0 ∀x ∈ ∂S

erfüllt,

Die Lösung dieses Problems ist eindeutig, wie man sich leicht mithilfe des Maximumprinzips (2.36) klarmachen kann.

Beweis: Seien Φ_{1}, Φ_{2} zwei Lösungen des Problems. Dann ist

Φ(x, y) =^{def} Φ_{1}(x, y) + Φ_{2}(x, y)

Lösung zur trivialen Ladungsverteilung ρ = 0 . erfüllt insbesondere also die Laplace-Gleichung in \overline{S}. Somit ist Φ(x, y) nach 2.1.1 Realteil des komplexen Potential

F (x, y) =^{def} Φ(x, y) + iΨ(x, y) ,

mit

Ψ(x, y) =^{def} ∫_{x_{0}}^{x} grad Φ(x) · i^{−1}dx ,

wobei x_{0} eine beliebiger, aber fest gewählter, Punkt aus \underline{S} ist und die Integration längs eines beliebigen gutartigen Weges in \overline{S} von x_{0} nach x auszuführen ist. Da F (x + iy) innerhalb \underline{S} holomorph ist, gilt dasselbe gemäß Kettenregel (2.14) auch für

G_{±}(x + iy) =^{def} e^{±F (x+iy)} .

Da der Realteil von F auf ∂S verschwindet, gilt

|G_{±}(z)| = 1 ∀ z ∈ ∂S .

Aufgrund des Maximumprinzips muß daher

±Φ(z) ≤ 0 z ∈ S

gelte, woraus die Behauptung folgt.

Mit D(\underline{S}) sei die Menge aller beliebig differenzierbaren Ladungsverteilungen ρ(x, y) bezeichnet, zu denen jeweils eine abgeschlossene (beschränkte) Teilmenge K von \underline{S} existiert mit:

ρ(x, y) ≠ 0 ⟹ (x, y) ∈ K .

Dann ist das Dirichletsche Randwertproblem zu S für alle ρ ∈ D(\underline{S}) gelöst, wenn man die sog. Greensche Funktion G_{S}(z, z′) dieses Problems gefunden hat, die durch folgende beiden Bedingungen charakterisiert ist:

(i) Δ_{z}G_{S}(z, z′) = −4πδ(z − z′) ∀ z, z′ ∈ \underline{S}.

\underline{Ausführlich:} Für alle ρ ∈ D(\underline{S}) ist

Φ_{ρ}(x, y) =^{def} ∫ G_{S}(z, z′)(x + iy, x′ + iy′) ρ(x′, y′) dx′dy′

auf \overline{S} stetig, in \underline{S} 2-mal stetig differenzierbar und erfüllt
ΔΦ_{ρ}(x, y) = −4πρ(x, y) ∀ (x, y) ∈ \underline{S} .

(ii) G_{S}(z, z′) = 0 ∀ z ∈ ∂S , z′ ∈ \underline{S}.

Ausführlich:

Φ_{ρ}(x) = 0 ∀ ρ ∈ D(\underline{S}) , x ∈ ∂S .

Bedingung (i) ist offensichtlich erfüllt, wenn G_{S}(z, z′) von der Form

G_{S}(z, z′) = H_{S}(z, z′) − 2 ln |z − z′| ,
H_{S}(z, z′) hinreichend gutartig für z, z′ ∈ \overline{S} ,
Δ_{z}H_{S}(z, z′) = 0 ∀ z, z′ ∈ \underline{S}

(2.40)

ist, da

Φ(x, y) = −2 ln \sqrt{(x − x′)^{2} + (y − y′)^{2}}

nach (2.22) jeweils ein elektrostatisches Potential des ebenen Einheitsmonopols bei z′ ist, für das natürlich (i) erfüllt ist.

Übungsaufgabe 27 man zeige, daß tatsächlich

Δ ∫ ln \sqrt{(x − x′)^{2} + (y − y′)^{2}} ρ(x′, y′) dx′dy′ = 2πρ(x, y) ∀ρ ∈ D(\underline{S}) , x ∈ \underline{S}

(2.41)

gilt.

2.2.2 Bestimmung der Greenschen Funktion durch konforme Abbildung und der Riemannsche Abbildungssatz

Betrachtet sei zunächst G_{U_{1}(0)}(z, 0) , d.h. das elektrostatische Potential des ebenen Monopols im Ursprung, das für |x + iy| = 1 verschwindet.

Anmerkung: Ob ∂S tatsächlich durch eine Leiteroberfläche realisiert ist, spielt für diesen Spezialfall keine Rolle.

Nach (2.22) gilt

G_{U_{1}(0)}(z, 0) = Φ_{1}(x, y) =^{def} ℜ(−2 ln z) .

Erinnerung an die Konstruktion des komplexen Potentials:

Man wählt zunächst einen Normierungspunkt x_{0} und legt die Normierungskonstanten Φ_{1}(x_{0}) , Ψ_{1}(x_{0}) (in 2.1.1 mit u(x_{0}) und v(x_{0}) bezeichnet) fest. Hier:

x_{0} + iy_{0} =^{def} 1 , Φ_{1}(x_{0}) =^{def} Ψ_{1}(x_{0}) =^{def} 0 .

Dann bestimmt man

Φ_{1}(x, y) =^{def} − ∫_{1}^{x+iy} E_{Monop.}(x′) · dx′

sowie entsprechend (2.4) lokal

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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; +; 1; S_{1}; y; x; Ψ_{1} = 0; Φ_{1} =const.> 0]

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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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des Dirichletschen Randwertproblems zur Ladungsverteilung ρ ∈ D (\underline{S}) .

Beispiel S = {z ∈ ℂ : ℜ(z) ≥ 0} :

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  + −  S y  x Leiter  z′ −\overline{z′}

Hier erfüllt

f̃_{z′}(z) = g_{z′}(z)/^{\}\underline{S} ,

wobei

g_{z′}(z) =^{def} \frac{z′ − z}{\overline{z′} + z} für z ≠ −\overline{z′} ,

die Bedingungen (2.47)–(2.49) (vgl. Übungsaufgabe 14). Nach (2.50) ist daher

G_{S}(z, z′) = \underbrace{−2 ln |z − z′|}_{ˆ=eb. Monop. bei z′} + \underbrace{2 ln |z + \overline{z′}|}_{ˆ=Spiegelladung} .

Im vorliegenden Beispiel ist S zwar unbeschränkt, die angegebene Methode funktioniert aber trotzdem. Beispiel S = \overline{U_{1}(0)} : hier erfüllt

f̃_{z′}(z) = g_{g_{1}^{−1}(z′)} (g_{1}^{−1}(z))
=_{Ü. 14} \frac{\frac{1−z′}{1+z′} − \frac{1−z}{1+z}}{\overline{(\frac{1−z′}{1+z′} )} + \frac{1−z}{1+z}}
= \frac{1+\overline{z′}}{1+z′} \frac{z−z′}{1−\overline{z′}z}

die Bedingungen (2.47)–(2.49) und ist umkehrbar. Nach (2.50) ist daher G_{U_{1}(0)}(z, z′) = −2 ln |z − z′| + 2 ln |1 − \overline{z′}z| .

Insbesondere gilt also

\underline{für r ∈ (0, 1) :}
G_{U_{1}(0)}(z, r) = \underbrace{−2 ln |z − r|}_{ˆ=eb. Monop. bei r} + \underbrace{2 ln |1 − \overline{z′}z|}_{ˆ=Spiegelladung} −2 ln(r) .

(2.52)

Aus diesem Beispiel erkennen wir mit (2.50) für hinreichend gutartiges S :

G_{S}(z, z′) = −2 ln |\frac{f(z) − f(z′)}{1 − \overline{f(z′)}f(z)}|

für jede umkehrbare konforme Abbildung der Form (2.42) von \underline{S} in U_{1}(0) .

(2.53)

Übungsaufgabe 29 Man bestimme mithilfe von (2.52) das elektrostatische Feld zweier paralleler zylindrischer Leiter gleichen Durchmessers aber unterschiedlichen Potentials im sonst ladungsfreien Raum.

Übungsaufgabe 30 Man bestimme die Greensche Funktion für folgende Gebiete:

1. S = ℝ^{2} \ U_{1}(0) ,

2. S = \overline{ℝ_{+} × ℝ_{+}} ,

3. S = [0, 1] × [0, 1] .

Bzgl. weiterer Beispiele sowie ähnlicher Anwendungen in Hydro- und Aerodynamik siehe z.B. (Magnus und Oberhettinger, 1949).

Übungsaufgabe 31 Man bestimme die Kapazität (pro Längeneinheit) eines Kondensators bestehend aus einer unendlich langen Leiterröhre kreisförmigen Querschnitts und einem zur Achse parallelen, unendlich dünnen Innenleiters.

46 KAPITEL 2. GRUNDZÜGE DER FUNKTIONENTHEORIE

Die HEAVISIDE-Methode zur Berechnung linearer Netzwerke

3.1 Lineare 2-Pole

3.1.1 Distributionstheoretische Grundlagen

Sei I(t) resp. U(t) die an einem Kondensator der Kapazität C anliegende reelle Stromstärke resp. Spannung. Dann gilt (vgl. 1.1.2):

C U(t) = Q(t) = Q(0) + ∫_{0}^{t} I(t′) dt′ .

Falls der Strom also nur während des Zeitintervalls (0, Δt) fließt und der Kondensator für negative Zeiten ungeladen ist, folgt:

U(t) = \{ \begin{matrix}0 & für t ≤ 0 , \\ ∫_{0}^{t} I(t′) dt′ & für t ≥ Δt. \end{matrix}

Man muß also damit rechnen, daß auch für recht gutartige Ströme die zugehörige Spannung nicht mehr integrabel ist!

Um der Fourier-Transformation (1.25) für solche U(t) dennoch einen Sinn zu verleihen, greift man auf die Distributionstheorie zurück:

Eine komplexwertige Funktion f(t) über ℝ bezeichnet man als temperierte Funktion, wenn sie der Bedingung

sup_{t∈ℝ} |t^{n} (\frac{d}{dt})^{m} f(t)| < ∞

für alle n, m ∈ ℤ_{+} =^{def} {0, 1, 2, …} genügt. Die Menge aller temperierten Funktionen über ℝ bezeichnet man mit S(ℝ) . Man sagt, die Folge der Funktionen φ_{μ}(t) konvergiere in S(ℝ) gegen die Funktion φ(t) , falls

sup_{t∈ℝ} |t^{n} (\frac{d}{dt})^{m} φ_{μ}(t)|

für alle n, m ∈ ℤ_{+} gegen Null konvergiert. Man schreibt dafür auch

φ_{μ} → φ in S(ℝ) .

Unter einer temperierten Distribution (einer einzigen Variablen) versteht man eine Abbildung φ ↦ F (φ) von S(ℝ) in ℂ, die linear und stetig ist. Linear meint:

F (z_{1}φ_{1} + z_{2}φ_{2}) = z_{1} F (φ_{1}) + z_{2} F (φ_{2})

für alle φ_{1} , φ_{2} ∈ S(ℝ) und z_{1} , z_{2} ∈ ℂ. Stetig meint:

φ_{μ} → φ in S(ℝ) ⟹ F (φ_{μ}) → F (φ) .

Die Menge aller temperierten Distributionen bezeichnet man mit S(ℝ)′. Insbesondere läßt sich jede temperierte Funktion F (t) auch als temperierte Distribution auffassen, indem man

F (φ) =^{def} ∫ F (t)φ(t) dt  (3.1)

definiert. Nun gibt es viele Paare linearer stetiger Abbildungen T̂ , T̂′ von S(ℝ) in sich, die die Bedingung

∫ (T̂F ) (t) φ(t) dt = ∫ F (t) (T̂′φ) (t) dt ∀ φ ∈ S(ℝ)  (3.2)

für alle F (t) ∈ S(ℝ) erfüllen. T̂ , T̂′ sind dann natürlich einander eineindeutig zugeordnet und man kann (3.2) als Definitionsgleichung für die Fortsetzung der Operation T̂ auf die Menge aller temperierten Distributionen verwenden, wenn man die Integralschreibweise (3.1) formal für alle temperierten Distributionen verwendet.

In diesem Sinne bezeichnet man (temperierte) Distributionen auch als verallgemeinerte Funktionen.

Übungsaufgabe 32 Man mache sich klar, daß die bekannte δ-Funktion in diesem Sinne als verallgemeinerte Funktion zu verstehen ist.

Damit läßt sich die Fourier-Transformation (1.25) auch für temperierte Distributionen erklären, indem man in der für die Quantenmechanik fundamentalen 3.1. LINEARE 2-POLE 49

Beziehung

∫ F̃(ω)\overline{φ̃(ω)} dω = ∫ F (t)\overline{φ(t)} dt ∀ \overline{φ̃} ∈ S(ℝ) ,

wobei entsprechend (1.26):

\overline{φ(t)} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ \overline{φ̃(ω)}e^{−iωt} dω ,

(3.3)

für F (t) auch temperierte Distributionen zuläßt.

Anmerkung: Für g(t) = \overline{φ(t)} geht (3.3) in die sog. Parsevalsche Gleichung

∫ F (t)g(t) dt = ∫ F̃(ω)g̃(−ω) dω ,

für F (t) = φ(t) in die sog. Plancherelsche Gleichung

∫ |φ(t)|^{2} dt = ∫ |φ̃(ω)|^{2} dω

über. Man schreibt natürlich (1.25) formal auch für (temperierte) Distributionen, also

F̃(ω) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ F (t)e^{−iωt} dt ,

und entsprechend (1.26)

F (t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ F̃(ω)e^{+iωt} dt .

Übungsaufgabe 33 Man zeige, daß in diesem Sinne die Gleichungen

\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ δ(t)e^{−iωt} dt = \frac{1}{\sqrt{2π}}

und

\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{+iωt} dt = δ(t)

gelten.

Da der zur Ableitung T̂ = \frac{d}{dt} gehörige transponierte Operator T̂′ = −\frac{d}{dt} ist, definiert man gemäß (3.2) die Ableitung der temperierten Distribution F (t) durch

Ḟ (φ) = ∫ Ḟ (t) φ(t) dt =^{def} − ∫ F (t) φ̇(t) dt .  (3.4)

Da man jede polynomial beschränkte, stetige Funktion F (t) im Sinne von (3.1) als temperierte Distribution auffassen kann (indem man das Integral als geöhnlichen Riemann-Integral interpretiert), lassen sich all diese Funktionen im distributionstheoretischen Sinne nicht nur Fourier-transformieren, sondern auch beliebig oft differenzieren.

Anmerkung: Man kann zeigen (nicht elementar), daß für jede temperierte Distribution F (t)

F (t) = (\frac{d}{dt})^{n} G(t) im distributionstheoretischen Sinne

mit geeingetem natürlichem n und polynomial beschränktem, stetigem G(t)

(3.5)

gilt.

Übungsaufgabe 34 Man zeige, daß

δ(t) = (\frac{d}{dt})^{2} (t θ(t)) im distributionstheoretischen Sinne

gilt, wobei

θ(t) =^{def} \{ \begin{matrix}0 & für t < 0 \\ \frac{1}{2} & für t = 0 \\ 1 & für t > 1 \end{matrix}

die sog. Heaviside-Funktion bezeichnet.

Die Ableitung im distributionstheoretischen Sinne – auch schwache Ableitung genannt – erlaubt z.B. eine exakte Interpretation der Schrödinger-Gleichung für Anfangsbedingungen Ψ(x, 0) , die nicht im gewöhnlichen Sinne differenzierbar sind:

iℏ\frac{∂}{∂t}Ψ(x, t) = (−\frac{ℏ^{2}}{2m} (\frac{∂}{∂x})^{2} + V (x, t)) Ψ(x, t)

meint (für hinreichend gutartiges V (x, t)):

iℏ\frac{d}{dt} ∫ Ψ(x, t) φ(x) dx = ∫ Ψ(x, t) (−\frac{ℏ^{2}}{2m} (\frac{∂}{∂x})^{2} + V (x, t)) φ(x) dx

für alle φ ∈ S(ℝ) .

(3.6)

Wenn T̂ die sog. Faltung mit einer temperierten Funktion ψ(t) ist, d.h.^{1}

(T̂F ) (t) = (F ∗ ψ)(t) =^{def} ∫ F (t′) ψ(t − t′) dt′ ∀ F ∈ S(ℝ) ,

dann ist gemäß (3.2)

∫ (F ∗ ψ)(t) φ(t) dt =^{def} ∫ F (t) (φ ∗ ψ_{−})(t) dt ∀ F ∈ S(ℝ)′ , φ ∈ S(ℝ) ,

wobei: ψ_{−}(t) =^{def} ψ(−t) ,

(3.7)

zu definieren.

Übungsaufgabe 35 Man zeige mithilfe von (3.5), daß die temperierte Distribution (F ∗ ψ)(t) im Sinne von (3.1) der gewöhnlichen Funktion ∫ F (t′) ψ(t − t′) dt′ entspricht:

(F ∗ ψ)(t) = ∫ F (t′) ψ(t − t′) dt′ ∀ F ∈ S(ℝ)′ , φ ∈ S(ℝ) .  (3.8)

Mit O_{M}(ℝ) bezeichnet man die Menge aller (komplexwertigen) beliebig differenzierbaren Funktionen über ℝ, deren sämtliche Ableitungen polynomial beschränkt sind. Gemäß (3.2) lautet dann die Definition der Multiplikation einer temperierten Distribution F (t) mit einer Funktion k(t) ∈ O_{M}(ℝ) :

∫ (k(t) F (t)) φ(t) dt =^{def} ∫ F (t) (k(t) φ(t)) dt ∀ F ∈ S(ℝ)′ , φ ∈ S(ℝ) , (3.9)

weshalb man auf die großen Klammern verzichten kann. Man beachte:

F ∗ ψ ∈ O_{M}(ℝ) ∀ F ∈ S(ℝ)′ , φ ∈ S(ℝ) .

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1Man beachte, daß das Faltungsprodukt ∗ kommutativ ist (Beweis als Übungsvorschlag).

Anmerkung: Mithilfe von (3.7) läßt sich zeigen (indem man ψ(t) durch eine δ-Folge ersetzt), daß alle für temperierte Distributionen F (t) erklärten Beziehungen gültig sind, wenn sie für alle F (t) ∈ O_{M}(ℝ) gültig sind. \underline{Beispiel:}

∫ (ψ(t) F (t)) e^{−iωt} dt = ∫ F (t) (ψ(t) e^{−iωt}) dt ∀ ψ ∈ S(ℝ) , F ∈ S(ℝ)′ .

(3.10)

Nicht erfaßt durch (3.2) ist der Übergang zur konjugiert komplexen Distribution:

∫ \overline{F (t)} φ(t) dt =^{def} \overline{∫ F (t) \overline{φ}(t)} dt ∀ φ ∈ S(ℝ) .

Übungsaufgabe 36 Man beweise folgende Regeln für die Fourier-Transformation (1.25/(1.26)):^{2}

Nr.  Distribution  Fourier-Transformierte
0 F (t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ F̃(ω)e^{+iωt} dt F̃(ω) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ F (t)e^{−iωt} dt
1  z_{1}F_{1}(t) + z_{2}F_{2}(t)  z_{1}F̃_{1}(ω) + z_{2}F̃_{2}(ω)
2  \frac{d}{dt}F (t)  iω F̃(ω)
3  −it F (t)  \frac{d}{dω} F̃(ω)
4  F (t − t_{0})  e^{−iω_{0}t} F̃(ω)
5  e^{+iωt_{0}} F (t)  F̃(ω − ω_{0})
6  \overline{F (t)}  \overline{F̃(−ω)}
7  \overline{F (−t)}  \overline{F̃(ω)}
8  δ(t)  1/\sqrt{2π}
9  1/\sqrt{2π}  δ(ω)
10  ψ(t) F (t)  \frac{1}{\sqrt{2π}} (ψ̃ ∗ F̃) (ω)
11  \frac{1}{\sqrt{2π}}(ψ ∗ F)(t)  ψ̃(ω) F̃(ω)
12  e^{−t^{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}} e^{−ω^{2}/4}
13  F (λt)  \frac{1}{λ} F (\frac{ω}{λ})

Übungsaufgabe 37 Man bestimme Ũ(ω) für U(t) = U_{0} cos (ω_{0}t + φ_{0}) .

3.1.2 Grundgleichungen und Kausalitätsprinzip

Als (linearer) temperierter 2-Pole sei ein elektronischer Baustein bezeichnet, für den temperierte Distributionen U_{δ}(t) und I_{δ}(t) existieren, mit denen der Zusammenhang zwischen anliegender (reeller) Spannung U(t) und (reeller) Stromstärke I(t) stets durch

U(t) = (U_{δ} ∗ I)(t) ∀ I = \overline{I} ∈ S(ℝ)  (3.11)

Version vom 26. März 2009 2Regel 12 ist lediglich ein Spezialfall von (2.31).

und

I(t) = (I_{δ} ∗ U)(t) ∀ U = \overline{U} ∈ S(ℝ)

gegeben ist.^{3} Wir nennen einen temperierten 2-Pol^{4} konventionell, wenn (komplexwertige) Polynome P̌(ω) , Q̌(ω) existieren mit^{5}

Ũ(ω) = \frac{P̌(ω)}{Q̌(ω)} Ĩ(ω) ∀I = \overline{I} ∈ S(ℝ) , ω ∈ \{ω′ ∈ ℝ : Q̌(ω′) ≠ 0\} .  (3.12)

Dabei ist die Gleichheit zweier temperierter Distributionen F̃_{1}(ω) , F̃_{2}(ω) innerhalb einer offenen Teilmenge O von ℝ allgemein folgendermaßen definiert:

F̃_{1}(ω) = F̃_{2}(ω) ∀ ω ∈ O ⟺^{def} F_{1}(φ) = F_{2}(φ) ∀ φ ∈ D(O) .  (3.13)

Übungsaufgabe 38 Man zeige

1. Kapazitäten, Induktivitäten und Ohmsche Widerstände sind konventionelle (temperierte) 2-Pole mit

Ũ_{δ}(ω) = \frac{1}{\sqrt{2π}} R(ω) ∀ ω ≠ 0 ,

wobei R(ω) gemäß Übungsaufgabe 2 gegeben ist.

2. Für konventionelle 2-Pole gilt stets

2π Ĩ_{δ}(ω) = 1/Ũ_{δ}(ω)

außerhalb einer endlichen Teilmenge von ℝ.

3. Die Parallelschaltung zweier konventioneller 2-Pole ergibt wieder einen konventionellen 2-Pol mit

Ĩ_{δ}(ω) = Ĩ_{δ}^{(1)}(ω) + Ĩ_{δ}^{(2)}(ω)

außerhalb einer endlichen Teilmenge von ℝ.

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3Die Grenzfälle U_{δ} = 0 (Kurzschluß) und I_{δ} = 0 (vollständige Isolation) sind also, streng genommen, nicht zugelassen.

4Man kann zeigen, daß bei einem beliebigen Netzwerk linearer 2-Pole (ohne innere Spannungsquellen) Potentiale und Ströme an allen Verbindungspunkten festliegen, wenn die Potentiale an zwei Verbindungspunkten (als Funktionen der Zeit) gegeben sind – sofern der (komplexe) Leitwert für keine Paar von Verbindungspunkten verschwindet (einfach zusammenhängendes Netzwerk).

5Da U(t) für |t| → ∞ i.a. nicht verschwindet, müssen wir die Fourier-Transformation von U(t) natürlich im distributionstheoretischen Sinne interpretieren. Wir werden sehen (Beweis von Satz 3.1.1), daß es für kausale 2-Pole genügt, den Zusammenhang zwischen Ũ(ω) und Ĩ(ω) auf einem (beliebig kleinen) offenen Intervall von ℝ zu kennen.

4. Die Serienschaltung^{6} zweier konventioneller 2-Pole ergibt wieder einen konven-

tionellen 2-Pol mit

Ũ_{δ}(ω) = Ũ_{δ}^{(1)}(ω) + Ũ_{δ}^{(2)}(ω)

außerhalb einer endlichen Teilmenge von ℝ.

Wir nennen einen temperierten 2-Pol kausal, wenn er die Bedingungen

I(t) = 0 ∀ t < 0 ⟹ U(t) = 0 ∀ t < 0  (3.14)

für alle I ∈ S(ℝ) und

U(t) = 0 ∀ t < 0 ⟹ I(t) = 0 ∀ t < 0  (3.15)

für alle U ∈ S(ℝ) erfüllt.^{7}

Anmerkung: Die beiden Kausalitätsbedingungen entsprechen unterschiedlichen Betriebsbedingungen. (3.14) geht davon aus, daß man den Strom (im Prinzip) beliebig steuern kann und dieser dann die Ursache für die Spannung ist. Entsprechend geht (3.15) davon aus, daß man alternativ auch die Spannung (im Prinzip) beliebig steuern kann, die dann die Ursache für den Strom ist. Die Kausalitätsbedingung folgt dann jeweils aus der Forderung, daß die Wirkung der Ursache nicht zeitlich vorauseilen darf (‘no output before input’).

Die Kausalitätsbedingungen (3.14) und (3.15) sind offensichtlich äquivalent dazu, daß die charakteristischen (verallgemeinerten) Funktionen U_{δ}(t) und I_{δ}(t) für t < 0 verschwinden. Sie dienen dazu, die i.a. nur außerhalb einer endlichen Menge bekannten Fourier-Transformierten Ĩ_{δ}(ω) , Ĩ_{δ}(ω) für alle ω festzulegen. Zum Beispiel legt die Bedingung I(t) = C U̇(t) für einen idealen Kondensator nur

\sqrt{2π} Ũ(ω) = \frac{1}{iωC} Ĩ(ω) für ω ≠ 0

und damit U_{δ}(t) nur bis auf eine additive Konstante fest. (3.14) legt diese Konstante so fest, daß U_{δ}(t) mit der regulären Distribution U_{δ}(t) = \frac{1}{C} θ(t) übereinstimmt.

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6Ein einfaches Beispiel eines konventionellen 2-Pols, der sich nicht aus Parallel- und Serienschaltung elementarer 2-Pole ergibt, ist z.B. die Wheatstonesche Brücke (zur Berechnung siehe (Lunze, 1967, Aufgabe 2.91)).

7Für beliebige a < b ist die Bedingung

I(t) = 0 ∀ t ∈ (a, b) ⟺ U(t) = 0 ∀ t ∈ (a, b)

i.a. jedoch nicht erfüllt, wie schon die Parallelschaltung eines Kondensators mit einem Ohmschen Widerstand zeigt.

Zur allgemeinen Auswertung der Kausalitätsbedingungen benötigen wir die sog. Laplace-Transformation L für temperierte Distributionen F (t) :

(LF) (ω + iτ) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ F (t) (k(t) e^{−i(ω+iτ)t}) dt ∀ ω ∈ ℝ , τ < 0 ,

falls t′_{0} ∈ ℝ und k(t) ∈ O_{M}(ℝ) existieren mit:

F (t) = k(t) F (t) ∀ t ∈ ℝ

und

k(t) = 0 ∀ t < t′_{0} .

(3.16)

Anmerkungen:

(i) Nach (3.10) entspricht die Laplace-Transformierte von F (t) für festes τ < 0 der Fourier-Transformierten von k(t) e^{τt} F (t) .

(ii) Oft definiert man die Laplace-Transformation nur für den Fall, daß F (t) = 0 für t < 0 ist.

(iii) In der mathematischen Literatur schreibt man die Laplace-Trans-formation gewöhnlich als Funktion der Variablen s =^{def} i(ω+iτ) über der rechten Halbebene.^{8}

Übungsaufgabe 39 Man zeige mithilfe von (3.5): Falls die temperierte Distribution F der Bedingung

F (t) = 0 ∀ t < t_{0}

für geeignetes t_{0} ∈ ℝ genügt, dann ist die Laplace-Transformierte (LF)(ω + iτ) für τ < 0 eindeutig definiert und holomorph und es gilt

lim_{τ→−0} ∫ (LF)(ω + iτ) φ̃(ω − ω′) dω = ∫ F̃(ω) φ̃(ω − ω′) dω ∀ φ̃ ∈ S(ℝ) , ω′ ∈ ℝ .

(3.17)

Dabei ist die Konvergenz in (3.17) für festes φ̃ ∈ S(ℝ) und N > 0 gleichmäßig bzgl. ω′ ∈ [−N, +N] .

Daß (3.12) bzw. (3.18) und (3.14) zusammen die charakteristische Funktion U_{δ}(t) bereits eindeutig festlegen, besagt der folgende Satz.

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8Siehe z.B. (Doetsch, 1958; Doetsch, 1956; Voelker und Doetsch, 1950).

Satz 3.1.1 Seien U_{1}(t) , U_{2}(t) ∈ S(ℝ)′ und seien t_{0} , a , b ∈ ℝ, wobei a < b. Dann gilt

\begin{matrix}U_{1}(t) = U_{2}(t) ∀ t < t_{0} \\ Ũ_{1}(ω) = Ũ_{2}(ω) ∀ ω ∈ (a, b) \end{matrix} \} ⟹ Ũ_{1}(ω) = Ũ_{2}(ω) ∀ ωℝ .

Beweisskizze: Wir wählen ein ω_{0} ∈ (a, b) und ϵ > 0 klein genug, daß U_{2ϵ}(ω_{0}) ⊂ (a, b) gilt. Weiterhin wählen wir eine temperierte Funktion φ̃_{ϵ}(ω) , die außerhalb U_{ϵ}(0) verschwindet. Nach Übungsaufgabe 39 ist dann

f_{ϵ}(ω + iτ) =^{def} ∫ (LU_{1} − LU_{2}) (ω′ + ω + iτ) φ̃_{ϵ}(ω′ − ω_{0}) dω′

für τ < 0 holomorph und konvergiert für τ → −0 gleichmäßig bzgl. ω ∈ U_{ϵ}(0) gegen Null. Daher ist mit

F (z) =^{def} \{ \begin{matrix}f_{ϵ}(z) & falls ℑ(z) < 0 \\ 0 & sonst \end{matrix}

durch

g(z) =^{def} \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{ϵ}(0)} \frac{F (z′)}{z′ − z} dz′

eine in U_{ϵ}(0) holomorphe Funktion mit

g(z) =_{(2.28)} \{ \begin{matrix}\frac{1}{2πi} ∫_{∂\{z′∈U_{ϵ}(0): ℑ(z′)<0\}} \frac{F (z′)}{z′ − z} dz′ =_{(2.32)} f_{ϵ}(z) für ℑ(z) < 0 , \\ \frac{1}{2πi} ∫_{∂\{z′∈U_{ϵ}(0): ℑ(z′)>0\}} \frac{F (z′)}{z′ − z} dz′ = 0 für ℑ(z) > 0 . \end{matrix}

Nach dem Prinzip der analytischen Fortsetzung muß g(z) in ganz U_{ϵ}(0) und damit f_{ϵ}(z) für ℑ(z) < 0 verschwinden. Indem man φ_{ϵ} für ϵ → +0 gegen die δ-Funktion konvergieren läßt, erhält man somit

(LU_{1})(ω_{0} + iτ) = (LU_{1})(ω_{0} + iτ) ∀ τ < 0

und daraus wiederum mit dem Prinzip der analytischen Fortsetzung:

(LU_{1})(z) = (LU_{1})(z) für alle z ∈ ℂ mit ℑ(z) < 0 .

Nach (3.17) folgt daraus die Gleichheit der Fourier-Transformierten von U_{1}(t) und U_{2}(t) und somit die Behauptung.

3.1.3 Heaviside-Formel und charakteristische Funktion

Voraussetzungsgemäß ist der komplexe Widerstand R(ω) = \sqrt{2π} Ũ_{δ}(ω) eines konventionellen 2-Pols stets von der Form

R(ω) = P̂(ω) + \frac{P (ω)}{Q(ω)} außerhalb einer endlichen Teilmenge von ℝ

für geeignete Polynome P̂ , P , Q mit Grad(P) < Grad(Q) .

(3.18)

Daher^{9} läßt sich R(ω) stets in die komplexe Ebene mit Ausnahme endlich vieler Singularitätspunkte (komplexe Nullstellen von Q) fortsetzen und der Beweis von Satz 3.1.1 zusammen mit Übungsaufgabe 39 zeigt:

Für kausale konventionelle Zweipole läßt sich der komplexe Widerstand analytisch in die offene untere komplexe Halbebene fortssetzen und stimmt dort mit dem \sqrt{2π}-fachen der Laplace-Transformierten der charakteristischen Funktion überein:^{10}

(LU_{δ}) (z) = \frac{1}{\sqrt{2π}} R(z) ∀ z ∈ ℝ − iℝ_{+}

(ℝ_{±} =^{def} {τ ∈ ℝ : ±τ > 0}) .

(3.19)

Entsprechend Anmerkung (i) zu (3.16) gilt also:^{11}

U_{δ}(t) = \frac{e^{−τt}}{\sqrt{2π}} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ R(ω + iτ) e^{iωt} dω) ∀ t ∈ ℝ , τ < 0 .  (3.20)

Die Auswertung von (3.20) basiert auf der sog. Heaviside-Formel :^{12}

\frac{e^{−τt}}{\sqrt{2π}} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ \frac{P (ω + iτ)}{Q(ω + iτ)} e^{iωt} dω) = ∑_{Nullstellen z_{j} von Q} θ(t) i Res (\frac{P (z)}{Q(z)} e^{izt})_{|_{z=z_{j}}}

im distributionstheoretischen Sinne für τ < 0 und P , Q gemäß (3.18).

(3.21)

Version vom 26. März 2009

9Man beachte die Quotientenregel und den Fundamentalsatz der Algebra (Satz 3.1.2).

10Man beachte, daß die Kausalitätsbedingung (3.14) äquivalent dazu ist, daß U_{δ}(t) für t < 0 verschwindet.

11Daß die rechte Seite von (3.20) im Falle (3.18) tatsächlich für t < 0 verschwindet erkennt man leicht durch Grenzbetrachtung τ → −∞. Für einen nur aus elementaren 2-Polen zusammengesetzten 2-Pol geht R(ω) in R̂(ω) = R(ω + iτ) über, wenn man zu jeder Induktivität L einen Ohmschen Widerstand −τL in Serie und zu jeder Kapazität C einen Ohmschen Widerstand \frac{−1}{τC} parallel schaltet.

12Das Residuum Res(f(z))_{|_{z=z′}} der Funktion f(z) an der Stelle z = z′ wurde in Übungsaufgabe 24 erklärt.

Beweis von (3.21) für |t| > ϵ > 0 : Zunächst sieht man leicht, daß

\frac{1}{2π} ∫_{−N}^{+N} \frac{P (ω + iτ)}{Q(ω + iτ)} e^{i(ω+iτ)t} dω ⟶_{N→∞} \frac{e^{−τt}}{\sqrt{2π}} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ \frac{P (ω + iτ)}{Q(ω + iτ)} e^{iωt} dω)

im distributionstheoretischen Sinne gilt. Für den Weg

C_{N}^{±} =^{def} ∂ {z ∈ U_{N}(0) : ±ℑ(z) > 0}

konvergiert andererseits

∫_{C_{N}^{±}} \frac{P (z + iτ)}{Q(z + iτ)} e^{i(z+iτ)t} dz − ∫_{−N}^{+N} \frac{P (z + iτ)}{Q(z + iτ)} e^{i(z+iτ)t} dz

für N → ∞ gleichmäßig bzgl. ±t > ϵ gegen Null. Da aus dem Cauchyschen Integralsatz (2.28)

∫_{C_{N}^{−}} \frac{P (z + iτ)}{Q(z + iτ)} e^{i(z+iτ)t} dz = 0

und für hinreichend großes N und hinreichend kleines r > 0

∫_{C_{N}^{+}} \frac{P (z + iτ)}{Q(z + iτ)} e^{i(z+iτ)t} dz = ∑_{Nullstellen z_{j} von Q} ∫_{∂U_{r}(z_{j})} \frac{P (z)}{Q(z)} e^{izt} dz

folgt, ergibt sich daraus die Gültigkeit von (3.21) für |t| > ϵ > 0 .

Übungsaufgabe 40 Man zeige, daß (3.21) für alle t ∈ ℝ gilt, weil (3.21) für |t| > ϵ gilt, wie klein auch immer man ϵ > 0 wählt.

Übungsaufgabe 41 Man zeige, daß jede in die offenen untere komplexe Halbebene fortsetzbare rationale Funktion dort tatsächlich mit der Laplace-Transformierten einer temperierten Distribution übereinstimmt, die für t < 0 verschwindet.

Aufgrund der Regeln 1, 2und 8 für die Fourier-Transformation (Übungsaufgabe 36) folgt nun aus (3.20) und (3.21):

U_{δ}(t) = P̂ (−i\frac{d}{dt}) δ(t) + ∑_{Nullstellen z_{j} von Q} Res (\frac{P (z)}{Q(z)} e^{izt})_{|_{z=z_{j}}} i θ(t)

mit P̂ P , Q gemäß (3.18).

(3.22)

Übungsaufgabe 42 Man beweise mithilfe der Taylor-Entwicklung (2.38) und der Formel (2.34) den Satz von Liouville:

Jede in ganz ℂ holomorphe und polynomial beschränkte Funktion ist ein Polynom.

Zur Bestimmung der Residuen in (3.22) benutzt man:

Satz 3.1.2 (Fundamentalsatz der Algebra) Zu jedem Polynom n-ten Grades Q(z) existieren komplexe Zahlen a, z_{1}, …, z_{n} mit

Q(z) = a ∏_{j=1}^{n}(z − z_{j}) ∀ z ∈ ℂ .

Beweisskizze: Wenn Q(z) keine Nullstelle besitzt, dann ist gemäß Quotientenregel (2.15) auch 1/Q(z) in ganz ℂ holomorph und beschränkt und somit nach dem Satz von Liouville konstant. Wenn z_{1} eine Nullstelle von Q(z) ist, so erkennt man aus der Taylor-Entwicklung von Q(z) um die Stelle z = z_{1} herum mit dem Satz von Liouville, daß auch Q(z)/(z −z_{1}) ein Polynom ist. Durch n-fache Anwendung dieses Arguments folgt die Behauptung.

Anmerkung: Für große n lassen sich die Nullstellen z_{j} i.a. nur approximativ (mit dem Computer) ermitteln.

Der Einfachheit halber sei nur der Fall betrachtet, daß die z_{j} in Satz 3.1.2 paarweise verschieden sind (einfache Nullstellen). Mit der Laurent-Entwicklung (2.37) und dem Satz von Liouville ergibt sich für P, Q entspr. (3.18) dann die Partialbruchzerlegung

\frac{P (z)}{Q(z)} = ∑_{j=1}^{n}(z − z_{j})^{−1} Res (\frac{P (z)}{Q(z)})_{|_{z=z_{j}}}

(Beweis als Übungsvorschlag) und daraus mit der Cauchyschen Integralformel (2.32)

Res (\frac{P (z)}{Q(z)} e^{izt})_{|_{z=z_{j}}} = e^{iz_{j}t} Res (\frac{P (z)}{Q(z)})_{|_{z=z_{j}}} ∀ j ∈ \{1, …, n\} , t ∈ ℝ .

Durch Multiplikation der Partialbruchzerlegung mit z − z_{j} und Grenzübergang z → z_{j} ergibt sich mit Satz 3.1.2

Res (\frac{P (z)}{Q(z)})_{|_{z=z_{j}}} = \frac{P (z_{j})}{a ∏_{k≠j}(z_{j} − z_{k})} = \frac{P (z_{j})}{Q′(z_{j})} .

Damit läßt sich für (3.22) schreiben:

U_{δ}(t) = P̂ (−i\frac{d}{dt}) δ(t) + ∑_{Nullstellen z_{j} von Q} \frac{P (z_{j})}{Q′(z_{j})} e^{iz_{j}t} i θ(t)

mit P̂ P , Q gemäß (3.18), falls Q nur einfache Nullstellen besitzt.

(3.23)

∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ Alle bisherigen Betrachtungen gelten natürlich entsprechend, wenn man die Rollen von R(ω) und G(ω) = 1/R(ω) sowie von U(t) und I(t) vertauscht (Dualität)!

Übungsaufgabe 43 Man zeige, daß der Zusammenhang zwischen U(t) und I(t) für den Schwingkreis

........................ .................. ........................ ..................

........................ ..................

..................... ............ .................... ............ .................... ........... . R

L C I I

U

(vgl. 1.1.2) durch

U(t) = R I(t) + L İ(t) + \frac{1}{C} ∫_{−∞}^{t} I(t′) dt′  (3.24)

und

I(t) = \frac{d}{dt} ℜ (\frac{1}{iω_{R}} e^{−(ρ−iω_{R})t} ∫_{−∞}^{t} e^{+(ρ−iω_{R})t′} \frac{U(t′)}{L} dt′)  (3.25)

gegeben ist, wobei

ρ =^{def} \frac{R}{2L} , ω_{R} =^{def} \sqrt{\frac{1}{LC} − ρ^{2}}  (3.26)

(vgl. Übungsaufgabe 3).

Anmerkung: (3.24) läßt sich auch direkt erraten und verifizieren. (3.25) läßt sich auch mithilfe der Methode der Variation der Konstanten aus der Differentialgleichung

Q̈(t) + \frac{R}{L} Q̇(z) + \frac{1}{LC} Q(t) = \frac{U(t)}{L}

ableiten (siehe Abschn. 5.3.3 von (Lücke, ein)).

Literatur zur Netzwerktheorie: (Brown und Nilsson, 1962; Carson, 1953; Lunze, 1967; Mathis, 1987; Papoulis, 1962; Schouten, 1961; Wagner und Thoma, 1962)

3.2 Vierpolketten

3.2.1 Kettenmatrix

Als Vierpol bezeichnet man einen elektronischen Baustein mit zwei Eingangs- und zwei Ausgangs-Polen. Wenn man mit einem äußeren Zweipol ˆ= R_{a}(ω) abschließt, ergibt sich ein Zweipol mit Strom I_{e}(t) und Spannung U_{e}(t) , während zum äußeren Zweipol der Strom I_{a}(t) und Spannung U_{a}(t) gehören:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} R_{a} U_{a}(t) U_{e}(t) I_{e}(t)  I_{a}(t) Vierpol

Einen (linearen) Vierpol nennen wir konventionell, wenn eine Matrix-wertige Funktion 𝕄(ω) existiert, deren Elemente rationale (komplex-wertige) Funktionen von ω sind, mit der für die Fourier-Transformierten der reellen Ströme und Spannungen stets die Beziehungen

( \begin{matrix}Ũ_{e}(ω) \\ Ĩ_{e}(ω) \end{matrix} ) = 𝕄(ω) ( \begin{matrix}Ũ_{a}(ω) \\ Ĩ_{a}(ω) \end{matrix} ) , det 𝕄(ω) ≠ 0 ,

für alle ω ∈ ℝ mit Ausnahme endlich vieler (nur vom Vierpol abhängiger) ω-Werte.

(3.27)

gelten. Man bezeichnet 𝕄(ω) als die Kettenmatrix des Vierpols. Diese Form der Vierpol-Matrix ist zur Beschreibung der Serienschaltung von Vierpolen (siehe 3. Teil von Aufgabe 44) geeignet.^{13}

Mit 𝕄^{v}(ω) bezeichnen wir die Kettenmatrix des vertierten Vierpols (Eingang und Ausgang vertauscht):

( \begin{matrix}Ũ_{a}(ω) \\ −Ĩ_{a}(ω) \end{matrix} ) = 𝕄^{v}(ω) ( \begin{matrix}Ũ_{e}(ω) \\ −Ĩ_{e}(ω) \end{matrix} ) .  (3.28)

Übungsaufgabe 44 Man zeige:

Version vom 26. März 2009 13Für die Parallelschaltung von Vierpolen ist dagegen die Leitwertform der Vierpol-Matrix geeigeter (siehe z.B. (Lunze, 1967, S. 231)).

1. 𝕄(ω) = 𝕄^{v}(ω) = ( \begin{matrix}1 & R(ω) \\ 0 & 1 \end{matrix} ) für den Vierpol  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  R  U_{a} I_{a} U_{e}I_{e}

2. 𝕄(ω) = 𝕄^{v}(ω) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1/R(ω) & 1 \end{matrix} ) für den Vierpol  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  I_{a} I_{e}  R  U_{a} U_{e}

3. 𝕄(ω) = 𝕄_{1}(ω) 𝕄(ω)_{2} ⋯ 𝕄_{n}(ω) für die Vierpolkette

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} U_{e}I_{e}  U_{a} I_{a} 𝕄_{1}  𝕄_{2}  𝕄_{n}

4.

𝕄^{−1}(ω) = ( \begin{matrix}+M_{11}^{v}(ω) & −M_{12}^{v}(ω) \\ −M_{21}^{v}(ω) & +M_{22}^{v}(ω) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) 𝕄^{v} ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

5.

𝕄 = 𝕄^{v} ⟺ (M_{11} = M_{22} ∧ det 𝕄 = 1) .

Ein Beispiel für einen linearen Vierpol, der sich nicht durch einfache Vernetzung (sondern induktive Kopplung) konventioneller Zweipole ergibt, ist der sog. Transformator,

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; I_{e}; U_{e}; I_{a}; U_{a}]

der durch die Gleichungen

U_{e} = +L_{11}İ_{e} − L_{12}İ_{a} ,
U_{a} = −L_{22}İ_{a} − L_{21}İ_{e} ,
mit Kopplungsgrad κ =^{def} \frac{L_{12}L_{21}}{L_{11}L_{22}} ≠ 0 ,

(3.29) charakterisiert ist (vgl. Aufgabe 30 von (Lücke, edyn)). Also ist die Kettenmatrix

𝕄(ω) = ( \begin{matrix}\frac{L_{11}}{L_{21}} & iL_{12} \frac{1 − κ}{κ} \\ \frac{1}{iωL_{21}} & \frac{L_{22}}{L_{21}} \end{matrix} ) für den Transformator . (3.30)

Übungsaufgabe 45 Man zeige (3.30) und dafür:

det 𝕄(ω) = \frac{L_{12}}{L_{21}} .

Falls eine Formgröße F existiert mit

L_{jk} = n_{j}n_{k}F ,  (3.31)

wobei n_{1} und n_{2} die entsprechenden Windungszahlen sind, nennt man den Transformator fast ideal. Dann ist der Kopplungsgrad κ = 1 bzw. die sog. Streuung

σ =^{def} 1 − κ = 0 und

𝕄(ω) = ( \begin{matrix}\frac{n_{1}}{n_{2}} & 0 \\ \frac{1}{iωn_{1}n_{2}F} & \frac{n_{2}}{n_{1}} \end{matrix} ) für den fast idealen Transformator .

(3.32)

Im Grenzfall F → ∞ nennt man den Transformator ideal.

Anmerkung: Die Gleichungen (3.29) und (3.31) ergeben sich durch einfache Anwendung der sog. quasistationären Näherung (Vernachlässigung von \frac{ϵ}{c} Ė)

rot H = \frac{4π}{c} ȷ , rot E = −\frac{μ}{c} Ḣ

der Maxwellschen Gleichungen (im Gaußschen System), indem man

(i) die durch Hysteresis bedingten Verluste vernachlässigt (Verwendung von μ),

(ii) die Wirbelströme im Weicheisen vernachlässigt (aufgrund der Lamellen-Konstruktion möglich),

(iii) den Ohmschen Widerstand der Wicklungen vernachlässigt und

(iv) die Abhängigkeit des magnetischen Gesamtflusses durch den Eisenkernquerschnitt von der Schnittstelle vernachlässigt (Streuungsfreiheit).

Experimentell läßt sich die Kettenmatrix eines linearen Vierpols im Prinzip durch Kurzschluß- (d.h. R_{a} = U_{a} = 0) und Leerlauf-Betrieb (d.h. 1/R_{a} = I_{a} = 0) bestimmen; denn:

\begin{matrix}Ũ_{e}(ω) = M_{12}(ω) Ĩ_{a}(ω) \\ Ĩ_{e}(ω) = M_{22}(ω) Ĩ_{a}(ω) \end{matrix} \} bei Kurzschlußbetrieb , (3.33)

\begin{matrix}Ũ_{e}(ω) = M_{11}(ω) Ũ_{a}(ω) \\ Ĩ_{e}(ω) = M_{21}(ω) Ũ_{a}(ω) \end{matrix} \} bei Leerlaufbetrieb . (3.34)

3.2.2 Anwendung der Heaviside-Methode

Ein Vierpol heiße kausal, falls er der Bedingung

U_{e} = I_{e} = 0 ∀ t < 0 ⟺ U_{a} = I_{a} = 0 ∀ t < 0  (3.35)

genügt. Damit ist klar, daß sich die in 3.1.3 dargelegte Heaviside-Methode auch zur Berechnung konventioneller kausaler Vierpole verwenden läßt:

Man schreibt^{14} entsprechend (3.18)

𝕄(ω)^{−1} = (P̂_{jk}(ω) + \frac{P_{jk}}{Q_{jk}} )_{k=1,2}^{j=1,2}

für geeignete Polynome P̂_{jk} , P_{jk} , Q_{jk} mit

Grad(P_{jk}) < Grad(Q_{jk}) ∀ j, k ∈ {1, 2} .

(3.36)

und löst die zu (3.27) äquivalente Gleichung

( \begin{matrix}Ũ_{a}(ω) \\ Ĩ_{a}(ω) \end{matrix} ) = 𝕄(ω)^{−1} ( \begin{matrix}Ũ_{e}(ω) \\ Ĩ_{e}(ω) \end{matrix} ) für fast alle ω ∈ ℝ (3.37)

in direkter Verallgemeinerung von (3.11)/(3.22) durch

U_{a}(t) = P̂_{11} (−i\frac{d}{dt}) U_{e}(t) + ∑_{Nullst. z_{j}^{11}_{von Q_{11}}} ∫_{−∞}^{t} a_{j}^{11}(t′) U_{e}(t′) dt′

+P̂_{12} (−i\frac{d}{dt}) I_{e}(t) + ∑_{Nullst. z_{j}^{12}_{von Q_{12}}} ∫_{−∞}^{t} a_{j}^{12}(t′) I_{e}(t′) dt′

(3.38)

Version vom 26. März 2009

14Man beachte die 4. Aussage von Übungsaufgabe 44

sowie

I_{a}(t) = P̂_{21} (−i\frac{d}{dt}) U_{e}(t) + ∑_{Nullst. z_{j}^{21}_{von Q_{21}}} ∫_{−∞}^{t} a_{j}^{21}(t′) U_{e}(t′) dt′

+P̂_{22} (−i\frac{d}{dt}) I_{e}(t) + ∑_{Nullst. z_{j}^{22}_{von Q_{22}}} ∫_{−∞}^{t} a_{j}^{22}(t′) I_{e}(t′) dt′ ,

(3.39)

wobei:

a_{l}^{jk}(t) =^{def} lim_{r→+0} \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{r}(z_{l}^{jk})} i\frac{P_{jk}(z)}{Q_{jk}(z)} e^{izt} dz
= i \frac{P_{jk}(z_{l}^{jk})}{Q′_{jk}(z_{l}^{jk})} e^{iz_{l}^{jk}t} falls z_{l}^{jk} einfache Nullstelle von Q_{jk} .

(3.40)

Übungsaufgabe 46 Man zeige, daß

Ũ_{e}(ω) = \frac{M_{11}(ω)R_{a}(ω) + M_{12}(ω)}{M_{21}(ω)R_{a}(ω) + M_{22}(ω)} Ĩ_{e}(ω)  (3.41)

gilt, wenn man den Vierpol mit R_{a}(ω) ≠ 0, ∞ abschließt.

Mit (3.41) läßt sich (für rationales R_{a}(ω)) entsprechend 3.1.3 je nach Wahl eine der beiden Größen U_{e}(t) oder I_{e}(t) in (3.38)/(3.39) eliminieren.

3.2.3 Beispiel: Einschalten eines belasteten Transformators

Übungsaufgabe 47 Ein mit dem Ohmschen Widerstand R_{a}(ω) = (n_{1}/n_{2})^{2} R abgeschlossener idealer Transformator werde zur Zeit t = 0 an einen Generator der Wechselspannung

U(t) = U_{0} cos (ω_{0}t + φ_{o})

mit Innenwiderstand R_{i}(ω) = R + iωL angeschlossen.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ˜≈; I_{e}; I_{a}; R_{i}; R_{a}; U_{a}; U; id. Trafo; Schalter; Ersatz-Vierpol]

3.2. VIERPOLKETTEN 67 Man zeige:

U_{a}(t) = \{ \begin{matrix}\frac{n_{2}}{n_{1}} U_{0} ℜ (\frac{e^{i(ω_{0}t+φ_{0})} − e^{− \frac{2R}{L} t+iφ_{0}}}{2 + iω_{0}L/R} ) & für t > 0 , \\ 0 & sonst . \end{matrix}

68 KAPITEL 3. DIE HEAVISIDE-METHODE

Dispersionsrelationen

4.1 Dispersion elektromagnetischer Wellen^{1}

4.1.1 Bedeutung und Analytizitätseigenschaften der Materialkonstanten

Das Verhalten elektromagnetischer Wellen in Materie wird (in Dipol-Näherung) durch die Maxwellschen Gleichungen

rot H(x, t) = \frac{4π}{c} ȷ_{makro}(x, t) + \frac{1}{c}Ḋ(x, t)  (4.1)
rot E(x, t) = −\frac{1}{c}Ḃ(x, t) ,  (4.2)
div D(x, t) = 4πρ_{makro}(x, t) ,  (4.3)
div B(x, t) = 0  (4.4)

für die makroskopischen Felder gegeben, wobei (ρ_{makro}, ȷ_{makro}) die Strom-Ladungs-Verteilung der Überschußladungen bezeichnet (vgl. (Lücke, edyn)). Dabei hängt die sog. Magnetisierung

M(x, t) = \frac{B(x, t) − H(x, t)}{4π} = magn. Dipoldichte

linear und (räumlich) lokal von B(x, t) , die sog. dielektrische Polarisierung

P(x, t) = \frac{D(x, t) − E(x, t)}{4π} = elektr. Dipoldichte

sowie die Stromdichte ȷ_{makro}(x, t) linear und lokal von E(x, t) ab — sofern die Gleichungen (4.1)–(4.3) überhaupt sinnvoll anwendbar sind.

Version vom 26. März 2009

1Vgl. mit H.-J. Borchers: Eine Bemerkung zur Ausbreitung von Licht in dispergierenden Medien

Für homogene, isotrope Medien sollten daher temperierte Distributionen χ̃_{e}(t). h̃(t) und σ̃(t) existieren mit:

M(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ h̃(t − t′) B(x, t′) dt′ ,
P(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ χ̃_{e}(t − t′) E(x, t′) dt′ ,
ȷ_{makro}(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ σ̃(t − t′) E(x, t′) dt′ .

(4.5)

Die Einstufung vom B , E als Ursache und M , P , ȷ_{makro} als Wirkung führt auf folgende Kausalitätsbedingung:^{2}

h̃(t) = χ̃_{e}(t) = σ̃(t) = 0 ∀ t < 0 .  (4.6)

Weiterhin sollten die inversen Fourier-Transformierten h(ω) , χ_{e}(ω) , σ(ω) gewöhnliche Funktionen sein, die für ω → ±∞ hinreichend schnell gegen Null konvergieren. Dann sind aber auch h̃(t) , χ̃_{e}(t) , σ̃(t) gewöhnliche Funktionen, die zudem für t → +∞ exponentiell abfallen sollten (gedämpfte Wirkung).

Übungsaufgabe 48 Man zeige, daß die gemäß

\begin{matrix}ẍ(t) + 2ρ ẋ(t) + ω_{0}^{2} x(t) = f(t) , \\ x(t) = f(t) = 0 für t < t_{0} , \end{matrix}

durch f(t) erzwungene, schwach (d.h. 0 < ρ klein) gedämpfte Schwingung von der Form

x(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ r̃(t − t′) f(t′) dt′

ist, wobei

r(ω) = \frac{1}{ω_{0}^{2} − ρ^{2} − (ω + iρ)^{2}}

in eine Umgebung der abgeschlossenen oberen komplexen Halbebene fortsetzbar ist und

\begin{aligned}r̃(t) & = & \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ r(−ω) e^{iωt} dω \\ & = & \sqrt{\frac{ω_{0}^{2} − ρ^{2}}{2π}} e^{−ρt} sin (t\sqrt{ω_{0}^{2} − ρ^{2}}) θ(t) \end{aligned}

gilt (vgl. Übungsaufgabe 43).

Version vom 26. März 2009

2Das exakte Verschwinden für t < 0 ist nicht wirklich wichtig, aber eine zweckmäßige Idealisierung der makroskopischen Eigenschaften.

Dann folgt mit der Kausalitätsbedingung (4.6), daß

h(z) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ h̃(t) e^{izt} dt
χ_{e}(z) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ χ̃_{e}(t) e^{izt} dt (dielektrische Suszeptibilität )
σ(z) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ σ̃(t) e^{izt} dt (spezifische Leitfähigkeit )

in einer hinreichend kleinen Umgebung der abgeschlossenen oberen Halbebene holomorphe beschränkte Funktionen sind. Entsprechendes gilt somit für die sog. Dielektrizitätskonstante

ϵ(z) =^{def} 1 + 4π χ_{e}(ω)

und die reziproke Permeabilität

1/μ(z) =^{def} 1 − 4π h(z) .

Da h̃, χ̃_{e} und σ̃ reell sein müssen, folgen gemäß Regel 7 für die Fourier-Transfor-mation und dem Prinzip der analytischen Fortsetzung im Zusammenhang mit (2.18) die sog. crossing relations

\begin{matrix}ϵ(z) & = & \overline{ϵ (−\overline{z})} \\ 1/μ(z) & = & \overline{1/μ (−\overline{z})} \\ σ(z) & = & \overline{σ (−\overline{z})} \end{matrix} \} für ℑ(z) ≥ 0 .  (4.7)

Das asymptotische Verhalten auf der reellen Achse ist:

\begin{matrix}ϵ(ω) & → & 1 \\ μ(ω) & → & 1 \\ σ(ω) & → & 0 \end{matrix} \} für ω → ±∞ .  (4.8)

Bzgl. der inversen Fourier-Transformierten

H(x, ω) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ H(x, t) e^{iωt} dt ,
E(x, ω) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ E(x, t) e^{iωt} dt ,
D(x, ω) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ D(x, t) e^{iωt} dt ,
B(x, ω) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ B(x, t) e^{iωt} dt

hinsichtlich der Variablen t lauten die Maxwellschen Gleichungen unter der Voraussetzung (4.5) für den Fall ρ_{makro} = 0 :

rot H(x, ω) = −i\frac{ω}{c} (ϵ(ω) + i \frac{4π σ(ω)}{ω}) E(x, ω) .  (4.9)

rot E(x, ω) = i \frac{ω μ(ω)}{c} H(x, ω) .  (4.10)
div E(x, ω) = 0 ,  (4.11)
div H(x, ω) = 0 .  (4.12)

Anmerkung: Die Materialkonstanten ϵ(ω), σ(ω) gehen in die Maxwellschen Gleichungen also nur in der Kombination

ϵ^{+}(ω) =^{def} ϵ(ω) + i \frac{4π σ(ω)}{ω}

ein, die man gewöhnlich als komplexe Dielektrizitätskonstante bezeichnet — obwohl aus physikalischer Sicht (vgl. Übungsaufgabe 48) bereits ϵ(ω) komplexwertig sein sollte. Wenn nur ϵ^{+}(ω) vorgegeben ist, kann man daher mathematisch so vorgehen, als seien ϵ(ω) und σ(ω) reell, aber nicht für sich analytisch. Entsprechendes gilt für die komplexe Leitfähigkeit

σ^{+}(ω) =^{def} σ(ω) − i \frac{ω ϵ(ω)}{4π} (= −i\frac{ω}{4π} ϵ^{+}(ω)) .

Übungsaufgabe 49 Man zeige für beliebig vorgegebenes ω ∈ ℝ, daß unter den Voraussetzungen (4.1)–(4.5)

ρ̂_{makro}(x, ω) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ ρ_{makro}(x, t) e^{iωt} dω

für alle x ∈ ℝ^{3} Null sein muß, wenn ϵ(ω) σ^{+}(ω) von Null verschieden und ρ_{makro} ∈ S′ ist.^{3} Man diskutiere das Ergebnis physikalisch.

Aus (4.9)/(4.10) und (4.12) folgt wegen

∇_{x} × (∇_{x} × H(x, ω)) = ∇_{x} (∇_{x} · H(x, ω)) − Δ_{x}H(x, ω)

(Entwicklungssatz) mit dem sog. komplexen Brechungsindex

N (ω) =^{def} \sqrt{μ(ω) (ϵ(ω) + i \frac{4π σ(ω)}{ω})} mit positivem Realteil (4.13) die Gleichung

Version vom 26. März 2009 3Hinweis: Man bilde die Divergenz beider Seiten von Gleichung (4.9) und verwende die Verallgemeinerung von (4.11) für den Fall ρ_{makro} ≠ 0 .

(Δ_{x} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} N (ω)^{2}) H(x, ω) = 0 .

Entsprechend ergibt sich

(Δ_{x} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} N (ω)^{2}) E(x, ω) = 0

mit (4.11) anstelle von (4.12). Daher liegt der spezielle Lösungsansatz

E(x, ω) = E_{0}(ω) exp (i \frac{ω N (ω)}{c} x · s(ω)) ,
H(x, ω) = H_{0}(ω) exp (i \frac{ω N (ω)}{c} x · s(ω))
mit s(ω) · s(ω) = 1

(4.14)

nahe, der unter den Voraussetzungen

s(ω) · E_{0}(ω) = 0 , H_{0}(ω) = \frac{N (ω)}{μ(ω)} s(ω) × E_{0}(ω)  (4.15)

den Gleichungen (4.9)–(4.12) tatsächlich genügt. Die Überlagerung der für ℑ (N (ω)) ≠ 0 in Fortpflanzungsrichtung gedämpften, ebenen, elektromagnetischen Wellen

E(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ e^{− \frac{β(ω)}{2} x·s(ω)} E_{0}(ω) e^{−i ω (t− \frac{n(ω)}{c} x·s(ω))} dω

H(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ e^{− \frac{β(ω)}{2} x·s(ω)} H_{0}(ω) e^{−i ω (t− \frac{n(ω)}{c} x·s(ω))} dω ,

mit : β(ω) =^{def} \frac{2ω}{c} ℑ (N (ω)) Absorptionskoeffizient , n(ω) =^{def} ℜ (N (ω)) reeller Brechungsindex ,

(4.16)

mit Kreisfrequenz ω, Ausbreitungsrichtung s(ω) und Phasengeschwindigkeit c/n(ω) stellt also eine spezielle Lösung der makroskopischen Maxwellschen Gleichungen (4.1)–(4.3) in einem homogenen, isotropen Medium mit den (ω-abhängigen) Materialkonstanten ϵ(ω), μ(ω), σ(ω) dar.

4.1.2 Analytizitätseigenschaften von N (ω)/μ(ω)

Aufgrund der erörterten Eigenschaften der Materialkonstanten ist

g(z) =^{def} \frac{ϵ(z)}{μ(z)} + 4πi \frac{σ(z)}{z μ(z)}  (4.17)

in einer Umgebung von

P =^{def} {z ∈ ℂ : z ≠ 0 , ℑ(z) ≥ 0}

holomorph und dort außerhalb jeder Umgebung von z = 0 beschränkt. Außerdem gilt nach (4.13):

(\frac{N (ω)}{μ(ω)})^{2} = g(ω) für reelle ω ≠ 0 .

(4.18)

Daraus folgt aber noch nicht, daß N (ω)/μ(ω) selbst Randwert einer entsprechenden holomorphen Funktion ist. Um das zu sehen, betrachten wir die orthogonale Reflexion elektromagnetischer Wellen an einem homogenen, isotropen Medium mit der Materialkonstanten μ(ω), ϵ(ω), σ(ω) , das den Halbraum x ≥ 0 ausfülle:

{e_{1}, e_{2}, e_{3}} sei eine rechtshändige Orthonormalbasis mit e_{1} in positiver x-Richtung. Im Vakuum links laufe eine ebene Welle

E_{in}(x, t) = \frac{e_{2}}{\sqrt{2π}} ∫ E_{in}(ω) e^{−iω (t−x/c)} dω ,
H_{in}(x, t) = e_{1} × E_{in}(x, t)

(vgl. (4.8)) auf die Grenzfläche zu. Die reflektierte Welle sei

E_{out}^{(−)}(x, t) = \frac{−e_{2}}{\sqrt{2π}} ∫ E_{out}^{(−)}(ω) e^{−iω (t+x/c)} dω ,
H_{out}^{(−)}(x, t) = −e_{1} × E_{out}^{(−)}(x, t) .

Die im Medium fortlaufende, gedämpfte Welle sei

E_{out}^{(+)}(x, t) = \frac{e_{2}}{\sqrt{2π}} ∫ E_{out}^{(+)}(ω) e^{− \frac{β(ω)}{2} x}e^{−iω (t− \frac{n(ω)}{c} x)} dω ,
H_{out}^{(+)}(x, t) = \frac{e_{3}}{\sqrt{2π}} ∫ \frac{N (ω)}{μ(ω)} E_{out}^{(+)}(ω) e^{− \frac{β(ω)}{2} x}e^{−iω (t− \frac{n(ω)}{c} x)} dω .

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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Medium E_{in} E{(−) \atop out}  E{(+) \atop out} e_{1} e_{2}  x

Insgesamt liegt also die elektromagnetische Welle

E(x, t) = \{ \begin{matrix}E_{in}(x, t) + E_{out}^{(−)}(x, t) & für x < 0 , \\ E_{out}^{(+)}(x, t) & für x > 0 , \end{matrix}
H(x, t) = \{ \begin{matrix}H_{in}(x, t) + H_{out}^{(−)}(x, t) & für x < 0 , \\ H_{out}^{(+)}(x, t) & für x > 0 \end{matrix}

vor. E_{out}^{(−)}(ω) und E_{out}^{(+)}(ω) bestimmen sich aus E_{in}(ω) aufgrund der Randbedingungen an der Grenzfläche. Aus (4.5) folgt nämlich bekanntlich (vgl. Abschn. 4.2.1 von (Lücke, edyn)), daß die zur Grenzfläche parallelen Komponenten von E und H stetig sein müssen. Im vorliegenden Fall bedeutet das

E_{in}(ω) − E_{out}^{(−)}(ω) = E_{out}^{(+)}(ω)

und

E_{in}(ω) + E_{out}^{(−)}(ω) = \frac{N (ω)}{μ(ω)} E_{out}^{(+)}(ω) .

Daraus folgt

E_{out}^{(+)}(ω) = \frac{2}{\frac{N (ω)}{μ(ω)} + 1} E_{in}(ω) ,

E_{out}^{(−)}(ω) = \frac{1}{2} (\frac{N (ω)}{μ(ω)} − 1) E_{out}^{(+)}(ω) = \frac{\frac{N (ω)}{μ(ω)} − 1}{\frac{N (ω)}{μ(ω)} + 1} E_{in}(ω)

und somit für die reflektierte Welle gemäß Regel 10 für die Fourier-Transformation:

E_{out}^{(−)}(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ r̃(t − t′) E_{in}(x, t′) dt′

mit

r̃(t) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ \frac{\frac{N (ω)}{μ(ω)} − 1}{\frac{N (ω)}{μ(ω)} + 1} e^{−iω t} dω .

(4.19)

Damit die reflektierte Welle nie auftreten kann, bevor die einfallende Welle die Grenzschicht erreicht, muß also

r̃(t) = 0 für t < 0  (4.20)

gelten. Entsprechend den für die Materialkonstanten bereits angestellten Überlegungen sollte sich

r(ω) =^{def} \frac{\frac{N (ω)}{μ(ω)} − 1}{\frac{N (ω)}{μ(ω)} + 1}  (4.21)

zu einer in einer Umgebung der abgeschlossenen oberen komplexen Halbebene holomorphen, beschränkten Funktion r(z) fortsetzen lassen. Für r(ω) ≠ 1 stimmt

(\frac{1+r(ω)}{1−r(ω)})^{2} gemäß (4.18) mit g(ω) überein. Nach dem Prinzip der analytischen Fort-

setzung stimmt daher (\frac{1+r(ω)}{1−r(ω)})^{2} für alle z einer geeigneten Umgebung von P mit g(z) überein, für die r(z) ≠ 1 ist. Da g(z) in einer Umgebung von P holomorph, insbesondere also lokal beschränkt ist, muß r(z) in einer hinreichend kleinen Umgebung von P von 1 verschieden sein. Folglich ist auch

\frac{N (z)}{μ(z)} =^{def} \frac{1 + r(z)}{1 − r(z)}

in einer Umgebung von P (konsistent definiert) holomorph und dort außerhalb jeder Umgebung von z = 0 lokal beschränkt. Nach (4.13) und (4.8) gilt

\frac{N (ω)}{μ(ω)} ⟶ 1 für ω → ±∞

und somit aufgrund des folgenden Satzes sogar

\frac{N (r e^{iφ})}{μ (r e^{iφ})} ⟶_{r→+∞} 1 gleichmäßig bzgl. φ ∈ [0, π] .

(4.22)

Satz 4.1.1 (Phragmén-Lindeöf) Sei R > 0 , seien φ_{0}, θ ∈ (0, 2π] und sei f(z) eine über dem abgeschlossenen Gebiet

G_{θ,R} =^{def} \{z = r e^{iφ} : r ≥ R , φ ∈ [φ_{0} − \frac{θ}{2}, φ_{0} + \frac{θ}{2}]\}

stetige Funktion, die im Inneren von G_{θ,R} holomorph ist und der Bedingung

sup_{z∈G_{θ,R}} e^{−|z|^{p}} |f(z)| < ∞

für geeignetes p < \frac{π}{θ} genügt. Dann gilt:

1. sup_{z∈G_{θ,R}} |f(z)| ≤ sup_{z∈∂G_{θ,R}} |f(z)|.

2. Falls komplexe Zahlen a_{±} existieren mit

lim_{r→+∞} f (r e^{i (φ_{0}±θ/2)}) = a_{±} ,

dann gilt:

f (r e^{iφ}) ⟶_{t→+∞} a_{+} = a_{−} gleichmäßig bzgl. φ ∈ [φ_{0} − \frac{θ}{2}, φ_{0} + \frac{θ}{2}] .

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; \frac{θ}{2}; \frac{θ}{2}; R; G_{θ,R}; φ_{0}]

Übungsaufgabe 50 Man beweise^{4} die 1. Aussage des Satzes von Phragmén-Lindelöf mithilfe des Maximumprinzips (2.36). Die 2. Aussage beweise man für den Spezialfall^{5} a_{+} = a_{−} = 0 unter der Voraussetzung hinreichend schnellen Abfalls von f (r e^{i(φ_{0}±θ/2)}) für r → +∞.

4.1.3 Kramers-Kronig-Relation

Übungsaufgabe 51 Man beweise^{6} folgenden Hilfssatz:

Sei f(ω) über dem abgeschlossenen Intervall [ω_{0} − r, ω_{0} + r] absolut integrabel (vgl. Anfang von 1.3.3) und an der Stelle ω_{0} differenzierbar. Dann gilt die sog. Plemelj-Formel ^{7}

lim_{ϵ→±0} ∫_{ω_{0}−r}^{ω_{0}+r} \frac{f(ω)}{ω − (ω_{0} − iϵ)} dω = - ∫ _{ω_{0}−r}^{ω_{0}+r} \frac{f(ω)}{ω − ω_{0}} dω ± \frac{π}{i} f(ω_{0}) , wobei

- ∫ _{ω_{0}−r}^{ω_{0}+r} \frac{f(ω)}{ω − ω_{0}} dω =^{def} lim_{δ→+0} (∫_{ω_{0}−r}^{ω_{0}−δ} \frac{f(ω)}{ω − ω_{0}} dω + ∫_{ω_{0}+δ}^{ω_{0}+r} \frac{f(ω)}{ω − ω_{0}} dω)

das Cauchysche Hauptwertintegral ist .

(4.23)

Nach dem Cauchyschen Integralsatz (2.28) gilt aufgrund der Analytizität von N (z)/μ(z) für τ, R > 0 und ω_{0} ∈ ℝ

∫_{C_{R}} \frac{1 − N (z)/μ(z)}{z − (ω_{0} − iτ)} dz = 0 ,

Version vom 26. März 2009

f_{ϵ} (r e^{iφ}) =^{def} exp (−ϵ r^{p′} e^{ip′ (φ−φ_{0})}) f (r e^{iφ}) (ℜ (e^{ip′ (φ−φ_{0})}) > 0 für φ ∈ (φ_{0} − \frac{θ}{2}, φ_{0} + \frac{θ}{2}))

für ϵ > 0 , p′ ∈ (p, π/θ) .

∫_{ω_{0}−δ}^{ω_{0}+δ} \frac{f(ω)}{ω − (ω_{0} − iϵ)} dω = ∫_{ω_{0}−δ}^{ω_{0}+δ} \frac{f(ω) − f(ω_{0})}{ω − (ω_{0} − iϵ)} dω + f(ω_{0}) ∫_{ω_{0}−δ}^{ω_{0}+δ} \frac{1}{ω − (ω_{0} − iϵ)} dω

und schn. 11.2)).

4Hinweis: Man untersuche zunächst

5Bzgl. des vollständigen Beweises siehe z.B. (Cartwright, 1962, S. 29).

6Hinweis: Man benutze die Identitäten

ln z = ln |z| + i arg(z) .

7Die Plemelj-Formel gilt auch für allgemeinere Kurvenstücke (siehe z.B. (Kyrala, 1972, Ab-

wobei C_{R} folgenden geschlossenen Weg bezeichnet:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; −R; −\frac{1}{R}; +\frac{1}{R}; +R; ℜ(z); ℑ(z); C_{R}]

Aufgrund des asymptotischen Verhaltens (4.22) sowie der Harmlosigkeit der (in der Regel vorhandenen) Singularität von N (z)/μ(z) an der Stelle z = 0 (vgl. (4.13)) folgt daraus für R → +∞

∫ \frac{1 − N (ω)/μ(ω)}{ω − (ω_{0} − iτ)} dω = 0 für τ > 0

und somit^{8} nach (4.23)

1 − N (ω_{0})/μ(ω_{0}) = \frac{1}{iπ} - ∫ \frac{1 − N (ω)/μ(ω)}{ω − ω_{0}} dω für ω_{0} ≠ 0 .

Daraus ergeben sich die Gleichungen

\begin{aligned}ℜ (1 − N (ω_{0})/μ(ω_{0})) & = & −\frac{1}{π} - ∫ \frac{ℑ (N (ω)/μ(ω))}{ω − ω_{0}} dω , \\ ℑ (N (ω_{0})/μ(ω_{0})) & = & \frac{1}{π} - ∫ \frac{ℜ (1 − N (ω)/μ(ω))}{ω − ω_{0}} dω . \end{aligned}  (4.24)

Übungsaufgabe 52 Man zeige:^{9}

N (z)/μ(z) = \overline{N (−\overline{z})/μ(−\overline{z})} für z ∈ P .  (4.25)

Aus (4.25) und der ersten der Gleichungen (4.24) folgt

ℜ (N (ω_{0})/μ(ω_{0}) − 1) = \frac{1}{π} - ∫ _{0}^{∞}ℑ (\frac{N (ω)}{μ(ω)}) (\frac{1}{ω + ω_{0}} + \frac{1}{ω − ω_{0}} ) dω

Version vom 26. März 2009

8Setze f(ω) = 1 − N (ω)/μ(ω) . Die Abbildung f(ω) ↦ \frac{1}{π} - ∫ \frac{f(ω′)}{ω′−ω} dω′ bezeichnet man übrigens als Hilbert-Transformation (siehe z.B. (Titchmarsh, 1962, Kapitel V)).

9Hinweis: Man beachte die crossing relations (4.7) und die Definition (4.13) von N (ω) .

für ω_{0} ≠ 0 und daraus, zunächst nur^{10} für μ(ω) = 1 , mit den Definitionen (4.16) die sog. Kramers-Kronig-Relation^{11}

n(ω_{0}) − 1 = \frac{c}{π} - ∫ _{0}^{∞} \frac{β(ω)}{ω^{2} − ω_{0}^{2}} dω für ω_{0} ≠ 0 .  (4.26)

Übungsaufgabe 53 f(z) sei über [ω_{0} − r, ω_{0} + r] Hölder-stetig, d.h. es existiere ein sog. Hölder-Index μ ∈ (0, 1] sowie eine sog. Hölder-Konstante ρ mit:

|f(ω) − f(ω′)| ≤ ρ |ω − ω′|^{μ} ∀ ω, ω′ ∈ [ω_{0} − r, ω_{0} + r] .

Man zeige,^{12} daß dann das Hauptwertintegral von \frac{f(ω)}{ω−ω_{0}} existiert und der Ungleichung

|- ∫ _{ω_{0}−r}^{ω_{0}+r} \frac{f(ω)}{ω − ω_{0}} dω| ≤ ρ \frac{(2r)^{μ}}{μ}

genügt.

Nach Übungsaufgabe 53 (vgl. auch (Titchmarsh, 1962, Theorem 91, S. 122)) muß man β(ω) nicht genau kennen, um n(ω_{0}) gemäß (4.26) angenähert zu bestimmen.

Aufgrund der Kramers-Kronig-Relation ist Dispersion (d.h. n(ω) ≠ 1 für geeignetes ω) ohne Absorption (d.h. β(ω) ≠ 1 für geeignetes ω) nicht möglich, wenn das Medium (i.w.) den Kausalitätsbedingung (4.6) und (4.20) genügt.

Übungsaufgabe 54 Das in 4.1.2 betrachtete Medium fülle nur das Gebiet 0 ≤ x ≤ δ aus. Die Bezeichnungen E_{in}(ω), E_{out}^{(−)}(ω) seien wie dort eingeführt, aber

E_{out}^{(+)}(x, t) = \frac{e_{2}}{\sqrt{2π}} ∫ E_{out}^{(+)}(ω) e^{−iω (t−x/c)} dω

bezeichne nun das elektrische Feld im Gebiet x ≥ δ.

Man zeige, daß

E_{out}^{(−)}(ω) = r_{δ}(ω) E_{in}(ω)

mit

r_{δ}(ω) =^{def} \frac{(\frac{N (ω)}{μ(ω)} − 1) (\frac{μ(ω)}{N (ω)} + 1) + (\frac{N (ω)}{μ(ω)} + 1) (\frac{μ(ω)}{N (ω)} − 1) e^{i \frac{2ω}{c} N (ω) δ}}{(\frac{N (ω)}{μ(ω)} + 1) (\frac{μ(ω)}{N (ω)} + 1) + (\frac{N (ω)}{μ(ω)} − 1) (\frac{μ(ω)}{N (ω)} − 1) e^{i \frac{2ω}{c} N (ω) δ}}

Version vom 26. März 2009

10Für allgemeines μ(ω) siehe Aufgabe 54.

11Bzgl. einer etwas anderen Herleitung siehe (Reider, 1997, Abschn. 2.2.4).

12Hinweis:

∫_{ω_{0}−r}^{ω_{0}−ϵ} \frac{f(ω)}{ω − ω_{0}} dω + ∫_{ω_{0}+ϵ}^{ω_{0}+r} \frac{f(ω)}{ω − ω_{0}} dω = ∫_{ϵ}^{r} \frac{f(ω_{0} + ω) − f(ω_{0} − ω)}{ω} dω .

und

E_{out}^{(+)}(ω) = d_{δ}(ω) E_{in}(ω)

mit

d_{δ}(ω) =^{def} \frac{4 e^{i \frac{ω}{c} (N (ω)−1) δ}}{(\frac{N (ω)}{μ(ω)} + 1) (\frac{μ(ω)}{N (ω)} + 1) + (\frac{N (ω)}{μ(ω)} − 1) (\frac{μ(ω)}{N (ω)} − 1) e^{i \frac{2ω}{c} N (ω) δ}}

gilt und daß sich

(\frac{∂}{∂δ} r_{δ}(ω))_{|_{δ=0}} = i \frac{4ω}{c} (μ(ω) − N (ω))

sowie

(\frac{∂}{∂δ} d_{δ}(ω))_{|_{δ=0}} = i \frac{ω}{c} (\frac{μ(ω)^{2} + N (ω)^{2}}{2μ(ω)} − 1)

und damit auch μ(ω) und N (ω) auf eine Umgebung von P holomorph mit entsprechenden Beschränktheitseigenschaften fortsetzen lassen.

Nach Übungsaufgabe 54 gilt die Kramers-Kronig-Relation (4.26) auch dann exakt, wenn μ(ω) ≠ 1 ist.

4.1.4 Subtraktionen

Der Subtraktionsoperator

(Af) (z) =^{def} \frac{f(z) − f(0)}{iz}

verbessert das Verhalten von f(z) im Unendlichen unter Erhaltung der Analytizitätseigenschaften und der crossing relation — sofern letztere erfüllt ist:

f(z) = \overline{f(−\overline{z})} ⟹ (Af) (z) = \overline{(Af) (−\overline{z})} .  (4.27)

Wichtig ist außerdem, daß der Realteil (bzw. der Imaginärteil) von (Af) (z) den Imaginärteil (bzw. Realteil) von f(z) − f(0) bestimmt und umgekehrt. Falls f(z) in einer Umgebung der abgeschlossenen, oberen, komplexen Halbebene holomorph sowie polynomial beschränkt ist und falls

\frac{f(ω)}{ω^{n}} ⟶_{ω→±∞} 0

gilt, so ist (A^{n}f) (z) ebenfalls in einer Umgebung der abgeschlossenen, oberen, komplexen Halbebene holomorph und erfüllt nach dem Satz von Phragmen-Lindelöf die Bedingung:^{13}

(A^{n}f) (r e^{iφ}) ⟶_{r→+∞} 0 gleichmäßig bzgl. φ ∈ [0, π] .

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13Definitionsgemäß gilt (A^{0}f) (z) = f(z) .

Daher gelten die Gleichungen (4.24) auch für (A^{n}f) (ω) anstelle von 1−N (ω)/μ(ω) :^{14}

ℜ ((A^{n}f) (ω_{0})) = lim_{N→+∞} \frac{1}{π} - ∫_{−N}^{+N} \frac{ℑ ((A^{n}f) (ω))}{ω − ω_{0}} dω ,
ℑ ((A^{n}f) (ω_{0})) = lim_{N→+∞} \frac{1}{π} - ∫_{−N}^{+N} \frac{ℜ ((A^{n}f) (ω))}{ω − ω_{0}} dω ,

falls f(z) in einer Umgebung der abgeschlossenen, oberen, komplexen Halbebene holomorph sowie polynomial beschränkt ist und

\frac{f(ω)}{ω^{n}} ⟶_{ω→±∞} 0

gilt.

(4.28)

Übungsaufgabe 55 Man zeige^{15} durch vollständige Induktion, daß

(A^{n}f) (z) = \frac{f(z) − ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{k!} f^{(k)}(0) z^{k}}{(iz)^{n}} ∀ n ∈ ℕ .  (4.29)

Mit der crossing relation (4.25) ergibt sich analog zur Herleitung von (4.26):

\begin{aligned}ℜ ((A^{n}f) (ω_{0})) & = & \frac{2}{π} - ∫_{0}^{+∞} \frac{ω ℑ ((A^{n}f) (ω))}{ω^{2} − ω_{0}^{2}} dω , \\ ℑ ((A^{n}f) (ω_{0})) & = & −\frac{2ω_{0}}{π} - ∫_{0}^{+∞} \frac{ℜ ((A^{n}f) (ω))}{ω^{2} − ω_{0}^{2}} dω , \end{aligned}

für ω_{0} ≠ 0 , falls

f(ω) = \overline{f(−ω)}

für alle ω ∈ ℝ gilt und die Voraussetzungen von (4.28) erfüllt sind.

(4.30)

Man bezeichnet die Gleichungen (4.28)/(4.30) als Dispersionsrelationen mit n Subtraktionen.

Übungsaufgabe 56 Man gebe eine physikalische Begründung für die Beziehungen

|r(ω)|^{2} ≤ 1 , ∥E_{out}^{(+)}(0, ω)∥ ≤ ∥E_{in}(0, ω)∥ ∀ ω ∈ ℝ

(vgl. 4.1.2) und beweise damit, daß r(z) in der abgeschlossenen, oberen, komplexen Halbebene keine negativen reellen Werte annehmen kann.^{16}

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14Vgl. auch (Nussenzveig, 1972, Theorem 1.6.1, S. 27).

15Hinweis: Man verwende die Taylor-Entwicklung von f(z) um die Stelle z = 0 herum.

16Hinweis: Man verwende den Satz von Phragmén-Lindelöf zum Beweis von |r(z)| ≤ 1 und |_{\frac{2}{\frac{N (z)}{μ(z)} +1}} | ≤ 1 für z ∈ P und beachte Übungsaufgabe 14.

Nach (4.25)/(4.21) und Übungsaufgabe 56 erfüllt

f_{ϵ}(z) =^{def} ln (r(z) + ϵ) − ln ϵ

für beliebiges ϵ > 0 die Voraussetzungen von (4.30) für n = 0 , wenn man den Imaginärteil von ln auf das offene Intervall (−π, +π) beschränkt. Die zweite der Gleichungen (4.30) liefert dafür:

arg (r(ω_{0}) + ϵ) = −\frac{2ω_{0}}{π} - ∫_{0}^{∞} \frac{ln |r(ω) + ϵ|}{ω^{2} − ω_{0}^{2}} dω;  (4.31)

denn:

- ∫_{0}^{∞} \frac{1}{ω^{2} − ω_{0}^{2}} dω = 0 .  (4.32)

(4.31) erlaubt eine Berechnung von r(ω) , und damit von N (ω)/μ(ω) , aus dem experimentell leicht bestimmbaren Reflexionskoeffizienten |r(ω)|^{2} .

Übungsaufgabe 57 Man beweise (4.32) und zeige damit, daß im Falle f(0) = \overline{f(0)} die erste der Gleichungen (4.30) für n = 1 äquivalent ist zur zweiten der Gleichungen (4.30) mit n = 0 .

4.2 Quantenmechanische Streuamplituden

4.2.1 Grundbeziehungen der 1-Teilchen-Streuung an Zentralpotentialen

Partikuläre Lösungen einer partiellen Differentialgleichung der Form

D̂_{x} φ(x) = g(x) ,

wobei D̂_{x} ein linearer (partieller) Differentialoperator und g(x) eine vorgegebene Inhomogenität ist, konstruiert man gewöhnlich in der Form

φ_{part}(x) = ∫ G(x, x′) g(x′) dx′ .

Dabei ist G(x, x′) eine sog. Greensche Funktion zu G(x, x′) , d.h. eine Lösung der Differentialgleichung

D̂_{x} G(x, x′) = δ(x − x′) ,

deren genaue Auswahl sich nach den gewünschten Randbedingungen richtet (vgl. 2.2.1 und (3.11)/(3.14)). Die allgemeinste Lösung φ(x) ergibt sich dann durch Addition einer Lösung φ_{0}(x) des homogenen Problems

D̂_{x} φ_{0}(x) = 0

zu φ_{part}(x) :

φ(x) = φ_{0}(x) + ∫ G(x, x′) g(x′) dx′ .

Entsprechend führt das Differentialgleichungsproblem

D̂_{x} φ(x) = V (x) φ(x)

auf das Integralgleichungsproblem

φ(x) = φ_{0}(x) + ∫ G(x, x′) V (x′) φ(x′) dx′ ,

(4.33)

das sich für hinreichend gutartiges V durch Iteration (C. Neumannsche Reihe) lösen läßt, nämlich als Fixpunkt

φ = lim_{n→∞} Â_{φ_{0}}^{n} g , g beliebig ,

des Operators Â_{φ_{0}} :

(Â_{φ_{0}}f) (x) =^{def} φ_{0}(x) + ∫ G(x, x′) V (x′) φ(x′) dx′ .

Anmerkung: Die Approximation φ ≈ Â_{φ_{0}}φ_{0} bezeichnet man i.a. als Bornsche Näherung.

Im Falle der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung

(−\frac{ℏ^{2}}{2m} Δ_{x} + V (x)) φ(x) = E φ(x)  (4.34)

identifiziert man

D̂_{x} = \frac{ℏ^{2}}{2m} Δ_{x} + E

und wählt für E ≥ 0 :

G(x, x′) =^{def} −\frac{m}{2πℏ^{2}} \frac{exp (i\frac{\sqrt{2mE}}{ℏ} |x − x′|)}{|x − x′|} . (4.35)

Übungsaufgabe 58 Man zeige, daß (4.35) als Funktion von x tatsächlich eine Lösung von (4.34) für das Potential V (x) = δ(x − x′) darstellt.

Mit (4.33)–(4.35) ergibt sich

Ψ(x, t) = (\frac{1}{\sqrt{2πℏ}})^{3} ∫ ψ̃(p)( \underbrace{e^{− \frac{i}{ℏ} ( \frac{p^{2}}{2m} t−p·x)}}_{einlaufende ebene Welle}

− \frac{m}{2πℏ^{2}} ∫ \underbrace{\frac{e^{− \frac{i}{ℏ} ( \frac{p^{2}}{2m} t−|p||x−x′|)}}{|x − x′|}}_{auslaufende Kugelwelle} V (x′′) φ_{p}(x′) dx′)dp

(4.36)

für beliebiges (hinreichend gutartiges) ψ̃(p) als Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung, wenn φ_{p}(x) jeweils (die eindeutige) Lösung von

φ_{p}(x) = e^{\frac{i}{ℏ} p·x} − \frac{m}{2πℏ^{2}} ∫ \frac{e^{\frac{i}{ℏ} |p|·|x−x′|}}{|x − x′|} V (x′) φ_{p}(x′) dx′ (4.37)

ist. Für hinreichend gutartiges V (x) gilt aufgrund der speziellen Wahl der Greenschen Funktion

∫ |Ψ(x, t) − (\frac{1}{\sqrt{2πℏ}})^{3} \underbrace{∫ ψ̃(p) e^{− \frac{i}{ℏ} ( \frac{p^{2}}{2m} t−p·x)}dp}_{freies Wellenpaket} |^{2}dx ⟶_{t→−∞} 0 , (4.38)

so daß sich für jede vernünftige einlaufende Situation die exakte Wellenfunktion in der Form (4.36) darstellen läßt. Für |x| ≫ |x′| gilt

\frac{e^{\frac{i}{ℏ} |p|·|x−x′|}}{|x − x′|} ≈ \frac{e^{\frac{i}{ℏ} |p|·|x|}}{|x|} e^{− \frac{i}{ℏ} |p| \frac{x}{|x|} ·x′}

und somit

φ_{p}(x) ≈ e^{\frac{i}{ℏ} p·x} + u(p, x) \frac{e^{\frac{i}{ℏ} |p|·|x|}}{|x|} für |x| → ∞ ,

wobei:

u(p, x) =^{def} −\frac{m}{2πℏ^{2}} ∫ e^{− \frac{i}{ℏ} |p| \frac{x}{|x|} ·x′} V (x′) φ_{p}(x′) dx′ .

(4.39)

Falls V (x) nur von |x| abhängt, hängt u(p, x) nur von E = \frac{p^{2}}{2m} und ϑ = ∠p, x ab:

u(p, x) = f (\frac{p^{2}}{2m}, ∠p, x)

für eine geeignete Streuamplitude f(E, ϑ) , falls:

V (x) = U (|x|) .

(4.40)

Die Streuamplitude bestimmt den differentiellen Wirkungsquerschnitt

\frac{∂}{∂Ω}σ(E, Ω) = |f(E, ϑ)|^{2}  (4.41)

und in einfacher Weise den totalen Wirkungsquerschnitt

σ_{tot}(E) = \frac{4πℏ}{\sqrt{2mE}} ℑ (f(E, 0))  (4.42)

(optisches Theorem, vgl. (Gottfried, 1966, Sect. 12.2)).

Übungsaufgabe 59 Man zeige,^{17} daß

lim_{R→+∞}(2πℏ)^{−3} ∫_{|p|≤R} \frac{e^{\frac{i}{ℏ} p·x}}{E − \frac{|p|^{2}}{2m} + iϵ} dp = −\frac{m}{2πℏ^{2}} \frac{e^{\frac{i}{ℏ}} ^{\sqrt{2m (E+iϵ)}}^{|x|}}{|x|}

für E, ϵ > 0 gilt und vergleiche die rechte Seite mit (4.35).

Anmerkung: Wir benutzen hier stets die Konvention^{18}

\sqrt{z} =^{def} \underbrace{\sqrt{|z|}}_{≥0} e^{\frac{i}{2} arg z} mit arg z ∈ [0, 2π) .

Funktionen (im wesentlichen) selbstadjungierter Operatoren, wie z.B. der Propagator (Zeitentwicklungsoperator) Û =^{def} e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥ t}, lassen sich mithilfe des Spektralsatzes (siehe z.B. (Reed und Simon, 1972, Theorem VIII.6)) exakt definieren und — solange man Faktoren nicht vertauscht — i.d. Regel wie gewöhnliche Funktionen behandeln. Daher erfüllt z.B.

Ψ(x, t) = e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥ t} Ψ(x, 0)

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17Hinweis: Man integriere in Kugelkoordinaten zunächst über die Winkel, setze den verbleibenden Integranden symmetrisch fort und gehe wie bei der Ableitung der Heaviside-Formel (3.21) vor (vgl. (Gottfried, 1966, Sect. 12.1)).

18Die Funktion \sqrt{z} ist also längs des Schnittes \overline{ℝ_{+}} unstetig.

für hinreichend gutartiges Ψ(x, 0) die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

iℏ \frac{∂}{∂t}Ψ(x, t) = ĤΨ(x, t) .

Sei

Ĥ = Ĥ_{0} + V̂ ,

wobei:

Ĥ_{0} =^{def} −\frac{ℏ^{2}}{2m} Δ_{x} mit geeignetem Definitionsbereich ,
V̂ =^{def} Multiplikation mit V (x) .

(4.43)

Anmerkung: Aus Übungsaufgabe 59 und (4.37) folgt nach Regel 10 zur Fourier-Transformation die sog. Lippmann-Schwinger-Gleichung:

φ_{p}(x) = e^{\frac{i}{ℏ} p·x} + lim_{ϵ→+0} \frac{1}{\frac{p^{2}}{2m} − Ĥ_{0} + iϵ} (V (x) φ_{p}(x)) ,

wobei Ĥ_{0} auf die Variable x wirkt.

Dann erfüllt

Ψ(x, t) = Ψ_{in}(x, t) + ∫ Û_{ret}(t − t′)V̂ Ψ_{in}(x, t′) dt′ ,

wobei:

Û_{ret}(t) =^{def} θ(t) e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥt} ,
Ψ_{in}(x, t) =^{def} (2πℏ)^{−3/2} ∫ Ψ̃(p) e^{− \frac{i}{ℏ} ( \frac{p^{2}}{2m} t−p·x)} ,

(4.44)

für hinreichend gutartige V (x) , Ψ̃(p) die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung und stimmt mit (4.36) überein, da im Einklang mit (4.35)

∫ Ψ̃(p) e^{− \frac{i}{ℏ} ( \frac{p^{2}}{2m} t−p·x)} ⟶_{t→−∞} 0

gilt (Beweis als Übungsvorschlag).

4.2.2 Analytizitätseigenschaften der Streuamplitude

Der retardierte Propagator Û_{ret}(t) läßt sich entsprechend der Heaviside-Formel (3.21) durch die sog. Resolvente

R̂(z) =^{def} \frac{1}{z − Ĥ} ∀ z ∈ ℂ \ Spektrum(Ĥ)

von Ĥ ausdrücken:

θ(t) e^{− \frac{i}{ℏ} Ĥt} = \frac{e^{ϵt}}{2πi} ∫ \frac{e^{− \frac{i}{ℏ} Et}}{E + iϵ − Ĥ} dE ∀ ϵ > 0 , t ∈ ℝ .  (4.45)

Nach Regel 10 für die Fourier-Transformation folgt daraus

∫ e^{−ϵ |t−t′|} Û_{ret}(t − t′)V̂ Ψ_{in}(x, t) dt′

= (2πℏ)^{−3/2} ∫ Ψ̃(p) \frac{1}{\frac{p^{2}}{2m} + iϵ − Ĥ} V̂ e^{− \frac{i}{ℏ} ( \frac{p^{2}}{2m} t−p·x)} dp

für ϵ > 0 und Ψ_{in} gemäß (4.44) und damit

Ψ(x, t) = (2πℏ)^{−3/2} ∫ Ψ̃(p) (e^{\frac{i}{ℏ} p·x} + \frac{1}{\frac{p^{2}}{2m} + i0 − Ĥ} (V (x)e^{\frac{i}{ℏ} p·x})) e^{− \frac{i}{ℏ} \frac{p^{2}}{2m} t} dp .

(4.46)

Anmerkung: Es sei daran erinnert, daß Ψ̃(p) und V (x) immer hinreichend gutartig vorausgesetzt sind, so daß sich auch die in (4.46) vorgenommene Vertauschung von ϵ-Limes und p-Integration — mit etwas Mühe — rechtfertigen läßt, wobei die Konvergenz unter dem Integral gleichmäßig bzgl. x ist.

Übungsaufgabe 60 Man zeige, daß

R̂(z) = \frac{R̂_{0}}{1 − R̂_{0}(z)V̂}

für z ∈ ℂ \ Spektrum(Ĥ) gilt, wobei R̂_{0}(z) die Resolvente von Ĥ_{0} bezeichnet.

Im Grenzübergang Ψ̃(p) → δ(p′ − p) ergibt sich durch Vergleich von (4.36)/(4.37) und (4.46):

φ_{p}(x) = e^{\frac{i}{ℏ} p·x} + lim_{ϵ→+0} \frac{1}{\frac{p^{2}}{2m} + iϵ − Ĥ} (V (x)e^{\frac{i}{ℏ} p·x}) . (4.47)

Wir nehmen an, daß

V (x) = U(|x|) ∀ x ∈ ℝ^{3} , sup_{r≥0} e^{(λ+δ)τ} |U(r)| ≤ ∞  (4.48)

für geeignete λ, δ > 0 gilt.^{19} Da die Resolvente außerhalb jeder Umgebung des Spektrums von Ĥ holomorph und beschränkt (bzgl. der Operatornorm-Topologie) ist, folgt aus (4.47), daß für jeden Einheitsvektor e

φ_{\sqrt{2mE} e}(x) − e^{\frac{i}{ℏ} \sqrt{2mE} e·x} = lim_{ϵ→+0} Φ_{E+iϵ}^{e}(x)

(4.49)

gilt, wobei die z-abhängige Schar der Funktionen

Φ_{z}^{e}(x) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2mz} − Ĥ} (V (x)e^{\frac{i}{ℏ} \sqrt{2mE} e·x})

nach Voraussetzung (4.48) für |ℑ (\sqrt{2mz})| ≤ λℏ außerhalb jeder ϵ-Umgebung des Spektrums von Ĥ bzgl. der L^{2}-Norm holomorph und beschränkt ist.

Im Falle (4.48) besteht das Spektrum von Ĥ aus dem Kontinuum \overline{ℝ_{+}} und endlich vielen Energie-Eigenwerten E_{1}, …, E_{N} , die gebundenen Zuständen entsprechen:

Φ_{z}^{e}(x) für jedes ϵ > 0 holomorph und beschränkt als L^{2}-wertige Funktion von z über

\{z ∈ ℂ : |ℑ (\sqrt{2mz})| ≤ λℏ z ∉ U_{ϵ} (\{E_{1}, …, E_{N}\} ∪ ℝ_{+})\} .

(4.50)

Führt man die asymptotische Betrachtung von (4.37), die auf (4.39) führte, für die Bornsche Näherung von φ_{p}(x) (e^{ip·x} anstelle von φ_{p}(x) auf der rechten Seite von (4.37)) durch, so ergibt sich die Streuamplitude in Bornscher Näherung:

u_{B}(p, x) =^{def} −\frac{m}{2πℏ^{2}} ∫ e^{− \frac{i}{ℏ} τ (p,x)·x′} V (x′) dx′ ,

wobei:

τ (p, x) =^{def} |p| \frac{x}{|x|} − p Impulsübertrag .

(4.51)

Unter der Voraussetzung (4.48) ist u_{B}(p, x) eine Funktion allein des Betrags des Impulsübertrags

τ(p, x) = |τ (p, x)| = \sqrt{2p^{2} (1 − cos ∠p, x)}

(4.52) mit offensichtlichen Analytizitätseigenschaften:

Version vom 26. März 2009 19Diese Bedingung ist z.B. für da Yukawa-Potential erfüllt.

U_{B}(p, x) = A_{B} (τ(p, x)) ∀p, x ∈ ℝ^{3} ,

wobei:

A_{B}(z) =^{def} −\frac{m}{2πℏ^{2}} ∫ e^{− \frac{i}{ℏ} z e_{1}·x′} U (|x′|) dx′ holomorph für |ℑ(z)| < λℏ .

(4.53)

Setzt man in (4.39) die exakte Funktion φ_{p}(x) ein, so ergibt sich die Streuamplitude als Funktion von Energie und Betrag des Impulsübertrags

A (E, τ(p, x)) =^{def} f (\frac{p^{2}}{2m}, ∠p, x)

(4.54)

mit (4.49) zu

A_{B} (τ(p, x)) = −\frac{m}{2πℏ^{2}} lim_{ϵ→+0} ∫ e^{− \frac{i}{ℏ} \sqrt{p^{2}+i2mϵ} \frac{x}{|x|} ·x′} V (x′) Φ_{\frac{p^{2}}{2m} +iϵ}^{p/|p|}(x′) dx′ .

Leider reichen die damit aus (4.50) für A(E, τ) folgenden Analytizitätseigenschaften zur Ableitung von Dispersionsrelationen noch nicht aus (wenn (4.48) nicht für beliebiges λ > 0 gilt), verdeutlichen aber die wesentliche Struktur:

Mit erheblichem Mehraufwand läßt sich zeigen (Khuri, 1957), daß A(E, τ) für festes τ ∈ [0, 2λℏ) folgende Eigenschaften besitzt:

1. A(E, τ) ist Randwert einer in ℂ\(\{E_{1}, …, E_{N}\} ∪ \overline{ℝ_{+}}) holomorphen Funktion f(z) :

A(E, τ) = f(E + i0) =^{def} lim_{ϵ→+0} f(E + iϵ) ∀ E ≥ \frac{τ^{2}}{8m} .

2. A(E, τ) ist für E > 0 Taylor-entwickelbar.

3.

f (\overline{z}) = \overline{f(z)} ∀ z ∈ ℂ \ (\{E_{1}, …, E_{N}\} ∪ \overline{ℝ_{+}}) .

4.

f (r e^{iφ}) − A_{B}(τ) ⟶_{r→+∞} 0 gleichmäßig bzgl. φ ∈ (0, 2π) .

5. z = 0 ist lediglich ein Verzweigungspunkt von f(z) , in dessen Umgebung die Funktion beschränkt bleibt.

4.2.3 Dispersionsrelationen für festen Impulsübertrag

Für den Weg

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; E_{1}; E_{N}; ℜ(E); ℑ(E); C_{R}; R; E + iρ; 1/R]

folgt aufgrund der Cauchyschen Integralbeziehungen (2.28)/(2.32) aus der 1. Eigenschaft von A(E, τ) für ρ > 0 E ∈ ℝ \ {0, E_{1}, …, E_{n}} und hinreichend großes R > 0 :

\frac{1}{2πi} ∫_{C_{R}} \frac{f(z) − A_{B}(τ)}{z − (E + iρ)} dz = f(E + iρ) − A_{B}(τ) + ∑_{j=1}^{N} \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{1/R}(E_{j})} \frac{f(z)}{z − (E + iρ)} dz .

(4.55)

Aus der 4. und der 5. Eigenschaft folgt andererseits

lim_{R→+∞} \frac{1}{2πi} ∫_{C_{R}} \frac{f(z) − A_{B}(τ)}{z − (E + iρ)} dz = \frac{1}{2πi} ∫_{C_{R}} \frac{f(z) − A_{B}(τ)}{z − (E + iρ)} dz
= \frac{1}{2πi} ∫_{0}^{∞} \frac{f(E′ + i0) − f(E′ − i0)}{E′ − (E + iρ)} dE′ ,

was aufgrund der 3. Eigenschaft mit

\frac{1}{π} ∫_{0}^{∞} \frac{f(E′ + i0)}{E′ − (E + iρ)} dE′

übereinstimmt und für ρ → +0 gemäß (4.23) in

\frac{1}{π} - ∫ _{0}^{∞} \frac{f(E′ + i0)}{E′ − E} dE′ + i ℑ (f(E + i0))

übergeht. Damit folgt aus (4.55) die Dispersionsrelation

\begin{aligned}ℜ (f(E + i0)) & = & A_{B}(τ) + \frac{1}{π} - ∫ _{0}^{∞} \frac{f(E′ + i0)}{E′ − E} dE′ \\ & & − ∑_{j=1}^{N} A_{j}(E, τ) ∀ E ∈ ℝ \ \{0, E_{1}, …, E_{N}\} , \end{aligned}  (4.56)

wobei A_{j}(E, τ) jeweils das Residuum

lim_{r→+0} \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{r}(E_{j})} \frac{f(z)}{z − E} dz

der Funktion \frac{f(z)}{z−E} von z an der Stelle z = E_{j} ≠ E ist. Da die isolierten Singularitäten von f(z) nur einfache Pole sind, folgt gemäß der Cauchyschen Formel (2.32):

A_{j}(E, τ) = \frac{R_{j}(τ)}{E_{j} − E} für j = 1, …, N ,

wobei:

R_{j}(τ) =^{def} lim_{r→+0} \frac{1}{2πi} ∫_{∂U_{r}(E_{j})} f(z) dz reell ,

(4.57)

Nach (4.56) haben die gebundenen Zustände deutlichen Einfluß auf die Streuamplitude! Im Falle τ = 0 , d.h. für Vorwärtsstreuung, stimmt f(E +i0) für alle E ≥ 0 mit der Streuamplitude A(E, 0) und somit nach dem optischen Theorem (4.42) mit \frac{2mE σ_{tot}(E)}{4πℏ} überein.

Für Vorwärtsstreuung ist also das Hauptwertintegral auf der rechten Seite von (4.56) im Prinzip experimentell bestimmbar. Für τ > 0 ist dagegen A(E, τ) nach (4.52) nur für E ≥ \frac{τ^{2}}{8m} als Streuamplitude definierbar. In diesem Falle bestimmt man ℑ (f(E + i0)) im unphysikalischen Bereich 0 ≤ E ≤ \frac{τ^{2}}{8m} durch Partialwellenentwicklung (Khuri, 1957).

92 KAPITEL 4. DISPERSIONSRELATIONEN

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