Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie

——— vorläufiges Skript

SS 2000 W. Lücke

Vorwort

Der Stand der Allgemeinen Relativitätstheorie läßt auch heute noch sehr zu wünschen übrig — aus experimenteller Sicht, weil z.B. Gravitationswellen immer noch nicht nachgewiesen werden konnten, und aus theoretischer Sicht, weil z.B. immer noch kein konsistentes Quantisierungsverfahren entwickelt werden konnte.

In der Vorlesung werden nur die einfachsten Änderungen der Newtonschen Gravitationstheorie besprochen, um die Grundvorstellungen besonders klar hervorzuheben. Es wird weder Torsion eingeführt, noch der Formalismus lokaler Eichtheorien noch die Quantisierung oder gar Supergravitation abgehandelt.

Literaturempfehlungen: (Einstein, 1956; Lord, 1976; Misner et al., 1973; Rindler, 1969; Schrödinger, 1960; Wald, 1984; Fischer und Kaul, 2003; Will, 4

Inhaltsverzeichnis

I Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie 7

1 Grundideen 9

1.1 Differentialgeometrie der Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Deformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Der metrische Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.1 Übertragung differentialgeometrischer Konzepte . . . . . . . . 25 1.2.2 Die Geodätenhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.3 Relativbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2.4 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Analyse der Feldgleichungen 35

2.1 Die Vakuum-Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Statische sphärisch symmetrische Lösungen . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Effekte der äußeren Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3 Innerhalb des Schwarzschild-Radius . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2 Sphärisch symmetrische Massenverteilungen . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Energie-Spannungs-Tensor und Lösungsansatz . . . . . . . . . 52 2.2.2 Auswertung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

II Kosmologie 57

3 Homogene und Isotrope Modelle 59

3.1 Robertson-Walker-Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.1 Grundsätzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.2 Kosmologische Rotverschiebung und Horizonte . . . . . . . . . 61 3.1.3 Auswertung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Spezielle Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.1 Masselose kosmologische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2 Kosmologische Modelle zu staubförmiger Materie . . . . . . . 66 3.2.3 Kosmologische Modelle zu thermischer Strahlung . . . . . . . 67 A Isotrope 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten 69

A.1 Spezielle Form des Riemann-Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 A.2 Prototypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

B Moderner Formalismus 73 B.1 Äußere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 B.2 Konnexionsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 B.3 Krümmungsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Literaturverzeichnis 79

Teil I

Kapitel 1

Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie Grundideen

1.1 Differentialgeometrie der Elastizität

1.1.1 Deformationen

Die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird besonders anschaulich, wenn man sich – wie stets möglich (siehe (Whitney, 1936), (Whitney, 1944), (Brickel und Clark, 1970)) – die jeweilige Mannigfaltigkeit in einen ungekrümmten Raum eingebettet vorstellt. Um diese Vorstellung zu konkretisieren gehen wir von Untermannigfaltigkeiten des 3-dimensionalen Anschauungsraumes aus, wie sie sich in der Elastizitätstheorie ergeben.

Mathematisches Modell

Gegeben sei ein fester (nicht ‘starrer’) Körper, als Menge identifizierbarer Punkte P aufgefaßt, die ein ‘vernünftiges’ Raumgebiet ganz ausfüllen.

Unter einem Verzerrungszustand dieses Körpers verstehen wir eine (hinreichend gutartige) rückeindeutige Abbildung X : P ↦ X(P) der Körperpunkte P in den ℝ^{n}, wobei X(P) jeweils der Ort des Körperpunktes P ist.^{1}

Unter einer Deformation versteht man eine Abweichung von einem ausgezeichneten, als ‘unverzerrt’ angesehenen Zustand X_{0}(P).

Koordinaten

Seien (q^{1}, … q^{n}) die Koordinaten des Ortes X_{0}(P) von P im unverzerrten Körperzustand bzgl. eines vorgegebenen karthesischen Koordinatensystems K_{0}. Markiert

Version vom 26. März 2009

1Gewöhnlich ist also n = 3. Im Hinblick auf die Allgemeine Relativitätstheorie ist es jedoch zweckmäßig, die Raumdimension n nicht zu spezifizieren.

10 KAPITEL 1. GRUNDIDEEN

man diese Koordinaten jeweils am entspr. Körperpunkt, so werden sie durch Deformation des Körpers (Verschiebung des Körperpunktes P jeweils vom Ort X_{0}(P) an den Ort X(P)) verzerrt, d.h. krummlinig. Die Koordinaten bzgl. K_{0} für den verschobenen Ort X(P) seien (q¯1, …, qn̄):

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a P q^{n} = b

q^{1} = a P

q¯1

qn̄

b

Eine Deformation des Körpers läßt sich so eindeutig durch die Zuordnung

(q^{1}, …, q^{n}) ↦ (q¯1, …, qn̄)

beschreiben,^{2} die natürlich rückeindeutig (injektiv) sein muß.

1.1.2 Der metrische Tensor

Kurvenlänge in q und x-Koordinaten

Sei q^{j}(t) t ∈ [t_{1}, t_{2}], bezogen auf K_{0}, eine Parametrisierung eines glatten Kurvenstücks des unverzerrten Körpers. Durch Deformation des Körpers geht dieses Kurvenstück in das durch

qj̄(t) =^{def} qj̄ (q^{1}(t), …, q^{n}(t)) , t ∈ [t_{1}, t_{2}]

bzgl. K_{0} gegebene Kurvenstück über. Dafür gilt:^{3}

Länge vor Deformation = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{∑_{j=1}^{n} q̇^{j}(t)q̇^{j}(t)} dt ,

Länge nach Deformation = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{∑_{j̄=1}^{n} q̇j̄(t)q̇j̄(t)} dt .

Version vom 26. März 2009

2In der Formulierung von Lagrange wird der Verzerrungstensor bzgl. der (q^{1}, …, q^{n}), in der Formulierung von Euler dagegen bzgl. der (q¯1, …, qn̄) angegeben. Wir schreiben (q¯1, …, qn̄) (Kern-Index-Schreibweise) statt (q̄^{1}, …, q̄^{n}) , um auszudrücken, daß wir auch die (q^{1}, …, q^{n}) den Punkten des verzerrten Körpers als (krummlinige) Koordinaten zuordnen.

3Wir schreiben allgemein ḟ(t) für \frac{d}{dt}f(t) .

Nach der verallgemeinerten Kettenregel gilt:^{4}

q̇j̄ = \frac{∂qj̄}{∂q^{k}} q̇^{k} .  (1.1)

Kurzschrift dafür:

dx = t_{k} dq^{k} ,

wobei:^{5}

x =^{def} ( q¯1 ; ⋮ ; qn̄ ) , t_{k} =^{def} ( ⋮_{\frac{∂qn̄}{∂q^{k}}}^{\frac{∂q¯1}{∂q^{k}}} ) .  (1.2)

t_{k}(q^{1}, …, q^{n}) ist jeweils der (i.a. nicht normierte) Tangentenvektor der Kurve

x_{k}(t) =^{def} x(q^{1}, …, \underbrace{t}_{k-te Stelle}, …, q^{n})

an der Stelle t = q^{k}.

Für eine beliebige (aber hinr. gutart.) Kurve x(t) folgt aus (1.1) und (1.2):

∑_{j̄=¯1}^{n̄} q̇j̄q̇j̄ = t_{j} · t_{k} q̇^{j}q̇^{k} .

Kurzschrift dafür:

(dx)^{2} = g_{jk}dq^{j}dq^{k} ,  (1.3)

wobei:

g_{jk} =^{def} t_{j} · t_{k} = ∑_{l̄=¯1}^{n̄} \frac{∂ql̄}{∂q^{j}} \frac{∂ql̄}{∂q^{k}} .  (1.4)

Damit gilt also:^{6}

Länge nach Deformation = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{g_{jk}(q)q̇^{j}q̇^{k}} dt .

Daher nennt man die g_{jk} die (kovarianten) Komponenten des metrischen Tensors des deformierten Körpers bzgl. der krummlinigen Koordinaten q^{1}, …, q^{n}.

Version vom 26. März 2009

4Wir benutzen die Einsteinsche Summationskonvention: Wenn in einem Produkt der gleiche Index doppelt auftritt (einmal als oberer, zum anderen als unterer Index), ist darüber zu summieren.

5Man identifiziert i.a. t_{k} mit der entsprechenden Lie-Ableitung L_{t_{k}} = \frac{∂}{∂q^{k}} und spricht in diesem Sinne von dem (lokalen) “ Vektorfeld \frac{∂}{∂q^{k}} ”. Letzteres macht auch für nichtlineare Mannigfaltigkeiten Sinn.

6Dies ist die präzise Bedeutung von (1.3).

Koordinatenwechsel

Sei (q^{1′}, …, q^{n′}) jetzt ein beliebiges krummliniges Koordinatensystem; d.h. jedem Körperpunkt P (im verzerrten Zustand) sei rückeindeutig ein n-Tupel (q^{1′}, …, q^{n′}) zugeordnet. Die karthesischen Koordinaten q^{j} von X_{0}(P) bzgl. K_{0} (krummlinige Koordinaten von X(P))sind dann eindeutig durch die q^{k′} gegeben: q^{j} = q^{j}(q^{1′}, …, q^{n′}).

Sei nun q^{j′}(t) , t ∈ [t_{1}, t_{2}] die entspr. Parametrisierung des verzerrten Kurvenstücks. Wegen

q̇^{j} = \frac{∂q^{j}}{∂q^{l′}} q̇^{l′}

ergibt sich dann für die entspr. Körperpunktkurve

Länge vor Deformation = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{g_{l′m′}^{(0)}q̇^{l′}q̇^{m′}} dt ,
Länge nach Deformation = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{g_{l′m′}q̇^{l′}q̇^{m′}} dt ,  (1.5)

wobei:

g_{l′m′}^{(0)} = ∑_{j=1}^{n} \frac{∂q^{j}}{∂q^{l′}} \frac{∂q^{j}}{∂q^{m′}} ,  (1.6)

g_{l′m′} = \frac{∂q^{j}}{∂q^{l′}} \frac{∂q^{k}}{∂q^{m′}} g_{jk} .  (1.7)

Das Transformationsverhalten (1.7) ist das der kovarianten Komponenten eines Tensors 2. Stufe. ‘Kovarianz’ meint dabei analoges Transformationsverhalten zu demjenigen der Tangentialvektoren:^{7}

t_{j′} =^{def} ( ⋮_{\frac{∂qn̄}{∂q^{j′}}}^{\frac{∂q¯1}{∂q^{j′}}} ) = \frac{∂q^{k}}{∂q^{j′}} t_{k} .  (1.8)

Mit (1.4) und (1.7) folgt daraus

g_{j′k′} = t_{j′} · t_{k′} .  (1.9)

Das Transformationsverhalten der durch

t^{j} · t_{k} = δ_{k}^{j} = \{ \begin{matrix}1 & für j = k \\ 0 & sonst \end{matrix}  (1.10)

Version vom 26. März 2009

7Eigentlich müßte man von Tensor- und Vektor-Feldern sprechen. Man beachte, daß (q^{1′}, …, q^{n′}) und (q^{1}, …, q^{n}) einunddesselben Körperpunkt (im verzerrten Zustand) kennzeichnen, t_{j′} und t_{j} jedoch unterschiedliche Vektoren (da zu unterschiedlichen Koordinatenlinien tangential).

1.1. DIFFERENTIALGEOMETRIE DER ELASTIZITÄT 13 und bzgl. der gestrichenen Koordinaten entsprechend, d.h. durch

t^{j′} · t_{k′} = δ_{k′}^{j′} = \{ \begin{matrix}1 & für j′ = k′ \\ 0 & sonst , \end{matrix}  (1.11)

definierten reziproken Basis^{8}

t^{j} = ( ⋮_{\frac{∂q^{j}}{∂qn̄}}^{\frac{∂q^{j}}{∂q¯1}} ) , j = 1, …, n  (1.12)

ist im Vergleich dazu kontravariant:^{9}

t^{j′} = \frac{∂q^{j′}}{∂q^{k}} t^{k} .  (1.13)

Demgemäß ist das Transformationsverhalten der

g^{jk} =^{def} t^{j} · t^{k} = ∑_{l̄=¯1}^{n̄} \frac{∂q^{j}}{∂ql̄} \frac{∂q^{k}}{∂ql̄}  (1.14)

das der kontravarianten Komponenten eines Tensors 2. Stufe:

g^{l′m′} = \frac{∂q^{l′}}{∂q^{j}} \frac{∂q^{m′}}{∂q^{k}} g^{jk} .  (1.15)

Unabhängig von (1.14) lassen sich diese Komponenten durch

g^{jl}g_{lk} = δ_{k}^{j} .  (1.16)

charakterisieren, woraus man auch erkennt, daß δ_{k}^{j} die gemischten^{10} Komponenten eines Tensors 2. Stufe sind.

Beweis von (1.16):

∑_{r̄,s̄=¯1}^{n̄} \frac{∂q^{j}}{∂qr̄} \underbrace{\frac{∂q^{l}}{∂qr̄} \frac{∂qs̄}{∂q^{l}}}_{= \frac{∂qs̄}{∂qr̄}_{=δs̄ ; r̄}} \frac{∂qs̄}{∂q^{k}} = ∑_{r̄=¯1}^{n̄} \frac{∂qr̄}{∂q^{k}} \frac{∂q^{j}}{∂qr̄} = δ_{k}^{j} .

Version vom 26. März 2009

9Wegen \frac{∂q^{j′}}{∂ql̄} = \frac{∂q^{j′}}{∂q^{k}} \frac{∂q^{k}}{∂ql̄}.

8Man beachte (1.2) und \frac{∂q^{j}}{∂ql̄} \frac{∂ql̄}{∂q^{k}} = \frac{∂q^{j}}{∂q^{k}} = δ_{k}^{j}.

10Gemeint ist unterschiedliches Transformationsverhalten hinsichtlich der Indizes; hier kontravariant bzgl. des oberen und kovariant bzgl. des unteren Index.

Die Komponenten des metrischen Tensors lassen sich dazu benutzen, die kontravarianten Komponenten A^{j} eines Vektors A = A^{j} t_{j} = A_{j} t^{j} in seine kovarianten Komponenten A_{j} überzuführen und umgekehrt:^{11}

A^{j} = g^{jk}A_{k} , A_{j} = g_{jk}A^{k}  (1.17)

Entsprechende Formeln gelten für gemischte Komponenten von Tensoren höherer Stufe.

Von nun ab sei auch q^{1}, …, q^{n} ein beliebiges Koordinatensysteme. Man sieht leicht, daß dann die Formeln (1.7), (1.15), (1.16) und (1.17) immer noch gelten.

Räumlich konstante Vektorfelder

Seien A_{j} die kovarianten Komponenten eines Vektorfeldes bzgl. des Koordinatensystems q^{1}, …, q^{n}. Zunächst sollen die partiellen Ableitungen dieser Komponenten nach den q^{μ} mit den entsprechenden Ausdrücken bzgl. des zunächst fest gewählten Koordinatensystems q^{1′}, …, q^{n′} verglichen werden:

\frac{∂}{∂q^{k}} A_{j} = \frac{∂}{∂q^{k}} (\frac{∂q^{l′}}{∂q^{j}} A_{l′})
= \frac{∂q^{l′}}{∂q^{j}} \frac{∂}{∂q^{k}} A_{l′} + (\frac{∂}{∂q^{k}} \frac{∂q^{l′}}{∂q^{j}} ) A_{l′}
= \frac{∂q^{l′}}{∂q^{j}} \frac{∂q^{m′}}{∂q^{k}} \frac{∂}{∂q^{m′}} A_{l′} + (\frac{∂q^{m}}{∂q^{l′}} \frac{∂}{∂q^{k}} \frac{∂q^{l′}}{∂q^{j}} ) A_{m}

Mit den sog. Christoffel-Symbolen

Γ_{jk}^{m} =^{def} \frac{∂q^{m}}{∂q^{l′}} \frac{∂}{∂q^{k}} \frac{∂q^{l′}}{∂q^{j}}  (1.18)

bzgl. des Koordinatensystems q^{1′}, …, q^{n′} gilt also

\frac{∂}{∂q^{k}} A_{j} = \frac{∂q^{l′}}{∂q^{j}} \frac{∂q^{m′}}{∂q^{k}} \frac{∂}{∂q^{m′}} A_{l′} + Γ_{jk}^{m}A_{m}  (1.19)

Die zugehörige kovariante Ableitung

∇_{k}A_{j} =^{def} \frac{∂}{∂q^{k}} A_{j} − Γ_{jk}^{m}A_{m}  (1.20)

hat dementsprechend Tensor-Charakter:^{12}

∇_{j′} = \frac{∂q^{k}}{∂q^{j′}} ∇_{k}

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meinere Konnexionen).

11Die q^{j} selbst sind i.a. natürlich keine Vektor-Komponenten!

12Die Addition einer entsprechenden Tensor-Größe zu den Christoffel-Symbolen — die selbst nicht Tensor-Komponenten sind (vgl. (1.41)) — würde daran offensichtlich nichts ändern (allge-

Falls die Koordinaten q^{1′}, …, q^{n′} karthesisch sind, (etwa q^{k′} = qk̄) verschwinden die partiellen Ableitungen der kovarianten Komponenten A_{j} eines konstanten, d.h. gegenüber Parallelverschiebung invarianten, Vektorfeldes bzgl. dieser Koordinaten. Nach (1.19) ist letzteres gleichbedeutend mit dem Verschwinden der kovarianten Ableitung (1.20). Die kovariante Ableitung kann also als ein Maß für die ‘wirkliche’ Ortsabhängigkeit des Vektorfeldes angesehen werden.

Natürlich hängt die Definition der Christoffel-Symbole i.a. von der speziellen Wahl der Koordinaten q^{1′}, …, q^{n′} ab,^{13} obwohl ihre Differenz stets Tensor-Charakter hat. Jedoch ist das Verschwinden der kovarianten Ableitung nur dann charakteristisch für ‘Konstanz’ des Vektorfeldes wenn die q^{1′}, …, q^{n′} tatsächlich karthesisch sind. In diesem Falle ist keine genauere Spezifizierung notwendig. Bereits aus den Beziehungen^{14}

g_{j′k′}(q̄) = \{ \begin{matrix}1 & für j′ = k′ \\ 0 & sonst \end{matrix} , \frac{∂}{∂q^{l′}} g_{j′k′}(q̄) = 0  (1.21)

folgt dann nämlich^{15} an der Stelle q = q̄:

\begin{aligned}g_{mk} Γ_{jl}^{m} & = & \frac{1}{2} (g_{jk,l} + g_{lk,j} − g_{jl,k}) , \\ bzw. Γ_{jl}^{r} & = & \frac{1}{2} g^{rk} (g_{jk,l} + g_{lk,j} − g_{jl,k}) . \end{aligned}  (1.22)

\begin{aligned}\frac{∂}{∂q^{l}} g_{jk} & =_{(1.7)} & \frac{∂}{∂q^{l}} \frac{∂q^{m′}}{∂q^{j}} \frac{∂q^{r′}}{∂q^{k}} g_{m′r′} \\ & =_{(1.21)} & ∑_{r′=1′}^{n′} (\frac{∂q^{r′}}{∂q^{j}} \frac{∂}{∂q^{l}} \frac{∂q^{r′}}{∂q^{k}} + \frac{∂q^{r′}}{∂q^{k}} \frac{∂}{∂q^{l}} \frac{∂q^{r′}}{∂q^{j}} ) \end{aligned}

und somit

\frac{1}{2} (g_{jk,l} + g_{lk,j} − g_{jl,k}) = ∑_{r′=1′}^{n′} \frac{∂q^{r′}}{∂q^{k}} \frac{∂}{∂q^{l}} \frac{∂q^{r′}}{∂q^{j}} ,

wobei:

g_{jk,l} =^{def} \frac{∂}{∂q^{l}} g_{jk}

Mit

\frac{∂q^{r′}}{∂q^{k}} =_{(1.21)} \frac{∂q^{l′}}{∂q^{k}} g_{r′l′}
=_{(1.7)} \frac{∂q^{l′}}{∂q^{k}} \frac{∂q^{m}}{∂q^{r′}} \frac{∂q^{j}}{∂q^{l′}} g_{mj}
= \frac{∂q^{m}}{∂q^{r′}} g_{mk}

Beweis: Aus (1.21) folgt zunächst

Version vom 26. März 2009 13Z.B. sind sie ja für q^{j′} = qj̄ stets Null.

14Im Falle \frac{∂}{∂q^{l′}} g_{j′k′}(q̄) = 0 nennt man die (lokalen) Koordinaten q^{1′}, …, q^{n′} einer Riemannschen Mannigfaltigkeit an der Stelle q̄ geodätisch. Die kovariante Ableitung ist dann also der kovariante Ausdruck, der für geodätische Koordinaten wegen (1.22) in die partielle Ableitung übergeht.

15Man beachte, daß die rechte Seite von (1.22) symmetrisch in den Indizes j, l ist.

folgt daraus schließlich (1.22).

Man definiert daher die Christoffel-Symbole gewöhnlich durch (1.22) (statt durch (1.18)). Dann gilt offensichtlich

Γ_{jl}^{m} = Γ_{lj}^{m} .

Die (1.20) entspr. kovariante Ableitung der kontravarianten Komponenten A^{j} eines Vektors definiert man im Einklang mit dem allgemeinen Tensor-Formalismus durch

∇_{k}A^{j} =^{def} g^{jl} ∇_{k}A_{l} ,

woraus mit (1.22)

∇_{k}A^{j} = \frac{∂}{∂q^{k}} A^{j} + Γ_{lk}^{j}A^{l}  (1.23)

folgt.^{16}

Beweis von (1.23):

∇_{k}A^{j}  =_{(1.23)} g^{jl} ∇_{k}A_{l}
=_{(1.20)} g^{jl}(\frac{∂}{∂q^{k}} A_{l} − Γ_{lk}^{m} A_{m})
=_{(1.17)} g^{jl} \frac{∂}{∂q^{k}} (g_{ln}A^{n}) − g^{jl} Γ_{lk}^{m} g_{mn}A^{n}
=_{Prod.-R._{(1.16),(1.22)}}  \frac{∂}{∂q^{k}} A^{j} + g^{jl} g_{ln,k} A^{n} − g^{jl} \frac{1}{2} (g_{ln,k} + g_{kn,l} − g_{lk,n}) A^{n}
=  \frac{∂}{∂q^{k}} A^{j} + g^{jl} \frac{1}{2} (g_{ln,k} + g_{lk,n} − g_{kn,l}) A^{n}
=_{(1.22)}  \frac{∂}{∂q^{k}} A^{j} + g^{jl}g_{ml} Γ_{nk}^{m} A^{n}
=_{(1.16)}  \frac{∂}{∂q^{k}} A^{j} + Γ_{nk}^{j} A^{n} .

Seien nun eine Kurve C = {q(t) ˆ= q^{1}(t), …, q^{n}(t); t ∈ [t_{1}, t_{2}]} und ein Vektor A^{j}(q(t_{1})) t_{j}(q(t_{1})) im Anfangspunkt q(t_{1}) von C vorgegeben. Dann lässt sich dieser Vektor natürlich zu einem konstanten Vektorfeld A^{j}(q) t_{j}(q) über ℝ^{n} fortsetzen. Da die kovariante Ableitung — insbesondere also q̇^{k} ∇_{k}A^{j} längs der Kurve — verschwindet, muß die konstante Vektorschar

{A^{j}(t) t_{j}(q(t))}_{t∈[t_{1},t_{2}]} , A^{j}(t) =^{def} A^{j}(q(t)) ,

dann gemäß (1.23) dem Differentialgleichungssystem

Ȧ^{j} + Γ_{lk}^{j} A^{l}q̇^{k} = 0  (1.24)

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16Wenn man also (konsistent) ∇_{X}A =^{def} (X^{j} ∇_{j}A^{k}) t_{k} definiert, dann gilt: ∇_{t_{j}}t_{k} = Γ_{k,j}^{l}t_{l} .

genügen, das diese Schar bei vorgegebenem Anfangswert bereits eindeutig charakterisiert.

Die Verallgemeinerung der kovarianten Ableitung auf Tensoren höherer Stufe ist offensichtlich; z.B.:^{17}

T_{k m;j}^{l} =^{def} ∇_{j}T_{k m}^{l} =^{def} \frac{∂}{∂q^{k}} T_{k m}^{l} − Γ_{kj}^{r}T_{r m}^{l} + Γ_{rj}^{l}T_{k m}^{r} − Γ_{mj}^{r}T_{k r}^{l} .  (1.25)

1.1.3 Untermannigfaltigkeiten

Geodäten und Parallelverschiebung

Sei wieder wie in Abschnitt 1.1 ein Körper mit eingeschriebenen Koordinaten q^{1}, …, q^{n} gegeben, die im unverzerrten Zustand karthesisch sind. Dann liegen die Körperpunkte P mit q^{n} = 0 im unverzerrten Zustand in einer (Hyper-) Ebene, die durch Verzerrung des Körpers in eine gekrümmte (Hyper-) Fläche M übergeht.^{18} Die für diese Fläche charakterisitischen Formeln ergeben sich nun aus den bisherigen einfach durch folgende Einschränkung:

Für die Indizes j, k, … resp. j′, k′ … sind jetzt — insbesondere bei der Einsteinschen Summationskonvention — nur die Werte 1, …, n−1 resp. 1′, …, (n − 1)′ zu verwenden.

Es sollen nun zunächst die Geodäten von M bestimmt werden, d.h. die Linien in M, deren (hinreichend kurze) Teilstrecken jeweils die kürzeste, ganz in M verlaufende, Verbindung zwischen Anfangs- und Endpunkt darstellen.

Wenn q^{1}(t), …, q^{n−1}(t) eine (zeitlich begrenzte) Bahnbewegung ist, die ganz auf einer Geodäten verläuft, so muß sie also dem (lokalen) Variationsprinzip

δ ∫_{t_{1}}^{t^{2}} L (q^{1}(t), …, q̇^{n−1}(t)) dt = 0 ; L (q^{1}, …, q̇^{n−1}) =^{def} \sqrt{g_{jk} (q^{1}, …, q^{n−1}) q̇^{j}q̇^{k}}

genügen, wobei bei Variation die Orte für die Zeitpunkte t_{1} und t_{2} beizubehalten sind. Für konstante Bahngeschwindigkeit^{19} ergeben sich dazu die Euler-Lagrange-Gleichungen

q̈^{k} + Γ_{lj}^{k} q̇^{l}q̇^{j} = 0 .  (1.26)

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Bahngeschwindigkeit, abhängt.

17Damit gilt z.B. die Produktregel ∇_{j}A_{k}B^{l}C_{m} = (∇_{j}A_{k})B^{l}C_{m} + A_{k}(∇_{j}B^{k})C_{m} + A_{k}B^{l}∇_{j}C_{m}.

18Oftmals ist es eine vernünftige Idealisierung, sich den Körper nur aus solchen Punkten zusammengesetzt zu denken (Membranen).

19Es ist klar, daß ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{g_{jk} q̇^{j}q̇^{k}} dt nur von den Geometrie der Bahnkurve, nicht jedoch von der

Beweis:^{20}

0 = 2\sqrt{g_{jl} q̇^{j}q̇^{l}} (\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{k}} L − \frac{∂}{∂q^{k}} L)
= \frac{d}{dt}(g_{jk} q̇^{j} + g_{kl} q̇^{l}) − g_{jl,k} q̇^{j}q̇^{l}  (wegen \frac{d}{dt} \sqrt{g_{jl} q̇^{j}q̇^{l}} = 0)
= (g_{jk,l} + g_{lk,j} − g_{jl,k}) q̇^{j}q̇^{l} + 2g_{jk} q̈^{j}
=_{(1.22)} 2 (g_{mk} Γ_{lj}^{m} q̇^{j}q̇^{l} + g_{jk} q̈^{j})

Nach (1.16) ist das äquivalent zu (1.26).

Seien Ā^{1}, …, Ā^{n−1} die kontravarianten Komponenten (bzgl. q^{1}, …, q^{n−1}) eines zu M tangentialen Vektors A(q(t_{1})) an der Stelle q(t_{1}) und sei

C = {q(t) ˆ= (q^{1}(t), …, q^{n−1}(t)) : t ∈ [t_{1}, t_{2}]}

eine (hinreichend gutartige) Kurve in M. Es liegt nun nahe, die zu M tangentiale Parallelverschiebung A^{1}(t), …, A^{n−1}(t) von A(q(t_{1})) längs C als Lösung des Gleichungssystems (1.42) zum gegebenen Anfangswert A(q(t_{1})) im Sinne o.a. Einschränkung zu definieren.^{21} Diese Definition ist in folgendem Sinne optimal:

Falls C der Gleichung (1.26) genügt, also auf einer Geodäten (von M) liegt, sieht man unmittelbar, daß A^{1}(t) = q̇^{1}(t), …, A^{n−1}(t) = q̇^{n−1}(t) eine Lösung des (entspr. zu lesenden) Gleichungssystems (1.24) ist. Mit anderen Worten:

Die normierten Tangentenvektoren einer Geodäten C gehen durch Parallelverschiebung längs C auseinander hervor.^{22}

In diesem Sinne sind also die Geodäten die ‘geradesten’ Linien innerhalb M. Auch erkennt man aus (1.22) leicht

(1.24) ⟹ \frac{d}{dt} (A^{j}(t)A^{k}(t)g_{jk}(q(t))) = 0 .

Beweis: Aus

g_{mn} Γ_{jl}^{m} =_{(1.22)} \frac{1}{2} (g_{jn,l} + g_{ln,j} − g_{jl,n})

und

Ȧ^{m} + Γ_{jl}^{m} A^{j}q̇^{l} =_{(1.24)} 0

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20Wir teilen stets durch , l die partielle und durch ; l die Kovariante Ableitung nach q^{l} mit. 21Diese Lösung existiert und ist eindeutig. Daher sind Geodäten, deren normierte Tangenten ja

durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen (s.u.), durch ihre Richtung in einem Punkt bereits eindeutig festgelegt.

22Damit ist offensichtlich, daß Parallelverschiebung bzgl. M i.a. keine Parallelverschiebung bzgl. ℝ^{n} ⊃ M ist. folgt

\begin{aligned}\frac{d}{dt} (g_{mn} A^{m}A^{n}) & = & q̇^{l} g_{jn,l} A^{j}A^{n} + \underbrace{2 g_{mn} Ȧ^{m}A^{n}}_{= − (g_{jn,l} + \underbrace{g_{lk,n} − g_{jl,n}) A^{j}A^{n}}_{=0} q̇^{l}} \\ & = & 0 . \end{aligned}

Also:

Bei Parallelverschiebung bleibt die Länge eines Vektors erhalten.^{23}

Außerdem folgt aus der Linearität des Gleichungssystems unmittelbar:

Bei Parallelverschiebung längs der gleichen Kurve bleiben die linearen Beziehungen zwischen den Vektoren erhalten.^{24}

Insbesondere bleibt also die Neigung zur Kurventangenten bei Parallelverschiebung längs einer Geodäten erhalten.

Wegabhängigkeit der Parallelverschiebung

Natürlich muß man im allgemeinen damit rechnen, daß der zu M tangentiale Paralleltransport vom Verschiebungsweg abhängt. Das soll nun eingehender untersucht werden.

Sei zunächst angenommen, der Paralleltransport sei innerhalb einer Umgebung O ⊂ M des Punktes q̄ ˆ= (q̄^{1}, …, q̄^{n−1}) wegunabhängig. Dann läßt sich offenbar jeder an dieser Stelle vorgegebene Satz linear unabhängiger Tangentenvektoren {A_{α′} = (A_{α′})^{j}(q̄) t_{j}(q̄) , α′ = 1′, …, (n − 1)′} zu einem Satz an jeder Stelle in O linear unabhängiger Vektorfelder (A_{α′})^{j}(q) t_{j}(q) fortsetzen, die innerhalb O konstant in dem Sinne sind, daß Ihre kovarianten Ableitungen (bzgl. M) dort verschwinden.

Dann ist zu vermuten, daß die Christoffel-Symbole in Koordinaten q^{α′} verschwinden, die die (A_{1′})^{j}, …, (A_{(n−1)′})^{j} als Tangentenvektoren haben, also den Bedingungen

\frac{∂q^{j}}{∂q^{α′}} = (A_{α′})^{j}(q)  (1.27)

genügen. Solche Koordinaten wären mit

(A^{α′})_{j}(q)(A_{α′})^{k}(q) = δ_{j}^{k} .  (1.28)

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23Man kann auch umgekehrt zeigen (siehe z.B. (Goenner, 1996, Abschn. 8.4.2)), daß (1.22) unter der Symmetrievoraussetzung Γ_{lj}^{m} = Γ_{jl}^{m} aus (1.24) und Erhaltung der Vektorlänge bei Parallelverschiebung folgt. Ohne diese Voraussetzung (man spricht dann von Torsion ) charakterisiert (1.26) dann zwar immer noch die Kurven, die man als zu sich selbst parallel bezeichnet, i.a. jedoch nicht mehr die Geodäten!

24Daher sagt man auch, daß durch die Christoffel-Symbole (bzgl. (q^{1}, …, q^{n−1})) eine lineare Konnexion (zwischen Vektoren an unterschiedlichen Stellen von M) gegeben sei.

durch

q^{α′} =^{def} ∫ q ; q̄(A^{α′})_{j}(q) dq^{j}  (1.29)

gegeben, wobei q̄ einen willkürlich gewählten Bezugspunkt aus O bezeichnet.

Anmerkung: Die A^{α′} bilden die zu den A_{α′} reziproke Basis und es gilt

(A^{α′})_{j} = g^{α′β′}g_{jk}(A_{β′})^{k} .

Beweis: Aus (1.28) folgt

((A^{α′})_{j}(A_{β′})^{j})(A_{α′})^{k} = (A_{β′})^{k}

und daraus aufgrund der Unabhängigkeit der A_{α′}

(A^{α′})_{j}(A_{β′})^{j} = δ_{β′}^{α′} ,

also die behauptete Reziprozität.

Daß (1.28) mit (A^{α′})_{j} = g^{α′β′}g_{jk}(A_{β′})^{k} tatsächlich erfüllt ist, erkennt man gemäß

g^{α′β′}g_{jl}(A_{β′})^{l} (A_{β′})^{k} =_{(1.27)} g^{α′β′}g_{jk} \frac{∂q^{l}}{∂q^{β′}} \frac{∂q^{k}}{∂q^{α′}}
= g^{kl}g_{jl}
= δ_{j}^{k} .

Wir wollen deshalb zunächst zeigen, daß die Definitionen (1.29) erlaubt, die angegebenen Integrationen also von der Wahl des Weges von q̄ nach q unabhängig sind.

Dazu beachten wir, daß aus der ‘Konstanz’ der Vektorfelder A_{α′} nach (1.23) und (1.28)

Γ_{km}^{j}(q) = −(A^{α′})_{m}(q)\frac{∂}{∂q^{k}} (A_{α′})^{j}(q)

und somit nach (1.28)

Γ_{km}^{j}(q) = +(A_{α′})^{j}(q)\frac{∂}{∂q^{k}} (A^{α′})_{m}(q) ∀ q ∈ O .  (1.30)

folgt. Aufgrund der Symmetrie der Christoffel-Symbole in den unteren Indizes folgt daraus

(A_{α′})^{j}(q) (\frac{∂}{∂q^{k}} (A^{α′})_{m}(q) − \frac{∂}{∂q^{m}} (A^{α′})_{k}(q)) = 0 ,

und damit

\frac{∂}{∂q^{k}} (A^{α′})_{m}(q) − \frac{∂}{∂q^{m}} (A^{α′})_{k}(q) = 0 ,

d.h. die notwendige Rotationsfreiheit.^{25} Die Definitionen (1.29) sind also erlaubt und aus ihnen folgt

\frac{∂q^{α′}}{∂q^{j}} = (A^{α′})_{j}(q) .  (1.31)

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25Vgl. Fußnote 29.

Bildet man hier beiden Seiten die inverse Matrix, so ergibt sich tatsächlich (1.27) und daraus mit (1.31) für die Christoffel-Symbole (1.30) schließlich:

Γ_{km}^{j}(q) = \frac{∂q^{j}}{∂q^{α′}} \frac{∂}{∂q^{k}} \frac{∂q^{α′}}{∂q^{m}} .

Daraus erkennt man, das die Christoffel-Symbole in den q^{α′}-Koordinaten verschwinden. Umgekehrt ist es offensichtlich, daß der Paralleltransport in O wegunabhängig ist, wenn dort ein Koordinatensystem existiert, in dem die Christoffel-Symbole verschwinden.^{26} Wir sehen also:

Der Paralleltransport ist genau dann in der Umgebung eine Punktes wegunabhängig, wenn für eine Umgebung dieses Punktes ein Koordinatensystem existiert, bzgl. dessen die Christoffel-Symbole verschwinden.

Das Verschwinden der Christoffel-Symbole in einem Koordinatensystems aber gleichbedeutend mit der Konstanz der Komponenten des metrischen Tensors^{27} bzgl. dieses Koordinatensystems.

Beweis: Gemäß (1.22) folgen aus dem der Verschwinden der Christoffel-Symbole die Gleichungen

g_{jn,l} + g_{ln,j} − g_{jl,n} = 0 , g_{jl,n} + g_{nl,j} − g_{jn,l} = 0 .

Indem man beide addiert erhält man

g_{ln,j} = 0

(wegen g_{nl} = g_{lb}).

Krümmungstensor

Wir wollen nun zeigen, daß (in O) genau dann ein Koordinatensystem existiert, in dem die Christoffel-Symbole verschwinden, wenn (in O) der Riemannsche Krümmungstensor^{28}

R_{mkj}^{l} =^{def} (Γ_{mj,k}^{l} − Γ_{mk,j}^{l}) + (Γ_{rk}^{l}Γ_{mj}^{r} − Γ_{rj}^{l}Γ_{mk}^{r}) (1.32)

von M verschwindet.

Zunächst ist klar, daß im Falle der Wegunabhängigkeit der Parallelverschiebung — also im Falle der (lokalen) Existenz unabhängiger konstanter Vektorfelder (A_{1′})^{l}, …, (A_{1′}) — der Krümmungstensor verschwindet.

Version vom 26. März 2009

26In solchen Koordinaten ist Parallelverschiebung ja mit Konstanz der Vektorkomponenten gleichbedeutend.

27Die Konstanz der Komponenten des metrischen Tensors bedeutet jedoch nicht, daß die Untermannigfaltigkeit lokal ungekrümmt im naiven Sinne ist. O könnte durchaus Teil einer Zylinderoder Kegel-Oberfläche sein.

28Bzgl. des Tensorcharakters siehe (1.46).

22 KAPITEL 1. GRUNDIDEEN

Beweis: Durch wiederholte Ausnutzung des Verschwindens der kovarianten Ableitung der (A_{α′})^{l} ergibt sich

0 = \frac{∂}{∂q^{k}} (∇_{j}(A_{α′})^{l}) − \frac{∂}{∂q^{j}} (∇_{k}(A_{α′})^{l})
=_{(1.23)}  \frac{∂}{∂q^{k}} (Γ_{mj}^{l}(A_{α′})^{m}) − \frac{∂}{∂q^{j}} (Γ_{mk}^{l}(A_{α′})^{m})
=_{Produktr.} R_{mkj}^{l}(A_{α′})^{m}

Aufgrund der Regularität der Matrix der (A_{α′})^{m} folgt daraus R_{mkj}^{l} = 0 .

Den genauen Zusammenhang zwischen Riemannschem Krümmungstensor und Parallelverschiebung längs geschlossener Kurven liefert das folgende Lemma 1.1.1

Gegeben: (i) offene Teilmenge O von M (ii) Koordinatensystem q^{1}, …, q^{n−1} von O (iii) hinreichend gutartige Abbildung \begin{matrix}q : [0, 1] × [0, 1] & ⟶ & O \\ (s, t) & ⟼ & q(s, t) ˆ= (q^{1}(s, t), …, q^{n−1}(s, t)) \end{matrix} (iv) Vektor Ā an der Stelle q̄ = q(0, 0)

Behauptung:

\begin{matrix}sup_{ϵ∈(0,1)} ϵ^{−3} |(Ā_{ϵ}^{l} − Ā^{l}) − \frac{1}{2}R_{jkm}^{l}(q̄)Ā^{j}f_{ϵ}^{km}| \\ < ∞ für l = 1, …, n − 1 , \end{matrix}

wobei:

C_{ϵ} =^{def} \{ \begin{matrix}Bild unter q des mathematisch positiv \\ orientierten Randes von [0, ϵ] × [0, ϵ] \end{matrix}
Ā_{ϵ} =^{def} Parallelverschiebung von Ā längs C_{ϵ}
f_{ϵ}^{km} =^{def} \frac{1}{2} ∫_{C_{ϵ}} ((q^{k} − q̄^{k}) dq^{m} − (q^{m} − q̄^{m}) dq^{k})

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; s; t; q(s, t); C_{ϵ}; M; ϵ; ϵ]

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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

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2 Γ_{β′γ′}^{α′}

= \underbrace{g^{α′μ′} \frac{∂q^{β}}{∂q^{β′}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} \frac{∂q^{γ}}{∂q^{γ′}}}_{\frac{∂q^{α′}}{∂q^{α}} \frac{∂q^{β}}{∂q^{β′}} \frac{∂q^{γ}}{∂q^{γ′}} g^{αμ}} (g_{βμ,γ} + g_{γμ,β} − g_{βγ,μ})

+ g^{α′μ′} (g_{βμ} \frac{∂}{∂q^{γ′}} (\frac{∂q^{β}}{∂q^{β′}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} ) + g_{γμ} \frac{∂}{∂q^{β′}} (\frac{∂q^{γ}}{∂q^{γ′}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} ) − g_{βγ} \frac{∂}{∂q^{μ′}} (\frac{∂q^{β}}{∂q^{β′}} \frac{∂q^{γ}}{∂q^{γ′}} )) .

Mit

g_{βμ} \frac{∂}{∂q^{γ′}} (\frac{∂q^{β}}{∂q^{β′}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} ) = g_{β′λ′} \frac{∂q^{λ′}}{∂q^{μ}} \frac{∂}{∂q^{γ′}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} + g_{λ′μ′} \frac{∂q^{λ′}}{∂q^{β}} \frac{∂}{∂q^{γ′}} \frac{∂q^{β}}{∂q^{β′}}

und den entsprechenden Gleichungen für die anderen Index-Kombinationen folgt daraus aufgrund der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen das angegebene Transformationsverhalten der Christoffel-Symbole.

Um daraus den Tensor-Charakter der kovarianten Ableitung zu erkennen, genügt die Untersuchung von ∇_{α} A^{β} :

∇_{μ′}A^{λ′} = A_{,μ′}^{λ′} + Γ_{μ′ν′}^{λ′} A^{ν′}

= \underbrace{∂_{μ′} (\frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} A^{λ})}_{\underbrace{(∂_{μ′} \frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} ) A^{λ}}_{(\frac{∂q^{λ}}{∂q^{ν′}} ∂_{μ′} \frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} ) A^{ν′}} + \underbrace{\frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} A_{,μ′}^{λ}}_{\frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} A_{,μ}^{λ}}} + \underbrace{\frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} \frac{∂q^{ν}}{∂q^{ν′}} Γ_{μν}^{λ} \frac{∂q^{ν′}}{∂q^{γ}} A^{γ}}_{\frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} Γ_{μν}^{λ} A^{ν}} + \underbrace{(\frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} \frac{∂}{∂q^{μ′}} \frac{∂q^{λ}}{∂q^{ν′}} )}_{− (\frac{∂q^{λ}}{∂q^{ν′}} ∂_{μ′} \frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} )} A^{ν′}

= \frac{∂q^{λ′}}{∂q^{λ}} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{μ′}} ∇_{μ}A^{λ} .

Eine der Kurve C = {q(t) ˆ= q^{1}(t), …, q^{n}(t); t ∈ [t_{1}, t_{2}]} zugeordnete Vektorschar {A(t)}_{t∈[t_{1},t_{2}]} wird als konstant bezeichnet, wenn sie dem Gleichungssystem

Ȧ^{α} + Γ_{μβ}^{α}A^{μ}q̇^{β} = 0  (1.42)

genügt. Für solche Scharen gilt wieder

\frac{d}{dt} (g_{αβ}(q(t))A^{α}(t)A^{β}(t)) = 0 ,  (1.43)

was gemäß (1.42) zu

∇_{μ} g_{αβ} = 0  (1.44)

äquivalent ist.

Beweis: Für Lösungen A der Geodätengleichung gilt

\begin{aligned}\frac{d}{dt} (g_{αβ} A^{α}A^{β}) & = & \underbrace{ġ_{αβ}}_{=g_{αβ,ν} q̇^{ν}} A^{α}A^{β} − g_{αβ} Γ_{μν}^{α} A^{μ} q̇^{ν} A^{β} − g_{αβ} A^{α} Γ_{μν}^{β} A^{μ} q̇^{ν} \\ & = & g_{αβ;ν} A^{α}A^{β} q̇^{ν} . \end{aligned}

Da A und q̇ an einer vorgegebenen Stelle beliebig gewählt werden können. folgt daraus die Behauptung.

Man bezeichnet B(q(t_{2})) als Resultat der Parallelverschiebung von A(q(t_{1})) längs C, wenn eine auf C konstante Schar {A^{α}(t)}_{t∈[t_{1},t_{2}]} existiert mit A(t_{1}) = A(q(t_{1})) und A(t_{2}) = B(q(t_{2})).

Auch für pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten gilt Lemma 1.1.1 entsprechend mit dem Riemannschen Krümmungstensor

R_{αγβ}^{δ} =^{def} (Γ_{αβ,γ}^{δ} − Γ_{αγ,β}^{δ}) + (Γ_{ργ}^{δ}Γ_{αβ}^{ρ} − Γ_{ρβ}^{δ}Γ_{αγ}^{ρ}) ,  (1.45)

dessen Verschwinden in der Umgebung eine Punktes notwendig und hinreichend dafür ist, daß der Paralleltransport in dieser Umgebung wegunabhängig ist. Letzteres garantiert wiederum, daß für eine Umgebung des Punktes ein Koordinatensystem q¯1, …, qn̄ existiert, bzgl. dessen die Christoffel-Symbole verschwinden und somit die gᾱβ̄ konstant sind.

Auch die Gleichung

[∇_{α}, ∇_{β}]A^{γ} = R^{γ}_{μαβ}A^{μ}  (1.46)

folgt im pseudo-Riemannschen Fall genau so wie im Riemannschen.

Für die Definition der Geodäten legt man jetzt allerdings besser das Variationsprinzip

δ ∫_{t_{1}}^{t^{2}} g_{αβ}(q(t)) q̇^{α}(t)q̇^{β}(t) dt = 0

zugrunde, das wiederum auf die Geodätengleichung

q̈^{α} + Γ_{βγ}^{α}q̇^{β}q̇^{γ} = 0  (1.47)

für affine^{34} Parametrisierung führt.

Beweis: Die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen sind

\frac{d}{dt} (2 g_{αβ} q̇^{α}) − g_{αγ,β} q̇^{α} q̇^{γ} = 0 ,

also

2 g_{αβ} q̈^{α} + 2 g_{αβ,γ} q̇^{α} q̇^{γ} − g_{αγ,β} q̇^{α} q̇^{γ} = 0 .  (∗)

Das ist äquivalent zu

\begin{aligned}0 & = & 2 g_{αβ} q̈^{α} + \underbrace{(g_{αβ,γ} + g_{γβ,α} − g_{αγ,β})}_{=2 g_{δβ} Γ_{αγ}^{δ}} q̇^{α} q̇^{γ} \\ & = & 2 g_{αβ} (q̈^{α} + Γ_{δγ}^{α} q̇^{δ} q̇^{γ}) , \end{aligned}

also zur Geodätengleichung für affine Parametrisierung. Die Affinität der Parametrisierung folgt auch aus (*) durch Kontraktion mit q̇^{β} :

\begin{aligned}0 & = & 2 g_{αβ} q̈^{α} q̇^{β} + g_{αβ,γ} q̇^{α} q̇^{β} q̇^{γ} \\ & = & \frac{d}{dt} (2 g_{αβ} q̇^{α} q̇^{β}) . \end{aligned}

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34Eine Kurve {q(t)}_{t} heißt affin parametrisiert, wenn (1.43) für A(t) = q̇(t) gilt (was für Nullgeodäten allerdings nichts besagt).

1.2.2 Die Geodätenhypothese

Ein Massenpunkt, der auf eine gekrümmte Fläche im ℝ^{3} gebunden ist, dabei dem D’Alembertschen Prinzip genügt und keinen äußeren Kräften ausgesetzt ist, bewegt sich bekanntlich auf Geodäten dieser Fläche (siehe z.B. Abschnitt 3.1.1.1 von (Lücke, mech)). Man hat damit die wirkenden Kräfte (reine Zwangskräfte) ‘weitgehend’ auf die Geometrie des Konfigurationsraumes (gekrümmte Fläche) zurückgeführt. Nur ‘weitgehend’ deshalb, weil der Betrag der Bahngeschwindigkeit auf den Geodäten noch nicht festgelegt ist. Einstein’s Idee war es, die Gravitationskräfte als eine Art ‘Vierer-Zwangskräfte’ aufzufassen, die sich ‘vollständig’^{35} auf die Geometrie der als gekrümmt anzusehenden Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit zurückführen lassen.

Das sollte deshalb möglich sein, weil die Bewegungsabläufe von Test-Massen-punkten^{36} im Gravitationsfeld erfahrungsgemäß von der trägen Masse unabhängig sind (Äquivalenzprinzip), wenn sie keinen weiteren äußeren Kräften ausgesetzt sind.

Es gilt also, jeweils eine 4-dimensionale, pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit zu finden, für die die Bewegungsabläufe von Test-Massenpunkten im gegebenen Gravitationsfeld (zeitartigen) Geodäten entsprechen.

Als am Punkt q̄ geodätische Koordinaten^{37} bezeichnet man solche Koordinaten, bzgl. derer die Christoffel-Symbole (1.39) an der Stelle q̄ verschwinden. Da sich die Christoffel-Symbole nicht wie Tensor-Komponenten transformieren, sondern gemäß (1.41), sieht man leicht, daß zu jedem Punkt q̄ tatsächlich geodätische Koordinaten existieren.

Beweis: Für hinreichend kleine q^{0′} = q̂^{0}, …, q^{3′} = q̂^{3} ist die Transformation

q̂^{μ} ⟼ q^{α}(q^{0′}, …, q^{3′}) =^{def} q̄^{α} + q̂^{α} − \frac{1}{2} Γ_{βγ}^{α}(q̄) q̂^{β}q̂^{γ}

umkehrbar, sodaß die q^{μ′} als Koordinaten einer Umgebung von q̄ angesehen werden können. Mit

(\frac{∂q^{α}}{∂q̂^{β}} )_{|_{q̂=0}} = δ_{β}^{α} = (\frac{∂q̂^{α}}{∂q^{β}} )_{|_{q=q̄}}

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35‘Vollständig’ in dem Sinne, daß unterschiedliche Parametrisierungen der Bahnkurven (Weltlinien) im 4-dim. Raum-Zeit-Kontinuum nicht mehr physikalisch unterschiedlichen Bewegungsabläufen entsprechen.

36Test-Massenpunkte zeichnen sich durch folgende Eigenschaften aus:

• Ihre Masse ist so klein, daß sie keinen wesentlichen Einfluß auf die felderzeugenden Massen hat.

• Sie füllen ein Gebiet aus, dessen Ausdehnung so gering ist, daß sich darin das Gravitationsfeld nicht wesentlich ändert.

• Man interessiert sich lediglich für die Bewegung ihres Schwerpunktes (Ort des Massen‘punktes’).

37Vgl. Fußnote 14. und

\frac{∂}{∂q̂^{γ}} (\frac{∂q^{α}}{∂q̂^{β}} )_{|_{q̂=0}} = −Γ_{βγ}^{α}(q̄)

folgt dann die Behauptung.

Nach (1.44), (1.40) und (1.39) gilt

Γ_{νλ}^{μ}(q̄) = 0 ∀ μ, ν, λ ⟺ g_{αβ,γ}(q̄) = 0 ∀ α, β, γ .  (1.48)

Daher existieren zu jedem Weltpunkt q̄ lokale Koordinaten q^{0′}, …, q^{3′}, die den Bedingungen

\frac{∂}{∂q^{γ′}} g_{α′β′}(q̄) = 0 , |g_{α′β′}(q̄)| = \{ \begin{matrix}1 & für α′ = β′ \\ 0 & sonst \end{matrix}

genügen (Beweis als Übungsaufgabe E1). Da die Metrik diejenigen Raum-Zeit-Abstände beschreiben soll, die sich durch Ausmessung der Raum-Zeit-Geometrie mit Uhren und Maßstäben ergeben, die lokal der Speziellen Relativitätstheorie genügen (Verhalten derselben unabhängig von Vorgeschichte), sollte sich das zu

\frac{∂}{∂q^{γ′}} g_{α′β′}(q̄) = 0 , g(q̄)_{α′β′} = \{ \begin{matrix}+1 & für α′ = β′ = 0′ \\ −1 & für α′ = β′ ∈ \{1′, 2′, 3′\} \\ 0 & sonst \end{matrix}  (1.49)

präzisieren lassen. Bzgl. solcher geodätischer Koordinaten erscheint das Raum-Zeit-Kontinuum um q̄ herum in erster Näherung wie der lineare Minkowski-Raum, der durch Geodäten gegebene Bewegungsablauf dementsprechend beschleunigungsfrei. Mit anderen Worten:

Das Gravitationsfeld läßt sich an jeder Stelle in erster Näherung ‘wegtransformieren’ (Einheitliche Natur von Trägheit und Gravitation).

Übungsaufgabe E2: Man untersuche die Geodäten des linearen Minkowski-Raumes und erkläre damit das Zwillingsparadoxon.

Als einfacher Test der Geodätenhypothese sei eine gemäß

g_{αβ}(q(t)) q̇^{α}(t)q̇^{β}(t) = c^{2}

parametrisierte (zeitartige) Geodäte betrachtet, für die dann (1.47) gilt. Unter den Voraussetzungen

g_{αβ} − η_{αβ} ≪ 1  geringe Krümmung
g_{αβ,0} ≪ g_{αβ,j} für j = 1, 2, 3 vernachlässigb. Zeitanbh. d. Gravit.
q̇^{j} ≪ q̇^{0}  nichtrelativistische Bewegung

gilt dann

q^{0}(t) ≈ ct + q^{0}(0)

und somit für j ∈ {1, 2, 3} :

q̈^{j} =_{(1.47)} −Γ_{αβ}^{j}q̇^{α}q̇^{β}
≈ −c^{2} Γ_{00}^{j}
=_{(1.39)} −\frac{c^{2}}{2} g^{jν}(2 g_{0ν,0} − g_{00,ν})
≈ −\frac{c^{2}}{2} g_{00,j} .

Die Geodätenhypothese reproduziert also in geeigneter Näherung die Newtonsche Gravitationstheorie, wobei \frac{c^{2}}{2} g_{00} (bis auf eine additive Normierungskonstante) dem Gravitationspotential entspricht! Zu jedem Punkt der Mannigfaltigkeit existieren aber Koordinaten, in denen die ersten Ableitungen von g_{αβ} verschwinden.

1.2.3 Relativbeschleunigung

In der Newtonschen Theorie zeigt sich das Vorhandensein eines ‘wahren’ (also nicht homogenen) Gravitationsfeldes in karthesischen Koordinaten daran, daß benachbarte Test-Massenpunkte relativ zueinander beschleunigt werden:

Sei {x_{s}(t)}_{s} eine Schar von Lösungen der dem Gravitationspotential Φ(x) entsprechenden Bewegungsgleichung

ẍ(t) = −grad Φ(x(t)) .  (1.50)

Dann gilt in karthesischen Koordinaten:

(\frac{∂}{∂t})^{2} (\frac{∂}{∂s}(x_{s})^{j}(t)) = \frac{∂}{∂s}(ẍ_{s})^{j}(t) = −\frac{∂}{∂s}(x_{s})^{k}(t)\frac{∂}{∂x^{k}} \frac{∂}{∂x^{j}} Φ(x)_{|_{x=xs(t)}} . (1.51)

Wir wollen den entsprechenden Vektor für das pseudo-euklidische Raum-Zeit-Kontinuum angeben:

Sei also {(q_{s})^{ν}(t)}_{s} eine Schar affin parametrisierter Geodäten. Dann ergibt sich für deren infinitesimale Abweichung:^{38}

((q̇_{s})^{α}(t)∇_{α}) ((q̇_{s})^{β}(t)∇_{β}) \frac{∂}{∂s}(q_{s})^{μ}(t) = (\frac{∂}{∂s}(q_{s})^{ν}(t)) R_{αβν}^{μ} (q_{s}(t)) (q̇_{s})^{α}(t)(q̇_{s})^{β}(t)

(1.52)

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38Hier bezeichnet ((q̇_{s})^{α}(t)∇_{α}) die kovariante Ableitung in Richtung der Geodäten {q_{s}(t)}_{t}, die für Vektorscharen \{(A_{s})^{μ}(t)\}_{t} auf \{q_{s}(t)\}_{t} (also z.B. (A_{s})^{μ}(t) = (\frac{∂}{∂s}q_{s})^{μ} (t)) erklärt ist:

((q̇_{s})^{β}(t)∇_{β}) (A_{s})^{μ}(t) =^{def} \frac{d}{dt}(A_{s})^{μ}(t) + Γ_{αβ}^{μ}(q_{s}(t))(A_{s})^{α}(t)(q̇_{s})^{β}(t) .

Beweis von (1.52): Wenn wir einfach q statt q_{s} schreiben, gilt

(q̇^{α}∇_{α}) (q̇^{β}∇_{β}) \frac{∂}{∂s}q^{γ}

= q̇^{α}∇_{α} \frac{∂}{∂s}q̇^{γ} + q̇^{α}∇_{α} (q̇^{β} Γ_{δα}^{γ} \frac{∂}{∂s}q^{δ})

= \frac{∂}{∂s}q̈^{δ} + q̇^{α} Γ_{μα}^{γ} \frac{∂}{∂s}q̇^{μ} + \frac{d}{dt} (q̇^{β} Γ_{δβ}^{γ} \frac{∂}{∂s}q^{δ}) + q̇^{α}q̇^{β} Γ_{μα}^{γ}Γ_{δβ}^{μ} \frac{∂}{∂s}q^{δ}

= \frac{∂}{∂s}q̈^{δ} + 2 q̇^{α} Γ_{μα}^{γ} \frac{∂}{∂s}q̇^{μ} + q̇^{α}q̇^{β} Γ_{δβ,α}^{γ} \frac{∂}{∂s}q^{δ} + q̇^{α}q̇^{β} Γ_{μα}^{γ}Γ_{δβ}^{μ} \frac{∂}{∂s}q^{δ} + \underbrace{q̈^{β} Γ_{δβ}^{γ}}_{−q̇^{α}q̇^{β} Γ_{αβ}^{μ}Γ_{δμ}^{γ}} \frac{∂}{∂s}q^{δ} .

Mit

\begin{aligned}\frac{∂}{∂s}q̈^{γ} & = & −\frac{∂}{∂s} (q̇^{α}q̇^{β} Γ_{αβ}^{γ}) \\ & = & −q̇^{α}q̇^{β} Γ_{αβ,δ}^{γ} \frac{∂}{∂s}q^{δ} − 2 q̇^{α} Γ_{αβ}^{γ} \frac{∂}{∂s}q̇^{β} \end{aligned}

und

q̇^{α}q̇^{β} Γ_{μα}^{γ}Γ_{δβ}^{μ} = q̇^{α}q̇^{β} Γ_{μβ}^{γ}Γ_{αδ}^{μ}

folgt daraus die Behauptung.

Der Riemannsche Tensor, 2-fach verjüngt mit q̇_{s}, übernimmt also bzgl. der gekrümmten Raum-Zeit in gewisser Weise die Rolle, die die zweiten Ableitungen des Gravitationspotentials bzgl. des flachen Raumes spielen.

1.2.4 Feldgleichungen

Die Geodätenhypothese legt fest, wie die Geometrie des Raum-Zeit-Kontinuums auf Testmassen wirkt. Nach Einstein sollte auch umgekehrt die Gesamtheit aller Materie (auch die elektromagnetischer Form) die Geometrie des Raum-Zeit-Kontinuums bestimmen. Dieser Gesetzmäßigkeit sollte eine lokale Feldgleichung zugrunde liegen, die entsprechend 1.2.3 in etwa der Poissonschen Gleichung

△Φ = 4πγρ  (1.53)

der Newtonschen Gravitationstheorie entspricht, in der Φ das Gravitationspotential, γ die Gravitationskonstante und ρ die Massendichte bezeichnet. Im Vakuum, liegt es nach 1.2.3 somit nahe, für alle Geodäten

R_{αβν}^{ν}(q(t)) q̇^{α}(t)q̇^{β}(t) = 0

zu verlangen. Daher^{39} hatte Einstein 1915 für das Vakuum die Feldgleichungen R_{αβ} = 0 vorgeschlagen, wobei

R_{αβ} =^{def} R_{αβν}^{ν}  (1.54)

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39Man sieht leicht, daß R_{αβ} symmetrisch ist, denn:

Γ_{αμ,β}^{μ} = \frac{1}{2} g^{μν}g_{μν,α,β} , Γ_{νβ}^{μ}Γ_{αμ}^{ν} = Γ_{βν}^{μ}Γ_{αμ}^{ν} = Γ_{αν}^{μ}Γ_{βμ}^{ν} .

den sog. Ricci-Tensor bezeichnet.

Dabei ist es natürlich wichtig, daß diese Feldgleichungen weniger verlangen, als das Verschwinden des Riemannschen Krümmungstensors.

Innerhalb einer Materieverteilung liegt es zunächst nahe, den Ricci-Tensor mit einem Vielfachen des Energie-Spannungs-Tensors gleichzusetzen. Man setzt jedoch als Feldgleichungen der Gravitation

R^{αβ}(q) − \frac{1}{2}g^{αβ}(q) g_{μν}(q) R^{μν}(q) + Λ g^{αβ}(q) = −κ M^{αβ}(q) , wobei: M^{αβ} = Energie-Spannungs-Tensor der Materie

(1.55)

an,^{40} weil hieraus automatisch der uns in geodätischen Koordinaten vertraute Erhaltungssatz^{41}

M_{;β}^{αβ} = 0  (1.56)

folgt (Beweis als Übungsaufgabe E3). Letzteres erklärt den Faktor −\frac{1}{2}, nicht jedoch den Zusatzterm mit der willkürlichen kosmologischen Konstanten Λ.

Die Erwägung eines kosmologischen Zusatzterms Λg^{αβ} beruht auf einer formalen Begründung des Feldtensors:^{42}

In geodätischen Koordinaten nimmt der Riemannsche Krümmungstensor (1.45) eine besonders einfache Form

(1.49) ⟹ R_{α′β′μ′ν′}(q̄) = \begin{matrix}\frac{1}{2} (g_{ν′α′,β′,μ′}(q̄) − g_{β′ν′,α′,μ′}(q̄) \\ −g_{μ′α′,β′,ν′}(q̄) + g_{β′μ′,α′,ν′}(q̄)) \end{matrix}  (1.57)

an^{43} (Beweis als Übungsaufgabe E4). In dieser Form lassen sich die Symmetrieeigenschaften des Riemannschen Krümmungstensors bequem ablesen:

1. R_{αβμν} = −R_{αβνμ}

2. R_{αβμν} + R_{αμνβ} + R_{ανβμ} = 0

3. R_{αβμν} = −R_{βαμν}

4. R_{αβμν} = R_{νμβα}

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40Bzgl. der Konstanten κ sowie der Definition des Energie-Spannungs-Tensors siehe 2.2.

41Für gekrümmte Raum-Zeit ist das Konzept von Energie und Impuls allerdings noch zu schlecht verstanden, als daß man (1.56) direkt rechtfertigen könnte. So begründet man das Vorgehen heuristisch mit einer Verallgemeinerung des Äquivalenzprinzips: Den Grundbeziehungen bzgl. der flachen Raum-Zeit sollten i.a. – von den Gravitationsgleichungen abgesehen – bzgl. allgemeiner Koordinaten konsistent formulierte Grundbeziehungen entsprechen, die in geodätischen Koordinaten möglichst gleiche Gestalt annehmen. Oft genügt es dazu, partielle Ableitungen durch kovariante Ableitungen zu ersetzen.

42Vgl. (Lovelock, 1972).

43Hier wurde (1.37) sinngemäß angewandt: R_{α′β′μ′ν′}(q̄) =^{def} g_{α′μ′}R_{β′μ′ν′}^{μ′}(q̄)

Weitere allgemeine Symmetrieeigenschaften besitzt R_{αβμν} offensichtlich nicht, hat also 20 unabhängige Komponenten (Beweise als Übungsaufgabe E5).

Wählt man die geodätischen Koordinaten speziell als Riemannsche Normalkoordinaten,^{44} so vereinfacht sich die Beziehung zwischen dem Riemannschen Tensor und den 2. Ableitungen der g_{α′β′} noch weiter:

g_{α′β′,μ′,ν′} = −\frac{1}{3}(R_{α′μ′β′ν′} + R_{α′ν′β′μ′}) .

Damit läßt sich folgendes zeigen:^{45}

Ein symmetrischer Tensor S^{αβ}, der sich aus den q_{αβ} sowie deren Ableitungen maximal 2. Ordnung ‘bilden’ läßt und dabei linear in den Ableitungen 2. Ordnung ist, muß stets von der Form

S^{αβ}(q) = a R^{αβ}(q) + b g^{αβ}(q)g_{μν}(q)R^{μν}(q) + c g^{αβ}(q)

mit konstanten a, b und c sein.

Eine zwingende Begründung für die Feldgleichungen (1.55) – deren Kompatibilität nicht einmal sofort zu erkennen ist^{46} – läßt sich natürlich nicht angeben. Ihre eigentliche Rechtfertigung beruht – wie für jede Theorie – auf der experimentellen Bestätigung ihrer Konsequenzen.

Die Lösungen der Feldgleichungen (1.55) sind jedoch i.a. sehr schwer unter Kontrolle zu bringen, da sie – im Gegensatz z.B. zu den Maxwellschen Gleichungen – nichtlinear sind.

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44Siehe (Misner et al., 1973, S. 285). hierbei sind nun auch die dritten Ableitungen der q^{α′}(q^{0}, …, q^{3}) an der Stelle q̄ geeignet zu wählen.

45Vgl. (Misner et al., 1973, Übungen 17.1—17.3).

46Eine erste grobe Abschätzung der Freiheitsgrade berechtigt allerdings zu entsprechender Hoffnung: Die linke Seite hat, da sie divergenzfrei ist, 4 Freiheitsgrade weniger als die Matrix der g_{αβ}. Das ist offenbar im Einklang mit der allgemeinen Kovarianz: Durch geeignete Koordinatenwahl lassen sich nämlich lokal 6 der 10 unabhängigen Komponenten von g beliebig festlegen.

Analyse der Feldgleichungen

2.1 Die Vakuum-Feldgleichungen ohne kosmologischen Term

2.1.1 Statische sphärisch symmetrische Lösungen

Lösungsansatz

Für das von Materie freie Raum-Zeit-Gebiet, d.h. für T^{αβ} = 0, sind die Feldgleichungen (1.55) für Λ = 0 tatsächlich äquivalent zu den Vakuum-Feldgleichungen^{1}

R^{αβ} = 0 für α, β = 0, 1, 2, 3  (2.1)

der metrischen Koeffizienten g_{μν}.

Für diese Feldgleichungen sollen sphärisch symmetrische, statische Lösungen gesucht werden, für die zu jedem Raum-Zeit-Punkt q̄ Koordinaten q^{ν′} mit (1.49) existieren. Sphärisch symmetrisch meint:

• Die Raum-Zeit läßt sich (hinsichtlich des materiefreien Teils) als eine Schar konzentrischer Kugeloberflächen verstehen, die als starre Gerüste aus Standard-Stäben gedacht seien, auf denen geeignet skalierte Standard-Uhren verteilt sind.

• Die Einschränkung der Metrik g auf eine Untermannigfaltigkeit der Raum-Zeit die einer solchen Kugeloberfläche und einer festen Zeitanzeige der verteilten Uhren (Koordinaten-Zeit t) entspricht, stimmt jeweils mit einem negativen Vielfachen der Einschränkung der euklidischen Metrik des ℝ^{3} auf diese Fläche überein. Zu jedem r > 0 aus einem geeigneten Wertebereich gehöre genau eine Kugelschale mit Oberflächeninhalt 4πr^{2}.

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1Daß aus (2.1) R^{αβ} − \frac{1}{2}g^{αβ}g_{μν}R^{μν} = 0 folgt, ist trivial. Umgekehrt folgt aus letzterem nach (1.38) 0 = g_{αβ} (R^{αβ} − \frac{1}{2}g^{αβ}g_{μν}R^{μν}) = −g_{αβ}R^{αβ} und somit R^{αβ} = R^{αβ} − \frac{1}{2}g^{αβ}g_{μν}R^{μν} = 0 .

• Die Kugelschalen lassen sich so durch die üblichen Polarwinkel ϑ, φ koordinatisieren, daß die Einschränkung von g auf die Untermannigfaltigkeit aller Weltpunkte fester Koordinaten-Zeit diesbezüglich jeweils drehinvariant ist.^{2}

• Die Koordinatengeschwindigkeit des Lichtes bei Ausbreitung tangential an die Kugeloberflächen ist von der genaueren Spezifizierung der Ausbreitungsrichtung unabhängig.

Statisch meint:^{3}

• Bzgl. der Koordinaten

q^{0} = ct , q^{1} = r , q^{2} = ϑ , q^{3} = φ

sind die Koeffizienten der Metrik g von der Koordinaten-Zeit t unabhängig.^{4}

Zu einer Lösung der beschriebenen Art existieren also stets Funktionen a(r), b(r) mit denen – bei geeigneter Uhrensynchronisation – bzgl. o.a. Koordinaten

g_{μν}(ct, r, ϑ, φ) = ( \begin{matrix}e^{a(r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −e^{b(r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −r^{2} sin^{2} ϑ \end{matrix} )  (2.2)

gilt (Beweis als Übungsaufgabe E6). Der zugehörige Ricci-Tensor ist^{5}

R_{αβ} = \{ \begin{matrix}−e^{a−b} (\frac{1}{2}a′′ − \frac{1}{4}a′b′ + \frac{1}{4}a′a′ + \frac{1}{r}a′) & für α = β = 0 \\ \frac{1}{2}a′′ − \frac{1}{4}a′b′ + \frac{1}{4}a′a′ − \frac{1}{r}b′ & für α = β = 1 \\ e^{−b} (1 + \frac{r}{2}(a′ − b′)) − 1 & für α = β = 2 \\ R_{22} sin^{2} ϑ & für α = β = 3 \\ 0 & sonst \end{matrix}

(Beweis als Übungsaufgabe E7; vgl. (Misner, 1963, Appendix A)). Damit

R_{00} = R_{11} = 0 gilt, müssen a und b so gewählt werden, daß \frac{d}{dr}a = −\frac{d}{dr}b. Bei entspr. Skalierung von t, die wir voraussetzen wollen, muß also

a(r) = −b(r)

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2Jedoch i.a. nicht mehr euklidisch.

3Bzgl. einer allgemeinen Definition siehe (Wald, 1984, S. 119).

4Hier ist die Skalierung der Uhren notwendig, weil unskalierte Standard-Uhren an unterschiedlichen Stellen im Gravitationsfeld unterschiedliche Laufgeschwindigkeit haben; vgl. (2.12).

5Durch ′ wird hier jeweils eine Differentiation nach r mitgeteilt.

gelten.^{6} Um zusätzlich R_{22} = 0 zu gewährleisten, muß a außerdem der Differentialgleichung

1 = e^{a(r)}(1 + r\frac{d}{dr}a(r)) = \frac{d}{dr}(re^{a(r)})

genügen, die die allgemeine Lösung

e^{a(r)} = 1 − \frac{m̂}{r} , m̂ Integrationskonstante,

hat. Dafür sind tatsächlich alle Komponenten des Ricci-Tensors Null, d.h. die Vakuum-Feldgleichungen erfüllt (Beweis als Übungsaufgabe E8). Wir haben damit die sog. Schwarzschild-Lösung:

g_{μν}(ct, r, ϑ, φ) = ( \begin{matrix}1 − \frac{m̂}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −(1 − \frac{m̂}{r})^{−1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −r^{2} sin^{2} ϑ \end{matrix} )  (2.3)

Man beachte daß (2.3) für r → ∞ in die Minkowski-Metrik (Komponenten bzgl. räumlicher Kugelkoordinaten) übergeht, obwohl das dem Lösungsansatz nicht direkt anzusehen war.

Das sog. Birkhoffsche Theorem^{7} besagt, daß zur Ableitung der statischen Lösung bereits die Annahme der sphärischen Symmetrie ausreicht. (2.3) sollte also selbst für spährisch symmetrisch pulsierende Massenverteilungen im massefreien Raum-Zeit-Gebiet gelten.

Den Zusammenhang von m̂ mit bekannten physikalischen Größen erkennt man im nahezu flachen Bereich, d.h. für r ≫ m̂. Gemäß den Betrachtungen am Schluß von 1.2.2 sollte dort für Geodäten

r̈(t) ≈ −\frac{∂}{∂r} (\frac{c^{2}}{2} g_{00}(ct, r, ϑ, φ))_{|_{r=r(t)}}

=_{(2.3)} −\frac{d}{dr} (−\frac{m̂c^{2}}{2r} )_{|_{r=r(t)}}

gelten und der Newtonschen Bewegungsgleichung

r̈(t) = −\frac{d}{dr} (−γ \frac{M}{r} )_{|_{r=r(t)}}

für einen Massenpunkt M entsprechen. Demzufolge ist die Identifizierung

m̂ = \frac{2γ}{c^{2}} M  (2.4)

Version vom 26. März 2009

6Eine Verwendung von e^{−κ/2} t statt t würde einer Ersetzung von e^{a(r)} durch e^{a(r)+κ} entsprechen.

7Ein Beweis dafür findet sich z.B. in (Ellis und Hawking, 1973)

vorzunehmen. Ein typischer Wert dafür ist

\frac{2γ}{c^{2}} Sonnenmasse ≈ \frac{2(7 × 10^{−11} \frac{m^{3}}{kg s^{2}} )}{(3 × 10^{8} \frac{m}{s})^{2}} (2 × 10^{30}kg)
≈ 3 km .

Der Radius ‘normaler’ Himmelskörper ist also deutlich größer als ihr Schwarzschild-Radius m̂, so daß die zugehörige Schwarzschild-Lösung nur für einen äußeren Bereich r > m̂ relevant ist.

Aber auch für r ∈ (0, m̂) ist (2.3) eine Lösung der Gleichungen (2.1), deren Relevanz für hinreichend große Masse M in 2.1.3 diskutiert wird.

Übungsaufgabe E9: Man diskutiere den Effekt einer Änderung der Koordinaten-Zeit gemäß t ↦ t′ = ρ(r) t + η(r) .

2.1.2 Typische physikalische Effekte der äußeren Lösung

2-Dimensionale Untermannigfaltigkeiten

Wählt man die Funktion h(r) so, daß

\begin{matrix}(\frac{d}{dτ} h(r(τ)))^{2} + (ṙ(τ))^{2} + (r(τ) φ̇(τ))^{2} \\ = −g_{11}(q(τ)) (ṙ(τ))^{2} − g_{33}(q(τ)) (φ̇(τ))^{2} für t(τ) = 0, ϑ(τ) = \frac{π}{2} , \end{matrix} (2.5)

dann ist die Einschränkung des (−1)-fachen der Metrik (2.3) auf die durch

t = const. , ϑ = \frac{π}{2} , r > m̂  (2.6)

gegebene Untermannigfaltigkeit isomorph zur Einschränkung der euklidischen Metrik des ℝ^{3} auf die in Zylinderkoordinaten durch die Bedingungen

h = h(r) , r > m̂

gegebene Untermannigfaltigkeit F des ℝ^{3}:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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m̂(r) = κ c^{2} ρ_{0} \frac{r^{3}}{3} für r ≤ R  (2.47)

und somit nach (2.45)

p(r) = c^{2} ρ_{0} \frac{\sqrt{1 − \frac{m̂(R)}{R}} − \sqrt{1 − \frac{m̂(R) r^{2}}{R^{3}}}}{\sqrt{1 − \frac{m̂(R) r^{2}}{R^{3}}} − 3 \sqrt{1 − \frac{m̂(R)}{R}}} für r ≤ R

(Beweis als Übungsaufgabe E15). Der Druck im Sternzentrum ist also

p(0) = c^{2} ρ_{0} \frac{\sqrt{1 − \frac{m̂(R)}{R}} − 1}{1 − 3 \sqrt{1 − \frac{m̂(R)}{R}}}

und divergiert folglich für^{32} R → \frac{9}{8} m̂(R) + 0 . Es muß also die Bedingung

R > \frac{9}{8} m̂(R) =_{(2.42),(2.47)} \frac{3π γ ρ_{0}}{c^{2}} R^{3}

erfüllt sein, also

m̂(R) < \frac{8}{9} R < \frac{8}{9} \sqrt{\frac{c^{2}}{3π γ ρ_{0}}}

und somit nach (2.4):

M_{max} < \frac{4 c^{3}}{9 \sqrt{3 π γ^{3}ρ_{0}}} .

Für größere Gesamtmasse kann also kein noch so großer Gegendruck eine weitere Kontraktion aufgrund der Gravitation verhindern. Man vermutet, daß auf diese Weise tatsächlich schwarze Löcher entstehen können (Gravitationskollaps).

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32Man kann zeigen, daß diese Divergenz für beliebiges ρ(r) > 0 mit ρ′(r) ≤ 0 gilt (Wald, 1984, S. 130/131). Das ist wichtig, weil die Zustandsgleichung p = p(ρ) im Sterninneren weitgehend unbekannt ist.

Teil II Kosmologie

57

Homogene und Isotrope Modelle

3.1 Kosmologisches Prinzip und Robertson-Walker-Metriken

3.1.1 Grundsätzliches

Es ist damit zu rechnen, daß wir bestimmte Teile der Raum-Zeit grundsätzlich nicht beobachten können.^{1} Es sind also geeignete, nicht überprüfbare Hypothesen notwendig, um mögliche Modelle für das Universum auszuwählen. Hierzu dient vor allem das sog. Kosmologische Prinzip:

Es existiert ein Vektorfeld \frac{∂}{∂t} , das jeweils mit der Vierer-Geschwindigkeit eines fundamentalen Beobachters am entsprechenden Weltpunkt übereinstimmt.^{2} Durch evtl. Addition geeigneter Konstanten lassen sich die Eigenzeiten der fundamentalen Beobachter so zur sog. kosmischen Zeit t einrichten, daß die (i.a. zeitlich nicht homogene) ‘kosmische Struktur’ des Universums unterschiedlichen fundamentalen Beobachtern zu gleichen kosmischen Zeitpunkten stets gleich erscheint (räumliche Homogenität).^{3}

Weiterhin^{4} fordert man gewöhnlich räumliche Isotropie:

Zu jedem Weltpunkt q und zu je zwei Vektorfeldern A, B, die an dieser

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1Vgl. 3.1.2 . 2Die fundamentalen Beobachter sollen ‘relativ zur Mehrheit der sie umgebenden Galaxien ru-

hen’. Ihre durch ihre Eigenzeit parametrisierten Weltlinien sind Integralkurven von \frac{∂}{∂t} .

3Mathematische Definition der räumlichen Homogenität:

Zu je zwei Weltpunkten q, q′ mit t(q) = t(q′) existiert eine Isometrie σ mit σ(q) = q′. Diese Bedingung ist für die Schwarzschild-Lösung offensichtlich nicht erfüllt.

4Oft wird die räumliche Isotropie schon in die Formulierung des kosmologischen Prinzips einbezogen.

Stelle orthogonal zu \frac{∂}{∂t} sind, existiert eine Isometrie σ mit^{5} (σ′A)_{|_{q}} = B_{|_{q}} .

Indem man die Weltlinien der fundamentalen Beobachter parametrisiert, erhält man eine einheitliche Koordinatisierung der Untermannigfaltigkeiten Σ_{t} aller Weltpunkte gleicher kosmischer Zeit t. Aufgrund der geforderten Symmetrieeigenschaften sind die Komponenten bzgl. der einheitlichen Koordinatisierung für alle Einschränkungen der Metrik g des Universums M auf Σ_{t} bis auf einen t-abhängigen Faktor gleich.

Man kann zeigen, daß zu jeder isotropen dreidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit mit der Metrik h in der Umgebung jeden Punktes lokale Koordinaten

q^{1} = r , q^{2} = ϑ , q^{3} = φ

existieren, bzgl. derer

(h_{jk}(r, ϑ, φ)) = (\frac{A}{1 + \frac{k}{4}r^{2}} )^{2} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} sin^{2} ϑ \end{matrix} )

mit geeigneten Konstanten A und

k ∈ {±1, 0}

gilt. Mit solchen Koordinaten für die Σ_{t}, ergänzt durch

q^{0} = ct ,

gilt also

g_{αβ} dq^{α} dq^{β} = c^{2} dt^{2} − (\frac{R(t)}{1 + \frac{k}{4} r^{2}} )^{2} (dr^{2} + r^{2} dϑ^{2} + r^{2} sin^{2} ϑ dφ^{2}) (3.1)

mit einer geeigneten Funktion R(t) > 0 , die die zeitliche Inhomogenität des Universums (Expansion, Kontraktion) beschreibt.

Eine Metrik der Form (3.1) bezeichnet man als Robertson-Walker-Metrik.

Warnung: Die lokale Angabe der Metrik bestimmt noch nicht die globale Struktur der Mannigfaltigkeit !

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5Die Tangentialabbildung σ′ einer Abbildung σ der Raum-Zeit in sich ist durch

σ′ (\frac{d}{dτ} q(τ)) =^{def} \frac{d}{dτ} (σ(q(τ))) für hinreichend gutartige Kurven q(τ)

definiert, bildet i.a. also Tangentenvektoren zu q auf Tangentenvektoren zu σ(q) ab.

3.1.2 Kosmologische Rotverschiebung und Horizonte

Seien q(t), q̂(t) Weltlinien zweier fundamentaler Beobachter und Δσ(t) ihre Σ_{t}-Ent-fernung. Dann folgt aus (3.1)

Δσ(t) = \frac{R(t)}{R(t_{0})} Δσ(t_{0})

und somit

\frac{d}{dt}Δσ(t) = H(t) Δσ(t) ,  (3.2)

wobei

H(t) =^{def} \frac{\frac{d}{dt}R(t)}{R(t)}  (3.3)

die sog. Hubble-‘Konstante’ ist. Bezieht man die Koordinaten r, ϑ, φ von gemäß (1.47) parametrisierten Null-Geodäten (Weltlinien von Lichtsignalen) auf einunddieselbe Untermannigfaltigkeit Σ_{t_{0}}, so ergeben sich Geodäten dieser Untermannigfaltigkeit, wie man aus dem entsprechenden Variationsprinzip erkennt. Da Isometrien Geodäten auf Geodäten Abbilden, müssen sich deshalb Licht-Wellenzüge, nun jeweils auf Σ_{t} betrachtet, entsprechend ausdehnen (kosmologische Rotverschiebung) oder zusammenziehen (kosmologische Blauverschiebung). Wenn also ein fundamentaler Beobachter Licht der Wellenlänge λ_{Auss} zum kosmischen Zeitpunkt t_{Auss} aussendet, das zum kosmischen Zeitpunkt t_{Empf} empfangen wird, so stellt der empfangende fundamentale Beobachter die Wellenlänge

λ_{Empf} = \frac{R(t_{Empf})}{R(t_{Auss})} λ_{Auss}

(3.4)

fest.

Für die weiteren Untersuchungen wird die Koordinate

ρ = \frac{r}{1 + \frac{k}{4} r^{2}}

statt r benutzt, mit der gemäß (3.1)

g_{αβ} dq^{α}dq^{β} = c^{2} dt^{2} − R^{2}(t) (\frac{dρ^{2}}{1 − kρ^{2}} + ρ^{2} (dϑ^{2} + sin^{2} ϑ dφ^{2}))  (3.5)

gilt.

Für ‘radiale’ (d.h. ϑ̇ = φ̇ = 0) Lichtsignale mit ρ̇ < 0 gilt dann

\frac{R(t)}{\sqrt{1 − kρ^{2}}} dρ = −c dt

und somit

∫_{ρ_{2}}^{ρ_{1}} \frac{dρ}{\sqrt{1 − kρ^{2}}} = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{c dt}{R(t)}  (3.6)

für je zwei Punkte 1,2 der entspr. Weltlinie. Ein zur kosmischen Zeit t_{1} ‘radial’ von ρ_{1} ausgesandtes Lichtsignal kann also den Punkt ρ = 0 nur dann noch erreichen, wenn ein entspr. kosmischer Zeitpunkt t > t_{1} existiert, für den gemäß (3.6)

∫_{t_{1}}^{t} \frac{c dt}{R(t)} = ∫_{0}^{ρ_{1}} \frac{dρ}{\sqrt{1 − kρ^{2}}} = \{ \begin{matrix}sin^{−1} ρ_{1} & für k = 1 \\ ρ_{1} & für k = 0 \\ sinh^{−1} ρ_{1} & für k = −1 \end{matrix}

gilt. Im Falle

∫_{t>t_{1}} \frac{c dt}{R(t)} < ∞ , k ∈ \{0, −1\}

oder

∫_{t>t_{1}} \frac{c dt}{R(t)} < \frac{π}{2} , k = +1

existiert also immer ein maximaler Wert ρ_{E} = ρ_{E}(t_{1}) (Ereignis-Horizont des Weltpunktes mit ρ = 0), von dem aus (zu einem kosmischen Zeitpunkt t > t_{1} ausgesandte) Lichtsignale ρ = 0 noch erreichen können.^{6}

Umgekehrt existiert im Falle

∫_{t<t_{1}} \frac{c dt}{R(t)} < ∞ , k ∈ \{0, −1\}

bzw.

∫_{t<t_{1}} \frac{c dt}{R(t)} < \frac{π}{2} , k = +1

zu jedem kosmischen Zeitpunkt t_{1} ein minimaler Wert ρ_{T} = ρ_{T}(t_{1}) (Teilchen-- Horizont), charakterisiert durch

∫_{0}^{ρ_{T}} \frac{dρ}{\sqrt{1 − kρ^{2}}} = ∫_{t<t_{1}} \frac{c dt}{R(t)}

den kein von ρ = 0 zu irgendeinem kosmischen Zeitpunkt t < t_{1} ausgesandtes Signal bis zum kosmischen Zeitpunkt t_{1} erreichen kann.

Ob tatsächlich ein Ereignis-Horizont oder ein Teilchen-Horizont oder beides existiert, hängt von der Dynamik Ṙ(t) des kosmologischen Modells ab, die aus den Einsteinschen Feldgleichungen zu bestimmen ist.

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6Bei entsprechend starker Expansion des Universums rücken fundamentale Beobachter schließlich stets hinter ihre gegenseitigen Ereignis-Horizonte (der Koordinaten-Ursprung ρ = 0 kann gemäß kosmologischem Prinz willkürlich gewählt werden). Die ‘räumliche’ Ausdehnung physikalischer Experimente ist dann prinzipiell begrenzt !

3.1.3 Auswertung der Feldgleichungen

Für den zur Robertson-Walker-Metrik (3.1) gehörigen Einstein-Tensor (2.35) gilt

\frac{G_{αβ}(ct, r, ϑ, φ)}{g_{αβ}(ct, r, ϑ, φ)} = \{ \begin{matrix}−\frac{3Ṙ^{2}}{R^{2}c^{2}} − \frac{3k}{R^{2}} & für α = β = 0 \\ −\frac{2R̈}{Rc^{2}} − \frac{Ṙ^{2}}{R^{2}c^{2}} − \frac{k}{R^{2}} & für α = β ∈ \{1, 2, 3\} \\ 0 & sonst \end{matrix}  (3.7)

(Beweis als Übungsaufgabe E16). Der Energie-Spannungs-Tensor M^{αβ} des kosmologischen Modells wird konsistenterweise ebenfalls als räumlich homogen und isotrop vorausgesetzt und muß daher von der Form

\begin{aligned}M^{αβ}(ct, r, ϑ, φ) & = & (ρ(t) + c^{−2} p(t)) u^{α}(ct, r, ϑ, φ) u^{β}(ct, r, ϑ, φ) \\ & & −p(t) g^{αβ}(ct, r, ϑ, φ) , u = \frac{∂}{∂t} , \end{aligned}

(3.8)

sein (Beweis als Übungsaufgabe E17). Es handelt sich also wieder um den Energie-Spannungstensor einer perfekten Flüssigkeit, wobei nun aber im Gegensatz zu (2.33) Dichte ρ und Druck^{7} p von der kosmischen Zeit t (und nicht von der Koordinate r) abhängen. Gemäß (2.42) sind die Einsteinschen Feldgleichungen (1.55) damit äquivalent zu den beiden Differentialgleichungen

\frac{Ṙ^{2} R}{c^{2}} + k R − \frac{Λ}{3} R^{3} = D =^{def} \frac{8 π γ}{3 c^{2}} ρ R^{3}  (3.9)

und

− \frac{2 R̈}{R c^{2}} − \frac{Ṙ^{2}}{R^{2} c^{2}} − \frac{k}{R^{2}} + Λ = \frac{8 π γ}{c^{4}} p .  (3.10)

Für Ṙ > 0 ist (3.10) – unter Voraussetzung der sog. Friedmannschen Differentialgleichung (3.9) – äquivalent zu^{8}

Ḋ = −\frac{8 π γ}{c^{4}} p Ṙ R^{2} .  (3.11)

Übungsaufgabe E18: Man diskutiere, inwieweit sich (3.11) physikalisch als Energie-Erhaltungssatz interpretieren läßt.

Unter der physikalisch motivierten Voraussetzung

ρ(t) ≥ 0 , p(t) ≥ 0

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7Die Berücksichtigung des Druckes p ist wichtig im Hinblick auf die kosmologische Hintergrundstrahlung; vgl. 3.2.3.

8Die Ableitung der linken Seite von (3.9) stimmt nämlich mit dem (−Ṙ R^{2})-fachen der linken Seite von (3.10) überein.

kann man sich O.B.d.A. bzgl. (3.1) auf Lösungen von (3.9)/(3.11) mit

R(t) > 0  (3.12)

beschränken (Beweis als Übungsaufgabe E19).

Wenn D(t), R(t) Lösung von (3.9)/(3.11) zu ρ(t), p(t) ist, dann ist D̂(t) = D(−t), R̂(t) = R(−t) Lösung von (3.9)/(3.11) zu ρ̂(t) = ρ(−t), p̂(t) = p(−t) . Zu jedem kontrahierenden Universum existiert also ein entsprechend expandierendes (und umgekehrt); d.h. es genügt, den Fall

Ṙ(t) ≥ 0  (3.13)

zu untersuchen.

Schließlich sei noch auf

\begin{aligned}(3.9) & ⟺ & \frac{Ṙ}{\sqrt{\frac{D}{R} + \frac{Λ}{3} R^{2} − k}} = c \\ & ⟺ & ∫_{R(t_{1})}^{R(t_{2})} \frac{dR}{\sqrt{\frac{1}{3} (\frac{D}{R} + ΛR^{2}) − k}} = c (t_{2} − t_{1}) für p = 0 \end{aligned}  (3.14)

hingewiesen.^{9}

3.2 Spezielle Lösungen

3.2.1 Masselose kosmologische Modelle

Im Falle T^{αβ} = 0 ; d.h. – nach (3.8) – für

ρ = 0 , p = 0

sind (3.9)/(3.11) äquivalent zu D = 0 und

∫_{R(t_{1})}^{R(t_{2})} \frac{dR}{\sqrt{\frac{1}{3}ΛR^{2} − k}} = c (t_{2} − t_{1})

(vgl. (3.14)). Die Lösungen lassen sich dann also wie folgt klassifizieren:

Version vom 26. März 2009 9(3.14) setzt natürlich voraus, daß die Wurzel nicht ausgerechnet verschwindet.

Nr. Λ  k  R(t + t_{0})  Anmerkung
1. 0  0  bel. Konst.  statisch, flach
2. 0 −1  c t  Milne-Modell, flach
3. > 0 0 \frac{1}{2}\sqrt{3/Λ} exp (\sqrt{Λ/3} c t)  de Sitter
4. > 0 1 \sqrt{3/Λ} cosh (\sqrt{Λ/3} c t)  de Sitter
5. > 0 −1 \sqrt{3/Λ} sinh (\sqrt{Λ/3} c t)  de Sitter
6. < 0 −1 \sqrt{−3/Λ} sin (\sqrt{−Λ/3} c t)  de Sitter

Für die übrigen Vorzeichenkombinationen des Paares Λ, k wird die Wurzel imaginär, so daß dazu keine kosmologischen Modelle existieren.

Übungsaufgabe E20: Man zeige, daß sich (3.5) für das Milne-Modell (k = −1) mit τ statt t ergibt, wenn man im Minkowski-Raum zunächst räumliche Polarkoordinaten r, ϑ, φ zusätzlich zur Minkowski-Zeit t (bzgl. eines willkürlich gewählten Inertialsystems) wählt und dann die lokalen Koordinaten

τ = \frac{t}{γ(\frac{r}{ct})} , ρ = \frac{r}{ct} γ(\frac{r}{ct}) ( γ(u) =^{def} (1 − (\frac{u}{c})^{2})^{− \frac{1}{2}} )

statt t, r einführt.^{10} Man diskutiere, inwieweit das Modell mit dem kosmologischen Prinzip im Einklang steht, wenn man die Galaxien formal als masselos ansieht (vgl. (Rindler, 1969, §84)).

Auch für ρ ≠ 0 kann man D in (3.9) vernachlässigen wenn R hinreichend groß wird. Daher geht ein expandierendes Universum (Λ > 0 nach o.a. Klassifikation) asymptotisch stets (lokal) in eines der Modelle 3.–5. über, die ihrerseits für R → ∞ ineinander übergehen. Solche Modelle haben daher stets einen Ereignis-Horizont.

Man kann zeigen (Robertson, 1933, Note D), daß die vierdimensionale (lokale) pseudo-Riemannsche Struktur, die den Modellen 3.–5. unterliegt, für alle drei Modelle – trotz unterschiedlicher k-Werte (vgl. Milne-Modell) – einunddieselbe ist.^{11}

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10Man beachte dazu die Herleitung von (A.3).

11Es handelt sich um Beschränkungen auf das Hyperboloid (X^{0})^{2} − (X^{1})^{2} − (X^{2})^{2} − (X^{3})^{2} − (X^{4})^{2} − (X^{5})^{2} = \frac{3}{Λ} des 5-dimensionalen Minkowski-Raumes. Nur für das 4. Modell wird das gesamte Hyperboloid ausgefüllt. Für die Modelle 3. und 5. existieren also auf jeden Fall Teilchen-Horizonte.

3.2.2 Kosmologische Modelle zu staubförmiger Materie

Staubförmige Materie meint, daß (3.8) mit p = 0 gilt. Hier ist (3.11) äquivalent zu

D = konst.

und die Lösungen von (3.9) zu Λ = 0 lassen sich damit wie folgt klassifizieren:

Nr. Λ k  t − t_{0} = t(R) − t_{0}  Anmerkung
7. 0 0  \frac{2}{3c}\sqrt{\frac{R^{3}}{D}}  Einstein-de Sitter
8. 0 +1 \frac{D}{c} (sin^{−1} \sqrt{\frac{R}{D}} − \sqrt{\frac{R}{D} − (\frac{R}{D})^{2}}) Friedmann-Einstein

9. 0 -1 \frac{D}{c} (\sqrt{\frac{R}{D} + (\frac{R}{D})^{2}} − sinh^{−1} \sqrt{\frac{R}{D}})

Modell 8 läßt sich auch durch

R = \frac{D}{2} (1 − cos ψ) für t = \frac{D}{2c} (ψ − sin ψ)

(Zykloide) und Modell 9 durch

R = \frac{D}{2} (cosh ψ − 1) für t = \frac{D}{2c} (sinh ψ − ψ)

charakterisieren (Beweis als Übungsaufgabe E21).

Für R → 0 dominiert auch im Falle Λ ≠ 0 die Konstante D in (3.9), so daß sich alle Modell mit p = 0 in diesem Grenzfall wie Modell 7 verhalten und folglich stets einen Teilchen-Horizont haben.

Für Λ ≠ 0 lassen sich die Modelle explizit angeben, wenn k = 0 ist:

Nr. Λ k  t − t_{0} = t(R) − t_{0}  Anmerkung
10. > 0 0 \frac{3D}{2Λ} (cosh (\sqrt{3Λ} ct) − 1)
11. < 0 0 \frac{3D}{−2Λ} (1 − cos (\sqrt{−3Λ} ct))

Im übrigen diskutiert man die Lösungen qualitativ zweckmäßig anhand der Linien zu konstantem

Ṙ^{2} =_{(3.9)} \frac{Dc^{2}}{R} + \frac{Λc^{2}}{3} R^{2} − kc^{2}

in der (Λ, R)-Ebene,^{12} d.h. anhand der Schar von Graphen der Funktionen

ΛṘ^{2}(R) = \frac{3}{c^{2}} \frac{Ṙ^{2} + kc^{2} − \frac{Dc^{2}}{R}}{R^{2}} .

3.2.3 Kosmologische Modelle zu thermischer Strahlung

Für elektromagnetische Strahlung im thermischen Gleichgewicht gilt die Zustandsgleichung

p = \frac{1}{3}Energiedichte ;

(vgl. Gleichung (4.45) von (Lücke, tdst)), d.h. aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie

p = \frac{ρ c^{2}}{3} .

Damit wird (3.11) äquivalent zu

ρ̇R + 4ρṘ = 0 ;

d.h.:

ρ R^{4} = konst.  (3.15)

Mit

D̂ =^{def} \frac{8πγ}{3c^{2}} ρR^{4}  (3.16)

nimmt (3.9) dann die Form

\frac{Ṙ^{2}R^{2}}{c^{2}} + kR^{2} − \frac{Λ}{3}R^{4} = D̂ = konst.  (3.17)

an. Die Lösungen zu Λ = 0 sind:

\begin{matrix}Nr. & Λ & k & R(t − t_{0}) \\ 12. & 0 & +1 & \sqrt{D̂} \sqrt{1 − (1 − c t/\sqrt{D̂})^{2}} \\ 13. & 0 & 0 & (4 D̂)^{\frac{1}{4}} \sqrt{c t} \\ 14. & 0 & -1 & \sqrt{D̂} \sqrt{(1 + c t/\sqrt{D̂})^{2} − 1} \end{matrix}

Version vom 26. März 2009 12Siehe (Rindler, 1969, S. 32 ff).

68 KAPITEL 3. HOMOGENE UND ISOTROPE MODELLE

Anhang A

Isotrope 3-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten

A.1 Spezielle Form des Riemann-Tensors

Seien h_{jk} die kovarianten Komponenten einer isotropen 3-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit bzgl. der lokalen Koordinaten q^{1}, q^{2}, q^{3} . Die Komponenten des zugehörigen Riemann-Tensors seien mit H_{klm}^{j} bezeichnet. Dann definiert

ω_{jk} ↦ (Hω)_{jk} =^{def} H_{jk}^{lm} ω_{lm}

eine lineare Abbildung des Raumes der (differentiellen) 2-Formen in sich, die an jeder Stelle q der Mannigfaltigkeit hinsichtlich des inneren Produktes

⟨ω \left|{ \atop ω̂}\right⟩ =^{def} ω_{jk} ω̂^{jk}

aufgrund der Symmetrieeigenschaft^{1}

H_{jklm} = H_{lmjk}

selbstadjungiert ist:

⟨Hω| ω̂⟩ = ⟨ω |Hω̂⟩ .

Folglich existiert an jeder Stelle ein vollständiger Satz von Eigenvektoren. Aufgrund der Isotropie müssen alle Eigenwerte gleich sein;^{2} d.h. die Abbildungsmatrix (H_{jk}^{lm})_{j<k}^{l<m} muß ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein:

H(q)_{jk}^{lm} = K(q) δ_{j}^{l} δ_{k}^{m} für j < k , l < m .  (A.1)

Version vom 26. März 2009

1Siehe Eigenschaften 1., 3. und 4. auf Seite 33.

2Da die 2-Formen einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit eineindeutig Vektorfeldern zugeordnet sind und im isotropen Falle keine Richtung vor der anderen ausgezeichnet ist.

Das ist äquivalent zu

H(q)_{jklm} = \frac{1}{2}K(q) (h_{jl}h_{km} − h_{jm}h_{kl}) für j, k, l, m ∈ \{1, 2, 3\} .

Aus den entsprechenden Bianchi-Identitätenfolgt daraus mit h_{jk;l} = 0

0 = ∑_{n,j,k zykl. vert.} h_{jk}h_{lm}∇_{n}K

und somit

0 = ∑_{n,j,k zykl. vert.} K_{,n}δ_{j}^{k}δ_{l}^{m} .

Indem man j = k ≠ n ≠ l = m ≠ j setzt, erkennt man daraus K_{,n} = 0 für n ∈ {1, 2, 3}, d.h.:

K = const.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren Riemann-Tensor die Form (A.1) mit konstantem K(q) hat, bezeichnet man als solche konstanter Krümmung. Die Krümmungskonstante K solcher Mannigfaltigkeiten genügt der Bedingung

K = \frac{3}{π} lim_{l→0} \frac{2πl − |C_{l}|}{l^{3}}  (A.2)

für jede geschlossene Kurve C_{l}, die aus der Menge aller Punkte einer Geodätenfläche besteht, die den metrischen Abstand l von einem festen Aufpunkt der Fläche haben (Beweis als Übungsaufgabe E22).

A.2 Prototypen

Eine isotrope Riemannsche Mannigfaltigkeit positiver Krümmung K = R^{−2} ergibt sich somit durch Einschränkung des euklidischen ℝ^{4} auf die 3-dimensionale Sphäre S_{R}^{3} aller x(ψ, ϑ, φ) mit:

x^{0} = R cos ψ
x^{1} = R cos ψ cos ϑ
x^{2} = R sin ψ sin ϑ cos φ
x^{3} = R sin ψ sin ϑ sin φ

(Beweis als Übungsaufgabe E23). Das zugehörige infinitesimale Längenquadrat ist

dl^{2} = R^{2}(dψ^{2} + sin^{2} ψ (dϑ^{2} + sin^{2} ϑ dφ^{2}))

bzw.

dl^{2} = R^{2} (\frac{dρ^{2}}{1 − kρ^{2}} + ρ^{2} (dϑ^{2} + sin^{2} ϑdφ^{2}))  (A.3)

mit k = 1, wenn man die Koordinate ρ = sin ψ statt ψ einführt.

Entsprechend ergibt sich eine isotrope Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Krümmung K = −R^{−2} durch Einschränkung des mit der negativen Minkowski-Metrik versehenen ℝ^{4} auf das 3-dimensionale Rotationshyperboloid M_{R}^{+} ⊂ V_{+} aller x(ψ, ϑ, φ) mit:

x^{0} = R cosh ψ
x^{1} = R sinh ψ cos ϑ
x^{2} = R sinh ψ sin ϑ cos φ
x^{3} = R sinh ψ sin ϑ sin φ

(Beweis als Übungsaufgabe E24). Das zugehörige infinitesimale Längenquadrat ist

dl^{2} = R^{2}(dψ^{2} + sinh^{2} ψ (dϑ^{2} + sin^{2} ϑdφ^{2}))

und nimmt für ρ = sinh ψ statt ψ wiederum die Form (A.3) an; nun allerdings mit k = −1 .

Für k = 0 charakterisiert (A.3) offensichtlich (lokal) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung K = 0 (lokal der euklidische ℝ^{3}).

Da man zeigen kann, daß Riemannsche Mannigfaltigkeiten gleicher konstanter Krümmung und Dimension lokal stets isomorph sind,^{3} existieren also zu jeder isotropen 3-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit lokale Koordinaten ρ, ϑ, φ, für die (A.3) mit

k ∈ {±1, 0}

gilt, wobei K = kR^{−2} der Wert der konstanten Krümmung ist. Durch Übergang zu der Koordinate

r = \frac{2}{kρ} (1 + \sqrt{1 − kρ^{2}})

statt ρ geht (A.3) schließlich in

dl^{2} = \frac{R}{1 + \frac{k}{4}r^{2}} (dr^{2} + r^{2} dϑ^{2} + r^{2} sin^{2} ϑ dφ^{2})  (A.4)

über (Beweis als Übungsaufgabe E25).

Übungsaufgabe E26: Man zeige, daß (A.2) äquivalent zu

K = \frac{12}{π} lim_{l→0} \frac{π l^{2} − |F_{l}|}{l^{4}}  (A.5)

ist, wenn F_{l} das geodätische Flächenstück mit dem Rand ∂F_{l} = C_{l} bezeichnet.

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3Siehe z.B. (Noonan und Robertson, 1968, $ 8.10).

72 ANHANG A. ISOTROPE 3-DIMENSIONALE MANNIGFALTIGKEITEN

Anhang B

Moderner Formalismus

B.1 Äußere Ableitung

(Tangenten-) Vektorfelder A lassen sich durch die zugehörigen Lie-Ableitungen L_{A}f von Skalarfeldern f charakterisieren. In lokalen Koordinaten:

(L_{A}f) (q) = A^{ν}(q)\frac{∂}{∂q^{ν}} f(q) falls A ˆ= \{A^{α}\} .

Daher identifiziert man lokal jeweils \frac{∂}{∂q^{α}} für festes α mit dem Feld der Tangentenvektoren an die α-Koordinatenlinien.^{1} Bzgl. der Koordinaten {q^{μ}} hat also für festes α das Vektorfeld A(q) = \frac{∂}{∂q^{α}} die konstanten Komponenten A^{ν}(q) = δ_{α}^{ν}. Es ist klar, daß die \frac{∂}{∂q^{ν}} an jeder Stelle q eine Basis des zugehörigen Tangentenvektorraumes T_{q}(M) bilden.

Unter einer (äußeren differentiellen) p-Form versteht man ein total antisymmetrisches, kovariantes Tensorfeld p-ter Stufe bzw. die zugehörige Schar plinearer Abbildungen

\begin{matrix}ω_{|_{q}} : T_{q}(M) × T_{q}(M) × … & ⟶ & ℝ \\ (A, B, …) & ⟼ & ω_{|_{q}}(A, B, …) = ω_{α_{1},...,α_{p}}(q)A^{α_{1}}B^{α_{2}} … \end{matrix}

Wenn f(q) eine 0-Form (also ein Skalarfeld) ist, dann lassen sich die \frac{∂}{∂q^{ν}} f(q) als Komponenten einer 1-Form auffassen, die man mit df bezeichnet. Für hinr. gutartige Kurven C = {q(t)}_{t} gilt also

df_{|_{q(t)}}(q̇(t)) = (\frac{∂}{∂q^{ν}} f(q))_{|_{q=q(t)}} q̇^{ν}(t) = \frac{d}{dt}f(q(t)) .  (B.1)

Gemäß der verallgemeinerten Kettenregel muß somit stets

df = \frac{∂f}{∂q^{ν}} dq^{ν}  (B.2)

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1In 1.1.2 wurde dieses Vektorfeld mit t_{α} bezeichnet. Vgl. Fußnote 5.

74 ANHANG B. MODERNER FORMALISMUS

gelten. Die dq^{ν} entsprechen der zu \{\frac{∂}{∂q^{α}} \} reziproken Basis:

dq^{α} (\frac{∂}{∂q^{β}} ) = δ_{β}^{α};  (B.3)

d.h. für festes α hat θ = dq^{α} jeweils die Komponenten θ_{ν} = δ_{ν}^{α}.

Wenn θ^{1}, …, θ^{p} 1-Formen sind, dann legt jeweils

(θ^{1} ∧ … ∧ θ^{p})_{|_{q}} (A_{1}, …, A_{p}) =^{def} ∑_{π∈S_{p}} sgn(π) ∏_{μ=1}^{p} θ_{|_{q}}^{π(μ)}(A_{μ}) für A_{1}, …, A_{p} ∈ T_{q}(M)

(B.4)

eine p-Form θ^{1}∧…∧θ^{p} fest. Es ist klar, daß sich jede p-Form ω nach den ∧-Produkten der dq^{α} entwickeln läßt:^{2}

ω = ω_{α_{1}...α_{p}} dq^{α_{1}} ⊗ … ⊗ dq^{α_{p}}
= \frac{1}{p!}ω_{α_{1}...α_{p}} dq^{α_{1}} ∧ … ∧ dq^{α_{p}} .  (B.5)

Die ω gemäß^{3}

dω =^{def} \frac{1}{p!}ω_{α_{1}...α_{p},μ} dq^{μ} ∧ dq^{α_{1}} ∧ … ∧ dq^{α_{p}}  (B.6)

zugeordnete (p + 1)-Form dω bezeichnet man als die äußere Ableitung von ω. Äußere Ableitungen sind besonders wichtig im Hinblick auf den verallgemeinerten

Satz von Stokes: ^{4} ∫_{∂U} ω = ∫_{U} dω

Hieraus folgt^{5}

ddω = 0 für jede äußere Differentialform ω.

(B.7)

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2Die dq^{α_{1}} ∧ … ∧ dq^{α_{p}} sind aber i.a. nicht linear unabhängig voneinander. Das Tensorprodukt der 1-Formen ist durch (dq^{α_{1}} ⊗ … ⊗ dq^{α_{p}}) (A_{1}, …, A_{p}) =^{def} ∏_{j=1}^{p} dq^{α_{j}}(A_{j}) definiert.

3Man beachte die Konsistenz mit (B.2).

4Beweis als Übungsaufgabe E27. Hier bedeutet U eine hinr. gutart. orientierte Untermannigfaltigkeit beliebiger Dimension. Das Integral einer p-Form ω über eine hinr. gutart., orientierte, p-dimensionale Untermannigfaltigkeit G ist definiert durch

∫_{G} ω =^{def} ∫_{τ_{11}}^{τ_{12}} ⋯ ∫_{τ_{p1}}^{τ_{p2}} (ω(q(τ_{1}, …, τ_{p}))_{α_{1}...α_{p}} q̇(τ_{1}, …, τ_{p})^{α_{1}} … q̇(τ_{1}, …, τ_{p})^{α_{p}}) dτ_{1} ⋯ dτ_{p} ,

wobei G = {q(τ_{1}, …, τ_{p}) : τ_{j} ∈ [τ_{j1}, τ_{j2}]} eine beliebige, aber hinr. gutart., Parametrisierung von G ist, die der Orientierung von G entspricht.

5Man wende den Satz von Stokes 2-fach an: ∫_{∂(∂V)} ω = ∫_{∂V} dω = ∫_{V} ddω. (B.7) läßt sich aber auch direkt aus (B.6) ablesen:

ddω = \frac{1}{p!} \underbrace{ω_{α_{1}...α_{p},μ,ν}}_{symm. in μ,ν} \underbrace{dq^{ν} ∧ dq^{μ} ∧ dq^{α_{1}} ∧ … ∧ dq^{α_{p}}}_{antisymm. in μ,ν} .

B.2 Konnexionsform

E bezeichne das ‘Bündel’ aller Paare (q, \{b\underline{0}, … b\underline{3}\}) von jeweils einem Punkt q der Raum-Zeit M und einer Basis^{6} \{b\underline{0}, … b\underline{3}\} des zugehörigen Tangentenvektorraumes T_{q}(M). Man macht E zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, indem man die lokalen Koordinatensysteme \{q^{ν}\} von M zu lokalen Koordinaten \{q^{μ}, b\underline{α}^{ν}\} von E erweitert, wobei die (b\underline{α}^{ν}) reguläre Matrizen sind, die jeweils durch

b\underline{α} = b\underline{α}^{ν} \frac{∂}{∂q^{ν}}  (B.8)

eine Basis von T_{q}(M) kennzeichnen. Für jedes q ∈ M ist damit also die zugehörige Faser (Menge aller Basen von T_{q}(M)) durch Elemente der Gruppe GL(4, ℝ) koordinatisiert. Natürlich ist aber keine dieser Koordinatisierungen ‘kanonisch’.

Bei Koordinatenwechsel ändert sich die entsprechende Zuordnung

\{b\underline{0}, … b\underline{3}\} ⇌ (b\underline{α}^{ν}) ∈ GL(4, ℝ)

hinsichtlich der Gruppenmultiplikation^{7}

(g · h)\underline{α}\underline{β} = g\underline{γ}\underline{β} h\underline{α}\underline{γ}

gemäß einer linken Gruppenwirkung:^{8}

(\{q^{μ}\} ⟶ \{q^{μ′}\}) ⟹ (b\underline{α}^{ν}) ⟶ (b\underline{α}^{ν′}) = (\frac{∂q^{ν′}}{∂q^{μ}} b\underline{α}^{μ}) .  (B.9)

Damit ist E ein Prizipalbündel mit der Basis M und der Strukturgruppe^{9} GL(4, ℝ) und die rechte Wirkung

R_{g} (q, \{b\underline{α}\}) =^{def} (q, \{b\underline{β}^{ν} g\underline{α}\underline{β} \frac{∂}{∂q^{ν}} \}) = (q, \{b\underline{β} g\underline{α}\underline{β}\})  (B.10)

dieser Gruppe in den Fasern ist von der Wahl der lokalen Koordinaten {q^{ν}} unabhängig.

Die Rolle der Christoffel-Symbole stellt sich nun wie folgt dar: Jedem p = (q, \{b\underline{α}\}) ∈ E wird ein linearer Isomorphismus

σ_{|_{p}} : T_{q}(M) ⟶ H_{p} ⊂ T_{p}(E)
q̇ ⟼ (q̇, \left\{{ \atop ḃ\underline{α}}\right\}) ; ḃ\underline{α} = −Γ_{μλ}^{ν}(q)b\underline{α}^{μ}q̇^{λ} \frac{∂}{∂q^{ν}}  (B.11)

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6Die unterstrichenen Indizes sollen also die Basisvektoren – nicht Komponenten – durchnumerieren.

7Hier wird also der untere Index als Spaltenindex aufgefaßt (reine Konventionssache), sonst entspräche der Koordinatenwechsel einer rechten Gruppenwirkung.

8Denn: b\underline{α} = b\underline{α}^{ν′} \frac{∂}{∂q^{ν′}} = b\underline{α}^{ν} \frac{∂}{∂q^{ν}} = (b\underline{α}^{μ} \frac{∂q^{ν′}}{∂q^{μ}} ) \frac{∂}{∂q^{ν′}}.

9In den sog. Eichtheorien sind auch andere Strukturgruppen von Interesse.

im Sinne von (1.42) zugeordnet, wobei die Bedingungen ^{10}

σ_{|_{Rgp}}(q̇) = R′_{g}σ_{|_{p}}(q̇)  (B.12)

erfüllt sind, die die Erhaltung linearer Beziehungen zwischen Vektoren bei Parallelverschiebung ausdrücken.

Die Elemente von V_{p} =^{def} \{(q̇, \left\{{ \atop ḃ\underline{α}}\right\}) ∈ T_{p}(E) : q̇ = 0\} nennt man vertikal (zur Basis M), die von H_{p} entsprechend horizontal. Während die V_{p} lediglich von E abhängen, charakterisieren die H_{p} die Parallelverschiebung:

Zu jedem p = (q, \{b\underline{α})) ∈ E und zu jedem q̇ ∈ T_{q}(M) existiert genau ein (q̇, \left\{{ \atop ḃ\underline{α}}\right\}) ∈ H_{p}(E), nämlich das in (B.11) angegebene. Diese Eindeutigkeit sowie

die lineare Abhängigkeit der ḃ\underline{α} von q̇ folgt bereits aus

T_{p}(E) = H_{p} ⊕ V_{p}  (B.13)

und der Definition von V_{p}. Die Bedingung (B.12) ist dabei äquivalent zu

H_{R_{g}p} = R′_{g} H_{p} .  (B.14)

Den Zerlegungen (B.13) entspricht eine eindeutige Schar linearer Abbildungen

ω_{|_{p}} : T_{p}(E) ⟶ V_{p}

mit den Eigenschaften^{11}

ω_{|_{p}}(v_{p}) = v_{p} ∀ v_{p} ∈ V_{p} ,  (B.15)
ω_{|_{p}}(v_{p}) = 0 ⟺ v_{p} ∈ H_{p} ,  (B.16)

und

ω_{|_{Rgp}}(R′_{g}v_{p}) = R′_{g}ω_{|_{p}}(v_{p}) ∀ v_{p} ∈ T_{p}(E) .  (B.17)

Zu jedem Element v_{p} ∈ T_{p}(E) existiert offenbar ein eindeutiges Element v̂_{p} der Lie-Algebra gl(4, ℝ) von GL(4, ℝ) mit^{12}

v_{p} = \frac{d}{dt} (R_{exp(tv̂_{p})}p)_{|_{t=0}} .  (B.18)

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10R′_{g} bezeichnet die Tangentialabbildung zu R_{g}; d.h. wenn v Tangente der Kurve Ĉ = {p(t)} ⊂ E an der Stelle t = 0 ist, so ist R_{g}v die entspr. Tangente der Bildkurve R_{g}Ĉ. Für v_{p} ∈ T_{p}(E) und f ∈ C^{∞}(E) bedeutet das:

( \underbrace{R′_{g}v_{p}}_{∈T_{p}(E)})(R_{g}f) = v_{p}(f) ; (R_{g}f)(p′) =^{def} f(R_{g^{−1}}p′) ∀ p′ ∈ E .

11Für jede lineare Abbildung ω_{|_{p}} : T_{p}(E) ⟶ V_{p}, die der Bedingung (B.15) genügt, gilt (B.13), wenn man H_{p} gemäß (B.16) definiert. (B.17) garantiert dabei (B.14).

12Einen Vektor der Form (B.18) bezeichnet man als Killing-Vektor.

Wenn wir also die ω entsprechende Schar linearer Abbildungen in gl(4, ℝ) mit ω̂ bezeichnen, so erhalten wir schließlich die der Parallelverschiebung entsprechende Konnexionsform, die den (B.15), (B.16) und (B.17) entsprechenden Bedingungen

ω̂_{|_{p}}(v_{p}) = v̂_{p} ∀ v_{p} ∈ V_{p}  (B.19)
ω̂_{|_{p}}(v_{p}) = 0 ⟺ v_{p} ∈ H_{p}  (B.20)

und

ω̂_{|_{Rgp}}(R′_{g}v_{p}) = Ad(g^{−1})ω̂_{|_{p}}(v_{p}) ∀ v_{p} ∈ T_{p}(E)  (B.21)

genügt.^{13}

Umgekehrt bestimmt die Konnexionsform den Paralleltransport längs einer Kurve C = {q(t)} ⊂ M nach folgendem Schema:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; q; q̇; H_{p}; p; M; R_{g}p; Ĉ; C; R_{g}Ĉ; E; F_{q}(M) ≅ GL(4, ℝ)]

Ad(g)\frac{d}{dt} exp(tv̂)_{|_{t=0}} = \frac{d}{dt} (g exp(tv̂) g^{−1})_{|_{t=0}}

R′_{g} \frac{d}{dt} (R_{exp(tv̂_{p})}p)_{|_{t=0}} = \frac{d}{dt} (R_{g}R_{exp(tv̂_{p})}R_{g^{−1}} R_{g}p)_{|_{t=0}} = \frac{d}{dt} (R_{g^{−1} exp(tv̂_{p})g} R_{g}p)_{|_{t=0}} .

Die \{b\underline{α}(t)\} sind genau dann längs C ‘konstant’, wenn die Tangenten an die Kurve Ĉ = \{(q(t), \{b\underline{α}(t)\})\} ⊂ E alle horizontal, d.h. Elemente von H_{p} gemäß

Version vom 26. März 2009 13Die adjungierte Darstellung Ad ist durch gegeben. (B.21) folgt somit aus (B.17) und (B.18) gemäß

(B.20) sind. Aufgrund der Linearität von ω̂_{|_{p}} garantiert (B.19), daß zu jedem Tripel (q(t), \{b\underline{α}(t)\} , q̇(t)) genau ein horizontaler Vektor

ṗ(t) = (q̇(t), \{ḃ\underline{α}(t)\}) ∈ T_{(q(t),\{b\underline{α}(t)\})}(E)

gehört und somit zu gegebenen Anfangswerten \{b\underline{α}(t_{1})\} genau ein horizontaler Lift Ĉ von C existiert. (B.21) garantiert, daß ṗ(t) linear von \{b\underline{α}(t)\} abhängt.

Allgemein versteht man unter einer Konnexionsform über E eine differenzierbar von p abhängige Schar linearer Abbildungen ω̂_{|_{p}} : T_{p}(E) ⟶ gl(4, ℝ) (gl(4, ℝ)- wertige 1-Form), die den Bedingungen (B.19) und (B.21) genügt. Unterschiedlichen Konnexionsformen entsprechen natürlich unterschiedliche Γ_{μβ}^{α}-Koeffizienten im Sinne von (1.42). Obwohl dann (1.43 i.a. nicht mehr gilt, garantiert der Formalismus dennoch, daß der entspr. ‘Paralleltransport’ (längs C = {q(t) : t ∈ [t_{1}, t_{2}]}) Basen (von T_{q(t_{1})}) in Basen (von T_{q(t_{2})}) überführt, also lineare Unabhängigkeit erhält.

B.3 Krümmungsform

Sei {H_{p}} die zur Konnexionsform ω̂ über E gehörige Schar horizontaler Vektorräume und sei {e_{j}} eine Basis von gl(4, ℝ) . Sei ferner

φ̂ = φ^{j}e_{j}

eine beliebige gl(4, ℝ)-wertige p-Form^{14} über E. Dann bezeichnet man als kovariante äußere Ableitung von φ̂ die durch

Dφ̂_{|_{p}}(u, v, …) =^{def} dφ_{|_{p}}^{j}(Ĥ_{p}u, Ĥ_{p}v, …) e_{j} für u, v, … ∈ T_{p}(E) ,  (B.22)
Ĥ_{p} =^{def} Projektion auf H_{p} ,

definierte^{15} gl(4, ℝ)-wertige (p + 1)-Form Dφ̂. Speziell Ω̂ =^{def} Dω̂ bezeichnet man als die zu ω̂ gehörige Krümmungsform.

Version vom 26. März 2009

14Die Entwicklungskoeffizienten φ^{j} sind also gewöhnliche p-Formen über E (nicht M).

15Die Unabhängigkeit dieser Definition von der speziellen Wahl der Basis {e_{j}} ist offensichtlich.

Literaturverzeichnis

Brickel, F. und Clark, R. S. (1970). Differentiable Manifolds. Van Nostrand Reinold Company London. 9

Einstein, A. (1956). Grundzüge der Relativitätstheorie. Vieweg, Braunschweig. 3, 23

Ellis, G. F. R. und Hawking, S. W. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press, Cambridge. 37

Fischer, H. und Kaul, H. (2003). Mathematik für Physiker, Band 3. B.G. Teubner, Stuttgart. 3

Goenner, H. (1996). Einführung in die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg · Berlin · Oxford. 19

Lord, E. A. (1976). Tensors Relativity and Cosmology. Tata McGraw-Hill Publishing Co. Ltd., New Delhi. 3

Lovelock, D. (1972). The four-dimensionality of space and the einstein tensor. J. Math. Phys., 13:874–876. 33

Lücke, W. (ein). Mathematische Methoden der Physik.

    http://www.wolfgang-luecke.de/skripten/ein.pdf. 23, 46, 48

Lücke, W. (mech). Klassische Mechanik .

    http://www.wolfgang-luecke.de/skripten/mech.pdf. 25, 29

Lücke, W. (tdst). Thermodynamik und Statistik .

    http://www.wolfgang-luecke.de/skripten/tdst.pdf. 67

Misner, C. W. (1963). The flatter regions of Neman, Unti, and Tamburino’s generalized Schwarzschild space. J. Math. Phys., 4:924–937. 36

Misner, C. W., Thorne, K. S., und Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman and Company, San Francisco. 3, 34, 54

Noonan, T. W. und Robertson, H. P. (1968). Relativity and Cosmology. W. B. Saunders, Philadelphia. 71 80 Literaturverzeichnis

Pound, R. V. und Snider, J. L. (1965). Effect of gravity on gamma radiation. Phys.

Rev. B, 140:788–803. 42 Rindler, W. (1969). Essential Relativity. Van Nostrand Reinhold Company, New

York. 3, 43, 52, 65, 67 Robertson, H. P. (1933). . Rev. Mod. Phys., 5:62. 65 Schrödinger, E. (1960). Space-Time Structure. At The University Press, Cambridge.

3 Wald, R. M. (1984). General Relativity. The University of Chicago Press, Chicago

and London. 3, 36, 42, 43, 50, 55, 56 Whitney, H. (1936). Differentiable manifolds. Ann. of Math., 37:645–680. 9 Whitney, H. (1944). Self intersections of a smooth n-manifold in 2n-space. Ann. of

Math., 45:220–246. 9 Will, C. M. (1993). Theory and Experiment in Gravitational Physics. Cambridge

University Press. 3