Klassische Mechanik

Technische Universität Clausthal

SS 1984 – WS 2001/02 W. Lücke

Vorwort

Ziel dieser Vorlesung ist es, aufbauend auf (Lücke, ein), in die Methoden der klassischen Mechanik einzuführen, mit denen Systeme behandelt werden, die Nebenbedingungen unterworfen sind. Die Darstellung ist bewußt elementar gehalten, um die physikalischen Zusammenhänge deutlicher hervorzuheben. Auf die moderne differentialgeometrische Formulierung wird in Anhang A kurz eingegangen. Die Grundlagen der relativistischen Mechanik werden in Anhang B skizziert.

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4

Inhaltsverzeichnis

1 Eingeschränkte Systeme von Massenpunkten 7

1.1 Formulierung des Hauptproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Idealisierte Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Zwangskräfte und eingeprägte Kräfte . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Das Grundproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Lagrange-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.1 Generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2 Lagrange-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.3 Das Lagrange-Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Starre Körper 45

2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1 Allgemeine Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2 Einfache Kreiselgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.1 ‘Kräftefreier’ Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.2 Der schwere symmetrische Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Mathematische Weiterentwicklung 71

3.1 Hamilton-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.1 Das Hamilton-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.2 Die kanonischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Hamilton-Jacobi-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2.1 Kanonische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2.2 Hamilton-Jacobi-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2.3 Übergang zur Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3 Periodische und bedingt Periodische Bewegungen . . . . . . . . . . . 102 3.3.1 Invariante Untermannigfaltigkeiten des Phasenraumes . . . . . 102 3.3.2 Winkel- und Wirkungsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A Symplektische Mechanik 111 A.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A.2 Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6 INHALTSVERZEICHNIS

A.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.4 Symplektischer Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

B Relativistische Mechanik 123 B.1 Relativistische Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 B.2 Relativistische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

C Übungsaufgaben 135 D Lösungsvorschläge 149 Literaturverzeichnis 199 Index 203

Kapitel 1

Grundlegendes über eingeschränkte Systeme endlich vieler Massenpunkte

1.1 Formulierung des Hauptproblems

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Die holonomen Nebenbedingungen (1.2) sind also skleronom, wenn sich die S_{j} so wählen lassen, daß mit(1.4)

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gilt. Aus (1.6) und (1.4) folgt dann automatisch^{8}

\frac{∂}{∂t} S_{j,ν}(x_{1}, …, x_{N}, t) = 0 ∀ x_{1}, …, x_{N} ∈ ℝ^{3} , t ∈ ℝ , j ∈ \{1, …, l\} , ν ∈ \{1, …, N\} .

(1.7)

1.1.1.2 Nicht holonome Nebenbedingungen

Als nicht holonom bezeichnet man natürlich all diejenigen Nebenbedingungen, die sich nicht in der Form (1.2) schreiben lassen.

Beispiel: Ersetzt man beim \underline{Pendel} die Stange durch einen Faden, so ergibt sich die nicht holonome^{9} Nebenbedingung

0 ≤ S_{1}(x(t), t) ≤ R .

Ähnliche Beispiele:

(i) Ausschließliche Betrachtung von m_{2} beim Doppelpendel.

Version vom 26. März 2009

6Spezialfall: V̇ (x(t)) = ẋ(t) · grad V (x(t)) .

7Bedingungen der Form (1.5) (oder (1.2)) nennt man geometrisch, solche der Form (1.3) (unabhängig davon, ob (1.4) gilt) kinematisch.

8Für die im nächsten Abschnitt behandelten nicht holonomen Nebenbedingungen müßte (1.7) zusätzlich zu (1.6) gefordert werden.

9Bzgl. der einfachen Pendelbewegung tut man natürlich auch beim Faden so, als läge die holonome Nebenbedingung S_{1}(x(t), t) = 0 vor.

(ii) Massenpunkt auf glatte Kugel gesetzt. Natürlich ist es nicht möglich die nicht holonomen Nebenbedingungen in ihrer Gesamtheit abzuhandeln.

Vereinbarung: Es seien stets nur solche Systeme betrachtet, für die sich die Nebenbedingungen in der Form (1.3)/(1.5) schreiben lassen.^{10} Dabei sollen die Bedingungen (1.3) für jeden festen Zeitpunkt eine vollständige Charakterisierung der möglichen Momentangeschwindigkeiten darstellen.^{11}

Ohne (1.4) (bzw. abgeschwächte Zusatzbedingung) folgt aus (1.3)/(1.5) nicht allgemein die Holonomie der Nebenbedingungen.

Beispiel: Die kinematische Nebenbedingung^{12}

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φ(t) =^{def} \frac{x^{3}(t)}{Einh. v. x^{3}} gegebene Richtung (oder entgegengesetzt dazu) rollendem Rad^{13} entspricht, läßt sich durch keine Wahl von (1.5) zu einem System holonomer Nebenbedingungen ergänzen.^{14}

Auch im allgemeinen Falle sind die durch (1.3)/(1.5) beschriebenen Nebenbedingungen genau dann skleronom, wenn die erlaubten Anfangspositionen nicht von der Zeit abhängen und sich die S_{j,0} und S_{j,k} so wählen lassen, daß die Bedingungen (1.6),(1.7) erfüllt sind.

1.1.1.3 Virtuelle Verrückungen

Sei (x_{1}(t_{1}), …, x_{N}(t_{1})) eine erlaubte Anfangsposition zum Zeitpunkt t_{1} . Dann versteht man unter einer virtuellen Verrückung (dieser Anfangsposition) eine (gedachte) Verschiebung längs eines, von (x_{1}(t_{1}), …, x_{N}(t_{1})) ausgehenden, einfachen

Version vom 26. März 2009

10Dabei muß für die kinematischen Nebenbedingungen (1.3) nicht unbedingt (1.4) gelten. Die geometrischen Bedingungen (1.5) werden üblicherweise stillschweigend vorausgesetzt.

11Ohne diese Zusatzannahme können sich Schwierigkeiten beim Abzählen der Freiheitsgrade (siehe Schluß von 1.1.1.3) oder bei der Anwendung des D’Alembertschen Prinzips (siehe 1.1.2.3) ergeben.

12Vgl. (Hamel, 1967, Nr. 37)

13Bzgl. einer vollständigeren Beschreibung des rollenden Rades siehe z.B. (Sommerfeld, 1964, Übungsaufgabe II.1.) und (Neĭmark und Fufaev, 1972, Kap. II, § 2).

14Siehe Übungsaufgabe 8.

Kurvenstücks C_{virt} im ℝ^{3n}, die durch eine erlaubte Bewegung (1.1) im Grenzfall unendlich großer Geschwindigkeit realisierbar ist. Gemäß (1.3) bedeutet letzteres für jede einfache Parametrisierung^{15}

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F_{Z}

Solange rollende Bewegung vorliegt (holonome Nebenbedingung), trägt die Haftreibung zur Zwangskraft F_{Z} bei,^{19} die die Unterlage auf den berührenden Massenpunkt ausübt.

\underline{Grund:} Die Haftreibung sorgt für Einhaltung der Rollbewegung und hängt von keiner physikalischen Konstanten direkt ab.

1.1.2.3 D’Alembertsches Prinzip

Die Bewegungsgleichungen des Systems sind natürlich die Newtonschen:

m_{ν}ẍ_{ν}(t) = F_{ν}^{e}(t) + F_{ν}^{Z}(t) ,  (1.11)

Version vom 26. März 2009

19Siehe Übungsaufgabe 7.

18Vgl. (Hamel, 1967, Nr. 31)

wobei:

m_{ν} =^{def} Masse des ν-ten Massenpunktes
F_{ν}^{e}(t) =^{def} \{ \begin{matrix}Vektorsumme aller eingeprägten Kräfte , \\ die zur Zeit t auf m_{ν} wirken , \end{matrix}
F_{ν}^{Z}(t) =^{def} \{ \begin{matrix}Vektorsumme aller Zwangskräfte , \\ die zur Zeit t auf m_{ν} wirken . \end{matrix}

Während die F_{ν}^{e}(t) als bekannt^{20} vorausgesetzt werden, weiß man von den F_{ν}^{Z}(t) zunächst nur, daß sie die Einhaltung der Nebenbedingungen (1.3) erzwingen. Um die F_{ν}^{Z}(t) eindeutig festzulegen, ist ein Zusatzkriterium notwendig:

Man fordert, daß die Zwangskräfte in dem Sinne minimal^{21} sind, ‘daß sie bei infinitesimalen virtuellen Verrückungen insgesamt keine Arbeit verrichten’. Konkret ist damit gemeint, daß für die in 1.1.1.3 betrachteten y_{ν}(s)

∑_{ν=1}^{N} F_{ν}^{Z}(t_{1}) · ẏ_{ν}(s)_{|_{s=s_{1}}} = 0  (1.12)

gilt. Im Sinne von (1.9) teilen wir das formal durch

∑_{ν=1}^{N} F_{ν}^{Z}(t_{1}) · δx_{ν}(t_{1}) = 0  (1.13)

mit, wobei für die δx_{ν}(t_{1}) stillschweigend stets (1.10) vorausgesetzt wird.^{22} Bedingung (1.13) (genauer: (1.12)) ist die naheliegende Verallgemeinerung der Bedingung, daß F_{Z} beim Pendel parallel zur Pendelstange bzw. bei der schiefen Ebene^{23} senkrecht zur Ebene zeigt.^{24}

Version vom 26. März 2009

20In der Regel als Funktionen von x_{ν}(t), ẋ_{ν}(t) und t.

21Man kann zeigen, daß die Nebenbedingungen die zu allen (δx_{1}, …, δx_{N}) orthogonale Komponente von (F_{1}^{Z}, …, F_{N}^{Z}) eindeutig festlegen. Daher wählt (1.13) die Zusätzkräfte F_{ν}^{Z} zur Einhaltung der Nebenbedingungen aus, für die ∑_{ν=1}^{N} |F_{ν}^{Z}|^{2} minimal ist.

22Da t_{1} in 1.1.1.3 beliebig vorgegeben war, wird (1.13) natürlich für alle t_{1} ∈ ℝ gefordert.

23Die Pendelaufhängung (der masselosen Pendelstange) bzw. die schiefe Ebene (mit konstanter Flächennormalen) dürfen beliebig bewegt sein!

24Eine entsprechend anschauliche Interpretation von (1.13) für das Modell eines rollenden Zylinders ist wohl kaum möglich.

Beispiel (x_{0}(t) vorgegeben):

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m_{1}

m_{2}

δx_{2}(t)
x_{2}(t)

R_{2}

x_{0}(t) x_{1}(t)

Drehpunkt

Hier gilt^{25}

(1.10) ⟺ \{ \begin{matrix}R_{2} δx_{1}(t) = −R_{1} δx_{2}(t) , \\ 0 = δx_{1}(t) · (x_{1}(t) − x_{0}(t)) \end{matrix}

und daher

(1.13) ⟺ 0 = (R_{1} F_{1}^{Z}(t) − R_{2} F_{2}^{Z}(t)) · δx_{1}(t) ∀ δx_{1}(t) ⊥ (x_{1}(t) − x_{0}(t))
⟺ 0 = \underbrace{\frac{x_{1}(t) − x_{0}(t)}{|x_{1}(t) − x_{0}(t)|} × (R_{1} F_{1}^{Z}(t) − R_{2} F_{2}^{Z}(t))}_{= Gesamtdrehmoment der Zwangskräfte (bzgl. x_{0}(t))} ,

obwohl die ‘virtuelle Arbeit’ der Einzelkräfte i.a. von Null verschieden ist!

Aus (1.13) folgt unmittelbar das

Prinzip von D’Alembert:

(1.11), (1.10) ⟹ 0 = ∑_{ν=1}^{N} (m_{ν} ẍ_{ν}(t) − F_{ν}^{e}(t)) · δx_{ν}(t) . (1.14)

In der Praxis legt das D’Alembertsche Prinzip (nicht dagegen (1.13) ohne (1.11)) in Kombination mit den Nebenbedingungen (1.3) bereits den Bewegungsablauf zu vorgegebenen F_{ν}^{e}(t) und erlaubten Anfangsbedingungen fest. Die F_{ν}^{Z}(t) ergeben sich dann aus den Newtonschen Gleichungen (1.11).

Version vom 26. März 2009

25In Abschnitt 1.1.3.2 wird dies detailliert begründet; siehe (1.18).

1.1. FORMULIERUNG DES HAUPTPROBLEMS 17

Es sei betont, daß das D’Alembertsche Prinzip nicht beweisbar ist, sondern diejenigen Systeme kennzeichnet, die sich mit den üblichen Methoden der Theoretischen Mechanik behandeln lassen!

Es bleibt dem Geschick des Physikers überlassen, das jeweilige System so einzugrenzen und die Einteilung in eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte so vorzunehmen, daß (1.14) gilt.

Beim ebenen Pendel mit schwerer Stange

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x(t) x_{0}(t)

m

Drehp.

gibt es z.B. folgende Möglichkeiten:^{26}

(i) Man behandelt die vom Beschränkungsmechanismus zusätzlich auf m rückwirkenden Trägheitskräfte als eingeprägte Kräfte.

(ii) Man betrachtet das Gesamtsystem Stange+Massenpunkt approximativ als System von Massenpunkten, deren Abstände sich nicht ändern:

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m_{1} m_{2}

m_{3} usw.

Als Spezialfall des D’Alembertschen Prinzips ergibt sich eine Gleichgewichtsbedingung, das sog.

Prinzip der virtuellen Arbeit:^{27}

\begin{matrix}ẍ_{ν}(t) = 0 ∀ ν ∈ \{1, …, N\} , \\ (1.11), (1.10) \end{matrix} \} ⟹ 0 = ∑_{ν=1}^{N} F_{ν}^{e}(t) · δx_{ν}(t) .

(1.15)

Version vom 26. März 2009

26Für die Wahl (i) hängen die ‘eingeprägten Kräfte’ dann allerdings von der Beschleunigung des Massenpunktes ab. Für die (Standard-) Wahl (ii) läßt sich der Grenzfall unendlich vieler Massenpunkte (ausgedehnter starrer Körper) leicht im Lagrange-Formalismus (siehe Abschnitt 1.2) behandeln.

1.1.3 Das Grundproblem

1.1.3.1 Zusammenfassung

Man betrachtet Systeme von N Massenpunkten mit Ortsvektoren x_{1}(t), …, x_{N}(t), die Nebenbedingungen der Form

S_{j,0} dt + ∑_{ν=1}^{N} S_{j,ν} · dx_{ν} = 0 ∀ j ∈ (1, …, l)

(genauer siehe (1.3), (1.5) und Fußnote 11) genügen.

Die Kräfte, die auf die Massenpunkte wirken, teilt man so in eingeprägte Kräfte F_{ν}^{e}(t) und in Zwangskräfte F_{ν}^{Z}(t) auf, daß das D’Alembertsche Prinzip

(∑_{ν=1}^{N} S_{j,ν} · δx_{ν} = 0 ∀ j ∈ {1, …, l}) ⟹ ∑_{ν=1}^{N} (m_{ν} ẍ_{ν} − F_{ν}^{e}) · δx_{ν} = 0 .

für den tatsächlichen Bewegungsablauf gilt.^{28}

Man hofft, daß die Nebenbedingungen zusammen mit dem D’Alembertschen Prinzip – bei bekannten F_{ν}^{e}(t)= F_{ν}^{e} (x_{ν}(t), ẋ_{ν}(t), t) und erlaubten Anfangsbedingungen – auf Bewegungsgleichungen (siehe 1.2.2.2) führen, die eindeutig lösbar^{29} sind.

Die F_{ν}^{Z}(t) lassen sich dann (für die jeweilige Lösung der Bewegungsgleichungen) aus den Newtonschen Gleichungen

m_{ν} ẍ_{ν} = F_{ν}^{e} + F_{ν}^{Z}

(vgl. (1.11)) bestimmen. Dafür gilt dann automatisch^{30}

(∑_{ν=1}^{N} S_{j,ν} · δx_{ν} = 0 ∀ j ∈ {1, …, l}) ⟹ ∑_{ν=1}^{N} F_{ν}^{Z} · δx_{ν} = 0 .

i.a. allerdings nicht erfüllbar.

28Vgl. (1.10) und (1.14).

30Vgl. (1.12) und (1.13).

Version vom 26. März 2009 27Für rheonome Systeme ist die Voraussetzung

ẍ_{ν}(t) = 0 ∀ ν ∈ (1, …, N)

29Für (hinreichend gutartige) holonome Systeme wird die eindeutige Lösbarkeit der Bewegungsgleichungen in 3.1.2.2 gezeigt (siehe auch Übungsaufgabe 20).

1.1. FORMULIERUNG DES HAUPTPROBLEMS 19 1.1.3.2 Beispiel (wie zu (1.13))

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R_{1}

m_{1}

m_{2} x_{2}(t)

R_{2}

x_{0}(t) x_{1}(t)

Drehpunkt

Die Nebenbedingungen sind:

x_{2}(t) − x_{0}(t) = −R_{2} \frac{x_{1}(t) − x_{0}(t)}{R_{1}} , |\frac{x_{1}(t) − x_{0}(t)}{R_{1}} | = 1 .  (1.16)

Dem entspricht (1.2) mit:

N = 2 , l = 4 ,

S_{j}(x_{1}, x_{2}, t) = (x_{1}^{j} − x_{0}^{j}(t)) R_{2} + (x_{2}^{j} − x_{0}^{j}(t)) R_{1} für j = 1, 2, 3 , S_{4}(x_{1}, x_{2}, t) = R_{1}^{2} − |x_{1} − x_{0}(t)|^{2} .

Mit (1.4) folgt daraus

S_{j,0}(x_{1}, x_{2}, t) = −(R_{1} + R_{2}) ẋ_{0}^{j}(t) für j = 1, 2, 3 ,
S_{4,0}(x_{1}, x_{2}, t) = 2 ẋ_{0}(t) · (x_{1} − x_{0}(t)) ,
S_{j,1}^{k}(x_{1}, x_{2}, t) = δ_{jk} R_{2}  für j = 1, 2, 3 ,
S_{j,2}^{k}(x_{1}, x_{2}, t) = δ_{jk} R_{1}  für j = 1, 2, 3 ,
S_{4,1}(x_{1}, x_{2}, t) = −2(x_{1} − x_{0}(t)) ,
S_{4,2}(x_{1}, x_{2}, t) = 0

und damit lauten die kinematischen Nebenbedingungen (1.3):

− (R_{1} + R_{2}) ẋ_{0} dt + R_{2} dx_{1} + R_{1} dx_{2} = 0 ,
ẋ_{0} · (x_{1} − x_{0}) dt − (x_{1} − x_{0}) · dx_{1} = 0 .

(1.17)

Die infinitesimalen virtuellen Verrückungen (1.10) sind durch

\begin{aligned}R_{2} δx_{1} + R_{1} δx_{2} & = & 0 , \\ (x_{1} − x_{0}) · δx_{1} & = & 0 \end{aligned}  (1.18)

charakterisiert und das D‘Alembertsche Prinzip lautet hier:

(x_{1} − x_{0}) · δx_{1} = 0 ⟹ 0 = (m_{1}ẍ_{1} − F_{1}^{e} − \frac{R_{2}}{R_{1}} (m_{2}ẍ_{2} − F_{2}^{e})) · δx_{1} . (1.19)

Mit

ξ(t) =^{def} x_{1}(t) − x_{0}(t)  (1.20)

wird (1.17) äquivalent zu

\begin{aligned}ẋ_{2} − ẋ_{0} & = & −\frac{R_{2}}{R_{1}} ξ̇ , \\ ξ · ξ̇ & = & 0 \end{aligned}  (1.21)

und das D‘Alembertsche Prinzip äquivalent zu

ξ·δx_{1} = 0 ⟹ 0 = (m_{1} ξ̈ + m_{1} ẍ_{0} − F_{1}^{e} + \frac{R_{2}}{R_{1}} F_{2}^{e} + (\frac{R_{2}}{R_{1}} )^{2} m_{2} ξ̈ − \frac{R_{2}}{R_{1}} m_{2} ẍ_{0})·δx_{1} ,

d.h. zu:

\begin{matrix}ξ · δx_{1} = 0 ⟹ (μ ξ̈ − F) · δx_{1} = 0 , \\ wobei: & μ =^{def} m_{1} + (\frac{R_{2}}{R_{1}} )^{2} m_{2} , F =^{def} F_{1}^{e} − \frac{R_{2}}{R_{1}} F_{2}^{e} − (m_{1} − \frac{R_{2}}{R_{1}} m_{2}) ẍ_{0} . \end{matrix} \}  (1.22)

Anmerkung: An dieser Stelle sollte man sich z.B. von der Richtigkeit folgender Aussagen überzeugen:

• Die physikalischen Dimension stimmen.

• Die Numerierung der Massenpunkte spielt keine Rolle.

• Im Grenzfall R_{2} → 0 ergeben sich die Gleichungen für das einfache Pendel.

• Auch im Spezialfall m_{2} = 0 , F_{2}^{e} = 0 ergeben sich die Gleichungen für das einfache Pendel.

Das Problem (entspr. 1.1.3.1) ist also:

Was folgt aus (1.21) und (1.22) für erlaubte Anfangsbedingungen?

Für erlaubte Anfangsbedingungen ist (1.21) äquivalent zu (1.16).^{31} Damit lautet dieses Problem:

Was folgt aus (1.16) und (1.22) für ξ(t) gemäß Definition (1.20), bei vorgegebenem x_{0}(t) ?

Version vom 26. März 2009

31D.h.: (1.21) ⟺ ((1.16) für t = t_{0} ⟹ (1.16) ∀ t ∈ ℝ).

1.1. FORMULIERUNG DES HAUPTPROBLEMS 21

Das untersucht man zweckmäßigerweise in Kugelkoordinaten bzgl. x_{0} :

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ϑ

x_{0}

ξ^{2}

ξ^{1}

ξ

φ

ξ^{3}

P_{0}

e_{r} = \frac{ξ}{R_{1}} = ( \begin{matrix}sin ϑ cos φ \\ sin ϑ sin φ \\ cos ϑ \end{matrix} ) , e_{ϑ} = \frac{∂}{∂ϑ}e_{r} = ( \begin{matrix}cos ϑ cos φ \\ cos ϑ sin φ \\ − sin ϑ \end{matrix} ) ,

e_{φ} = \frac{1}{sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}e_{r} = ( \begin{matrix}− sin φ \\ cos φ \\ 0 \end{matrix} ) .

Anmerkung: Die Richtungen der ξ^{j}-Achsen sind zeitlich konstant. (e_{r}, e_{ϑ}, e_{φ}) ist eine (von den Kugelkoordinaten r, ϑ, φ abhängige) rechtshändige Orthonormalbasis; vgl. Abschn. 4.3.2 von (Lücke, ein).

Die einzige Einschränkung an δx_{1} gemäß (1.18) ist

e_{r} · δx_{1} = 0 .

Mit (1.22) und (1.16) ergeben sich daraus die Bewegungsgleichungen^{32}

(μ R_{1}ë_{r} − F) · e_{ϑ} = 0 , (μ R_{1}ë_{r} − F) · e_{φ} = 0  (1.23)

(für ϑ(t), φ(t)). Um die eindeutige Lösbarkeit von (1.23) zu erkennen, wollen wir diese Gleichungen explizit ausschreiben. Dazu beachten wir zunächst, daß die Beziehungen

ė_{r} = ϑ̇ \frac{∂}{∂ϑ}e_{r} + φ̇ \frac{∂}{∂φ}e_{r} = ϑ̇ e_{ϑ} + φ̇ sin ϑ e_{φ} ,

ë_{r} = ϑ̈e_{ϑ} + (φ̈ sin ϑ + φ̇ ϑ̇ cos ϑ) e_{φ} + ϑ̇ ė_{ϑ} + φ̇ sin ϑ ė_{φ} ,

e_{φ} · ė_{ϑ} = −ė_{φ} · e_{ϑ} = φ̇ cos ϑ .

und damit ë_{r} · e_{ϑ} = ϑ̈ − φ̇^{2} sin ϑ cos ϑ ,

ë_{r} · e_{φ} = φ̈ sin ϑ + 2 φ̇ϑ̇ cos ϑ

Version vom 26. März 2009

32Die Lösungen von (1.23) erfüllen natürlich (1.17) und (1.19).

gelten. Nach Multiplikation mit R_{1} lauten also die Bewegungsgleichungen (1.23) explizit:^{33}

∥  \begin{matrix}(R_{1}^{2} m_{1} + R_{2}^{2} m_{2}) & (ϑ̈ − φ̇^{2} sin ϑ cos ϑ) \\ = (R_{1} F_{1}^{e} − R_{2} F_{2}^{e} − (R_{1} m_{1} − R_{2} m_{2}) ẍ_{0}) · e_{ϑ} , \\ (R_{1}^{2} m_{1} + R_{2}^{2} m_{2}) & (φ̈ sin ϑ + 2 φ̇ ϑ̇ cos ϑ) \\ = (R_{1} F_{1}^{e} − R_{2} F_{2}^{e} − (R_{1} m_{1} − R_{2} m_{2}) ẍ_{0}) · e_{φ} . \end{matrix}  (1.24)

Dies sind zwei gutartige, gekoppelte, gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung. Gemäß Kap. 5 von (Lücke, ein) können wir also schließen:

Das Anfangswertproblem besitzt eine eindeutige Lösung.

Anmerkungen:

(i) Entsprechend (1.24) lauten also die Bewegungsgleichungen für das einfache sphärische Pendel (R_{2} = 0 , m_{1} = m , F_{1}^{e} = F):

mR (ϑ̈ − φ̇^{2} sin ϑ cos ϑ) = (F − m ẍ_{0}) · e_{ϑ} ,
mR (φ̈ sin ϑ + 2 φ̇^{2} ϑ̇ cos ϑ) = (F − m ẍ_{0}) · e_{φ} .

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ϑ

x_{0} φ

R

m

Gewöhnlich wird nur der Spezialfall

ϑ = π/2 , (F − m ẍ_{0}) · e_{φ} = f(φ)

behandelt, für den dann

mR φ̈ = f(φ)

gilt.

(ii) Im Falle m_{1} = m_{2} \frac{R_{2}}{R_{1}} hat nach (1.24) die Bewegungsgleichung des

Aufhängepunktes plausiblerweise keinen Einfluß auf ξ(t) .

Version vom 26. März 2009

33Man mache die üblichen Proben. Z.B. muß der Austausch der Indizes 1,2 der Ersetzung von ϑ durch π − ϑ entsprechen.

(iii) Hätte man die Nebenbedingung in der Form (1.2) mit l = 3 und

S_{j} (x_{1}, x_{2}, t) =^{def} R_{j}^{2} − |x_{j} − x_{0}(t)|^{2} für j = 1, 2 ,

S_{3} (x_{1}, x_{2}, t) =^{def} (R_{1} + R_{2})^{2} − |x_{1} − x_{2}|^{2}

geschrieben, hätte sich für (1.10)

(x_{ν} − x_{0}) · δx_{ν} = 0 für ν = 1, 2 ,
(x_{1} − x_{2}) · (δx_{1} − δx_{2}) = 0

statt (1.24) ergeben. Das wäre aber offensichtlich keine vollständige Charakterisierung der infinitesimalen virtuellen Verrückungen (z.B.

würde nicht δx_{2} = −\frac{R_{2}}{R_{1}} δx_{1} folgen).

(iv) Ein systematisches Verfahren zur Auswertung von Nebenbedingungen und D’Alembertschem Prinzip wird in Abschn. 1.2 entwickelt.

1.2 Lagrange-Formalismus

1.2.1 Generalisierte Koordinaten

Vorbemerkung: Die im folgenden benutzten generalisierten Koordinaten sind in der Regel nicht global definiert. Gleichungen mit generalisierten Koordinaten haben daher in aller Regel nur lokale Gültigkeit. Diese Problematik soll hier aber nicht thematisiert werden.^{34}

1.2.1.1 Allgemeine Beschreibung

Für jedes t ∈ ℝ seien

q^{1}(x_{1}, …, x_{N}, t), …, q^{n}(x_{1}, …, x_{N}, t)

(hinreichend gutartige) Funktionen über einer offenen^{35} Teilmenge D_{q}(t) des ℝ^{3N} , die (lokal) alle zum jeweiligen Zeitpunkt t erlaubten Ortskonfigurationen umfaßt. Dann bezeichnet man die q^{1}, …, q^{n} als generalisierte Koordinaten des betrachteten Systems, falls (hinreichend gutartige) Funktionen

x_{1}(q^{1}, …, q^{n}, t), …, x_{N}(q^{1}, …, q^{n}, t)

Version vom 26. März 2009

34Der eigentlich notwendige mathematische Formalismus wird in Anhang A beschrieben.

35Siehe Fußnote 1 von Anhang A.

über ℝ^{n+1} existieren mit:^{36}

q^{ν} = q^{ν}(x_{1}, …, x_{N}, t) ∀ ν ∈ {1, …, n}

⟺ x_{ν} = x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) ∀ ν ∈ {1, …, N}

(lokal) für alle erlaubten Momentan-Ortskonfigurationen .

(1.25)

Für erlaubte Bewegungen (1.1) ist der Zusammenhang zwischen den generalisierten Geschwindigkeiten q̇^{ν} und den gewöhnlichen Geschwindigkeiten durch

q̇^{ν}(t) = (\frac{∂}{∂t} q^{ν}(x_{1}, …, x_{N}, t) + ∑_{μ=1}^{N} ẋ_{μ}(t) · ∇_{x_{μ}}q^{ν}(x_{1}, …, x_{N}, t))_{|_{xρ=xρ(t)}} (1.26)

und

ẋ_{ν}(t) = (\frac{∂}{∂t} x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) + ∑_{μ=1}^{n} q̇^{μ}(t) \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t))_{|_{qρ=qρ(t)}}  (1.27)

gegeben. Somit ist (1.3) für (physikalisch) erlaubte Anfangswerte q^{1}(t_{0}), …, q^{n}(t_{0}) äquivalent zu:

0 = a_{j,0}(q^{1}(t), …, q^{n}(t), t) + ∑_{ν=1}^{n} a_{j,ν} (q^{1}(t), …, q^{n}(t), t) q̇^{ν}(t) ∀ j ∈ {1, …, l} ,

wobei :

a_{j,0} (q^{1}, …, q^{n}, t)

=^{def} S_{j,0}(x_{1}(q^{1}, …, q^{n}, t), …, x_{N}(q^{1}, …, q^{n}, t), t)

+ ∑_{ν=1}^{N} S_{j,ν}(x_{1}(q^{1}, …, q^{n}, t), …, x_{N}(q^{1}, …, q^{n}, t), t) · \frac{∂}{∂t}x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) ,

a_{j,ν} (q^{1}, …, q^{n}, t)

=^{def} ∑_{μ=1}^{N} S_{j,μ} (x_{1}(q^{1}, …, q^{n}, t), …, x_{N}(q^{1}, …, q^{n}, t), t) · \frac{∂}{∂q^{ν}} x_{μ}(q^{1}, …, q^{n}, t) .

(1.28)

Dafür schreiben wir auch (Pfaff sche Form):

a_{j,0} dt + ∑_{ν=1}^{n} a_{j,ν} dq^{ν} = 0 ∀ j ∈ {1, …, l} .  (1.29)

Version vom 26. März 2009 36Die q^{1}, …, q^{n} sollen also den erlaubten Momentanpositionen (x_{1}, …, x_{N}) ∈ D_{q}(t) eineindeutig zugeordnet sein.

Mithilfe der generalisierten Koordinatenfunktionen q^{ν}(t) lassen sich also die mit den Nebenbedingungen verträglichen Bewegungen vollständig durch (1.29) und Angabe der erlaubten Anfangspositionen charakterisieren. Dabei charakterisiert (1.29) – entsprechend der in 1.1.3.2 getroffenen Vereinbarung – jeweils die erlaubten generalisierten Geschwindigkeitskonfigurationen (q̇^{1}(t), …, q̇^{n}(t)) zur (erlaubten) genera-

lisierten Ortskonfiguration (q^{1}(t), …, q^{n}(t)) zum Zeitpunkt t.

Anmerkungen:

(i) Für das folgende ist es ohne Belang, ob die a_{j,ν} von der in (1.28) angegebenen Form sind.

(ii) In der Praxis bestimmt man geeignete Bedingungsgleichungen (1.29) direkt am System, nicht erst über (1.3).

Wir betrachten nur solche Systeme, für die virtuelle Verrückungen die Menge der erlaubten Momentan-Ortskonfigurationen invariant lassen. Dann folgt aus (1.25)

für virtuelle Verrückungen^{37} x_{ν}(t_{1}) → y_{ν}(s) :
y_{ν}(s) = x_{ν}(q_{v}^{1}(s), …, q_{v}^{n}(s), t_{1}) ∀ ν ∈ {1, …, N}
⟺ q_{v}^{ν}(s) = q^{ν}(y_{1}(s), …, y_{N}(s), t_{1}) ∀ ν ∈ {1, …, n} .

(1.30)

Den virtuellen Verrückungen erlaubter Momentanwerte der karthesischen Koordinaten entsprechen also eineindeutig virtuelle Verrückungen q^{ν}(t_{1}) → q_{v}^{ν}(s) der verallgemeinerten Koordinaten, wobei der Zusammenhang zwischen den entsprechenden infinitesimalen virtuellen Verrückungen^{38} durch

δx_{ν} = ∑_{μ=1}^{n} δq^{μ} \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν} ,  (1.31)

δq^{ν} = ∑_{μ=1}^{N} δx_{μ} · ∇_{x_{μ}}q^{ν}  (1.32)

gegeben ist. Direkt sind die infinitesimalen virtuellen Verrückungen der generalisierten Koordinaten vollständig charakterisiert durch:^{39}

0 = ∑_{ν=1}^{n} a_{j,ν} (q^{1}(t), …, q^{n}(t), t) δq^{ν}(t) für j = 1, …, l .  (1.33)

Version vom 26. März 2009

37Die y_{ν}(s) sind natürlich entsprechend 1.1.1.3 aufzufassen.

38Entsprechend (1.9) steht δq^{ν}(t_{1}) formal für q̇_{v}^{ν}(s_{1}) ds.

39Für a_{j,ν} gemäß (1.28) ist das eine direkte Folge von (1.10) und (1.31)/(1.32).

Die Nebenbedingungen sind genau dann holonom, wenn sie sich mithilfe der gewählten generalisierten Koordinaten in der Form

a_{j} (q^{1}(t), …, q^{n}(t), t) = 0 für j = 1, … l_{q} und bel. t

(1.34)

ausdrücken lassen.

Im Falle

\frac{∂}{∂t}x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) = 0 für ν = 1, …, N

sind die Nebenbedingungen genau dann skleronom, wenn sie sich mithilfe geeigneter a_{j,ν} durch

∑_{ν=1}^{n} a_{j,ν} (q^{1}(t), …, q^{n}(t)) q̇^{ν}(t) = 0  (1.35)

sowie Angabe der erlaubten Anfangspositionen vollständig charakterisieren lassen und die Menge aller erlaubten Anfangspositionen nicht vom Anfangszeitpunkt abhängt.

Die Mindestzahl n (lokal) benötigter generalisierter Koordinaten bezeichnet man auch als Zahl der Freiheitsgrade im Endlichen.^{40}

1.2.1.2 Standardbeispiel

Wir betrachten wieder die gleiche Situation wie in Abschnitt 1.1.3.2.

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ϑ

x_{0}

ξ^{2}

ξ^{1} φ

ξ^{3}

x_{2} m_{2}

R_{2} R_{1}

m_{1} x_{1}

Hier gilt (1.25) z.B. für n = 3 (lokal^{41}) mit:

\begin{matrix}q^{1} & = & ϑ(x_{1}, x_{2}, t) = arccos (\frac{x_{1}^{3} − x_{0}^{3}(t)}{|x_{1} − x_{0}(t)|}) ∈ (0, π) , \\ q^{2} & = & φ(x_{1}, x_{2}, t) = arctan (\frac{x_{1}^{2} − x_{0}^{2}(t)}{|x_{1}^{1} − x_{0}^{1}(t)|}) ∈ [−π, +π) , \\ q^{3} & = & r(x_{1}, x_{2}, t) = |x_{1} − x_{0}(t)| , \end{matrix} \}  (1.36)

Version vom 26. März 2009

40Für holonome Systeme stimmt die Zahl der Freiheitsgrade im Endlichen mit der Zahl der Freiheitsgrade im Unendlichkleinen überein.

41Solange x_{1}(t) − x_{0}(t) nicht ein Vielfaches von e_{3} ist.

\begin{matrix}x_{1}(r, ϑ, φ, t) & = & x_{0}(t) + r ( \begin{matrix}sin ϑ cos φ \\ sin ϑ sin φ \\ cos ϑ \end{matrix} ) , \\ x_{2}(r, ϑ, φ, t) & = & x_{0}(t) − \frac{R_{2}}{R_{1}} r ( \begin{matrix}sin ϑ cos φ \\ sin ϑ sin φ \\ cos ϑ \end{matrix} ) . \end{matrix} \}  (1.37)

Die erlaubten Anfangspositionen zur Zeit t = t_{1} sind

\begin{matrix}x_{1}(t_{1}) & = & x_{0}(t_{1}) + R_{1} \frac{e}{|e|} , \\ x_{2}(t_{1}) & = & x_{0}(t_{1}) − R_{2} \frac{e}{|e|} \end{matrix} \} mit bel. e ≠ 0

bzw.

\begin{matrix}q^{1}(t_{1}) = ϑ(t_{1}) ∈ (0, π) , \\ q^{2}(t_{1}) = φ(t_{1}) ∈ [−π, +π) , \end{matrix} \} reine Konvention
q^{3}(t_{1}) = r(t_{1}) = R_{1} .  (phys. Einschr.)

Generalisierte Geschwindigkeiten:

ṙ(t) = ṙ (x_{1}(t), x_{2}(t), ẋ_{1}(t), ẋ_{2}(t), t) =_{(1.26)} (ẋ_{1}(t) − ẋ_{0}(t)) · \frac{x_{1}(t) − x_{0}(t)}{|x_{1}(t) − x_{0}(t)|} , ϑ̇(t), φ̇(t) komplizierter. \}  (1.38)

Gewöhnliche Geschwindigkeiten:

ẋ_{1}(t) = ẋ_{1} (ϑ(t), φ(t), r(t), ϑ̇(t), ϕ̇(t), ṙ(t), t)
=_{(1.27)} ẋ_{0}(t) + ṙ(t) e_{r}(ϑ(t), φ(t)) + r(t) ϑ̇(t) e_{ϑ}(ϑ(t), φ(t))
+r(t) sin ϑ(t) φ̇(t) e_{φ}(ϑ(t), φ(t)) ,

\begin{aligned}ẋ_{2}(t) & = & ẋ_{2} (ϑ(t), φ(t), r(t), ϑ̇(t), ϕ̇(t), ṙ(t), t) \\ & =_{(1.27)} & ẋ_{0}(t) − \frac{R_{2}}{R_{1}} (ẋ_{1} (ϑ(t), φ(t), r(t), ϑ̇(t), ϕ̇(t), ṙ(t), t) − ẋ_{0}) . \end{aligned}

(1.39)

Mit den S_{j,0} und S_{j,ν} aus 1.1.3.2 ergibt sich für die a_{j,ν} in (1.28):

a_{j,0}(ϑ, φ, r, t) = − (R_{1} + R_{2}) ẋ_{0}^{j}(t) + R_{2} \frac{∂}{∂t}x_{1}^{j}(ϑ, φ, r, t) + \frac{∂}{∂t}x_{2}^{j}(ϑ, φ, r, t)

für j = 1, 2, 3 ,

a_{4,0}(ϑ, φ, r, t) = 2 ẋ_{0}(t) · (x_{1}(ϑ, φ, r, t) − x_{0}(t))

−2(x_{1}(ϑ, φ, r, t) − x_{0}(t))\frac{∂}{∂t}x_{1}(ϑ, φ, r, t) ,

a_{j,ν}(ϑ, φ, r, t) = R_{2} \frac{∂}{∂q^{ν}} x_{1}^{j}(ϑ, φ, r, t) + R_{1} \frac{∂}{∂q^{ν}} x_{1}^{j}(ϑ, φ, r, t) für j, ν = 1, 2, 3 ,
a_{4,ν}(ϑ, φ, r, t) = −2(x_{1}(ϑ, φ, r, t) − x_{0}(t))\frac{∂}{∂q^{ν}} x_{1}(ϑ, φ, r, t) für ν = 1, 2, 3 .

Mit

\begin{matrix}\frac{∂}{∂t}x_{1}(ϑ, φ, r, t) & = & \frac{∂}{∂t}x_{2}(ϑ, φ, r, t) & = & ẋ_{0}(t) , \\ \frac{∂}{∂r}x_{1}(ϑ, φ, r, t) & = & −\frac{R_{1}}{R_{2}} \frac{∂}{∂r}x_{2}(ϑ, φ, r, t) & = & e_{r}(ϑ, φ) , \\ \frac{∂}{∂ϑ}x_{1}(ϑ, φ, r, t) & = & −\frac{R_{1}}{R_{2}} \frac{∂}{∂ϑ}x_{2}(ϑ, φ, r, t) & = & r e_{ϑ}(ϑ, φ) , \\ \frac{∂}{∂φ}x_{1}(ϑ, φ, r, t) & = & −\frac{R_{1}}{R_{2}} \frac{∂}{∂φ}x_{2}(ϑ, φ, r, t) & = & r sin ϑ e_{φ}(ϑ, φ) \end{matrix} \}  (1.40)

folgt daraus

a_{j,ν}(ϑ, φ, r, t) = \{ \begin{matrix}−2r & für j = 4, ν = 3 , \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Gemäß (1.28) lauten also die Nebenbedingungen (1.29):

−2 r(t) ṙ(t) = 0 .  (1.41)

(1.41) ist direkt als vollständige Charakterisierung der erlaubten generalisierten Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t bei gegebenem r(t) > 0 erkennbar (vgl. Anmerkung zu (1.29))! Damit ergibt sich als vollständige Charakterisierung (1.33) der infinitesimalen virtuellen Verrückungen der generalisierten Koordinaten:^{42}

δr = 0 .  (1.42)

In der (r, ϑ, φ)-Beschreibung erkennt man die Holonomie der Nebenbedingungen daran, daß (1.41) für erlaubte Anfangskonfigurationen offensichtlich äquivalent zu (1.34) mit l_{q} = 1 und a_{1}(ϑ, φ, r, t) = R_{1} − r ist.

Trotzdem^{43} sind die Nebenbedingungen nur dann skleronom, wenn ẋ_{0} = \frac{∂}{∂t}x_{1} =

\frac{∂}{∂t}x_{2} = 0 gilt.

Das System hat zwei Freiheitsgrade, da man auch ohne r auskommen kann.

1.2.2 Lagrange-Gleichungen

1.2.2.1 Konsequenzen der Newtonschen Gleichungen

Im Hinblick auf das D’Alembertsche Prinzip ist es von Interesse, daß aus den Newtonschen Gleichungen (1.30) für die tatsächliche Bewegung unmittelbar

∑_{ν=1}^{N} m_{ν} ẍ_{ν} · \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν} = Q_{μ}^{e} + Q_{μ}^{Z} ∀ μ ∈ \{1, …, n\} ,  (1.43)

Version vom 26. März 2009

42δϑ und δφ unterliegen also keinen Einschränkungen.

43Man hätte in der Definition von ϑ(…) und φ(…) auch x_{2} statt x_{0}(t) verwenden können, um \frac{∂}{∂t}ϑ = \frac{∂}{∂t}φ = 0 zu erreichen!

1.2. LAGRANGE-FORMALISMUS 29

folgt, wobei

Q_{μ}^{e} =^{def} ∑_{ν=1}^{N} F_{ν}^{e} · \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν} , Q_{μ}^{Z} =^{def} ∑_{ν=1}^{N} F_{ν}^{Z} · \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν} (1.44)

die sog. generalisierten Kräfte sind.

Warnungen: (i) Die Q_{μ} haben i.a. nicht mehr die physikalische Dimension einer Kraft. (ii) Die Zuordnung (F_{1}^{e}, …, F_{N}^{e}) ⟶ (Q_{1}^{e}, …, Q_{n}^{e}) ist i.a. nicht rückein-

deutig.

In der Schreibweise^{44}

ḟ(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) =^{def} \frac{∂}{∂t}f(q^{1}, …, q^{n}, t) + ∑_{ν=1}^{n} q̇^{ν} \frac{∂}{∂q^{ν}} f(q^{1}, …, q^{n}, t)

für beliebiges (hinreichend gutartiges) f(q^{1}, …, q^{n}, t) gilt allgemein

\frac{∂}{∂q^{ν}} f = \frac{∂}{∂q̇^{ν}} ḟ , \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q^{ν}} f = \frac{∂}{∂q^{ν}} ḟ  (1.45)

und somit

ẍ_{ν} · \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν} = \frac{d}{dt} ( ẋ_{ν} · \underbrace{\frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν}}_{=_{(1.45)} \frac{∂}{∂q̇^{μ}} ẋ_{ν}} ) − ( ẋ_{ν} · \underbrace{\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν}}_{=_{(1.45)} \frac{∂}{∂q^{μ}} ẋ_{ν}} )
= \frac{1}{2} (\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{μ}} \left|{ \atop ẋ_{ν}}\right|^{2} − \frac{∂}{∂q^{μ}} \left|{ \atop ẋ_{ν}}\right|^{2}) .

Mit der kinetischen Energie

\begin{matrix}T (q^{1}(t), …, q^{n}(t), q̇^{1}(t), …, q̇^{n}(t), t) \\ =^{def} & ∑_{ν=1}^{N} & \frac{m_{ν}}{2} & |ẋ_{ν}(q^{1}(t), …, q^{n}(t), q̇^{1}(t), …, q̇^{n}(t), t)| & 2 \end{matrix}  (1.46)

44Hierdurch ist garantiert.

Version vom 26. März 2009

f(t) = f(q^{1}(t), …, q^{n}(t), t) ⟹ ḟ(t) = ḟ(q^{1}(t), …, q^{n}(t), q̇^{1}(t), …, q̇^{n}(t), t)

des Systems zum Zeitpunkt t gilt also

∑_{ν=1}^{N} m_{ν}ẍ_{ν} · \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν} = \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{μ}} T − \frac{∂}{∂q^{μ}} T .  (1.47)

Gemäß (1.47) ist (1.43) für die tatsächliche Bewegung äquivalent zu

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{μ}} T − \frac{∂}{∂q^{μ}} T = Q_{μ}^{e} + Q_{μ}^{Z} .  (1.48)

1.2.2.2 Auswertung des D’Alembertschen Prinzips

Nach (1.31)/(1.32), (1.44) und (1.47) ergibt sich in generalisierten Koordinaten für die tatsächliche Bewegung folgende äquivalente Formulierung für das

Prinzip von D’Alembert:

∑_{μ=1}^{n} (\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{μ}} T − \frac{∂}{∂q^{μ}} T − Q_{μ}^{e}) δq^{μ} = 0 . (1.49)

Anmerkung: In Übereinstimmung mit (1.48) lautet die entspr. Formulierung von (1.13):

∑_{μ=1}^{n} Q_{μ}^{Z} δq^{μ} = 0 .

Da (1.33), d.h.

( a_{j,1} ; ⋮ ; a_{j,n} ) · ( δq^{1} ; ⋮ ; δq^{n} ) = 0 für j = 1, …, l_{q} ,

für jeden Zeitpunkt eine vollständige Charakterisierung der infinitesimalen virtuellen Verrückungen (δq^{1}, …, δq^{n}) darstellt (nach Vereinbarung in 1.1.3.2), ist (1.49) äquivalent zu folgender Aussage:

Für die tatsächliche Bewegung steht

( \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{1}} T − \frac{∂}{∂q^{1}} T − Q_{1}^{e} ; ⋮ ; \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{n}} T − \frac{∂}{∂q^{n}} T − Q_{n}^{e} )  (1.50)

(in ℝ^{n}) zu jedem Zeitpunkt senkrecht auf all denjenigen Vektoren, die senkrecht auf allen Vektoren

( a_{j,1} ; ⋮ ; a_{j,n} ) ; j = 1, …, l_{q} ,  (1.51)

stehen. Äquivalent dazu ist die Aussage:

(1.50) ist zu jedem Zeitpunkt eine Linearkombination der Vektoren (1.51). Daraus folgt:

∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ Das D’Alembertsche Prinzip ist äquivalent zu folgender Aussage:

Zum tatsächlichen Bewegungsablauf des Systems existieren sog. Lagrange-Parameter (i.a. nicht eindeutig), d.h. Funktionen λ_{1}(1), …, λ_{l_{q}}(t) mit:

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{μ}} T − \frac{∂}{∂q^{μ}} T = Q_{μ}^{e} + ∑_{j=1}^{l_{q}} λ_{j} a_{j,μ} ∀ μ ∈ \{1, …, n\} .  (1.52)

Aus (1.52) und (1.48) folgt sofort^{45}

Q_{μ}^{Z} = ∑_{j=1}^{l_{q}} λ_{j} a_{j,μ} ∀ μ ∈ {1, …, n} .  (1.53)

Die Gleichungen (1.52) bezeichnet man als

• Lagrange-Gleichungen I. Art:

falls n = 3N und nicht alle a_{j,μ} = 0 ,

• Lagrange-Gleichungen II. Art:

falls alle a_{j,μ} = 0 (n = Zahl der Freiheitsgrade) ,

• Lagrange-Gleichungen vom gemischten Typ: sonst .

Version vom 26. März 2009

45Die Dimension des Vektorraumes der Zwangskräfte wächst mit der Zahl der Nebenbedingungen.

Anmerkungen:

(i) Sämtliche Lagrange-Gleichungen zum vorgegebenen Problem (System + eingeprägte Kräfte) sind – sofern die entspr. generalisierten Koordinaten existieren – für erlaubte Bewegungen offensichtlich äquivalent.

(ii) Für die Lagrange-Gleichungen II. Art (n gewöhnliche Differentialgleichungen für n unbekannte Funktionen q^{1}(t), …, q^{n}(t)) läßt sich relativ leicht zeigen (Übungsaufgabe 20), daß das zugehörige Anfangswertproblem lokal eindeutig lösbar ist, falls

F_{ν}^{e}(t) = F_{ν}^{e} (q^{1}(t), …, q^{n}(t), q̇^{1}(t), …, q̇^{n}(t), t) hinr. gutartig

für ν = 1, …, n.

1.2.2.3 Verallgemeinerte Potentiale

Wenn sich die generalisierten Kräfte Q_{ν}^{e} (q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{ν}, t) gemäß^{46}

Q_{ν}^{e} = \frac{d}{dt} \frac{∂U}{∂q̇^{ν}} − \frac{∂U}{∂q^{ν}}  (1.54)

aus einem sog. verallgemeinerten Potential U (q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{ν}, t) ergeben, lassen sich die Lagrange-Gleichungen (1.52) durch Einführung der sog. Lagrange-Funktion

L =^{def} T − U  (1.55)

Version vom 26. März 2009

die durch

(\frac{d}{dt} F ) (q^{1}, …, q^{n}, … q^{1}, …, q̇^{n}, q̈^{1}, …, q̈^{n}, t) ; \begin{aligned}=^{def} & \frac{∂}{∂t} F (q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) + ∑_{μ=1}^{n} q̇^{μ} \frac{∂}{∂q^{μ}} F (q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) \\ & + ∑_{μ=1}^{n} q̈^{μ} \frac{∂}{∂q̇^{μ}} F (q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) \end{aligned}

U(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) = f(q^{1}, …, q^{n}, t) + ∑_{ν=1}^{n} q̇^{ν}g_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t)

46Für beliebiges (hinreichend gutartiges) F (q^{1}, …, q^{n}, … q^{1}, …, q̇^{n}, t) bezeichnen wir mit \frac{d}{dt}F gegebene Funktion von q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, q̈^{1}, …, q̈^{n} und t. Dementsprechend muß ein verallgemeinertes Potential stets von der Form sein muß, damit die Q_{ν}^{e} nicht von den q̈^{μ} abhängen.

in der Form

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇^{ν}} − \frac{∂L}{∂q^{ν}} = ∑_{j=1}^{l_{q}} λ_{j}a_{j,ν} ∀ ν ∈ \{1, …, n\}  (1.56)

schreiben.

(i) U (und somit L) ist nicht eindeutig; denn z.B. ist nach (1.45) mit U auch Û =^{def} U + ḟ – mit bel. f(q^{1}, …, q^{n}, t) – ein verallgemeinertes Potential.^{47}

(ii) Im allgemeinen Falle wird nur ein Teil der eingeprägten Kräfte erfaßt, die übrigen bleiben dann rechts stehen.

Gewöhnlich sucht man zunächst in karthesischen Koordinaten für die eingeprägten Kräfte F_{ν}^{e} (x_{1}, …, x_{N}, ẋ_{1}, …, ẋ_{N}, t) ein verallgemeinertes Potential U(x_{1}, …, ẋ_{N}, t) :

F_{ν}^{e} = \frac{d}{dt} (∇_{ẋ_{ν}}U) − ∇_{x_{ν}}U .  (1.57)

Dann gilt (1.54) mit

\begin{matrix}U(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{ν}, t) \\ = U(x_{1}(q^{1}, …, q^{n}, t), …, ẋ_{N}(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t), t) . \end{matrix}  (1.58)

\frac{d}{dt} \frac{∂U}{∂q̇^{ν}} − \frac{∂U}{∂q^{ν}}

=  ∑_{μ=1}^{N}(\frac{d}{dt} \underbrace{(\frac{∂ẋ_{μ}}{∂q̇^{ν}}}_{=_{(1.55)} \frac{∂xμ}{∂q^{ν}}} ·∇ẋ_{μ}U) − \frac{∂x_{μ}}{∂q^{ν}} ∇_{x_{μ}}U − \underbrace{\frac{∂ẋ_{μ}}{∂q^{ν}}}_{=_{(1.55)} \frac{d}{dt} \frac{∂xμ}{∂q^{ν}}} ·∇ẋ_{μ}U)

= Produktregel ∑_{μ=1}^{N} (\frac{d}{dt} · ∇ẋ_{μ}U − ∇_{x_{μ}}U) · \frac{∂x_{μ}}{∂q^{ν}} .

Beispiele:

Version vom 26. März 2009

Beweis: Die Behauptung folgt mit (1.44) aus

47Siehe Übungsaufgabe 23 a).

(i) Für gewöhnliche Potentialkräfte gilt

U = U(x_{1}, …, x_{N}, t) .

Im Falle \frac{∂}{∂t}U = 0 sind diese Kräfte konservativ, d.h. es gilt

Ṫ + U̇ = 0 für alle Lösungen von (1.56) ,

falls die Nebenbedingungen skleronom sind^{48} (Energiesatz; siehe Schluß von 1.2.2.4).

(ii) Im Falle linearer Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten der Form

U(x_{1}, …, ẋ_{N}, t) = − ∑_{ν=1}^{N} e_{ν}A(x_{ν}, t) · ẋ_{ν}

folgt mit (1.57)

\frac{1}{e_{ν}} F_{ν}^{e}(x_{1}, …, ẋ_{N}, t)  =  −Ȧ(x_{ν}, ẋ_{ν}, t) + ∇_{x_{ν}} (ẋ_{ν} · A(x_{ν}, t))
=  −\frac{∂}{∂t}A(x_{ν}, t) − (ẋ_{ν} · ∇_{x_{ν}}) A(x_{ν}, t)
+∇_{x_{ν}} (ẋ_{ν} · A(x_{ν}, t))
=_{Entw.-Satz} −\frac{∂}{∂t}A(x_{ν}, t) + ẋ_{ν} × rot A(x_{ν}, t) .

(iii) Der ν-te Massenpunkt besitze jeweils die elektrische Ladung e_{ν} . Dann übt das elektromagnetische Feld

E(x, t) = −grad Φ(x, t) − \frac{∂}{∂t}A(x, t) ,
B(x, t) = rot A(x, t)

— im MKSA-System, Anhang A.3.3 von (Lücke, edyn) — jeweils die Kraft

F_{ν}(x_{ν}, ẋ_{ν}, t)

= e_{ν} E(x_{ν}, t) + \underbrace{e_{ν} ẋ_{ν} × B(x_{ν}, t)}_{Lorentz-Kraft}

= e_{ν} (−grad Φ(x_{ν}, t) − \frac{∂}{∂t}A(x_{ν}, t)) + e_{ν} ẋ_{ν} × rot A(x_{ν}, t)

aus. Nach (ii) gilt also

F_{ν} = \frac{d}{dt}∇_{ẋ_{ν}}U − ∇_{x_{ν}}U

Version vom 26. März 2009

48Im Falle rheonomer Nebenbedingungen gilt die Energieerhaltung i.a. nicht, die Zwangskräfte können Arbeit leisten (siehe Übungsaufgaben 10 und 26).

mit

U(x_{1}, …, ẋ_{N}, t) = ∑_{ν=1}^{N} e_{ν} (Φ(x_{ν}, t) − ẋ_{ν} · A(x_{ν}, t)) .

1.2.2.4 Erhaltungssätze

Die q^{1}, …, q^{n} seien (von den üblichen Bereichsfragen abgesehen) uneingeschränkt^{49} und es mögen die Lagrange-Gleichungen (1.56), also

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇^{ν}} − \frac{∂L}{∂q^{ν}} = 0 ∀ ν ∈ (1, …, n) ,  (1.59)

für die tatsächliche Bewegung gelten. Dann bezeichnet man

p_{ν} =^{def} \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L  (1.60)

für ν ∈ {1, …, n} jeweils als den zu q^{ν} kanonisch konjugierten Impuls.^{50}

Die ν-te generalisierte Koordinate bezeichnet man als zyklisch, falls \frac{∂}{∂q^{ν}} L = 0 .

Damit ergibt sich aus (1.59) unmittelbar folgender

Erhaltungssatz:

q^{ν} zyklisch ⟹ ṗ_{ν} = 0 für alle Lösungen von (1.59) .

(1.61)

Warnung: Die Definition z.B. von p_{1} in (1.60) hängt i.a. auch von der Wahl der q^{2}, …, q^{n} ab!

Beispiele für kanonisch konjugierte Impulse:

(i) Sei

\begin{matrix}U(q^{1}, …, q̇^{n}, t) \\ = V (q^{1}, …, q^{n}, t) − ∑_{ν=1}^{N} e_{ν} A (x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t), t) · ẋ_{ν}(q^{1}, …, q̇^{n}, t) . \end{matrix}

Version vom 26. März 2009

49Die Nebenbedingungen (für die karthesischen Koordinaten) sind also holonom und n ist die Zahl der Freiheitsgrade.

50I.a. hat p_{ν} natürlich nicht die physikalische Dimension eines gewöhnlichen Impulses.

36 KAPITEL 1. EINGESCHRÄNKTE SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Dann gilt

\frac{∂}{∂q̇^{1}} L =_{(1.55)} ∑_{ν=1}^{N} (m_{ν} ẋ_{ν} + e_{ν} A(x_{ν}, t)) · \frac{∂}{∂q̇^{1}} ẋ_{ν}
=_{(1.45)} ∑_{ν=1}^{N} (m_{ν} ẋ_{ν} + e_{ν} A(x_{ν}, t)) · \frac{∂}{∂q^{1}} x_{ν} .

Falls ein konstanter Vektor e existiert mit

x_{ν}(q^{1} + Δq^{1}, q^{2}, …, q^{n}, t) = x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) + Δq^{1} e , dann ist der zu q^{1} kanonisch konjugierte Impuls gemäß (1.60) also

p_{1} = ∑_{ν=1}^{N}( \underbrace{m_{ν} ẋ_{ν}}_{mech. Impuls v. m_{ν}} +e_{ν} A(x_{ν}, t)) · e .

In diesem Falle gilt

\begin{aligned}\frac{∂}{∂q^{1}} T & = & ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} ẋ_{ν} · \underbrace{\frac{∂}{∂q^{1}} ẋ_{ν}}_{=_{(1.45)} \frac{d}{dt} \underbrace{\frac{∂}{∂q^{1}} x_{ν}}_{=e}} \\ & = & 0 . \end{aligned}

q^{1} ist hier also genau dann zyklisch, wenn \frac{∂}{∂q^{1}} U = 0 gilt. (ii) Für gleiche U , e wie in (i), aber

\frac{∂}{∂q^{1}} x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) = e ×(x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t)−x_{0}(t)) ∀ ν ∈ \{1, …, N\}

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x_{ν}(t, 0)

φ

x_{0}(t)

P_{0}

e , normiert x_{ν}(t, φ)

Drehachse

\frac{∂}{∂φ}x_{ν}(t, φ)_{|_{φ=0}} = e × (x_{ν}(t, 0) − x_{0}(t)) gilt entsprechend:

p_{1} = ∑_{ν=1}^{N} (m_{ν} ẋ_{ν} + e_{ν} A(x_{ν}, t)) · (e × (x_{ν} − x_{0}(t)))

= (∑_{ν=1}^{N} \underbrace{(x_{ν} − x_{0}(t)) × (m_{ν} ẋ_{ν}}_{mech. Drehimp. von m_{ν} bzgl. x_{0}(t)} +e_{ν} A(x_{ν}, t))) · e .

Für \underline{x_{0} = const.} ist hier q^{1} genau dann zyklisch, wenn \frac{∂}{∂q^{1}} U = 0

(Beweis als Übungsaufgabe 25).

Aus obigen Beispielen^{51} ergeben sich folgende Spezialfälle für (1.61):

Satz 1.2.1 (Impulssatz) Für gegebenes e = const. gelte (1.58) mit

U = U(x_{1}, …, x_{N}, t) = U(x_{1} + ξe, …, x_{N} + ξe, t) ∀ ξ ∈ ℝ^{1} .

Dann ist die e-Komponente des (mechanischen) Gesamtimpulses

P =^{def} ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} ẋ_{ν}

für alle Lösungungen von (1.59) zeitlich konstant, falls mit (x_{1}, …, x_{N}, t) stets auch (x_{1} +ξ e, …, x_{N} +ξ e, t) für beliebiges ξ ∈ ℝ^{1} mit den Nebenbedingungen verträglich ist.

Satz 1.2.2 (Drehimpulssatz) Für gegebenes e = const. gelte (1.58) mit

U = U(x_{1}, …, x_{N}, t) = U(D̂_{φ e} x_{1}, …, D̂_{φ e} x_{N}, t) ∀ φ ∈ ℝ^{1} ,

wobei:

D̂_{φ e} =^{def} \{ \begin{matrix}Drehung um die e-Achse (durch P_{0}) \\ um den Winkel φ |e| (im Rechtsschraubensinn) . \end{matrix}

Dann ist die e-Komponente des (mechanischen) Gesamtdrehimpulses (bzgl. des gewählten Koordinatenursprungs)

L =^{def} ∑_{ν=1}^{N} x_{ν} × m_{ν} ẋ_{ν}

für alle Lösungungen von (1.59) zeitlich konstant, falls mit (x_{1}, …, x_{N}, t) stets auch (D̂_{φ e} x_{1}, …, D̂_{φ e} x_{N}, t) für bel. φ ∈ ℝ^{1} eine erlaubte Konfiguration ist.

Version vom 26. März 2009

51Die Nebenbedingungen waren als holonom vorausgesetzt!

Anmerkung: Eigentlich müßte man für Impuls- und Drehimpulssatz die Existenz obigen Beispielen entsprechender generalisierter Koordinaten zeigen. Das ist (lokal, außer am Punkte x_{1} = … = x_{N} = 0) aber möglich, wenn überhaupt uneingeschränkte generalisierte (lokale) Koordinaten existieren.

\underline{Naheliegende Frage:} Was folgt aus^{52}

\frac{∂}{∂t}L(q^{1}, …, q̇^{n}, t) = 0

für die tatsächliche Bewegung?

\underline{Antwort:} Es folgt

\frac{d}{dt}L = ∑_{ν=1}^{n}(q̇^{ν} \underbrace{\frac{∂L}{∂q^{ν}}}_{=_{(1.59)} \frac{d}{dt} \underbrace{\frac{∂L}{∂q̇^{ν}}}_{=p_{ν}}} +q̈^{ν} \underbrace{\frac{∂L}{∂q̇^{ν}}}_{=_{(1.60)} p_{ν}})

=_{Produktr.} \frac{d}{dt} ∑_{ν=1}^{n} q̇^{ν}p_{ν} .

Somit gilt für die tatsächliche Bewegung

\frac{∂}{∂t}L = 0 ⟹ Ḣ = 0  (1.62)

mit:^{53}

H =^{def} ∑_{ν=1}^{n} q̇^{ν}p_{ν} − L .  (1.63)

Im Falle

\frac{∂}{∂t}x_{ν} = 0 für ν = 1, …, N

gilt nach (1.27) und (1.46)

T = ∑_{ν,μ=1}^{n} α_{ν,μ}(q^{1}, …, q^{n}) q̇^{ν}q̇^{μ}

Version vom 26. März 2009

52Man beachte, daß die Gültigkeit von \frac{∂}{∂t}L(q^{1}, …, q̇^{n}, t) = 0 für bel. t nicht äquivalent zur Gültigkeit von \frac{∂}{∂t}L(x_{1}, …, ẋ_{N}, t) = 0 für bel. t ist!

53Man beachte auch (3.22) und (3.19).

(o.B.d.A. mit α_{ν,μ} = α_{μ,ν} ; vgl. Übungsaufgabe 20) und somit

\frac{∂}{∂t}T = 0  (1.64)

sowie

∑_{ν=1}^{n} q̇^{ν} \frac{∂}{∂q̇^{ν}} T = 2 T .

(Spezialfall des Eulerschen Fundamentalsatzes). Mit (1.63), (1.60) und (1.55) folgt somit

H = T + U ,
falls: U = U(q^{1}, …, q^{n}, t) und

\frac{∂}{∂t}x_{ν} = 0 ∀ ν ∈ \{1, …, N\} ,

(1.65)

und daraus^{54} mit (1.64) der

Satz 1.2.3 (Energiesatz) Es gelte (1.58) mit

U(x_{1}, …, ẋ_{N}, t) = U(x_{1}, …, x_{N})

(konservative eingeprägte Kräfte!) und die Nebenbedingungen seien skleronom. Dann^{55} gilt für alle Lösungen von (1.59):

H = T + U = Energie
= const.

∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥

Merkregel: (für Systeme mit U = U(x_{1}, …, x_{N}, t))

(i) Translationsinvarianz des Systems ⟹ Impulserhaltung (für Komp. in Transl.-Richtung).

(ii) Drehinvarianz des Systems ⟹ Drehimpulserhaltung (für Komp. in Richtung d. Drehachse).

(iii) Zeittranslationsinvarianz ⟹ Energieerhaltung.

Version vom 26. März 2009

54Für skleronome Nebenbedingungen kann man nämlich O.B.d.A. \frac{∂}{∂t}x_{ν} = 0 für ν = 1, …, N voraussetzen.

55Man beachte Fußnote 48.

Anmerkung: Die Ableitung des Energiesatzes und der Erhaltungsgrößen zu zyklischen Koordinaten sind Spezialfälle eines allgemeineren Prinzips von Noether:

Wenn ein (hinreichend gutartig) von t und dem Zusatzparameter α abhängiges Funktional T_{α,t}(q) und Funktionen K (q, q̇, t) sowie R_{0}^{ν}(q, q̇, t) existieren mit

T_{0,t}(q) = q(t) ,  (1.66)
R_{0}^{ν}(q(t), q̇(t), t) = (\frac{∂}{∂α} q_{α}^{ν}(t))_{|_{α=0}}  (1.67)

und

(\frac{∂}{∂α} L (q_{α}(t), q̇_{α}(t), t))_{|_{α=0}} = \frac{d}{dt} K(q(t), q̇(t), t)  (1.68)

für alle (hinreichend gutartigen) Bewegungsabläufe q(t) , wobei

q_{α}(t) =^{def} T_{α,t}(q) ,

dann folgt daraus (für hinreichend gutartiges T_{α,t}(q)), daß

Q(q, q̇, t) =^{def} R_{0}^{ν}(q, q̇, t) \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L(q, q̇, t) − K(q, q̇, t)

eine Erhaltungsgröße ist:

\begin{matrix}\frac{∂}{∂q^{ν}(t)} L(q(t), q̇(t), t) − (\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{ν}(t)} L(q(t), q̇(t), t)) = 0 \\ ⟹ \frac{d}{dt} Q (q(t), q̇(t), t) = 0 . \end{matrix}

Man kann zeigen,^{56} daß sich (lokal) jede (hinreichend gutartige) Erhaltungsgröße auf diese Weise ergibt (Noether-Theorem).

1.2.3 Das Lagrange-Lösungsverfahren zum Grundproblem für eingeprägte Kräfte mit verallgemeinertem Potential

1.2.3.1 Zusammenfassung

Man sucht (lokal) geeignete Funktionen

\begin{matrix}q^{ν}(x_{1}, …, x_{N}, t) & ; & ν = 1, …, n , \\ x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) & ; & ν = 1, …, N , \\ a_{j,ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) & ; & j = 1, …, l_{q}; ν = 0, …, n \end{matrix}

derart, daß für erlaubte Momentanpositionen (jeweils lokal) folgende beiden Aussagen gelten:

\begin{matrix}x_{ν} = x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) ∀ ν ∈ \{1, …, N\} \\ ⟺ q^{ν} = q^{ν}(x_{1}, …, x_{N}, t) ∀ ν ∈ \{1, …, n\} \end{matrix}

Version vom 26. März 2009

56Siehe z.B. (Saletan und Cromer, 1974, Abschn. 3.5.d)).

(vgl. (1.25)).

a_{j,0} + ∑_{ν=1}^{n} a_{j,ν} q̇^{ν} = 0 ∀ j ∈ {1, …, l_{q}}

charakterisiert die erlaubten (q̇^{1}, …, q̇^{n}) vollständig .

(vgl. (1.29) und Anmerkung dazu).

Dann sucht man ein verallgemeinertes Potential U mit

F_{ν}^{e}(x_{1}, …, x_{N}, ẋ_{1}, …, ẋ_{N}, t) = \frac{d}{dt}∇_{ẋ_{ν}}U(x_{1}, …, ẋ_{N}, t) − ∇_{x_{ν}}U(x_{1}, …, ẋ_{N}, t)

(vgl. (1.57)) und bestimmt die zugehörige Lagrange-Funktion

\begin{matrix}L(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) \\ = ∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} |ẋ_{ν}(q^{1}, …, q̇^{n}, t)|^{2} − U (x_{1}(q^{1}, …, q^{n}, t), …, ẋ_{N}(q^{1}, …, q̇^{n}, t), t) \end{matrix}

(vgl. (1.55) und (1.46)) nach Berechnung der

\begin{matrix}ẋ_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) \\ = \frac{∂}{∂t}x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) + ∑_{μ=1}^{n} q̇^{μ} \frac{∂}{∂q^{μ}} x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) . \end{matrix}

Die tatsächliche Bewegung ermittelt man schließlich (lokal) durch Lösung der Lagrange-Gleichungen

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L − \frac{∂}{∂q^{ν}} L = ∑_{j=1}^{l_{q}} λ_{j} a_{j,ν} für ν = 1, …, n

(vgl. (1.56)) zur vorgegebenen (erlaubten) Anfangsposition unter Einhaltung der Nebenbedingung (1.29) mithilfe geeigneter λ_{1}(t), …, λ_{l_{q}}(t) . Die verallgemeinerten Zwangskräfte

Q_{ν}^{Z} = ∑_{μ=1}^{N} F_{μ}^{Z} · \frac{∂}{∂q^{ν}} x_{μ}

(vgl. (1.44)) ergeben sich dann zu

Q_{ν}^{Z} = ∑_{j=1}^{l_{q}} λ_{j} a_{j,ν}

(vgl. (1.53)).

1.2.3.2 Standardbeispiel

Wir betrachten wieder unser Standardbeispiel entspr. 1.1.3.2 bzw. 1.2.1.2, jetzt für den Spezialfall

\begin{matrix}x_{0}(t) & = & 0 & für alle t , \\ F_{j}^{e} & = & m_{j} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −g \end{matrix} ) & für j = 1, 2 . \end{matrix} \}  (1.69)

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ϑ

x_{0}

ξ^{2}

ξ^{1} φ

ξ^{3}

x_{2} m_{2}

R_{2} R_{1}

m_{1} x_{1}

Für die in 1.2.1.2 gewählten generalisierten Koordinaten q^{1} = ϑ, q^{2} = φ, q^{3} = r galt:

\begin{matrix}x_{1} & = & r e_{r}(ϑ, φ) , \\ x_{2} & = & −\frac{R_{2}}{R_{1}} x_{1} , \end{matrix} \}  (1.70)

\begin{matrix}ẋ_{1} & = & ṙ e_{r} + r ϑ̇ e_{ϑ} + r sin ϑ φ̇ e_{φ} , \\ ẋ_{2} & = & −\frac{R_{2}}{R_{1}} ẋ_{1} . \end{matrix} \}  (1.71)

Die erlaubten generalisierten Geschwindigkeiten sind für jeden Zeitpunkt vollständig charakterisiert durch

\begin{matrix}∑_{ν=1}^{3} a_{j,ν} q̇^{ν} = 0 für j = 1 , \\ a_{1,ν} = \{ \begin{matrix}1 & für ν = 3 , \\ 0 & sonst , \end{matrix} \end{matrix} \}  (1.72)

was ja nichts anderes bedeutet, als ṙ = 0 . Wegen (1.69) gilt (1.57) mit

U(x_{1}, x_{2}) =^{def} m_{1} g x_{1}^{3} + m_{2} q x_{2}^{3} .

Mit (1.70) und (1.71) folgt daraus

\begin{matrix}L(ϑ, φ, r, ϑ̇, φ̇, ṙ, t) & = & \frac{m_{1} + (R_{2}/R_{1})^{2}m_{2}}{2} (ṙ^{2} + r^{2} ϑ̇^{2} + r^{2} sin^{2} ϑ φ̇^{2}) \\ & & − (m_{1} − \frac{R_{2}}{R_{1}} m_{2}) g r cos ϑ . \end{matrix} \} (1.73)

Nach (1.72) lauten die Lagrange-Gleichungen (1.56) (vom gemischten Typ):

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂ϑ̇} − \frac{∂}{∂ϑ}L = 0 ,  (1.74)
\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂φ̇} − \frac{∂}{∂φ}L = 0 ,  (1.75)

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂ṙ} − \frac{∂}{∂r}L = λ =_{(1.53)} Q_{r}^{Z} .  (1.76)

Diese Gleichungen sind zu erlaubten Anfangsbedingungen so zu lösen, daß die Nebenbedingungen erfüllt sind; d.h. daß

r = R_{1} .  (1.77)

Damit ergibt sich nach (1.73) für (1.74) explizit

∥ (R_{1}^{2} m_{1} + R_{2}^{2} m_{2}) (ϑ̈ − φ̇^{2} sin ϑ cos ϑ) − (R_{1} m_{1} − R_{2} m_{2}) g sin ϑ = 0 ,

was wegen (1.69) und e_{ϑ} = ( \begin{matrix}… \\ … \\ − sin ϑ \end{matrix} ) mit der ersten der Gleichungen (1.24) von

1.1.3.2 übereinstimmt.

Nach (1.73) ist φ eine zyklische Koordinate, d.h. es gilt \frac{∂}{∂φ}L = 0 . Daher

besagt (1.75), daß der zu φ kanonisch konjugierte Impuls

∥ p_{φ} =^{def} \frac{∂}{∂φ̇}L =_{(1.73),(1.77)} \underbrace{(m_{1} R_{1}^{2} + m_{2} R_{2}^{2}) φ̇ sin^{2} ϑ}_{=3-Komp. d. Gesamtdrehimp.} zeitlich konstant

ist.^{57} Wegen (1.69) stimmt das mit der zweiten der Gleichungen (1.24) von 1.2.3.2 überein.

Version vom 26. März 2009

57Vgl. (1.61), wo a_{j,ν} = 0 vorausgesetzt war.

(1.74), (1.75) und (1.72) (bzw. (1.77)) legen die Bewegung (zu vorgegebenen, erlaubten Anfangsbedingungen) über (1.70) bereits eindeutig fest.

Die Zusatzgleichung (1.76), die aus der Verwendung der überflüssigen generalisierten Koordinate r resultiert, dient lediglich zu Berechnung der Zwangskraft^{58}

| Q_{r}^{Z} =^{def}_{(1.44)} (F_{1}^{Z} − \frac{R_{2}}{R_{1}} F_{2}^{Z}) · e_{r} .

Nach (1.73) und (1.77) liefert (1.76) dafür:

∥ Q_{r}^{Z} = − (R_{1} m_{1} + \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}} m_{2}) (ϑ̇^{2} + φ̇^{2} sin^{2} ϑ) − (m_{1} − \frac{R_{2}}{R_{1}} m_{2}) g cos ϑ .

Abschließende Bemerkung: Für ẋ_{0} ≠ 0 wäre die oben beschriebene Methode umständlicher als die in 1.1.3.2 angewandte.^{59}

Version vom 26. März 2009

58Im Spezialfall R_{2} = 0 stimmt sie mit der Spannung der Pendelstange überein.

59Siehe Übungsaufgabe 18.

Starre Körper

2.1 Kinematik

2.1.1 Allgemeine Beschreibung

2.1.1.1 Raumfestes und körperfestes Koordinatensystem

Wie immer sei ein raumfestes Bezugssystem gewählt, d.h. ein Koordinatenursprung P_{0} und orthogonale Achsenrichtungen entspr. den Einheitsvektoren e_{1}, e_{2}, e_{3} . Die Bewegung eines starren Körpers läßt sich dadurch beschreiben, daß man am Körper selbst einen Koordinatenursprung P′_{0} und orthogonale Achsenrichtungen entspr. den Einheitsvektoren e′_{1}, e′_{2}, e′_{3} markiert und dann x_{0} =^{def} \overrightarrow{P_{0}P′_{0}} sowie die e′_{1}, e′_{2}, e′_{3} als zeitabhängige Linearkombinationen der e_{1}, e_{2}, e_{3} angibt:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; e_{3}; e_{1}; e_{2}; x_{0}(t); P′_{0}(t); e′_{3}(t); e′_{2}(t); e′_{1}(t); P_{0}]

Natürlich gilt für jeden Zeitpunkt t

( \begin{matrix}e′_{1}(t) \\ e′_{2}(t) \\ e′_{3}(t) \end{matrix} ) = R(t) ( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} )  (2.1)

45 mit einer eindeutigen Drehmatrix R(t) . Wir schreiben insbesondere R(t) = R_{φ(t)} , falls

e′_{j}(t) = D̂_{φ(t)} e_{j} für j = 1, 2, 3

mit dem im Drehimpulssatz (Abschn. 1.2.2.4) eingeführten Drehoperator D̂_{φ(t)} gilt.^{1}

Warnung: Im Gegensatz zu D̂_{φ} ist R_{φ} von der Wahl des Orthonormalsystems {e_{1}, e_{2}, e_{3}} abhängig!

Z.B. gilt:

R_{φe_{3}} = ( \begin{matrix}cos φ & sin φ & 0 \\ − sin φ & cos φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

(2.2)

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; e′_{3} = e_{3}; ^{e′^{2}}; e_{2}; e_{1}; φ; φ; e′1]

Allgemein stellt der j-te Zeilenvektor der Transformationsmatrix die Komponenten bzgl. {e_{1}, e_{2}, e_{3}} des Bildes von e_{j} dar. Daher:

R = ( \begin{matrix}R_{1}^{1} & R_{1}^{2} & R_{1}^{3} \\ R_{2}^{1} & R_{2}^{2} & R_{2}^{3} \\ R_{3}^{1} & R_{3}^{2} & R_{3}^{3} \end{matrix} ) Matrix für Drehspiegelung^{2}

⟺ ∑_{k=1}^{3} R_{j}^{k}R_{l}^{k} = δ_{jl} =^{def} \{ \begin{matrix}1 & für j = k, \\ 0 & sonst . \end{matrix}

(2.3)

Die Bewegung des starren Körpers läßt sich also beschreiben durch Angabe des zeitabhängigen Translationsvektors x_{0}(t) sowie der zeitabhängigen Drehmatrix R(t) .

Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten x^{1}(t), x^{2}(t), x^{3}(t) bzgl. des raumfesten Systems und den Koordinaten x^{′1}(t), x^{′2}(t), x^{′3}(t) des körperfesten Systems

Version vom 26. März 2009

1Man kann zeigen, daß {D̂φ : φ ∈ ℝ^{3}} die Menge aller Drehoperatoren ist (Fredenhagen, 9798, Satz 4.2); siehe auch Übungsaufgabe 71.c) zu Math. Meth. d. Phys. Natürlich gilt stets D̂φ φ = φ.

2Als Drehspiegelung bezeichnet man eine lineare Transformation, die Orthonormalbasen stets in Orthonormalbasen überführt. Als Drehung bezeichnet man eine Drehspiegelung, die rechtshändige Basen stets in rechtshändige Basen überführt.

(passive Koordinatentransformation) ist gegeben durch^{3}

\begin{matrix}∑_{j=1}^{3} x^{j}(t)e_{j} = x_{0}(t) + ∑_{j=1}^{3} x^{′j}(t)e′_{j}(t) \\ ⟺_{(2.1)} ( \begin{matrix}x^{′1}(t) \\ x^{′2}(t) \\ x^{′3}(t) \end{matrix} ) = R(t) ( \begin{matrix}x^{1}(t) − x_{0}^{1}(t) \\ x^{2}(t) − x_{0}^{2}(t) \\ x^{3}(t) − x_{0}^{3}(t) \end{matrix} ) . \end{matrix}  (2.4)

Beweis: linke Seite von (2.4)

⟺ ∑_{k=1}^{3} (x^{k} − x_{0}^{k}) e_{k} = ∑_{j=1}^{3} x^{′j}e′_{j} = =_{(2.1)} ∑_{j,k=1}^{3} x^{′j}R_{j}^{k}e_{k}
⟺ x^{k} − x_{0}^{k} = ∑_{j=1}^{3} x^{′j}R_{j}^{k}  ∀ k ∈ {1, 2, 3}
⟺_{(2.3)} x^{′l} = ∑_{j=1}^{3} x^{′j} ∑_{k=1}^{3} R_{j}^{k}R_{l}^{k} = ∑_{k=1}^{3} R_{l}^{k} (x^{k} − x_{0}^{k}) ∀ l ∈ {1, 2, 3}
⟺ rechte Seite von (2.4) .

|| Für einen körperfesten Punkt sind die Koordinaten x^{′1}(t), x^{′2}(t), x^{′3}(t) des momentanen Aufenthaltsortes bzgl. des körperfesten Systems zeitlich konstant.

Aus (2.4) folgt^{4}

D̂_{φ} ∑_{j=1}^{3} x^{j}e_{j} = ∑_{j=1}^{3} x^{′j}e_{j} ⟺ ( \begin{matrix}x^{′1} \\ x^{′2} \\ x^{′3} \end{matrix} ) = R_{−φ} ( \begin{matrix}x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) .  (2.5)

(aktive Koordinatentransformation). Der j-te Spaltenvektor der Transformationsmatrix R_{−φ} stellt die Komponenten des Bildes von e_{j} unter D̂_{φ} bzgl. {e_{1}, e_{2}, e_{3}} dar.^{5}

2.1.1.2 Infinitesimale Drehungen

Aufgrund von

R_{−(τ+Δτ) ω} = R_{−Δτ ω} R_{−τ ω} = R_{−τ ω} R_{−Δτ ω}

Version vom 26. März 2009

3Hier geht die Orthonormalität der Basen wesentlich ein (vgl. Anhang A.1.3 der Math. Meth. d. Phys. ).

4Man wende die inverse Drehung D̂_{−φ} auf (2.5) an und vergleiche mit (2.4) für x_{0} = 0 .

5Nach dem oben (zur Begründung von (2.3)) gesagten bedeutet das: R_{−φ} = (R_{+φ})^{T} .

sieht man leicht, daß

\frac{d}{dτ} R_{−τ ω} = J_{ω} R_{−τ ω} = R_{−τ ω} J_{ω}  (2.6)

mit

J_{ω} =^{def} (\frac{d}{dτ} R_{−τ ω})_{|_{τ=0}}  (2.7)

und somit^{6}

R_{−τω} = exp (τJ_{ω}) =^{def} ∑_{ν=0}^{∞} \frac{1}{ν!} (τJ_{ω})^{ν}  (2.8)

gilt. Man bezeichnet die Matrix J_{ω} als Generator der (Matrix der) infinitesimalen Drehung

R_{−ωdτ} = 1l + J_{ω} dτ .

Entsprechend den Überlegungen zum Drehimpulssatz (Abschn. 1.2.2.4) folgt aus (2.5) und (2.7):

J_{ω} ( \begin{matrix}x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}(ω × x) · e_{1} \\ (ω × x) · e_{2} \\ (ω × x) · e_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ω^{2}x^{3} − ω^{3}x^{2} \\ ω^{3}x^{1} − ω^{1}x^{3} \\ ω^{1}x^{2} − ω^{2}x^{1} \end{matrix} ) .  (2.9)

Für J_{ω} ergibt sich daraus explizit

J_{ω} = ( \begin{matrix}0 & −ω^{3} & ω^{2} \\ ω^{3} & 0 & −ω^{1} \\ −ω^{2} & ω^{1} & 0 \end{matrix} ) für ω = ∑_{j=1}^{3} ω^{j}e_{j}  (2.10)

und somit^{7}

J_{ω} = ω^{1}J_{e_{1}} + ω^{2}J_{e_{2}} + ω^{3}J_{e_{3}}  (2.11)

sowie

[J_{e_{j}}, J_{e_{k}}] =^{def} J_{e_{j}}J_{e_{k}} − J_{e_{k}}J_{e_{j}}

= ∑_{l=1}^{3} ϵ_{jkl}J_{e_{l}} für j, k = 1, 2, 3 ,

wobei:

ϵ_{jkl} =^{def} \{ \begin{matrix}+1 & falls (j, k, l) gerade Permut. v. (1, 2, 3) , \\ −1 & falls (j, k, l) ungerade Permut. v. (1, 2, 3) , \\ 0 & sonst . \end{matrix}

(2.12)

Version vom 26. März 2009

Dimension.

6R_{−τ ω} = exp (τJω) ist die nach Kap. 5 von Math. Meth. d. Phys. eindeutige Lösung von (2.6)

zur Anfangsbedingung R_{−τ ω} = 1l .

7Wir übernehmen (2.10) natürlich als Definition von Jω für Vektoren ω beliebiger physikalischer

Im Falle

Ṙ(t) = J_{−ω(t)}R(t)

setzt sich der momentane Bewegungszustand (zur Zeit t) des starren Körpers offensichtlich zusammen aus

a) einer Translationsbewegung mit der Geschwindigkeit ẋ_{0}(t) und

b) einer Rotationsbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit |ω(t)| im Rechtsschraubensinn um die Achse in Richtung von^{8}

ω′(t) =^{def} ω^{1}(t) e′_{1}(t) + ω^{2}(t) e′_{2}(t) + ω^{3}(t) e′_{3}(t)

durch den Ursprung P′_{0}(t) des körperfesten Koordinatensystems.^{9}

2.1.1.3 Eulersche Winkel

Der Vorteil der Schreibweise (2.1) beruht auf folgender Eigenschaft der R-Matrizen:

\begin{matrix}e′_{j} = D̂_{τ_{1}ω_{1}}e_{j} \\ ω′_{2} = ∑_{j=1}^{3} (ω_{2} · e_{j}) e′_{j} \end{matrix} \} ⟹ ( \begin{matrix}D̂_{τ_{2}ω′_{2}} D̂_{τ_{1}ω_{1}}e_{1} \\ D̂_{τ_{2}ω′_{2}} D̂_{τ_{1}ω_{1}}e_{2} \\ D̂_{τ_{2}ω′_{2}} D̂_{τ_{1}ω_{1}}e_{3} \end{matrix} ) = R_{τ_{2}ω_{2}}R_{τ_{1}ω_{1}} ( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ) . (2.13)

Seien {e_{1}, e_{2}, e_{3}} und {e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}} beliebig vorgegebene (physikalisch dimensionslose) rechtshändige Orthonormalbasen des ℝ^{3} . Eine anschauliche Methode, {e_{1}, e_{2}, e_{3}} in {e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}} überzuführen ergibt sich dann aus folgender Überlegung:

a) Eine Basis {e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}} mit e′′_{3} = e′_{3} läßt sich durch eine Rotation D̂_{ψe′′_{3}} mit geeignetem ψ in {e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}} überführen.

b) Eine Basis {e′′′_{1}, e′′′_{2}, e′′′_{3}} mit e′′′_{3} = e_{3} und e′′′_{1} ⊥ e_{3}, e′_{3} läßt sich durch eine Rotation D̂_{ϑe′′′_{1}} mit geeignetem ϑ in eine Basis {e′′_{1}, e′′_{2}, e′′_{3}} gemäß a) überführen.

c) Die Ausgangsbasis {e_{1}, e_{2}, e_{3}} läßt sich durch eine Rotation D̂_{ϕe_{3}} mit geeignetem ϕ in eine Basis {e′′′_{1}, e′′′_{2}, e′′′_{3}} gemäß b) überführen.

Version vom 26. März 2009

8Nach (2.10) gilt nämlich:

J_{−ω(t)} ( \begin{matrix}e′_{1}(t) \\ e′_{2}(t) \\ e′_{3}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ω′(t) × e′_{1}(t) \\ ω′(t) × e′_{2}(t) \\ ω′(t) × e′_{3}(t) \end{matrix} ) .

9Man sieht leicht, daß ω(t) nicht von der speziellen Wahl des Ursprungs des körperfesten Systems abhängt.

Dementsprechend lassen sich die vorgegebenen Basen folgendermaßen durch drei Rotationen ineinander überführen:

1. Rotation (um die 3-Achse):

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; e_{1}; e_{2}; e′′′_{3} = e_{3}; e′′′_{1}; ϕ; e′′′_{2}]

2. Rotation (um die neue 1-Achse):

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ϑ; e_{1}; e_{2}; e_{3}; e′′_{1} = e′′′_{1}; e′′_{2}; e′′_{3}]

3. Rotation (um die neue 3-Achse):

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; e_{1}; e_{2}; e_{3}; e′_{3} = e′′_{3}; e′_{1}; e′_{2}; ψ]

Somit gilt:

R(t) Drehmatrix

⟺ R(t) = R_{ψ(t)e_{3}}R_{ϑ(t)e_{1}}R_{ϕ(t)e_{3}} für geeign. ϕ(t), ϑ(t), ψ(t) . (2.14)

Offensichtlich sind die sog. Eulerschen Winkel ϕ(t), ϑ(t), ψ(t) (lokal) gemeinsam mit den x_{0}(t) · e_{j} als generalisierte Koordinaten geeignet.^{10}

Da gemäß (2.6) und (2.11) allgemein

\frac{d}{dt} R_{λ(t)e} = J_{−λ̇(t)e} R_{λ(t)e}

Version vom 26. März 2009

10Bzgl. einer Verallgemeinerung der Eulerschen Winkel siehe (D’Alessandro, 2001).

gilt, folgt aus (2.14)

Ṙ = J_{−ψ̇ e_{3}} R + R_{ψ e_{3}} J_{−ϑ̇ e_{1}} R_{ϑ e_{1}} R_{ϕ e_{3}} + R_{ψ e_{3}} R_{ϑ e_{1}} J_{−ϕ̇ e_{3}} R_{ϕ e_{3}}

und daraus wegen^{11}

R_{ψ e_{3}} J_{−ϑ̇ e_{1}} R_{−ψ e_{3}} = J_{−ϑ̇ D̂_{−ψ e_{3}}e_{1}}
= J_{−ϑ̇ (cos ψ e_{1}−sin ψ e_{2})} ,
R_{ψ e_{3}} R_{ϑ e_{1}} J_{−ϕ̇ e_{3}} R_{−ϑ e_{1}} R_{−ψ e_{3}} = J_{−ϕ̇ D̂_{−ψ e_{3}} D̂_{−ϑ e_{1}}e_{3}}
= J_{−ϕ̇(sin ϑ(sin ψ e_{1}+cos ψ e_{2})+cos ϑ e_{3})}

unter Beachtung von (2.11):

(2.14) ⟹ Ṙ(t) = J_{−ω(t)}R(t) mit:

ω(t) = (ϕ̇(t) sin ϑ(t) sin ψ(t) + ϑ̇(t) cos ψ(t)) e_{1}
+ (ϕ̇(t) sin ϑ(t) cos ψ(t) − ϑ̇(t) sin ψ(t)) e_{2}
+ (ψ̇(t) + ϕ̇(t) cos ϑ(t)) e_{3} .

(2.15)

Es gilt also:^{12}

\begin{matrix}(2.1) \\ (2.14) \end{matrix} \} ⟹ ė′_{j}(t) = ω′(t) × e′_{j}(t)

mit:

ω′(t) = (ϕ̇(t) sin ϑ(t) sin ψ(t) + ϑ̇(t) cos ψ(t)) e′_{1}(t)
+ (ϕ̇(t) sin ϑ(t) cos ψ(t) − ϑ̇(t) sin ψ(t)) e′_{2}(t)
+ (ψ̇(t) + ϕ̇(t) cos ϑ(t)) e′_{3}(t) .

(2.16)

2.1.1.4 Coriolis-Kraft^{13}

(2.16) bestimmt den Zusammenhang zwischen tatsächlichen zeitlichen Änderungen und denjenigen, die bzgl. des körperfesten Systems in Erscheinung treten:

Mit der Definition

(\frac{d}{dt})_{Körper} ∑_{j=1}^{3} G^{′j}(t) e′_{j}(t) =^{def} ∑_{j=1}^{3} (\frac{d}{dt}G^{′j}(t)) e′_{j}(t) (2.17)

Version vom 26. März 2009

11Vgl. Übungsaufgabe 27 b).

12Vgl. Schluß von 2.1.1.2

13Siehe auch (Vandenbrouck et al., 2000).

52 KAPITEL 2. STARRE KÖRPER

folgt aus (2.16)

\frac{d}{dt}G(t) = (\frac{d}{dt})_{Körper} G(t) + ω′(t) × G(t)

(2.18)

und somit speziell für G(t) = ω′(t) :

\frac{d}{dt}ω′(t) = (\frac{d}{dt})_{Körper} ω′(t) .

(2.19)

Mit (2.19) folgt aus (2.18):

G̈ = (\frac{d}{dt})_{Körper}^{2} G + ω′ × (ω′ × G) + 2ω′ × (\frac{d}{dt})_{Körper} G + (\frac{d}{dt}ω′) × G .

Für G = x − x_{0} ergibt sich damit als Nebenresultat die Bewegungsgleichung eines Massenpunktes im körperfesten System:^{14}

m ẍ(t) = F_{ges}(t)

⟹ \{ \begin{matrix}m (\frac{d}{dt})_{Körper}^{2} (x(t) − x_{0}(t)) \\ = (F_{ges}(t) − m ẍ_{0}(t)) + Z(t) + C(t) + m(x(t) − x_{0}(t)) × \frac{d}{dt} ω′(t) \end{matrix}

mit ω′(t) entspr. (2.16) und :

Z(t) =^{def} m |ω′(t)|^{2} (x(t) − x_{0}(t))_{⊥}  “Zentrifugalkraft” bzgl. x_{0}
C(t) = −2 m ω′(t) × (\frac{d}{dt})_{Körper} (x(t) − x_{0}(t)) Coriolis-Kraft .^{15}

(2.20)

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x

(x − x_{0})_{⊥}

x_{0} ω

P_{0}

Üblicherweise wird (2.20) nur für den Spezialfall x_{0}(t) = 0 = \frac{d}{dt}ω′ diskutiert.^{16}

Version vom 26. März 2009

14Man beachte: ω′ × (ω′ × G) = − |ω′|^{2} G + (ω′ · G) ω′. 15Man beachte die Analogie von Coriolis- und Lorentz-Kraft. 16Siehe z.B. (Goldstein, 1972, Abschn. 4–9).

2.1.2 Kinetische Energie

2.1.2.1 Drehimpuls

Allgemein gilt für ein System von N Massenpunkten:

Kinetische Energie

= Kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung + Kinetische Energie der Relativbewegung bzgl. des Schwerpunktes ;

d.h.:

T = \frac{1}{2}M |Ẋ|^{2} + ∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} |ẋ_{ν} − Ẋ|^{2}

wobei:

M =^{def} ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} = Gesamtmasse ,

X =^{def} \frac{1}{M} ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} x_{ν} = Ortsv. d. Schwerpunktes .

(2.21)

Beweis:^{17}
T = ∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} \left|{ \atop ẋ_{ν}}\right|^{2}
= ∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} |(ẋ_{ν} − Ẋ) + Ẋ|^{2}
= ∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} |ẋ_{ν} − Ẋ|^{2} + + \underbrace{∑_{ν=1}^{N} m_{ν}(ẋ_{ν} − Ẋ)}_{=0} Ẋ + \frac{1}{2}M |Ẋ|^{2} .

Sind die m_{ν} einem starren Körper fest eingeprägt^{18} und ist x_{0} der Ortsvektor eines körperfesten Punktes P′_{0} , so gilt nach (2.15):^{19}

ẋ_{ν} = ẋ_{0} + ω′ × (x_{ν} − x_{0}) .  (2.22)

Mit der Definition

L(ω′, t) =^{def} ∑_{ν=1}^{N} m_{ν}(x_{ν}(t) − x_{0}(t)) × (ω′ × (x_{ν}(t) − x_{0}(t))) ∀ ω′, t (2.23)

Version vom 26. März 2009

17Vgl. Schluß von Abschnitt 3.4.4 der Math. Meth. d. Phys.

18Vgl. Modell des starren Körpers entspr. Beispiel (iii) von 1.1.1.1.

19Vgl. auch Schluß von 2.1.1.2.

gilt:

L (ω′(t), t) = \{ \begin{matrix}momentaner Gesamtdrehimpuls bzgl. P′_{0} \\ im momentanen Ruhesystem von P′_{0} , \end{matrix}
falls ω′(t) = \{ \begin{matrix}vektorielle Winkelgeschwindigkeit \\ der momentanen Rotationsbewegung , \end{matrix}

(2.24)

(2.22) ⟹ ∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} |ẋ_{ν}(t) − x_{0}(t)|^{2} = \frac{1}{2} ω′(t) · L (ω′(t), t) .  (2.25)

Beweis von (2.25): Die Behauptung folgt direkt aus

∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} |ẋ_{ν}(t) − ẋ_{0}(t)|^{2} =_{(2.22)} ∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} (ẋ_{ν} − ẋ_{0}) · (ω′ × (x_{ν} − x_{0}))

=_{Zykl. d. Spatpr.} \frac{1}{2} ω′ · ∑_{ν=1}^{N}(x_{ν} − x_{0}) × m_{ν} (ẋ_{ν} − ẋ_{0})

mit (2.24).

Mit (2.21) folgt aus (2.25)

für starre Körper:

T (t) = \frac{M}{2} |ẋ_{0}(t)|^{2} + \frac{ω′(t)}{2} · L (ω′(t), t) ,

falls entweder x_{0} = X oder ẋ_{0}(t) = 0 , wobei: ω′(t) = vektorielle Winkelgeschw. gem. (2.16) .

(2.26)

2.1.2.2 Trägheitstensor^{20}

Nach (2.23) ist die t-abhängige Abbildung

(ω_{1}, ω_{2}) ⟶ θ_{t} (ω_{1}, ω_{2}) =^{def} ω_{1} · L (ω_{2}, t)  (2.27)

von ℝ^{3} × ℝ^{3} in ℝ^{1} bilinear, stellt also einen t-abhängigen Tensor 2. Stufe dar, den man als Trägheitstensor bezeichnet. Mit (2.23) folgt

\begin{aligned}θ_{t}(ω_{1}, ω_{2}) & = & ∑_{ν=1}^{N} m_{ν}((ω_{1} · ω_{2}) |x_{ν}(t) − x_{0}(t)|^{2} \\ & & − (ω_{1} · (x_{ν}(t) − x_{0}(t)))(ω_{2} · (x_{ν}(t) − x_{0}(t)))) \end{aligned}

(2.28)

Version vom 26. März 2009

20Vgl. Abschnitt 4.4.2 der Math. Meth. d. Phys. .

2.1. KINEMATIK 55 und somit auch die Symmetrie des Trägheitstensors:

θ_{t}(ω_{1}, ω_{2}) = θ_{t}(ω_{2}, ω_{1}) .  (2.29)

Beweis von (2.28): Aufgrund der Zyklizität des Spatproduktes folgt aus (2.27) und (2.23)

θ_{t}(ω_{1}, ω_{2}) = ∑_{ν=1}^{N} m_{ν}(ω_{1} × (x_{ν}(t) − x_{0}(t))) · (ω_{2} × (x_{ν}(t) − x_{0}(t)))

und daraus folgt aufgrund der bekannten Formel

(a × b) · (c × d) = (a · b)(b · d) − (a · d)(b · c)

die Behauptung.

Für beliebiges e mit |e| = 1 bezeichnet man

θ_{t}(e.e) =_{(2.28)} ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} (|x_{ν}(t) − x_{0}(t)|^{2} − |e · (x_{ν}(t) − x_{0}(t))|^{2})

als das Trägheitsmoment bzgl. der Achse durch x_{0}(t) in Richtung e :

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ρ_{ν} = \sqrt{|x_{ν} − x_{0}|^{2} − |e · (x_{ν} − x_{0})|^{2}}; ρ_{ν}; x_{ν}; x_{0}; e]

Für eine beliebig vorgegebene Basis {b_{1}, b_{2}, b_{3}} bezeichnet man die 3 × 3 Größen

θ_{jk}(t) =^{def} θ_{t}(b_{j}, b_{k})  (2.30)

als die kovarianten Komponenten von θ_{t}(·, ·) bzgl. dieser Basis; denn bei Basiswechsel gilt:

b′_{j} = ∑_{j=1}^{3} M_{j}^{k} b_{k}

⟹_{(2.30)} θ′_{jk} =^{def} θ_{t} (b′_{j}, b′_{k}) =_{Bilin.} ∑_{r,s=1}^{3} M_{j}^{r}M_{k}^{s} θ_{rs}(t) .

(2.31)

Nach (2.29) gilt grundsätzlich

θ_{jk}(t) = θ_{kj}(t) .  (2.32)

Wählt man zweckmäßigerweise für {b_{1}, b_{2}, b_{3}} in (2.30) die zeitabhängige körperfeste Basis {e′_{1}(t), e′_{2}(t), e′_{3}(t)}, so sind die θ_{jk} zeitunabhängig und es gilt:^{21}

θ_{t} (ω_{1}, ω_{2}) = ∑_{j,k=1}^{3} θ_{jk} (ω_{1} · e′_{j}(t)) (ω_{2} · e′_{k}(t)) .  (2.33)

Aufgrund der Symmetrie der (2.32) läßt sich zeigen, daß

θ_{jk} = 0 für j ≠ k

bei geeigneter Wahl der e′_{j}(t)

(2.34)

gilt (siehe z.B. Folgerung 7.3.19 von (Lücke, eine)). Sind die e′_{j}(t) im Sinne von (2.34) geeignet gewählt, dann bezeichnet man die

θ_{j} =^{def} θ_{jj} = θ_{t} (e′_{j}(t), e′_{j}(t))

als Hauptträgheitsmomente bzgl. x_{0}(t) und die Achsen in Richtung der e′_{j}(t) durch x_{0}(t) als Hauptträgheitsachsen bzgl. x_{0}(t) .

2.1.2.3 Abhängigkeit der kinetischen Energie von den Eulerschen Winkelfunktionen

Für ausgedehnte Körper definiert man den Trägheitstensor bzgl. x_{0}(t) entspr. (2.28) durch

θ_{t} (ω_{1}, ω_{2}) =^{def} ∫_{Körper}((ω_{1} · ω_{2}) |x − x_{0}(t)|^{2}
− (ω_{1} · (x − x_{0}(t))(ω_{2} · (x − x_{0}(t)))μ(x, t) dV_{x} ,
wobei: μ(x, t) = Massendichte .

(2.35)

Entspr. (2.27) gilt dann

θ_{t} (ω_{1}, ω′(t)) = ω_{1} · L(ω′(t), t) für bel. ω_{1} ,
mit ω′(t), L(ω′(t), t) entspr. (2.24)

(2.36)

Version vom 26. März 2009

21Aufgrund der Orthonormalität dieser Basis.

und somit nach (2.26)

Für starre Körper:

T (t) = \frac{M}{2} |ẋ_{0}(t)|^{2} + \frac{1}{2} θ_{t} (ω′(t), ω′(t)) ,

falls entweder x_{0} = X oder ẋ_{0} = 0 .

(2.37)

Natürlich sind auch beim starren Körper die Komponenten von θ_{t} bzgl. der körperfesten Basis {e′_{1}(t), e′_{2}(t), e′_{3}(t)} zeitunabhängig und erfüllen (2.34). Mit (2.16), (2.33) und (2.34) folgt daraus

Für starre Körper mit Hauptträgheitsachsen bzgl. x_{0}(t) in Richtung der e′_{j}(t) :

T = \frac{M}{2} \left|{ \atop ẋ_{0}}\right|^{2} + \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{3} θ_{j} |ω^{j}|^{2} ,

falls entweder x_{0} = X oder ẋ_{0}(t) = 0 ,

(2.38)

mit:

ω^{1} =^{def} ϕ̇ sin ϑ sin ψ + ϑ̇ cos ψ ,
ω^{2} =^{def} ϕ̇ sin ϑ cos ψ − ϑ̇ sin ψ ,
ω^{3} =^{def} ψ̇ + ϕ̇ cos ϑ .

(2.39)

Natürlich bezeichnen die θ_{j} in (2.38) wieder die entsprechenden zeitabhängigen Hauptträgheitsmomente.^{22}

Falls der Körper rotationssymmetrisch bzgl. der Achse in Richtung e′_{3}(t) durch x_{0}(t) ist, vereinfacht sich (2.38) wegen

θ_{1} = θ_{2}

⟹ T = \frac{M}{2} \left|{ \atop ẋ_{0}}\right|^{2} + \frac{1}{2}θ_{1} (ϑ̇^{2} + ϕ̇^{2} sin^{2} ϑ) + \frac{1}{2}θ_{3} (ψ̇ + ϕ̇ cos ϑ)^{2} ,

unter den Voraussetzungen von (2.38).

(2.40)

2.2 Einfache Kreiselgesetze

2.2.1 ‘Kräftefreier’ Kreisel

‘Kräftefreier’ Kreisel

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22T =kinetische Energie, M =Gesamtmasse, X =Ortsvektor des Schwerpunktes, x_{0} =Ortsvektor des Ursprungs des körperfesten Systems; ϕ, ϑ, ψ Eulersche Winkel der Hauptachsen bzgl. der raumfesten Basis.

Verabredung: Der Ursprung des körperfesten Systems stimme entweder mit dem Kreiselschwerpunkt überein oder werde in Ruhe gehalten (oder beides). Die e′_{j}(t) zeigen in Richtung der Hauptachsen.

2.2.1.1 Eulersche Gleichungen

Nach (2.38) gilt

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ψ̇} T − \frac{∂}{∂ψ} T = θ_{3} ω̇^{3} − (θ_{1} − θ_{2}) ω^{1}ω^{2} .  (2.41)

Zunächst lassen wir noch eingeprägte Kräfte zu und berechnen die entsprechende verallgemeinerte Kraft für das Punktsystem-Modell des starren Körpers :

Q_{ψ}^{e}  =_{(1.44)}  ∑_{ν=1}^{N} F_{ν}^{e} · \frac{∂}{∂ψ} (x_{ν} − \underbrace{x_{0}}_{ψ-unabh.})

=_{(2.4),(2.14)} ∑_{ν=1}^{N} ∑_{j=1}^{3} x′_{ν}^{j} F_{ν}^{e} · \underbrace{\frac{∂}{∂ψ} e′_{j}(ϕ, ϑ, ψ)}_{=_{(2.16)} e′_{3}×e′_{j}}

=  (∑_{ν=1}^{N}(x_{ν} − x_{0}) × F_{ν}^{e}) · e′_{3}
=  M · e′_{3} ,

wobei

M(t) =^{def} \{ \begin{matrix}Summe aller durch eingeprägte Kräfte erzeugter \\ momentaner Drehmomente bzgl. x_{0}(t) . \end{matrix}

(2.42)

Damit ergibt sich für die Lagrange-Gleichungen II. Art

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ψ̇} T − \frac{∂}{∂ψ} T =_{(1.52)} Q_{ψ}^{e}

gemäß (2.41):

θ_{3} ω̇^{3} − (θ_{1} − θ_{2}) ω^{1}ω^{2} = M · e′_{3} .

Diese Gleichung wird man natürlich auch für den kontinuierlichen starren Körper annehmen. Da die Numerierung der e′_{j}(t) (bis auf Rechtshändigkeit) willkürlich ist, folgen die

Eulerschen Gleichungen:

θ_{j} ω̇^{j}(t) − (θ_{k} − θ_{l}) ω^{k}(t) ω^{l}(t) = M(t) · e′_{j}(t) ,

falls (j, k, l) gerade Permutation von 1, 2, 3 .

(2.43)

Anmerkungen: Mithilfe von (2.18), (2.34) und (2.36) sieht man leicht,^{23}

daß die linke Seite von (2.43) mit e′_{j}(t) · \frac{d}{dt}L(t) übereinstimmt.^{24}

Für den ‘kräftefreien’ Kreisel nehmen die Eulerschen Gleichungen (2.43) die Form

\begin{aligned}θ_{1} ω̇^{1} & = & (θ_{2} − θ_{3}) ω^{2} ω^{3} , \\ θ_{2} ω̇^{2} & = & (θ_{3} − θ_{1}) ω^{3} ω^{1} , \\ θ_{3} ω̇^{3} & = & (θ_{1} − θ_{2}) ω^{1} ω^{2} \end{aligned}  (2.44)

an.

Anmerkung: ‘Kräftefrei’ meint hier nur, daß die Vektorsumme aller Drehmomente, die die eingeprägten Kräfte bzgl. x_{0}(t) erzeugen, Null ist. Das ist natürlich wichtig für die Verwendbarkeit eines geeignet gelagerten Kreisels als Kompaß.

2.2.1.2 Poinsotsche Konstruktion

Die t-abhängige Fläche^{25}

{x_{0}(t) + ρ′ : [θ_{t}(ρ′, ρ′)] = 1}

bezeichnet man als Trägheitsellipsoid bzgl. x_{0}(t) :

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e′^{3} e′^{1} e′^{2}

ρ′

x_{0}
P_{0}

Aus

ρ′ = ∑_{j=1}^{3} ρ^{j} e′_{j} ⟹_{(2.33),(2.34)} θ_{t}(ρ′, ρ′) = ∑_{j=1}^{3} θ_{j} |ρ^{j}|^{2}

Version vom 26. März 2009

23Siehe Übungsaufgabe 29.

24Die momentane vektorielle Winkelgeschwindigkeit ist nach (2.16) ω′(t) = ∑_{j=1}^{3} ω^{j}(t)e′_{j}(t) .

25Mit [A] bezeichnen wir stets die Maßzahl einer physikalischen Größe. Das Trägheitsellipsoid hängt also von der Wahl der Einheiten ab.

folgt

∇_{ρ}′ θ_{t}(ρ′, ρ′) = ∑_{j=1}^{3} 2 θ_{j} ρ^{j} e′_{j}(t)

und somit^{26} nach (2.36):

L(t) ∼ ∇_{ρ}′ θ_{t}(ρ′, ρ′)_{|_{ρ_{′}=Längeneinh.[ \frac{−ω′(t)}{\sqrt{θ_{t} (ω′(t),ω′(t))}} ] .}}  (2.45)

Geometrische Deutung: Die Tangentialebene des Trägheitsellipsoids an den Punkt, in dem die momentane Drehachse von x_{0}(t) aus in Richtung von −ω′(t) durch die Ellipsoidfläche tritt, ist senkrecht zu L(t) .

Folgerung: Die Richtungen von L(t) und ω′(t) stimmen genau dann überein, wenn ω′(t) in Richtung einer Hauptträgheitsachse zeigt (oder Null ist).

Der Abstand o.a. Tangentialebene zu x_{0}(t) ist — von der physikalischen Dimension abgesehen — somit

\begin{aligned}\frac{ω′(t)}{\sqrt{θ_{t}(ω′(t), ω′(t))}} · \frac{L(t)}{|L(t)|} & =_{(2.36)} & \frac{\sqrt{θ_{t}(ω′(t), ω′(t))}}{|L(t)|} \\ & =_{(2.37)} & \frac{\sqrt{2 T (t) − M |ẋ_{0}(t)|^{2}}}{|L(t)|} \end{aligned}

und folglich (gemäß o.a. Verabredung) für den kräftefreien Kreisel zeitlich konstant.^{27} Daher bezeichnet man diese Ebene als invariable Ebene.

Das Trägheitsellipsoid rollt^{28} (im Ruhesystem von P′_{0}) auf der invariablen Ebene ab. Die momentane Drehachse geht also durch x_{0}(t) und den Berührungspunkt des Ellipsoids auf der invariablen Ebene. Die Kurve, die dieser Berührungspunkt auf dem Ellipsoid beschreibt, bezeichnet man als Polhodie (Polkurve), diejenige, die er auf der invarianten Ebene beschreibt, als Herpolhodie (Spurkurve).

Eine für den symmetrischen Kreisel (θ_{1} = θ_{2}) äquivalente Beschreibung ist das in Abbildung 2.1 dargestellte Abrollen des Polkegels auf dem Spurkegel,

Version vom 26. März 2009

26In Erweiterung von Fußnote 25 benutzen wir die Notation [a] =^{def} \frac{a}{Einh. v. a} für Vektoren a ≠ 0 . Oberfläche des Trägheitsellipsoids. Momentangeschwindigkeit 0 hat.

Der Punkt mit dem Ortsvektor ρ′ = Längeneinh. [\frac{ω′(t)}{\sqrt{θ_{t} (ω′(t),ω′(t))}}] liegt somit offensichtlich auf der

27Man beachte die Anmerkung zu (2.43) und die Erhaltungssätze gemäß Abschnitt 1.2.2.4.

28Ein Körper rollt auf einer Fläche, wenn der Körperpunkt, der die Fläche berührt, jeweils die

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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Abb. 2.1: Poinsotsche Konstruktion für kräftefreie Kreisel mit θ_{1} = θ_{2} > θ_{3}

wobei die Figurenachse auf dem sog. Nutationskegel (nicht gezeichnet) um die Drehimpulsachse präzessiert.

Warnungen:

(i) Abb. 2.1 entspricht dem Falle θ_{1} = θ_{2} > θ_{3} (abgeplatteter Kreisel). Im Falle θ_{1} = θ_{2} < θ_{3} (gestreckter Kreisel) liegt die Polhodie so, daß der Polkegel mit seiner Innenseite auf dem Spurkegel abrollt.^{29}

(ii) Im Falle θ_{1} ≠ θ_{2} ist die Geometrie des Abrollvorganges wesentlich komplizierter.^{30} I.a. ist die Herpolhodie dann keine geschlossene Kurve mehr.

Allgemein legt die Poinsotsche Konstruktion die Geometrie der Kreiselbewegung (relativ zu x_{0}) fest. Die Abrollgeschwindigkeit ist so einzurichten, daß L stets den vorgegebenen Wert beibehält.

2.2.1.3 Analytische Lösung der Eulerschen Gleichungen für den symmetrischen ‘kräftefreien’ Kreisel

Für einen rotationssymmetrischen Kreisel gilt

θ_{1} = θ_{2}

Version vom 26. März 2009

29Siehe z.B. (Pohl, 1962, Abb. 144).

30Siehe z.B. (Landau und Lifschitz, 1964, § 37).

62 KAPITEL 2. STARRE KÖRPER (bei entspr. Numerierung der e′_{l}). Gemäß (2.44) folgt daraus

\begin{aligned}ω̇^{1} & = & Ω ω^{2} , \\ ω̇^{2} & = & −Ω ω^{1} , \\ ω̇^{3} & = & 0 \end{aligned}

mit:

Ω =^{def} \frac{θ_{1} − θ_{3}}{θ_{1}} ω^{3} .  (2.46)

Somit gilt

Für geeign. A, t_{0} :
ω^{1}(t) = A sin(Ω (t − t_{0})) ,
ω^{2}(t) = A cos(Ω (t − t_{0})) ,
ω^{3}(t) = const.

(2.47)

Die momentane Drehachse präzessiert also im körperfesten System mit der Kreisfrequenz Ω um die Figurenachse,^{31} wenn nicht ausgerechnet A = 0 .

Es sei nur der nichttriviale Fall

A ≠ 0  (2.48)

betrachtet. Da L̇ = 0 ,^{32} läßt sich e_{3} parallel zu L wählen:

e_{3} ∼ L .  (2.49)

Gemäß Poinsotscher Konstruktion folgt daraus

ϑ = const.

Abstrakter Beweis: Bei geeigneter Wahl der Konstanten C gilt

cos ϑ = C e′_{3}(t) · L
=_{(2.36)}  Cθ_{t} (e′_{3}(t), ω′(t))
=_{(2.33),(2.34)} C ω^{3} θ_{3}
=_{(2.47)}  const.

und damit die Behauptung.

Version vom 26. März 2009

31Für negatives Ω im Rechtsschraubensinn um e′_{3} .

32Vgl. Anmerkung zu (2.43).

2.2. EINFACHE KREISELGESETZ 63 Mit (2.39) und (2.47) ergeben sich daraus folgende drei Gleichungen:

ϕ̇(t) sin ϑ sin ψ(t) = A sin(Ω (t − t_{0})) ,  (2.50)
ϕ̇(t) sin ϑ cos ψ(t) = A cos(Ω (t − t_{0})) ,  (2.51)
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x(t_{2})

x(t_{1})

Version vom 26. März 2009

3Siehe Übungsaufgabe 33. 4Wenn |ẋ| = v konstant ist, gilt nämlich

v (\frac{d}{ds} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |\frac{∂}{∂t}x(t, s)| dt)_{|_{s=0}} = v (∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{ẋ(t) · \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}x(t, s)}{|\frac{∂}{∂t}x(t, s)|} dt)_{|_{s=0}}
= (∫_{t_{1}}^{t_{2}} ẋ(t) · \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}x(t, s) dt)_{|_{s=0}}
= \frac{1}{2} (\frac{d}{ds} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |\frac{∂}{∂t}x(t, s)|^{2} dt)_{|_{s=0}} .

5Diese Einschränkung ist z.B. für die schraubenförmigen Geodäten auf der Oberfläche eines (unendlich langen) Zylinders notwendig.

6Die Bewegung von x(t_{1}) nach x(t_{2}) mit konstanter Geschwindigkeit auf dem hinteren (länge-

74 KAPITEL 3. MATHEMATISCHE WEITERENTWICKLUNG

Geodäte auf M = Zylinderoberfläche:

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x(t_{1})

x(t_{2})

3.1.1.2 Äquivalenz zum D’Alembertschen Prinzip

Es genügt,^{7} das Hamilton-Prinzip lokal auszuwerten, insbesondere also für die zu ermittelnden x(.) jeweils nur solche t_{1}, t_{2} zu betrachten, die hinreichend nahe beieinander liegen. Das so eingeschränkte Hamilton-Prinzip läßt sich in generalisierten Koordinaten formulieren.

Mit

\begin{matrix}L(q, q̇, t) & =^{def} & L(x(q, t), ẋ(q, q̇, t), t) , \\ W_{t_{1},t_{2}}(q(.)) & =^{def} & ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L(q(t), q̇(t), t) dt = W_{t_{1},t_{2}}(x(.)) \end{matrix}

und der formalen Schreibweise^{8}

δW_{t_{1},t_{2}}(q(.)) =^{def} W_{t_{1},t_{2}}(q(., ds)) − W_{t_{1},t_{2}}(q(., 0))
= (\frac{d}{ds}W_{t_{1},t_{2}}(q(., s))_{|_{s=0}}) ds ,
δL(t) =^{def} (\frac{∂}{∂s}L(q(t, s), \frac{∂}{∂t}q(t, s), t)_{|_{s=0}}) ds ,
δq̇(t) =^{def} (\frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}q(t, s))_{|_{s=0}} ds

usw.

Version vom 26. März 2009

ren) Großkreisstück stellt einen Sattelpunkt des Wirkungsintegrals W = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |\frac{∂}{∂t}x(t)|^{2} dt dar, d.h. es gilt zwar (3.5), aber es gibt Bewegungen von x(t_{1}) nach x(t_{2}) , für die W größer ist und auch solche, für die W kleiner ist.

7Siehe Beweisskizze zu Lemma 3.1.1. 8Wir schreiben auch abkürzend q(t, s) für q(x(t, s), t).

3.1. HAMILTON-THEORIE 75 wird (3.2)/(3.4) äquivalent zu

δW_{t_{1},t_{2}}(q(.)) = 0 für alle erlaubten Variationen mit:

\begin{matrix}q(t_{1}, s) = q(t_{1}) \\ q(t_{2}, s) = q(t_{2}) \end{matrix} \} ∀ s ∈ ℝ ,

q(t, 0) = q(t) ∀ t ∈ [t_{1}, t_{2}] .

(3.6)

Dabei gilt nach den Regeln der Differentiation impliziter Funktionen^{9}

δW_{t_{1},t_{2}} = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} δL dt = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∑_{ν=1}^{n}((\frac{∂}{∂q^{ν}} L)δq^{ν} + (\frac{∂}{∂q̇^{ν}} L) \underbrace{δq̇^{ν}}_{= \frac{d}{dt} δq^{ν}}) dt ,

sowie nach den Regeln für partielle Integration:

∫_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{∂}{∂q̇^{ν}} L) \frac{d}{dt}δq^{ν} dt = \underbrace{(\frac{∂}{∂q̇^{ν}} L) δq^{ν}|_{t=t_{1}}^{t=t_{2}}}_{=0 n.Vorauss. an q(t,s)} − ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L) δq^{ν} dt .

Daraus ergibt sich:

δW_{t_{1},t_{2}} = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∑_{ν=1}^{n} (\frac{∂}{∂q^{ν}} L − \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L) δq^{ν} dt .  (3.7)

Genaue Bedeutung von (3.7):

\begin{matrix}\frac{d}{ds}W_{t_{1},t_{2}} (q(., s))_{|_{s=0}} \\ = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∑_{ν=1}^{n}(\frac{∂}{∂q^{ν}} L(q, q̇, t)_{|_{q=q(t),q̇=q̇(t)}} − \frac{d}{dt}(\frac{∂}{∂q̇^{ν}} L(q, q̇, t)_{|_{q=q(t),q̇=q̇(t)}}))\frac{∂}{∂s}q(t, s)_{|_{s=0}}dt . \end{matrix}

(3.8)

Da die \frac{∂}{∂s}q^{ν}(t, s)_{|_{s=0}} bis auf die Einschränkung

0 = \frac{∂}{∂s}q^{ν}(t_{j}, s)_{|_{s=0}}

völlig beliebig sind,^{10} ist also (3.6) äquivalent zur (lokalen) Gültigkeit der Lagrange-Gleichungen II. Art

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L − \frac{∂}{∂q^{ν}} L = 0 .  (3.9)

Version vom 26. März 2009

9Vgl. Erinnerung zu (1.4).

10Man setze (für hinreichend kleine s) z.B. q^{ν}(t, s) = q^{ν}(t) + s g_{ν}(t) zu vorgegebenen

\frac{∂}{∂s}q^{ν}(t, s)_{|_{s=0}} = g_{ν}(t) .

Es gilt nämlich der

Fundamentalsatz der Variationsrechnung: Sei f(t) eine stetige Funktion

über dem offenen Intervall (t_{1}, t_{2}) ⊂ ℝ^{1}. Falls ∫_{t_{1}}^{t_{2}} f(t)g(t) dt = 0 für alle belie-

big oft differenzierbaren Funktionen g(t) ≥ 0 gilt, die außerhalb eines kompakten Teilintervalls von (t_{1}, t_{2}) verschwinden, dann ist f(t) = 0 ∀ t ∈ (t_{1}, t_{2}).

Beweisskizze: Angenommen, es sei f(t_{0}) ≠ 0 , t_{0} ∈ (t_{1}, t_{2}). O.B.d.A.: f(t_{0}) > 0 . Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit ist dann f(t) innerhalb einer hinreichend kleinen, abgeschlossenen ϵ-Umgebung \overline{U_{ϵ}(t_{0})} ⊂ (t_{1}, t_{2}) von t_{0} strikt positiv. Mit der Definition

g(t) =^{def} \{ \begin{matrix}exp (−\frac{ϵ^{2}}{ϵ^{2} − (t − t_{0})^{2}} ) & für t ∈ U_{ϵ}(t_{0}) \\ 0 & sonst \end{matrix}

folgt somit

∫_{t_{1}}^{t_{2}} f(t)g(t) dt > 0

und daraus ein Widerspruch zu den Voraussetzungen.

Da die Gültigkeit der Lagrange-Gleichungen II. Art für den tatsächlichen Bewegungsablauf äquivalent zum D’Alembertschen Prinzip ist,^{11} folgt somit:

Das eingeschränkte (lokale) Hamiltonsche Prinzip ist äquivalent zum D’Alembertschen Prinzip (1.14).

Die Lagrange-Gleichungen (3.9) bezeichnet man auch als Euler-Lagrange-Gleichungen des Variationsprinzips (3.6).

Lemma 3.1.1 Das in Abschnitt 3.1.1.1 formulierte (globale) Hamiltonsche Prinzip ist äquivalent zur Gültigkeit des D’Alembertschen Prinzips.

Beweisskizze: Wir müssen nur noch zeigen, daß das globale Hamiltonsche Prinzip aus dem lokalen folgt. Um dafür den Fall großer Zeitintervalle [t_{1}, t_{2}] auf den hinreichend kleiner Zeitintervalle J_{j} = [t_{j,1}, t_{j,2}] , j = 1, …, l, zurückzuführen, wählen wir letztere so, daß

[t_{1}, t_{2}] ⊂ ⋃_{j=1}^{l} \underline{J_{j}}

gilt, und zu jedem J_{j} eine glatte Funktion h_{j}(t) mit

h_{j}(t) = 0 falls t ≠ J_{j}

Version vom 26. März 2009

11Vgl. 1.2.2.2 und 1.2.2.3. so, daß

∑_{j=1}^{l} h_{j}(t) = 1 ∀ t ∈ [t_{1}, t_{2}]

und mit

x_{j}(t, s) =^{def} h_{j}(t) (x(t, s) − x(t))

daher

(\frac{d}{ds}W_{t_{1},t_{2}}(x(., s)))_{|_{s=0}} = (\frac{d}{ds}W_{t_{1},t_{2}}(x(.) + ∑_{j=1}^{l} x_{j}(., s)))_{|_{s=0}}
= ∑_{j=1}^{l} (\frac{d}{ds}W_{t_{1},t_{2}}(x(.) + x_{j}(., s)))_{|_{s=0}}
= ∑_{j=1}^{l} (\frac{d}{ds}W_{t_{j,1},t_{j,2}}(x(.) + x_{j}(., s)))_{|_{s=0}}

gilt.

3.1.1.3 Plausibilität des Hamiltonschen Prinzips für konservative, skleronome Systeme

Für uneingeschränkte Systeme stimmen die Euler-Lagrange-Gleichungen des Hamilton-Prinzips offensichtlich mit den Newtonschen Gleichungen (1.11) für K_{ν}^{Z} = 0 überein.^{12}

Es mag zunächst verblüffen, daß man die Dynamik der entsprechend eingeschränkten Systeme (zu denen zusätzlich zu den bisherigen eingeprägten Kräften noch die Zwangskräfte hinzutreten) dadurch voll erfaßt, daß man beim Hamilton-Prinzip lediglich die Variation auf Bewegungsabläufe beschränkt, die mit den Nebenbedingungen verträglich sind.^{13}

Für konservative, skleronome Systeme wird das plausibel, wenn man sich das eingeschränkte System mit dem (zeitunabhängigen) Konfigurationsraum K folgendermaßen durch uneingeschränkte Systeme mit zusätzlichen eingeprägten Kräften vorstellt, die vom Zusatzpotential U^{Z}(x) herrühren:^{14}

U^{Z} ist (entspr. dem D’Alembertschen Prinzip) auf K konstant und wächst außerhalb K ‘gleichmäßig’ rasch an. Aufgrund des Energiesatzes (Abschnitt 1.2.2.4)

Version vom 26. März 2009

12Denn:

0 = (\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ẋ_{ν}^{j}} − \frac{∂}{∂x_{ν}^{j}} ) \underbrace{(∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} \left|{ \atop ẋ_{ν}}\right|^{2} − U)}_{=_{(1.55)} L} = m_{ν} ẍ_{ν}^{j} − \underbrace{(\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ẋ_{ν}^{j}} − \frac{∂}{∂x_{ν}^{j}} ) U}_{=_{(1.57)} K_{ν}^{e}·e_{j}} .

13Die Lagrange-Funktion wird dagegen nicht geändert.

14Vgl. (Arnol’d, 1988, Abschnn. 4.1.1).

kann sich dann eine dynamisch erlaubte Bahnkurve nur wenig von K entfernen. Die Einhaltung der idealisierten Nebenbedingungen entspricht dem Grenzfall unendlich raschen Anwachsens von U^{Z} außerhalb K.

Die dynamisch erlaubten Bewegungsabläufe, die ja den Extremwerten der W_{t_{1},t_{2}} hinsichtlich sämtlicher denkbarer Bewegungsabläufe entsprechen, gehen dann in die Extremwertstellen hinsichtlich der mit den idealisierten Nebenbedingungen verträglichen Bewegungsabläufe über. Für letztere ist aber U^{Z} ohne Belang.

Somit ergibt sich das Hamiltonsche Prinzip für eingeschränkte Systeme.

3.1.2 Die kanonischen Gleichungen

3.1.2.1 Legendre-Transformation

Eine (hinreichend gutartige) Funktion f(v) über ℝ^{n} heißt streng konvex,^{15} wenn die zweite Richtungsableitung für jede Richtung über dem gesamten ℝ^{n} positiv ist; d.h. wenn^{16}

0 ≠ e ∈ ℝ^{n} ⟹ (e · ∇_{v})^{2} f(v) > 0 ∀ v ∈ ℝ^{n} .

Man macht sich leicht klar, daß

für streng konvexes f(x) :

grad f(v_{1}) = grad f(v_{2}) ⟺ v_{1} = v_{2} .

(3.10)

Beweis für ”⟹“: Aus der Implikations-Voraussetzung folgt

0 = (v_{2} − v_{1}) · (grad f(v_{2}) − grad f(v_{1}))
= (v_{2} − v_{1}) · ∫_{0}^{1} \frac{d}{dλ}grad f(v_{1} + (v_{2} − v_{1}) λ) dλ
= ∫_{0}^{1} \underbrace{((v_{2} − v_{1}) · ∇_{v})^{2} f(v)_{|_{v=v_{1}+(v_{2}−v_{1})λ}}}_{>0 für v_{1}≠v_{2}} dλ

und daraus v_{1} = v_{2}.

Falls also grad f für fest vorgegebenes streng konvexes f überhaupt einen betrachteten Wert p annimmt, dann an einer eindeutig durch p bestimmten Stelle. Mit anderen Worten:

Version vom 26. März 2009

15Die Funktion heißt konvex, wenn ihre zweite Richtungsableitung für jede Richtung über dem gesamten ℝ^{n} nicht negativ ist.

16Äquivalente Definition für n = 1: \underbrace{\frac{f(v_{1}) + f(v_{2})}{2}}_{f_{mitt}} > f(\underbrace{\frac{v_{1} + v_{2}}{2}}_{v_{mitt}}) .

Zu jedem streng konvexen f(v) existiert somit eine eindeutige Abbildung v(p) von

G_{f} =^{def} {grad f(v) : v ∈ ℝ^{n}}

auf den ℝ^{n} mit

p = grad f(v(p)) ∀ p ∈ G_{f} .  (3.11)

Umgekehrt ergibt sich v(p) (im Falle hinreichender Gutartigkeit) gemäß

v(p) = grad l(p)

aus der sog. Legendre-Transformation

l(p) =^{def} p · v(p) − f(v(p)) ∀ p ∈ G_{f}  (3.12)

von f ; denn:

\frac{∂}{∂p^{j}} l(p) = v^{j}(p) + p · \frac{∂}{∂p^{j}} v(p) − (\frac{∂}{∂p^{j}} v(p)) · \underbrace{grad f(v(p))}_{=_{(3.11)} p} .

Anmerkungen:

1. Man kann zeigen, daß die Legendre-Transformierte von f durch

l(p) = max_{v∈ℝ^{n}}(p · v − f(v))

gegeben ist.

2. Die Legendre-Transformation spielt insbesondere in der Thermodynamik eine wichtige Rolle; siehe z.B. Abschnitt 1.2.3 von (Lücke, tdst).

Verallgemeinerung dieser Überlegungen führt auf folgenden

Satz 3.1.2 Sei O eine offene Teilmenge des ℝ^{n′} und sei f(x, v) eine (hinreichend gutartige) Funktion über O × ℝ^{n}, die für beliebiges festes x ∈ O eine streng konvexe Funktion von v ist. Dabei sei

{∇_{v} f(x, v) : v ∈ ℝ^{n}} = ℝ^{n} ∀ x ∈ O .

Dann existiert eine eindeutige (und hinreichend gutartige) Abbildung v(x, p) von O × ℝ^{n} auf den ℝ^{n} mit

p = ∇_{v} f(x, v)_{|_{v=v(x,p)}} , v(x, p) = ∇_{p} l(x, p)

und

∇_{x} l(x, p) = −∇_{x} f(x, v)_{|_{v=v(x,p)}} ,

wobei

l(x, p) =^{def} p · v(x, p) − f(x, v(x, p)) ∀ (x, p) ∈ O × ℝ^{n}

Legendre-Transformation von f hinsichtlich v ist.

Beweis von Satz 3.1.2: Anwendung der bisherigen Überlegungen für jeweils festes x liefert alle Aussagen außer

∇_{x} l(x, p) = −∇_{x} f(x, v)_{|_{v=v(x,p)}} .

Letzteres folgt gemäß

\frac{∂}{∂x^{j}} l(x, p) = \frac{∂}{∂x^{j}} (p · v(x, p) − f(x, v(x, p)))
= p · \frac{∂}{∂x^{j}} v(x, p) − \frac{∂}{∂x^{j}} f(x, p)_{|_{v=v(x,p)}} − (\frac{∂}{∂x^{j}} v(x, p)) · \underbrace{∇_{v}f(x, p)_{|_{v=v(x,p)}}}_{=p}
= −\frac{∂}{∂x^{j}} f(x, p)_{|_{v=v(x,p)}} .

3.1.2.2 Bewegungsgleichungen 1. Ordnung für generalisierte Koordinaten und Impulse

Normalerweise^{17} ist die Lagrange-Funktion L(q, q̇, t) für jeweils festes (q, t) ∈ O ⊂ ℝ^{n+1} eine streng konvexe Funktion von q̇ über ℝ^{n} mit

\begin{matrix}\{p = (p^{1}, …, p^{n}) : ∃ q̇ ∈ ℝ^{n} : p^{ν} = \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L(q, q̇, t) ∀ ν ∈ \{1, …, n\}\} \\ = ℝ^{n} ∀ (q, t) ∈ O . \end{matrix}

Dann^{18} existieren nach Satz 3.1.2 eindeutige Funktionen q̇^{ν}(q, p, t) mit

p^{ν} = \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L(q, q̇, t)_{|_{q̇=q̇(q,p,t)}} ∀ (q, t) ∈ O , p ∈ ℝ^{n} .

Damit gilt natürlich

\frac{d}{dt}q^{ν}(t) = q̇^{ν}(q(t), p(t), t) ∀ ν ∈ \{1, …, n\} , t ∈ [t_{1}, t_{2}]  (3.13)

für jede (lokale) Bewegung (q(t), t_{1}, t_{2}), wobei

p^{ν}(t) =^{def} \frac{d}{dq̇^{ν}} L(q(t), q̇, t)_{|_{q̇= \frac{d}{dt} q(t)}} ∀ ν ∈ \{1, …, n\} , t ∈ [t_{1}, t_{2}] .

Für dynamisch erlaubte Bewegungen besagen die Lagrange-Gleichungen (1.59) für das so definierte p(t) andererseits:

\frac{d}{dt}p_{ν}(t) = \frac{∂}{∂q^{ν}} L(q, q̇, t)_{|_{q=q(t),q̇=q̇(q(t),p(t),t)}} ∀ ν ∈ \{1, …, n\} , t ∈ [t_{1}, t_{2}] . (3.14)

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17Siehe Übungsaufgabe 34.

18Man identifiziere in Satz 3.1.2:

f ˆ= L , x ˆ= (q, t) , v ˆ= q̇ , p ˆ= p .

Das Differentialgleichungssystem (3.13)/(3.14) für (q(t), p(t)) ist gemäß Kapitel 5

von (Lücke, ein) für vorgegebene (erlaubte) Anfangswerte (q(0), p(0)) lokal eindeutig lösbar.

Nach Satz 3.1.2 gilt (mit l ˆ= H) außerdem

q̇^{ν}(q, p, t) = \frac{∂}{∂p_{ν}} H(q, p, t) ∀ (q, t) ∈ O , p ∈ ℝ^{n}

und

\frac{∂}{∂q^{ν}} L(q, q̇, t)_{|_{q̇=q̇(q,p,t)}} = −\frac{∂}{∂q^{ν}} H(q, p, t) ∀ (q, t) ∈ O , p ∈ ℝ^{n}  (3.15)

mit der sog. Hamilton-Funktion^{19}

H(q, p, t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} p_{ν} q̇^{ν}(q, p, t) − L(q, q̇(q, p, t), t) ∀ (q, t) ∈ O , p ∈ ℝ^{n} . (3.16)

Die Gleichungen (3.13)/(3.14) sind also äquivalent zu den sog. Hamiltonschen kanonischen Gleichungen:

q̇^{ν}(t) = +\frac{∂}{∂p_{ν}} H(q(t), p, t)_{|_{p=p(t)}} ,  (3.17)

ṗ_{ν}(t) = −\frac{∂}{∂q^{ν}} H(q, p(t), t)_{|_{q=q(t)}} .  (3.18)

Zusätzlich ergibt sich aus Satz 3.1.2:

\frac{∂}{∂t}H(q, p, t) = −\frac{∂}{∂t}L(q, q̇, t)_{|_{q̇=q̇(q,p,t)}} .  (3.19)

Anmerkungen:

(i) Bei der Lösung von (3.17)/(3.18) werden die q^{ν} und p_{ν} formal als unabhängig voneinander behandelt. Die Gültigkeit von (3.17) garantiert dann (nach Satz 3.1.2) den physikalisch richtigen Zusammenhang (1.60) zwischen p(t) und (q(t), q̇(t), t).

(ii) Aus (3.15) erkennt man, daß q^{ν} genau dann zyklisch ist, wenn

\frac{∂}{∂q^{ν}} H = 0, d.h. wenn H nicht von q^{ν} abhängt.

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19Die Hamilton-Funktion H(q, p, t) ist also die Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion L(q, q̇, t) hinsichtlich q̇.

Aus (3.19) und (1.62) erkennt man^{20}

\frac{∂}{∂t}H = 0  ⟹  Ḣ = 0 für Lösungen von (3.17)/(3.18) ,

was sich natürlich auch direkt nachrechnen läßt. Es sei daran erinnert, daß im (q, q̇)- Formalismus

H = T + U , falls U = U(q, t) und \frac{∂}{∂t}x(q, t) = 0 ,

gilt (Gleichungen (1.65) und (1.63)), was sich natürlich auch unter Koordinatentransformationen

\underbrace{q, q̇}_{in (1.63) benutzt} ⟶ \underbrace{q, p}_{in (3.16) benutzt}

nicht ändert.

3.1.2.3 Poisson-Klammer-Formulierung

Sei nun eine (hinreichend gutartige) Funktion f(q, p, t) gegeben. Für

f(t) = f(q(t), p(t), t)

folgt dann

ḟ(t) = ḟ(q(t), p(t), q̇(t), ṗ(t), t)

mit^{21}

ḟ(q, p, q̇, ṗ, t) =^{def} ∑_{ν=1}^{n} (q̇^{ν} \frac{∂}{∂q^{ν}} + ṗ_{ν} \frac{∂}{∂p_{ν}} ) f(q, p, t) + \frac{∂}{∂t}f(q, p, t) .

Daher:

\begin{matrix}(3.17) \\ (3.18) \end{matrix} \} ⟹ ḟ = ∑_{ν=1}^{n} (\frac{∂f}{∂q^{ν}} \frac{∂H}{∂p_{ν}} − \frac{∂H}{∂q^{ν}} \frac{∂f}{∂p_{ν}} ) + \frac{∂}{∂t}f .

Mit der sog.

Poisson-Klammer:^{22}

\{f, g\}_{q,p} =^{def} ∑_{ν=1}^{n} (\frac{∂f}{∂q^{ν}} \frac{∂g}{∂p_{ν}} − \frac{∂g}{∂q^{ν}} \frac{∂f}{∂p_{ν}} ) (3.20)

ergibt sich somit für die tatsächliche Bewegung:

ḟ = \{f, H\}_{q,p} + \frac{∂}{∂t}f .

(3.21)

Version vom 26. März 2009 20Man beachte, daß sogar (3.22) gilt.

21Vgl. Erläuterung der Schreibweise zu (1.45).

22Mitunter wird die sog. Poisson-Klammer {., .} mit entgegengesetztem Vorzeichen definiert.

Umgekehrt folgen natürlich die kanonischen Gleichungen (3.17) bzw. (3.18) als Spezialfälle f = q^{ν} bzw. f = p_{ν}.

Einsetzen von f = H in (3.21) liefert

für tatsächliche Bewegung:

Ḣ = \frac{∂}{∂t}H ,

(3.22)

denn die Poisson-Klammer ist offensichtlich antisymmetrisch:^{23}

{f, g}_{q,p} = − {g, f}_{q,p} .  (3.23)

Mit der sog. Jacobi-Identität^{24}

{f, {g, h}_{q,p}}_{q,p} + {g, {h, f}_{q,p}}_{q,p} + {h, {f, g}_{q,p}}_{q,p} = 0  (3.24)

folgt daraus z.B. der sog. Satz von Poisson:

{f, H}_{q,p} = {g, H}_{q,p} = 0 ⟹ {{f, g}_{q,p} , H}_{q,p} = 0 ,  (3.25)

so daß nach (3.21) die Poisson-Klammer u.U. aus bekannten Erhaltungsgrößen neue bildet.

Schließlich seien noch die Relationen

{q^{ν}, q^{μ}}_{q,p} = {p_{ν}, p_{μ}}_{q,p} = 0 , {q^{ν}, p_{μ}}_{q,p} = δ_{νμ}  (3.26)

erwähnt, die zusammen mit (3.21) in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle spielen.

3.2 Hamilton-Jacobi-Theorie

3.2.1 Kanonische Transformationen

3.2.1.1 Variationsprinzip für die kanonischen Gleichungen

Man sieht unmittelbar, daß die kanonischen Gleichungen (3.17)/(3.18) äquivalent sind zu folgendem Variationsprinzip:

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23Insbesondere gilt also {H, H}_{q,p} = 0 .

24Siehe Übungsaufgabe 35 c) und (Malik, 2003).

Eine erlaubte Bewegung (q(t), t_{1}, t_{2}) entspricht genau dann der durch H (bzw. L) gegebenen Dynamik, wenn (hinreichend gutartige) Funktionen p^{1}(t), …, p^{n}(t) über [t_{1}, t_{2}] existieren, die der Bedingung^{25}

(\frac{∂}{∂s} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(∑_{ν=1}^{n} p_{ν}(t, s) \frac{∂}{∂t}q^{ν}(t, s) − H(q(t, s), p(t, s), t)) dt)_{|_{s=0}} = 0

(3.27)

für alle (hinr. gutart.) s-abhängige Variationen q(t, s), p(t, s) der q(t), p(t) mit

\begin{matrix}\begin{matrix}q(t_{j}, s) = q(t_{j}) \\ p(t_{j}, s) = p(t_{j}) \end{matrix} \} ∀ s ∈ ℝ , j ∈ \{1, 2\} \\ q(t, 0) = q(t) , p(t, 0) = p(t) ∀ t ∈ [t_{1}, t_{2}] \end{matrix}

genügen.

Abkürzende Schreibweise für (3.27):

δ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (∑_{ν} p_{ν} q̇^{ν} − H) dt = 0 bei unabh. Variation von q(t) und p(t) .

(3.28)

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25Die Euler-Lagrange-Gleichungen zu (3.28) sind nämlich:

\begin{aligned}0 & = & (\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇^{ν}} − \frac{∂}{∂q^{ν}} ) (∑_{μ} p_{μ} q̇^{μ} − H) & = & ṗ_{ν} + \frac{∂}{∂q^{ν}} H \\ 0 & = & (\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ṗ_{ν}} − \frac{∂}{∂p_{ν}} ) (∑_{μ} p_{μ} q̇^{μ} − H) & = & −q̇^{ν} + \frac{∂}{∂p_{ν}} H \end{aligned}

Anmerkungen:

(i) Man kann zeigen (Übungsaufgabe 37), daß (3.28) auch dann noch für alle Lösungen der kanonischen Gleichungen gilt, wenn man auf die Einschränkung

p(t_{j}, s) = p(t_{j}) ∀ s ∈ ℝ , j ∈ {1, 2}

der Variationen verzichtet.

(ii) Indem man \frac{d}{dt} ∑_{ν=1}^{n} p_{ν} q^{ν} vom Integranden in (3.28) subtrahiert, sieht

man, daß die Verwendung von ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(∑_{ν} ṗ_{ν} q^{ν} + H)dt anstelle von

∫_{t_{1}}^{t_{2}}(∑_{ν} p_{ν} q̇^{ν} −H)dt auf ein äquivalentes Variationsprinzip führen

würde.

3.2.1.2 Invarianzeigenschaften der kanonischen Gleichungen

Im Lagrange-Formalismus sind die q^{ν} und q̇^{ν} nur bei Auswertung der partiellen Differentiationen formal als unabhängig zu betrachten. Nach Auswertung der partiellen Differentiationen sind sie mit den zeitabhängigen generalisierten Koordinaten der (nicht unbedingt dynamisch erlaubten, lokalen) Bewegung resp. ihren zeitlichen Ableitungen zu identifizieren. Entsprechend sind auch die zeitabhängigen kanonisch konjugierten Impulse p_{ν}(t) zu identifizieren:

p_{ν}(t) =_{(1.60)} \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L(q(t), q̇, t)_{|_{q̇= \frac{∂}{∂t} q(t)}} im Lagrange-Formalismus .

Im Hamilton-Formalismus werden die q^{ν}(t) und p_{ν}(t) dagegen grundsätzlich als unabhängig voneinander betrachtet und erst durch die kanonischen Gleichungen (3.17) in die physikalisch richtige Beziehung zueinander gesetzt.^{26} Daher liegt der Versuch nahe, die kanonischen Gleichungen durch geschickte (lokale, t-abhängige) Transformation

(q(t), p(t)) ⟼ (Q(t) = Q(q(t), p(t), t), P (t) = P (q(t), p(t), t))  (3.29)

in eine leichter lösbare Form zu bringen. Natürlich soll die Transformation (3.29) ‘hinreichend gutartig’ sein und eine ‘hinreichend gutartige’ Umkehrung

(Q(t), P (t)) ⟼ (q(t) = q(Q(t), P (t), t), p(t) = p(Q(t), P (t), t))  (3.30)

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26Im übrigen sei daran erinnert, daß kanonischen Gleichungen (3.17)/(3.18) zusammen die gleichen Einschränkungen an q(t) liefern wie die Lagrange-Gleichungen (3.9).

besitzen. Um sicherzustellen, daß die Gleichungen für die Q(t), P (t) die gleiche Form haben wie die kanonischen Gleichungen für die q(t), p(t) , verlangt man zusätzlich die Existenz (hinr. gutart.) Funktionen K(Q, P, t) und F (Q, P, T) mit

\begin{matrix}∑_{ν=1}^{n} p_{ν}(t) \frac{d}{dt}q^{ν}(t) − H(q(t), p(t), t) \\ = ∑_{ν=1}^{n} P_{ν}(t) \frac{d}{dt}Q^{ν}(t) − K(Q(t), P (t), t) + \frac{d}{dt}F (Q(t), P (t), t) . \end{matrix}  (3.31)

Transformationen (3.29) dieser Art bezeichnet man als (lokale, passive) kanonische Transformationen. Für kanonischen Transformationen gilt also^{27}

\begin{matrix}(3.17) \\ (3.18) \end{matrix} \} ⟺ \{ \begin{matrix}Q̇^{ν}(t) & = & \frac{∂}{∂P_{ν}} K(Q(t), P, t)_{|_{P =P (t)}} , \\ Ṗ_{ν}(t) & = & −\frac{∂}{∂Q^{ν}} K(Q, P (t), t)_{|_{Q=Q(t)}} , \end{matrix}  (3.32)

wie man aus 3.2.1.1 unter Beachtung der Anmerkung (iii) zu (3.2) leicht erkennt.

Zu den einfachsten kanonischen Transformationen gehören diejenigen vom Typ

Q^{ν}(t) =^{def} \{ \begin{matrix}∓p_{π(ν)}(t) falls 1 ≤ ν < n′ \\ q^{π(ν)}(t) falls n′ ≤ ν ≤ n \end{matrix}

P_{ν}(t) =^{def} \{ \begin{matrix}±q^{π(ν)}(t) falls 1 ≤ ν < n′ \\ p_{π(ν)}(t) falls n′ ≤ ν ≤ n \end{matrix}

(3.33)

(π Permutation von (1, …, n) , n′ ∈ {1, …, n}). Hier gilt (3.31) mit

K(Q(t), P (t), t) = H(q(t), p(t), t)

und

F (Q, P, t) = − ∑_{ν=1}^{n′−1} P_{ν} Q^{ν} .

In der Forminvarianz von (3.17)/(3.18) unter diesen Transformationen kommt die Gleichberechtigung der q und p im kanonischen Formalismus besonders deutlich zum Ausdruck.

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27Der Begriff ‘kanonische Transformation’ wird in der Literatur nicht einheitlich benutzt. Für die Transformation

(q(t), p(t)) ⟼ (Q(t) = 2 q(t), P (t) = p(t))

gilt zwar auch (3.32), mit K(Q, P) = 2 H(Q/2, P) , sie ist aber nicht kanonisch im Sinne unserer Definition, da keine Funktion F existiert, für die (3.31) gilt.

3.2. HAMILTON-JACOBI-THEORIE 87

Auch die umkehrbaren sog. Punkttransformationen

q(t) ⟼ Q(t) = q′(t) = q′(q(t), t) ,  (3.34)

p_{ν}(t) ⟼ P_{ν}(t) = p′_{ν}(t) = ∑_{μ=1}^{n} \frac{∂q^{μ}(q′, t)}{∂q^{′ν}}_{|_{q′=q′(t)}}p_{μ}(t)  (3.35)

sind kanonische Transformationen, mit F = 0 und

K(Q, P, t) =^{def} H(q(Q, P, t), p(Q, P, t), t) + ∑_{ν=1}^{n} P_{ν} \frac{∂}{∂t}Q^{ν}(q, t)_{|_{q=q(Q,t)}} .

Beweis: Aus

Q̇^{ν}(t) = \frac{d}{dt}q^{′ν}(q(t), t) = ∑_{α=1}^{n} q̇^{α}(t) \frac{∂q^{′ν}(q, t)}{∂q^{α}}_{|_{q=q(t)}} + \frac{∂}{∂t}q^{′ν}(q, t)_{|_{q=q(t)}}

und (3.35) folgt

∑_{ν=1}^{n} P_{ν} Q̇^{ν} − ∑_{ν=1}^{n} P_{ν} \frac{∂}{∂t}q^{′ν}(q, t)_{|_{q=q(Q,t)}} = ∑_{μ,α}^{n} p_{α} \underbrace{∑_{ν}^{n} \frac{∂q^{μ}}{∂q^{′ν}} \frac{∂q^{′ν}}{∂q^{α}}}_{δ_{μα}} q̇^{β} = ∑_{μ=1}^{n} p_{μ}q̇^{μ}

und damit die Behauptung.

Bei (hinreichend gutartigem) Koordinatenwechsel (3.34) transformieren sich die p_{ν}(t) im Lagrange-Formalismus stets gemäß (3.35), also kovariant,^{28} d.h. wie

die \frac{∂}{∂q^{ν}} .

Beweis: Mit

L′(q′, q̇′, t) =^{def} L(q(q′, t), q̇(q′, q̇′, t), t) ,

gilt

p′_{ν}(q′, q̇′, t) =_{(1.60)} \frac{∂}{∂q̇^{′ν}} L′ (q′, q̇′, t) = ∑_{μ=1}^{n} \frac{∂q̇^{μ}(q′, q̇′, t)}{∂q̇^{′ν}} \frac{∂}{∂q̇^{μ}} L (q, q̇, t)_{|_{q=q(q′,t) , q̇=q̇(q′,q̇′,t)}} .

Mit

q̇^{μ}(q′, q̇′, t) = ∑_{ν=1}^{n} q̇^{′ν} \frac{∂q^{μ}(q′, t)}{∂q^{′ν}} + \frac{∂}{∂t} q^{μ}(q′, t)

und somit

\frac{∂q̇^{μ}(q′, q̇′, t)}{∂q̇^{′ν}} = \frac{∂q^{μ}(q′, t)}{∂q^{′ν}}

(vgl. (1.45)) folgt daraus gemäß (1.60) die Behauptung.

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28Daher kann man den physikalischen Momentan-Zustand als Punkt des Kotangentialbündels T^{∗}M_{t} über M_{t} mit den (lokalen) Koordinaten (q^{1}(t), …, p_{n}(t)) auffassen (siehe Anhang), das man in diesem Zusammenhang auch als Phasenraum bezeichnet. Den q, p, t-Raum bezeichnet man mitunter als erweiterten Phasenraum.

3.2.1.3 Erzeugende Funktionen kanonischer Transformationen

Sei (3.29) eine (lokale) kanonische Transformation. Es existieren also K und F mit (3.31). Zusätzlich sei nun angenommen, daß auch

(q(t), p(t)) ⟼ (q(t), P (t))

eine hinreichend gutartige umkehrbare Transformation ist. Dann ist die Definition

F_{2}(q(t), P (t), t) =^{def} F (Q(t), P (t), t) + ∑_{ν=1}^{n} P_{ν}(t) Q^{ν}(t)  (3.36)

erlaubt,^{29} aus der mit (3.31)

\begin{matrix}∑_{ν=1}^{n} p_{ν}(t)\frac{d}{dt}q^{ν}(t) − H(q(t), p(t), t) \\ = − ∑_{ν=1}^{n} Q^{ν}(t) \frac{d}{dt}P_{ν}(t) − K(Q(t), P (t), t) + \frac{d}{dt}F_{2}(q(t), P (t), t) \end{matrix}

und somit nach Auswertung von Ḟ_{2}

p_{ν}(t) = \frac{∂}{∂q^{ν}} F_{2}(q, P (t), t)_{|_{q=q(t)}} ,  (3.37)
Q^{ν}(t) = \frac{∂}{∂P_{ν}} F_{2}(q(t), P, t)_{|_{P =P (t)}} ,  (3.38)
K(Q(t), P (t), t) = H(q(t), p(t), t) + \frac{∂}{∂t}F_{2}(q, P, t)_{|_{q=q(t),P =P (t)}} (3.39)

folgt.^{30} Nach Voraussetzung sind die Gleichungen (3.37) eindeutig nach den P_{ν}(t) auflösbar. Also ist die Transformation (3.29) entsprechend (3.37), (3.38) durch F_{2} bereits eindeutig festgelegt. Daher bezeichnet man F_{2} als die Erzeugende der kanonischen Transformation (3.29).

Beispiel: Die Punkttransformationen (3.34)/(3.35) sind offensichtlich vom Typ (3.37)/(3.38) und ihre erzeugende Funktion (3.36) ist

F_{2}(q(t), P (t), t) = ∑_{ν=1}^{n} Q^{ν}(q(t), t)P_{ν}(t) .

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29Denn Q^{ν}(t) = Q^{ν}(q(t), p(q(t), P (t), t), t).

30Da die q̇(t), Ṗ (t) zu jedem festen Zeitpunkt unabhängig von den Momentanwerten q(t), P (t) beliebige Werte annehmen können.

Umgekehrt legen offenbar (3.37)/(3.38) bei beliebig vorgegebenem (hinr. gutart.) F_{2}, für das die Gleichungen (3.37) nach den P_{ν} eindeutig auflösbar sind,^{31} eine Transformation fest, die für jede (hinreichend gutartige) Hamilton-Funktion H(q, p, t) kanonisch ist.

Es ist klar, daß die Jacobi-Determinante

\frac{∂(Q^{1}(t), …, P_{n}(t))}{∂(q^{1}(t), …, p_{n}(t))} =^{def} det ( \begin{matrix}\frac{∂Q^{1}(q, p, t)}{∂q^{1}} & … & \frac{∂Q^{1}(q, p, t)}{∂p_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂P_{n}(q, p, t)}{∂q^{1}} & … & \frac{∂P_{n}(q, p, t)}{∂p_{n}} \end{matrix} )_{|_{q=q(t),p=p(t)}} (3.40)

einer kanonischen Transformation an keiner Stelle, für die sie definiert ist, Null sein kann.^{32} Für einen hinreichend kleinen q, p-Bereich lassen sich die q^{ν}, p_{ν} deshalb stets rückeindeutig auf die q^{ν} und eine geeignete Auswahl von n-Stück der Koordinaten Q^{1}, …, P_{n} abbilden.

Beweisskizze: Wir betrachten zunächst eine feste Stelle des Phasenraumes. Da die Jacobi-Determinante (3.40) nicht verschwindet, bilden die entsprechenden Vektoren

( ⋮_{\frac{∂Q^{1}}{∂p_{n}}}^{\frac{∂Q^{1}}{∂q^{1}}} ) …, ( ⋮_{\frac{∂P_{n}}{∂p_{n}}}^{\frac{∂P_{n}}{∂q^{1}}} )

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31Nach einem bekannten Satz über implizite Funktionen (siehe z.B. (v. Mangoldt und Knopp, 1962, Nr. 134, Satz 2) oder (Abraham und Marsden, 1978, Theorem 1.3.16)) gilt:

Auflösbarkeit von (3.37) nach den P_{ν} ⟺ (3.43) ⟺ Auflösbarkeit von (3.38) nach den q^{ν} .

32Gemäß verallgemeinerter Kettenregel gilt nämlich

( \frac{∂}{∂q^{1}} ; ⋮ ; \frac{∂}{∂q^{n}} ; \frac{∂}{∂p_{1}} ; ⋮ ; \frac{∂}{∂p_{n}} ) = ( \begin{matrix}\frac{∂Q^{1}}{∂q^{1}} & ⋯ & \frac{∂Q^{n}}{∂q^{1}} & \frac{∂P_{1}}{∂q^{1}} & ⋯ & \frac{∂P_{n}}{∂q^{1}} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂Q^{1}}{∂q^{n}} & ⋯ & \frac{∂Q^{n}}{∂q^{n}} & \frac{∂P_{1}}{∂q^{n}} & ⋯ & \frac{∂P_{n}}{∂q^{n}} \\ \frac{∂Q^{1}}{∂p_{1}} & ⋯ & \frac{∂Q^{n}}{∂p_{1}} & \frac{∂P_{1}}{∂p_{1}} & ⋯ & \frac{∂P_{n}}{∂p_{1}} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂Q^{1}}{∂p_{n}} & ⋯ & \frac{∂Q^{n}}{∂p_{n}} & \frac{∂P_{1}}{∂p_{n}} & ⋯ & \frac{∂P_{n}}{∂p_{n}} \end{matrix} ) ( \frac{∂}{∂Q^{1}} ; ⋮ ; \frac{∂}{∂Q^{n}} ; \frac{∂}{∂P_{1}} ; ⋮ ; \frac{∂}{∂P_{n}} )

und eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist. eine Basis des ℝ^{2n}. Nach dem Austauschsatz von Steinitz^{33} existieren also ein n′ ∈ {0, 1, …, n} und Permutationen π, π̂ von (1, …, n) , für die auch die Vektoren

( 1 ⋮ 0 0 ⋮ 0 ) , …, ( 0 ⋮ 1 0 ⋮ 0 ) , ( \frac{∂Q^{π(1)}}{∂q^{1}} ; ⋮ ; ⋮ ; ⋮ ; \frac{∂Q^{π(1)}}{∂p_{n}} ) , …, ( \frac{∂Q^{π(n′)}}{∂q^{1}} ; ⋮ ; ⋮ ; ⋮ ; \frac{∂Q^{π(n′)}}{∂p_{n}} ) , ( \frac{∂P^{π̂(1)}}{∂q^{1}} ; ⋮ ; ⋮ ; ⋮ ; \frac{∂P^{π̂(1)}}{∂p_{n}} ) , …, ( \frac{∂P^{π̂(n−n′)}}{∂q^{1}} ; ⋮ ; ⋮ ; ⋮ ; \frac{∂P^{π̂(n−n′)}}{∂p_{n}} )

eine Basis des ℝ^{2n} bilden. Somit ist

𝕄 =^{def} ( \begin{matrix}\frac{∂Q^{π(1)}}{∂p_{1}} & ⋯ & \frac{∂Q^{π(n′)}}{∂p_{1}} & \frac{∂P^{π̂(1)}}{∂p_{1}} & ⋯ & \frac{∂P^{π̂(n−n′)}}{∂p_{1}} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂Q^{π(1)}}{∂p_{n}} & ⋯ & \frac{∂Q^{π(n′)}}{∂p_{n}} & \frac{∂P^{π̂(1)}}{∂p_{n}} & ⋯ & \frac{∂P^{π̂(n−n′)}}{∂p_{n}} \end{matrix} )

an der betrachteten Stelle des Phasenraumes — und damit aus Stetigkeitsgründen auch in einer Umgebung desselben — invertierbar. Mit

( \frac{∂}{∂p_{1}} ; ⋮ ; ⋮ ; ⋮ ; ⋮ ; \frac{∂}{∂p_{n}} ) = 𝕄 ( \frac{∂}{∂Q^{π(1)}} ; ⋮ ; \frac{∂}{∂Q^{π(n′)}} ; \frac{∂}{∂P^{π̂(1)}} ; ⋮ ; \frac{∂}{∂P^{π̂(n−n′)}} )

folgt daraus die Behauptung.

Jede kanonische Transformation läßt sich also lokal als Kombination einer Transformation vom Typ (3.33) mit einer anschließenden kanonischen Transformation vom Typ (3.37)/(3.38) darstellen. Daraus können wir schließen:

Ob eine (lokale) Transformation (3.29) kanonisch ist, hängt nicht von der Hamilton-Funktion H ab!

(3.41)

Für kanonische Transformationen ist die Jacobi-Determinante nicht nur von Null verschieden, sondern es gilt sogar

\frac{∂ (Q^{1}(t), …, P_{n}(t))}{∂ (q^{1}(t), …, p_{n}(t))} = 1 .  (3.42)

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33Siehe z.B. (van der Waerden, 1966).

Beweisskizze: Für Transformation vom Typ (3.33) ist (3.42) leicht einzusehen. Es genügt also der Nachweis für Transformationen vom Typ (3.37)/(3.38), für die gemäß Fußnote 31

0 ≠ \frac{∂(q^{1}, …, q^{n}, p_{1}, …, p_{n})}{∂(q^{1}, …, q^{n}, P_{1}, …, P_{n})} = det ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂P_{1}} \frac{∂}{∂q^{1}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂P_{n}} \frac{∂}{∂q^{1}} F_{2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂}{∂P_{1}} \frac{∂}{∂q^{n}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂P_{n}} \frac{∂}{∂q^{n}} F_{2} \end{matrix} ) (3.43)

gilt. Solche Transformationen lassen sich folgendermaßen in zwei Schritten ausführen:

(q, p) ⟼ (q, P) ⟼ (Q, P) .

Daraus folgt^{34}

\frac{∂ (Q^{1}, …, P_{n})}{∂ (q^{1}, …, p_{n})} = \frac{∂ (q^{1}, …, P_{n})}{∂ (q^{1}, …, p_{n})} \frac{∂ (Q^{1}, …, P_{n})}{∂ (q^{1}, …, P_{n})} .

Mit^{35}

\begin{aligned}\frac{∂ (Q^{1}, …, P_{n})}{∂ (q^{1}, …, P_{n})} & =_{(3.38)} & det ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂q^{1}} \frac{∂}{∂P_{1}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂q^{n}} \frac{∂}{∂P_{1}} F_{2} \\ ⋮ & & ⋮ & 𝕄 \\ \frac{∂}{∂q^{1}} \frac{∂}{∂P_{n}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂q^{n}} \frac{∂}{∂P_{n}} F_{2} \\ & 0_{n} & & 1l_{n} \end{matrix} ) \\ & = & det ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂q^{1}} \frac{∂}{∂P_{1}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂q^{n}} \frac{∂}{∂P_{1}} F_{2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂}{∂q^{1}} \frac{∂}{∂P_{n}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂q^{n}} \frac{∂}{∂P_{n}} F_{2} \end{matrix} ) \end{aligned}

\begin{matrix}= & det ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂P_{1}} \frac{∂}{∂q^{1}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂P_{n}} \frac{∂}{∂q^{1}} F_{2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂}{∂P_{1}} \frac{∂}{∂q^{n}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂P_{n}} \frac{∂}{∂q^{n}} F_{2} \end{matrix} ) \\ = & det ( \begin{matrix}1l_{n} & & 0_{n} \\ & \frac{∂}{∂P_{1}} \frac{∂}{∂q^{1}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂P_{n}} \frac{∂}{∂q^{1}} F_{2} \\ 𝕄′ & ⋮ & & ⋮ \\ & \frac{∂}{∂P_{1}} \frac{∂}{∂q^{n}} F_{2} & … & \frac{∂}{∂P_{n}} \frac{∂}{∂q^{n}} F_{2} \end{matrix} ) \\ =_{(3.37)} & \frac{∂ (q^{1}, …, p_{n})}{∂ (q^{1}, …, P_{n})} \\ = & (\frac{∂ (q^{1}, …, P_{n})}{∂ (q^{1}, …, p_{n})})^{−1} \end{matrix}

ergibt sich daraus die Behauptung.

Version vom 26. März 2009

34Man beachte Fußnote 33 und det(𝕄_{1}𝕄_{2}) = det(𝕄_{1}) det(𝕄_{2}) . 35Die genaue Angabe der n × n-Matrizen 𝕄 und 𝕄′ ist hier unnötig.

3.2.1.4 Invarianz der Poisson-Klammern unter kanonischen Transformationen

Nachdem klar ist, daß die Kanonizität einer (lokalen) Transformation nicht von der Hamilton-Funktion abhängt, läßt sich leicht zeigen, daß (lokal) für beliebige (hinreichend gutartige) Funktionen f , g gilt:^{36}

((q(t), p(t)) ⟼ (Q(t), P (t)) kanonisch) ⟹ {f, g}_{q,p} = {f, g}_{Q,P} . (3.44)

Beweisskizze: Für Transformation vom Typ (3.33) gilt (3.44) offensichtlich. Sei andererseits (q(t), p(t)) ⟼ (Q(t), P (t)) eine kanonische Transformation mit der erzeugenden Funktion F_{2} und sei t̂ ein beliebig vorgegebener Zeitpunkt. Dann ist

\begin{matrix}q(t) \\ p(t) \end{matrix} \} ⟼ \{ \begin{matrix}Q̂(t) =^{def} Q(q(t), p(t), t̂) \\ P̂(t) =^{def} P (q(t), p(t), t̂) \end{matrix}

nach 3.2.1.3 eine kanonische Transformation mit

(Q̂(t̂), P̂(t̂)) = (Q(t̂), P (t̂))

und der erzeugenden Funktion F̂_{2}(q(t), P̂(t), t) = F_{2}(q(t), P̂(t), t̂). Zum Beweis von

{f, g}_{q,p} (q, p, t̂) = {f, g}_{Q,P} (Q(q, p, t̂), P (q, p, t̂), t̂)

kann man also ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß die kanonische Transformation (q(t), p(t)) ⟼ (Q(t), P (t)) nicht explizit von der Zeit abhängt (\frac{∂}{∂t}F_{2} = 0). Offensichtlich ist außerdem, daß man f und g als nicht explizit zeitabhängig voraussetzen kann. Sei unter diesen Voraussetzungen q(t), p(t) eine (lokale) Lösung des Differentialgleichungssystems

q̇^{ν} = +\frac{∂}{∂p_{ν}} g , ṗ_{ν} = −\frac{∂}{∂q^{ν}} g

zu den Anfangsbedingungen

q(t̂) = q̂ , p(t̂) = p̂.

Version vom 26. März 2009

36Genaue Bedeutung von (3.44):

\{f, g\}_{q,p} = ∑_{ν=1}^{n} (\frac{∂F (Q, P, t)}{∂Q^{ν}} \frac{∂G(Q, P, t)}{∂P_{ν}} − \frac{∂G(Q, P, t)}{∂Q^{ν}} \frac{∂F (Q, P, t)}{∂P_{ν}})_{|_{Q=Q(q,p,t) , P =P (q,p,t)}}

mit

F (Q, P, t) =^{def} f(q(Q, P, t), p(Q, P, t), t) , G(Q, P, t) =^{def} g(q(Q, P, t), p(Q, P, t), t) .

Da (q, p) ⟼ (Q, P) kanonisch ist, gilt für Q(t) = Q(q(t), p(t)) , P (t) = P (q(t), p(t))

entsprechend

\begin{aligned}Q̇^{ν} & = & +\frac{∂}{∂P_{ν}} G , \\ Ṗ_{ν} & = & −\frac{∂}{∂Q^{ν}} G , G(Q, P) =^{def} g(q(Q, P), p(Q, P)) , \end{aligned}

und somit entsprechend (3.21)

{f, g}_{q,p} (q(t), p(t)) = ḟ(t) = {f, g}_{Q,P} (Q(q(t), p(t)), P (q(t), p(t)))

für die betrachtete (lokale) Bewegung q(t), p(t) , insbesondere also

{f, g}_{q,p} (q̂, p̂) = {f, g}_{Q,P} (Q(q̂, p̂), P (q̂, p̂)) .

Da q̂ und p̂ (im lokalen Koordinatenbereich) beliebig vorgebbar sind, ist damit die Behauptung bewiesen.

Anmerkung: Umgekehrt läßt sich zeigen, daß die Abbildung (q(t), p(t)) ⟼ (Q(t), P (t)) kanonisch ist, falls {f, g}_{Q,P} = {f, g}_{q,p} für alle (hinreichend gutartigen) f, g gilt.

3.2.2 Hamilton-Jacobi-Gleichung

3.2.2.1 Bedeutung der Gleichung

Die kanonischen Gleichungen sind offenbar gelöst, wenn es gelingt, eine kanonische Transformation (3.29) zu finden, für die (3.31) mit K = 0 gilt; denn dann sind die Q^{ν}(t) und P_{ν}(t) nach (3.32) konstant^{37} und die Lösungen von (3.17)/(3.18) somit entsprechend (3.30) durch

q(t) = q(Q(t_{0}), P (t_{0}), t) , p(t) = p(Q(t_{0}), P (t_{0}), t)

gegeben, wobei Q(t_{0}) und P (t_{0}) gemäß (3.29) durch die Anfangswerte q(t_{0}), p(t_{0}) gegeben sind.

Eine Transformation der Form (3.37)/(3.38) ist nach (3.39) offensichtlich von der gewünschten Art, wenn^{38} die Erzeugende F_{2} die sogenannte

Hamilton-Jacobi-Gleichung :

\frac{∂}{∂t}F_{2}(q, P, t) + H(q, ∇_{q}F_{2}(q, P, t), t) = 0

(3.45)

nicht ändern.

Version vom 26. März 2009 37Naheliegende Verallgemeinerung: K = K(P) ⇝ Ṗ = Q̈ = 0 38Addition einer Funktion zu F_{2} , die nur von t abhängt, würde die kanonische Transformation

erfüllt und die Gleichungen (3.37) eindeutig nach den P_{ν} auflösbar sind; d.h es gilt lokal (3.43). Eine P -abhängige Schar von Funktionen F_{2}(q, P, t) der (q, t), die den Bedingungen (3.45) und (3.43) genügt, bezeichnet man als ein vollständiges Integral der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung

\frac{∂}{∂t}f(q, t) + H(q, ∇_{q}f(q, t), t) = 0

(die von f selbst frei^{39} ist). In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung wird gezeigt,^{40} daß für ‘vernünftige’ H stets (lokal) ein vollständiges Integral existiert; d.h.:

Es existiert (lokal) stets eine Erzeugende F_{2}, die (3.45)/(3.43) erfüllt. Für jede kanonische Transformation (3.29) vom Typ (3.37)/(3.38), deren Erzeugende F_{2} (3.45)/(3.43) erfüllt, gilt^{41}

\begin{matrix}(3.17) \\ (3.18) \end{matrix} \} ⟺ Q̇(t) = Ṗ (t) = 0

Daraus folgt der sog.

Satz von Liouville: Für Lösungen (q(t), p(t)) der kanonischen Gleichungen (3.17)/(3.18) gilt

1 = \frac{∂(q^{1}(t_{2}), …, p_{n}(t_{2}))}{∂(q^{1}(t_{1}), …, p_{n}(t_{1}))}

für beliebige Zeitpunkte t_{1}, t_{2} (im Definitionsbereich der q, p).

Gleichungen (3.17)/(3.18) folgt. Für diese gilt dann

\begin{aligned}\frac{∂(q^{1}(t_{2}), …, p_{n}(t_{2}))}{∂(q^{1}(t_{1}), …, p_{n}(t_{1}))} & = & \frac{∂(q^{1}(t_{2}), …, p_{n}(t_{2}))}{∂(Q^{1}(t_{2}), …, P_{n}(t_{2}))} · \frac{∂(Q^{1}(t_{1}), …, P_{n}(t_{1}))}{∂(q^{1}(t_{1}), …, p_{n}(t_{1}))} \\ & = & (\frac{∂(Q^{1}(t_{2}), …, P_{n}(t_{2}))}{∂(q^{1}(t_{2}), …, p_{n}(t_{2}))})^{−1} · \frac{∂(Q^{1}(t_{1}), …, P_{n}(t_{1}))}{∂(q^{1}(t_{1}), …, p_{n}(t_{1}))} . \end{aligned}

Version vom 26. März 2009

Beweisskizze: Es genügt, den Satz lokal für hinreichend kleine |t_{1} − t_{2}| zu beweisen.

Dann existiert jeweils eine kanonische Transformation, für die aus den kanonischen

Q(t_{1}) = Q(t_{2}) , P (t_{1}) = P (t_{2})

Mit (3.42) folgt daraus die Behauptung.

39In die Differentialgleichung gehen nur partielle Ableitungen von f ein, nicht f selbst.

40Siehe z.B. (Kamke, 1965, Abschnitt 12.9).

41Lokal sind also alle mechanischen Systeme gleicher Anzahl der Freiheitsgrade äquivalent!

Anmerkungen:

(i) Der Satz von Liouville besagt, daß Phasenraumvolumina bei der kanonischen Zeitentwicklung erhalten bleiben, wenn man den Phasenraum als euklidischen ℝ^{2n} auffassen kann.

(ii) Dann folgt, daß für eine statistische Gesamtheit gleichartiger Systeme, die sich unabhängig voneinander entspr. (3.17)/(3.18) bewegen, die Systemzahldichte in der Umgebung jedes Einzelsystems im Phasenraum zeitlich konstant bleibt.

Im Zusammenhang mit Anmerkung (i) von Interesse ist der folgende Satz:

Poincarésches Wiederkehrtheorem: Sei F eine umkehrbare, stetige Abbildung eines beschränkten Gebietes G des ℝ^{n′} in sich, die volumenerhaltend ist:

|F (G′)| = |G′| für alle einfachen Teilgebiete G′ ⊂ G .

Dann existieren zu jedem einfachen Teilgebiet G′ ⊂ G ein x ∈ G′ und eine natürliche Zahl N mit F^{N}(x) ∈ G′.

Beweis: Sei ein einfaches Teilgebiet G′ ⊂ G beliebig vorgegeben. Dann können die Mengen F^{j}(G′) ⊂ G , j = 1, 2, …, nicht alle paarweise disjunkt sein, da G endliches Volumen hat. Es existieren also natürliche Zahlen k , l mit

F^{l} (F^{k−l}(G′) ∩ G′) = F^{k}(G′) ∩ F^{l}(G′) ≠ ∅ , l ≤ k ,

und somit

F^{k−l}(G′) ∩ G′ ≠ ∅ .

Es existiert also ein x ∈ G′ mit F^{N}(G′) ∈ G′ für N = k − l.

Für ein uneingeschränktes System von n Massenpunkten mit der Hamilton-Funktion

H(x, p) = ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{2m} |p_{ν}|^{2} + U(x)

läßt der Fluß des zugehörigen Hamiltonschen Vektorfeldes für jeden Energiewert E das Gebiet

{(x, p) ∈ ℝ^{N} × ℝ^{N} : H(x, p) ≤ E}

des Phasenraumes invariant. Im Falle

∑_{ν=1}^{n} |x_{ν}|^{2} hinreichend groß ⟹ V (x) > E

ist dieses Gebiet beschränkt und der Poincarésche Wiederkehrsatz läßt sich anwenden. Demnach ließe es sich durch beliebig geringfügige Änderung der Anfangsbedingungen beim Jouleschen Expansionsexperiment einrichten, daß ein Zeitpunkt existiert, zu dem die Gasmoleküle von selbst alle in die Ausgangskammer zurückgekehrt sind – in scheinbarem Widerspruch zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.^{42}

3.2.2.2 Beispiel: Lösung durch Separationsansatz in Kugelkoordinaten

Betrachtet sei ein Massenpunkt m ohne Nebenbedingungen, auf den nur die (nicht explizit zeitabhängige) Potentialkraft −grad U wirkt, in Kugelkoordinaten r, ϑ, φ. Die Lagrange-Funktion ist

L(r, ϑ, φ, ṙ, ϑ̇, φ̇) = \frac{m}{2} (ṙ^{2} + r^{2} ϑ̇^{2} + r^{2} sin^{2} ϑ φ̇^{2}) − U(r, ϑ, φ) ,

Die zugehörigen kanonisch konjugierten Impulse sind

p_{r} =^{def} \frac{∂}{∂ṙ}L = m ṙ ,
p_{ϑ} =^{def} \frac{∂}{∂ϑ̇}L = m r^{2} ϑ̇ ,
p_{φ} =^{def} \frac{∂}{∂φ̇}L = m r^{2} sin^{2} ϑ φ̇ ,

die Hamilton-Funktion ist also

H(r, ϑ, φ, p_{r}, p_{ϑ}, p_{φ}) = \frac{1}{2m} (p_{r}^{2} + \frac{p_{ϑ}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{φ}^{2}}{r^{2} sin^{2} ϑ}) + U(r, ϑ, φ) .

Für U der Form

U(r, ϑ, φ) = a(r) + \frac{b(ϑ)}{r^{2}}

ergibt sich mit dem Separationsansatz

\begin{matrix}F_{2}(r, ϑ, φ, P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}, t) \\ = S_{1}(r; P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) + S_{2}(ϑ; P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) + S_{3}(φ; P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) − E(P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) t \end{matrix}

für die Hamilton-Jacobi-Gleichung:

(\frac{1}{2m} (\frac{∂}{∂r}S_{1})^{2} + a) + \frac{1}{2m r^{2}} ((\frac{∂}{∂ϑ}S_{2})^{2} + 2m b) + \frac{1}{2m r^{2} sin^{2} ϑ} (\frac{∂}{∂φ}S_{3})^{2} = E .

Daraus folgt zunächst, daß

p_{φ} =_{(3.37)} \frac{∂}{∂φ}S_{3}

Version vom 26. März 2009

Abschnitt 3.5.5).

42Bzgl. weiterer Konsequenzen des Poincaréschen Wiederkehrtheorems siehe (Arnol’d, 1988,

nur von (P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) abhängt; d.h. wir können S_{3} in der Form

S_{3}(φ; P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) = p_{φ}(P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) φ

ansetzen.^{43} Dann muß aber auch eine Funktion β(P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) existieren mit

\begin{aligned}(\frac{∂}{∂ϑ}S_{2}(ϑ; P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}))^{2} + 2m b(ϑ) + \frac{p_{φ}^{2}(P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ})}{sin^{2} ϑ} & = & β(P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) , \\ \frac{1}{2m} (\frac{∂}{∂r}S_{1}(r; P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}))^{2} + a(r) + \frac{β(P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ})}{2m r^{2}} & = & E(P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}) . \end{aligned}

Indem wir

P_{r} = E , P_{ϑ} = β , P_{φ} = p_{φ}

wählen,^{44} führt Integration schließlich lokal auf das vollständige Integral

F_{2}(r, ϑ, φ, P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ}, t) = −P_{r}t + P_{φ} φ + ∫_{ϑ_{0}}^{ϑ} \sqrt{P_{ϑ} − 2m b(ϑ′) − \frac{P_{φ}^{2}}{sin^{2} ϑ′}} dϑ′

+ ∫_{r_{0}}^{r} \sqrt{2m(P_{r} − a(r′)) − \frac{P_{ϑ}}{(r′)^{2}}} dr′ + \underbrace{f(P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ})}_{irrelevant}

der Hamilton-Jacobi-Gleichung.^{45}

Gemäß (3.38) sind damit die dynamisch erlaubte Bewegungen (lokal) implizit durch

−t + ∫_{r_{0}}^{r(t)} \frac{m dr′}{\sqrt{2m(P_{r} − a(r′)) − \frac{P_{ϑ}}{(r′)^{2}}}} = Q_{r} = const. ,

\frac{1}{2} ∫_{ϑ_{0}}^{ϑ(t)} \frac{dϑ′}{\sqrt{P_{ϑ} − 2m b(ϑ′) − \frac{P_{φ}^{2}}{sin^{2} ϑ′}}} − \frac{1}{2} ∫_{r_{0}}^{r(t)} \frac{dr′}{(r′)^{2}\sqrt{2m(P_{r} − a(r′)) − \frac{P_{ϑ}}{(r′)^{2}}}} = Q_{ϑ} = const. ,

φ(t) − ∫_{ϑ_{0}}^{ϑ(t)} \frac{P_{φ} dϑ′}{sin^{2} ϑ′\sqrt{P_{ϑ} − 2m b(ϑ′) − \frac{P_{φ}^{2}}{sin^{2} ϑ′}}} = Q_{φ} = const.

gegeben. Die erste dieser Gleichungen entspricht Gleichung (3.95) d. Math. Meth. d. Phys. (für U(r) = a(r)).

Version vom 26. März 2009

45Daß die Vollständigkeitsbedingung

0 ≠ det ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂P_{r}} \frac{∂}{∂r} F_{2} & \frac{∂}{∂P_{ϑ}} \frac{∂}{∂r} F_{2} & \frac{∂}{∂P_{φ}} \frac{∂}{∂r} F_{2} \\ \frac{∂}{∂P_{r}} \frac{∂}{∂ϑ}F_{2} & \frac{∂}{∂P_{ϑ}} \frac{∂}{∂ϑ}F_{2} & \frac{∂}{∂P_{φ}} \frac{∂}{∂ϑ}F_{2} \\ \frac{∂}{∂P_{r}} \frac{∂}{∂φ}F_{2} & \frac{∂}{∂P_{ϑ}} \frac{∂}{∂φ}F_{2} & \frac{∂}{∂P_{φ}} \frac{∂}{∂φ}F_{2} \end{matrix} ) =_{(3.38)} ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂r} Q_{r} & \frac{∂}{∂r} Q_{ϑ} & \frac{∂}{∂r} Q_{φ} \\ \frac{∂}{∂ϑ}Q_{r} & \frac{∂}{∂ϑ}Q_{ϑ} & \frac{∂}{∂ϑ}Q_{φ} \\ \frac{∂}{∂φ}Q_{r} & \frac{∂}{∂φ}Q_{ϑ} & \frac{∂}{∂φ}Q_{φ} \end{matrix} )

43Addition einer Funktion von P_{r}, P_{ϑ}, P_{φ} würde keine Vorteile bringen.

44Welche unabhängigen Parameter wir mit den P ’s identifizieren, spielt ja keine Rolle.

für einen geeigneten (vom betrachteten r, ϑ, φ-Bereich abhängigen) P -Bereich erfüllt ist, erkennt man sofort aus der nachfolgenden Angabe der Q-Funktionen.

3.2.3 Übergang zur Quantenmechanik

3.2.3.1 Analogie zur Optik

Im folgenden sei nur ein konservatives 1-Teilchen-System ohne Nebenbedingungen in karthesischen Koordinaten x betrachtet. Die Hamiltonsche Funktion ist also

H(x, p) = \frac{p^{2}}{2m} + V (x)

und der (wegen \frac{∂}{∂t}H = 0 mögliche) Ansatz

F_{2}(x, P, t) = S(x, P) − E t , E =^{def} P_{1} ,  (3.46)

für eine Lösung von (3.45)/(3.43) führt (lokal!) auf die partielle Differentialgleichung

(∇_{x}S(x, P))^{2} = 2m(E − V (x)) .  (3.47)

Nach (3.37) folgt daraus

|p|^{2} = 2m(E − V (x))  (3.48)

und somit E = H(x, p) (im Einklang mit (3.22)); d.h. für dynamisch erlaubte Bewegungen ist E als Energie zu interpretieren.

Von nun ab sei P fest gewählt und im Variablensatz von S nicht mehr explizit angegeben. Dann hat Gleichung (3.47) die gleiche Form wie die sog. Eikonal-Gleichung:

(grad L(x))^{2} = (n(x))^{2}  (3.49)

Der Zusammenhang von (3.49) mit der skalaren Wellengleichung der Optik inhomogener (isotroper, dispersionsfreier) Medien

△_{x} Φ(x, t) − (\frac{n(x)}{c})^{2} (\frac{∂}{∂t})^{2} Φ(x, t) = 0 ,  (3.50)

in der c die Vakuumlichtgeschwindigkeit und n(x) den Brechungsindex des optischen Mediums bezeichnet, ist folgender:

Man macht für die Welle Φ(x, t) den Ansatz

Φ(x, t) = exp(A(x) + ik_{0} (L(x) − ct))  (3.51)

mit reellen A, L. Dabei ist A(x) der ln der Amplitude und L(x), die sog. optische Weglänge (auch Eikonal genannt), beschreibt die Flächen räumlich und zeitlich konstanter Phase

k_{0}(L(x) − ct) = φ = konst. ,

auch Wellenfronten genannt. Wegen

\begin{aligned}△Φ & = & (△(A + ik_{0}L) + (∇(A + ik_{0}L))^{2}) Φ \\ & = & (△A + (∇A)^{2} − (k_{0}∇L)^{2} + ik_{0} (△L + 2(∇A) · ∇L)) Φ \end{aligned}

ist (3.50) äquivalent zur Gültigkeit von

△L + 2(∇A) · ∇L = 0

und

△A + (∇A)^{2} + k_{0}^{2} (n^{2} − (∇L)^{2}) = 0 .

Daraus ergibt sich im geometrisch optischen Bereich

k_{0} ≫ |grad n(x)| , |grad A(x)| ∀ x ∈ ℝ^{3}

(3.49) als konsistente Näherungsgleichung für L.

Die Lichtstrahlen, nach der Korpuskulartheorie des Lichtes die Bahnkurven der Lichtteilchen, sind die Orthogonaltrajektorien der Wellenfronten. Auch das steht in Analogie zur Mechanik, wo die Teilchenbahnen gemäß

\begin{aligned}p & =_{(3.37)} & ∇_{x} F_{2}(x, t) \\ & =_{(3.46)} & ∇_{x} S(x) \end{aligned}

die durch

S(x) − E t = konst.

charakterisierten Wellenfronten senkrecht schneiden.^{46}

Warnung: Die Teilchengeschwindigkeit stimmt i.a. nicht mit der Phasengeschwindigkeit, d.h. der Ausbreitungsgeschwindigkeit^{47} E/ |p| der entsprechenden Wellenfront überein!

Version vom 26. März 2009

46Allerdings schränkt die Wahl von P die Menge der tatsächlich möglichen Teilchenbahnen i.a. stark ein! Z.B. muß E − V (x) > 0 für dynamisch erlaubte Bewegungen gelten.

47Für einen gedachten Punkt mit Ortsvektorfunktion x(t) , der sich mit Wellenfrontgeschwindigkeit senkrecht zur entsprechenden Wellenfront bewegt, gilt nämlich:

0 = \frac{d}{dt}F_{2} =_{(3.46)} ẋ · ∇_{x}S − E = \left|{ \atop ẋ}\right| |∇_{x}S| − E =_{(3.37)} \left|{ \atop ẋ}\right| |p| − E .

3.2.3.2 Die Schrödinger-Gleichung

Aufgrund o.a. Analogie lag es — für Schrödinger^{48} — nach experimenteller Entdeckung der Wellennatur der Materie nahe, eine Wellentheorie aufzustellen, deren geometrisch-optische Näherung die klassische Mechanik ist:

Dabei sollte

ℏ^{−1}(S(x) − Et) ,

wobei der Faktor ℏ aus Dimensionsgründen notwendig ist, die Rolle der zeitabhängigen Wellenphase

k_{0}(L(x) − ct)

von (3.51) übernehmen. Entsprechend ist k_{0} c durch \frac{E}{ℏ} sowie k_{0} L(x) durch \frac{S(x)}{ℏ}

und somit nach (3.47)/(3.49) (k_{0} n(x))^{2} durch \frac{2m}{ℏ^{2}}(E − V (x)) zu ersetzen. Dann gehen die zu (3.51)/(3.50) äquivalenten Gleichungen

Φ(x, t) = e^{−ik_{0}ct} Φ(x) ,
△_{x} Φ(x) + (k_{0}n(x))^{2}Φ(x) = 0

über in die Gleichungen^{49}

Ψ(x, t) = e^{− \frac{i}{ℏ}Et}Ψ(x) ,  (3.52)
(−\frac{ℏ^{2}}{2m}△_{x} + V (x))Ψ(x) = E Ψ(x)  (3.53)

für die gesuchte Materiewelle Ψ(x, t).

Gleichung (3.53) ist die sog. zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, die sich auch in der Form

H(x̂, p̂) Ψ(x) = E Ψ(x)

schreiben läßt, wobei die durch

p̂ Ψ(x) =^{def} \frac{ℏ}{i}∇_{x}Ψ(x) , x̂ Ψ(x) =^{def} x Ψ(x)

für hinreichend gutartige Ψ(x) definierten Operatoren p̂_{j} , x̂^{j} den (3.26) entsprechenden Vertauschungsrelationen

(p̂_{j}p̂_{k} − p̂_{k}p̂_{j}) = (x̂^{j}x̂^{k} − x̂^{k}x̂^{j}) = 0 , iℏ (x̂^{j}p̂_{k} − p̂_{k}x̂^{j}) = δ_{k}^{j}

genügen.

Version vom 26. März 2009

48Siehe (Straumann, 2001).

49Dem geometrisch-optischen Bereich entspricht ℏ ≪ 1.

Anstelle der (3.50) entspr. E-abhängigen Wellengleichung benutzt man nun besser die für (3.52) zu (3.53) äquivalente

zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:

H(x̂, p̂) Ψ(x, t) = iℏ\frac{∂}{∂t}Ψ(x, t) , (3.54)

die nun wieder die Superposition von Lösungen unterschiedlicher Frequenzen erlaubt.

Anmerkung: Wenn man die Wellenfunktionen in der Form

Ψ(x, t) = A(x, t) e^{\frac{i}{ℏ} S(x,t)}

mit reellen A, S schreibt, dann ist die komplexe Gleichung (3.54) (für hinreichend gutartige A, S) äquivalent zu den beiden reellen Gleichungen^{50}

A\frac{∂}{∂t}S + A\frac{(∇S)^{2}}{2m} + AV = \frac{ℏ^{2}}{2m}ΔA  (3.55)

und

m\frac{∂}{∂t}A + (∇A) · (∇S) + \frac{A}{2}ΔS = 0 .  (3.56)

Mit

ȷ =^{def} ℜ (\overline{Ψ}\frac{p̂}{m}Ψ) = \frac{1}{m}A^{2}∇S , ρ =^{def} |Ψ|^{2} = A^{2}

wird (3.56), nach Multiplikation mit \frac{2}{m}A, zur Kontinuitätsgleichung

ρ̇ + div ȷ = 0

und (3.55) geht für ℏ → 0 über in die Hamilton-Jacobi-Gleichung für S :

\underbrace{\frac{(∇S)^{2}}{2m} + V}_{=H(x,grad S)} +\frac{∂}{∂t} S = 0

(WKB-Näherung). Die naive Interpretation der Lösungen von

ẋ(t) = ȷ (x(t), t)/ρ(x(t), t) = \frac{1}{m} ∇S(x(t), t)

als Teilchentrajektorien ist heute noch als Bohmsche Mechanik populär.^{51}

Die gesamte physikalische Standard-Interpretation von (3.54) läßt sich aus der Annahme ableiten, daß |Ψ(x, t)|^{2} die Ortswahrscheinlichkeitsdichte zum Zeitpunkt t ist; d.h. daß für einfache Gebiete G ⊂ ℝ^{3}

∫_{G} |Ψ(x, t)|^{2} dV_{x} = Wahrscheinlichkeit für Position innerhalb G zur Zeit t

gilt.^{52}

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50Man multipliziere (3.54) mit e^{− \frac{i}{ℏ} S(x,t)} . 51Siehe z.B. (Dürr, 2001) 52Siehe z.B. (Mielnik, 1974) und (Lücke, 1995, Abschnitt 5).

3.3 Periodische und bedingt Periodische Bewegungen

Im folgenden verwenden wir wieder lokale Koordinaten q ≡ (q^{1}, …, q^{n}) , p ≡ (p_{1}, …, p_{n}) , ohne jeweils auf die nur lokale Gültigkeit der entsprechenden Beziehungen hinzuweisen.^{53} Der Einfachheit halber setzen wir auch voraus, daß die x_{ν}(q, t) nicht explizit von der Zeit abhängen. Dementsprechend fassen wir den Phasenraum^{54} M einfach als 2ndimensionalen (q, p)-Raum auf.

3.3.1 Invariante Untermannigfaltigkeiten des Phasenraumes

Seien S_{1}(q, p), …, S_{l}(q, p) (hinreichend gutartige) Funktionen auf dem Phasenraum M und sei T eine Teilmenge von M. Dann nennt man die S_{j} unabhängig voneinander auf T , wenn die

( \frac{∂S_{1}}{∂q^{1}} ; ⋮ ; \frac{∂S_{1}}{∂q^{n}} ; \frac{∂S_{1}}{∂p_{1}} ; ⋮ ; \frac{∂S_{1}}{∂p_{n}} ) , ( \frac{∂S_{2}}{∂q^{1}} ; ⋮ ; \frac{∂S_{2}}{∂q^{n}} ; \frac{∂S_{2}}{∂p_{1}} ; ⋮ ; \frac{∂S_{2}}{∂p_{n}} ) , …, ( \frac{∂S_{l}}{∂q^{1}} ; ⋮ ; \frac{∂S_{l}}{∂q^{n}} ; \frac{∂S_{l}}{∂p_{1}} ; ⋮ ; \frac{∂S_{l}}{∂p_{n}} )

für alle (q, p) ∈ T einen linear unabhängigen Satz von Spalten-Vektoren darstellen. Das ist offensichtlich äquivalent dazu, daß die

X_{S_{j}} =^{def} ∑_{ν=1}^{n} (\frac{∂S_{j}}{∂p_{ν}} \frac{∂}{∂q^{ν}} − \frac{∂S_{j}}{∂q^{ν}} \frac{∂}{∂p_{ν}} ) , j ∈ \{1, …, l\} ,  (3.57)

an jeder Stelle (q, p) ∈ T linear unabhängig voneinander sind.

Lemma 3.3.1 Seien S_{1}(q, p), …, S_{l}(q, p) (hinreichend gutartige) Funktionen auf M, sei

T_{s} =^{def} {(q, p) ∈ M : S_{j}(q, p) = s^{j} ∀ j ∈ {1, …, l}} ∀ s ∈ ℝ^{l} .

und seien s_{spez}^{1}, …, s_{spez}^{l} vorgegebene Werte. Wenn die S_{j} unabhängig voneinan-

der auf T_{spez} =^{def} T_{s_{spez}} sind, dann existieren zu jedem Punkt von T_{spez} eine in M

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53Diesbezüglich sei an die Vorbemerkung zu 1.2.1 erinnert.

54Siehe Fußnote 28.

offene Umgebung mit (hinreichend gutartigen) Koordinaten ξ^{1}, …, ξ^{2n−l}, s^{1}, …, s^{l}, in denen

(q(ξ^{1}, …, ξ^{2n−l}, s^{1}, …, s^{l}), p(ξ^{1}, …, ξ^{2n−l}, s^{1}, …, s^{l})) ∈ T_{spez}
⟺ s^{1} − s_{spez}^{1} = … = s^{l} − s_{spez}^{l} = 0

gilt.^{55}

Beweisskizze: Sei (q̂, p̂) ∈ T_{spez} und seien die S_{j} unabhängig voneinander auf T_{spez} . Dann existiert eine offene Umgebung von (q̂, p̂) mit Koordinaten ξ^{1}, …, ξ^{2n−l}, η^{1}, …, η^{l}, in denen

\frac{∂(S_{1}, …, S_{l})}{∂(η^{1}, …, η^{l})} ≠ 0

gilt. Gemäß Fußnote 31 ist also das Gleichungssystem

S_{j}(ξ^{1}, …, ξ^{2n−l}, η^{1}, …, η^{l}) = s^{j} ∀ j ∈ {1, …, l}

(lokal) nach den η^{1}, …, η^{l} auflösbar. Daraus folgt die Behauptung.

Anmerkung: Wir verzichten darauf, neue Symbole für Funktionen zu verwenden, wenn wir sie in anderen Variablen ausdrücken; vgl. Abschnitt 1.2.3 von (Lücke, tdst).

Man nennt X_{S_{j}} tangential auf T , wenn zu jedem (q̂, p̂) ∈ T jeweils eine (hin-

reichend gutartige) Kurve {(q(t), p(t)) : t ∈ [t_{1}, t_{2}]} ⊂ T mit

(q(t_{1}), p(t_{1})) = (q̂, p̂) ,

existiert, die der Bedingung

\frac{d}{dt} g(q(t), p(t)) = (X_{S_{j}} g) (q(t), p(t)) ∀ t ∈ [t_{1}, t_{2}]

für alle (hinreichend gutartigen) Funktionen g(q, p) auf M genügt.

Man nennt S_{j}, S_{j′} in Involution zueinander, falls

{S_{j} , S_{j′}}_{q,p} = 0 ∀ (q, p) ∈ M

gilt.

Lemma 3.3.2 Seien S_{1}(q, p), …, S_{l}(q, p) sowie s_{spez}^{1}, …, s_{spez}^{l} und T_{spez} wie in Lemma 3.3.1 vorgegeben. Wenn die S_{j} paarweise in Involution sind, dann folgt daraus, daß sie tangential auf T_{spez} sind.

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55Das bedeutet nichts anderes als daß T_{spez} als 2n − l-dimensionale (nicht notwendig zusammenhängende) Untermannigfaltigkeit (siehe Definition A.1.2) von M aufgefaßt werden kann.

Beweisskizze: Zu beliebig vorgegebenen j ∈ {1, …, l} und (q̂, p̂) ∈ T_{spez} lösen wir das Anfangswertproblem

(q(t_{1}), p(t_{1})) = (q̂, p̂)  (3.58)

für das kanonische Differentialgleichungssystem

q̇^{ν} = \frac{∂}{∂p_{ν}} S_{j} , ṗ_{ν} = −\frac{∂}{∂q^{ν}} S_{j} .

Damit gilt

\frac{d}{dt} g(q, p) = ∑_{ν=1}^{n} (q̇^{ν} \frac{∂}{∂q^{ν}} + ṗ_{ν} \frac{∂}{∂p_{ν}} ) g
=_{(3.57)} (X_{S_{j}} g) (q, p)  (3.59)

für jede (hinreichend gutartige) Funktion g auf M. Hieraus folgt insbesondere

\frac{d}{dt} S_{j′}  =  X_{S_{j}} S_{j′}
=_{(3.20)} {S_{j} , S_{j′}}_{q,p}
=_{Vorauss.} 0

für alle j′ ∈ {1, …, l} und somit (q(t), p(t)) ∈ T_{spez} . Mit (3.58) und (3.59) folgt daraus, daß das betrachtete X_{S_{j}} tangential auf T_{spez} ist.

Lemma 3.3.3 Sei Γ eine Teilmenge des ℝ^{n}, die folgenden Bedingungen genügt:

1. Γ ist eine Vektorgruppe, d.h. es gilt

t ∈ Γ ⟹ −t ∈ Γ

und

t , t′ ∈ Γ ⟹ t + t′ ∈ Γ .

2. Diese Vektorgruppe ist diskret, d.h. es existiert ein ϵ > 0 mit

∥t∥ > ϵ ∀ t ∈ Γ \ {0} .

Dann ist entweder Γ = {0} oder existieren ein k ∈ {1, …, n} und linear unabhängige Vektoren t_{1}, …, t_{k} ∈ Γ mit^{56}

Γ = {∑_{r=1}^{k} j^{r} t_{r} : j^{1}, …, j^{k} ∈ ℤ} .

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56Der Fall k = n = 3 ist für die Kristallphysik wichtig; siehe dazu (Ljubarski, 1962, § 11, Satz

3.3. PERIODISCHE UND BEDINGT PERIODISCHE BEWEGUNGEN 105

Beweis: Siehe (Arnol’d, 1988, Abschnitt 10.1.4, Lemma 3).

Lemma 3.3.4 Seien S_{1}(q, p), …, S_{n}(q, p) sowie s_{spez}^{1}, …, s_{spez}^{n} und T_{spez} wie in Lem-

ma 3.3.1 (für l = n) vorgegeben und sei \left\{{ \atop F̂_{t}^{j}}\right\}_{t∈ℝ} jeweils der, auf T_{spez} \underline{eingeschränkte}, X_{S_{j}} entsprechende Fluß. Die S_{j} seien paarweise in Involution und unabhängig auf T_{spez} und T_{spez} sei zusammenhängend. Dann genügen die durch t ∈ ℝ^{n} parametrisierten Abbildungen

F̂_{t} =^{def} F̂_{t^{1}}^{1} ⋯ F̂_{t^{n}}^{n} ∀ t ∈ ℝ^{n}

folgenden drei Bedingungen:

1.

F̂_{t} F̂_{t′} = F̂_{t+t′} ∀ t, t′ ∈ ℝ^{n} .

2.

T_{spez} = {F̂_{t} (q̂, p̂) : t ∈ ℝ^{n}} ∀ (q̂, p̂) ∈ T_{spez} .

3.

Γ =^{def} {t ∈ ℝ^{n} : F̂_{t} = F̂_{0}} ist eine diskrete Vektorgruppe .

Anmerkung: Der X_{S_{j}} entsprechende, auf T_{spez} eingeschränkte, Fluß ist die durch

F̂_{t}^{j} (q̂, p̂) =^{def} (q(t_{1} + t), p(t_{1} + t)) gemäß (3.58)/(3.59)

charakterisierte Schar von Abbildungen F̂_{t}^{j} ; vgl. Abschnitt 5.1.1 von (Lücke, ein).

Beweisskizze zu Lemma 3.3.4: Da gemäß Übungsaufgabe 35 b)

X_{{S_{j_{1}} ,S_{j_{2}}}_{q,p}} = [X_{S_{j_{1}}} , X_{S_{j_{2}}} ]_{−} ,

gilt und die S_{j} in Involution auf T_{spez} sind, vertauschen die X_{S_{j}} miteinander auf T_{spez} und somit^{57} auch die F̂_{t}^{j} . Mit der Flußeigenschaft

F̂_{t}^{j} F̂_{t′}^{j} = F̂_{t+t′}^{j} ∀ t, t′ ∈ ℝ , j ∈ {1, …, l}

folgt daraus, daß die erste Bedingung für die F̂_{t} erfüllt ist.

Sei nun (q̂, p̂) ein beliebiger Punkt in T_{spez} und seien (ξ^{1}, …, ξ^{n}) (hinreichend gutartige) Koordinaten einer offenen Teilmenge von T_{spez} , die (q̂, p̂) enthält. Mit (ξ̂^{1}(t), …, ξ̂^{n}(t)) seien jeweils die entsprechenden Koordinaten von F̂_{t} (q̂, p̂) bezeichnet. Da die X_{S_{j}} auf T_{spez} linear unabhängig sind, gilt dann

\frac{∂(ξ̂^{1}, …, ξ̂^{n})}{∂(t^{1}, …, t^{n})} ≠ 0 .

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57Siehe (Arnol’d, 1988, Abschnitt 8.3.5).

Das Gleichungssystem

ξ̂^{j} (t) = ξ^{j} ∀ j ∈ {1, …, n}

ist also (lokal) nach den t^{1}, …, t^{n} auflösbar,^{58} d.h. alle Punkte einer (hinreichend kleinen) offenen Umgebung von (q̂, p̂) in T_{spez} ergeben sich durch Anwendung von F̂_{t} mit geeignetem t ∈ ℝ auf (q̂, p̂) . Da T_{spez} voraussetzungsgemäß zusammenhängend ist,^{59} folgt daraus mit der Gültigkeit der ersten Bedingung auch die Gültigkeit der zweiten Bedingung.

Die obigen Betrachtungen zeigen auch, daß für hinreichend kleines ϵ > 0

0 ≠ ∥t∥ < ϵ ⟹ F̂_{t} ≠ F̂_{0}

gilt. Mit der ersten Bedingung muß deshalb auch dritte Bedingung erfüllt sein.

Folgerung 3.3.5 Seien S_{1}(q, p), …, S_{n}(q, p) sowie s_{spez}^{1}, …, s_{spez}^{n} und T_{spez} wie in Lemma 3.3.4 vorgegeben und sei T_{spez} außerdem kompakt. Dann ist T_{spez} ein n-Torus, d.h. es existieren hinreichend gutartige Funktionen q^{ν}(φ^{1}, …, φ^{n}) und p^{ν}(φ^{1}, …, φ^{n}) über ℝ^{n}, für die folgendes gilt:

1.

T_{spez} = {(q(φ), p(φ)) : φ ∈ ℝ^{n}} .

2.

\begin{matrix}(q(φ_{1}), p(φ_{1})) = (q(φ_{2}), p(φ_{2})) \\ ⟺ (φ_{1}^{j} = φ_{2}^{j} mod 2π ∀ j ∈ \{1, …, n\}) . \end{matrix}

3. Zu jedem φ_{0} ∈ ℝ^{n} existiert eine offene Umgebung, über der die Abbildung

φ ⟼ (q(φ), p(φ))

eine (hinreichend gutartige) Inverse hat.

Falls S_{1}(q, p) mit der Hamilton-Funktion H(q, p) übereinstimmt, dann läßt die Dynamik T_{spez} invariant und es existiert ein konstanter Vektor ω_{s_{spez}} , mit dem die kanonischen Gleichungen für Bewegungen auf T_{spez} äquivalent zu

\frac{d}{dt} φ(t) = ω_{s_{spez}}

sind.^{60}

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58Hier ist die Anzahl der S_{j} wichtig. 59Je zwei Punkte in T_{spez} lassen sich also durch einen stetigen Weg verbinden, der ganz in T_{spez}

verläuft. Ein solcher Weg läßt sich nach obigem Ergebnis stets durch offene Intervalle überdecken, deren Punkte sich alle durch geeignete F̂_{t} ineinander transformieren lassen.

60Solche Bewegungen bezeichnet man als periodisch, wenn die ω_{s_{spez}}^{ν} rationale Vielfache voneinander sind, sonst als bedingt periodisch.

3.3. PERIODISCHE UND BEDINGT PERIODISCHE BEWEGUNGEN 107

Beweisskizze: Da T_{spez} kompakt ist, kommt der Fall Γ = {0} für die in Lemma 3.3.4 definierte Vektorgruppe nicht in Frage. Nach Lemma 3.3.3 existieren deshalb ein k ∈ {1, …, k} und eine rückeindeutige lineare Abbildung

φ ⟼ t(φ)

von ℝ^{n} auf sich, für die

{F̂_{t} : t ∈ ℝ^{n}} = {F̂_{t(φ)} : φ ∈ ℝ^{n}}

und

F̂_{t(φ_{1})} = F̂_{t(φ_{2})} ⟺ (φ_{1}^{j} = φ_{2}^{j} mod 2π ∀ j ∈ {1, …, k})

gilt. Da T_{spez} kompakt ist und aus den ersten beiden Bedingungen von Lemma 3.3.4

(F_{t} (q̂, p̂) = (q̂, p̂) ⟺ t ∈ Γ) ∀ (q̂, p̂) ∈ T_{spez}

folgt, muß k = n sein. Nach Lemma 3.3.4 ist deshalb

ℝ^{n}νφ ⟼ (q(φ), p(φ)) =^{def} F̂_{t(φ)} (q̂, p̂)

für beliebig vorgegebenes (q̂, p̂) ∈ T_{spez} eine Abbildung der gesuchten Art. Daß die Dynamik T_{spez} im Falle S_{1} = H invariant läßt, ist aufgrund der zweiten Bedingung von Lemma 3.3.4 klar und entsprechende Bewegungen auf T_{spez} sind durch

(q(t), p(t)) = F̂_{t(φ(t))} (q̂, p̂)

mit

t(φ(t)) = t(φ(0)) + (t, 0, …, 0)

gegeben. Aus letzterem folgt

t(φ̇(t)) = \frac{d}{dt} t(φ(t)) = (1, 0, …, 0)

und damit aufgrund der Rückeindeutigkeit der Abbildung φ ↦ t(φ) die t-Unabhängig-keit von φ̇(t) .

3.3.2 Winkel- und Wirkungsvariable

Wie die Darlegungen in 3.3.1 zeigen, existiert unter den Voraussetzungen von Folgerung 3.3.5 also eine Umgebung von T_{spez} , für die die in Folgerung 3.3.5 aufgewiesenen φ^{ν} zusammen mit den Werten s^{ν} der Funktionen S_{ν} lokale Koordinaten sind, in denen die kanonischen Gleichungen — S_{j} = H vorausgesetzt — äquivalent zu

φ̇^{ν} = ω^{ν}(s) , ṡ^{ν} = 0

sind, wenn man die Funktionen ω^{ν}(s) richtig wählt. Das führt auf folgende Vermutung: Die s^{ν} lassen sich durch Koordinaten I_{ν} ersetzen, für die

(q, p) ⟼ (\underbrace{φ}_{ˆ=Q}, \underbrace{I}_{ˆ=P})

eine (lokale) kanonische Transformation vom Typ (3.37)–(3.39) ist:^{61}

p_{ν} = \frac{∂}{∂q^{ν}} \underbrace{S}_{ˆ=F_{2}}(q, I) ,  (3.60)

φ^{ν} = \frac{∂}{∂I_{ν}} S(q, I) ,  (3.61)

K(I) = H(q, ∇_{q} S(q, I)) .  (3.62)

Falls diese Vermutung richtig ist, dann gilt (lokal)

S(q, I) − S(q_{0}, I) = ∫_{q_{0}}^{q} p(q, I) dq  (3.63)

und die kanonischen Gleichungen sind (lokal) äquivalent zu

φ̇ = \frac{∂}{∂I_{ν}} K(I) , İ_{ν} = 0 .  (3.64)

Anmerkung: Da die S_{j} in Involution sind, läßt sich — mithilfe einer entsprechenden Verallgemeinerung des Satzes von Stokes — zeigen, daß die rechte Seite von (3.63) nicht von der genauen Wahl des Integrationswegs zu festem I abhängt. Von diesem Sachverhalt werden wir im folgenden wiederholt stillschweigend Gebrauch machen.

Der Einfachheit halber sei zusätzlich angenommen, daß die q_{ν} und I_{ν} Koordinaten für eine Umgebung von ganz T_{spez} sind. Dann erkennt man besonders leicht,^{62} daß für jede der geschlossenen Kurven

C_{ν}^{φ_{0}}(I) =^{def} {(φ, I) : φ^{ν} ∈ [0, 2π) , φ^{μ} = φ_{0}^{μ} for μ ≠ ν}  (3.65)

(mit s(I) nahe genug bei s_{spez})

\frac{∂}{∂I_{μ}} ∫_{C_{ν}^{φ_{0}}(I)} dS =_{(3.61)} ∫_{C_{ν}^{φ_{0}}(I)} dφ^{μ} = 2π δ_{νμ}

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61Daß die rechte Seite von (3.62) nur von I abhängt, folgt daraus, daß H = S_{1} auf T_{s(I)} konstant ist.

62Durch Verwendung eben dieser Koordinaten bei der Wegintegration.

und somit

I_{ν} − \underbrace{const.}_{irrelevant} = \frac{1}{2π} ∫_{C_{ν}^{φ_{0}}(I)} dS

= \frac{1}{2π} ∫_{C_{ν}^{φ_{0}}(I)} ∑_{ν=1}^{2} \frac{∂}{∂q^{ν}} S(q, I) dq^{ν}

=_{(3.60)} \frac{1}{2π} ∫_{C_{ν}^{φ_{0}}(I)} ∑_{ν=1}^{2} p_{ν}(q, I) dq^{ν}  (3.66)

gilt. Somit führt o.a. Vermutung auf folgendes

Lösungsverfahren:^{63} Man wähle zu jedem ν ∈ {1, …, n} eine stetig von s abhängige Schar geschlossener Wege C_{ν}(s) auf T_{s} so, daß die Wege C_{1}(s), …, C_{n}(s) für jeweils gleiches s auf T_{s} nicht zueinander homotop^{64} sind. Damit definiert man entsprechend (3.66)

I_{ν}(s) =^{def} \frac{1}{2π} ∫_{C_{ν}(s)} ∑_{ν=1}^{2} p_{ν}(q, I) dq^{ν} ,

Wenn für die so definierten I_{ν}(s) die Bedingung

\frac{∂(I_{1}, …, I_{n})}{∂(s^{1}, …, s^{n})} ≠ 0

erfüllt ist, dann ist die (3.63) entsprechende Definition

S(q, I) =^{def} ∫_{q_{0}}^{q} p(q, I) dq ,

von der genauen Wahl des lokalen^{65} Weges auf T_{s(I)} unabhängig und wir können entsprechend (3.61) (lokal)

φ^{ν} =^{def} \frac{∂}{∂I_{ν}} S(q, I)

definieren. Mit den so definierten Winkelvariablen φ^{ν} und Wirkungsvariablen I_{ν} gilt dann

\begin{matrix}(q(φ_{1}, I), p(φ_{1}, I)) = (q(φ_{2}, I), p(φ_{2}, I)) \\ ⟺ φ_{1}^{ν} = φ_{2}^{ν} mod 2π ∀ ν ∈ \{1, …, n\} \end{matrix}

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63Der Einfachheit halber nehmen wir wieder an, daß die q_{ν} und I_{ν} Koordinaten für eine Umgebung von ganz T_{spez} sind.

64Zwei Wege auf einer Mannigfaltigkeit heißen zueinander homotop, wenn sie sich auf dieser Mannigfaltigkeit stetig ineinander deformieren lassen.

65Wenn man die Weglänge nicht beschränkt, wird S mehrwertig, was sich aber auf die Transformationsformeln nicht auswirkt.

und

(q, p) ⟼ (φ, I)

ist tatsächlich eine kanonische Transformation vom Typ (3.37)–(3.39) mit der (lokalen) Erzeugenden S(q, I) (statt F_{2}(q, P)), wobei

K(q, I) =^{def} H(q, ∇_{q} S(q, I))

nur von I abhängt, sodaß die kanonischen Gleichungen wirklich äquivalent zu (3.64) und somit trivial lösbar sind.

In der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung der frühen Quantenmechanik wurden die erlaubten Zustände durch die Bedingung

\frac{I_{ν}}{2π ℏ} ∈ ℤ_{+}

ausgewählt. Heute noch sind die Winkel- und Wirkungsvariablen für die störungstheoretische Behandlung mechanischer Systeme von Bedeutung.^{66}

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66Siehe (Arnol’d, 1988, Kapite 10).

Anhang A

Symplektische Mechanik

A.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Bereits zu Beginn von Abschnitt 1.2.1 wurde darauf hingewiesen, daß generalisierte Koordinaten i.a. nur lokal existieren. Dieser Problematik trägt die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Rechnung. Grob gesagt, ist eine Mannigfaltigkeit M eine geeignet kartierte Menge M. Unter einer n-dimensionalen Karte einer Menge M versteht man ein lokales System von generalisierten Koordinaten q^{1}, …, q^{n}, d.h. ein Tupel (O, φ) bestehend aus einer offenen^{1} Teilmenge O des ℝ^{n} und einer eineindeutigen Abbildung φ der Punkte (q^{1}, …, q^{n}) von O in M . Unter einem n-dimensionalen C^{∞}-Atlas von M versteht man eine Menge A n-dimensionaler Karten (von M), die

1. ganz M erfassen, d.h. zu jedem m ∈ M existiert eine Karte (O, φ) ∈ A mit

m ∈ φ(O) =^{def} {φ(q^{1}, …, q^{n}) : (q^{1}, …, q^{n}) ∈ O}, und

2. miteinander verträglich sind in folgendem Sinne:

Falls einunddasselbe m ∈ M von zwei Karten (O_{1}, φ_{2}) , (O_{1}, φ_{2}) ∈ A erfaßt wird, dann gilt für hinreichend kleines ϵ > 0

φ_{1}(U_{ϵ} (φ_{1}^{−1}(m))) ⊂ φ_{2}(O_{2})

und φ_{2}^{−1} ∘φ_{1} ist eine beliebig oft differenzierbare (ℝ^{n}-wertige) Funktion^{2} auf U_{ϵ} (φ_{1}^{−1}(m)) ⊂ ℝ^{n}.

Version vom 26. März 2009

1Eine Teilmenge O des ℝ^{n} nennt man offen, falls:

(q^{1}, …, q^{n}) ∈ O ⟹ (U_{ϵ}(q^{1}, …, q^{n}) ⊂ O für hinreichend kleines ϵ > 0) .

2Mit f ∘ g bezeichnen wir, wie allgemein üblich, die Nacheinanderausführung zweier Abbildungen f, g. Für Teilmengen T des Definitionsbereichs von g schreibt man üblicherweise

g(T) =^{def} {g(q) : q ∈ T }.

Unter einer (beliebig oft) differenzierbaren n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M versteht man eine Menge M mit einem n-dimensionalen C^{∞}-Atlas A.

Die einfachste differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ℝ^{n} mit dem Atlas, der nur die Karte (ℝ^{n}, id) enthält. Dank der Verträglichkeit der Karten eines C^{∞}-Atlasses kann man aber das Bild unter φ des in O enthaltenen Teils einer ‘glatten Untermannigfaltigkeit’ von ℝ^{n} stets konsistent als Teil einer ‘glatten Untermannigfaltigkeit’ von M auffassen, denn:

Was bezüglich einer Karte (O_{1}, φ_{1}) glatt erscheint und auch von der Karte (O_{2}, φ_{2}) erfaßt wird, erscheint auch bezüglich (O_{2}, φ_{2}) glatt.

Dementsprechend versteht man z.B. unter einer (beliebig oft) differenzierbaren Kurve in einer Mannigfaltigkeit M = (M, A) eine Teilmenge C von M , für die φ^{−1} (C ∩ φ(O)) für jede Karte (O, φ) ∈ A ein (beliebig oft) differenzierbares Kurvenstück im gewöhnlichen Sinne (oder die leere Menge) ist.

Definition A.1.1 Eine Abbildung f einer n_{1}-dimensionalen Mannigfaltigkeit M_{1} in eine n_{2}-dimensionale Mannigfaltigkeit M_{2} heißt (unendlich oft) differenzierbar, falls φ_{2}^{−1} ∘ φ_{1} für jede Karte (O_{1}, φ_{1}) von M_{1} und jede Karte (O_{2}, φ_{2}) von M_{2} mit φ_{1}(O_{1}) ∩ φ_{2}^{−1}(O_{2}) ≠ ∅ eine (beliebig oft) differenzierbare ℝ^{n_{2}}-wertige Funktion auf φ_{1}^{−1} (φ_{1}(O_{1}) ∩ φ_{2}^{−1}(O_{2})) ist.

Zwei C^{∞}-Atlanten A_{1} , A_{2} von M heißen äquivalent, mitgeteilt durch die Schreibweise A_{1} ∼ A_{2} , wenn ihre Vereinigung ebenfalls ein C^{∞}-Atlas ist. Für die Definition A.1.1 spielt es offensichtlich keine Rolle, ob man einen Atlas durch einen äquivalenten ersetzt. Man überzeugt sich auch leicht davon, daß ∼ tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, d.h. folgende drei Eigenschaften besitzt:

Reflexivität:  A ∼ A ,
Transitivität:  \begin{matrix}A_{1} ∼ A_{2} , \\ A_{2} ∼ A_{3} \end{matrix} \} ⟹ A_{1} ∼ A_{3} .
Symmetrie:  A_{1} ∼ A_{2} ⟺ A_{2} ∼ A_{1} ,

Deshalb ist jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit M = (M, A) eindeutig ein maximaler C^{∞}-Atlas A_{M}, nämlich die Vereinigung aller zu A äquivalenten C^{∞}-Atlanten, zugeordnet.

Definition A.1.2 Als (reguläre) differenzierbare Untermannigfaltigkeit einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M = (M, A) bezeichnet man eine ň-dimensionale Mannigfaltigkeit M̌ = (M̌, Ǎ) (ň ≤ n) mit

M̌ ⊂ M und Ǎ ∼ UM̌ ,

wobei UM̌ folgenden C^{∞}-Atlas von M̌ bezeichnet: (Ǒ, φ̌) gehört genau dann zu UM̌ , wenn eine Karte (O, φ) ∈ A_{M} existiert mit

Ǒ = {(q^{1}, …, qň) ∈ ℝň : (q^{1}, …, qň, 0 …, 0) ∈ O} ,

und

φ̌(q^{1}, …, qň) = φ(q^{1}, …, qň, 0 …, 0) ∈ M̌ ∀ (q^{1}, …, qň) ∈ Ǒ .

Warnung: Wenn zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten M = (M, A) und M̌ = (M̌, Ǎ) gegeben sind mit M̌ ⊂ M so folgt daraus i.a. nicht, daß M̌ eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit von M ist. Es ist noch nicht einmal gesagt, daß überhaupt ein Atlas existiert mit dem M̌ zu einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit von M wird: Z.B. läßt sich für einen Polygonzug P im ℝ^{3} leicht ein Atlas finden, der P zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit macht.^{3}

Zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten M_{1} = (M_{1}, A_{1}) , M_{2} = (M_{2}, A_{2}) nennt man diffeomorph zueinander, wenn ein Diffeomorphismus von M_{1} auf M_{2} existiert, d.h. eine (beliebig oft) differenzierbare, rückeindeutige Abbildung f von M_{1} auf M_{2} , deren Umkehrabbildung f^{−1} ebenfalls (beliebig oft) differenzierbar ist.^{4} Zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten M_{1} , M_{2} sind aus differentialgeometrischer Sicht genau dann als gleich zu betrachten, wenn sie diffeomorph (zueinander) sind.

Wir interessieren uns nur für solche Mannigfaltigkeiten M = (M, A) , die einen (äquivalenten) abzählbaren Atlas besitzen und Hausdorffsch sind, d.h. folgender Bedingung genügen:

Zu je zwei unterschiedlichen Punkten m_{1} , m_{2} ∈ M existieren stets zwei Karten (O_{1}, φ_{1}) , (O_{2}, φ_{2}) ∈ A und ein ϵ > 0 mit

φ_{1}(U_{ϵ} (φ_{1}^{−1}(m_{1}))) ∩ φ_{2}(U_{ϵ} (φ_{2}^{−1}(m_{2}))) = ∅ .

Solche Mannigfaltigkeiten kann man sich stets als Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{2n} (n =Dimension von M) vorstellen (Whitney, 1936; Whitney, 1944),(Brickel und Clark, 1970, Sec. 5.6).

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3Man wähle irgendeine Parametrisierung P = {x(t) : t ∈ ℝ} und den Atlas, der (ℝ, x) als einzige Karte enthält.

4Dann ist {(f(O), f ∘ φ) : (O, φ) ∈ A_{1}} ein C^{∞}-Atlas von M_{2} , der zu A_{2} äquivalent ist.

A.2 Tensorfelder über differenzierbaren Mannigfaltigkeiten

Ein Tangentenvektor

ẋ(0) = lim_{Δt→+0} \frac{x(Δt) − x(0)}{Δt}  (A.1)

(einer Bahnkurve x(t)) im ℝ^{n} läßt sich äquivalent durch die Wirkung seiner Lie-Ableitung L_{ẋ(0)} auf der Menge der Skalarfelder Φ an der Stelle x(0) charakterisieren:

(L_{ẋ(0)}Φ) (x(0)) = \frac{d}{dt}Φ(x(t))_{|_{t=0}} .  (A.2)

Wenn x(t) nur innerhalb einer Untermannigfaltigkeit M̌ verläuft, ist ẋ(t) tangential an diese und (A.2) hängt nur von den Werten der Funktion Φ auf M̌ ab. Während (A.1) i.a. nicht auf M̌ einschränkbar ist, ist das für (A.2) stets der Fall:

Definition A.2.1 Unter einem Tangentenvektor der (unendlich oft) differenzierbaren Mannigfaltigkeit M̌ an der Stelle^{5} m ∈ M̌ versteht man eine Abbildung X_{m} der (hinreichend gutartigen, reell-wertigen) Skalarfelder über M̌ in die reellen Zahlen, die folgender Bedingung genügt:

Es existiert eine (beliebig oft) differenzierbare Bahnkurve m(t) auf M̌ mit m(0) = m und

X_{m}(Φ) = \frac{d}{dt}Φ(m(t))_{|_{t=0}} für alle differenzierbaren Skalarfelder Φ .

Lemma A.2.2 Eine Abbildung X_{m} von

Λ^{0}(M̌) =^{def} {f : f (beliebig oft) differenzierbare Abbildung von M̌ in ℝ} (A.3)

in ℝ ist genau dann ein Tangentenvektor der (unendlich oft) differenzierbaren Mannigfaltigkeit M̌ an der Stelle m ∈ M̌, wenn sie linear ist und der Leibniz-Bedin-gung

X_{m}(ΦΨ) = Φ(m) X_{m}(Ψ) + Ψ(m) X_{m}(Φ)

genügt.^{6}

Nach Definition A.2.1 bilden die Tangentenvektoren an der Stelle m jeweils einen Vektorraum T_{m}M̌, wobei für jede lokale Karte (O, φ) ∈ AM̌ mit φ(q) = m die

(t_{ν})_{m}(f) =^{def} \frac{∂}{∂q^{ν}} f(q^{1}, …, qň) ∀ f ∈ Λ^{0}(M̌)

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5Es ist üblich, M mit M = (M, A) zu identifizieren, solange dadurch keine Verwechslungen zu befürchten sind.

6Die Leibniz-Bedingung garantiert u.a. X_{m}(Φ) = 0 , falls Φ in einer Umgebung von m Null ist.

mit ν = 1, …, ň =^{def} dim(M̌) eine Basis bilden (vgl. Lemma 4.1.3 von (Lücke, ein)).

Üblicherweise schreibt man lokal auch direkt \frac{∂}{∂q^{ν}} für (t_{ν})_{φ(q)} .

Definition A.2.3 Unter einem Vektorfeld über einer (differenzierbaren) n-dimen-sionalen Mannigfaltigkeit M versteht man eine Abbildung X : m ↦ X_{m} von M in

⋃_{m∈M} T_{m}M mit

X_{m} ∈ T_{m}M ∀ m ∈ M .

Mit T M bezeichnet man die Gesamtheit aller Tupel

(m, A) , m ∈ M , A ∈ T_{m}M ,

mit dem C^{∞}- Atlas T_{M}, der aus folgenden Karten besteht: (Ô, φ̂) gehört genau dann zu T_{M}, wenn eine Karte (O, φ) ∈ A_{M} existiert mit

Ô = ⋃_{m∈O} {(m, A) : A ∈ T_{m}M}

und

φ̂(q, v) = (φ(q), ∑_{ν=1}^{n} v^{ν} \frac{∂}{∂q^{ν}} ) ∀ q ∈ φ^{−1}(O) , v ∈ ℝ^{n} .

Ein Vektorfeld X über M heißt (beliebig oft) differenzierbar, wenn die Abbildung m ⟼ (m, X_{m}) von M in T M stetig ist.^{7} Gewöhnlich identifiziert man ein Vektorfeld X über M mit seinem Graphen^{8} {(m, X_{m}) : m ∈ M}.

Lemma A.2.4 Seien M eine n-dimensionale C^{∞}-Mannigfaltigkeit und X ein C^{∞}- Vektorfeld auf M. Dann existieren zu jedem m ∈ M ein maximales offenes (‘Zeit’-) Intervall I_{m}^{X} ≠ ∅ und eine Abbildungen t ↦ α_{t}^{X}(m) von I_{m}^{X} in M mit

\frac{d}{dt} f(α_{t}^{X}(m)) = X_{α_{t}^{X}(m)}(f) ∀ t ∈ I_{m}^{X} .  (A.4)

Die Gesamtheit dieser — durch (A.4) eindeutig festgelegten — Abbildungen bezeichnet man als den Fluß des Vektorfeldes X. Dafür gilt

(α_{t_{2}}^{X} ∘ α_{t_{1}}^{X}) (m) = α_{t_{1}+t_{2}}^{X}(m) ∀ m ∈ M , t_{1} ∈ I_{m}^{X} , t_{2} ∈ I_{α_{t_{1}}^{X}(m)}^{X} .  (A.5)

Definition A.2.5 Version vom 26. März 2009

7In lokalen Koordinaten q mit X_{φ(q)} = ∑_{ν=1}^{n} v^{ν}(q)\frac{∂}{∂q^{ν}} bedeutet das, daß die v^{ν}(q) (beliebig oft)

stetig differenzierbare Funktionen von q = (q^{1}, …, q^{n}) sind.

8Man bezeichnet einen solchen ‘Graphen’ als Schnitt (englisch: section) im Tangentialbündel T M.

Es ist offensichtlich, wie (beliebig oft differenzierbare) Vektorfelder beliebiger Stufe (siehe Def. A.2.2 von (Lücke, ein)) über M zu definieren sind. Wir wollen uns aber auf die Definition der sog. N-Formen beschränken.

Sei N ∈ ℕ und sei M eine (beliebig oft differenzierbaren) n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Jedem m ∈ M ist dann der lineare Raum Λ_{m}^{N} der total antisymmetrischen kovarianten Tensoren N-ter Stufe über T_{m}M zugeordnet. Unter einer (beliebig oft differenzierbaren) N-Form über M versteht man eine Abbildung ω : m ↦ ω_{m} von M in ⋃_{m∈M} Λ_{m}^{N} mit

ω_{m} ∈ Λ_{m}^{N} ∀ m ∈ M ,

die (beliebig oft) differenzierbar in folgendem Sinne ist:

Für jede Karte (O, φ) ∈ A_{M} sind die durch^{9}

ω_{φ(q)} = \frac{1}{N!} ω_{ν_{1}...ν_{N}} (q) (θ^{ν_{1}} ∧ … ∧ θ^{ν_{N}})_{φ(q)}  (A.6)

und

ω_{ν_{π(1)}...ν_{π(N)}}(q) = sign (π) ω_{ν_{1}...ν_{N}} (q) ∀ π ∈ S_{N}  (A.7)

eindeutig festgelegten ω_{ν_{1}...ν_{N}} (q) (beliebig oft) stetig differenzierbare Funktionen der lokalen Koordinaten q = (q^{1}, …, q^{n}) . Dabei ist^{10}

\begin{matrix}(θ^{ν_{1}} ∧ … ∧ θ^{ν_{N}}) & φ(q) & (A_{1}, …, A_{N}) \\ =^{def} ∑_{π∈S_{N}} sign (π) ∏_{j=1}^{N} θ_{φ(q)}^{ν_{π(j)}} (A_{j}) ∀ A_{1}, …, A_{N} ∈ T_{φ(q)}M \end{matrix}  (A.8)

und die θ_{φ(q)}^{ν} bilden die zu \{\frac{∂}{∂q^{1}} , …, \frac{∂}{∂q^{n}} \} gehörige reziproke Basis^{11}

im Dualraum T_{φ(q)}^{∗}M von T_{φ(q)}M :

θ_{φ(q)}^{ν}(\frac{∂}{∂q^{μ}} ) = δ_{μ}^{ν} ∀ ν, μ ∈ \{1, …, n\} .  (A.9)

Die Menge aller N-Formen über M bezeichnet man mit Λ^{N}(M) , die Elemente von Λ^{0}(M) (siehe (A.3)) als 0-Formen über M. Unter einer Differentialform über

M versteht man ein Element von ⋃_{N=0}^{n} Λ^{N}(M) .

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9Wir verwenden die Einsteinsche Summationskonvention.

10Für N = 1 :

(θ^{ν_{1}} ∧ … ∧ θ^{ν_{N}})_{φ(q)} = θ_{φ(q)}^{ν_{1}} .

11Die Definition (A.8) wendet man natürlich auch auf andere Kovektoren θ_{φ(q)}^{ν} an.

A.3 Differentiation

Sei M wieder eine n-dimensionale C^{∞}-Mannigfaltigkeit. Dann ist jedem f ∈ Λ^{0}(M) gemäß

(df)_{m}(X_{m}) =^{def} X_{m}(f) ∀ m ∈ M , X_{m} ∈ T_{m}M  (A.10)

eine 1-Form df , das sog. Differential von f zugeordnet. Man bezeichnet df auch als die äußere Ableitung von f . In lokalen Koordinaten q schreibt man dementsprechend auch dq^{ν} für die θ_{φ(q)}^{ν} in (A.9).

Definition A.3.1 Sei N ∈ ℕ und sei ω ∈ Λ^{N}(M) . Dann ist die äußere Ableitung dω von ω die in lokalen Koordinaten q mit (A.6)/(A.7) durch

(dω)_{φ(q)} =^{def} \frac{1}{N!} (\frac{∂}{∂q^{μ}} ω_{ν_{1}...ν_{N}} (q)) dq^{μ} ∧ dq^{ν_{1}} ∧ … dq^{ν_{n}}

gegebene (N + 1)-Form.

Aus Definition A.3.1 und (A.8) ist offensichtlich, daß

d(dω) = 0 für jede Differentialform ω  (A.11)

und

dω = 0 ∀ ω ∈ Λ^{n}(M)

gilt.

Ohne Verwendung der Einbettung von M in den ℝ^{n} ist der Vergleich der Werte eines Vektorfeldes X über M an verschiedenen Stellen m_{1}, m_{2} von M nicht ohne weiteres möglich. Dazu wählt man eine geeignete Abbildung σ von M in sich mit σ(m_{1}) = m_{2} und bildet X_{m_{1}} mithilfe des sog. push forward σ_{∗} von σ , der durch^{12}

α_{t}^{σ_{∗}X}(σ(m)) =^{def} (σ ∘ α_{t}^{X})(m) ∀ m ∈ M , t ∈ I_{m}^{X}

charakterisiert ist, auf den Tangentenvektor (σ_{∗}X)_{m_{2}} an der Stelle m_{2} ab. (σ_{∗}X)_{m_{2}} und X_{m_{2}} lassen sich nun voneinander subtrahieren. Auf diese Weise läßt sich die

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12Die Feldlinien von σ_{∗}X gehen also aus denen von X durch die Abbildung σ hervor. Eine äquivalente Charakterisierung ist:

(σ_{∗}X_{m})_{σ(m)}(f) = X_{m}(f ∘ σ) .

Wenn σ nicht surjevtiv ist, liefert der push forward natürlich kein Vektorfeld.

Wirkung der einem Vektorfeld X zugeordneten Lie-Ableitung L_{X} auf ein anderes Vektorfeld Y definieren:^{13}

(L_{X}Y)_{m} =^{def} lim_{t→+0} \frac{1}{t} ((α_{−t}^{X})_{∗}Y_{α_{t}^{X}(m)} − Y_{m}) .  (A.12)

Nach Lemma A.2.2 ist mit Y und X auch L_{X}Y ein (Tangenten-) Vektorfeld. Außerdem gilt

L_{X}(ΦY) = (L_{X}Φ) Y + ΦL_{X}Y .  (A.13)

und

L_{X}Y = [X, Y]_{−}  (A.14)

Beweis von (A.14): Für m ∈ M und hinreichend gutartige Funktionen Φ über M gilt

(L_{X}Y)_{m} (Φ) = \frac{d}{dt}((α_{−t}^{X})_{∗} Y )_{m}(Φ)_{|_{t=0}}
= \frac{∂}{∂t} \frac{∂}{∂s}Φ(α_{−t}^{X} ∘ α_{s}^{Y} ∘ α_{+t}^{X}(m))_{|_{t=s=0}}
= \frac{∂}{∂t} \frac{∂}{∂s}Φ(α_{s}^{Y} ∘ α_{+t}^{X}(m))_{|_{t=s=0}} − \frac{∂}{∂t} \frac{∂}{∂s}Φ(α_{t}^{X} ∘ α_{s}^{Y} (m))_{|_{t=s=0}}
= \frac{∂}{∂t}Y_{α_{t}^{X}(m)}(Φ)_{|_{t=0}} − \frac{∂}{∂s}X_{α_{s}^{Y} (m)}(Φ)_{|_{s=0}}
= X_{m}(Y_{m}(Φ)) − Y_{m}(X_{m}(Φ))

und somit die Behauptung.

Für die Definition der Lie-Ableitung L_{X} von Kovektorfeldern θ benötigt man den sog. pull back σ^{∗} der entspr. Abbildung σ, der durch

(σ^{∗}θ)_{σ(m)}(X_{m}) =^{def} θ_{σ(m)}(σ_{∗}X_{m}) ∀ X_{m} ∈ T_{m}M  (A.15)

definiert ist.^{14} Damit definiert man analog:

(L_{X}θ)_{m} =^{def} lim_{t→+0} \frac{1}{t} (((α_{t}^{X})^{∗}θ)_{α_{t}^{X}(m)} − θ_{m}) .  (A.16)

Mit der Definition

(σ^{∗}Φ) (m) =^{def} (Φ ∘ σ) (m) ,  (A.17)

für die Wirkung des pull back s auf 0-Formen Φ gilt

σ^{∗}(Φ θ) = (σ^{∗}Φ)(σ^{∗}θ) ∀ θ ∈ Λ^{1}(M) .

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13Für ein konstantes Vektorfeld X über dem ℝ^{n} ergibt sich (α_{−t}^{X})_{∗}Y_{α_{+t}^{X}(m)} durch natürliche (schreibtechnisch üblicherweise unterdrückte) Parallelverschiebung des Vektors Y_{α_{+t}^{X}(m)} (auf kürzestem Wege) von der Stelle α_{+t}^{X}(m) an die Stelle m.

14Der pull back führt Kovektorfelder stets wieder in solche über.

Für beliebige Differentialformen definiert man die Lie-Ableitung entsprechend so, daß

L_{X}(ω_{1} + ω_{2}) = L_{X}ω_{1} + L_{X}ω_{2} ∀ ω_{1}, ω_{2} ∈ Λ^{N}(M)

(für N ∈ {0, …, n}) und die Leibniz-Regel

L_{X}(ω_{1} ∧ ω_{2}) = L_{X}(ω_{1}) ∧ ω_{2} + ω_{1} ∧ L_{X}(ω_{2}) ∀ ω_{1}, ω_{2} ∈ ⋃_{N=0}^{n} Λ^{N}(M)

erfüllt sind. Damit gilt allgemein^{15}

L_{X} = d i_{X} + i_{X} d  (A.18)

mit

(i_{X}ω)_{m}(A_{2}, …, A_{N}) =^{def} ω_{m}(X_{m}, A_{2}, …, AN) ∀ A_{2}, …, A_{N} ∈ T_{m}M

(für ω ∈ Λ^{N}(M)).

Eine N-Form nennt man invariant unter dem Fluß eines Vektorfeldes X, wenn der pull back aller α_{t}^{X} darauf trivial wirkt. Wenn X höchstens isolierte Nullstellen hat, ist äquivalent dazu, daß die Lie-Ableitung der n-Form nach X Null ist.^{16}

A.4 Symplektischer Formalismus

Es ist klar, daß auch das Kotangentialbündel

T^{∗}M =^{def} ⋃_{m∈M} T_{m}^{∗}M

einer C^{∞}-Mannigfaltigkeit M einen natürlichen C^{∞}-Atlas T_{M}^{∗} besitzt:

(Ŏ, φ̆) gehört genau dann zu T_{M}^{∗}, wenn eine Karte (O, φ) ∈ A_{M} existiert mit

Ŏ = ⋃_{m∈O} {(m, θ_{m}) : θ_{m} ∈ T_{m}^{∗}M}

und

φ̆(q, p) = (φ(q), ∑_{ν=1}^{n} p_{ν} dq^{ν}) ∀ q ∈ φ^{−1}(O) , p ∈ ℝ^{n} .

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15Siehe (Choquet-Bruhat et al., 1978, S.148).

16Siehe (Choquet-Bruhat et al., 1978, S. 198).

Wenn M der Konfigurationsraum eines mechanischen Systems ist, dann nennt man T^{∗}M den Phasenraum dieses Systems.

Sei nun ein mechanisches System mit dem Konfigurationsraum M und der Hamilton-Funktion H ∈ Λ^{0} (T_{m}^{∗}M) betrachtet. Dann definiert man dazu das sog. Hamiltonsche Vektorfeld X_{H} über T_{m}^{∗}M in lokalen Koordinaten (q, p) durch

(X_{H})_{(q,p)} = ∑_{ν=1}^{n} (\frac{∂H}{∂p_{ν}} \frac{∂}{∂q^{ν}} − \frac{∂H}{∂q^{ν}} \frac{∂}{∂p_{ν}} )  (A.19)

Damit läßt sich die Zeitentwicklung (3.21) für nicht explizit zeitabhängiges f in der Form

ḟ(m) = (X_{H})_{m} (f) ∀ m ∈ T^{∗}M  (A.20)

schreiben.

Der pull back^{17} π^{∗} ∈ Λ^{1} (T^{∗}M) der Projektion

π(m, A) =^{def} m ∀ m ∈ M , A ∈ T_{m}M

des Tangentialbündels T M auf seine (Bündel-) Basis M ist in lokalen Koordinaten (q, p) durch

π_{(q,p)}^{∗} = p_{ν} dq^{ν}

gegeben und wird als kanonische 1-Form über T^{∗}M bezeichnet. Mit der zugehörigen kanonischen 2-Form

ω_{0} =^{def} −dπ^{∗}  (A.21)

ist das Differential von H durch

(dH)m̂(X′ ; m̂) = (ω_{0})m̂((X_{H})m̂ , X′ ; m̂) ∀ m̂ ∈ T_{m}^{∗}M , X′ ∈ T (T_{m}^{∗}M)

gegeben, wofür man üblicherweise abkürzend

dH( .) = ω_{0}(X_{H}, .)  (A.22)

schreibt. Offensichtlich ist ω_{0} nicht entartet, d.h. das sog. Hamiltonsche Vektorfeld X_{H} ist das einzige Vektorfeld über T^{∗}M, für das (A.22) gilt.

Man sieht leicht, daß die Lie-Ableitung von ω_{0} nach X_{H} verschwindet:

L_{X_{H}}ω_{0} =_{(A.18)} \underbrace{d \underbrace{i_{X_{H}}ω_{0}}_{=_{(A.22)} dH}}_{=_{(A.11)} 0} +i_{X_{H}} \underbrace{dω_{0}}_{=_{(A.21),(A.11)} 0} .

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17Wir hatten den pull back nur für Abbildungen einer Mannigfaltigkeit in sich definiert. Wie sich diese Definition für Abbildungen von einer Mannigfaltigkeit in eine andere verallgemeinern läßt, ist aber offensichtlich.

Die Hamiltonschen Vektorfelder sind die einzigen (über T^{∗}M), die ω_{0} invariant lassen und für sie gilt

ω_{0} (X_{H_{1}}, X_{H_{2}}) = {H_{1}, H_{2}}_{q,p} .  (A.23)

Damit ist klar, daß die Hamiltonschen Vektorfelder mit ω_{0} als (nicht assoziativem) Produkt eine Lie-Algebra bilden, die (evtl. bis auf additive Konstanten) isomorph ist zur Lie-Algebra der Observablen (Funktionen auf dem Phasenraum) mit der Poisson-Klammer als Lie-Produkt.

Dieser Formalismus läßt sich ohne weiteres auf allgemeinere Phasenräume P (statt T^{∗}M) anwenden. Die Hamiltonsche Dynamik (A.20) (mit P statt T^{∗}M) ergibt sich dann durch Wahl einer symplektischen Form , d.h. einer nichtentarteten 2-Form ω_{0} , und einer Hamilton-Funktion H. Das Hamiltonsche Vektorfeld X_{H} ist dann durch (A.22) festgelegt ((A.19) gilt i.a. nicht mehr).

122 ANHANG A. SYMPLEKTISCHE MECHANIK

Anhang B

Relativistische Mechanik uneingeschränkter Massenpunkte

B.1 Relativistische Kinematik

Sei L ein vorgegebenes Inertialsystem (Labor). Dann ist klar, wie sich die Länge einer im L ruhenden geraden Strecke bestimmen läßt:

Man sieht z.B. nach, wieviele Meterstäbe sich auf dem Streckenstück aneinanderreihen lassen. Diese Anzahl multipliziert mit der Längeneinheit ”Meter“ ist dann die L-Länge dieses Streckenstücks.[B

Die L-Länge eines bewegten ‘starren’ Stabes läßt sich folgendermaßen ausmessen:

Zu einem festgelegten Zeitpunkt markiert man die Positionen A resp. B des Stabes am Labor, an denen sich der vordere resp. hintere Ende des Stabes gerade befindet. Die L-Länge des Stabes identifiziert man dann mit der L-Länge der im Labor ruhenden Strecke \overline{AB} von A nach B.

Dieses Verfahren setzt aber voraus, daß festgelegt ist, wann Ereignisse, die an verschieden Orten stattfinden ”gleichzeitig“ stattfinden. Da merkwürdigerweise experimentell keine (evtl. vom Bewegungszustand des Labors oder der Lichtquelle abhängige) Anisotropie der Lichtausbreitung im Vakuum festgestellt werden konnte, legt man das nach Einstein folgendermaßen fest (bzgl. der Konsistenz dieses Synchronisierungsverfahrens siehe Abschnitt 2.2.1 von (Lücke, rel)):

Wenn man vom Mittelpunkt der Strecke \overline{AB} einen Lichtblitz aussendet, dann trifft er bei A und B L-gleichzeitig ein.

Damit ist auch klar, wie der Zeitabstand zweier Ereignisse E_{A}, E_{B}, die an verschiedenen Orten A, B stattfinden, zu definieren ist:

Man stellt eine bei A in L ruhende Standarduhr L-gleichzeitig mit einer bei B in L ruhenden Standarduhr auf 12 Uhr und liest an der Uhr bei A resp. B die Zeit t_{A} resp. t_{B} ab, zu der das Ereignis E_{A} resp. E_{B} stattfindet. |t_{A} − t_{B}| ist dann der L-Zeitabstand beider Ereignisse.

Entsprechend legt man die Geschwindigkeit z.B. eines gleichförmig bewegten Massenpunktes m fest:

Bezeichne E_{A} resp. E_{A} die Ankunft von m bei dem in L ruhenden Punkt A resp. B. Wenn beide Ereignisse tatsächlich stattfinden, dann definiert man:^{1}

L-Geschwindigkeit von m =^{def} \frac{L-Länge von \overline{AB}}{L-Zeitabstand von E_{A} und E_{B}} .

Die Gesetzmässigkeiten der Speziellen Relativitätstheorie resultieren aus folgenden beiden Effekten:^{2}

1. Lorentz-Kontraktion:^{3}

Die L-Länge eines mit der gleichförmigen L-Geschwindigkeit v in seiner Längsrichtung bewegten ‘Meterstabs’ beträgt nur das \sqrt{1 − (v/c)^{2}}- fache der L-Länge eines in L ruhenden ‘Meterstabs’.

2. Zeitdilatation:^{4}

Der Zeitabstand, den eine mit der gleichförmigen L-Geschwindigkeit v bewegte ‘Standarduhr’ für zwei an ihrem jeweiligen Aufenthaltsort stattfindende Ereignisse anzeigt, beträgt stets nur das \sqrt{1 − (v/c)^{2}}- fache des L-Zeitabstands dieser Ereignisse.

Mit Abbildung B.1 erkennt man daraus sofort, daß

L′-Lichtgeschwindigkeit im Vakuum = L-Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

gilt^{5} und daß mit der Definition

γ_{v} =^{def} \frac{1}{\sqrt[+]{1 − (v/c)^{2}}} ∀ v ∈ (−c, +c)  (B.1)

bildung außer Acht läßt. Lichtes.

5Denn:

(x − \frac{1}{γ_{v}} ) \frac{c}{v} = \frac{v}{c} x ⟹ x = γ_{v} .

Version vom 26. März 2009 1Eigentlich betrachten wir hier nur den Betrag der Geschwindigkeit.

2Scheinbare Paradoxien treten i.w. nur dann auf, wenn man die L-Abhängigkeit der Begriffs-3Mit c bezeichnen wir stets die (eigenartigerweise von L unabhängige) L-Geschwindigkeit des 4Man beachte in diesem Zusammenhang Aufgabe 7 der Math. Meth. d. Phys.

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132  1  2  3^{\frac{v}{c}} ^{\frac{1}{γ}}  2 1 1  2  ct′/Meter  x′/Meter  x/Meter ct/Meter γ

Abb. B.1: Vergleich zweier Laborsysteme L und L′. die Formeln

\begin{aligned}x′ & = & γ_{v} (x − \frac{v}{c} c t) , \\ c t′ & = & γ_{v} (c t − \frac{v}{c} x) \end{aligned}  (B.2)

folgen für die spezielle Lorentz-Transformation der Raum-Zeit-Koordinaten (c t, x, y, z) eines Ereignisses bzgl. L in die Raum-Zeit-Koordinaten (c t′, x′, y′, z′) = (c t′, x′, y, z) desselben Ereignisses bzgl. eines Laborsystems L′, das sich dadurch ergibt, daß man L drehungsfrei in gleichförmige Bewegung mit der L-Geschwindigkeit v e_{x} versetzt (boostet). Die Umkehrung von (B.2) ist durch die gleichstrukturierten Formeln

\begin{aligned}x & = & γ_{v} (x′ + \frac{v}{c} c t′) , \\ c t & = & γ_{v} (c t′ + \frac{v}{c} x′) \end{aligned}  (B.3)

gegeben, wie man leicht nachrechnet. Aus (B.2)/(B.3) folgt z.B.:

• L′-Geschwindigkeit von L = − L-Geschwindigkeit von L′.

• Wenn S resp. S′ einen in L längs der x-Achse resp. in L′ längs der x′-Achse ruhenden ‘Meterstab’ bezeichnet und v ≠ 0 ist, dann gilt:^{6}

L-Länge von S = L′-Länge von S′ ,
L-Länge von S > L-Länge von S′ ,
L′-Länge von S < L′-Länge von S′ .

• Wenn Z resp. Z′ eine in L resp. in L′ ruhenden ‘Standarduhr’ bezeichnet und v ≠ 0 ist, dann gilt:

L-Ganggeschwindigkeit von Z = L′-Ganggeschwindigkeit von Z′ ,
L-Ganggeschwindigkeit von Z > L-Ganggeschwindigkeit von Z′ ,
L′-Ganggeschwindigkeit von Z < L′-Ganggeschwindigkeit von Z′ .

Anmerkung: Aus den Ungleichungen ergibt sich das sog. Zwillings-‘Paradoxon’; siehe z.B. Abschnitt 2.2.3 von (Lücke, rel).

Diese Aussagen sind nur spezielle Aspekte des speziellen Relativitätsprinzips (siehe Abschnitt 2.2.1 von (Lücke, rel)):

Naturgesetze lassen sich in allen Inertialsystemen auf einunddieselbe Weise raumzeitlich homogen und räumlich isotrop formulieren.

Version vom 26. März 2009

6Nur wenn man die L- und L′-Spezifizierung wegläßt stehen die beiden Ungleichung im Widerspruch zueinander.

Die Formeln (B.2)/(B.3) wurden zunächst nur für die Koordinaten von Ereignissen abgeleitet, die auf der x-Achse von L bzw., was dasselbe ist, auf der x′-Achse von L′ stattfinden. Da die Lorentz-Kontraktion nur die Abstände in x-Richtung betrifft und da Ereignisse, die an Orten mit gleicher x Koordinate stattfinden, genau dann L-gleichzeitig stattfinden, wenn sie L′-gleichzeitig stattfinden, sind (B.2)/(B.3) für den allgemeinen Fall durch

x^{2} = x^{2′} , x^{3} = x^{3′}

zu ergänzen, wobei wir von nun ab

(x^{1}, x^{2}, x^{3}) statt (x, y, z)

und

(x^{1′}, x^{2′}, x^{3′}) statt (x′, y′, z′)

schreiben. Es gilt also

( \begin{matrix}c t′ \\ x^{1′} \\ x^{2′} \\ x^{3′} \end{matrix} ) = Λ_{v}^{spez.} ( \begin{matrix}c t \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} )

mit

Λ_{v}^{spez.} =^{def} ( \begin{matrix}γ_{v} & −γ_{v} \frac{v}{c} & 0 & 0 \\ −γ_{v} \frac{v}{c} & γ_{v} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ), (B.4)

wenn v e_{1} die (vektorielle) L-Geschwindigkeit von L′ ist. Wenn L′ durch boosten in eine andere Richtung aus L hervorgeht und^{7}

v = \underbrace{R̂}_{Drehm.} ( \begin{matrix}v \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) bzgl. (e_{1}, e_{2}, e_{3})

die L-Geschwindigkeit von L′ ist, dann gilt natürlich

( \begin{matrix}c t′ \\ x^{1′} \\ x^{2′} \\ x^{3′} \end{matrix} ) = Λ_{v}^{spez.} ( \begin{matrix}c t \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} )  (B.5)

mit

Λ_{v}^{spez.} =^{def} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & R̂ \end{matrix} ) Λ_{v}^{spez.} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & R̂^{−1} \end{matrix} ) . (B.6)

Version vom 26. März 2009 7Im folgenden ist mit v stets |v| gemeint.

Dann sind allerdings — aufgrund der Lorentz-Kontraktion — die Linien, die sich ergeben, wenn man alle Punkte der räumlichen Koordinatenachsen von L′ Lgleichzeitig in L markiert, in L nicht mehr zueinander orthogonal.

Anmerkung: Die Notwendigkeit einer so umständlichen Formulierung wird anhand der in Abschnitt 2.4.2 von (Lücke, rel) beschriebenen ”Superschnappschüsse“ klar.

Man kann zeigen (siehe z.B. Abschnitt 2.4.4 von (Lücke, rel)), daß die Gesamtheit aller Matrizen Λ der Form

Λ = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & ˆR̂ \end{matrix} ) Λ_{v}^{spez.} , v ∈ ℝ , ˆ R̂ Drehmatrix ,

eine Gruppe bildet. Insbesondere gilt

Λ_{u}^{spez.} Λ_{v}^{spez.} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & R̂_{v,u} \end{matrix} ) Λ_{v ˆ+u}^{spez.} ,  (B.7)

(siehe Abschnitt 2.4.3 von (Lücke, rel)) mit einer geeigneten Drehmatrix R̂_{v,u} (Thomas-Drehung), wobei

v ˆ+u =^{def} \frac{v + u + (γ_{v} − 1) (1 + \frac{v·u}{v^{2}}) v}{γ_{v} (1 + \frac{v·u}{c^{2}})} (B.8)

das relativistische Überlagerungsgesetz für Geschwindigkeiten^{8} ist (siehe Abschnitt 2.4.1 von (Lücke, rel)). Letzteres ist äquivalent dazu, daß sich die Komponenten der sog. Vierer-Geschwindigkeit

\underline{ẋ}(t) =^{def} γ_{|\frac{d}{dt} x(t)|} (c, \frac{d}{dt}x(t))  (B.9)

(siehe Abschnitt 3.1.2 von (Lücke, rel)) genau so transformieren wie die Raum-Zeit-Koordinaten (c t, x, y, z) :

Λ_{v}^{spez.} γ_{|v ˆ+u|}( \begin{matrix}c \\ (v ˆ+u)^{1} \\ (v ˆ+u)^{2} \\ (v ˆ+u)^{3} \end{matrix} ) = γ_{|u|}( \begin{matrix}c \\ u^{1} \\ u^{2} \\ u^{3} \end{matrix} ) .  (B.10)

Besonders leicht einzusehen sind folgende beiden Spezialfälle von (B.8):

1. Fall:^{9}

v ∼ u ⟹_{(B.8)} v ˆ+u = \frac{v + u + (γ_{v} − 1)(v + u)}{γ_{v} (1 + \frac{v·u}{c^{2}})} = \frac{v + u}{1 + \frac{v^{1}u^{1}}{c^{2}}} .

Version vom 26. März 2009

8Man sollte nicht von relativistischer ‘Geschwindigkeitsaddition’ reden.

9Man beachte (B.7) und: v ∼ u ⟹ (1 + \frac{v^{1}u^{1}}{c^{2}} ) γ_{v} γ_{u} = γ_{|v ˆ+u|} .

2. Fall:^{10}

v · u = 0 ⟹_{(B.8)} v ˆ+u = v + \frac{u}{γ_{v}} .

Die Zuordnung v, u → v ˆ+u ist i.a. also offensichtlich nicht kommutativ!

Gegeben seien ein Inertialsystem L und folgende drei Inertialsysteme, die durch Boosts aus L hervorgehen:

Inertialsystem L-Geschwindigkeit Koordinaten
L′  v  (c t′, x^{1′}, x^{2′}, x^{3′})
L̂  u  (c t̂, xˆ1, xˆ2, xˆ3)
L̂′  w = v ˆ+u  (c t̂′, xˆ1′, xˆ2′, xˆ3′)

Dann besagt (B.7), daß sich die L̂′-Koordinaten aus den L′-Koordinaten — von einer zusätzlichen Drehung abgesehen — nach den gleichen Regeln ergeben, wie die L̂-Koordinaten aus den L-Koordinaten. Deswegen erscheint die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Länge gleichförmig bewegter Maßstäbe sowie der Laufgeschwindigkeit gleichförmig bewegter Uhren tatsächlich in jedem Inertialsystem gleich.

Eine einfache Rechnung (siehe Abschnitt 2.4.1 von (Lücke, rel)) zeigt, daß

|v ˆ+u|^{2} = c^{2} (1 − \frac{(c^{2} − v^{2})(c^{2} − u^{2})}{(c^{2} + v · u)^{2}}) < c  (B.11)

für beliebige Unterlichtgeschwindigkeiten v, u ∈ ℝ gilt. Sonst stünde das spezielle Relativitätsprinzip im Widerspruch zum

Kausalitätsprinzip:

Es existiert ein Inertialsystem, in dem jede Ursache ihrer Wirkung zeitlich vorausgeht.

Denn, wie man aus Abbildung B.2 leicht erkennt:

Für beliebige Ereignisse E_{1} , E_{2} sind die folgenden beiden Bedingungen äquivalent:

1. Es existiert ein Inertialsystem, in dem man sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen müßte, um an beiden Ereignissen teilzunehmen.^{11}

2. Es existieren ein Inertialsystem L′, für das E_{1} L′-früher als E_{2} und ein Inertialsystem L̂′, für das E_{1} L̂′-später als E_{2} stattfindet.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; E_{2}; x′/Meter; E_{1}; xt′/Meter; ct/Meter; x/Meter; v/c; 1]

Abb. B.2: Raumartig getrennte Ereignisse E_{1} , E_{2} .

Da wir natürlich auch das Kausalitätsprinzip als gültig ansehen wollen, müssen wir folgern:

Signale mit Überlichtgeschwindigkeit lassen sich prinzipiell nicht herstellen!

B.2 Relativistische Dynamik

Auch in der speziellen Relativitätstheorie definiert man den Impuls p eines Massenpunktes als Vielfaches seiner Geschwindigkeit v , wobei nun aber die Proportionalitätskonstante, die träge Masse, von v abhängt:

p =^{def} \underbrace{m(v)}_{träge Masse} v .  (B.12)

Man kann nämlich zeigen (siehe Abschnitt 3.2.1 von (Lücke, rel)), daß nur im Falle

m(v) =^{def} γ_{v} \underbrace{m_{0}}_{Ruhemasse}  (B.13)

die Möglichkeit besteht, daß sich die Vektorsumme der gemäß (B.12) definierten Impulse zweier gleichartiger Teilchen — asymptotisch betrachtet — durch Streuung aneinander grundsätzlich nicht ändert. Wenn man die sog. Ruhemasse m_{0}

Version vom 26. März 2009

10In diesem Fall folgt (B.8) direkt aus der Zeitdilatation.

11In diesem Falle nennt man die Ereignisse raumartig getrennt.

so wie in der nichtrelativistischen Mechanik über die Beschleunigung aus der Ruhelage definiert (siehe Abschn. 3.3.4 von (Lücke, ein)), dann zeigt die Erfahrung aus unzähligen Beschleunigerexperimenten, daß die Vektorsumme der Impulse relativistischer Teilchen vor gegenseitiger Wechselwirkung mit der Vektorsumme der Impulse der Streuprodukte^{12} stets übereinstimmt (Impulserhaltung).

Indem man weiterhin die Kraft F auf bewegte Massenpunkte so definiert, daß

\frac{d}{dt}(\underbrace{γ_{v(t)} m_{0} v(t)}_{= p(t)}) = F(t)  (B.14)

gilt, garantiert man die Additivität der Kraft in folgendem Sinne:

Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses (Vektorsumme der Einzelimpulse) eines Systems relativistischer Massenpunkte stimmt mit der Vektorsumme aller Kräfte auf die einzelnen Massenpunkte überein.

Dafür nimmt man in Kauf, daß die Beschleunigung i.a. nicht mehr in die gleiche Richtung zeigt wie die Kraft:

F =_{(B.14)} \frac{d}{dt} (γ_{v} m_{0} v)
= γ_{v} m_{0} \frac{d}{dt} v + γ_{v}^{−3} (v · \frac{d}{dt} v) m_{0} v
≁^{i.a.}  \frac{d}{dt} v .

Für (nicht singuläre) Lösungen von (B.14) gilt konsistenterweise stets

|v(0)| < c  ⟹  |v(t)| < c ∀ t ∈ ℝ

— wie auch immer die zeitabhängige Kraft F(t) gewählt wird.

Beweis: Aus (B.14) folgt

γ_{v(t)}m_{0} v(t) = γ_{v(0)}m_{0} v(0) + ∫_{0}^{t} F(t′) dt′ .

Da die rechte Seite dieser Gleichung für alle t endlich ist, muß dasselbe für die linke Seite gelten. Deshalb kann |v(t)| nirgends den Wert c annehmen. Daraus folgt die Behauptung aus Stetigkeitsgründen.

Version vom 26. März 2009

12Dabei muß man allerdings gegebenenfalls auch Teilchen verschwindender Ruhemasse (Photonen, Neutronen) berücksichtigen.

Die geschwindigkeitsabhängige Größe

E_{kin} =^{def} γ_{v} m_{0} c^{2} − m_{0} c^{2}  (B.15)

ist als kinetische Energie des Massenpunktes zu interpretieren; denn es gilt

\frac{d}{dt} (γ_{v} m_{0} c^{2}) = v · F ,  (B.16)

also

∫_{t_{0}}^{t} v(t′) · F(t′) dt′E_{kin}(t) − E_{kin}(t_{0}) ,

und E_{kin} verschwindet für v = 0 .

Beweis von (B.16): Die Behauptung folgt mit (B.14) gemäß

v · \frac{d}{dt} (γ_{v} m_{0} v) = m_{0}(v^{2} \frac{d}{dt} γ_{v} + γ_{v} \underbrace{v · \frac{d}{dt}v}_{=c^{2}γ_{v}^{−3} \frac{d}{dt} γ_{v}})

= m_{0} \underbrace{(v^{2} + c^{2}γ_{v}^{−2})}_{=c^{2}} \frac{d}{dt} γ_{v}
= \frac{d}{dt} (γ_{v} m_{0} c^{2})

Anmerkung: Man beachte

E_{kin} ≈ \frac{m_{0}}{2} v^{2} für v ≪ c

und

E_{kin} ⟶_{v→c} ∞ .

Naheliegenderweise bezeichnet man deshalb

E_{ges} =^{def} γ_{v} m_{0} c^{2}

als L-Gesamtenergie eines freien Massenpunktes der Ruhemasse m_{0} , der sich mit der L-Geschwindigkeit v bewegt. Für v → 0 geht sie offensichtlich in die sog. Ruheenergie

E_{0} =^{def} m_{0} c^{2}

über.

Gemäß (B.9)/(B.10) transformieren sich auch die Komponenten des sog. Vierer-Impulses

\underline{p} =^{def} m_{0} \underline{ẋ} =_{(B.9)_{(B.12),(B.13)}}(m(v) c, p)

wie die Raum-Zeit-Komponenten von Ereignissen. Deshalb (siehe Abschnitt 3.2.2 von (Lücke, rel)) folgt aus der asymptotischen Erhaltung des Gesamtimpulses (in jedem Inertialsystem!) die asymptotischen Erhaltung der Summe aller Vierer-Impulse bei Streuprozessen. Es bleibt also auch die asymptotische Gesamtmasse^{13} bzw. — was dasselbe ist — die asymptotische Gesamtenergie bei Streuprozessen erhalten.

Die Annahme, daß die Energieerhaltung — unter Berücksichtigung entsprechender Feldenergien — auch für wechselwirkende Systeme gilt, führte Einstein auf das Prinzip der Kernspaltung:

Normalerweise sollte bei der Fusion von Protonen und Neutronen zu einem Atomkern Bindungsenergie frei werden. Wenn also die Ruhemasse eines Atomkerns größer ist als die Summe der Ruhemassen der Protonen und Neutronen, aus denen er zusammengesetzt ist, dann sollte dieser Kern relativ leicht zu einem Zerfall anregbar sein, bei dem dann entsprechende Energie frei wird.

Es läßt sich zeigen (siehe Abschnitt 3.1.2 von (Lücke, rel)), daß sich auch die Komponenten der sog. Vierer-Beschleunigung

\underline{ẍ}(t) =^{def} (γ_{|\frac{d}{dt} x(t)|} \frac{d}{dt})^{2} (ct, x(t))

wie die Raum-Zeit-Koordinaten von Ereignissen transformieren. Wegen

m_{0} \underline{ẍ}  =  γ_{v} (\frac{d}{dt} (γ_{v} m_{0} c) , \frac{d}{dt} (γ_{v} m_{0} v))
=_{(B.16),(B.14)} γ_{v} (\frac{1}{c} v · F , F)

transformieren sich somit auch die Komponenten der sog. Vierer-Kraft

\underline{F} =^{def} γ_{v} (\frac{1}{c} v · F , F)

wie die Raum-Zeit-Koordinaten von Ereignissen. Insbesondere gilt also (für v ≠ 0)

F = F′_{∥} + \frac{1}{γ_{v}} (F′ − F′_{∥})

mit

F′_{∥} =^{def} (\frac{v}{v} · F′) \frac{v}{v} ,

wenn F′ die entsprechende Kraft ist, die auf das Teilchen der L-Geschwindigkeit v in dessen Ruhesystem wirkt. Das erklärt z.B., warum in einem relativ zu L bewegten Inertialsystem L′ ein Magnetfeld ‘erscheint’, wenn in L nur ein elektrisches Feld vorliegt.

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13Während des Stoßprozesses ändert sich die Gesamtmasse i.a. natürlich, wenn man die Felder unberücksichtigt läßt, die die Wechselwirkung vermitteln.

134 ANHANG B. RELATIVISTISCHE MECHANIK

Anhang C

Übungsaufgaben^{0}

Übungsaufgabe 1 Gegeben seien ein offenes Zeitintervall J mit 0 ∈ J und eine stetig differenzierbare Ortsvektorfunktion x(t) , die den Bedingungen

x(t) ≠ 0 ∀ t ∈ J

und

x(t) × ẋ(t) = 0 ∀ t ∈ J

genüge. Man zeige:

x(t) = |x(t)| \frac{x(0)}{|x(0)|} ∀ t ∈ J .

Übungsaufgabe 2 Gegeben seien zwei Massenpunkte m_{1} resp. m_{2} mit den Ortsvektorfunktionen x_{1}(t) resp. x_{2}(t) , die zur Zeit t = 0 ruhen:

ẋ_{1}(0) = ẋ_{2}(0) = 0 .

Die einzigen Kräfte, die auf die Massenpunkte wirken, seien durch das stetig differenzierbare Zweikörperpotential U gegeben:

m_{j} ẍ_{j}(t) = −∇_{x_{j}(t)} U(|x_{1}(t) − x_{2}(t)|) ∀ t ∈ ℝ; j = 1, 2 .

Weiterhin sei ein offenes Zeitintervall J gegeben mit 0 ∈ J und

x_{1}(t) ≠ x_{2}(t) ∀ t ∈ J .

Man zeige, daß eine Funktion λ_{1}(t) existiert, für die^{1}

x_{1}(t) = λ_{1}(t) x_{1}(0) + (1 − λ_{1}(t)) x_{2}(0) ∀ t ∈ J

gilt und interpretiere dieses Ergebnis geometrisch.

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0Die Übungsaufgaben wurden zum Teil gemeinsam mit W. Scherer erstellt.

1Hinweis: Man untersuche die Bewegung in Relativ- und Schwerpunktskoordinaten (vgl. Aufgabe 30 zu Math. Meth. d. Phys. ) und beachte den Flächensatz.

Übungsaufgabe 3 Gegeben sei ein System von Massenpunkten m_{1} , m_{2} , m_{3} , für das sowohl der Gesamtimpuls als auch der Gesamtdrehimpuls für alle Zeiten 0 ist.

Man zeige, daß sich die Massenpunkte in einer festen Ebene bewegen,^{2} solange sie sich nicht auf einer Geraden befinden.

Übungsaufgabe 4 Die zeitabhängige Dichte einer Massenverteilung sei μ(x, t) , die zugehörige Massenstromdichte sei ȷ (x, t) . Sowohl die Momentangeschwindigkeiten als auch die Momentanbeschleunigungen aller Massenanteile am selben Ort seien jeweils alle gleich.^{3} Man zeige, daß

a = \frac{μ \frac{∂}{∂t}ȷ − ȷ \frac{∂}{∂t}μ}{μ^{2}} + \frac{μ (ȷ · ∇) ȷ − ȷ (ȷ · ∇) μ}{μ^{3}}

die zugehörige Beschleunigungsverteilung ist.

Übungsaufgabe 5 Sei K ein (nicht notwendig starrer) ausgedehnter Körper mit (hinreichend gutartiger) Massendichte μ(x, t) , Geschwindigkeitsverteilung v(x, t) und Beschleunigungsverteilung a(x, t) . Die Gesamtkraft auf K zur Zeit t sei gemäß

F(t) = ∫_{ℝ^{3}} f(x, t) dV_{x} ,

durch eine (hinreichend gutartige) Volumenkraft-Dichte f(x, t) gegeben. Man zeige, daß mit den Definitionen

P(t) =^{def} ∫_{ℝ^{3}} μ(x, t) v(x, t) dV_{x} , (Gesamtimpuls ) ,
M =^{def} ∫_{ℝ^{3}} μ(x, t) dV_{x} ,  (Gesamtmasse, unabhängig von t ) ,
X(t) =^{def} \frac{1}{M} ∫_{ℝ^{3}} μ(x, t) x dV_{x} , (Schwerpunkts-Ortsvektor ) ,

die Gleichung

P(t) = M Ẋ(t)

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2Hinweis: Man zeige, daß der Eigendrehimpuls des Massenpunktsystems verschwindet und werte das für das innere Produkt des Eigendrehimpulses mit x_{1} − x_{3} aus. Damit läßt sich z.B.

ẋ_{2}(t) · ((x_{1}(t) − x_{3}(t)) × (x_{2}(t) − x_{3}(t))) = 0 ∀ r ∈ ℝ

zeigen und schließlich

(x_{1}(t) − x_{3}(t)) · \frac{d}{dt}((x_{1}(t) − x_{3}(t)) × (x_{2}(t) − x_{3}(t))) = 0 ∀ t ∈ ℝ .

3Für Gase ist das nicht i.a. nicht der Fall.

gilt^{4} und aus

f(x, t) = μ(x, t) a(x, t)

die Newtonsche Bewegungsgleichung

M Ẍ(t) = F(t)

für den Schwerpunkt von K folgt.

Übungsaufgabe 6 Seien K, μ(x, t), v(x, t), a(x, t) und f(x, t) wie in Aufgabe 5 vorgegeben. Das Gesamtdrehmoment auf K (bzgl. des Ortsvektor-Bezugspunktes) zur Zeit t sei

M(t) = ∫_{ℝ^{3}} x × f(x, t) dV_{x} .

Man zeige die Gültigkeit der Gleichung

M(t) = \frac{d}{dt} L(t) ,

wobei

L(t) =^{def} ∫_{ℝ^{3}} x × (μ(x, t) v(x, t)) dV_{x}

den Gesamtdrehimpuls von K (bzgl. des Ortsvektor-Bezugspunktes) zur Zeit t bezeichnet.

Übungsaufgabe 7 Ein homogener Zylinder der Gesamtmasse m rolle (ohne zu rutschen, auf schnellstem Wege) unter dem Einfluß der konstant angenommenen Schwerkraft mg eine schiefe Ebene mit der Flächennormalen n herab. Man bestimme mithilfe des Energiesatzes und der Bewegungsgleichung für den Eigendrehimpuls die zu n senkrechte Komponente der (Zwangs-) Kraft, die die Ebene auf den Zylinder ausübt.

Übungsaufgabe 8 Man zeige, daß die kinematische Nebenbedingung

ẋ^{2}(t) cos(\frac{x^{3}(t)}{Einh. v. x^{3}} ) − ẋ^{1} sin(\frac{x^{3}(t)}{Einh. v. x^{3}} ) = 0 ∀ t ∈ [t_{1}, t_{2}]

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4Man zeige zunächst, daß für hinreichend gutartige Φ(x) , ȷ (x)

∫_{ℝ^{3}} Φ (x) ∇ · ȷ (x) dV_{x} = − ∫_{ℝ^{3}} ȷ (x) · ∇Φ (x) dV_{x}

gilt, und beachte die Kontinuitätsgleichung.

nicht holonom sind,^{5} daß sich aber insgesamt holonome Nebenbedingungen ergeben, wenn man die Nebendingungen

\begin{matrix}x^{1}(t) = x^{2}(t) , \\ \frac{x^{3}(t)}{Einh. v.} = \frac{π}{4} \end{matrix} \} ∀ t ∈ [t_{1}, t_{2}] ∀ t ∈ ℝ

noch hinzufügt.

Übungsaufgabe 9 Ein Snakeboard ist ein modifiziertes Skateboard, bei dem beide Radachsen^{6} parallel zum Brett frei drehbar sind. Zur Charakterisierung des Snakeboard-Zustandes^{7} benötigen wir die Parameter:

( \begin{matrix}1-Koordinate des Brettschwerpunkts/R \\ 2-Koordinate des Brettschwerpunkts/R \\ Polarwinkel des Bretts \\ Polarwinkel der vorderen Achse \\ Polarwinkel der hinteren Achse \end{matrix} ) = ξ =^{def} ( \begin{matrix}x_{s}^{1}/R \\ x_{s}^{2}/R \\ ϑ \\ φ_{+} \\ φ_{−} \end{matrix} ) .

Die kinematischen Nebenbedingungen bestehen darin, daß sich die Achsenschwerpunkte bei rollendem Snakeboard nur senkrecht zur Ausrichtung der jeweiligen Achse bewegen können. Man gebe diese Nebenbedingungen in der Form

⟨α_{±}(ξ) | ξ̇⟩ =^{def} ∑_{k=1}^{5} α_{±}^{k}(ξ) ξ̇^{k} = 0

an und zeige, daß sie zwar skleronom aber nicht holonom sind.

Übungsaufgabe 10 Ein Massenpunkt m gleite unter dem Einfluß der konstant angenommenen Schwerkraft −m g e_{3} auf einer glatten Ebene, die sich mit der konstanten Geschwindigkeit v e_{1} bewege und die Flächennormale n = cos α e_{1} + sin α e_{3} habe. Die Geschwindigkeit des Massenpunkts zur Zeit 0 sei ebenfalls v . Man zeige:

a) Die Arbeit, die die Schwerkraft an m während des Zeitintervalls [0, t] verrichtet,

ist

W_{g}(t) = \frac{m}{2} (t g cos α)^{2} .

Version vom 26. März 2009

5Man nennt üblicherweise bereits die kinematischen Nebenbedingungen für sich nicht holonom, wenn sie sich durch keine Auswahl der erlaubten Anfangspositionen zu einem System holonomer Nebenbedingungen ergänzen lassen.

6Der Schwerpunkt des Snakebords liege genau zwischen beiden Achsenschwerpunkten, die den Abstand 2R haben.

7Wir interessieren uns nicht für den Umdrehungsstand der Räder.

b) Die Arbeit, die die Ebene an m während des Zeitintervalls [0, t] verrichtet, ist

W_{Z}(t) = (m g sin α cos α) v t .

Übungsaufgabe 11 Man zeige mithilfe des D’Alembertschen Prinzips und der Newtonschen Bewegungsgleichung, daß die Zwangskraft beim sphährischen Pendel (mit beliebig bewegtem Aufhängepunkt) tatsächlich parallel (bzw. antiparallel) zur Pendelstange sein muß.

Übungsaufgabe 12 Man zeige mithilfe des D’Alembertschen Prinzips und der Newtonschen Bewegungsgleichung, daß die Zwangskräfte des in Abschnitt 1.1.1.1 der Vorlesung als Beispiel (ii) betrachteten Doppelpendels tatsächlich für alle Zeiten t den Bedingungen

F_{2}^{Z}(t) ∼ x_{1}(t) − x_{2}(t) , F_{1}^{Z}(t) + F_{2}^{Z}(t) ∼ x_{1}(t) − x_{0}(t)

genügen und gebe dafür eine anschauliche Erklärung.

Übungsaufgabe 13 Man leite das in Abschnitt 2.2.1 der Math. Meth. d. Phys. formulierte Hebelgesetz aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit – Gleichung (1.14) der Vorlesung – ab.^{8}

Übungsaufgabe 14 Das Ende einer Schraube in einem reibungsfreien Gewinde drücke mit der Kraft F auf ein Gegenstück. Das Gewinde entspreche einem Schraubenvorschub um die Strecke Δs pro Schraubendrehung.

Man bestimme mithilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit das dafür auf die Schraube auszuübende Drehmoment M .

Version vom 26. März 2009

8Hinweis: Man betrachte ein System von zwei Massenpunkten, die am Ende starrer, masseloser, im Punkte P_{0} frei drehbar befestigter Stangen angebracht sind und mit einer weiteren starren, masselosen Stange auf konstantem Abstand voneinander gehalten werden.

Übungsaufgabe 15

Ein Gewicht G sei folgendermas-

sen an einem einfachen Galgen

aufgehängt:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; γ; G; F; A; D; B; C; ϑ]

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Übungsaufgabe 16 Ein Massenpunkt gleite unter dem Einfluß der Schwerkraft −mge_{3} reibungsfrei auf einer Ebene, die die Gerade in Richtung e_{2} durch P_{0} enthält. Die Flächennormale n(t) hänge explizit von der Zeit t ab. Man wähle zwei geeignete generalisierte Koordinaten und bestimme dazu die Lagrange-Gleichungen II. Art.

Übungsaufgabe 17 Ein Massenpunkt gleite unter dem Einfluß der Schwerkraft −m g e_{3} reibungsfrei auf einer Kugel mit Radius R.

a) Man wähle alle drei Kugelkoordinaten r, θ, φ als generalisierte Kugelkoordinaten, stelle dazu die entsprechenden Lagrange-Gleichungen I. Art auf und bestimme die Zwangskraft, die die Kugeloberfläche auf den Massenpunkt ausübt.

b) Man wähle die Kugelkoordinaten θ, φ als generalisierte Kugelkoordinaten, stelle dazu die Lagrange-Gleichungen II. Art auf, die die Bewegung des Massenpunkts bestimmen (solange er nicht von der Kugel abspringt), und diskutiere die zugehörigen Erhaltungssätze.

Übungsaufgabe 18 Für die in 1.1.3.2 untersuchte Hantel bestimme man die kinetische Energie T als Funktion der dort benutzten Winkel ϑ, φ sowie der Zeit und zeige damit, daß die Gleichungen (1.52) der Vorlesung (bis auf einen Faktor) mit den in 1.1.3.2 abgeleiteten Bewegungsgleichungen (1.23) übereinstimmen.

Übungsaufgabe 19 Ein undehnbarer, masseloser Faden der Länge R_{1} sei mit einem Ende im Koordinatenursprung P_{0} befestigt. Am anderen Ende des gespannten Fadens sei ein Massenpunkt m_{1} befestigt. Der Massenpunkt m_{1} wiederum sei durch einen gespannten, undehnbaren, masselosen Faden der Länge R_{2} mit einem Massenpunkt m_{2} verbunden. Die Erdbeschleunigung sei näherungsweise als konstant +g e_{3} angenommen.

Man wähle für dieses Doppelpendel vier geeignete generalisierte Koordinaten, bestimme die zugehörige Lagrange-Funktion, gebe zwei Erhaltungsgrößen an und stelle die Bewegungsgleichungen für den Spezialfall auf, daß sich beide Massenpunkte in der e_{1}-e_{3}-Ebene bewegen.

Übungsaufgabe 20 Betrachtet sei ein System von Massenpunkten m_{1}, …, m_{N} (nicht verschwindender Masse), deren Ortsvektoren x_{γ} sich (lokal) durch generalisierte Koordinaten q^{1}, …, q^{n}, die keinen Einschränkungen unterliegen, so beschreiben lassen, daß

ℝ^{n} ∋ E ≠ 0 ⟹ \{∑_{ν=1}^{n} E^{ν} \frac{∂}{∂q^{ν}} x_{γ} : γ ∈ \{1, …, N\}\} ≠ \{0\}

gilt. Für eingeprägte Kräfte, die sich durch ein verallgemeinertes Potential beschreiben lassen, zeige man allgemein, daß die entsprechenden Lagrange-Gleichungen II. Art zu vorgegebenen erlaubten Anfangsbedingungen (lokal) stets eindeutig lösbar sind.^{10}

Übungsaufgabe 21 Man zeige, daß die uneingeschränkte Bewegung eines Massenpunktes m im Kraftfeld eines Potentials der Form

V (x) = − (x · e_{1})^{4} α , α > 0 ,

nur im Falle spezieller Anfangsbedingungen für alle Zeiten wohldefiniert sein kann.^{11}

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10Hinweis: Man zeige zunächst, daß die Matrix der

α_{ν,μ} =^{def} ∑_{γ=1}^{N} \frac{m_{γ}}{2} (\frac{∂}{∂q^{ν}} x_{γ}) · (\frac{∂}{∂q^{μ}} x_{γ}) für ν, μ = 1, …, n

nur positive Eigenwerte besitzt und deshalb invertierbar ist.

11Hinweis: Dieses Problem läßt sich auf das von Aufgabe 54 der Math. Meth. d. Phys. zurückführen.

Übungsaufgabe 22 Betrachtet sei ein einzelner Massenpunkt mit der Ortsvektorfunktion x(t) , die den kinetischen Nebenbedingungen^{12}

\begin{matrix}ẋ(t) · (e_{1} × x(t)) & = & 0 , \\ ẋ(t) · (e_{3} × x(t)) & = & 0 , \\ ẋ(t) · x(t) & = & 0 \end{matrix} \} ∀ t ≥ t_{1}

unterliege.

Man zeige, daß sich ein holonomes System mit einem einzigen Freiheitsgrad ergibt, wenn man die zum Anfangszeitpunkt t_{1} erlaubten Positionen geeignet einschränkt.

Übungsaufgabe 23

a) Für beliebig vorgegebene (hinreichend gutartige) Lagrange-Funktionen L_{1}(x, ẋ, t) , L_{2}(x, ẋ, t) zeige man, daß

(\frac{d}{dt} ∇ẋ L_{1} − ∇_{x} L_{1}) (x, ẋ, ẍ, t) = (\frac{d}{dt} ∇ẋ L_{2} − ∇_{x} L_{2}) (x, ẋ, ẍ, t)

für alle (x, ẋ, ẍ, t) ∈ ℝ^{10} genau dann gilt, wenn ein (hinreichend gutartiges, zeitabhängiges) Skalarfeld f(x, t) existiert mit

L_{1}(x, ẋ, t) − L_{2}(x, ẋ, t) = ḟ(x, ẋ, t) ∀ (x, ẋ, t) ∈ ℝ^{3+3+1} .

(b) Man diskutiere die Bedeutung des entsprechenden Sachverhalts für die in Abschnitt 1.2.2.3 betrachteten verallgemeinerten Potentiale elektromagnetischer Kräfte.

Übungsaufgabe 24 Ein homogener Vollzylinder mit dem Radius R und der Gesamtmasse m rolle (ohne zu rutschen) auf einer Ebene mit der Flächennormalen n .

a) Man wähle den Abrollwinkel φ als (einzige) generalisierte Koordinate und zeige für beliebige eingeprägte Volumenkräfte, daß die generalisierte eingeprägte Kraft mit dem Gesamtdrehmoment aller eingeprägten Kräfte bzgl. der momentanen Drehachse^{13} übereinstimmt.

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12Hinweis: Man zeige zunächst mithilfe des Entwicklungssatzes

ẋ · (e_{j} × x) = 0 ⟹ (e_{j} × ẋ) × (e_{j} × x) = 0

und beachte Übungsaufgabe 1.

13Gemeint ist die Komponente (entsprechender Orientierung) parallel zur momentanen Drehachse bzgl. eines (beliebigen) Punktes auf der momentanen Drehachse.

b) Man bestimme das verallgemeinerte Potential U(φ) für den Fall, daß bei den eingeprägten Kräften nur der Einfluß des Schwerefeldes g zu berücksichtigen ist und die momentane Drehachse stets in Richtung von n × g zeigt. Dazu bestimme man die verallgemeinerte eingeprägte Kraft Q_{φ}^{e} = −\frac{∂}{∂φ}U(φ) und überpüfe die Konsistenz mit a).

Übungsaufgabe 25 Gegeben sei ein (holonomes) System von Massenpunkten m_{1}, …, m_{N} , dessen Bewegungsgleichungen (lokal) in geeigneten generalisierten Koordinaten q^{1}, …, q^{n} durch die Gleichungen (1.59) der Vorlesung gegeben seien. Dazu sei angenommen, daß konstante Vektoren e , x_{0} existieren mit

\frac{∂}{∂q^{1}} x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) = e × (x_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) − x_{0}) ∀ ν ∈ \{1, …, N\}

Man zeige, daß q^{1} genau dann (lokal) zyklisch ist, wenn das verallgemeinerte Potential U (lokal) von q^{1} unabhängig ist.^{14}

Übungsaufgabe 26 Ein Massenpunkt m gleite unter dem Einfluß der konstanten Schwerkraft m g e_{3} reibungsfrei auf einem Kreisring mit Radius R und zu e_{3} senkrechter Symmetrieachse, der entsprechend der konstanten vektoriellen Kreisfrequenz ω e_{3} um seinen festen Mittelpunkt rotiere.

a) Man wähle eine geeignete generalisierte Koordinate und bestimme die zugehörige Lagrange-Gleichung II. Art.

b) Man bestimme diejenigen Positionen, um die herum beliebig kleine Schwingungen auf dem Kreisring möglich sind, und gebe die entsprechenden — linear genäherten — Schwingungsgleichungen an.

c) Man zeige, daß die Gesamtenergie des Massenpunktes nicht erhalten ist und gebe dafür eine phyikalische Erklärung.

Übungsaufgabe 27

a) Man beweise für beliebig vorgegebene 3×3 -Matrizen Â, B̂ die sog. Campbell-Hausdorff-Formel^{15}

eÂB̂e^{−Â} = exp(adÂ) B̂ ,

wobei

adÂĈ =^{def} [Â, Ĉ]_{−} für 3 × 3 -Matrizen Ĉ .

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14Hinweis: Man beachte die zweite der Gleichungen (1.45) der Vorlesung.

15Hinweis: Man betrachte die Formel für λÂ anstelle von Â und untersuche die Ableitungen beider Seiten der Gleichung nach λ analog zur Begründung von Gleichung (2.8) der Vorlesung.

b) Man beweise die Gleichungen

R_{ψ e_{3}} J_{−ϑ̇ e_{1}} R_{−ψ e_{3}} = J_{−ϑ̇ (cos ψ e_{1}−sin ψ e_{2})} ,
R_{ψ e_{3}} R_{ϑ e_{1}} J_{−ϕ̇ e_{3}} R_{−ϑ e_{1}} R_{−ψ e_{3}} = J_{−ϕ̇(sin ϑ(sin ψ e_{1}+cos ψ e_{2})+cos ϑ e_{3})}

mithilfe der Campbell-Hausdorff-Formel und der Vertauschungsrelationen (2.12).

Übungsaufgabe 28 Eine homogene Kugel der Masse M mit dem Radius R rolle (mit beliebigem Drall) ohne Rollwiderstand unter dem Einfluß der Schwerkraft −M g (sin α e_{1} + cos α e_{3}) auf der e_{1}-e_{2}-Ebene.

a) Man wähle Eulersche Winkel für die Kugelorientierung und zwei karthesische Koordinaten für den Kugelschwerpunkt als generalisierte Koordinaten, bestimme dafür die Nebenbedingungen^{16} und ermittle die zugehörigen Lagrange-Gleichungen (vom gemischten Typ).

b) Man bestimme den allgemeinsten Bewegungsablauf der Kugel für α = 0 .

Übungsaufgabe 29 Man zeige mithilfe von Gleichung (2.16) der Vorlesung, daß die Eulerschen Gleichungen (2.44) des kräftefreien Kreisels genau dann erfüllt sind, wenn der Drehimpuls zeitlich konstant ist.

Übungsaufgabe 30 Man zeige, daß der in Gleichung (2.59) der Vorlesung angegebene, zu ϕ kanonisch konjugierte Impuls (für den Fall θ_{1} = θ_{2}) mit der e_{3}- Komponente des Drehimpulses übereinstimmt.

Übungsaufgabe 31 Ein Massenpunkt m gleite reibungsfrei auf einer Kugel mit Radius R unter dem Einfluß der konstanten Kraft −mg e_{3} sowie der zusätzlichen Coriolis-Kraft

C(t) = −2 m ω′ × ẋ(t) , ω′ = ω_{C} cos θ e_{3} − ω_{C} sin θ e_{1} .

Als Koordinatenursprung P_{0} sei der Kugelmittelpunkt gewählt.

a) Man bestimme die zugehörigen Lagrange-Gleichungen I. Art in karthesischen Koordinaten und zeige, daß die Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße ist.

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16Man beachte Fußnote 28 von Kapitel 2.

b) Man zeige, daß sich für kleine Schwindungen (Foucaultsches Pendel), d.h. für

|\frac{x^{3}(t) + R}{x^{3}(t)}| ≪ 1 , |ẍ^{3}(t)| ≪ g , ∥ẋ^{3}(t)∥ ≪ 1 ,

die Näherungsgleichung

z̈(t) + 2 i Ω ż(t) + ω_{g}^{2} z(t) = 0

für z(t) =^{def} x^{1}(t) + i x^{2}(t) ergibt, wobei

Ω =^{def} ω_{C} cos θ , ω_{g} =^{def} ^{+} \sqrt{\frac{g}{R}} .

c) Man löse diese Näherungsgleichungen für z(t) und diskutiere das Ergebnis für 0 ≤ Ω ≪ ω_{g}.

Übungsaufgabe 32 Sei θ_{t}^{S} der Trägheitstensor eines starren Körpers K der Gesamtmasse M bezüglich seines Schwerpunktes X(t) .

Man zeige, daß der Trägheitstensor θ_{t} von K bzgl. x_{0}(t) durch

θ_{t}(ω_{1}, ω_{2}) = θ_{t}^{S}(ω_{1}, ω_{2}) + M(ω_{1} × (X(t) − x_{0}(t))) · (ω_{2} × (X(t) − x_{0}(t)))

gegeben ist und im allgemein andere Hauptträgheitsachsen hat als θ_{t}^{S} .

Übungsaufgabe 33 Es sei x(t) eine (hinreichend gutartige) 1-Teilchen-Bewegung die der Bedingung

0 = (\frac{d}{ds} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |\frac{∂}{∂t}x(t, s)|^{2} dt)_{|_{s=0}}

für alle t_{1}, t_{2} ∈ ℝ und alle Variationen

(x(t), t_{1}, t_{2}) ⟼ (x(t, s), t_{1}, t_{2})

mit

{x(t) : t ∈ [t_{1}, t_{2}]} = {x(t, s) : t ∈ [t_{1}, t_{2}]} ∀ s ∈ ℝ ,
x(t, 0) = x(t) ∀ t ∈ [t_{1}, t_{2}]

und

x(t_{j}, s) = x(t_{j}) ∀ j ∈ {1, 2} , s ∈ ℝ

genügt.

Man zeige, daß |ẋ(t)| über [t_{1}, t_{2}] zeitlich konstant ist.

Übungsaufgabe 34 Gegeben sei ein System von N Massenpunkten der in Aufgabe 20 betrachteten Art.

Man beweise für jeweils festes (q, t) , daß L(q, q̇, t) eine streng konvexe Funktion von q̇ ist und

\{p = (p^{1}, …, p^{n}) : ∃ q̇ ∈ ℝ^{n} : p^{ν} = \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L(q, q̇, t) ∀ ν ∈ \{1, …, n\}\} = ℝ^{n}

gilt.

Übungsaufgabe 35 Die generalisierten Koordinaten q seien über einem hinreichend gutartigen (einfach zusammenhängenden) Teilgebiet G des ℝ^{n} wohldefiniert. f_{1}(q, p, t) , f_{2}(q, p, t) , f_{3}(q, p, t) seien hinreichend gutartige Funktionen über G×ℝ^{n}× ℝ, die für hinreichend großes p verschwinden. Man zeige:

a) Mit der Definition^{17}

X_{f_{j}} =^{def} ∑_{ν=1}^{n} (\frac{∂f_{j}}{∂p_{ν}} \frac{∂}{∂q^{ν}} − \frac{∂f_{j}}{∂q^{ν}} \frac{∂}{∂p_{ν}} )

gilt

X_{f_{1}} = X_{f_{2}} ⟺ f_{1} = f_{2} .

b)

X_{{f_{k},f_{j}}_{q,p}} = [X_{f_{j}} , X_{f_{k}}]_{−} =^{def} X_{f_{j}} X_{f_{k}} − X_{f_{k}} X_{f_{j}} ∀ j, k ∈ {1, 2, 3} .

c) Es gilt die Jacobi-Identität^{18}

{f_{1}, {f_{2}, f_{3}}_{q,p}}_{q,p} + {f_{2}, {f_{3}, f_{1}}_{q,p}}_{q,p} + {f_{3}, {f_{1}, f_{2}}_{q,p}}_{q,p} = 0 .

Übungsaufgabe 36 Man bestimme die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen für das sphärische Pendel im homogenen Kraftfeld mit den Polarwinkeln als verallgemeinerten Koordinaten.

Übungsaufgabe 37 Man zeige, daß das Variationsprinzip (3.28) auch dann noch äquivalent zu den kanonischen Gleichungen (3.17)/(3.18) ist, wenn man die Bedingung

p(t_{j}, s) = p(t_{j}) für j = 1, 2 und beliebiges s

an die erlaubten Variationen fallen läßt.

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17Vgl. (A.19).

18Siehe Gleichung (3.24) der Vorlesung.

Übungsaufgabe 38 Gegeben sei ein Massenpunkt m, der sich in der e_{1}-e_{2}-Ebene unter dem Einfluß der eingeprägten Kraft

F^{e}(x) = −D x

bewege.

a) Man wähle x^{1}, x^{2} als generalisierte Koordinaten und gebe dafür die Lagrange-Funktion, die Hamilton-Funktion und die Lösung

(x^{1}(t), x^{2}(t)) = (x_{x_{0}^{1},v_{0}^{1}}^{1}(t), x_{x_{0}^{2},v_{0}^{2}}^{2}(t))

der Bewegungsgleichungen zu den Anfangsbedingungen

\begin{matrix}x^{j}(0) = x_{0}^{j} , \\ ẋ^{j}(0) = v_{0}^{j} \end{matrix} \} ∀ j ∈ \{1, 2\}

an.

b) Man zeige explizit, daß — in dieser Bezeichnungsweise — für jede Lösung x^{1}(t) , x^{2}(t) die Flußbedingung

x^{j}(t_{1} + t_{2}) = x_{x^{j}(t_{1}), ẋ^{j}(t_{1})}^{j}(t_{2}) ∀ j ∈ {1, 2} , t_{1}, t_{2} ∈ ℝ

erfüllt ist.

Übungsaufgabe 39 Man behandle

L(x_{1}, x_{2}, ẋ_{1}, ẋ_{2}) = ẋ_{1}ẋ_{2} − ω^{2}x_{1}x_{2}

formal als Lagrange-Funktion eines Teilchen im ℝ^{2} :

a) Man bestimme dazu die Euler-Lagrange-Gleichungen, die Hamilton-Funktion und die kanonischen Gleichungen (3.17)/(3.18).

b) Man zeige, daß ẋ_{1} ẋ_{2} + ω^{2} x_{1} x_{2} eine Erhaltungsgröße ist.

Übungsaufgabe 40 Man zeige, daß jede eindimensionale Differentialgleichung der Form

ẍ + f(x) = 0

äquivalent zu den kanonischen Gleichungen einer Hamilton-Funktion der Form

H(x, p) = \frac{p^{2}}{2} + U(x)

ist. Für den Fall U(x) = a x^{2} + b x^{3} mit negativen Konstanten a, b (entsprechender physikalischer Dimension) skizziere man das Phasenportrait (die Bahnen in der x, p-Ebene) zusammen mit dem Graphen der Potentialfunktion U(x) .

148 ANHANG C. ÜBUNGSAUFGABEN

Anhang D Lösungsvorschläge

Zu Aufgabe 1: Aus der Voraussetzung

x(t) × ẋ(t) = 0 ∀ t ∈ J

folgt die Existenz einer Funktion g(t) mit

ẋ(t) = g(t) x(t) ∀ t ∈ J  (D.1)

und somit

\frac{d}{dt} \frac{x(t)}{|x(t)|} = (g(t) − \frac{\frac{d}{dt} |x(t)|}{|x(t)|}) \frac{x(t)}{|x(t)|} ∀ t ∈ J .

Wegen^{1}

0 = \frac{d}{dt} (\frac{x(t)}{|x(t)|} · \frac{x(t)}{|x(t)|}) = 2 \frac{x(t)}{|x(t)|} · \frac{d}{dt} \frac{x(t)}{|x(t)|} ∀ t ∈ J

folgt daraus

\frac{d}{dt} \frac{x(t)}{|x(t)|} = 0 ∀ t ∈ J

und somit

\frac{x(t)}{|x(t)|} = \frac{x(0)}{|x(0)|} ∀ t ∈ J .

Zu Aufgabe 2: Gemäß Aufgabe 30 von Math. Meth. d. Phys. genügen die Ortsvektorfunktionen

x_{s}(t) =^{def} \frac{m_{1} x_{1}(t) + m_{2} x_{2}(t)}{m_{1} + m_{2}} , x_{r}(t) =^{def} x_{1}(t) − x_{2}(t)

für Schwerpunkts- und Relativbewegung den Gleichungen

ẍ_{s}(t) = 0  (D.2)

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1Oder, alternativ, wegen \frac{\frac{d}{dt} |x(t)|}{|x(t)|} =_{(D.1)} g(t) .

150 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE

und

μ ẍ_{r}(t) = −grad U(|x_{r}(t)|) (= −U′(|x_{r}(t)|) \frac{x_{r}(t)}{|x_{r}(t)|}) ,  (D.3)

wobei

μ =^{def} \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (reduzierte Masse) .

Aus (D.2) folgt

ẋ_{s}(t) = ẋ_{s}(0) = \frac{m_{1} ẋ_{1}(0) + m_{2} ẋ_{2}(0)}{m_{1} + m_{2}} =_{Vorauss.} 0 ∀ t ∈ ℝ

und somit

x_{s}(t) = x_{s}(0) = \frac{m_{1} x_{1}(0) + m_{2} x_{2}(0)}{m_{1} + m_{2}} ∀ t ∈ ℝ .  (D.4)

Aus (D.3) folgt gemäß Flächensatz

\frac{d}{dt} (x_{r}(t) × ẋ_{r}(t)) = 0 ∀ t ∈ ℝ

und somit gemäß Aufgabe 1:

x_{r}(t) = |x_{r}(t)| \frac{x_{r}(0)}{|x_{r}(0)|} ∀ t ∈ J .

Mit

x_{1}(t) = x_{s}(t) + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} x_{r}(t) ∀ t ∈ ℝ

und (D.4) folgt daraus

x_{1}(t) = λ_{1}(t) x_{1}(0) + (1 − λ_{1}(t)) x_{2}(0) ∀ t ∈ J ,

wobei

λ_{1}(t) =^{def} \frac{m_{1} + m_{2} |x_{r}(t)| / |x_{r}(0)|}{m_{1} + m_{2}} .

Geometrische Interpretation:

Massenpunkt 1 bewegt sich während des Zeitintervalls J auf der Geraden durch die Punkte mit den Ortsvektoren x_{1}(0) und x_{2}(0) .

Man beachte, daß die Numerierung der Massenpunkte beliebig ist. Massenpunkt 2 bewegt sich also auf der gleichen Geraden. Zu Aufgabe 3: Da der Bahndrehimpuls wegen

(m_{1} + m_{2} + m_{3}) Ẋ(t) = ∑_{j=1}^{3} m_{j} ẋ_{j}(t) =_{Vorauss.} 0  (D.5)

verschwindet, verschwindet gemäß Abschnitt 3.4.2 von Math. Meth. d. Phys. auch der Eigendrehimpuls. Mit

(m_{1} + m_{2} + m_{3}) (x_{1}(t) − X(t)) = m_{2}(x_{1}(t) − x_{2}(t)) + m_{3}(x_{1}(t) − x_{3}(t))
(m_{1} + m_{2} + m_{3}) (x_{2}(t) − X(t)) = m_{3}(x_{2}(t) − x_{3}(t)) + m_{1}(x_{2}(t) − x_{1}(t))
(m_{1} + m_{2} + m_{3}) (x_{3}(t) − X(t)) = m_{1}(x_{3}(t) − x_{1}(t)) + m_{2}(x_{3}(t) − x_{2}(t))

und (D.5) folgt daraus

0 = (m_{2}(x_{1}(t) − x_{2}(t)) + m_{3}(x_{1}(t) − x_{3}(t))) × m_{1} ẋ_{1}(t)
+(m_{3}(x_{2}(t) − x_{3}(t)) + m_{1}(x_{2}(t) − x_{1}(t))) × m_{2} ẋ_{2}(t)
+(m_{1}(x_{3}(t) − x_{1}(t)) + m_{2}(x_{3}(t) − x_{2}(t))) × m_{3} ẋ_{3}(t) .

Unter Beachtung von

x_{1} − x_{2} = (x_{1} − x_{3}) + (x_{3} − x_{2})

ergibt sich daraus durch Bildung des inneren Produktes mit (x_{1} − x_{3})

0 = (x_{1} − x_{3}) · ((x_{2} − x_{3}) × (−m_{1}m_{2} ẋ_{1} + m_{2} (m_{1} + m_{3}) ẋ_{2} − m_{2}m_{3} ẋ_{3}))
=_{Ẋ=0} m_{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3}) (x_{1} − x_{3}) · ((x_{2} − x_{3}) × ẋ_{2}) .

Aufgrund der Zyklizität des Spat-Produktes gilt somit

ẋ_{2} · ((x_{1} − x_{3}) × (x_{2} − x_{3})) = 0 ,

d.h. der Geschwindigkeitsvektor von Massenpunkt 2 ist parallel zu der Ebene, in der alle drei Massenpunkte momentan liegen. Da die Numerierung willkürlich ist, gilt entsprechendes natürlich für die Massenpunkte 1 und 3. Damit gilt

0 = (ẋ_{1} − ẋ_{3}) · ((x_{1} − x_{3}) × (x_{2} − x_{3}))
= − (x_{1} − x_{3}) · ((ẋ_{1} − ẋ_{3}) × (x_{2} − x_{3}))
= − (x_{1} − x_{3}) · ((ẋ_{1} − ẋ_{3}) × (x_{2} − x_{3}) + (x_{1} − x_{3}) × (ẋ_{2} − ẋ_{3}))
= − (x_{1} − x_{3}) · \frac{d}{dt}((x_{1} − x_{3}) × (x_{2} − x_{3})) .

Aufgrund der Willkürlichkeit der Numerierung muß auch

0 = (x_{2} − x_{3}) · \frac{d}{dt}((x_{1} − x_{3}) × (x_{2} − x_{3}))

gelten und somit aufgrund des Entwicklungssatzes (anschaulich klar):

((x_{1} − x_{3}) × (x_{2} − x_{3})) × \frac{d}{dt}((x_{1} − x_{3}) × (x_{2} − x_{3})) = 0 .

Mit Aufgabe (1) folgt daraus:

Die Flächennormale der von den Massenpunkten aufgespannten Ebene ist für t ∈ J zeitlich konstant.

Da diese Ebene stets den Schwerpunkt enthält und letzterer voraussetzungsgemäß ruht, ist sie also fest, solange die Positionen der Massenpunkte nicht auf einer Geraden liegen.

Zu Aufgabe 4: Sei x(t) die Ortsvektorfunktion eines ausgewählten punktförmigen Massenanteils. Dann gilt dafür voraussetzungsgemäß

ȷ (x(t), t) = μ(x(t), t) ẋ(t)

und somit

a(x(t), t)  =  ẍ(t)

=  \frac{d}{dt} \frac{ȷ (x(t), t)}{μ(x(t), t)}

= Quotientenr. \frac{μ(x(t), t)\frac{d}{dt} ȷ (x(t), t) − ȷ (x(t), t)\frac{d}{dt} μ(x(t), t)}{(μ(x(t), t))^{2}} .

Mit

\frac{d}{dt} ȷ (x(t), t) =_{Kettenr.} (\frac{∂}{∂t} ȷ (x, t) + (ẋ(t) · ∇_{x}) ȷ (x, t))_{|_{x=x(t)}}

= (\frac{∂}{∂t} ȷ (x, t) + \frac{ȷ (x, t) · ∇_{x}}{μ(x, t)} ȷ (x, t))_{|_{x=x(t)}}

und

\frac{d}{dt} μ(x(t), t) = (\frac{∂}{∂t} μ(x, t) + \frac{ȷ (x, t) · ∇_{x}}{μ(x, t)} μ(x, t))_{|_{x=x(t)}}

folgt daraus die Behauptung, da x(t_{0}) zu vorgegebenem t_{0} beliebig wählbar ist.

Zu Aufgabe 5: Für jedes einfache Gebiet G und hinreichend gutartige Φ (x) , ȷ (x) gilt

∫_{∂G} Φ (x) ȷ (x) dS_{x} =_{Gauß} ∫_{G} ∇ · (Φ (x) ȷ (x)) dV_{x}
= ∫_{G}(Φ (x) ∇ · ȷ (x) + ȷ (x) · ∇Φ (x)) dV_{x} .

Falls Φ (x) ȷ (x) im Unendlichen hinreichend schnell verschwindet, folgt daraus im Limes G → ℝ^{3}

∫_{ℝ^{3}} Φ (x) ∇ · ȷ (x) dV_{x} = − ∫_{ℝ^{3}} ȷ (x) · ∇Φ (x) dV_{x} .  (D.6)

Mit ȷ (x, t) = μ (x, t) v (x, t) folgt damit

\underline{\underline{M Ẋ(t)}} =  \frac{d}{dt} ∫_{ℝ^{3}} μ (x, t) x dV_{x}
= ∫_{ℝ^{3}} \frac{∂}{∂t}μ (x, t) x dV_{x}
=_{Kont.-Gl.} − ∫_{ℝ^{3}}(∇ · ȷ (x, t))x dV_{x}
=_{(D.6)} + ∫_{ℝ^{3}}(ȷ (x, t) · ∇)x dV_{x}
= ∫_{ℝ^{3}} ȷ (x, t) dV_{x}
= \underline{\underline{P(t)}}

und daraus

\underline{\underline{M Ẍ(t)}}  =  \frac{d}{dt} ∫_{ℝ^{3}} ȷ (x, t) dV_{x}
=  ∫_{ℝ^{3}} \frac{∂}{∂t}ȷ (x, t) dV_{x}
=_{Aufg. 4} ∫_{ℝ^{3}} (μ a − (\frac{ȷ}{μ} · ∇) ȷ + \frac{ȷ}{μ} (\frac{ȷ}{μ} · ∇) μ + \frac{ȷ}{μ} \frac{∂}{∂t}μ) dV_{x}
=_{Kont.−Gl.} ∫_{ℝ^{3}} (μ a − (\frac{ȷ}{μ} · ∇) ȷ + \frac{ȷ}{μ} (\frac{ȷ}{μ} · ∇) μ − \frac{ȷ}{μ} ∇ · ȷ) dV_{x}
=  ∫_{ℝ^{3}} (μ a − (\frac{ȷ}{μ} · ∇) ȷ − ȷ (∇ · \frac{ȷ}{μ})) dV_{x}
=_{(D.6)} ∫_{ℝ^{3}} μ (x, t) a (x, t) dV_{x}
=  ∫_{ℝ^{3}} f (x, t) dV_{x}
=  \underline{\underline{F(t)}} .

154 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Zu Aufgabe 6: Wegen

M(t) = ∫ x × μ(x, t) a(x, t) dV_{x}
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Anmerkung: In diesem Zusammenhang sei auch an Abschnitt 1.3.1 von (Lücke, ein) erinnert.

Die auf m wirkende Gesamtkraft ist dementsprechend

F = m g + F_{Z} =_{(D.16)} m g cos α n_{⊥} ,

wobei

n_{⊥} = sin α e_{1} − cos α e_{3} .  (D.17)

Die Geschwindigkeit von m ist somit

ẋ(t) = ẋ(0) + ∫_{0}^{t} ẍ(t′) dt′
= v + \frac{1}{m} ∫_{0}^{t} F(t′) dt′
= v + t g cos α n_{⊥} .  (D.18)

160 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE

Die Arbeit, die die Schwerkraft während des Zeitintervalls [0, t] an m verrichtet ist damit

\underline{\underline{W_{g}(t)}} = ∫_{0}^{t} (−m g e_{3}) · ẋ(t′) dt′

=_{(D.18)} −m g^{2} cos α (e_{3} · n_{⊥}) \frac{t^{2}}{2}
=_{(D.17)} \underline{\underline{+\frac{m}{2} (t g cos α)^{2}}} .  (D.19)

Gemäß Gleichung 3.69 von (Lücke, ein) folgt daraus

\underline{\underline{W_{Z}(t)}}  =  (E_{kin}(t) − E_{kin}(0)) − W_{g}(t)
=_{(D.18),(D.19)} t m g cos α n_{⊥} · v
=  \underline{\underline{(m g sin α cos α) v t}} .

Zu Aufgabe 11: Die Nebenbedingungen für das Pendel mit vorgegebener Ortsvektorfunktion x_{0}(t) der Aufhängung sind äquivalent zu

S_{1}(x_{1}(t), t) = 0 ∀ t ∈ ℝ ,

wobei

S_{1}(x_{1}, t) =^{def} R^{2} − |x_{1} − x_{0}(t)|^{2} ∀ x_{1} ∈ ℝ^{3} , t ∈ ℝ

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Aufh.

R

x_1(t) m x_0(t)

(vgl. Beispiel (i) von Abschnitt 1.1.1.1 der Vorlesung). Die gemäß Gleichungen (1.3) und (1.4) der Vorlesung zugeordneten kinematischen Nebenbedingungen sind

\underbrace{2 ẋ_{0}(t) · (x_{1}(t) − x_{0}(t))}_{=S_{1,0}(x_{1}(t),t)} +ẋ_{1}(t) · (\underbrace{−2(x_{1}(t) − x_{0}(t))}_{=S_{1,1}(x_{1}(t),t)})

= −2(ẋ_{1}(t) − ẋ_{0}(t)) · (x_{1}(t) − x_{0}(t)) = 0

und stellen offensichtlich eine vollständige Momentancharakterisierung der erlaubten ẋ_{1}(t) dar. Die infinitesimalen virtuellen Verrückungen δx_{1}(t) erlaubter x_{1}(t) sind deshalb durch Gleichung (1.10) der Vorlesung vollständig charakterisiert:

δx_{1}(t) · (\underbrace{−2(x_{1}(t) − x_{0}(t))}_{=S_{1,1}(x_{1}(t),t)}) = 0 .  (D.20)

Aus dem D’Alembertschen Prinzip und den Newtonschen Gleichungen folgt Gleichung (1.13) der Vorlesung, im vorliegenden Falle also

(D.20) ⟹ δx_{1}(t) · F_{1}^{Z}(t) = 0 .

Die Zwangskraft steht somit senkrecht zu allen Vektoren, die senkrecht zur momentanen Ausrichtung der Pendelstange stehen. Daraus folgt:

F_{1}^{Z}(t) ∼ x_{1}(t) − x_{0}(t) .

Zu Aufgabe 12: Die Nebenbedingungen sind hier äquivalent zu

S_{j}(x_{1}(t), x_{2}(t), t) = 0 ∀ j ∈ {1, 2} , t ∈ ℝ ,

wobei

\begin{matrix}S_{1}(x_{1}, x_{2}, t) & =^{def} & (R_{1})^{2} − |x_{1} − x_{0}(t)|^{2} , \\ S_{2}(x_{1}, x_{2}, t) & =^{def} & (R_{2})^{2} − |x_{2} − x_{1}|^{2} \end{matrix} \} ∀ x_{1}, x_{2} ∈ ℝ^{3} , t ∈ ℝ

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x_{2}(t) x_{1}(t) x_{0}(t)

R_{2}

m_{1}

m_{2} R_{1}

Aufh.

(vgl. Beispiel (ii) von Abschnitt 1.1.1.1 der Vorlesung). Die gemäß Gleichungen (1.3) und (1.4) der Vorlesung zugeordneten kinematischen Nebenbedingungen sind

\underbrace{2 ẋ_{0}(t) · (x_{1}(t) − x_{0}(t))}_{=S_{1,0}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)} +ẋ_{1}(t) · (\underbrace{−2(x_{1}(t) − x_{0}(t))}_{=S_{1,1}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)}) + ẋ_{2}(t) · \underbrace{0}_{=S_{1,2}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)}

= −2(ẋ_{1}(t) − ẋ_{0}(t)) · (x_{1}(t) − x_{0}(t)) = 0

und

\underbrace{0}_{=S_{2,0}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)} +ẋ_{1}(t) · (\underbrace{−2(x_{1}(t) − x_{2}(t))}_{=S_{2,1}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)}) + ẋ_{2}(t) · (\underbrace{−2(x_{2}(t) − x_{1}(t))}_{=S_{2,2}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)})

= −2(ẋ_{1}(t) − ẋ_{2}(t)) · (x_{1}(t) − x_{2}(t)) = 0

und stellen offensichtlich eine vollständige Momentancharakterisierung der erlaubten ẋ_{1}(t) , ẋ_{2}(t) dar. Die infinitesimalen virtuellen Verrückungen sind deshalb durch Gleichung (1.10) der Vorlesung vollständig charakterisiert:

δx_{1}(t) · (\underbrace{−2(x_{1}(t) − x_{0}(t))}_{=S_{1,1}(x_{1}(t),t)}) = 0 ,

δx_{1}(t) · (\underbrace{−2(x_{1}(t) − x_{2}(t))}_{=S_{2,1}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)}) − δx_{2}(t) · (\underbrace{−2(x_{1}(t) − x_{2}(t))}_{=S_{2,2}(x_{1}(t),x_{2}(t),t)}) = 0 . (D.21)

Aus dem D’Alembertschen Prinzip und den Newtonschen Gleichungen folgt Gleichung (1.13) der Vorlesung, im vorliegenden Falle also

(D.21) ⟹ δx_{1}(t) · F_{1}^{Z}(t) + δx_{2}(t) · F_{2}^{Z}(t) = 0 .

Das ist aber äquivalent zu

\{ \begin{matrix}(δx_{1}(t) − δx_{2}(t)) · (x_{1}(t) − x_{2}(t)) = 0 , \\ δx_{1}(t) · (x_{1}(t) − x_{0}(t)) = 0 \end{matrix}
⟹ δx_{1}(t) · (F_{1}^{Z}(t) + F_{2}^{Z}(t)) + (δx_{1}(t) − δx_{2}(t)) · F_{2}^{Z}(t) = 0 ,

woraus

F_{2}^{Z}(t) ∼ x_{1}(t) − x_{2}(t) , F_{1}^{Z}(t) + F_{2}^{Z}(t) ∼ x_{1}(t) − x_{0}(t)

folgt. Das entspricht folgender Anschauung:

Da die Pendelstange 2 um m_{1} frei drehbar ist, kann sie keine Zwangskraft auf m_{2} senkrecht zu ihrer Ausrichtung ausüben. Das erklärt F_{2}^{Z}(t) ∼ x_{1}(t) − x_{2}(t) . Die gesamte Zwangskraft F_{1}^{Z}(t) auf m_{1} ist aber die Vektorsumme der beiden Zwangskräfte F_{1,1}^{Z}(t) und F_{1,2}^{Z}(t) , die die Pendelstangen 1 und 2 auf m_{1} ausüben. Dafür gilt

F_{1,2}^{Z}(t) = −F_{2}^{Z}(t) , F_{1,1}^{Z}(t) ∼ x_{1}(t) − x_{0}(t)

und somit

F_{1}^{Z}(t) + F_{2}^{Z}(t) = (F_{1,1}^{Z}(t) + F_{1,2}^{Z}(t)) + F_{2}^{Z}(t) = F_{1,1}^{Z}(t) ∼ x_{1}(t) − x_{0}(t) .

Zu Aufgabe 13: Betrachtet sei folgendes System:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; R_{3}; R_{2}; R_{1}; Drehpunkt, fest; m_{2}; m_{1}]

Wenn wir den Drehpunkt als Bezugspunkt für die Ortsvektoren wählen, dann sind die Nebenbedingungen hier äquivalent zu

S_{j}(x_{1}(t), x_{2}(t), t) = 0 ∀ j ∈ {1, 2} , t ∈ ℝ ,

wobei

S_{1}(x_{1}, x_{2}, t) =^{def} (R_{1})^{2} − |x_{1}|^{2} ,
S_{2}(x_{1}, x_{2}, t) =^{def} (R_{2})^{2} − |x_{2}|^{2} ,
S_{3}(x_{1}, x_{2}, t) =^{def} (R_{3})^{2} − |x_{1} − x_{2}|^{2} .

Für

R_{1} + R_{2} ≠ R_{3} ≠ |R_{1} − R_{2}|  (D.22)

charakterisieren die entsprechenden kinematischen Nebenbedingungen

ẋ_{1}(t) · x_{1}(t) = 0 ,  (D.23)
ẋ_{2}(t) · x_{2}(t) = 0 ,  (D.24)
(ẋ_{1}(t) − ẋ_{2}(t)) · (x_{1}(t) − x_{2}(t)) = 0  (D.25)

für jeden Einzelzeitpunkt t die zu erlaubten x_{1}(t) , x_{2}(t) möglichen ẋ_{1}(t) , ẋ_{2}(t) vollständig.

Begründung: Gemäß (D.23)/(D.24) existieren vektorielle Kreisfrequenzen ω_{1} , ω_{2} mit

ẋ_{1} = ω_{1} × x_{1} , ẋ_{2} = ω_{2} × x_{2} .  (D.26)

Mit (D.25) folgt daraus

0 = ((ω_{1} × x_{1}) − (ω_{2} × x_{2})) · (x_{1} − x_{2})
= − (ω_{1} × x_{1}) · x_{2} + (ω_{2} × x_{2}) · x_{1}
= − (ω_{1} − ω_{2}) · (x_{1} × x_{2}) .

Unter der Voraussetzung (D.22) gilt für erlaubte Momentanpositionen also

ω_{1} − ω_{2} = λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2}

mit geeigneten λ_{1} , λ_{2} . Für

ω =^{def} ω_{1} − λ_{1} x_{1} = ω_{2} + λ_{2} x_{2}

folgt dann mit (D.23)/(D.24)

ẋ_{1} = ω × x_{1} , ẋ_{2} = ω × x_{2} .

Die Nebenbedingung (D.23)–(D.24) entsprechen dann also einer Drehbewegung der starren Hebelanordnung um den vorgegebenen Drehpunkt.

Die infinitesimalen virtuellen Verrückungen sind dementsprechend durch

0 = δx_{1} · x_{1} = δx_{3} · x_{2} = (δx_{1} − δx_{2}) · (x_{1} − x_{2})  (D.27)

charakterisiert und das Prinzip der virtuellen Arbeit lautet

(D.27) ⟹ δx_{1} · F_{1}^{Z} + δx_{2} · F_{2}^{Z} = 0 .  (D.28)

Für

δx_{1} = a × x_{1} , δx_{2} = a × x_{2}

ist (D.27) offensichtlich erfüllt. Damit folgt aus (D.28)

0 = (a × x_{1}) · F_{1}^{Z} + (a × x_{2}) · F_{2}^{Z}
= a · (x_{1} × F_{1}^{Z} + x_{2} × F_{2}^{Z}) ∀ a ∈ ℝ^{3}

und somit das Hebelgesetz in der Form

x_{1} × F_{1}^{Z} + x_{2} × F_{2}^{Z} = 0 ,

falls (D.22) gilt.^{2}

Zu Aufgabe 14: Wir betrachten zwei gemäß folgender Skizze an der Schraube befestigte Massenpunkte m_{1} , m_{2} vernachlässigbarer Masse:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; φ; m_{1}; F; m_{2}; e_{3}; e_{2}; R; e_{1}]

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Zu Aufgabe 15: Wir denken uns den Balken bei D entfernt, aber D fest mit dem Stützbalken verbunden. Weiterhin denken wir uns C resp. D entsprechend folgender Skizze als Massenpunkte m_{1} , m_{2} (vernachlässigbarer Masse), auf die die eingeprägten Kräfte

F_{1}^{Z} = F = −F e_{3} , F_{2}^{Z} ⊥ e_{2}  (D.32)

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Bei entsprechender Positionierung von C und D ist dann F_{2}^{Z} mit der gesuchten Kraft zu identifizieren. Die infinitesimalen virtuellen Verrückungen sind hier durch

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Gemäß dem Prinzip der virtuellen Arbeit ist Gleichgewicht also nur möglich, wenn

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\begin{matrix}δx_{1} & ⊥ & \overrightarrow{AC} , e_{2} , \\ δx_{2} − λ δx_{1} & ⊥ & \overrightarrow{DB} , e_{2} , \end{matrix}

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δx_{1} = 0 , δx_{2} = n_{ϑ}^{⊥}

erfüllt. Dafür liefert (D.35) mit (D.32)

F_{2}^{Z} ∼ n_{ϑ} =^{def} e_{ϑ} =^{def} sin ϑ e_{1} + cos ϑ e_{3} (Richtung von D nach B) , also

F_{2}^{Z} = F_{2}^{Z} n_{ϑ}

für geeignetes F_{2}^{Z} . Damit ergibt sich aus (D.35)

(D.36) ⟹ δx_{1} · (F_{1}^{Z} + λ F_{2}^{Z} n_{ϑ}) = δx_{1} · (F_{1}^{Z} + λ F_{2}^{Z}) + (δx_{1} − λ δx_{2}) · F_{2}^{Z} = δx_{1} · F_{1}^{Z} + δx_{2} · F_{2}^{Z} = 0

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n_{γ}^{⊥} · (F_{1}^{Z} + λ F_{2}^{Z} e_{ϑ}) = 0 ,

d.h.

F_{2}^{Z} = −\frac{1}{λ} \frac{n_{γ}^{⊥} · F_{1}^{Z}}{n_{γ}^{⊥} · e_{ϑ}} e_{ϑ} .

Mit (D.32) und (D.34) folgt daraus

F_{2}^{Z} = \begin{matrix}| & \overrightarrow{AC} & | \\ | & \overrightarrow{AB} & | \end{matrix} \frac{sin γ}{sin (γ − ϑ)} F n_{ϑ}

— im Einklang mit dem Ergebnis von Aufgabe 11 der Math. Meth. d. Phys. . Zu Aufgabe 16: Wir wählen als generalisierte Koordinaten

q^{2} =^{def} x^{2} und q^{1} =^{def} e_{φ} · x entsprechend folgender Skizze:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} . n e_{3}  e_{1} e_{φ} φ

Damit gilt

x(q^{1}, q^{2}, t) = ( \begin{matrix}q^{1} cos φ(t) \\ q^{2} \\ q^{1} sin φ(t) \end{matrix} )

und somit

U(q^{1}, q^{2}, t) = m g x^{3}(q^{1}, q^{2}, t) = m g q^{1} sin φ(t)

sowie

T (q^{1}, q^{2}, t) = \frac{m}{2} |ẋ(q^{1}, q^{2}, t)|^{2}

= \frac{m}{2}((q̇^{1} cos φ(t) − φ̇(t) q^{1} sin φ(t))^{2} + (q̇^{2})^{2} + (q̇^{1} sin φ(t) + φ̇(t) q^{1} cos φ(t))^{2})

= \frac{m}{2}((q̇^{1})^{2} + (q̇^{2})^{2} + (φ̇(t) q^{1})^{2}) .

Die Lagrange-Funktion J = T − U ist hier also

L(q^{1}, q^{2}, q̇^{1}, q̇^{2}, t) = \frac{m}{2}((q̇^{1})^{2} + (q̇^{2})^{2} + (φ̇(t) q^{1})^{2}) − m g q^{1} sin φ(t) . (D.37)

Gemäß Gleichung (1.59) sind die Lagrange-Gleichungen II. Art dazu:

\begin{aligned}m q̈^{1}(t) − m φ̇(t)^{2} q^{1}(t) + m g sin φ(t) & = & 0 , \\ m q̈^{2}(t) & = & 0 . \end{aligned}

Für q̇^{2} = 0 ist m φ̇(t)^{2} q^{1}(t) natürlich nichts anderes als die Zentripetalkraft. Zu Aufgabe 17a: In den generalisierten Koordinaten (q^{1}, q^{2}, q^{3}) = (r, ϑ, φ) (Kugelkoordinaten, siehe Abschnitt 4.3.2 der Math. Meth. d. Phys. ) gilt

x(r, ϑ, φ, t) = r ( \begin{matrix}sin ϑ cos φ \\ sin ϑ sin φ \\ cos ϑ \end{matrix} )

und

ẋ(r, ϑ, φ, t) = ṙ e_{r} + r ϑ̇ e_{ϑ} + r sin ϑ φ̇ e_{φ}

(vgl. 1.2.1.2). Daraus folgt

L(r, ϑ, φ, t) = \underbrace{\frac{m}{2} (ṙ^{2} + r^{2}ϑ̇^{2} + r^{2} sin^{2} ϑ φ̇^{2})}_{=T (r,ϑ,φ,t)} − \underbrace{m r g cos ϑ}_{U(r,ϑ,φ,t)} .

Die Nebenbedingungen sind

r(t_{1}) = R ,  ṙ(t) = 0 ∀ t ∈ ℝ ,  (D.38)

entsprechen also dem Fall

l_{q} = 1 ; a_{1,μ} = δ_{1μ} .  (D.39)

Damit ergibt sich für die Gleichungen (1.56) der Vorlesung:

m r̈ − m r (ϑ̇^{2} + sin^{2} ϑ φ̇^{2}) + m g cos ϑ = λ ,
m \frac{d}{dt} (r^{2} ϑ̇) − m r^{2} sin ϑ cos ϑ φ̇^{2} − m r g sin ϑ = 0 ,
m \frac{d}{dt} (r^{2} sin^{2} ϑ φ̇) = 0 .

Wegen (D.38) sind diese Gleichungen äquivalent zu

− m R (ϑ̇^{2} + sin^{2} ϑ φ̇^{2}) + m g cos ϑ = λ ,  (D.40)
m R^{2} ϑ̈ − m R^{2} sin ϑ cos ϑ φ̇^{2} − m R g sin ϑ = 0 ,  (D.41)
m R^{2} \frac{d}{dt} (sin^{2} ϑ φ̇) = 0 .  (D.42)

Die eigentlichen Bewegungsgleichungen sind (D.41) und (D.42). Aus (D.40) läßt sich die Zwangskraft

Q_{1}^{Z} =_{(1.44)} F^{Z} · \frac{∂}{∂r}x = F^{Z} · e_{r}

entnehmen; denn

Q_{1}^{Z} =_{(1.53),(D.39)} λ .

Zu Aufgabe 17b: Wenn wir nur die generalisierten Koordinaten (q^{1}, q^{2}) = (ϑ, φ) verwenden, sind keinerlei Nebenbedingungen mehr zu beachten. Aus

x(ϑ, φ, t) = R ( \begin{matrix}sin ϑ cos φ \\ sin ϑ sin φ \\ cos ϑ \end{matrix} )

und

ẋ(ϑ, φ, t) = R ϑ̇ e_{ϑ} + R sin ϑ φ̇ e_{φ}

folgt dann

L(ϑ, φ, t) = \frac{m}{2} (R^{2}ϑ̇^{2} + R^{2} sin^{2} ϑ φ̇^{2}) − m R g cos ϑ .

Die Gleichungen (1.59) dafür sind (D.41) und (D.42).

Da φ eine zyklische Koordinate ist (\frac{∂}{∂φ} L = 0), gilt gemäß (1.61) der Erhaltungssatz

ṗ_{2} = 0

für die 3-Komponente

p_{2} =_{(1.60)} \frac{∂}{∂φ̇} L = m R^{2} sin^{2} ϑ φ̇

des Drehimpulses (vgl. Satz 1.2.2) — im Einklang mit (D.42) .

Da L nicht explizit von der Zeit abhängt (\frac{∂}{∂t} L = 0), gilt entsprechend (1.62) der Energiesatz

Ḣ = 0

für

\begin{aligned}H(ϑ, φ, ϑ̇, φ̇) & = & \underbrace{ϑ̇ \frac{∂}{∂ϑ̇} L + \frac{∂}{∂φ̇} L}_{=2 T} −L \\ & = & T + U . \end{aligned}

Die Komponenten des Impulses sowie die 2- und 3-Komponente des Drehimpulses sind hier i.a. nicht erhalten.

Zu Aufgabe 18: Mit den in 1.1.3.2 verwendeten Bezeichnungen gilt

x_{1} = x_{1}(ϑ, φ, t) = x_{0}(t) + R_{1} e_{r}(ϑ, φ) ,
x_{2} = x_{2}(ϑ, φ, t) = x_{0}(t) − R_{2} e_{r}(ϑ, φ) ,

wobei

e_{r}(ϑ′, φ′) =^{def} ( \begin{matrix}sin ϑ′ cos φ′ \\ sin ϑ′ sin φ′ \\ cos ϑ′ \end{matrix} ) ∀ ϑ′, φ′ ∈ ℝ .  (D.43)

Die kinetische Energie ist dementsprechend

\begin{aligned}T (ϑ, φ, t) & = & \frac{m_{1} + m_{2}}{2} |ẋ_{0}(t)|^{2} + \frac{m_{1} R_{1}^{2} + m_{2} R_{2}^{2}}{2} |ė_{r}(ϑ, φ)|^{2} \\ & & + (m_{1} R_{1} − m_{2} R_{2}) ẋ_{0}(t) · ė_{r}(ϑ, φ) . \end{aligned}

Mit

ė_{r}(ϑ′, φ′) = ϑ̇′ e_{ϑ}(ϑ′, φ′) + φ̇′ sin ϑ′ e_{φ}(ϑ′, φ′) ,  (D.44)

wobei

e_{ϑ}(ϑ′, φ′) =^{def} ( \begin{matrix}cos ϑ′ cos φ′ \\ cos ϑ′ sin φ′ \\ − sin ϑ′ \end{matrix} ) , e_{φ}(ϑ′, φ′) =^{def} ( \begin{matrix}− sin φ′ \\ cos φ′ \\ 0 \end{matrix} )  (D.45)

(vgl. 1.1.3.2) folgt daraus^{3}

T (ϑ, φ, t) = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} |ẋ_{0}(t)|^{2} + \frac{m_{1} R_{1}^{2} + m_{2} R_{2}^{2}}{2} (ϑ̇^{2} + φ̇^{2} sin^{2} ϑ)
+ (m_{1} R_{1} − m_{2} R_{2}) ẋ_{0}(t) · (ϑ̇ e_{ϑ} + φ̇ sin ϑ e_{φ})

(D.46)

Version vom 26. März 2009

3Es sei daran erinnert, daß {e_{r}, e_{ϑ}, e_{φ}} eine (von ϑ und φ abhängige) Orthonormalbasis ist.

und — dank \frac{∂}{∂ϑ} e_{φ} = 0 — somit

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ϑ̇} T − \frac{∂}{∂ϑ} T = (m_{1} R_{1}^{2} + m_{2} R_{2}^{2}) (ϑ̈ − φ̇^{2} sin ϑ cos ϑ)

+ (m_{1} R_{1} − m_{2} R_{2}) (ẍ_{0}(t) · e_{ϑ} + ẋ_{0}(t) · ė_{ϑ})

− (m_{1} R_{1} − m_{2} R_{2}) ẋ_{0}(t) · (ϑ̇ \frac{∂}{∂ϑ} e_{ϑ} + φ̇ cos ϑ e_{φ}) .

(D.47)

Mit

ė_{ϑ} = ϑ̇ \frac{∂}{∂ϑ} e_{ϑ} + φ̇ \frac{∂}{∂φ} e_{ϑ} =_{(D.45)} ϑ̇ \frac{∂}{∂ϑ} e_{ϑ} + φ̇ cos ϑ e_{φ}

folgt aus letzterem

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ϑ̇} T − \frac{∂}{∂ϑ} T = (m_{1} R_{1}^{2} + m_{2} R_{2}^{2}) (ϑ̈ − φ̇^{2} sin ϑ cos ϑ)
+ (m_{1} R_{1} − m_{2} R_{2}) ẍ_{0}(t) · e_{ϑ} .

Das zusammen mit

Q_{ϑ}^{e} =_{(1.44)} F_{1}^{e} · \frac{∂}{∂ϑ} x_{1} + F_{2}^{e} · \frac{∂}{∂ϑ} x_{2} = (R_{1} F_{1}^{e} · e_{ϑ} − R_{2} F_{2}^{e} · e_{ϑ})

zeigt, daß hier die Gleichung

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ϑ̇} T − \frac{∂}{∂ϑ} T = Q_{ϑ}^{e}

mit der ersten der Gleichungen (1.24) übereinstimmt. Entsprechend folgt aus (D.46)

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂φ̇} T − \frac{∂}{∂φ} T

= (m_{1} R_{1}^{2} + m_{2} R_{2}^{2}) (φ̈ sin^{2} ϑ + 2 φ̇ ϑ̇ sin ϑ cos ϑ)

+ (m_{1} R_{1} − m_{2} R_{2}) (sin ϑ ẍ_{0}(t) · e_{φ} + sin ϑ ẋ_{0}(t) · ė_{φ} + ϑ̇ cos ϑ ẋ_{0}(t) · e_{φ})

− (m_{1} R_{1} − m_{2} R_{2}) (ϑ̇ ẋ_{0}(t) · \frac{∂}{∂φ} e_{ϑ} + φ̇ sin ϑ ẋ_{0}(t) · \frac{∂}{∂φ} e_{φ})

und

ė_{φ} = φ̇\frac{∂}{∂φ}e_{φ} , \frac{∂}{∂φ}e_{ϑ} = cos ϑ e_{φ}  (D.48)

die Gleichung

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂φ̇} T − \frac{∂}{∂φ} T

= (m_{1} R_{1}^{2} + m_{2} R_{2}^{2}) (φ̈ sin^{2} ϑ + 2 φ̇ ϑ̇ sin ϑ cos ϑ) + (m_{1} R_{1} − m_{2} R_{2}) sin ϑ ẍ_{0}(t) · e_{φ} und daraus mit

Q_{φ}^{e} =_{(1.44)} F_{1}^{e} · \frac{∂}{∂φ} x_{1} + F_{2}^{e} · \frac{∂}{∂φ} x_{2} = sin ϑ (R_{1} F_{1}^{e} · e_{φ} − R_{2} F_{2}^{e} · e_{φ})

die Übereinstimmung der Gleichung

\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂φ̇} T − \frac{∂}{∂φ} T = Q_{φ}^{e}

mit der zweiten der Gleichungen (1.24), multipliziert mit sin ϑ.

Zu Aufgabe 19: Hier sind offensichtlich die Voraussetzungen von Satz 1.2.3 und von Satz 1.2.2 für e = e_{3} erfüllt. Deshalb sind hier T + U und L_{ges} · e_{3} für alle Lösungen der Lagrange-Gleichungen Erhaltungsgrößen.

Wir beschreiben nun das System mithilfe der generalisierten Koordinaten

(q^{1}, …, q^{4}) = (ϑ_{1}, φ_{1}, ϑ_{2}, φ_{2})

gemäß

\begin{aligned}x_{1} = x_{1}(ϑ_{1}, φ_{1}) & = & R_{1} e_{r}(ϑ_{1}, φ_{1}) , \\ x_{2} = x_{1}(ϑ_{1}, φ_{1}, ϑ_{2}, φ_{2}) & = & x_{1}(ϑ_{1}, φ_{1}) + R_{2} e_{r}(ϑ_{2}, φ_{2}) . \end{aligned}

Mit (D.44) ergibt sich dann für die Lagrange-Funktion

L(ϑ_{1}, φ_{1}, ϑ_{2}, φ_{2}, ϑ̇_{1}, φ̇_{1}, ϑ̇_{2}, φ̇_{2})
= \frac{(m_{1} + m_{2})}{2} R_{1}^{2} (ϑ̇_{1}^{2} + φ̇_{1}^{2} sin^{2} ϑ_{1}) + \frac{m_{2}}{2} R_{2}^{2} (ϑ̇_{2}^{2} + φ̇_{2}^{2} sin^{2} ϑ_{2}) .
+m_{2} R_{1} R_{2}(ϑ̇_{1} ϑ̇_{2} e_{ϑ}(ϑ_{1}, φ_{1}) · e_{ϑ}(ϑ_{2}, φ_{2})

+ ϑ̇_{1} φ̇_{2} sin ϑ_{2} e_{ϑ}(ϑ_{1}, φ_{1}) · e_{φ}(ϑ_{2}, φ_{2})

+ ϑ̇_{2} φ̇_{1} sin ϑ_{1} e_{ϑ}(ϑ_{2}, φ_{2}) · e_{φ}(ϑ_{1}, φ_{1})

+ φ̇_{1} φ̇_{2} sin ϑ_{1} sin ϑ_{2} e_{φ}(ϑ_{1}, φ_{1}) · e_{φ}(ϑ_{2}, φ_{2}))

+m_{1} g R_{1} cos ϑ_{1} + m_{2} g (R_{1} cos ϑ_{1} + R_{2} cos ϑ_{2})

=−potentielle Energie

=_{(D.45)} \frac{(m_{1} + m_{2})}{2} R_{1}^{2} (ϑ̇_{1}^{2} + φ̇_{1}^{2} sin^{2} ϑ_{1}) + \frac{m_{2}}{2} R_{2}^{2} (ϑ̇_{2}^{2} + φ̇_{2}^{2} sin^{2} ϑ_{2}) .

+m_{2} R_{1} R_{2}(ϑ̇_{1} ϑ̇_{2}(cos ϑ_{1} cos ϑ_{2} cos(φ_{1} − φ_{2}) + sin ϑ_{1} sin ϑ_{2})

+ ϑ̇_{1} φ̇_{2} sin ϑ_{2} cos ϑ_{1} sin(φ_{1} − φ_{2})

+ ϑ̇_{2} φ̇_{1} sin ϑ_{1} cos ϑ_{2} sin(φ_{2} − φ_{1})

+ φ̇_{1} φ̇_{2} sin ϑ_{1} sin ϑ_{2} cos(φ_{1} − φ_{2}))

+m_{1} g R_{1} cos ϑ_{1} + m_{2} g (R_{1} cos ϑ_{1} + R_{2} cos ϑ_{2}) .

Für den Spezialfall

φ_{1}(t) = φ_{2}(t) = 0 ∀ t ∈ ℝ

reduzieren sich die zugehörigen Lagrange-Gleichungen auf

(m_{1} + m_{2}) R_{1}^{2} ϑ̈_{1} + m_{2} R_{1}R_{2} ϑ̈_{2} cos(ϑ_{2} − ϑ_{1}) + (m_{1} + m_{2}) g R_{1} sin ϑ_{1}
−m_{2} R_{1}R_{2} \binom{}{ϑ̇_{2}}^{2} sin(ϑ_{2} − ϑ_{1}) = 0

und

m_{2} R_{2}^{2} ϑ̈_{2} + m_{2} R_{1}R_{2} ϑ̈_{1} cos(ϑ_{2} − ϑ_{1}) + m_{2} g R_{2} sin ϑ_{2}
+m_{2} R_{1}R_{2} \binom{}{ϑ̇_{1}}^{2} sin(ϑ_{2} − ϑ_{1}) = 0 .

Bzgl. der zugehörigen Näherungslösungen für kleine Ausschläge^{4} siehe z.B. (Budó, 1965, § 41 Nr. 2).

Zu Aufgabe 20: Die Matrix der

α_{ν,μ} =^{def} ∑_{γ=1}^{N} \frac{m_{γ}}{2} (\frac{∂}{∂q^{ν}} x_{γ}) · (\frac{∂}{∂q^{μ}} x_{γ}) ∀ ν, μ = 1, …, n  (D.49)

ist offensichtlich symmetrisch:

α_{ν,μ} = α_{μ,ν} ∀ ν, μ ∈ {1, …, n} .

Deshalb existiert eine Orthonormalbasis {E_{1}, …, E_{N}} des ℝ^{n}, die nur aus Eigenvektoren von (α_{ν,μ}) besteht:^{5}

∑_{μ=1}^{n} α_{ν,μ} E_{λ}^{μ} = e_{λ} E_{λ}^{ν} ∀ λ, ν ∈ {1, …, n} .

Die Eigenwerte

e_{λ} = |E_{λ}|^{−2} ∑_{ν,μ=1}^{n} E_{λ}^{ν} α_{ν,μ} E_{λ}^{μ} = ∑_{γ=1}^{N} \frac{m_{γ}}{2} |∑_{ν=1}^{n} E_{λ}^{ν} \frac{∂}{∂q^{ν}} x_{γ}|^{2}

sind entsprechend unserer Voraussetzungen an die q^{ν} alle positiv. Die durch

E_{λ} ⟼ e_{λ} E_{λ} ∀ λ ∈ {1, …, n}

charakterisierte lineare Abbildung des ℝ^{n} in sich ist somit invertierbar und dementsprechend auch die Matrix (α_{ν,μ}) . Es existieren also Funktionen (α^{−1})_{ν,μ}(q^{1}, …, q^{n}, t) , für die (lokal)

∑_{ν=1}^{n}(α^{−1})_{λ,ν} α_{ν,μ} = δ_{λ,μ}  (D.50)

Version vom 26. März 2009

4Eine Animation für beliebige Ausschläge findet man auf der Web-Seite:

http://www.maths.tcd.ie/∼plynch/SwingingSpring/doublependulum.html .

5Siehe z.B. Folgerung 7.3.21 der Math. Meth. d. Phys. .

gilt. Da das verallgemeinerte Potential von der Form

U(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) = f(q^{1}, …, q^{n}, t) + ∑_{ν=1}^{n} q̇^{ν} g_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, t)

sein muß,^{6} und

\begin{aligned}T & = & ∑_{γ=1}^{N} \frac{m_{γ}}{2} \left|{ \atop ẋ_{γ}}\right|^{2} \\ & =_{(1.27),(D.49)} & ∑_{ν,μ=1}^{n} α_{ν,μ} q̇^{ν}q̇^{μ} + ∑_{γ=1}^{N} \frac{m_{γ}}{2} |\frac{∂}{∂t} x_{γ}|^{2} + ∑_{γ=1}^{N} m_{γ} ∑_{μ=1}^{n} q̇^{μ} (\frac{∂}{∂q^{μ}} x_{γ}) · \frac{∂}{∂t} x_{γ} \end{aligned}

gilt, sind die Lagrange-Gleichungen II. Art von der Form

\begin{matrix}∑_{μ=1}^{n}(\underbrace{α_{ν,μ}(q^{1}, …, q^{n}, t) + α_{μ,ν}(q^{1}, …, q^{n}, t)}_{=2 α_{ν,μ}(q^{1},...,q^{n},t)})q̈^{μ}(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) \\ = F_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) ∀ ν ∈ \{1, …, n\} , \end{matrix}

was dank (D.50) offensichtlich äquivalent ist zu

\begin{matrix}q̈^{λ}(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) \\ = \frac{1}{2} ∑_{ν=1}^{n}(α^{−1})_{λ,ν}(q^{1}, …, q^{n}, t) F_{ν}(q^{1}, …, q^{n}, q̇^{1}, …, q̇^{n}, t) ∀ λ ∈ \{1, …, n\} . \end{matrix}

Gemäß Abschnitt 5.2.3 der Math. Meth. d. Phys. ist das Anfangswertproblem für dieses Differentialgleichungssystem lokal eindeutig lösbar.^{7}

Zu Aufgabe 21: Die Lagrange-Gleichungen II. Art für die ”generalisierten“ Koordinaten x^{1}, x^{2}, x^{3} sind hier (in Übereinstimmung mit der Newtonschen Bewegungsgleichung):

m ẍ^{1} − 4 (x^{1})^{3} α = 0 ,  (D.51)
m ẍ^{2} = 0 ,
m ẍ^{3} = 0 .

Aus (D.51) folgt (dem Energiesatz entsprechend)

\frac{d}{dt} (\frac{m}{2} (ẋ^{1})^{2} − (x^{1})^{4} α) = 0

Version vom 26. März 2009

6Siehe Fußnote 46 von Kapitel 1.

7Da die α_{ν,μ} voraussetzungsgemäß hinreichend gutartige Funktionen sind, gilt dasselbe gemäß Cramerscher Regel (siehe Abschnitt 2.3.3 der Math. Meth. d. Phys. ) auch für die (α^{−1})_{λ,ν} .

und daraus z.B. für Anfangsbedingungen der Form

x^{1}(0) = x_{0} > 0 , ẋ^{1}(0) = ^{+} \sqrt{\frac{2 α}{m}} (x_{0})^{2}  (D.52)

die Gleichung

\frac{m}{2} (ẋ^{1}(t))^{2} = (x^{1}(t))^{4} α ∀ t ∈ ℝ .  (D.53)

Da ẍ^{1} gemäß (D.51) nicht negativ sein kann, folgt aus (D.52)

ẋ^{1} > 0 < x^{1}(t) ∀ t ≥ 0

und daraus mit (D.53)

\frac{1}{x^{1}(0)} − \frac{1}{x^{1}(t)} = ∫_{0}^{t} \frac{ẋ^{1}(t′)}{(x^{1}(t′))^{2}} dt′ = ∫_{0}^{t} ^{+} \sqrt{\frac{2 α}{m}} dt′ = t ^{+} \sqrt{\frac{2 α}{m}} ∀ t ≥ 0 .

Für die eindeutige lokale Lösung des Anfangswertproblems gilt in diesem Falle also

x^{1}(t) = \frac{x^{1}(0)}{1 − ^{+} \sqrt{\frac{2 α}{m}} x^{1}(0) t} ∀ t ∈ [0, ( ^{+} \sqrt{\frac{2 α}{m}} x^{1}(0))^{−1}) .

Da aber die rechte Seite für t → ( ^{+} \sqrt{\frac{2 α}{m}} x^{1}(0))^{−1} divergiert, ist die Annahme einer für alle t ∈ ℝ glatten Lösung in diesem Falle nicht haltbar.^{8}

Zu Aufgabe 22: Aus

ẋ(t) · (e_{j} × x(t)) = 0 ∀ t ≥ t_{1} , j ∈ {1, 3}  (D.54)

folgt

(e_{j} × ẋ(t)) × (e_{j} × x(t)) =_{Entw.-Satz} ((e_{j} × ẋ(t)) · x(t)) e_{j} − ((e_{j} × ẋ) · e_{j}) x(t)
=  ((e_{j} × ẋ(t)) · x(t)) e_{j}
=  −(ẋ(t) · (e_{j} × x(t))) e_{j}
=  0  ∀ t ≥ t_{1} , j ∈ {1, 3} ,

nach Aufgabe 1 somit^{9}

e_{j} × x(t) ∼ e_{j} × x(0) für alle t mit x(t) ≁ e_{j} ∀ t ≥ t_{1}

Version vom 26. März 2009

8Wenn sich x^{1}(t) der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit nähert, verliert die nichtrelativistische Theorie allerdings ohnehin ihre (näherungsweise) Gültigkeit!

9Natürlich folgt aus (D.54) auch x × ẋ ∼ e_{2} , aber nicht x ⊥ e_{2} .

sowohl für j = 1 als auch für j = 3 . Daraus folgt insbesondere

e_{2} · x(0) = 0 ⟹ e_{2} · x(t) = 0 ∀ t ≥ t_{1} .

Da

ẋ(t) · x(t) = 0 ∀ t ≥ t_{1}  (D.55)

garantiert, daß x(t) konstanten Betrag hat, folgt für einen beliebig vorgegebenen Radius R > 0 aus

x(t_{1}) ∈ T_{R} =^{def} {x ∈ ℝ^{3} : |x| = R , e_{2} · x = 0}  (D.56)

zusammen mit den kinematischen Randbedingungen (D.54), (D.55) also

x(t) ∈ T_{R} ∀ t ≥ t_{1} .  (D.57)

Da aus (D.57) umgekehrt (D.54) und (D.55) folgt, sind die kinematischen Nebenbedingungen zusammen mit der Einschränkung (D.56) der erlaubten Anfangspositionen äquivalent zu (D.57) und damit zu den holonomen Nebenbedingungen

\begin{matrix}|x(t)|^{2} − R^{2} & = & 0 , \\ e_{2} · x(t) & = & 0 \end{matrix} \} ∀ t ≥ t_{1} .

Diese Nebenbedingung lassen sich (lokal) mithilfe der generalisierten Koordinate φ gemäß

x = x(φ) = R (cos φ e_{1} + sin φ e_{3})

erfassen, entsprechen also einem holonomen System mit einem einzigen Freiheitsgrad.

Zu Aufgabe 23 a): Daß

(\frac{d}{dt} ∇ẋ L_{1} − ∇_{x} L_{1}) (x, ẋ, ẍ, t) = (\frac{d}{dt} ∇ẋ L_{2} − ∇_{x} L_{2}) (x, ẋ, ẍ, t)  (D.58)

aus

L_{1}(x, ẋ, t) − L_{2}(x, ẋ, t) = ḟ(x, ẋ, t) ∀ (x, ẋ, t) ∈ ℝ^{3+3+1}  (D.59)

folgt, ist leicht zu sehen; denn:

(\frac{d}{dt} ∇ẋ ḟ − ∇_{x} ḟ) (x, ẋ, ẍ, t)

= \frac{d}{dt} ∇ẋ (\frac{∂}{∂t} f(x, t) + ẋ · ∇_{x} f(x, t)) − ∇_{x} (\frac{∂}{∂t} f(x, t) + ẋ · ∇_{x} f(x, t))
= \frac{d}{dt} ∇_{x} f(x, t) − (\frac{∂}{∂t} ∇_{x} f(x, t) + (ẋ · ∇_{x}) ∇_{x} f(x, t))
= 0 .

Wir müssen also nur noch zeigen, daß umgekehrt auch (D.59) aus (D.58) folgt: Für L_{0} =^{def} L_{1} − L_{2} folgt aus (D.58)

0 = (\frac{d}{dt} ∇ẋ L_{0} − ∇_{x} L_{0}) (x, ẋ, ẍ, t)
= \frac{∂}{∂t} ∇ẋ L_{0}(x, ẋ, t) + (ẋ · ∇_{x}) ∇ẋ L_{0}(x, ẋ, t) + (ẍ · ∇ẋ) ∇ẋ L_{0}(x, ẋ, t)
−∇_{x} L_{0}(x, ẋ, t) ∀ (x, ẋ, ẍ, t) ∈ ℝ^{10} .

Daraus folgt zunächst

\frac{∂}{∂ẋ^{j}} (∇ẋ L_{0}(x, ẋ, t)) = 0 ∀ (x, ẋ, t) ∈ ℝ^{7} , j ∈ \{1, …, 3\} ,

und damit die Existenz von f̂(x, t) und g(x, t) mit

L_{0}(x, ẋ, t) = f̂(x, t) + ẋ · g(x, t) ∀ (x, ẋ, t) ∈ ℝ^{7} .  (D.60)

Dafür gilt

0 = \frac{d}{dt} ∇ẋ (f̂(x, t) + ẋ · g(x, t)) − ∇_{x} (f̂(x, t) + ẋ · g(x, t))
=  \frac{d}{dt} g(x, t) − ∇_{x} (f̂(x, t) + ẋ · g(x, t))
=  \frac{∂}{∂t} g(x, t) − ∇_{x} f̂(x, t) + (ẋ · ∇_{x}) g(x, t) − ∇_{x}(ẋ · g(x, t))
=_{Entw.-Satz} \frac{∂}{∂t} g(x, t) − ∇_{x} f̂(x, t) + ẋ × (∇_{x} × g(x, t))

und somit

∇_{x} f̂(x, t) = \frac{∂}{∂t} g(x, t) , rot g(x, t) = 0 .

Dementsprechend existiert also ein V (x, t) mit

g(x, t) = grad V (x, t)

und

∇_{x} (f̂(x, t) − \frac{∂}{∂t} V (x, t)) = 0 .

Aus letzterem folgt die Existenz einer Funktion c(t) mit

f̂(x, t) = \frac{∂}{∂t} V (x, t) + c(t) .

und deshalb für

f(x, t) =^{def} V (x, t) + ∫_{0}^{t} c(t′) dt′

schließlich

f̂(x, t) = \frac{∂}{∂t} f(x, t) , g(x, t) = grad f(x, t) .

Mit (D.60) folgt daraus (D.59).

Anmerkung: Die bewiesene Äquivalenzaussage gilt lokal für beliebige generalisierte Koordinaten.

Zu Aufgabe 23 b): Auch für verallgemeinerte Potentiale U(x, ẋ, t) folgt gemäß a), daß sie jeweils bis auf die additive totale Zeitableitung

ḟ(x, ẋ, t) = \frac{∂}{∂t} f(x, t) + ẋ · grad f(x, t)

eines t-abhängigen Skalarfeldes f(x, t) eindeutig durch die (als Funktionen von x, ẋ und t gegebenen) eingeprägten Kräfte festgelegt sind. Speziell für das verallgemeinerte Potential

U(x, ẋ, t) = e Φ(x, t) − ẋ · A(x, t)

eines Massenpunktes mit elektrischer Ladung e im elektromagnetischen Feld

E(x, t) = −grad Φ(x, t) − \frac{∂}{∂t}A(x, t) ,
B(x, t) = rot A(x, t)

(siehe Beispiel (iii) von 1.2.2.3) folgt, daß das elektromagnetische Potential Φ , A bis auf eine Eichtransformation

Φ(x, t) ⟼ Φ(x, t) + \frac{∂}{∂t} f(x, t) ,
A(x, t) ⟼ A(x, t) − grad f(x, t)

eindeutig ist.

Zu Aufgabe 24 a): Wir bezeichnen die zu n senkrechte Ausrichtung des Zylinders mit e_{Z} und parametrisieren die körperfesten Punkte in der durch den Abrollwinkel φ gegebenen Position des Zylinders durch die Zylinderkoordinaten

(ρ, ψ, h) ∈ [0, R] × [0, 2π) × [0, L]

gemäß

x_{ρ,ψ,h}(φ) = y + R φ \underbrace{e_{Z} × n}_{Abrollrichtung} +R n + h e_{Z} + ρ e(φ + ψ) ,  (D.61)

wobei

e(φ) =^{def} cos(φ) n × e − sin(φ) n

und y der Ortsvektor eines festen Punktes auf der Ebene ist. Mit f_{ρ,ψ,h}(φ, t) bezeichnen wir die Volumendichte der eingeprägten Kräfte an der Stelle x_{ρ,ψ,h}(φ) zur Zeit t. Die generalisierte eingeprägte Kraft ist dann

Q(φ, t) = ∫_{h=0}^{L} ∫_{ψ=0}^{2π} ∫_{ρ=0}^{R} f_{ρ,ψ,h}(φ, t) · \frac{∂}{∂φ} x_{ρ,ψ,h}(φ) dρ dψ dh

= ∫_{h=0}^{L} ∫_{ψ=0}^{2π} ∫_{ρ=0}^{R} f_{ρ,ψ,h}(φ, t) · (R e_{Z} × n + ρ (\frac{d}{dα}e(α))_{|_{α=φ+ψ}}) dρ dψ dh
= ∫_{h=0}^{L} ∫_{ψ=0}^{2π} ∫_{ρ=0}^{R} f_{ρ,ψ,h}(φ, t) · (R e_{Z} × n + ρ e_{Z} × e(φ + ψ))dρ dψ dh
= ∫_{h=0}^{L} ∫_{ψ=0}^{2π} ∫_{ρ=0}^{R} e_{Z} · ((R n + ρ e(φ + ψ)) × f_{ρ,ψ,h}(φ, t))dρ dψ dh .

Da die zu φ gehörige momentane Drehachse durch den Punkt mit dem Ortsvektor x_{0} + R φ n × e geht, folgt daraus mit (D.61) die Behauptung.

Zu Aufgabe 24 b): Im Falle

f_{ρ,ψ,h}(φ, t) = μ g ,

wobei

μ =^{def} m/ ∫_{h=0}^{L} ∫_{ψ=0}^{2π} ∫_{ρ=0}^{R} dρ dψ dh

die Massendichte des Zylinders bezeichnet, ist das Potential

U(φ) = −m g · (x_{0} + R φ e_{Z} × n + R n) + const.

Daraus folgt

Q(φ) = −\frac{∂}{∂φ} U(φ) = m g · (R e_{Z} × n) = e_{Z} · (R n × m g) ,

im Einklang mit a).

Zu Aufgabe 25: Die Behauptung folgt wegen L = T − U unmittelbar aus

\frac{∂}{∂q^{1}} T = \frac{∂}{∂q^{1}} ∑_{ν=1}^{N} \frac{m_{ν}}{2} \left|{ \atop ẋ_{ν}}\right|^{2}

= ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} ẋ_{ν} · \frac{∂}{∂q^{1}} ẋ_{ν}

=_{(1.45)} ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} ẋ_{ν} · \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q^{1}} x_{ν}

=_{Vorauss.} ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} ẋ_{ν} · \frac{d}{dt}(e × (x_{ν} − x_{0}))

=_{Vorauss.} ∑_{ν=1}^{N} m_{ν} ẋ_{ν} · (e × ẋ_{ν})
= 0 .

Zu Aufgabe 26 a): Mithilfe eines Winkels φ als generalisierte Koordinate läßt sich die Momentanposition x des Massenpunktes (lokal, bei entsprechender Wahl von e_{1}) wie folgt beschreiben:

x = x(φ) = R sin φ e′_{ω t} − R cos φ e_{3} , e′_{ω t} =^{def} cos(ω t) e_{1} + sin(ω t) e_{2} .

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} φ x(φ, t) R e′_{ω t} R e_{3}

Damit gilt

ẋ(φ, φ̇) = R φ̇ (cos φ e′_{ω t} + sin φ e_{3}) + R sin φ \frac{d}{dt} e′_{ω t}

und somit

T = T (φ, φ̇) = \frac{m}{2} |ẋ(φ, φ̇)|^{2} = \frac{m}{2} R^{2}(φ̇^{2} + (ω sin φ)^{2}) .  (D.62)

Mit dem Potential

U = U(φ) = −m g · x(φ) = −m g R cos φ  (D.63)

ergibt sich daraus für die Lagrange-Funktion

L = L(φ, φ̇) = \frac{m}{2} R^{2}(φ̇^{2} + (ω sin φ)^{2}) + m g R cos φ .  (D.64)

Die zugehörige Lagrange-Gleichung II. Art lautet explizit^{10}

R (m R φ̈ − m R ω^{2} sin φ cos φ + m g sin φ) = 0

und ist äquivalent zu

φ̈ + (\frac{g}{R} − ω^{2} cos φ) sin φ = 0 .  (D.65)

Zu Aufgabe 26 b): Eine beliebig kleine Schwingung um φ = φ_{0} herum ist natürlich nur bei entsprechender Rückstellkraft möglich. Insbesondere muß also gemäß (D.65)

(\frac{g}{R} − ω^{2} cos φ_{0}) sin φ_{0} = 0 ,

d.h. entweder sin φ_{0} = 0 oder^{11}

\frac{g}{R} − ω^{2} cos φ_{0} = 0  (D.66)

gelten.

Der Fall sin φ_{0} = 0 ist nur für φ_{0} = 0 mod 2π resp. φ_{0} = π mod 2π möglich, wobei dann in linearer Näherung von (D.65)

R φ̈ + (g − R ω^{2}) φ = 0 für φ ≈ 0

resp.

R φ̈ − (g + R ω^{2}) (φ − π) = 0 für φ ≈ π

gilt. Deshalb ist in diesem Falle nur eine (harmonische) Schwingung um φ_{0} = 0 mod 2π herum möglich und zwar genau dann, wenn g > R ω^{2} gilt, die Kreisfrequenz also nicht zu groß ist.

Der Fall (D.66), sin φ_{0} ≠ 0 , kann natürlich nur für

g < R ω^{2} , cos φ_{0} > 0

eintreten. Dann ergibt sich mithilfe der entsprechenden Additionstheoreme

φ̈ + (ω sin φ_{0})^{2} (φ − φ_{0}) = 0 für φ ≈ φ_{0}

als lineare Näherung von (D.65). In diesem Falle sind also stets Schwingungen mit beliebig kleiner Amplitude um φ = φ_{0} herum möglich.

Version vom 26. März 2009

10Natürlich stimmt |m R ω^{2} sin φ cos φ| mit dem Betrag der zu x(φ, t) senkrechten Komponente der Zentrifugalkraft überein und |m g cos φ| mit dem Betrag der entsprechenden Komponente der Schwerkraft.

11Die Bedingung (D.66) ist natürlich genau dann erfüllt, wenn sich die zu x(φ_{0}) orthogonalen Komponenten von Schwer- und Zentrifugalkraft kompensieren (Prinzip des Fliehkraftreglers).

Zu Aufgabe 26 c): Wegen \frac{∂}{∂t}L =_{(D.64)} 0 ist

H(φ, φ̇)  =_{(1.63)}  φ̇ \frac{∂}{∂φ̇} L(φ, φ̇) − L(φ, φ̇)
=_{(D.64)}  \frac{m}{2} R^{2}(φ̇^{2} − (ω sin φ)^{2}) − m g R cos φ
=_{(D.62),(D.63)} T (φ, φ̇) + U(φ, φ̇) − m (R ω sin φ)^{2}

gemäß (1.62) eine Erhaltungsgröße. Da sin^{2} φ(t) für Schwingungen φ(t) nicht konstant sein kann, folgt daraus entsprechendes für die Gesamtenergie T + U . Der physikalische Grund ist folgender:

Für das gesamte Drehmoment M(t) , das auf m wirkt, gilt

e_{3} · M(t) =_{allgemein} \frac{d}{dt} e_{3} · L(t)
=  \frac{d}{dt} m (R sin φ(t))^{2} ω .

Die zur Kreisebene senkrechte Komponente der Zwangskraft verrichtet dementsprechend an m die Leistung

ω e_{3} · M(t) = \frac{d}{dt} m(R ω sin φ(t))^{2} .

Zu Aufgabe 27 a): Die Matrix-wertigen Funktionen

M̂_{1}(λ) =^{def} e^{λ Â}B̂e^{−λ Â} ∀ λ ∈ ℝ

und

M̂_{2}(λ) =^{def} e^{ad^{λ Â}} B̂ ∀ λ ∈ ℝ

genügen beide der Differentialgleichung 1. Ordnung

\frac{d}{dλ} M̂(λ) = adÂ M̂(λ)

und der Anfangsbedingung

M̂(0) = B̂ .

Daraus folgt

M̂_{1}(λ) = M̂_{2}(λ) ∀ λ ∈ ℝ ,

insbesondere also die Behauptung M̂_{1}(1) = M̂_{2}(1) :

eÂB̂e^{−Â} = e^{adÂ} B̂ ,  (D.67)

Zu Aufgabe 27 b): Die erste Formel ergibt sich gemäß

R_{ψ e_{3}} J_{−ϑ̇ e_{1}} R_{−ψ e_{3}}  =_{(2.8)} e^{−ψJ_{e_{3}}} J_{−ϑ̇ e_{1}} e^{+ψJ_{e_{3}}}
=_{(D.67)} e^{−ψ ad_{Je_{3}}} J_{−ϑ̇ e_{1}}
=_{(2.11)} −ϑ̇ ∑_{ν=0}^{∞} (−ψ)^{ν} (ad_{J_{e_{3}}})^{ν} J_{e_{1}}
=_{(2.12)} −ϑ̇ (∑_{ν=0}^{∞} (−1)^{ν} ψ^{2ν} J_{e_{1}} − ∑_{ν=0}^{∞} (−1)^{ν} ψ^{2ν+1} J_{e_{2}})
= −ϑ̇ (cos ψ J_{e_{1}} − sin ψ J_{e_{2}})
=_{(2.11)} J_{−ϑ̇ (cos ψ e_{1}−sin ψ e_{2})} .

Die zweite Formel ergibt sich mit (2.11) aus den analog abzuleitenden Beziehungen

R_{ϑ e_{1}} J_{−ϕ̇ e_{3}} R_{−ϑ e_{1}} = −ϕ̇ ∑_{ν=0}^{∞} (−ϑ)^{ν} (ad_{J_{e_{1}}})^{ν} J_{e_{3}}
= J_{−ϕ̇ (cos ϑ e_{3}+sin ϑ e_{2})} ,
R_{ψ e_{3}} J_{−ϕ̇ sin ϑ e_{2}} R_{−ψ e_{3}} = −ϕ̇ sin ϑ ∑_{ν=0}^{∞} (−ψ)^{ν} (ad_{J_{e_{3}}})^{ν} J_{e_{2}}
= J_{−ϕ̇ sin ϑ (cos ψ e_{2}+sin ψ e_{1})}

und

R_{ψ e_{3}} J_{−ϕ̇ cos ϑ e_{3}} R_{−ψ e_{3}} = J_{−ϕ̇ cos ϑ e_{3}} .

Zu Aufgabe 28 a): Die Bewegung der Kugel sei gemäß Abschnitt 2.1 der Vorlesung beschrieben, wobei für x_{0}(t) die Ortsvektorfunktion X(t) des Kugelschwerpunkts gewählt sei. Da X^{3} den festen Wert R haben muß, können wir

(q^{1}, …, q^{5}) = (X^{1}, X^{2}, ϕ, ϑ, ψ)

als generalisierte Koordinaten verwenden. Zur Zeit t_{0} berühren sich Kugel und Ebene im Punkt mit dem Ortsvektor

h(t_{0}) =^{def} X(t_{0}) − R \underbrace{( 0 0 1 ) ( \begin{matrix}e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} )}_{=e_{3}}

=_{(2.1)} X(t_{0}) − R ( 0 0 1 ) R^{−1}(t_{0}) ( \begin{matrix}e′_{1}(t_{0}) \\ e′_{2}(t_{0}) \\ e′_{3}(t_{0}) \end{matrix} ) .

184 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE Die Ortsvektorfunktion desjenigen körperfesten Punktes auf der Kugeloberfläche, der die Ebene zum Zeitpunkt t_{0} berührt, ist dementsprechend durch

x_{t_{0}}(t) =^{def} X(t) − R ( 0 0 1 ) R^{−1}(t_{0}) ( \begin{matrix}e′_{1}(t) \\ e′_{2}(t) \\ e′_{3}(t) \end{matrix} ) ∀ t ∈ ℝ

gegeben. Die Nebenbedingung des Rollens ist gemäß Fußnote 28 von Kapitel 2

(\frac{∂}{∂t} x_{t_{0}}(t))_{|_{t=t_{0}}} = 0 ∀ t_{0} ∈ ℝ ,

wegen

(R^{−1}(t) \frac{d}{dt} ( \begin{matrix}e′_{1}(t) \\ e′_{2}(t) \\ e′_{3}(t) \end{matrix} ))^{j}  =_{(2.16)}  (R^{−1}(t) ( \begin{matrix}ω′(t) × e′_{1}(t) \\ ω′(t) × e′_{2}(t) \\ ω′(t) × e′_{3}(t) \end{matrix} ))^{j}
=_{(2.3)}  ∑_{k=1}^{3} R_{k}^{j}(t) (ω′(t) × e′_{k}(t))
=  ω′(t) × ∑_{k=1}^{3} R_{k}^{j}(t) e′_{k}(t)
=_{(2.1),(2.3)} ω′(t) × e_{j}

also — auch anschaulich klar — äquivalent zu

Ẋ(t) = R ω′(t) × e_{3} ,  (D.68)

mit ω′(t) gemäß (2.16). Nach (2.1) ist (D.68) äquivalent zu

Ẋ(t) = R ∑_{j=1}^{3} ω^{j}(t)(R_{j}^{2}(t) e_{1} − R_{j}^{1}(t) e_{2}) ,  (D.69)

mit ω^{j}(t) gemäß (2.39) und R(t) gemäß (2.14). Mit^{12}

e^{λJ_{e_{3}}} = 1l + ∑_{ν=1}^{∞} (−1)^{ν} λ^{2ν} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) + ∑_{ν=0}^{∞} (−1)^{ν} λ^{2ν+1} ( \begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos λ & − sin λ & 0 \\ sin λ & cos λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  (D.70)

Version vom 26. März 2009

12Vgl. (2.8) und (2.2).

und

e^{λJ_{e_{1}}} = 1l + ∑_{ν=1}^{∞} (−1)^{ν} λ^{2ν} ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) + ∑_{ν=0}^{∞} (−1)^{ν} λ^{2ν+1} ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos λ & − sin λ \\ 0 & sin λ & cos λ \end{matrix} )  (D.71)

ergibt sich R(t)

=_{(2.14)} R_{ψ(t)e_{3}}R_{ϑ(t)e_{1}}R_{ϕ(t)e_{3}}
=_{(2.2)} ( \begin{matrix}cos ψ(t) & sin ψ(t) & 0 \\ − sin ψ(t) & cos ψ(t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos ϑ(t) & sin ϑ(t) \\ 0 & − sin ϑ(t) & cos ϑ(t) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}cos ϕ(t) & sin ϕ(t) & 0 \\ − sin ϕ(t) & cos ϕ(t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos ψ(t) & sin ψ(t) & 0 \\ − sin ψ(t) & cos ψ(t) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}cos ϕ(t) & sin ϕ(t) & 0 \\ − cos ϑ(t) sin ϕ(t) & cos ϑ(t) cos ϕ(t) & sin ϑ(t) \\ sin ϑ(t) sin ϕ(t) & − sin ϑ(t) cos ϕ(t) & cos ϑ(t) \end{matrix} )

und damit

( \begin{matrix}R_{1}^{1}(t) \\ R_{2}^{1}(t) \\ R_{3}^{1}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos ψ(t) cos ϕ(t) − sin ψ(t) cos ϑ(t) sin ϕ(t) \\ − sin ψ(t) cos ϕ(t) − cos ψ(t) cos ϑ(t) sin ϕ(t) \\ sin ϑ(t) sin ϕ(t) \end{matrix} ) , (D.72)
( \begin{matrix}R_{1}^{2}(t) \\ R_{2}^{2}(t) \\ R_{3}^{2}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos ψ(t) sin ϕ(t) + sin ψ(t) cos ϑ(t) cos ϕ(t) \\ − sin ψ(t) sin ϕ(t) + cos ψ(t) cos ϑ(t) cos ϕ(t) \\ − sin ϑ(t) cos ϕ(t) \end{matrix} ) , (D.73)
( \begin{matrix}R_{1}^{3}(t) \\ R_{2}^{3}(t) \\ R_{3}^{3}(t) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}sin ψ(t) sin ϑ(t) \\ cos ψ(t) sin ϑ(t) \\ cos ϑ(t) \end{matrix} ) ,  (D.74)

Gemäß (D.72) und (D.73) sind die kinematischen Nebenbedingungen (D.69) äquivalent zu

∑_{ν=1}^{5} a_{j,ν} q̇^{ν} = 0 ∀ j ∈ {1, 2} .  (D.75)

wobei:

a_{1,1} =^{def} 1/R ,
a_{1,2} =^{def} 0 ,
a_{1,3} =^{def} 0 ,
a_{1,4} =^{def} − sin ϕ ,
a_{1,5} =^{def} sin ϑ cos ϕ ,

a_{2,1} =^{def} 0 ,
a_{2,2} =^{def} 1/R ,
a_{2,3} =^{def} 0 ,
a_{2,4} =^{def} + cos ϕ ,
a_{2,5} =^{def} sin ϑ sin ϕ ,

Die kinetische Energie der Kugel ist nach (2.40)

T = \frac{M}{2} (\binom{}{˙X^{1}}^{2} + \binom{}{˙X^{2}}^{2}) + \frac{θ_{1}}{2} (ϕ̇^{2} + ϑ̇^{2} + ψ̇^{2} + 2 ϕ̇ ψ̇ cos ϑ) ,  (D.76)

wobei hier

θ_{1} = \frac{5}{2} R^{2}M

das Trägheitsmoment der Kugel bzgl. einer beliebigen Achse ist, die durch den Kugelschwerpunkt geht.^{13} Die potentielle Energie der Kugel ist (bis auf eine additive Konstante)

U = M g sin α X^{1} .

Mit (D.76) und (D.75) ergibt sich damit für die Lagrange-Gleichungen (1.56):

M Ẍ^{1} = λ_{1}/R − M g sin α ,
M Ẍ^{2} = λ_{2}/R ,
θ_{1} (ϕ̈ + ψ̈ cos ϑ − ψ̇ ϑ̇ sin ϑ) = 0 ,
θ_{1} (ϑ̈ + ϕ̇ ψ̇ sin ϑ) = −λ_{1} sin ϕ + λ_{2} cos ϕ ,
θ_{1} (ψ̈ + ϕ̈ cos ϑ − ϕ̇ ϑ̇ sin ϑ) = λ_{1} sin ϑ cos ϕ + λ_{2} sin ϑ sin ϕ .

(D.77)

Zu Aufgabe 28 b): Für α = 0 sieht man unmittelbar, daß

\begin{matrix}ϕ(t) & = & ϕ_{0} , \\ ϑ(t) & = & ϑ_{0} , \\ ψ(t) & = & Ω t + ψ_{0} , \\ X^{j}(t) & = & R(Ω e′_{3}(0) × e_{3})^{j}t + X_{0}^{j} ∀ j ∈ \{1, 2\} \end{matrix} \} ∀ t ∈ ℝ  (D.78)

für beliebig vorgegebene Konstanten ϕ_{0} , ϑ_{0} , Ω , ψ_{0} , X_{0}^{1} , X_{0}^{2} (entsprechender physikalischer Dimension) eine Lösung des Gleichungssystems (D.77) zur Wahl

λ_{1}(t) = λ_{2}(t) = 0 ∀ t ∈ ℝ

der Lagrange-Parameter ist, die wegen

ω′(t) =_{(2.16),(D.78)} Ω e′_{3}(t) = Ω e′_{3}(0) ∀ t ∈ ℝ  (D.79)

der Rollbedingung (D.68) genügt. Da e′_{3}(0) nur von der Wahl der Euler-Winkel ϕ_{0} und ϑ_{0} abhängt, läßt sich also durch entsprechende Wahl o.a. Konstanten jede Anfangsbedingung erfüllen. Deshalb ist im Falle α = 0 jede Lösung von (D.77)/(D.68) von der Form (D.78). Gemäß (D.79) bedeutet das:

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13Siehe Abschnitt 4.4.1 der Math. Meth. d. Phys.

Im Falle α = 0 (waagerechte Ebene) rotiert die Kugel entsprechend der konstanten vektoriellen Kreisfrequenz ω′(0) während sich der Kugelschwerpunkt mit der konstanten Geschwindigkeit R ω′(0) × e_{3} bewegt.

Zu Aufgabe 29: Aus

L(ω′(t), t))  =  ∑_{j=1}^{3}(e′_{j}(t) · L(ω′(t), t))) e′_{j}(t)

=_{(2.27)}  ∑_{j=1}^{3} θ_{t}(e′_{j}(t), ω′(t)) e′_{j}(t)

=_{(2.16),(2.39)} ∑_{j,k=1}^{3} ω^{k}(t) θ_{t}(e′_{j}(t), e′_{k}(t)) e′_{j}(t)

=_{(2.34)}  ∑_{j=1}^{3} ω^{j}(t) θ_{j} e′_{j}(t)  (D.80)

folgt

e′_{1}(t) · \frac{d}{dt} L(ω′(t), t)) = e′_{1}(t) · ∑_{j=1}^{3} θ_{j} (ω̇^{j}(t) e′_{j}(t) + ω^{j}(t) ė′_{j}(t))

=_{(2.16)} θ_{1} ω̇^{1}(t) + ∑_{j=1}^{3} θ_{j} ω^{j}(t) e′_{1}(t) · (ω′(t) × e′_{j}(t))

= θ_{1} ω̇^{1}(t) + ∑_{j=1}^{3} θ_{j} ω^{j}(t) ω′(t) · (e′_{j}(t) × e′_{1}(t))
= θ_{1} ω̇^{1}(t) + (θ_{3} − θ_{2}) ω^{2}(t) ω^{3}(t)

und entsprechend

e′_{2}(t) · \frac{d}{dt} L(ω′(t), t)) = θ_{2} ω̇^{2}(t) + (θ_{1} − θ_{3}) ω^{3}(t) ω^{1}(t) ,
e′_{3}(t) · \frac{d}{dt} L(ω′(t), t)) = θ_{3} ω̇^{3}(t) + (θ_{2} − θ_{1}) ω^{1}(t) ω^{2}(t) .

Wegen

\frac{d}{dt} L(ω′(t), t)) = 0  ⟺  e′_{j}(t) · \frac{d}{dt} L(ω′(t), t)) = 0 ∀ j ∈ \{1, 2, 3\}

folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe 30: Aus (2.1) und (2.3) folgt

e_{3} = ∑_{k=1}^{3} R_{k}^{3}(t) e′_{k}(t) ∀ t ∈ ℝ

188 ANHANG D. LÖSUNGSVORSCHLÄGE und daraus mit (D.80) die Behauptung gemäß:

e_{3} · L(ω′(t), t))

=  ∑_{j,k=1}^{3} R_{k}^{3}(t) ω^{j}(t) θ_{j} e′_{k}(t) · e′_{j}(t)
=  ∑_{k=1}^{3} θ_{j} R_{j}^{3}(t) ω^{j}(t)
=_{(D.74),(2.39)} θ_{1} sin ψ(t) sin ϑ(t) (ϕ̇(t) sin ϑ(t) sin ψ(t) + ϑ̇(t) cos ψ(t))
+θ_{2} cos ψ(t) sin ϑ(t) (ϕ̇(t) sin ϑ(t) cos ψ(t) − ϑ̇(t) sin ψ(t))
+θ_{3} cos ϑ(t) (ψ̇(t) + ϕ̇(t) cos ϑ(t))
=_{θ_{1}=θ_{2}}  ϕ̇(t) (θ_{1} sin^{2} ϑ(t) + θ_{3} cos^{2} ϑ(t)) + ψ̇(t) θ_{3} cos ϑ(t) .

Zu Aufgabe 31 a): Entsprechend Aufgabe 49 der Math. Meth. d. Phys. ist

−x × ∫_{0}^{1} λ ω′dλ = \frac{1}{2} ω′ × x

ein Vektorpotential des konstanten Skalarfeldes ω′, d.h.:^{14}

rot (\frac{1}{2} ω′ × x) = ω′.

Entsprechend Beispiel (ii) von 1.2.2.3 ist also

U(x, ẋ) =^{def} +m g e_{3} · x − m (ω′ × x) · ẋ

ein verallgemeinertes Potential der vorgegebenen eingeprägten Kräfte. Die kinematischen Nebenbedingungen sind

x · ẋ = 0 ,

die Lagrange-Gleichungen I. Art somit

m (ẍ + 2 ω′ × ẋ + g e_{3}) = λ_{1} x .  (D.81)

Explizit lautet (D.81):

m (ẍ^{1} − 2 ẋ^{2} ω_{C} cos θ) = λ_{1} x^{1} ,  (D.82)
m (ẍ^{2} + 2 ẋ^{1} ω_{C} cos θ − 2 ẋ^{3} ω_{C} sin θ) = λ_{1} x^{2} ,  (D.83)
m (ẍ^{3} − 2 ẋ^{2} ω_{C} sin θ + g) = λ_{1} x^{3} .  (D.84)

Version vom 26. März 2009

14Hier sei auch an Aufgabe 38 a) der Math. Meth. d. Phys. erinnert.

Bildet man auf beiden Seiten von (D.81) das innere Produkt mit ẋ , so ergibt sich

\frac{d}{dt} (\frac{m}{2} \left|{ \atop ẋ}\right|^{2} + m g e_{3} · x) = m ẋ · (ẍ + 2 ω′ × ẋ + g e_{3}) = λ_{1} ẋ · x .

Da die rechte Seite aufgrund der kinematischen Nebenbedingungen Null ist, ist also die Gesamtenergie

E = \frac{m}{2} \left|{ \atop ẋ}\right|^{2} + m g e_{3} · x

für physikalisch erlaubte Bewegungen zeitlich konstant.^{15}

Zu Aufgabe 31 b): Für kleine Schwingungen um x = −R e_{3} herum ergibt sich aus (D.84)

λ ≈ −\frac{m g}{R}

und daraus mit (D.82)/(D.83) näherungsweise

\begin{aligned}ẍ^{1}(t) + ω_{g}^{2} x^{1}(t) & = & +2 Ω ẋ^{2}(t) , \\ ẍ^{2}(t) + ω_{g}^{2} x^{2}(t) & = & −2 Ω ẋ^{1}(t) , \end{aligned}

wobei

Ω =^{def} ω_{C} cos θ , ω_{g} =^{def} ^{+} \sqrt{\frac{g}{R}} .

Die beiden Gleichungen für die reellwertigen Funktionen x^{1}(t) , x^{2}(t) sind äquivalent zu

z̈(t) + 2 i Ω ż(t) + ω_{g}^{2}z(t) = 0 .  (D.85)

Zu Aufgabe 31 c): Die allgemeine Lösung von (D.85) ist:^{16}

z(t) = c_{+} e^{−i Ω t+i \sqrt{Ω^{2}+ω_{g}^{2}} t} + c_{−} e^{−i Ω t−i \sqrt{Ω^{2}+ω_{g}^{2}} t} .

In einem mit der Kreisfrequenz −Ω um die e_{3}-Achse rotierenden Bezugssystem betrachtet, führt also^{17} der Massenpunkt (in der angegebenen Näherung) eine (ungedämpfte, i.a. elliptische) harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz \sqrt{Ω^{2} + ω_{g}^{2}} aus. Dabei gilt

\sqrt{Ω^{2} + ω_{g}^{2}} ≈ ω_{g} für Ω ≪ ω_{g} .

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15Das kann man natürlich auch aus (1.62) schließen, wenn man zeigt, daß (1.63) mit der Gesamtenergie übereinstimmt. Der Energiesatz 1.2.3 ist dagegen nicht anwendbar, da U auch von der Geschwindigkeit abhängt.

16Siehe z.B. (Arnol’d, 1988, Beispiel 2 in Abschn. 6.2.2).

17Siehe Übungsaufgabe 15 der Math. Meth. d. Phys.

Zu Aufgabe 32: Gemäß (2.35) — und Gleichung (2.24) der Math. Meth. d. Phys.

— gilt^{18}

θ_{t}(ω_{1}, ω_{2}) = ∫ (ω_{1} × (x − x_{0}(t))) · (ω_{2} × (x − x_{0}(t)))μ(x, t) dV_{x} , (D.86)

und entsprechend

θ_{t}^{S}(ω_{1}, ω_{2}) = ∫ (ω_{1} × (x − X(t))) · (ω_{2} × (x − X(t)))μ(x, t) dV_{x} , (D.87)

wobei μ(x, t) die Massendichte von K zum Zeitpunkt t bezeichnet. Außerdem gilt definitionsgemäß

X(t) = \frac{1}{M} ∫ x μ(x, t) dV_{x} .  (D.88)

Damit erhalten wir

θ_{t}(ω_{1}, ω_{2})

=_{(D.86)}  ∫ (ω_{1} × (x − X(t))) · (ω_{2} × (x − X(t)))μ(x, t) dV_{x}
+ ∫ (ω_{1} × (x − X(t))) · (ω_{2} × (X(t) − x_{0}(t)))μ(x, t) dV_{x}
+ ∫ (ω_{1} × (X(t) − x_{0}(t))) · (ω_{2} × (X(t) − x_{0}(t)))μ(x, t) dV_{x}
+ ∫ (ω_{1} × (X(t) − x_{0}(t))) · (ω_{2} × (x − X(t)))μ(x, t) dV_{x}
=_{(D.87),(D.88)} θ_{t}^{S}(ω_{1}, ω_{2}) + M(ω_{1} × (X(t) − x_{0}(t))) · (ω_{2} × (X(t) − x_{0}(t))) .

Es gilt also tatsächlich

θ_{t}(ω_{1}, ω_{2}) = θ_{t}^{S}(ω_{1}, ω_{2}) + θ_{t}^{P}(ω_{1}, ω_{2}) ,

wobei

θ_{t}^{P}(ω_{1}, ω_{2}) =^{def} M(ω_{1} × (X(t) − x_{0}(t))) · (ω_{2} × (X(t) − x_{0}(t)))

den Trägheitstensor bzgl. x_{0}(t) eines Massenpunktes M mit dem Ortsvektor X(t) bezeichnet.

Seien e′_{1}(t), e′_{2}(t), e′_{3}(t) die Richtungen der Hauptträgheitsachsen von θ_{t}^{S} :

θ_{t}^{S}(e′_{j}(t), e′_{k}(t)) = δ_{jk} .

Dann müßte auch

θ_{t}^{P}(e′_{j}(t), e′_{k}(t)) = δ_{jk}

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18Siehe auch Gleichung (4.40) der Math. Meth. d. Phys.

gelten, wenn θ_{t}^{P} die gleichen Hauptträgheitsachsen hätte. Tatsächlich gilt aber z.B.

θ_{t}^{P}(e′_{1}(t), e′_{2}(t)) = −MR^{2} für X(t) − x_{0}(t) = R (e′_{1}(t) + e′_{2}(t)) .

I.a. hat also θ_{t}^{P} andere Hauptachsen als θ_{t}^{S} .

Zu Aufgabe 33: Für jede (zeitwertige, hinreichend gutartige) Funktion g(t) mit

g(t_{1}) = g(t_{2}) = 0  (D.89)

ist

x(t) ⟼ x(t, s) =^{def} x(t + s g(t))

eine Variation der betrachteten Art. Dafür gilt voraussetzungsgemäß

0 = (\frac{d}{ds} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |\frac{∂}{∂t}x(t, s)|^{2} dt)_{|_{s=0}}
= ∫_{t_{1}}^{t_{2}} 2 (\frac{∂}{∂t} x(t, s) · \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}x(t, s))_{|_{s=0}} dt
= ∫_{t_{1}}^{t_{2}} 2 ẋ(t) · \frac{d}{dt}(ẋ(t) g(t))dt
=_{part. Int.} \underbrace{2 |ẋ(t)|^{2} g(t)|_{t_{2}}^{t_{1}}}_{=_{(D.89)}} − ∫_{t_{1}}^{t_{2}} 2 ẍ(t) · ẋ(t) g(t) dt

= − ∫_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{d}{dt} \left|{ \atop ẋ}\right|^{2}) g(t) dt .

Mit dem Fundamentalsatz der Variationsrechnung folgt daraus

\frac{d}{dt} \left|{ \atop ẋ}\right|^{2} = 0 ∀ t ∈ (t_{1}, t_{2})

und damit die Behauptung.

Zu Aufgabe 34: Im Lösungsvorschlag zu Übungsaufgabe 20 wurde gezeigt, daß die Lagrange-Funktion von der Form

L(q, q̇, t) = ∑_{ν,μ=1}^{n} α_{ν,μ}(q, t) q̇^{ν}q̇^{μ} + F (q, t) + ∑_{ν=1}^{n} q̇^{ν} G_{ν}(q, t)  (D.90)

ist, wobei die Matrix α̂ der α_{ν,μ} symmetrisch ist und eine (von (q, t) abhängige) Orthonormalbasis {E_{1}, …, E_{N}} des ℝ^{n} existiert, die nur aus Eigenvektoren von α̂ zu positiven (von (q, t) abhängigen) Eigenwerten besteht:

α̂ E_{ν} = \underbrace{e_{ν}}_{>0} E_{ν} ∀ ν ∈ \{1, …, n\} .

Aus letzterem folgt offensichtlich

(∑_{ν=1}^{n} c^{ν} E_{ν}) · α̂ (∑_{μ=1}^{n} c^{μ} E_{μ}) = ∑_{ν=1}^{n} \underbrace{e_{ν}}_{>0} (c^{ν})^{2}

und somit

ℝ^{n} ∋ (ê^{1}, …, ê^{n}) ≠ (0, …, 0) ⟹ ∑_{ν,μ=1}^{n} ê^{ν} α_{ν,μ} ê^{μ} > 0 .  (D.91)

Aus (D.90) folgt für beliebige ê^{1}, …, ê^{n} ∈ ℝ

(∑_{λ=1}^{n} ê^{λ} \frac{∂}{∂q̇^{λ}} )^{2} L = (∑_{λ=1}^{n} ê^{λ} \frac{∂}{∂q̇^{λ}} )^{2} ∑_{ν,μ=1}^{n} α_{ν,μ} q̇^{ν} q̇^{μ}

= (∑_{λ′=1}^{n} ê^{λ′} \frac{∂}{∂q̇^{λ′}} ) ( ∑_{λ,μ=1}^{n} α_{λ,μ} ê^{λ} q̇^{μ} + ∑_{ν,λ=1}^{n} α_{ν,λ} q̇^{ν} ê^{λ})

= 2 ∑_{λ,λ′=1}^{n} α_{λ,λ′} ê^{λ} ê^{λ′}

und daraus mit (D.91)

ℝ^{n} ∋ (ê^{1}, …, ê^{n}) ≠ (0, …, 0) ⟹ (∑_{λ=1}^{n} ê^{λ} \frac{∂}{∂q̇^{λ}} )^{2} L > 0 .

Damit ist gezeigt, daß L(q, q̇, t) (für jeweils festes (q, t)) eine streng konvexe Funktion von q̇ ist.

Andererseits folgt aus (D.90) und der Symmetrie von α̂

\frac{∂}{∂q̇^{ν}} L(q, q̇, t) = 2 ∑_{μ=1}^{n} α_{ν,μ} q̇^{μ} + G_{ν}

und somit

( \frac{∂}{∂q̇^{1}} L ; ⋮ ; \frac{∂}{∂q̇^{n}} L ) = 2 α̂ ( q̇^{1} ; ⋮ ; q̇^{n} ) + ( G_{1} ; ⋮ ; G_{n} ) .

Da α̂ invertierbar ist, folgt daraus auch

\{p = (p^{1}, …, p^{n}) : ∃ q̇ ∈ ℝ^{n} : p^{ν} = \frac{∂}{∂q̇^{ν}} L(q, q̇, t) ∀ ν ∈ \{1, …, n\}\} = ℝ^{n} .

Zu Aufgabe 35 a): Da die q^{1}, …, p_{n} unabhängige Koordinaten sind, gilt

X_{f_{1}} = X_{f_{2}} ⟺ ( \frac{∂}{∂q^{1}} f_{1} ; ⋮ ; \frac{∂}{∂p_{n}} f_{1} ) = ( \frac{∂}{∂q^{1}} f_{2} ; ⋮ ; \frac{∂}{∂p_{n}} f_{2} )

⟺ f_{1} − f_{2} unabhängig von p, q .

Da f_{1} − f_{2} voraussetzungsgemäß für hinreichend großes p verschwindet, folgt daraus die Behauptung.

Zu Aufgabe 35 b): Die Behauptung ist eine einfache Folge der Produktregel und Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.

Zu Aufgabe 35 c): Nach b) gilt

X_{{f_{j},{f_{k},f_{l}}_{q,p}}_{q,p}} = [X_{f_{j}}, [X_{f_{k}}, X_{f_{l}}]_{−}]_{−}

Deshalb genügt nach a) der Nachweis von

[X_{f_{1}}, [X_{f_{2}}, X_{f_{3}}]_{−}]_{−} + zyklische Vertauschungen von 1, 2, 3 = 0 .

Das folgt aber aus^{19}

X_{f_{1}} [X_{f_{2}}, X_{f_{3}}]_{−} + zyklische Vertauschungen von 1, 2, 3

= ∑_{π∈S_{3}} sign(π) X_{f_{π(1)}} X_{f_{π(2)}} X_{f_{π(3)}}

= [X_{f_{2}}, X_{f_{3}}]_{−} X_{f_{1}} + zyklische Vertauschungen von 1, 2, 3 .

Zu Aufgabe 36: Die Lagrange-Funktion ist^{20}

L(ϑ, φ, ϑ̇, φ̇) = \frac{m}{2} R^{2} (ϑ̇^{2} + sin^{2} ϑ ϕ̇^{2}) − m g R cos ϑ .

Für die verallgemeinerten Impulse folgt daraus

p_{ϑ} =^{def} \frac{∂}{∂ϑ̇} L = m R^{2} ϑ̇ , p_{φ} =^{def} \frac{∂}{∂φ̇} L = m R^{2} sin^{2} ϑ φ̇ .

Auflösung nach den generalisierten Geschwindigkeiten liefert

ϑ̇ = \frac{p_{ϑ}}{m R^{2}} , φ̇ = \frac{p_{φ}}{m R^{2} sin^{2} ϑ}  (D.92)

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19Wir bezeichnen, wie allgemein üblich, die Menge aller Permutationen von (1, 2, 3) mit S_{3} .

20Siehe Lösungsvorschlag zu Übungsaufgabe 17 b).

und somit für die Hamilton-Funktion:

H(ϑ, φ, p_{ϑ}, p_{φ}) =^{def} ϑ̇ p_{ϑ} + φ̇ p_{φ} − L
= \frac{1}{2 m R^{2}} (p_{ϑ}^{2} + (\frac{p_{φ}}{sin ϑ})^{2}) + m g R cos ϑ .

Die kanonischen Gleichungen

\begin{aligned}ϑ̇ & = & +\frac{∂}{∂p_{ϑ}} H & , & φ̇ & = & +\frac{∂}{∂p_{φ}} H \\ ṗ_{ϑ} & = & −\frac{∂}{∂ϑ} H & , & ṗ_{φ} & = & −\frac{∂}{∂φ} H \end{aligned}

lauten damit explizit:

ϑ̇ = \frac{p_{ϑ}}{m R^{2}}  , φ̇ = \frac{p_{φ}}{m R^{2} sin^{2} ϑ}
ṗ_{ϑ} = \frac{p_{φ}^{2}}{m R^{2}} \frac{cos ϑ}{sin^{3} ϑ} + m g R sin ϑ , ṗ_{φ} = 0 .

Die ersten beiden Gleichungen stimmen natürlich mit (D.92) überein, während die letzten beiden gemäß (D.92) die eigentlichen Bewegungsgleichungen (D.41) und (D.42) darstellen.

Zu Aufgabe 37: Wir passen die in 3.1.1.2 vorgenommene Auswertung des Hamilton-Prinzips (3.2) dem vorliegenden Fall an:

Gemäß verallgemeinerter Kettenregel gilt

\frac{∂}{∂s} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(∑_{ν=1}^{n} p_{ν}(t, s) \frac{∂}{∂t}q^{ν}(t, s) − H(q(t, s), p(t, s), t)) dt

= ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∑_{ν=1}^{n}((\frac{∂}{∂s} p_{ν}(t, s))\frac{∂}{∂t} q^{ν}(t, s) + p_{ν}(t, s) \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t} q^{ν}(t, s)

−((\frac{∂}{∂s} q^{ν}(t, s))\frac{∂}{∂q^{ν}} H(q, p, t) + (\frac{∂}{∂s} p_{ν}(t, s))\frac{∂}{∂p_{ν}} H(q, p, t))_{|_{q=q(t,s),p=p(t,s)}})dt .

Mit

\frac{∂}{∂s} q^{ν}(t_{j}, s) = 0 ∀ j ∈ \{1, 2\}

⟹_{part. Int.} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} p_{ν}(t, s) \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t} q^{ν}(t, s) dt = − ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(\frac{∂}{∂t} p_{ν}(t, s))\frac{∂}{∂s} q^{ν}(t, s) dt

ergibt sich daraus für das Variationsprinzip:

0 = (\frac{∂}{∂s} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(∑_{ν=1}^{n} p_{ν}(t, s) \frac{∂}{∂t}q^{ν}(t, s) − H(q(t, s), p(t, s), t)) dt)_{|_{s=0}}

= ∑_{ν=1}^{n} ∫_{t_{1}}^{t_{2}}((q̇^{ν}(t) − \frac{∂}{∂p_{ν}} H(q, p, t)_{|_{q=q(t),p=p(t)}})\frac{∂}{∂s} p_{ν}(t, s)_{|_{s=0}}

− (ṗ_{ν}(t) + \frac{∂}{∂q^{ν}} H(q, p, t)_{|_{q=q(t),p=p(t)}})\frac{∂}{∂s} q^{ν}(t, s)_{|_{s=0}})dt .

Da die \frac{∂}{∂s} p_{ν}(t, s)_{|_{s=0}} und \frac{∂}{∂s} q^{ν}(t, s)_{|_{s=0}} bis auf die Einschränkung

\frac{∂}{∂s} q^{ν}(t_{j}, s) = 0 ∀ j ∈ \{t_{1}, t_{2}\}

beliebige Funktionen von t sind, folgt daraus mit dem Fundamentalsatz der Variationsrechnung die Behauptung.

Zu Aufgabe 38 a): Die Lagrange-Funktion ist

L(x^{1}, x^{2}, ẋ^{1}, ẋ^{2}) = \underbrace{\frac{m}{2}((ẋ^{1})^{2} + (ẋ^{2})^{2})}_{=T} − \underbrace{\frac{D}{2}((x^{1})^{2} + (x^{2})^{2})}_{=U} .

Die zugehörigen kanonischen Impulse stimmen also mit den gewöhnlichen Impulsen überein:

p_{j} = m ẋ^{j} ∀ j ∈ {1, 2} .

Die Hamilton-Funktion ist dementsprechend

H(x^{1}, x^{2}, p_{1}, p_{2}) ; \begin{aligned}= & p_{1} ẋ^{1}(x^{1}, x^{2}, p_{1}, p_{2}) + p_{2} ẋ^{2}(x^{1}, x^{2}, p_{1}, p_{2}) \\ & −L(x^{1}, x^{2}, ẋ^{1}(x^{1}, x^{2}, p_{1}, p_{2}), ẋ^{2}(x^{1}, x^{2}, p_{1}, p_{2})) \\ = & p_{1} \frac{p_{1}}{m} + p_{2} \frac{p_{2}}{m} − (\frac{m}{2}((p_{1}/m)^{2} + (p_{2}/m)^{2}) − \frac{D}{2}((x^{1})^{2} + (x^{2})^{2})) \\ = & \frac{(p_{1})^{2} + (p_{2})^{2}}{2 m} + \frac{D}{2}((x^{1})^{2} + (x^{2})^{2}) . \end{aligned}

und die Bewegungsgleichungen lauten:

m ẍ^{j} + D x^{j} = 0 ∀ j ∈ {1, 2} .  (D.93)

Die gesuchte Lösung des Anfangswertproblems zu (D.93) ist

x_{x_{0}^{j},v̇_{0}^{j}}^{j}(t) = x_{0}^{j} cos(ω t) + \frac{v_{0}^{j}}{ω} sin(ω t)
= (x_{0}^{j} + \frac{v_{0}^{j}}{i ω} ) \frac{e^{+i ω t}}{2} + (x_{0}^{j} − \frac{v_{0}^{j}}{i ω} ) \frac{e^{−i ω t}}{2} ,  (D.94)

wobei

ω =^{def} ^{+} \sqrt{\frac{D}{m}} .

Zu Aufgabe 38 b): Aus

x^{j}(t_{1}) =_{(D.94)} (x^{j}(0) + \frac{ẋ^{j}(0)}{i ω}) \frac{e^{+i ω t_{1}}}{2} + (x^{j}(0) − \frac{ẋ^{j}(0)}{i ω}) \frac{e^{−i ω t_{1}}}{2}

folgt

ẋ^{j}(t_{1}) = (i ω x^{j}(0) + ẋ^{j}(0))\frac{e^{+i ω t_{1}}}{2} − (i ω x^{j}(0) − ẋ^{j}(0))\frac{e^{−i ω t_{1}}}{2}

und somit

x^{j}(t_{1}) ± \frac{ẋ^{j}(t_{t})}{i ω} = (x^{j}(0) ± \frac{ẋ^{j}(0)}{i ω}) e^{±i ω t_{1}} .

Daraus folgt die Behauptung gemäß

x_{x^{j}(t_{1}), ẋ^{j}(t_{1})}^{j}(t_{2}) =_{(D.94)} (x^{j}(t_{1}) + \frac{ẋ^{j}(t_{t})}{i ω}) \frac{e^{+i ω t_{2}}}{2} − (x^{j}(t_{1}) − \frac{ẋ^{j}(t_{t})}{i ω}) \frac{e^{−i ω t_{2}}}{2}
= (x^{j}(0) + \frac{ẋ^{j}(0)}{i ω}) \frac{e^{+i ω (t_{1}+t_{2})}}{2} − (x^{j}(0) − \frac{ẋ^{j}(0)}{i ω}) \frac{e^{−i ω (t_{1}+t_{2})}}{2}
=_{(D.94)} x^{j}(t_{1} + t_{2}) .

Zu Aufgabe 39 a: Die Euler-Lagrange-Gleichungen für die vorgegebene ‘Lagrange-Funktion’ sind die Bewegungsgleichungen des 2-dimensionalen harmonischen Oszillators:

ẍ^{j} + ω^{2}x^{j} = 0 ∀ j ∈ {1, 2} .

Die kanonischen Impulse sind hier

p_{1} = ẋ^{2} , p_{2} = ẋ^{1}  (D.95)

und die Hamilton-Funktion ist dementsprechend

H(x^{1}, x^{2}, p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2} + ω^{2} x_{1} x_{2} .

Die zugehörigen kanonischen Gleichungen sind (D.95) und

ṗ_{1} = −ω^{2} x_{2} , ṗ_{2} = −ω^{2} x_{1} .

Zu Aufgabe 39 b: Die Herleitung von (1.62) gilt auch für den vorliegenden Fall, d.h.

H = p_{1} p_{2} + ω^{2} x_{1} x_{2} =_{(D.95)} ẋ_{2} ẋ_{1} + ω^{2} x_{1} x_{2}

ist — für den hier unorthodox beschriebenen zweidimensionalen harmonischen Oszillator — eine Erhaltungsgröße.

Zu Aufgabe 40: Die Differentialgleichung

ẍ + f(x) = 0  (D.96)

ist äquivalent zur Bewegungsgleichung eines auf die x-Achse gebundene Massenpunktes m, auf den die eingeprägte Kraft mit dem Potential

U(x) =^{def} m ∫_{0}^{x} f(x′) dx′

wirkt. Dazu gehört nämlich die Lagrange-Funktion

L(x, ẋ) = \frac{m}{2} \binom{}{ẋ}^{2} − U(x)

mit der Lagrange-Gleichung

\begin{aligned}0 & = & \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂ẋ} L(x, ẋ) − \frac{∂}{∂x} L(x) \\ & = & m ẍ + m f(x) . \end{aligned}

Der zu x kanonisch konjugierte Impuls ist

p = m ẋ

und die Hamilton-Funktion dementsprechend

\begin{aligned}H(x, p) & = & p ẋ(p) − L(x.ẋ(p)) \\ & = & \frac{p^{2}}{2 m} + U(x) . \end{aligned}

Die Lagrange-Gleichung — und damit auch (D.96) — ist äquivalent zu den kanonischen Gleichungen

ẋ = p/m , ṗ = −m f(x)(= −U′(x)) .

Speziell für

U(x) = a x + b x^{3} (a, b > 0)

haben die Lösungskurven

{(x(t), p(t)): t ∈ ℝ}

der kanonischen Gleichungen aufgrund der Energieerhaltung etwa den in Abbildung D.1 skizzierten Verlauf.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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