Theorie zur Physik der Musikinstrumente

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provisorisches Skript

Technische Universität Clausthal WS 1997/98 – SS 2003

W. Lücke

Vorwort

Der überwiegende Teil der hier zusammengestellten Notizen diente als Grundlage einer im WS 1997/98 gehaltenen Vorlesung Ausgewählte Kapitel der Physik der Musikinstrumente, für die natürlich noch eine Menge weiteres Anschauungsmaterial benutzt wurde. Dabei sollte gezeigt werden, wie sich mithilfe der üblichen mathematischen Methoden der Theoretischen Physik die Klangerzeugung von Blasinstrumenten erklären läßt. Entscheidend ist dabei nicht die möglichst exakte Beschreibung, sondern – wie stets in der Theoretischen Physik – eine möglichst einfache Idealisierung (Modellierung) mit hinreichender Genauigkeit.

Literaturempfehlung: (Helmholtz, 1870; Jeans, 1968; Benade, 1976; Fletcher und Rossing, 1991; Olson, 1967; Pierce, 1989; Rigden, 1985)

4

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlegendes 7 1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Frequenz-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Fourier-Reihen und -Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Tonsysteme der Musik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Schwingungsgeneratoren und Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Lineare Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Nichtlineare Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Rückkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Schallausbreitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Longitudinale Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2 Maße für die Schallstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.3 Komplexe Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Monochromatische Schallwellen in Führungen 33

2.1 Gerade Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Akustischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Ebene Wellen in endlichen Röhren . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Dämpfung und Kompliziertere Schwingungsmoden . . . . . . . 39

2.2 Hörner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1 Die Webster-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 Spezielle Hornformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3 Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Akustische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Akustische Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Die akustische Kettenmatrix strikt konischer Hörner . . . . . . 52 2.3.3 Spezielle akustische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Blasinstrumente 59

3.1 Druckgesteuerte Blasinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.1 Vereinfachte Modelle von Schwingungsgeneratoren . . . . . . . 59 3.1.2 Wirkliche Rohrblatt-Holzblasinstrumente . . . . . . . . . . . . 63 3.1.3 Blechblasinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Flöten und Flöten-Orgelpfeifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A  73

A.1 Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . 73 A.2 Ableitung der Schallwellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 A.3 Kugel- und Zylinderwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 A.4 Strahlung aus einer schallharten Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Literaturverzeichnis 89

Index 93

Kapitel 1

Grundlegendes

1.1 Einleitung

Der normale Mensch hat bekanntlich fünf Sinne:^{1}

Gehörsinn, Gesichtssinn, Geruchssinn, Tastsinn, Geschmackssinn. Musikinstrumente sollen Schallwellen erzeugen, die überwiegend angenehm durch unseren Gehörsinn wahrgenommen werden. Welche Schallwellen als wohlklingend empfunden werden, ist weitgehend durch die Funktionsweise unseres Gehörsinns^{2} bestimmt. Deshalb besteht gute Musik aus einer Abfolge einzelner oder mehrerer gleichzeitig ertönender Klänge.

Leider werden die musikalisch akustischen Grundbegriffe in der Literatur nicht einheitlich benutzt. Deshalb seien zunächst folgende Vereinbarungen getroffen:

• Unter einem (einzelnen) Klang (Tonkomplex) sei stets eine hörbare Überlagerung harmonischer Schwingungen verstanden, die eine mehr oder weniger deutliche Tonhöhenempfindung hervorruft.

• Unter einem Sinuston (reiner Ton) sei stets eine hörbare (nahezu) harmonische Schwingung verstanden.^{3}

• Unter einem Ton schlechthin (in der Musik einer Note entsprechend) sei stets ein Klang verstanden, der einer (nahezu) periodischen Schwingung entspricht.

• Unter einer Oberschwingung (Partialschwingung) sei stets eine sinusförmige Teilschwingung eines Klanges verstanden, deren Kreisfrequenz größer ist als die eines Sinustons dessen Tonhöhe so empfunden wird wie die des Klanges.

Version vom 21. November 2009

1Einfältige Menschen glauben auch heute noch, daß nichts existieren kann, was nicht (wenigstens im Prinzip) von mindestens einem dieser fünf Sinne erfaßt werden kann.

2Bzgl. der Funktionsweise des menschlichen Gehörs siehe z.B. (Stevens, 1980). Das erste Buch zur ‘Psychoakustik’ stammt von Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, Braunschweig, 1862.

3Ein solcher Ton entsteht z.B. bei leichtem Anschlagen einer Stimmgabel. Reine Sinustöne werden als fremd und unnatürlich empfunden.

• Unter der Grundkreisfrequenz eines einzelnen Klanges sei stets die Kreisfrequenz eines Sinustons verstanden, dessen Tonhöhe so empfunden wird wie die des jeweiligen Klanges.^{4}

Die Tonhöhe, die wir bei Wahrnehmung eines Sinustons empfinden, entspricht eineindeutig der Schwingungsfrequenz: Sinustöne größerer Kreisfrequenz werden als höher empfunden.

1.2 Frequenz-Analyse

1.2.1 Fourier-Reihen und -Integrale

Eine wichtige Strukturaussage über Töne liefert der folgende Satz.^{5}

Satz 1.2.1 Sei f(t) eine stetige komplexwertige Funktion mit der Periode T_{1} = \frac{2π}{ω_{1}} :

f(t) = f (t + T_{1}) ∀ t ∈ ℝ .

Dann erlaubt f eine absolut konvergente Fouriersche Reihenentwicklung^{6}

f(t) = ∑_{n∈ℤ}c_{n}(f) e^{−i n ω_{1} t} ∀ t ∈ ℝ · Zeiteinheit .  (1.1)

Die Fourierschen Entwicklungskoeffizienten in (1.1) sind dabei eindeutig und durch

c_{n}(f) =^{def} \frac{ω_{1}}{2π} ∫_{−π/ω_{1}}^{+π/ω_{1}} f(t) e^{+i n ω_{1} t} dt ∀ n ∈ ℤ  (1.2)

gegeben. (1.1) konvergiert sogar gleichmäßig über jedem Intervall.

Beweis: Siehe Anhang B von (Lücke, ein).

Ein Ton ist also eine Überlagerung f(t) reiner Sinustöne

f_{n}(t) = A_{n} sin(ω_{n} t + φ_{n}) , A_{n} ≥ 0 , φ_{n} ∈ ℝ ,

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4I.a. muß in einem Klang eine Teilschwingung zur Grundkreisfrequenz aber nicht enthalten sein. Z.B. kann bei gleichzeitiger Erzeugung zweier Töne mit den Grundfrequenzen 400 Hz und 600 Hz (Quintabstand!) der Eindruck eines einzigen Tones mit der Grundfrequenz 200 Hz entstehen (Roederer, 2000, Abschnitt 2.7). Deshalb kann man aus einem billigen Lautsprecher auch tiefe Stimmen ‘hören’, deren Frequenzen der Lautsprecher eigentlich gar nicht wiedergeben kann.

5In (Carleson, 1966) wurde sogar bewiesen, daß die Fourier-Reihe für alle Lebesguequadratintegrablen f(t) fast überall konvergiert.

6Wie allgemein üblich, bezeichnen wir mit ℤ die Menge aller ganzen Zahlen.

1.2. FREQUENZ-ANALYSE 9

deren Kreisfrequenz en (nahezu) natürliche Vielfache der größten Kreisfrequenz ω_{1} sind, für die

f(t) = f (t + \frac{2π}{ω_{1}} ) ∀ t ∈ ℝ

gilt und die deshalb (nahezu) der größte gemeinsame Teiler aller beitragenden Kreisfrequenzen ist. Diese Kreisfrequenz ω_{1} ist — für brauchbare Idealisierung wahrnehmbarer Töne durch streng periodische Schwingungen^{7} — die Grundkreisfrequenz des Klanges, also für die Tonhöhe ausschlaggebend. Die Phasen φ_{n} und Amplituden A_{n} sind dabei – von der Konvergenzbedingung

f(t) = ∑_{n∈ℕ}f_{n}(t)

abgesehen – beliebig.^{8} Die sichere Zuordnung einer genauen Tonhöhe setzt i.a. allerdings voraus, daß hinreichend viele der niedrigsten Partialschwingungen mit merklicher Amplitude vorhanden sind.^{9}

Die den f_{n}(t) entsprechenden Oberschwingungen^{10} eines Tones bezeichnet man als Partialtöne oder auch als n-te Harmonische von f(t) .

Anmerkungen:

• Die Intensitätsverteilung (nicht also die Phasenbeziehungen) der Obertöne eines Tones zu vorgegebener Grundperiode bestimmt — zusammen mit der Art der unvermeidlichen Abweichung von strikter Periodizität^{11} — je nach Erzeugungsmechanismus (Klavier/Chembalo, gestrichene/gezupfte Saite usw.) die empfundene ”Klangfarbe“ (hell/dunkel, blechern/hölzern usw.), i.a. jedoch nicht die Tonhöhe. Dementsprechend läßt sich die Klangfarbe von Tönen ohne wesentliche Änderung der empfundenen Tonhöhe bei Hi-Fi-Anlagen durch Höhen- und Tiefenfilter verändern.^{12}

• Das Vorliegen der Obertöne erleichtert auch die Überprüfung, ob zwei hintereinander erzeugte Töne z.B. Oktavabstand haben. Töne im Oktavabstand werden als nahezu gleich empfunden.

• Obertöne werden auch dann wahrgenommen, wenn nur eine reine Sinusschwingung das Ohr erreicht.

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7Rein mathematisch gesehen kann eine leichte Frequenzänderung der Teilschwingungen, die keine Änderung der Tonhöhenempfindung bewirkt, zu einer drastischen Änderung von ω_{1} führen.

8Deshalb können recht unterschiedliche Schwingungsformen durchaus gleicher Klangfarbe entsprechen (Helmholtz, 1870, S. 36).

9Natürlich gibt es interessante Grenzfälle der Amplitudenverteilungen, in deren Nähe sich die Tonhöhenempfindung abrupt ändern kann; siehe z.B. (Benade, 1976, Abschn. 2.3).

10Man beachte u.a. die Möglichkeit der Anregung von Kombinationstönen durch Nichtlinearitäten (siehe 1.3.2) — auch im Ohr selbst ; siehe (Roederer, 2000, Abschnitt 2.3) und (Olson, 1967, Fig. 7.13).

11Daß reale Töne nicht exakt periodischen Schwingungen entsprechen, wird bei impulsartiger Tonerzeugung besonders deutlich.

12Bei Geräuschen (wesentlich kontinuierliches Frequenzspektrum) wird dadurch jedoch die Tonhöhenempfindung mit verändert.

10 KAPITEL 1. GRUNDLEGENDES

• Bei entsprechender Klangfarbe (z.B. Mann/Frau) werden auch von geübten Musikern Töne oft eine Oktave höher oder tiefer empfunden als ihrer tatsächlichen Grundfrequenz entspricht.

Wesentlich für das Empfinden von Konsonanz oder Dissonanz ist u.a. das folgende Lemma (Beweis als Übungsvorschlag).

Lemma 1.2.2 (Kleiner Modulationssatz) Für beliebige A, A′, ω, ω′, φ, φ′ gilt

A cos(ω t + φ) + A′ cos(ω′ t + φ′)

= A_{+} cos(ω_{+} t + φ_{+}) cos(ω_{−} t + φ_{−}) + A_{−} sin(ω_{+} t + φ_{+}) sin(ω_{−} t + φ_{−})

mit

A_{±} =^{def} A ± A′ , ω_{±} =^{def} \frac{ω ± ω′}{2} , φ_{±} =^{def} \frac{φ ± φ′}{2} .

Anmerkungen:

1. Die Amplitudenmodulation der Schwingung zur Frequenz ω_{+} bezeichnet man als Schwebung. Sie ist bei vorgegebenem A für A′ = A maximal.^{13}

2. Der Grund für diese — oft als unangenehm empfundene — Amplitudenmodulation ist eine kontinuierliche Verschiebung der Phasendifferenz der (nicht modulierten) Teilschwingungen A cos(ω t + φ) und A′ cos(ω′ t + φ′) , durch die sich konstruktive und destruktive Interferenz abwechseln.

3. Für |ω_{−}| ≪ |ω_{+}| , |A_{−}| ≪ |A_{+}| gilt nach Lemma 1.2.2

A cos(ω t + φ) + A′ cos(ω′ t + φ′)
≈ A_{+} cos(ω_{+} t + φ_{+}) cos(ω_{−} t + φ_{−}) .

(1.3)

Streng periodische Schwingungen lassen sich natürlich nicht realisieren, schon allein deshalb, weil der Schwingungsvorgang zu endlicher Zeit erst einmal ‘eingeschaltet’ werden muß. Trotzdem lassen sich reale Schwingungen mathematisch als (kontinuierliche) Überlagerung von Sinusschwingungen darstellen:

Satz 1.2.3 Sei f(t) eine stetige komplexwertige Funktion über ℝ, die außerdem absolut integrabel sei, d.h.:

lim_{T →+∞} ∫_{−T}^{T} |f(t)| dt < ∞ .

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13Dies ist auch die Grundlage für die sog. Suchtonmethode, mit der sich (durch Variation von Amplitude und Frequenz eines zusätzlichen Sinustons) sogar die Amplitude der verschiedenen Schwingungskomponenten bestimmen läßt, die im Ohr vorliegen.

Dann existiert die sog. Fourier-Transformierte

f̃(ω) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{+∞} f(t) e^{+i ω t} dt ∀ ω ∈ ℝ  (1.4)

und genügt der Bedingung^{14}

f(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} lim_{Ω→+∞} ∫_{−Ω}^{+Ω} f̃(ω) e^{−i ω t} dω ∀ t ∈ ℝ .  (1.5)

Beweis: Siehe Anhang B von (Lücke, ein).

Die wichtigsten Rechenregeln zur Fourier-Integraltransformation sind in Tabelle 1.1 zusammengestellt. Regel (F10) zeigt z.B., wie sich Ausgleichsvorgänge (Ein- und Ausschalten) auf das Frequenzspektrum auswirken.^{15}

f(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ f̃(ω)e^{−iωt} dω f̃(ω) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ f(t)e^{+iωt} dt
c f(t)  c f̃(ω)  (F1)
f_{1}(t) + f_{2}(t)  f̃_{1}(ω) + f̃_{2}(ω)  (F2)
\frac{∂}{∂t}f(t)  −i ω f̃(ω)  (F3)
i t f(t)  \frac{∂}{∂ω} f̃(ω)  (F4)
f(t + τ)  e^{−iωτ} f̃(ω)  (F5)
e^{+iω_{0}t}f(t)  f̃(ω + ω_{0})  (F6)
\overline{f(t)}  \overline{f̃(−ω)}  (F7)
\overline{f(−x)}  \overline{f̃(ω)}  (F8)
f(t) = e^{−λt^{2}}  f̃(ω) = \frac{1}{\sqrt{2λ}}e^{− \frac{1}{4λ} ω^{2}}  (F9)
\sqrt{2π}f_{1}(t)f_{2}(t)  ∫ f̃_{1}(ω′)f̃_{2}(ω − ω′) dω′ (F10)
∫ f_{1}(x′)f_{2}(t − t′) dt′  \sqrt{2π}f̃_{1}(ω)f̃_{2}(ω)  (F11)
∫ f(t) dt = \sqrt{2π}f̃(0)  (F12)

Tabelle 1.1: Regeln zur Fourier-Integraltransformation.^{16}

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14Es kann natürlich höchstens eine stetige komplexwertige Funktion f̃(ω) existieren, für die (1.5) gilt (Beweis als Übungsvorschlag).

15Zur musikalischen Bedeutung der Ausgleichsvorgänge siehe (Skudrzyk, 1954, Abschnitt 5.a)).

Für reale Töne f(t) der Grundkreisfrequenz ω_{0} gilt

f̃(ω) ≈ ∑_{n∈ℤ}c_{n} δ_{n}(ω − n ω_{0}) ,

wobei die δ_{n} ”nahezu δ-Funktionen“ sind. Bei unregelmäßig ausgedehntem^{17} f̃(ω) bezeichnet man f(t) i.a. als Geräusch. Die bei Geräuschen empfundene ”Tonhöhe“ entspricht in der Regel in etwa der Frequenz, für die f̃ maximal ist.

Anmerkung: Wenn J ein vorgegebenes Zeitintervall ist, dann liegt es nahe, den Klangcharakter von f(t) während J durch

\begin{aligned}f̃_{J}(ω) & =^{def} & \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ ρ_{J}(t) f(t) e^{+i ω t} dt \\ & =_{(F10)} & ∫ \frac{1}{\sqrt{2π}} ρ̃_{J}(ω′) f̃(ω − ω′) dω′ \end{aligned}

mit einer geeigneten Fenster-Funktion ρ_{J} wie z.B.

ρ_{J}(t) = χ_{J}(t) =^{def} \{ \begin{matrix}1 & für t ∈ J \\ 0 & sonst \end{matrix}

zu charakterisieren.^{18} Auf diese Weise läßt sich also auch die zeitliche Veränderung des Klangcharakters erfassen. Dabei ist allerdings zu beachten, daß f̃_{J}(ω) selbst für streng periodisches f(t) , also gleichbleibenden Klangcharakter, von J abhängt und entsprechend zu interpretieren ist.

1.2.2 Tonsysteme der Musik

Erfahrungsgemäß ergibt sich bei gleichzeitigem Erklingen von Tönen nur dann eine Konsonanz (Wohlklang), wenn die entsprechenden Grundfrequenzen in geeigneten Verhältnissen zueinander stehen.

Der Abstand zweier Frequenzen ν < ν′ (ν = \frac{ω}{2π}) beträgt definitionsgemäß^{19}

ν ↗ ν′ =^{def} \frac{ln(ν′/ν)}{ln 2} · 1200 Cents .

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16Mit \overline{z} bezeichnen wir stets die zu z konjugiert komplexe Zahl. 17Das Frequenzspektrum f̃ ist umso ausgedehnter, je enger f konzentriert ist (entsprechend den

Unschärferelationen für Ort und Impuls in der Quantenmechanik).

18Zur angenäherten Bestimmung von f̃_{J}(ω) verwendet man gewöhnlich sie sog. schnelle

Fourier-Transformation (siehe Anhang A.1). Man beachte speziell: \frac{1}{\sqrt{2π}} χ̃_{[−T_{0},+T_{0}]} = \frac{sin(T_{0} ω)}{π ω} .

19Das entspricht der gleichmäßigen Unterteilung einer Oktave in 12 Halbtonschritte von jeweils 100 Cents.

Die typischen Tonintervalle der Musik entsprechen weitgehend den Frequenzverhältnissen von Oberschwingungen zu einundderselben Grundschwingung. Für die Grundschwingung der Tonhöhe von C ist das in Tabelle 1.2 verdeutlicht.^{20}

Die Töne der reinen C-Dur-Tonleiter^{22} haben die in Tabelle 1.5 angegebenen Abstände vom Grundton c.

Wie Tabelle 1.6 zu entnehmen, ist der Frequenzabstand zwischen direkt benachbarten Tönen jeweils ein Halbton, ein kleiner Ganzton oder ein großer Ganzton. Jeder Ton bildet zusammen mit seinen übernächsten Nachbarn einen Dreiklang, solange nicht sowohl ein d als auch ein f zu diesen drei Tönen gehört, d.h. das Frequenzintervall zu einem der beiden übernächsten Nachbarn ist eine kleine, das zum anderen übernächsten Nachbarn eine große Terz. Wenn dabei die große Terz zwischen den beiden tieferen Tönen liegt, spricht man von einem Dur-Dreiklang (Frequenzverhältnis 4:5:6), sonst von einem Moll-Dreiklang (Frequenzverhältnis 10:12:15). Der Wohlklang der Dreiklänge, sowie der unterschiedliche Klangcharakter von Dur und Moll, läßt sich aus den in Tabelle 1.8 angegebenen Frequenzverhältnissen der zugehörigen Partialtöne erklären.

Der Frequenzabstand zwischen d und f ist aber um das sog. syntonische Komma^{23} kleiner als eine kleine Terz. Deshalb klingt {d,f,a} in der reinen Stimmung dissonant. {h,d,f} ist weder in der reinen noch in der (gleichschwebend) temperierten Stimmung ein Dreiklang, da weder h ↗ d noch d ↗ f eine große Terz ist.

Es wäre schön, wenn eine endliche Zahl von Tönen existieren würde, die modulo Oktaven invariant unter reinen Quinten ist. Das würde aber exakte Gültigkeit der Gleichung (\frac{3}{2})^{j} = 2^{k} für eine geeignetes Paar natürlicher Zahlen j, k voraussetzen. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik (Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung natürlicher Zahlen) ist das nicht möglich. Die Gleichung gilt aber in sehr guter

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20Die weiter unten definierten Töne b^{1} , fis^{2} , as^{2} und b^{2} nennt man eklemisch (außerhalb des Melos stehend), da sie nur ungenau dem 7., 11., 13. und 14. Oberton entsprechen:

\begin{matrix}4 · \frac{15}{8} · \frac{24}{25} = \frac{36}{5} = 7.2 , & 8 · \frac{4}{3} · \frac{25}{24} = \frac{100}{9} = 11.111... , \\ 8 · \frac{5}{3} · \frac{24}{25} = \frac{64}{5} = 12.8 , & 8 · \frac{15}{8} · \frac{24}{25} = \frac{72}{5} = 14.4 . \end{matrix}

21Der 1. Ton ist jeweils der Grundton, der 8. Ton der oktavierte Grundton.

22Die Töne f und a waren nicht unter den Partialtönen. Da Töne im Oktavabstand, wie bereits erwähnt, als weitgehend gleich empfunden werden, reicht die Betrachtung einer einzigen Oktave.

23Das syntonische Komma ist der Frequenzabstand zwischen großem und kleinem Ganzton, entspricht also dem Frequenzverhältnis \frac{9}{8}/\frac{10}{9} = \frac{81}{80} und beträgt etwa 21.5 Cents.

14 KAPITEL 1. GRUNDLEGENDES

[figure]
Partialton-  rein  temperiert
Folge  Tonintervall  ν′/ν Cents Cents ν′/ν
C ↗ C  Prime  1/1  0  0 2^{0/12} = 1
C ↗ c  Oktave  2/1 1200 1200 2^{12/12} = 2
c ↗ g  reine Quinte  3/2  702 700 2^{7/12} ≈ \frac{3}{2} · 0.999
g ↗ c^{1}  reine Quarte  4/3  498  500 2^{5/12} ≈ \frac{4}{3} · 1.001
c^{1} ↗ e^{1}  große Terz  5/4  386  400 2^{4/12} ≈ \frac{5}{4} · 1.008
e^{1} ↗ g^{1}  kleine Terz  6/5  316  300 2^{3/12} ≈ \frac{6}{5} · 0.991
g^{1} ↗ ≈b^{1}  7/6  267
≈b^{1} ↗ c^{2}  8/7  231
c^{2} ↗ d^{2} großer Ganzton  9/8  204  200 2^{2/12} ≈ \frac{9}{8} · 0.998
d^{2} ↗ e^{2} kleiner Ganzton  10/9  182  ≈ \frac{10}{9} · 1.010
e^{2} ↗ ≈fis^{2}  11/10 165
≈fis^{2} ↗ g^{2}  12/11 151
g^{2} ↗ ≈as^{2}  13/12 139
≈as^{2} ↗ ≈b^{2}  14/13 128
≈b^{2} ↗ h^{2}  15/14 119
h^{2} ↗ c^{3} Halbton 16/15 112 100 2^{1/12} ≈ \frac{16}{15} · 0.993

Tabelle 1.2: Partialtonfolge über C

Bezeichnungen der Oktav-Anfangstöne

im deutschen Sprachraum: C_{2} C_{1} C c c^{1} c^{2} c^{3} c^{4} c^{5}
nach Helmholtz:  C_{II} C_{I} C c c′ c′′ c′′′ c′′′′ c^{v}
nach USA Norm:  C_{0} C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} C_{5} C_{6} C_{7} C_{8}

Tabelle 1.3: Bezeichnungsweisen für verschiedene Tonlagen

Tonintervall  Kombination  ν′/ν Cents
Halbton  16/15 112
kleiner Ganzton  10/9  182
großer Ganzton  9/8  204
kleiner Halbton  kl. Ganzton - Halbton  25/24  71
kleine Terz  gr. Ganzton + Halbton  6/5  316
große Terz  gr. Ganzton + kl. Ganzton 5/4  386
reine Quarte  kl. Terz + kl. Ganzton  4/3  498
Tritonus  gr. Terz + gr. Ganzton  45/32 590
reine Quinte  gr. Terz + kl. Terz  3/2  702
kleine Sexte  reine Quarte + kl. Terz  8/5  814
große Sexte  reine Quarte + gr. Terz  5/3  884
kleine Septime  reine Quarte + reine Quarte 16/9  996
große Septime  reine Quinte + gr. Terz  15/8 1088

Tabelle 1.4: Tonintervalle der reinen Stimmung

Ton x Abstand von c ν_{x}/ν_{c}
c  Prime  1/1
d großer Ganzton 9/8
e  große Terz  5/4
(f)  reine Quarte  4/3
g  reine Quinte  3/2
(a)  große Sexte  5/3
h  große Septime 15/8
c^{1}  Oktave  2/1

Tabelle 1.5: Töne der reinen C-Dur-Tonleiter 16 KAPITEL 1. GRUNDLEGENDES

x ↗ y Intervall ν_{y}/ν_{x}
c ↗ d großer Ganzton  9/8
d ↗ e kleiner Ganzton  10/9
e ↗ f Halbton 16/15
f ↗ g großer Ganzton  9/8
g ↗ a kleiner Ganzton  10/9
a ↗ h großer Ganzton  9/8
h ↗ c^{1}  Halbton  16/15
c ↗ e  große Terz  5/4
e ↗ g  kleine Terz  6/5
g ↗ h  große Terz  5/4
h ↗ d^{1}  kleine Terz  6/5
d ↗ f  < kleine Terz (80/81)·(6/5)
f ↗ a  große Terz  5/4
a ↗ c^{1}  kleine Terz  6/5

Tabelle 1.6: Intervalle der reinen C-Dur Tonleiter.

Abstand zum vorhergehenden Ton

Ton Nr. Dur Moll
2  großer Ganzton großer Ganzton
3  kleiner Ganzton  Halbton
4  Halbton  großer Ganzton
5  großer Ganzton kleiner Ganzton
6 kleiner Ganzton Halbton
7  großer Ganzton großer Ganzton
8 Halbton kleiner Ganzton

Tabelle 1.7: Reine Tonleitern^{21}

Dur

Zusatz-  Partialton von
Intervall  c  e g
Prime  1.
große Terz  1.
kleine Terz  1.
reine Quarte  2.
große Terz  2.
kleine Terz 3. 2.
große Terz  3.
Halbton  4.
großer Ganzton  3.
kleiner Ganzton 5. 4.
kleiner Terz  6.  4.

Moll

Zusatz-  Partialton von
Intervall  e  g h
Prime  1.
kleine Terz  1.
große Terz  1.
reine Quarte  2.
kleine Terz  2.
große Terz 3. 2.
kleine Terz  3.
kleiner Ganzton 4.
großer Ganzton  3.
Halbton  4.
kleiner Halbton 5.

Tabelle 1.8: Partialtonverhältnisse in Dreiklängen

Näherung^{24} für j = 12 und k = 2 :

(ℓ \frac{3}{2})^{12} = 2^{7} für ℓ =^{def} \frac{2}{3} 2^{\frac{7}{12}} ≈ 0, 9988713847 .

Indem man also die reine Quinte mit dem Faktor ℓ multipliziert (also um wenig mehr als ein Promille zur temperierte Quinte staucht) erhält man deshalb — ausgehend vom Kammerton^{25} a^{1} ˆ= 440 Hz — durch Quintenbildung und Oktavierung die 12-Ton-Leiter der gleichschwebend temperierten Stimmung;^{26} wie anhand des

Version vom 21. November 2009

24Den Frequenzabstand von

ln((\frac{3}{2})^{12}/2^{7}) \frac{1200}{ln 2} Cents = ln(\frac{531441}{524288}) \frac{1200}{ln 2} Cents
≈ 23, 46 Cents ,

der sich zwischen reiner und temperierter Stimmung nach Umlauf um den Quintenzirkel (Abbildung 1.1) ergibt, bezeichnet man als pythagoreisches Komma.

25Nach (Brüderlin, 1990, S. 87) besitzen etwa 5 % der männlichen und 2 % der weiblichen Bevölkerung ein sog. ”absolutes Gehör“, das aber mit Musikalität nichts zu tun hat und vermutlich auf einem langwährenden Tongedächtnis beruht.

26Verwenden man statt ℓ den Faktor

ℓ′ =^{def} \frac{2}{3} 2^{\frac{3}{5}} ≈ 1.010477711

(streckt also um wenig mehr als 1 %), dann gelangt man zur Pentatonik .

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  G C  DA E H Fis Des As EsB F  innen: Moll außen: Dur a e hfis cis gis dis f b cg d

Abb. 1.1: Quintenzirkel^{27}

Quintenzirkels (Abb. 1.1) veranschaulicht:

Durch Verwendung der temperierten Quinte (unter Beibehaltung der reinen Oktave) schließt sich der Quintenzirkel nach 12 Schritten bis auf 7-fachen Oktavabstand.^{28}

Historische Anmerkungen:

• Temperierte Stimmungen wurden um 1700, u.a. von Andreas Werckmeister, eingeführt und durch Johann Sebastian Bach’s 1744 abgeschlossene Komposition ”Das wohltemperierte Klavier“ allgemein bekannt. Die von Bach benutzte wohltemperierte Stimmung war allerdings nicht die — von Bach abgelehnte — heute benutzte gleichschwebend temperierte Stimmung.

• Der Kammerton wurde 1939 von der ”International Federation of the National Standardizing Associations (ISA)“ auf 440 Hz festgelegt. Im heutigen Orchester werden aber meist 442 Hz bevorzugt.

• Davor war der Kammerton durch die Wiener Stimmkonferenz 1885 auf 435 Hz, also etwa 19.8 Cents niedriger, festgelegt. Deshalb sind z.B. vor 1939 gefertigte Klarinetten im heutigen Orchester nicht verwendbar.

• Im 18 Jahrhundert waren sogar nur 415 Hz für den Kammerton gebräuchlich.

Die erweiterte C-Dur-Tonleiter ergibt sich durch Hinzunahme der jeweils um einen kleinen Halbton erhöhten oder erniedrigten Töne:^{29}

Version vom 21. November 2009

27Hier weichen wir zur besseren Übersicht von der in Tabelle 1.3 angegebenen deutschen Bezeichnungsweise ab. Warnung: Im englischen wird B statt H geschrieben!

28Der Quintenzirkel ist dann also eigentlich ein diskretes Faserbündel.

29Siehe dazu (Skudrzyk, 1954, Kap. XXVI, Tabelle 15).

Eine Erniedrigung wird durch Anhängung von ”es“ (engl.: -flat) bzw. den Index ^{♭} mitgeteilt, eine Erhöhung durch Anhängung von ”is“ (engl.: - sharp) bzw. den Index ^{♯}.^{30}

Während z.B. cis und des in der temperierten Stimmung übereinstimmen, beträgt

cis ↗ des in der reinen Stimmung ln(\frac{9}{8} (\frac{24}{25})^{2}) \frac{1200}{ln(2)} Cents ≈ 62, 6 Cents.

Jeder Ton der erweiterten Tonleiter läßt sich als Grundton einer reinen Dur- oder Moll-Tonleiter wählen, deren Intervallschritte in Tabelle 1.7 angegeben sind.^{31} Da man früher die reinen Tonleitern benutzte, war auch die Verwendung speziell dafür gestimmter Instrumente notwendig. Deshalb gibt es auch heute noch z.B. Klarinetten in B, A, C, Es und D die alle — obwohl inzwischen temperiert gestimmt — einen eigenen Klangcharakter haben.^{32}

Abschließende Anmerkungen:

• Ein Intervall nennt man vermindert, wenn es um einen kleinen Halbton verkleinert ist.

• Ein Intervall nennt man übermäßig, wenn es um einen kleinen Halbton vergrößert ist.

• Entsprechend nennt man einen Dreiklang vermindert, wenn man die große Terz durch die kleine ersetzt, bzw. übermäßig, wenn man die kleine Terz durch die große ersetzt.

1.3 Schwingungsgeneratoren und Resonatoren

Damit ein schwingendes System in der umgebende Luft eine intensive Schallstrahlung anregt, muß es eine hinreichend große räumliche Ausdehnung haben.

Für Musikinstrumente — nicht dagegen bei Lautsprechern — verwendet man dazu Resonatoren, die durch geeignete Generatoren entweder impulsartig (insbesondere bei Anschlaginstrumenten und gezupften Saiteninstrumenten) oder kontinuierlich periodisch (insbesondere bei Blasinstrumenten und gestrichenen Saiteninstrumenten) zu starken Eigenschwingungen angeregt werden.

Version vom 21. November 2009

30Dabei schreibt man üblicherweise Es statt Ees, As statt Aes und B statt Hes. Warnung: Im Englischen schreibt man B statt H.

31Die Intervalle der Dur-Tonleiter entsprechen natürlich dem oberen Teil von Tabelle 1.6. Wenn man in der C-Dur-Tonleiter a als Grundton wählt, ergibt sich die a-Moll-Tonleiter.

32Richard Strauß legte z.B. großen Wert auf Verwendung der C-Klarinette.

Abb. 1.2: Elektrischer Reihenschwingkreis.

Erläuterung: Wenn man z.B. eine Stimmgabel anschlägt und in der Hand hält, ist kaum etwas zu hören. Setzt man die Stimmgabel dagegen auf einen hohlen Holzkasten mit geeigneten Abmessungen, so hört man die Schwingung recht deutlich. Der Hohlraum verstärkt nicht die Schallquelle, sorgt aber für gute Schallabstrahlung.

In den folgenden Abschnitten werden zunächst einfache Modelle schwingender Systeme untersucht, deren mathematische Struktur auch für akustische Generatoren und Resonatoren wesentlich ist.^{33} Die entsprechenden Analogien für Blasinstrumente werden in den Kapiteln 2 und 3 eingehender behandelt.

1.3.1 Lineare Oszillatoren

Ein typischer linearer Oszillator ist der in Abbildung 1.2 dargestellte elektrische Schwingkreis, der von einer äußeren Spannung U(t) angeregt wird. Die physikalische^{34} Lösung der entsprechenden Bewegungsgleichung

L Q̈(t) + R Q̇(t) + \frac{1}{C} Q(t) = U(t)  (1.6)

für (L, R, C > 0 und) hinreichend gutartiges U(t) ist

Q(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ \frac{Ũ(ω)}{−L ω^{2} − i ω R + \frac{1}{C}} e^{−i ω t} dω .  (1.7)

Beweisskizze: Wir gehen davon aus, daß aufgrund der Dämpfung (R > 0) auch Q(t) hinreichend gutartig ist. Dann folgt aus (1.6) mit den Regeln (F1)–(F3) für die Fourier-Transformation

Ũ(ω) = (−L ω^{2} − i ω R + \frac{1}{C} ) Q̃(ω)

Version vom 21. November 2009

33Die akustischen Resonatoren besitzen allerdings — im Gegensatz zum einfachen harmonischen Oszillator — in aller Regel unendlich viele Eigenfrequenzen.

34Die allgemeine Lösung ergibt sich durch Addition einer Lösung der homogenen Gleichung. Jede nicht triviale Lösung zu U(t) ≡ 0 divergiert aber (wegen R > 0) für t → −∞ und ist deshalb unphysikalisch.

1.3. SCHWINGUNGSGENERATOREN UND RESONATOREN 21

und somit

\begin{aligned}Q(t) & = & \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ Q̃(ω) e^{−i ω t} dω \\ & = & \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ \frac{Ũ(ω)}{−L ω^{2} − i ω R + \frac{1}{C}} e^{−i ω t} dω . \end{aligned}

Anmerkung: Man kann die Lösung natürlich auch durch Variation der Konstanten der homogenen Lösung bestimmen; siehe Abschnitt 5.3.3 von (Lücke, ein).

In der Wechselstromlehre bezeichnet man

Z(ω) =^{def} \frac{Ũ(ω)}{Ĩ(ω)} (1.8)
=_{(1.7),(F3)} −i ω L + R − \frac{1}{i ω C}  (1.9)

als die elektrische Impedanz des Schwingkreises. Damit gilt

Q̇(t) → ℜ (\frac{U_{0} e^{−i ω_{0} t}}{Z(ω_{0})} ) für U(t) ⟶ U_{0} cos(ω_{0} t)

und die Frequenzabhängigkeit der vom Schwingkreis aufgenommenen mittleren Leistung (Wirkleistung ) ist im Grenzfall U(t) = U_{0} cos(ω_{0} t) durch

\frac{ω_{0}}{2π} ∫_{t−π/ω_{0}}^{t+π/ω_{0}} Q̇(t) U(t) dt = \frac{1}{2} |I_{0}|^{2} ℜ(Z(ω_{0}))  (1.10)
=_{(1.9)} \frac{1}{2} |I_{0}|^{2} R

gegeben,^{35} wobei

I_{0} =^{def} max_{t∈ℝ} Q̇(t) = |\frac{U_{0}}{Z(ω_{0})}|  (1.11)

die Amplitude des entsprechenden Wechselstroms ist.

Beweisskizze:

∫_{t−π/ω_{0}}^{t+π/ω_{0}} Q̇(t) U(t) dt = ∫_{t−π/ω_{0}}^{t+π/ω_{0}} ℜ (\frac{U_{0} e^{−i ω_{0} t}}{Z(ω_{0})} ) ℜ (U_{0} e^{−i ω_{0} t}) dt
= \frac{1}{2} |\frac{U_{0}}{Z(ω_{0})}|^{2} ℜ (Z(ω_{0}) ∫_{t−π/ω_{0}}^{t+π/ω_{0}} (1 + e^{2i ω_{0} t}) dt)
= \frac{1}{2} |\frac{U_{0}}{Z(ω_{0})}|^{2} ℜ(Z(ω_{0}))\frac{2π}{ω_{0}} .

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35Die Beziehung (1.10) gilt auch dann mit dem jeweiligen Wirkwiderstand (Resistanz) ℜ(Z(ω_{0})), wenn die Impedanz nicht von der speziellen Form (1.9) ist.

Die Stromamplitude max_{t∈ℝ} Q̇(t) ist in diesem Grenzfall für fest vorgegebenes U_{0} also

genau dann maximal, wenn der Scheinwiderstand^{36}

|Z(ω_{0})| =_{(1.9)} \sqrt{R^{2} + (ω_{0}L − \frac{1}{ω_{0}C} )^{2}}

minimal ist, also für die Resonanz-Kreisfrequenz des Stromes

ω_{0} = ω_{r}^{I} =^{def} \frac{1}{\sqrt{LC}} .

Anmerkung: Die Amplitude von Q(t) wird dagegen für ω_{0} = ω_{r}^{Q} =^{def} \sqrt{\frac{1}{LC} − \frac{1}{2} (\frac{R}{L})^{2}} maximal; vgl. Übungsaufgabe 1 b). Für (\frac{R}{2L})^{2} < \frac{1}{LC} liegt die Eigenfrequenz ω_{e} =^{def} \sqrt{\frac{1}{LC} − \frac{1}{4} (\frac{R}{L})^{2}} , mit der der Schwingkreis nach Abschalten von U (gedämpft) weiterschwingt, zwischen ω_{r}^{Q} und ω_{r}^{I} ; siehe Übungsaufgabe 36 von (Lücke, ein).

Wir sehen:

Wenn R nicht zu groß ist, kann man also mit kleiner Spannungsamplitude hohe Stromamplituden im Serienschwingkreis aufrechterhalten, wenn die Kreisfrequenz der Spannungsquelle hinreichend gut mit der Resonanz-Kreisfrequenz des Stromes übereinstimmt.

Das akustische Analogon dieses Sachverhalts mit der Entsprechung

Schalldruck ˆ= U , Schallfluß ˆ= I

ist die Grundlage der kontrollierten Klangerzeugung auf schallflußgesteuerten Blasinstrumenten (insbesondere Flöten).

Während für den in Abbildung 1.2 skizzierte Serienschwingkreis nahe der Resonanzkreisfrequenz die Eingangsspannung klein gegenüber dem Eingangsstrom ist, liegen die Verhältnissen bei dem in Abbildung 1.3 skizzierten Parallelschwingkreis genau umgekehrt. Die entsprechende Bewegungsgleichung

C Ü(t) + \frac{1}{R} U̇(t) + \frac{1}{L} U(t) = İ(t)  (1.12)

ergibt sich nämlich formal aus (1.6) durch die Ersetzung

( \begin{matrix}U \\ I \\ L \\ C \\ R \end{matrix} ) ⟼ ( İ ; U̇ ; C ; L ; 1/R ) .

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36Leider ist der allgemeine Sprachgebrauch, was komplexe Widerstände anbetrifft, nicht einheitlich. Die hier gegebene Definition des Scheinwiderstands wird z.B. in (Ebert, 1967, Abschn. 126.222), (Meinke, 1965, Anm. zu Gl. (78)) und (Jackson, 2002, Abschn. 6.9, Fußn. 8) benutzt. Oft werden die Begriffe ”Scheinwiderstand“ und ”komplexer Widerstand“ synonym benutzt und mitunter wird nur der Betrag des komplexen Widerstandes als ”Impedanz“ bezeichnet.

Abb. 1.3: Elektrischer Parallelschwingkreis.

Deshalb ist die elektrische Impedanz (1.8) für den Parallelschwingkreis^{37}

Z(ω) = \frac{1}{−\frac{1}{i ω L} + \frac{1}{R} − i ω C}

und für monochromatische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω_{0} wird die Amplitude von U(t) bei vorgegebener Amplitude von I(t) genau dann maximal, wenn der Scheinwiderstand

|Z(ω_{0})| = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^{2} + (ω_{0} C − \frac{1}{ω_{0}L})^{2}}}

maximal wird, also wiederum für ω_{0} = 1/\sqrt{LC}.

Wir sehen:

Wenn R nicht zu klein ist, kann man also mit kleiner äußerer Stromamplitude eine hohe Spannungsamplitude am Parallelschwingkreis aufrechterhalten, wenn die Kreisfrequenz der Stromquelle hinreichend gut mit der Resonanz-Kreisfrequenz übereinstimmt.

Das akustische Analogon dieses Sachverhalts mit der Entsprechung

Schalldruck ˆ= U , Schallfluß ˆ= I

ist die Grundlage der kontrollierten Klangerzeugung auf schalldruckgesteuerten Blasinstrumenten (insbesondere Blech- und Rohrblattblasinstrumente).

Version vom 21. November 2009

37Der entsprechende Wirkwiderstand ist

ℜ(Z(ω)) = \frac{1/R}{|−\frac{1}{i ω L} + \frac{1}{R} − i ω C|^{2}} = \frac{R}{1 + R^{2} (ω C − \frac{1}{ω L})^{2}} .

1.3.2 Nichtlineare Oszillatoren

Ein mechanisches Analogon zum elektrischen Serienschwingkreis ist ein 1-dimensi-onaler Massenpunkt m, der sich längs der x-Achse unter dem Einfluß einer Reibungskraft einer rücktreibenden Kraft −D x (z.B. Kraft einer idealen Feder), einer Reibungskraft 2 ρ ẋ und einer zusätzlichen äußeren Kraft f(t) bewegt. Die entsprechende Bewegungsgleichung

m ẍ(t) + 2 ρ ẋ(t) + D x(t) = f(t)  (1.13)

geht formal aus (1.6) durch die Ersetzung

( \begin{matrix}U \\ Q \\ L \\ C \\ R \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}f \\ x \\ m \\ 1/D \\ 2 ρ \end{matrix} ) .

Die physikalische Lösung ist gemäß (1.7) also

x(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ \frac{f̃(ω)}{−m ω^{2} − i ω 2 ρ + D} e^{−i ω t} dω .  (1.14)

gegeben, was sich gemäß (F11) auch in der Form

x(t) = ∫ x_{δ}(t′) f(t − t′) dt′  (1.15)

mit

x_{δ}(t) =^{def} \frac{1}{2π} ∫ \frac{e^{−i ω t}}{D − \frac{ρ^{2}}{m} − m (ω + i \frac{ρ}{m})^{2}} dω

schreiben läßt. Es läßt sich zeigen (siehe z.B. Abschnitt 3.1.3 von (Lücke, ftm)), daß

x_{δ}(t) = 0 ∀ t < 0  (1.16)

gilt. Aus (1.15) und (1.16) erkennt man, daß die Lösung (1.14) tatsächlich physikalisch ist:

Solange die äußere Kraft noch nicht wirkt, ruht der Massenpunkt bei x = 0 . (no output before input )

Anmerkung: Für ρ < \sqrt{m D} ist die Impulsantwort

x_{δ}(t) = \frac{1}{\sqrt{mD − ρ^{2}}} e^{− \frac{ρ}{m} t} sin (t \sqrt{\frac{D}{m} − (\frac{ρ}{m})^{2}}) θ(t) , θ(t) =^{def} \{ \begin{matrix}1 & für t > 0 \\ 1 & für t < 0 \end{matrix} ;

siehe Anmerkung auf Seite 22 und Abschnitt 5.3.3 von (Lücke, ein).

Übungsaufgabe 1 Man zeige:

a) Für

f(t) = A e^{−i ω_{0} t} , A > 0 ,

folgt aus (1.14)

x(t) = B e^{−i(ω_{0}t−φ)}

mit

B =^{def} \frac{A}{\sqrt{m^{2} (\frac{D}{m} − ω_{0}^{2})^{2} + ω_{0}^{2} (2ρ)^{2}}} , φ = tan^{−1} \frac{ω_{0} 2ρ}{m (\frac{D}{m} − ω_{0}^{2})} .

b) Zu vorgegebenen A, m, D, ρ mit ρ < \sqrt{mD} ist B für

ω_{0} = ω_{r}^{x} =^{def} \sqrt{\frac{D}{m} − 2 (\frac{ρ}{m})^{2}}

maximal.

c) Für ω_{0} ≪ \sqrt{\frac{D}{m}} ist x(t) von m nahezu unabhängig.

d) Für die Lösungen

x_{0}(t) ∼ e^{(− \frac{ρ}{m} ±i\sqrt{\frac{D}{m} −(\frac{ρ}{m})^{2}})t}

von (1.13) zu f = 0 ist Q \frac{2π}{ωẋ ; r} die Zeit, während der die Schwingungs-

amplitude auf das e^{−π}-fache des Anfangswertes abfällt, wobei:

Q =^{def} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{mD}}{ρ} (Qualitätsfaktor ) , ωẋ ; r =^{def} \sqrt{\frac{D}{m}} .

I.a. kann man die Rückstellkraft nur für kleine Schwingungsamplituden als proportional zur Auslenkung betrachten. Für größere Auslenkungen ist zumindest^{38} die Ersetzung

D x ⟼ D x + k(x)

vorzunehmen,^{39} wobei k(x) eine nichtlineare Funktion ist, die der Bedingung

lim_{x→0} \frac{k(x)}{x} = 0  (1.17)

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38Auch die Dämpfung kann natürlich komplizierter vom Bewegungsvorgang abhängen. Relativistische Korrekturen der Bewegungsgleichung wären dagegen unangebracht.

39Dabei ist immer noch ideale Elastizität vorausgesetzt. Es kann auch nötig sein, k geschwindigkeitsabhängig zu wählen.

genügt. Die Bewegungsgleichung lautet dann

m ẍ(t) + 2 ρ ẋ(t) + D x(t) = f(t) + k(x(t)) ,  (1.18)

ist also äquivalent zu

Ĥ[x − N [x]](t) = f(t) ,  (1.19)

wobei:

\begin{matrix}Ĥ[x](t) & =^{def} & m ẍ(t) + 2 ρ ẋ(t) + D x(t) , \\ N [x](t) & =^{def} & ∫ x_{δ}(t′) k(x(t − t′)) dt′ . \end{matrix}

Aus (1.19) und (1.16) folgt insbesondere

x(t) − N [x](t) = x_{lin}(t)  (1.20)

mit

x_{lin}(t) =^{def} ∫ x_{δ}(t′) f(t − t′) dt′ .

Für hinreichend gutartige Nichtlinearität k läßt sich (1.20) durch Iteration lösen:^{40}

x^{(1)} =^{def} x_{lin} ,
x^{(ν+1)} =^{def} x_{lin} + N [x^{(ν)}] ,
x(t) = lim_{ν→∞} x^{(ν)}(t) .

Mit

\begin{matrix}x^{(ν)}(t) = ∑_{n=1}^{N} (X_{n}^{(ν)} e^{−i n ω_{0} t} + \overline{X_{n}^{(ν)}} e^{+i n ω_{0} t}) \\ ⟹ (x^{(ν)}(t))^{N′} = ∑_{n_{1},n_{2}=1}^{N} ∑_{n′=0}^{N′} \binom{N′}{n′} (X_{n}^{(ν)})^{n′} (\overline{X_{n}^{(ν)}})^{N′−n′} e^{−i (2 n′−N′) ω_{0} t} \end{matrix}

erkennt man daraus:

Auch der nichtlineare Oszillator führt (asymptotisch) eine periodische Bewegung aus, wenn er durch eine monochromatische äußere Kraft angeregt wird. Aber zusätzlich zur Grundfrequenz werden auch alle möglichen Oberschwingungen angeregt.^{41}

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40Eine weitere approximative Lösungsmethode ist z.B. in (Fletcher und Rossing, 1991, Abschnitt 5.1) beschrieben.

41Entsprechendes gilt für den nichtlinearen Wahrnehmungsmechanismus im menschlichen Ohr!

Für ω_{0} weit unterhalb der Resonanzfrequenz folgt die lineare Schwingung quasistatisch der Anregung. Dann gilt für die nichtlineare Schwingung mit schwacher Auslenkungen

\frac{X_{n}}{(X_{1})^{n}} ≈ unabhängig von n ,

wenn X_{n} jeweils die Amplitude der n-ten Harmonischen bezeichnet.

1.3.3 Rückkopplung

Siehe (Lindner et al., 1999, Abschnitte 7.3.3 und 7.6).

1.4 Schallausbreitung in Gasen

Der Höreindruck ist hauptsächlich durch Luftdruckschwankungen bestimmt, die das Ohr erreichen. Der wahrnehmbare Frequenzbereich liegt etwa zwischen 20 Hz und 20 kHz , wobei die Sensitivität unterhalb etwa 100 Hz sowie oberhalb etwa 10 kHz erheblich abfällt.^{42} Es ist also wichtig, die Ausbreitung in Luft in diesem Frequenzbereich zu verstehen.

1.4.1 Longitudinale Schallwellen^{43}

Die Schallschwingungen eines sonst ruhenden elastischen Mediums lassen durch den sog. Schallausschlag d (x, t) beschreiben:

d (x, t) =^{def} \{ \begin{matrix}Ortsvektor zur Zeit t desjenigen Teils des Mediums, \\ dessen Ruhelage den Ortsvektor x hat. \end{matrix}

Für Gase (unter stationären Bedingungen) genügt der Schallausschlag in erster Näherung der Bedingung^{44}

rot d (x, t) = 0  (1.21)

und der vektoriellen Wellengleichung

(\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t} )^{2} d (x, t) − Δ d (x, t) = 0  (1.22)

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42 Die menschlichen Sprache nutzt einen Frequenzbereich zwischen ungefähr 100 Hz und 10 kHz (Vokale: 300 Hz — 3 kHz, Konsonanten: > 1 kHz). Die Grundfrequenzen musikalisch brauchbarer Töne liegen zwischen ca. 40 Hz (E_{I} , Kontrabaß) und ca. 4,8 kHz (d′′′′′ , Piccoloflöte) .

43Hier werden die Grundgleichungen der Schallausbreitung ohne Begründung angegeben.

Bzgl. einer Herleitung siehe Anhang A.2

44Allgemein nennt man Lösungen von (1.22) Longitudinalwellen, wenn ihre Rotation verschwindet. (1.21) gilt für Medien mit komplizierterem Spannungstensor natürlich i.a. nicht mehr.

mit der Schallgeschwindigkeit

ĉ =^{def} \frac{1}{\sqrt{⟨κ⟩⟨μ⟩}} ,  (1.23)

wobei ⟨κ⟩ die mittlere Kompressibilität und ⟨μ⟩ die mittlere Dichte des Gases bezeichnet.

Anmerkung: ⟨κ⟩ und ⟨μ⟩ hängen von dem thermodynamischen Prozeß (insbesondere also auch von Druck und Temperatur) ab, den das Gas aufgrund der Schallschwingung durchläuft!

Der Schallausschlag bestimmt die Schallschnelle

u (x, t) =^{def} \frac{∂}{∂t} d (x, t)  (1.24)

und den Schalldruck p =^{def} P − ⟨P ⟩ in erster Näherung zu

p (x, t) = −\frac{1}{⟨κ⟩} div d (x, t) .  (1.25)

Spezielle Lösungen von (1.22)/(1.21) sind zum Beispiel (i.a. nicht monochromatische) fortschreitende ebene Longitudinalwellen,^{45} also Lösungen der Form

d (x, t) = f′(x · e − ĉt) e , |e| = 1
= −grad f(x · e − ĉt) , (1.26)

mit der Gruppengeschwindigkeit^{46} ĉe .

Anmerkung: Mithilfe der 3-dimensionalen Verallgemeinerung von Satz 1.2.3 läßt sich leicht zeigen, daß sich jede (hinreichend gutartige) Lösung von (1.22)/(1.21) als (kontinuierliche) Überlagerung ebener Longitudinalwellen darstellen läßt (Beweis als Übungsvorschlag).

In Luft — als geschlossenes Gleichgewichtssystem mit dem Gesamtvolumen V unter dem homogenen Druck P behandelt — gilt

P V = const. für Isotherme

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45Bzgl. Kugel- und Zylinderwellen siehe A.3

46Für die Wellengleichung mit frequenzunabhängigem ĉ fallen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit natürlich zusammen.

und P V^{γ} = const. für Adiabaten

mit dem Adiabaten-Exponenten^{47}

γ =^{def} C_{P} /C_{V} = 1.4 für 2-atomige Moleküle .

Daraus folgt für adiabatische Prozesse

κ = κ_{S} = (P γ)^{−1}

(siehe Aufgabe 8 von (Lücke, tdst)).

Unter normalen Bedingungen ist in (1.23) die adiabatische^{48} Kompressibilität zu verwenden, also

ĉ^{2} = \frac{γ ⟨P ⟩}{⟨μ⟩}

in Luft, wobei ⟨P ⟩ den mittleren Druck bezeichnet. Mit der idealen Gasgleichung folgt daraus

ĉ(T) ≈ \sqrt{\frac{T}{T_{0}}} ĉ(T_{0})

= \sqrt{1 + \frac{T − T_{0}}{T_{0}}} ĉ(T_{0})

≈ (1 + \frac{T − T_{0}}{2T_{0}} ) ĉ(T_{0})

für die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit ĉ von der absoluten Temperatur T . Bei normalem Druck^{49} und 50% relativer Luftfeuchte^{50} gilt

ĉ(0^{∘} Celsius) ≈ 332 \frac{m}{s}

und dementsprechend^{51}

ĉ(20^{∘} Celsius) ≈ 344 \frac{m}{s} .

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47Erinnerung: γ = \frac{f+2}{f} , f =^{def} Zahl der angeregten Molekül-Freiheitsgrade.

48Nur bei Frequenzen um etwa 0.1 Hz ist in Röhren von ca. 20 mm Durchmesser mit guter Wärmeleitung die isotherme Kompressibilität angemessener.

49Soweit die ideale Gasgleichung gilt, ist ĉ vom Druck unabhängig.

50Bzgl. feuchtigkeitsgesättigter Luft mit CO_{2}-Zusatz siehe (Nederveen, 1969, S. 17).

51Erinnerung: 0^{∘} Celsius = 273, 15 K. Eine weitere Temperaturerhöhung auf 26^{∘} Celsius würde bei fester Wellenlänge eine Anhebung der Tonhöhe um ≈ 18 Cents bewirken.

1.4.2 Maße für die Schallstärke

Das menschliche Ohr hält bis zum 10^{6}-fachen des Schalldrucks

p_{0} =^{def} 2 · 10^{−4} μbar

aus, bei dem die Hörbarkeit für Schwingungen mit einer Frequenz 1 kHz beginnt. Daher verwendet man eine logarithmische Skala für den sog. Schalldruckpegel^{52}

L_{p} =^{def} 20 log_{10} (\frac{\sqrt{(p^{2})_{mM}}}{p_{0}} ) dB  (1.27)

(dB: Dezibel). Der Schalldruckpegel normaler Unterhaltungssprache in 1 m Abstand beträgt ≈ 1 μ bar ˆ= 74 dB.

Da der Lautstärkeeindruck, den ein fester Schalldruckpegel hervorruft, von der Schwingungsfrequenz abhängt,^{53} führt man dafür eine eigene Einheit, das sog. Phon, ein:

Die Lautstärke einer Schallwelle (beliebiger Frequenz) beträgt x phon, falls sie den gleichen Lautstärkeeindruck hervorruft wie eine Schallwelle der Frequenz 1 kHz bei einem Schalldruckpegel von x dB.

Was ‘gleicher Lautstärkeeindruck’ (eigentlich ein rein subjektiver Sachverhalt) meint, ist dabei natürlich durch entsprechende Eichkurven^{54} festzulegen.

Aus (1.25), (1.21) und (1.22) erkennt man leicht, daß für die Schallenergiedichte

ρ(x, t)  =^{def}  \frac{⟨μ⟩}{2} (\frac{∂}{∂t} d (x, t))^{2} + \frac{1}{2⟨κ⟩} (div d (x, t))^{2}
=_{(1.21),(1.24)} \frac{⟨μ⟩}{2} (u(x, t))^{2} + \frac{⟨κ⟩}{2} (p(x, t))^{2}

(1.28)

und die Schallintensität (Energiestromdichte des Schalls)

ȷ (x, t) =^{def} p(x, t) u(x, t)  (1.29)

konsistenterweise die Kontinuitätsgleichung

\frac{∂}{∂t} ρ + div ȷ = 0  (1.30)

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52Mit A_{mM} bezeichnen wir jeweils den momentanen zeitlichen Mittelwert einer physikalischen Größe A.

53Z.B. muß der Schalldruckpegel einer Schallwelle von 100 Hz etwa 45 dB betragen, um den gleichen Lautstärkeeindruck hervorzurufen wie eine Schallwelle von 1 kHz mit einem Schalldruckpegel von 30 dB (Flüstern, die Schmerzgrenze liegt bei ≈ 120 phon), der Schalldruck muß also etwa 5,6 mal größer sein.

54Siehe z.B. (Ebert, 1967, S. 230, Abb. 1).

gilt (Beweis als Übungsvorschlag).

Analog zum Schalldruckpegel definiert man den Schallintensitätspegel^{55}

L_{I} =^{def} 10 log_{10} (\frac{|ȷ_{mM}|}{I_{0}}) dB , I_{0} =^{def} 10^{−12} \frac{W}{m^{2}} .  (1.31)

Die gesamte Strahlungsleistung ∫_{S} ȷ · dS eines typischen Musikinstruments beträgt

≈ 1 mW. Bei kugelförmiger Ausbreitung entspricht dem ein Schalldruckpegel von

79 dB bei 1 m Abstand ,
59 dB bei 10 m Abstand .

Die üblichen Wattangaben für Lautsprecher (der Größenordnung 100 W) haben damit wenig zu tun, weil im Normalbetrieb nur wenige Watt genutzt werden (um Übersteuerung des Verstärkers zu vermeiden) und weil nur ≈ 1% der elektrischen Energie in Schallenergie umgesetzt wird.

1.4.3 Komplexe Formulierung

Da d (x, t) reell ist, gilt

d̃(x, −ω) = \overline{d̃(x, ω)}

für

d̃(x, ω) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ d (x, t) e^{+i ω t} dt .  (1.32)

Anmerkung: Falls die Integrale nicht im gewöhnlichen Sinne existieren — wie z.B. für monochromatische Wellen — sind sie im distributionstheoretischen Sinne zu interpretieren; siehe z.B. Abschn. 3.1.1 von (Lücke, ftm).

Gemäß Theorem 1.2.3 folgt daraus

d (x, t) = D(x, t) + \overline{D(x, t)} ,
p(x, t) = P(x, t) + \overline{P(x, t)} ,
u(x, t) = U(x, t) + \overline{U(x, t)} ,

(1.33)

wobei:

D(x, t) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{+∞} d̃(x, ω) e^{−i ω t} dω (komplexer Schallausschlag ) ,
P(x, t) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{+∞} p̃(x, ω) e^{−i ω t} dω (komplexer Schalldruck ) ,
U(x, t) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{+∞} ũ(x, ω) e^{−i ω t} dω (komplexe Schallschnelle ) .

(1.34)

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55Dank des Faktors 20 statt 10 in (1.27) gilt L_{I} ≈ L_{p} für fortschreitende monochromatische ebene Wellen (jedoch nicht für stehende Wellen).

Aufgrund der Rückeindeutigkeit der Fourier-Transformation sieht man leicht, daß für die komplexen Schallgrößen die gleichen Grundbeziehungen gelten wie für die reellen:

(\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t} )^{2} D(x, t) − Δ D(x, t) = 0 ,  (1.35)
rot D(x, t) = 0 ,  (1.36)
U(x, t) = \frac{∂}{∂t} D(x, t) ,  (1.37)
P(x, t) = −\frac{1}{⟨κ⟩} div D(x, t) .  (1.38)

Die Verwendung komplexer Schallgrößen ist besonders zweckmäßig für monochromatische Schallwellen, d.h. solche der Form

d̃(x, ω) = \sqrt{2π} (D(x) δ(ω − ω_{0}) + \overline{D(x)} δ(ω + ω_{0})) .

Dann gilt

\begin{matrix}D(x, t) = D(x) e^{−i ω_{0} t} , U(x, t) = U(x) e^{−i ω_{0} t} \\ P(x, t) = P(x) e^{−i ω_{0} t} , ω_{0} > 0 \end{matrix}  (1.39)

und der zeitliche Mittelwert der (reellen) Schallintensität ist

⟨ȷ (x, t)⟩  =^{def}  \frac{ω_{0}}{2π} ∫_{t−π/ω_{0}}^{t+π/ω_{0}} ȷ (x, t) dt
=_{(1.29),(1.33)} 2 ℜ (P(x) \overline{U(x)}) im Falle (1.39) .

(1.40)

Beweisskizze zu (1.40):

∫_{t−π/ω_{0}}^{t+π/ω_{0}} ȷ (x, t) dt
=_{(1.29),(1.33)} ∫_{t−π/ω_{0}}^{t+π/ω_{0}} 2 ℜ(P(x, t) \overline{U(x, t)} + P(x, t) U(x, t))dt
=  2 ℜ(\frac{2π}{ω_{0}} P(x) \overline{U(x)} + P(x) U(x) \underbrace{∫_{t−π/ω_{0}}^{t+π/ω_{0}} e^{−2i ω_{0} t} dt}_{=0}) .

Übungsaufgabe 2 Für den Fall

D(x, t) = (R_{+} e^{+i \frac{ω_{0}}{ĉ} e·x} − R_{−} e^{−i \frac{ω_{0}}{ĉ} e·x}) e^{−i ω_{0} t} e , |e| = 1 ,

zeige man:^{56} ⟨ȷ (x, t)⟩ = 0 ⟺ |R_{+}| = |R_{−}| .

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56Man beachte in diesem ZusammenhangÜbungsaufgabe 4.

Monochromatische Schallwellen in Führungen

2.1 Gerade Rohre

2.1.1 Akustischer Widerstand

Wir betrachten – in Zylinderkoordinaten ρ, φ, h – eine in Richtung e_{h} unendlich ausgedehnte, homogene, starre (schallharte), zylindrische^{1} Röhre mit (nicht zu geringem) Innenradius R, die an ihrem Eingang bei h = 0 durch einen beweglichen Kolben abgeschlossen ist.^{2} Wenn die ins Röhreninnere zeigende (ebene, zur Röhrenachse senkrechte) Kolbenfläche zur Zeit t jeweils die h-Koordinate A(t) hat, dann ist

d(x, t) = A(t − h/ĉ) e_{h} ∀ x ∈ Röhre

eine Lösung von (1.22)/(1.21), die den physikalischen Randbedingungen^{3}

\begin{aligned}h = 0 & ⟹ & e_{h} · d(x, t) = A(t) , \\ ρ = R & ⟹ & e_{ρ} · d(x, t) = 0 \end{aligned}  (2.1)

genügt.^{4} Die (Reaktions-) Kraft F(t) , die der Schalldruck im Inneren der Röhre auf den Kolben ausübt, ist für diese Lösung

F(t) = −πR^{2} p(0, t) e_{h} =_{(1.25),(1.23)} − ⟨μ⟩ ĉπR^{2} u(0, t)  (2.2)

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1Eigentlich kommt es hier nur auf die Translationsinvarianz an. Die genaue Querschnittsform spielt erst in 2.1.3 eine Rolle.

2Der bewegliche Kolben läßt sich näherungsweise durch eine Lautsprechermembran ersetzen. 3Offensichtlich gilt e_{ρ} · d(x, t) = 0 hier sogar für alle x . 4Man kann zeigen, daß dies die einzige kausale Lösung des Randwertproblems mit d ∼ e_{h} für

die unendlich lange Röhre ist, d.h. die einzige Lösung, die der Bedingung

A(t) = 0 ∀t < 0  ⟹  d(x, t) = 0 ∀t < 0 , x ∈ Röhre

(no output before input) genügt.

34 KAPITEL 2. MONOCHROMATISCHE SCHALLWELLEN IN FÜHRUNGEN

und die Schallschnelle u stimmt für h = 0 mit der Kolbengeschwindigkeit überein. Die Schallreaktion entspricht also in diesem Falle einer Reibungskraft mit dem Reibungskoeffizienten ⟨μ⟩ ĉπR^{2} , den man hier als Strahlungswiderstand bezeichnet. Den Strahlungswiderstand pro Flächeneinheit, also ⟨μ⟩ ĉ, bezeichnet man als charakteristische akustische Resistanz .^{5}

Unter allgemeineren Bedingungen wird der Zusammenhang zwischen Schalldruck und Schallschnelle frequenzabhängig. Z.B. werden bei einer wirklichen Röhre (endliche Länge!) am Röhrenende in aller Regel Wellen reflektiert,^{6} so daß im einfachsten monochromatischen Falle die komplexe Schallauslenkung von der Form

D(x, t) = − ⟨κ⟩ (R_{+}e^{ik(h−ĉt)} − R_{−}e^{−ik(h+ĉt)}) e_{h}  (2.3)

mit geeigneten komplexen Koeffizienten R_{±} ist.^{7} Die zugehörige komplexe Schnelle ist

U(x, t) = \frac{ik}{⟨μ⟩ ĉ} (R_{+}e^{ik(h−ĉt)} − R_{−}e^{−ik(h+ĉt)})

und der zugehörige komplexe Schalldruck^{8} ist

P(x, t) = ik (R_{+}e^{ik(h−ĉt)} + R_{−}e^{−ik(h+ĉt)}) .

Für (komplexes) ψ mit

− R_{−}/R_{+} = e^{−2ψ}  (2.4)

ergibt sich für den komplexen Schalldruck

P(x, t) = 2ikR_{+} e^{−ψ−ikĉt} sinh (ψ + ikh)  (2.5)

und für die zugehörige komplexe Schnelle

U(x, t) = \frac{2ik}{⟨μ⟩ ĉ}R_{+} e^{−ψ−ikĉt} cosh (ψ + ikh) .  (2.6)

Den Quotienten

Z_{kĉ}(h) =^{def} \frac{P(x, t)}{U(x, t)}  (2.7)

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5Die Resistanz, auch Wirkwiderstand genannt, entspricht in der Elektrotechnik einem Ohmschen Widerstand.

6Entsprechendes gilt für Grenzschichten zwischen Medien unterschiedlicher (charakteristischer akustischer) Resistanz.

7Man sieht leicht, daß (2.3) die allgemeinste monochromatische (D̈ = −(kĉ)^{2} D) Schallwelle der Form D(x, t) = D(h, t) ist.

8Man beachte, daß der komplexe Schalldruck nach (A.12) bereits die Auslenkung d(x, t) eindeutig festlegt, da die zeitlichen Mittelwerte von d und u voraussetzungsgemäß verschwinden. Deshalb werden wir im folgenden hauptsächlich mit dem komplexen Schalldruck anstelle des Verschiebungsvektors arbeiten, da letzterer in der Regel wesentlich komplizierter ist, wie schon in Abschnitt A.3 anhand der Kugelwellen deutlich wurde.

bezeichnet man als spezifische akustische Impedanz an der Stelle h zur Kreisfrequenz^{9} kĉ. Im Fall (2.3) gilt gemäß (2.5)/(2.6)

Z_{kĉ}(h) = ⟨μ⟩ ĉ tanh (ψ + ikh)  (2.8)

Die Amplitude von (2.5) ist

|P(x, t)| = 2 |kR_{+}| e^{−ℜ(ψ)} \sqrt{cosh^{2} (ℜ(ψ)) − cos^{2} (ℑ(ψ) + kh)}

(Beweis als Übungsvorschlag) und ihre h-Abhängigkeit läßt sich zur Impedanzmessung mithilfe eines kleinen Mikrophons ausnutzen (Morse, 1948, S. 243).

Erläuterung: Die Druckamplitude ist minimal für ℑ(ψ) + kh = 0 mod π. Deshalb gilt

−ℑ(ψ) = kh_{min} mod π

für jede Stelle h_{min} minimaler Druckamplitude. Die Druckmaxima haben den Wert 2 |kR_{+}| e^{−ℜ(ψ)} cosh (ℜ(ψ)) , die Druckminima den Wert 2 |kR_{+}| e^{−ℜ(ψ)} sinh (ℜ(ψ)) . Daraus folgt^{10}

tanh (ℜ(ψ)) = |P(x, t)|_{min} ; |P(x, t)|_{max} .

Gemäß (1.40) ist der zeitlichen Mittelwert der (2.3) entsprechenden Energiestromdichte

⟨ȷ (x)⟩ = 2 |U(x, t)|^{2} ℜ (Z(h)) e_{h} .

Die am Rohrende bei h = L austretende^{11} Schallenergie läßt sich also (bei vorgegebenem Maximaldruck) auch dadurch gering halten, daß man die Abschlußresistanz ℜ (Z(L)) entsprechend klein wählt.

Übungsaufgabe 3 Man zeige, daß ⟨ȷ ⟩ von h unabhängig ist.

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9In der Regel gilt Z_{−ω}(h) = \overline{Z_{ω}(h)} .

10Man beachte, daß gemäß (2.3) ℜ(ψ) > 0 gilt.

11Wenn der in Richtung −e_{h} laufende Anteil nur durch Reflexion zustande kommt, sollte |R_{+}| ≥ |R_{−}|, nach (2.4) also ℜ(Ψ) ≥ 0 und somit nach (2.8) ℜ (Z(h)) ≥ 0 gelten. Letzteres folgt aus der bekannten Eigenschaft

ℜ (\frac{1 − z}{1 + z} ) ≥ 0 ⟺ |z| ≤ 1

der (für z ≠ −1 definierten, zu sich selbst inversen) speziellen Möbius-Abbildung z ↦ \frac{1−z}{1+z} .

2.1.2 Ebene Wellen in endlichen Röhren

Man beachte, daß die i.a. komplexe spezifische akustische Impedanz Z_{kĉ}(h) der Differentialgleichung erster Ordnung

\frac{∂}{∂h} \frac{Z_{kĉ}(h)}{⟨μ⟩ ĉ} = ik (1 − (\frac{Z_{kĉ}(h)}{⟨μ⟩ ĉ})^{2})  (2.9)

genügt und damit (bei vorgegebener Kreisfrequenz kĉ) bereits durch den Wert an einer einzigen Stelle der Röhre insgesamt eindeutig festgelegt ist. Bei Festlegung der Impedanzen (durch stationäre Betriebsbedingungen) an beiden Röhrenenden sind daher in der Regel nur noch bestimmte Frequenzen möglich.

Erläuterung: Wenn Z_{ω}(0) = f(ω) eine analytische Funktion von ω ist, dann auch Z_{ω}(L) und folglich gilt für analytisch vorgegebenes g(ω) dann entweder Z_{ω}(L) = g(ω) für alle ω oder die Menge {ω : Z_{ω}(L) = g(ω)} ist diskret.

An ideal schallharten Grenzflächen gilt z.B. d(x, t) · n(x) = 0 , wobei n(x) jeweils die Flächennormale der Wand bezeichnet. Wegen

R_{+}e^{+ikL} − R_{−}e^{−ikL} = 0 ⟺ R_{−} = R_{+}e^{+2ikL}
⟺_{(2.4)} e^{−2ψ} = −e^{2ikL}
⟺ ψ = −i(\frac{π}{2} + kL) mod iπ

ergibt sich damit^{12} im Falle (2.3) für eine bei h = L (durch eine ebene, zu e_{h} senkrechte, ideal schallharte Wand) ideal geschlossene Röhre gemäß (2.8)

Z_{ω}(h) = \{ \begin{matrix}∞ & für h = L, \\ −i ⟨μ⟩ ĉ tan (\frac{π}{2} + kL) & für h = 0 . \end{matrix}  (2.10)

Die spezifische akustische Impedanz an der Stelle h = 0 besitzt in diesem Falle also (aufgrund der Vernachlässigung von Dämpfung) nur einen Imaginärteil (Reaktanz , Blindwiderstand).^{13}

Übungsaufgabe 4 Man zeige, daß der Realteil von (2.3) genau dann eine stehende Welle, d.h. von der Form

d(x, t) = d(x) f(t)

ist, wenn |R_{−}| = |R_{+}|.

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12Man beachte:

ℜ (R_{+}e^{ik(h−ĉt)} − R_{−}e^{−ik(h+ĉt)}) = 0 ∀ t ⟺ R_{+}e^{+ikh} − R_{−}e^{−ikh} = 0 .

13Für, relativ zur Rohrlänge, große Wellenlängen entspricht Z_{ω}(0) i.w. der Kompressibilität von Luft und stellt eine akustische Kapazität (siehe 2.3) dar.

Die Bedingung d(h = L, t) = 0 ist (im Falle (2.3)) übrigens äquivalent zu P′(L) = 0 . Für stehende Wellen bedeutet das maximale Schalldruckamplitude bei h = L – eine (z.B. bei gedackten Orgelpfeifen erfüllte) Bedingung, die auch für druckgesteuerte Rohrenden (z.B. bei Rohrblatt-Holzblasinstrumenten) annähernd gegeben ist.

Die bei h = L ideal offene Röhre ist durch Z(L) = 0 definiert. Sie ist (näherungsweise) durch entsprechende Steuerung der Schallschnelle bei h = L realisierbar (typisch z.B. für die Verhältnisse am Mundstück einer Querflöte). Hier gilt^{14} entsprechend (2.8)

Z_{ω}(h) = \{ \begin{matrix}0 & für h = L, \\ −i ⟨μ⟩ ĉ tan(kL) & für h = 0 . \end{matrix}  (2.11)

Übungsaufgabe 5 Man zeige, daß die möglichen Wellenzahlen für die auf einer Seite ideal offene, auf der anderen ideal geschlossene^{15} Röhre durch

k = (n + \frac{1}{2}) \frac{π}{L} , n ∈ ℤ ,

für die beidseitig ideal geschlossene sowie für die beidseitig ideal offene^{16} Röhre dagegen durch

k = n \frac{π}{L} , n ∈ ℤ ,

gegeben sind und diskutiere die entsprechenden Partialtonfolgen.

Bei einer offenen Röhre geht die über den Querschnitt gemittelte spezifische akustische Impedanz Z^{F} für R → ∞ natürlich in die charakteristische akustische Impedanz ⟨μ⟩ ĉ fortschreitender ebener Wellen über, ist also tatsächlich von Null verschieden. Im Falle kR ≪ 1 ist Z^{F} jedoch vernachlässigbar. Für ein mit (unendlich) breitem, schallhartem Flansch versehenes Rohr, dessen Ausgangsfläche durch einen mit der Kreisfrequenz kĉ oszillierenden, schallharten Kolben ersetzt sei, läßt

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14Aus Z_{kv̂}(L) = 0 folgt gemäß (2.8) ψ + ikL = 0 mod iπ und somit

Z_{kĉ}(h) = −i ⟨μ⟩ ĉ tan(k(L − h)) ∀ h ∈ [0, L] .

15Dieser Fall ist (näherungsweise) bei der gedackten Orgelpfeife und der Klarinette, die deshalb jeweils um eine Duodezim ‘überbläst’, realisiert, sowie bei Panflöte, Dudelsack-Baßpfeifen, Krummhorn. Bzgl. tatsächlicher Bohrungen hochwertiger Klarinetten siehe (Gibson, 1994, Abschnitt 9).

16Dieser Fall ist (näherungsweise) bei der Querflöte, die deshalb jeweils um eine Oktav ‘überbläst’, realisiert, sowie vielfach bei Blockflöten und Orgelpfeifen.

sich das relativ leicht berechnen (siehe Anhang A.4):^{17}

Z^{F} = ĉ⟨μ⟩ (1 − \frac{J_{1}(2kR)}{kR} − i \frac{H_{1}(2kR)}{kR}) .  (2.12)

Näherungsweise gilt:^{18}

1 − 2\frac{J_{1}(w)}{w} ≈ \{ \begin{matrix}\frac{w^{2}}{8} & für w < 0.5 , \\ 1 & für w > 5 . \end{matrix}

H_{1}(w) ≈ \{ \begin{matrix}\frac{2w^{2}}{3π} & für w < 1 , \\ \frac{2}{π} & für w > 12 . \end{matrix}

(2.13)

Wenn der Rohrdurchmesser klein gegenüber der Wellenlänge ist, dann stimmt also Z^{F} in guter Näherung mit der Impedanz an der Stelle h = L für ein ideal offenes Rohr der effektiven Länge L + Δ^{F} überein, wobei

Δ^{F} =^{def} \frac{8R}{3π} ≈ 0.85 R .

Begründung: Aus (2.12)/(2.13) folgt

Z^{F} ≈ −iĉ⟨μ⟩ \frac{8}{3π} kR für kR < 0.25 .

Entsprechend Fußnote 14 (mit L + Δ^{F} statt L) gilt

Z_{kĉ}(h) = −i ⟨μ⟩ ĉ tan (k(L + Δ^{F} − h))
≈ −iĉ⟨μ⟩ kΔ^{F} für h = L und kR ≪ 1

für ein bei h = L + Δ^{F} ideal offenes Rohr. Die Bedingung

Z_{kĉ}(L) ≈ Z^{F} für kR ≪ 1

ist also mit Δ^{F} = \frac{8}{3π} R erfüllt.

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17Es gelten die Reihenentwicklungen

J_{n}(z) = ∑_{s=0}^{∞} \frac{(−1)^{s}}{s! (n + s)!} (\frac{z}{2})^{n+2s}

für die Bessel-Funktionen und

H_{n}(z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \frac{(z/2)^{n+1}}{Γ(n + 3/2)} ∑_{ν=0}^{∞} \frac{2^{ν} ν!}{(2ν + 1)!} \frac{(2n + 1)!}{2^{n} n!} \frac{2^{n+ν} (n + ν)!}{(2n + 2ν + 1)!} (−1)^{ν} z^{2ν}

(beachte: Γ(n + 3/2) = \frac{(2n+1)!}{n! 2^{2n+1}} \sqrt{π} ∀ n ∈ ℤ_{+}) für die Struveschen Funktionen (siehe (Magnus et al., 1966, Sect. 3.10.3)).

18Die Abweichungen vom tatsächlichen Wert betragen weniger als 10% .

Die komplizierte Berechnung der Röhre ohne Flansch (siehe (Levin und Schwinger, 1948)) zeigt, daß für kleines kR die Abschlußresistanz tatsächlich nur halb so groß ist und Δ^{F} durch

Δ^{0} ≈ 0.61 R

zu ersetzen ist.^{19}

2.1.3 Dämpfung und Kompliziertere Schwingungsmoden

Außerdem erleidet eine Schallwelle natürlich Energieverlust. Hauptursachen sind Viskosität, Wärmeleitung und Energieaustausch zwischen Molekülen. In Musikinstrumenten bleiben die Dämpfungseffekte aber i.w. auf eine ≈ 0.1 mm starke Grenzschicht an den Wandungen des Instruments beschränkt, die mit wachsender Frequenz immer dünner wird (siehe (Fletcher und Rossing, 1991, Gl. (6.44))). Dieser (geringfügige) Verlust ließe sich durch einen Dämpfungsfaktor beschreiben (siehe (Fletcher und Rossing, 1991, S. 149 unten)). Im Falle ebener Wellen multipliziert man die einlaufende resp. reflektierte Welle mit einem Faktor

e^{−λh} resp. e^{+λh}

(λ > 0), was darauf hinausläuft, daß man in (2.8) einen linear von h abhängigen Realteil ℜ(ψ) zuläßt:^{20}

ψ = ψ_{0} − λh .  (2.14)

Außerdem ist die Phasengeschwindigkeit entsprechend abzusenken:

ω = kč; , č < ĉ

(vgl. (Fletcher und Rossing, 1991, Sect. 8.2)). Aus den Polstellen resp. Nullstellen von Z_{kĉ}(0) werden durch diese Korrekturen k-Werte, an denen |Z_{kč}(0)| nur noch (lokal nahezu) maximal resp. minimal, Z_{kĉ}(0) aber reell ist (Beweis als Übungsvorschlag, vgl. (Fletcher und Rossing, 1991, Sect. 8.5)).

In A.3 wird gezeigt, daß die allgemeinste (komplexe) Lösung der Wellengleichung (A.15) eine Überlagerung monochromatischer Wellen der Form (A.28)/(A.30) ist. Da die Hankelschen Funktionen H_{n}^{(j)} durch die Bessel-Funktionen J_{n} und die Neumannschen Funktionen N_{n} gemäß

H_{n}^{(1)} =^{def} J_{n} + iN_{n} , H_{n}^{(2)} =^{def} J_{n} − iN_{n}

definiert sind (siehe (Jahnke et al., 1960, S. 141)) und die N_{n}(z) für z → 0 divergieren (siehe (Jahnke et al., 1960, S. 141)), ist die allgemeinste gutartige monochromatische

Version vom 21. November 2009

19Graphische Darstellungen der kR-Abhängigkeit der Abschlußimpedanz findet man z.B. in (Fletcher und Rossing, 1991, S. 181/182).

20Man beachte allerdings, daß λ proportional zu |ω|^{1/2} ist!

Lösung von (A.15) zur Kreisfrequenz ω über ganz ℝ eine Überlagerung von Wellen der Form

J_{m} (k_{ρ} ρ) e^{−i(ωt−k_{h} h−mφ)} , k_{ρ}^{2} + k_{h}^{2} = (\frac{ω}{ĉ})^{2} ,  (2.15)

Innerhalb der Röhre gilt diese Aussage mit folgenden Änderungen:

1. Die k_{h} dürfen auch rein imaginär sein.

2. Es kommen nur solche k_{ρ} in Betracht, für die die Randbedingungen^{21}

J′_{m} (k_{ρ} R) = 0 für ideal schallharte Rohrwandungen

erfüllt sind, also nur diskrete k_{ρ} = k_{m0}, k_{m1}, k_{m2}, …, die sich den Tabellen für Bessel-Funktionen (approximativ) entnehmen lassen:

k_{00} R = 0 ,  k_{01} R ≈ 3.80 , ⋯
k_{10} R ≈ 1.84 , k_{11} R ≈ 5.33 , ⋯
k_{10} R ≈ 3.05  ⋯
k_{30} R ≈ 4.20  ⋯

k_{mn}R ≈ n + \frac{m}{2} + \frac{1}{4} für n ≫ 1 .

Beweisskizze: Für beliebige f, g aus

{f ∈ C^{2} ([0, R], ℂ) : f′(R) = 0} ⊂ L^{2}([0, R], ρ dρ)

gilt

\begin{aligned}∫_{0}^{R} \overline{g(ρ)} (f′′(ρ) + \frac{1}{ρ} f′(ρ)) ρ dρ & = & + ∫_{0}^{R} \overline{g(ρ)} (ρ f′(ρ))′ dρ \\ & = & − ∫_{0}^{R} \overline{g′(ρ)} f′(ρ) ρ dρ . \end{aligned}

Daher ist

Â_{m} =^{def} (\frac{d}{dρ})^{2} + \frac{1}{ρ} \frac{d}{dρ} − (\frac{m}{ρ})^{2}

auf dem Definitionsbereich {f ∈ C^{2} ([0, R], ℂ) : f′(R) = 0} symmetrisch und nicht positiv:

\begin{aligned}⟨f | Â_{m}f⟩ & = & ∫_{0}^{R} \overline{f(ρ)} (f′′(ρ) + \frac{1}{ρ} f′(ρ) − (\frac{m}{ρ})^{2} f(ρ)) ρ dρ ≤ 0 \\ & & ∀ f ∈ \{f ∈ C^{2}[0, R] : f′(R) = 0\} . \end{aligned}

Damit läßt sich zeigen, daß die Eigenzustände von Â_{m} ein vollständiges Orthogonalsystem bilden. Wenn aber f_{λ}(ρ) = f(λρ) ein Eigenzustand von Â_{m} zum Eigenwert −λ^{2} ≥ 0 ist, also der Differentialgleichung

Â_{m}f_{λ}(x) = −λ^{2} f_{λ}(x)

Version vom 21. November 2009

21Bzgl. realistischerer Randbedingungen siehe (Morse, 1948, S. 305-307).

2.2. HÖRNER 41

genügt, dann genügt f der Besselschen Differentialgleichung (A.29), ist also eine Linearkombination von J_{m} und N_{m}. Da die Neumannschen Funktionen für ρ → 0 divergieren, muß also f_{λ}(ρ) ∼ J_{m}(λρ) sein. Für jedes m ∈ ℤ_{+} bilden also die Funktionen

f_{m,n}(x) =^{def} J_{m}(k_{mn} x)

(n ∈ ℤ) ein vollständigen Orthogonalsystem von L^{2}([0, R], ρ dρ) . Mithilfe Fourierscher Reihen- resp. Integralentwicklung^{22} hinsichtlich φ resp. t und Entwicklung nach den f_{m,n} hinsichtlich ρ läßt sich die Behauptung leicht beweisen.

Für ω^{2} < ĉ^{2}k_{ρ}^{2} wird k_{h} imaginär, so daß die Welle (2.15) in entsprechender Richtung exponentiell abfällt. Für die Schwingungsmoden (2.15) mit (m, n) ≠ (0, 0) ist das der Fall, sobald R kleiner als

R_{c} =^{def} 1.84 \frac{ĉ}{ω} = \frac{1.84}{2π} λ̂_{ω} ≈ 0.293 λ̂_{ω}

ist, wobei λ̂_{ω} die freie Wellenlänge zur Kreisfrequenz ω bezeichnet. Sie dienen der Anpassung des akustischen Flusses an lokale Gegebenheiten (z.B. Fingerlöcher, Mundstück usw.) und können für Blasinstrumente weitgehend unberücksichtigt bleiben.

2.2 Hörner

Unter einem Horn sei stets eine seitlich geschlossene Führung verstanden, deren (variable) Querschnittsausdehnung klein gegenüber der Länge ist.

2.2.1 Die Webster-Gleichung

Eine zylindrische Bohrung (Rohr) der Länge L mit dem Radius R ergibt sich als Grenzfall

x_{2} − x_{1} = L , ϑ_{0} x_{1} = R , x_{1} → ∞

der in Abb. 2.1 skizzierten konischen Bohrung.^{23}

In diesem Sinne sind Ergebnisse für allgemeine konische Bohrungen auch auf zylindrische Bohrungen anwendbar.^{25} Für Schallschwingungen in der konischen Bohrung

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22Die Fouriersche Integraltransformation ist im allgemeinen Fall eigentlich im distributionstheoretischen Sinne zu verstehen.

23Ausgeprägt konische Bohrung haben Oboe, Fagott, Saxophon, Schalmei, Kornett, Serpent, Tarogato, schottische Tenor-Dudelsackpfeife. Natürlich treten am Eingang und am Ende des Horns stets Abweichungen auf.

24Bei den druckgesteuerten Blasinstrumenten wird der Schall am engeren, bei der Barockflöte dagegen am offeneren Ende angeregt.

25Siehe dazu z.B. (Ayers et al., 1985, Fig. 4).

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; S(x); x_{2}; 0; x_{1}; ϑ_{0}]

Abb. 2.1: Konische Bohrung im Längsschnitt^{24}

gilt die Webster-Gleichung^{26}

\frac{1}{|S(x)|} \frac{∂}{∂x} (|S(x)| \frac{∂}{∂x} P(x, t)) = (\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t})^{2} P(x, t) ,  (2.16)

zusammen mit

\frac{∂}{∂t} U(x, t) = −\frac{1}{⟨μ⟩} \frac{∂}{∂x} P(x, t) ,  (2.17)

wenn die Normalkomponente des Schalldruckgradienten auf der Hornwandung verschwindet,^{27} wobei

|S(x)| =^{def} \{ \begin{matrix}Flächeninhalt des x entsprechenden \\ (orientierten) Kugelflächenausschnitts S(x) , \end{matrix}
P(x, t) =^{def} \{ \begin{matrix}über S(x) gemittelter \\ komplexer Schalldruck zur Zeit t , \end{matrix}
U(x, t) =^{def} \{ \begin{matrix}über S(x) gemittelte Normalkomponente der \\ komplexen Schallschnelle zur Zeit t . \end{matrix}

(2.18)

Beweisskizze: Wenn wir mit G_{x,ϵ} jeweils das geschlossene Gebiet bezeichnen, das von^{28} −S(x) , S(x + ϵ) und einem entsprechenden Stück der Hornfläche berandet

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26Bzgl. der ursprünglichen Interpretation siehe (Webster, 1919).

27Gemäß (A.12) ist das für ideal schallharte Hornwände garantiert.

28Wir benutzen die Schreibweise von (Lücke, ein).

2.2. HÖRNER 43

wird, dann können wir schließen:

(\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t})^{2} P(x, t)

=  (\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t})^{2} \frac{1}{|S(x)|} ∫_{S(x)} P(x′, t) dS_{x′}
=_{(1.35),(1.38)} \frac{1}{|S(x)|} ∫_{S(x)} Δ_{x′}P(x′, t) dS_{x′}
=  lim_{ϵ→+0} \frac{1}{ϵ |S(x)|} ∫_{G_{x,ϵ}} Δ_{x′}P(x′, t) dV_{x′}
=_{Gauß}  lim_{ϵ→+0} \frac{1}{ϵ |S(x)|} ∫_{∂G_{x,ϵ}} ∇_{x′}P(x′, t) · dS_{x′}
=  \frac{1}{|S(x)|} lim_{ϵ→+0} \frac{1}{ϵ} (∫_{S(x+ϵ)} ∇_{x′}P(x′, t) · dS_{x′} − ∫_{S(x)} ∇_{x′}P(x′, t) · dS_{x′}) .

Mit

∫_{S(x)} ∇_{x′}P(x′, t) · dS_{x′} = (∫_{ϑ=0}^{ϑ=ϑ_{0}} ∫_{φ=0}^{2π} (\frac{∂}{∂r} P(r, ϑ, φ, t)) r^{2} sin ϑ dϑ dφ)_{|_{r=x}}

= (r^{2} \frac{∂}{∂r} ∫_{ϑ=0}^{ϑ=ϑ_{0}} ∫_{φ=0}^{2π} P(r, ϑ, φ, t) sin ϑ dϑ dφ)_{|_{r=x}}
= |S(x)| \frac{∂}{∂x} P(x, t)  (2.19)

folgt daraus (2.16). (2.17) folgt gemäß

\frac{∂}{∂t} U(x, t)  =  \frac{∂}{∂t} \frac{1}{|S(x)|} ∫_{S(x)} U(x′, t) · dS_{x′}
=_{(1.37)}  \frac{1}{|S(x)|} ∫_{S(x)} (\frac{∂}{∂t})^{2} D(x′, t) · dS_{x′}
=_{(1.35)}  ĉ^{2} \frac{1}{|S(x)|} ∫_{S(x)} Δ_{x′}D(x′, t) · dS_{x′}
=_{(1.36)}  ĉ^{2} \frac{1}{|S(x)|} ∫_{S(x)} ∇_{x′} (∇_{x′} · D(x′, t)) · dS_{x′}
=_{(1.38)}  −ĉ^{2} ⟨κ⟩ \frac{1}{|S(x)|} ∫_{S(x)} (∇_{x′}P(x′, t)) · dS_{x′}
=_{(1.23),(2.19)} −\frac{1}{⟨μ⟩} \frac{∂}{∂x} P(x, t) .

Man sieht leicht, daß die Gleichungen (2.16) und (2.17) mit (2.18) näherungsweise auch für allgemeinere Hornformen, wie z.B. in Abbildung 2.2 skizziert, gelten, solange die Führung rotationssymmetrisch, schallhart und nicht zu stark gekrümmt ist.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ϑ(x); .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; x; S(x)]

Abb. 2.2: Typische Hornform (Längsschnitt)

Anmerkung: Daß exakte Lösungen existieren, für die der Schalldruck im Horninneren auf den Flächen S(x) konstant ist, ist nur dann zu erwarten, wenn die Wellengleichung (A.15) (bzw. die Helmholtz-Gleichung (A.32)) in orthogonalen Koordinaten, die diesen Flächen angepaßt sind, separierbar ist. Diese wenigen Koordinatensysteme sind z.B. in (Morse und Feshbach, 1953, Sect. 5.1), (Kratzer und Franz, 1960, §3) und (Moon und Spencer, 1961, Sect. I) abgehandelt.

Mit der Wellenfunktion

Ψ(x, t) =^{def} \sqrt{|S(x)|} P(x, t)  (2.20)

und dem effektiven Radius

a(x) =^{def} \sqrt{\frac{|S(x)|}{π}}  (2.21)

von S(x) gilt

\frac{1}{|S|} \frac{∂}{∂x} (|S| \frac{∂}{∂x}P(x, t)) = \frac{1}{a^{2}π} \frac{∂}{∂x} (a^{2}π \frac{∂}{∂x} (\frac{Ψ}{a\sqrt{π}} ))
= \frac{1}{a^{2}\sqrt{π}} \frac{∂}{∂x} (a\frac{∂}{∂x}Ψ − a′Ψ)
= \frac{1}{a\sqrt{π}} ((\frac{∂}{∂x})^{2} Ψ − \frac{a′′}{a} Ψ) .

Die Webster-Gleichung ist also äquivalent zu

(\frac{∂}{∂x})^{2} Ψ(x, t) − \frac{a′′(x)}{a(x)} Ψ(x, t) = (\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t})^{2} Ψ(x, t)

bzw., im monochromatischen Falle

Ψ(x, t) = Ψ(x) e^{−ikĉt} , zu^{29}

Ψ′′(x) + (k^{2} − \frac{a′′(x)}{a(x)}) Ψ(x) = 0 .  (2.22)

Eine reellwertige Funktion f(x) ist streng konvex resp. konkav, wenn f′′(x) > 0 resp. f′′(x) < 0 (vgl. Abschn. 3.1.2.1 von (Lücke, mech)). Eine reelle Lösung von (2.22) ist also genau dann streng konvex resp. konkav, wenn die Hornfunktion

F (x) =^{def} \frac{a′′(x)}{a(x)}

größer resp. kleiner als k^{2} ist.^{30} Dementsprechend bezeichnet man ĉ\sqrt{F (x)} im Falle F (x) > 0 als Abschneidekreisfrequenz an der Stelle x.

2.2.2 Spezielle Hornformen

Lösungen von (2.16) in Form fortschreitender Wellen

P(x, t) = \frac{A}{\sqrt{|S(x)|}} e^{−ik (ĉt−φ(x))} , 0 ≠ φ′(x) reell ,

können nur dann existieren, wenn das zugehörige

Ψ(x) = A e^{ik φ(x)}

der Gleichung (2.22), φ(x) also der Gleichung

ik φ′′(x) − (k φ′(x))^{2} + (k^{2} − \frac{a′′(x)}{a(x)}) = 0  (2.23)

genügt. Aus dem Verschwinden des Imaginärteils von (2.23) folgt zunächst

τ =^{def} φ′(x) = const. ≠ 0  (2.24)

und damit aus dem Verschwinden des Realteils von (2.23)

F (x) = \frac{a′′(x)}{a(x)} = k^{2} (1 − τ^{2}) .

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29Man beachte, daß (2.22) die gleiche Struktur hat wie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

(−\frac{ℏ^{2}}{2m} (\frac{d}{dx})^{2} + V (x)) Ψ(x) = E Ψ(x) .

30Man beachte, daß 1/F (x) für geringe Neigung der Hornmeridiane näherungsweise mit dem äußeren Krümmungsradius der Hornwandung an der x entsprechenden Stelle übereinstimmt.

Fortschreitende Wellen o.a. Form existieren also nur für^{31}

k^{2} > m^{2} =^{def} F (x) = const. .

Für kleinere k^{2} gehen diese Lösungen^{32}

P(x, t) = \frac{A}{\sqrt{|S(x)|}} e^{−i(kĉt∓\sqrt{k^{2}−m^{2}} x)}

von (2.16) in (in Energiestromrichtung) gedämpfte stehende Wellen über, im Einklang mit der Schlußbemerkung von 2.2.1.

Spezialfälle konstanter Hornfunktion F (x) = m^{2} :

1. Konische Hörner sind durch m = 0 definiert.^{33} Hier existieren Konstanten

x_{0}, ϑ_{0} mit

a(x) = (x + x_{0}) tan ϑ_{0} .  (2.25)

2. Exponentielle Hörner sind durch

m ≠ 0 , a(x) = a_{0} e^{mx} für geeignetes a_{0} > 0  (2.26)

definiert.

3. Katenoidale Hörner sind durch

m ≠ 0 , a(x) = a_{0} cosh(mx) für geeignetes a_{0} > 0

definiert.^{34}

Exponentielle und katenoidale Hörner eignen sich oberhalb der Abschneidefrequenz gut für Lautsprecher.

Eine weitere Klasse von Hörnern, für die sich (2.22) explizit lösen läßt, ist durch die Bedingung^{35}

a(x) = b x^{−ϵ} , 0 ≠ ϵ ≠ −1 ,  (2.27)

mit geeigneten Konstanten b, ϵ gegeben. Hier gilt

F (x) = \frac{(ϵ + 1)ϵ}{x^{2}}

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31Für F < 0 wäre a(x) konkav.

32Man beachte die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von m.

33Für sie gibt es keine Abschneidefrequenz.

34Hier ist glatter zylindrischer Anschluß bei x = 0 möglich.

35Für ϵ → 0 geht das Horn in eine zylindrische Röhre, für ϵ → −1 in ein konisches Horn über.

und somit für

Φ(x) =^{def} \frac{Ψ(x)}{\sqrt{x}}

gemäß (2.22)

Φ′′(x) + \frac{1}{x} Φ(x) + (k^{2} − \frac{(ϵ + 1/2)^{2}}{x^{2}} ) Φ(x) = 0 .

Die allgemeine Lösung von (2.22) für diesen Fall ist also^{36}

Ψ(x) = A \sqrt{x} J_{ϵ+1/2}(kx) + B \sqrt{x} N_{ϵ+1/2}(kx) .  (2.28)

Deshalb bezeichnet man die durch (2.27) charakterisierten Hörner als Bessel-Hörner. Sie sind geeignet zur Approximation von Schallführungsteilen, die bei Blasinstrumenten – insbesondere bei den Schallbechern – tatsächlich realisiert sind. Z.B. sind die meisten Blechblasinstrumente etwa über die Hälfte ihrer Länge zylindrisch und gehen danach in ein Horn über, das bei modernen Instrumenten nahezu von Besselschem Typ ist.^{37} Flügelhorn, Althorn, Tenorhorn und Tuba sind allerdings, von einem zylindrischen Mittelstück und dem Schallbecher abgesehen, konisch.

Durch schnelle Weitung des Schallbechers (Stürze ) läßt es sich erreichen, daß die wesentlichsten Frequenzen im Schallbecher gedämpft und folglich (aufgrund der Energieerhaltung) stark genug reflektiert werden, um gute Resonanz zu ermöglichen, während ein angemessener Teil der Schallenergie abgestrahlt wird (‘Tunneleffekt’).

2.2.3 Störungsrechnung

Im folgenden benutzen wir die vereinfachte Schreibweise

S(x) =^{def} |S(x)| .

Für monochromatische Schalldruckwellen

P(x, t) = P(x) e^{−ikĉt}

ist die Webster-Gleichung (2.16) dann äquivalent zu dem Eigenwertproblem

Â_{S}P(x) =^{def} \frac{1}{S(x)} \frac{d}{dx} (S(x)\frac{d}{dx}P(x)) = −k^{2} P(x) ,  (2.29)

Version vom 21. November 2009

36Für halbzahliges ν sind J_{ν} und N_{ν} elementare Funktionen, z.B.:

J_{1/2}(z) = \sqrt{\frac{2}{πz}} sin z , N_{1/2}(z) = −\sqrt{\frac{2}{πz}} cos z

(siehe z.B. (Jahnke et al., 1960, S. 142)).

37Bei älteren Instrumenten ist der Hornteil fast über seine gesamte Länge konisch.

dessen Formulierung durch Angabe der physikalischen Randbedingungen zu ergänzen ist. Der Einfachheit halber sei angenommen, daß das Horn bei x = x_{1} und x_{2} entweder ideal offen oder ideal geschlossen sei.^{38} Gemäß (2.17) müssen dann

α_{1}, α_{2} ∈ {0, 1}

existieren, für die P(x) in dem Definitionsbereich

DÂ_{S} =^{def} \{P(x) ∈ C^{2} ([x_{1}, x_{2}], ℂ) : (\frac{∂}{∂x})^{α_{j}} P(x_{j}) = 0 für j = 1, 2\}

liegt, bzgl. dessen Â_{S} ein symmetrischer Operator in L^{2} ([x_{1}, x_{2}], S(x)dx) ist:

∫_{x_{1}}^{x^{2}} \overline{P̂(x)}\frac{1}{S(x)} \frac{d}{dx} (S(x)\frac{d}{dx}P(x)) S(x)dx

= \overline{P̂(x)}S(x)\frac{d}{dx}P(x)|_{x_{1}}^{x_{2}} − ∫_{x_{1}}^{x^{2}} \overline{\frac{d}{dx}P̂(x)} S(x)\frac{d}{dx}P(x) dx

= (\overline{P̂(x)}S(x)\frac{d}{dx}P(x) − \overline{\frac{d}{dx}P̂(x)}S(x)P(x))|_{x_{1}}^{x_{2}} + ∫_{x_{1}}^{x^{2}} \overline{\frac{d}{dx} (S(x)\frac{d}{dx}P̂(x))}P(x) dx

= ∫_{x_{1}}^{x^{2}} \overline{\frac{1}{|S(x)|} \frac{d}{dx} (S(x)\frac{d}{dx}P̂(x))}P(x) |S(x)| dx ∀ P̂, P ∈ DÂ_{S} .

Damit läßt sich die übliche quantenmechanische Störungsrechnung anwenden:

Sei P(x) der räumliche Anteil einer monochromatischen Lösung der Webster-Gleichung, die die vorgeschriebenen Impedanzwerte aufweist, zur Wellenzahl k. Die geringfügige Variation S ↦ S + δS der Hornwandung bewirke die Verschiebung

P(x) ↦ P(x) + δP(x) , k ↦ k + δk .

Zusätzlich zu (2.29) gelte also die Gleichung

(Â_{S} + δÂ)) (P + δP) = − (k + δk)^{2} (P + δP) , δÂ =^{def} Â_{S+δS} − Â_{S} , (2.30)

d.h.

(Â_{S} + k^{2}) δP + (δÂ)P = −2kδk P + Terme höherer Ordnung in den Variationen .

(2.31)

Da Â symmetrisch ist, folgt aus (2.29)

∫_{x_{1}}^{x_{2}} \overline{P(x)} ((Â_{S} + k^{2})δP) (x) S(x)dx = 0

Version vom 21. November 2009

38Dabei spielt es keine Rolle, ob das Horn wirklich über den gesamten Bereich x_{1} ≤ x ≤ x_{2} realisiert oder nur effektiv fortgesetzt gedacht ist.

und damit aus (2.31)

δk ≈ −\frac{∫_{x_{1}}^{x_{2}} \overline{P(x)} (δÂ P) (x) S(x)dx}{2k ∫_{x_{1}}^{x_{2}} |P(x)|^{2} |S(x)| dx} ,

was wegen

δÂ = −\frac{δS}{S^{2}} \frac{d}{dx}S \frac{d}{dx} + \frac{1}{S} \frac{d}{dx}(δS)\frac{d}{dx} + Terme höherer Ordnung in δS
= \frac{1}{S} [\frac{d}{dx}, \frac{δS}{S} ]_{−}S \frac{d}{dx} + Terme höherer Ordnung in δS
= (\frac{d}{dx} \frac{δS}{S} ) \frac{d}{dx} + Terme höherer Ordnung in δS

schließlich

δk ≈ −\frac{∫_{x_{1}}^{x_{2}} \overline{P(x)} (\frac{d}{dx} \frac{δS(x)}{S(x)}) P′(x) |S(x)| dx}{2k ∫_{x_{1}}^{x_{2}} |P(x)|^{2} S(x)dx}

= \frac{∫_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{δS(x)}{S(x)} \frac{d}{dx} (S(x)\overline{P(x)}\frac{d}{dx}P(x)) dx}{2k ∫_{x_{1}}^{x_{2}} |P(x)|^{2} S(x)dx} , falls δS(x_{1}) = δS(x_{2}) = 0 .

(2.32)

liefert.^{39}

Als Beispiel sei eine bei x_{1} = 0 ideal geschlossene, bei x_{2} = L ideal offene zylindrische Röhre betrachtet, deren Durchmesser um x = L/3 herum variiert werde. Wegen S′ = 0 vereinfacht sich (2.32) hier zu

δk ≈ \frac{∫_{0}^{L} δS(x) \frac{d}{dx} (\overline{P(x)}\frac{d}{dx}P(x)) dx}{2k ∫_{0}^{L} |P(x)|^{2} S(0)dx} .

Die ungestörten Eigenschwingungen sind entsprechend Übungsaufgabe 5 durch

P(x, t) ∼ cos (k_{n}x) e^{∓ik_{n}ĉt} , k_{n} = (n − \frac{1}{2})\frac{π}{L} , n ∈ ℤ_{+} ,

gegeben, woraus

δk_{n} ≈ −\frac{∫_{0}^{L} \frac{δ|S(x)|}{S(0)} k_{n}^{2} cos (2k_{n}x) dx}{2k_{n} ∫_{0}^{L} cos^{2}(k_{n}x) dx}

folgt. Wegen cos(π/3) = 1/2 erniedrigt sich also der Betrag der Wellenzahl der Grundschwingung (n = 1) bei Erweiterung der Röhre um x = L/3 herum. Dagegen erhöht sich der Betrag der Wellenzahl der ersten Oberschwingung (n = 2) wegen cos(π) = −1 .

Version vom 21. November 2009

39Man sieht leicht, daß P(x) bei den vorgegebenen Randbedingungen das Vielfache einer reellwertigen Funktion sein muß.

Übungsaufgabe 6 Man diskutiere die Variation von S(x) an anderen Stellen der Röhre.

2.3 Akustische Komponenten

2.3.1 Akustische Vierpole

Im Hinblick auf die Kirchhoffschen Gesetze für elektrische Ersatzschaltungen (siehe (Beranek, 1954)) verwenden wir im folgenden die akustische Impedanz

X =^{def} \frac{P}{S U} , S =^{def} Flächeninhalt der entspr. Wellenfront ,

anstelle der spezifischen akustische Impedanz Z und entsprechend den akustischen Fluß

J =^{def} S U

anstelle der Schnelle U .

Wir betrachten zunächst nur den monochromatischen Fall. Da die Webster-Gleichung (2.16) dann eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ord-

nung für P(x) =^{def} P(x, 0) entspricht und J (x) =^{def} J (x, 0) ∼ S(x) \frac{d}{dx}P(x) gilt, hängen P(x_{2}) und J (x_{2}) jeweils linear von P(x_{1}) und J (x_{1}) ab, d.h. es existiert eine akustische Kettenmatrix M̂_{kĉ}(x_{1}, x_{2}) mit

( \begin{matrix}P(x_{1}) \\ J (x_{1}) \end{matrix} ) = M̂(x_{1}, x_{2}) ( \begin{matrix}P(x_{2}) \\ J (x_{2}) \end{matrix} )  (2.33)

und dafür gilt offensichtlich

M̂(x_{1}, x_{2})M̂(x_{2}, x_{3}) = M̂(x_{1}, x_{3}) .  (2.34)

Daher läßt sich ein Horn nach beliebiger Unterteilung in Abschnitte als akustische Vierpolkette auffassen. Das erleichtert die Berechnung von Hörnern, deren Verhalten für die einzelnen Teilabschnitte^{40} bekannt ist.

Version vom 21. November 2009

40Durch hinreichend genaue Approximation der Hornmeridiane durch Polygone ergibt sich z.B. eine brauchbare Ersatzdarstellung als akustische Vierpolkette, deren Glieder konische Hörner sind und deren Kettenmatrix in 2.3.2 bestimmt wird.

Übungsaufgabe 7 Man zeige,daß die akustische Kettenmatrix des in 2.1 untersuchten zylindrischen Rohres durch

M̂(h)^{−1} = ( \begin{matrix}cos(kh) & i\frac{ĉ⟨μ⟩}{πR^{2}} sin(kh) \\ i\frac{πR^{2}}{ĉ⟨μ⟩} sin(kh) & cos(kh) \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{ĉ⟨μ⟩}{πR^{2}} \end{matrix} )^{−1} e^{ikh σ̂_{1}} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{ĉ⟨μ⟩}{πR^{2}} \end{matrix} )
= lim_{N→+∞} (( \begin{matrix}1 & \frac{ikh}{N} \frac{ĉ⟨μ⟩}{πR^{2}} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{ikh}{N} \frac{πR^{2}}{ĉ⟨μ⟩} & 1 \end{matrix} ))^{N}

gegeben ist^{41} (h ˆ= x), wobei

σ̂_{1} =^{def} ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) (1. Pauli-Matrix ) .

Um die Analogie der mathematischen Struktur zu derjenigen der elektrischen Vierpole zu betonen, verwendet man die entsprechende graphische Darstellung, z.B.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  X  P_{a} J_{a} P_{e} J_{e}  für ( \begin{matrix}1 & X \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  J_{a} J_{e}  X  P_{a} P_{e}  für ( \begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{1}{X} & 1 \end{matrix} ) ,

und

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.}^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} ^{.} P_{e} J_{e}  P_{a} J_{a} M̂_{1}  M̂_{2}  M̂_{n}  für M̂_{1} ⋯ M̂_{n} .

(vgl. Abschn. 3.2.1 von (Lücke, ftm)). Wenn die Abschlußimpedanz X (L) eines

Version vom 21. November 2009

41Siehe auch (Ichinose und Tamura, 2001).

Horns mit x ∈ [0, L] festgelegt ist veranschaulicht man das gemäß

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  X_{L} P(L) P(0) J (0)  J (L) M̂_{L}

Die Eingangsimpedanz ist dann^{42}

X (0) = \frac{M(L)_{11}X (L) + M(L)_{12}}{M(L)_{21}X (L) + M(L)_{22}} .  (2.35)

Übungsaufgabe 8

(i) Man zeige, daß ein akustischer Vierpol genau dann symmetrisch, also invariant gegen Vertauschung von Ein- und Ausgang ist, wenn

M_{11} = M_{22} und det M̂ = 1

(vgl. Übungsaufgabe 44 von (Lücke, ftm)).

(ii) Man zeige, daß für (nicht triviale) symmetrische akustische Vierpole die Eingangsimpedanz genau dann mit der Ausgangsimpedanz übereinstimmt und endlich ist, wenn man mit dem Wellenwiderstand \sqrt{\frac{M_{12}}{M_{21}}} abschließt.

(ii) Man bestimme und diskutiere den Wellenwiderstand für das zylindrische Rohr.

2.3.2 Die akustische Kettenmatrix strikt konischer Hörner

Für ein strikt konisches Horn gilt (2.22) mit a′′ = 0 , gilt also die allgemeine Lösung

Ψ(x) = Â_{+}e^{+ikx} + Â_{−}e^{−ikx} .

Wenn die Kegelspitze bei x = 0 liegt, folgt damit aus (2.20)

P(x) =^{def} e^{ikĉt} P(x, t) = A_{+} \frac{e^{+ikx}}{x} + A_{−} \frac{e^{−ikx}}{x}  (2.36)

Version vom 21. November 2009

42Nach Übungsaufgabe 7 ist das für ein zylindrisches ‘Horn’ im Einklang mit (2.8).

mit geeigneten A_{±} ∈ ℂ und daraus

U(x) =^{def} e^{ikĉt} U(x, t)
=_{(2.17)} \frac{1}{ikĉ⟨μ⟩} \frac{∂}{∂x}P(x)
= \frac{1}{ikĉ⟨μ⟩} (\frac{ik}{x} − \frac{1}{x^{2}} ) e^{+ikx} A_{+} − \frac{1}{ikĉ⟨μ⟩} (\frac{ik}{x} + \frac{1}{x^{2}} ) e^{−ikx} A_{−} .(2.37)

Aus (2.37) folgt

(\frac{ik}{x} − \frac{1}{x^{2}} ) e^{+ikx} A_{+} = ikĉ⟨μ⟩ U(x) + (\frac{ik}{x} + \frac{1}{x^{2}} ) e^{−ikx} A_{−} ,

aus (2.36)

A_{−} = x e^{ikx} P(x) − A_{+}e^{2ikx} .

Beides zusammen liefert

A_{±} = (\frac{x}{2} ± \frac{1}{2ik} ) e^{∓ikx} P(x) ± \frac{ĉ⟨μ⟩ x}{2} e^{∓ikx} U(x) ∀ x > 0

und somit

P(x_{1}) =_{(2.36)} (\frac{L + x_{1}}{x_{1}} cos (kL) − \frac{sin (kL)}{kx_{1}}) P(x_{2}) − iĉ⟨μ⟩ \frac{L + x_{1}}{x_{1}} sin (kL) U(x_{2}) ,
ĉ⟨μ⟩ U(x_{1}) =_{(2.37)} −i ((\frac{L + x_{1}}{x_{1}} + (\frac{1}{kx_{1}} )^{2}) sin(kL) − \frac{L}{kx_{1}^{2}} cos(kL)) P(x_{2})

+ĉ⟨μ⟩ \frac{L + x_{1}}{x_{1}} (cos(kL) + \frac{1}{kx_{1}} sin(kL)) U(x_{2})

für beliebige zum Hornabschnitt gehörige x_{1}, x_{2} > 0 , wobei L =^{def} x_{2} − x_{1} (evtl. negativ). Die entsprechende akustische Kettenmatrix ist also^{43}

( \begin{matrix}(\frac{x_{2}}{x_{1}} cos (kL) − \frac{sin(kL)}{k x_{1}}) & −ic ⟨μ⟩ \begin{matrix}sin & (kL) \\ √ & \overline{S(x_{1}) S(x_{2})} \end{matrix} \\ \frac{S(x_{1})}{iĉ⟨μ⟩} ((\frac{x_{2}}{x_{1}} + (\frac{1}{k x_{1}} )^{2}) sin(kL) − \frac{L}{k x_{1}^{2}} cos(kL)) & \frac{x_{1}}{x_{2}} (cos(kL) + \frac{1}{k x_{1}} sin(kL)) \end{matrix} ) ,

(2.38)

da

\frac{L + x_{1}}{x_{1}} = \frac{x_{2}}{x_{1}} = \sqrt{\frac{S(x_{2})}{S(x_{1})}} .

Mit

l_{j} =^{def} \frac{tan^{−1}(kx_{j})}{k} für j = 1, 2

Version vom 21. November 2009

43Im Grenzfall des zylindrischen Rohres (x_{1} → +∞) ergibt sich daraus wieder die akustische Kettenmatrix von Übungsaufgabe 7 (mit L statt h).

gilt

cos(kL) ± \frac{sin(kL)}{kx_{j}} = ±\frac{sin (k(L ± l_{j}))}{sin(kl_{j})}

sowie

(1 + \frac{1}{kx_{1} kx_{2}} ) sin(kL) + (\frac{1}{kx_{2}} − \frac{1}{kx_{1}} ) cos(kL) = \frac{sin (k(L + l_{1} − l_{2}))}{sin(kl_{1}) sin(kl_{2})}

und somit gemäß (2.35)/(2.38):

X_{kĉ}(x_{1}) = \frac{⟨μ⟩ ĉ}{S(x_{1})} \frac{i\frac{sin(k(L−l_{2}))}{sin(kl_{2})}X_{kĉ}(x_{2}) − \frac{⟨μ⟩ĉ}{S(x_{2})} sin(kL)}{−\frac{sin(k(L+l_{1}−l_{2}))}{sin(kl_{1}) sin(kl_{2})}X_{kĉ}(x_{2}) − i\frac{⟨μ⟩ĉ}{S(x_{2})} \frac{sin(k(L+l_{1}))}{sin(kl_{1})}} .  (2.39)

Hieraus folgt \underline{für x_{1}, x_{2} > 0 :}

X_{kĉ}(x_{1}) = −i \frac{⟨μ⟩ ĉ}{S(x_{1})} \frac{sin (k(x_{2} − x_{1})) sin(kl_{1})}{sin (k(x_{2} − x_{1} + l_{1}))} für X_{kĉ}(x_{2}) = 0 .  (2.40)

Daraus erkennt man:

1. Die für X_{kĉ}(x_{1}) = X_{kĉ}(x_{2}) = 0 möglichen Wellenzahlen sind

k = n \frac{π}{x_{2} − x_{1}} , n ∈ ℤ ,

wie bei einem zylindrischen Rohr der Länge |x_{2} − x_{1}| (vgl. Übungsaufgabe 5).

2. Die für X_{kĉ}(x_{1}) = ∞ , X_{kĉ}(x_{2}) = 0 möglichen Wellenzahlen sind^{44}

k = \frac{nπ − tan^{−1}(kx_{1})}{x_{2} − x_{1}} , n ∈ ℤ

(für x_{2} < x_{1} ebenso wie für x_{2} > x_{1}).

Blasinstrumente mit konischer Bohrung überblasen deshalb in die Oktav. Wenn die Schwingungen am weiten Ende erregt werden, dann geschwindigkeitsgesteuert (geringe Eingangsimpedanz, wie bei der Barock-Blockflöte), wenn sie am (hinreichend kleinen) engeren Ende erregt werden, dann druckgesteuert^{45} (große Eingangsimpedanz, wie bei Oboe, Fagott und Saxophon).

Version vom 21. November 2009

44Da das konische Hornstück für x_{1} → ∞ in ein zylindrisches Rohrstück übergeht, ist das im Einklang mit der entsprechenden Aussage in Übungsaufgabe 5.

45Weil die Schallschnelle bei verschwindender Eingangsimpedanz im Grenzübergang zum (ungedämpften) vollständigen Horn (Eingangquerschnitt → 0) divergiert (wenn die stehende Welle bei diesem Grenzübergang nicht verschwindet) (Ayers et al., 1985, Fig. 4).

2.3.3 Spezielle akustische Komponenten

Eine akustische Kapazität^{46}

X_{ω} = −\frac{1}{iωC} , C > 0 ,

stellen wir graphisch detaillierter durch

X statt C

eine akustische Induktivität

X_{ω} = −iωI , I > 0 ,

durch

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}I  X statt

und eine akustische Resistanz

X_{ω} = R , R > 0 ,

durch

X statt R

dar. Z.B. gilt nach (2.10) für ein ideal schallhart abgeschlossenes zylindrisches Rohr mit dem Radius R und der Länge L ≪ 1/k

X_{ω}(0) ≈ −\frac{1}{iω \frac{L}{⟨μ⟩ĉ^{2}} πR^{2}} ,

es kann also näherungsweise als akustische Kapazität C = \frac{πR^{2}L}{⟨μ⟩ĉ^{2}} =_{(1.23)} ⟨κ⟩ πR^{2}L und

aufgrund dieses Wertes als Luftfeder mit dem Luftvolumen πR^{2}L vorstellen, die sich entsprechend der Kompressibilität ⟨κ⟩ auf den angreifenden Druck einstellt.^{47} Entsprechend folgt aus (2.11) für ein ideal offen^{48} ‘abgeschlossenes’ zylindrisches Rohr mit dem Radius R und der Länge L ≪ 1/k

X_{ω}(0) ≈ −iω \frac{⟨μ⟩ L}{πR^{2}} .

Man kann es sich also näherungsweise als akustische Induktivität I = \frac{⟨μ⟩L}{πR^{2}} und aufgrund dieses Wertes als starre Masse vorstellen, die sich im Sinne von Newton unter

Version vom 21. November 2009

46Man beachte, daß wir die periodische Zeitabhängigkeit durch e^{−iωt} statt e^{+iωt} beschreiben. 47Deshalb wird im Englischen auch die Bezeichnung compliance für akustische Kapazität ver-

wendet.

48Man beachte die Ausführungen zu effektiven Rohrlänge am Schluß von 2.1.2.

dem Einfluß der aus den Druckverhältnissen resultierenden Gesamtkraft bewegt.^{49} Eine akustische Resistanz läßt sich näherungsweise durch ein mit einem Glaswollpfropfen versehenes Rohrstück realisieren, bzw. als Parallelschaltung extrem dünner Rohre vorstellen, in denen die Luftbewegung bei gegebenem Druck i.w. nur durch die Viskosität bestimmt wird.

Übungsaufgabe 9 Man zeige, daß sich ein zylindrisches Rohr gemäß Übungsaufgabe 7 näherungsweise als akustische Vierpolkette der Form^{50}

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................  .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

auffassen läßt (in Analogie zu elektromagnetischen Hohlleitern), wobei die akustische Kapazität proportional zum Rohrquerschnitt, die akustische Induktivität dagegen umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt ist.

Entsprechend (2.38) gilt für die akustische Kettenmatrix eines ungedämpften konischen Horns mit (i.a. abgeschnittener) Spitze bei x = 0 für |(x_{2} − x_{1})k| ≪ 1

M̂_{kĉ}(x_{1}, x_{2}) ≈ ( \begin{matrix}1 & −ikĉ \frac{⟨μ⟩ L}{\sqrt{S(x_{1}) S(x_{2})}} \\ −ikĉ^{\frac{L \sqrt{S(x_{1}) S(x_{2})}}{⟨μ⟩ ĉ^{2}}} & 1 \end{matrix} ) ,

wobei ϑ den Neigungswinkel der Hornmeridiane gegen die Symmetrieachse bezeichnet. Deshalb läßt sich die akustische Kettenmatrix z.B. eines Trompetenmundstücks

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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49Deshalb wird im Englischen auch die Bezeichnung inertance für akustische Induktivität verwendet.

50Eigentlich müßte man zusätzlich eine (für nicht zu enge Rohre) geringfügige Resistanz in Serie mit der Induktivität und eine große Resistanz parallel zur Kapazität ‘schalten’ – entsprechend einer Ersetzung k ↦ k + iλ (λ > 0 , siehe 2.1.3) in den Ausdrücken für die Kettenmatrix-Elemente, wodurch sich deren Nullstellen in die untere komplexe Halbebene verschieben.

näherungsweise durch die Ersatzschaltung

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} C_{M}  I_{M}  R

darstellen, wobei^{51}

C_{M} = \frac{Mundstückvolumen}{⟨μ⟩ ĉ^{2}} , I_{M} = ⟨μ⟩ \frac{L}{\sqrt{S(x_{1}) S(x_{2})}} .

was (näherungsweise) die Änderung

Z_{in}(ω) ⟼ \frac{Z_{in}(ω) − iωI_{M} + R}{−iωC_{M}Z_{in}(ω) + 1} für |(x_{2} − x_{1})k| ≪ 1

der Eingangsimpedanz zur Folge hat.

Wenn man in die Seite eines Schallrohres mit der Kettenmatrix M̂_{alt}(x_{1}, x_{2}) bei x = x′ ein Tonloch einsetzt, dann geht die Kettenmatrix in

M̂_{neu}(x_{1}, x_{2}) = M̂_{alt}(x_{1}, x′)M̂_{Loch}M̂_{alt}(x′, x_{2}) .

über. Dabei entspricht M̂_{Loch} näherungsweise der Ersatzschaltung

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} X_{a}  X_{a} X_{s}

mit^{52}

X_{s} = \frac{⟨μ⟩ĉ}{πR^{2}} (\frac{R}{r})^{2} × \{ \begin{matrix}i cot(kl^{s}) & für das abgedeckte Tonloch , \\ −ikl_{o}^{s} & für das offene Tonloch , \end{matrix}
X_{a} = \frac{1}{2} \frac{⟨μ⟩ĉ}{πR^{2}} (\frac{R}{r})^{2} × \{ \begin{matrix}ikl^{a} & für das abgedeckte Tonloch , \\ ikl_{o}^{a} & für das offene Tonloch , \end{matrix}

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51Der Mundstücksstengel hat das Volumen \frac{2}{3}π(1 − cos ϑ)(x_{2}^{3} − x_{1}^{3}) ≈ L\sqrt{S(x_{1}) S(x_{2})} . Dem ist noch das Volumen des Mundstückkessels (je nach Lippenansatz) hinzuzufügen. Man beachte:

\frac{(x_{2}^{3} − x_{1}^{3}) − 3x_{1}x_{2}(x_{2} − x_{1})}{(x_{2}^{3} − x_{1}^{3})} = \frac{\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} − 2}{\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} + 1} ≪ 1 for L ≪ x_{1} .

52Zur ersten Orientierung siehe (Nederveen, 1969, Abschn. 15).

wobei R den Schallrohrradius bei x = x′ bezeichnet, r den Tonlochradius und l^{s}, l_{o}^{s}, l^{a}, l_{o}^{a} in (Keefe, 1982) genau angegebene (auch von R und r abhängige) Parameter^{53} sind.

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53Die Parameter l_{o}^{s}, l_{o}^{a} sind je nach Tonlochabdeckung unterschiedlich zu wählen.

Blasinstrumente

3.1 Druckgesteuerte Blasinstrumente

3.1.1 Vereinfachte Modelle der Schwingungsgeneratoren^{1}.

Wir stellen uns vor, daß sich am Eingang des Horns ein Schwingungsgenerator der in Abbildung 3.1) dargestellten Art befinde.

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Abb. 3.1: Vereinfachter Schwingungsgenerator für Holzblasinstrumente

Die ξ-Koordinate für die Ruhelage des Kolbens für P_{0} = P_{e} sei ξ_{0} < 0 . Für (nicht zu große) konstante^{2} Druckdifferenz P_{0} − P_{e} gilt dann in der Ruhelage^{3}

ξ ≈ ξ_{0} + λ (P_{0} − P_{e}) , λ =^{def} \frac{Kolbenfläche}{Federkonstante} ,

solange der Kolben den Horneingang noch nicht ganz verschließt und man die Wirkung der strömungsbedingten lokalen Druckänderungen vernachlässigen kann. Für 0 < P_{0} − P_{e} << P_{0} (und nicht zu großes −ξ_{0}) ist der Luftstrom in das Horn

J_{stat} ≈ −λ_{1}ξ\sqrt{P_{0} − P_{e}} ,  (3.1)

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1Siehe (Fletcher und Rossing, 1991, Chapter 13)

2Für P_{0} − P_{e} > 0 muß aufgrund nie ganz vermeidbarer Dämpfung ⟨P ⟩ am Horneingang einen höheren Wert haben, als am Hornausgang. Dann liegt im Horn, streng genommen die Überlagerung einer Schallschwingung mit einem konstanten (geringfügigen) Luftstrom vor.

3Die stationäre Situation läßt sich z.B. durch Ausfüllen des Horns mit Glaswolle erreichen (vgl. (Benade, 1976, Fig. 21.4)).

60 KAPITEL 3. BLASINSTRUMENTE

mit einer geeigneten Konstanten λ_{1} > 0 .

Begründung: Wenn nur Druck- und Trägheitskräfte wirken,^{4} gilt für die Bahnkurve x(t) eines ‘Flüssigkeitsteilchens’

−grad P (x(t), t) = μ(x(t), t) ẍ(t)

(siehe Ableitung von (A.12)), woraus nach Bildung des inneren Produktes mit ẋ(t) für stationäre Strömungen, also im Falle

P (x(t), t) = P (x(t)) , μ(x(t), t) = μ(x(t))

die Bernoulli-sche Gleichung

\frac{2 \frac{d}{dt}P (x(t))}{μ(x(t))} + \frac{d}{dt} ẋ(t)^{2} = 0

folgt. Wenn die Luft (lokal) einen adiabatischen Prozeß durchläuft, also P μ^{−γ} konstant ist (vgl. Abschnitt 1.4.1), ist die Bernoulli-sche Gleichung äquivalent zu^{5}

+\frac{2 γ P_{2}^{1/γ}}{(γ − 1) μ_{2}} (P_{2}^{1−1/γ} − P_{1}^{1−1/γ}) + |v_{2}|^{2} − |v_{1}|^{2} = 0 ,

wobei

P_{j} =^{def} P (x(t_{j})) , μ_{j} =^{def} μ(x(t_{j})) , v_{j} =^{def} ẋ(t_{j}) .

Mit

P_{2}^{1−1/γ} − P_{1}^{1−1/γ} ≈ (1 − 1/γ) P_{2}^{−1/γ} (P_{1} − P_{2})

und den Identifizierungen

P_{1}  = P_{0} ,
P_{2}  = P_{e} ,
v_{1} = 0 = Luftgeschwindigkeit vor dem Eingang zur Eintrittsöffnung ,
v_{2}  = Luftgeschwindigkeit an der Austrittsöffnung ,

folgt daraus die Behauptung, da die Fläche der Austrittsöffnung proportional zu −ξ ist .

Für P_{0} − P_{e} ∈ (0, −ξ_{0}/λ) ergeben beide Näherungen zusammen

J_{stat} ≈ J_{stat}^{H}(P_{0} − P_{e}) =^{def} −λ_{1} ξ_{0}(P_{0} − P_{e})^{1/2} − λ_{1} λ (P_{0} − P_{e})^{3/2} .  (3.2)

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4Viskosität bleibt hier also unberücksichtigt! 5Denn γ > 1 und

\frac{2 \frac{d}{dt}P (x(t))}{μ(x(t))} = \frac{2 γ P^{1/γ}(x(t))}{(γ − 1) μ_{2}} \frac{d}{dt}P^{1−1/γ}(x(t)) .

Als Funktion von P_{0} − P_{e} hat J_{stat} also etwa folgenden Verlauf:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{\frac{−ξ_{0}}{3λ}}  ^{\frac{−ξ_{0}}{λ}} J_{stat}^{H}  P_{0} − P_{e}

Für nahezu monochromatischen Schalldruck p(t) = P_{e}(t) − ⟨P ⟩ mit einer Frequenz weit unterhalb der Eigenfrequenz des Kolbens stimmt der zeitabhängige Fluß J(t) näherungsweise mit dem statischen überein:^{6}

J(t) ≈ J_{stat}(P_{0} − P_{e}(t)) (quasistationäre Näherung) .

Dann ist die Horn-Eingangsimpedanz näherungsweise^{7} durch

X_{lin}^{H} =^{def} (\frac{∂}{∂P} J_{stat}^{H} (P_{0} − P)_{P =⟨P ⟩})^{−1}  (3.3)

gegeben, also nur für P_{0} − P_{e} ∈ (\frac{−ξ_{0}}{3λ} , \frac{−ξ_{0}}{λ} ] positiv. Für höhere Frequenzen ist die rechte Seite von (3.3) noch mit einem Phasenfaktor e^{iψ} zu multiplizieren, weil sich die Kolbenauslenkung entsprechend verzögert auf den Druck einstellt. Dabei ist ψ ∈ (0, π/2) unterhalb der Kolben-Eigenfrequenz und ψ ∈ (π/2, π) oberhalb der Kolben-Eigenfrequenz. Da der Realteil der Eingangsimpedanz stets nichtnegativ ist (Passivität des Horns), ist unterhalb der Kolben-Eigenfrequenz^{8} nur dann Schwingungserregung möglich, wenn P_{0} − P_{e} ∈ (\frac{−ξ_{0}}{3λ} , \frac{−ξ_{0}}{λ} ) ist. Das zeigt auch, daß der Anblasüberdruck einen Mindestwert nicht unterschreiten darf, wenn eine entsprechende stationäre Schwingung möglich sein soll. Dieser Wert läßt sich allerdings durch Ausnutzung der (bis hierher vernachlässigten) Bernoulli-Kraft noch absenken.^{9}

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6Bei hinreichend kleiner Druckfrequenz stellen sich der Kolben und die einströmende Luft praktisch verzögerungsfrei auf den Druck ein und der vom Kolben direkt bewirkte Luftstrom kann vernachlässigt werden.

7Bei stärkeren Schalldruckschwankungen (stärkerer Anblasdruck bei gleichem ξ_{0}) ist die lineare Näherung nicht mehr gerechtfertigt. Dementsprechend treten die Oberschwingungen stärker in Erscheinung und führen u.U. (Überblasen) zu einer Änderung der Grundfrequenz.

8Die untersten Eigenfrequenzen der tatsächlich (anstelle des Kolbens) verwendeten Rohrblätter liegen wesentlich höher als die Grundfrequenzen der bei normalem Musizieren gewünschten Töne.

9Vgl. (Benade, 1976, Fig. 21.4).

Ein völlig anderes Bild ergibt sich für die in Abbildung 3.2 dargestellte Konfiguration.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 0 P ξ P_{0}

Abb. 3.2: Vereinfachter Schwingungsgenerator für Blechblasinstrumente

Hier wird das Ventil durch den Anblasdruck P_{0} geöffnet, statt geschlossen und statt (3.2) gilt nun

J_{stat} ≈ J_{stat}^{B}(P_{0} − P_{e}) =^{def} λ_{1}ξ_{0}(P_{0} − P_{e})^{1/2} + λ_{1}λ (P_{0} − P_{e})^{3/2} für P_{0} − P_{e} ≥ −ξ_{0}/λ .

(3.4)

mit ξ_{0} > 0 . Für positive Argumente hat J_{stat}^{B} etwa folgenden Verlauf:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{\frac{ξ_{0}}{3λ}}  ^{\frac{ξ_{0}}{λ}} J_{stat}^{B}  P_{0} − P_{e}

Die linear genäherte Horn-Eingangsimpedanz

X_{lin}^{B} =^{def} (\frac{∂}{∂P} J_{stat}^{B} (P_{0} − P)_{P =⟨P ⟩})^{−1}  (3.5)

für nahezu monochromatischen Schalldruck mit einer Frequenz weit unterhalb der Eigenfrequenz des Kolbens ist nun für P_{0} > P_{e} stets negativ. Ein Schwingungsgenerator gemäß Abbildung 3.2 kann daher für P_{0} > P_{e} an keinem Horn periodische Schwingungen in einem Frequenzbereich anregen, für den die quasistatische Näherung nicht zu schlecht ist. Ein solcher Schwingungsgenerator, der grob vereinfacht die Funktion der Lippen eines Blechbläsers beschreibt, kann aber – bei geeigneter Horngeometrie – in einem Bereich oberhalb seiner Eigenfrequenz Schwingungen anregen, weil dann die Phasenverschiebung der Kolbenposition gegenüber der Gesamtkraft zu einem positiven Realteil der Eingangsimpedanz führt.

3.1.2 Wirkliche Rohrblatt-Holzblasinstrumente^{10}

Eine realistischere Bewegungsgleichung für das Rohrblatt an einem Klarinettenmundstück (siehe Abbildung 3.3)

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; P; P_{0}; 0; ξ_{0}]

Abb. 3.3: Rohrblatt auf einem Klarinettenmundstück

ist nach (Schumacher, 1981)

m_{r} ξ̈(t) + ρ_{r} ξ̇(t) + D_{r} (ξ(t) − ξ_{0}) = P_{0}(t) − P (t) − \frac{1}{2} \frac{⟨μ⟩}{B} \frac{J(P_{0}(t) − P (t), ξ(t))^{2}}{ξ(t) tan θ S_{r}} ,

(3.6)

wobei die hier eingeführten Größen folgende Bedeutung haben:^{11}

ρ_{r} = Dämpfungs‘konstante’ des Blattes ,
D_{r} = Feder‘konstante’ des Blattes ,
m_{r} = effektive Blattmasse ,
B = Breite der Blattspitze ,
θ = Öffnungswinkel der Mundstückspitze (≈ 30^{∘}) ,
S_{r} = effektive Blattfläche .

Der letzte Term in (3.6) entspricht der Bernoulli-Kraft.

Anmerkungen:

• Die Dämpfung wird hauptsächlich durch die Lippen bestimmt, die das Blatt andrücken.

• Die niedrigste Eigenfrequen ist etwa 10- bis 20-mal so groß wie die Grundfrequenz des gespielten Tones.^{12} Deshalb ist der Wert der effektiven Blattmasse nicht so wesentlich (vgl. Übungsaufgabe 1).

• Die Federkonstante des feuchten Blattes ist nur etwa halb so groß wie die des trockenen Blattes, die Eigenfrequenz entsprechend niedriger.

• Die effektive Blattfläche verkleinert sich bei erhöhtem Lippendruck, weil das Blatt über eine größere Strecke fest auf die Bahn gedrückt wird. Sie schwankt zwischen 0, 2 B^{2} und 2 B^{2} , wobei B die Breite der Blattspitze (≈ 1, 4 cm) bezeichnet.

Version vom 21. November 2009

10Zur Entwicklung der Klarinette siehe (Restle und Fricke, 2004).

11Da auf der rechten Seite von (3.6) ein Druck statt einer Kraft steht, haben ρ_{r} , D_{r} und m_{r} natürlich andere physikalische Dimension als die entsprechenden Größen ρ , D und m in Übungsaufgabe 1.

12Man beachte in diesem Zusammenhang die Ausführungen zum Schluß von 1.3.2.

Der reelle Luftvolumenstrom

J = J_{f} + S_{r} ξ̇  (3.7)

setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, nämlich dem Strom J_{f} durch den Schlitz zwischen Blatt und Mundstück und dem mit der Blattschwingung verbundenen akustischen Fluß S_{r} ξ̇. Eine realistischere Version von (3.1) ist

J_{stat} ≈ λ_{1} |ξ|^{2/q} (P_{0} − P)^{1/q} für ξ < 0 ; q = 3/2 ,  (3.8)

also

P_{0} − P ≈ \frac{J_{stat}^{q}}{λ_{1}^{q} ξ^{2}} ,

mit einer experimentell (siehe (Backus, 1963)) bestimmten positiven Konstanten λ_{1} .

Erläuterung: Die Abweichung von (3.1) wird i.a. grob folgendermaßen erklärt:

1. Bei vorgegebenem P_{0} läßt sich |ξ| durch Ansatzänderung variieren. Dabei hängt aber die Fläche des seitlichen Teils der Eintrittsöffnung nichtlinear von |ξ| ab.

2. Bei vorgegebenem |ξ| ist die Fläche der Eintrittsöffnung eine monoton wachsende Funktion von P_{0} , weil der Lippendruck bei höherem P_{0} geringer sein muß und das Blatt deshalb nicht so weit auf der Bahn aufliegt.

Der erste Anteil von J genügt deshalb in guter Näherung der Gleichung

M_{e} J̇_{f} = P_{0} − P − \frac{J_{f}^{q}}{λ_{1}^{q} ξ^{2}} ,  (3.9)

wobei M_{e} = \frac{effektive Masse der Luft in der Eintrittsöffnung}{Eintrittsfläche^{2}}

die akustische Induktivität (akustische Masse) der Eintrittsöffnung bezeichnet, die Werte zwischen 3000 kg/m^{4} und 1000 kg/m^{4} annimmt, wenn der zeitliche Mittelwerte von −ξ zwischen 0.1 mm und 1 mm liegt.

Anmerkung: Die Anwendung der Betrachtungen von Anhang A.4 auf eine schmale Rechteckmembran anstelle der kreisförmigen Membran (Kolbenoberfläche) würde

H ≪ B ⟹ M_{e} ≈ \frac{⟨μ⟩}{B} (\frac{L}{H} + \frac{1}{π} (1 + 2 ln \frac{2B}{H} ))

für eine Röhre der Länge L mit rechteckigem Querschnitt der Seitenlängen B und H zeigen (vgl. (Sivian, 1935, Note II), (Backus, 1963, Gleichung (18)) und (2.8)).

Glücklicherweise scheint der Einfluß der akustischen Masse auf die Blattschwingung nicht wesentlich zu sein, so daß deren genaue Kenntnis nicht so wichtig ist.

Im Prinzip sollte es möglich sein, aus den Gleichungen (3.6), (3.7) und (3.9) (bei Kenntnis aller Kenngrößen) J(t) als Funktional von P_{0}(.) − P (.) zu bestimmen.

Die (nahezu) möglichen Schwingungen des Instruments zu vorgegeben Anblasdruck P_{0}(t) wären dann durch diejenigen Funktionen p(t) ˆ= P (t)−⟨P ⟩ charakterisiert, für die

\begin{aligned}p(t) & ≈ & \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ X_{ω} (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ J[P_{0} − P](t′) e^{iωt′} dt′) e^{−iωt}dω \\ & = & ∫ (\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ X_{ω} e^{−iω (t−t′)}dω) J[P_{0} − P](t′) dt′ \end{aligned}

gilt, wobei X_{ω} die frequenzabhängige Eingangsimpedanz der Bohrung (Horn) bezeichnet (vgl. (Schumacher, 1981)).

Anmerkung: Aus Kausalitätsgründen (vgl. Abschn. 3.1.2 von (Lücke, ftm) sollte die Greensche Funktion

G(t) =^{def} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫ X_{ω} e^{−iω t}dω

des Bohrungseingangs für negative t verschwinden.

Aufgrund der nichtlinearen Abhängigkeiten ist eine allgemeine Lösung kaum zu erarbeiten. Deshalb sei auch hier der Fall fastperiodischer Schwingung in linearer Näherung betrachtet, was natürlich nur bei sanftem Anblasen gerechtfertigt ist, aber doch schon charakteristische Aussagen für das Instrument liefert:

Zunächst vereinfachen wir (3.6), indem wir den Bernoulli-Term und (entsprechend Teil c) von Übungsaufgabe 1) m_{r} vernachlässigen. Mit den Definitionen

ξ̂_{0} =^{def} ξ_{0} + \frac{P_{0} − ⟨P ⟩}{D_{r}}  (3.10)

und

ξ_{osz} =^{def} ξ − ξ̂_{0}  (3.11)

ergibt sich dann für konstantes^{13} P_{0} > ⟨P ⟩

ρ_{r} ξ̇_{osz} + D_{r} ξ_{osz} ≈ −p .  (3.12)

Weiterhin definieren wir

J_{0} =^{def} J_{stat}(p_{0}) =_{(3.8)} λ_{1} |ξ̂_{0}|^{2/q} p_{0}^{1/q} , p_{0} =^{def} P_{0} − ⟨P ⟩  (3.13)

und

J_{osz} =^{def} J_{f} − J_{0}  (3.14)

sowie

J_{ak} =^{def} J − J_{0} =_{(3.7),(3.14)} J_{osz} + S_{r} ξ̇_{osz} .  (3.15)

Version vom 21. November 2009

13Die Schalldruckschwankungen von P_{0} ließen sich durch Addition der (relativ kleinen) akustischen Impedanz der Mundhöhle zu der des Bohrungseingangs berücksichtigen (siehe (Fletcher und Rossing, 1991, Abschn. 13.3)).

66 KAPITEL 3. BLASINSTRUMENTE Gemäß der Annahme

0 < J_{0} ≫ J_{osz} , 0 < −ξ̂_{0} ≫ −ξ_{osz}

(kleine Schwingungen) verwenden wir die (Taylor-) Näherungen

J_{f}^{q} ≈ J_{0}^{q} + q J_{0}^{q−1} J_{osz}

und

ξ^{−2} ≈ ξ̂_{0}^{−2} − 2 ξ̂_{0}^{−3} ξ_{osz} .

Setzt man diese Näherungen in (3.9) ein und berücksichtigt nur Terme erster Ordnung in J_{osz}, ξ_{osz} so erhält man

M_{e} J̇_{osz} ≈ p_{0} − p − \frac{1}{λ_{1}^{q} ξ̂_{0}^{2}} (J_{0}^{q} (1 − \frac{2 ξ_{osz}}{ξ̂_{0}} ) + q J_{0}^{q−1} J_{osz}) .  (3.16)

Mit (3.13), also

p_{0} ≈ \frac{J_{0}^{q}}{λ_{1}^{q} ξ̂_{0}^{2}} ,

und (3.15) ergibt sich daraus

p ≈ 2 p_{0} \frac{ξ_{osz}}{ξ̂_{0}} − q \frac{p_{0}}{J_{0}} (J_{ak} − S_{r} ξ̇_{osz}) − M_{e} (J̇_{ak} − S_{r} ξ̈_{osz}) .  (3.17)

Im fastmonochromatischen Falle p(t) ≈ P e^{−iωt} + \overline{P} e^{+iωt} , J_{ak}(t) ≈ J e^{−iωt} + \overline{J} e^{+iωt} , ξ_{osz}(t) ≈ A e^{−iωt} + \overline{A} e^{+iωt} vereinfachen sich (3.12) und (3.17) zu

A ≈ \frac{P}{iωρ_{r} − D_{r}}

und

P ≈ 2 p_{0} \frac{A}{ξ̂_{0}} − (q \frac{p_{0}}{J_{0}} − iωM_{e}) (J + iω S_{r} A) .

Einsetzen des Ausdrucks für A in die letzte Gleichung und Division durch P liefert schließlich für die Bohrungs-Eingangsimpedanz X_{ω} =^{def} P/J :

Y_{ω} =^{def} (χ_{ω})^{−1} ≈ \frac{2 p_{0}/ξ̂_{0} − (iωρ_{r} − D_{r})}{(iωρ_{r} − D_{r}) (q p_{0}/J_{0} − iωM_{e})} − \frac{iω S_{r}}{iωρ_{r} − D_{r}}
= \frac{\frac{2p_{0}}{−ξ̂_{0} D_{r}} − (1 − i\frac{ωρ_{r}}{D_{r}} )}{(1 − i\frac{ωρ_{r}}{D_{r}} ) (1 − i\frac{ωM_{e}J_{0}}{qp_{0}} )} \frac{J_{0}}{qp_{0}} + i\frac{ωS_{r}}{(1 − i\frac{ωρ_{r}}{D_{r}} ) D_{r}} , (3.18)

Größe:  ω  M_{e} J_{0}  p_{0}  S_{r}  1/D_{r}  ℜ (Y_{ω}) ; SI-Maßzahl: 1000 2000 10^{−4} 2000 \frac{1}{2} × 10^{−4} 4 × 10^{−8} 18 × 10^{−9}

Tabelle 3.1: Typische Werte für die Klarinette nach (Nederveen, 1969, S. 33)

vorausgesetzt natürlich, daß die monochromatische Schwingung tatsächlich (näherungsweise) möglich ist.

Für realistische Werte (siehe Tabelle 3.1) gilt

\frac{ωM_{e}J_{0}}{qp_{0}} < 1/10 , \frac{ωρ_{r}}{D_{r}} < 3/10 .

und damit

ℜ (Y_{ω}) ≈ (\frac{2 p_{0}}{−ξ̂_{0} D_{r}} − 1) \frac{J_{0}}{q p_{0}}  (3.19)

sowie^{14}

ℑ (Y_{ω}) ≈ ℜ (Y_{ω}) (\frac{ωρ_{r}}{D_{r}} (1 + \frac{1}{\frac{2 p_{0}}{−ξ̂_{0} D_{r}} − 1}) + \frac{ωM_{e}J_{0}}{qp_{0}} ) + \frac{ωS_{r}}{D_{r}}

=_{(3.10)} ℜ (Y_{ω}) (\frac{ωρ_{r}}{D_{r}} \frac{ξ̂_{0} − ξ_{0}}{ξ̂_{0} − \frac{3}{2}ξ_{0}} + \frac{ωM_{e}J_{0}}{qp_{0}} ) + \frac{ωS_{r}}{D_{r}} .  (3.20)

Da der Realteil von der akustischen Eingangs-Leitfähigkeit Y_{ω} positiv sein muß, folgt aus (3.19) die Bedingung

\frac{2p_{0}}{D_{r}} > −ξ̂_{0} =_{(3.10)} −ξ_{0} − \frac{p_{0}}{D_{r}} ,

also

p_{0} > −\frac{ξ_{0}D_{r}}{3} .

Wiederum mit (3.10) folgt daraus

−ξ̂_{0} < −\frac{2}{3}ξ_{0} .

Die mittlere Auslenkung der Blattspitze muß also größer −ξ_{0}/3 sein.

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14Für realistische Werte folgt aus (3.19) und (3.20):

0 < ℑ (Y_{ω}) < ℜ (Y_{ω}) .

Aus (3.10), (3.13) und (3.19) folgt

\begin{aligned}ℜ (Y_{ω}) & ≈ & (\frac{2(ξ̂_{0} − ξ_{0})}{−ξ̂_{0}} − 1) \frac{λ_{1}}{q} |ξ̂_{0}|^{\frac{2}{q}} D_{r}^{\frac{1}{q} −1} |ξ̂_{0} − ξ_{0}|^{\frac{1}{q} −1} \\ & = & (3ξ̂_{0} − 2ξ_{0}) \frac{λ_{1}}{q} |ξ̂_{0}|^{\frac{2}{q} −1} D_{r}^{\frac{1}{q} −1} |ξ_{0}|^{\frac{1}{q} −1} |1 − \frac{ξ̂_{0}}{ξ_{0}} |^{\frac{1}{q} −1} \end{aligned}

und somit

ℜ (Y_{ω}) ≈ \frac{2λ_{1}}{q} D_{r}^{\frac{1}{q} −1} |ξ_{0}|^{\frac{3}{q} −1} w_{q}(ξ̂_{0}/ξ_{0}) ,  (3.21)

wobei

w_{q}(ξ̂_{0}/ξ_{0}) =^{def} (1 − \frac{3}{2} \frac{ξ̂_{0}}{ξ_{0}} ) |\frac{ξ̂_{0}}{ξ_{0}} |^{\frac{2}{q} −1} |1 − \frac{ξ̂_{0}}{ξ_{0}} |^{\frac{1}{q} −1} .

Die Ableitung der Funktion

ln (w_{3/2}(x)) = ln(1 − \frac{3}{2}x) − \frac{1}{3} ln (\frac{1}{x} − 1)

verschwindet über dem Intervall [0, 2/3] nur an der Stelle x = (2 − \sqrt{2})/3 an. Das gleiche gilt folglich für die Funktion w_{3/2}(x) selbst und somit:

sup_{x∈[0,2/3]} w_{3/2}(x) = w_{3/2} (\frac{2 − \sqrt{2}}{3}) ≈ 0, 441 .

Da |ξ_{0}| für die Klarinette maximal nur etwa 1 mm sein kann und die SI-Maßzahl von λ_{1} (nach (Nederveen, 1969, S. 34)) etwa 0,3 ist, folgt damit aus (3.21) (und 1/D_{r} ≈ 4 × 10^{−8} entsprechend Tabelle 3.1) in etwa

0 < ℜ (Y_{ω}) < 0, 62 × 10^{−6} × SI-Einheit .

Die obere Schranke entspricht etwa dem Kehrwert des (in Übungsaufgabe 8 eingeführten) Wellenwiderstandes \frac{πR^{2}}{⟨μ⟩ĉ} (R ≈ 7, 5 mm), ist also außerordentlich klein. Trotzdem beträgt sie etwa das 50-fache des tatsächlichen Realteils der akustischen Eingangsleitfähigkeit.^{15}

Um überhaupt einen leisen Ton zu produzieren, paßt der Bläser ℜ (Y_{ω}) den tatsächlichen Gegebenheiten an, indem er durch seinen Lippenansatz und -druck ξ_{0} (und den genauen Wert von D_{r}) festlegt und den Anblasdruck P_{0} so weit ansteigen läßt, daß |ξ_{0}|^{\frac{3}{q} −1} w_{q}(ξ̂_{0}/ξ_{0}) den entsprechenden Wert erreicht. Die Frequenz der erzeugten fastmonochromatischen Schwingung entspricht grob derjenigen, für die (bei der gewählten Griffweise) der Betrag der Eingangsimpedanz maximal ist. Zur Feinabstimmung der Tonhöhe muß dann noch ℑ (Y_{ω}) passend eingerichtet werden (siehe (Nederveen, 1969, S. 34/35)).

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15Der entsprechend große Realteil (beachte Fußnote 14) der Eingangsimpedanz für die Resonanzfrequenzen entsteht, wie in 2.1.3 erläutert, durch die unvermeidliche, wenn auch geringfügige, Dämpfung aus der sonst rein imaginären Impendanz.

Typisch für Holzblasinstrumente sind

1. Ein Anblas‘ventil’ (Einfach- oder Doppelrohrblatt), dessen Öffnung durch den Anblasüberdruck verringert wird.

2. Starke Rückwirkung der schwingenden Luftsäule auf den Schwingungserreger.

3. Verwendung vieler Tonlöcher zur Erzeugung einer Tonleiter.^{16}.

Sie haben – mit Ausnahme der modernen Flöte und des Saxophons – eine lange Evolution hinter sich und sind daher nicht nach einem vollständigen logischen Plan konstruiert.

Die Kraft auf das Blatt setzt sich aus folgenden Anteilen zusammen:

1. Lippen- und Auflagekraft.

2. Anblas-Überdruck

3. Strahlungsreaktionskraft (Z·Schnelle) auf beiden Blattseiten.

4. Bernoulli-Kraft.

Das Rohrblatt hat u.a. folgende Einflüsse auf die Resonanz-Frequenzen:

1. Die Resonanzfrequenzen werden abgesenkt und liegen grundsätzlich unterhalb der Eigenfrequenz des frei (ohne Mundstückhohlraum) schwingenden Rohrblatts.

2. Eine Änderung der Eigenfrequenz (durch Änderung des Lippendrucks entsprechend der Bahnkrümmung) beeinflußt die Resonanzfrequenzen, die weit unterhalb der Eigenfrequenz des Rohrblatts liegen, nahezu gleichartig. Der Einfluß auf die höheren Frequenzen (z.B. ‘kurze Töne’) ist größer.

3. Die Dämpfung durch die Lippen reduziert die oben beschriebenen Einflüsse.

Die Klarinette ist das am besten berechnete Instrument. Die Blattbewegung wird durch eine Integro-Differentialgleichung beschrieben, die analytisch kaum zu beherrschen ist, aber auf dem Computer numerisch berechnet wurde(Schumacher, 1981). Die Ergebnisse zeigten gute Übereinstimmung mit tatsächlichen Meßdaten.

Plitnik und Strong (1979) (Zitate siehe (Fletcher und Rossing, 1991, S. 425)) haben die Ersatzschaltung für die Oboe mit der gemessenen Strahlungsimpedanz

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16Im Gegensatz zur Orgel, die für jeden Ton eine andere Pfeife verwendet. Allerdings sind z.B. auch Kornett und Serpent Tonlöcher vorhanden.

und den Daten von Keefe (1982a) für die Tonlöcher durchgerechnet und ziemlich genaue Übereinstimmung mit den tatsächlichen akustischen Eigenschaften der zur Berechnung vermessenen Oboe gefunden (Fletcher und Rossing, 1991, S. 404, 3. Absatz).

• Aus der Webster-Gleichung (insbesondere in der Form (2.22)) erkennt man leicht, daß benachbarte Schwingungsmaxima und Schwingungsminima i.a. nur bei konstanter Hornfunktion alle gleiche Abstände haben.

• Als Register bezeichnet man den Tonbereich, der zwischen zwei Schwingungsmoden liegt (Duodezim bei zylindrischer Bohrung, Oktav bei konischer Bohrung). Benutzt werden i.d. Regel nur tiefes, mittleres und hohes Register.

• Damit Zwischentöne durch Öffnen geeigneter Tonlöcher erzielt werden, muß die Abschneidefrequenz durch die offenen Löcher entsprechend erhöht werden, was natürlich nur für die untersten Register möglich ist.

• Bei den ‘kurzen’ Tönen entweicht Schallenergie durch mehr Tonlöcher, die Schallreflexion in der Röhre und damit die Resonanz ist also geringer. Die ‘langen’ Töne (diejenigen mit vielen abgedeckten Tonlöchern) klingen deshalb besser und sind daher i.d. Regel stabiler.

• Die Bahnkrümmung des Klarinettenmundstücks bestimmt die Art der Nichtlinearität der Blattschwingung,^{17} die wichtig ist, um durch Rückkopplung mit dem Schallrohr und der Mundhöhle jeweils (abhängig vom Luft- und Ansatzdruck, evtl. auch vom Sitz der Blattklammer) die richtige Grundfrequenz zu stabilisieren (vgl. Benade, S. 259).

Die einfachste Messung der Eingangsimpedanz benutzt zwei versetzte Mikrophone, zur näherungsweisen Bestimmung des Schallgradienten und damit der Schnelle, und eine Eingangsschallquelle.

Als Referenzebene für die Eingangsimpedanz der Klarinette benutzt man meist die Stelle, an der das Mundstück aufgesetzt wird. Backus (1974) bezog sich allerdings auf die Blattfläche.

Die Form der Mundstückspitze hat einen großen Einfluß auf die Bernoulli-Kraft und damit auf die Lautstärke des Instruments. Das nutzten die alten Jazz-

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17Der genaue Zeitablauf der Schwingung gegebener Periode bestimmt die Amplitudenverhältnisse der Oberschwingungen. Vorsicht: Die Grundfrequenz der natürlichen Blattschwingung ist wohl schon höher als die gewünschten Töne?

Musiker aus, ihren Instrumenten eine ohrenbetäubende Lautstärke zu verleihen, indem sie Kaugummi geschickt in der Mundstückspitze anbrachten.

Bei Harmonium, Mundorgel und Akkordeon werden die schwingenden Blätter durch den Anblasdruck geöffnet, statt geschlossen (man kann sie auch durch Ansaugen zum Schwingen bringen).

Bei Einzel- oder Doppelrohrblättern wird die Frequenz druckgesteuert, deshalb sind die Druckschwankungen am Mundstück maximal, was in etwa dem ideal schallharten Abschluß entspricht. Ein Luftblatt (bei der Flöte) gleicht dagegen jede Druckschwankung durch Ausweichbewegung aus, so daß am Mundstück die Geschwindigkeitsschwankungen maximal sind, was in etwa der Bedingung idealer Offenheit entspricht.

Wegen der Tonlöcher — deren Öffnen eine effektive Verkürzung des Schallkörpers bewirkt — sollte die Form bei Kürzung und entsprechender Reskalierung wieder in sich übergehen. Das zeichnet die Bessel-Hörner mit x ∈ [0, L] aus, von denen die Röhre und das konische Horn (mit Spitze bei x = 0) wegen der harmonischen Anordnung der Resonanzfrequenzen bevorzugt sind.

Tiefer klingende konische Blasinstrumente werden in der Regel ‘gefaltet’, damit die Tonlöcher in die Nähe der Finger gelangen.^{18}

Die Theorie der Tief- und Hochpaßfilter (die auch bei Schalldämpfern Verwendung finden, vgl. (Skudrzyk, 1954, S. 352)) macht folgendes verständlich:

Abgesehen von Querflöte und Saxophon haben die Tonlöcher einen charakteristischen Einfluß auf den Klangcharakter eines Instruments.^{19} Geschlossene Tonlochreihen unterdrücken hohe Frequenzen, und prägen dadurch besonders den Klang der Oboe. Offene Tonlochreihen sondern dagegen die tieferen Töne aus und strahlen die hohen Frequenzen mit enger Richtungscharakteristik aus.^{20} Zur Angleichung des Klangcharakters der ‘langen’ Töne ist deshalb ein Schallbecher geeigneter Form nötig.

Für die Anordnung der Tonlöcher ist folgende Regel von Lord Rayleigh zu beachten:

Das Verhältnis des Volumens eines geschlossenen Tonlochs zum Volumen des Bohrungsteil zwischen den Nachbarlöchern muß für alle Tonlöcher gleich sein.

Deshalb werden die Tonlöcher zum Schallbecher hin größer.^{21}

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18Bzgl. der gekrümmten Bohrungsteile siehe (Nederveen, 1969, Abschn. 37).

19Eine Klarinette ohne Bohrlöcher hätte einen dumpfen, unspezifischen Klang.

20Bei Flöte und Saxophon werden die Frequenzen so abgestrahlt, als kämen sie alle i.w. aus einem einzigen Tonloch.

21Die Querflöte bildet auch hier wieder eine Ausnahme.

3.1.3 Blechblasinstrumente

Typisch für Blechblasinstrument sind

1. Ein Anblas‘ventil’ (gebildet durch die Lippen des Bläsers), dessen Öffnung durch den Anblasüberdruck vergrößert wird.

2. Geringe Rückwirkung der schwingenden Luftsäule auf den Erregungsmechanismus (die Lippen des Bläsers).

3. Die Verwendung von Ventilen anstelle von Tonlöchern, um die effektive Rohrlänge – durch Hinzu- oder Abschalten von Rohrstücken – zur Erzeugung von Zwischentönen zu variieren.

Die Lippen bilden auch einen dehnbaren Abschluß des Mundstück-Kessels. Die Luftmasse des Schallkörpers hat nur geringe Rückwirkung auf die große Lippenmasse. Daher müssen bei Blechblasinstrumenten die ersten Impedanz-Maxima durch spezielle Mundstückform verstärkt werden.

Hornisten variieren die Form des Schallbechers bewußt durch Stopfhand. Trompeter benutzen spezielle Schalldämpfer.

Das Schallrohr einer Trompete ist etwa 140 cm lang.

Bzgl. Impedanzmessungen siehe Benade, Sp. d. Wiss.

3.2 Flöten und Flöten-Orgelpfeifen

Für Orgelpfeifen werden auch quadratische Querschnitte verwendet. Dabei ist jedoch auf hinreichende Wandstärke zu achten, um Klangbeeinträchtigung zur Wandschwingungen zu vermeiden. Bei ausreichender Steife und Glätte, hat die Art des Wandmaterials keinen Einfluß auf die akustischen Eigenschaften.^{22}

Zur Theorie der Tonerzeugung siehe (Schlosser, 1979).

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22Vgl. (Benade, 1976, Abschn. 22.7).

Anhang A

A.1 Die schnelle Fourier-Transformation (FFT)

Mit Δ_{T} (t) sei jeweils die Abtastfunktion

Δ_{T} (t) =^{def} ∑_{ν∈ℤ}δ(t − ν T) ∀ t ∈ ℝ  (A.1)

zur Periode T > 0 bezeichnet, deren Fourier-Transformierte

Δ̃_{T} (ω) = \frac{\sqrt{2π}}{T} ∑_{μ∈ℤ}δ(ω − μ \frac{2π}{T} ) ∀ ω ∈ ℝ .  (A.2)

ist.

Beweisskizze:^{1} Aus (1.4) und Regel (F5) für die Fourier-Transformation folgt^{2}

Δ̃_{T} (ω) =_{(1.4)(F5)} \frac{1}{\sqrt{2π}} lim_{n→+∞} ∑_{ν=−n}^{+n} (e^{+i ω T} )^{ν} ,

und damit auch

Δ̃_{T} (ω) = Δ̃_{T} (ω − \frac{2π}{T} ) ∀ ω ∈ ℝ .

Mit

∑_{ν=−n}^{+n} (e^{+i ω T} )^{ν}  =  e^{−i n ω T} \frac{1 − e^{+i (2 n+1) ω T}}{1 − e^{+i ω T}}

=  \frac{sin((n + 1/2) ω T )}{ω} \frac{ω}{sin(ω T/2)}
⟶_{n→+∞} \frac{2}{T} π δ(ω) für ω ∈ J̃_{T} =^{def} (−\frac{π}{T} , +\frac{π}{T} )

folgt daraus (A.2).

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1Ein exakter distributionstheoretischer Beweis von (A.2) ist z.B. in (Lighthill, 1966, Satz26) angegeben.

2Die Konvergenz ist im distributionstheoretischen Sinne zu verstehen.

Sei f(t) eine hinreichend gutartige periodische Funktion mit der Periode T_{0} :

f(t) = f(t − T_{0}) ∀ t ∈ ℝ .  (A.3)

Für die konkrete Darstellung ihres Graphen (z.B. auf dem Computer-Bildschirm) genügt dann die Kenntnis ihrer Abtastung^{3}

f_{N}(t)  =^{def}  Δ_{\frac{T_{0}}{N}} (t) f(t)  (A.4)

=_{(A.1),(A.3)} ∑_{j=0}^{N−1} f(j \frac{T_{0}}{N} ) ∑_{ν∈ℤ}δ(t − (j + ν N) \frac{T_{0}}{N} )  (A.5)

für hinreichend großes N ∈ ℕ. f_{N}(t) hat natürlich ebenfalls die Periode T_{0} und läßt sich dementsprechend in eine Fourier-Reihe entwickeln:

f_{N}(t) = \frac{1}{\sqrt{T_{0}}} ∑_{k∈ℤ} ĉ_{k}(f_{N}) e^{−i ν \frac{2π}{T_{0}} t} ,

ĉ_{k}(f_{N}) =_{(1.2)} \frac{1}{\sqrt{T_{0}}} lim_{ϵ→+0} ∫_{−ϵ}^{T_{0}−ϵ} f_{N}(t) e^{+i k \frac{2π}{T_{0}} t} dt  (A.6)

=_{(A.5)} \frac{1}{\sqrt{T_{0}}} ∑_{j=0}^{N−1} f(j \frac{T_{0}}{N} ) e^{i k \frac{2π}{N} j} .  (A.7)

Diese Fourier-Reihe ist offensichtlich durch die N Abtastwerte x_{0}, …, x_{N−1} festgelegt, wobei

x_{j} =^{def} f(j \frac{T_{0}}{N} ) =_{(A.3)} x_{j−N} ∀ j ∈ ℤ .  (A.8)

Die Abbildung^{4}

\{x_{j}\}_{j∈ℤ_{N}} ⟼ \{x̃_{k} =^{def} \frac{1}{\sqrt{N}} ∑_{j=0}^{N−1} x_{j} e^{i k \frac{2π}{N} j}\}_{k∈ℤ_{N}}  (A.9)

bezeichnet man als diskrete Fourier-Transformation.

Anmerkung: Die Umkehrung von (A.9) ist gemäß

∑_{k=0}^{N−1} e^{ik \frac{2π}{N} m} = \frac{1 − e^{i 2π m}}{1 − e^{i \frac{2π}{N} m}} = 0 ∀ m ∈ \{1, …, N − 1\}

Version vom 21. November 2009

3An den Singularitätsstellen ν T_{0}/N von f_{N}(t) wähle man als Ordinate des Graphen jeweils die ‘Stärke’ f(ν T_{0}/N) der entsprechenden δ-Singularität.

4Wir verwenden hier die übliche Schreibweise ℤ_{N} =^{def} {0, …, N − 1}.

A.1. DIE SCHNELLE FOURIER-TRANSFORMATION (FFT) 75

durch

\left\{{ \atop x_{k}}\right\}_{k∈ℤ_{N}} ⟼ \{x_{j} = \frac{1}{\sqrt{N}} ∑_{k=0}^{N−1} x̃_{k} e^{−i k \frac{2π}{N} j}\}_{j∈ℤ_{N}} .

gegeben (vgl. Abschnitt 2.2.2 von (Lücke, qip)).

Mit (A.8) und (A.9) gilt also

\begin{aligned}x̃_{k} & =_{(A.7)} & \sqrt{\frac{T_{0}}{N}} ĉ_{k}(f_{N}) \\ & =_{(A.6)} & \sqrt{\frac{2π}{N}} lim_{ϵ→+0} \frac{1}{\sqrt{2π}} (∫ (χ_{[−ϵ,T_{0}−ϵ]}(t) f_{N}(t)) e^{i ω t})_{ω=k \frac{2π}{T_{0}}} \end{aligned}

und somit unter Beachtung von (A.4)

x̃_{k} = \sqrt{\frac{2π}{N}} f̃_{N,0}(k \frac{2π}{T_{0}} ) = x̃_{k+N}

für

f_{N,0}(t) =^{def} lim_{ϵ→+0} Δ_{\frac{T_{0}}{N}} (t) χ_{[−ϵ,T_{0}−ϵ]}(t) f(t) .

Dabei beachte man, daß

f̃_{N,0}(ω) ≈ \frac{N}{T_{0}} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{T_{0}} f(t) e^{+i ω t} dt ∀ ω ∈ (−\frac{πN}{T_{0}} , +\frac{πN}{T_{0}} )

gilt, wenn man N groß genug wählt.

Beweisskizze: Aus Regel (F10) folgt

f̃_{N,0}(ω) = \frac{1}{\sqrt{2π}} lim_{ϵ→+0} ∫ Δ̃_{\frac{T_{0}}{N}} (ω′) g̃_{ϵ}(ω − ω′) dω′

mit

g_{ϵ}(t) =^{def} χ_{[−ϵ,T_{0}−ϵ]}(t) f(t)

und daraus mit (A.2)

\begin{aligned}f̃_{N,0}(ω) & = & lim_{ϵ→+0} \frac{N}{T_{0}} ∑_{μ∈ℤ} g̃_{ϵ}(ω − μ 2π \frac{N}{T_{0}} ) \\ & ≈ & \frac{N}{T_{0}} g̃_{0}(ω) ∀ ω ∈ (−\frac{πN}{T_{0}} , +\frac{πN}{T_{0}} ) , \end{aligned}

wenn man N hinreichend groß wählt.

Daraus ergibt sich folgendes Verfahren, für die konkrete (approximative) graphische Darstellung des Fourier-Spektrums einer (hinreichend gutartigen) Funktion g(t) (ˆ= χ_{[0,T_{0}]}(t) f(t)), die nur im Intervall [0, T_{0}] von Null verschieden ist:

1. Man wähle N ∈ 2ℕ groß genug und bestimme die

x_{j} = g(j \frac{T_{0}}{N} ) für j = 0, …, , N − 1 .

2. Man berechne dazu die diskrete Fourier-Transformation (A.9) und wähle an der Stelle k \frac{π}{T_{0}} (für k = −N/2, …, +N/2) jeweils

\frac{T_{0}}{\sqrt{2πN}} x̃_{k} als Ordinate.

Die x̃_{k} direkt anhand ihrer Definition aus den x_{j} zuberechenn, würde für große N zu lange dauern. Deshalb bringt man die diskrete Fourier-Transformation in eine äquivalente Form, die als schnelle Fourier-Transformation (FFT für ”fast Fourier transform“) bezeichnet wird. Diesbezüglich sei auf (Nussbaumer, 1982, Abschnitt 4.2) und Abschn. 2.2.2 von (Lücke, qip) verwiesen.^{5}

A.2 Ableitung der Schallwellengleichung

Wir betrachten das Schwingungsmedium (auch wenn es sich hier meist um Luft handelt) als einen ideal elastischen Körper, dessen Körperpunkte \underline{P} im Gleichgewichtszustand die karthesischen Koordinaten q (\underline{P}) haben.^{6} Die entsprechenden Koordinaten im zur Zeit t vorliegenden deformierten Zustand seien

x (\underline{P} , t) = q (\underline{P}) + d(\underline{P} , t) ,  (A.10)

wobei d(\underline{P} , t) den sog. Verschiebungsvektor des Körperpunktes \underline{P} zur Zeit t bezeichnet.

Wir beschreiben die Verhältnisse des deformierten Zustandes gemäß Lagrange mithilfe der Ortskoordinaten q der Körperpunkte im Gleichgewicht.^{7} Dementspre-

Version vom 21. November 2009

5Siehe auch (Brigham, 1992, Kapitel 10) und (Brigham, 1997).

6Wir schreiben q statt x oder y , weil die Komponenten von q für den deformierten Körper i.a. krummlinige Koordinaten darstellen.

7Gemäß Euler beschreibt man dagegen die Verhältnisse des deformierten Zustand mithilfe der tatsächlichen Ortskoordinaten x .

chend schreiben wir auch

d(q, t) = d(\underline{P} , t) für q = q (\underline{P}) .  (A.11)

Dabei interessieren wir uns allerdings nur für solche zeitabhängigen Deformationen (kleinen Schwingungen um die Gleichgewichtslage), für die

x (\underline{P} , t) ≈ q (\underline{P})

gilt, was natürlich z.B. nicht heißen muß, daß auch jeweils die Geschwindigkeit \frac{∂}{∂t} d(q, t) (des Körperpunktes mit dem Gleichgewichts-Ortsvektor q) klein ist.

Vereinbarung: Wir betrachten nur solche Medien (wie ideale Flüssigkeiten und Gase) für die Scherkräfte^{8} und (abgesehen von Trägkeitskräften) Volumenkräfte vernachlässigt werden können.^{9} Auch Viskositätskräfte werden, sofern nicht ausdrücklich anders gesagt, stets vernachlässigt.

Für den Druck P und die Massendichte μ sei die Eulersche Beschreibung verwendet:

P (x, t) =^{def} \{ \begin{matrix}Druck im deformierten Körper \\ an der Stelle x zur Zeit t , \end{matrix}
μ(x, t) =^{def} \{ \begin{matrix}Massendichte im deformierten Körper \\ an der Stelle x zur Zeit t , \end{matrix}

dann gilt nach Newton für jeden Vektor e und für jedes Gebiet G des deformierten Körpers^{10}

− ∫_{∂G} P (x′, t) e · dS_{x′} = ∫_{G} μ(x′, t) (e · d̈ (q, t))_{|_{q=q (x′,t)}} dV_{x′} .

Dividiert man durch das Volumen |G| von G und zieht G um den beliebigen Punkt x zusammen, so erhält man

−div(P (x, t) e) = μ(x, t) (e · d̈ (q, t))_{|_{q=q (x,t)}} ,

Version vom 21. November 2009

8Bzgl. beliebig großer Deformationen mit auftretenden Scher- und Volumenkräften siehe (Lücke, 1977).

9Insbesondere beschränken wir uns also auf solche Bereiche in denen die Schwerkraft keine wesentlichen Druckänderungen bewirkt.

10Wir verwenden die Schreibweise

ḋ(q, t) =^{def} \frac{∂}{∂t} d(q, t) , d̈(q, t) =^{def} (\frac{∂}{∂t})^{2} d(q, t) .

also

−grad P (x, t) = μ(x, t) d̈(q, t)_{|_{q=q (x,t)}}

und somit in brauchbarer Näherung

−grad P (x, t) = ⟨μ⟩ d̈(x, t)  (A.12)

wobei ⟨μ⟩ die Massendichte im (globalen) Gleichgewichtszustand bezeichnet. Wir nehmen an, daß die zeitabhängige Zustandsänderung lokal stets einem quasistationären thermodynamischen Prozeß bestimmten Typs (z.B. adiabatisch oder isotherm) entspricht, für den die Massendichte allein vom (lokalen) Druck abhängt:

μ(x, t) = μ(P (x, t)) .

Für die zugehörige Kompressibilität^{11}

κ(P) =^{def} −μ(P) \frac{d}{dP} \frac{1}{μ(P)}  (A.13)

gilt dann an der Stelle x des deformierten Körpers:

κ(P (x, t))\frac{∂}{∂t} P (x, t) = −μ(x, t) \frac{∂}{∂t} \frac{1}{μ(x, t)} .

Für ‘kleine’ Schwingungen um die Gleichgewichtslage und ‘nahezu’ konstante Kompressibilität folgt daraus in brauchbarer Näherung Näherung

⟨κ⟩ \frac{∂}{∂t} P (x, t) = −∇_{x} · ḋ(x, t) .  (A.14)

wobei ⟨κ⟩ die entsprechende Kompressibilität im Gleichgewichtszustand bezeichnet.

κ_{S} =^{def} \frac{−1}{V} (\frac{∂}{∂P} V )_{|_{S}}

Begründung: Für die Massendichte gilt definitionsgemäß

\frac{1}{μ(x, t)} = lim_{ϵ→+0} \frac{|G_{ϵ}|}{Gesamtmasse innerhalb G_{ϵ}} für hinreichend gutartige Gebiete G, die sich für ϵ → 0 um x zusammenziehen, und

Version vom 21. November 2009 11Die Definition (A.13) entspricht z.B. der Definition für die adiabatische Kompressibilität eines geschlossenen thermodynamischen Systems, dessen Gleichgewichtszustände durch den Druck P und die Entropie S eindeutig charakterisiert sind.

somit:

\frac{1}{μ(x, t)} = lim_{ϵ→+0} \frac{∫_{G_{ϵ}} dV_{x}}{⟨μ⟩ ∫_{x (q,t)∈G_{ϵ}} dV_{q}}

= lim_{ϵ→+0} \frac{∫_{x (q,t)∈G_{ϵ}} |det ( \frac{∂x^{j}(q,t)}{∂q^{k}} )| dV_{q}}{⟨μ⟩ ∫_{x (q,t)∈G_{ϵ}} dV_{q}}
= \frac{1}{⟨μ⟩} |det ( \frac{∂x^{j}(q,t)}{∂q^{k}} )|

= \frac{1}{⟨μ⟩} det ( δ_{k}^{j} + \frac{∂d^{j}(q,t)}{∂q^{k}} ) für \frac{∂d^{j}}{∂q^{k}} ≪ 1
≈ \frac{1}{⟨μ⟩} ∏_{j=1}^{3} (1 + \frac{∂d^{j}(q, t)}{∂q^{j}})

≈ \frac{1}{⟨μ⟩} (1 + ∑_{j=1}^{3} \frac{∂d^{j}(q, t)}{∂q^{j}} ) .

Daraus folgt

\frac{∂}{∂t} \frac{1}{μ(x, t)} ≈ \frac{1}{⟨μ⟩} (∇_{q} · ḋ(q, t))_{|q=q (x,t)} ,

falls die Geschwindigkeiten der Körperpunkte nicht zu stark von deren Gleichgewichtskoordinaten abhängen, und daraus die Näherung (A.14).

Vereinbarung: Im folgenden werden stets nur solche Situationen betrachtet, in denen die Näherungen (A.12) und (A.14) sinnvoll sind.

Aus (A.12) und (A.14) ergibt sich unmittelbar die Wellengleichung

(\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t} )^{2} P − ΔP = 0 , ĉ = \frac{1}{\sqrt{⟨κ⟩⟨μ⟩}}  (A.15)

(als lineare Näherung) für den Druck P . Aus (A.14) folgt durch zeitliche Integration^{12}

P (x, t) = ⟨P ⟩ − \frac{1}{⟨κ⟩} div d (x, t) , d (x, t) =^{def} d(q (x, t), t) ,

(A.16)

wobei ⟨P ⟩ den Druck im Gleichgewichtszustand bezeichnet, und daraus mit (A.12)

⟨κ⟩⟨μ⟩ (\frac{∂}{∂t})^{2} d (x, t) = grad (div d (x, t)) .  (A.17)

Version vom 21. November 2009

12Die Integrationskonstanten sind durch die Bedingungen ⟨p⟩ = 0 , ⟨d⟩ = 0 festgelegt; vgl. Fußnote 8 von Kapitel 2.

d besitzt also ein Skalarpotential^{13} Φ ,

d (x, t) = −grad Φ(x, t) ,

(A.18)

und damit folgt weiter

⟨κ⟩⟨μ⟩ (\frac{∂}{∂t})^{2} d (x, t) = −grad (div (grad Φ(x, t)))
= −grad (ΔΦ(x, t))
= Δ d (x, t) .

Damit gilt also auch die vektorielle Wellengleichung

(\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t} )^{2} d − Δ d = 0  (A.19)

für den Verschiebungsvektor d .

Für ebene Longitudinalwellen gilt

(1.26) ⟹ p = ∓ ⟨μ⟩ ĉe · u  (A.20)

(Beweis als Übungsvorschlag), wobei für Luft unter Normaldruck bei absoluter Temperatur T

⟨μ⟩ ĉ ≈ 428 (1 − \frac{T − T_{0}}{2T_{0}} ) \frac{kg}{m^{2}s} .

Für einen Schalldruck von 10^{2} μbar^{14} bedeutet das

|u|_{max} ≈ 0.24 \frac{m}{s} bei 20^{∘} Celsius ,

und somit z.B. |d|_{max} ≈ 0.38 mm bei einer Frequenz von 100 Hz, die einer Wellenlänge von ≈ 3,44 m entspricht. Solche Schwingungsamplituden sind schon außerordentlich extrem.

A.3 Kugel- und Zylinderwellen

In sphärischen Polarkoordinaten r, ϑ, φ,

x(r, ϑ, φ) = r sin ϑ cos φ e_{1} + r sin ϑ sin φ e_{2} + r cos ϑ e_{3}

Version vom 21. November 2009

13Allgemein nennt man Lösungen von (A.19) Longitudinalwellen, wenn ihre Rotation verschwindet. (A.18) gilt für Medien mit komplizierterem Spannungstensor natürlich i.a. nicht mehr.

14‘Normale’ (Maximal-) Werte für den Schalldruck p =^{def} P − ⟨P ⟩ liegen zwischen 10^{−4} und 10^{2} μ bar. Zur Erinnerung: 1 bar = 10^{5} \frac{N}{m^{2}} ≈ 1 atm (siehe z.B. (Ebert, 1967, S. 27)).

A.3. KUGEL- UND ZYLINDERWELLEN 81

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e_{φ}

e_{ϑ} e_{3}

e_{1} e_{2}

ϑ

x e_{r}

r =^{def} |x| = R , n = e_{r} ,

gilt bekanntlich (siehe z.B. Übungsaufgaben 66–69 von (Lücke, ein)

\begin{matrix}(grad Φ)^{r} & = & \frac{∂}{∂r}Φ , \\ (grad Φ)^{ϑ} & = & \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ϑ}Φ , \\ (grad Φ)^{φ} & = & \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}Φ \end{matrix} \}  (A.21)

sowie

div ȷ = \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}ȷ^{r}) + \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ ȷ^{ϑ}) + \frac{1}{r sin ϑ} \frac{∂}{∂φ}ȷ^{φ}  (A.22)

und somit

△ Φ(x, t)

= \frac{1}{r} (\frac{∂}{∂r})^{2} (r Φ(x, t)) + \frac{1}{r^{2} sin ϑ} \frac{∂}{∂ϑ} (sin ϑ\frac{∂}{∂ϑ} Φ(x, t)) + \frac{1}{r^{2} sin^{2} ϑ} (\frac{∂}{∂φ})^{2} Φ(x, t) .

(A.23)

Damit sieht man leicht, daß auch einlaufende (+) bzw. auslaufende (−) longitudinale Kugelwellen

d (x, t) = (\frac{g′(r ± ĉt)}{r} − \frac{g(r ± ĉt)}{r^{2}}) e_{r}  (A.24)

(für r ≠ 0) den Gleichungen (A.17) und (A.18) (mit einem geeigneten Skalarpotential Φ) genügen und damit Lösungen von (A.19) sind. Auch hier liegt eine (jetzt kugelförmige) Ausbreitung mit einer Geschwindigkeit vom Betrag ĉ vor. Für den 82 ANHANG A.

Schalldruck gilt^{15}

\begin{aligned}p(x, t) − ⟨p⟩ & = & −\frac{1}{⟨κ⟩} \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (rg′(r ± ĉt) − g(r ± ĉt)) \\ & = & −\frac{1}{⟨κ⟩} \frac{g′′(r ± ĉt)}{r} \end{aligned}

und somit

\begin{aligned}u(x, t) & =_{(1.24)} & ±ĉ(\frac{g′′(r ± ĉt)}{r} − (\frac{g′(r ± ĉt)}{r^{2}}) e_{r} \\ & = & \frac{∓1}{⟨μ⟩ ĉ} (p(x, t) − ⟨p⟩ − \frac{1}{r^{2}} ∫_{0}^{r} r̂′ ((p(x′, t) − ⟨p⟩)) dr′) e_{r} . \end{aligned}

Anders als bei den fortschreitenden ebenen Wellen sind also Schalldruck und Schnelle (vom Limes r → ∞ abgesehen) nicht mehr ‘in Phase’ miteinander.

Übungsaufgabe 10 Man bestimme diejenige auslaufende longitudinale Kugelwelle, die zu gegebenem a und Q(t) der Randbedingung

|x| = a ⟹ ḋ (x, t) = \frac{Q(t)}{4πa^{2}} e_{r}(x) ∀ t ∈ ℝ

genügt, die auf der Oberfläche einer radial mit der Geschwindigkeit Q(t) schwingenden Kugel mit dem Radius a erfüllt sein muß.

In Zylinderkoordinaten ρ, φ, h,

x(ρ, φ, h) = ρ cos φ e_{1} + ρ sin φ e_{2} + h e_{3} ,

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ϱ

h x

e_{1} e_{3}

e_{2} e_{h}

e_{φ} e_{ϱ}

φ

n = e_{ϱ} , ρ = R ,

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15Aufgrund der Singularität bei r = 0 sind solche Wellen natürlich nicht über den gesamten ℝ^{3} realisierbar, kommen also nur dann in Frage, wenn sich bei r = 0 eine Strahlungsquelle befindet. Durch geeignete Überlagerung solcher Wellen läßt sich aber die Singularität beheben; denn z.B. ist ja

\frac{e^{−ik(ĉt−r)}}{r} − \frac{e^{−ik(ĉt+r)}}{r} = 2i \frac{sin(kr)}{r} e^{−ikĉt}

frei von Singularitäten.

gilt

(grad Φ)^{ρ} = \frac{∂}{∂ρ}Φ ,
(grad Φ)^{φ} = \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂φ}Φ ,
(grad Φ)^{h} = \frac{∂}{∂h}Φ

(A.25)

sowie

div ȷ = \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂ρ} (ρȷ^{ρ}) + \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂φ}ȷ^{φ} + \frac{∂}{∂h}ȷ^{h}  (A.26)

und somit

△ Φ(x, t) = \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂ρ} (ρ \frac{∂}{∂ρ}Φ(x, t)) + \frac{1}{ρ^{2}} (\frac{∂}{∂φ})^{2} Φ(x, t) + (\frac{∂}{∂h})^{2} Φ(x, t) . (A.27)

Nach den Sätzen 1.2.1 und 1.2.3 lassen sich hinreichend gutartige Schallwellen in Zylinderkoordinaten als Überlagerung komplexer monochromatischer Schalldruckwellen der Form

P_{m,k_{h}}(ρ, ω) e^{−i(ωt−k_{h}h−mφ)}  (A.28)

schreiben, die gemäß (A.15) und (A.27) der Gleichung

(− (\frac{ω}{ĉ})^{2} − \frac{1}{ρ} \frac{∂}{∂ρ}ρ\frac{∂}{∂ρ} + (\frac{m}{ρ})^{2} + k_{h}^{2}) P_{m,k_{h}}(ρ, ω) = 0

genügen müssen.^{16} Letzteres ist äquivalent dazu, daß

f(x) =^{def} P_{m,k_{h}} (\frac{x}{\sqrt{(\frac{ω}{ĉ})^{2} − k_{h}^{2}}} , ω)

Lösung der Besselschen Differentialgleichung

f′′(x) + \frac{1}{x}f′(x) + (1 − \frac{m^{2}}{x^{2}} ) f(x) = 0  (A.29)

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16Eigentlich ist nur

□ ℜ (P_{m,k_{h}}(ρ, ω) e^{−i(ωt−k_{h}h−mφ)}) = 0 , □ =^{def} (\frac{1}{ĉ} \frac{∂}{∂t} )^{2} − Δ ,

verlangt, da nur der Realteil des komplexen Schalldrucks physikalisch relevant ist. Wegen

□ ℜ (P_{m,k_{h}}(ρ, ω) e^{−i(ω(t+t′)−k_{h}h−mφ)}) = ℜ (e^{−iωt′}□ P_{m,k_{h}}(ρ, ω) e^{−i(ω(t)−k_{h}h−mφ)})

ist das aber äquivalent zu □ P_{m,k_{h}}(ρ, ω) e^{−i(ω(t)−k_{h}h−mφ)} = 0 .

ist. Da für jeweils festes m die Hankelschen Bessel-Funktionen^{17} H_{m}^{(1)} und H_{m}^{(2)} der Ordnung m unabhängige Lösungen von (A.29) sind, muß also

P_{m,k_{h}}(ρ, ω) = A(m, k_{h}, ω) H_{m}^{(1)}(k_{ρ} ρ)+B(m, k_{h}, ω) H_{m}^{(2)}(k_{ρ} ρ) , k_{ρ} = \sqrt{(\frac{ω}{ĉ})^{2} − k_{h}^{2}} ,

(A.30)

mit geeigneten (i.a. komplexwertigen) Funktionen A , B gelten.

Damit sieht man leicht, daß auch die einlaufende (j = 1) bzw. auslaufende (j = 2) monochromatischen longitudinale Zylinderwelle

\begin{aligned}d (x, t) & = & − ⟨κ⟩ \frac{1}{ρ} (∫_{0}^{ρ} ρ′H_{0}^{(j)}(kρ′) dρ′) P_{0}e^{−iωt} e_{ρ} \\ & = & −\frac{⟨κ⟩}{k} H_{1}^{(j)}(kρ) P_{0}e^{−iωt} e_{ρ} , ω = kĉ, \end{aligned}  (A.31)

(bzgl. der zweiten Zeile siehe (Jahnke et al., 1960, S. 154)) für jeden komplexen Druck P_{0} (und ρ ≠ 0) den Gleichungen (A.17) und (A.18) (mit einem geeigneten Skalarpotential Φ) genügt und damit Lösungen von (A.19) ist. Das asymptotische Verhalten folgt aus

H_{m}^{(j)}(x) ∼_{x→∞} \{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{2}{πx}} e^{+i(x− \frac{1}{2} mπ)− \frac{1}{4} πi} & für j = 1 \\ \sqrt{\frac{2}{πx}} e^{−i(x− \frac{1}{2} mπ)− \frac{1}{4} πi} & für j = 2 \end{matrix}

(siehe z.B. (Sneddon, 1963, § 37)). Der zugehörige Schalldruck ist^{18} nach (A.16)

p(x, t) = H_{0}^{(j)}(kρ) P_{0}e^{−iωt} .

A.4 Strahlung durch die Öffnung einer schallharten Wand

Für hinreichend gutartige (komplexwertige) Skalarfelder P , g und Gebiete G gilt bekanntlich die 2. Greensche Identität

∫_{G} (P(x′)Δ_{x′}g(x′) − g(x′)Δ_{x′}P(x′)) dV_{x′} = ∫_{∂G} (P(x′)∇_{x′}g(x′) − g(x′)∇_{x′}P(x′))·dS_{x′}

(vgl. Gl. (1.18) von (Lücke, edyn)). Für g(x′) = K(x − x′) und Lösungen P der Helmholtz-Gleichung

(Δ + k^{2})P = 0  (A.32)

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17Siehe z.B. (Jahnke et al., 1960, S. 131).

18Lösungen von (A.15) der Form p(x, t) = p(ρ − ct) f(ρ) gibt es nicht, da das Huygenssche Prinzip nur für ungerade Raumdimension gilt (siehe z.B. (Courant und Hilbert, 1962, § 6 Nr. 7)).

ist das äquivalent zu:

(Δ_{x} + k^{2}) ∫_{G} P(x′)K(x − x′) dV_{x′}
= ∫_{∂G} (P(x′)∇_{x′}K(x − x′) − K(x − x′)∇_{x′}P(x′)) · dS_{x′} .

Für

K(x − x′) = \frac{e^{ik|x−x′|}}{4π |x − x′|} .

ergibt sich daraus mit

(Δ_{x} + k^{2}) ∫_{G} P(x′)K(x − x′) dV_{x′} = \{ \begin{matrix}0 & falls x ∉ \overline{G} \\ −P(x) & falls x ∈ \underline{G} \end{matrix}

(Beweis als Übungsvorschlag) und

∇_{x′}K(x − x′) = (−ik + \frac{1}{|x − x′|}) \frac{x − x′}{|x − x′|}K(x − x′)

die Beziehung

∫_{∂G} \frac{e^{ik|x−x′|}}{4π |x − x′|} (grad P(x′) + (ik − \frac{1}{|x − x′|}) \frac{x − x′}{|x − x′|}P(x′)) · dS_{x′}

= \{ \begin{matrix}0 & falls x ∉ \overline{G} \\ P(x) & falls x ∈ \underline{G} \end{matrix} für Lösungen von (A.32)

(A.33)

bzw.

∫_{∂G} \frac{e^{−ik(ĉt−|x−x′|)}}{4π |x − x′|} (grad P(x′) + (ik − \frac{1}{|x − x′|}) \frac{x − x′}{|x − x′|}P(x′)) · dS_{x′}

= \{ \begin{matrix}0 & falls x ∉ \overline{G} \\ P(x) e^{−ikĉt} & falls x ∈ \underline{G} \end{matrix} für Lösungen von (A.32) .

(A.34)

Wenn P(x) e^{−ikĉt} sich für asymptotisch wie eine auslaufende Welle f(ϑ) \frac{e^{−ik(ĉt−|x|)}}{4π |x|} verhält, dann kann man (A.34) auch auf den Fall

G = {x ∈ ℝ^{3} : h = e_{3} · x ≥ 0}

anwenden, weil dann das Flächenintegral über den Rand im Unendlichen (natürlich als Grenzwert aufgefaßt) nicht beiträgt. Für bzgl. e_{3} rotationssymmetrisches P und x ∈ \underline{G} gilt dann insbesondere

0 = ∫_{∂G} \frac{e^{−ik(ĉt−|−x−x′|)}}{4π |−x − x′|} (grad P(x′) + (ik − \frac{1}{|−x − x′|}) \frac{−x − x′}{|−x − x′|}P(x′)) · dS_{x′}
= ∫_{x′·e_{h}=0} \frac{e^{−ik(ĉt−|x−x′|)}}{4π |x − x′|} (grad P(x′) − (ik − \frac{1}{|x − x′|}) \frac{x − x′}{|x − x′|}P(x′)) · dS_{x′}

86 ANHANG A. und somit

(A.32) ⟹ P(x) e^{−ikĉt} = ∫_{x′·e_{h}=0} \frac{e^{−ik(ĉt−|x−x′|)}}{2π |x − x′|} grad P(x′)·dS_{x′} ∀ x ∈ \underline{G} , (A.35)

falls sich P(x) e^{−ikĉt} asymptotisch (in G) wie eine auslaufende Welle verhält.

Da nach (A.12)

grad P(x) = −ikĉ⟨μ⟩ U(x)

gilt, läßt für (A.35) auch schreiben:

P(x) = kĉ⟨μ⟩ ∫_{x′·e_{h}=0} \frac{e^{ik |x−x′|}}{2πi |x − x′|} U(x′) · dS_{x′} .

Speziell für den oszillierenden Kolben in der Wand gilt also

P(x) = kĉ⟨μ⟩ U(0) ∫x′∈U_{R}(0)_{x′·e_{h}=0} \frac{e^{ik |x−x′|}}{2πi |x − x′|} |dS_{x′}| .  (A.36)

Daraus folgt

\overline{P} = \frac{kĉ⟨μ⟩}{πR^{2}} U(0) ∫x , x′∈U_{R}(0)_{x·e_{h}=x′·e_{h}=0} \frac{e^{ik |x−x′|}}{2πi |x − x′|} |dS_{x′}| |dS_{x}|
= 2 \frac{kĉ⟨μ⟩}{πR^{2}} S(0) ∫ |x′|≤|x|≤R_{x·e_{h}=x′·e_{h}=0} \frac{e^{ik |x−x′|}}{2πi |x − x′|} |dS_{x′}| |dS_{x}|  (A.37)

für den mittleren Strahlungsreaktionsdruck \overline{P} auf die Kolbenoberfläche. Nun gilt aber

∫ |x′|≤|x|_{x·e_{h}=x′·e_{h}=0} \frac{e^{ik|x−x′|}}{|x − x′|} |dS_{x′}| = ∫x′∈U_{|x|}(0)_{x′·e_{h}=0} \frac{e^{ik|x−x′|}}{|x − x′|} |dS_{x′}|
=_{ξ=x′−x} ∫ξ∈U_{|x|}(0)−x_{ξ·e_{h}=0} \frac{e^{ik|ξ|}}{|ξ|} |dS_{ξ}|
=_{Abb. A.1} ∫_{−π/2}^{+π/2} (∫_{0}^{2|x| cos φ′} e^{ikρ′} dρ′) dφ′ .

Da für die Bessel-Funktionen

J_{ν}(z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \frac{(z/2)^{ν}}{Γ (ν + \frac{1}{2})} ∫_{0}^{π/2} cos (z cos φ) sin^{2ν}φ dφ für ℜ(z) > −\frac{1}{2} (A.38)

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  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Abb. A.1: Integrationsgebiet für ξ

(siehe (Jahnke et al., 1960, S. 145)) und für die Struveschen Funktionen

H_{ν}(z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \frac{(z/2)^{ν}}{Γ (ν + \frac{1}{2})} ∫_{0}^{π/2} sin (z cos φ) sin^{2ν}φ dφ für ℜ(z) > −\frac{1}{2} (A.39)

(siehe (Jahnke et al., 1960, S. 253)), wegen

Γ(1/2) = \sqrt{π}

(siehe (Jahnke et al., 1960, S. 7)) insbesondere also

J_{0}(z) = \frac{1}{π} ∫_{−π/2}^{π/2} cos (z cos φ) dφ; H_{0}(z) = \frac{1}{π} ∫_{−π/2}^{π/2} sin (z cos φ) dφ

gilt, folgt daraus

∫_{|x′|≤|x|} \frac{e^{iπk|x−x′|}}{|x − x′|} |dS_{x′}| = \frac{1}{ik} (J_{0}(2k |x|) − 1 + iH_{0}(2k |x|))

und somit wegen

∫_{0}^{x} J_{0}(x′) x′ dx′ = x J_{1}(x) , ∫_{0}^{x} H_{0}(x′) x′ dx′ = x H_{1}(x)  (A.40)

(siehe (Sneddon, 1963, Gl. (32.1)) bzw. (Jahnke et al., 1960, S. 154) und (Skudrzyk, 1954, Gl. (12,140))) für (A.37)

\overline{P} = ĉ⟨μ⟩ (1 − \frac{J_{1}(2kR)}{kR} − i \frac{H_{1}(2kR)}{kR}) U(0) .

und somit (2.12).

Für große Abstände vom Kolben und x = r (cos ϑ e_{3} + sin ϑ e_{1}) , x′ = ρ′ (cos φ′ e_{1} + sin φ′ e_{2})

88 ANHANG A. folgt mit

|x − x′| = \sqrt{r^{2} − 2rρ′ sin ϑ cos φ′ + ρ^{′2}}
≈ r − ρ′ sin ϑ cos φ′

aus (A.36)

P(x) ≈ kĉ⟨μ⟩ U(0) ∫_{ρ′=0}^{R} ∫_{φ′=0}^{2π} \frac{e^{ik(r−ρ′ sin ϑ cos φ′)}}{2πir} dφ′ ρ′ dρ′ .

Mit

J_{0}(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{iz cos φ′} dφ′

und (A.40) ergibt sich somit^{19}

(A.36) , |x| ≫ R ⟹ P(x) ≈ −ikĉ⟨μ⟩ R^{2} U(0) \frac{e^{ik|x|}}{|x|} \frac{J_{1}(kR sin ϑ)}{kR sin ϑ} . (A.41)

Version vom 21. November 2009

19Für kR ≪ 1 (und |x|^{2} ≫ |x| ≫ R) ist die Strahlung also nahezu isotrop!

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Index

absolutes Gehör, 17 Amplitude, 9 Ausgleichsvorgänge, 11

Cent, 12

Dissonanz, 10 Dreiklang, 16

Dur-, 16 Moll-, 16 übermäßiger, 18 verminderter, 18

Druck, 28, 77–79 Dur, 16

eklemisch, 12 Eulersche

-Zustandsbeschreibung, 76 Eulersche

-Zustandsbeschreibung, 77

Fourier -Entwicklungskoeffizienten, 8 -Reihenentwicklung, 8 -Transformierte, 10

Frequenz -Abstand, 12 -Bereich

wahrnehmbarer, 26 -Spektrum, 12 Kreis-, 9

Geräusch, 12 Geschwindigkeit

Gruppen-, 27 Gleichgewichtszustand, 76, 78, 79 Gleichung

Webster-, 42 Gruppengeschwindigkeit, 27

Halbton, 13

kleiner, 12 Horn, 41

Kammerton, 17 Klang

Drei-, 16 übermäßiger, 18 verminderter, 18

Komma pythagoreisches, 17 syntonisches, 17

Kompressibilität, 36, 78

adiabatische, 78 Konsonanz, 10, 12 Koordinaten

karthesische, 76 krummlinige, 76 Zylinder-, 82

Kreisfrequenz, 9

Lagrangesche -Zustandsbeschreibung, 76

Massendichte, 77 Moll, 16 monochromatisch, 31

Oktave, 13, 16

Partialtonfolge, 13 Phase, 9 Prime, 13, 16 Psychoakustik, 7 pythagoreisches Komma, 17 Quarte

reine, 13, 16 Quinte

reine, 13, 16 temperierte, 17

Quintenzirkel, 17

Register, 70 reine Stimmung, 13, 17

Satz

kleiner Modulations-, 10 Schall

-Ausschlag, 26

komplexer, 30 -Druck, 27

komplexer, 30 -Geschwindigkeit, 27 -Intensität

zeitlicher Mittelwert, 31 -Schnelle, 27

komplexe, 30 -Wellen

monochromatische, 31 Schwingungs

Medium, 76 Septime

große, 12, 16 kleine, 12

Sexte große, 12, 16 kleine, 12

Stimmung reine, 13, 17 temperierte, 13, 17

Suchtonmethode, 10 syntonisches Komma, 17

temperierte Stimmung, 13, 17 Terz

große, 13, 16 kleine, 13

Ton, 8 -Höhe, 12 -Höhenempfindung, 9 -Intervalle, 12 übermäßige, 18 verminderte, 18

-Leiter, 16

erweiterte, 18 Ganz-

großer, 13, 16 kleiner, 13 Halb-, 13 kleiner, 12 Kammer-, 17 Partial-, 9 -Folge, 13 Sinus-, 8 Such-, 10 Tritonus, 12

Verschiebungsvektor, 76

Webster-Gleichung, 42 Welle

Longitudinalebene, 27

Wellen

-Gleichung, 79

vektorielle, 27, 80 Longitudinal-, 26, 80

Zustands

-Beschreibung nach Euler, 76 nach Euler, 77 nach Lagrange, 76

Zylinderkoordinaten, 82