Spezielle Relativitätstheorie

Technische Universität Clausthal

WS 1980/81 – WS 1999/00 W. Lücke

Vorwort

Heute muß die Spezielle Relativitätstheorie in der Praxis bereits vielfach berücksichtigt werden (Beschleuniger, Raumfahrt, Astronomie, Kerntechnik usw.), gehört also mittlerweile gewissermaßen zum ‘alltäglichen’ Erfahrungsbereich des Physikers.

Trotzdem scheint ihr Verständnis immer noch vielfach große Schwierigkeiten zu bereiten. Das liegt vermutlich an psychologischen Barrieren, die daher rühren, daß die Spezielle Relativitätstheorie oft als prinzipiell unvereinbar mit der Newtonschen Raum-Zeit-Vorstellung deklariert und anhand scheinbar sensationeller Sachverhalte (Zwillingsparadoxon, m = γ_{v} m_{0} , E = m c^{2} usw.) ‘erläutert’ wird.

Daher soll in dieser Vorlesung auf vielleicht etwas provozierende Weise vorgegangen werden:

Zunächst werden die Transformationsgesetze der Speziellen Relativitätstheorie auf Grundlage der naiven Äther-Theorie aus der Erfahrungstatsache abgeleitet werden, daß mit bisher verfügbaren Meßmethoden keine Abhängigkeit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit vom Bezugssystem nachweisbar ist. Damit soll klar werden, daß die Newtonsche Raum-Zeit-Vorstellung im Hinblick auf Bezugssystemwechsel zwar praktisch wertlos, aber keineswegs unvereinbar mit der Speziellen Relativitätstheorie ist.^{1} Erst danach wird das Relativitätsprinzip, von dem Einstein sich leiten ließ, diskutiert.

Literaturempfehlungen: (Born, 2001), (Einstein, 1956), (French, 1971), (Rindler, 1969)

Version vom 26. März 2009

1Der wesentliche Punkt ist nur der, daß sich die relativistische Kinematik – im Gegensatz zur Newtonschen Theorie nicht auf ideale, sondern auf reale Maßstäbe und Uhren bezieht.

4

Inhaltsverzeichnis

I Relativistische Kinematik 7

1 Ableitung der Lorentz-Transformation 9

1.1 Grundsätzliches zur Raum-Zeit-Vorstellung . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Idealisierungen in der Klassischen Mechanik . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Naive Äther-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Kontraktionshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Problematik der Uhren-Synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Für absolute Synchronisation ungeeignete Verfahren . . . . . . 14 1.2.3 Scheinbare Auswege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Die speziellen Lorentz- Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Meßvorschriften der Speziellen Relativitätstheorie . . . . . . . 17 1.3.2 Zweidimensionale Koordinatentransformationen . . . . . . . . 19 1.3.3 Vierdimensionale Koordinatentransformationen . . . . . . . . 21

2 Grundphänomene relativistischer Kinematik 23

2.1 Bedeutung der Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Gruppeneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Physikalische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3 Lichtgeschwindigkeit als obere Schranke . . . . . . . . . . . . 26 2.1.4 Partielle Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme . . . . . . . . . 26

2.2 Einstein’s Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Spezielles Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Kausalitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Passive und Aktive Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1 Dreier- und Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.2 Lorentz-Boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3 Vektorielle Darstellung der speziellen Lorentz-Transformationen 35

2.4 Weitere kinematische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Allgemeinere Überlagerung von Geschwindigkeiten . . . . . . . 37 2.4.2 Aberration des Lichtes und Superschnappschüss’ . . . . . . . . 39 2.4.3 Thomas-Präzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.4 Die eingeschränkte Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . 43

II Relativistische Dynamik 47

3 Dynamik der Massenpunkte 49

3.1 Beschleunigung eines Massenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.1 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.2 Vierer-Geschwindigkeit und -Beschleunigung . . . . . . . . . . 50

3.2 Der relativistische Impuls von Massenpunkten . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.1 Idealisierte Streuexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2 Vierer-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.3 Relativistische Massenpunkt-Modelle . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.4 Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Kraft und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1 Additivität der Dreier-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.3 Vierer-Kraftdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Elektrodynamik 63

4.1 Der elektromagnetische Feldtensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1.1 Makroskopische Strom-Ladungs-Verteilungen . . . . . . . . . . 63 4.1.2 Kraftwirkung eines äußeren elektromagnetischen Feldes …. 64 4.1.3 Elektrisches Feld und magnetische Kraftflußdichte . . . . . . . 65

4.2 Die mikroskopischen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A Bondi’s K-Kalkül 69

B Lorentz-Tensoren 71

Literaturverzeichnis 73

Teil I

Kapitel 1

Relativistische Kinematik Ableitung der speziellen Lorentz-Transformation

1.1 Grundsätzliches zur Raum-Zeit-Vorstellung

1.1.1 Idealisierungen in der Klassischen Mechanik

Jede physikalische Theorie ist auf vereinfachende Annahmen (Idealisierungen) angewiesen. Idealisierungen schränken aber andererseits den Gültigkeitsbereich einer Theorie grundsätzlich ein und können sich somit unter Umständen als hemmend für die Weiterentwicklung einer Theorie erweisen. Man sollte als Physiker daher stets bereit sein, gewohnte nützliche Idealisierungen durch realistischere Annahmen zu ersetzen. \underline{Einige typische Idealisierungen der Klassischen Mechanik:}

absolut starrer Maßstab

Massenpunkt

absolut gleichförmige Bewegung absolut periodischer Vorgang Zeitpunkt absoluter Raumpunkt absolute Raumrichtung absolute Gleichzeitigkeit Euklidische Geometrie des physikalischen Raumes

Keinem dieser Begriffe läßt sich ohne Voraussetzung mindestens eines der übrigen eine konkrete Bedeutung beimessen!

Da uns jedoch der kritiklose Umgang mit diesem (offenbar in sich widerspruchsfreien!) Begriffssystem allzu vertraut ist, wollen wir über dessen Problematik zunächst hinwegsehen^{1} und von den zugehörigen ‘Vorstellungen’ ausgehend versuchen,

Version vom 26. März 2009

1Zumal die meisten der obigen Idealisierungen notwendiger Bestandteil auch der Speziellen Relativitätstheorie sind.

das Geschehen bei praktischen Raum-Zeit-Messungen zu ‘verstehen’.

1.1.2 Naive Äther-Theorie

Mit dem Siegeszug der Wellen-Theorie des Lichtes im 19. Jahrhundert über die Korpuskulartheorie verfestigte sich die Vorstellung von einem alle Materialien durchdringenden, homogenen, isotropen, elastischen Medium, dem sog. Äther, in dem sich die Transversal-Schwingungen des Lichtes ausbreiten.

Nach dieser Vorstellung müßte das Licht im (nur vom Äther ausgefüllten) leeren Raum (Vakuum) eine konstante, vom Bewegungszustand der Lichtquelle unabhängige Geschwindigkeit c relativ zum Äther haben.^{2}

Die Äther-Vorstellung hat gleichzeitig den scheinbaren Vorzug, den in 1.1.1 aufgeführten Begriffen eine konkretere Bedeutung zu verleihen.^{3} Die Schwierigkeit ist nur die, daß es vermutlich prinzipiell kein reales Verfahren gibt, die Geschwindigkeit z.B. der Erde relativ zum Äther zu bestimmen (vgl. 2.2.1).

Auf den ersten Blick mag diese Aussage unsinnig erscheinen, wenn man z.B. folgender bekannten Überlegung von Michelson (1981) nachgeht, die den Vorzug hinreichend genauer experimenteller Überprüfbarkeit besitzt:

Man betrachte folgende nach üblichen Maßstäben starre Anordnung, die sich mit der Geschwindigkeit v ∼ \overrightarrow{QS}_{2} relativ zum Äther bewege:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; v; Q; S]

Man berechnet die Zeit t(α), die ein Lichtsignal benötigt, um von Q nach S und wieder zurück nach Q zu gelangen, leicht zu^{4}

t(α) = 2\frac{|\overrightarrow{QS}|}{c}γ_{v}^{2}\sqrt{1 − (\frac{v}{c} sin α)^{2}} ,  (1.1)

wobei:

γ_{v} =^{def} \frac{1}{\sqrt{1 − (v/c)^{2}}} .  (1.2)

Version vom 26. März 2009

Abschn. 3.6.3). Lichtgeschwindigkeit.

2In neuerer Zeit durch Beschleunigerexperimente sehr genau bestätigt; vgl. (French, 1971,

3Z.B.: absoluter Raumpunkt ˆ= feste Stelle im Äther.

4Siehe Übungsaufgabe 7 zur Einführung in die Theoretische Physik I , WS 1994/95. Mit v bezeichnen wir stets den Betrag der Geschwindigkeit v, mit c den Betrag der Vakuum-

Die längste resp. kürzeste Laufzeit ergibt sich somit für α = 0 resp. α = π/2 :

t(0) = \frac{2}{c}γ_{v}^{2} |\overrightarrow{QS}| , t (\frac{π}{2} ) = \frac{2}{c}γ_{v} |\overrightarrow{QS}|  (1.3)

Zur Überprüfung dieses Laufzeitunterschiedes diente das berühmte Experiment von Michelson und Morley, das vom Prinzip her folgendermaßen aufgebaut war:^{5}

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Spiegel; Spiegel; Glasplatte; halbdurchlässiger; Lichtquelle; Fernrohr; Spiegel; beliebig bewegte]

(im Ruhesystem der Apparatur betrachtet).

Experimentelles Ergebnis:

Die bei Drehung der Apparatur entspr. (1.1) zu erwartende Verschiebung der Interferenzstreifen stellt sich nicht ein!

Anmerkung: c wurde bereits 1676 von Olaf Römer durch Beachtung des Doppler-Effekts bei Beobachtung der Jupitermonde näherungsweise bestimmt (vgl. (Born, 2001, S. 78/79)): c ≈ 3 · 10^{10} \frac{cm}{s}. Die Erde sollte sich mindestens einmal im Jahr relativ zum Äther mit einer Geschwindigkeit bewegen, deren Betrag nicht unter demjenigen ihrer Relativgeschwindigkeit zur Sonne, etwa 30\frac{km}{s}, liegt. Dann ist \frac{v}{c} ≈ 10^{−4}. Trotz dieses extrem kleinen Wertes müßte dann beim Michelson-Versuch eine Interferenzverschiebung nachweisbar sein, wie sich durch entspr. Abschätzungen zeigen läßt.

1.1.3 Kontraktionshypothese

Zum negativen Ausgang des Michelson-Morley-Experiments gab es mehrere Erklärungsversuche:

(i) Erde im Äther ruhend (Ptolemäus, 150 n. Chr.) — Äußerst unwahrscheinlich und im Widerspruch zu der von Bradley (1727) beobachteten Aberration des Sternenlichtes (vgl. 2.4.2).

Version vom 26. März 2009

5Vgl. (French, 1971, Abschnitte 2.6 und 2.7).

12 KAPITEL 1. ABLEITUNG DER LORENTZ-TRANSFORMATION

(ii) Totale Äther-Mitführung (Michelson) — Dagegen sprechen die Resultate hinsichtlich nur partieller Lichtmitführung in bewegten optischen Medien.^{6}

(iii) Lorentz-Kontraktion (Fizgerald, Lorentz, 1892) Danach erfahren alle Gegenstände, die üblicherweise als starr betrachtet werden, in Wirklichkeit eine Verkürzung um den Faktor \frac{1}{γ_{v}} in Richtung ihrer Relativgeschwindigkeit v zu Äther.

— Dafür sprechen elektrodynamische Gleichgewichtsbetrachtungen, die Lorentz anstellte (Lorentz, 1904).

— Dagegen spricht höchstens unsere vorgefaßte Meinung!

Daß die Kontraktionshypothese den negativen Ausgang des Michelson-Morley-Experiments vollständig (also für jede Stellung der Apparatur relativ zum Ätherwind) erklärt,^{7} erkennt man aus (1.1) zusammen mit der Tatsache, daß sich die kontrahierte Länge |\overrightarrow{QS}| aus der Ruhelänge |\overrightarrow{QS}|_{0} gemäß

|\overrightarrow{QS}| = \frac{|\overrightarrow{QS}|_{0}}{γ_{v}\sqrt{1 − (\frac{v}{c} sin α)^{2}}}  (1.4)

berechnet.^{8}

Eine solche Kontraktion ist (leider nur) im Prinzip tatsächlich experimentell nachweisbar, wie das folgende Gedankenexperiment von Einstein (Einstein, 1956, S. 39) (vgl. auch (T. E. Phipps, 1980)) zeigt:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 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Die Zahl der Standard-Maßstäbe, die sich in einer geschlossenen Kette um den Rand legen lassen, hängt bei festem Radius R von der Drehgeschwindigkeit der Scheibe

Version vom 26. März 2009

6Z.B. von Airy und Fizeau; vgl. (Born, 2001, S. 115–122) bzw. – hier mit Vorsicht – (French, 1971, Abschnitte 2.4 und 2.5).

7Eine zusätzliche Ähnlichkeitstransformation würde daran nichts ändern, jedoch dem noch zu besprechenden Relativitätsprinzip (siehe 2.2.1) widersprechen.

8(1.4) folgt aus

|\overrightarrow{QS}|_{0}^{2} = (|\overrightarrow{QS}| sin α)^{2} + (γ_{v}|\overrightarrow{QS}| cos α)^{2} = (γ_{v}|\overrightarrow{QS}|)^{2} + (|\overrightarrow{QS}| sin α)^{2} (1 − γ_{v}^{2})

mit (1 − γ_{v}^{2}) = − (\frac{v}{c} )^{2} γ_{v}^{2} .

ab (Versagen der Euklidischen Geometrie in beschleunigten Bezugssystemen!).

Verabredung: Im Folgenden sei stets angenommen, daß sowohl die naive Äther-Theorie als auch die Lorentz’sche Kontraktionshypothese richtig sei.^{9}

Die Lorentz-Kontraktion liefert den ersten Hinweis darauf, daß die (aus gutem Grunde!) üblicherweise benutzten Verfahren der Raum-Zeit-Messung prinzipiell nicht ideal im Sinne von Newton sind!

1.2 Problematik der Uhren-Synchronisation

1.2.1 Zeitdilatation

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|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|_{L} =^{def} ∥\overrightarrow{P_{1}P_{2}}∥_{L} · Meter

als den Abstand der Punkte P_{1}, P_{2} im Laborsystem.

Entsprechendes gilt angesichts der Zeitdilatation für Zeitabstände, solange man sich auf Ereignisse beschränkt, die an einundderselben Laborstelle stattfinden.

Version vom 26. März 2009

14Die Geschwindigkeit eines solchen Lichtflecks läßt sich in vollem Einklang mit der Relativitätstheorie beliebig hoch einrichten!

15Man beachte die Definition über (1.5).

Somit läßt sich der mittlere Geschwindigkeitsbetrag \overline{v}_{L} für ein von P_{1} nach P_{2} ausgesandtes und von P_{2} nach P_{1} reflektiertes Signal auf übliche Weise — vom Labor abhängig! — definieren:

\overline{v}_{L} =^{def} \frac{2|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|}{Labor-Zeitabst. zw. Signal-Aussendung und -Rückkehr}

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  P^{2} P^{1}

(P_{1}, P_{2} im Labor ruhend)

Speziell für Lichtsignale muß sich aufgrund von Lorentz-Kontraktion und Zeitdilatation für jedes Laborsystem der gleiche Wert \overline{v}_{L} = c ergeben.^{16}

Die entsprechend einzuführende mittlere Geschwindigkeit des Signals auf nur einem Wege von P_{1} nach P_{2} hängt dagegen davon ab, wie man den Laborzeitabstand für räumlich getrennte Ereignisse definiert — eine Bestimmung des ‘absoluten’ Zeitabstands ist ja offenbar nicht möglich! Will man nun nicht völlig willkürlich durch eine solche Definition eine Anisotropie der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Labor einführen, so gibt es allerdings nur eine Möglichkeit, nämlich die von Einstein (1905) vorgeschlagene ^{17}

Verabredung: Zwei Ereignisse an den festen Laborpunkten P_{1} resp. P_{2} sollen genau dann als gleichzeitig im Labor angesehen werden, wenn sie mit der Ankunft eines auf halber Strecke zwischen P_{1} und P_{2} ausgesandten Lichtblitzes bei P_{1} resp. P_{2} zusammenfallen.

Für die Endpunkte P_{1}, P_{2} eines Meterstabs ließe sich das Synchronisationsverfahren im Ruhesystem des ‘Äthers’ folgendermaßen graphisch darstellen, wenn man die (in x-Richtung angenommene) Geschwindigkeit v des Labors relativ zum Äther

Version vom 26. März 2009

16Vgl. 1.2.1.

17Man kann zeigen, daß die 1.2.2 und 1.2.3 besprochenen Synchronisationsverfahren alle dazu äquivalent sind.

1.3. DIE SPEZIELLEN LORENTZ- TRANSFORMATIONEN 19

bestimmen könnte:

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1 2

\frac{ct′}{Meter} \frac{ct}{Meter}

\frac{1}{2γ} \frac{1}{γ} 1

2γ

\frac{x}{Meter}

im Labor gleichzeitig

Nun ist klar, wie Zeitabstände im Labor für räumlich getrennte Ereignisse zu definieren sind: Man identifiziert sie mit den entsprechenden Zeitabständen zu ihnen ‘gleichzeitiger’ Ereignisse an einundderselben Laborstelle.

Man sieht sofort, daß sich als Folge dieser Meßvorschriften auch für die Laborbezogene Einweg-Geschwindigkeit des Lichtes (im Vakuum) unabhängig von der Ausbreitungsrichtung der Wert c ergibt.^{18}

Klar ist nun auch, wie man den Abstand im Labor zu einem festen Labor-Zeitpunkt für zwei beliebig bewegte Massenpunkte P′_{1}, P′_{2} definiert, nämlich so wie bereits zu Beginn von 1.2.2 beschrieben: Man identifiziert ihn mit dem Labor-Abstand der beiden festen Laborstellen P_{1}, P_{2} an denen sich P′_{1}, P′_{2} zum betreffenden Labor-Zeitpunkt befinden.

1.3.2 Zweidimensionale Koordinatentransformationen

Es liegt nun die Frage nahe, wie die in 1.3.1 definierten Labor-Größen räumlicher und zeitlicher Abstand, Geschwindigkeit usw. vom (stets absolut gleichförmig angenommenen^{19}) Bewegungszustand des Labors abhängen.

Seien also L und L′ zwei Laborsysteme, von denen das erste (also L) relativ zum Äther ruhe, das zweite sich relativ zum Äther mit der Geschwindigkeit v be-

Version vom 26. März 2009

18Sei in der Mitte zwischen P_{1} und P_{2} ein halbdurchlässiger Spiegel aufgestellt. Dann erreicht der durchgehende Anteil eines von P_{1} ausgesandten Lichtblitzes P_{2} definitionsgemäß zur gleichen Zeit, zu der der reflektierte Anteil zu P_{1} zurückkehrt. Folglich stimmt die Einweg-Lichtgeschwindigkeit mit der mittleren Zweiweg-Lichtgeschwindigkeit c überein.

19Man überlege sich, wie der Begriff ‘gleichförmige Bewegung’ von der Gleichzeitigkeitsdefinition abhängt.

20 KAPITEL 1. ABLEITUNG DER LORENTZ-TRANSFORMATION

wege.^{20} Sowohl die x-Achse von L als auch die x′-Achse von L′ sei parallel zu v. Die Nullpunkte beider raumzeitlicher Koordinatensysteme mögen übereinstimmen:

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0

t′ = 0

1  2  x/Meter
0  1  x′/Meter 2 3

t′ < 0

−2 −1

t′ > 0

t = 0  t = 0  t = 0

L : −2 −1

L′ :

Den Zusammenhang zwischen den L-Koordinaten t, x und den L′-Koordinaten t′, x′ für beliebige Ereignisse auf der x-Achse (= x′-Achse) entnimmt man dann mühelos dem folgenden 2-dim. Raum-Zeit-Diagramm:

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x′/γ_{v} \frac{v}{c} ct

Zeitdil.

ct′/γ_{v} \frac{v}{c} x

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wobei:

Λ_{v_{x}}^{spez.} =^{def} ( \begin{matrix}γ_{v} & −γ_{v} \frac{v_{x}}{c} & 0 & 0 \\ −γ_{v} \frac{v_{x}}{c} & γ_{v} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) (2.2)

Aus (2.2) und der Definition von γ_{v} in (1.2) ergibt sich^{2}

Λ_{u_{x}}^{spez.}Λ_{v_{x}}^{spez.} = Λ_{v_{x} ˆ+u_{x}}^{spez.}  (2.3)

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1Vgl. (1.6)–(1.8). v_{x} bezeichnet jetzt die (als einzige von 0 verschiedene) Komponente von v in Richtung der positiven x-Achse. Dann gelten (2.1) und (2.2) auch für den Fall v_{x} < 0 (v = |v_{x}|).

2Wegen (1 + \frac{v_{x}u_{x}}{c^{2}} ) γ_{v}γ_{u} =_{(1.2)} γ_{|v_{x} ˆ+u_{x}|}.

24 KAPITEL 2. GRUNDPHÄNOMENE RELATIVISTISCHER KINEMATIK

mit^{3}

v_{x} ˆ+u_{x} =^{def} \frac{v_{x} + u_{x}}{1 + \frac{v_{x}u_{x}}{c^{2}}}  (2.4)

Die Menge aller speziellen Lorentz-Transformationen zu fest vorgegebener x-Richtung L_{x} =^{def} {Λ_{v_{x}}^{spez.}} bildet daher hinsichtlich der gewöhnlichen Matrix-Multiplikation eine Gruppe; d.h.:

1. Λ_{u_{x}}^{spez.} (Λ_{v_{x}}^{spez.}Λ_{w_{x}}^{spez.}) = (Λ_{u_{x}}^{spez.}Λ_{v_{x}}^{spez.}) Λ_{w_{x}}^{spez.} ∈ L_{x} (Assoziativität)

2. Λ_{0}^{spez.}Λ_{v_{x}}^{spez.} = Λ_{v_{x}}^{spez.}Λ_{0}^{spez.} = Λ_{v_{x}}^{spez.} (Existenz des neutralen Elements Λ_{0}^{spez.})

3. Λ_{−v_{x}}^{spez.}Λ_{v_{x}}^{spez.} = Λ_{v_{x}}^{spez.}Λ_{−v_{x}}^{spez.} = Λ_{v_{x}}^{spez.} (Existenz des zu Λ_{v_{x}}^{spez.} inversen Elements

Λ_{−v_{x}}^{spez.}) Mit der Zeitspiegelungsoperation

T ( \begin{matrix}ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} ) =^{def} ( \begin{matrix}−ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} ) ,  (2.5)

der Raumspiegelungsoperation

P ( \begin{matrix}ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} ) =^{def} ( \begin{matrix}ct \\ −x \\ −y \\ −z \end{matrix} )  (2.6)

und der 180^{∘}-Drehung um die z-Achse

P_{3} ( \begin{matrix}ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} ) =^{def} ( \begin{matrix}ct \\ −x \\ −y \\ z \end{matrix} )  (2.7)

ergibt sich folgende nützliche Darstellung der Umkehrtransformation:

Λ_{−v_{x}}^{spez.} = M (Λ_{v_{x}}^{spez.}M) für M ∈ {T, P, P_{3}}  (2.8)

Im übrigen beachte man die Symmetrie^{4} der Matrix Λ_{v_{x}}^{spez.}.

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3Eine systematische Bestimmung der allgemeinen Überlagerung relativistischer Geschwindigkeiten erfolgt in 2.4.1.

4Die Matrizen von Drehungen im 3-dim. euklidischen Raum sind dagegen antisymmetrisch!

2.1.2 Physikalische Interpretation

Gegeben seien folgende vier Laborsysteme, deren Koordinatenachsen zum L-Zeit-punkt 0 zusammenfallen:

Laborsystem  x-Komp. der  Koordinaten
Geschw. rel. z. Äther einunddess. Ereignisses
L  0  (ct, x, y, z)
L′  v_{x}  (ct′, x′, y′, z′)
L̂  u_{x}  (ct̂, x̂, ŷ, ẑ)
L̂′  w_{x} = u_{x} ˆ+v_{x}  (ct̂′, x̂′, ŷ′, ẑ′)

Dann besagt (2.3), daß sich die L̂′-Koordinaten aus den L′-Koordinaten nach den gleichen Regeln ergeben, wie die L̂-Koordinaten aus den L-Koordinaten. Somit erscheint ein Meterstab, der in L̂′ ruht, in L̂ mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v_{x} in x-Richtung bewegt^{5} und um den Faktor 1/γ_{v} verkürzt. Entsprechend zeigt eine Standard-Uhr, die in L̂ mit gleichförmiger Geschwindigkeit v_{x} in x-Richtung bewegt erscheint, Zeitintervalle an, die nur das 1/γ_{v}-fache der entspr. L̂-Zeitintervalle betragen. Da, wie in 2.1.3 gezeigt wird, zu gegebenen u_{x} , w_{x} ∈ (−c, +c) stets ein v_{x} ∈ (−c, +c) mit w_{x} = U_{x} ˆ+v_{x} existiert, folgern wir:

Lorentz-Kontraktion und Zeitdilatation treten also als Scheineffekte in jedem Inertialsystem (‘absolut’ gleichförmig bewegtes Labor mit den entsprechenden Labor-eigenen Meßvorschriften) auf.^{6}

Das ist natürlich nur aufgrund der Labor-Abhängigkeit der Uhren-Synchronisation möglich!^{7}

Solange man freilich nicht die Geschwindigkeit eines Intertialsystems relativ zum Äther feststellen kann, läßt sich auch nicht konkret entscheiden, ob Lorentz-Kontraktion und Zeit-Dilatation bzgl. dieses Systems ‘wirklich’ oder nur vorgetäuscht sind!

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5Da L̂ seinerseits in L mit der Geschwindigkeit u_{x} in x-Richtung bewegt erscheint, bezeichnet man (2.4) als relativistisches Gesetz der Geschwindigkeitsaddition.

6Diese Aussage erscheint nur dann widersinnig, wenn man z.B. in der Formulierung

L-Länge von M′ < L-Länge von M , L′-Länge von M < L′-Länge von M′

(M^{(′)}: in L^{(′)} ruhender Meterstab) die genaue Längenspezifizierung unterschlägt!

7Für den Spezialfall v_{x} = −u_{x} läßt sich das sehr gut an dem Diagramm auf Seite ?? ablesen.

26 KAPITEL 2. GRUNDPHÄNOMENE RELATIVISTISCHER KINEMATIK

2.1.3 Vakuum-Lichtgeschwindigkeit als obere Schranke

Aus (2.4) folgt unmittelbar

|u_{x} ˆ+v_{x}^{2}| = c^{2}(1 − \underbrace{\begin{matrix}(c^{2} − (u_{x})^{2}) & (c^{2} − (v_{x})^{2}) \\ (c^{2} + u_{x}v_{x}) & 2 \end{matrix}}_{>0}) für |u_{x}| , |v_{x}| < c

und somit:^{8}

V_{u_{x}} =^{def} {u_{x} ˆ+v_{x} : v_{x} ∈ (−c, +c)} = (−c, +c)

Zwei Unterlichtgeschwindigkeiten (gleicher Richtung) können sich also physikalisch, d.h. im Sinne von (2.4) nie zu einer Überlichtgeschwindigkeit aufaddieren!^{9}

Mithilfe einer genaueren Auswertung dieses Sachverhaltes läßt sich leicht der zu Beginn von 1.1.3 angesprochene Effekt scheinbarer partieller Äther-Mitführung erklären.

2.1.4 Partielle Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme

Aus der Tatsache, daß die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Länge gleichförmig bewegter Maßstäbe sowie der Laufgeschwindigkeit gleichförmig bewegter Uhren in jedem Inertialsystem gleich erscheint,^{10} folgt noch nicht, daß das für alle physikalischen Gesetze gilt. Jedoch folgt unter Voraussetzung der Kontinuumstheorie:

Satz 2.1.1 Ein raumzeitlich homogenes physikalisches Gesetz, das sich in jedem Inertialsystem räumlich isotrop formulieren läßt, läßt sich in jedem Inertialsystem auf einunddieselbe Weise formulieren.

Beweis: Seien L und L′ Inertialsysteme, deren Koordinaten entspr. (2.1) korreliert sind. Nach (2.3) und (2.4) existieren dann ein u_{x} ∈ (−c, +c) und Inertialsysteme L_{1}, L_{2}, L_{3} mit

L = L_{1} , L′ = L_{3}

und

( ct_{j+1}(E) ; ⋮ ; z_{j+1}(E) ) = Λ_{u_{x}}^{spez} ( ct_{j}(E) ; ⋮ ; z_{j}(E) ) für j = 1, 2 und beliebige Ereignisse E ,

wobei:

(ct_{k}(E), …, z_{k}(E)) =^{def} L_{k}-Koordinaten von E für k = 1, 2, 3 .

Version vom 26. März 2009

8Man betrachte die Grenzfälle v → ±c und v → −u.

9Freilich kann die mathematische Relativgeschwindigkeit zweier Körper zueinander in einunddemselben Laborsystem die Lichtgeschwindigkeit durchaus überschreiten.

10In 2.4.4 werden wir sehen, daß dies für beliebige Bewegungsrichtungen gilt.

2.2. EINSTEIN’S INTERPRETATION 27

[figure: L = L_{1}; L′ = L_{3}; Λ_{v_{x}}^{spez} = Λ_{u_{x}}^{spez}Λ_{u_{x}}^{spez}; L_{2}; Λ_{u_{x}}^{spez}; Λ_{u_{x}}^{spez}]

Bezeichne P_{3}^{j}(E) jeweils dasjenige mögliche Ereignis, das sich von E nur auf folgende Weise durch die Koordinaten unterscheidet:

( ct_{j} (P_{3}^{j}(E)) ; ⋮ ; z_{j} (P_{3}^{j}(E)) ) =^{def} P_{3} ( ct_{j}(E) ; ⋮ ; z_{j} ) .

Dann folgt aus obigen Annahmen mit (2.1):

( ct_{3} (P_{3}^{3} (P_{3}^{2}(E))) ; ⋮ ; z_{3} (P_{3}^{3} (P_{3}^{2}(E))) ) = P_{3}Λ_{u_{x}}^{spez}P_{3}Λ_{u_{x}}^{spez} ( ct_{1}(E) ; ⋮ ; z_{1}(E) ) =_{(2.8)} ( ct_{1}(E) ; ⋮ ; z_{1}(E) )  (2.9)

Seien nun G ein gegebenen Gesetz und V ein nach G erlaubter Vorgang. Wenn G isotrop ist, dann sind auch V̂ =^{def} {P_{3}^{2}(E) : E ∈ V} und V′ =^{def} {P_{3}^{3}(E) : E ∈ V̂}

nach G erlaubte Vorgänge. Nach (2.9) ist aber V′ =^{def} {P_{3}^{3} (P_{3}^{2}(E)) : E ∈ V} bzgl. L′ = L_{3} genau so beschreibbar, wie V bzgl. L = L_{1}.

Wenn G homogen und isotrop ist, ist die für L, L′ benutzte Voraussetzung in (2.1) unerheblich.^{11}

Anmerkung: Die Gesetze, denen die schwache Wechselwirkung (β-Zerfall) genügt, sind nicht P -invariant (siehe etwa (Ford, 1966, Kapitel VIII, Parität)). Auch scheinen physikalische Gesetzmäßigkeiten zu existieren, die nicht T -invariant sind (Fitch, 1981) (Cronin, 1981). Dagegen hat es bis zum heutigen Tage noch keinen ernsthaften Hinweis auf raumzeitlich inhomogene oder räumlich anisotrope Gesetzmäßigkeiten gegeben! Nach Satz 2.1.1 bedeutet das: Bzgl. der Beschreibung sämtlicher bislang von Physikern untersuchter Gesetzmäßigkeiten scheinen alle Inertialsysteme gleichberechtigt zu sein.^{12}

2.2 Einstein’s Interpretation

2.2.1 Spezielles Relativitätsprinzip

Die Erfolglosigkeit aller Versuche, den Äther nachzuweisen, konnte Einstein sich nur durch Nichtexistenz desselben erklären. Für ihn war das Raum-Zeit-Kontinuum

Version vom 26. März 2009

11Die speziellen Voraussetzungen für (2.1) an die Koordinatensysteme werden zu Beginn von 2.3.2 noch einmal ausführlich beschrieben.

12Daraus läßt sich z.B. die in 1.2.3 erwähnte Verdrillung rotierender Zylinder aufgrund ihrer Translationsbewegung ableiten.

‘an sich’ kein Gegenstand der Betrachtung, sondern seiner Ansicht nach waren einzig und allein die Relationen der materiellen Dinge zueinander für den Ablauf der physikalischen Vorgänge von Bedeutung. Das führte ihn als Vorstufe zur Allgemeinen Relativitätstheorie direkt auf folgende Hypothese:^{13}

Spezielles Relativitätsprinzip:

Naturgesetze lassen sich in allen Inertialsystemen^{14} auf einunddieselbe Weise raumzeitlich homogen und räumlich isotrop formulieren.

Bei Gültigkeit des speziellen Relativitätsprinzips — woran entspr. 2.1.4 kaum noch zu zweifeln ist — wäre der ‘Äther’ prinzipiell unnachweisbar! Die Ätherhypothese reduzierte sich dann auf eine absolut gegenstandslose ‘Erklärung’ für das

Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit:^{15}

Es existiert mindestens ein Inertialsystem, in dem die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit unabhängig sowohl von der Ausbreitungsrichtung als auch vom Erzeugungsvorgang stets den Betrag c hat.

Einstein zog es vor, dieses Prinzip direkt als physikalische Realität zu akzeptieren — etwa als Folge der Maxwell’schen Gleichungen.

Nach den Ausführungen von 1 sollte klar sein, daß sich allein aus den beiden hier genannten Prinzipien Lorentz-Kontraktion und Zeitdilatation ableiten lassen. Mit den Einsteinschen Synchronisationsverfahren ergeben sich dann die Lorentz-Transformationen wie in 1.3 (und für gedrehte Koordinatensysteme in 2.3.3).^{16}

Will man die Existenz des Äthers nicht voraussetzen, muß man sich nun aber davon überzeugen, daß dieses Synchronisationsverfahren — aufgrund der Konstanz des mittleren Betrags der Lichtgeschwindigkeit über beliebige geschlossene Wege — wirklich in sich konsistent ist, d.h. daß die damit vollständig definierte Gleichzeitigkeit eine Äquivalenzrelation darstellt:^{17}

1. Zunächst überzeugt man sich davon, daß von P_{1} und P_{2} ausgesandte Signale genau dann gleichzeitig am Mittelpunkt der Verbindungsstrecke ankommen,

Version vom 26. März 2009

13Man beachte allerdings, daß auch die klassische Newton’sche Theorie dem Relativitätsprinzip genügt, wenn man anstelle des Einstein’schen Synchronisationsverfahrens absolute Zeitsynchronisation (für die dann die in 1.2.2 und 1.2.3 angesprochenen Verfahren als geeignet anzusehen sind) verwendet!

14Man beachte, daß der Begriff ‘Inertialsystem’ verabredungsgemäß neben verschiedenen Idealisierungen (‘absolut’ gleichförmige Bewegung, Euklidische Geometrie usw.) die Verwendung der in 1.3.1 beschriebenen Meßvorschriften einschließt!

15Erst dieses Prinzip zusammen mit dem speziellen Relativitätsprinzip macht eine Abweichung von der Newton’schen Theorie für realisierbare Experimente notwendig.

16Vgl. (Einstein, 1905) und (Cook, 1979). Siehe auch Anhang A und (Peres, 1987).

17Wir nehmen hier natürlich an, daß der mit ‘starren’ Maßstäben vermessene physikalische Raum euklidisch ist.

wenn sie im Sinne der Einsteinschen Definition gleichzeitig von P_{1} und P_{2} ausgesandt werden.

2. Daraus erkennt man, daß ein Lichtblitz P_{1} und P_{2} gleichzeitig erreicht, wenn er von irgendeinem Punkt Q derjenigen Ebene ausgesandt wird, die senkrecht zur Verbindungsstrecke zwischen P_{1} und P_{2} steht und den Mittelpunkt dieser Strecke enthält:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; P_{1}; P_{2}; Q]

3. Damit läßt sich schließlich zeigen, daß die Einsteinsche Gleichzeitigkeitsdefinition transitiv ist:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; P_{1}; P_{3}; P_{2}; .; .; .]

2.2.2 Kausalitätsprinzip

Seien E_{1} und E_{2} Ereignisse mit den karthesischen L-Koordinaten (ct_{1}, x_{1}, y_{1}, z_{1}) und (ct_{2}, x_{2}, y_{2}, z_{2}). Dann schreiben wir (ct_{1}, x_{1}, y_{1}, z_{1})×(ct_{2}, x_{2}, y_{2}, z_{2}) bzw. E_{1}×E_{2}, falls die Ereignisse raumartig zueinander sind; d.h. falls sie in einem geeigneten Laborsystem gleichzeitig an verschiedenen Orten stattfinden:^{18}

(ct_{1}, x_{1}, y_{1}, z_{1})×(ct_{2}, x_{2}, y_{2}, z_{2})

⟺ 0 > \underbrace{(ct_{1} − ct_{2})^{2} − (x_{1} − x_{2})^{2} − (y_{1} − y_{2})^{2} − (z_{1} − z_{2})^{2}}_{unabhängig von L} (2.10)

Man beweist nun leicht den folgenden

Satz 2.2.1 Jede der folgenden Bedingungen ist äquivalent zu E_{1}×E_{2}:

Version vom 26. März 2009

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(ii) Es existiert ein Inertialsystem, in dem man sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen müßte, um an beiden Ereignissen teilzunehmen.

(iii) In jedem Inertialsystem müßte man sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen, um an beiden Ereignissen teilzunehmen.

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[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; E_{2}; x′/Meter; E_{1}; xt′/Meter; ct/Meter; x/Meter; v/c; 1]

O.B.d.A. kann E_{0} im Koordinatenursprung und z_{2} = 0 vorausgesetzt werden.

Nach Satz 2.2.1 stünde eine Wirkungsausbreitung mit Überlichtgeschwindigkeit aufgrund des speziellen Relativitätsprinzips im Widerspruch zum

Kausalitätsprinzip:

Es existiert ein Inertialsystem, in dem jede Ursache ihrer Wirkung zeitlich vorausgeht.

Da wir natürlich auch das Kausalitätsprinzip als gültig ansehen wollen, müssen wir folgern:

Signale mit Überlichtgeschwindigkeit lassen sich prinzipiell nicht herstellen!

Aufgrund von (2.4) (sowie der entspr. Verallgemeinerung auf Geschwindigkeiten unterschiedlicher Richtung) widerspricht das nicht dem speziellen Relativitätsprinzip und es genügt somit, die Transformationsformeln (1.6) für v < c zu haben.

Warnung: Trotzdem können sich gewisse lokalisierte Effekte, wie z.B. der in 1.2.3 betrachtete Lichtfleck, mit Überlichtgeschwindigkeit ‘fortplanzen’!

2.2.3 Zwillingsparadoxon

Obwohl man identifizierbare Objekte (zu denen z.B. der in 1.2.3 erwähnte Lichtfleck nicht zählt) nicht mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann, läßt sich im Prinzip doch jede (Labor-feste) Stelle im Universum zu Lebzeiten erreichen:

Man muß sich ja ‘nur’ in ein hinreichend schnelles Raumfahrzeug begeben, um die Lebensabläufe während der Reise — vom ursprünglichen Bezugssystem aus betrachtet — entsprechend zu verkürzen, d.h. die Lebenserwartung entsprechend zu verlängern.^{19} Diese Überlegung führt auf das sog. Zwillingsparadoxon:

Wenn von einem Zwillingspaar im Kindesalter der eine — nennen wir ihn A — auf der Erde weiterlebt, der andere — nennen wir ihn B dagegen durch den Weltraum reist und erst nach Vergreisung von A zurückkehrt, so kann B bei hinreichend großer Reisegeschwindigkeit durchaus als Kind zurückkehren.

Diese Situation erscheint nur beim sehr oberflächlicher Betrachtung als paradox, wenn man etwa wie folgt argumentiert:

Im Ruhesystem^{20} von B erscheinen die Lebensabläufe von A langsamer als die von B. Daher könnte B mit gleichem Recht erwarten, daß ihm A bei der Rückkehr als Kind entgegentritt.

Der Fehler dieser Betrachtung liegt natürlich — wie bei allen scheinbaren Paradoxa der Speziellen Relativitätstheorie — in der stillschweigenden Identifizierung

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19Andere Betrachtungsweise: Im Ruhesystem L′ des Reisenden erscheinen dessen Lebensabläufe wie gewohnt, aber die Entfernung des relativ zu L ruhenden Reiseziels hinreichend verkürzt.

20Die Reisegeschwindigkeit sei mit Ausnahme einer relativ kurzen Umkehrphase als konstant angenommen.

objektiv unterschiedlicher Gleichzeitigkeitsbegriffe:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Erreichen des Reiseziels; ct/Meter; x/Meter; ct′/Meter; rück-gleichzeitig; hin-gleichzeitig; unbeachtet]

2.3 Passive und Aktive Transformationen

2.3.1 Dreier- und Vierervektoren

Vereinbarung: Statt (x, y, z) werde jetzt stets (x^{1}, x^{2}, x^{3}) geschrieben. Die den räumlichen Translationen e_{j} in L entsprechenden Translationen im vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum seien mit \underline{e}_{j} bezeichnet:

\underline{e}_{j}Meter =^{def} \{ \begin{matrix}L-instantane Verschiebung um ein \\ L-Meter in Richtung der x^{j}-Achse von L \end{matrix}

Unter einem (physikalischen) Dreier-Vektor in L versteht man eine Linearkombination

x = x^{1}\underline{e}_{1} + x^{2}\underline{e}_{2} + x^{3}\underline{e}_{3}

der \underline{e}_{1}, …, \underline{e}_{3} (mit Koeffizienten x^{1}, …, x^{3} beliebiger — jedoch gleicher — physikalischer Dimension).

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; x; x^{3}\underline{e}_{3}; x^{2}\underline{e}_{2}; x^{1}\underline{e}_{1}]

Natürlich können die karthesischen x^{j}-Achsen (gemeinsam) beliebig gedreht werden. Die Komponenten von x sind dann entsprechend zu ändern.

Analog zu den rein L-räumlichen Verschiebungen lassen sich rein L-zeitliche Verschiebungen definieren:

\underline{e}_{0}Meter =^{def} \{ \begin{matrix}L-ortsfeste Verschiebung auf den \\ um \frac{Meter}{c} späteren L-Zeitpunkt \end{matrix}

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ^{\underline{e}^{0}}; x^{1}/Meter; ct/Meter]

Unter einem Vierer-Vektor versteht man eine beliebige Translation im vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum. Es ist klar, daß für jedes Inertialsystem L die zugeordneten \underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3} eine Basis des linearen Raumes T_{M} aller Vierer-Vektoren bilden. Jeder Vierer-Vektor \underline{x} läßt sich also als entspr. Linearkombination schreiben:

\underline{x} = x^{0}\underline{e}_{0} + x^{1}\underline{e}_{1} + x^{2}\underline{e}_{2} + x^{3}\underline{e}_{3}

Die den Inertialsystemen L zugeordneten karthesischen Basen \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} wollen wir als Lorentz-Basen bezeichnen. Mit ihrer Hilfe führt man üblicherweise das indefinite Minkowski-Skalarprodukt^{21}

\underline{x} · \underline{y} =^{def} x^{0}y^{0} − x^{1}y^{1} − x^{2}y^{2} − x^{3}y^{3}  (2.11)

ein, für das offensichtlich^{22}

\underline{x} · \underline{y} = \underline{y} · \underline{x}  (2.12)

sowie

\underline{x} · (α\underline{y} + β\underline{z}) = α(\underline{x} · \underline{y}) + β(\underline{x} · \underline{z})  (2.13)

und somit die Polarisations-Identität

\underline{x} · \underline{y} = \frac{1}{2} (\underline{x} · \underline{x} + \underline{y} · \underline{y} − (\underline{x} − \underline{y}) · (\underline{x} − \underline{y}))  (2.14)

gilt. Außerdem beachte man^{23}

\{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} Lorentz-Basis ⟹ \underline{e}_{μ} · \underline{e}_{ν} = η_{μν} =^{def} \{ \begin{matrix}+1 für μ = ν = 0 \\ −1 für μ = ν ∈ \{1, 2, 3\} \\ 0 sonst \end{matrix}

(2.15)

Version vom 26. März 2009

21Die x^{ν} resp. y^{ν} bezeichnen natürlich die Entwicklungskoeffizienten von \underline{x} resp. \underline{y} bzgl. einundderselben Lorentz-Basis \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\}. Daß die Definition nicht von der speziellen Wahl der Lorentz-Basis abhängt, folgt gemäß (2.14) aus der in (2.10) angemerkten Invarianz.

22Unter einem Skalarprodukt versteht man allgemein eine symmetrische Bilinearform. (2.12) beschreibt die Symmetrie und (2.13) die Bilinearität.

23Die umgekehrte Implikation gilt nur bei entsprechender Orientierung der Basis \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\}, da wir von einer Lorentz-Basis (stillschweigend) verlangen, daß \{\underline{e}_{1}, \underline{e}_{2}, \underline{e}_{3}\} rechtshändig ist.

Nach (beliebiger) Auswahl eines festen Raum-Zeitpunktes E_{0} lassen sich die übrigen Raum-Zeit-Punkte (Ereignisse, Weltpunkte) E gemäß

E = E_{0} + \underline{x} =^{def} \{ \begin{matrix}Raum-Zeit-Punkt, der durch \\ \underline{x} & aus E_{0} hervorgeht \end{matrix}

durch entsprechende Vierer-Vektoren \underline{x} charakterisieren. Falls E_{0} die L-Koordinaten (0, 0, 0, 0) hat, so stimmen die L-Koordinaten von E_{0} + \underline{x} mit den L-Komponenten von \underline{x} überein:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; E; \underline{x}; x^{1}; x^{0}; E_{0}]

Vereinbarung: Wenn E_{0} festgelegt ist, so schreiben wir oft einfach \underline{x} statt E_{0} + \underline{x}.

Entsprechend (2.10) nennt man

\underline{x} raumartig, falls \underline{x} · \underline{x} < 0

und schreibt

\underline{x}×\underline{y} falls \underline{x} − \underline{y} raumartig.

Weiterhin nennt man^{24}

\underline{x} zeitartig, falls \underline{x} · \underline{x} > 0
\underline{x} lichtartig, falls \underline{x} · \underline{x} = 0

2.3.2 Lorentz-Boosts

Seien L und L′ wieder zwei Inertialsysteme, deren x^{j}-Achsen zum Zeitpunkt Null zusammenfallen. Die L-Geschwindigkeit von L′ sei v = v \underline{e}_{1}. Die entspr. Lorentz-Basen seien mit \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} resp. \{\underline{e′}_{0}, …, \underline{e′}_{3}\} bezeichnet.

Unter diesen Umständen bezeichnet man die aktive lineare Transformation

\underline{x} = ∑_{μ=0}^{3} x^{μ}\underline{e}_{μ} ⟶ Λ_{v}^{akt}\underline{x} =^{def} ∑_{μ=0}^{3} x^{μ}\underline{e′}_{μ}

als Lorentz-Boost zur L-Geschwindigkeit v . Offensichtlich lassen Lorentz-Boosts das indefinite Skalarprodukt (2.11) invariant und deshalb gilt allgemein:

v =^{def} L-Geschwindigkeit von L′ , \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} Lorentz-Basis von L
⟹ \{Λ_{v}^{akt}\underline{e}_{0} , …, Λ_{v}^{akt}\underline{e}_{3}\} Lorentz-Basis von L′ .

(2.16)

Version vom 26. März 2009

24Für eine LorentzBasis \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} sind also \underline{e}_{0} lichtartig und die \underline{e}_{1}, \underline{e}_{2}, \underline{e}_{3} raumartig.

Es sei daran erinnert, daß die Schreibweise x (bzw. v) nur dann benutzt wird, wenn klar ist, auf welchen Raum von Dreier-Vektoren (d.h. auf welches Laborsystem) man sich bezieht.^{25} Dann ist auch klar, daß \underline{e}_{0} in (2.16) eindeutig als derjenige Vierer-Vektor festgelegt ist, dessen Minkowski-Skalarprodukt mit sämtlichen Dreier-Vektoren verschwindet. In diesem Sinne ist auch die vereinfachende Schreibweise

L′(x) =^{def} Λ_{v}^{akt}x ,  (2.17)

wobei: v =^{def} L-Geschwindigkeit von L′ ,

gemeint, die für Mehrfachboosts (siehe 2.4.1 und 2.4.3) zweckmäßig ist. Aus (2.1) folgt unmittelbar^{26}

\underline{x} = ∑_{μ=0}^{3} x^{μ}\underline{e}_{μ}, \underline{x̂} =^{def} Λ_{v \underline{e}_{1}}^{akt}\underline{x} = ∑_{μ=0}^{3} x̂^{μ}\underline{e}_{μ}

⟹ ( x̂^{0} ; ⋮ ; x̂^{3} ) = (Λ_{v}^{spez})^{−1} ( x^{0} ; ⋮ ; x^{3} ) = Λ_{−v}^{spez} ( x^{0} ; ⋮ ; x^{3} )

(2.18)

Die entsprechende Definition des Lorentz-Boosts von Raum-Zeit-Punkten

Λ_{v}^{akt}E =^{def} E_{0} + Λ_{v}^{akt}\underline{x} für E = E_{0} + \underline{x}

hängt natürlich zusätzlich von der Wahl des Bezugspunktes E_{0} ab. Wählt man für E_{0} den Raum-Zeitpunkt mit den L-Koordinaten (0, 0, 0, 0) und verlegt man sämtliche Ereignisse eines physikalischen Vorganges V auf die entsprechend ‘geboosteten’ Raum-Zeit-Punkte, so erhält man einen physikalischen Vorgang V′, dessen L′-Beschreibung (bei der oben beschriebenen Koordinatenwahl) mit der L-Beschreibung von V übereinstimmt.

2.3.3 Vektorielle Darstellung der speziellen Lorentz-Trans-formationen

Im Gegensatz zu den aktiven Lorentz-Boosts \underline{x} → Λ_{v\underline{e}_{1}}^{akt}\underline{x} bezeichnet man die Transformationen, durch die sich die L′-Komponenten aus den L-Komponenten einunddesselben Vierer-Vektors \underline{x} ergeben, als passive Lorentz-Transformationen.

Version vom 26. März 2009

25Das könnte deshalb zu Verwechslungen führen, weil es stets verschiedene L gibt, bzgl. derer einundderselbe Vierer-Vektor rein raumartig ist.

26Die L′-Koordinaten von \underline{x̂} stimmen gemäß Definition der Lorentz-Boosts mit den L-Koordinaten von \underline{x} überein.

Gemäß (2.1) gilt dafür:^{27}

v = v\underline{e}_{1}, \underline{x} = ∑_{μ=0}^{3} x^{μ}\underline{e}_{μ} = ∑_{μ=0}^{3} x^{′μ} \underbrace{Λ_{v}^{akt}\underline{e}_{μ}}_{=^{def}\underline{e′}_{μ}}

⟹ ( x^{′0} ; ⋮ ; x^{′3} ) = Λ_{v}^{spez} ( x^{0} ; ⋮ ; x^{3} ) , ( x^{0} ; ⋮ ; x^{3} ) = Λ_{−v}^{spez} ( x^{′0} ; ⋮ ; x^{′3} )

(2.19)

Nach (2.2) läßt sich das mithilfe von Dreier-Vektoren folgendermaßen schreiben:

\begin{aligned}x′ & = & L′ (γ_{v}(x_{∥} − vt) + x_{⊥}) \\ ct′ & = & γ_{v} (ct − x · \frac{v}{c}) \end{aligned}  (2.20)

\begin{aligned}x & = & L (γ_{v′}(x′_{∥} − v′t′) + x′_{⊥}) \\ ct & = & γ_{v′} (ct′ − x′ · \frac{v′}{c} ) \end{aligned}

v = −L(v′) , v′ = −L′(v)  (2.21)

wobei:

x_{∥} = (x · \frac{v}{v}) \frac{v}{v} , x_{⊥} = x − x_{∥} (und entspr. für x′) .  (2.22)

Warnungen:

(i) x · y meint das euklidische Skalarprodukt von L-Dreier-Vektoren, nicht das Minkowski-Skalarprodukt (2.11); d.h.:

x · y = − (x^{1}\underline{e}_{1} + x^{2}\underline{e}_{2} + x^{3}\underline{e}_{3}, y^{1}\underline{e}_{1} + y^{2}\underline{e}_{2} + y^{3}\underline{e}_{3})

(ii) In der Literatur wird für L′(u) i.a. einfach u geschrieben, in der stillschweigenden Annahme, daß stets aus dem Zusammenhang hervorgeht, ob wirklich u oder stattdessen L′(u) gemeint ist.

Erinnerung: Falls \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} Lorentz-Basis von L und v die L-Geschwindigkeit von L′ ist, dann ist

\{\underline{e′}_{μ} =^{def} Λ_{v}^{akt}\underline{e}_{μ}\} Lorentz-Basis von L′

und folgende drei Aussagen sind äquivalent:

(i) x = L(x′)

Version vom 26. März 2009

27Man beachte das gegenüber (2.10) geänderte Vorzeichen von v_{x}.

(ii) x′ = L′(x)

(iii) Die Komponenten von x bzgl. \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} stimmen mit den Komponenten von x′ bzgl. \{\underline{e′}_{0}, …, \underline{e′}_{3}\} überein.

2.4 Weitere kinematische Effekte

2.4.1 Allgemeinere Überlagerung von Geschwindigkeiten

Seien L, L′ Inertialsysteme und E eine mit konstanter Geschwindigkeit wandernde Folge punktförmiger Ereignisse^{28} (z.B. wandernder Lichtfleck oder Massenpunkt) mit

v =^{def} L-Geschwindigkeit von L′
v′ =^{def} L′-Geschwindigkeit von L = −L′(v)
x(t) =^{def} L-Ortsvektorfunktion von E
x′(t′) =^{def} L′-Ortsvektorfunktion von E
t(t′) =^{def} \{ \begin{matrix}L-Zeitpunkt desjenigen Ergeignisses E ∈ E, \\ das zum L′-Zeitpunkt t′ stattfindet \end{matrix}

Problem:^{29}

Man bestimme \frac{d}{dt}x(t)_{|_{t=t(t′)}} in Abhängigkeit von v und u =^{def} L (\frac{d}{dt′} x′(t′)).

Lösung:

Nach (2.20) gilt

x (t(t′)) = L (γ_{v} (x′(t′) · \frac{v′}{v^{′2}} − t′) v′ + x′(t′) − (x′(t′) · \frac{v′}{v′} ) \frac{v′}{v′} )
ct(t′) = γ_{v} (ct′ − x′(t′) · \frac{v′}{c} )
L(v′) = −v

und daher gemäß Kettenregel:^{30}

\frac{d}{dt} x(t)_{|_{t=t(t′)}} = (\frac{d}{dt′} t(t′))^{−1} \frac{d}{dt′} x (t(t′)) = \frac{γ_{v} (u · \frac{v}{v^{2}} + 1) v + u − (u · \frac{v}{v^{2}} ) v}{γ_{v} (1 + u · \frac{v}{c^{2}} )}

Version vom 26. März 2009

es sei \frac{d}{dt′} t(t′) ≠ 0 .

28Sowohl in L als auch in L′ finde zu jedem Zeitpunkt genau ein Punktereignis aus E statt und

29Man beachte, daß auch |\frac{d}{dt′} x(t′)| > c zugelassen ist!

30Man beachte u · v = L′(u) · L′(v) (= −\frac{d}{dt′} x′(t′) · v′).

38 KAPITEL 2. GRUNDPHÄNOMENE RELATIVISTISCHER KINEMATIK

Folgerung:

v ˆ+u =^{def} \frac{v + u + (γ_{v} − 1) (1 + \frac{v·u}{v^{2}}) v}{γ_{v} (1 + \frac{v·u}{c^{2}})} (2.23)

ist die (konstante) L-Geschwindigkeit von E, falls die L′-Geschwindigkeit von E konstant L′(u) ist. Zur Kontrolle von (ref1.2.14) seien zwei Spezialfälle betrachtet:

1. Fall:

v ∼ u ⟹_{(2.23)} v ˆ+u = \frac{v + u + (γ_{v} − 1)(v + u)}{γ_{v} (1 + \frac{v·u}{c^{2}})} = \frac{v + u}{1 + \frac{v·u}{c^{2}}} im Einklang mit (2.4)

2. Fall:

v · u = 0 ⟹_{(2.23)} v ˆ+u = v + \frac{u}{γ_{v}} im Einklang mit der Zeitdilatation Die Zuordnung v, u → v ˆ+u ist hiernach also nicht kommutativ!

Aus (2.23) folgt

v · (v ˆ+u) = \frac{v · (v + u)}{1 + \frac{v·u}{c^{2}}}

(2.24)

sowie

|v × (v ˆ+u)| = \frac{|v × u|}{γ_{v} |1 + \frac{v·u}{c^{2}} |}  (2.25)

und daraus wegen

|v ˆ+u|^{2} = |\frac{v}{v} · (v ˆ+u)|^{2} + |\frac{v}{v} × (v ˆ+u)|^{2}  (2.26)

schließlich durch elementare Rechnung

|v ˆ+u|^{2} = \frac{|v + u|^{2} − c^{−2}|v × u|^{2}}{(1 + \frac{v·u}{c^{2}})^{2}} = c^{2} (1 − \frac{(c^{2} − v^{2})(c^{2} − u^{2})}{(c^{2} + v · u)^{2}})  (2.27)

für beliebige v, u mit v < c und^{31} v · u ≠ −c^{2} .

Version vom 26. März 2009 31Vgl. Fußnote 28.

Hinweis zu (2.27) Man berechne γ_{v}^{2}v^{2} |v ˆ+u|^{2} und beachte dabei, daß aus |v × u|^{2} = v^{2}u^{2} − (v · u)^{2} (siehe Gl. 2.24 von (Lücke, ein)) die Gleichung (v^{2} + v · u)^{2} =

v^{2} |v + u|^{2} − |v × u|^{2} folgt und daß γ_{v}^{2} − 1 = \frac{γ_{v}^{2}v^{2}}{c^{2}} .

Ob sich ein lokalisierter Effekt (etwa ein Lichtfleck) mit Lichtgeschwindigkeit, mit Überlichtgeschwindigkeit oder mit Unterlichtgeschwindigkeit fortplanzt, hängt also nicht vom Inertialsystem ab,^{32} auf das sich diese Aussage bezieht! Aufgrund der Invarianz des Minkowski-Skalarprodukts ist das allerdings ohnehin klar.

2.4.2 Aberration des Lichtes und ‘Superschnappschüsse’

Im Falle u = c folgen aus (2.24) und (2.25) mit^{33}

v · (v ˆ+u) = cv cos θ , |v × (v ˆ+u)| = cv |sin θ|
v · u = L′(v) · L′(u) = cv cos θ′ , |v × u| = |L′(v) × L′(u)| = cv |sin θ′|

die Formeln für die sog. Aberration (scheinbare Richtungsänderung bei Inertialsystemwechsel) des Lichtes:

cos θ = \frac{cos θ′ + \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c} cos θ′}  (2.28)
sin θ = \frac{sin θ′}{γ_{v} (1 + \frac{v}{c} cos θ′)}  (2.29)

Die Abweichung der relativistischen Größe

cos θ′ = \frac{cos θ − \frac{v}{c}}{1 − \frac{v}{c} cos θ}

von der entsprechenden Größe der Newton’schen Theorie

cos θ′′ = \frac{cos θ − \frac{v}{c}}{\sqrt{1 − 2\frac{v}{c} cos θ + (\frac{v}{c})^{2}}}

Version vom 26. März 2009

32Wegen (c^{2} − v^{2})(c^{2} − u^{2}) > 0 (resp. < 0) für u < c (resp. u > c).

33Man beachte: |v| < c , |u| = c ⟹ |v ˆ+u| = c.

40 KAPITEL 2. GRUNDPHÄNOMENE RELATIVISTISCHER KINEMATIK ist ausschließlich auf die Lorentz-Kontraktion zurückzuführen:^{34}

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; θ; θ′′; θ′; Aberration; nichtrelativ.; scheinb. 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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; 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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Weltl. v. 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u_{out} → u_{in} = 0 , v_{out} → v_{in} , v′_{out} → v′_{in} = 0

erkennt man daraus, daß allgemein

m(v) =^{def} γ_{v} m_{0} , m_{0} : Ruhemasse

(3.20)

(v = v_{in}) zu definieren ist.

Aufgrund zahlloser Beschleunigerexperimente kann heutzutage^{5} kein Zweifel mehr daran bestehen, daß mit dieser Definition tatsächlich die Erhaltung des Gesamtimpulses bei Streuprozessen garantiert ist.

Warnung:^{6} Die Impulserhaltung (ohne Berücksichtigung der Impulse der Felder) gilt i.a. nur für Anfangs- und Endkonfiguration in jedem Inertialsystem.

Auch aufgrund der Labor-Abhängigkeit der Uhrensynchronisation kann der gesamte Dreier-Impuls nicht in allen Inertialsystemen während eines nichttrivialen Streuprozesses erhalten bleiben. Diese Schwierigkeit läßt sich nur in einer Nahewirkungstheorie überwinden, in der die Kraftübertragung durch Felder vermittelt wird, denen ebenfalls eine Impulsverteilung zuzuordnen ist.

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4Man multipliziere beide Seiten mit |(v_{out})_{⊥}| und verwende auf der rechten Seite (3.18).

5Vor Entdeckung des Neutrinos sah die Situation beim Beta-Zerfall ganz anders aus.

6Daß die Gesamtmasse beim frontalen Zusammenstoß im Umkehrpunkt kleiner ist als im asymptotischen Bereich, ist evident. Nach Satz 3.2.1 des folgenden Abschnitts kann dann auch der gesamte Dreier-Impuls im Umkehrpunkt nicht bzgl. aller Inertialsysteme mit dem gesamten Dreier-Impuls im asymptotischen Bereich übereinstimmen.

3.2.2 Vierer-Impuls

Nach (3.20) und (3.8) läßt sich der relativistische (Labor-) Dreier-Impuls auch in der Form^{7}

p =^{def} m(v) v = m_{0} ∑_{j=1}^{3} ẋ^{j}\underline{e}_{j} ,  (3.21)

also als L-räumlicher Anteil des sog. Vierer-Impuls es

\underline{p} =^{def} m_{0} ˙ \underline{x}  (3.22)

schreiben — womit das Transformationsverhalten bereits geklärt ist.

Aus (3.21), (3.22) und (3.8) folgt

v = \frac{c p}{p^{0}} ,  (3.23)

wobei

p^{0} =^{def} \underline{e}_{0} · \underline{p} = m(v) c .  (3.24)

Aus (3.22), (3.10) und (3.24) folgt

m(v)^{2} c^{2} − p · p = \underline{p} · \underline{p} = (m_{0} c)^{2} .  (3.25)

Satz 3.2.1

Gegeben: \underline{p}_{1}, \underline{p}_{2} ∈ T_{M}

Behauptung: Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. p_{1} = p_{2} für jede Lorentz-Basis \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\}
2. p_{1}^{0} = p_{2}^{0} für jede Lorentz-Basis \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\}

Beweis: Übungsvorschlag.

Nach Satz 3.2.1 ist die Erhaltung der gesamten trägen Masse ebensowenig anzuzweifeln, wie die Erhaltung des Gesamtimpulses!

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7Man beachte, daß der Punkt die Ableitung nach der Eigenzeit bezeichnet!

3.2.3 Relativistische Massenpunkt-Modelle

Vom umstrittenen Fall gewisser ‘Elementarteilchen’ abgesehen, dient das Punktteilchenmodell in aller Regel dazu, zusammengesetzte Systeme makroskopisch vernachlässigbarer Ausdehnung idealisiert zu beschreiben. Es erhebt sich sofort die Frage, wie sich Masse, Geschwindigkeit und Impuls aus den entsprechenden Größen der Einzelteile ergeben.

Die Betrachtungen von 3.2.1 führen uns diesbezüglich auf folgende

Vermutung: Der Vierer-Impuls eines physikalischen Körpers M makroskopisch vernachlässigbarer Ausdehnung ist die Vektorsumme (in T_{M} · entspr. phys. Einheit) der Feldimpulse und der (Vierer-)Impulse der ‘nackten’ Einzelteilchen, aus denen sich der Körper zusammensetzt.

Anmerkungen:

(i) Wenn die Vermutung in einem Inertialsystem richtig ist, so aufgrund des linearen Transformationsverhaltens der Vierer-Impulse in jedem Inertialsystem.

(ii) Da Ruhemasse und Geschwindigkeit von M makroskopisch wohldefiniert sind, gilt dasselbe nach (3.7) und (3.22) auch für den Vierer-Impuls von M.

(iii) Prinzipiell sind die Impulse der ‘nackten’ Einzelteilchen nicht feststellbar, da sie auch isoliert stets entsprechende Wechselwirkungsfelder mit sich führen, mit denen zusammen sie die sog. ‘physikalischen’ Teilchen entsprechend ‘renormierter’ Masse bilden.

In den meisten Fällen wird die Veränderung der Feldimpulse durch die Bindung der Einzelteilchen M_{ν} in M vernachlässigbar sein.^{8} In einem solchen Falle wollen wir M als schwach zusammengesetzt bezeichnen. Für schwach zusammengesetzte Massenpunkte kann man also den Vierer-Impuls mit der Summe der (renormierten) Vierer-Impulse der Einzelteile gleichsetzen. Daraus läßt sich folgendes schließen:

1. Die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Massen ist genau so definiert, daß die träge Masse eines schwach zusammengesetzten Massenpunktes M mit der Summe der (renormierten) trägen Massen seiner Einzelteile übereinstimmt.

2. Die Ruhemasse, nach dem Äquivalenzprinzip also auch das Gewicht,^{9} eines schwach zusammengesetzten Massenpunktes M wächst bereits bei Erhöhung der Relativgeschwindigkeiten der M_{ν} (‘Erwärmung’ von M) und ist dadurch größer als die Summe der (renormierten) Ruhemassen der M_{ν}.

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8Gegenbeispiel: Atomkerne!

9Bzgl. der Gravitation bei relativistischen Geschwindigkeiten vgl. (Melissinos, 1980).

3. Die Ruhemasse eines schwach zusammengesetzten Massenpunktes läßt sich mindestens teilweise in Energie umwandeln (‘Abkühlung’ von M).

3.2.4 Schwerpunktsystem

Gegeben sei eine Gesamtheit von Massenpunkten M_{ν}, die zwar untereinander kollidieren können, sich aber zwischen den Kollisionen frei bewegen:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ^{\underline{e}^{1}}; ^{\underline{e}^{0}}; t =konstant; t′ =konstant; M_{3}; M_{2}; M_{1}; M_{1}; M_{2}; M_{3}; M_{4}; M_{4}]

Es seien ein Inertialsystem L und ein L-Zeitpunkt t gewählt, zu dem sich alle M_{ν} frei bewegen. Die Summe \underline{P}_{ges} der Vierer-Impulse aller M_{ν} ist dann (von der phys. Dim. abgesehen) ein Vektor aus V_{+}, der entspr. 3.1.1/3.1.2 nicht von der speziellen Wahl von L und t abhängt. Das Inertialsystem L_{s}, in dem der L_{s}-räumliche Anteil von \underline{P}_{ges} verschwindet, ist somit eindeutig und wird gewöhnlich als Schwerpunktsystem der Gesamtheit {M_{ν}} bezeichnet.

Warnung: Die Weltlinie eines ‘Schwerpunktes’ von {M_{ν}} läßt sich nicht unabhängig von der Wahl eines Inertialsystems definieren!^{10}

In Übereinstimmung mit der Vermutung von 3.2.3 gilt

\frac{d}{dt} \frac{∑_{ν} m_{ν} (v_{ν}(t)) x_{ν}(t)}{∑_{ν} m_{ν} (v_{ν}(t))} = \frac{∑_{ν} m_{ν} (v_{ν}(t)) v_{ν}(t)}{∑_{ν} m_{ν} (v_{ν}(t))}  (3.26)

abschnittsweise. Aufgrund der Erhaltung des Gesamtimpulses ist deshalb die Geschwindigkeit des Schwerpunktes, dessen Ortsvektor

x_{s}(t) =^{def} \frac{∑_{ν} m_{ν} (v_{ν}(t)) x_{ν}(t)}{∑_{ν} m_{ν} (v_{ν}(t))}

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10Man betrachte die Bahnkurve des Schwerpunktes zweier gleich schwerer Massenpunkte mit parallelen Bahkurven und entgegengesetzter Geschwindigkeit. Bzgl. der Schwerpunktsbewegung ausgedehnter Körper vgl. (Schattner, 1978).

ist, zeitlich konstant.

3.3 Kraft und Leistung

Vorbemerkung: Wir werden Massenpunkte nur in solchen Situationen betrachten, in denen sich Ihre Ruhemasse nicht ändert.^{11} Für schwach zusammengesetzte Massenpunkte setzen wir also stets

\frac{d}{dt} ∑_{ν} m_{ν}(v_{ν}(t)) = 0 im momentanen Ruhesystem von M

(3.27)

voraus.

3.3.1 Additivität der Dreier-Kraft

Die Labor-Kraft auf einen ruhenden Massenpunkt ist (in Verbindung mit der Ruhemasse) in natürlicher Weise genau so definiert wie in der Newtonschen Mechanik. Damit die Definition der Kraft auf einen bewegten Massenpunkt ebenfalls physikalisch sinnvoll ist, verlangen wir

Additivität der Kraft: Die Labor-Kraft F auf einen schwach zusammengesetzten Massenpunkt M stimmt mit der Vektorsumme der Kräfte F_{ν} auf seine Einzelteile M_{ν} überein.

Aufgrund der Additivität der trägen Masse bedeutet die Additivität der Kraft für das momentane Ruhesystem von M:^{12}

∑_{ν} F_{ν}(t) = (∑_{ν} m_{ν}(v_{ν}(t))) (\frac{d}{dt})^{2} x_{s}(t)
=_{(3.26)} ∑_{ν} m_{ν}(v_{ν}(t)) \frac{d}{dt} \frac{∑_{ν} m_{ν}(v_{ν}(t)) v_{ν}(t)}{∑_{ν} m_{ν}(v_{ν}(t))}
=_{(3.27)} \frac{d}{dt} ∑_{ν} m_{ν}(v_{ν}(t)) v_{ν}(t) .

Daher muß man die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Kraft sicherlich so definieren, daß in jedem Inertialsystem die relativistische Bewegungsgleichung

F(t) = \frac{d}{dt} (m (v(t)) v(t))  (3.28)

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11In der Quantentheorie ist die Massenänderung nur sprunghaft möglich: aus einem Elementarteilchen entsteht ein neues, das als Anregungszustand des ursprünglichen angesehen werden kann.

12Beachte (3.27) und p_{s} = m_{ges}(v_{s})v_{s} .

gilt,^{13} die sich aufgrund der angenommenen Konstanz der Ruhemassen nach (3.20), (3.8) und (3.5) auch in der Form

γ_{v}F = m_{0} ∑_{j=1}^{3} ẍ^{j}\underline{e}_{j}  (3.29)

schreiben läßt.

Übungsvorschlag: Man zeige, daß zu jeder stetigen L-Dreier-Vektor-Funktion F(t) und jeder Anfangsbedingung genau eine Lösung von (3.28) existiert und daß für diese Lösung |v(t)| < c gilt.

Um die Additivität zu erhalten, muß man also entsprechend (3.17) in Kauf nehmen, daß der relativistische (Labor-) Kraftvektor, auch Dreier-Kraft genannt, i.a. nicht in Richtung des (Labor-) Beschleunigungsvektors zeigt!

Früher hatte man (3.29) entspr. (3.17) in der Form

F_{∥} = γ_{v}^{3} m_{0} a_{∥} , F_{⊥} = γ_{v} m_{0} a_{⊥}  (3.30)

geschrieben und dementsprechend γ_{v}^{3} m_{0} als longitudinale, γ_{v} m_{0} dagegen als transversale Masse bezeichnet.

Aus (3.29) und (3.17) folgt sofort der Zusammenhang von F mit der sogenannten Eigenkraft F^{(0)}:

F_{∥} =^{def} L (F^{(0)})_{∥} , F_{⊥} =^{def} \frac{1}{γ_{v}} L (F^{(0)})_{⊥}  (3.31)

Eine triviale Folgerung aus (3.31) ist, daß die Kraftwirkung von Feldern nicht bzgl. jedes Inertialsystems geschwindigkeitsunabhängig sein kann. Daher ist zu erwarten, daß elektrische und magnetische Felder in der Elektrodynamik lediglich verschiedene Aspekte einunddesselben Feldes sind, das man dementsprechend als elektromagnetisches Feld bezeichnet.

Übungsvorschlag: Gegeben sei ein Stromfaden in L, der nur aus negativen Ladungen bestehe, die in L′ ruhen. Aus dem Coulombschen Gesetz bzgl. L′ leite man entspr. (3.31) die L-Kraft ab, die der Stromfaden auf eine beliebig bewegte Probeladung ausübt.

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13(3.28) garantiert nach (3.22) und (3.28) auch die Additivität der in 3.3.3 noch zu besprechenden Vierer-Kraftdichten (nicht Vierer-Kraft-Dichten)!

3.3.2 Leistung

Die Größe

\underline{K} =^{def} γ_{v} ((\frac{v}{c} · F) \underline{e}_{0} + F)  (3.32)

bezeichnet man als Vierer-Kraft. Sie ist nur^{14} deshalb interessant, weil sie nach (3.31), (3.15) und wegen F^{(0)} = m_{0} a^{(0)} die Gleichung

m_{0} ¨ \underline{x} = K  (3.33)

erfüllt, deren \underline{e}_{0}-Komponente sich (bis auf den Faktor γ_{v}/c) nach (3.32), (3.5), (3.8) und (3.20) in der Form

\frac{d}{dt}m (v(t)) c^{2} = v(t) · F(t)  (3.34)

schreiben läßt.

Die Zusammenhänge zwischen den Begriffen Leistung, Arbeit und Energie behält man in der relativistischen Theorie natürlich genau so bei, wie in der Newtonschen Mechanik. (3.34) zeigt daher, daß die physikalisch wohl einzig sinnvolle Definition der (Labor-) Leistung, die eine Dreier-Kraft F(t) an einem Massenpunkt M der (Labor-) Geschwindigkeit v(t) erbringt, diejenige der Newtonschen Mechanik — allerdings auf den neuen Kraftbegriff bezogen — ist:

Leistung: L(t) =^{def} v(t) · F(t)

(3.35)

Dann läßt sich (3.34) nämlich folgendermaßen formulieren:

Die Leistung, die die Gesamtheit aller auf einen Massenpunkt M wirkenden Kräfte erbringt, ist gleich dem c^{2}-fachen der zeitlichen Änderung der trägen (=schweren) Masse von M.

Die Energie, die ein Medium dadurch aufnimmt,^{15} daß es einen Massenpunkt M bis zur Ruhe abbremst, ohne ihn sonst zu verändern, ist somit unabhängig vom Abbremsvorgang! Diesen Energieanteil bezeichnet man naheliegenderweise als kinetische Energie von M:

E_{kin} =^{def} m(v) c^{2} − m_{0} c^{2}  (3.36)

Mit den Definitionen der Ruheenergie

E_{0} =^{def} m_{0} c^{2}  (3.37)

und der Gesamtenergie

E_{ges} =^{def} E_{kin} + E_{0}  (3.38)

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14Addition von Vierer-Kräften ist i.a. physikalisch sinnlos.

15Man beachte die Massenerhaltung des Gesamtsystems.

ergibt sich somit Einsteins berühmte Formel

E_{ges} = m(v) c^{2} ,  (3.39)

die bekanntlich die Grundlage für den Bau von Atombomben und Kernkraftwerken darstellt.

Heutzutage ist es eine Erfahrungstatsache, daß sich auch die gesamte Ruheenergie von Elementarteilchen (in Form von Vernichtungsstrahlung) freisetzen läßt.

Nach (3.39) ist die Erhaltung der Gesamtmasse bei Streuprozessen mit der Erhaltung der Gesamtenergie gleichbedeutend.

3.3.3 Vierer-Kraftdichte

Betrachtet man anstelle von Massenpunkten ausgedehnte Körper, so tritt an die Stelle der Kraft die Kraftdichte:^{16}

k(\underline{x}) =^{def} lim_{ϵ→+0} \frac{F_{ϵ}(\underline{x})}{|U_{ϵ}(x)|}

wobei: F_{ϵ}(\underline{x}) =^{def} \{ \begin{matrix}Summe aller betr. Kräfte zur L-Zeit & \frac{x^{0}}{c} \\ auf Körperteile in U_{ϵ}(x) \end{matrix}

Folgende Aussage ist dann makroskopisch gültig:

Die L-Kraftdichte k(\underline{x}) ist die L-räumliche Komponente eines Vierervektorfeldes \underline{k}(\underline{x}), das man dementsprechend als Vierer-Kraftdichte bezeichnet. Die L-zeitliche Komponente k^{0}(\underline{x}) von \underline{k}(\underline{x}) ist das \frac{1}{c}-fache der k(\underline{x}) entsprechenden L-Leistungsdichte.

Beweisskizze: Es genügt, den Spezialfall einer räumlich homogenenGesamtheit von Massenpunkten einheitlicher Geschwindigkeit v, auf die alle die gleiche Kraft F wirkt, zu betrachten. Wenn n_{0} die Teilchenzahldichte im Ruhesystem bezeichnet, ist dann also aufgrund der Lorentz-Kontraktion

n = n_{0} γ_{v} = Teilchenzahldichte in L

und somit:

k = n_{0} γ_{v} F =_{(3.32)} n_{0} K .

Mit

\underline{k} =^{def} n_{0} \underline{K}

folgt daraus entspr. (3.32)/(3.33) die Behauptung.

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16Physikalisch ist der Grenzübergang ϵ → +0 aufgrund der diskreten Struktur aller Makromaterie natürlich sinnlos. Man muß stattdessen ϵ mikroskopisch hinreichend groß, makroskopisch dagegen hinreichend klein wählen.

62 KAPITEL 3. DYNAMIK DER MASSENPUNKTE

Elektrodynamik

4.1 Der elektromagnetische Feldtensor

4.1.1 Makroskopische Strom-Ladungs-Verteilungen

Die Strom-Ladungs-Verteilung ρ, ȷ, charakterisiert durch

∫_{G} ρ(\underline{x}) dV\underline{x} ≈ Gesamtladung in G zur Labor-Zeit \frac{x^{0}}{c}
∫_{S} ȷ(\underline{x}) · dS\underline{x} ≈ Gesamtstron durch S zur Labor-Zeit \frac{x^{0}}{c}

sei in der Umgebung von x zur Labor-Zeit x^{0}/c nur aus Ladungen gleicher Geschwindigkeit v aufgebaut. Dann gilt^{1}

ρ = γ_{v} ρ_{0} , ȷ = ρ v

und somit nach (3.8)

\underline{ȷ} = ρ_{0} ˙ \underline{x}_{mitt}  (4.1)

für

\underline{ȷ} (\underline{x}) =^{def} c ρ(\underline{x}) \underline{e}_{0} + ȷ (\underline{x}) ,  (4.2)

wobei ρ_{0} die Ladungsdichte im momentanen Ruhesystem der Einzelladungen bezeichnet. (4.2) ist also von der speziellen Wahl des Inertialsystems unabhängig.

Aufgrund der Additivität von Strom- und Ladungsdichte gilt dann dasselbe für

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1Hier geht die Geschwindigkeitsunabhängigkeit der Einzelladungen ein, aufgrund derer auch die Kontinuitätsgleichung (4.3) gilt. Daher finden die folgenden Überlegungen auf Gravitationskräfte, die ja auf die geschwindigkeitsabhängigen Einzelmassen wirken, keine Anwendung!

jede Strom-Ladungs-Verteilung:

Die ȷ^{μ}(\underline{x}), bzgl. L definiert durch

ȷ^{0}(\underline{x}) =^{def} c ρ(\underline{x}) , ∑_{k=1}^{3} ȷ^{k}(\underline{x}) \underline{e}_{k} =^{def} ȷ(\underline{x}) ,

sind die Komponenten bzgl. \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} eines von L unabhängigen Vierer-
Vektorfeldes \underline{ȷ}(\underline{x}), das man als Vierer-Stromdichte bezeichnet.

Da erfahrungsgemäß die Gesamtladung erhalten ist, d.h.

c \frac{d}{dx^{0}} ∫_{G} ρ(\underline{x}) dV\underline{x} + ∫_{∂G} ȷ(\underline{x}) · dS\underline{x} = 0

gilt, müssen die ȷ^{μ}(\underline{x}) nach dem Gaußschen Satz die Kontinuitätsgleichung^{2}

∑_{μ=0}^{3} \frac{∂}{∂x^{μ}} ȷ^{μ} = 0  (4.3)

erfüllen.

4.1.2 Kraftwirkung eines äußeren elektromagnetischen Feldes

Aufgrund der Additivität von Vierer-Stromdichte und Vierer-Kraftdichte hängt die Vierer-Kraftdichte \underline{k}(\underline{x}), die der Wirkung eines festen äußeren Feldes entspricht, linear von der Vierer-Stromdichte der Testladungen am gleichen Raum-Zeit-Punkt ab. Das äußere Feld läßt sich also durch eine \underline{x}-abhängige lineare Abbildung beschreiben; d.h. es existiert ein Tensor 2. Stufe mit den Komponenten F _{ν}^{μ}(\underline{x}) bzgl. \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\}, für den

f^{μ}(\underline{x}) = \frac{1}{2} ∑_{ν=0}^{3} F _{ν}^{μ}(\underline{x}) ȷ^{ν}(\underline{x}) bzgl. \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\}  (4.4)

gilt.^{3}

Sei nun eine spezielle Vierer-Stromdichte gleichen Typs wie zu Beginn von 4.1.1 betrachtet. Unter der durch Erfahrung bestätigten Voraussetzung, daß die Wirkung

Version vom 26. März 2009

2Tatsächlich folgt die Kontinuitätsgleichung für physikalisch realistische (raum-zeitlich hinreichend gut lokalisierte) Vierer-Stromdichten direkt aus dem Transformationsverhalten.

3Der Vorfaktor von F _{ν}^{μ}(\underline{x}), insbesondere das Vorzeichen davon, ist reine Konventionssache.

des äußeren Feldes keinen direkten Einfluß auf die Ruhemassen der geladenen Einzelteilchen hat, folgt dann

0 = \underline{ȷ}(\underline{x}) · \underline{k}(\underline{x}) \begin{matrix}= ∑_{μ,ν=0}^{3} ȷ_{μ}(\underline{x}) F _{ν}^{μ}(\underline{x}) ȷ^{ν}(\underline{x}) \\ = ∑_{μ,ν=0}^{3} ȷ_{μ}(\underline{x}) ȷ_{ν}(\underline{x}) F^{μν}(\underline{x}) , \end{matrix}

wie man im Ruhesystem der speziellen Testladungsgesamtheit sieht, wobei:

ȷ_{μ} =^{def} ∑_{λ=0}^{3} η_{μλ} ȷ^{λ} , F^{μν} =^{def} ∑_{λ=0}^{3} η^{νλ}F _{λ}^{μ} , η_{μν} =^{def} η^{μν} =^{def} \{ \begin{matrix}+1 & für μ = ν = 0 \\ −1 & für μ = ν ∈ \{1, 2, 3\} \\ 0 & sonst \end{matrix}

zunächst im Ruhesystem der Ladungen^{4} am Raum-Zeit-Punkt \underline{x} und somit bzgl. jedes Inertialsystems. Da selbst unter den angenommenen speziellen Voraussetzungen die ȷ_{μ}(\underline{x}) in einem bel. Inertialsystem für gegebenes \underline{x} jeden zeitartigen Vektor approximieren können, folgt somit

F^{μν}(\underline{x}) = −F^{νμ}(\underline{x}) .  (4.5)

4.1.3 E- und B-Feld

Entsprechend (4.5) besitzt die Matrix der F^{μν} nur sechs unabhängige Komponenten, die (im Gaußschen Maßsystem) mit E^{j}, B^{j} bezeichnet seien:

( \begin{matrix}0 & −E^{1}(\underline{x}) & −E^{2}(\underline{x}) & −E^{3}(\underline{x}) \\ + E^{1}(\underline{x}) & 0 & −B^{3}(\underline{x}) & +B^{2}(\underline{x}) \\ + E^{2}(\underline{x}) & +B^{3}(\underline{x}) & 0 & −B^{1}(\underline{x}) \\ + E^{3}(\underline{x}) & −B^{2}(\underline{x}) & +B^{1}(\underline{x}) & 0 \end{matrix} ) =^{def} (F^{μν}(\underline{x}))  (4.6)

Mit der Definition

E(\underline{x}) =^{def} ∑_{j=1}^{3} E^{j}(\underline{x}) \underline{e}_{j} elektrisches Feld bzgl. L ,

B(\underline{x}) =^{def} ∑_{j=1}^{3} B^{j}(\underline{x}) \underline{e}_{j} magnetisches Feld bzgl. L

(4.7)

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4Im Ruhesystem gilt nämlich f^{0} = ȷ^{1} = ȷ^{2} = ȷ^{3} = 0.

läßt sich dann (4.4) in der Form

f^{0}(\underline{x}) = \frac{1}{c} ȷ(\underline{x}) · E(\underline{x}) ,
f(\underline{x}) = ρ(\underline{x}) E(\underline{x}) + \frac{1}{c} ȷ(\underline{x}) × B(\underline{x}) Lorentz-Kraftdichte

(4.8)

schreiben.

Aus (4.6), dem Tensor-Charakter^{5} von F und der Gestalt (2.2) der speziellen Lorentz-Transformations-Matrizen folgt für elektrisches und magnetisches Feld bzgl. Laborsystemwechsel:

E′_{∥}(\underline{x}) = L′ (E_{∥}(\underline{x})) , B′_{∥}(\underline{x}) = L′ (B_{∥}(\underline{x}))
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Version vom 26. März 2009

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Version vom 26. März 2009

1K_{L,L′} bezeichnet den Doppler-Faktor, mit dem die L-Sendezeitintervalle einer in L ruhenden Lichtimpulsquelle zu multipliziern sind, um die zugehörigen L′-Empfangszeitintervalle eines in L′ ruhenden Beobachters zu erhalten, der sich von der Impulsquelle wegbewegt. Die genannten Prinzipien verlange daher K_{L,L′} = K_{L′,L}.

2Entsprechend einfach läßt sich die Formel (2.4) der relativistischen Geschwindigkeitsaddition aus der Beziehung K_{L,L̂′} = K_{L̂,L̂′}K_{L,L̂} ablesen. Vgl. dazu auch (Peres, 1987).

Anhang B

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θ^{μ}(\underline{e}_{ν}) = δ_{ν}^{μ}  (B.1)

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T _{νλ}^{μ ρ} =^{def} T (θ^{μ}, \underline{e}_{ν}, \underline{e}_{λ}, θ^{ρ}) für Multilinearformen T über T_{M}^{∗} × T_{M} × T_{M} × T_{M}^{∗} (B.2)

Das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten bzgl. Basiswechsel ist von der Form

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Bei Beschränkung auf Lorentz-Basen \{\underline{e}_{0}, …, \underline{e}_{3}\} erkennt man leicht:

T_{μ_{1}μ_{2} μ_{4}}^{μ_{3}} = ∑_{ν_{1}ν_{3}ν_{4}} η_{μ_{1}ν_{1}} η^{μ_{3}ν_{3}} η_{μ_{4}ν_{4}} T _{μ_{2}ν_{3}}^{ν_{1}  ν_{4}} usw.  (B.4)

72 ANHANG B. LORENTZ-TENSOREN

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